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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA

MISS YORMA RIVERA M.

GUIA DE APRENDIZAJE LEYES DE KEPLER

Antes de iniciar el estudio de las leyes de Kepler, debemos recordar el concepto de elipse. Es una figura geométrica simétrica que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (F1 y F es constante

AO = A’O semieje mayor BO = B’O semieje menor OF = OF’= distancia desde el centro de la elipse a los focos

La ecuación de la elipse es: 𝒙𝟐

𝒂𝟐+

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

La excentricidad (e) es una medida de la forma de la elipse. Es la razón entre OF / OA. Su valor es siempre menor que 1. Si e es cercano a 1 la elipse es alargada; si es cercana a 0 tiene forma similar a una circunferencia. Johannes Kepler llegó a trabajar con Tycho Brahe un año antes que éste muriera y heredó todas sus observaciones planetarias. Realizó estudios matemáticos y cálculos de estas observaciones. De esta manera, logró enunciar las tres leyes que describen el movimiento planetario.

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Primera ley de Kepler “Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en uno de esos focos” El Sol y los planetas están unidos gravitacionalmente y la fuerza de atracción disminuye a medida que aumenta la distancia entre ellos. Los planetas tienen órbitas casi circulares, por lo tanto, e tiende a 0 y los cometas tienen órbitas muy excéntricas. Segunda ley de Kepler o ley de las áreas “El radio vector que une al Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales”

El radio vector es la línea que une al Sol con el planeta que gira en la órbita elíptica. A medida que el planeta recorre su órbita, el radio vector cubre un área dentro de la elipse en un intervalo de tiempo t. Esta ley es consecuencia de la ley de conservación del momento angular, propiedad que tienen los sistemas de rotación. El punto más alejado del Sol dentro de la órbita se llama afelio y el más cercano perihelio. En esos puntos la velocidad es perpendicular al radio vector; la segunda ley se puede expresar también de la siguiente forma:

𝒗𝟏 ∙ 𝒓𝟏 = 𝒗𝟐 ∙ 𝒓𝟐 Donde v1 y v2 son la velocidad orbital en el perihelio y en afelio, respectivamente; r1 y r2 a la distancia del planeta al Sol.

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Ejemplo 1 La Tierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol. La distancia al Sol en el perihelio es 1,475x108 km y en el afelio 1,526x108 km, la velocidad en este punto es 29,1 km/s. Calcular la velocidad de traslación de la Tierra en el perihelio Datos r1 = 1,475x108 km r2 = 1,526x108 km v2 = 29, 1 km/s v1 = x v1r1 = v2 r2 x 1,475x108 km = 29, 1 km/s 1,526x108 km x = 4, 48644x109 km2/s 1,475x108 km x = v1 = 30,4165 km/s Respuesta: La velocidad en el perihelio es 30, 4165 km/s Tercera ley de Kepler “El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita elíptica” Esta ley se basa en datos de Tycho Brahe y la expresó en base a una constante de proporcionalidad K

𝑻𝟐 =𝟒𝝅𝟐𝒂𝟑

𝑮𝑴 o bien

𝑻𝟐

𝒂𝟑= 𝑲

Donde T es periodo y a es el radio promedio de la órbita (se puede considerar como el semieje mayor ya que las órbitas son de excentricidad muy pequeña).

Periodo orbital y semieje mayor de los planetas del sistema solar

Planeta Periodo T (años) Semieje mayor a (x106 km)

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno

0, 24 0, 62 1, 00 1,88

11, 86 29, 34 84, 25 165, 7

58,05 108,45 150,00 228,60 780,45

1427, 70 2883, 90 4529, 70

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Ejemplo 2 Teniendo en cuenta que la distancia Venus-Sol es 0, 723 U.A., calcular un año de Venus medido en años terrestres. Datos: D V -S = 0, 723 U. A. TT = 1 año RT = 1 U. A. TV = x Nota: U. A. Unidad astronómica es la distancia entre la Tierra y el Sol Usando la tercera ley de Kepler tendremos…

𝑻𝟐

𝒂𝟑= 𝑲

Recuerda que la constante es la misma para cada planeta; por lo tanto, la ecuación queda:

TT2 TV

2 dT

3 dV

3

(1 año)2 X2

(1 U. A.)3 (0, 723U. A.)3

1 año2 0, 377933 U. A.3 X2 1 U. A.3 0, 377933 año2 = X2 0, 6147626 año = TV Respuesta: El periodo de Venus es 0, 614 años terrestres

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EJERCICIOS

1. En una zona del espacio existe un campo gravitatorio cuya intensidad

es 0, 2 N/kg. Calcular la fuerza en N, que actúa sobre una masa de 1 tonelada situada en dicha zona.

2. Un hombre pesa, en la superficie terrestre, 800 N. Si fuera transportado

a una altura igual que el radio de la Tierra. Calcular su masa y su peso en unidades del sistema internacional.

3. El periodo de Mercurio en torno al Sol es del orden de ¼ del año terrestre. El radio medio de la órbita de

Plutón en torno al Sol es cien veces mayor que el radio medio de Mercurio. Calcular el valor aproximado del periodo de Plutón en torno al Sol, medido en años terrestres.

4. Un planeta X recorre en el perihelio, un área A, en un tiempo t. ¿Qué área recorre en el afelio, en un tiempo

de 4t?

5. La masa de Marte es 6, 4x1023 kg y la del Sol 2x1030 kg. Calcular la fuerza, en Newton, con que el Sol atrae a Marte, si la distancia entre ellos es 2,3x108 km.

6. En cierta zona del espacio existe un campo gravitatorio de intensidad desconocida. Sin embargo, se sabe que

la fuerza que actúa sobre una masa de 1 tonelada, debida a dicho campo, es 500 N. ¿Cuál es el valor del campo gravitatorio en la zona?. Expresar el resultado en unidad S. I.

7. La intensidad del campo gravitatorio terrestre (aceleración de gravedad: g) es inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia (d). Graficar d v/s g para R y 2R.

8. La Tierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol. a) ¿Dónde es mayor la velocidad de la Tierra, en el afelio o en el perihelio? ¿Por qué? b) ¿Dónde es mayor la cantidad de movimiento de la Tierra en el perihelio o en el afelio? ¿Por qué?

9. ¿Cómo se llama el plano que define el Sol y la órbita que describe la Tierra alrededor de él? (INVESTIGA) 10. Basándose en la segunda ley de Kepler, ¿cómo es la velocidad de la Tierra en su movimiento alrededor del

Sol?

11. Dos masas M y m, se encuentran a una distancia d y se atraen con una fuerza F. ¿Qué sucede con la fuerza entre ellas si se duplica la primera masa, se cuadruplica la segunda y se duplica la distancia de separación entre ellas?

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