Sejarah Distribusi Poisson

SEJARAH DISTRIBUSI POISSON

Proses PoissonProses Poisson merupakan point proccess yang terpenting.

Seperti telah disebutkan di bagian depan, sebagaimana halnya point proccess, karakteristik proses Poisson dicirikan oleh tiga hal:

a) Stasioner

b) lndependen dan

c) Simple.Sifat dasar proses Poisson, selain sebagai suatu point proccess adalah:

a) Number representation-nya terdistribusi Poisson

b) lnterval Representation -nyaterdistribusi Eksponensial

c) Point process memunculkan DUA buah variabel random Nt dan Xt. Dua buah variabel random ini memiliki makna adanya Number Representation dan lnterval representation.

d) Number Representation dan Interval Representotion masing - masing mungkin saja memiliki distribusi yang berbeda

Estu Sinduningrum, ST, MT

SEJARAH DISTRIBUSI POISSONDistribusi poisson disebut juga distribusi peristiwa

yang jarang terjadi, ditemukan oleh S.D. Poisson

(1781–1841), seorang ahli matematika berkebangsaan

Perancis. Distribusi Poisson termasuk distribusi teoritis

yang memakai variabel random diskrit.

Menurut Walpole (1995), distribusi poisson adalah

distribusi peluang acak poisson X, yang menyatakan

banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang

waktu atau daerah tertentu.


DEFINISI DISTRIBUSI POISSONDistribusi poisson adalah

Distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X

diskret), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi

dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah

tertentu.

Distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan peluang

jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu

tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan

dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir.


CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSONBanyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval

waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada

banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu

atau daerah lain yang terpisah.

Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval

waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil,

sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya

daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil

percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah

tersebut.


CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSON

Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang

terjadi dalam interval waktu yang singkat atau

dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.


CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSON Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut

satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu,

seperti menghitung probabilitas dari:

Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya

mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan,

Banyaknya bakteri dalam satu tetes atau 1 liter air,

Banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku, dan

Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu

pertama bulan Oktober.


Distribusi Poisson

8

Limit dari distribusi binomial dimana n dan p 0, sedemikian hingga np a


RUMUS DISTRIBUSI POISSONRumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial

dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari

kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi

dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p)

sangat kecil.

Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah

bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20

atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05.


RUMUS DISTRIBUSI POISSON

Rumus pendekatannya adalah :P ( x ; μ ) = e – μ . μ X X ! Dimana : e = 2.71828μ = rata – rata keberhasilan = n . px = Banyaknya unsur berhasil dalam sampeln = Jumlah / ukuran populasip = probabilitas kelas sukses


Contoh soalSebuah mesin memproduksi rata-rata 2 persen produk

yang cacat. Dalam sebuah sampel acak sebanyak 60 produk, tentukan probabilitas terdapat 3 produk cacat dalam sampel itu.

Jawab :

n = 60 ; p = 2/100 = 0,02 ;

μ = n.p = 60 x 0,02 = 1,2

P ( x ; μ ) = e – μ . μ X = P(x =3) = e – μ . μ 3

X ! 3!

= 0,0867


Latihan Soal

1. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk

sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas

penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan

datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3

orang yang tidak datang.

2. Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam,

berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3

menit. Gunakan proses poisson.!


Jawaban:

1. Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2P ( x ; μ ) = e – μ . μ X

X! = 2.71828 – 2 . 2 3 = 0.1804 atau 18.04 %

3!

2. Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam

atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 /

60 = 1 / 20 unit waktu maka t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e –λ . t . ( λ . t ) x

X!P ( x ) = e –72 . ( 1/ 20 ) . ( 72 . 1 / 20 ) 4

4!= 0.191 atau 19.1 %



Waktu Pembicaraan TeIeponBerdasar pengukuran yang telah dilakukan selama puluhan tahun

pada jaringan telekomunikasi, pdf (probobility density function)

dari waktu pembicaraan telepon (interval representation) adalah

merupakan distribusi eksponensial negatif .


Waktu Pembicaraan TeIeponMaka waktu rata-rata pembicaraan telepon, merupakan

nilai harapan atau moment pertama dari fungsi densitas:

Dan momen kedua yang tidak lain merupakan variansi dari

waktu pembicaraan telepon adalah sama dengan :


Periode Paket ATM (Asynchronous Transfer Mode)

Pada suatu sistem komunikasi yang menggunakan protokol tertentu, misal

ATM (Asynchronous Transfer Mode), ukuran paket adalah konstan,

dengan demikian Ukuran paket yang tetap menunjukkan bahwa holding

time-nya terdistribusi konstan.

Setiap paket ATM terdiri dari 424 bit.

Misal paket ATM ditransmisikan dengan kecepatan 42,4 kbps. lnterval

waktu yang dialami paket selama transmisi adalah =h = (424bit) / (42400

bit per detik) = 10 milidetik.


Periode Paket ATM (Asynchronous Transfer Mode)

Maka waktu rata-rata keberadaan paket selama transmisi,

merupakan nilai harapan atau moment pertama dari fungsi

densitas:

Dan momen kedua yang tidak lain merupakan variansi dari waktu

keberadaan paket selama transmisi adalah sama dengan:


Waktu MengantriSalah satu GoS yang penting pada jaringan antrian (queueing

network) adalah waktu mengantri atau waktu tunggu (waiting time).

Distribusi waktu antrian Ws(t) yang diukur terhadap sejumlah

pelanggan secara random selalu memiliki nilai positif > 0, karena ada

sebagian paket yang langsung terlayani di jaringan.

Maka distribusi waktu antri untuk pelanggan yang waktu antrinya >

0 ditulis sebagai W+ (t) adalah:


Waktu MengantriProbabilitas bahwa waktu antri adalah positif = 1-ws(t) , ditulis

dengan notasi D (= probabilitas terjadinya delay).

Maka:

Jika kita perhatikan moment pertama, atau nilai rata-ratanya saja:


Waktu MengantriNotasi w (huruf kecil) adalah menunjukkan waktu mengantri

rata-rata untuk paket yang mengantri saja , dan

Notasi w (huruf besar) adalah sama dengan waktu mengantri

rata-rata semua paket, yang tidak mengantri maupun yang

mengantri.

Berlaku untuk jaringan antrian: probabilitas terjadinya delay

dikalikan waktu antri mengantri rata-rata untuk paket yang

mengantri saja adalah sama dengan waktu mengantri rata-rata

semua paket (yang tidak mengantri maupun yang mengantri).


Probabilitas Terjadinya Loss

Perlu dipahami proses terjadinya loss

di jaringan telekomunikasi. Mungkin

ada pertanyaan, kenapa pada suatu

system berkapasitas c bisa terjadi

loss padahal trafik telekomunikasi

sebesar A selalu lebih kecil dibanding

c ?

Mengapa dalam bisa terjadi loos??

Mungkin ada pertanyaan kenapa pada suatu sistem

berkapasitas C bisa terjadi loos padahal trafik

telekomunikasi sebesar A selalu lebih kecil dibandingkan

C?

Trafik Rata-rata < Kapasitas Sistem, Tetapi ada Loss

Sengaja ditampilkan trafik yang mengalir di suatu system

telekomunikasi, dimana trafik (=A) adalah jauh lebih kecil dibanding

kapasitas system (=C)Terlihat bahwa probabilitas terjadinya loss tetap saja ada, karena trafik

bervariasi terhadap waktu.Meskipun nilai rata-rata trafik < dibanding kapasitas trafik, masih

mungkin terjadi loss

Pada suatu system telepon yang masih mengggunakan circuit

swtching, loss/blocking probability dari call telepon dianalisis sebagai

suatu poisson proces


Penerapan TelekomunikasiDistribusi Kontinyu Pada Rekayasa Trafik

23

Perhitungan probabilitas kedatangan paket yang diamati sebagai suatu point process, mengikuti prinsip dasar dari berbagai distribusi.

Berikut ini diberikan contoh - contoh fungsi distribusi terkait dengan perhitungan probabilitas kedatangan paket.

Berlaku untuk trafik yang datang dan dilayani suatu server memiliki beberapa fundamental

Properties sebagai berikut:

a. Stationary,

b. lndependent at all time instants (epochs),

c. Simple

d. Continous. Misal paket yang pertama telah datang pada t1 dan sukses dilayani server



24

a. Probabilitas bahwa pada waktu (t1 + t detik) paket yang

kedua akan datang dan sukses dilayani server adalah akan

mengikuti distribusi eksponensial negative



25

b. Probabilitas bahwa paket yang ke-k datang pada waktu

(t1 + t) adalah akan mengikuti distribusi er1ang-k



26


c. Probabilitas bahwa pada periode {t1, t1 + t detik}

telah datang x paket akan mengikuti distribusi

poisson.

Penerapan Distribusi Diskrit pada Rekayasa Trafik TeIekomuni kasi

27

Misal probabilitas bahwa request yang datang pada

suatu web server gagal dilayani = p,

probabilita s request yang datang pada suatu web server

berhasil dilayani = q = (1-p).

Maka probablitas bahwa dari sejumlah n request yang

datang pada suatu web server terdapat x request yang

berhasil dilayani oleh server adarah akan mengikuti

distribusi binomial.


Penerapan Distribusi Diskrit pada Rekayasa Trafik TeIekomuni kasi

28

Probabilitas request yang datang pada suatu web server ke

(n+1) datang dan gagal dilayani server, setelah n request

berturut-turut datang dan sukses dilayani server adalah

mengikuti distribusi geometric,


Ilustrasi Berbagai Distribusi

29



30



31



32



33


Contoh Soal (1) Perhitungan Dasar Trafik

34


1) Hitunglah intensitas trafik (dengan satuan erlang) pada 3 soal di bawah ini :a. suatu radio-link yangberkapasitas 6 saluran, dengan pengukuran selama 45

menit, setiap saluran rata-rata holded selama 35 menit.b. suatu digital switch yang selama pengukuran selama 20 menit , mengolah

sebanyak 25.000 call yang memiliki mean holding time =3 menit.c. suatu web server yang mempunyai servic rate = 1 Mbps, jika selama 10 menit

pengukuran menerima 600 request, setiap request memerlukan rata-rata 10.000 packet data @ 1000 bit per paket.

Jawab :1.a. A = 6 saluran x 35 menit/45 menit = 3750 Erlang1.b. A = 25.000 call x 3 menit/call x 1/20 menit = 1.c. A = 600 request x 10.000 paket/request x 1000 bit 1Mbit/detik (10 x 60detik) = 10 Erlang.

Contoh Soal (2) Proses Poisson

35

Bila kedatangan request mengikuti suatu distribusi poisson , hitung

probabilitas bahwa dalam perioda 1 menit, terdapat 5 request datang

dalam 10 detik pertama DAN 6 request datang pada 5 detik terakhir.

Misal request datang pada suatu web server dengan laju 30 request

per menit.

(laju kedatangan request per satuan waktu, T = waktu pengamatan

ketika melihat adanya sejumlah request datang, x = jumlah request

selama perioda T)


Jawab Proses Poisson

36

λ = 30 request/60 detik = 0,5P{N(10)} = ( λ = 0.5 ; x = 5 ; t = 10) =

Jadi Probabilitas bahwa dalam periode 1 menit ada 5 request datang dalam 10 detik pertama dan 6 request datang dalam 5 detik terakhir =

P{N(10)} x P {N(60) – N(55)} = ( λ = 0.5 ; x = 6 ; t = 10)


Contoh soal (3) Binomial dan geometrik

37

1. Misalkan request-request pada suatu web server adalah saling bebas. Jika

probabilitas suatu request akan sukses = p = 0.2 dan probabilitas tidak sukses

= q = 1-p. Hitung probabilitas bahwa dari 10 request, terdapat 4 request

sukses. Untuk soal ini hitung juga rata-rata terjadi request sukses dari 1000

request yang masuk.

2. Jika pada suatu web server, peluang satu request akan sukses pada usaha

pertama = 0.1 Hitunglah berapa probabilitas bahwa suatu request berturut-

turut 3 kali sukses terus , dan baru gagal pada usaha ke 3. Hitunglah, berapa

rata-rata jumlah request yang harus dilakukan dan terus-menerus sukses,

sebelum merasakan gagal.


Jawaban soal (3) Binomial dan geometrik

38

1. Binomial: Dari n percobaan terdapat x gagal :

Rata-rata = E = 0.2 x 1000 = 200.

2. Geometrik

sukses terus,baru pada usaha ke 4, terjadi kegagalan P = (0.1)(0.1)(0.1)(0.9) = 0.0009


Contoh soal (4) Distribusi Erlang-B Menggunakan tabel

39

Berkas trunk-GSM dengan kapasitas satu E1 = 30 saluran voice dgunakan untuk melayani trafik dengan GOS maksimum yang diperbolehkan = 2%

a. Berapa carried-traffic, loss traffic dan offered traffic saat GOS = GOS maksimum yang diperbolehkan.

b. Jika carried-traffic = 20,9 erlang, hitung berapa GOS, utilitas, dan efisiensi. Hitung SCR, misal berdasar data statistik di operator tersebut %SCR = 100%-(%GOS x 10).


Contoh soal (4) Distribusi Erlang-B Menggunakan tabel

40

Tabel erlang yang dipakai :


Offered Traffic (erlang)B = 0,5% B = 1% B = 2% B = 5%

N = 29 18,2 19,5 21,0 23,8N = 30 19,0 20,3 21,9 24,8N = 31 19,9 21,2 22,8 25,8N = 32 20,7 22,0 23,7 26,7

Jumlah kanal

GOS

A = Traffic Intensity

Jawaban soal (4) Distribusi Erlang-B Menggunakan tabel

41

a. Diketahui N = 30 , B= 2 %Offfered traffic = A= 21,9 erlang.Loss= R = 2% x 2I,9 = 0,438 erlang Carried = A - R= 21.462 erlang


Gos MaxGMS masih menggunakan loss

system, menuju IP based

b. Diketahui N = 30 , Y = 20,9 Erlang Menghitung B dg interpolasi , hitung dulu N=30 , B=2%, A = 21,9, Y = A. ( 1- Gos Max ) = 21.9(1-0.02) = 21.462 B = 0 .01+ ( (0. 02 - 0,0 1)* ( 20. 9- 20. 097 ) / (21. 462-20.097) = 0. 015883

Pakai rumus Erlang

B Gos B

Y Carrier Traffic

Y

Y Carrier TrafficCarrier Y

Jawaban soal (4) Distribusi Erlang-B Menggunakan tabel

42

A = Y/(1-B) = 20.9 / (1-0.015883 ) = 21,2373 Erlang

Efisien = A/N =21.23737/30 = 0.70791 = 70,7 %

Utilitas = Y/N = 20.9 /30 = 0.696667 = 69,67 %

SCR =100-(1.5883*10) = 84.117 %


TERIMA KASIH

Documents

Sejarah Distribusi Poisson