Semana 14 An

7/24/2019 Semana 14 An

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Solucin sistemas lineales

Mtodos iterativos no estacionarios

Catalina Domnguez,

Universidad del Norte

Maestra en matemticas

Semestre II de 2015

Semana 14

Pgina 1 Semana 14 5 de Noviembre de 2015 Domnguez

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Calculo de valores propios: Mtodo QR (bsico)

Schur descomposicin

DadaA Cnn, existe una matrizUunitaria tal que

U1AU=UHAU =

1 b12 b1n0 2 b2n.

.. .

. .

.

..0 0 n

=T

dondei son los valores propios deA

T yUno son necesariamente nicas. El calculo paran 5no puedecalcularse de una manera directa, por eso se recurre a tcnicas itera-

tivas para su calculo.


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Idea

El problema se reduce a encontrar una matriz ortogonal Q Rnn

(QTQ= I), de manera

T =QTAQ

siendoTuna matriz triangular superior.

ayuda: principio teorico

Dada A Rnn y Q Rnn una matriz ortogonal (QTQ = I),entonces, si

B =QTAQ

se puede descomponer como

B= QR

dondeR es una matriz triangular superior y Quna matriz ortogonal.


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Mtodo Iterativo QR (bsico)

DadaA Rnn, y una matrizortogonal Q0 R

nn,

se calcula

T0=QT0 AQ0,

se encuentraQ1,R1 tal que

T0=Q1R1.

Tomamos

T1=R1Q1 =QT1 Q1R1Q1

=QT

1 T0Q1=QT

1 QT

0 AQ0Q1= (Q0Q1)

TAQ0Q1.,

se encuentraQ2,R2 tal que

T1=

Q2

R2

.

...

Tomamos

T2=R2Q2=QT2 Q2R2Q2

=QT2 T1Q2

= (Q0Q1Q2)TAQ0Q1Q2

En general, se determina Qk y

Rk de manera que

Tk1=QkRk

y se define

Tk =RkQk

= (Q0Q1 Qk)TAQ0Q1 Qk.

Si k entonces Tk Tdonde T es matriz triangular

superior.


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Mtodo Iterativo QR (bsico)

SeaA Rnn, dada una matriz ortogonalQ0 Rnn

se calculaT0=Q

T

0AQ0

Parak = 1, . . . ,hasta la convergencia DadaTk1, determinarQk,Rk tal queTk1=QkRk = tomamos Tk =RkQk

Observaciones

1 Se debe establecer un mtodo para encontrar la descomposicin

QkRk deTk1.2 Tk yA son matrices semejantes, es decir, tienen los mismos

valores propios.3 SiA tiene valores propios reales (de modulo distintos),Tk

converge a una matriz triangular superior.

4 SiAtienes valores propios complejos,Tk no converge a una

matriz triangular superior.Pgina 5 Semana 14 5 de Noviembre de 2015 Domnguez

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Dado un conjunto de vectores l.i

x1, . . . ,xn, es posible generar

vectores mutuamente ortogonales

q1, . . . ,qnmediante

q1= x1

q2= x2 proyq1x2q1

= x2 q1 x2

q1 q1q1

qk+1= xk+1 k

i=1

qi xk+1qi qi

qi

Denotando a a1, . . . ,an los vectores

columna deA, tomamos

q

1=

a1

a1,

qk+1= qk+1

qk+1

qk+1= ak+1 k

i=1 (qj ,ak+1)qj

A se descompone en A = QR. Puesto que Q1 = QT, la matrizRpuede calcularse fcilmente,

R= QTA


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Teorema: Descomposicin (triangulacin) de Schur

Dada una matrizA Rnn, entonces existe una matriz ortogonal Qtal que

QTAQ=

R11 R12 R1m

0 R22 R2m...

. . .

0 0 Rmm

=T

dondeRiicorresponde a cualquiera de los siguientes casos: un numero real

o una matriz2 2con dos valores propios complejos(conjugados)

AdemsQ= lim

kQ0Q1 Qk

siendoQk la matriz ortogonal generada en el k-esimo paso de la fac-

torizacinQR.


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function [ EI,V,normT,i] = QRiteracion( A, nmax, tol)

% Realiza la iteracion QR para calculo de los vectores propios

% de una matriz A

T = A ; % en este caso Q_0 = I

V = eye(size(A,1));

iter = 0;

while normT>tol && iter< nmax

iter = iter+1;[Q,R] = qr(T);

T = R*Q;

V = V*Q;

normT = norm(tril(T,-1),fro);

end

EI = diag(T);end


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Modificacin Factorizacin QR: Hessenberg Matrices

FactorizacionQR

n3 ciclos

Hessenberg FactorizacionQR

n2 ciclos

Matriz de Hessenberg

SeaB una matrizn ntal que

bij = 0 1 j i 2, i= 3, . . . , n

es decir, en la parte triangular inferior deB es cero, excepto posible-

mente los elementos de primera subdiagonal.


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Modificacin Factorizacin QR: Hessenberg Matrices

TransformarA Cnn en una matriz de Hessenberg

B =QHAQ

dondeQ = Hn

2 H1yHi son matrices de Householder.

Para matriz de Hessenberg, el polinomio caracterstico y su respectiva

derivada en un punto c C puede calcularse fcilmente si calcular los

coeficientes del polinomio (mtodo de Hyman).


M i d H h ld

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Matrices de Householder

Para v= x x2em definamos P =I 2vvT

v2,

1 Dado x Rn, y=Pxes la reflexin de xcon respecto al hiperplano= span{v}.

2 Ptransforma

x

a un vector nulo excepto en unam

-esima componenteEjemplo

Para x= [1, 1, 1, 1]T ym = 3

v=

11

11

, P =12

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 11 1 1 1

, Px=

0020


M t i d H h ld

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Matrices de Householder

Dado x Rn, tenemos

P(k) = Ik 0

0 R(nk) , R(nk) =Ink 2

w(k)w

(k)T

w2

,

w(k) = x(nk) x(nk) e

(nk)1 ,donde x

(nk) Rnk es el vectorformado por las ultimasn kcomponentes de x.

e(nk)1 es el primer vector unitario de R

nk

y=P(k)x, con yj =

xj sij = 1, . . . , k

x(nk) sij =k

0 sij =k + 2, . . . , n .

k = 2, x=

12

134

, P(2) =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0.1961 0.5883 0.78450 0 0.5883 0.7106 0.38590 0 0.7845

0.3859 0.4855

, y =

12

2600


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Reduccin a una matriz de Hessenberg

Dada una matriz A Rnn, reducir A a una matriz de Hessenbergmediante el producto de matrices de HouseholderP(1)P(2) . . . P (n2).

En pasok-simo consiste en calcularP(k), la cual anula las componentes

k+ 2, . . . , nde lak-esima columna deA

Sin = 5el proceso de reduccin consiste en

P(1)

0

0 0

P(2)

0

0 0 0 0

P(3)

0

0 0 0 0 0


Mt d de H eh lde

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Mtodo de Householder

DadaA Rnn

1 A(0):=A

2 Parak = 1, . . . , n 2 A(k) =P

T(k)A(k1)P(k) donde

P(k) =

Ik 00 R(n

k)

, R(nk) =Ink 2

w(k)

w(k)T

w(k)2 ,

w(k) = x(nk)x(nk) e

(nk)1 , x: k-esimo vector columna deA

(k1

Observaciones

1 Al realizar el productoPT(k)A(k1), las primerask filas no varan.

2 Al realizar el productoPT(k)A(k1)P(k), las primerask columnasno varan.

3 SiA Rnn es simtrica, entoncesA(k) =PT(k)A(k1)P(k)

tambin lo es, y por tantoHdebe ser tridiagonal.Pgina 14 Semana 14 5 de Noviembre de 2015 Domnguez

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Ejemplo

A= 4 2 2 12 3 1 12 1 3 11 1 1 2

Matrices reduccin

w(1)=

12

1

, P1 =

1 0 0 00 0.6 0.6 0.30 0.6 0.3 0.60 0.3 0.6 0.6

A1 =

4 3 0 03 2 3 10 3 1 10 1.8 1 1

, A2=

4 3 0 03 2 3.16 0.00 3.16 1.4 0.20 0 0.2 1.4


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function [H,Q] = RedHouseholder(A)

% Dada una matriz A, determina la reduccion de A

% a una matriz de Hessenberg superior H, usando

% matrices de Householder.

n = size(A,1);

Q = eye(n);

for k=1:n-2

P = zeros(n,n);

P(1:k,1:k) = eye(k);x = A(k+1:end,k);

w = x-norm(x)*eye(n-k,1);

W = w*w;

P(k+1:end,k+1:end) = eye(n-k)- 2/norm(w)^2*W;

H = P*A*P;

A = H ;Q = Q*P;

end

end


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Fact. QR de una matriz de Hessenberg usando matrices de rotacin

Dada una matrizA Rn es posible factorizarAmediante

H=QTAQ, Q= P(1)P(2) . . . P (n2)

donde P(k) es una matriz de Householder, y H es una matriz de

Hessenberg superior.

Tenemos queA y Hson matrices semejantes, es decir, stas

poseen los mismos valores propios.

Encontrar los valores propios deHes ms fcil de hallar que los

deA. Al obtenerHes posible aplicar distintos mtodos paraencontrar los valores propios, entre ellos, descomposicin QR

mediante matrices de rotacin.


D i i QR M t i d R t i

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Descomposicin QR: Matrices de Rotacin

G(j, k, )THanula la componentehk,j deH.

G(j, k, ) =filaj

filak

columnaj columna k

1. . .

cos() sin().. .

sin() cos(). . .

1

Sihk,j = 0 cos() = 1, sin = 0;

Si |hk,j | > |hj,j |

= hj,jhk,j

sin() = 11+2

cos =sin();

|hj,j | > |hk,j |

= hk,jhj,j

cos() = 11+2

sin() =cos();


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Fact. QR mediante matrices de rotacin

Objetivo: Para una matriz de Hessenberg H, encontrar una matriz

triangular superiorR, tal que

H=Q R, siendoQ una matriz ortogonal.

Estrategia:Anular las componentes(j + 1, j)de Hmediante el pro-ducto de matrices de rotacinG(j, j+ 1, )hasta obtener una matriz

triangular superiorR,

GT(n1) GT(2)G

T(1)

QT

H=R

donde

G(m) =G(m, m+ 1, ).


1 2 1 1

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Ejemplo: H =

1 2 1 12 3 1 00 1 2 00 0 3 1

G(1)=

0.44 0.89 0 00.89 0.44 0 0

0 0 1 00 0 0 1

, G(1)TH=

2.23 1.78 0.44 0.440 3.13 1.34 0.890 1 2 00 0 3 1

G(2)=

1 0 0 0

0 0.95 0.30 00 0.30 0.95 00 0 0 1

, GT(2)GT(1)H=

2.23 1.78 0.44 0.440 3.28 1.88 0.850 0 1.49 0.270 0 3 1

G(3)=

1 0 0 00 1 0 00 0 0.44 0.890 0 0.89 0.44

, GT(3)GT(2)GT(1)H=

2.23 1.78 0.44 0.440 3.28 1.88 0.850 0 3.35 0.770 0 0 0.69

R

Q= G(1)G(2)G(3), QT =GT(3)G

T

(2)GT

(3)

Observe que el calculo de G(m)anula la componente(m + 1, m)de lamatrizG(m

1)H


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Mtodo QR usando matrices de rotacin y de Hessenberg

Dada una matrizA Rnn

1 Se calcula una matriz de Hessenberg superiorHusando

matrices de Householder

H=QTAQ, dondeQ =P(1)P(2) P(n2)

2 Se realiza descomposicin QR usando matrices de rotacin:

1 DadoH(0)=H

2 Parak = 1hasta nmax

1 Calcular Q(k)y R(k)tal que H(k1) = Q(k)R(k) usando

matrices de rotacin.

2 H(k) = R(k)Q(k)3 parar si

H(k)es triangular superior

H(k)es de bloque triangular superior.


function G MatrizRotacion(A j n)

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function G = MatrizRotacion(A,j,n)

% Calcula una matriz de rotacion para anular la componente

% (j+1,j) de una matriz de Hessenberg A

G = eye(n);

xj = A(j,j);xk = A(j+1,j);

if xk==0

c=1;

s=0;

elseif abs(xk) >= abs(xj)t = xj/xk;

s= 1/sqrt(1+t^2);

c = s*t;

elseif abs(xj) > abs(xk)

t = xk/xj;

c = 1/sqrt(1+t^2);s = c*t;

end

G(j:j+1,j:j+1) =[c -s; s c];

end


function [EI,H, R] = QRRotacion(H,nmax,tol)

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% Determina la descomposicion Schur usando

% matrices de Hessenberg. En la descomposicion QR utiliza

% matrices de rotacion.

n = size(H,1);

[H,Q] = RedHouseholder(H); % Reduccion matriz de Hessenberg

iter =0;

while normH< tol && iter

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p p g

Mtodo de Hyme

Calculo de races del polinomio caracterstico


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