...I.

-

I 01 a p 'a "1 ua E~!I>u!3s unaas ' O ~ U ~ ! ~ ~ ~ C ZU!EI lali[oz!ioq ezianj e [ !S (;? ;OPF!J!II[ z w O ealod itoanbad virn .ro aluJ!a!jaoJ [a . 'b'o ra < ap!jladnn e[ .!ipisa aiua!a!jaoa IX .[eluoz!,oq ai3!jlailnr eun a r q a i osoua as Y>[ oz asad a n b anbolq un . B ~ - z joldiuala c p e ~ aueld ua laa.iqos anbolil [a ~ o d ep!~rafa [euuou. =Jan1 el S? [en37 ( y ('61-z 'S!&are?\)

SEC...-

32 -1

MOMENTO DE UNA FUERZA

33

-

De esto se--deduce que

-

0,3048006 m. 1 pie ( = 113 yarda) = 30,48006 cm. 1 pulgada ( = 1/12 pie) = 2,5400 cm.

3lOR1[ENTOS. CENTRO DE GRAVEDAD

--.

Una aproximacin til, con un error del 1 %, es1 pie = 30 cm.

..

.

1 1

1 !

!

3-1. Introduccin. Unidades y patrones de longitud.-Eii cl capitulo 11 sc iiitlicb qiic las fiic.rzns cliie actaii sobre un clcnicrito de estructura estiiii fi'ccuciitciiieiitc distri1)iiidas de tal modo que h a de teiierse en cuenta el efecto tlc rolacin de la fuerza; p. ej., si el.pcso w en la figura 3-1 actuase solo, prodiicirin la rotaci8ii tlc la Harra, cii el sentido de las agujas de un reloj, alrededor clcl pivotc 0, pcro su efccto giratorio esta contrarrestatlo por cl de In lcnsibn de la ciierda -413. enciientra qiic el efecto Se de rotacin (Ic iiiin fuerza ali'cdc(1

! I

:1

u

'

- =-u - Q , f-io

(4-71

imi&ede la aceleracibn media, cuando At y A se hacen infinitav mente pequeos, es la aceleracin instantnea a, y el valor limite de b j A f es dvldt. Por consiguiente,

. ... .-k,.

siendo 6 y i los instantes correspondientes a las velocidades u y v. Puesto 0 que v y vo son vectores, la magnitud (u - vo) es su uecior diferencia, y ha -. de hdiarse por los mtodos explicados en. la seccin 1 8 Sin embargo, como en el movimiento rectilneo ambos vectores estn situados sobre la misma recta, el mdulo del vector diferencia en este caso especial es igual a la diferencia de los mdulos de ambos vectores. E n el capitulo X consideraremos el caso mAs general en que v y 90 no tienen la misma direccin.

Y* Puesto que u

= dxldt,

,

o . Cualquiera de las dos Ecs. [M] [ 4 9 ] puede considerarse comd definicin de la aceleracin instantnea.

Puesto que la aceleracin es un incremento de velocidad dividido porel intervalo de tiempo durante el cual tiene lugar dicho incremento. la aceleracin media es la variacin media de la velocidad, y la aceleracin instantnea es la derivada de la velocidad respecio al iiernpo. La aceleracin instantnea desempea un papel importante en las leyes de la mecanica, mientras que la aceleracin media se utiliza me& frecuentemente. En consecuencia, cuando en lo sucesivo se emplee el trmino aceleracin, se entender que nos referimos a la-aceleracin insluntnea, a menos que se especifique otra cosa. La definicin de aceleracin que acabamos de dar, se aplica al movimiento s9bre una trayectoria de forma cualquiera, recta o curva. Cuando un cuerpo se mueve sobre una trayectoria curva, la direccin de su velocidad cambia, y este cambio de direccin origina tambin una aceleracin, segn se explicara en el capitulo X. 4-6. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado.-E1 movimiento acelerado mas sencillo es el de aceleracin constante, esto es, aquel en el cual la velocidad del mvil varia uniformemente durante el movimiento. Naturalmente, en el movimiento acelerado la velocidad no es constante, y el decir que la aceleracin es constante significa sencillamente que la velocidad aumenta (o disminuye) la misma cantidad en cada unidad de tiempo. Ahora bien: el valor medio de una magnitud que no vara es sencillamente el valor constante de dicha magnitud. Por tanto, en el movimiento de aceleracin constante, la aceleracin media puede reemplazarse por ia aceleracin constante a, y la Ec. [4-71 se convierte en

-

f I

-

mit.halrar l a abscisa en funcin de tiempo. L a Ec. [4-21 expiesa que el desplazamiento de un cuerpo que se mueve a lo largo del eje X es:x

- -

- xf, = u (1 - to),

C t

:

ir

siendo i la velocidad media. Si-la velocidad del cuerpo aumenta en proporcin constante, es decir, si su aceleracin es constante, su velocidad media durante un intervalo de tiempo cualquiera sera igual a la semisuma de las velocidades al comienzo y al final del intervalo. Esto es,

t C

tC C C CC$

...

., .~. .

. . .

u=-

vo+v2

i4-131

Obsrvese que la Ec. 14-13]no es cierta en general, excepto cuando la aceleracin es constante. Despus de sustituir la expresin de v dada por la Ec. [4-111 en la Ec. (4131, resulta: r - u~+[u~+a(i-lo)] U = 2

et

.

La inclusin de este valor de en la Ec. [4-21 da:

- m = uo(f - lo) + l12 a(t Despejando el valor de v en la Ec. [+lo], se obtiene:b_ e . -

[4-15 J

t

Si tomamos como origen d e tiempos el instante correspondiente a uo, ser 6 = O, y [4-161 x - --= vol + 112 ai2Finalmente, si h posicin inidal del cuerpo -se encuentra en el origen, m = O, y-

1 44

Esta ecuacin puede- interpretarse del modo siguiente: la magnitud a G el cambio de velocidad por unidad de-tiempq. La magnitud (t - fo) es la duracin del intervalo de tiempo considerado. El producto del cambio de velocidad por unidad de tiempo, por la duracin del intervalo, o sea, el producto a (i - b), es sencillamente el cambio total de velocidad. Cuando se aade a este cambio la velocidad inicial uo, la suma obtenida es la velocidad al final del intervalo. Si empezamos a contar el tiempo en el instante en que la velocidad es vo, se tiene lo = O, y - .

-.

---

J

-

Cuando se conocen la velocidad inicial u y la aceleracin constante a, 0 la Ec. [ 4 1 2 ] da la velocidad en cualquier instante, y la Ec. [4-171 da la abscisa en funcin del tiempo. E s til tambin disponer de una expresin que nos d la velocidad correspondiente a cualquier abscisa, lo cual se consigue fcilmente despejando t en la Ec. (4121 y sustituyendo su valor en la Ec. [4-161. El resultado es:

4 14 14r

Despus de deducir la expresin de la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera, vamos a determinar ahora otra expmin que per-

1

1

%

62 -. . . .

'

MOV~MIENTO RECTIL~NEO- -

[CAP. 4

I88

lh

'r-4.

.

,

. SEC.

4-31

C A ~ I I AL I B R E I>E 1.0s : * ;. .. . . . - .. . .*... -- .

:: . . ;.'. . ,

16 Kg,

(c)

ji

f

FIG.5-8.

i

f

.-

--

. --

-

i-.~

;

Ip.

~. -.

- .-

;

fa

DENSIDAD

I

"

i ' l

1 I 11 I I I

Y

a = 3,26 mlsegs; T = 5,32.Kg. .O b s b e s e atentamente que aunque la Tierra atrae al bloque suspendido con una fuw= de 8 K*, esta tuwm no r trammite . blowe de 18 Kg. La fuerza sobre ate I 6ltimo es la tensidn de la cuerda que 10s une, y 6 t a tiene que ser menor de 8 K ~ en ; case contrario, el bloque de 8 Kg no serla acelerado hacia abajo.

g ." C-

" I'I

i_I.

. .

'f'1c

el cuerpo esta acelerado. . Coma mera tCcnica para la resolution de problemas no hay diferencia esencial entre 10s puntos de vista de Newton y de D'Alembert, pues ambm conducen a las mismas ecuaciones; sin embargo, para la clara cam-. prensi6n de 10s principios de la dinimica es preferible el mCtodo de Newton, por lo que en esta obra no utilizaremos las fuerzas ficticias de D'Alembert.

C~USO cuando

.

-

5-6.

Principio de D'Membert.-La

segunda ley de Newton':

,(!1: i ,"

F = ma,puede escribirse:

I

,#?

F-ma=O.

[511]

2

h.

I,!!\?,

i'il

,

1.11'

II,

'

I 1 I1 I

(. 9 .

,, .\I'ti\

I'

'(

II I II I 1

-

I :

forma de la ecuaci6n podia inbrpreD'Alembert observb que tarse de la manera siguiente: Supongamos que ademas de ]as f u e m s reales ejemidas sob= Un cuerpo act[la tambi6n sobre B una fuerza fidicio, de igual magnitud pero de signo opuesto a1 producto. ma; en otras palabras, una fuerza ficticia -ma. Esta fuerza se denomina a veaes fuerza de hercia 0 reaccidn de inercia. Dado que F -represents la resultante de ]as fuerzas reolcr exteriores, F - ma serA la resultante de todas las f u e r a s , incluida la fuerza ficticia -ma. La Ec. [5-111expresa entonces que la fuerza resultante sobre el cuerpo es nula. Por consiguiente, el problema se reduce a uno de equilibria y puede resolverse por 10s m6todos de la esGtica.. Esto es, todo cuerpo, este o no acelerad& puede- cq.nsidera= .en e q a r i o bajo el~-efeeto combinado de las fuerzai reales ejercidas sobre C y de una fuerza ficticia de magnitid iguil a ma, pero de sentido l opuest6. Esto constituye el principio de D'Alembert.m

3-$

-

: .... .

Para precisar las ideas es necesario decir que en el principio de D'Alembert hay algo rn4s que la adici6n de una fuerza ficticia -ma a1 sistema real de fuerzas que actlian sobm el cuerpo. Si el sistema de referencia del observador se mueve con la misma eceleraci6n que el cuerpo, Bste no tiene aceleracion respecto a aqudl, y el observador (conociendo la segunda ley de Newton) razonarh, por tanto, ecomo la aceleraci6n del Cnerpo (scan 10s datos que Q tiene) es cero, la fuerza resultante sobre el cuerpo - Lers tarnbidn nulav. De acuerdo con ello concluye que, eadem4s de las fuerzas reales . Cnya resultante es F, actda sobre el cuerpo otra fuerza -ma para mantener el equi: hbrio,. Para un estudio mhs profundo de las ecuaciones del movimiento en sistemas : - - !&-dos, el lector debe eansvltPr un libro especid de rnee8nica., ,

.

; :-

.:;

( 4

rn p =.-; rn = pV. i: . _- . .. . - ._ -v -.. C ..c-~ a ' d e f i i c i 6 nanterior se 'refiere a la densidad media de un-cuerpo. 2.. -.. Si.la densidad varia d e un punto a otro, la densidad en un punto deter.

:

1 -

~insidad.-La densidad de una sustancia homogenea se define corn0 su mass por unidad de volumen. Por tanto, las densidades se expre'm en p m o s par centimetro dbico, kilogramor por metro clibico, 0 slugs par pie clibico. Representaremos la densidad por la letra griega p:.

.:' 5-7....*

-

--

.

-

-

.

-

. -

.-

...

.

-

m///////////////////////

;i

::I

4

P -ma

F -ma - 0(b)

!

(4FIG. 5-9.-((1)

;.-:;:,muado se define considerando un pequeiio elemento de vdlumen dV, i p e comprenda a1 punto, y hallando el cociente de la masa del elemento. r, ;- dm, por su volumen dl7: ;~ dm p =-. dm = pdV. dV '-'

*-

.'a

Punto de vista de Newton; ( b ) punto de vista de D'Aledrrt.

t

.-

.

')

La masa total del cuerpo estari expresada por. .

Los puotos de vista d e Newton y de DyAlembert d ilustran en la figura 5 9 , qUe representa un cuerpo de masa m, arrastrado hacia la deII

+ .L+---.t,; ,: . " ;,. --.

.;;.

:.

-. .

,

:

r n = f d m =Jpdv,

t

. . ... . .

:, - .;

.

-

. - . (

92

SESUNDA LEY

-DENEWTON

IcAP.

5. E .. . .

BALANZA UTILIZADA E N ANALISIS

93-

d o n d e 10s lirnitesde integraci6nhande elegirse de forma g u e incluyan el volumen entero del cuerpo, siendo p una funci6n de las coordenadas de dV....

f :. ;:; p&diculares.

a1 eje longitudinal- de la. palanca. E l borde d e la-cuchilla

.

.

T B A ~-~.-DENsIDADES AL

Sustancia

nc~lsidad (glcm')

Acero . . Alurninio Bronce Cobre . Hielo . Hierro. . Oro . . . Plata . Platino . Plomo .

. .

.

.

central descansa spbre un plano de Bgata perfectamente pulido, sostenido desde el fondo de la caja de la balanza. Los platillos de Csta cuelgan de dos pequeiias placas identicas que descansan sobre 10s bordes de las cu- -- chillas.situadas en 10s extrernos de la balanza. Una aguja o fie1 vertical, fijo a la palanca, oscila frente a una escala. E - - -. .Los bordes de las cuchillas actuan practicamente como pivotes sin -& g - . ."".~zarnientoPuesto que 10s platillos pueden oscilar libremente alrededor . . . de las cuchillas que 10s sostienen, el centro de gravedad de 10s platillos y i . de 10s pesos colocados sobre ellos se encuentra siempre en la misma ver. . P - .> tikl que pasa por el borde de las cuchillas. El centro de gravedad -de la palan& se encuentra en la misma vertical que pasa por el borde de la cuu . .

. -* %

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t,

.

7

.

. p.. .%Z .

..v

I.. . . . . ,, ... .. .. .

. . . ..

..

.:

AguaI!

1

Alcohol etllico . . . . . . . . . . . . :-. . . . . Benceno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giicerina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,90 1,26 .13,6

1,OO 0,81

I I

:Id ih& . .

11

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1:-

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11 I11 1 II I I 11 I I I-

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I

I* I.

En ingenieria y tambikn en el lenguaje ordinario, la palabra densidad se utiliza para designar el peso por unidad de volumen, siendo la unidad en el sistema tCcnico el kilogram0 por metro cubico. Esta magnitud puede distinguine de la definida anteriormente IhmAndola peso especijico; p. ej., el peso especifico del agua es 9800 newtons por metro cubico; su densidad es 1000 Kg por metro cubico. En el sistema tCcnico, el peso especifico del 1000 agua es 1WO Kg por metro cllbico y la densidad -unidades tCcnicas de 9.8 masa por metro cubico. La densidad relaliva de una sustancia es la raz6n de l a densidad de esta sustancia a la del agua, y es, por tanto, un numero abstracto. La densidad relativa del plomo, p ej, es 11,3 en cualquier sistema de unidades. . 1000 En el sistema t6cnico;la-densidad del plomo ;s 11,3 x -- 1150 uni- 9,8 dades -t6cSs de masalms, y iu peso especffjco k 11.3 x 1000 = s = 11 300 Kglm3. E n el sistema cgs la densidad del agua es 1 glcms, y la densidad del plomo es 11,3 glcma. En el sistema mks, la densidad del agua es 1000 Kg/m3, y la densidad del plomo, 11 300 Kg/mS. balanza 5-8. Balanza d e brazos iguales utiiada en ank1isis.-La de brazos iguales para analisis es un instrumento corriente de laboratorio, destinado a medir masas con p a n precisi6n. Aunque a1 utilizar la balanza se habla de pesar, y el conjunto de las masas patrones empleadas se denomina coleccion de pesas, lo que la balanza mide realmente son masas y no pesos. La parte esencial de la balanza de brazos iguales utilizada en analisis es una palanca ligera, rigida, sobre la cual e s t h montadas sblidamente tres cuchillas de agata igualmente espaciadas, paralelas entre si y per-

C

. . . . -. . ...?; :. . - .. . . .... *". .< ........... - . ->~

. . .- .

~. ..

.. . .. .

MVfa)

+

. it

:Mg(b)

w

.

,..

F1~..3-10.-kialanzade brazos iguales usada en andlisis.

I : .

.

"-

central cuando la palanca esta horizontal. La palanca o cruz de la balanza es, por consiguiente, un cuerpo en equilibria bajo la acci6n de - - . u n cierto numero de fuerzas paralelas. Para usar la balanza, se coloca un -: cuerpo de masa desconocida, ml,en el platillo de la izquierda, y en el de la 3 . -. derezha masas conocidas mz. Supongamos que mz sea ligeramente mayor . . . . . . . . . que ml.Las fuerzas que acttian sobre la cruz de la balanza estPn repre- .._sentadas en la figura 5-10 (a)..Mg es el peso de la cruz7Puests'que-el :,:momento de esta fuerza respecto a la cuchilla central es nulo, el momento E -. resultante que actua sobre la cruz es : .?.. . . . &Ua....'

... .

1,

?.

-.--.g, ,

I'.;'I

118

CENTRO DE MASA

ACELERACION DEL CENTHO DE MASA

119-

I

Las fuerzas Sobre la varilla esthn indicadas en la figura: como hemos supuesto nula la masaae la varilla,

FZ - fiz'h

- f2z8 = 0;

Fy- fly' - 12,' = 0...

.1\1 sumar ordenadamente ambos sistemas de ecuaciones se dbtiene:. .

..

~~.

FZ = mlalz,

+ mzazz;

F g . = ,rnl?lV i m2azv.

IiI

Seglin hemos vista, las coordenadas F e ij del centro de masa son:

Il

m l x ~ m s 2 - - mlyl -I- m2y2 m1 m2; Y m~ me Si derivamos dos veces estas ecuaciones al tiemPo como componentes de la aceleracibn del centro de masa:Z =

-

+ +

respecto=

+

i: ,

mlaly m 2 ~ 2 ~ ' mi -I- me Los numeradores de 10s seWndos miembros de ambas ecuaciones, en virtud de la Ec. [i-51,son, sencillamente, F, y F,; poi consiguiente:dF

@ : -- - - = mlalz + mza2,. az

ml

+ mz

'

-=

@Fdfz

+

.

.

"

I,

a, = ;

F,

-

son%enerdlizaciones-evidentes de la Ec. [6-2j, y su-significadaientemente aclarado por las fotografias .reproducidas en la a trayectoria del centro de masa del cuerpo (indicada por 10s s de la varilla) es, en todos 10s casos, una parabola; es decir, del centro de masa coincide con el que seguirfa un cuerpo de pequefias dimensiones lanzado desde el origen con velocidad inicial ho*ontal. ObsCrvese que las fuerzas infernas f l y f2 de la figura 7-6 no aparecen en la Ec. [7-71. El movimiento del centro de masa .no es afectado por estas fuerzas interiores, aunque si lo es el movimiento de las distintas masas de un sistema. Una consecuencia de este hecho es que si. la fuer~a exterior que actda sobre un sistema de cuerpos es nula, tambien aceleraci6n del centre de mass del sistema, YY PO^ tanto (generaprimera ley de Newton), el centro de masa permanece en e mueve con movimiento rectilineo de velocidad constante. istema solar, aunque el Sol y 10s planetas ejercen fuerzas entre se mueve siguiendo una trayectoria complicada, el centro de masa del sistema en conjunto se mueve a t r a v b del espacio con velo,=idad constante y en linea recta (si se hace caso omiso de las pequefias fuenas ejercidas sobre el sistema por las estrellas, la mhs pr6xima de las cuales dista 4,3 afios luz del Sol).EZ~EMPLO 1.-Sup6ngase que el perfil a que se hacia referencia en el ejemplo 4 st& apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento, y que sobre enas de 3 Kg y 4 Kg, constantes en magnitud y direcci6n, tal como se figura 7-8. Supongarnos que el perfil tiene un espesor de 5 cm y que pesa Halese la posici6n de su centro de masa cuando han transcurrido 4 seg.

--

jI

1

o bien:(I'I

ml+ me

a,=

Fv m l + mz''

.

-

.

F F, a, = - a, = m ' m

,174 I- -

t

.*

..

,'

Cornparando con la Ec. [7-41 resulta que la aceleracion del centro de masa es la misma que resultaria para un punto de masa,m = ml + m2, sometido a la fuerza F. PueSto que F puede representar la resultante de cualquier nhmero de fuerzas exteriores, las Ecs. 17-61 equivalen a las siguientes:. . . .

[

El volumen del perfil es 2@dm8; su p e s q 98 Kg, y su masa,.. ..

L' " .

tanto, ya que EX = 3 Kg y CY = 4 Kg: CX 3 a, m = 10 = 0,3 m/segz;

a

-2/

-.= 9.8

98

1.0 a.t.m. Por

10

.I r4

--

1 7 1-CX= mag .CY =ma,.-

-

[7-71.

# --

-

'-rn

- - = - = 0,4

, .

..___ .

f 1

t..

- . .

a=

--Z,2

-

mlsegt;

_

1

- -

-

.

-

..

+ S,2i

3 K g= 0,5 mlsegt,

--------a'

,' I I

- - formando un hngulo de 530 por encirna delejeX. k Otro procedimiento consiste t n corni .-. poner primer0 las fuerzas de 3 Kg g 4 Kg r en una sola fuerza de 5 Kg, que forrna .un h g u l o de 530 por encima del eje X. - : - Podemos escribir entoncec-,

II

I

4'Fw. 5-7.-Latrayectoria del centro de masa es una panibole en coda uno de 10s casos.. .-. F' -;!; .-? .

a=

-.

..

-. .

- = - = 0,5 mlsego. m 10

F

/

5

4 KgI

-

; !

120

CENTRO DE MASAi

- SEC. 7-41: .-

A C E L E R A C I ~ NEN UNA TRASLACION PURA

121

Par consiguiente, despues .de. transcurridor 4 seg, e l centro de masa se. ha-desplp - .. . zaao una distancia.

-

.-

s = 1, at2 = 112 x 0,5 x (4)s = 4 m, 1

-

a lo largo de una recta que forma un @ p l o de 530 con el eje X.Dado que la linea de accidn de la fuerza resultante no pasa por el centro de masa el perfil ao se mueve con ifaslacidn pura; sin embargo, el centro de masa se desplaza sobre una recta con aceleraci6n constante, debido a que las fuerzas-son constantes en magnitud y diuecci6n.

-. .

9

i 1

;-

pm que exista una tensi6n de esta-magnitudi debe tirarse hacia arriba de-10s mos de 10s hilos con movjmiento acelerado. La aceleracidn depende de la componente d e rotacidn del -movimiento, lo cual sera con~ideradom& adelante.

r

-

1/.

7-4. Aceleracien en una traslaci6n pura.-Vamos ahora a deducir las ecuaciones generales que se aplican a un cuerpo que se mueve con aceleraci6n de traslacion pura. Hemos visto que en estas circunstancias la linea de acci6n de la fuerza resultante exterior pasa por el centro de masa, por lo que resulta nulo el momento de la fuerza resultante respecto de cualquier eje que pase por aquel. Con mayor generalidad: si se traza por el centro de masa una recta paralela a la aceleracibn, el momento de la fuerza resultante respecto de cualquier eje que c o r k a dicha r c a es nulo. et ' Li figura 7-10 muestra, p. ej., un cuerpo que se mueve con aceleracion 3 -de traslaci6n pura. La fuerza resultante e s t i representada por F, y A-A es la recta trazada por el centro de masa paralelamente a la aceleraci6n. Es evidente que el momento de la fuerza resultante respecto pe cualguirr eje que corte a la recta *-A es nulo. El sistema completo de ecuaciones que determina el movimiento del cuerpo sers, por tanto,..

CX

= ma,;

-

C Y =ma,;

XT = O .

17-81

que no puede igualarse a cero el momenta de cualquier eje arbitrario, s e n se hace en estatica, sino s610 eje corta a la recta trazada por el centro de masa paralelamente.

E ~ ~ P 2.-Un L O m e t e (Fig. 7-9) Lleva enrollados dos hilos alrededor de su eje, y e e s t h atados a una barra horizontal fija. Al soltarlo, el carrete desciende y gira a1 mismo tiempo. Si la aceleracidn hacla abajo del carrete es de 16 pieslsegz, calcdlese la tensi6n en ambos hilos. E l centro dr a 4 carrete se encuenpa en el punto medio de su eje, y las fuerzes que ectdan sobre 61 son su peso mg y la tensidn T. Puesto que no hay componentes X, iiz = 0, y el carrete descendera verticalmente cuando se suelta. La fuerza -resultante Y e:s-

A

m g

- T = ma, = mT =l~ mg, s

x I;

1--::,.

.

Aun cueipo se mueve con aceleraci6n de traslaci6n pura, la lhea de acci6n de la

: .

y la tensi6n resulta igud a la mitad del peso del carrete. ( E s t a e s la tensidn combinada en 10s dos hilos). EJEMPLO 3.--~CuAl debe ser la tensidn en 10s hilos.del ejemplo precedente par:, que el centro de mesa del m e t e pemanezca en reposo? Ya qoe a, = 0,

:;i.;~.-~.:-- resultante pasa por el centro de rnasa. .... . .

. ..b. 7-10.-Si

. r - . - 1 ....

&:..:~: ;:,.EJEMPLO .::1.--Con ayuda de las ecuaciones precedentes se puede estudiar con- - ..mayor detalle el sistema de fuerzas que actda sobre un cuerpo que se mueve con acek.?i?:;leracldn de traslacidn pura. En, e ejemplo 9 (pAg. 86), se supuso por razones dr . -.-. l S3cUlez que las h e a s de acci6n de todas las fuerzas que actuan sobre el cuerpo pasa.*. .

ZY

-

m g

- T = 0; . .T

--

mg. .

-

&~;-

: _._-..L

......

I

'

1 +'I 1

122

CENTRO DE MASA.

ACELEI~ACION EN UNA TRASLACION PUHA

123

II

ban por su centro de masa. E n realidad, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal, como en el -so representado en la figura 5-2, e s t h distribuidas sobre l a superficie inferior del bloque. Vamos a simplificar a6n mas el problems, suponiendo que el bloque estA apoyado sobre dos aristas como muestra la figura 7-11, de forma que las fuerzas normal y de rozamiento actdan dnicamente sobre estas aristas.

. _ .

i

(Se toman 10s momentos respecto de-un

, &--. eje que pasa por el centro de masa). *

-a s t i t n y e n d o valores, resulta que la acele2rad6n del coche, a,, vale- 14 7 pieslseg2. Por tanto,

El bloque de la figura 7-11 tiene 1,20 m de longitud y 0,6 m de altura, con su centro de masa coincidiendo con el centro geomBtrico. Su peso es de 200 Kg, y el coeficiente dinhmico de rozamiento entre el bloque y la superficie vale 0,20. ~ Q uftu e n a P es necesaria para acelerar el bloque a raz6n de 1,20 mlsegl, y cuhles son las fuenas normales N l y Nz? Z X = P - p N 1 - pNs = ma;; Z Y = N 1 + N2 - m g = ma,.

-

La aceleraci6n es paralela al eje X; por tanto, es nulo el momento resultante respecto de todo eje perpendicular a plano de la figura y que pase por cualquier punto de nna 1 recta horizontal trazada por el centro de masa. E n consecuencia:Cr = 0,6 x N2 + 0.3 x P 0,3 x pNi 0,3 x & V 2 - 0,6N1 = 0 a , = 1.2 mlsegy-'a, = 0; p = 0,2; m = 20,4 u.t.m.

-+ .

+

Resolviendo el sistema, resulta:P = W 4 8 Kg;-

t

N l = 110 Kg;

= 90

K~.

.EJ-LO 2 . U n .autombvil pesa 2 4 0 0 I b i B d i S t a i c i i entre sui ej& es 10- pi&; y su centro de masa equidista de ambos ejes y se encuenfi-a 3 pies por endma del velo. Marcha a una veiocidad .de 60 millas por hora, detenidndose en 6 seg a1 actuar Ips frenos. Calcdense las fuerzas momales sobre l a s ruedas delanteras y traseras durante el frenado. Las fuerzas sobre el autom6vil e s t h representadas en la figura 7-12. Si el coche tiene frenos a las cuatro ruedas, las fuerzas de rozamiento actdan se@n se indica sobre las llantas de las cuatro ruedas. Obsdrvese, sin embargo, que salvo que el coche patine hasta detenerse cuando se aplican 10s frenos, estas fuerzas no son iguales a1 product0 del coeficiente dinhmico de rozamiento por la fuerza normal:C X = - frl - fre = ma,; - . CY=Ni+Nz-rng=rna,=O; ZT = 3 (frl h) 5N2 - 5h71 = .0.

--.k

1

t': k-

5 decir, la fuerza normal en las ruedelanteras es, en este ejemplo, casi . dos veces mayor que la correspondiente - p li ruedas traseras, aunque por razoii ,'+- mes d e simetria dichas fuerzas serhn g g d e s si el coche estuviera en reposo o - '-." mod6ndose con velocidad constante. Este --decto es una de L a razones de utilizar a las cuatro ruedas. Puesto que _, " ? - - el rozamiento m W m o o f u e n a de fre-do disponible en una meda es propor- cjonal a la fuerza normal, lap ruedas trasa-as son menos adecuadas para aplicar ?a f u e n a de frenado que lo son las delan- - - .tuas, ya que la fuerza normal sobre las rnedas traseras disminuye t a n pronto -- - m m o se aplican 10s frenos. Utiliiando fre. niw a las cuatro ruedas, se consigue inde.-, - pendizar la maxima f u e n a de frenado ,.. dEFponible de la distribuclon de la carga, ,, -- dado que Nl + Nz = w, cualquiera que - s a la distribuci6n de aqudlla. , e - - El efecto de una fuerza normal incrementada en las ruedas delanteras, y disc-"' +nida sobre las traseras se tradnce en --. , . m a compresi6n de las ballestas delanteras ,-,-y a1mismo tiempo se produce una traccibn de las traseras, todo lo c u d oblga al cog ccc a -hint-ar p l _ m ~ r m Prpbabk-mente, el . * ._.,,L;..horizontal?>

trabajo serfa necesario para arrastriir la misma caja 6 m sobre cuerda atada a la caja, que formase un dngulo de 300 con la

:

la misma direcci6n del movimiento. El primer es encontrar, mediante un diagrama de fuenas, como el de la figura 8-4 (b), cu&l :.: :'- .... .a valor de la fuerza P requerida. Esta resulta ser 29,4 Kg; por consiguicnte: -,. *L ,, .-.. . . el .,& .

,> . ,:.'.G."s; .,.

I ....,:.,.paso -. >: ....> . .

,...,. ,,

: - I.La fuerza no tiene, en este &so, ..

. .

'.:

'

~,

Tv = P cos 9. ....,. ....- .., _.=:_ ::2..

(20

- zl)x 6

1I I

..* . .%

-

= 29,4 x 0,866 = 152,7 Kgm.

I

I

1 1 I y el pie: I I 1 ELTEMPM

EJEMPLQ 3.-Una fuerza constante de 340 newtons, paralela a la superficie d e un p ~ & oinclinado 370, empuja un bloque de 40 Kg una distancia - 20 m sobre d i c h ~ de _ . .. . -: Ta-diBn, de. las relaciones .entre .kilogram~- newton, -se deduce: . . -. :.-. .- . s u p e r f i c i e (Fig. -8-5); lQu6 trabajo ha-realizado la-fuerza? -. y . -.. . i.1 ..,;.:d_":,?. La fuerza es constante y tiene la misma diiecci6n que el desplazamiento; por 1 Kgrn (kilogrdmetro) = 9,8 julios = 9,8'x 107 erg. & .I.?::,.,,? ." . , : consiguiente: *. .. -. - .. .. .-.-. W = 340 x 20 = 6800 new-m = 6800 julios. Anaogamente, de las relaciones entre el newton y la libra, y el metro C . . . .:,.. .

1 julio = 1 0 7 erg.

'-

.. .1''!:"l :;., . ,:

...

,

&.

.~

'

a

1 julio = 0,7376 fooi-pound. 1 /&-pound = 1,356 julios.

1.-Una caja q u e pesa 100 Kg es arrastrada 6 m sobre un suelo horizontal, con velocldad constante, mediante una fuerza tambi6n constante. El coefi-

1

Con mayor generalidad, u kilogrihetro de t n h j o e el trabajo realiGdo en cuales . s 22 pule~a ~kcunstnncias, siempre gUe:I F cos 0 dr = 1. r i F estB expresada en kllogramos y dz1

z 1

pn metros..

G~.dkr,;:c,..~

Energia y trabajo.-La figura 8-6 represents un zuerpo de que es arrastrado sobre una superficie plana sin rozamiento, ?. .:. 3'f-inclinada un angulo p, por la acci6n de una fuerza constante F paralela - .: -....,:.. : .- .... . a1plano. En el diagrama se han omitido el peso del cuerpo y la fuerza , .- . i-. .. 'r .. normal ejercida sobre el por el plano, con el fin de evitar. confusiones. i i~ . - :::,El cuerpo pasa por un punto de altura hl con velocidad vl, y por un se. ~ . y:;.".L.@ndo punto de altura hz con velocidad 02. Sean XI y zz las abscisas del k, -; .. ..,??.

7,,,.*.

-

...

,~

;-

ic? :

.~,

..,

'..

-

134

~FWBAJO Y E N E R G ~ A

ENERG~AY TRABAJO.> .

135 -

primer tkrmino es el incrementode energis ehetiea; elsegundo, elde la-se- -.- &-----EL ~.. ... .., . .: 2 - . , = increment0 de energiapotencial, y la suma de ambos equivale a1 trabajo . : --realizado sobre el cuerpo. ; = F - mg sen cp = ma; o sea: $ - Como caso particular, si la fuerza F tiene tal magnitud que contra* .wrresta exactamente la fuerza mg sen cp, la aceleracion es nula, y u2 = vl; a = Flm - g sen t. p --.-.-. no hay increment0 de energia cinetica, y el trabajo realizado se traduce [F r* Ademhs, puesto que la aceleraci6n es constante, unicamente en un aumento de la energia potencial. Se obtiene .identic0 . ... :-.:,. resultado cuando se levanta un cuerpo desde una altura a otra, siguiendo uz2 = ui2 2a (x2 - XI), o sea: .ti::. . cualquier trayectoria sin .rozamiento. Si su velocidad tiene la -misma -z:?:i..;::.magnitud en 10s extremos de la trayectoria, .el trabajo realizado. a1 elevar . . . .- . .. . -. .. .. el cuerpo es igual a1 increment0 de su energia potencial. . ; . . Si el cuerpo se levanta de forma que no todas sus partes se eleven'.la distancia vertical, para calcular el incremento de energia potencial ES& ecuaci6n puede escribirse tambikn en la forma: ~-+1C?"-debe .... . utilizarse la altura que se ha elevado su centro de gravedad. 3:. .. ~, . >'., .. : C / z m ~ 2 ~ mgX2 sen cp) - ('12 mule m g x ~ cp) = F (a xl), .+ sen Otro caso especial de la Ec. [8-81 resulta cuando el plano es horizontal ..-- ... . . ;z .;:-r.-..... y h2 = hl. Como no hay incremento de energia potencial y todo el trabajo , . y; puesto que x2 sen cp = h2 y xl sen cp'= hl, se tiene, fhalrnente: .py.; . . . . realizado sobre el cuerpo se utiliza para aumentar su energia cinetica: aceleradora resultante es F rng .sen cp, de donde, en gunda ley de Newton, resulta:vifhtd'

-

..

'

-. .I , ?

'

i

+

,

+

-8.i

, -,7:

Los tCrminos entre pardntesis en el primer miembro de la ecuaci6n son, respectivamente, las energias final e inicial del cuerpo; la diferencia representa, por tanto, el incremenlo de energia que ha experimentado el mismo. El segundo miembro de la ecuaci6n es el frabajo rializado por la fuerza F; por consiguiente, el trabajo ejecutado por la fuerza F es igual (en este caso) a1 incremento de energia del cuerpo sobre el que ha actuado la fuerza. Decimos aue el trabaio t l d se hace sobre el cuerio por la fuerza F. Aunque la energia del cuerpo resulta incrementada en este Droceso,. no debe deducirse que s6 ha creado energia. El cuerpo (no re.presentado - en-la--figura9 -que - ha ejercido la fuerza experimenta en cada caso una disminucidn de enerQ eauivalente a1 trabaio redizado a i t por ~ i y, por tanto, i&al d incre, FIG.8-6.-El trabajo hecho psr la rueria F mento de energia del cuerpo sobre es igt~al la suma de 10s incrclnmlos dc enera gias cinetica y potencial de la masa m. el que se ha ejercido la fuerza. P'or tanto, hay tambidn conservaci6n de energia en este proceso cuando se consideran iodos 10s cuerpos que toman parte en el, y cualquier caso en el que se realice trabajo se reduce meramente a una transferencia de energia d e un. cuerpo a otro. La Ec. [8-71 se puede rcordenar en la forma:

P n el caso -- ---, y l aEfuerza F, general, cuando la fuerza forma un Angulo 0 con la superficie del p l a n ~ , : el Angulo ambos la fuerza acelera-. . dora en cualquier punto es8Focos 8-rngvarian durante el movimiento, propio diagrama) y sen p (ellector debehacersesu -- -*. . ... ... ....." -.*.): .~ . .,---.. dv do .. . .. -. - - . , * ". Fcose-rngsencp=rna=m-=mu,g $j.,.L+7 ~ P L O . - ~ la C ~ ~ ~ S ~ ~ presi6n atmosfBrica correspondiente a un dia en que la altura barometrica es de 76,O cm. La altura de la columna de mercurio depende de s y de g, lo mismo que la presi6n atmosferica. Por tanto, han de conocerse la densidad del mercurio y la aceleraci6n local de la gravedad. La densidad varla con la temperatura, y g con la latitud y la elevaci6n sobre el n i ~ e del mar. Todos 10s barbmetros de precisi6n esthn provistos de l un term6metro y a e una tabla. en la cual se encuentran las correcciones debidas a la temperatura y a la altura. Si suponemos g = 9SO cmlseg2 y p = 13,6 g/cm3,

-

Si suponemos que la temperatura de la atmbsfera es independiente de la altura (lo que no es una hipdtesis correcta), se tendri:

representa la presi6n atmosf8ica en la superficie de la Tierra, MSY en la cual y = 0, se tiene In po = C y In p/po = - -- , o bien: RTPO

Si

Esta relacibn se llama a veces ecuacidn barome'lrica. 16-3. Mantimetro.-El tipo m i s sencillo de manometro es el tub0 g. abierto representado en la figura 16-3. Se trata de un tub0 en forma ; de U que contiene un liquido; uno de 10s extremos del tub0 se encuentra a la presihn p que se desea medir, mientras que el otro extremo e s t i en comunicacidn con la atm6sfera. El punto m i s bajo de la U puede suponerse que corresponde a1 fondo de cada una de las columnas del tubo. L a presibn debida a la columna de la izquierda es mientras que la debida a la columna de la derecha es (p es la densidad del liquido del manbmetro). Puesto que estas dos pres h e s se refieren a1 mismo punto, son iguales; por tanto, P pgx = Po pg(x h),

..

(Aproximadamente un mi11611 de dinas por centirnetro cuadrado.) En rlnidades anglosajonas:76 cni = 30 pulg = 2,s pies;pg = 850 lblpies; po = 2120 Ib/piez = 1-1,i Ib/pulg2.

La presidn atmosfCrica puede expresarse tambien en Kglcrn2. AsI, en el ejemplo anterior. pu = 76 x 13,6 = 1033 glcmz = 1,033 Kglcrn?

+

+

+

4

P

I

tI

i

I I

FIG. 16-3.-Tubo nometrlco

ma-

La diferencia de alturas entre las columnas liquidas es, por consiguiente,, proporcional a la diferencia entre la presion p y la presibn atmosfCrica po. Esta diferencia, p - po, se denomina presidn rnanomilrica, mientras que la presi6n p es la presidn absolula. El - bardmetro de mercurio es sencillamente u n tub0 en U con una rama cerrada en !a que se h a

Una presion de 1,013 x 106 dinaslcm* o de 1,033 I 1.

$9

#arb

mrn4%

4e1$

4*

ndA44

a 490

22-1. E n dep6sito contiene 40 litros de nitr6geno a una presi6n absoluta de 1,5 Kg/cm" a una temperatura de 50 C. t C u 3 sera la presi6n si se aumenta el volnmen hasta 400 l i t r o ~y se eleva la temperatura hasta 2250 C? 22-2. Un litro d e helio, a la presi6n de 2 atm y a la temperatura de 270 C, se calirnta hasta que la presi6n y el volumen se dupliquen, a ) (,CuAl es la temperatura final? b) ~ C u d n t o sgramos de helio hay? 22-3. E n frasco de 2 litros de volumen, provisto de una llave, contiene oxigeno a 3000 K y a la presi6n atmosfirica. Se calienta el sistema hasta la temperat u n de 4000 K, con la llave abierta a la atm6sfera. A continuaci6n se cierra la Ilave y se enfria el frasco hasta su temperatura inicial. a) &CuAl es la presi6n final del osigeno en el frasco? b) ~ C u h n -

tos gramos de oxigeno quedan en su interior? 22-4. En el fondo de un lago, que tiene una profundidad d e 20,4 m, se forma una burbuja de aire de 1 cm de ' radio. La burbuja asciende desde el fondo (temperatura 40 C) hasta la superficie (temperatura 270 C). Si se desprecia la tensi6n superficial, ~ c u a sera el radio de l la burbuja a1 llegar a la superficie: a) si la burbuja estA constanternente a la temperatura del liquid0 que la rodea; b ) si no hay transferencia de calor entre la burbuja g el agua? 22-5. El submarino Squalus se hundi6 en un punto en donde la profundidad era 77- m. La temperatura en la superficie era 270 C, y en el fondo, 70 C.La densidad del agua del mar es 1,081. a) Si una campana de buzo que tiene forma de cilindro de revoluci6n de 2,4 m de altura,

abierto por el fondo y cerrado por su parte superior, se hace descender a dicha profundidad, ~ q u 6altura alcanzara el agua dentro de ella cuando llegue a1 fondo? b) LA qud presi6n manomktrica h a de comprimirse el aire sunlinistrado a la campana cuando se encuentre en el fondo, para expulsar completamente el agua de ella? 22-6. El cilindro de una bomba que cornprime aire a la presi6n atmosfirica dentro de un deposit0 de grandes dimensiones y cuya presi6n manornktrica es 60 lb/pulg2, tiene una iongitud de 10 pulg. a ) (,En qu6 punto de la carrera del dmbolo comenzarh a entrar aire en el depdsito? Sup6ngase que la compresi6n es adiabhtica. b) Si el aire entra en la bomba sera la a la temperatura de 270 C, ~ c u a l temperatura del aire comprimido? 22-7. Un tub0 capilar de 1 r de lonn gitud y diametro interior 1 mm esta cerrado en su extremo superior, mientras el inferior se encuentra justamente sumergido en la superficie llquida de un gran depdsito lleno de agua. a ) LCuAl es la altura del menisco en el tubo? b) ~4 qud distancia de la superficie debe estar el extremo sumergido para que el nivel. del agua sea el mismo en el interior y en el exterior del tubo? 22-8. a ) Deddzcase a partir de la ecuaci6n de estado la expresi6n de la densidad de un gas perfecto en funci6n de la presihn, temperatura y constantes apropiadas. b) Teniendo en cuenta las fuerzas que actlian sobre u n volumen infinitesimal de aire, de altura dh, deddzcase una eeuacibn, en funci6n de la densidad, de la variaci611 rclativa de la presibn con la altura en In atm6sfera terrestre. c) Combinense a ~ n b o sresultados y obtbngase por intcgraci6n la ecuaci6n que expresa la variaci6n de presi6n con la altitud. Sup6ngase que la temperatura y la intensidad de la gravcdad son independientes de la altura. 22-9. 2 moles de oxigeno se encuentran inicialmente a la temperatura de 27O C y ocupan un volumen de 20 litros. Se expande el gas primero a presi6n cons-

tante h a s t a duplicar s u volumen, y despuds adiabaticamente hasta recobrar la es temperatura inicial. a ) ~Cufil el incremento t o t a l de su energia interna expresado en calorias? b) (,Cut11 es, en calorias, el calor total suministrado? c) (,CuPl es, en julios, el trabajo total realizado por el gas? d) (,Cull es su volumen final? 22-10. Deddzcanse las Bcs. [22-261 y [22-271 a partir de la Ec. [22-251. 22-11. Para accionar un motor de aire se utiliza aire a la presi6n manomitrica de 21 I hnbitacibn? 23-16. Una vasija con agua se coloca cn una habitacibn cerrada cuyo voluInen es de GO rn3 y se encuentra a una tcmperatura de 2 7 O C. a) iCuAl sera la lrumedad absoluta, en g/m3, una vez alcnnzzdo el equilibrio? b) Si sc cleva a rontinuaci6n en l o C la temperatura de

la habitacibn, ~ C U A I I ~ O gmmos dc agua S se cvaporarAn'? 23-17. En UII sistelna de acondicio~ i a ~ n i e n tde aire es lleccsario elcvar la o hulnedad relatira de 3 mS de aire por scgundo desde 30% n 65 %. La teniperatura del aire es dc 200 C. ~Cuiintos kilogramos de vapor de agun se precisan POI. hora? 23-18. Hagase uso de la tabla 23-2 y de la figura 23-7 para hallar el calor de ~;1porizaci61i agua que hierve a 13 de presibu absoluta dc 16 l- !a velocidad V, velocidad de propngacidn La tension T en la Ec. [26-21 puede esprrtsarse en kilogramos (libras) newtons o dinas, y F,en unidades tecnicas de rnasa por metro (slugs por pie) kilogramos por metro o gramos por centimetro. Las correspondientes unidades de V seran mlseg (pies/se,o), mlseg o cmlseg. ObsCrvese atentamente que si 10s extremos de la cuerda estan fijos, no son las particulas de la misma las que -Fe desplazan, sino sencillamente la forma de la perturbacibn. Cualqui5r punto de la cuerda sr. eleva o desciende a1 pasar por 6 la 1 perturbacibn, para volver despues a su posici6n de equilibrio. La expresi6n matematica general para una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda, X se deduce de la forma siguiente: Consideremos un par de ejes ortogonales con el eje X a lo largo de la I posici6n de equilibrio de la cuerda; en un instante dado, para el cual , hacemos f = 0 la forma de la cuerda esta representada por la ecuaci6n y=j(z) (1=0).

.

1

Se ve por la Ec. [26-11 que la fuerza N es nula si la cuerda se desplaza a travCs del tub0 con velocidad tal que

Por tanto, si la cuerda se mueve con una velocidad igual a la raiz cuadrada del cociente de la tensi6n por la masa por unidad d e longitud, el tubo no ejerce fuerza alguna sobre la cuerda, y, en consecuencia,

-Yl+- Q X x ' [VCase la Fig. 26-2 (a)]. En un instante posterior t [Fig. 26-2 (b)], la onda ha avanzado, sin alterar su E una distancia " Constru~a' 26-3--En el tiempo t la onda avsnza una distancia V1. mos un nuevo eje I", como en la figura 26-2 (b), desplazado tambiin una distancia Vt hacia la derecha. Sea x' la abscisa de un punto referida a1 nuevo origen. L a ecuacidn de la cuerda en el instante t, en funcion de x', seri, evidentemente, la misma que la correspondiente a1 instante f = 0, en funcibn de x; es decir: I y = f(xl) (f = I). >formay

I

Del diagrama se deduce que x' = x - V1, por lo que la ecuacion en el instante t es

1r4'

.l!M

\I OVIXIIESTO ONDULATORIO

[CAP. 26 [26-31

/:I

SEC.

26-21

ONDAS TRASSVERS.UES

EN UNA CUERDA

495

i

y = f (X - Vt).

La Ec. [26-31 representa, por tanto, una onda transversal que se propaga hacia la derecha con velocidad V, siendo y = f(x) la forma correspondiente a1 instante f = 0. Si la onda se propagase hacia la izquierda, su ecuaci6n seria l = f(z j Vt).

quiera consecutivos que se encuentren en la misma fase) es la longilrrd de onda de la onda, y se representa por A. Puesto que la forma de la onda, que se propaga con velocidad constante V, avanza una distancia de una longitud de onda en el interval0 de tiempo de un periodo, resulta queA = V T , )i = Vlf, V = f h

[26-4 I

+

!:lo. '26-3.-Imagen(IIIV

sc.

de una onda sinusoidal propnjia hecia la derecha, a intervalos de s' d e periodo. !

Por supuesto, la forrna particular de la funcibn f(5) est6 determinada por la forma inicial dada a la cuerda. Veremos despuCs algunos ejemplos concretos. Supongamos ahora que uno de 10s e.xtremos de una cuerda tensa se hace vibrar peribdicamente en sentido transversal, con rnovirniento arrn6nico simple de amplitud Y, frecuencia f y periodo T = 1/f. De mornento supondrernos que la cuerda tiene suficiente longitud para poder despreciar 10s efectos en el extrerno alejado. E n lugar de la onda dnica considerado en la discusion precedente, un fren conlinuo de ondas transversales sinusoidales se propaga a lo largo de la cuerda. La forrna de una porcion de cuerda prbxirna a1 extrerno, a intemalos de 118 de periodo, esta representada en la figura 26-3 para un tiempo total de un periodo. Se supone que la cuerda ha estado vibrando durante suficiente tiempo para que su forrna sea sinusoidal a una distancia infin~tadel extrerno perturbado. Se deduce de la figura que la forrna de la onda avanza constantemente hacia la derecha, en tanto que cualquier punto de la cuerda (vCase el circulito negro) oscila con movirniento arrnonico simple en torno a su posicibn de equilibrioT La distancia entre dos rn6xirnos sucesivos (o entre dos puntos cuales-

Esto es, la velocidad de propagacibn es igual a1 product0 de la frecuencia por la longitud de onda. Nos proponernos ahora ottener la ecuacion de este tren de ondas sinusoidales. Si hacernos f = 0 en el instante en que la cuerda tiene la forma representada en la figura 26-3 (c), f(z) en el instante I = 0 sera:

y = Y sen-x,

2ir A

y, por tanto, en virtud de la Ec. [26-31, la ecuacibn de la onda es:2 ; y = Y sen - (z - 1:f).

>.

126-51

Si hacernos f = 0 cuando la cuerda tiene la forma de la figura 26-3 (a), f(x) en el instante f = 0 sera: 2x y = Y cos-x, A y la ecuacibn de la onda es: 2; [26-61 y = Y cos - (X - 1'1). A Si se hace I = 0 en un instante arbitrario, la ecuacion se escribe:y = Y cos-(zA

2x

- v t -so).

Puesto que se puede.hacer t = 0 en cualquier instante que nos convenga, por razones de sencillez utilizarernos la Ec. [26-61 para representar la onda. Si un tren de ondas sinusoidales se esta propagando hacia la izquierda, su ecuacibn sera, evidentemente: 2;;. y = Y cos- (xA

+ Vi).

[26-71 de que la Ec. [26-61 esCOS

Se propone , equivalente a corno ejercicio la dernos&acibny =YCOS~X

(- -;).=

Y

COS

2zf 1 - - = Y

" Y

(2:ft

--

2m) A

,196 .-

MOVIMIENTO OXDULATORIO

[CAP.

26SEC.

26-31

SERIES DE FOURIER

--

497

Quizi la mejor forma de convencerse de que las Ecs. [26-5J o [26-61 representan realmente una onda sinusoidal (o cosenoidal) qu,e se propaga hacia la derecha, consiste en trazar una grdfica de la ecuacion para unos cuantos valores de 1. VCase problema 26-1. E n cualquiera de las ecuaciones precedentes y representa k elongacion transversal (a partir de su posici6n de equilibrio) de un punto de la del cuerda situado a la distancia : origen, y en el instante 1. Debe recordarse (vease pAg. 27.7) que la expresibn general del desplazaoliento de una particula que vibra en la direcci6n del eje S con mo\-imienlo arrnonico simple es x = A cos (2x11 0o),

26-3. Series de Fourier.-En general, si u n a onda es originada por una perturbacidn de cualquier tipo, no nece-wiamente sinusoidal, su ecuacion es:

Y

= /(x

f Vf),

+

I.

dor~de es el desplazamiento; A , la amplitud, y 00, el Angulo d e fase inix cia1 o correccidn de fase. Para una vibracibn en la direccibn del eje Y, de amplitud Y , la ecuaci6n anterior se escribe: y = Y cos (2zff

+ 00).

I.-'

Si se compara con la ultima de las ecuaciones [26-81, se ccx~prueba 2;rx que son exactamente de la misma forma. El tdrmino - - corresponde h a la correccion de fase, 00. Por consiguiente, todos 10s puntos de l a cuerda vibran con movimiento arm6nico simple de las mismas frecuencia y amplitud; pero a medida que se avanza a lo largo de la cuerda a partir del punto x = 0, 10s sucesivos puntos se encuentran cada vez mAs desfasados con cl punto situado en el origen, ya que 00 es proporcional a x. E s importante distinguir entre el movimiento de la forrna de la onda, que avanza a lo largo de la cuerda con velocidad constante I-, ?- el rnoviniiento de las parliculas de la cuerda, que es arm6nico simple 5 trans. 3 versal a la misma. La velocidad transversal de una particula de 1 . cuerda es la derivada del desplazamiento transversal de la particuiz, o sea, dyldl. La aceleracibn transversal es duldf o d2yldt. Asi, para m a onda que se propaga transversalrnente, representada por la segunda de las expresiones [26-81, la velocidad transversal v, en el instante t, de una particula de abscisa 2, es:0

=-= =

dy dl

d df

[ ITcos 2 4 t - $11(

- 2x1 Y sen 2x1 t - -

La aceleracidn transversal, a, es:

3

correspondiendo el signo mAs a una onda que se propaga hacia la izquierda, y el menos, si lo hace ha(a, I cia la derecha. La forrna particular de la funci6n depende de la naturaleza de la perturbacibn (es decir, de la forma de la onda). La Ec.[26-61 es un caso especial en el que la funcion es el seno (o coseno) del product0 de una constante por (a: Vt). El interCs especial, sin embargo, de la Ec. 126-61 estriba en que cualquier funcidn periddica (esto es, una funci6n que se reproduce a si misma a intervalos de tiempo iguales) puede expresarse como suma de un cierfo ntimero de funciones frigonomtfricas, senos o cosenos. Esta propiedad fuC . descubierta por el rnatematico francCs Joseph Fourier en el aAo 1807, y se denomina feorema de Fourier. Por consiguiente, so10 precisamos hacer el desarrollo matematico para un problema de ondas sinusoidales. Si se conoce la ecuaci6n de la funcion peribdica arbitraria, pueden (c) calcularse las ondas sinusoidales que la integran. Si no se conoce la ecuacion, pero se dispone de una grafica de la funcion, pueden determinarse las ondas componentes mediante un instrumento llamado analizador ar26-4.4(1i vnaonda rectangular; ( b ) 10s tres p r su dc mdnico. La serie de senos o cosenos Fourier;i m e r-s t+-minos de tres dcsarrol1ter(c) . s d e estos Primcros cuya surna es igual a la funci6n dads minos. se llama serie o desarrollo de Fourier. Como ejemplo de una serie de Fourier, considerernos la forrna de onda rectan,cu!ar representada el1 la figura 26-4. El desarrollo de Fourier de esta onda es: 1 1 y = A sen x + - A sen 32 7 sen 5s -4 ... 3 5

+

+

+

Se comprueba en la figura que la suma de 10s tres primeros tCrminos de la serie proporciona una aproximacibn aceptable de la onda de perfil rectangular. 26-4. Ecuaci6n de la onda..-Va~ncs ahora a deducir la ecuaci6n difercricial de una onda que se propaga en una cuerda. Supongarnos que el eje .X de la figura 26-5 coincide cori la posicion de equilibrio de la cucrda, y que la curva reprcscnta su forma perturbada. Se supone que el desplazamiento real es muy pcquefio (como sucede en realidad con la cuerda de un instrumcnto musical) aunque aparece exagerado en la figl~rapara mayor claridad.

y C X vale cero. C Y puede escribirse: CY = T (sen O2 - sen I1) = T 3 (sen O).=

TA (tg O),

ya que para Qngulos pequeiios sen 8 es aproxirnadamente igual a t g 8. Finalmente, puesto que t g 0 = dyjdx, C Y = TA (dyjdx), donde A (dyldx) representa la diferencia de pendientes en 10s extremos del elemento. Aplicando ahora la segunda ley de Sewton, igualemos la fuerza resultante Y que actua sobre el elemento, a1 product0 de su masa por la componente de su aceleracion en direccion del eje Y. Sea p la masa por unidad de longitud, y sustituyamos la verdadera longitud As por su proyecci6n sobre el eje X, Ax. Se tiene:

En el limite, cuando Ax-,

0, las aproximaciones resultan exactas,

YFlc,26d.-F11rrzas que acluan sobre un elemento de cuerda cn In quc hay unn onda transversal.

o, finalrnente,

Consideremos de nucvo un elemento de longitud As, y descompongamos IR tcnsi6n en catla extremo en sus componentes X e Y . Se tiene:

CY1'1

C S = 7' cos 02 - T cos 8,; = T sen 02 - T ser! el.02' 04 . --.+ --"' 2 1 41

tlesarrollo en srrie del coseno cs: cos 8 = 1

y coino por hip*tesis 8, y 82 son rirlg~~los pequctios, se pueden desprcciar

10s ICrminos cn 02, 81, ctc.; por lanto, cos

o2 - cos o1 = 1 - 1 = 0,

1-a Ec. [26-91 es In ecuacidn difrrencial del movimiento ondulalorio, para ei caso especial cie ondas unidirnensionales. (Las ondulaciones superficialcs en ttn liquido o las ondas en una nlembrana tensa son ondas bidin~cnsionales; las ondas ;onoras o luminosas que se propagan e n todas las direcciones son tridimensionales.) 1-amos a den~ostrarq u e la ecuacion diferencial quc acabamos cle ded'ucir se satisface si y es cualquier -funcion de ( x f V t ) , donde V = XI .. Ida demostracion consiste senTi?. . d2y dzy y sustituir en la cillamente en hacer y = /(x 3 \'I), calcuIar - y-, dt2 dx2 ecuaci6n diferencial.

502

SIOYIJIIENTO ONDULATORIO

[CAP.

2'6

SEC.

26-51

ONDAS SONOR.+S EX U N G A S-

I

503

por y, y el de la derecha, por y Ay. Sea p la presi6n manomktrica en la cara de la izquierda, y p Ap, en la de la derecha. Si el elemento es de pequeiia longitud, Ap es despreciable, y puede admitirse que p es la presion manometrica a que se encuentra sometido el elemento en conjunto. La presi6n absolufa sobre el elemento (manornCtrica, m i s atmosfkrica), sera po p, y las presiones absolutas en sus caras, po + p y AP. Po p Si la seccion recta del tub0 es A, la fuerza que actua sobre la cara derecha del elemento s e r l -@o p Ap)A, y la existente sobre la cara izquierda, (po p)A. La fuerI--r--I -I za neta recuperadora es, por tanto, -ApA. Sea po la densidad del gas correspondiente a su presion de equilibrio, po; la masa del elemenI to valdra, pues, poAAx. E n virtud de la segunda ley de Ne\vton, po-

+

+

/

y en el limite:

+ +

+

I

Si re deriva esta ultima ecuacion respecto a :r, resulta:

!

+ +

+

I'

Llevando esta espresion de-C ~ P a la Ec. [26-101, se obtiene: dx , d2y=---. 1 :&zY " d l k ods' Puede verse que, salvo un factor constante, esta ecuacion tiene la misma forma que la Ec. [26-91, correspondiente a las oncias trans\-ersales en una cuerda. Deducimos, por tanto. quc las onclns tie compresion en un gas se propagan con una velocidad

I

,\

\

F = ma;

-ApAFIG. 26-7.-Elemento de gas en un tub0 en el que se propaga una onda longitudinal: (a) posicien de equilibrio; ( b ) posici6n desplazada.

=

d2y. poA AX d12'

Puesto que el modulo de compresibilidad B es el valor reciproco dc la compresibilidad k, la Ec. [26-131 puede escribirse tambien:

y en el Limite, cuando Ax tiende a cero:

IEl volumen del elemento en su posici6n de equilibrio es AAx. En su posici6n desplazada (vease Fig. 26-7), la abscisa d e su cara derecha es z. + AX + y + Ay, y la de su cara izquierda, x y. La longitud del elemento desplazado s e r i (x AX y 4 AY) - (.z: y) = Ax Ay, y su volunlen, A ( A r $ Ay). La variacibn de Volumen es, por tanto, A(Az $ b y ) - A Ax = AAy. E n virtud de la definicibn general de compresibilidad k (\.Case pig. 235):

+ +X

+

+

+

I

Aunque han sido deducidas para ondas que se propagan en un gas, las Ecs. [26-131 y [26-141 se aplican tambiCn a las ondas de comprcsion en un liquido, pero no a las ondas superficiales. Un razonamiento analogo (que omitimos) prueba que las ondas d e compresion en una varilla se propagan con velocidad

I

-

k= -

1volumen inicial

variaci6:: de vo!umen variaci6n d e presi6n

p =

--L

k Ax'

donde Y es el m6dulo de Young. E s un hecho conocido que la cornpresion de un gas origina una elevaci6n de su temperatura (y viceversa). salvo que el calor de compresion se elinline de a l g h modo. A medida que una onda de compresi6n Se propaga a traves de un gas, las regiones comprirnidas en un instante dado se encuentran Iigeramente m l s caIientes, mientras que 10s enrarecirnientos estln algo m i s frios. Sin embargo, las distalicias entre las compresiones y 10s enrareci~nientosson t a n grandes y se suceden tan rlpidamente 10s cambios de temperatura que, de liecho, no tiene Iugar

I

I

'

II II

504

MOVIMIENTO ONDULATORIO

[CAP.26

SEC. - 26-61

VARIACIONES D E P R E S I ~ NE N U N A O N D A - S O N O R A

505

ningun intercambio de calor entre las partes mis calientes y m6s frias de la onda. Por tanto, las compresiones son adiab~iicas lugar de isoen termas, por lo que en la ecuacibn de la onda debe utilizarse la compresibilidad adiabitica. Hemos vista (vhse pig. 434) que la compresibilidad adiabgtica de un gas es

17 m, para la nota de 20 ciclos, hasta 17 mm, que corresponde a 20 000 ciclos/seg. 26-6. Variaciones de presidn en una onda sonoral--El tCcnico de sonido prefiere manejar las variaciones de presibn de una onda sonora que ,los desplazamientos reales de las particulas de aire. La relacibn entre presibn y desplazamiento se obtiene derivando la Ec. [26-61 respecto de x, y combin6ndola con la Ec. [26-111; se tiene:

don& p es la presibn y y = C,]C* escribe:

En consecuencia, 14\ Ec. [26-131 se\.

y = .Y cos-dy

2xA

(x

- Vf);A

[26-61

126-163PO

dx

2xY sen -(x - Vt). . 2xA

Por tanto, en virtud de la Ec. 126-111:

1 !: 1 :,1

siendo po la presion de equilibrio absolufa, que puede expresarse en I(gln-12 (lb/pie2), newtonslm2 o dinaslcm2. La densidad po se da en utrnlm3 (slugs/pie3), Kglm3 o glcrn3 (y es un nlimero sin dimensiones). Las unidades correspondientes de la velocidad son mlseg (pieslseg) y cmlseg. En virtud de la ecuacion de 10s gases perfectos, se tiene:

2x p = - 2zY sen - (x - Vf). kh A Puesto que V =

, la igualdad anterior se puede escribir:p=

F:I .

1 *'

donde M es el peso molecular. Por tanto, otra forma de la Ec. (26-161 sera:

[2'?~r 1'-sen2x (z -

vr).

1 1 I 11

y, coma para un gas dado y, R y M son constantes, deducimos que la velocidad de propagation es proporcional a la raiz cuadrada de la temperatura absoluta. Apliquemos la Ec. [26-171 para calcular la velocidad de las ondas sonoras en el aire. El peso molecular medio del aire es 29, y = 1,40 y R = 8,3 x 107 ergioslmol. Supongarnos T = 3000K. Sustituyendo se tiene: 1,40 x 8,3 x 107 x 300 . ..29

Debe recordarse que p representa la presibn manometrica, es decir, el aumento o disminucibn de presion por encima o por debajo de la atmosfCrica. La expresibn entre corcl~etesrepresenta la presibn manometrica maxima, o arnplitud de presidn. Si se designa b t a por P, se tiene: 2x p = P sen- (x - Vl), dondeh

126-181

,A

p = -2xpoV2 Y.

[26-191

I I I 1 1 .

valor que concuerda bastante bien con la velocidad nledida a esta temperatura. I El oido es sensible a un intervalo de frecuencias sonoras comprendido entre 20 y 20 000 ciclos/seg. De la relacion V = jh se deduce que el interval0 de longitudes de onda correspondientes se extiende desde

La Ec. [26-191 relaciona las amplitudes de presibn y la elongacibn, por lo que una onda sonora puede considerarse como una onda de desplazamiento o como una onda de presibn. Si la prinera se expresa mediante una funcion coseno, la liltima sera una funci6n seno, y reciprocamente. Por tanto, la onda de desplazamiento est6 desfasada 900 respecto a la onda de presi6n. En otras palabras, en u n punto donde la elongacibn es maxima o minima, es nulo el exceso de prcsi6n; cuando la elongacibn cs nula, el aumento o disminucibn de presibn es m6ximo. Las medidas realizadas con las ondas sonoras prueban que las variaciones miximas de presibn, P, en 10s sonidos m i s altos que puede tolerar

el oido son de un orden de magnitud de 280 dinaslcm' por encimz o por debajo de la presib~i atmosfdricn, cuyo valor es, aproximadamente, 1 000 000 dinaslcm'; la elongaci6n maxima correspondiente, Y, puede calcularse mecliante la Ec. [26-191. Para A = 35 cm, que corresponde a una frecuencia de unos 1000 cicloslseg, se tiene: hP y=-2;rpo\.'"

= 1,07 x 10-3 cm, o sea, aproximadanlente, 10-hcm.

Ec. [26-171 se ha deducido sin referencia alguna a1 modelo molecular, prueba que la velocidad de una onda sonora y la velocidad media molecular est6n intimamente relacionadas. Puesto que y no excede nunca a 1,66, la velocidad del sonido en un gas es siempre inferior a la velocidad molecular; no obstante, las dos son del mismo orden de magnitud. Otro dato numCrico interesante es el recorrido libre medio de una mol6cuIa gaseosa que, a la presi6n atmosfkrica, es de unos 10-5 cm. La amplitud de una onda sonora dkbil puede alcanzar hasta una diezmilesima de este valor. Un elemento de gas a traves del cual se propaga una onda sonora puede compararse a un enjambrs de mosquitos. El enjambre en su conjunto oscila ligeramente, mientras 4ue cada uno de 10s insectos se. mueve aparentemente a1 azar dentro del mismo.

Par tanto, aun en 10s sonidos mas altos, las amplitudes de la elongaci6n son nluy pequefias. Las variaciones maximas de presi6n para el sonido de 1000 ciclos mks &biz que puecle pcrcibirse, son solo de unas 0,0002 dinaslcn~?La elongaci6n correspondiente es, aproximadanlente. 10-9 c n ~ .Como tCrmino de comparacion, la longitud de onda de la luz amarilla es j x 10-5 cm, y el diametro de un atomo es de unos 10-8 cm. Puede apreciarse asi que el oido es un organo evtraordinariamente sensible. Para simplificar, no hemos tenido en cuenta en la discusion precedente la naturaleza molecular de un gas, que hemos considerado como si fuera un flcido continuo. Saben~os,sin embargo, que un gas se compone de molfculas en morimiento cabtico, siendo 10s espacios exiatentes entre ellas muy grandes comparados con sus diimetros. Las vibraciones que constituyen una onda sonora estan superpuestas a1 movimiento cadtico de origen termico. Por ello, en la figura 26-7, p. ej., en la que se muestra un volumen elemental de gas en sus posiciones de equilibrio y desplazada, hay que tener en cuenta que ]as distintas molecuias no ocupan las mismas posiciones dentro del elenlento en ambos diagramas. Durante el desplazamie~lto algunas molkculas habran atravesado las fronteras del elemento, y sus huecos 10s habran ocupado otras molCculas -- procedentes de 10s elementos pr6ximos. Puesto que las nloleculas de un gas no estan en contacto, un impulso comunicado a una molecula no puede transmitirse a otra hasia que 12 p-imera ha recorrido la distancia que las separa y clloca con la segunda. Par ello es de prever una estrecha correlacion entre ias relocidades moleculares y la velocidad del sonido, y, en particular, czbe esperar que la velocidad del sonido no exceda a la velocidad molecular. La teoria cinCtica d a como velocidad media de una molkcula (\.ease-

.

PROBLEMAS 26-1. Una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda tensa esta representada por la ecuaci6n

mientras que de /a Ec. [26-171 re deduce piig. 477), c = , -- 3.1 t111cla velocidad d e una onda sonora es l7 =

Sea Y = 24 mm, A = 48 mm y \' = 6 mmlseg. a) Calc6lese para' el inst a n t e 1 = 0 la elongacidn y, a i n t e r ~ a l o s d e 6 mm de x (es decir, para x = 0, x = 6 mm, z = 12 mm, etc.) desde Pruebese que esta funcibn es una solux = 0 a x = 96 mm. RepresBntesen 10s ci6n d e la ecuacidn diferencial [26-91, resultados en una grifica, que d a r i la obteniendo dZyldl2 y d2yldxZ y sustituforma d e la cuerda en el instante 1 = 0. yendo directamente en la Ec. 126-9). b) Repitanse 10s cilculos, para 10s mis26-5. La ecuacibn de una onda transrnos valores de x en 10s instantes 1 = 1 seg, versal es: 1 = 2 seg, 1 = 3 seg y 1 = 4 seg. h . 1 ~ 6 ~ trese en la misma grifica la forma d e la cuerda en cada uno de estos instantes. & E n quB direccidn se propaga la onda? 26-2. Dernuestrese que las tres ecuadonde x e y e s t i n en centimetros, y 1, ciones [26-81 son formas equivalentes en segundos. ~ C u i l e sson la amplitud, de la Ec. (26-61. longitud de onda, frecuencia y velocidad 26-3. La serie de Fourier corresponde propagacidn de la onda? diente a una onda en dienle de sierra es: 26-6. La ecuacidn de uua onda transversal q u e se propaga en una cuerda es: A y = A sen 3: sell 2 1 2 y = 2 cos [x(0,5x - 200 l)],=

Representense 10s primeros cuatro terminos de la serie y calcdlese gr4ficamente su sunla. T h e s e como escala en el eje X x radianes = 25 mm y higase A = 50 mm. 26-4. La ecuacidn d e una onda sinusoidal q u e se propaga en una cuerda tensa es

-

A A + -sen 3x -- -sen 3 4

41:

+ ...

donde x e y, e s t i n en centfmetros, y 1, en segundos. a ) Hillense la amplitud,

..

- -.+ .

-

-

.

--

para ontlas sonol.;~sell el airc: b) para ontlas sot~o~.:~s cl agua. (\'C;~ac cl procn blema 26-10.) 26-12. Las o~ttlas sotloras erllititlas par u ~ taltavoz se propagan cnsi uttilor~ t ~ c t t ~ e t l t et o d s dircccioncs cuando su en longitutl de o~lclncs grantlc cott~paratla con el dih~netro altavoz. Si la longitud tlcl dc ontla cs ~)cquciia II relacicin con el di5tnctro dcl altavoz, a ntayor parte tlc la encrgia se concc~ttrahacia adelante. Calcitlese, para un altavoz de 31) cm de dian~ctro, la frccuctlcia para la cual la longitud de onda de las ondas sonoras, en el aire, es: a) 10 veces el dianletro del donde 1 cstd ell segut~tlos, r e y, e t ~ y pies. altavoz; b) igual a1 dihnetro del altavoz; a ) C a l c i ~ l e ~ ~lac atnl)litud. longitucl de s c) 1/10 del dihmetro del altavoz. ottda, frccuc~~cia velocidad dc propay 26-13. a) A la temperatura d e 270 C, gaci6rt. b) L)cdtizrnse ulla ccunci611 que Len ctthntos m/seg aumcntard la velodC dy/rl.r CII funricin tlc x ?- I. jCuAl cs cl ridad del sonitlo en el aire por cada grado valor misinlo de dy!l!dr? bCuAl cs In centigrade que se eleve la temperztura? te~lsidttmdsima'? c) 1)ctluzcase una ccuaIltdicocion: Calc~ilesed V en funcion d e ci6n para la velocidatl d e ia particula, dT, y sustitliyanse las diferenciales por dy/dl, c t ~funci611 de x y I. jCuhl es el 10s incrementos finitos. b) &Es Ia misma, valor n~asittlo tle esta velocidad? a todas las temperaturas, la raz6n del in26-8. a) iCudl es la velocidad transc r e m e n t ~de la velocidad a1 increment0 versal maxima de utla particula de la de temperatura? cuerda a que hace referencia el problema 26-14. jCuil debe ser la tensi611 d e 26-l? b) Y la aceleraci6n trat~sversal utt alambre methlico cuyo modulo de tnasittta'! c) H ~ l l c ~ la selongacidn, velo~ c Young es Y, para que la velocidad de las cidad y ;~ccleracidtt tlc una particula clc ondas longitudinales sea diez veces mala cuerda cuya absrisa es 18 mnt, elt el yor que la de las ondas transrersales'? it~stante = 2 seg. i(,ub sipnificado tiene 1 26-15. A la Lernperatura d e 2 7 C, ~ el sigrto ncgativo? jcual es la velocidad de las ondas sono26-9. UII alantbre tle acero de ti 111 ras: a) en el argon; b) en el hidrGgeno? de lottgitutl tiene u ~ t antasa de 60 g y Conlpirettse con su velocidad en el aire e s t i son~etido una teltsi611 de 1000 new. a 3 la misma temperatura. ~ C u a l la velocidad de propagaci611 tie es 26-16. PruCbese que la relacidr~exisuna onda transversal ett el alantbre? te~rteentre la amplitud I-' de la presi6n 26-10. La velocidatl d e las ottdas soy la atnplitud Y de la elongaci6n de una noras en el agua es, aprosimadamente, onda sotlora de un gas puede escribirse: a 200 C, 1-130 m/seg. Calcrilese 1.1 compresibilidad adiab6tica del a f u a y cotnparese con la con~presibilidadisoterma que figura en la tabla 12-2. '26-17; a) La amplitud d e la presi6n 26-11. Siempre que la atnl)litud sea de la onda sotlora ~ n h s dCbil de frecuencia suficiente~nentegrande, el oido humano 100 ciclos/seg, que puede percibir una puede percibir ondas longitudinales compersona de buen oido, es alrededor d e pret~didasen un intervalo d e frecuencias 0,W2 dinas/cmt. ~ C u a lcs la atnplitud d e de 20 a 20000 ciclos/seg, aprosimadala elongaci6n de la onda que se propaga mente. Calcular las longitudes de ottda en el aire? La an~plitudde la presi6n del correspondientes a estas freroencias: longitutl dc ontl;~,prrioclo \- vcloritl:~clclr 1)ropag;1t-i611. ) T15ccsc t t ~ i :grJlir;l dc O ~ la fortn:~ ilc 1:1 rucrtl:~ ctt Ins illstantes I = (1. 1 , 0,(10'15 seg y I = o,oo.', scg. C) Si 1;1 tnasi~por unidad d e lot~giludclc In ruercla es 5 g/cttt, 1tAllese la tcnsi611. 26-7. La ccuncid~t de urta ot~tlaIongiludinnl, quc sc propaga en una v:~rilla d e dcnsitl;~cI 15.2 slugs/pie3, r s(I)

YHOBLEMAS

- 509 -

t !4 I,

I

.

F

sonido tolerable mas intenso d e Irecuencia 100 cicloslseg es de unas 200 dinas por centinletro cuadrado. 6 ) LCuhl es la amplitud de la elongacidn si la onda se propaga ell el aire? c) LY si se propaga en el agua? 26-18. La \7elocidad del sotlido en el aire a tcmperatura y presicin norn~ales es, aproximadamente, d e 330 n~/seg.

a) ~ C u h les la longitud d e onda de una nota d e frecuencia igual a 10 kilociclos por segundo? b) ~ C u h les la magnitud de la fluctuation de temperaturas en un punto cualquiera d o ~ ~ d sei s t e una onda e sollora cuya amplitud de presi6t1 es 10 dinas/cm2? c) iCuAl es la distancia entre 10s puntos dc t c n ~ p e r a t ~ t r mbxin~a y a minima en la ontla citada CII ( I ) ? '

f 4 4

'f I

ct4 t

'

i(I(....

'4 4

t4

:I

4

8

iI

1

I4

SEC. 37-11

CONDICIONES EN LOS EXTREMGS DE U N A CUERDA

511

!

VIBRACIONES DE CUERDAS Y D E COLUMNAS D E A I R E27-1. Condiciones en 10s extremos de una cuerda.-Consideremos ahora lo que sucede cuando un tren de ondas, que avanza a lo largo de una cuerda tensa, llega a1 extremo de la misrna. Si el extremo esta sujeto a un soporte rigido, tiene que permanecer evidenternente en reposo. Cada sacudida que Ilega ejerce una fuerza sobre el soporte, y la reaccion a esta fuerza actha sobre la cuerda y engendra una sacudida reflejada que se propaga en sentido contrario. El caso opuesto a1 de un extremo rigidamente fijo seria uno que estuviese perfectamente libre, caso que no es de gran importancia para nuestro objeto presente (y qne puede realizarse mediante una cuerda que cuelgue verticalmente), pero que tiene inter& teorico, puesto que su analogo se presenta en otras clases de movimiento ondulatorio. En el extremo libre, la sacudida que llega contintla propagindose, pero en sentido contrario, originindose tambiPn una onda reflejada. Las condiciones que deben satisfacerse en 10s estrernos de una cuerda (tales como y = 0 en el extrerno fijo) se denorninan condiciones en 10s extremos. La fotografia de iluminaciones sucesivas de la figura 27-1 muestra la reflexion de una perturbaci6n en el extrerno fijo de una cuerda. (La camara podia girar alrededor de un eje horizontal y las fotografias fueron tornadas de mod0 que las imigenes sucesivas se encontrasen una debajo

;b

I.'!(>.27-1.-Unn

perturbacidn clile parte del angulo superior izquierdo se refleja sobre el extremo fijo de (a derecha) de la cuerda.

de otra. La cuerda es un tub0 de goma q u e esta algo curvado.) Se ve que la sacudida se refleja, invirtikndose las elongaciones y la velocidad. Cuando la reflexion tiene lugar en un estremo libre, la direction d e la velocidad se invierte, pero el sentido de la elongaci6n no se modifica. Es util imaginar el proceso de la reflesion en la forma siguiente: Supongamos que la cuerda se prolonga indefinidamente mas alla d e su longitud real; puede considerarse que la perturbacion continua en una parte imaginaria de la cuerda como si el soporte no existiera, mientras que a1 mismo tiempo una perturbaci6n v;rfual, que ha estado propagindose en Iti parte irnaginaria, se mueve hacia la parte real y forma la perturbaci6n reflejada. La naturaleza de esta ultima depende I = j ( - - V I ? de que el extremo estC libre o fijo. En la figura 27-2 estan representados 10s dos casos. La perturbacibn virtual su= - I ( - r t V 0 perior, de linea de tra20s. uue corres~ondea 1FIG. 27-2.-Cna perturbacl6n ]a refiexibn en in extre- la izquierda se compone con virtual que s e propaga desde la perturbaei6n inicial para f o m a r la onda reflcjada. m0 libre, tiene la misma forma que tendria la h a g e n de la onda incidente si Csta se reflejase en un espejo situado en el plano Y-Z. La perturbaci6n virtual inferior, que corresponde a la reflexion en un extremo fijo, es la imagen de la superior, producida por un espejo colocado en el plano X-2. I\Iatematicamente, la ecuaci6n del primer tip0 se obtiene sustituyendo x por -x en la ecuacion de la onda incidente, mientras que la del segundo tipo resulta cambiando, ademis, f por -1. Esto es, si la ecuacion de la onda en la cuerda es f(r - \ ' I ) , con10 en la figura 27-2, la ecuacion de la onda reflejada en un estremo libre, en la que solo se invierte la velocidad, serh f ( - z + \-[I. mientras que la ecuacibn de la onda reflejada en un estremo fijo es y = - f ( - z 1.1). El desplazamiento, o elongation, en tin punto en el que se cruzan las perturbaciones reales o virtuales, es la suma algebrica de las elongaciones producidas por las distintas perturbaciones. Las figuras 27-3 y 27i-1 muestran la forma del extremo de la cuertla para ambos tipos de perturbaciones reflejadas. Se vera que la figura 27- 3 corresponde a un extremo libre, y la 27-4, a un extremo fijo. En el ultimo cas0,-las perturbaciones incidente y reflejada se componen d e mod0 que el desplazamiento del extremo de la cuerda es siempre nulo.

+

SEC.

27-21

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

513

Ondas estacionarias en una cuerda.-Cuando . un tm continuo de ondas llega a1 extremo fijo de una cuerda, parece como si en dicho extrerno se engendrase un tren continuo de ondas reflejadas que se propagan en sentido opuesto. Siempre que no se sobrepasen 10s limites de elasticidad de la cuerda, y las elongaciones sean suficiectemente pequeiias (vCase Sec. 26-4), la elongaci6n real en cualquier punto de aquella es la suma algebrica de las elongaciones corresp ndientes a las27-2.

Y

ondas indiGiduales, hecho que se conoce con el nombre de principio de superposicidn. Este principio es extraordinariamente importante en todos 10s tipos de movimiento ondulatorio, y se aplica .no sdlo a las ondas i i - qu'e se propagan en una cuerda, sino a las ondas sonoras en el aire, a .!{-.: las ondas luminosas, y, en general, a cualquier clase de movimiento -.: ondulatorio. Se aplica la expresi6n general de interferencia a1 efecto : producido por dos (o m6s) conjuntos de trenes de ondas que pasan sirnul-. . aneamente por una regi6n .determinada. $.?. El aspect0 de la cuerda en tales circunstancias no patentiza que dos .... ,-,. L . : ondas esGn recorriendo la cuerda en sentidos opuestos. Si la frecuencia es : ,i ;:'i,

.

,

: ' t

,,

. . . . .. .. .

. . . . : . .

: - ?

.

, .., .

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-: .

RG. . . 27-5.---(a) Ondas estacionarias en una cuerda tensa (con exposici6n). . .. . . . . . . . . . ... . ... .* .- .. . . . ........ '... . . , .

I

FIG. 27-5.-(b) Fotografia con lluminaclones sucesivas de una onda estacionaria. con nodoen el centro y en 10s extremos.

suficientemente grande para que el ojo no pueda seguir el movirniento, la cuerda aparece subdividida en un .cierto ndmero de segmentos, como la fotografia con exposici6n de la figura 27-5 (a). Una fotografia con minaciones sucesivas de la' misma cuerda [Fig. 27-5 ( b ) ] muestra algus-delas formas instantheas de Ia cuerda. En cualquier instante (except0 cumdo la forma de la cuerda es una linea recta) su forma es la de una cuwa sinusoidal, per0 mientras que en una onda que se propaga, la amplitud permanece constante en tanto la onda avanza, a q u i la onda formada permanece fija en posici6n (longitudinalmente) mientras la amplitud varia. Ciertos puntos, llamados nodos, permanecen siempre en reposo. Los puntos equidistantes de dos nodos consecutivos, denominados uienires, tienen amplitud m6xima. La vibracibn en conjunto se denomina onda esfacionaria. .. La expresi6n analitica de una onda estacionaria sinusoidal puede educirse como se indica a continuacion. Supongarnos q u e : u n tren deyl =YSEARS.

'

FIG.27-3.-RcIlexi6n en un extrerno libre.

FIG.27-4.-ReIlex16n en un e-o

lljo.

I't .

2n cos -( - Vf) zA

I.-33

-

~

' m i511VIBRhCIONES DE CUERDAS Y DE COLUSINAS DE AIRE . ..

1 -.[CAP.

27

SEC.f

27-31

V

~DE

UNA ~ CUERDA FIJA POR ~ ~ AMBOS EXTREMOS ~

~ - 515 -

6

~

incide en el extreme fijo de una cuerda. La ecuacibn de la onda reflejada se obtiene sustituyendo primer0 X - Vf par -X-Vi, lo que equivale a una de ]as reflexionesindicadas en la figura 27-2; a continuaci6n se sllstituye y par -Y, 10 que equivale a la segunda reflexi6n. Par tanto, ~ ' tren de onda reflejado viene dado por 1yr =0,

Para valores de x tales que

1)I

2 m / h = 0, x, 2x, etc., la a m ~ I i t ~ dnula, 0, en otras palabras, estos punto. permanec.n es Pre en rePoso y son nodos. En 10s puntor donde 2m/A = 4 2 , 3x12, etc., la a m ~ l i t u d maxima e igual a 2Y. Estos puntos son 10s vientres (anties nodos). Los nodes se encuentran en 10s puntos en 10s que= 0, - S

siem

-Y cos 2x (A8,27c cos- (x A

x -Vf),

i

dado que cos (-8)

= cos

i

' ',., '' 'II4 ,q,

yz = -Y

+ Vf).A

t i1

i

m

!1

A 2 3A A

par el principio de superposici6n, la elongacibn resultante serb:

2

--, -, etc., 2 2

y

= yl

+ yz = Y

-

2% V f ) - cos-(x

+ Vf)

1

y 10s vientres, en 10s correspondientes a

I.

1 ,m m I lm,f I,,-

Sustituyendo 'en esta ecuaci6n las formulas que dan 10s cosenos de la sulna de la diferencia de dos ingulos, y reduciendo terminos, se obtiene: 2zx [27-11 y = 2Y sen -sen 2 4A

-- 3A 5 1 A,49

! 1.'

1:.li

i

T ,etc.

,

1!I

coma ecuaci6n de la onda estacionaria. En un instante dado se puede escribir:2Y sen 2$

:'

I

sen ',.

~ T J

I m

I

'1

mn ,@ I

La forma de la onda en cads instante eS, pOr tanto, Una sinusoide cuya ampli,.ud (erpresi6n entre corchetes) varia sinusoidalmente con el tiempo. Para valores de f tales COmo 2 ~ f= 0, n, 2n? etc., la amp1itud es "la y l la cuerda ,es rectilinea: para 2nff=z/2, 3x12, 55x12, ktc.9 la a n l ~ l i t u d pass par un miximo, igual a 2Y, suma de las amplitudes de las ondas que interfieren. Par otra parte, si nos fijamos en un punto particular de la cuerda y escribimos la Ec. [27-l] en l a forma

'.

tanto, 10s nodos estan separados por media longitud de onda, y 10 mismo sucede con 10s vientres. 27-3- Vibraci6n de una cuerda fija por ambos extremas.-Hasta ah01-a nos hemos limitado a una cuerda larga fija por un extreme y hemos estudiado ondas estacionarias producidas junto a dicho extreme pOrinterferencias de 1% ondas incidentes y reflejadas. Consideremos ahora mas corriente, en el que la cuerda est.5 fija por ambos extremes. Un tren continuo de ondas, representadas por senos o cosenos, se refleja en dichos extremes, y como 6stos estin fijos, 10s dos deben ser nodes. Puesto que 10s nodos estan separados por una distancia igual a una semilongitud de onday la longitud de la cuerda puede ser 0, en general, un numero enter0 de semilongitides de onda; 0 bien, para ex~resarlode otro' m0d0, si consideramos una cuerda determinada, de longitud L, pueden origiaarse ondas estacionarias en la cuerda para vibraciones de diferentes frecuencias, a saber: todas aquellas que' pro2L 2L 2L duzcan ondas de longitudes - - -e t c . 2 y 3, E n +dud de la relacibn f = V/h, y puesto que V es la misma para todas las frecuencias, las posibles frecuencias son:

.

-

*L

vcmos que cads punto de la cuerda efectda U movimiento armdnico n silllple de frecuencia /, per0 cuya amplitud (expresibn entre corchetes) dcpende de la posicibn del punto. A1 rcv6s de 1 que sucede con una Onda . 0 rlLle se pmpaga @ease pbg. 496), to do^ 10s puntos situados entre cads (10s nodes vibran en fuse uno con otro.

EY2z;.

v

v

3%,

v ...

I

II

I, '

La frecuencia mhs baja, V/2L, se denomina frecuencia fundamenfal,fo Y las otras son 10s armdnicos. Las frecuencias de estos idtimos son, por

. .

. .

..

-

---

-. .-

~. .

_.

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.

.

_.

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.

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-

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I

4I

i!

SEC.

27-31

V I B R A C I ~ ND E U N A CUERDA FIJA P O H ABIBOS EXTREMOS

517

consiguiente, 2Io, 310, 410, etc. Estas frecuencias forman una serie de armdnicos, y la fundamental constituye el primer armdnico. La frecuencia 2io es el segundo armdnico, la 310 es el fercer armdnico, y asi sucesivaniente. Podemos apreciar ahora una diferencia importante entre un sistema constituido por un peso y un resorte, y una cuerda vibrante. El sisterna del peso y dcl resorte posee s610 una frecuencia propia, mientras que la tiene.un numero infinito de frecuencias propias: la funcuerda ~ i b m n t e damental y todos 10s armbnicos. Si tiramos hacia abajo de un peso suspendido de un resorte y lo abandonamos a si mismo, s610 se producira una frectiencia de vibracion. Si se ha deformado inicialmente una cuerda de nlodo que su forma sea la misma que corresponde a uno cualquiero

.+ '

de 10s arm6nicos posibles, vibrari, cuando se la abandone, con la frecuencia correspondiente a dicho armonico particular. Si se golpea o pulsa una cuerda de mod0 arbitrario, para que su forma no sea sinusoidal, la perturbacibn inicial puede expresarse mediante un desarrollo de Fourier o suma de ondas sinusoidales de longitudes de onda iguales a las de 10s posibles arm6nicos de la cuerda. La vibracion resultante es, pues, una mezcla de ondas estacionarias, debidas a las componentes de Fourier de l a perturbacibn inicial. Asi, cuando se golpea una cuerda de piano, no so10 estin presentes en el sonido emitido el correspondiente a la frecuencia fundamental, sino muchos de 10s arm6nicos. Ademas, mientras un sistema peso-resorte resuena imicamente con una frecuencia, una cuerda tensa reso~ar5bien con su frecuencia fundamental o con cualquiera de sus arm6nicos. Las amplitudes de 10s distintos arm6nicos dependen de la forma particular en que se haya pulsado la cuerda. E l lono del sonido musical emitido por la cuerda esti determinado principalmente por la frecuencia del sonido fundamental, y el flmbre depende del numero de arm6nicos presentes y de sus amplitudes. Si la cuerda fuera perfectamente libre para moverse transversalmente en uno u otro de sus extremos, Cste seria un vientre en lugar de ser un nodo. Esta circunstancia no puede realizarse experimentalmente con una cuerda sometida a tension, pero una situaci6n aniloga se muestra en la fieura 27-7. aue es una foto-

FIG.

27-7.-Fotografia

con iluniinaciones

una varilla.

I I I

.

. . FIG.27-6.-Reflexi6n

de una onda aislada en 10s extremos fijos de una cuerda.

Los instrumentos de cuerda suministran muchos ejemplos de las consecuencias de esta ecuaci6n: p. ej., en 10s instrumentos que se afinan variando la tension F, un increment0 de la tensi6n aumenta la frecuencia 0 tono, y viceversa. La proporcionalidad inversa de la frecuencia y la longitud L .queda demostrada por la mayor longitud de las cuerdas del piano que corresponden a las' frecuencias bajas, si se compara con la menor longitud de las cuerdas correspondientes a 10s tonos altos; como ,asimismo por la mayor longitud de las cuerdas del violonchelo comparada con la menor longitud de las cuerdas del violin. Una raz6n para rodear las cuerdas bajas del piano con alambre es aumentar la masa I* por unidad de longitud, -0bteniendo. asi la frecuencia baja deseada sin acudir a una cuerda excesivamente larga.

SEC.

27-51

OXDAS ESTACIONARIAS EN UNh COLU.\INA DE A I R E

519

J- (

Vibraciones de membranas y p1acas.-Si se golpea en un punto una membrana flexible y tensa, tal como la d e un tambor, se propaga desde el lugar del golpe una perturbaci6n de dos dimensiones que se refleja repetidas veces en el b ~ r d e la membrana. Si algun punto de de la membrana es obligado a vibrar peribdicamente, se propaga a traves de la membrana un tren continuo de ondas. Igual que en una cuerda (a) tensa, pueden producirse en la membrana ondas estacionarias, y f -lSO3h k cada una de estas ondas tiene su frecuencia propia. La frecuencia mhs baja. es la fundamental, y las otras son 10s armonicos. E n general, cuando la membrana vibra hay cierto numero de arm6nicos (t) '' presentes.27-4.

0(3 ( 'j

Los nodos de una m e m b r a ~ a vibrante son lineas (lineas nodales) en lugar de puntos. El contorno de la membrana es evidentemente una de estas lineas. Algunas de las otras posibles lineas nodales de una membrana circular est5n indicadas en la C I, " ' ' /' I . \ figura 27-8, con las formas d e viI - /' '-I/ braci6n dispuestas en el orden de las frecuencias crecientes. L a fre, 3,59g,,, J 2.91n1. cuencia propia de cada forma de . FIG..L;-s.-Formas posibles de vlbracidn de da en funci6n de la vibracibn llna medrana, mostrando las lineas nodales. I frceuencia de cada una de ellas esta dada n fundamental fo. Se observara que en funci6n de la frecuencia fundamental, fo. las frecuencias de 10s armonicos no son multiplos de lo;esto es, no son en realidad armonicos. La fuerza recuperadora, en el caso de una membrana vibrante flexible, procede d e la tension a que est6 sometida. Una placa metAlica, si es suficientemente gruesa, vibrar6 de un mod0 analogo, estando producida la fuerza recuperadora por 10s esfuerzos de flexion de la placa. E l estudio de las vibraciones de membranas y placas tiene importancia en relacion con el disefio de diafragmas de altavoces, y de receptores y microfonos tclef6nicos. ondas lon27-5. Ondas estacionarias en una columna de aire.-Las gitudinales que se propagan a lo largo de un tub0 de longitud finita, se rcflcjan en 10s extremos del mismo en forma andloga a como las ondas Ir:~nsvcrsalesen una cuerda se reflejan en sus extremos. La interferencia csl1tre las ondas que se propagan en sentidos opuestos origina ondas v\Incionarias, y el tubo, a1 igual que la cuerda, posee un nlimero infinito t l t : rrrcucncias propias.

0u)o2,135s f1

.)O1

-

2

, 18 ~

,

-

,

L

Si la reflexi6n se produce en un extremo cerrado, la elongacion dc las particulas en dicho extremo ha de ser siempre necesariamente nula; por tanto, el extremo es un nodo de elongacidn. No obstante, puesto que 10s puntos de elongacibn nula son puntos de variacion maxima de presibn, el extremo es un uienfre de presibn. Si el extremo del tub0 esta abierto, la naturaleza d e la reflexion es mucho m5s complicada y depende de si el t u b 0 es ancho o estrecho comparado con la longitud de onda del sonido. Si el tub0 es estrecho comparado con la longitud de onda, como es el caso en la mayor parte de 10s instrumentos musicales, la reflexion es tal que hace que el extremo abierto sea un uienfre de elongacidn o un nodo de p r a i d n 1 E s 16gico que suceda . esto ultimo y a que si el extremo esta abierto a la atmosfera, cs de esperar que la presibn en el mismo permanezca constante e igual a la presion atmosfkrica. P o r consiguiente, las ondas longitudinales en una columna de fiuido se reflejan en 10s extremos cerrado y abierto del tubo, del mismo mod0 que las ondas transversales d e una cuerda se reflejan en 10s extremos fijo y libre, respectivamente. Las reflexiones en las aberturas por las cuales es accionado el instrumento son tales que en la abertura (o junto a ella) se produce un vientre de la elongacion (nodo de presion). La longitud efectiva de la columna de aire de un instrumento de viento queda, por tanto, menos definida que la longitud de una cuerda fija por sus extremos. Las vibraciones de las columnas de flliido de 10s instrumentos de viento est6n excitadas por algun tipo de vibration en uno de 10s extremos de la columna. Estas vibraciones pueden ser las de 10s labios del .mdsico (trompeta, trombon) o de una lengiieta (clarinete, oboe) o pueden originarse por un soplo de aire a travCs de ur.a abe