SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

ĐỀ THI THỬ THPT QG NĂM 2019 LẦN 4

TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN 12

Mã đề : 209

Mục tiêu: Đề thi thử Toán THPTQG 2019 trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 4 có mã đề 209, đề gồm

6 trang với 50 câu hỏi và bài toán dạng trắc nghiệm, thời gian làm bài 90 phút, nội dung chính của đề vẫn xoay

quanh chương trình Toán 12, ngoài ra có một số ít các bài toán thuộc nội dung Toán lớp 11, lượng kiến thức được

phân bố như sau: 90% lớp 12, 10% lớp 11, 0% kiến thức lớp 10. Trong đó xuất hiên các câu khó và lạ như câu 44,

45, 46, 48. Đề thi giúp HS biết được điểm yếu điểm mạnh của mình để có kế hoạch ôn tập tốt nhất.

Câu 1 [NB]: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng : 2 1 0, : 2 7 0P x y z Q x y z . Tính góc

giữa hai mặt phẳng đó.

A. 060 . B.

045 . C. 0120 . D.

030 .

Câu 2 [NB]: Cho đồ thị C có hàm số 2019xy . Tìm kết luận sai:

A. Đồ thị C đi qua điểm 0;1 .

B. Đồ thị C nằm về phía trên trục hoành.

C. Đồ thị C nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

D. Đồ thị C nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

Câu 3 [TH]: Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều. Biết ' 2 ,AA a AB a và hình chiếu vuông

góc của A lên đáy ' ' 'A B C là trọng tâm ' ' 'A B C . Tính thể tích khối lăng trụ.

A. 33

2

a. B.

311

4

a. C.

311

3

a. D.

34

3

a.

Câu 4 [TH]: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Biết 1

0

1 ' 12x f x dx và 0 3f , tính

1

0

f x dx .

A. 9 . B. 36 . C. 15 . D. 9 .

Câu 5 [TH]: Tìm m để hàm số 2 2

3 3 2

mx x khi xf x

x m khi x

liên tục trên .

A. 1. B. 1 . C. 3 . D. 2 .

Câu 6 [NB]: Tìm tập xác định của hàm số 3

1

log 5y

x

.

A. ;5 4\ . B. ;5 . C. 5; . D. 5; .

Câu 7 [NB]: Số giao điểm của đồ thị 2 25 1 7y x x với trục hoành là:

A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 .

Câu 8 [TH]: Tính môđun của số phức z, biết 1 2 1i z z i .

A. 2 . B. 10 . C. 5 D. 13 .

Câu 9 [TH]: Cho hình trụ (T) có thiết diện qua trục là hình vuông. Hình nón (N) có đáy là một đáy của (T) và đỉnh

là tâm đáy còn lại của (T). Tính tỉ số diện tích xung quanh của (N) và (T).

A. 1

B.

5

4. C.

1

2. D.

5

2.

Câu 10 [TH]: Tìm nguyên hàm F x của hàm số 2xf x e , biết 0 1F .

A. 22 1xF x e . B. xF x e . C. 2xF x e . D. 2 1

2 2

xeF x .

Câu 11 [NB]: Tập nghiệm của bất phương trình 2 13 27x là:

A. 3; . B. 2; . C. 1

;2

. D.

1;

3

.

Câu 12 [VD]: Ông An vay ngân hàng 96 triệu đồng với lãi suất 1% tháng theo hình thức cuối mỗi tháng trả góp số

tiền giống nhau sao cho đúng 2 năm kể từ ngày vay thì trả hết nợ. Hỏi số tiền ông An phải trả hàng tháng là bao

nhiêu? (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).

A. 4,52 triệu đồng. B. 4,53 triệu đồng. C. 4,51 triệu đồng. D. 4,54 triệu đồng.

Câu 13 [TH]: Biết 4

0

2ln 9 ln 5 ln 3 , , ,x x dx a b c a b c , tính a b c .

A. 8 . B. 10 C. 9 . D. 11.

Câu 14 [TH]: An có một khối trụ bằng đất sét có chiều cao bằng 4 cm và bán kính đáy bằng 2 cm. Từ khối đất sét

đó, An muốn làm các viên bi có đường kính bằng 2 cm. Hỏi An có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu viên bi?

A. 3 . B. 18 . C. 12 . D. 6

Câu 15 [NB]: Đường tiệm cận ngang của đồ thị 3 2

4

xy

x

là:

A. 4x . B. 3y . C. 3

4x . D.

3

4y .

Câu 16 [NB]: Biết phương trình 2 0, ,z az b a b có một nghiệm là 4 5i , tìm nghiệm còn lại.

A. 4 5i . B. 3 2i . C. 1 2i D. 4 5i .

Câu 17 [TH]: Cho 2log 3ab

b (với 2, 0, 1, 1a b ab ab ). Tính

3log

ab

a

b

A. 5 . B. 10 . C. 12 . D. 14 .

Câu 18 [TH]: Trong không gian Oxyz , cho 2; 1;3A và mặt phẳng : 2 1 0P x y z . Viết phương trình

mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P).

A. 2 2 2

2 1 3 36x y z . B. 2 2 2

2 1 3 12x y z .

C. 2 2 2

2 1 3 6x y z . D. 2 2 2

2 1 3 6x y z .

Câu 19 [TH]: Cho hình lục giác đều ABCDEF cạnh a. Quay hình lục giác đều quanh đường thẳng AD, thể tích

khối tròn xoay thu được là:

A. 35

3

a. B.

37

3

a. C.

34

3

a. D.

3a .

Câu 20 [TH]: Giá trị cực đại của hàm số 2 1

1

x xy

x

là:

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .

Câu 21 [TH]: Cho hàm số y f x liên tục trên các khoảng ; 2 , 2; và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 2

2 3 0f x f x là:

A. 2 . B. 1 C. 0 . D. 4 .

Câu 22 [TH]: Cho hình đa diện đều (H) có 12 cạnh. Số mặt phẳng đối xứng của (H) là:

A. 8 . B. 9 . C. 6 . D. 12 .

Câu 23 [TH]: Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác đều. Biết 3SA a và góc giữa

SC và đáy bằng 060 . Tính thể tích khối chóp .S ABC .

A. 31

4a . B. 34

3a . C. 31

3a . D. 33

4a .

Câu 24 [NB]: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 3 2 4 0P x y z . Một vectơ pháp tuyến của (P) là:

A. 1; 3;2 . B. 1;3;2 . C. 1;2; 3 D. 1;2;3 .

Câu 25 [TH]: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 5y x x trên đoạn

4;5 . Tính 2M m .

A. 5 . B. 1. C. 6 D. 2 .

Câu 26 [TH]: Cho 6

0

12f x dx . Tính 2

0

3f x dx .

A. 2 B. 4 . C. 15 . D. 36 .

Câu 27 [TH]: Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt lần lượt là 2 2 26 ,8 ,12a a a . Tính thể tích khối hộp chữ

nhật đó.

A. 324a . B. 318a . C. 38a . D. 312a .

Câu 28 [NB]: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 1;2;3 , 2; 4;9A B . Tọa độ vectơ AB là:

A. 3; 6;6 . B. 1; 2;12 . C. 3;6; 6 . D. 3;4; 6 .

Câu 29 [TH]: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh a. Điểm E là trung điểm của cạnh C’D’. Hai điểm M

và N lần lượt thay đổi trên hai cạnh BC và CC’. Giá trị nhỏ nhất của tổng AM MN NE là:

A. 5

2

a. B.

2 2 5 5

2

a. C. 2a . D. 2 1 a .

Câu 30 [VD]: Khi viết số 7568392 1p dưới dạng hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?

A. 227835 . B. 227832 . C. 227834 . D. 227833.

Câu 31 [NB]: Cho cấp số cộng nu có 1 52, 14u u . Tìm công sai của cấp số cộng đó.

A. 2 . B. 4 . C. 3 D. 5 .

Câu 32 [NB]: Phần ảo của số phức 2 3z i là:

A. 2i . B. 3i . C. 2 . D. 3 .

Câu 33 [NB]: Đạo hàm của hàm số 3log 5y x là:

A.

1'

5 ln 3y

x

. B.

1'

5y

x

. C.

1'

5y

x

D.

1

'5 ln 3

yx

.

Câu 34 [TH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 , 2 3y x y x .

A. 32

3. B.

109

6 C.

16

3. D.

91

6.

Câu 35 [TH]: Hàm số 3 23 1y x x đồng biến trên khoảng :

A. 1;3 . B. ;0 . C. 1 3

;2 2

. D. 0;3 .

Câu 36 [VD]: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đường elip có phương trình 2 2

125 9

x y . Quay H quanh trục hoành

. Tính thể tích khối tròn xoay thu được.

A. 100 . B. 60 . C. 45 . D. 75

Câu 37 [VD]: Cho hàm số 25 2f x x mx m . Biết 0, 5; 5f x x

, Tính 1f .

A. 3

2 . B.

1

2 . C.

1

4 . D. 1 .

Câu 38 [VD]: Cho số phức z thỏa mãn 1 2 2 3z i z i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức

1 2 3w i z i là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây?

A. 1;2 .B. 3;4 C. 2;3 D. 0;1 .

Câu 39 [VD]: Cho đồ thị G của hàm số 3 2y ax bx cx d . Biết phương trình tiếp tuyến của G tại điểm

có hoành độ bằng 1 và 0 lần lượt là 4 5y x và 3 1y x , tính 2 3 4a b c d .

A. 8 . B. 6 . C. 7 . D. 5 .

Câu 40 [VD]: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 5;3;1 , 7;5;3A B và mặt phẳng : 2 0P x y z . Điểm

M thay đổi trên P sao cho mặt phẳng MAB vuông góc P . Tính độ dài ngắn nhất của đoạn OM .

A. 5

6. B.

5

14. C.

7

6. D.

8

14.

Câu 41 [VD]: Cho hình chóp đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a, điểm M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng

P chứa AM và song song BD . Tính diện tích thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi P .

A. 25

3

a B.

210

3

a. C.

210

6

a. D.

22 5

3

a.

Câu 42 [VD]: Trong không gian Oxyz , cho 5 điểm 5;1;3 , 1;0;2 , 2;1; 2 , 1;1;6 , 3;3; 2S A B C D . Có bao

nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm đó?

A. 7 . B. 5 . C. 3 . D. Vô số.

Câu 43 [VD]: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có 1;2;3 , 3;1;2 , 2;1;5A B C và điểm D thuộc mặt

phẳng : 3 10 0P x y z . Biết các đường cao của tứ diện đồng quy, tính độ dài đoạn thẳng OD.

A. 650 . B. 260 . C. 10 . D. 20 .

Câu 44 [VDC]: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1 1

:2 1 1

x y zd

và mặt cầu

2 2 2

: 4 5 7 2S x y z . Hai điểm A và B thay đổi trên S sao cho tiếp diện của S tại A và B

vuông góc với nhau. Đường thẳng A song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại M, đường thẳng qua B song song với

d cắt mặt phẳng (Oxy) tại N. Tìm giá trị lớn nhất của tổng AM BN .

A. 16 6 . B. 8 6 . C. 7 6 5 3 . D. 20 .

Câu 45 [VDC]: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số 2f x x ax b trên đoạn 1;3 . Khi M đạt giá trị nhỏ

nhất, tính 2a b .

A. 7 . B. 5 . C. 4 . D. 6 .

Câu 46 [VDC]: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn 100;100 để phương trình 2019 1x mx có hai

nghiệm phân biệt?

A. 94 . B. 92 C. 184 . D. 93 .

Câu 47 [VD]: Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 3

4log 2 1

x yx y

x y

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 2

2

3 2 2x y xy yP

x x y

.

A. 1

4. B.

3

2. C. 2 . D.

1

2.

Câu 48 [VDC]: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC .

Điểm S thay đổi trên d (S khác A). Gọi H là trực tâm của tam giác SBC. Khi đó H thuộc một đường tròn cố định,

tính đường kính của đường tròn đó.

A. 3

3

a. B.

3

6

a. C.

2

a D.

3

2

a.

Câu 49 [VD]: Sắp xếp ngẫu nhiên 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào một dãy 10 ghế. Tính xác suất để không

có hai học sinh nam ngồi cạnh nhau.

A. 7

15. B.

1

42 C.

1

6. D.

3

16.

Câu 50 [VD]: Cho các số phức z thỏa mãn 2 22 1z iz z z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2z i .

A. 2 2 . B. 2 C. 3

2. D. 2 .

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

1. A 11. B 21. D 31. C 41. B

2. C 12. A 22. B 32. D 42. C

3. B 13. A 23. D 33. A 43. B

4. D 14. C 24. A 34. A 44. A

5. B 15. B 25. D 35. C 45. C

6. A 16. D 26. B 36. B 46. D

7. D 17. D 27. A 37. D 47. C

8. C 18. C 28. A 38. C 48. B

9. B 19. D 29. A 39. A 49. C

10. D 20. B 30. B 40. D 50. D

Câu 1:

Phương pháp:

Cho 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0a x b y c z d a x b y c z d nhận 1 1 1 1 2 2 2 2( ; ; ), ( ; ; )n a b c n a b c lần lượt là các

VTPT. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng , được tính: 1 2

1 2

1 2

.cos , cos ;

.

n nn n

n n .

Cách giải:

: 2 1 0P x y z có 1 VTPT là 1 1; 2; 1n

: 2 7 0Q x y z có 1 VTPT là 2 1;1;2n

01 2

1 2

. 1.1 2.1 1.2 1cos , , 60

26. 6.

n n

n n

.

Chọn: A

Chú ý: Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn.

Câu 2:

Phương pháp:

Nhận biết đồ thị hàm số mũ.

Cách giải:

Kết luận sai là: Đồ thị C nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

(Chú ý: Đồ thị hàm số 2019xy không có tiệm cận đứng).

Chọn: C

Câu 3:

Phương pháp:

Thể tích khối trụ: V Sh .

Cách giải:

ABC đều, 2 3 2 3 3

, ' .4 3 2 3

ABC

a a aAB a S GA

'AA G vuông tại G2

2 2 2 11' ' 4

3 3

aAG AA A G a a

Thể tích khối lăng trụ: 2 33 11 11

.4 3 4

a aV a .

Chọn: B

Câu 4:

Phương pháp:

Sử dụng công thức từng phần: b b

b

a

a a

udv u v vdu .

Cách giải:

Ta có:

1 1

0 0

11

00

1

0

1 1

0 0

1 ' 12 1 12

1 1 12

0 0 12

3 12 9

x f x dx x d f x

x f x f x d x

f f x dx

f x dx f x dx

.

Chọn: D

Câu 5:

Phương pháp:

Hàm số ( )y f x liên tục tại 0 0

0 0lim limx x x x

x f x f x f x

.

Cách giải:

Ta có: 2 2

lim 4 2; lim 2 1 3x x

f x m f x f m

.

Hàm số f x liên tục trên Hàm số f x liên tục tại 2x

2 2

lim ( ) lim ( ) 2 4 2 1 3 1x x

f x f x f m m m

.

Chọn: B

Câu 6:

Phương pháp:

+) Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.

+) Hàm số log 0 1a f x a xác định khi 0f x .

Cách giải:

ĐKXĐ: 3log 5 0 5 1 4

5 0 55 0

x x x

x xx

TXĐ: ;5 4\D .

Chọn: A

Câu 7:

Phương pháp:

Số giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình 0f x .

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 2 25 1 7y x x với trục hoành là:

2

2 2 4 2

2

2 2 2 25 1 7 0 4 2 0

2 2 2 2

x xx x x x

x x

Vậy, số giao điểm của đồ thị 2 25 1 7y x x với trục hoành là: 4.

Chọn: D

Câu 8:

Phương pháp:

Xác định số phức z, từ đó tính mô đun của z.

Cách giải:

Giả sử , ,z a bi a b .

Khi đó:

1 2 1 1 2 1

3 1 12 2 1

1 2

1 2 5.

i z z i i a bi a bi i

a b aa a b i b a bi i

a b b

z i z

Chọn: C

Câu 9:

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình nón: xqS rl .

Diện tích xung quanh của hình trụ: 2xqS rh .

Cách giải:

Hình trụ (T) có thiết diện qua trục là hình vuông 2h R

Diện tích xung quanh của hình trụ (T): 22 2 .2 4xqtruS Rh R R R .

Ta có: 2 2 2 22 2 4 5 5l R h R R R l R

Diện tích xung quanh của hình nón (N): 2. 5 5xq nonS Rl R R R

Tỉ số diện tích xung quanh của (N) và (T) là: 2

2

5 5

4 4

R

R

.

Chọn: B

Câu 10:

Phương pháp:

1ax b ax be dx e Ca

.

Cách giải:

2 21

2

x xF x e dx e C

Mà 1 1

0 1 12 2

F C C 2 1

2 2

xeF x .

Chọn: D

Câu 11:

Phương pháp:

Giải bất phương trình mũ cơ bản.

Cách giải:

Ta có: 2 13 27 2 1 3 2x x x .

Chọn: B

Câu 12:

Phương pháp:

Dành cho bài toán trả góp: Gọi số tiền vay là N, lãi suất là r, n là số tháng phải trả, A là số tiền phải trả vào hàng

tháng để sau n tháng là hết nợ : 1 .

1 1

n

n

N r rA

r.

Cách giải:

Đổi 2 năm = 24 tháng.

Số tiền ông An phải trả hàng tháng là:

24

24

96 1 1% .1%4,52

1 1% 1A triệu đồng.

Chọn: A

Câu 13:

Phương pháp:

+) Đặt ẩn phụ 2 9x t .

+) Sử dụng công thức từng phần: b b

b

a

a a

udv u v vdu .

Cách giải:

Đặt 2 9 2x t xdx dt . Đổi cận:

0 9

4 25

x t

x t

.

Khi đó:

4 25 2525

9

0 9 9

252525

9 99

2 1 1 1ln 9 ln ln .

2 2

1 1 1ln ln 25ln 25 25 9ln 9 9

2 2 2

150ln 5 25 18ln 3 9 25ln 5 9ln 3 8

2

25 9 8 8.

x x dx tdt t t t dtt

t t dt t t t

a b c

Chọn: A

Câu 14:

Phương pháp:

+) Thể tích khối trụ: 2V r h

+) Thể tích khối cầu: 34

3V r .

Cách giải:

Thể tích khối trụ: 2 2 3.2 .4 16V r h cm

Thể tích 1 viên bi là: 3 3

34 4 2 4

.3 3 2 3

V r cm

Ta có: 4

16 : 123

An có thể làm được nhiều nhất 12 viên bi.

Chọn: C

Câu 15:

Phương pháp:

Đồ thị hàm số , 0, 0ax b

y c ad bccx d

có TCN là

ay

c .

Cách giải:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị 3 2

4

xy

x

là: 3y .

Chọn: B

Câu 16:

Phương pháp:

Phương trình bậc hai có nghiệm phức thì có 2 nghiệm phức là liên hợp của nhau.

Cách giải:

Phương trình 2 0, ,z az b a b có một nghiệm là 4 5i Nghiệm còn lại là 4 5i .

Chọn: D

Câu 17:

Phương pháp:

Tính logb a . Từ đó tính 3

logab

a

b

.

Cách giải:

2 2

1 1 1 5log 3 log 2

log log 2 3 3bab

b b

b aab a

Ta có: 3

3

5 14log 3 2.

log 3 3 3log 2. 2. 145 2log 1log 13 3

bb

abbb

aaa b

b aab

.

Chọn: D

Câu 18:

Phương pháp:

+) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính ;R d A P .

+) Phương trình mặt cầu có tâm 0 0 0; ;I x y z , bán kính 0 0

2 2 2

0

2:R x x y y z z R .

Cách giải:

Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2 2. 1 3 1 6

; 61 4 1 6

R d A P R

.

Phương trình mặt cầu đó là: 2 2 2

2 1 3 6x y z .

Chọn: C

Câu 19:

Phương pháp:

Thể tích khối nón là: 21

3V r h

Thể tích khối trụ là: 2V r h .

Cách giải:

Thể tích khối tròn xoay thu được là: 1 2 3V V V V ,

Trong đó,

1V là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABF quanh trục AD;

2V là thể tích khối trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật BCEF quanh trục AD;

3V là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác DEC quanh trục AD.

Dễ dàng tính được

23

2

1 3

1 1 3. . . . . .

3 3 2 2 8

a a aV V IB AI

2

2

233 3

. . . .2 4

a aV IB BC a

2

3

3

3

1

3 32.

8 4

a aV V V V a

.

Chọn: D

Câu 20:

Phương pháp:

Xác định điểm mà 'y đổi dấu từ + sang -, từ đó tính giá trị cực đại của hàm số.

Cách giải:

2 2

2 2

1 1 1 2, 1 ' 1

1 1 1 1

x x x xy x x y

x x x x

'y đổi dấu từ + sang – tại điểm

22 2 1

2 2 32 1

CDx y y

.

Chọn: B

Câu 21:

Phương pháp:

Số giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình 0f x .

Cách giải:

Ta có:

2 12 3 0

3

f xf x f x

f x

Quan sát BBT ta thấy:

Đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng 1y tại 2 điểm 1 2,x x , với 1 23 2x x

Đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng 3y tại 2 điểm 3 4,x x , với 3 42 1x x

Số nghiệm thực của phương trình 2

2 3 0f x f x là: 4.

Chọn: D

Câu 22:

Phương pháp:

Hình đa diện đều (H) có 12 cạnh là hình bát diện đều.

Cách giải:

Hình đa diện đều (H) có 12 cạnh là hình bát diện đều. Do đó, số mặt phẳng đối xứng của (H) là: 9

Chọn: B

Câu 23:

Phương pháp:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P). Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa

đường thẳng a và a’.

Cách giải:

Ta có:

0; 60SA ABC SC ABC SCA

0

3

tan 60 3

SA aAC a

2 3

4ABC

aS

Thể tích khối chóp .S ABC là: 2 33 3

. 34 4

a aV a .

Chọn: D

Câu 24:

Phương pháp:

Mặt phẳng : 0P Ax By Cz D có một vectơ pháp tuyến là: ; ;n A B C .

Cách giải:

Một vectơ pháp tuyến của (P) là: 1; 3;2 .

Chọn: A

Câu 25:

Phương pháp:

Để tìm GTNN, GTLN của hàm số f trên đoạn ;a b , ta làm như sau:

- Tìm các điểm 1 2; ;...; nx x x thuộc khoảng ;a b mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

- Tính 1 2; ;...; ; ;nf x f x f x f a f b

- So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên ;a b ; số nhỏ nhất

trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên ;a b .

Cách giải:

Ta có: 1 5 1

2 5 ' 15 5

xy x x y

x x

' 0 5 1 5 1 4y x x x

Hàm số 2 5y x x liên tục trên đoạn 4;5 , có 4 2, 4 6, 5 5y y y

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là: 6, 2M m 2 2M m .

Chọn: D

Câu 26:

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ 3t x .

Cách giải:

Đặt 3 3t x dt dx

2 6 6 6

0 0 0 0

1 1 1 13 . .12 4

3 3 3 3f x dx f t dt f t dt f x dx .

Chọn: B

Câu 27:

Phương pháp:

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba độ dài là a, b, c là: V abc .

Cách giải:

Giả sử hình hộp chữ nhật đó có 3 độ dài là: , ,m n p , ta có:

2

2 2 2 2 2 2 2 3

2

6

8 6 .8 .12 24

12

mn a

np a m n p a a a mnp a

pm a

Vậy, thể tích khối hộp chữ nhật đó là: 324a .

Chọn: A

Câu 28:

Phương pháp:

; ;B A B A B AAB x x y y z z

Cách giải:

1;2;3 , 2; 4;9A B AB 3; 6;6 .

Chọn: A

Câu 29:

Cách giải:

Trải các mặt (BCC’B’), (CC’DD’), (ABCD) như hình vẽ.

Ta có: min

AM MN NE AE AM MN NE AE khi và chỉ khi , , ,A M N E thẳng hàng (tức là M, N

trùng với 0 0,M N như hình vẽ).

Mà 2 2

2 23 9 52 4

2 4 2

a a aAE a a

min

5

2AM MN NE a .

Chọn: A

Câu 30:

Cách giải:

Gọi n là số chữ số của 7568391 2p khi viết dưới dạng hệ thập phân, khi đó:

1 75683910 2 10n n

1 756839

756839

10 2 1 756839log 2227831,24 227832,24 227832

756839log 210 2

n

n

nn n

n

Vậy khi viết số 7568391 2p dưới dạng hệ thập phân có 227832 chữ số.

Giả sử 227831 756839 227831 529008 2278311 10 2 10 2 5p vô lí, do 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.

2278311 10p Khi viết số 7568392 1p dưới dạng hệ thập phân thì có 227832 chữ số.

Chọn: B

Câu 31:

Phương pháp:

Số hạng tổng quát của cấp số cộng: 1 1nu u n d .

Cách giải:

Ta có: 5 1 4 14 2 4 3u u d d d .

Chọn: C

Câu 32:

Phương pháp:

Phần ảo của số phức z a bi là: b.

Cách giải:

Phần ảo của số phức 2 3z i là: 3.

Chọn: D

Câu 33:

Phương pháp:

log

.lna

u xu x

u x a

Cách giải:

3log 5y x

1 1'

5 ln3 5 ln3y

x x

.

Chọn: A

Câu 34:

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số ,y f x y g x , trục hoành và hai đường thẳng

;x a x b được tính theo công thức : b

a

S f x g x dx .

Cách giải:

Giải phương trình 21

2 33

xx x

x

Diện tích cần tìm là:

2 2 3 2

33 3

1 1 1

12 3 2 3 3

3

1 329 9 9 1 3

3 3

S x x dx x x dx x x x

.

Chọn: A

Câu 35:

Phương pháp:

Xác định khoảng có đạo hàm dương.

Cách giải: 3 2 23 1 ' 3 6y x x y x x

' 0 0 2y x

Vậy, hàm số 3 23 1y x x đồng biến trên khoảng 0;2 .

Mà 1 3

; 0;22 2

hàm số

3 23 1y x x đồng biến trên khoảng 1 3

;2 2

.

Chọn: C

Câu 36:

Phương pháp:

Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ

thị số y f x , y g x và hai đường thẳng ; x a y b khi quay quanh trục Ox là:

2 2 b

ax gV f dx x .

Cách giải:

Do elip 2 2

125 9

x y đối xứng qua trục Ox nên (H) chính là khối tròn xoay thu được khi quay đường

2

3. 125

xy

quanh Ox.

Thể tích của (H) là:

52 3

5

5

5

  9 1 9  6025 75

x xV dx x

.

Chọn: B

Câu 37:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.

Cách giải:

Ta có: 2 20 5 2 0 1 2 5f x x mx m m x x (*)

Ta thấy, 1x là nghiệm của (*) với mọi m.

Với 5; 5 1\x

, ta có:

2

2

2 51

1*

2 51

1

xm khi x

x

xm khi x

x

Xét hàm số 22 5

, 5; 5 11

\x

g x xx

, có :

2

2 2 2 22

2 2 22 2

1 2 52 5 5 5 2 55

'1 1 5 1 5

xx x

x x x x x xxg x

x x x x x

2 2

2 2 2

' 0 5 2 5 0 2 5 5

4 5 25 10 5 10 5 0 1

g x x x x x

x x x x x x ktm

Bảng biến thiên:

Để (*) đúng với mọi 5; 5x

thì

1

12

1 2

2

m

m

m

.

2 1 55 1 1

2 2f x x x f .

Chọn: D

Câu 38:

Phương pháp:

Chú ý tính chất 1 2 1 2.z z z z .

Cách giải:

Đặt z a bi z a bi .

2 2 2 2

2 2

2 2

22

1 2 2 3

1 2 2 2 3

1 1 2 2 2 3

3 6 3 14 11 0

14 112 0

3 3

7 251

3 9

z i z i

a bi i a bi i

a b a b

a a b b

a b a b

a b

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 7

1;3

I

, bán kính 5

3R

7 51

3 3z i

Ta có: 2 3

1 2 31

w iw i z i z

i

4 102 3

5 5 10 19 5 23 3

3 1

2 3 71

3 31 3 33

w i i

w ii

w ii

i

Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức 1 2 3w i z i là một đường tròn bán kính 5 2

2,36 2;33

r .

Chọn: C

Câu 39:

Phương pháp:

Đường thẳng y kx b là tiếp tuyến của y f x tại điểm có hoành độ

0

0

0 0

'y x kx

y x kx b

.

Cách giải: 3 2 2' 3 2y ax bx cx d y ax bx c

Phương trình tiếp tuyến của G tại điểm có hoành độ bằng 1 và 0 lần lượt là 4 5y x và 3 1y x

' 1 4 3 2 4 3 2 1 7

' 0 3 3 3 10

1 3 31 4.1 5

1 1 10 3.0 1

y a b c a b a

y c a b b

a b c d c cy

d d dy

2 3 4 7 20 9 4 8a b c d .

Chọn: A

Câu 40:

Phương pháp:

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với (P)

- Biện luận vị trí của M trên (Q) để OM ngắn nhất, tính độ dài ngắn nhất đó.

– Sinh – Văn – Anh – Sử -

Cách giải:

5;3;1 , 7;5;3 2;2;2A B AB

: 2 0P x y z có 1 VTPT là 1 1; 2; 1n

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với (P) Q có 1 VTPT 1; 2;4; 6n AB n

Phương trình mặt phẳng : 2 5 4 3 6 1 0 2 4 6 16 0 2 3 8 0Q x y z x y z x y z

Khi đó, OM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của O lên OM.

min

8 8;

1 4 9 14OM d O Q

.

Chọn: D

Câu 41:

Cách giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO ABCD

Gọi G là giao điểm của AM và SO. Qua G, dựng IK // BD, ,I SB K SD AIMK P .

Thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi P là tứ giác AIMK .

Ta có: BD AC

BD SACBD SO

. Mà IK // BD

1. .

2AIMKIK SAC IK AM S IK AM

SAC có , 2SA SC a AC a SAC vuông cân tại S, 2

2 2 2 5

4 2

a aAM SA SM a

G là trọng tâm 2 2 2 2 2

. 23 3 3 3

SG IK aIK a

SO BD

21 2 2 5 10. .

2 3 2 3AIMK

a a aS .

Chọn: B

Câu 42:

Phương pháp:

Xác định dạng của hình có 5 đỉnh là S, A, B, C, D.

Cách giải:

Ta có: 1;1; 4 , 2;2; 8 2AB CD CD AB , mà 0;1;4AC không

cùng phương 1;1; 4AB

, ,A B C không thẳng hàng ABDC là hình thang.

Ta có: 1;1; 4 , 0;1;4 ; 8; 4;1AB AC AB AC

4; 1; 1SA ; . 32 4 1 0AB AC AS S

, (với là mặt phẳng chứa A, B, C, D)

Vậy, S.ABCD là hình chóp có đáy ABDC là hình thang (AB // CD)

Có 3 mặt phẳng cách đều 5 điểm S, A, B, C, D, đó là: , ,IJKH IJFE HKFE , (với I, J, H, K, E, F lần lượt là

trung điểm của SC, SD, SA, SB, AC, BD.

Chọn: C

Câu 43:

Cách giải:

Giả sử ba đường cao của tứ diện đồng quy tại H. Gọi K là giao điểm của DH và (ABC).

Dễ dàng chứng minh được K là trực tâm tam giác ABC, đồng thời, DH là giao tuyến d của và , trong đó,

là mặt phẳng qua A vuông góc BC, là mặt phẳng qua B vuông góc AC.

1;0;3 : 1 1 3 3 0 3 8 0BC x z x z

1; 1;2AC :1 3 1 1 2 2 0 2 6 0x y z x y z

3 8 0

:2 6 0

x zd

x y z

đi qua điểm 8; 14;0M và có 1 VTCP ; 3;5;1u BC AC

, có phương trình tham

số là:

8 3

: 14 5

x t

d y t

z t

Khi đó, D d P . Giả sử 8 3 ; 14 5 ;D t t t 3 8 3 14 5 10 0 0t t t t

2 28; 14;0 8 14 0 260D OD

Chọn: B

Câu 44:

Cách giải:

2 2 2

: 4 5 7 2S x y z có tâm 4;5;7I , bán kính 2R

Do tiếp diện của S tại A và B vuông góc với nhau nên IAB vuông cân tại I, có 2IA IB R

Gọi E là trung điểm của AB 2

12

IE E di động trên mặt cầu 'S có tâm I bán kính 1r .

Gọi F là trung điểm MN; H, T, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, E, A lên (Oxy)

Ta có: EF là đường trung bình của hình thang ABNM (AM // BN) 2.AM BN EF

Gọi là góc giữa đường thẳng d và (Oxy), 2.0 1.0 1.1 1

sin6. 1 6

1

sin 6. 2 6.6 sin

ETEFT EF ET AM BN ET

EFT

Tổng AM BN lớn nhất ET lớn nhất.

Ta có: ; 7d I Oxy ; max ; 1 7 8ET r d I Oxy

max

16 6AM BN .

Chọn: A

Câu 45:

Phương pháp:

Sử dụng BĐT a b a b , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0ab .

Cách giải:

Xét 2f x x ax b trên đoạn 1;3 , ta có:

1;3max 1 1 2 2 2 2M f x M f a b M a b

Đồng thời 3 9 3M f a b

4 1 2 2 2 9 3 1 2 2 2 9 3 8M a b a b a b a b a b a b 2M

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 9 3 2a b a b a b và 1 ; 1 ; 9 3a b a b a b cùng dấu

2, 1 2 4a b a b .

Chọn: C

Câu 46:

Phương pháp:

Đánh giá số giao điểm của đồ thị 2 hàm số.

Cách giải:

Đồ thị hàm số 2019xy (C) đi qua điểm 0;1A , có tiếp tuyến tại A là:

ln 2019. 1y x d

Số nghiệm của phương trình 2019 1x mx bằng số giao điểm của (C) và đường

thẳng 1y mx

Nhận xét: là đường thẳng luôn đi qua điểm 0;1A ; (C) và có điểm chung thứ nhất là 0;1A

Do đó, để cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì ln 2019 7,6m

Mà , 100;100m m

8;9;...100m : có 93 giá trị thỏa mãn.

Chọn: D

Câu 47:

Phương pháp:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm.

Cách giải:

Ta có:

3 3 3

3 3

4log 2 1 log 4 log 2 1

log 4 4 log 3 3 3 3 *

x yx y x y x y x y

x y

x y x y x y x y

Xét hàm số 3

1log , 0 1 0, 0

.ln3f t t t t f t t f t

t đồng biến trên 0; .

Khi đó, (*) 4 3 3 4 3 3 2f x y f x y x y x y y x

244 2 5 2

2 2 3

2 2

3

3 2

3 .2 2 .2 2 23 2 2 6 12

92

2 4 2 4 2 2 2 2 2 23 . . 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

x x x x xx y xy y x xP

xx x y x x x

x x x x

x x x x x x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 22 2

1 23 3

xx y

x

Vậy min 2P khi và chỉ khi 1, 2x y .

Chọn: C

Câu 48:

Phương pháp:

Chứng minh tập hợp các điểm H là giao của mặt cầu cố định và mặt phẳng cố định.

Cách giải:

Gọi K là trực tâm của tam giác ABC; I, J lần lượt là chân đường cao của tam giác SBC ứng với đỉnh S, B.

/ /HK SA HK ABC BC HK (1)

Ta có: BK AC

BK SAC BK SCBK SA

Mà SC BH SC BHK SC HK (2)

Từ (1), (2) suy ra HK SBC HK HI H thuộc mặt cầu (S) có đường

kính là IK. (Mặt cầu này là cố định do I, K lần lượt là trung điểm cạnh BC,

trực tâm tam giác ABC, đều là các điểm cố định).

Mặt khác H thuộc mặt phẳng cố định là (mặt phẳng chứa AI và vuông

góc với (ABC).

H C là đường tròn giao tuyến của và S .

Do đường kính IK nên C là đường tròn có đường kính bằng đường kính mặt cầu S , có độ dài là:

1 1 3 3. .

3 3 2 6

a aIK AI .

Chọn: B

Câu 49:

Phương pháp:

Xác suất ( )

( )( )

n AP A

n

.

Cách giải:

Số phần tử của không gian mẫu: ( ) 10!n

Gọi A: “không có hai học sinh nam ngồi cạnh nhau”

- Số cách xếp 6 học sinh nữ vào 6 vị trí ghế là: 6!

- Để không có hai học sinh nam ngồi cạnh nhau, ta xếp 4 học sinh nam vào 7 vị trí ( 5 vị trí ở giữa, 2 vị trí ở ngoài

của 6 học sinh nữ đã xếp), không xếp vào cùng chỗ, có: 4

7A cách

4

76!.n A A 4

76!.( ) 1( )

( ) 10! 6

An AP A

n

.

Chọn: C

Câu 50:

Phương pháp:

1 2 1 2. .z z z z

Cách giải:

Ta có:

2 2 2 22 1 2 2 1

2 2

2 1

. 2 . 1 *

z iz z z i z iz iz z z i

z z i i z i z i z i z i

z i z i z i z i

z i z i z i z i

TH1: 0 0z i z i z i . Khi đó, 2 2 2 2z i i i .

TH2: 0z i . Khi đó, (*) 2 1z i z i (2*)

Đặt , ,z x yi x y .

2 2 222* 2 1 2 1 1

1 0 1 0 1

x yi i x yi i x y x y

x y x y y x

Ta có:

2 2 2 2

22

2 2 2 1 2 1 1

2 4 4 2 1 2 2,

z i x yi i x y x x

x x x x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1, 2x y .

Kết hợp 2 trường hợp ta được giá trị nhỏ nhất của 2z i là: 2 khi 1 2z i .

Chọn: D