Segura 2013 -- Los Teoremas de Bienestar y la distribución del ingreso - 18 abr - 2013

Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash

Los Teoremas de Bienestar y la Distribución del Ingreso Tres Ejemplos

Versión 1

J.C.Segura Ms.Sc.

Universidad de La Salle Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela Colombiana de Ingeniería

Facultad de Economía

[email protected] / [email protected] / [email protected] URL: http://microeconomica.googlepages.com / twitter: @JackFlash

Bogotá, D.C., Mayo de 2013

mailto:[email protected]



http://microeconomica.googlepages.com/


Introducción

Los Teoremas Fundamentales del Bienestar plantean la posibilidad de hacer compatibles requerimientos mínimos normativos respecto de cualquier asignación de recursos que quepa considerarse: eficiencia y equidad.

Si dichos objetivos son considerados por la sociedad, es posible decir que, en ausencia de coordinación centralizada y/o de un Planeador Central como el que surge necesariamente de las conclusiones del Teorema de la Imposiblidad de Arrow1.

En efecto, aun cuando el Teorema de Arrow es un resultado analítico, con frecuencia suele expresarse mediante asertos como, entre otros: “Ningún Método de Votación es Justo”, “Todo ordenamiento basado en votaciones es defectuoso”, “El único método de votación que no no es defectuoso es una dictadura”.

Dichas proposiciones son en general falsas. Más bien, lo que el Teorema de Arrow quiere establecer es que un mecanismo de votación preferencial determinista, —uno en el cual el orden de preferencias es la única información disponible en un voto, y en el cual cualquier subconjunto propio de votos da un resultado único—, no tiene por qué cumplir con las condiciones de Arrow en forma simultánea:

1 Arrow, K.J., "A Difficulty in the Concept of Social Welfare", Journal of Political Economy 58(4) (August, 1950), pp. 328–346.


Las Condiciones de Arrow

Dominio no restringido o universalidad2: la Función de Bienestar Social debe crear un orden completo para cada posible conjunto de preferencias individuales. Como consecuencia, el resultado del voto debería poder ordenar todas las preferencias y el mecanismo de votación debería poder procesar todos los conjuntos posibles de preferencias de los votantes.

No imposición o criterio de Pareto débil: si A ≿𝑆 a B, debe existir al menos un 𝑖 ∈ 𝑚 para el

cual A ≿𝑖 B. Esto implica que la regla no contradice la unanimidad.

No dictadura: la Función de Bienestar Social no observará las preferencias de un único individuo sino que deberá tener en cuenta de todos los electores.

Monotonicidad de las Preferencias Individuales: Cuando para algún 𝑖 ∈ 𝑚 hay modificaciones en su preorden de preferencias cuando se promueve algún alternativa específica, la función de bienestar social debe promover dicha alternativa y no degradarla.

Independencia de las alternativas irrelevantes: Al restringir el centro de atención a un

subconjunto de opciones a las que se aplica el operador de preferencia social ≿𝑆 entonces la función de Bienestar Social deberá ser compatible con el ordenamiento obtenido sobre el conjunto

completo de elección. La forma que adopten las preferencias de algún 𝑖 ∈ 𝑚 sobre las alternativas

irrelevantes no ejercerán influencia en el orden ≿𝑆 sobre las alternativas relevantes.


En relación con las asignaciones de equilibrio competitivo una de las posibles salidas para este dilema puede surgir de la consideración de algún requerimiento mínimo de aceptabilidad acerca del funcionamiento de las economías competitivas.

En particular, puede parecer que proposiciones que propendan por que no se desaproveche ninguna oportunidad de aumentar el bienestar de todos los individuos, al tiempo que los recursos aplicados a este propósito no sean sujeto de desperdicio, parecerían no ser demasiado.

El Criterio de Pareto es una de estas proposiciones; dice en forma específica que una asignación es mejor que otra cuando todos los individuos la prefieren…

En este sentido, una asignación Óptima de Pareto se puede definir como un elemento maximal de una relación entre asignaciones (factibles): una asignación es Óptima en el Sentido de Pareto si no es posible encontrar otra asignación en la que todos los individuos estén mejor.

Con la Definición PS, una asignación (𝑥𝑖)𝑖=1𝑚 es Pareto Superior si no existe otra asignación que la

supere. Por otra parte, de acuerdo con la Definición OP, una asignación PS es Pareto Óptima si no existe otra que la supere. El conjunto de asignaciones OP se denomina Conjunto de Pareto o Curva de Contrato.


Un resultado del mayor interés surge del hecho de la relación evidente entre el equilibrio competitivo y la optimalidad de Pareto. Considere (de nuevo!) el ejemplo en Mas-Colell et.al. [4.]:

Toda Asignación de Equilibrio Competitivo es Pareto Óptima!


Primer Teorema Fundamental del Bienestar: Sea 𝔼 una economía en la que ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚 se

verifica no saciedad local. Si un equilibrio para esta economía es una tupla [𝑝∗, (𝑥𝑖∗)𝑖=1

𝑚 ] entonces la

asignación (𝑥𝑖∗)𝑖=1

𝑚 es Pareto Eficiente. Demostración: (Reducción al Absurdo): Suponga que el teorema no es cierto. En este caso, existe otra

asignación factible (𝑥𝑖′)𝑖=1

𝑚 que es Pareto Superior a (𝑥𝑖∗)𝑖=1

𝑚 . Entonces debe ser cierto que:

[𝑢𝑖(𝑥𝑖∗) ≥ (𝑥𝑖

′)] ∧ [𝑢𝑘(𝑥𝑘∗) > (𝑥𝑘

′ )] Por no saciedad local se tendrá:

i. 𝑝∗𝑥𝑖′ ≥ 𝑝∗𝑥𝑖

∗ todo 𝑖, y

ii. 𝑝∗𝑥𝑘′ > 𝑝∗𝑥𝑘

∗ algún 𝑘 ∈ 𝑚 tales que 𝑢𝑘(𝑥𝑘∗) > 𝑢𝑘(𝑥𝑘

′ ) En el agregado se debe tener (sumando las dos desigualdades):

𝑝∗ ∑ 𝑥𝑖′

𝑖 ≥ 𝑝∗ ∑ 𝑥𝑖∗

𝑖

Y dado que en el óptimo cada consumidor satura su ingreso, es decir 𝑝∗𝑥𝑖∗ = 𝑝∗𝜔𝑖

∗ se deduce que

𝑝∗(𝑥𝑖′ − 𝜔𝑖

∗) > 0


Sin embargo se sabe que (𝑥𝑖′)𝑖=1

𝑚 es asignación factible de modo que tiene que observar:

𝑝∗𝑥𝑖′ = 𝑝∗𝜔𝑖

∗ O lo que es lo mismo:

𝑝∗(𝑥𝑖′ − 𝜔𝑖

∗) = 0 Es decir, se tiene:

[𝑝∗(𝑥𝑖′ − 𝜔𝑖

∗) = 0] ∧ [𝑝∗(𝑥𝑖′ − 𝜔𝑖

∗) > 0]

Lo que constituye una contradiccón y, en consecuencia, no puede haber una asignación factible (𝑥𝑖′)𝑖=1

𝑚

que sea Pareto Superior a una asignación de equilibrio competitivo (𝑥𝑖∗)𝑖=1

𝑚 ∎


Se ha probado que toda asignación de equilibrio es Óptima en el Sentido de Pareto. Sin embargo, debe resultar claro que el equilibrio competitivo al que se pueda llegar a través del intercambio, depende de las condiciones iniciales en las que las mercancías se distribuyen: depende de la distribución inicial de la riqueza inicial.

Como concepto de eficiencia, la Optimalidad de Pareto puede resultar poco controversial. No obstante, como Concepto de Optimalidad dado algún sentido ético, no es para nada suficiente. Como Amartya Sen (1970) anota “an economy can be Pareto-Optimal, yet still “perfectly disgusting”.

En otros términos: si bien un equilibrio competitivo consigue explotar todas las posibles ganancias derivadas del intercambio, la distribución del bienestar resultante es un reflejo de la distribución de oportunidades de la que se parte (distribución materializada en la estructura de la propiedad de los recursos y “capital humano) [Villar (1999), p. 125]


¿Es posible modificar esas condiciones iniciales de modo que bajo las nuevas condiciones, resulte posible alcanzar asignaciones con una distribución deseada (predeterminada, planeada) del bienestar? En relación con esta pregunta, tenga en cuenta las siguientes consideraciones:

Las dotaciones iniciales dejan de ser un parámetro y se tornan en variables de elección;

Existirá la posibilidad de obtener asignaciones eficientes, respetando el mecanismo competitivo de asignación de recursos variando únicamente la estructura de derechos de propiedad.

Con esto se posibilita hacer compatibles dos objetivos de política importantes, si bien a veces conflictivos: eficiencia y equidad.

El primer teorema fundamental del bienestar proporciona, en el caso de los mercados competitivos es una expresión formal de la Mano Invisible de Adam Smith (Mas-Colell, Whinston and Green [1995], p. 524); bajo condiciones estrictamente competitivas cualquier asignación competitiva es Pareto óptima; la única justificación posible desde el bienestar para la intervención de las actividades privadas es el logro de objetivos distribucionales. Aún cuando las asignaciones competitivas constituyan óptimos de Pareto, es de reconocer que las asignaciones óptimas según dicho criterio dependen de la manera como están inicialmente distribuidos los recursos entre los consumidores y de la estructura de derechos de propiedad vigente, garantizada por las instituciones relevantes y, por consiguiente, toda distribución del bienestar es reflejo de las condiciones sobre las que se fundamenta la estructura de derechos de propiedad en una sociedad.


Desde la óptica de la política pública, se sigue de aquí que sería deseable:

(i) Conocer el origen de una determinada distribución del bienestar y, dado esto,

(ii) Saber si es posible modificar dichas condiciones iniciales para obtener óptimos de Pareto coherentes con uno los objetivos de bienestar prescritos.

El Segundo Teorema del Bienestar da una respuesta afirmativa a la segunda pregunta en la medida que, según este teorema es posible lograr óptimos de Pareto como asignaciones de equilibrio competitivo, distribuyendo en forma adecuada los recursos iniciales de los consumidores. Esto es, abre la puerta a la posibilidad de lograr asignaciones de mercado coherentes con consideraciones éticas sobre distribución, sin tener que esperar que los beneficios del progreso económico, se distribuyan automáticamente entre la colectividad: implica la posibilidad de actuar ya. Presentaremos una versión formal (y muy abstracta!) del Segundo Teorema del bienestar con ánimo más bien informativo (el estudiante avanzado tiene libertad absoluta de jugar con los conceptos a presentar), y aunque aportamos una prueba típica de tercer ciclo de dicho teorema, la discusión sobre el alcance de este resultado es más relevante en cuanto a lo que nos compete actualmente.


Grosso Modo, el Segundo Teorema del Bienestar establece que si se cumplen ciertas condiciones sobre convexidad, un Planeador Central puede lograr una asignación Pareto Eficiente determinada redistribuyendo la riqueza inicial en condiciones de suma cero y dejar que, a partir de ese nuevo punto dotacional, el mercado actúe libremente. Segundo Teorema del Bienestar: Teorema (Segundo Teorema Fundamental del Bienestar): Considere

una economía competitiva descrita por la tupla 𝔼 = [(𝑋𝑖 , 𝑢𝑖)𝑖=1𝑚 ; 𝜔𝑖] en la que todos y cada uno de los

𝑖 = 1, … , 𝑚 tienen conjuntos de elección 𝑋𝑖 convexos, con funciones de utilidad continuas, cuasi-

cóncavas y no saciables. Si (𝑥𝑖∗)𝑖=1

𝑚 ∈ 𝑋𝑖 es un óptimo de Pareto entonces existen un vector ℝ++ℓ y una

distribución de riqueza 𝕄+ tal que [𝑝∗, (𝑥𝑖∗)𝑖=1

𝑚 ]constituye un equilibrio competitivo.




En forma un poco más intuitiva considere una economía de Caja de Edgeworth. Entonces, una

asignación 𝑥∗ se dice que es soportable como un equilibrio competitivo con transferencias si existe un régimen

𝑝∗ de precios y transferencias de riqueza 𝜏𝑖 con ∑ 𝜏𝑖𝑚𝑖=1 = 0 tal que para cada uno de los 𝑖 = 1, … , 𝑚

consumidores se observe que:

𝑥𝑖∗ ≿𝑖 𝑥𝑖

′ para todo 𝑥𝑖′ ∈ 𝑋𝑖 tal que 𝑝∗𝑥𝑖

∗ ≤ 𝑝∗𝜔𝑖 + 𝜏𝑖

Note que la suma de las transferencias es cero y que el Planeador Central actúa en condiciones de balance fiscal limitándose a redistribuir la riqueza entre los consumidores. El STB puede entonces hacerse más legible de la siguiente manera: si las preferencias de los consumidores son continuas, convexas y fuertemente monótonas entonces cualquier asignación óptima en el sentido de Pareto puede ser soportada como una asignación de equilibrio con transferencias (Mas-Colell, Whinston and Green. Op.Cit., p 524).

Ahora suponga que una asignación Pareto óptima 𝑥∗ se considera socialmente deseable de acuerdo con algún criterio político o distribucional, etc.

Entonces, de acuerdo con el contenido del STB, es posible modificar las condiciones iniciales de la distribución de la riqueza para, a partir de la distribución modificada, llegar a una asignación Pareto Óptima, como una asignación de equilibrio competitivo.

La Figura (a) muestra una aplicación del teorema mediante la utilización de transferencias de riqueza que generan cambios en la posición de la conjunto presupuestal de los consumidores utilizando, por ejemplo, impuestos. La Figura (b) muestra la misma aplicación usando transferencias directas


de dotaciones mediante la modificación de los derechos de propiedad de los individuos, por ejemplo.


Ejemplo [ Maté Y Pérez, 2007: 136 ] Considere una economía sin producción con dos bienes 𝑘 = 1,2

y dos consumidores, 𝑖 = 𝐴, 𝐵 que tienen preferencias representadas por:

𝑢𝐴 = 𝑥1𝐴𝑥2

𝐴 y 𝑢𝐵 = min{𝑥1𝐵, 𝑥2

𝐵}

La distribución vigente del ingreso es:

𝕄 = (3 11 3

)

Suponga que mediante un proceso de planeación participativase decide que la mejor asignación para esta economía es:

𝑥𝑖𝑘 = (1 13 3

)

Cual es la distribución de la riqueza entre los dos individuos diferente de 𝑥𝑖𝑘∗ que conduzca a que tal

asignación pueda alcanzarse como un equilibrio competitivo de esta economía.


Solución: El individuo A tiene preferencias típicas mientras que las del consumidor B representan complementos perfectos en relación 1:1


El Conjunto de Pareto está dado por la diagonal sobre la cual, según se observa, el aumento del bienestar de un individuo implica la disminución del bienestar del otro. Por lo tanto, las asignaciones sobre la diagonal son asignaciones Pareto Eficientes. Por esta razón (y en ausencia de cálculo), la expresión analítica del conjunto de Pareto viene dada por:

𝑥1𝐴 = 𝑥2

𝐴

𝑥1𝐴 ∈ [0,4]

El equilibrio competitivo se obtiene operando sobre el sistema de exceso de demanda. Aprovechando la Ley de Walras considere el equilibrio correspondiente a la mercancía 1.

𝑧1(𝑝) = 𝑥1𝐴 + 𝑥1

𝐵 − 𝜔1𝐴 − 𝜔1

𝐵 = 0 Del proceso de optimización individual:

𝑧1(𝑝) =3𝑝1 + 𝑝2

𝑝1+

𝑝1 + 3𝑝2

𝑝1 + 𝑝2− 4 = 0

La propiedad de Homogeneidad, tomando 𝑝2 = 1

𝑧1(𝑝) =3𝑝1 + 1

𝑝1+

𝑝1 + 3

𝑝1 + 1− 4 = 0


De donde, fácilmente se puede verificar que 𝑝1 = 1, es decir 𝑝∗ = (𝑝1

𝑝2,

𝑝2

𝑝2) = (1,1). Bajo este sistema

de precios, la asignación de equilibrio es (reemplazando en las funciones de demanda):

𝑥𝑖𝑘∗ = (

2 22 2

)

Que es diferente a la deseada. El STB garantiza que es posible encontrar una distribución 𝕄 que haga posible llegar a la asignación

𝑥𝑖𝑘 = (1 13 3

)

Se precisa encontrar un nuevo (necesariamente diferente) vector de precios que corresponda a la definición del Conjunto de puntos Pareto Eficientes. Es decir, sin importar cual sea el equilibrio debe satisfacer que

𝑥1𝐴 = 𝑥2

𝐴

𝑥1𝐴 ∈ [0,4]


Como las preferencias de A son Cobb-Douglas, las funciones de demanda óptima son:

𝑥1𝐴 =

𝑝1𝜔1𝐴+𝑝2𝜔2

𝐴

𝑝1 y 𝑥2

𝐴 =𝑝1𝜔1

𝐴+𝑝2𝜔2𝐴

𝑝2

Como sobre el Conjunto de Pareto se debe observar 𝑥1𝐴 = 𝑥2

𝐴

𝑝1𝜔1𝐴 + 𝑝2𝜔2

𝐴

𝑝1=

𝑝1𝜔1𝐴 + 𝑝2𝜔2

𝐴

𝑝2

∴ 𝑝1 = 𝑝2 = 1

O sea, el precio de equilibrio (también!) es 𝑝∗ = (𝑝1

𝑝2,

𝑝2

𝑝2) = (1,1) sin importar las dotaciones iniciales del

consumidor A. La recta presupuestal tiene como pendiente los precios relativos con signo cambiado, i.e.

es igual a (−1) y debe pasar por la asignación 𝑥𝑖𝑘. Si esta asignación es un equilibrio competitivo, debe estar sobre el plano del presupuesto. Por consiguiente, cualquier punto sobre la recta presupuestal sirve como distribución de punto de partida de los consumidores. Considere por ejemplo la distribución:

𝕄∗ = (1 13 3

)



Referencias

[1.] Ginsburgh, V. and M. Keyzer (1997): The Structure of Applied General Equilibrium Model. Cambdrige: MIT Press.

[2.] Jehle, G. and P. Reny (2011) Advanced Microeconomic Theory (3rd Edition). N.J.: Prentice Hall. [3.] Kreps, D. (2012): Microeconomic Foundations I: Choice and Competitive Markets. Princeton: Princeton

University Press. [4.] Mas-Colell, A., M.D. Whinston and J. Green (1995): Microeconomic Theory. Oxford: Oxford

University Press. [5.] Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía. [6.] Sen, A. (1970): Collective Choice and Social Welfare. San Francisco: Holden Day. [7.] Varian, H. (1993): Análisis Microeconómico. Barcelona: Antoni Bosch. [8.] Villar, A. (1999): Lecciones de Microeconomía. Barcelona: Antoni Bosch.

SEN, A.K. 1970. Collective Choice and Social Welfare. San Francisco: Holden-Day .

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