s3-ap-southeast-1.amazonaws.com · 2018-06-25 · Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Group: CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ỨNG

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ VẼ ĐỒ THỊ

CỦA HÀM SỐ

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Định nghĩa :

Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định

trên K được gọi là :

• Đồng biến trên K nếu với mọi 1 2 1 2x ,x K , x x ( ) ( )1 2f x f x

• Nghịch biến trên K nếu với 1 2 1 2x ,x K, x x ( ) ( )1 2f x f x .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( )f ' x 0 với mọi x I

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )f ' x 0 với mọi x I

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Định lý :

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục

trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng

không phải đầu mút của I ) .Khi đó :

• Nếu ( )f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

• Nếu ( )f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

• Nếu ( )f ' x 0= với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

Chú ý :

• Nếu hàm số f liên tục trên a; b và có đạo hàm ( )f ' x 0 trên khoảng

( )a; b thì hàm số f đồng biến trên a; b

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



• Nếu hàm số f liên tục trên a; b và có đạo hàm ( )f ' x 0 trên khoảng

( )a; b thì hàm số f nghịch biến trên a; b .

• Ta có thể mở rộng định lí trên như sau

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu f '(x) 0 với x I

( hoặc f '(x) 0 với x I ) và f '(x) 0= tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm

số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I .

Chú ý. Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình.

*Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) = P(x)

Q(x)(trong đó P(x)

là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm

số f đồng biến (nghịch biến ) trên K x K,f '(x) 0 (f '(x) 0) .

*Nếu hàm số f là hàm nhất biến ,ax b

f(x)cx d

+=

+với a,b,c,d là các số thực và ad – bc 0

thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K x K,f '(x) 0(f '(x) 0).

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Vấn đề 1. Xét tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp .

B1.Tìm tập xác định của hàm số f

B2. Tính đạo hàm f ’(x) và tìm các điểm 0x sao cho 0'( )f x = 0 hoặc

0'( )f x không xác định .

B3. Lập bảng xét dấu '( )f x ,dựa vào định lí 1 ,nêu kết luận về các khoảng

đồng biến , nghịch biến của hàm số .

Ví dụ 1.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên)

của hàm số:

1. 3 24y x 2x x 3

3= − + − 2. 3 2y x 6x 9x 3= − + −

Lời giải.

1. TXĐ: D




Ta có: ( )22y' 4x 4x 1 2x 1= − + = − .

x : y' 0= với 1

x2

= và y' 0 với mọi 1

x2

.

Giới hạn: xlim y→−

= − và xlim y→+

= + .

Bảng biến thiên:

x −

1

2 +

y' + 0 +

y

+

17

6−

−

Vậy : hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng1

;2

−

và 1

;2

+

.

Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên .

2. TXĐ: D

Ta có: 2y' 3x – 12x 9= +

x : ( )

( )

x 1,y 1 1y' 0

x 3,y 3 3

= ==

= = −



= +


x – 1 3 +

y’ + 0 – 0 +

y

1 +

– – 3

Vậy : hàm số y đồng biến trên các khoảng ( );1− và ( )3; + , nghịch biến

trên khoảng ( )1;3


của hàm số:

1. 4 21 3y x x 1

4 2= − − + 2. 4 31

y x x 4x 14

= − + − +




Lời giải.

1. TXĐ: D

Ta có: 3 2y' x 3x x(x 3) y' 0 x 0= − − = − + = =

Bảng xét dấu:

x − 0 +

y' + 0 −

Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng ( ;0)− , nghịch biến trên (0; )+ .

2. TXĐ: D

Ta có: 3 2y' x 3x 4 y' 0 x 1,x 2= − + − = = − =



= −

Bảng biến thiên .

x − -1 2 +

y' + 0 − 0 −

y

1

− −

Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng ( ; 1)− − , nghịch biến trên khoảng

( 1; )− + .


của hàm số:

1. x 2

yx 1

−=

− 2.

2x 1y

x 1

−=

−

Lời giải.

1. TXĐ: D \ 1=

Ta có: 2

1y' 0, x D

(x 1)=

−, y' không xác định tại x 1=

Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng ( );1− và ( )1;+ ( hay hàm số y

nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ).

2. TXĐ: D \ 1=

Ta có: 2

1y' 0, x D

(x 1)

−=

−, y' không xác định tại x 1=

Vậy, hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng ( );1− và ( )1;+ ( hay hàm số y

nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ).





của hàm số:

1. 2x 4x 4

yx 1

+ +=

+ 2.

24x 5x 5y

x 1

+ +=

+

Lời giải.

1. TXĐ: D \ 1= −

Ta có: 2

2

x 2xy' y' 0 x 2,x 0

(x 1)

+= = = − =

+ Giới hạn:

xlim y→−


= + , x 1

lim y−→−

= − và x 1

lim y+→−

= +

Bảng biến thiên .

x − 2− 1− 0 +

y' + 0 − − 0 +

y

0 + +

− − 4

Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng: ( ; 2)− − và (0; )+ , nghịch biến

trên các khoảng: ( 2; 1)− − và ( 1;0)− .

2. TXĐ: D \ 1= −

Ta có: 2

2

4x 8xy'

(x 1)

+=

+

2y' 0 4x 8x 0 x 0,x 2 = + = = = − .



= + , x 1

lim y−→−

= − và x 1

lim y+→−

= +


x − 2− 1− 0 +

y' + 0 − − 0 +

y

11− + +

− − 5

Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng: ( ; 2)− − và (0; )+ , nghịch biến

trên các khoảng: ( 2; 1)− − và ( 1;0)− .


của hàm số:




1. 2y x 2x 3= − − 2. 2y x 4x 3 2x 3= − + + +

Lời giải.

1. TXĐ: D =

Ta có: 2 2y (x 2x 3)= − −2

2 2

2(x 1)(x 2x 3)y'

(x 2x 3)

− − − =

− −

.

y' 0 x 1= = , hàm số không có đạo hàm tại x 1,x 3= − =

( Bạn đọc xem tác giả giải thích ở ý 2 )

Bảng xét dấu:

x − 1− 1 3 +

y' − || + 0 − || +

Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng ( 1;1)− và (3; )+ , nghịch biến trên

( ; 1)− − và (1; 3) .

Nhận xét:

• Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số được chuyển về bài toán xét dấu của

một biểu thức ( y' ).

• Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng y f(x)= ta chuyển trị tuyệt đối vào

trong căn thức 2y f (x)= , khi đó tại những điểm mà f(x) 0= thì hàm số

không có đạo hàm.

2. TXĐ: D =

Ta có: 2 2

2 2

x 4x 3 4x 3 x 6 khi x 1 x 3y

x 4x 3 4x 3 x 8x khi 1 x 3

− + + + = + =

− + − + + = − + Khi x ( ;1) (3; ) − + thì : y' 2x y' 0 x 0 ( ;1) (3; )= = = − +

Khi x (1; 3) thì : y' 2x 8 y' 0 x 4 (1;3)= − + = =

Tại x = 1 ,ta có: f '(1 ) 6

f '(1 ) 2

+

−

=

=

.Vì f '(1 ) f '(1 )+ − nên f’(1) không tồn tại.

Tại x = 3 ,ta có : f '(3 ) 6

f '(3)f '(3 ) 2

+

−

=

=

không tồn tại.

Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng (0; )+ và nghịch biến trên khoảng

( ;0)− .


của hàm số:




1. 2

4x 5y

4x 4

+=

− 2.

2

12x 1y

12x 2

+=

+ 3.

2

2

3x x 1y

x x 1

− +=

− +

Lời giải.

1. TXĐ: D \ 1;1= −

Ta có:

( )

2

22

16x 40x 16y'

4x 4

− − −=

−

y' 0= x 2= − hoặc 1

x2

= −

Vậy, hàm số y đồng biến trên các khoảng ( )2; 1 ,− − 1

1;2

− −

và nghịch biến

trên các khoảng ( ); 2 ,− − 1

;1 ,2

−

( )1;+ .

2. TXĐ: D =

Ta có:

( )

2

22

36x 6x 6y'

6x 1

− − +=

+

. Với 1

x : y' 0 x2

= = − hoặc 1

x3

= .

Bảng xét dấu:

x −

1

2−

1

3 +

y' − 0 + 0 −

Trên khoảng 1 1

; :2 3

−

y' 0 y đồng biến trên khoảng 1 1

;2 3

−

;

Trên khoảng 1

;2

− −

và 1

; :3

+

y' 0 y nghịch biến trên các khoảng

1;

2

− −

và 1

;3

+

.

3. TXĐ: D =

Ta có:

( )

2

22

2x 4xy'

x x 1

− +=

− +

. Với x : y' 0 x 0 = = hoặc x 2= .

Trên khoảng ( )0;2 : y' 0 y đồng biến trên khoảng ( )0;2 ;

Trên khoảng ( );0− và ( )2; :+ y' 0 y nghịch biến trên các khoảng

( );0− và ( )2;+ .





của hàm số:

1. 2y x 2x x= + − 2. ( ) 2y 2x 1 9 x= + − 3. 2y x x 20= − −

Lời giải.

1. TXĐ: D 0;2 .=

Ta có: 2

2 2

1 x 2x x 1 xy' 1

2x x 2x x

− − + −= + =

− −

22 2 2

x 1 x 1 2y' 0 2x x x 1 x 1

22x x (x 1) 2x 4x 1 0

= − = − = +

− = − − + =

Vậy, hàm số y đồng biến trên 2

0;12

+

và nghịch biến trên 2

1 ; 22

+

.

2. TXĐ: D 3;3 .= −

Ta có: ( ) 2

2

2 2

x 2x 1 4x x 18y' 2 9 x

9 x 9 x

+ − − += − − =

− −

Hàm số đã cho không có đạo hàm tại x 3= − và x 3= .

Với ( )9

x 3;3 : y' 0 x4

− = = − hoặc x 2=


x 3−

9

4− 2 3

y' − 0 + 0 −

y

Vậy, hàm số y giảm trên các khoảng 9

3;4

− −

, ( )2;3 và tăng trên khoảng

9; 2

4

−

.

3. TXĐ: D ( ; 4] [5; )= − − +

Ta có: 2

12x 1 0 x2x 1

y' y' 0 2x 4 x 52 x x 20 x 4 x 5

− = =−

= = − − − −




Nên phương trình y' 0= vô nghiệm.

Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng (5; )+ và nghịch biến trên ( ; 4)− − .


của hàm số:

1. y 2sinx cos2x= + với x 0; 2. y sin2x 2cosx 2x= − − với x ;2 2

−

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;

Ta có: ( )y' 2cosx 1 2sinx= − . Ta cần tìm nghiệm của phương trình y' 0= trên

khoảng ( )0; ( )cosx 0

5y' 0 x 0; : x ,x ,x1

2 6 6sinx2

= = = = =

=

.


x 0

6

2

5

6

y' + 0 − 0 + 0 −

y

Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng 0;6

và

5;

2 6

, nghịch biến trên các khoảng ;6 2

và 5

;6

.

2. Hàm số đã cho xác định trên khoảng ;2 2

−

.

Ta có: ( )2y' 2cos2x 2sin x 2 2 1 2sin x 2sin x 2= + − = − + −

( )y' 2sinx 2sinx 1= − −

Trên khoảng ;2 2

−

: y' 0=

( )

x ;2 2

2sin x 2sin x 1 0

−

− − =

x 0

x6

= =





x

2

− 0

6

2

y' − 0 + 0 −

y

Hàm số giảm trên các khoảng ; 02

−

, ;6 2

và tăng trên khoảng 0;6

.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của

hàm số:

1. 3 2y x 3x 2= − + 2.

3 2x 3xy 2x 4

3 2= − + +

3. 3 2y 2x 3x 1= − −


hàm số:

1. 4 2y 2x 4x= − + 2. 4 2y x 6x 8x 1= − + − 3. 4 2y x 6x 8x 1= − + +


hàm số:

1. 2x 1

yx 1

+=

− 2.

3x 1y

2 4x

+=

+ 3.

2x x 1y

x 1

− +=

−


hàm số:

1. y x 1= + 2. 2y x 2x 3= + − 3. 2y x 2x 3= − −

CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC


hàm số:

1. 2y x 2x= −

4. 2y x 1 x= −

2. 3y x 2x= −

5. 2y x 1 2 x 3x 3= + − + +

3. 2 3y 3x x= −


hàm số:

1. 2

xy

x 1=

+

2. 2

x 3y

x 1

+=

+


hàm số:




1. y 2sinx cos2x= + với x 0;

2. y sin2x 2cosx 2x= − − với x ;2 2

−

Bài 8

1. Chứng minh rằng hàm số y sin2x 2x 1= − + luôn nghịch biến trên .

2. Chứng minh rằng hàm số y 3 sinx cosx 2x 1= − + − luôn đồng biến trên .

3. Tìm m để hàm số y 2x msinx 1= + − đồng biến trên .

4. Tìm m để hàm số y 2cos2x mx 3= + − đồng biến trên .

Bài 9

Chứng minh hàm số sau đồng biến trên : 9 6 3 22y x x 2x 3x 6x 1

3= − + − + − .

Vấn đề 2. Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu

trên một khoảng.

Phương pháp .

B.1. Xác định tham số để hàm số f xác định trên khoảng đã cho.

B.2. Tính f’(x) ,vận dụng định lí 1 vào các hàm số thường gặp trong chương

trình (xem phần tóm tắt giáo khoa.

Chú ý. Để giải bài toán dạng này ,ta thường sử dụng các tính chất sau.

1. Nếu f(x) = ax2 + bx + c (a 0) thế thì .

* x (hay bớt đi một số hữu hạn điểm),0

f(x) 0a 0

.

* x (hay bớt đi một số hữu hạn điểm), 0

f(x) 0a 0

2. Phương trình ( ) 2f x ax bx c 0= + + = (a 0) có hai nghiệm 1 2x , x thỏa

1 2x 0 x P 0 .

1 2x 0 x P 0 .

1 2

0

0 x x P 0

S 0




1 2

0

x x 0 P 0

S 0

1 2

1 2

0 x x 0

x x 0 P 0

Trong đó : 1 2 1 2b c

S x x , P x .xa a

= + = − = = .

3. Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên tập D ,thế thì:

x Dx D,f(x) 0 min f(x) 0

.

4. Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì

x Dx D,f(x) 0 maxf(x) 0

.

Ví dụ 1.2.1 Tìm a để hàm số 3 21y x ax 4x 3

3= + + + đồng biến trên .

Lời giải.

TXĐ: D =

Ta có 2y' x 2ax 4= + + và có 2' a 4 = −

Cách 1: Hàm số đã cho đồng biến trên y' 0 , x nghĩa là ta luôn

có: 2' a 4 0 = − 2 a 2−

Cách 2 : Tham khảo cách giải sau, bạn đọc đúc kết gì qua 2 lời giải

Bảng xét dấu '

a − 2− 2 +

' + 0 − 0 +

+ Nếu 2 a 2− thì y' 0 với mọi x . Hàm số y đồng biến trên .

+ Nếu a 2= thì ( )2

y' x 2= + , ta có : y' 0 x 2,y' 0,x 2= = − − . Hàm số y

đồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 2− − và )2;− + nên hàm số y đồng biến

trên .

+ Tương tự nếu a 2= − . Hàm số y đồng biến trên .

+ Nếu a 2 − hoặc a 2 thì y' 0= có hai nghiệm phân biệt 1 2x ,x . Giả sử

1 2x x . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1 2x ;x ,đồng biến trên mỗi

khoảng ( )1;x− và ( )2x ;+ . Do đó a 2 − hoặc a 2 không thoả mãn yêu cầu

bài toán .




Vậy hàm số y đồng biến trên khi và chỉ khi 2 a 2− .

Chú ý: Cho hàm số y f(x)= có đạo hàm liên tục trên D

• Hàm số đồng biến trên I D f '(x) 0, x I và f '(x) 0= có hữu hạn nghiệm.

• Hàm số đồng biến trên I D f '(x) 0, x I và f '(x) 0= có hữu hạn nghiệm.

Ví dụ 2.2.1 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số :

1. 2x 1

yx m

−=

− nghịch biến trên (2; )+

2. 3 2y x (m 2)x (3m 2)x 2= − + + + + đồng biến trên đoạn 3;4

Lời giải.

1. TXĐ: D \ m=

Ta có: 2

2m 1y'

(x m)

− +=

− Hàm số nghịch biến trên (2; )+ hàm số xác định trên (2; )+ và

x (2; ),y' 0 +

m 2m (2; ) 1

m 212m 1 0 2m

2

+

− − + −

.

Chú ý: Cho hàm số y f(x)= liên tục trên D

* D

f(x) k x D min f(x) k ( nếu tồn tại D

min f(x) )

* D

f(x) k x D maxf(x) k ( nếu tồn tại D

maxf(x) ).

2. TXĐ: D =

Ta có: 2y' 3x 2(m 2)x 3m 2= − + + + Hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 3;4 x [3; 4],y' 0

2x [3;4],3x 2(m 2)x 3m 2 0 − + + + 2x [3;4],3x 4x 2 m(2x 3) − + −

23x 4x 2x [3;4], m

2x 3

− +

−

Lập bảng biến thiên của hàm số ( )23x 4x 2

g x , x [3;4]2x 3

− +=

−.

2

2 2

6x 18x 8 2[3x(x 3) 4]g'(x) 0

(2x 3) (2x 3)

− + − += =

− − với mọi x thuộc đoạn 3;4

( )g x đồng biến trên đoạn 3;4 x [3;4]

17min g(x) g(3)

3 = =




Suy ra 23x 4x 2 17

x [3;4], m m2x 3 3

− +

−.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 3;4 17

m3

.

Ví dụ 3.2.1 Cho hàm số 2(m 1)x 2mx 6m

yx 1

+ − +=

−. Tìm các giá trị của tham số

m để hàm số:

1. Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;

2. Đồng biến trên khoảng ( )4;+

Lời giải.

TXĐ: D \ 1=

1. Xét hai trường hợp.

TH1: Khi m 1= − , ta có hàm số 2x 6

yx 1

−=

− và

2

4y'

(x 1)=

− > 0 với mọi x D

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định .

Vậy, m 1= − thỏa yêu cầu bài toán.

TH2: Khi m 1 − , ta có 2

2

(m 1)x 2(m 1)x 4my'

(x 1)

+ − + −=

−

Đặt 2g(x) (m 1)x 2(m 1)x 4m= + − + − và ta có y' cùng dấu với g(x)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

x D,y' 0 x D ,g(x) 0 .

2 (m 1)(5m 1) 0 1' (m 1) 4m(m 1) 01 m

m 1 5m 1 0

+ + = + + + − −

−+

.

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là 1

1;5

− −

.

2. Theo câu trên m 1= − thỏa mãn đề bài.

Với m 1 − Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng ( )4;+

x (4; ) ,g(x) 0 + 2

2

2x xx (4; ) , m

x 2x 4

− +

− −2(do x 2x 4 0 x (4; ))− − +




Xét hàm ( )2

2

2x xh x

x 2x 4

−=

− −, khi đó (1) x (4; ) ,h(x) m + ta lập bảng

biến thiên của ( )h x trên (4; )+ .

2 2

8x 8h'(x) 0 x (4; ).

(x 2x 4)

−= +

− −

2

x x x222

2 2x 1 1x xlim h(x) lim lim 1.2 42 4

1x 1xx xx

→+ →+ →+

− −

= = = −

− −− −

Dựa vào bảng biến thiên của ( )h x suy ra x (4; ) , h(x) m 1 m + − .

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là [ 1; )− + .

Ví dụ 4.2.1

1. Tìm m để hàm số 3

2xy mx (1 2m)x 1

3= − + − − đồng biến trên ( )1;+ .

2. Tìm m để hàm số 3 2y x 3x (m 1)x 2m 3= − + + − + − đồng biến trên một

khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Lời giải.

1. TXĐ: D =

Ta có: 2y' x 2mx 1 2m= − + − Hàm số cho đồng biến trên ( )1;+ x (1; ) ,y' 0 +

2 2x (1; ) ,x 2mx 1 2m 0 x (1: ) ,x 1 2m(x 1) + − + − + + +

2x 1x (1; ) , 2m (dox 1 0khix 1).

x 1

+ + +

+

Xét hàm số ( )2x 1

f xx 1

+=

+ , x (1; ) + .

2

2

x 2x 1f '(x) 0

(x 1)

+ −=

+với mọi x (1; ) + .

Suy ra x [1; )

x (1; ) ,f(x) 2m min f(x) 2m f(1) 2m +

+

1

1 2m m .2

2. TXĐ: D =




Ta có: 2y' 3x 6x m 1= − + + − , ' 3m 6 = +

* Nếu m 2 ' 0 y' 0 x − hàm số nghịch biến trên nên hàm

số không có khoảng đồng biến.

* Nếu m 2 − y' 0 = có hai nghiệm 1 2x x và

1 2y' 0 x x ;x yêu cầu bài toán 1 2x x 1 −

21 2 1 2

4(m 1) 5(x x ) 4x x 1 4 1 m

3 4

− + − + − .

Vậy 5

2 m4

− − là những giá trị cần tìm.


Bài 1: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định .

1. mx 3 2m

yx m

+ −=

+ 2.

( )22x m 2 x 3m 1y

x 1

− + + − +=

−

Bài 2: Tìm m để hàm số:

1. 3

2 2xy (m 2) (m 2)x (3m 1)x m

3= + − + − − + đồng biến trên .

2. 3 2y (m 1)x 3(m 1)x 3(2m 3)x m= − − − + − + nghịch biến trên .

3. ( ) ( )2 3 21y m 1 x m 1 x 3x

3= − + + + luôn nghịch biến trên .

4. ( ) ( )3 32 2

y mx x 2 x 43 3

= + − + − đồng biến trên tập xác định của nó.

5. 2y x 1 m x 1= + + + đồng biến trên .

Bài 3: Tìm m để hàm số mx 4

yx m

+=

+ nghịch biến trên khoảng ( );1− .



1. 2 2x 5x m 6

yx 3

+ + +=

+ đồng biến trên khoảng ( )1;+ .

2. 3 2 2y x (m 1)x (2m 3m 2)x m(2m 1)= − + − − + + − đồng biến trên )2; +

3. ( )3 21y x 2m 1 x mx 2

3= + − + + nghịch biến trên khoảng ( )0;1 .

4. 3 21y mx (m 1)x 3(m 2)x 1

3= − − + − + đồng biến trên (2; )+ .




5. 3

2xy (m 1)x (2m 1)x m

3= − + + + + nghịch biến trên (0;3) .

6. 3 2 2y x 3x 3(m 1)x 1= + − − + đồng biến trên (1; 2) .

7. ( )3 2y x – 3x 2m 1 x – 4.= + + biến trên [ 2; 1]− −

8. ( )3 2y x 3x m 1 x 4m= + + + + nghịch biến trên khoảng ( )1;1− .

9. 3 2y x 3x mx 4= − − + + nghịch biến trên khoảng ( )0;+ .

10. 3 2y 2x 2x mx 1= − + − đồng biến trên khoảng ( )1;+ .

11. 3 2y mx x 3x m 2= − + + − đồng biến trên khoảng ( )3;0− .


1. 2mx 6x 2

yx 2

+ −=

+ nghịch biến trên nửa khoảng )1; + .

2. ( ) ( )3 21y mx 2 m 1 x m 1 x

3= + − + − đồng biến trên khoảng ( )2;+ .

3. ( ) ( ) ( )3 2 2y x m 1 x 2m 3m 2 x m 2m 1= − + − − + + − đồng biến trên nửa )2; +


1. ( ) ( )3 2y m 1 x 3 m 1 x 2mx 4= + − + + + đồng biến trên khoảng có độ dài không

nhỏ hơn 1.

2. ( )3 2y x mx m 36 x 5= − + + − nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 .

3. 3 2y x 3x mx m= + + + nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 2

Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm . Áp

dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình ,bất

phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình .

Phương pháp . Biến đổi phương trình ,bất phương trình đã cho thành dạng

f(x) = g(m) , f(x) > g(m),…Sau đó lập bảng biến thiên của f(x) , dựa vào bảng

biến thiên này sẽ tìm được các giá trị của tham số thỏa yêu cầu của bài toán.

Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ta thấy

• Nếu hàm số y f(x)= liên tục và đồng biến trên D thì :

f(x) f(y) x y= = và f(x) f(y) x y .

• Nếu hàm số y f(x)= liên tục và nghịch biến trên D thì :

f(x) f(y) x y= = và f(x) f(y) x y .




Từ đó gợi cho chúng ta ứng dụng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức

và các bài toán giải phương trình, bất phương trình. Cụ thể ta có các tính chất

sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số y f(x)= liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch

biến) trên (a; b) thì số nghiệm của phương trình : ( )f x k= (trên (a; b) ) không

nhiều hơn một và ( ) ( )f u f v u v= = u,v (a; b) .

Chứng minh: Ta giả sử f là hàm đồng biến trên (a; b)

• Nếu u v f(u) f(v)

• Nếu u v f(u) f(v)

Tính chất 2: Nếu hàm số y f(x)= liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch

biến) ; hàm số ( )y g x= liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên

D thì số nghiệm trên D của phương trình : ( ) ( )f x g x= không nhiều hơn một.

Chứng minh: Giả sử f đồng biến còn g nghịch biến trên D và

0 0 0x D : f(x ) g(x ) = .

* Nếu 0 0 0x x f(x) f(x ) g(x ) g(x) PT:f(x) g(x) = = vô nghiệm

* Nếu 0 0 0x x f(x) f(x ) g(x ) g(x) PT:f(x) g(x) = = vô nghiệm

Vậy 0x x= là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) g(x)= .

Tính chất 3: Nếu hàm số ( )y f x= liên tục và luôn đồng biến ( hoặc luôn

nghịch biến) trên D thì f(u) f(v) u v (u v) u,v D .

Tính chất 4: Cho hàm số y f(x)= liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên khoảng

liên tục ( )a; b . Nếu f(a) f(b)= thì phương trình f '(x) 0= có ít nhất một

nghiệm thuộc khoảng (a; b) .

Chứng minh:

Giả sử phương trình f '(x) 0= vô nghiệm trên (a; b) .

Khi đó f '(x) 0 x (a; b) (hoặc f '(x) 0 x (a; b) ).

Suy ra f(b) f(a) (hoặc f(b) f(a) ).

Điều này trái với giả thiết f(a) f(b)= .

Vậy phương trình f '(x) 0= có ít nhất một nghiệm trên (a; b) .

Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau:

Hệ quả 1: Nếu phương trình ( )f x 0= có m nghiệm thì phương trình f '(x) 0=

có m 1− nghiệm.




Hệ quả 2: Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm đến cấp k liên tục trên (a; b) . Nếu

phương trình (k)f (x) 0= có đúng m nghiệm thì phương trình (k 1)f (x) 0− = có

nhiều nhất là m 1+ nghiệm.

Thật vậy: Giả sử phương trình (k 1)f (x) 0− = có nhiều hơn m+1 nghiệm thì

phương trình (k)f (x) 0= có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giả thiết bài

toán.

Từ hệ quả 2 nếu f '(x) 0= có một nghiệm thì f(x) 0= có nhiều nhất hai

nghiệm.

Chú ý: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình ta thường đi

theo hai hướng sau:

Hướng 1: Đưa phương trình về dạng 0f(x) f(x )= , trong đó y f(t)= là một hàm

số liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên tập đang xét.

Để làm theo hướng này, chúng ta cần nhẩm trước một nghiệm của phương

trình và nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f.

• Để nhẩm nghiệm, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm.

Cụ thể: Để tìm một nghiệm của phương trình f(x) 0= ta thực hiện như sau

Bước 1: Nhập biểu thức f(x) (Dùng phím ALPHA+ X)

Bước 2: Dùng lệnh giải phương trình: SHIFT+CALC (SOLVE) nhập giá trị của

X (nhập giá trị bất kì) =.

• Để nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f, chúng ta cần chú ý

*Tổng hai hàm số đồng biến là một hàm số đồng biến

* Hàm số đối của một hàm số đồng biến là một hàm số nghịch biến.

* Nếu hàm số y f(x)= đồng biến thì ny f(x)= là hàm số đồng biến.

* Nếu hàm số y f(x)= đồng biến và nhận giá trị dương thì hàm số 1

yf(x)

= là

một hàm nghịch biến.

Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) f(v)= , trong đó u,v là các hàm

theo x.

Làm theo hướng ta thường áp dụng khi gặp phương trình chứa hai phép toán

ngược nhau.

Ví dụ 1.3.1 Giải phương trình:

1. 7x 7 7x 6 13+ + − = 2. ( )= − +3

x 1 x 1.

Lời giải.




1. Điều kiện: 6

x7

.

Xét hàm số 6

f(x) 7x 7 7x 6, x7

= + + − f(6) 13 =

Khi đó phương trình có dạng: f(x) f(6)=

Mà 7 7 6

f '(x) 0 x72 7x 7 2 7x 6

= + + −

Nên f(x) f(6) x 6= = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

2. Điều kiện: x 0 .

Xét hàm số ( )= − − −3

y x 1 x 1 xác định trên nửa khoảng ) +0; .

Ta có: ( )= + − 21

y' 3 1 x 0, x 0 y2 x

đồng biến trên nửa khoảng ) +0; .

Do đó, nếu phương trình =y 0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Dễ thấy ( ) = =y 1 0 x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 2.3.1 Giải phương trình:

1. ( )+ − + + =34x x x 1 2x 1 0 Đề thi Cao đẳng năm 2012

2. 3 33 3 2 2x 2 x 1 2x 1 2x+ + + = + +

Lời giải.

1. Điều kiện: −1

x2

.

Phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( )+ = + + +33

2x 2x 2x 1 2x 1 ( )

Xét hàm số: ( ) = +3f t t t trên .

Ta có: ( ) = + 2f ' t 3t 1 0, t , suy ra ( )f t đồng biến trên

Do đó ( ) +

= + == +

2

x 0 1 52x 2x 1 x

44x 2x 1

2. Nhận xét đặc điểm các biểu thức dưới dấu căn ta thấy ở mỗi vế biểu thức

dưới dấu căn hơn kém nhau 1. Do đó nếu ta đặt đặt 3u x 1,= + 3 2v 2x= thì

phương trình đã cho trở thành: 3 33 3u 1 u v 1 v f(u) f(v)+ + = + + = .

Trong đó3 3f(t) t 1 t= + + , có:

2

3 23

tf '(t) 1 0

(t 1)= +

+

nên f(t) là hàm đồng biến.




Do đó: 2 1f(u) f(v) u v 2x x 1 x 1,x

2= = = + = = −

Vậy phương trình có hai nghiệm:1

x 1,x2

= = − .

Ví dụ 3.3.1 Giải phương trình: 2 23 3(x 1) (5x x ) 3 5x x 3(x 1)+ − − = − − +

Lời giải.

Phương trình đã cho 2 2 3 33 5x x ( 5x x ) 3(x 1) (x 1) − + − = + + + (1)

Điều kiện : 25x x 0 0 x 5− .

Đặt u = 25x x , u 0− và v x 1 ,v 0= + .

Phương trình (1) trở thành : 3 33u u 3v v+ = + (2)

Xét hàm số ( ) 3f t 3t t , t (0; )= + + , khi đó phương trình (2) có dạng

( ) ( )f u f v .=

Ta có 2f '(t) 3 3t 0= + với mọi t (0; ) + nên f(t) đồng biến trên (0; )+

Suy ra (2) u v. =

Do đó (1) 22 2

x 15x x x 1

5x x x 2x 1

−− = +

− = + +

2

x 1 1x 1 x

22x 3x 1 0

− = =

− + =

.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 1

1;2

.

Ví dụ 4.3.1 Giải hệ phương trình:

− − + = + −

+ − + =

3 2 3 2

2 2

x 3x 9x 22 y 3y 9y

1x y x y

2

Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2012

Lời giải.

Trước hết, đây là bài toán cơ bản và có nhiều cách giải ( 15 cách giải ). Trong khuôn

khổ ứng dụng đạo hàm, tác giả giới thiệu đến bạn đọc 3 cách giải đơn giản nhất.

Cách 1: Hệ phương trình cho viết lại:

− − + = + −

− + + =

3 2 3 2

2 2

x 3x 9x 22 y 3y 9y

1 1x y 1

2 2

.




Đặt = −1

u x2

= +1

,v y2

Hệ đã cho thành ( ) ( ) ( )

− − = + − + − +

+ =

3 23 2

2 2

3 45 3 45u u u v 1 v 1 v 1

2 4 2 4

u v 1

Xét hàm ( ) = − −3 23 45f t t t t

2 4 với t 1

Ta có ( ) = − − 2 45f ' t 3t 3t 0

4 với mọi ( ) −t 1;1

( ) ( ) ( ) = + = + + + =2 2f u f v 1 u v 1 v 1 v 1

=

=

v 0

u 1 hay

= −

=

v 1

u 0

Với ( ) =

= − =

v 0 3 1x; y ;

u 1 2 2 Với ( )

= − = −

=

v 1 1 3x; y ;

u 0 2 2

Hệ đã cho có nghiệm là ( )

= − −

3 1 1 3x; y ; ; ;

2 2 2 2.

Cách 2:

Ta có: ( ) ( )− − + = + − − − + = + −3 33 2 3 2x 3x 9x 22 y 3y 9y x 1 12x 23 y 1 12y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − = + − + 3 3

x 1 12 x 1 y 1 12 y 1 1

( )

+ − + = − + + =

2 22 2 1 1 1 1

x y x y x y 22 2 2 2

Từ ( )2 nhận thấy

− − − − −

− + − + +

2

2

1 1 3 1x 1 1 x 1 x 12 2 2 2

1 1 31 1 y 1 y 1y 1 2 2 22

Từ ( )1 , xét ( ) = −3f t t 12t với ( ) ( ) ( ) − = − −2t 2; 2 f ' t 3t 12 0, t 2; 2

(vì ( )− + −x 1,y 1 2;2 ) nên = +x y 2

Thay = +x y 2 vào ( )2 ta được:

( ) ( )+ + − + + = + + =2 2 2 1

y 2 y y 2 y 4 y 8 y 3 02

= − =3 1

y ;x2 2

hoặc = − =1 3

y ;x2 2




Hệ đã cho có nghiệm là ( )

= − −

3 1 1 3x; y ; ; ;

2 2 2 2.

Cách 3:

Ta có hệ đã cho tương đương với:

( ) ( ) ( ) ( ) − − − = + − + − + + =

3 3

2 2

x 1 12 x 1 y 1 12 y 1

1 1x y 1

2 2

Đặt = − = +a x 1,b y 1 ta được hệ:

− = −

+ + − =

3 3

2 2

a 12a b 12b

1 1a b 1

2 2

Từ

− + −

+ + − = − − −

22 2

2

1 3 1 91 a 1 a a

1 1 2 2 2 4a b 11 1 3 92 2

1 b 1 b b2 2 2 4

Xét hàm số ( ) = −3f t t 12t , ta có ( )f t là hàm liên tục trên và

( )= − 2f '(t) 3 t 4 0, với 2 9t

4

Nên từ − = −3 3a 12a b 12b ta có =a b .

Do đó, hệ đã cho

=

= = + + − =

2 2

a b1

a b1 1 2a a2 2

.

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: ( )

= − −

3 1 1 3x; y ; , ;

2 2 2 2.

Ví dụ 5.3.1 Chứng minh rằng phương trình :

2 4 2 5x 1 x 2x 1 x 0+ + − + − = có

đúng một nghiệm.

Lời giải.

Từ phương trình cho suy ra

5 2 4 2 2 2 2x x 1 x 2x 1 x 1 (x 1) 1 x 1= + + − + = + + − .

Xét hàm số ( ) 2 4 2 5f x x 1 x 2x 1 x= + + − + − , khi đó hàm số f liên tục trên

[1; )+ và phương trình (1) có dạng f(x) 0= .




Vì 5

8 10 3 5x x

f(1) 2 1 0

1 1 1 2 1lim f(x) lim x ( 1)

xx x x x→+ →+

= −

= + + − + − = −

nên phương trình

( )f x 0= có nghiệm thuộc (1; ).+

Lại có : 3 4 3

2 2

x 1f '(x) 4x 2x 5x x( 2) x (4 5x) 0

x 1 x 1= + − − = − + −

+ +

với

mọi x [1; ) + . Suy ra hàm số ( )f x nghịch biến trên [1; )+ .

Vậy phương trình ( )f x 0= có đúng một nghiệm.


Bài 1: Chứng minh rằng phương trình:

1. 5x 5x 5 0− − = có nghiệm duy nhất.

2. 5 2x x 2x 1 0− − − = có nghiệm duy nhất.

3. 22x x 2 11− = có nghiệm duy nhất.

4. 5

2

xx 2012 0

x 2+ − =

−

có đúng hai nghiệm dương phân biệt.

Bài 2: Tìm m để phương trình 2 3 2 2(x 2x) 3(x 2x) 4 m 0− − − + + = có nghiệm

Bài 3: Giải hệ phương trình :

1. 3

3

x 2 3y

y 2 3x

+ =

+ =

2. 7 7

5 4

x x y y

4x 5y

+ = +

=


Bài 4: Giải phương trình :

1. 33 2 2x x 10x 2 7x 23x 12− − − = + +

3. 2 3 28 x x 3x 4x 2 0− − + − + =

2. 33 6x 1 8x 4x 1+ = − −

4. 1 1

2x 1 8x 15

+ =− −

5. 2

2

x 3x 18x 6x 1

3x x

− ++ + =

+ 6.

( )2

2

2

2x 2x 42 tan x

x x 1

− + − +=

− + +

với x 0;2

7. 6 4

2

16cos x 2cos xsin x

54 51cos x

+=

− 8. ( )2 23x 2 9x 3 4x 2 1 1 x x 0

+ + + + + + + =

Bài 5: Giải bất phương trình:




1. 2x 3 13

3 2 3 x3 x 3 x

++ + −

− −

3. 5 3x 32 x 1 4 62 65− + + +

2. 3 22x 3x 6x 16 2 3 4 x+ + + + −

4. 3

3

14 2x 18x 19 4 2 0

x− − + −

6. (x 2)(2x 1) 3 x 6 4 (x 6)(2x 1) 3 x 2+ − − + − + − + +

Bài 6:

1. Giải phương trình: 3 3sin 3xsin x cos 3x cos x 04 4

+ + + =

2. Cho n 1+ số thực 1 2 na ,a ,...,a ,a không đồng thời bằng không và n 1+ số

thực 1 2 nb ,b ,...,b ,b . Chứng minh rằng nếu phương trình ( )f x 0= có nghiệm

thì có nhiều nhất là hai nghiệm. Trong đó n

ki i

i 1

f(x) a x b (ax b)=

= + − + và k 2

là số tự nhiên chẵn.


1. 2 2

2x 1 2y 1 x y (1)

x 12xy 9y 4 0 (2)

+ − + = −

− + + =

2. 32(2x 1) 2x 1 (2y 3) y 2

4x 2 2y 4 6

+ + + = − −

+ + + =


1.

2

2

2

2

x x y 1 0

y y z 1 0

z z t 1 0

t t x 1 0

+ − − = + − − =

+ − − =

+ − − =

2.

3 2

3 2

3 2

x y y y 2

y z z z 2

z x x x 2

= + + −

= + + −

= + + −

Bài 9: Giải hệ phương trình : 2 2

sin2x 2x sin2y 2y

x 4xy 5y 5

+ = +

+ + =

Bài 10: Giải hệ bất phương trình : 2

3 2

x 5x 4 0

x 3x 9x 10 0

+ +

+ − −

Bài 11: Cho phương trình ( )3 2x ax bx c 0 a 0+ + + = (1) có ba nghiệm phân

biệt. Chứng minh phương trình sau chỉ có hai nghiệm thực phân biệt. 3 2 2 24(x ax bx c)(3x a) (3x 2ax b)+ + + + = + + (2).

Bài 12: Tìm nghiệm thuộc ( 1; )− + của phương trình : 2 2x sinx x 2

x 1− + = −

+




Vấn đề 4. Xác định tham số để phương trình ,bất phương

trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có nghiệm. Tính chất 1: Số nghiệm của phương trình f(x) g(m)= chính là số giao điểm

của đồ thị y f(x)= và đường thẳng song song với trục Ox y g(m)= .

Tính chất 2:

• Bất phương trình f(x) k có nghiệm trên D khi và chỉ khi

Dk maxf(x) ( Nếu tồn tại

Dmaxf(x) ).

• Bất phương trình f(x) k có nghiệm trên D khi và chỉ khi

Dk min f(x) ( Nếu tồn tại

Dmin f(x) ).

• Bất phương trình f(x) k nghiệm đúng với mọi x thuộc D khi và chỉ khi

Dk min f(x) ( Nếu tồn tại

Dmin f(x) ).

• Bất phương trình f(x) k nghiệm đúng với mọi x thuộc D khi và chỉ khi

Dk maxf(x) ( Nếu tồn tại

Dmaxf(x) ).

Ta thường gặp các bài toán sau

Bài toán 1: Tìm m để phương trình F(x,m) 0= có nghiệm trên D

Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) g(m)= .

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y g(m)=

cắt đồ thị hàm số y f(x)= .

Chú ý: Nếu hàm số y f(x)= liên tục trên a; b thì phương trình f(x) g(m)=

có nghiệm trên a; b khi và chỉ khi: [a;b] [a;b]minf(x) g(m) maxf(x) .

Bài toán 2: Tìm m để phương trình F(x,m) 0= có k nghiệm trên D

Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) g(m)= .

Khi đó phương trình đã cho có k nghiệm trên D khi và chỉ khi đường thẳng

y g(m)= cắt đồ thị hàm số y f(x)= tại đúng k điểm có hoành độ thuộc D.

Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình F(x,m) 0 có nghiệm trên D

Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) g(m) ( hoặc f(x) g(m) )

Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm trên D khi và chỉ khi

Dg(m) maxf(x) (hoặc

Dg(m) min f(x) ) với điều kiện tồn tại

DDmaxf(x) ( minf(x)) .




Bài toán 4. Tìm m để bất phương trình F(x,m) 0 nghiệm đúng với mọi x

thuộc D.

Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) g(m) ( hoặc f(x) g(m) )

Khi đó bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x D khi và chỉ khi

Dg(m) maxf(x) (hoặc

Dg(m) min f(x) ) với điều kiện tồn tại :

DDmaxf(x) ( minf(x)) .

Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài

toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:

* Khi đặt t u(x),x D= , ta tìm được t Y và phương trình f(x,m) 0= (1) trở

thành g(t,m) 0= (2). Khi đó (1) có nghiệm x D (2) có nghiệm t Y .

* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá

trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm u(x) ).

Tóm lại: Khi giải quyết các bài toán về phương trình – bất phương trình liên

quan đến tham số mà ta có thể cô lập tham số về một vế thì ta sử dụng phương

pháp hàm số.

Ví dụ 1.4.1 Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m thì

phương trình thì phương trình 2x 2x 8 m(x 2)+ − = − có hai nghiệm thực

phân biệt.

Lời giải.

Điều kiện: x 2 .

Khi đó phương trình đã cho tương đương với :

( )( )3 2 3 2x 2 x 6x 32 m 0 x 2 x 6x 32 m− + − − = = + − =

Chứng minh : 3 2x 6x 32 m+ − = có đúng 1 nghiệm thực thuộc khoảng (2; )+ .

Xét hàm số: 3 2f(x) x 6x 32= + − , với x 2 2f '(x) 3x 12x 0, x 2 = +

Bảng biến thiên :

x 2 +

f '(x) +

f(x) + 0

Từ bảng biến thiên ta thấy với mọi m 0 thì phương trình f(x) m= có đúng 1

nghiệm x 2 .

Vậy với mọi m 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực.




Ví dụ 2.4.1 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 2mx 1 cosx+ = có

đúng một nghiệm x 0;2

Lời giải.

Ta thấy để phương trình có nghiệm thì m 0 . Khi đó:

Phương trình

2

2 2

xsin

cosx 1 2m 2mx x

2

− = = −

.

Xét hàm số : sin t

f(t)t

= với t 0;4

Ta có: ( )

2 2

cost t tantt.cost sin tf '(t) 0

t t

−−= = với t 0;

4

f(t) là hàm nghịch biến trên 0;4

. Mà: 2 2

f4

=

và

2

2 2t 0

xsin

2 2 8 2lim f(t) 1 f(t) 1 1 x 0;2x

2

→

=

.

Vậy phương trình có đúng một nghiệm x 0;2

2

82m 1 −

2

1 4m

2 − −

.

Ví dụ 3.4.1 Tìm m để bất phương trình 2m x 2x 2 1 x(2 x) 0 − + + + −

có

nghiệm x 0;1 3 +

.

Lời giải.

Đặt 2 2t x 2x 2 (x 1) 1 t [1;2] x 0;1 3 = − + = − + +

Khi đó bất phương trình cho trở thành: 2

2 t 2m(t 1) t 2 m f(t)

t 1

−+ − =

+




Xét hàm số ( )f t trên[1;2] , ta có: 2

2

t 2t 2f '(t) 0 t [1;2]

(t 1)

+ +=

+

Bất phương trình cho có nghiệm ( )x 0;1 3 +

có nghiệm t [1;2]

[1;2]

2m maxf(t) f(2)

3 = = .

Ví dụ 4.4.1 Tìm m để bất phương trình : 2(4 x)(6 x) x 2x m+ − − +

nghiệm đúng x 4;6 − .

Lời giải.

Đặt 4 x 6 x

t (4 x)(6 x) 0 t 5.2

+ + −= + − =

Khi đó bất phương trình trở thành: 2 2t 24 t m t t m 24 − + + + (*).

Yêu cầu bài toán (*) nghiệm đúng t [0;5] .

Xét hàm số 2f(t) t t= + với t [0;5] , ta thấy ( )f t là hàm đồng biến trên 0;5 .

Suy rat [0;5]max f(t) f(5) 30

= = .

Vậy (*) nghiệm đúng t [0;5] m 24 30 m 6 + − .

Ví dụ 5.4.1 Tìm m để hệ phương trình 2x y m 0 (1)

y xy 2 (2)

− + =

+ =

có nghiệm.

Lời giải.

Ta thấy x 0= không là nghiệm của hệ nên

Ta có: 2

y 2

(2) xy 2 y y 4y 4x

y

= − − +=

.

Thay vào (1) ta được: 2y 4y 4 4y 4

y m 0 m f(y)y y

− + −− + = = = (3).

Hệ có nghiệm (3) có nghiệm y 2 . Xét hàm số ( )f y với y 2

Ta có: ( ) ( )= 2

1f ' y 0 f y

y đồng biến trên mỗi khoảng ( ;0) (0;2]− ;

y y 0 y 0

lim f(y) 4; lim f(y) ; lim f(y)+ −→− → →

= = − = + .

Ta có bảng biến thiên:




y − 0 2

f '(y) + +

f(y)

+ 2

4 −

hệ có nghiệm m ( ;2] (4; ) − + .

Ví dụ 6.4.1 Tìm tất cả giá trị của tham số a để hệ x y 3 (1)

x 5 y 3 a (2)

+ =

+ + +

có

nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện x 4 .

Lời giải.

Điều kiện : x,y 0

Đặt t x y 3 t= = − , dox 4

2 t 3y 0

.

Khi đó (2) trở thành: 2 2a t 5 t 6t 12 f(t) + + − + = (3).

Xét hàm số f(t) với t 2;3 , có 2 2

t t 3f '(t)

t 5 t 6t 12

−= +

+ − +

2 2f '(t) 0 t (t 3) 3 (3 t) t 5 = − + = − + (*)

2 2 2 2 2 2 2t (t 3) 3t (3 t) t 5(3 t) 2t 30t 45 0 − + = − + − − + =

phương trình vô nghiệm vì t 2;3


t 2 3

f '(t) +

f(t)

14 3+

5

Hệ có nghiệm (3) có nghiệm[1;2]

t [1; 2] a minf(t) f(2) 5 = = .

Vậy a 5 là những giá trị cần tìm.


Bài 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình : 2x 3 x 3x m 0− + − + =

1. Có đúng 4 nghiệm thực. 2. Có đúng một nghiệm thực dương




Bài 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm

thực phân biệt : 2 3 2 2(x 2x) 3(x 2x) 4 m 0− − − + + = CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình :

1. 22x 1 m x 2x 2+ = − + có nghiệm.

2. 2 1x 4x 1 2mx 3x

2+ − = + + có đúng hai nghiệm

Bài 4: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

1. ( )x x x 12 m 5 x 4 x+ + = − + − 2. 4 2x 1 x m+ − =

3. 2 2tan x cot x m(tanx cotx) 3 0+ + + + =

Bài 5: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình :

1. 2x 3 6 x 2x 6x 36 m+ + − + − + + = có nghiệm.

2. 23x 1

2x 1 mx2x 1

−= − +

− có nghiệm.

Bài 6:

1. Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực : 4 42x 2x 2 6 x 2 6 x m+ + − + − = .

2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

2 2 4 2 24 x 4 x 16 x m 4 x 4 x m − + + = − + − + + +

Bài 7: Cho phương trình: 5 2 4x 34x a (x 1)(x 33) 1− + − − − =

1. Giải phương trình khi a 64= .

2. Tìm a để phương trình có nghiệm.

Bài 8: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình :

1. 2m 2x 9 x m+ + có nghiệm.

2. 2x 1 (2m 1) x 2x 5+ + − + có nghiệm.

3. 3 2 2x 6x 9x m 5m 0− + + + nghiệm đúng với mọi 1x

4. 3 2

6 4 2 4 2

8x 4x2 m 0

x 3x 3x 1 x 2x 1+ + −

+ + + + + có nghiệm.

5. ( )( ) ( )21 2x 3 x m 2x 5x 3+ − + − − nghiệm đúng 1

x ; 32

−

6. 2 2x 3x 2 m x 3x 4− + − − + nghiệm đúng với mọi x 3 .




Bài 9: Tìm m để hệ bất phương trình 2

3 2

x 3x 4 0

x 3x x m 15m 0

− −

− − −

có nghiệm

Bài 10: Tìm k lớn nhất thỏa mãn:

( )k sin x cos x 1 sin 2x cos x sin x 2; x+ + + + +

Vấn đề 5. Chứng minh bất đẳng thức . Phương pháp.

Cách 1: Biến đổi BĐT đã cho về dạng f(x) > 0 ( < 0,..) với x D .

Lập bảng biến thiên của f(x) với x D . Từ đó suy ra điều phải chứng

minh .

Cách 2: Biến đổi BĐT đã cho về dạng f(a) f(b.

Nếu a b thì chứng minh f(x) là hàm số đồng biến trên [b;a].

Nếu a b thì chứng minh f(x) là hàm số nghịch biến trên [a;b].

Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có dạng f(x) k, x a;b

* Nếu k f(a)= ta chứng minh hàm f đồng biến trên ( )a; b

* Nếu k f(b)= ta chứng minh hàm f nghịch biến trên ( )a; b .

Ví dụ 1.5.1 Chứng minh rằng : sin x x x 0;2

.

Lời giải.

Xét hàm số f(x) x sin x, x 0;2

= −

, ta cần chứng minh f(x) 0 f(0), =

0 x2

điều này gợi ý cho ta chứng minh f(x) đồng biến trên 0;

2

.

Thật vậy: f '(x) 1 sin x 0 x 0; ,f(x) 0 x2 2

= − = =

f(x) đồng biến trên 0; f(x) f(0) 02

=

đpcm.

Ví dụ 2.5.1 Chứng minh rằng : 33x x 2− , x 2;2 − ..

Lời giải.

Xét hàm số ( ) 3f x 3x x= − , x 2;2− .

Ta có: ( ) 2f ' x 3 3x= − , trên khoảng ( )2;2 :− ( )f ' x 0= x 1= − hoặc x 1= .




Từ bảng biến thiên, ta kết luận: hàm số đồng biến trên đoạn 1;1− và nghịch

biến trên các đoạn 2; 1 ,− − 1;2 .

Vì ( ) ( ) ( )2 f 1 f x f 2 2− = − − = , x 2; 1 − −

Nên ( ) ( ) ( )2 f 1 f x f 1 2− = − = , x 1;1 − .

( ) ( ) ( )2 f 2 f x f 1 2− = = , x 1;2 .

Từ đó suy ra ( )f x 2 , x 2;2 − .

Ví dụ 3.5.1 Cho x,y là các số không âm thoả mãn x y 1+ = .Tìm giá trị lớn

nhất và nhỏ nhất của biểu thức yx

Py 1 x 1

= ++ +

.

Lời giải.

( )22 2 x y 2xy x yy x x y y 2 2xyx

Py 1 x 1 xy x y 1 xy x y 1 2 xy

+ − + ++ + + −= + = = =

+ + + + + + + + +

(vì x y 1+ = ). Đặt

2x y 1

t xy 0 t2 4

+ = =

.

Xét hàm số ( )2 2t 1

f t , t 0;2 t 4

− =

+ . Ta có ( )

( )2

6 1f ' t 0, t 0;

42 t

− =

+

Vậy ( ) ( ) ( )1 1

0 t 0 t4 4

1 2min f t f , max f t f 0 1

4 3

= = = =

2minP

3= khi

1x y

2= = và maxP 1= khi x 0,y 1= = hoặc x 1,y 0= =

Ví dụ 4.5.1 Biết rằng ( )x;y là nghiệm của hệ: 2 2 2

x y m

x y m 6

+ =

+ = − +

. Tìm giá trị

lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức ( )F xy 6 x y= − + .

Lời giải.

1. Từ hệ 2 2 2

x y m

x y m 6

+ =

+ = − +

tương đương với 2

x y m

x.y m 3

+ =

= −




Theo định lý Vi – et đảo thì x,y là các nghiệm của phương trình

2 2t tu m 3 0− + − = ( ) . Phương trình ( ) có nghiệm khi 0 nghĩa là

23m 12 0− + 2 m 2− .

Với 2 m 2− thì hệ cho có nghiệm ( )x;y và 2F m 3m 6= − −

Dễ thấy, F' 2m 3 0= − với mọi ( )m 2;2 − suy ra F nghịch biến trên đoạn

2;2− và ( )F 2 13− = , ( )F 2 11= − .

Vậy, minF 11= − khi m 2= và maxF 13= khi m 2= − .

Ví dụ 5.5.1 Biết rằng ( )x;y là các nghiệm của hệ phương trình :

2 2 2

x y m

x y m 4m 6

x 0,y 0; 0 m 2

+ =

+ = − +

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ( nếu có ) của :

( ) ( )3

T x y 6xy x y 39m 2= + + + + +

Lời giải.

Đặt S x y,P xy= + = . Hệ cho trở thành: S m

P 2m 3

=

= −.

Hệ có nghiệm khi phương trình: 2t mt 2m 3 0− + − = có nghiệm

1 2t , t 0 3... m 2

0 m 2 2

thỏa bài toán.

Khi đó ( )3 3 2T m 6 2m 3 m 39m 2 m 12m 21m 2= + − + + = + + +

Ta xét hàm số ( ) 3 2f m m 12m 21m 2= + + + trên đoạn 3

; 22

.

Ta có ( ) ( )2 3f ' m 3m 24m 21 0, m ; 2 f m

2

= + +

luôn đồng biến trên

đoạn 3

; 22

và ( )3 511

f , f 2 1002 8

= =

Vậy: ( )3

m ;22

511minT min f m

8

= = khi 3

m2

= và ( )3

m ;22

maxT max f m 100

= = khi

m 2= .





Bài 1: Chứng minh rằng:

1. sina sin b

a b với 0 a b

2

3. 2x

1 cosx2

− với x

2. tan x sin x 3x x 0;2

+

4. 33sinx 6tanx 2tan x 9x 0+ + − x 0;2


1. 3x

sin x x x 0;3! 2

−

2.

2 4x xcosx 1 x 0;

2 24 2

− +



1. 3 tan x 3

1 2cos x x cos x(4 cos x)

+ − với x 0;

2

2. sin(cosx) cos(sin x) x 0;2

3. a b c (a b c) − + − + với a b c 0, 1 .

4. 4(sina sin b) 6(tana tan b) 10(a b) 0− + − − − , biết a, b là hai số thực thuộc

0; , a b2

.

5. Cho a,b,c là ba số thực thỏa điều kiện a 6 , b 8 , c 3 − . Chứng minh

rằng 4 2x 1,x ax bx c − − .

Bài 4: Cho các số thực x,y,z 0;2

. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 123

sin x sin y sin z x y z+ + − − − −

Bài 5:

1. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4

4

a b c d abcdA

a b c dabcd

+ + += +

+ + +

2. Cho x, y, z là 3 số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y z 3+ + = .

Chứng minh rằng: xyz xy yz zx 4+ + + .




3. Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện x 1,y 1 và ( )3 x y 4xy+ = .

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 3 3

2 2

1 1P x y 3

x y

= + + +

.

Bài 6:

1. Chứng minh rằng : nếu tam giác ABC thoả mãn hệ thức

1 13cosA cosB cosC

cosA cosB cosC 6+ + + =

+ +thì tam giác ABC đều.

2. Cho tam giác ABC có A B C . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

x sin A x sin BM 1.

x sinC x sinC

− −= + −

− −


Documents

s3-ap-southeast-1.amazonaws.com · 2018-06-25 · Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Group: CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ỨNG