Il campo elettrico

Le cariche elettriche interagiscono a distanza: nelle interazioni fondamentali si manifestano forze tra corpi senza che gli stessi vengano a contatto tra loro: le forze gravitazionali e anche le forze elettriche sono esempi di forze che agiscono a distanza Il modello di INTERAZIONE E DISTANZA, su cui Newton aveva fondato la teoria della gravitazione universale, può essere riproposto anche per quanto riguarda l’interazione tra cariche elettriche L’interazione a distanza tra cariche elettriche si basa sul concetto di CAMPO di FORZA, elaborato dai grandi scienziati britannici M. Faraday e J.C. Maxwell, C’è totale analogia tra CAMPO ELETTRICO e CAMPO GRAVITAZIONALE: la presenza di una massa crea un campo gravitazionale, ovvero una modificazione delle spazio che è pre-esistente alla presenza di un altro corpo che ne subisce l’interazione. La carica elettrica crea un campo, detto CAMPO ELETTRICO.

Il campo elettrico La bacchetta genera un campo di forze elettriche attorno a sé: questo campo agisce su qualsiasi oggetto carico all’interno del campo, ed esiste anche a prescindere dalla presenza di cariche nel campo Avvicino una carica positiva q alla bacchetta, ovvero inserisco all’interno del campo generato dalla bacchetta la carica q. Essendo positiva, essa subisce una forza repulsiva che la allontana dalla bacchetta Definiamo campo elettrico il rapporto tra la forza agente su q e la sua carica. La forza dipende dalla carica inclusa nel campo, ma il campo elettrico non dipende da q, è proprietà della bacchetta che lo genera ed esiste a prescindere dalla presenza di q

EqF

q

FE

q

Unità di misura del campo elettrico

C

N

q

FE

q

FE

L’unità di misura del campo elettrico nel Sistema Internazionale è Newton su Coulomb

All’interno dell’atomo, vicino al nucleo i campi elettrici sono enormi, ma decadono rapidamente col quadrato della distanza; inoltre all’esterno dell’atomo sono compensati dal campo di segno opposto degli elettroni. Campi superiori a 5103 N/C sono ritenuti potenzialmente nocivi per la salute umana

Campi scalari e vettoriali Campi di temperatura: La mappa di temperatura terrestre è un campo SCALARE bi-dimensionale (2D): ad ogni punto dello spazio è associato UN SOLO valore della temperatura. Il campo di pressione: Anch’esso SCALARE 2D: Il campo del vento: in ogni punto il vento ha una direzione, per cui è un campo VETTORIALE in 2D

NB: campo elettrico e gravitazionale sono campi di FORZE, e dunque campi VETTORIALI

Linee di forza del campo elettrico Si deve a M. Faraday l’invenzione del concetto di linee di forza, un modo semplice e geniale di raffigurare il campo elettrico nello spazio. Consideriamo il campo generato da una carica puntiforme Q nel punto P. Dalla legge di Coulomb:

Faraday rappresenta il campo come linee rette che da Q dipartono radialmente, divaricandosi man mano che ci si allontana da Q. La linea fornisce la direzione del campo, e dunque della forza che agirebbe su una particella carica se entrasse nel campo. In ogni punto dello spazio, la forza è sempre tangente alla linea di campo. La diradazione delle linee rappresenta la diminuzione dell’intensità del campo con l’incremento di r, ovvero con l’allontanamento dalla carica sorgente del campo.

rr

QkE ˆ

2

r: distanza del punto P dalla carica Q

Q

r

P

Verso delle linee di campo

Il verso del campo elettrico è rappresentato da frecce poste lungo le linee: se la carica sorgente Q è positiva, le linee devono essere sempre uscenti dalla carica Q; se la carica è negativa, le linee devono sempre essere entranti. In questo modo, il verso della forza attrattiva o repulsiva stabilito dalla legge di Coulomb è sempre rispettato.

rr

QkE ˆ

2

EqF

0

q0 > 0: F ed E concordi q0 < 0: F ed E discordi

Campi di forze Campo generato da una sfera uniformemente carica: per simmetria, le linee di forza sono le stesse del caso della carica puntiforme

Campo generato da un foglio di carica isolante infinitamente esteso. Il campo è uniforme in modulo, direzione e verso. Allontanandosi dal foglio, la densità delle linee di forza resta costante: il campo non decade più con l’inverso di r2 come nel caso della carica puntiforme

Campi di forze Campo generato da due cariche puntiformi identiche. Ruotando mentalmente il disegno, si intuisce che il campo ha simmetria rotazionale attorno all’asse che congiunge le cariche, ovvero simmetria cilindrica

Campo generato da due cariche puntiformi uguali ma opposte in segno (dipolo elettrico)

Campo del dipolo

Sia x=d/(2z) << 1 (R distante dal dipolo); sviluppiamo in serie al 1° ordine in x

Calcoliamo il campo di dipolo nel punto R lungo l’asse z; l’origine di z è nel centro del dipolo

EEER

xxx

2111

1 2

2

xx

x211

1

1 2

2

Pz

kqd

z

k

z

d

z

kqER 332

222

P si dice momento di dipolo elettrico e si misura in Cm

dqP

R

P ed E sono paralleli lungo l’asse z ma non in ogni punto notiamo la dipendenza da z-3: il campo di dipolo si annulla molto prima di quello della carica puntiforme

222222/1

1

2/1

1

2/2/ zdzdz

kq

dz

qk

dz

qk

Momento di dipolo Il dipolo elettrico è un concetto di estrema importanza nella fisica e chimica dello stato solido e molecolare. Molti fenomeni elettrici nei solidi e nei liquidi infatti coinvolgono non cariche singole ma dipoli. Ne è esempio la molecola dell’acqua H2O. Sottoposta ad un campo elettrico si comporta essenzialmente come un dipolo di carica +2e (H+) e -2e (O2-) orientato come in figura.

Consideriamo la molecola all’interno di un campo uniforme: le forze sulle cariche tendono chiaramente a ruotare le cariche in senso inverso e ad allineare l’asse del dipolo lungo le linee del campo. Ovvero, il campo esercita un momento torcente sul dipolo:

In modulo:

Fd

senEPsenqEdsenFd

EP

Esercizio I piloti sono soliti osservare di notte, volando al di sopra di una tempesta, lampi di luce molto intensi e brevi, detti folletti. Si pensa che essi siano dovuti ai fulmini che trasferiscono un’enorme quantità di carica negativa dal suolo alle nuvole. Questo darebbe origine ad un dipolo di carica esteso tra terra e nuvole, avente carica –q situata ad altezza h dal suolo, e +q a profondità h nel sottosuolo.

Al di sopra di un valore critico Ec il campo può strappare elettroni agli atomi (ionizzazione); essi collidono con altri atomi dell’aria provocando emissione di luce; Ec dipende dalla densità dell’aria: maggiore è la quota, minore la densità dell’aria e minore il campo Ec necessario alla ionizzazione; per questo i folletti sono visibili soltanto a quote altissime.

Sia q= 200 C, h= 6 Km; calcolare l’intensità del campo elettrico a distanza z1= 30 Km e z2 = 60 Km (al di sopra della stratosfera!)

C

N

m

Cm

C

mN

z

qhkzE 2

34

3

2

29

31 1016103

20010121018

)2(2)(

C

NzEzE 2

132 102)(2

1)(

Halliday, Resnick, Walker

Distribuzioni continue di cariche Finora abbiamo considerato distribuzioni di cariche discrete, ovvero un insieme di cariche puntiformi in punti specifici dello spazio. In molti casi, questa descrizione della carica elettrica è poco utile. Quando si ha a che fare con moltissime cariche, distribuite uniformemente nello spazio (una linea, un piano, o un volume) è conveniente passare dal formalismo discreto al formalismo continuo. Ciò comporta i) l’utilizzo del calcolo infinitesimale; ii) l’utilizzo del concetto di densità di carica al posto della carica

3)(

m

C

dV

dqr r

In un cubo di rame di lato 2 cm (mole) ci sono circa NA = 61023 atomi di rame; (NA è detto numero di Avogadro). Immaginiamo quanto tempo occorrerebbe per sommare i campi elettrici dovuti a tutti gli atomi carichi nel cubo…

2 cm 1 nm

In un punto r interno al cubo, immaginiamo di considerare un volumetto dV così piccolo (ad esempio 1 nm) che la carica contenuta in esso (dqr) sia uniforme; definiamo la densità di carica nel punto r:

dV

Distribuzioni continue di cariche

3)(

m

C

dV

dqr r

2)(

m

C

dA

dqr r

m

C

dS

dqx x)(

3D

2D

1D

dA dS

Campo di un anello carico

Nel punto P, dS genera un campo:

Caso semplice: campo elettrico lungo l’asse dell’anello. Sia dq la carica contenuta nel segmento infinitesimale dS

dSdq

2222 Rz

dSk

r

dSk

r

dqkdE

Sommando i contributi di tutti i dS si vede che la componente perpendicolare all’asse z è nulla poiché il contributo di ogni segmento dS è controbilanciato dal dS locato dalla parte opposta dell’anello; dunque solo la componente parallela all’asse dell’anello è non nulla. Si ha:

dS

Rz

zk

Rz

zdE

r

zdEdE

2/32222)cos(

Campo di un anello carico

dS

Rz

zk

Rz

zdE

r

zdEdE

2/32222)cos(

2/3222/322

)2()cos(

Rz

RzkdS

Rz

zkdEE

CC

z

2/322 Rz

zqkEz

Se q è la carica totale dell’anello, si ha:

Per calcolare il campo totale basta integrare il campo infinitesimale lungo la circonferenza dell’anello, ovvero integrare in dS da S=0 a S=2R

Se la carica dell’anello fosse negativa cosa cambierebbe? Per un punto P lontanissimo dall’anello, come diviene il campo lungo l’asse ? Com’è il campo nel punto z=0?

Campo di un disco carico

dr

rz

rzkdq

rz

zkdEz 2/3222/322

)2(

Consideriamo un disco di plastica di raggio R, con densità di carica uniforme . Calcoliamo il campo in un punto P lungo l’asse centrale perpendicolare al disco. Scomponiamo il disco in tanti anelli di raggio r; l’area di un singolo anello è dA=(2r)dr, e la sua carica dq= (2r)dr. Il campo generato da un anello lungo l’asse lo abbiamo determinato in precedenza:

Il campo totale si ottiene sommando su tutti gli anelli, ovvero integrando in dr da r=0 ad r=R

R

z drrz

rzkE

0

2/322

2

rdrdXrzX 222

Per risolvere l’integrale operiamo la trasformazione di coordinate:

R

z

XzkdXXzkE

0

2/12/3

2/1

Campo di un disco carico 0

2/1222/3 )(2R

z rzzkdXXzkE

2/1222/122 )(12

)(

112

Rz

zk

Rzzzk

2/122

0 )(1

2 Rz

zEz

02

zE

Questo rappresenta il caso importantissimo di un campo generato da un piano infinito. In questo caso il campo è uniforme in modulo, direzione e verso. La stessa espressione del campo si ottiene mantenendo R finito e ponendo z=0: nel limite in cui z/R è piccolo il disco è come fosse un piano infinito

Nel limite in cui il disco diventa infinitamente grande (R), si ottiene:

Esercizio

amEeF

Consideriamo un elettrone in un campo elettrico uniforme E, diretto lungo x. Quali sono la direzione e il verso della forza elettrostatica agente sull’elettrone? Se prima di essere sottoposto al campo elettrico l’elettrone si muoveva lungo y, in che verso l’elettrone viene accelerato? Se prima di essere sottoposto al campo elettrico l’elettrone si muoveva lungo x verso destra, la velocità dell’elettrone aumenta, diminuisce o resta costante?

Em

ea