TEKNILLINEN KORKEAKOULU ERIKOISTYÖTeknillisen fysiikan ja matematiikan osasto Mat-2.108Systeemi- ja operaatioanalyysin laboratorio 5. syyskuuta 2002

Savitzky-Golay-temporaaliltterin MonteCarlo-optimointi ja evaluointi fMRI

perfuusiomittauksissa

Tero Tuominen51687J

Sisältö1 Johdanto 3

2 Johdatus perfuusio-fMRI:n 4

3 Perfuusio-fMRI:n teoria 53.1 CBV, CBF ja MTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Dekonvoluointi ja SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Savitzky-Golay-ltteri 8

5 Käytetyt menetelmät 105.1 Simulointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Evaluointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Tulokset 14

7 Pohdinta ja johtopäätökset 15

1 JohdantoFunktionaalinen magneettiresonanssikuvaus (fMRI, engl. functional MagneticResonance Imaging) tarjoaa nopean ja ei-invasiivisen keinon monien fysiologis-ten prosessien ja ennen kaikkea patologisten tilojen havainnointiin. Erityisenmielenkiinnon kohteena on aivojen verenkierto, jonka pienetkin muutokset ovatyleensä patofysiologinen merkki. Kliinisen mielenkiinnon takaa se, että aivove-renkierron häiriöt ovat maailmanlaajuisesti toiseksi yleisin kuolinsyy. Kliinisentutkimuksen yksi perustavanlaatuinen tavoite on kyetä ennustamaan infarktoi-tuvan aivoalueen lopullinen tilavuus ja sijainti mahdollisimman nopeasti oirei-den ilmaannuttua, käytännössä siis jo silloin kun hoitoon hakeutuneesta oireile-vasta potilaasta otetaan päivystyskuvat.

Käytännössä fMRI kuten ylipäänsä MRI:kin on aina tasapainottelua sig-naali-kohinasuhteen (SNR, engl. Signal to Noise Ratio), sekä spatiaalisen- jatemporaalisen resoluution välillä. Data on poikkeuksetta kohinaista. Etenkinperfuusiomittauksissa1, joissa tarvitaan yhtäaikaa sekä korkea spatiaalinen et-tä temporaalinen resoluutio, taustakohina aiheuttaa mitattuun dataan pahojahäiriöitä. Kohinan suodattaminen on erittäin hankalaa, ja ylipäänsä havaitutmuutokset pieniä.

Perfuusiomittausten teoria kulminoituu kolmeen ajasta riippuvaan funktioon,joista kaksi mitataan ja kolmas lasketaan. Mitattavat funktiot ovat ns. valtimo-(AIF, Ca(t)) ja kudoskäyrät (CV OI(t)). Näistä etenkin jälkimmäinen liki hukkuukohinaan. Kolmas funktio, ns. residy R(t) dekonvoluoidaan edellä mainituista.Residy on perfuusioteorian kannalta hyvin oleellinen, sillä sen eri ominaisuudetkuvaavat tarkasteltavan kohdan verisuoniston rakenteen ja toiminnan oleellisiaparametreja. Tarkemmin teoria, funktiot ja ns. perfuusioparametrit selitetäänmyöhemmin kappaleissa 2 ja 3.

Tässä työssä tutkittiin mahdollisuuksia soveltaa ns. Savitzky-Golay-ltteriämitattujen kudosaikasarjojen CV OI(t) suodattamiseen. Ko. ltterillä on kaksivapaata parametriä, joita tyydymme nimittämään niiden englannin kielisillä ni-millä frame ja degree. Näiden parametrien valinnalla on merkittävä osuus ltte-rin toiminnassa, ja väärällä valinnalla tuloksia voidaan vääristää dramaattises-ti. Tässä tulosten riippuvuutta parametrien valinnasta tutkitaan Monte Carlo-simulointien avulla, ja samalla etsitään paras parametriyhdistelmä kunkin per-fuusioparametrin laskemiseksi.

Tämä raportti on järjestetty niin, että ensin kappale 2 tarjoaa lyhyen jakäytännönläheisen johdannon perfuusiomittauksiin ja fMRI:hin ylipäänsä. Tar-kempi asiaan liittyvä teoria ja mm. mainitut perfuusioparametrit esitelläänkappaleessa 3. Erityistä huomiota kiinnitetään nykyään vallalla olevaan SVD-dekonvoluointimenetelmään, jota tässäkin työssä käytetään. Sitten kappale 4esittelee lyhyesti Savitzky-Golay-ltterin teorian ja ominaisuudet. Kappalees-sa 5 käydään läpi itse työ, siinä tehdyt valinnat ja menetelmät sekä selitetäänperiaatteet, joiden mukaan saatuja tuloksia arvioidaan. Kappaleessa 6 saaduttulokset sitten esitellään, ja lopuksi kappaleessa 7 analysoidaan niiden merki-tystä lähinnä käytännön perfuusio-fMRI:n kannalta.

Laajahkoa aihetta on pyritty rajoittamaan käytännölliseksi siinä mielessä, et-tä suoritetuissa simuloinneissa olosuhteet on pidetty kiinnitettyinä vastaamaan

1Perfuusio engl. perfusion (latin. perfundere vaellella) läpivirtaus, läpi valutus, läpi valu-minen | nesteen virtaaminen elimen läpi (sen verisuonien kautta); (esim. sydän-keuhkokoneellaylläpidetty) verenkierto [9]

3

mahdollisimman hyvin todellisissa fMRI-mittauksissa vallitsevia2. Esimerkiksisignaali-kohinasuhde on kiinnitetty, eikä tulosten riippuvuutta sen vaihteluistaole tutkittu. Tällaisen menettelyn hintana on luonnollisesti tulosten yleistet-tävyyden rajoittuminen. Pääpiirteittäin näin tehdyt rajoitukset ovat kuitenkinsellaisia, etteivät ne rajoita tuloksia käytännön kannalta.

2 Johdatus perfuusio-fMRI:nMRI perustuu nimensä mukaisesti ydinmagneettiseen resonanssiin. Tutkitta-vaan kappaletta, olkoot se sitten vaikka potilas, stimuloidaan radiotaajuuksi-silla pulsseilla (RF-pulsseilla) ja magneettisten gradienttikenttien muutoksilla.Yhdessä nämä muodostavat ns. pulssisekvenssin. Stimuloitu kappale lähettäämitattavan signaalin, ja tämä MR-signaali on paikannettavissa tietyyn avaruu-den alueeseen. Pulssisekvenssille ominaisista parametreista tärkeimmät ovat TEja TR, eli Time of Echo ja Time of Repeat. TR tarkoittaa lyhykäisyydessäänsitä aikaa jonka välein pulssisekvenssi toistuu.

Perfuusiokuvantamisessa käytetään tyypillisesti EPI (Echo Planar Imaging[6]) sekvenssiä. Se kuuluu ns. nopeisiin sekvensseihin, jotka mahdollistavat sa-man alueen kuvaamisen suhteellisen korkealla aikaresoluutiolla. EPI siis tuottaaaikasarjan kuvia, jotka on otettu TR:n välein.

Perfuusiokuvantamisen kulmakivenä on ns. DSC-MRI (engl. Dynamic Suscep-tibility Contrast - MRI), jonka perusajatuksena on suonensisäisesti annetun var-joaineboluksen3 etenemisen tarkastelu ajan mukana (engl. bolus tracking). Var-joaine heikentää kudoksesta saatavaa MR-signaalia ohittaessaan tarkasteltavankohdan. Tämä signaalimuutoksen kuvaava aikasarja on kaikki tieto mitä koh-teesta saadaan.

Kustakin avaruuden kohdasta saatu tieto muokataan intensiteettikuviksi.Kuvamatriisi on tyypillisesti kokoa 256 × 256, joten se sisältää 65536 pikseliä,ja kussakin pikselissä edelleen on oma mitattu aikasarjansa. Lisäksi tällaisiapoikkileikkauksia kerätään yleensä useita. EPI sekvenssiä käytettäessä näidenpoikkileikkausten välimatka on kuitenkin niin suuri, että vokselin sijasta puhu-taan pikseleistä. Vaikka merkittävä osa pikseleistä kuvaa ilmaa eikä suinkaankudosta, asettaa datan suuri määrä vaatimuksia analyysissa käytättävien me-netelmien laskennalliselle tehokkuudella.

Tärkeimmät aivoverenkiertoa kuvaavat parametrit ovat veritilavuus CBV(engl. Cerebral Blood Volume), veren virtaama CBF (engl. Cerebral BloodFlow) ja keskimääräinen läpäisyaika MTT (engl. Mean Transit Time). CBVmääritetään suoraan kudoksen varjoainekonsentraation CV OI(t) alle jäävänäpinta-alana. CBF:n ja MTT:n määrittäminen taas vaatii tietoa kudoksen vas-kulaarirakenteesta ja verenkierron ominaisuuksista. Näitä kuvaavan funktion,ns. residyfunktion määrittäminen on perfuusiokuvantamisen keskeisin ongelma-kenttä.

AIF estimoidaan mittausdatasta etsimällä jonkin suuren aivovaltimon (ta-vallisesti MCA, Middle Cerebral Artery) kohdalta selviä, suuria ja aikaisia in-tensiteettimuutoksia. Robustin ja kohinattoman AIF:n saamiseksi se yleensä

2Standardina on pidetty HYKS:ssä olevan Siemens Vision-MRI-yksikön perfuusiomittauk-sissa yleensä vallitsevia olosuhteita.

3Bolus savi, savipallo; suuri ruokapala, suupala; suuri pilleri; esim. verisuoneen nopeastiruiskutettu suurehko lääke- tai varjoaine-erä [9]

4

0 10 20 30 40−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ca(t)

aika [TR]

kons

entr

aatio

(di

men

siot

on)

0 10 20 30 40−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

CVOI

(t)

aika [TR]ko

nsen

traa

tio (

dim

ensi

oton

)0 5 10 15

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08R(t)

aika [TR]

Kuva 1: Vasemmalla erään potilaan Ca(t). Punaisilla ympyröillä merkittyalku- ja loppukohdat. Loppukohta valitaan aina niin, ettei varjoaineen uudel-leenkierto tule mukaan. Keskellä Saman potilaan eräs kudoskäyrä CV OI(t)(sininen) ja sama käyrä ltteröitynä (punainen) Savizky-Golay-parametreilladegree 5 ja frame 15. Oikealla Filtteröimättömästä (sininen) ja ltteröidystä(punainen) CV OI(t):stä dekonvoluoidut residyt. Huomattavaa on ltterin ai-heuttama CBF:n aleneminen (CBF= max R(t))

muodostetaan valitsemalla kolmesta viiteen lupaavalta vaikuttavaa pikseliä, jakeskiarvoistamalla näistä saadut aikasarjat. Näin saadun AIF:n oletetaan jat-kossa kuvaavan koko aivoverenkierron varjoaineen input-funktiota.

VOI (engl. Volume of Interest) on nimensä mukaisesti mielenkiinnon koh-teena oleva, ts. tarkasteltava tilavuus. Korkeamman temporaalisen resoluutionnimissä kolmas spatiaalinen ulottuvuus kuitenkin yleensä uhrataan. Näin ollentässä yhteydessä ei ole mielekästä puhua tilavuudesta, vaikka ko. lyhennystäyleistettävyyssyistä käytetäänkin. Vast'edes VOI viittaakin poikkeuksetta tar-kasteltavaan pikseliin.

Lopuksi tulee vielä huomata, että saadut tulokset eivät ole kvantitatiivisiä.Ne kuvaavat ainoastaan edellä mainittujen parametrien arvoja suhteessa toisiin-sa. Käytännössä tämä kuitenkin riittää pitkälle, sillä patologisten alueiden erot-taminen tällaisistakin kartoista on arvokasta. Perfuusio-fMRI:n kvantioiminenon tutkimuksen kohteena, ja tällöin on entistäkin oleellisempaa saada eliminoi-tua kohinan vaikutus mitattuun dataan. Vast'edes esim. kuvaajissa konsentraa-tio on dimensioton. Samoin vast'edes kuvissa vaaka-akselilla on TR:n monin-kerta, ts. aikasarjan kuvan numero. Muunnos kuvan numeroista sekunneiksi onsuoraviivainen, numero kerrotaan TR:llä.

3 Perfuusio-fMRI:n teoria3.1 CBV, CBF ja MTTCBV on konsentraatiokäyrän (kudoskäyrä, CV OI(t)) alle jäävä pinta-ala. Se las-ketaan boluksen saapumisajasta sen ensimmäisen kierron loppuun asti. Määri-telmällisesti

CBV ∝∫ ∞

o

CV OI(t) dt, (1)

5

vaikkakin käytännössä integroinnin alaraja on sama kuin AIF:n alku ja ylärajaon AIF:n loppu. Näin vältetään kohinaisen baselinen ja varjoaineen uudelleenkierron vaikutus. Verrannollisuus ∝ jätetään tässä kuitenkin huomiotta, ja kor-vataan yhtäsuurudella.

Suoneen injektoidun varjoaineboluksen konsentraatiota kudoksessa ajan funk-tiona voidaan mallintaa alla esiteltävien funktioiden avulla (mm. [1], [3]). Yh-dessä ne muodostava perustan teorialla, joka kuvaa aivo-veriestettä (engl. BloodBrain Barrier, BBB) läpäisemättömien varjoaineiden kinetiikan. Ehjä aivo-ve-rieste ei päästä lävitseen varjoainetta, ts. varjoaineen diuusiota verenkierrostaaivojen kudosnesteeseen ei tapahdu. Näin ollen varjoaine on rajoittunut ainoas-taan suljetun verenkiertoelimistön sisään.

Arterial Input Function (AIF) Ca(t): Varjoainekonsentraatio VOI:ta huol-tavassa valtimossa ajanhetkellä t. Huomattavaa on, että sekä intensiteettiäettä konsentraatiota kuvaavia käyriä kutsutaan monesti samalla nimelläAIF, joskin Ca(t) viittaa aina konsentraatioon.

Konsentraatio VOI:ssa CV OI(t): Varjoainekonsentraatio VOI:ssa ajanhetkel-lä t. Käytännössä VOI on tarkasteltava pikseli/vokseli.

Läpäisyaikojen jakauma h(t): Myös nimellä kuljetusfunktio (engl. transportfunction). VOI:n läpäisyaikojen (engl. transit time) todennäköisyystiheys-funktio, ts. läpäisyaikojen jakauma.

Residyfunktio R(t): Varjoaineen yhä VOI:ssa oleva suhteellinen osuus siihentulleesta ainemäärästä. Määritelmällisesti R(t) = [1 − ∫ t

0h(τ)dτ ], joten

teoriassa limt→0 R(t) = 1 ja limt→∞R(t) = 0.

Tietyssä mielessä oleellisin näistä on viimeinen eli residy R(t). Se kuvaa mittaus-tulosten takana olevan vaskulaarirakenteen ja verenkierron ominaisuudet siinämäärin kuin se menetelmällisesti on mahdollista.

Edellä mainittujen funktioiden avulla kudoskonsentraatio CV OI(t) voidaanesittää Ca(t):n ja residyn R(t) konvoluutiona [1]

CV OI(t) = FV OI

∫ t

0

Ca(τ) R(t− τ)dτ, (2)

missä FV OI tarkoittaa virtaamaa VOI:ssa, ts. CBF VOI:ssa.CBF:n laskemiseksi yhtälö 2 on dekonvoluoitava (engl. deconvolve), ts. siitä

on ratkaistava eksplisiittisesti termi FV OI R(t). Luonteeltaan 2 on Fredholminensimmäisen lajin integraaliyhtälö, ja näin ollen hyvin epästabiili, ts. inni-tesimaaliset muutokset CV OI :ssa saattavat aiheuttaa huomattavia muutoksiaR(t):ssä ( [1], [8]). Dekonvoluointia käsitellään tarkemmin kappaleessa 3.2

Teoriassa CBF saataisiin nyt termistä FV OI R(t) ajanhetkellä t = 0, muttakäytännössä mitattu AIF kärsii sekä viivästymisestä (engl. delay) että hajaan-tumisesta (engl. dispersion) mittauskohtansa ja edempänä kudoksessa olevanVOI:n välillä [3]. Tämä näkyy dekonvoluoidun käyrän leviämisenä ja sen sijaan,että CBF:ksi valittaisiin termin FV OI R(t) arvo ajanhetkellä t = 0, valitaankinsen maksimi, ts. CBF= max R(t) [1].

Viimeinen oleellinen parametri MTT lasketaan yksinkertaisesti CBV:n jaCBF:n osamääränä

MTT =CBV

CBF. (3)

6

Normaalille terveelle kudokselle MTT on 3-4 sekunnin luokkaa.Vaikkakin MTT on oleellinen ja keskeinen perfuusioparametri, se ei ole mer-

kittävä tässä työssä. Sitä vastoin keskitymme sen laskennassa käytettäviin kah-teen muuhun parametriin.

3.2 Dekonvoluointi ja SVDDekonvoluutiotekniikkaa on tutkittu paljon, ja yleisesti soveliaimpana tekniik-kana pidetään SVD:tä (engl. Singular Value Decomposition) [1]. Kyseisen kal-taista matriisihajotelmaa varten yhtälö 2 kirjoitetaan diskreettiin matriisimuo-toon. Olettamalla niin Ca kuin CV OI :kin mitatuiksi tasaisin väliajoin ajanhet-killä t1, t2, ..., tN , missä ti − ti−1 = ∆t (käytännössä siis ∆t = TR), yhtälö 2voidaan kirjoittaa muotoon

CV OI(tj) =∫ tj

0

Ca(τ)R(t− τ)dτ ≈ ∆t

j∑

i=1

Ca(ti) R(tj − ti), (4)

missä skalaarikerroin FV OI on jätetty toistaiseksi huomiotta. Edelleen 4 voidaankirjoittaa matriisimuotoon

∆t

Ca(t1) 0 · · · 0Ca(t2) Ca(t1) · · · 0

... . . . ...Ca(tN ) Ca(tN−1) · · · Ca(t1)

·

R(t1)R(t2)

...R(tN )

=

CV OI(t1)CV OI(t2)

...CV OI(tN )

(5)

eli lyhyemminA · R · FV OI = C, (6)

missä ∆t on jo upotettu matriisiin A ja FV OI taas huomioitu.Yleisesti kokoa m× n olevan matriisin M singulaariarvohajotelma on

M = U · Σ ·V>, (7)

missä U on kokoa m×m ja V kokoa n× n. Lisäksi sekä U että V ovat ortogo-naalisia niin, että pätee U> ·U = V> ·V = I, missä I on identiteettimatriisi.Keskellä oleva Σ on samaa kokoa kuin M, ja sen alkiot ovat nollia lukuun otta-matta alkioita, joiden paikkaindekseille i ja j pätee i = j. Nämä alkiot ovat ns.singulaariarvot σin

i=1, ja [Σ]i,i = σi. Ne on järjestetty laskevaan järjestyksenniin, että [Σ]i,i ≥ [Σ]i+1,i+1 ∀ i ∈ 1, . . . , n−1. Neliömatriisin A tapauksessa Σon siis diagonaalinen, ja sekä U että V ovat myös molemmat neliömatriiseja.

Neliömatriisin A käänteismatriisi A−1 saadaan nyt helposti sen singulaa-riarvohajotelmasta

A−1 = V · [ diag1/σi ] ·U>. (8)Jos A on liki singulaarinen, se ilmenee siten, että sen pienimmät singulaariarvotovat hyvin pieniä σ ¿ 1. Tällöin 8:n mukaan diagonaalille tulee hyvin suurialukuja 1/σ À 1, ja tilanteesta tulee epävakaa.

Keskeinen idea SVD:n käytössä on se, että se regularisoi lähes singulaaris-ta matriisia A. Tietyssä mielessä sen voi ajatella poistavan mitatusta datastakohinaa [1]. Tämä tapahtuu siten, että hajotelman 7 avulla laskettava kään-teismatriisi 8 muodostetaankin niin, että tiettyä rajaa pienempiä singulaariar-voja vastaavat diagonaalialkiot 1/σ merkitään nolliksi. Optimaalinen raja on0, 2×maxσi eli 20% suurimmasta ominaisarvosta [1].

7

Konvoluutiomenetelmänä SVD ei kuitenkaan ole täydellinen, joskin toistai-seksi yleisesti hyväksytty. Se aiheuttaa residyyn aina pienen systemaattisen vir-heen. Kuvassa 3 sivulla 11 (oikealla alhaalla) näkyy selvästi residyn vääristymi-nen myös kohinattomasta datasta dekonvoluoituna.

4 Savitzky-Golay-ltteriKohinaisen käyrän tasoittaminen, ts. ltteröinti, perustuu käyrän kunkin pisteenkorvaamiseen uudella jollakin tavoin viereiset pisteet huomioon ottaen lasketullaarvolla. Tyypillinen muoto on

g(ti) =nO∑

n=−nV

cnf(ti+n), (9)

missä tasoitettava käyrä on f ja tulos g. Luvut nV ja nO kertovat kuinka montapistettä vasemmalle ja oikealla tarkkailtavan kohdan uutta arvoa laskettaessaotetaan huomioon. Kertoimet cn ovat ltterille ominaiset, esimerkiksi tavalliseenpainottamattomaan keskiarvoon perustuvassa ltterissä cn = 1/(nV + nO + 1).Mikäli nV = nO niin ltteriä sanotaan symmetriseksi.

Savitzky-Golay-ltteri (vast'edes SG-ltteri) toimii perustavanlaatuisesti eri-tavoin kuin perinteinen keskiarvoistava ltteri. Liikkuvaan keskiarvoon perustu-vat ltterit vääristävät tulosta aina kun tasoitettavan käyrän toinen derivaattaon nollasta eroava, esimerkiksi lokaaleissa maksimikohdissa tällainen tasoituspienentää maksimiarvoa. Parhaimmillaankin tällainen tasoitus säilyttää vainkohdekäyränsä nollannen ja ensimmäisen momentin, siis pinta-alan ja maksimi-kohdan.

Savitzky-Golay-ltterin idea onkin siinä, että kaavassa 9 kertoimet cn vali-taan niin, että myös korkeammat momentit säilyvät. Tämä tehdään siten, ettäkäyrän f kussakin kohdassa ti otetaan huomioon nV pistettä vasemmalle janO pistettä oikealle ja sovitetaan pienimmän neliösumman menetelmällä (PNS)näiden kautta kulkeva halutun asteinen polynomi g. Käyrän tarkasteltavassakohdassa ti käyrä saa uudeksi arvoksi g(ti) näin saadun polynomin arvon tässäkohdassa.

Tyydymme tarkastelemaan symmetristä Savitzky-Golay-ltteriä n = nV =nO. Tällaisessa tapauksessa ltterillä on siis kaksi vapaata parametria: sovitet-tavan polynomin asteluku degree ja sovituksessa huomioon otettavien pisteidenlukumäärä frame (= 2n+1). Tästä seuraa välittömästi yleiset rajoitusehdot, joi-den mukaan käytettävien pisteiden lukumäärä n on aina pariton ja sovitettavanpolynomin aste korkeintaan n−2.

Tarkemmin Savitzy-Golay-ltterin teoriaa käsitellään esimerkiksi viittees-sä [10]. Tässä tyydymme vain mainitsemaan, että PNS-sovitus edellyttää line-aarisen yhtälöryhmän ratkaisemista. Joissakin tapauksissa ko. ryhmä saattaa ol-la laskentatarkkuuden rajoissa singulaarinen, eikä käytössä oleva tarkkuus enääriitä sen ratkaisemiseen. Esimerkki tämän seurauksista on kuvassa 4 vasemmal-la alhaalla. Yleensä singulaarisuusongelmia tulee, kun sekä frame että degreeovat yhtäaikaa suuria, ts. vapaita parametreja rajoittaa liki yhtä monta ehtoa.Samaisessa kuvassa on myös muilla SG-parametreilla ltteröityjä käyriä. Kaik-kien niiden pohjana on sama kohinainen kudoskäyrä. Eri parametrien vaikutuson hyvin erilainen.

8

0 5 10 15 20 25 30 35 40

−1

0

1

2

3

4

5degree 3; frame 5

aika [TR]0 5 10 15 20 25 30 35 40

−1

0

1

2

3

4

5degree 3; frame 23

aika [TR]

0 5 10 15 20 25 30 35 40

−1

0

1

2

3

4

5degree 27; frame 31

aika [TR]0 5 10 15 20 25 30 35 40

−1

0

1

2

3

4

5degree 10; frame 39

aika [TR]

Kuva 2: Eräs kudoskäyrä CV OI(t) suodatettuna neljällä eri SG-parametriyhdistelmällä. Yhdistelmä on mainittu kunkin kuvan otsikossa.Punainen katkoviiva on alkuperäinen CV OI(t), sininen sen ltteröity versio.Huomataan, että pieni frame saa ltteröidyn käyrän seuraamaan alkuperäistäsangen tarkkaan (kuva vasemmassa ylänurkassa), kun taas suuri frame odote-tusti pyöristää käyrän muotoja paljonkin (oikean puoleiset kuvat). Huonollayhdistelmällä saadaan aikaan pahaa jälkeä, kuten kuva oikealla ylhäällä osoit-taa. Vasemmalla alhaalla olevassa kuvassa PNS-sovitus johtaa käytännössäsingulaariseen yhtälöryhmään, eikä käytetty laskentatarkkuus enää riitä.

9

5 Käytetyt menetelmät5.1 SimulointiSavitzky-Golay-ltterin vapaat parametrit optimoitiin Monte Carlo-simuloinnilla.Seuraavat vaiheet selitetään alla yksityiskohtaisemmin, mutta pääpiirteissäänkäytetty menetelmä voidaan jakaa kuuteen vaiheeseen:

1. Generoidaan simuloitu kudoskäyrä CV OI(t).

2. Lisätään CV OI(t):hen gaussinen kohina, ltteröidään se ja dekonvoluoi-daan yhtälö 2, jolloin saadaan CV OI(t):ta vastaava residy. Suoritetaandekonvoluointi myös ltteröimättömälle datalle.

3. Lasketaan kohinaisesta ja ltteröidyistä CV OI(t):stä myös CBV.

4. Toistetaan vaiheet 2 ja 3 n kertaa, saadaan n residyä ja CBV:tä, ltteröi-tyinä ja ilman.

5. Evaluoidaan saadut residyt R(t) ja CBV:t.

6. Toistetaan vaiheet 2-5 kaikilla SG-parametreille.

Kautta simuloinnin SG-parametreja lukuunottamatta kaikki muut vapaatmuuttujat kiinnitettiin tyypillisille tasoilleen. Tyypillisen kudoksen signaali-in-tensiteetti ennen varjoaineen saapumista (ns. baseline-intensiteetti) S0 kiinnitet-tiin tasolle 320, samoin signaali-kohinasuhde SNR sai arvon 30. Perfuusiopara-metrien kohdalla valinnat olivat CBF= 0, 1 ja MTT= 3s, sekä pulssisekvenssilleTE= 0, 075s ja TR= 1, 5s.

Ensimmäisessä vaiheessa pyritään simuloimaan mahdollisimman realistinenkudoskäyrä CV OI(t). Tämä tapahtuu siten, että ensin luodaan simuloitu val-timokonsentraatio Ca(t) vastaamaan mahdollisimman hyvin tyypillistä reaa-limaailman vastinettaan. Perinteisesti Ca(t) kuvataan gammavarianttifunktio-na [1]

Ca(t) =

a(t− t0)be−t/c kun t > t00 kun t ≤ t0

(10)

missä vapaat parametrit a, b ja c asetetaan niin, että funktio vastaa todellisuut-ta. HYKS:ssa olevan Siemens Vision-magneettikuvauslaitteen ja siellä käytössäolevien menetelmien tuottamaa keskimääräistä Ca(t):ta vastaten parametrienarvoiksi asetettiin a = 230, b = 7, 4 ja c = 1, 1, lisäksi boluksen saapumisajaksivalittiin t0 = 12. Tulee huomata, että tarkasteltavan funktion muodosta johtuu,että kaavassa 10 käytetty t0 on suurempi, kuin kohta ta, jossa Ca(t):n käytän-nössä katsotaan alkavan. Näin saadusta funktiosta poimittiin sitten arvot TR:nvälein vastaten todellista aikaresoluutiota. Tulos näkyy kuvassa 3 vasemmallaylhäällä. Simuloidun käyrän alku- ja loppukohdiksi valittiin ta = 10 ja tb = 21.

Residyn R(t) simuloinnissa tehtiin yleinen valinta ja sen muodoksi valittiineksponentiaalisesti laskeva käyrä, ts. muotoa

R(t) = e−t/MTT . (11)

Tässäkin reaalista aikaresoluutiota vastaten käyrältä poimittiin pisteitä TR:nvälein. Tulos näkyy kuvassa 3 oikealla ylhäällä.

10

0 10 20 30 40

0

5

10

15

simuloitu Ca(t)

0 5 10 15 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1simuloitu R(t)

0 10 20 30 40

0

5

10

15

simuloitu CVOI

(t) = Ca(t)⊗R(t)

0 5 10 15 20−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Dekonvoloidut R(t):t

Kuva 3: Simuloinnissa käytetyt funktiot ja esimerkin omainen dekonvoluutio-tulos. Normaalista käytännöstä poiketen tässä Ca(t) on valittu hyvin pitkäksi,eikä sitä ole katkaistu heti selvän piikin jälkeen kuten normaalisti varjoaineenuudelleenkierron välttämiseksi tehdään.Ylhäällä vasemmalla Simuloitu Ca(t)TR:n aikaresoluutiolla. Varjoaineen uudelleenkiertoa ei ole simuloitu. Ylhäälläoikealla Simuloitu eksponentiaalinen R(t) TR:n aikaresoluutiolla. Käytännössäresidy ei siis ole näin pitkä. Alhaalla vasemmalla Em. konvoluutiona lasket-tu kudoskäyrä CV OI(t) = Ca(t) ⊗ R(t) (sininen) ja sama käyrä kohinan lisää-misen jälkeen (punainen). Alhaalla Oikealla SVD:llä dekonvoluoidut käyrät.Sinisessä on käytetty kohinatonta kudoskäyrää, punaisessa kohinaista. Kohinanvääristävä vaikutus on selvä, mutta samoin on itse SVD:nkin aiheuttama syste-maattinen virhe.

11

Lopuksi kudoskäyrä CV OI(t) generoitiin yksinkertaisesti konvoluoimalla kes-kenään Ca(t) ja R(t) diskreetissä muodossaan yhtälön 5 mukaisesti.

Toisessa vaiheessa kudoskäyrään CV OI(t) lisätään gaussinen kohina. Oikeansignaali-kohinasuhteen saamiseksi konsentraatiokäyrä CV OI(t) on kuitenkin en-sin muunnettava vastaamaan alkuperäistä MR-signaalia. Oletamme signaali-intensiteetin laskun4 ja varjoainekonsentraation välille lineaarisen riippuvuu-den, jolloin voidaan osoittaa, että kudoskonsentraation CV OI(t) ja signaali-intensiteetin S(t) välinen riippuvuus saa muodon [1]

S(t) = S0 · e−CV OI(t)·TE , (12)

missä S0 on tyypillinen kudoksen signaali-intensiteetti ilman varjoainetta. Nytintensiteettikäyrän S(t) kuhunkin pisteeseen ti lisätään normaalijakautunut sa-tunnaisluku ε odotusarvolla µ = 0 ja keskihajonnalla σ. Siis ε ∼ N(0, σ2). Kes-kihajonnan σ arvo määräytyy käytetyn SNR:n mukaan, ja sen arvo saadaansuoraan SNR:n määritelmästä

SNR =S0

σ. (13)

Täten σ = S0/SNR = 12, 8. Näin saatu kohinainen signaali-intensiteetti S(t)muutetaan sitten vielä takaisin konsentraatiokäyräksi CV OI(t), jossa täten siison gaussinen kohina ennalta määrätyllä signaali-kohinasuhteella. Muunnos ta-pahtuu ratkaisemalla CV OI(t) muunnoksesta 12, eli

CV OI(t) =−1TE

lnS(t)S0

. (14)

Seuraavaksi saatu käyrä ltteröidään SG-ltterillä, ja dekonvoluoidaan SVD:llä.Vertailun vuoksi sama tehdään myös ltteröimättömälle kudoskäyrälle. Näinsaadaan määritettyä residyt sekä ltteröitynä että ilman ja SG-ltterin vaiku-tuksen arvoiminen mahdollistuu.

Kolmannessa vaiheessa ainoastaan suoraviivaisesti lasketaan CBV integroi-den yhtälön 1 mukaisesti. Vakiolla skalaaminen jätetään huomiotta, ja verran-nollisuus korvataan yhtäsuuruudella. Integrointi suoritetaan trapetsisäännöllä,ts.

CBV =12

k−1∑

i=1

(ti+1 − ti)(CV OI(ti+1) + CV OI(ti)). (15)

Integraali lasketaan sekä ltteröidylle että ltteröimättömälle CV OI(t):lle, jol-loin ltterin vaikutus CBV:hen tulee näkyviin. Integrointi siis suoritetaan välin[ ta, tb ] yli.

Vaiheet 2 ja 3 toistetaan n kertaa, ja näin saadut 2 × n residyä ja CBV:tätallennetaan muistiin. Laskentatehon asettamien rajojen puitteissa n sai tässätyössä arvon 6000. Tarkoitusta varten kirjoitetun MATLAB-koodin ajaminenkesti noin 11 tuntia 1,4 GHz:n AMD-prosessorilla.

Seuraavaksi edellä saatu suuri residyjoukko evaluoidaan. Sekä ltteröidystäettä ltteröimättömästä CV OI(t):sta dekonvoluoiduista residyistä lasketaan niinpoikkeamat alkuperäisestä eksponentiaalisesta residystä kuin CBF:kin keskiha-jontoineen. Samoin vertaillaan ltterin vaikutusta CBV:hen. Tästä tarkemminseuraavassa kappaleessa 5.2.

4tarkalleen ottaen ns. poikittaisen palautumisajan muutoksen ∆R2:n

12

Kaikki edellä kuvatut vaiheet toistetaan kaikilla tässä tapauksessa mahdol-lisilla SG-parametrien arvoilla. Toisin sanoen frame käy läpi parittomat arvotkolmesta 41:een ja degree aina kullakin framella yhdestä frame-2 :een.

Lopullinen tavoite on, että näin löydetään optimaaliset SG-parametrit kun-kin perfuusioparametrin määrittämiseksi.

5.2 EvaluointiKuten sanottua, dekonvoluutiomenetelmänä SVD ei ole täydellinen. Se aiheut-taa selvän systemaattisen virheen residyn muotoon. SVD on kuitenkin yleisestihyväksytty dekonvoluutiomenetelmä, ja CBF:n määrityksessä oikein optimoitu-na kelvollinen ([1], [3]). Tietyissä sovelluksissa residyn muodolla ja ennen kaik-kea sen derivaatalla on kuitenkin oleellinen osa [2]. Tällöin on tärkeää kyetäminimoimaan kohinan vaikutus residyn muotoon, ei pelkästään sen maksimiineli CBF:ään.

Dekonvoluoidun residyn ja sen derivaatan yhteensopivuutta ennalta tunne-tun mallin kanssa päätettiin mitata virheiden neliösummalla. Toisin sanoen,merkittäessä ennalta tunnetun käyrän arvoja vi:llä, sekä vastaavasti siihen ver-rattavan käyrän arvoja ui:llä, virheiden neliösumma on

δ2 =k∑

i=1

(ui − vi)2, (16)

missä k on residyn pituus, ts. Ca(t):n pituus aikapisteinä. Edellisen kappaleenalussa mainituin valinnoin k saa tässä arvon t2 − t1 + 1 = 12.

Tämän mitan valinta oli ilmeinen, koska yksittäisten virheiden summassaδ1 =

∑ki=1(ui − vi) yksittäisten pisteiden virheet saattavat olla mielivaltaisen

suuria, mutta silti vastakkaismerkkisinä kumota toisensa. Toisaalta taas yksit-täisten virheiden itseisarvojen summa δ2 =

∑ki=1 |ui − vi| riippuu lineaarisesti

yksittäisistä virheistä eikä näin ollen ole niille kovin herkkä [11].Niin residyjä kuin CBF:kin generoitiin 6000 kappaleen otos simuloidusta ja

kohinalla vääristetystä datasta sekä ltteröityinä että ltteröimättöminä. Tätenjatkossa otoskoko n = 6000.

Ehdoton ja ensisijainen tavoite on ettei ltteröinti aiheuta merkittävää syste-maattista virhettä residyn muotoon. Sekä ltteröimättömästä että ltteröidystädatasta dekonvoluoitujen residyjen odotusarvo R(t) laskettiin suoraan aritmeet-tisena keskiarvona kullekin ajanhetkelle ti.

R(ti) =1n

n∑

j=1

Rj(ti) ∀i ∈ 1, . . . , k (17)

Täten kutakin SG-parametriyhdistelmää vastaava keskimääräinen residy saatiinlaskettua em. kaavalla 17.

Samoin laskettiin otoskeskihajonta kullekin ajanhetkelle ti tarkoituksenamäärittää ltterin vaikutus residyn arvojen kohinasta johtuvaan heilahteluun

σ(ti) =

√√√√ 1n− 1

n∑

j=1

(Rj(ti)− R(ti))2 (18)

13

Se miten hyvin tietyillä SG-parametriella ltteröidystä kudoskäyrästä de-konvoluoitu residy sitten vastaa todellista residyä, arvioitiin siis poikkeamienneliösumman perusteella. Vertailukohtana käytettiin alkuperäistä tunnettua re-sidyä, jota tässä merkitään Ra(t):llä. Tällöin neliösumma on

δ2 =k∑

i=1

(Ra(ti)− R(ti))2. (19)

Samoin arvioitiin residyn derivaatta, joka siis tietyin osin on edellistä oleel-lisempi mitta

%2 =k∑

i=1

(dRa

dt(ti)− dR

dt(ti))2. (20)

Jotta myös keskihajonnoista saatiin vastaava vertailukelpoinen mitta kokotutkittavan käyrän matkalle, laskettiin samalla periaatteella myös aikapisteitei-den ti keskihajontojen summa

ΩR =k∑

i=1

σR(ti), (21)

missä σR(ti) on residyn keskihajonta ajanhetkellä ti. Sama tehtiin myös residynderivaatan keskihajonnoille σd(ti), joiden summaa merkitään Ωd:llä.

SG-ltterin vaikutusta CBV:hen arvioitiin samoin. Tiettyjä SG-parametrejavastaavista n CBV:stä laskettiin tavallinen keskiarvo odotusarvon estimaatiksi.Samoin sille laskettiin otoskeskihajonta. Samat laskut toistettiin myös CBF:lle.

6 TuloksetHyvänä yhteenvetona saaduista tuloksista on kuva 4 sivulla 17. Siinä on esitettyintensiteettikuvana kaikkien tarkesteltujen SG-parametriyhdistelmien tuottama(PNS) yhteensopivuus simuloidun ja kohinan lisäämisen jälkeen dekonvoluoidunresidyn ja sen derivaatan välillä. Havaitaan, että yhteensopivuus kasvaa degreenkasvaessa (ts. neliösummat δ2 ja %2 pienenevät), lukuunottamatta kuvissa esiin-tyvää tummaa juovaa. Juovassa neliösummien arvot laskevat samalle tasolle joissakin tapauksissa allekin kuin korkeimmilla degreen arvoilla. Sama juovanäkyy tarkemmin kuvassa 5 sivulla 18.

Kuvassa 4 näkyy aivan oikeassa ylänurkassa korkeilla framen ja degreen ar-voilla myös SG-ltterin PNS-sovituksessa ratkaistavan yhtälöryhmän singulaa-risuuden vaikutus. Tilanne karkaa käsistä, ja tuloksena on ltteröidyn käyränhallitsematon heittelehtiminen (kts. myös kuvan 2 vasen alareuna sivulla 9).

Kuvasta 5 nähdään edelleen keskihajontojen summien ΩR ja Ωd laskevanpäinvastaiseen suuntaan, kuin neliösummat. Toisin sanoen mitä parempi yh-teensopivuus alkuperäisen residyn tai sen derivaatan kanssa, sitä suurempi kes-kihajonta. Komromissille tarjoutuu kuitenkin kerrassaan erinomainen paikkaneliösumma-kuvien tummassa juovassa, jossa siis saavutetaan liki sama neliö-summien taso, kuin suurimmilla mahdollisilla degreen arvoilla, joskin selvästipienemmin keskihajonnoin.

Residyn neliösummien δ2 globaali minimi on saavutettaan SG-parametreilladegree 32 frame 35. Se ei suinkaan ole kuvissa näkyvässä tummassa juovassa,

14

vaan SG-parametriavaruuden reunalla. Sen arvo on δ2min = 3, 2301·10−4. Tällöin

keskihajontojen summa taas nousee arvoon ΩR = 0.0134, kun juovassa samallaframen arvolla se olisi pienimmillään 0, 0081.

Residyn derivaatan neliösummien %2 globaali minimi sitä vastoin osuu juo-vaan, SG-parametrit ovat degree 10 frame 39 ja arvo %2

min = 4, 7496 · 10−4.Neliösumman arvo on tällöin Ωd = 0.0032.

Kuvassa 5 on nähtävissä kolmen eri framen (35, 37 ja 39) poikkileikkaus.Tumma juova näkyy niissä selvänä laskuna suunnilleen degreen arvoilla 9 ja10. Kuvassa 4 näkyy sama ilmiö selvemmin; juova siirtyy korkeammille degreenarvoille framen kasvaessa. Residyn derivaatan neliösumma laskee juovassa lt-teröimättömän neliösumman alle, mikä ainakin PNS-mielessä tarkoittaa sitä,että ltteröinti saa ko. käyrän toistumaan paremmin, kuin ilman ltteriä olisimahdollista. Vastaavaa ei kuitenkaan tapahdu itse residyn neliösummille. Jokatapauksessa ero ovat hyvin hyvin pieniä.

Filtterin vaikutus CBV:hen ja CBF:ään paljastui suurimmaksi osaksi epäe-dulliseksi. Kuvassa 7 sivulla 20 on näkyvissä framen 37 CBV ja CBF keskiha-jontoineen. Jo SVD itsessään aiheuttaa CBF:n laskun, ja SG-ltteri pahentaasitä monesti entisestäänkin. Kuvassa näkyvä tilanne toistuu kaikilla muillakinframen arvoilla liki analogisena. Degreen arvolla 7 kuitenkin esiintyy poikkeus,sillä tässä kohdin CBF toistuu sekä ltterillä että ilman liki samana keskihajon-nan pudotessa liki puoleen. Parametreilla degree 7 frame 37 ltteröitynä CBFsaa arvon 0, 0933, kun taas ilman ltteriä CBF=0, 0902. Ero on pieni, mutta oi-keaan suuntaan, sillä alkuperäinen CBF oli 0, 1. Keskihajonta putoaa 0, 0127:stä0, 0075:een, eli n. 41%.

CBV:n kohdalla mitään vastaavaa ei löydy. Kuten kuvasta 7 nähdään, CBVkyllä liikkuu ilman ltteriä saadun arvon molemin puolin, mutta keskihajontaei varteen otettavissa kohdin ole juurikaan laskenut.

Keskihajontojen summille ΩR ja Ωd löytyy luonnollisesti myös globaali mini-mi. Nämä kuitenkin sattuvat hyvin pienille degreen arvoille kuten kuva 4 antaaymmärtääkin. Tämä tuhoaa residyn ja sen derivaatan perusteellisesti, eikä ko.tulosta voida pitää mielekkäänä.

7 Pohdinta ja johtopäätöksetSavitzky-Golay-ltteri ei tuonut mukanaan dramaattisia muutoksia, ja sen nyttodennetut vaikutukset olivat odotetun kaltaisia. SVD:llä on jo itsessään kohi-naa poistava vaikutus ja dekonvoluutiomenetelmänä se toistaa residyn päällisinpuolin kelvollisesti. Filtteröinnillä saavutettiin parhaimmillaan pieni parannusresidyn derivaatan toistuvuudessa PNS-mielessä. Itse residyn kohdalla vastaa-vaa parannusta ei löytynyt, vaikkakin hyvin lähelle alkuperäisiä arvoja pääs-tiinkin. CBV:n toistuvuuteen ltterillä oli odotettuakin pienempi vaikutus, jasuurimmaksi osakseen vieläpä tuloksia heikentävä. Jälkiviisaana tosin voidaantodeta, että luonnollisesti käyrän alle jäävän pinta-alan odotusarvo ei juuri muu-tu gaussisen kohinan lisäämisen jälkeen. CBV:n keskihajonnan laskun pienuuskuitenkin yllätti. CBF:n toistuvuudelta ei odotettu paljoakaan, onhan se keskei-simpänä perfuusioparametrina ollut tärkein huomion kohde jo SVD:n raja-arvoaoptimoitaessa [1]. Kuitenkin tietyillä SG-parametreilla CBF:n toistuvuus paranijonkin verran vieläpä niin, että keskihajonta putosi 41%.

Näiden tulosten valossa ja työssä tehtyjen oletusten vallitessa SG-ltteri pa-

15

rantaa tuloksia CBF:n määrityksessä parametrein degree 7 frame 37. Samoinresidyn derivaatan toistuvuus paranee parametreilla degree 10 frame 39. Mui-den perfusioparametrien kohdalla vastaavia parannuksia ei löydetty, ja on to-dettava, että mainituissakin tapauksissa erot ltteröimättömään versioon olivatpieniä.

Residyn derivaatan toistuvuus siis kyllä paranee PNS-mielessä, mutta kutentässä mielessä optimaalisella SG-parametriyhdistelmällä ltteröidysta kuvaajas-ta (kuva 6 sivulla 19) nähdään, tästä huolimatta derivaatan muoto huononee.Siinä oleva SVD:n aiheuttama systemaattinen virhe korostuu entisestäänkin.Muutos on pieni, mutta nähtävissä. Täten on oikeutettua kyseenalaistaa PNS-mitan mielekkyys ainakin tässä käytetyssä muodossa.

Tutkittujen parametrien parannukset sattuvat poikkeuksetta eri SG-para-metrien arvoille. Filtteröinnin tarkoitushan oli alun perin kaivaa kohinasta esiinkudoskäyrän CV OI(t) todellinen ja alkuperäinen muoto. Tällöin tuntuisi luon-nolliselta olettaa, että optimaaliset SG-parametrit määräytyisivät yksikäsittei-sesti, ts. olisivat kaikille tapauksille samat. SVD:n aiheuttamat vääristymät kui-tenkin vievät pohjan tältä ajatukselta, sillä SVD määrää dekonvoluoidun resi-dyn käyttäytymisen nähtävästi enemmän verrattuna kudoskäyrän kohinaan kuinsuoralta kädeltä olisi osannut ennakoida. Joka tapauksessa eri perfuusiopara-metrien optimikohtien löytyminen eri SG-parametriavaruuden kohdista asettaantiukemmat vaatimukset simulointitulosten yleistettävyydelle.

Selvän ja kattavan käsityksen saamiseksi Savitzky-Golay-ltterin toiminnas-ta tositilanteesta lienee paikallaan toistaa simuloinnit kaikilla kliinisesti ja tek-nisesti varteenotettavilla parametreilla. Ennen kaikkea tulosten riippuvuus al-kuperäisen simuloidun residyn muodosta tulisi kartoittaa. Myös yhä suurempiaotoskokoja on syytä harkita, sillä ennen varsinaista tulokset tähän työhön an-tanutta MATLAB-koodin ajoa sitä ajettiin testausmielessä pienemmillä n:n ar-voilla. Tällöin havaittiin vielä varsin suurillakin otoksilla esimerkiksi kuvassa 5esiintyvän käyrän tasoittumista. Ei ole syytä olettaa, etteikö muillekin vastaa-ville käyrille olisi löydettävissä entistäkin sileämpiä, so. tarkempia estimaatteja.

Myös tulosten riippuvuutta SNR:stä olisi syytä tutkia lähemmin. Lienee kui-tenkin oikeutettua esittää sivistynyt arvaus, että SNR:n laskiessa SG-ltteripääsee yhä enemmän oikeuksiinsa. Ainakin keskihajontojen voi odottaa laske-van enemmän.

Kaikki edellä mainittu antaa viitteitä siitä, että enemmän kuin ltteröimällä,perfuusiomittausten tarkkuutta olisi mahdollista parantaa dekonvoluutiomene-telmän kehittämisellä. SVD kyllä tuottaa oikean suuntaisia tuloksia, ja eten-kin oikein optimoituna on CBF:n määrittämisessä hyvä, mutta etenkin residynmuotoon se aiheuttaa pahoja virheitä. Savitzky-Golay-ltterin voi odottaa pää-sevänsä todella oikeuksiinsa vasta kelvollisen dekonvoluutiomenetelmän kanssa.

16

filt. R(t):n neliösummat

degree

fram

e

filt. R(t):n std.

degreefr

ame

filt. dR(t)/dt:n neliösummat

degree

fram

e

filt. dR(t)/dt:n std.

degree

fram

e

Kuva 4: Neliösummat ja keskihajonnat degreen ja framen funktiona. Mitä kirk-kaampi pikseli, sitä suurempi arvo. Erityisen mielenkiintoinen on neliösummienkuvaajissa esiintyvä tumma juova. Matriisien oikeassa ylänurkassa näkyvät täy-sin kirkkaat pikselit, johtuvat ltteröinnin epäonnistumisesta liian singulaarisenyhtälöryhmän vuoksi. Vasemmalla ylhäällä Residyn neliösummat δ2 (kaa-va 19). Oikealla ylhäällä Residyn keskihajontojen summa ΩR (kaava 21). Va-semmalla alhaalla Residyn derivaatan neliösummat %2 (kaava 20). Oikeallaalhaalla Residyn derivaatan keskihajontojen summa Ωd.

17

0 10 20 30

4

6

8

10

12

14

x 10−4

degree

R(t

):n

neliö

sum

ma

R(t): neliösummat

frame 35frame 37frame 39ei filt.

0 10 20 30

4

6

8

10

12

14

x 10−4

degree

dR(t

)/dt

:n n

eliö

sum

ma

dR(t)/dt: neliösummat

frame 35frame 37frame 39ei filt.

7 8 9 10 11 12

3

3.5

4

4.5

5x 10

−4

degree

R(t

):n

neliö

sum

ma

yo:n suurennos

7 8 9 10 11 12

4.7

4.8

4.9

5

5.1

5.2

5.3x 10

−4

degree

dR(t

)/dt

:n n

eliö

sum

ma

yo:n suurennos

Kuva 5: Sekä residyn että sen derivaatan neliösummat (kaavat 19 ja 20) degreenfunktiona kolmelle eri framelle 35 (turkoosi), 37 (punainen) ja 39 (sininen). Vaa-kasuora violetti katkoviiva on ltteröimättömästä datasta laskettu neliösumma.Alemmissa kuvissa on ylempien kuvien suurennos. Huomataan, että degreenarvoilla 9 ja 10 residyn derivaattojen neliösummat ovat pienempiä kuin ilmanltteriä lasketut. Näissä kohdissa ko. SG-parametreillä ltteröitynä residyn de-rivaatta siis toistuu PNS-mielessä paremmin kuin ilman ltteriä. Ero on kui-tenkin hyvin pieni. Derivaatan neliösummien globaali minimi saavutetaan SG-parametreilla degree 10 frame 39.

18

0 2 4 6 8 10 12

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

filt− ja ei−filt−R(t)

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

12

x 10−3 keskihajonnat

filt.R(t):n std.ei−filt.R(t):n std.

0 2 4 6 8 10 12

−0.025

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

filt− ja ei−filt− dR(t)/dt

2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

x 10−3 keskihajonnat

filt.dR(t)/dt:n std.ei−filt.dR(t)/dt:n std.

degree 10, frame 39

Kuva 6: Residy (ylemmät kuvat) ja sen derivaatta (alemmat kuvat) keskiha-jontoinen SG-parametreilla degree 10 frame 39. Vasemman puoleisten kuvientaustalla näkyy alkuperäinen simuloitu residy ja sen derivaatta. SVD:n aiheut-tama dekonvoluutiovirhe on huomattava. Vasemman puoleisissa kuvissa on lt-teröidystä (sininen) ja ltteröimättömästä (punainen) datasta lasketun residynkeskihajonta ajan funktiona. Filtteröinti laskee keskihajonnan parhaimmillaanalle puoleen alkuperäisestä. Vaikka kyseessä on SG-parametriavaruuden globaa-li minimi residyn derivaatan neliösummalle %2, huomataan että ltteröinti itseasiassa korostaa SVD:n aiheuttamaa virhettä. Erityisen selvästi tämä näkyyderivaatassa ajanhetkellä 6.

19

0 5 10 15 20 25 30 350

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

degree

CB

F &

kes

kiha

jont

a

CBF ja keskihajonta; frame 37

0 5 10 15 20 25 30 35

0

0.5

1

1.5

2

2.5

degree

CB

V &

kes

kiha

jont

a

CBV ja keskihajonta; frame 37

Kuva 7: CBf (ylhäällä) ja CBV (alhaalla) keskihajontoineen degreen funktionakiinnitetylle framelle 37. Tulokset toistuvat samoina myös muilla framen arvoil-la. Sininen käyrä on ko. parametri ltteröidytä datasta laskettuna, punainentaas ltteröimättömästä. Vastaavien värein erottuvat myös katkoviivoin kuva-tut keskihajonnat. Alkuperäinen simuloitu CBF oli 0,1. Sekä ilman ltteriä,että sen kanssa tästä arvosta jäädään liki aina. [dokumentoitu [1]] Ainoastaandegreellä 7 päästään parempaan CBF:ään (nuoli). Tällöin keskihajonta liki puo-littuu. Filtteröimättömänä CBV toistuu odotusarvoltaan oikein, joskin pienelläkeskihajonnalla. Filtteri joko pienentää tai suurentaa sen arvoa, eikä aiheutajuurikaan muutosta keskihajontaan.

20

Viitteet[1] Østergaard L, Weissko RM, Chesler DA, Gyldensted C, Rosen BR. High

Resolution Measurement of Cerebral Blood Flow using Intravascular TracerBolus Passages. Part 1: Mathematical Approach and Statistical Analysis.Magn Reson Med 1996;36:715725.

[2] Østergaard L, Chesler DA, Weissko RM, Sorensen AG, Rosen BR. Model-ling Cerebral Blood Flow and Flow Heterogenity From Magnetic ResonanceResidue Data. J Cereb Blood Flow Metab 1999;19:690699.

[3] Calamante F, Thomas DL, Pell GS, Wiersma J, Turner R. Measu-ring Cerebral Blood Flow Using Magnetic Resonance Imaging Techniques.J Cereb Blood Flow Metab 1999;19:701735.

[4] Fisel CR, Ackerman JL, Buxton RB, Garrido L, Belliveau JW, Rosen BRmBrady TJ. MR Contrast Due to Microscopically Heterogenous MagneticSusceptibility: Numerical Simulations and Applications to Cerebral Physio-logy. Magn Reson Med 1991:17;248356.

[5] Weissko RM, Zuo CS, Boxerman JL, Rosen BR. Microscopic Suscep-tibility Variation and Transverse Relaxation: Theory and Experiment.Magn Reson Med 1994;34:601610.

[6] Stehling MK, Turner R, Manseld P. Echo-Planar Imaging: Magnetic Re-sonance Imaging in a Fraction of a Second. Science 1991:254;4350

[7] Dowsett DJ, Kenny PA, Johnston RE. The Physics of Diagnostic Imaging.Chapman & Hall, 1998

[8] Guenther RB, Lee JW. Partial Dierential Equations of Mathematical Phy-sics and Integral Equations. Dover, 1996

[9] Nienstedt W, Rautiainen E, Pernaa M, Salmi U (toim.) Lääketieteen termitDuodecim, 1999

[10] Press WH. Numerical Recipies in C: the Art of Scietic ComputingCambridge University Press, 1992

[11] Karttunen H. Datan käsittely CSC -Tieteellinen laskenta Oy, 1994

21