Schedario IL CAMPO ELETTRICO 1

SCHEDARIO: IL CAMPO ELETTRICO 1. IL CAMPO ELETTRICO GENERALITA’ Quando due cariche sono presenti in uno spazio si genera una forza a distanza tra di esse, calcolabile attraverso la legge di Coulomb. Tale interazione si genera non solo in un mezzo ma anche in uno spazio vuoto e sembra avvenire istantaneamente. Una formulazione di questo fenomeno è stata fornita da Michael Faraday basandosi sul concetto di campo di forza. IL VETTORE CAMPO ELETTRICO Per definire il campo elettrico ci si basa sulle seguenti osservazioni: 1à OSSERVAZIONE Se nello spazio è presente una distribuzione di carica questa modifica lo spazio circostante dandogli la proprietà di generare in ogni suo punto una forza su una seconda carica che viene posizionata anch’essa nello spazio circostante 2à OSSERVAZIONE Sulla seconda carica si genera una forza dovuta alle nuove proprietà della zona di spazio in cui essa si trova. 3à OSSERVAZIONE Essendo la forza dipendente dal valore delle cariche, come espresso nella legge di Coulomb, si vuole introdurre una nuova grandezza che risulti indipendente dal valore della seconda carica. 4à OSSERVAZIONE La seconda carica dovrà avere come unico scopo quello di sondare le proprietà dello spazio acquisite dalla presenza della distribuzione di carica e per tale motivo non dovrà essere in grado di modificare né la distribuzione di carica né lo spazio che si intende studiare. Tale carica pertanto è detta carica di prova

Da tali osservazioni definiamo il campo elettrico come:

FE

q=��

��

- LA CARICA DI PROVA– È una carica elettrica puntiforme, abbastanza piccola da non modificare, a causa della sua presenza, il sistema fisico oggetto di studio. Generalmente si considera una carica di prova positiva

Dove: E: campo elettrico [N/C] F: la forza di Coulomb [N]

q: la carica di prova [C]

Le proprietà del campo elettrico

Le proprietà del campo elettrico derivano dalle proprietà della forza di Coulomb: • Proporzionalità tra forza e carica

• Principio di sovrapposizione

• Raggio d’azione infinito (osservazione 1: una distribuzione di carica genera in TUTTI i punti dello spazio un campo elettrico. Essendo il campo elettrico un vettore lo spazio diventa sede di un campo vettoriale cioè in OGNI punto dello spazio si può associare un vettore che indica la forza)

Conoscendo il valore del campo elettrico è possibile determinare la forza che si genera su una carica che viene immessa in tale campo:

F QE=�� ��

Se Q > 0

Se Q < 0

-

E

F Q

+

E

F Q

+ +

Distribuzione di carica

F=2F

+

Q=2Q

+ +

+

+

+

+

Distribuzione di carica

Carica di prova

F Q

Schedario IL CAMPO ELETTRICO 2

2. IL CAMPO ELETTRICO GENERATO DALLE CARICHE PUNTIFORMI IL CAMPO ELETTRICO GENERATO NEL VUOTO DA UNA CARICA PUNTIFORME Il campo elettrico generato in un generico punto P da una carica puntiforme Q posta in un punto O e un vettore di:

MODULO

0 2 20

1

4

Q QE k

r rπε= =

DIREZIONE

la direzione coincide con la congiungente O con P

VERSO

uscente da O se Q > 0 entrante in O se Q < 0

PROMEMORIA:

ε0 = 8,8542x10-12 C2/(N⋅m2) k0 = 8,987x109 N⋅m2/C2 Q è la carica in [C] r è la distanza in [m] di OP E campo elettrico [N/C] IL CAMPO ELETTRICO HA FORMA RADIALE

IL CAMPO ELETTRICO GENERATO NELLA MATERIA DA UNA CARICA PUNTIFORME In maniera analoga si può definire il campo elettrico nella materia:

02 2

0 0

1 1 1

4 4r r r

EF Qq QE

q r q rπε ε πε ε ε

= = ⋅ = =

�����

��

Dove: εr è la costante dielettrica relativa (adimensionale)

Il fattore εr dipende dal materiale nel quale sono situate le cariche. Ad esempio AMBRA 2,8 CARTA 2-3 LEGNO 3-7 PVC 4,5 POLIETILENE 2,3 SILICIO 12 VETRO 5-10 ZUCCHERO 3,3 PETROLIO 2,1 ALCOL ETILICO 24-26 GHIACCIO 75 ACQUA 80 VAPORE ACQUEO 1,00060 ARIA (IN CONDIZIONI NORMALI) 1,00056 Ricordiamo inoltre che il prodotto di ε0 con εr permette di definire una nuova costante ε detta costante dielettrica assoluta: 0rε ε ε=

IL CAMPO ELETTRICO GENERATO NEL VUOTO DA DUE CARICHE PUNTIFORMI Quando in uno spazio sono presenti più cariche puntiformi possiamo sfruttare il principio di sovrapposizione degli effetti. Questo principio permette di calcolare la forza come somma vettoriale delle forze generate dalle singole cariche. Se per semplicità consideriamo solamente due cariche: Se le due cariche sono allineate:

1 2F F F= +�� �� ��

1 2 1 2

0 0 0 02 2 2 21 2 1 2

Q q Q q Q QF k k qk k

r r r r

= + = +

1 2 1 20 0 1 22 2 2 2

1 2 1 2

1Q Q Q QFE qk k E E

q r r q r r

= = + ⋅ = + = +

Analogamente se le due cariche non sono allineate le forze si sommano con la somma vettoriale e così fanno anche i campi elettrici.

3. LE LINEE DEL CAMPO ELETTRICO IL CAMPO ELETTRICO GENERATO NEL VUOTO DA DUE CARICHE PUNTIFORMI Faraday immaginò che un campo vettoriale come il campo elettrico potesse essere rappresentato graficamente attraverso delle linee dette linee di forza o linee di campo. Per determinare queste linee si procede con la seguenti regole:

1. In ogni punto il vettore campo elettrico deve essere tangente alla linea di campo, passare per il punto 2. Il vettore campo elettrico deve avere verso concorde con la linea 3. In ogni piano perpendicolare alle linee di campo la densità delle linee che lo attraversano

rappresentano l’intensità del campo sul piano (maggior numero di linee = maggior intensità del campo)

+

P

F1

Q1 Q2 F2

+

E1

E2

Schedario IL CAMPO ELETTRICO 3

Presa una sfera carica positivamente e provando in diversi punti del piano con la carica di prova si osserva che le forze sono disposte in modo radiale attorno alla carica e uscenti da essa, viceversa se si utilizza una sfera carica negativamente le forze sono sempre radiali ma entranti da questa costatazione si può formulare la seguente regola:

le linee di forza elettrica escono da cariche positive ed entrano in quelle negativa

ALCUNE RAPPRESENTAZIONI DI LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTRICO

4. IL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO GENERALITA’ Quando si deve determinare il campo elettrico generato da una distribuzione di carica il metodo sopra esposto dal quale si determina il valore del campo elettrico tramite la legge di Coulomb e il principio della sovrapposizione degli effetti risulta molto complesso. Si ricorre così ad una proprietà dei campi elettrici scoperta da GAUSS nota con il nome di teorema di Gauss. Tale proprietà entra in gioco attraverso una nuova grandezza nota con il nome di flusso del campo elettrico. IL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO Per definire questa nuova grandezza pensiamo ad un’analogia con un fluido che deve attraversare una sezione S e del quale si vuole calcolarne la portata, utilizzando le formule dell’idraulica, si sa che:

portata = velocità ⋅ area della superficie perpendicolare al vettore della velocità

Portata massima

Portata nulla

Portata con valore compreso tra il

max. e zero

Le rappresentazioni a fianco ritraggono il concetto di prodotto scalare tra due vettori in questo caso S e v. Essendo S una superficie possiamo pensare che anche una superficie possa essere rappresentata attraverso un vettore detto vettore di

superficie. Tale vettore avrà il modulo uguale al valore dell’area, direzione perpendicolare alla superficie e verso uscente dal piano. In questo modo possiamo calcolare la portata con la seguente formula: Q v S= ⋅

� ��

Supponendo adesso di considerare le seguenti uguaglianze: vettore velocità della corrente = vettore campo elettrico portata = flusso del campo elettrico ( )S

Q v S

E E S

= ⋅↓ ↓

Φ = ⋅

� ��

�� �� ��

Nel caso in cui E non sia uniforme su tutta la superfice occorre dividere quest’ultima in tante aree elementari ∆S calcolare il flusso di ogni area elementare e sommare tutti i flussi così ottenuti per ottenere il flusso totale.

Tale concetto è espresso dalla relazione: ( )

1

n

S k kk

E E S=

Φ = ⋅ ∆∑�� ��� ���

IL TEOREMA DI GAUSS Gauss dimostrò la seguente proprietà: Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla carica totale contenuta all’interno della superficie e inversamente proporzionale alla costante dielettrica del mezzo:

S S��

S v

Q = S⋅v⊥ = S⋅v⋅cos α

v⊥

α S

v

Q = S⋅v = 0

S

v

Q = S⋅v

Schedario IL CAMPO ELETTRICO 4

( ) TS

QE

εΦ =��

OSSERVAZIONI:

• Il flusso è indipendente dalla forma e dalla dimensione della superficie S scelta, purché questa sia chiusa.

• Il flusso è indipendente da come sono posizionate le cariche all’interno della superficie, ma dipende soltanto dalla carica totale di esse.

• Le cariche che contribuiscono al flusso sono solo quelle interne alla superficie (se ci sono cariche esterne non generano flusso attraverso la superficie).

Nella figura a fianco per il teorema di Gauss i due flussi sono uguali

5. CAMPI ELETTRICI GENERATI DA DISTRIBUZIONI DI CARICA - CON SIMMETRIA SFERICA -

GUSCIO SFERICO CARICO La carica è distribuita in modo uniforme sulla superficie di una sfera di raggio R0:

0

020

0

1

4

r R

E Qr R

rπε

<= >

Il campo elettrico all’esterno di un guscio sferico su cui è distribuita uniformemente la carica Q è uguale al campo di una carica puntiforme Q posta nel centro del guscio sferico. Il campo elettrico all’interno del guscio sferico su cui è distribuita la carica uniforme Q è nullo. SFERA CARICA La carica è distribuita in modo uniforme all’interno di una sfera di raggio R0:

030 0

020

1

4

1

4

Qr r R

RE

Qr R

r

πε

πε

<= >

Il campo elettrico esterno generato da una distribuzione sferica di carica Q è uguale al

campo di una carica puntiforme Q posta nel centro della sfera. Il campo elettrico interno alla sfera uniformemente carica cresce linearmente con la distanza dal centro della sfera.

- CON SIMMETRIA CILINDRICA -

FILO CARICO La carica è distribuita in modo uniforme su un filo che si estende all’infinito. Per definire il campo introduciamo la densità di carica lineare λ come rapporto tra la quantità di carica ∆Q contenuta in un tratto di lunghezza ∆L.

0

1

2E

r

λπε

=

Il campo elettrico di un filo carico uniformemente di lunghezza infinita è inversamente proporzionale alla distanza e risulta diretto in direzione radiale rispetto al filo.

Q

Lλ ∆=

∆

LAMINA SOTTILE INFINITA La carica è distribuita in modo uniforme su una lamina sottile che si estende all’infinito. Per definire il campo introduciamo la densità di carica superficiale σ come rapporto tra la quantità di carica ∆Q contenuta in una porzione di superficie ∆S.

02E

σε

=

Il campo elettrico di una lamina caricata uniformemente di estesa indefinitamente ha modulo indipendente dalla distanza dalla lamina, direzione perpendicolare alla lamina e verso uscente dalla lamina se la carica è positiva e entrante se la lamina è caricata negativamente.

Q

Sσ ∆=

∆

+ +

+

+ + +

+

r

R0

+

+

+ +

+ +

+

+

r

R0

q

q

q

3q