SEMBOL‹K MANTIK - aöf sosyoloji öğrencileri ... · Önsöz Mant›k, kurucusu olan ve bu alanda ilk kapsaml› çal›ﬂmay› ortaya koyan Aristoteles’ten itibaren felsefenin

TC. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 1941

AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 1022

SEMBOL‹K MANTIK

YazarYard.Doç.Dr. ‹skender TAfiDELEN

EditörYard.Doç.Dr. Demet TAfiDELEN

ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹

Bu kitab›n bas›m, yay›m ve sat›fl haklar› Anadolu Üniversitesine aittir.“Uzaktan Ö¤retim” tekni¤ine uygun olarak haz›rlanan bu kitab›n bütün haklar› sakl›d›r.

‹lgili kurulufltan izin almadan kitab›n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay›tveya baflka flekillerde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.

Copyright © 2009 by Anadolu UniversityAll rights reserved

No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmittedin any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic, tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

UZAKTAN Ö⁄RET‹M TASARIM B‹R‹M‹

Genel Koordinatör Prof.Dr. Levend K›l›ç

Genel Koordinatör Yard›mc›s›Doç.Dr. Müjgan Bozkaya

Ö¤retim Tasar›mc›s›Yard.Doç.Dr. Alper Tolga Kumtepe

Grafik Tasar›m YönetmenleriProf. Tevfik Fikret Uçar

Ö¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›z Ö¤r.Gör. Nilgün Salur

Ölçme De¤erlendirme SorumlusuUzm. Bülent Gezen

Kitap Koordinasyon BirimiYard.Doç.Dr. Feyyaz Bodur

Uzm. Nermin Özgür

Kapak DüzeniProf. Tevfik Fikret Uçar

DizgiAç›kö¤retim Fakültesi Dizgi Ekibi

Sembolik Mant›k

ISBN 978-975-06-0630-4

1. Bask›

Bu kitap ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ Web-Ofset Tesislerinde 3.500 adet bas›lm›flt›r.ESK‹fiEH‹R, A¤ustos 2009

‹çindekiler

Önsöz ............................................................................................................ vi

Mant›¤›n Temel Kavramlar› ................................................... 2G‹R‹fi .............................................................................................................. 3MANTI⁄IN KONUSU VE AMACI ................................................................. 3MANTI⁄IN TEMEL KAVRAMLARI................................................................ 5Önerme .......................................................................................................... 5Ç›kar›m........................................................................................................... 7Tutarl›l›k......................................................................................................... 12Mant›ksal Do¤ruluk....................................................................................... 12MANTIKTA SEMBOLLEfiT‹RME .................................................................... 14Gündelik Dil ve Sembolik Dil ..................................................................... 14Sembollefltirme .............................................................................................. 15Sembollefltirmenin Yarar›.............................................................................. 16Özet ............................................................................................................... 18Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 20Okuma Parças› ........................................................................................... .. 21Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 22S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 22Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ............................................... 22

Önerme Eklemleri................................................................... 24G‹R‹fi .............................................................................................................. 25ÖNERME EKLEMLER‹.................................................................................... 26Do¤rusal Eklemler......................................................................................... 26Önerme Eklemlerinin Do¤ruluk Tablolar›................................................... 29SEMBOL‹K ÖNERMELER VE DO⁄RULUK TABLOLARI ............................ 31Önermeler Mant›¤›n›n Sembolik Dili ........................................................... 31Sembolik Önermelerin Do¤ruluk Tablolar› ................................................. 32Özet ............................................................................................................... 39Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 41Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 42S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 42Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ............................................... 43

Sembollefltirme ve Çeviri ....................................................... 44G‹R‹fi .............................................................................................................. 45SEMBOLLEfiT‹RME ........................................................................................ 46GÜNDEL‹K D‹LE ÇEV‹RME .......................................................................... 53Özet................................................................................................................ 55Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 56Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 58S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 58Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ............................................... 58

‹ ç indek i ler iii

1. ÜN‹TE

2. ÜN‹TE

3. ÜN‹TE

Önerme Eklemleri Mant›¤›nda Çözümleyici Çizelge Yöntemi ................................................................................... 60

G‹R‹fi ............................................................................................................. 61ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGELER ........................................................................ 61ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGE ‹LE ÖNERMELER‹N DENETLENMES‹ ................ 64Bir Önermenin Çözümleyici Çizelgesinin Oluflturulmas› ........................... 64Çözümleyici Çizelge ‹le Bir Önermenin Do¤ruluk De¤erinin Denetlenmesi................................................................................................. 66Çözümleyici Çizelge ‹le Bir Önerme ‹çin Do¤rulay›c› Yorumlama Oluflturulmas›................................................................................................. 67Çözümleyici Çizelge ‹le Bir Önerme ‹çin Yanl›fllay›c› Yorumlama Oluflturulmas›................................................................................................. 69ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGE ‹LE ÇIKARIMLARIN DENETLENMES‹ ................ 71Özet................................................................................................................ 74Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 76Okuma Parças› .............................................................................................. 77Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 78S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 79Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ............................................... 79

Yüklem ve Niceleyiciler .......................................................... 80G‹R‹fi ............................................................................................................. 81GÜNDEL‹K D‹LDE N‹CELEMEL‹ ÖNERMELER ........................................... 81Nicelemeli Önermelerin De¤illenmesi ......................................................... 83Nicelemeli Ç›kar›mlar ve Önermeler Mant›¤› .............................................. 83N‹CELEME MANTI⁄ININ SEMBOL‹K D‹L‹ .................................................. 84Nicelemeli Önermelerin Geçerlili¤i ve Eflde¤erli¤i ..................................... 87Ön-nicelemeli Normal Form......................................................................... 88Özet ............................................................................................................... 91Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 92Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 93S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 93Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ............................................... 93

Nicelenmifl Önermelerin Yorumlanmas›.............................. 94G‹R‹fi .............................................................................................................. 95MODELLER .................................................................................................... 96Kümelerle ‹lgili Önbilgiler ............................................................................ 96Model Kavram› .............................................................................................. 97MODELLER VE N‹CELEMEL‹ ÖNERMELER ................................................. 98Nicelemeli Bir Önermenin Bir Evrende Aç›l›m› .......................................... 98Bir Yorumlamada Bir Önermenin Do¤ruluk De¤erinin Hesaplanmas› ..... 101Nicelemeli Önermeler ‹çin Model ve Karfl›-Model Oluflturulmas› ............. 102MODELLER VE N‹CELEMEL‹ ÇIKARIMLAR ................................................. 104Özet ............................................................................................................... 107Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 109Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 110S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 110Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ............................................... 111

‹ ç indek i leriv

4. ÜN‹TE

5. ÜN‹TE

6. ÜN‹TE

Niceleme Mant›¤›nda Sembollefltirme ve Çeviri...................112G‹R‹fi .............................................................................................................. 113SEMBOLLEfiT‹RME ........................................................................................ 113GÜNDEL‹K D‹LE ÇEV‹R‹ .............................................................................. 119Özet ............................................................................................................... 123Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 125Okuma Parças› ........................................................................................... .. 127Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 128S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 128Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ............................................... 129

Niceleme Mant›¤›nda Çözümleyici Çizelge Yöntemi..............130G‹R‹fi .............................................................................................................. 131N‹CELEMEL‹ SEMBOL‹K ÖNERMELER VE ÇÖZÜMLEY‹C‹Ç‹ZELGELER .................................................................................................. 132Çözümleyici Çizelge ‹le Do¤ruluk De¤eri Hesaplanmas›........................... 132Çözümleyici Çizelge ‹le Önermeler ‹çin Model ve Karfl›-ModelOluflturulmas›................................................................................................. 136Çözümleyici Çizelge ‹le Önermelerin Geçerlili¤inin Denetlenmesi........... 140Çözümleyici Çizelge ‹le Önermelerin Eflde¤erli¤inin Denetlenmesi ......... 142N‹CELEMEL‹ SEMBOL‹K ÇIKARIMLAR VE ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGELER . 143Özet ............................................................................................................... 147Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 149Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 151S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 151Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ............................................... 152

Sözlük ................................................................................... 153

‹ ç indek i ler v

7. ÜN‹TE

8. ÜN‹TE

Önsöz

Mant›k, kurucusu olan ve bu alanda ilk kapsaml› çal›flmay› ortaya koyanAristoteles’ten itibaren felsefenin arac› olarak kabul edilir. Bu kitapta ele alaca¤›m›ztemel mant›k, düzgün ak›l yürütmenin en temel ilkelerini ortaya koymakta ve ak›lyürütmelerimizin düzgün olup olmad›¤›n› denetleyebilmemizi sa¤layan yöntemlersunmaktad›r. Bilimlerin hatta duyular›m›z›n sa¤lad›¤› “bilgileri” sorgulamak felse-fenin temel ifllevlerinden biri oldu¤undan ve sorgulama ancak düzgün ak›l yürütmeile gerçeklefltirilebilece¤inden, düzgün ak›l yürütmeleri konu alan mant›k gerçek-ten de felsefenin vazgeçilmez arac›d›r. Her u¤rafl›da oldu¤u gibi felsefede debaflar›l› olmak için, uygun araçlara sahip olmak ve o araçlar› beceri ile kullanmakgereklidir. Dolay›s›yla felsefe ö¤renmeyi ve felsefi düflünmeyi amaçlayan herinsan›n sa¤lam bir mant›k bilgisine sahip olmas› gereklidir.

Bu kitapta, önermeler mant›¤› ve niceleme mant›¤›n›n temelleri, ö¤rencininkendi çal›flmas›yla ö¤renebilece¤i bir biçimde sunulmufltur. Her ünitede, temelkavramlar tan›mlanmakta ve temel teknikler betimlenmekte, ard›ndan bu temelkavramlar ve teknikler örneklerle aç›klanmaktad›r. Tan›m ve örnekleri dikkatleinceleyiniz ve çözülmüfl örnekleri sonra bir de kendiniz çözerek, çözümünüzükitaptakiyle karfl›laflt›r›n›z. Kitapta konu içinde yer alan di¤er sorular› ve konusonundaki testleri çözünüz. Her konu için, kendiniz de kolayl›kla kitaptaki örnekve sorulardakine benzer al›flt›rmalar üreterek çözebilirsiniz. Matematik gibi mant›kda yaparak ö¤renilir. Bu nedenle bolca soru çözmek mant›¤› ö¤renmenin ensa¤lam yoludur.

Uzaktan ö¤retim tekni¤ine uygun olarak oluflturulmufl ve sembolik mant›¤›nen temel konular›n› ele alan Sembolik Mant›k kitab›n› büyük bir titizlikle haz›rlam›flolan kitab›n yazar› Anadolu Üniversitesi Felsefe Bölümü ö¤retim üyesi Yard. Doç.Dr. ‹skender Tafldelen’e teflekkürlerimi sunar, siz sevgili ö¤rencilerimizin mant›¤›severek ö¤renmenizi ve baflar›l› olman›z› dilerim.

EditörYard. Doç. Dr. Demet Tafldelen

Eskiflehir, 2009

Önsözvi

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Mant›¤›n konusunu ve amac›n› aç›klayabilecek, Mant›¤›n temel kavramlar›n› aç›klayabilecek, Mant›kta sembollefltirmenin ifllevini ve yarar›n› aç›klayabileceksiniz.

• Ak›l yürütme• Önerme• Ç›kar›m• Tümdengelim• Tümevar›m• Heptengitme• Geçerlilik• Tutarl›l›k

‹çerik Haritas›

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NNN

Sembolik Mant›k

• G‹R‹fi• MANTI⁄IN KONUSU VE AMACI• MANTI⁄IN TEMEL KAVRAMLARI• MANTIKTA SEMBOLLEfiT‹RME

Mant›¤›nTemel Kavramlar›

1SEMBOL‹K MANTIK

G‹R‹fiMant›k düzgün ak›l yürütme kurallar›n›n bilimi, felsefe ise, genel olarak, temelgerçeklerin akla dayal› araflt›rmas› olarak tan›mlan›r. Felsefe etkinli¤i, sadece ya-rat›c› düflünme yoluyla gerçekli¤i aç›klad›¤› düflünülen iddialar ileri sürmeyi de¤il,daha da önemlisi, bu iddialar› güçlü ak›l yürütmelerle desteklemeyi gerektirir. Fel-sefi bir iddia, ne denli ilgi çekici olursa olsun, ancak onun için sa¤lanan gerekçe-lendirmenin gücü ölçüsünde kabul görür. Bu nedenle, ak›l yürütmeleri konu alanmant›k felsefenin vazgeçilmez arac›d›r.

Mant›k bilgisinden sadece felsefede de¤il, di¤er tüm bilim ve araflt›rma alanla-r›nda ve gündelik yaflamda faydalan›r›z. Mant›k kurallar›n› hatas›z kulland›¤›m›z-da, mevcut bilgilerimizden do¤ru sonuçlar ç›kard›¤›m›za emin olabiliriz. Ayr›ca,mant›k bilgisi konuflma ve düflünmemizde tutars›z olmam›z› engeller. Mant›k bil-gisi sayesinde, okudu¤umuz bir yaz›da veya bir kiflinin söylediklerinde, bir iddiadüzgün olmayan bir biçimde savunuluyorsa, bunu anlay›p ortaya ç›karabiliriz. Do-lay›s›yla, elefltirel düflünme için mant›k bilgisi gereklidir. Mant›k ö¤renmek geçer-lilik, tutarl›l›k gibi soyut kavramlarla düflünmeyi gerektirdi¤inden, mant›k ö¤reni-mi s›ras›nda soyut düflünme yetene¤i de geliflir.

Bu ünitede, mant›¤›n konusunun ve amac›n›n ne oldu¤una, en temel mant›kkavramlar›na, ak›l yürütme biçimlerine ve son olarak sembollefltirmenin ak›l yürüt-meleri çözümlemedeki ifllevine de¤inece¤iz.

MANTI⁄IN KONUSU VE AMACI‹nsanlar›n uzun bir süre bir etkinlikte bulunup, ancak bu etkinlikle ilgili problem-ler ortaya ç›kt›¤›nda, bu etkinli¤in do¤as› ve kurallar› üzerine düflünmeleri, genelkural say›labilecek kadar çok görülmüfltür. Örne¤in, gündelik yaflam gereksinim-lerini karfl›lamak için yüzy›llarca alan hesaplayan, denklem çözen insanlar, bu ko-nulardaki birikimlerinin hat›r› say›l›r seviyeye ulaflmas› ve matematik ö¤retimininzorlaflmas› sonucunda, bildi¤imiz kadar›yla, ancak Öklid’den (M.Ö. 3. yy.) itibarenmatemati¤i kurall› bir biçimde yapmaya ve ö¤retmeye girifltiler.

Matematiksel düflünme için geçerli olan bu durum, asl›nda tüm düflünme içingeçerlidir. Sistemli düflünme ile ilgili bir bilim olan mant›k ortaya ç›kmadan öncede insanlar düflünmekteydi. Hatta, felsefeci Parmenides (M.Ö. 5. yy.) örne¤indegörüldü¤ü gibi, felsefi düflünme soyut kavramlar hakk›nda sistemli düflünme dü-zeyine ulaflm›flt›. Düflüncenin bu denli ileri noktalara uzanmas›, çözülmesi güç dü-

Mant›¤›n Temel Kavramlar›

flünsel sorunlar› tart›flmay› da olanakl› hale getirdi. Mant›k biliminin kurucusu olanAristoteles’in de (M.Ö. 384 - M.Ö. 322) haberdar oldu¤u yalanc› paradoksu bu so-runlardan biridir. Özgün yalanc› paradoksunun bir benzerini ele alal›m. Afla¤›da-ki tümcenin do¤ru olup olmad›¤›n› düflünün:

Bu tümce yanl›flt›r. Bu tümcenin do¤ru oldu¤unu kabul edelim: Bu durumda tümcenin söyledi¤i fley,bu tümcenin yanl›fl oldu¤u, do¤rudur. Demek ki, tümce yanl›flt›r. fiimdi de, tümce-nin yanl›fl oldu¤unu kabul edelim: O zaman, zaten tümcenin de söyledi¤i bu ol-du¤undan, tümce do¤rudur. Yani, görünüflte do¤ru veya yanl›fl bir yarg› bildirenbu tümce do¤ru ise yanl›fl, yanl›fl ise do¤rudur. ‹çinden ç›k›lmas› zor bir durum! ‹fl-te, düflüncenin ulaflt›¤› bu ve benzeri bilmecelerle karfl› karfl›ya kalan felsefeciler,düflünme üzerine düflünmek, düflünmeyi ve söz söylemeyi kurall› hale getirmekgere¤ini duydular. Buna devlet yönetimi gibi pratik konularda ç›kan ateflli tart›fl-malarda üstün gelme iste¤i de eklenince mant›k biliminin geliflmesi için gerekenflartlar oluflmufl oldu.

Mant›¤›n konusu ak›l yürütme dedi¤imiz düflünme biçimidir. Bildi¤iniz gibi, ha-yal kurmak ve plan yapmak gibi di¤er düflünme türleri de vard›r ancak bu düflün-me türleri, mant›¤›n do¤rudan konusunu oluflturmazlar. Ak›l yürütmek, birtak›mdo¤rulardan veya kabullerden hareket ederek, bir sonuca varmak demektir. Do¤rukabullerden hareket etmek kadar, ak›l yürütmelerimizi düzgün gerçeklefltirmeye dedikkat etmemiz hem günlük yaflant›da hem de bilimde oldukça önemlidir.

Bir ak›l yürütmenin bafllang›c›ndaki kabullerimizin yanl›fl olmas›, bizi yanl›fl birsonuca götürebilir. Örne¤in, gidece¤imiz yoldaki trafi¤in her zamanki gibi olaca-¤›n› kabul ederek, bir arkadafl›m›za bir saat sonra buluflabilece¤imizi bildirdi¤imi-zi kabul edelim. Oysa ki, bak›m çal›flmas› nedeniyle, gidece¤imiz yolun büyük k›s-m› tek fleride inmifl olsun. Bu durumda, arkadafl›m›zla söz verdi¤imiz saatte bulu-flamayabiliriz. Böyle olursa, yanl›fl bir kabulden hareket etti¤imiz için, yanl›fl sonu-ca varm›fl oluruz. Örnekten de anlafl›laca¤› gibi, bir ak›l yürütmenin bafllang›c›nda-ki kabullerimizin do¤ru olup olmad›¤›n› ortaya ç›karmak mant›¤›n görevi de¤ildir.

Mant›k bak›m›ndan, ak›l yürütme yanl›fllar›n›n as›l önemli nedeni, baflvurulanak›l yürütme biçiminin düzgün olmamas›d›r. Düzgün olmayan bir ak›l yürütme bi-çimine baflvurdu¤umuzda, bafllang›ç kabullerimiz do¤ru olsa bile kolayl›kla yanl›flbir sonuca varabiliriz. Gündelik yaflam›m›zda düzgün ak›l yürütmemenin sonucun-da, örne¤in, bir arkadafl›m›z› haks›z olarak suçlayabilir ya da oldukça fazla emekharcanan bir iflin sonunda baflar›s›z olabiliriz. Bilimden de basit bir örnek vermekgerekirse, insanlar yüzy›llar boyu ayn› dünyada yaflay›p, ayn› gökyüzünü gözlem-ledikleri halde, yanl›fl olarak, dünyan›n evrenin merkezinde oldu¤una, güneflin vetüm y›ld›zlar›n dünyan›n etraf›nda döndü¤üne vbg. inand›lar. Farkl› hiçbir gözlem-de bulunma imkan› olmayan ve ayn› ak›l yürütme kurallar›na sahip olan NicolausCopernicus (1473-1543) ise, ayn› gözlemlerden yola ç›karak, dünyan›n ve di¤ergezegenlerin günefl etraf›nda döndü¤ü sonucuna ulaflt›.

Mant›¤›n birinci amac› düzgün ak›l yürütme biçimlerini belirlemektir. Düzgünak›l yürütmelere baflvurmaya çal›flmak, bu ak›l yürütmeler, do¤ru kabullerden ha-reket etti¤imizde, ulaflt›¤›m›z sonucun kesin olarak do¤ru, ya da yüksek olas›l›klado¤ru olmas›n› sa¤lad›klar› için önemlidir. Buna göre, “mant›kl› düflünmek” man-t›¤›n ortaya koydu¤u düzgün ak›l yürütme biçimlerine uygun olarak düflünmekdemektir. Düzgün ak›l yürütme biçimlerinin belirlenmesinin ard›ndan, mant›¤›nikinci amac›, ak›l yürütmelerin bu ak›l yürütme biçimlerine uygun olup olmad›¤›-n› denetleyecek yöntemler gelifltirmektir. Mant›¤a baflvurarak gerçeklik hakk›nda-ki bilgimizi geniflletebilmemiz, bu iki temel amac›n gerçekleflmesine ba¤l›d›r.

4 Sembol ik Mant ›k

Mant›k bilimi düflünmedeortaya ç›kan paradoks veçeliflkilerden kaç›nmak,tart›flmalarda üstün gelentaraf olman›n yöntemlerinigelifltirmek iste¤indendo¤mufltur.

Ak›l yürütmek, birtak›mdo¤rulardan veyakabullerden hareket ederek,bir sonuca varmak demektir.

Mant›¤›n konusu ak›lyürütmeler, amac› isedüzgün ak›l yürütmebiçimlerini ortaya koymak veak›l yürütmeleridenetlememizi sa¤layacakyöntemler gelifltirmektir.

MANTI⁄IN TEMEL KAVRAMLARI

ÖnermeAk›l yürütmenin do¤rulardan ya da kabullerden hareket ederek sonuç ç›karmakoldu¤unu söylemifltik. Ancak neler için “do¤ru” ya da “yanl›fl” diyebilece¤imizi,dolay›s›yla ak›l yürütmelerin nelerden olufltu¤unu belirlemedik. Mant›kta “do¤ru”ve “yanl›fl” de¤erleri “do¤ruluk de¤erleri” olarak, do¤ruluk de¤eri alan fleyler ise“önerme” olarak adland›r›l›r. Ak›l yürütmeler önermelerden olufltu¤una göre,“önerme” kavram›n›n tan›mlanmas› mant›k bak›m›ndan önemlidir.

Bildi¤iniz gibi, en temel tümce türleri, bildirsel tümceler (bildirme tümceleri),soru tümceleri, emir tümceleri ve ünlem tümceleridir. Bir yarg› bildirmek amac› ilekurulan tümcelere bildirsel tümce veya bildirme tümcesi, bir konuda bilgi edin-mek amac›yla kurulan tümcelere soru tümcesi, birinin bir eylemi gerçeklefltirmesi-ni buyurmak için kurulan tümcelere emir tümcesi, bir dile¤i ya da duyguyu bildi-ren tümcelere ünlem tümcesi denir.

“Bugün ya¤mur ya¤acak” bir bildirsel tümce, “Bugün ya¤mur ya¤acak m›?” birsoru tümcesi, “Bugün ya¤mur ya¤›p ya¤mayaca¤›n› söyle” bir emir tümcesi, “Ey-vah, bugün ya¤mur ya¤acakm›fl!” bir ünlem tümcesidir.

Tan›m: Önerme anlaml› ve kesin yarg› bildiren bildirsel tümcedir.

Afla¤›daki tümceler birer önermedir.1. Eskiflehir Türkiye’nin en kalabal›k kentidir. 2. 2+2=53. Phobos ve Deimos, Mars gezegeninin iki do¤al uydusudur. 4. Her do¤al say› ya çift ya da tek say›d›r.

Bir önermenin do¤ru ya da yanl›fl olmas›n› da flu flekilde tan›ml›yoruz: Öner-menin bildirdi¤i yarg› gerçeklikle uyufluyorsa önerme do¤ru, aksi takdirde önermeyanl›flt›r. Örne¤imizdeki ilk iki önerme ‘yanl›fl’ do¤ruluk de¤erini; son iki önermeise ‘do¤ru’ do¤ruluk de¤erini almaktad›r.

Bir tümcenin önerme olmas› için o tümcenin do¤ru mu yanl›fl m› oldu¤unu bil-memiz gerekmez. Aksine, genellikle önce tümcenin bir yarg› bildirdi¤ini anlar ve,dolay›s›yla, bir önerme oldu¤una karar verir, ard›ndan da do¤rulu¤una/yanl›fll›¤›-na karar veririz.

Örne¤in, flu anda “Türkiye’nin flu andaki nüfusu 70 milyon 586 bindir.” tümcesi-nin, do¤ru mu yoksa yanl›fl m› oldu¤unu bilmesem de, bu tümcenin bir önerme ol-du¤unu, bir yarg› bildirdi¤ini biliyorum. Y›llar boyu do¤rulu¤una veya yanl›fll›¤›-na karar verilememifl önermeler vard›r. Örne¤in, kimi matematik önermeleri ilerisürüldükten y›llar sonra kan›tlanabilmifltir. “Evrende dünyam›z›n d›fl›nda da ha-yat vard›r.” tümcesi de do¤ruluk de¤erini bilmedi¤imiz bir önermedir.

Bir tümcenin önerme olabilmesi için içinde geçen sözcüklerin anlamlar›n›naç›k olmas›, ve bu sözcüklerin bir arada aç›k bir yarg› bildirmesi gerekir.

51. Ünite - Mant ›¤ ›n Temel Kavramlar ›

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Anlaml› olan ve kesin biryarg› bildiren tümcelereönerme denir. Ak›lyürütmeler önermelerdenkuruludur.

“Haftan›n en k›rm›z› günü sal›d›r” sözcük dizisi görünüflte bir önerme olmas›nara¤men, anlafl›l›r hiçbir yarg› bildirmedi¤inden önerme say›lamaz.

Kimi durumlarda, bir ifadeyi, örne¤in bir önermeyi, t›rnak içinde ald›¤›m›zadikkat ederek, bunun nedenini soruyor olabilirsiniz: Bir ifadenin kullan›lmas› du-rumunda bu ifade t›rnak içine al›nmadan yaz›l›r, bir ifadeden söz edilmesi duru-munda ise ifade t›rnak içine al›n›r. Örneklere baflvurarak bu ay›r›m› kolayca aç›k-layabiliriz:

Afla¤›daki ifadeleri ele alal›m: 1. Ayfle bir ö¤rencidir. 2. “Ayfle” dört harflidir.3. “Ayfle” bir ö¤rencidir. 4. Ayfle dört harflidir.

‹lk ifade Ayfle hakk›nda bir önermedir. Ayfle gerçekten bir ö¤renci ise öner-me do¤ru, de¤il ise önerme yanl›flt›r. ‹kinci ifade ise bir sözcük hakk›nda, do¤rubir önermedir. Üçüncü ve dördüncü ifadeler anlams›z ifadelerdir: Üçüncü ifade-de bir sözcü¤ün ö¤renci oldu¤u ileri sürülmekte, dördüncüde ise bir kiflinin dörtharfli oldu¤u ileri sürülmektedir.

Bir ifadenin kullan›lmas› ile bir ifadeden söz edilmesi aras›ndaki ay›r›ma göreafla¤›daki tümceleri de¤erlendirelim:1. Ali Aliye’den k›sad›r. 2. “Ali” sözcü¤ü “Aliye” sözcü¤ünden k›sad›r.

Birinci tümce Ali ve Aliye’nin boylar›n›n ne oldu¤una göre do¤ru ya da yanl›flolabilen bir önermedir. Bu önermede “Ali” ve “Aliye” sözcükleri Ali ve Aliye’den sözetmek için kullan›lm›flt›r. ‹kinci tümce ise Ali ve Aliye hakk›nda de¤il “Ali” ve “Ali-ye” sözcükleri hakk›nda do¤ru bir önermedir. Bu önermede “Ali” ve “Aliye” sözcük-lerinin Ali ve Aliye hakk›nda konuflmak için kullan›lmas› söz konusu de¤ildir.

Sonraki ünitelerdeki tan›mlarda ihtiyaç duyaca¤›m›z bir baflka önemli ay›r›mda, ifade tipi ve ifade örne¤i ay›r›m›d›r. fiimdi yazd›¤›m›z “ANKARA” sözcü¤ündekaç harf oldu¤unu soral›m. Bu soru iki flekilde yan›tlanabilir. Bu sözcü¤ün “A”,“N”, “K”, “A”, “R” ve “A” harfleri olmak üzere alt› harften olufltu¤unu söyleyebildi-¤imiz gibi, “A”, “N”, “K”, “R” harfleri olmak üzere dört harften olufltu¤unu söyleye-biliriz. Birinci yan›tta harf ile harf örne¤ini, ikincisinde ise harf tipini kastediyoruz.Bir baflka deyiflle, “ANKARA” sözcü¤ünde “A” harf tipinin üç örne¤i, “N”, “K” ve“R” harf tiplerinin ise birer örne¤i oldu¤unu söyleyece¤iz. Harf için söyledikleri-miz, di¤er iflaretler ve ifadeler için de söylenebilir. “Ali’nin babas›n›n ad› da Ali idi.”tümcesinde “Ali” sözcük tipinin iki örne¤i vard›r.

Bir x ifade tipinin bir y ifadesindeki her örne¤i x’in y’de bir geçifli olarak adlan-d›r›l›r. Dolay›s›yla, “A” harfinin “ANKARA” sözcü¤ünde üç kere, “Ali” sözcü¤ünün“Ali’nin babas›n›n ad› da Ali idi.” tümcesinde iki kere geçti¤ini söyleriz. Bu saye-de, bir ifadedeki her bir ifade örne¤i hakk›nda konuflmam›z mümkün olur. Örne-¤in, “A” harfinin “ANKARA” sözcü¤ündeki birinci, ikinci ve üçüncü geçiflindenbahsetti¤imizde, en soldaki geçiflin birinci geçifli, ortadakinin ikinci, en sa¤dakininde üçüncü geçifli oldu¤unu söyleyece¤iz.


Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ç›kar›mBu ünitenin bafl›nda, mant›¤›n konusunun ak›l yürütmeler oldu¤unu, mant›¤›namac›n›n da düzgün ak›l yürütme biçimlerini ortaya koymak ve ak›l yürütmelerindüzgün ak›l yürütme biçimlerine uygunlu¤unu denetlememizi sa¤layacak yöntem-ler gelifltirmek oldu¤unu belirtmifltik. Bu söylediklerimizi daha aç›k ifade edebil-mek ve tart›flabilmek için “ak›l yürütme” kavram›n›n yerine daha aç›k bir kavramolan “ç›kar›m” kavram›n› tan›mlay›p kullanaca¤›z. Bunun için de, az önce de¤indi-¤imiz “önerme” kavram›na baflvuraca¤›z.

Tan›m: Bir veya daha fazla say›da önermeden hareketle bir baflka önermeyeulaflmak bir ç›kar›mda bulunmakt›r. Bir ç›kar›mda bulundu¤umuzda ulaflt›¤›m›zönerme sonuç önermesi, sonuç önermesine ulaflmak için bafllang›ç noktas› olarakald›¤›m›z önermeler öncül önermeler veya k›saca öncüllerdir. Öncül önermeleri vesonuçtan oluflan önerme dizisi bir ç›kar›md›r. Bir dizi önermenin bir ç›kar›m oldu-¤unu, öncül önermeleri ile sonuç önermesi aras›na konan “o halde”, “öyleyse”,“demek ki”, “dolay›s›yla” gibi ifadelerle belirtiriz. Bir ç›kar›m›n standart biçimi afla-¤›daki gibi gösterilmektedir.

Birinci öncül‹kinci öncül...Sonuncu öncül____________________O halde, Sonuç önermesi

Biz bu kitapta, genellikle, ç›kar›mlar› standart biçim yerine do¤rusal biçimde ya-zaca¤›z. Do¤rusal biçime göre yaz›ld›¤›nda, bir ç›kar›m›n gösterimi afla¤›daki gibidir:

Birinci öncül, ‹kinci öncül,..., Sonuncu öncül. O halde, Sonuç önermesi.

“Ali bugün çok hasta. Demek ki, Ali bugün okula gelemeyecek.” ve “Bir ülkedekih›zl› nüfus art›fl› kamu hizmetlerinin verimli yürütülmesini zorlaflt›r›r. E¤itim birkamu hizmetidir. Türkiye’de nüfus art›fl› h›zl›d›r. Dolay›s›yla, Türkiye’de e¤itimhizmetinin verimli yürütülmesi zordur.” birer ç›kar›md›r.

Ç›kar›m›n sonuç önermesinin öncüllerden sonra söylenmesi veya yaz›lmas› flartde¤ildir.

Yukar›daki örnekteki ilk ç›kar›m›, “Ali bugün okula gelemeyecek. Çünkü Ali bu-gün çok hasta” biçiminde yazabiliriz.

Ç›kar›mlar ak›l yürütme biçimlerine göre de¤erlendirilir. Temel ak›l yürütme bi-çimleri olarak, tümdengelimli (dedüktif), tümevar›ml› (indüktif) ve heptengitmeli(abdüktif) ak›l yürütmeleri ele alaca¤›z. Tümdengelimli ak›l yürütme biçimini ko-nu edinen mant›k disiplini tümdengelimli mant›k, tümevar›ml› ak›l yürütme biçi-mini konu edinen mant›k disiplini tümevar›ml› mant›k, heptengitmeli ak›l yürüt-me biçimini konu edinen mant›k disiplini ise heptengitmeli mant›kt›r. Bu ünite d›-fl›nda sadece tümdengelimli mant›¤› ele alacak, ve ç›kar›mlar› tümdengelimli man-t›¤a göre de¤erlendirece¤iz.

Hangi ak›l yürütme biçimine baflvuraca¤›m›z koflullara ba¤l› olarak de¤iflir. Birç›kar›m›n düzgün kabul edilmesi hangi ak›l yürütmede de¤erlendirildi¤ine ba¤l›-d›r. Bir ak›l yürütme biçimine göre düzgün say›lan bir ç›kar›m, bir di¤erine göredüzgün olmayabilir. Ak›l yürütme biçimlerini ele al›rken en önemli nokta, her ak›lyürütme biçiminin ç›kar›mlar› hangi ölçüte göre de¤erlendirdi¤ini anlamakt›r.


“Öncül önermeler” ad›n›alan bir grup önerme ve birsonuç önermesinden oluflanönerme dizisine “ç›kar›m”denir. Ç›kar›m›n öncülleri vesonuç önermesi “o halde”,“demek ki” gibi sözcüklerleayr›l›r.

Ö R N E K

Ö R N E K

Temel ak›l yürütme biçimleritümdengelimli (dedüktif),tümevar›ml› (indüktif) veheptengitmeli (abdüktif) ak›lyürütmelerdir.

Tümdengelimli (Dedüktif) Ak›l Yürütme: Tümdengelimli ak›l yürütmeninamac›, do¤ru öncüllerden yola ç›kt›¤›m›zda bizi mutlaka do¤ru sonuçlara ulaflt›ra-ca¤›ndan emin olaca¤›m›z ç›kar›m biçimlerini bulmakt›r. Öncüllerin sonuç öner-mesini zorunlu k›ld›¤› bir ç›kar›m tümdengelimli mant›k bak›m›ndan düzgün birç›kar›md›r. Tümdengelimli mant›¤a göre düzgün bir ç›kar›ma “geçerli” ç›kar›m de-nir. Geçerli bir tümdengelimli ç›kar›mda, ç›kar›m›n öncül önermelerinin tümünündo¤ru oldu¤unu kabul etti¤imizde sonuç önermesini de do¤ru kabul etmemiz zo-runludur. Geçerli ç›kar›mlar›n bu özelli¤i do¤rulu¤u koruma özelli¤i olarak adlan-d›r›l›r. Bir ç›kar›mda tüm öncül önermeleri do¤ru ve sonuç önermesini yanl›fl ka-bul etmek olanakl› ise, bu ç›kar›m tümdengelimli mant›k bak›m›ndan düzgün ol-mayan bir ç›kar›md›r. Böyle bir ç›kar›m “geçersiz” ç›kar›m olarak nitelenir.

Afla¤›daki ç›kar›mlar›n her biri geçerli ç›kar›mlard›r. 1. Çifteler Eskiflehir’in bir ilçesidir. O halde, Çifteler Eskiflehir’in bir ilçesidir. 2. Her insan ölümlüdür. Sokrates bir insand›r. O halde, Sokrates ölümlüdür.

Afla¤›daki ç›kar›mlar›n her biri geçersizdir. 1. Baz› insanlar müzisyendir. Sokrates bir insand›r. O halde Sokrates müzisyendir. 2. Çifteler ya Eskiflehir’in bir ilçesi ya da Ankara’n›n bir ilçesidir. O halde, ÇiftelerEskiflehir’in bir ilçesidir.

Genel olarak, bir ç›kar›m›n geçerli oldu¤unu sadece öncül ve sonuç önermelerinin do¤ru-luk de¤erlerine bakarak söyleyemeyiz. Ç›kar›m›n geçerlili¤i öncüller ve sonuç önermesiaras›ndaki mant›ksal iliflkide aranmal›d›r.

“Kar beyazd›r. O halde, çimen yeflildir.” ç›kar›m›, bu ç›kar›m›n öncül ve sonuçönermesinin do¤ru olmas›na ra¤men, geçersiz bir ç›kar›md›r. Çimenin yeflil olma-s›, kar›n beyaz olmas›n›n mant›ksal sonucu de¤ildir. Nitekim, kar›n beyaz oldu¤uama çimenin yeflilden baflka bir renkte, örne¤in k›rm›z›, oldu¤unu düflünmektehiçbir zorluk yoktur.

“Kar yeflildir. Çimen beyazd›r. O halde, Kar yeflildir ve çimen beyazd›r.” ç›kar›m›ise, geçerli bir ç›kar›md›r. Çünkü, ç›kar›m›n öncülleri olan “Kar yeflildir.” ve “Çimenbeyazd›r.” önermelerini do¤ru kabul etti¤imizde, ç›kar›m›n sonuç önermesi olan‘Kar yeflildir ve çimen beyazd›r.’ önermesini do¤ru kabul etmemiz zorunludur.

Bir tek durumda, ç›kar›m› oluflturan önermelerin gerçek do¤ruluk de¤erlerin-den yola ç›karak ç›kar›m›n geçerlili¤i hakk›nda kesin sonuca var›labilir: Bir ç›ka-r›mda, tüm öncüller do¤ru ve sonuç yanl›fl ise, o ç›kar›m›n geçersiz oldu¤unu he-men söyleyebiliriz.

Ya Ankara ya da ‹stanbul Türkiye’nin baflkentidir. O halde, ‹stanbul Türkiye’ninbaflkentidir.’ ç›kar›m›n›n öncül önermesi do¤ru oldu¤u halde sonuç önermesi yan-l›flt›r. Dolay›s›yla, bu ç›kar›m›n geçersiz oldu¤unu kolayca söyleyebiliriz. Ç›kar›m ge-çerli olsayd›, öncül önermesi do¤ru oldu¤undan, sonuç önermesi yanl›fl olamazd›.

Afla¤›daki tabloda, ç›kar›m› oluflturan önermelerin gerçek do¤ruluk de¤erleriile ç›kar›m›n geçerlili¤i aras›ndaki iliflki belirtilmektedir.


Tümdengelimli mant›kta birç›kar›m›n öncülönermelerinin sonuçönermesini kesin olarakortaya koymalar› flart›aran›r. Bu flart› sa¤layanç›kar›mlar geçerliç›kar›mlard›r.

Ö R N E K

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE SIRA S ‹ZDE

AMAÇLARIMIZAMAÇLARIMIZ N NK ‹ T A P

T E L E V ‹ Z Y O N

K ‹ T A P


‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Geçerli ç›kar›mlar düflüncelerimizi desteklemek için verebilece¤imiz en güçlügerekçeleri sa¤lar. Bir önermenin do¤ru oldu¤unu karfl›m›zdakine ak›lc› yoldan ka-bul ettirmek istedi¤imizde, öncülleri do¤ru önermelerden oluflan geçerli bir ç›kar›msa¤lamak en iyi yoldur. Ancak, tümdengelimli ç›kar›mlarda sonuç önermesi öncül-lerin ötesine geçen bir bilgi veremez. Öncüllerin mant›ksal sonucu olabilmesi için,sonuç önermesi, öncüllerde örtük durumda bulunan bilgiyi ortaya koymal›d›r.

Tümevar›ml› (‹ndüktif) Ak›l Yürütme: Tümevar›ml› ak›l yürütmelere özel-likle do¤a bilimlerinde ve gündelik yaflamda baflvururuz. Tümevar›ml› ak›l yürüt-mede öncül önermelerden do¤ru olma olas›l›¤› yüksek sonuçlar ç›kar›lmaya çal›-fl›l›r. Bir ç›kar›mda öncül önermelerin do¤ru olmas› sonuç önermesinin de do¤ruolma olas›l›¤›n› artt›r›yor ise, tümevar›ml› ak›l yürütme bak›m›ndan bu ç›kar›mdüzgün bir ç›kar›m kabul edilir.

Tümevar›ml› mant›¤a göre düzgün say›lan ancak sonucun öncüllere göre an-cak yüksek olas›l›kla do¤ru oldu¤u ç›kar›mlar, tümdengelimli mant›k bak›m›ndangeçersizdir. Ancak, tümdengelimli ak›l yürütmelerden bahsederken söyledi¤imizgibi, geçerli tümdengelimli ç›kar›mlar bize öncüllerde verilenin ötesine geçen ye-ni bir bilgi sa¤lamaz. Bir baflka deyiflle, tümdengelimli ç›kar›mlarda sonuç önerme-si öncül önermelerde örtük olarak zaten bulunan bir bilgiyi ifade eder. Bu neden-le, tümdengelimli ç›kar›mlar gerçeklik hakk›ndaki bilgimizi gerçek anlamda artt›r-mazlar. Tümevar›ml› ç›kar›mlar ise olgusal bilgimizi geniflletmemizi sa¤layan ç›ka-r›mlard›r. Bu nedenle gerçeklik hakk›nda yeni bilgi edinmek için sadece tümden-gelimli ak›l yürütmelerle yetinemeyiz. Tümevar›ml› mant›¤a göre düzgün say›lanç›kar›mlarda öncüller do¤ru olsa bile sonuç önermesi kesin olarak do¤rudur diye-mememize ra¤men, do¤a bilimlerinde ve gündelik yaflamda tümevar›ml› ak›l yü-rütmeye baflvurmam›z gereklidir.

Ayn› türden belli say›da özel durumdan yola ç›karak genel bir sonuca varmayaçal›flmak da tümevar›ml› ak›l yürütmektir.

‹çi görülmeyen bir torbada renklerini bilmedi¤imiz 20 tane bilye olsun. Bu torba-dan ard› ard›na 19 tane bilye alal›m. Bu durumda, afla¤›daki ç›kar›m, tümeva-r›ml› ak›l yürütme bak›m›ndan düzgün bir ç›kar›md›r. Birinci bilye k›rm›z›d›r. ‹kinci bilye k›rm›z›d›r.Üçüncü bilye k›rm›z›d›r....Ondokuzuncu bilye k›rm›z›d›r._________________________________O halde, torbadaki tüm bilyeler k›rm›z›d›r.

Öncüller Sonuç Ç›kar›m

Tümü do¤ru Yanl›fl Geçersiz

Tümü do¤ru Do¤ru Geçerli ya da geçersiz

Baz›lar› do¤ru, baz›lar› yanl›fl Do¤ru Geçerli ya da geçersiz

Baz›lar› do¤ru, baz›lar› yanl›fl Yanl›fl Geçerli ya da geçersiz

Tümü yanl›fl Do¤ru Geçerli ya da geçersiz

Tümü yanl›fl Yanl›fl Geçerli ya da geçersiz


Tablo 1.1

Tümevar›ml› ak›l yürütmebak›m›ndan bir ç›kar›mdaöncüllerin sonuç önermesinikesin olarak ortaya koymas›de¤il, sonucun do¤ru olmaolas›l›¤›n› artt›rmalar› flart›aran›r.

Ö R N E K

Tümevar›ml› ak›l yürütmede, bir ç›kar›m öncüllerinin sonuç önermesini ne de-rece destekledi¤ine göre de¤erlendirilir. Tümevar›ml› bir ç›kar›mda öncül önerme-lerinin sonuç önermesini destekleme derecesi o ç›kar›m›n tümevar›msal gücü ola-rak adland›r›l›r. E¤er tümevar›ml› bir ç›kar›mda öncül önermelerin do¤rulu¤u so-nuç önermesinin do¤rulu¤unu ciddi olarak artt›r›yorsa, bu ç›kar›m güçlü bir tüme-var›ml› ç›kar›md›r.

Afla¤›daki ç›kar›m güçlü bir tümevar›ml› ç›kar›m örne¤idir. Orçun yeni do¤mufl bir bebektir._______________________________O halde, Orçun yar›n maraton koflup birinci olamaz.

Tümevar›ml› bir ç›kar›mda öncül önermelerin do¤rulu¤u sonuç önermesinindo¤rulu¤unu anlaml› biçimde artt›rm›yorsa, bu ç›kar›m zay›f bir tümevar›ml› ç›ka-r›md›r. Örne¤in, hakk›nda ak›l yürüttü¤ümüz varl›klar›n say›s›, hakk›nda kesin bil-gi sahibi oldu¤umuz varl›klardan çok daha fazla ise, elde edece¤imiz tümevar›ml›ç›kar›m zay›ft›r.

Belli bir anda dünyadaki ku¤ular›n say›s› sonlu ise de, potansiyel olarak ku¤u sa-y›s› sonsuzdur. Yeni do¤acak herhangi bir ku¤u, ku¤ular hakk›ndaki genel biryarg›m›z› yanl›fllayabilir. Dolay›s›yla, ku¤ular hakk›nda afla¤›daki ç›kar›m bir za-y›f tümevar›m örne¤idir. Gördü¤üm birinci ku¤u beyazd›r. Gördü¤üm ikinci ku¤u beyazd›r. Gördü¤üm üçüncü ku¤u beyazd›r. ___________________________Dolay›s›yla, tüm ku¤ular beyazd›r.

Hakikaten, üç ku¤uyu gözlemleyerek elde etti¤im bilgi, tüm ku¤ular hakk›ndabir yarg›ya varmak için oldukça yetersiz oldu¤undan bu ç›kar›m zay›f bir tümeva-r›ml› ç›kar›md›r (Nitekim Avustralya’da siyah ku¤ulara rastlanm›flt›r).

Afla¤›daki ç›kar›m zay›f bir tümevar›ml› ç›kar›md›r. Fehmi Eskiflehirlidir.___________________O halde, Fehmi evlidir.

Hakikaten, sadece Fehmi’nin Eskiflehirli olmas›, Fehmi’nin evli olup olmad›¤›-na iliflkin hemen hiçbir bilgi vermez.

fiimdi de, benzerini s›k s›k yapt›¤›m›z ancak tümevar›ml› mant›k bak›m›ndanzay›f ç›kar›mlara iki örnek verelim:

Diyelim ki televizyon izlemek istiyoruz ve hangi filmi izleyece¤imize karar verme-ye çal›fl›yoruz. Gazeteden TV program›na bakt›¤›m›zda, daha önce pek çok filmi-ni izleyip be¤endi¤imiz bir aktörün oynad›¤› ve daha önce izlemedi¤imiz bir filmoldu¤unu görüyoruz. Bu durumda, bu filmi izlemeye karar vermemiz do¤ald›r.


Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

‹nsanlar›n piyango biletlerini çok defa büyük ikramiye isabet eden bileti satan bü-feden almaya çal›flmalar› bir baflka tümevar›ml› ak›l yürütme örne¤idir.

Piyango bileti alan ço¤u insan, piyango biletini çok defa büyük ikramiye isabet eden bile-ti satan büfeden almaya çal›fl›r. Bu davran›fla yol açan ç›kar›m hangi nedenden dolay› zay›fbir tümevar›m örne¤idir?

Tümevar›ml› ak›l yürütmenin bir biçimi de analoji (benzeflim) yoluyla ak›l yü-rütmedir. Analoji yoluyla ak›l yürütmede öncül önermelerde iki fley aras›ndaki il-gili bak›mlardan benzerlikler ortaya konarak, bu iki fley aras›nda farkl› bir bak›m-dan ortak özellik oldu¤u sonuç önermesine ulafl›l›r. Analojinin neden tümevar›m›nbir türü say›ld›¤›, analojinin genel biçimini afla¤›daki gibi yazd›¤›m›zda daha iyi an-lafl›l›r:

x ve y 1. bak›mdan benzerdir. x ve y 2. bak›mdan benzerdir....x ve y n-inci bak›mdan benzerdir.___________________________________O halde, x ve y n+1 bak›m›ndan da benzerdir.

Mars gezegeninin günefle uzakl›¤›, Mars yüzeyindeki s›cakl›k ve Mars gezegenininatmosferi dünyaya benzer. Dünya insan yaflam› için elverifllidir. Dolay›s›yla Marsgezegeninde de yaflamam›z mümkündür.

Bir kifli ormanda yürüyüfl yaparken ac›k›r ve yiyecek bir fleyler arar. Bir grup man-tara rastlar. Bu mantarlar›n markette gördü¤ü yenebilir mantarlara flekil, büyük-lük ve koku bak›m›ndan benzedi¤ini fark eder. Dolay›s›yla, bu mantarlar›n da ye-nebilir oldu¤u sonucuna var›r (Pojman 2002, s. 34).

Analojinin baflar›l› olabilmesi için, konuya iliflkin öncüllerde verilen bilginin so-nuç önermesinde ulafl›lmak istenen bilgi bak›m›ndan ilgili olmas› gerekir. ‹flte kö-tü bir analoji örne¤i:

Maymunlar ve insanlar pek çok bak›mdan birbirlerine benzer. ‹nsanlar futbol oy-nar. Dolay›s›yla maymunlar da futbol oynar.

Heptengitmeli (Abdüktif) Ak›l Yürütme: Heptengitmeli ak›l yürütmede ön-cül önermelerinin tümünün do¤ru olmas› durumunu en iyi aç›klayan önermeye so-nuç önermesi olarak ulafl›lmaya çal›fl›l›r. Tümevar›ml› ak›l yürütmede oldu¤u gibi,düzgün bir heptengitmeli ak›l yürütmede, öncül önermelerinin do¤ru olmas› sonuçönermesinin do¤rulu¤unu zorunlu k›lmaz. Ç›kar›mlar› heptengitmeli mant›k bak›-m›ndan de¤erlendirirken, sadece öncüllerin sonucun do¤ru olma olas›l›¤›n› artt›r-mas›n› de¤il, sonuç önermesinin öncüllerin do¤ru olmas›n› aç›klay›c› gücü olmas›-n› göz önünde bulundururuz ve aç›klay›c› gücü en yüksek olan önermeyi sonuçolarak ç›karmam›z gerekir. Tümdengelimli mant›k bak›m›ndan, heptengitmelimant›¤›n iyi sayd›¤› ancak sonucun kesin olarak öncüllerden ç›kmad›¤› ç›kar›m-lar da geçersiz ç›kar›mlard›r. Bununla birlikte, tümevar›ml› ak›l yürütmeler gibi,gündelik yaflamda heptengitmeli ak›l yürütmelere de baflvurmak zorunda kal›r›z.


Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Heptengitmeli ak›lyürütmede sonuç önermesiöncül önermelerinintümünün do¤ru olmas›durumunu en iyi aç›klayanönerme olmal›d›r.

Bulundu¤umuz odada oturdu¤umuz yerden pencereye bakt›¤›m›zda d›flar›daya¤mur ya¤d›¤› görülüyor ve pencereye arada su damlalar› düflüyor olsun. Bu du-rumda d›flar›da ya¤mur ya¤d›¤› sonucuna varmam›z do¤ald›r. Oysa ki, bu sonuçyanl›fl olabilir. Örne¤in, biri üzerinde delikler bulunan bir hortum yard›m›yla bugörüntüyü sa¤lam›fl olabilir. Ancak, böyle düflünmek için bir nedenimiz yoksa, buakla yak›n bir aç›klama say›lmaz. Normal flartlarda d›flar›da ya¤mur ya¤d›¤› so-nucuna varmam›z en akla yak›n aç›klamad›r.

Daniel Defoe taraf›ndan yaz›lan ünlü roman›n ayn› ad› tafl›yan bafl kahraman›Robinson Crusoe, bir deniz yolculu¤u s›ras›nda ›ss›z bir adaya düfler. Bir gün, Ro-binson sahilde insan ayak izleri görür. Robinson bu ayak izlerinin kendisine aitolmad›¤›n› anlar. Dolay›s›yla Robinson, bulundu¤u adaya kendisinden baflka in-sanlar›n geldi¤i sonucuna ulafl›r. Robinson’un ulaflt›¤› sonuç asl›nda öncüllerinzorunlu sonucu de¤ildir. Kumsaldaki ayak izleri, insanlar›n burada yürümelerid›fl›nda da pek çok flekilde oluflmufl olabilir. Ancak, en akla yak›n olan aç›klama,Robinson’un yapt›¤› gibi, sahilde insanlar›n yürüdü¤ünü kabul etmektir.

Tutarl›l›kBir grup önermenin tümünün ayn› zamanda do¤ru olabilmesi bu önermeler gru-bunun tutarl› olmas› demektir. Bir grup önermenin tümünün ayn› zamanda do¤-ru olamamas› ise bu önerme grubunun tutars›z olmas› demektir.

“Ali Veli’nin kardeflidir.” ve “Veli Ali’nin kardefli de¤ildir.” önermeleri birliktetutars›zd›r.

“Ali Veli’den küçüktür.”, “Veli Ahmet’ten küçüktür.”, “Ahmet Ali’den küçüktür.”önermeleri birlikte tutars›zd›r. Çünkü ilk iki önermeden Ali’nin Ahmet’ten küçükolmas› gerekti¤i anlafl›l›r.

Ali Veli’den küçüktür. Veli Ahmet’ten küçüktür. Ali Ahmet’ten küçüktür. Önerme-leri birlikte tutarl›d›r.

Geçerlilik ve tutarl›l›k ç›kar›mlar› yak›n ilintili kavramlard›r. Bir ç›kar›m›n öncülönermelerinin tümünün do¤ru oldu¤unu kabul etti¤imizde sonuç önermesini dedo¤ru kabul etmemiz zorunlu ise, bu ç›kar›m›n geçerli oldu¤unu söylemifltik. Bu-na göre, geçerli bir ç›kar›m›n öncül önermelerinin do¤ru oldu¤unu ancak sonuçönermesinin yanl›fl oldu¤unu söylemek tutars›zl›kt›r. Tersine, bir ç›kar›m›n öncülönermelerinin do¤ru olmas›, sonuç önermesinin yanl›fl olmas› ile tutars›z ise, o ç›-kar›m geçerlidir. Buna göre geçerli ç›kar›mlar› öncüllerinin do¤ru olmas› sonucunyanl›fl olmas› ile tutars›z olan ç›kar›mlar olarak da tan›mlayabiliriz.

Mant›ksal Do¤rulukBir önermenin do¤ru olmas›n› önermenin bildirdi¤i yarg›n›n gerçeklerle uyuflmas›olarak tan›mlam›flt›k. fiimdi önermelerin do¤rulu¤unu daha yak›ndan ele alal›m.

Kimi do¤ru önermelerin do¤ru olmalar› gerçekli¤in durumuna ba¤l›d›r. Yani,gerçekli¤in baflka türlü olmas› ve dolay›s›yla bu önermelerin do¤ruluk de¤erininde¤iflmesi mümkündür. Bu tür önermelere olumsal olarak do¤ru önermeler, butür do¤rulu¤a da olumsal do¤ruluk denmektedir. Kimi yanl›fl önermelerin de yan-


Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

l›fl olmalar› gerçekli¤in durumuna ba¤l›d›r. Yani, gerçekli¤in baflka türlü olmas› vedolay›s›yla bu önermelerin do¤ruluk de¤erinin de¤iflmesi mümkündür. Bu türönermelere olumsal olarak yanl›fl önermeler, bu tür yanl›fll›¤a da olumsal yanl›fll›kdenmektedir.

“‹stanbul Türkiye’nin en kalabal›k kentidir.” önermesi olumsal olarak do¤ru birönermedir. Gerçekler baflka yönde geliflebilir ve ‹stanbul de¤il, Türkiye’nin baflkabir kenti Türkiye’nin en kalabal›k kenti olabilirdi.

“Ankara Türkiye’nin en kalabal›k kentidir.” önermesi olumsal olarak yanl›fl birönermedir. Gerçekler baflka yönde olabilir ve Ankara gerçekten Türkiye’nin en ka-labal›k kenti olabilirdi.

Kimi do¤ru önermeler gerçek durum baflka olsa bile yanl›fl olamayacak öner-melerdir. Bu önermelere mant›ksal olarak do¤ru önermeler denmektedir. Gerçek-li¤in hiçbir durumunda do¤ru olamayacak önermeler ise mant›ksal olarak yanl›flönermelerdir. Dolay›s›yla, mant›ksal olarak do¤ru bir önermenin reddedildi¤i birönerme mant›ksal olarak yanl›fl bir önerme olur. Mant›ksal olarak yanl›fl bir öner-menin reddedildi¤i bir önerme ise mant›ksal olarak do¤ru bir önerme olur.

Afla¤›daki önermeler mant›ksal olarak do¤ru önermelerdir. 1. 2=22. Ayfle bir dördüncü s›n›f ö¤rencisi ise, Ayfle bir ö¤rencidir.

Afla¤›daki önermeler mant›ksal olarak yanl›fl önermelerdir. 1. 2≠22. Ayfle bir dördüncü s›n›f ö¤rencisi olmas›na ra¤men Ayfle bir ö¤renci de¤ildir.

Geçerli ç›kar›m kavram› ile mant›ksal olarak do¤ru önerme ve mant›ksal olarakyanl›fl önerme kavramlar› aras›nda s›k› bir iliflki vard›r.

1. Bir ç›kar›m›n geçerli olmas› ile, bu ç›kar›m›n öncül önermelerinin “ve” ilebirlefltirilmesi ve “ise” ifadesinin ard›ndan sonuç önermesinin yaz›lmas›ylaelde edilen önermenin mant›ksal olarak do¤ru önerme olmas› ayn› fleydir.

2. Bir ç›kar›m›n geçerli olmas› ile, bu ç›kar›m›n öncül önermelerinin “ve” ilebirlefltirilmesi ve bir di¤er “ve” ifadesinin ard›ndan sonuç önermesinin “de-¤ildir” ile yaz›lmas›yla elde edilen önermenin mant›ksal olarak yanl›fl öner-me olmas› ayn› fleydir.

“Her insan ölümlüdür. Sokrates bir insand›r. O halde, Sokrates ölümlüdür.” ç›-kar›m› geçerli bir ç›kar›md›r. Bu durumda, “Her insan ölümlü ve Sokrates birinsan ise Sokrates ölümlüdür.” önermesinin mant›ksal olarak do¤ru oldu¤unusöyleyebiliriz.

“Ayfle bir dördüncü s›n›f ö¤rencisi ise, Ayfle bir ö¤rencidir.” önermesinin mant›ksalolarak do¤ru oldu¤unu söylemifltik. Bu durumda, “Ayfle bir dördüncü s›n›f ö¤ren-cisidir. O halde, Ayfle bir ö¤rencidir.” ç›kar›m› geçerli bir ç›kar›md›r.


Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

“Her insan ölümlü ve Sokrates bir insand›r ve Sokrates ölümlü de¤ildir.” önermesi-nin mant›ksal olarak yanl›fl oldu¤unu söyleyebiliriz.

Mant›ksal olarak yanl›fl bir önerme içeren bir önermeler grubu tutarl› olabilir mi?Aç›klay›n›z.

MANTIKTA SEMBOLLEfiT‹RME

Gündelik Dil ve Sembolik Dil Bir dilin ifadeleri üç bafll›k alt›nda ele al›n›r. ‹fadelerin yap›sal özellikleri ve ifade-lerin yap›lar› bak›m›ndan iliflkilerinin incelenmesi sentaks (dizim) alan›na, ifadele-rin anlam özellikleri ve ifadelerin anlamlar› bak›m›ndan iliflkilerinin incelenmesisemantik (anlambilim) alan›na, ifadelerin kullan›m özellikleri ve ifadelerin kulla-n›m özellikleri bak›m›ndan iliflkilerinin incelenmesi de pragmatik alan›na aittir.

“‹nsan” sözcü¤ünün befl harfli olmas› bu sözcü¤ün sentaktik bir özelli¤idir.

“‹nsan” sözcü¤ünün “‹nsanl›k” sözcü¤ünün bir parças› olmas› bu iki sözcük ara-s›nda sentaktik bir iliflkidir.

Bu örnekte görüldü¤ü gibi, ifadelerin sentaktik özellikleri ve ifadeler aras›nda-ki sentaktik iliflkiler, ifadelerin anlam ve kullan›mlar›ndan ba¤›ms›z olarak ortayakonabilir. “‹nsan” sözcü¤ünün anlam›n› bilmeyen biri bile bu ifadenin befl harftenolufltu¤unu, “‹nsanl›k” sözcü¤ünün de anlam›n› bilmeyen biri bile “‹nsan” sözcü-¤ünün “‹nsanl›k” sözcü¤ünün bir parças› oldu¤unu söyleyebilir.

“‹nsan” sözcü¤ünün konuflan hayvan anlam›na gelmesi, bu sözcü¤ün semantiközelli¤idir.

“Al” ile “K›rm›z›” sözcüklerinin eflanlaml› olmas› bu iki sözcük aras›nda semantikbir iliflkidir.

Pragmati¤in en temel kavram› “ba¤lam” kavram›d›r. Ba¤lam bir ifadenin anla-m›n› belirleyen koflullar›n tümüdür. Dilsel ba¤lam “Bir deyimin anlam›n› belirle-meye katk›s› olan, bu deyimi kapsayan daha genifl deyim” olarak tan›mlan›r (Grün-berg, Onart, vd. 2002). Fiziksel ba¤lam ise, ifadenin anlam›n›n belirlenmesine kat-k›s› olan yer, zaman, ifadeyi kullanan kifli gibi faktörlerden oluflur.

“Al” sözcü¤ü “Bayramda her yer al bayraklarla süslendi.” tümcesinde k›rm›z› an-lam›nda kullan›lm›flt›r. Burada geçen “al” sözcü¤ünün anlam›n›n belirlenmesin-de dilsel ba¤lam› oluflturan tümce yeterli olmufltur.

“Ben flimdi burada duruyorum” tümcesinde “ben”, “burada”, “flimdi” sözcükleri-nin hangi anlamda kullan›ld›¤›n›n belirlenebilmesi için tümcenin kim taraf›n-dan, ne zaman ve nerede söylendi¤inin bilinmesi gerekir. Bu faktörlerden oluflanbir ba¤lamda, bu tümcenin anlam› bilinebilir.


Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Dil üç alanda incelenir:Sentaks (dizim), semantik(anlambilim) ve pragmatik.

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ak›l yürütme her zaman bir dil arac›l›¤› ile gerçekleflir. Bu nedenle ak›l yürü-türken hangi dili kulland›¤›m›z önemlidir. Gündelik düflünme bak›m›ndan günde-lik dil yeterlidir. Biz ak›l yürütmelerimizi Türkçe ifade ederiz. Ancak bilimsel ak›lyürütme söz konusu oldu¤unda, gündelik dilin yetersiz kald›¤› görülür. Gündelikdilin yetersizli¤i hem sözcük düzeyinde, hem de tümce düzeyinde ortaya ç›kar.

Anlam bulan›kl›¤›: Bir ifadenin hangi varl›klara, hangi durumlara uygulanabi-lece¤inin kesin olarak belirlenememesidir.

“Uzun”, “k›sa”, “h›zl›”, “yavafl” gibi sözcüklerin anlam› bulan›kt›r. 30 santimlikbir kurflunkalem uzun, 30 santimlik bir heykel k›sad›r. Saatte 30 kilometre h›z›n-da giden bir salyangoz çok h›zl›, otoyolda bu h›zla giden bir otomobil çok yavafl-t›r. Peki, tam olarak kaç santimlik bir kurflunkalem uzundur? Otoyolda giden birotomobil tam olarak hangi h›zla giderse h›zl› gitmifl olur?

Çok-anlaml›l›k: Bir ifadenin birbiriyle ilgisiz birden fazla anlamda kullan›lmas›d›r.

“Al” sözcü¤ü “Bayramda her yer al bayraklarla süslendi.” tümcesinde k›rm›z› ren-gi ifade ederken, “Bakkaldan bir kilo fleker al.” tümcesinde “sat›n almak” fiilininemir kipini ifade etmek için kullan›lm›flt›r.

Tan›m: Sadece sentaktik kurallarla oluflturulan dillere sembolik diller veya bi-çimsel diller denir.

Sembolleri sadece x, y ve # olan, ifadeleri de afla¤›daki iki kuralla belirlenen bir diltan›mlayal›m. 1. x ve y birer ifadedir.2. Herhangi iki A, B ifadelerinden elde edilen (A # B) de bir ifadedir.fiimdi bu dilin tüm ifadelerini biliyoruz. Buna göre, 1. (x # y) düzgün bir ifadedir.2. (y # x) düzgün bir ifadedir.3. ((x # y) # (y # x)) düzgün bir ifadedir.4. xy düzgün bir ifade de¤ildir.5. x # y düzgün bir ifade de¤ildir.

.Bu örnekte verilen iflaret dizilerinin niçin bu dilin düzgün ifadeleri oldu¤unu veya olma-d›¤›n› aç›klay›n›z.

Görüldü¤ü gibi bir sembolik dil ifadelerinin anlam›na ya da kullan›m›na iliflkinhiçbir bilgi olmaks›z›n ele al›nabilmektedir. Elbette, kullanaca¤›m›z tüm sembolikdiller belli bir anlam iletmek ve belli bir amaca yönelik kullan›lmak için üretilmifl-tir. Ancak, sembolik düflünmenin temeli ifadeleri anlam ve kullan›m özelliklerin-den ayr› olarak ele alabilmektir.

SembollefltirmeTan›m: Gündelik dilin bir ifadesinin bir sembolik dildeki karfl›l›¤›n› oluflturdu¤u-muzda, bafllang›çta verilen gündelik dil ifadesini sembollefltirdi¤imizi söyleriz. Birsembolik dile ait bir ifadenin gündelik dildeki karfl›l›¤›n› oluflturdu¤umuzda ise,sembolik ifadeyi gündelik dile çevirdi¤imizi söyleyece¤iz.


Ak›l yürütmelerimizi dildeortaya koyabildi¤imiz vemant›k ak›l yürütmelerizihinde de¤il ancak dildeortaya ç›kt›klar› flekliyleinceleyebildi¤i için, dilincelemesi mant›kbak›m›ndan önemlidir.

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P


3

Gündelik dilde ifade edilmiflbir önermeyi sembolik birdilde ifade etmek o sembolikdilde sembollefltirmektir.

Türkçe’deki “‹ki ve befl say›lar›n›n toplam› üç ve dört say›lar›n›n toplam›na eflit-tir” önermesinin, aritmeti¤in sembolik dilindeki karfl›l›¤›, yani sembollefltirmesi,“2 + 5 = 3 + 4” sembolik önermesidir. Tersine, “2 + 5 = 3 + 4” sembolik önermesi-nin gündelik dile çevirisi “‹ki ve befl say›lar›n›n toplam› üç ve dört say›lar›n›n top-lam›na eflittir.” önermesidir.

Tan›m: Gündelik dilde ifade edilmifl bir ç›kar›mdaki tüm öncülleri ve sonuçönermesini sembollefltirdi¤imizde, bu ç›kar›m› sembollefltirmifl oluruz. Ç›kar›msembollefltirilirken, sonuç önermesine ulafl›ld›¤›n› belirten “O halde” ya da eflan-laml› ifade yerine “ ” sembolü kullan›l›r.

“‹ki üçten küçüktür. Dört beflten küçüktür. O halde, iki ile dördün toplam›, üç ilebeflin toplam›ndan küçüktür.” ç›kar›m›n›n sembollefltirmesi afla¤›daki biçimde ya-p›labilir:2 < 3, 4 < 5 2 + 4 < 3 + 5

Sembollefltirmenin Yarar›Gündelik dilde ortaya ç›kan çok-anlaml›l›k ve anlam belirsizli¤ine yukar›da k›sacade¤inmifltik. Sembollefltirme ifadelerde anlam ve kullan›m ile ilgili kusurlardan ka-ç›nmam›z› sa¤lar.

Bilimsel önermelerin gündelik dilde ifade edildi¤inde genellikle daha uzun ola-ca¤›n› söyleyebiliriz. Birkaç yüz sayfal›k bir fizik ya da matematik ders kitab›n› sa-dece gündelik dili kullanarak yazmaya kalksak, ortaya ciltler dolusu bir kitap ç›-kard›. Örne¤in, do¤al say›lar›n özellikleri hakk›nda basit bir önermeyi ele alal›m:“x + y = y + x.” fiimdi bu önermeyi gündelik dilde olabildi¤ince k›sa ifade etmeyeçal›flal›m: “‹ki say›dan birinci say›ya ikinci say›y› eklemekle elde edece¤imiz sonuçile, ikinci say›ya birinci say›y› eklemekle elde edece¤imiz sonuç eflittir”. Gördü¤ü-müz gibi, sembollefltirme ile önermeler gündelik dilde olabilece¤inden çok dahak›sa ifade edebiliriz. Uzun bir ifadenin yap›s› ve anlam› kolayl›kla yanl›fl de¤erlen-dirilebilir. Bu nedenle önerme ve ç›kar›mlar› olabildi¤ince k›sa ifade etmek man-t›k yanl›fl›ndan kaç›nmak için önemlidir.

Bundan sonraki ünitelerde görece¤imiz gibi, sembolik önermeler mant›k bak›-m›ndan sadece yap›lar›na (sentaktik özelliklerine) göre denetlenebilmektedir (Busayede ço¤u mant›k sistemi için mant›ksal denetleme ifllemini gerçeklefltirebilenbilgisayar programlar› gelifltirilebilmifltir). Sembolik ifadelerin tüm anlam ve kulla-n›m özellikleri biçimsel yap›lar›nda ortaya konmufltur. Bu nedenle, sembollefltirmegündelik dilde düflünürken yapabilece¤imiz birçok hatadan kaç›nmam›z› sa¤lar.Dolay›s›yla, gündelik dilde ifade edilmifl ç›kar›mlar›n geçerlilik denetlemelerini debu ç›kar›mlar› sembollefltirerek yapar›z.

Ayr›ca, özel bir sembol türü olan de¤iflkenleri kullanarak önermeleri ve dolay›-s›yla ç›kar›mlar› tek tek ele almak yerine, önermelerin ve ç›kar›mlar›n biçimleriniele alabiliriz.


Ö R N E K

Gündelik dilde ifade edilmiflbir ç›kar›m›n tümönermelerini sembolik birdilde ifade etmek ç›kar›m› osembolik dildesembollefltirmektir.

Ö R N E K

Sembollefltirme söylemekistedi¤imizi kesin olarakifade etmemizi sa¤lar.

Sembollefltirme söylemekistedi¤imizi daha k›sa ifadeetmemizi sa¤lar.

Sembollefltirme önermelerinmant›ksal denetlemesininsadece biçimsel kurallaragöre yap›lmas›n›sa¤lad›¤›ndan denetlemelerih›zl› ve hatas›zgerçeklefltirebilmemizisa¤lar.

Sembolik mant›kta önermeve ç›kar›m biçimlerini elealarak genel sonuçlaraulaflabiliriz.

Afla¤›daki iki ç›kar›m› ele alal›m: (1) Bir gök cismi bize hareket eder görünmekte ise o cisim hareket etmektedir. Gü-nefl bize hareket eder görünmektedir. O halde, günefl hareket etmektedir.(2) Bir cisim ›s›nmakta ise o cisim genleflmektedir. Gördü¤ümüz demir küre ›s›n-maktad›r. O halde, gördü¤ümüz demir küre genleflmektedir. Bu iki ç›kar›m›n da “... ise —-” ve “...” biçimindeki iki öncülden, “—-” sonuç öner-mesinin ç›kar›lmas› ile elde edildi¤ini görebiliriz. Dolay›s›yla, iki öncülünden bi-rincisi “... ise —-” biçiminde olan, di¤er öncülü birincinin ‘...’ bilefleni olan, sonuçönermesi de birinci öncülün “—-” bilefleni olan

A ise B. A. O halde, B.ç›kar›m biçiminin geçerli say›l›p say›lamayaca¤›n› ortaya koyabilirsek, hem (1) ve(2) ç›kar›mlar›n›n hem de bu biçimdeki tüm ç›kar›mlar›n mant›ksal geçerlili¤inekarar vermifl oluruz. Bir kez bu biçimin geçerli bir ç›kar›m biçimi oldu¤una kararverirsek, bu biçimdeki ç›kar›mlar› geçerlilik yönünden tek tek ele almam›za gerekkalmaz.


Ö R N E K


Mant›¤›n konusunu ve amac›n› aç›klayabilmek,

Mant›¤›n konusu ak›l yürütme dedi¤imiz düflün-me biçimidir. Bildi¤iniz gibi, hayal kurmak veplan yapmak gibi di¤er düflünme türleri de var-d›r ancak bu düflünme türleri, mant›¤›n do¤ru-dan konusunu oluflturmazlar. Ak›l yürütmek, bir-tak›m do¤rulardan veya kabullerden hareket ede-rek, bir sonuca varmak demektir. Do¤ru kabul-lerden hareket etmek kadar, ak›l yürütmelerimi-zi düzgün gerçeklefltirmeye de dikkat etmemizhem günlük yaflant›da hem de bilimde oldukçaönemlidir. Mant›¤›n birinci amac› düzgün ak›l yürütme bi-çimlerini belirlemektir. Düzgün ak›l yürütmelerebaflvurmaya çal›flmak, bu ak›l yürütme biçimleri-ne baflvurdu¤umuzda ve do¤ru kabullerden ha-reket etti¤imizde, ulaflt›¤›m›z sonucun kesin ola-rak do¤ru, ya da yüksek olas›l›kla do¤ru olmas›-n› sa¤lad›klar› için önemlidir. Buna göre, “man-t›kl› düflünmek” mant›¤›n ortaya koydu¤u düz-gün ak›l yürütme biçimlerine uygun olarak dü-flünmek demektir. Mant›¤›n iki temel amac›, düz-gün ak›l yürütme biçimlerini belirlemek ve ak›lyürütmelerin düzgün olup olmad›¤›n› denetleye-cek yöntemler gelifltirmektir. Bu iki temel amaçgerçekleflti¤i ölçüde, mant›¤a baflvurarak gerçek-lik hakk›ndaki bilgimizi geniflletmemiz mümkünolur.

Mant›¤›n temel kavramlar›n› aç›klayabilmek,

Önerme yarg› bildiren tümce, yani, bildirsel tüm-cedir. Bir önermenin do¤ru ya da yanl›fl olmas›-n› da flu flekilde tan›ml›yoruz: Önermenin bildir-di¤i yarg› gerçeklikle uyufluyorsa önerme do¤ru,aksi takdirde önerme yanl›flt›r. “Do¤ru” ve “yan-l›fl” de¤erleri “do¤ruluk de¤erleri” olarak adlan-d›r›l›r. Bir tümcenin önerme olmas› için o tümce-nin do¤ruluk de¤erini bilmemiz gerekmez. Aksi-ne, genellikle önce tümcenin bir yarg› bildirdi¤i-ni anlar ve, dolay›s›yla, bir önerme oldu¤una ka-rar verir, ard›ndan da do¤ruluk de¤erine kararveririz. Bir veya daha fazla say›da önermeden hareketlebir baflka önermeye ulaflmak bir ç›kar›mda bu-

lunmakt›r. Bir ç›kar›mda bulundu¤umuzda ulafl-

t›¤›m›z önerme sonuç önermesi, sonuç önerme-sine ulaflmak için bafllang›ç noktas› olarak ald›¤›-m›z önermeler öncül önermeleridir. Öncül öner-meleri ve sonuçtan oluflan önerme dizisi bir ç›-

kar›md›r. Bir dizi önermenin bir ç›kar›m oldu¤u-nu, öncül önermeleri ile sonuç önermesi aras›nakonan “o halde”, “öyleyse”, “demek ki”, “dolay›-s›yla” gibi ifadelerle belirtiriz.Temel ak›l yürütme biçimleri, tümdengelimli (de-

düktif), tümevar›ml› (indüktif) ve heptengitmeli

(abdüktif) ak›l yürütmedir. Tümdengelimli ak›lyürütme biçimini konu edinen mant›k disiplinitümdengelimli mant›k, tümevar›ml› ak›l yürütmebiçimini konu edinen mant›k disiplini tümeva-

r›ml› mant›k, heptengitmeli ak›l yürütme biçimi-ni konu edinen mant›k disiplini ise heptengitme-

li mant›kt›r.Tümdengelimli ak›l yürütmenin amac›, do¤ru ön-cüllerden yola ç›kt›¤›m›zda bizi mutlaka do¤rusonuçlara ulaflt›raca¤›ndan emin olaca¤›m›z ç›-kar›m biçimlerini bulmakt›r. Tümdengelimli man-t›¤a göre düzgün bir ç›kar›ma “geçerli” ç›kar›mdenir. Geçerli bir tümdengelimli ç›kar›mda, ç›ka-r›m›n öncül önermelerinin tümünün do¤ru oldu-¤unu kabul etti¤imizde sonuç önermesini de do¤-ru kabul etmemiz zorunludur. Geçerli ç›kar›mla-r›n bu özelli¤i do¤rulu¤u koruma özelli¤i olarakadland›r›l›r. Bir ç›kar›mda tüm öncül önermelerido¤ru ve sonuç önermesini yanl›fl kabul etmekolanakl› ise, bu ç›kar›m tümdengelimli mant›kbak›m›ndan düzgün olmayan bir ç›kar›md›r. Böy-le bir ç›kar›m “geçersiz” ç›kar›m olarak nitelenir. Tümevar›ml› ak›l yürütmede öncül önermeler-den do¤ru olma olas›l›¤› yüksek sonuçlar ç›kar›l-maya çal›fl›l›r. Bir ç›kar›mda öncül önermelerindo¤ru olmas› sonuç önermesinin de do¤ru olmaolas›l›¤›n› artt›r›yor ise, tümevar›ml› ak›l yürütmebak›m›ndan bu ç›kar›m düzgün bir ç›kar›m ka-bul edilir. Öncül önermelerin sonuç önermesinindo¤ru olma olas›l›¤›n› artt›rma derecesi ç›kar›m›ntümevar›m gücü olarak adland›r›l›r. Tümevar›m-l› ak›l yürütmede amaç öncül önermelere göredo¤ru olma olas›l›¤› en yüksek sonuç önermesi-ne ulaflmak yani tümevar›m gücü en yüksek ç›-kar›mlara ulaflmakt›r. Bu tip bir ç›kar›m güçlü tü-

mevar›m olarak adland›r›l›r. Bir ç›kar›m›n öncül

Özet

2NA M A Ç

1NA M A Ç


önermeleri sonucun do¤ru olma olas›l›¤›n› an-laml› biçimde artt›rm›yor ise o ç›kar›m zay›f tü-

mevar›m olarak adland›r›l›r. Tümevar›ml› ak›l yü-rütmenin bir biçimi de analoji yoluyla ak›l yü-rütmedir. Analoji yoluyla ak›l yürütmede öncülönermelerde iki fley aras›ndaki ilgili bak›mlardanbenzerlikler ortaya konarak, bu iki fley aras›ndafarkl› bir bak›mdan ortak özellik oldu¤u sonuçönermesine ulafl›l›r. Heptengitmeli (abdüktif) ak›l yürütmede, öncülönermelerinin tümünün do¤ru olmas› durumunuen iyi aç›klayan önerme sonuç önermesi olarakkabul edilir. Tümevar›ml› ak›l yürütmede oldu¤ugibi, düzgün bir heptengitmeli ak›l yürütmede,öncül önermelerinin do¤ru olmas› sonuç öner-mesinin do¤rulu¤unu zorunlu k›lmaz. Ç›kar›mla-r› heptengitmeli mant›k bak›m›ndan de¤erlendi-rirken, sadece öncüllerin sonucun do¤ru olmaolas›l›¤›n› artt›rmas›n› de¤il, sonuç önermesininöncüllerin do¤ru olmas›n› aç›klay›c› gücü olma-s›n› göz önünde bulundururuz ve aç›klay›c› gü-cü en yüksek olan önermeyi sonuç olarak ç›kar-mam›z gerekir.Bir grup önermenin tümünün ayn› zamanda do¤-ru olabilmesi bu önermeler grubunun tutarl› ol-mas› demektir. Bir grup önermenin tümünün ay-n› zamanda do¤ru olamamas› ise bu önerme gru-bunun tutars›z olmas› demektir. Kimi do¤ru önermeler gerçek durum baflka olsabile yanl›fl olamayacak önermelerdir. Bu öner-melere mant›ksal olarak do¤ru önermeler den-mektedir. Gerçekli¤in hiçbir durumunda do¤ruolamayacak önermeler ise mant›ksal olarak yan-

l›fl önermelerdir. Do¤ruluk de¤eri gerçekli¤in du-rumuna göre de¤iflebilecek olan önermeler olum-sal önermelerdir.

Mant›kta sembollefltirmenin ifllevini ve yarar›n›

aç›klayabilmek.

Bir dilin ifadelerinin yap›sal özellikleri ve ifade-lerin yap›lar› bak›m›ndan iliflkilerinin incelenme-si sentaks (dizim) alan›na, ifadelerin anlam özel-likleri ve ifadelerin anlamlar› bak›m›ndan iliflkile-rinin incelenmesi semantik alan›na, ifadelerinkullan›m özellikleri ve ifadelerin kullan›m özel-likleri bak›m›ndan iliflkilerinin incelenmesi depragmatik alan›na aittir. Gündelik dillerin bilim-sel düflünme için yetersiz oldu¤u düflüncesiylesembolik diller gelifltirilmifltir. Gündelik dilin bir

ifadesinin bir sembolik dildeki karfl›l›¤›n› olufl-turdu¤umuzda, bafllang›çta verilen gündelik dilifadesini sembollefltirdi¤imizi söyleriz. Gündelikdilde ifade edilmifl bir ç›kar›mdaki tüm öncüllerive sonuç önermesini sembollefltirdi¤imizde, buç›kar›m› sembollefltirmifl oluruz. Ç›kar›m sembol-lefltirilirken, sonuç önermesine ulafl›ld›¤›n› belir-ten “O halde” ya da eflanlaml› ifadeler yerine sembolü kullan›l›r. Sembollefltirmenin, ifadeler-de k›sal›k, aç›kl›k ve genellik sa¤lama gibi fayda-lar› vard›r.

3NA M A Ç


1. Afla¤›daki sözcüklerden hangisinin anlam› bulan›kde¤ildir?

a. S›cakb. Kelc. Yavafld. Ö¤rencie. Az

2. Afla¤›dakilerden hangisi bir ç›kar›m de¤ildir?

a. Eskiflehir ‹ç Anadolu’dad›r. O halde, EskiflehirAnkara ile ayn› bölgededir.

b. Bana yalan söyledi. Bundan böyle, ben onunlagörüflmem.

c. Eskiflehir ‹ç Anadolu’dad›r. Bu nedenle, Eskifle-hir’de Akdeniz iklimi görülür.

d. Ali bir ö¤rencidir. O halde, Ali’nin en az bir ö¤-retmeni vard›r.

e. Aristoteles mant›¤›n kurucusudur. Çünkü, düz-gün düflünme üzerine ilk sistemli araflt›rmay› oyapm›flt›r.

3. “Ayfle ö¤rencidir.” ve “Bir insan ö¤renci ise ö¤retmen-leri vard›r.” önermelerinden oluflan gruba afla¤›daki öner-melerden hangisi eklenirse tutarl›l›k kesinlikle bozulur?

a. Ali Ayfle’nin ö¤retmenidir.b. Hiç kimse Ayfle’nin ö¤retmeni de¤ildir.c. Ayfle hiç kimsenin ö¤retmeni de¤ildir.d. Ayfle herkesin ö¤retmenidir.e. Her ö¤retmenin bir ö¤rencisi olur.

4. Hangi durumda bir ç›kar›m›n geçersiz oldu¤una, sa-dece önermelerin gerçek do¤ruluk de¤erine bakarakkarar verilir?

a. Tüm öncüller ve sonuç önermesi do¤ru iseb. Tüm öncüller ve sonuç önermesi yanl›fl isec. Tüm öncüller yanl›fl ve sonuç önermesi do¤ru ised. Tüm öncüller do¤ru ve sonuç önermesi yanl›fl isee. Sonuç önermesi do¤ru oldu¤u halde en az bir

öncül yanl›fl ise

5. Afla¤›dakilerden hangisi geçerli bir ç›kar›md›r?a. Ayfle Ali’nin annesidir. O halde, Ayfle Ali’yi sever.b. Ayfle Ali’yi tan›r. Ali Mehmet’i tan›r. O halde,

Ayfle Mehmet’i tan›r. c. Ayfle Ali’yi tan›r. O halde, Ali Ayfle’yi tan›r.d. Ali hem Ayfle’yi hem de Mehmet’i tan›r. O halde

Ali Ayfle’yi tan›r. e. Ali ya Ayfle’yi ya da Mehmet’i tan›r. O halde Ali

Ayfle’yi tan›r.

6. Ali’ye tüm hayat› boyunca Ayfle bakm›flt›r. Ali’ninkimli¤inde, Ali’nin anne ad›n›n “Ayfle” oldu¤u belirtil-mektedir. Buna göre, Ali heptengitmeli bir ak›l yürütmeile hangi sonuca varmal›d›r?

a. Ayfle Ali’yi evlat edinmifltir. b. Ayfle Ali’yi kand›rmaya çal›flmaktad›r. c. Ali Ayfle’nin o¤ludur. d. Ayfle çok iyi bir annedir.e. Ali’nin ad›n› Ayfle koymufltur.

7. Afla¤›dakilerden hangisi, ak›l yürütme yanl›fllar›n›nmant›k bak›m›ndan as›l önemli nedenidir?

a. Dalg›nl›kb. Güzel ve etkili söz söyleme iste¤i c. Düzgün olmayan ak›l yürütme biçimine bafl-

vurmakd. Acele ak›l yürütmek e. Mant›k bilmemek

8. Afla¤›dakilerden hangisi düzgün bir tümce de¤ildir?

a. “Mant›k” befl harflidir. b. “Mant›k” en zor felsefe dersidir.c. Mant›k felsefenin arac›d›r.d. Her felsefeci mant›k bilir. e. Alfabemizin ilk harfi “A” harfidir.

9. Afla¤›dakilerden hangisi bir önermedir? a. Üçgenin iç aç›lar›n›n toplam› kaç derecedir?b. Üçgenin iç aç›lar›n›n toplam›n› hesaplay›n›z. c. Eyvah, bildi¤im halde üçgenin iç aç›lar›n›n top-

lam›n› yanl›fl yazd›m! d. Üçgenin iç aç›lar›n›n toplam› 90 derecedir.e. ‹ki üçgenin yar›s› yeflildir.

10. Afla¤›daki sözcüklerden hangisi çok-anlaml› de-

¤ildir?

a. Alb. Benc. Uçakd. Ate. Bin

Kendimizi S›nayal›m


Do¤ru önermeler veya k›saca do¤rular, ak›l do¤rular›ve olgu do¤rular› olmak üzere iki türe ayr›l›r. Ak›l do¤-rular›, do¤rulu¤u salt ak›lla tecrübeden ba¤›ms›z (a prio-ri) olarak belirlenebilen önermeler, olgu do¤rular› isedo¤rulu¤u ancak tecrübeye ba¤l› (a posteriori) olarakbelirlenebilen önermelerdir. Mant›¤›n her geçerli önermesi bir ak›l do¤rusudur. Ni-tekim geçerli bir önermenin do¤rulu¤u tecrübeye da-yanmadan salt mant›k kurallar› yard›m›yla (a priori ola-rak) önermenin de¤illemesinin tutars›z oldu¤unu orta-ya koymakla belirlenebilir. Tersine her ak›l do¤rusunungeçerli oldu¤unu söyleyebiliriz. Nitekim ak›l (salt ku-ramsal ak›l olarak) geçerli ak›l yürütmeler yapma yeti-sinden baflka bir fley de¤ildir. Tüm ak›l yürütmeler ara-s›nda geçerli olanlar›n belirlenmesi ise, genifl anlamdamant›¤›n ifllevidir. Oysa her ak›l do¤rusu öncülsüz ge-çerli bir ak›l yürütmenin sonucudur. O halde herhangibir ak›l do¤rusunun geçerlili¤i, dolay›s›yla do¤rulu¤u,mant›k yoluyla belirlenebilmelidir. Do¤rulu¤u salt man-t›k yoluyla belirlenebilen önermeler mant›k do¤rular›-d›r. Böylece her mant›k do¤rusu ak›l do¤rusu oldu¤ugibi her ak›l do¤rusunun da mant›k do¤rusu oldu¤unusöyleyebiliriz.Gerek do¤a bilimlerinin gerekse insan ve toplum bilim-lerinin do¤rular›, hep olgu do¤rusu niteli¤indedir. Olgudo¤rular›n›n bilgisinin dayand›¤› bilimsel yöntem, Ye-niça¤›n bafl›ndan günümüze kadar bir evrim geçirmifl-tir. Eskimifl “deneyci” ve “tümevar›mc›” anlay›fla göreher bilimsel kuram, öncülleri tecrübeye dayanan tüme-var›ml› bir ç›kar›m›n sonucu olarak do¤rulan›r. Oysa tü-mevar›ml› ç›kar›mlar›n sonucu hiç de güvenilir olmad›-¤› gibi, tecrübeye dayanan öncüller de güvenilmezdir. Tecrübe alg›lara dayanan (yani ak›l yürütme yapmaks›-z›n sa¤lanan) bilgi demektir. Ham tecrübe, güvenilirbilgi niteli¤inde de¤ildir, do¤ru olabildi¤i gibi yanl›fl daolabilir (...) Bilimsel tecrübe, yani gözlem ve deney iseifllenmifl, ar›nd›r›lm›fl tecrübedir. Ancak gözlem ve de-ney kuram yüklü’dür. Yani gözlem ve deneyi tecrübey›¤›n› içinde ay›rt edebilmek için temellendirmek iste-nen kuram›n kendisine baflvurmak gerekir. Böylece de-neyci ve tümevar›mc› yöntemin hiçbir ifle yaramad›¤›n›söyleyebiliriz. Yeni bir bilimsel anlay›fl, bu güçlükleri gidermek ama-c›yla ortaya konulmufltur. Bu yeni anlay›fla göre bilim-sel yöntem, eldeki bilgi da¤arc›¤›’n›n (...) ak›l ve man-t›¤›n süzgecinden geçirilmesini ön görür. Bilgi da¤arc›-¤›n›n her an tutarl› olmas› istenir; nitekim tutars›z bir

bilgi da¤arc›¤› zorunlu olarak yanl›fl ö¤eler kapsar. ‹flte mant›¤›n süzgeç olarak görevi, bilgi da¤arc›¤›ndatutars›zl›k olup olmad›¤›n› saptayarak ortaya ç›kan tu-tars›zl›¤› gidermektir (...)Sonuç olarak tümdengelimli mant›¤›n gerek soyut ger-çekli¤in a priori bilgisine, gerekse somut gerçekli¤in aposteriori bilgisine eriflmek için temel yöntem oldu¤u-nu söyleyebiliriz. Mant›ktan yoksun tecrübe Kant’›n de-yimiyle “kör”dür, ama tecrübeden yoksun mant›k “bofl”de¤ildir. Nitekim mant›k tecrübeye dayanmaks›z›n so-yut gerçekli¤in (özellikle matematiksel nesnelerin) bil-gisini sa¤lar. Soyut gerçekli¤e iliflkin ak›l do¤rular›n›salt mant›k yoluyla bilebiliriz. Somut gerçekli¤e (yaniinsan, do¤a ve toplum’a) iliflkin olgu do¤rular›n› ise ke-sin olarak bilemeyiz. Kesin olarak bilebildi¤imiz sadeceolgu do¤rular›na ait bilgi da¤arc›¤›nda tutars›zl›k olupolmad›¤›d›r. Bu da tümdengelimli mant›¤›n katk›s› olupolgu do¤rular›na ait bilgi edinme sürecinin temelinioluflturur. Böylece tümdengelimli mant›¤›n yaln›z ak›ldo¤rular› alan›nda de¤il, olgu do¤rular› alan›nda dayöntem olarak son derece önemli bir görevi oldu¤u or-taya ç›kar. Nitekim mant›k bizi olgu do¤rular› konusun-da mutlak bir flüphecili¤e düflmekten kurtaran etkensay›lmal›d›r.

Kaynak: Grünberg, T. (1986). “Mant›k ve Gerçeklik”Türkiye I. Felsefe, Mant›k, Bilim Tarihi Sempozyu-

mu Bildirileri. Kenan Gürsoy ve Alparslan Aç›kgenç.(Yay›na haz›rlayanlar), Ülke Yay›n Haber Tic. Ltd. fiti. s.233-236.

Okuma Parças›


1. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Mant›kta Sem-bollefltirme” konusuna bak›n›z.

2. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Mant›¤›n Te-mel Kavramlar›” konusuna bak›n›z. “Bana yalansöyledi. Bundan böyle, ben onunla görüflmem.”tümce dizisinde bir sonuç ç›karma de¤il, birdavran›fla nas›l karfl›l›k verilece¤ini bildirme sözkonusudur.

3. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Mant›¤›n Te-mel Kavramlar›” konusuna bak›n›z. Ayfle ö¤ren-ci ise, ve bir ö¤rencinin ö¤retmenleri olmal› ise,hiç kimsenin Ayfle’nin ö¤retmeni olmad›¤› do¤-ru olamaz. Dolay›s›yla, bu üç önerme birliktedo¤ru olamaz.

4. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Mant›¤›n Te-mel Kavramlar›” konusuna bak›n›z. Tüm öncül-ler do¤ru ve sonuç önermesi yanl›fl ise ç›kar›mgeçerli olamaz.

5. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Mant›¤›n Te-mel Kavramlar›” konusuna bak›n›z.

6. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Mant›¤›n Te-mel Kavramlar›” konusuna bak›n›z. Öncülün do¤ru olmas›n› en iyi aç›klayan öner-me Ali’nin Ayfle’nin o¤lu olmas›d›r.

7. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Mant›¤›n Ko-nusu ve Amac›” konusuna bak›n›z. Mant›¤›n te-mel amaçlar›ndan biri, düzgün ak›l yürütme bi-çimleri gelifltirmek ve ak›l yürütmelerin düzgünolup olmad›¤›n› belirlemektir.

8. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Mant›¤›n Te-mel Kavramlar›” konusuna bak›n›z. Bu tümcebir kelimenin (“Mant›k” kelimesi) bir ders oldu-¤unu söylemektedir.

9. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Mant›¤›n Te-mel Kavramlar›” konusuna bak›n›z.

10.c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Mant›kta Sem-bollefltirme” konusuna bak›n›z.

S›ra sizde 1

Piyango biletini nereden al›rsak alal›m, ald›¤›m›z bileteikramiye ç›kma olas›l›¤› ayn›d›r. Bu nedenle bu ç›kar›mzay›f bir tümevar›ml› ç›kar›m örne¤idir.

S›ra Sizde 2

Mant›ksal olarak yanl›fl bir önerme hiçbir durumda do¤-ru olamaz. Dolay›s›yla mant›ksal olarak yanl›fl bir öner-me içeren bir önermeler grubunun tümünün birliktedo¤ru olmas› mümkün olmad›¤›ndan, tutarl›l›k tan›m›gere¤i mant›ksal olarak yanl›fl bir önerme içeren birönermeler grubu tutars›zd›r.

S›ra sizde 3

(x # y) düzgün bir ifadedir. ‹ki ifade aralar›na # sembolükonularak, sol ve sa¤ parantezler aras›na yaz›lm›flt›r. Di-lin ikinci kural› gere¤i ifade düzgün say›lmal›d›r. (y # x) düzgün bir ifadedir: Aç›klama ilk ifade ile ayn›d›r.((x # y) # (y # x)) düzgün bir ifadedir: ‹lk iki aç›klama-da görüldü¤ü gibi (x # y) ve (y # x) birer ifade oldu¤un-dan, ikinci kural gere¤i ((x # y) # (y # x)) dizisi de düz-gün bir ifadedir. xy düzgün bir ifade de¤ildir: Bu dizi ne x ne y ne de A # B biçiminde oldu¤undan düzgün bir ifade olamaz. x # y düzgün bir ifade de¤ildir: ‹kinci kural gere¤i, #içeren tüm ifadeler parantez içermelidir.

Yararlan›lan ve BaflvurulabilecekKaynaklarGrünberg, T. (2000). Sembolik Mant›k El Kitab›. (3

cilt). Ankara: METU Press. Grünberg, T. ve Onart, A. vd. (2003). Mant›k Terimle-

ri Sözlü¤ü. Ankara: METU Press.Pojman, L. (2002). Philosophy: The Quest for Truth.

New York: Oxford University Press. Ural, fi. (1995). Temel Mant›k. ‹stanbul: Çantay Kitabevi.Y›ld›r›m, C. (1976). 100 Soruda Mant›k El Kitab›.

‹stanbul: Gerçek Yay›nevi.Y›ld›r›m, C. (1999). Mant›k: Do¤ru Düflünme Yönte-

mi. ‹stanbul: Bilgi Yay›nevi.

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› S›ra Sizde Yan›t Anahtar›

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Önerme eklemlerini aç›klayabilecek, Sembolik önermeleri aç›klayabilecek ve sembolik önermelerin do¤ruluk tab-lolar›n› yapabileceksiniz.


• Önerme eklemi• Basit ve bileflik önerme• Do¤ruluk fonksiyonu• Do¤ruluk tablosu

• Totoloji• Çeliflme • Tutarl›l›k• Eflde¤er önermeler

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NN

Sembolik Mant›k Önerme Eklemleri

• G‹R‹fi• ÖNERME EKLEMLER‹• SEMBOL‹K ÖNERMELER VE

DO⁄RULUK TABLOLARI

2SEMBOL‹K MANTIK

G‹R‹fi‹lk ünitede, önermelerin yarg› bildiren tümceler oldu¤unu, ç›kar›mlar›n da öner-melerden olufltu¤unu söylemifltik. Bu ünitede, önermelerin yap›s›n› en temel sem-bolik mant›k sistemi olan önermeler mant›¤› bak›m›ndan ele alaca¤›z. (Önermelermant›¤›, daha aç›k ifade ile, önerme eklemleri mant›¤› veya do¤ruluk fonksiyonumant›¤› olarak da adland›r›l›r).

Bir önermenin mant›ksal olarak do¤ru olmas›n›n, bu önermenin gerçekli¤indurumu nas›l olursa olsun do¤ru olmas› anlam›na geldi¤ini, bir ç›kar›m›n geçerliolmas›n›n da, sonuç önermesinin öncüllerin mant›ksal sonucu olmas› anlam›nageldi¤ini biliyorsunuz. Bir baflka ifadeyle, geçerli bir ç›kar›mda tüm öncüllerindo¤ru oldu¤u varsay›ld›¤›nda sonuç önermesi yanl›fl olamaz. Hem mant›ksal do¤-ruluk hem de geçerlilik kavramlar› semantik kavramlar yani, önermelerin anlamözellikleri ile ilgili kavramlard›r. ‹lk ünitenin sonunda yer alan “MANTIKTA SEM-BOLLEfiT‹RME” k›sm›nda, sembolik önermelerin biçimsel yap›s›n›n, bu önermele-rin anlam bak›m›ndan özelliklerini yans›tmas› gerekti¤ini belirtmifltik. ‹nceledi¤i-miz mant›¤›n “sembolik mant›k” olarak adland›r›lmas›n›n nedeni de budur: Sem-bolik mant›kta, önermelerin ve ç›kar›mlar›n - mant›ksal do¤ruluk, mant›ksal yan-l›fll›k, geçerlilik gibi - mant›ksal özelliklerini, önermeleri sadece sembol dizileri ola-rak kabul ederek denetleyebiliriz. Basit bir mant›k sistemi olan önerme eklemlerimant›¤›, bu fikrin ne flekilde ifle yarad›¤›n› kolayca görmemizi sa¤layacakt›r.

Bu ünitede ilk olarak gündelik dildeki önerme eklemlerini ele alarak, özel birönerme eklemi türü olan do¤rusal eklemlerden söz edece¤iz. Ard›ndan önerme ek-lemlerinin anlamlar›n› kesin bir biçimde ortaya koymak için, her bir ekleme ait do¤-ruluk tablolar›n› tan›taca¤›z. Bunu yaparken, bir önerme eklemine ait do¤ruluk tab-losunun neden burada anlat›ld›¤› gibi kabul edildi¤ini anlamaya çal›flaca¤›z. Dahasonra, önerme eklemleri mant›¤›n›n sembolik dilini ve bu dilin düzgün ifadeleriniyani, sembolik önermeleri ele alaca¤›z. Son k›s›mda, önerme eklemlerinin do¤ru-luk tablolar›ndan faydalanarak, sembolik önermelerin do¤ruluk tablolar›n› nas›loluflturabilece¤imizi görece¤iz. Sembolik önermelerin do¤ruluk tablolar›n› yaparak,önermelerin ve önerme kümelerinin mant›ksal özelliklerini, önermeler aras›ndakimant›ksal iliflkileri ve ç›kar›mlar›n geçerlili¤ini aç›kça denetleyebilece¤iz.

Önerme Eklemleri

ÖNERME EKLEMLER‹

Do¤rusal EklemlerEn temel bildirsel tümceler (önermeler), “Dünya yuvarlakt›r.” ve “Dünya Güneflinetraf›nda döner.” önermeleri gibi, bir varl›¤›n belirli bir niteli¤e sahip oldu¤unu ve-ya belirli varl›klar aras›nda belirli bir iliflki oldu¤unu dile getiren önermelerdir. Buönermeler gibi, baflka bir önermeden türetilmemifl olan önermeler basit önermeler-dir. Basit önermeler “de¤il” ve “ve” gibi ifadelerle birlefltirilerek bileflik önermeler el-de edilir. Bir baflka deyiflle en az bir baflka önermeden elde edilmifl önermeler bi-leflik önermedir. Önermelere eklenerek veya önermeleri birlefltirerek yeni önermeelde etmemizi sa¤layan ifadeler önerme eklemleridir. Bir bileflik önermeyi elde et-mek için kullan›lan önermeler bu bileflik önermenin bileflenleridir. Bir bileflik öner-mede en son birlefltirilen önermeler bu bileflik önermenin ana bileflenleridir.

“Dünya yuvarlakt›r.” ve “Dünya Güneflin etraf›nda döner” tümceleri, anlaml› vekesin bir yarg› bildirdikleri için, birer önermedir: “Dünya yuvarlakt›r” önermesiDünyan›n yuvarlak oldu¤u yarg›s›n›, “Dünya Güneflin etraf›nda döner” önerme-si de Dünyan›n Güneflin etraf›nda döndü¤ü yarg›s›n› bildirir. Bu önermelerdenelde edilen “Dünya yuvarlak de¤ildir” ve “Dünya yuvarlakt›r ve (Dünya) Güneflinetraf›nda döner” tümceleri de, anlaml› ve kesin bir yarg› bildirdikleri için, birerönermedir: “Dünya yuvarlak de¤ildir” önermesi Dünyan›n yuvarlak olmad›¤›yarg›s›n›, “Dünya yuvarlakt›r ve (Dünya) Güneflin etraf›nda döner” önermesi iseDünyan›n hem yuvarlak oldu¤u hem de Güneflin etraf›nda döndü¤ü yarg›s›n› bil-dirir. Bu düflünceyi genellefltirerek, her önermeden “de¤il” ifadesi ile yeni bir öner-me elde edebilece¤imizi, her iki önermeden de “ve” ifadesini kullanarak yeni birönerme elde edebilece¤imizi söyleyebiliriz.

“De¤il”, “ve” ve benzerlerini az sonra ele alaca¤›m›z ifadelerin en önemli özelli-¤i, bu ifadelerin birer do¤ruluk fonksiyonu belirtmeleridir. Bir önerme ekleminindo¤ruluk fonksiyonu belirtmesi demek, bu eklemle elde edilmifl bir önermenindo¤ruluk de¤erinin, sadece bu eklemin anlam› ve birlefltirilen önermelerin do¤ru-luk de¤erlerine göre belirlenebilmesi demektir. Bu eklemlere do¤rusal eklem den-mektedir. Bu kitapta ele alaca¤›m›z tüm önerme eklemleri do¤rusal eklemler olaca-¤›ndan “önerme eklemi” ifadesini sadece “do¤rusal eklem” anlam›nda kullanaca¤›z.

Do¤rusal olmayan eklemlere örnek olarak, “için” ifadesini ele alal›m. Bu ifadeile de, her iki önermeyi ekleyip yeni bir önerme elde edebiliriz. Örne¤in, ayn›önermeleri kullanarak elde edece¤imiz “Dünya Güneflin etraf›nda döndü¤ü için(Dünya) yuvarlakt›r.” önermesini ele alal›m. Hakikaten, anlafl›l›r ve kesin bir yarg›bildiren bu tümce de bir önermedir. Dahas›, hangi iki önermeyi al›rsak alal›m, buiki önermeyi “için” ifadesi ile birlefltirdi¤imizde yeni bir önerme elde ederiz. An-cak, iki önermenin “için” ifadesi ile birlefltirilmesi ile elde edilen önermenin do¤-ruluk de¤erini sadece “için” ifadesinin anlam›na ve birlefltirdi¤imiz iki önermenindo¤ruluk de¤erine bakarak karar veremeyiz. Hepimiz gibi, “için” ifadesinin anla-m›n› bilen bir kifli, hem Dünyan›n Günefl etraf›nda döndü¤ünü hem Dünyan›n yu-varlak oldu¤unu bildi¤i halde, Dünyan›n yuvarlak olmas›n›n Günefl etraf›nda dön-dü¤ü için olup olmad›¤›n› bilmeyebilir. Bunu bilmek için Dünyan›n yap›s›n›, nas›lolufltu¤unu vs. bilmek gerekir. Bu da, bir miktar astronomi, jeoloji, fizik bilgisi ge-rektirir. Bu örnekten yola ç›karak, genel olarak, “için” ifadesi ile birlefltirilmifl iki


Ö R N E K

Do¤rusal eklemler,oluflturduklar› bileflikönermenin do¤ruluk de¤erisadece bileflenlerinindo¤ruluk de¤erine görebelirlenebilen eklemlerdir.

önermeden oluflan bir önermenin do¤ruluk de¤erinin, sadece mant›k bilgisi ile be-lirlenemeyece¤ini söyleyebiliriz. Bu belirleme ancak bu önermelerin ait oldu¤ualanda (gündelik yaflam, bir bilim dal› vs.) gerçeklefltirilebilir.

Ali’nin ödevini yapmad›¤›n› ve bugün okula gelmedi¤ini biliyorsunuz. “Ali ödevini yapma-d›¤› için okula gelmedi” önermesinin do¤ru olup olmad›¤›n› baflka hiçbir bilgiye baflvur-madan söyleyebilir misiniz?

Do¤rusal olmayan önerme eklemlerinin önemli bir türü, önermelerin do¤rulu-¤unu niteleyen kiplerdir (modaliteler). Bir A önermesinin do¤rulu¤u zorunluluk ki-pi ile nitelendi¤inde “Zorunludur ki A” önermesi, olanakl›l›k kipi ile nitelendi¤in-de “Olanakl›d›r ki A” önermesi elde edilir. Ne zorunluluk ne de olanakl›l›k eklemido¤rusal bir eklemdir: “Her fley kendisine özdefltir” gibi baz› do¤ru önermeler zo-runlulukla do¤rudur. “Dünya yuvarlakt›r” önermesi ise do¤ru olmas›na ra¤men,yanl›fl olmas› olanakl› (mümkün) bir önerme oldu¤undan, zorunlulukla do¤ru de-¤ildir. Dolay›s›yla, “A” do¤ru bir önerme oldu¤unda, “Zorunludur ki A” önermesido¤ru da olabilir yanl›fl da. Tüm durumlar› ele ald›¤›m›zda ortaya ç›kacak olan so-nuçlar› bir tablo ile gösterebiliriz.

Bir dilde önerme eklemleri olarak kulland›¤›m›z ifadelerin önerme eklemi ola-rak yorumlanamayacak flekilde de kullan›labildi¤ine dikkat etmeliyiz. Örne¤in,“Ahmet ve Mehmet insand›r.” önermesinde, “ve” bir önerme eklemi olarak kulla-n›lm›flt›r. Nitekim bu önermeyi “Ahmet insand›r ve Mehmet insand›r.” biçimindeyazd›¤›m›zda do¤ruluk de¤eri bak›m›ndan anlam de¤iflmez. Oysa, “Ahmet ve Meh-met kardefltir.” önermesinde “ve” bir önerme eklemi olarak yorumlanamaz. Haki-katen, bu önermeyi “Ahmet kardefltir ve Mehmet kardefltir” biçiminde yazd›¤›m›z-da anlam de¤iflir.

Önerme eklemleri olarak kullan›lan ifadeler do¤ruluk fonksiyonu olman›n öte-sine geçen bir anlam da bildirebilir. Örne¤in, “Otomobilini h›zla sürmeye devametti ve (otomobiliyle) yafll› kad›na çarpt›” önermesinde geçen “ve” ifadesi önermeeklemi olarak kullan›lm›flt›r. Ancak, bu önermedeki “ve” ifadesi “ve sonra” anlam›-n› da yüklenerek zamansal bir iliflki de göstermektedir. Hakikaten, önermenin ikiana bilefleninin yer de¤ifltirmesiyle elde edilen “Otomobiliyle yafll› kad›na çarpt› ve(otomobilini) h›zla sürmeye devam etti” önermesi bambaflka bir anlam ifade et-mektedir. Bu durumlarda biz önermeyi sadece önerme ekleminin do¤rusal anlam›-na göre de¤erlendirece¤iz.

Temel do¤rusal önerme eklemleri afla¤›daki gibi adland›r›l›r: • “de¤il” olarak okunan önerme eklemi de¤illeme eklemi, • “ve” olarak okunan önerme eklemi tümel evetleme eklemi, • “veya” olarak okunan önerme eklemi tikel evetleme eklemi, • “ise” olarak okunan önerme eklemi koflul eklemi, • “ancak ve ancak ... ise “ olarak okunan önerme eklemi karfl›l›kl› koflul ekle-

midir.

A Zorunludur ki A Olanakl›d›r ki A

Do¤ru Do¤ru ya da yanl›fl Do¤ru

Yanl›fl Yanl›fl Do¤ru ya da yanl›fl

272. Ünite - Önerme Eklemler i

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Mant›kta önerme eklemiolarak kullan›lan ifadelergündelik dilde önermeeklemi olarakyorumlanamayacak biçimdede kullan›labilir.

Bu eklemleri göstermek için yayg›n olarak kullan›lan semboller ise flunlard›r: • De¤illeme eklemi sembolü: ~• Tümel-evetleme eklemi sembolü:∧• Tikel-evetleme eklemi sembolü: ∨• Koflul eklemi sembolü: →• Karfl›l›kl›-koflul eklemi sembolü: ↔Bileflik önermenin ana eklemi de¤illeme eklemi ise de¤illeme önerme; tümel-

evetleme eklemi ise tümel-evetlemeli önerme; tikel-evetleme eklemi ise tikel-evet-lemeli önerme; koflul eklemi ise koflullu önerme; karfl›l›kl›-koflul eklemi ise karfl›-l›kl›-koflullu önermedir. Koflul önermesinin “ise” ifadesinden önceki bilefleni ön-bi-leflen, “ise” ifadesinden sonraki bilefleni ard-bileflen olarak adland›r›l›r. Örne¤in,“Dünya yuvarlak ise her zaman Dünyan›n bir k›sm› karanl›kt›r” önermesinin ön-bi-lefleni “Dünya yuvarlakt›r” önermesi, ard-bilefleni ise “Her zaman Dünyan›n birk›sm› karanl›kt›r” önermesidir.

Gündelik dilin pek çok ifadesi gibi, önerme eklemleri de farkl› sözcüklerle ifa-de edilebilir. Bir baflka deyiflle, önerme eklemlerinin de efl anlaml›lar› vard›r. Birifadenin tümcede önerme eklemlerinden biri ile ayn› anlamda kullan›ld›¤›na kararverdi¤imizde, tümce o önerme eklemine göre anlafl›l›r. Bu durum özellikle bir son-raki ünitede ele alaca¤›m›z sembollefltirme konusu bak›m›ndan önemlidir: Bir ifa-denin tümcede önerme eklemlerinden biri ile ayn› anlamda kullan›ld›¤›na kararverdi¤imizde, tümcenin sembollefltirmesi o önerme eklemine göre gerçeklefltirilir.

Önerme eklemleri gündelik dilde pek çok farkl› ifadelerle belirtilir. Bu ifadeler de, önermeeklemi olarak kullan›ld›klar›nda, ayn› anlama gelen önerme eklemi gibi de¤erlendirilmelidir.

fiimdi, her bir önerme ekleminin baz› efl anlaml›lar›n› ele alal›m: De¤illeme eklemi: “A de¤ildir” önermesi Türkçe’de en s›k yükleme eklenen

olumsuzluk son-eki ile ifade edilir. “Dünya Güneflin etraf›nda döner” önermesi-nin de¤ilinin Türkçe’deki en do¤al ifadesi “Dünya Güneflin etraf›nda dönmez”önermesidir.

Tümel evetleme eklemi: “A ve B” tümel-evetlemeli önermesi,1. Hem A hem de B, 2. A olmas›na ra¤men B, 3. A ama (fakat, ancak) B,4. A olmas›n›n yan› s›ra B biçimlerinde ifade edilebildi¤i gibi,5. Bileflenlerden biri tümcecik olarak ifade edilerek de ifade edilebilir. Buna göre, afla¤›daki önermelerin hepsi de “Dünya kendi ekseni etraf›nda dö-

ner ve Dünya Güneflin etraf›nda döner” önermesi ile ayn› yarg›y› dile getirir ve, bunedenle, ayn› biçimde sembollefltirilecektir:

1. Dünya hem kendi ekseni etraf›nda, hem de Güneflin etraf›nda döner.2. Dünya kendi ekseni etraf›nda dönmesine ra¤men, Güneflin etraf›nda (da)

döner.3. Dünya kendi ekseni etraf›nda döner ama kendi ekseni etraf›nda da döner.4. Dünya kendi ekseninin etraf›nda dönmesinin yan› s›ra, Güneflin etraf›nda

da döner. 5. Kendi ekseni etraf›nda dönen Dünya, Güneflin etraf›nda da döner.Tikel evetleme eklemi: “A veya B” tikel evetlemeli önermesi “Ya A ya da B”

biçiminde de ifade edilir. Buna göre, “Dünya kendi ekseni etraf›nda döner veya


En yayg›n kullan›lan önermeeklemleri de¤illeme eklemi,tikel-evetleme eklemi,tümel-evetleme eklemi,koflul eklemi ve karfl›l›kl›-koflul eklemidir.

Bileflik önermeler anaeklemlerine göre adland›r›l›r.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Dünya Güneflin etraf›nda döner” önermesi ile ayn› yarg›y› dile getiren “Dünya yakendi ekseni etraf›nda ya da Dünya Güneflin etraf›nda döner” önermesi de tikelevetlemeli önerme biçiminde sembollefltirilecektir.

Koflul eklemi: “A ise B” koflul önermesi afla¤›daki biçimlerde de ifade edilebilir:1. E¤er A ise B.2. A (olmas›) B için yeterli bir kofluldur. 3. B (olmas›) A için gerekli bir kofluldur. 4. A durumunda B olur.5. A oldu¤unda B olur.Buna göre, afla¤›daki önermeler “Dünya Günefl ile ay aras›na girerse ay tutul-

mas› olur” önermesi ile ayn› yarg›y› dile getirir:1. E¤er Dünya Günefl ile ay aras›na girerse, ay tutulmas› olur 2. Dünyan›n Günefl ile ay aras›na girmesi ay tutulmas› için yeterli bir kofluldur.3. Ay tutulmas› Dünyan›n Günefl ile ay aras›na girmesi için gerekli bir kofluldur.4. Dünyan›n Günefl ile ay aras›na girmesi durumunda ay tutulmas› olur.5. Dünya Günefl ile ay aras›na girdi¤inde ay tutulmas› olur.Karfl›l›kl›-koflul eklemi: “A ancak ve ancak B” karfl›l›kl›-koflul önermesi afla-

¤›daki biçimlerde de dile getirilebilir. 1. Ancak A olmas› durumunda (kofluluyla) B.2. A B için gerekli ve yeterli kofluldur. Buna göre, afla¤›daki önermeler “Ay tutulmas› gerçekleflir ancak ve ancak Dün-

ya Günefl ile ay aras›na girerse” önermesi ile ayn› yarg›y› dile getirir:1. Dünyan›n Günefl ile ay aras›na girmesi ay tutulmas›n›n gerçekleflmesinin ge-

rekli ve yeterli kofluludur. 2. Ancak Dünyan›n Günefl ile ay aras›na girmesi durumunda ay tutulmas› ger-

çekleflir.

Önerme Eklemlerinin Do¤ruluk Tablolar›Bir önerme ekleminin hangi do¤ruluk fonksiyonunu belirtti¤i o önerme ekleminindo¤ruluk tablosu ile gösterilir. Bu tablonun sütunlar›, ana-bileflenlere ve bileflikönerme için birer sütundan oluflur. Tablonun sat›rlar› ise, ana bileflenlerin birliktealabilece¤i do¤ruluk de¤erlerine karfl›l›k gelir. (Tablonun kaç sat›rdan olufltu¤u vebir sat›r›n kaç›nc› s›ra oldu¤u söylenirken renkli gösterdi¤imiz ilk sat›r say›lmaz). Bu-

na göre 1-li bir eklemin do¤ruluk tab-losu iki sat›rdan, 2-li bir eklemin do¤-ruluk tablosu ise dört sat›rdan oluflur.Her sat›r›n en sa¤›nda, o sat›rda bile-flenlerin birlikte ald›klar› do¤ruluk de-¤erlerine göre, bileflik önermenin ald›-¤› do¤ruluk de¤eri belirtilir.

De¤illeme eklemi: Bir önermedo¤ru ise de¤ili yanl›fl, yanl›fl ise de¤ilido¤rudur.

Tümel evetleme eklemi: Tümel-evetlemeli bir önerme ancak her iki bi-lefleni de do¤ru ise do¤ru olur. Di¤ertüm hallerde tümel-evetlemeli birönerme yanl›flt›r.


Bir önerme eklemininanlam›, onun do¤ruluktablosu ile belirtilir.

A ~ A

D Y

Y D

A B (A ∧ B)

D D D

D Y Y

Y D Y

Y Y Y

Tikel evetleme eklemi: Tikelevetlemeli önerme ancak iki bileflenide yanl›fl ise yanl›fl olur. Di¤er tüm hal-lerde önerme do¤rudur:

Tikel evetleme eklemi gündelik dil-de ço¤u zaman seçenekler birbirini d›fl-layacak biçimde kullan›l›r. Sözgelimi,“Yar›n ya al›flverifle gidece¤im ya dabir arkadafl›m› ziyaret edece¤im.” öner-mesinde tikel evetlemeyi ifade eden“ya... ya da”, eklemi bu anlamda kulla-n›lm›flt›r. Tikel evetlemenin “ ∨ “ sem-bolü ile gösterece¤imiz bu biçiminindo¤ruluk tablosu afla¤›daki gibidir:

Koflul eklemi: Koflullu önerme an-cak ön-bilefleni do¤ru, ard-bilefleniyanl›fl oldu¤unda yanl›flt›r. Di¤er tümhallerde önerme do¤rudur:

Koflul eklemi burada verilen anlam›ile “maddi gerektirme” olarak da adlan-d›r›l›r. Koflul ekleminin anlam›n›n belir-lenmesi tart›flmalara yol açmaktad›r. Bu-nun nedeni, maddi gerektirmenin para-dokslar› olarak adland›r›lan afla¤›daki ikidurumdur:

1. Koflul ekleminin do¤ruluk tablosu gere¤i, ard-bileflen do¤ru ise, ön-bileflendo¤ru da yanl›fl da olsa, koflul önermesi do¤rudur. Buna göre, afla¤›dakiönermelerin ikisi de do¤ru kabul edilmelidir:

2 = 2 ise Dünya yuvarlakt›r. 2 ≠ 2 ise Dünya yuvarlakt›r.

2. Koflul ekleminin do¤ruluk tablosu gere¤i, ön-bileflen yanl›fl ise, ard-bileflendo¤ru da yanl›fl da olsa, koflul önermesi do¤rudur. Buna göre, afla¤›dakiönermelerin ikisi de do¤ru kabul edilmelidir:

2 ≠ 2 ise Dünya yuvarlakt›r. 2 ≠ 2 ise Dünya yuvarlak de¤ildir.

Tüm bu koflullu önermelerde, ön-bileflen ile ard-bileflen anlamca ba¤›ms›zönermelerdir. Bu nedenle, önermenin do¤ru veya yanl›fl olarak de¤erlendirilmesikabul edilmesi zor görülmektedir. Bu ve benzer itirazlara verilebilecek en iyi ya-n›t, tabloda anlam› belirlenen “→“ ekleminin, “ise” sözcü¤ünün gündelik dildekianlam›n› tamamen yans›tma amac›n› gütmedi¤ini, bu sözcü¤ün k›s›tlanm›fl bir an-lam›n› ifade etti¤ini söylemektir.

Karfl›l›kl›-koflul eklemi: Karfl›l›kl›-koflullu önerme her iki bilefleni de ayn›do¤ruluk de¤erini ald›¤›nda do¤ru, bi-leflenlerinin do¤ruluk de¤erleri farkl›oldu¤unda yanl›flt›r:


A B (A ∨ B)

D D D

D Y D

Y D D

Y Y Y

A B (A ↔ B)

D D D

D Y Y

Y D Y

Y Y D

A B (A ∨ B)

D D Y

D Y D

Y D D

Y Y Y

A B (A →B)

D D D

D Y Y

Y D D

Y Y D

Önerme eklemleri olarak seçti¤imizde¤illeme (~), tümel-evetleme (∧), ti-kel-evetleme (∨), koflul (→) ve karfl›-l›kl›-koflul (↔) eklemleri en s›k baflvu-rulan do¤rusal önerme eklemleridir.Bunlardan baflka, tikel-de¤illeme sem-bolü (Sheffer-çubu¤u veya ba¤daflmaz-l›k eklemi) olarak adland›raca¤›m›z ““eklem sembolü ve “ne ... ne de” öner-me eklemine karfl›l›k gelen ve tümelde¤illeme sembolü olarak adland›r›lan“↓“ eklem sembolleri de kullan›lmakta-d›r. Bu iki sembolün önemine az sonrade¤inece¤iz.

SEMBOL‹K ÖNERMELER VE DO⁄RULUK TABLOLARI

Önermeler Mant›¤›n›n Sembolik DiliBir sembolik dili tan›mlarken, önce ifadelerin olufltururken kullanabilece¤imiz ifla-retleri belirleriz. Ard›ndan, bu iflaretleri hangi kurallara göre bir araya getirdi¤imiz-de düzgün bir ifade oluflturabilece¤imizi belirten dizim kurallar›n› belirleriz.

Tan›m: Sembolik önerme eklemleri mant›¤›nda kullan›lan semboller flunlard›r: • Önerme de¤iflkenleri: p, q, r, ...• De¤illeme eklemi: ~• Tümel evetleme eklemi:∧• Tikel evetleme eklemi: ∨• Koflul eklemi: →• Karfl›l›kl› koflul eklemi: ↔• Parantezler: ( )Tan›m: Önermeler mant›¤›n›n sembolik önermeleri afla¤›daki iki kurala göre

oluflturulur: • Her önerme de¤iflkeni bir sembolik önermedir. • A bir sembolik önerme ise, ~A bir sembolik önermedir.• A ve B birer sembolik önerme ise, (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B) sem-

bolik önermelerdir.

• p, q, r ve di¤er tüm de¤iflkenler sembolik önermelerdir. • ~p, ~q, ~r ve di¤er tüm de¤illenmifl önerme de¤iflkenleri sembolik önerme-

lerdir. • (p ∧ q), (p ∨ r), (r → q), (s ↔ p) sembolik önermelerdir.• ~(p ∧ q), ~(p ∨ r), ~(r → q), ~(s ↔ p) sembolik önermelerdir.• ((p ∧ q) → (p ∨ r)), ~((p ∧ q) → (p ∨ r)) sembolik önermelerdir. • ~~p, ~~ (p ∧ q), ~~~ (p ∧ q) sembolik önermelerdir. Sembolik önermelerin biçimini belirtmek için kullan›lan parantezlerin afl›r› kul-

lan›m› okumay› güçlefltirdi¤inden, belirsizli¤e yol açmayan kimi parantezler yaz›l-mayabilir. Biz de, afla¤›daki kurallara uygun olarak baz› parantezleri yazmayaca¤›z:

1. Sembolik önermelerin en d›fl parantezleri yaz›lmayabilir. Buna göre, örne¤ina. (p ∧ q) yerine p ∧ qb. ((p ∧ q) → (p ∨ r)) yerine (p ∧ q) → (p ∨ r) yaz›labilir.


A B (A B)

D D Y

D Y D

Y D D

Y Y D

A B (A ↓ B)

D D Y

D Y Y

Y D Y

Y Y D

Ö R N E K

2. Aritmetikte çarpman›n toplamadan önce gelmesi ve (a × b) + c yerine a × b+ c yaz›lmas› gibi, eklemler aras›nda ~, ∧, ∨, →, ↔ öncelik s›ras› gözeterek ço¤uparantez kald›r›labilir.

a. ((p ∧ q) → (p ∨ r)) yerine p ∧ q → p ∨ rb. ~((p ∧ q) → (p ∨ r)) yerine ~(p ∧ q → p ∨ r) yaz›labilir

Sembolik Önermelerin Do¤ruluk Tablolar›Bir sembolik önermenin do¤ruluk tablosu, o sembolik önermenin içinde geçenönerme de¤iflkenlerinin birlikte alabilece¤i do¤ruluk de¤erlerine göre (yani, oönerme için her bir do¤ruluk de¤erlemesine göre) alaca¤› do¤ruluk de¤erlerinigösteren tablodur. Bir sembolik önermenin do¤ruluk tablosunu olufltururken,önerme de¤iflkenlerinin birlikte alabilece¤i tüm do¤ruluk de¤erlerini göz önündebulundurdu¤umuzdan emin olmak için, flöyle bir yol izleyece¤iz: ‹lk olarak, en solsütundan bafllayarak, önermenin içinde geçen tüm önerme de¤iflkenlerini alfabe-tik s›rayla yazaca¤›z. Sat›r say›s› da, önerme de¤iflkenlerinin say›s› n ise, 2n olacak-t›r. Ard›ndan en sa¤daki önerme de¤iflkeninin alt›na bir D bir Y gelecek flekilde 2n

sat›r› dolduraca¤›z. Bir sütun sola geçince, bu kez iki D iki Y fleklinde dolduraca-¤›z. Böyle devam etti¤imizde, en sol sütunun üst yar›s› D, alt yar›s› Y de¤erleriniiçerecektir. Böylece, önerme de¤iflkenlerine ait sütunlar› belirledikten sonra, bile-flenlere ait sütunlar›, karmafl›kl›k derecesini de gözeterek, sa¤a do¤ru oluflturaca-¤›z. En sa¤daki sütun, önermenin kendisine ait olacakt›r. Bu söylediklerimizin na-s›l uyguland›¤›n›, oluflturdu¤umuz do¤ruluk tablolar›nda dikkatlice inceleyiniz.

fiimdi, bir örnek olarak, (p → (q ∨ p)) önermesinin her bir de¤erlemede ald›¤› do¤-ruluk de¤erini, önermenin do¤ruluk tablosunu yaparak belirleyelim.

‹kinci bir örnek olarak (p ↔ q) ∧ ~ p sembolik önermesinin do¤ruluk tablosunuyapal›m.


Ö R N E K

p q ( q ∨ p ) ( p → ( q ∨ p ))

D D D D

D Y D D

Y D D D

Y Y Y D

p q ~ p p ↔ q (p ↔ q) ∧ ~ p

D D Y D Y

D Y Y Y Y

Y D D Y Y

Y Y D D D

Ö R N E K

Ö R N E K

Son olarak, ((p ∧ q) → r) → (p → r) önermesinin do¤ruluk tablosunu yapal›m:

Tan›m: Tüm do¤ruluk de¤erlemelerinde do¤ru olan bir önerme totoloji, tümdo¤ruluk de¤erlemelerinde yanl›fl olan bir önerme çeliflki önermesidir. En az birdo¤ruluk de¤erlemesinde do¤ru, en az bir do¤ruluk de¤erlemesinde yanl›fl de¤e-rini alan bir önerme ise olumsal önermedir. En az bir do¤ruluk de¤erlemesindedo¤ru olan önerme tutarl› bir önermedir. Buna göre hem olumsal önermeler hemde totolojiler tutarl› önermelerdir.

Az önce yapt›¤›m›z do¤ruluk tablosuna göre, ( p → ( q ∨ p )) bir totolojidir.

‹lgili örneklerde yapt›¤›m›z do¤ruluk tablolar›nda görüldü¤ü gibi, (p ↔ q) ∧ ~ p ve((p ∧ q) → r) → (p → r) önermeleri olumsal önermelerdir.

((p ∧ q ) ↔ (~p ∨ ~q)) önermesinin statüsünü do¤ruluk tablosunu yaparak belir-leyelim:

Do¤ruluk tablosundan anlafl›ld›¤› gibi, ((p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q)) sembolik öner-mesi bir çeliflki önermesidir.

Tan›m: Bir önermenin D de¤erini ald›¤› sat›rlarda önerme de¤iflkenlerinin bir-likte ald›¤› do¤ruluk de¤erleri o önermenin bir do¤rulay›c› yorumlamas›d›r. Birönermenin Y de¤erini ald›¤› sat›rlarda önerme de¤iflkenlerinin birlikte ald›¤› do¤-ruluk de¤erleri o önermenin bir yanl›fllay›c› yorumlamas›d›r.

((p ∧ q) →r) → (p → r) önermesinin do¤ruluk tablosunda görüldü¤ü gibi, p: D q:Yr: Y de¤erlemesi önermenin yanl›fllay›c› yorumlamas›, di¤er tüm de¤erlemelerönermenin do¤rulay›c› yorumlamas›d›r.


Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

p q r p ∧ q (p∧q)→r p→r ((p∧q)→r)→ (p→r)

D D D D D D D

D D Y D Y Y D

D Y D Y D D D

D Y Y Y D Y Y

Y D D Y D D D

Y D Y Y D D D

Y Y D Y D D D

Y Y Y Y D D D

Önermeler do¤rulukde¤erlemelerinin tümündeald›klar› do¤rulukde¤erlerine göre totolojiler,çeliflki önermeleri veolumsal önermeler olarakayr›l›r.

Ö R N E K

p q ~ p ~ q (p ∧ q) (~p ∨ ~q) ((p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q))

D D Y Y D Y Y

D Y Y D Y D Y

Y D D Y Y D Y

Y Y D D Y D Y

Ö R N E K

Bir önermenin do¤rulay›c› yorumlamas›, önermenin de¤ili için bir yanl›fllay›c›yorumlamad›r. Bu durumda, bir totoloji tüm do¤ruluk de¤erlemelerinde do¤ru de-¤erini alaca¤› için, totolojinin de¤ili tüm do¤ruluk de¤erlemelerinde yanl›fl de¤eri-ni al›r. Demek ki, bir totolojinin de¤ili, bir çeliflki önermesi olur. Bir çeliflki öner-mesi ise, tüm do¤ruluk de¤erlemelerinde yanl›fl oldu¤undan, de¤ili tüm do¤rulukde¤erlemelerinde do¤ru olur. Yani, bir çeliflki önermesinin de¤ili bir totolojidir.

Do¤ruluk tablosunu yaparak, (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) sembolik önerme-sinin do¤rulay›c› ve yanl›fllay›c› yorumlamalar›n› belirleyiniz.

Do¤ruluk tablolar›n› yaparak görebilece¤iniz gibi, afla¤›daki biçimdeki sembolikönermeler totolojidir. Yani, A, B, C, D yerine, bu sembollerin her geçti¤i yerde ayn›sembolik önermeyi koymak flart›yla, herhangi bir sembolik önerme koydu¤umuz-da bir totoloji elde ederiz.

1. A → A2. ~~A ↔ A3. A ∨ ~ A4. A → (B → A)5. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)Dolay›s›yla, 1. Gere¤i, (p → p), ((p → p) → (p → p)), (~~p→ ~~p) birer totoloji,2. Gere¤i (~~p ↔ p), ~~(p → p) ↔ (p → p) birer totoloji,3. Gere¤i, (q ∨ ~ q), (~q ∨ ~~q) ve (~~p → ~~p) ∨ ~ (~~p→ ~~p) birer totoloji4. Gere¤i, (q ∨ ~q) → ((p → p) → (q ∨ ~q)) bir totoloji5. Gere¤i, (p → ((q ∨ ~r) → s)) → ((p → (q ∨ ~r)) → (p → s)) bir totolojidir.

Do¤ruluk tablolar›n› yaparak görebilece¤iniz gibi, afla¤›daki biçimdeki sembolikönermeler totolojidir.

1. (A → B) → ((B → C) → (A → C))2. (A → B) ↔ (~B → ~A)3. ((A ∨ B) ∧ (A → C) ∧ (B → D)) → (C ∨ D)4. A ↔ A5. A ∧ B ↔ B ∧ A6. A ∨ B ↔ B ∨ A7. A ∧ (B ∧ C) ↔ (A ∧ B) ∧ C8. A ∨ (B ∨ C) ↔ (A ∨ B) ∨ C9. ~(A ∧ B) ↔ (~A ∨ ~B)10. ~(A ∨ B) ↔ (~A ∧ ~B)11. A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )12. A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )13. A ∧ (B ∨ ~B) ↔ A14. A ∨ (B ∧ ~B) ↔ A15. (A → (B → C ))→ (A ∧ B → C )16. A → (~A → B)17. A ∧ B → B18. A ∧ B → A19. A → (B → (A ∧ B))20. ~(A →B) → A ∧ ~B21. (~A ↔ B) ↔ (A ↔ ~B)


Ö R N E K

Ö R N E K

Bir totolojinin de¤ili çeliflmeönermesi, çeliflmenin de¤iliise totolojidir.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

22. ~(A ↔ B) ↔ (A ↔ ~B)23. (A ↔ B) ↔ ((A → B) ∧ (B → A))24. (A ↔ B) ↔ ((A ∧ B) ∨ (~A ∧ ~B))25. ~(A ↔ B) ↔ ((A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ B))Olumsal bir önermenin de¤ili yine olumsal bir önermedir: Olumsal önerme en

az bir do¤ruluk de¤erlemesinde do¤ru, en az bir do¤ruluk de¤erlemesinde yanl›fl-t›r. Buna göre, de¤ili de en az bir do¤ruluk de¤erlemesinde (kendisini yanl›fl ya-pan do¤ruluk de¤erlemesinde) do¤ru, en az bir do¤ruluk de¤erlemesinde (kendi-sini do¤ru yapan do¤ruluk de¤erlemesinde) yanl›flt›r. Sonuç olarak olumsal birönermenin de¤ili de olumsald›r.

Tan›m: A önermesinin do¤ru oldu¤u, yani D de¤erini ald›¤›, tüm de¤erleme-lerde B önermesi de do¤ru oluyor, yani D de¤erini al›yorsa, A önermesi B öner-mesini mant›ksal olarak içerir. Bu durum A= B fleklinde gösterilir. Genel olarak,A, B, C, ... önermelerinin tümü D de¤erini ald›¤›nda, Ö önermesi de D de¤erini al›-yorsa A, B, C, ... önermeleri Ö önermesini mant›ksal olarak içerir. E¤er, hem A=Bhem de B= A oluyorsa, A ve B mant›ksal olarak eflde¤er önermelerdir. Bu durumA ≡ B fleklinde gösterilir. Buna göre, A ≡ B olmas› demek A ve B önermelerininher de¤erlemede ayn› do¤ruluk de¤erini almas› demektir.

Buna göre, A ≡ B olmas›n›n A ↔ B önermesinin totoloji olmas› ayn› anlama ge-lir. Dolay›s›yla, yukar›daki 1-25 totolojilerinden A ↔ B biçiminde olanlara bakarakA ve B önermelerinin eflde¤er oldu¤unu söyleyebiliriz.

Kolayca görülebilece¤i gibi her A önermesi kendisini mant›ksal olarak içerir. Yani,her A önermesi için, A= A.

Tan›mdan hemen anlafl›laca¤› gibi, A önermesi S kümesinin eleman› ise S kümesiA önermesini mant›ksal olarak içerir.

(p ∧ q )= p ve (p ∧ q ) ≡ (q ∧ p) oldu¤unu do¤ruluk tablosu yöntemiyle denetleyelim:

(p ∧ q ) önermesinin Dde¤erini ald›¤› tek de¤erle-me olan 1. de¤erlemede pönermesi de D de¤erini al-d›¤›ndan, (p ∧ q)= p oldu-¤u do¤rudur. (p ∧ q ) ve (q∧ p ) önermelerinin de herde¤erlemede ayn› do¤rulukde¤erini ald›¤› görülür. Bunedenle (p ∧ q ) ≡ (q ∧ p)oldu¤u do¤rudur.

Önerme eklemleri olarakseçti¤imiz de¤illeme (~), tü-mel-evetleme (∧), tikel-evet-leme (∨), koflul (→) ve kar-

fl›l›kl›-koflul (↔) eklemleri en s›k baflvurulan do¤rusal önerme eklemleridir. ‹fade-lerde k›sal›k bak›m›ndan tümünü kullansak bile, kuramsal olarak, bu eklemlerintümünü kullanmak gerekli de¤ildir. Sadece de¤illeme ve tümel evetleme ile, veyasadece de¤illeme ve tikel-evetleme ile, veya sadece de¤illeme ve koflul eklemleri-ni kullanarak di¤er önerme eklemlerini ifade edebilmekteyiz.


Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

p q (p ∧ q) p

D D D D

D Y Y D

Y D Y Y

Y Y Y Y

p q (p ∧ q) (q ∧ p)

D D D D

D Y Y Y

Y D Y Y

Y Y Y Y

Olumsal bir önermenin de¤ilide olumsald›r.

Do¤ruluk tablolar›n› yaparak görebilece¤iniz gibi, afla¤›daki eflde¤erlikler do¤ruoldu¤undan, de¤illeme ve koflul eklemleri di¤er eklemleri ifade etmeye yeterlidir:

1. p ∧ q ≡ ~(p → ~q)2. p ∨ q ≡ (~p → q)3. p ↔ q ≡ ~((p → q) → ~(q → p))

Do¤ruluk tablolar›n› yaparak görebilece¤iniz gibi, afla¤›daki eflde¤erlikler do¤ruoldu¤undan, de¤illeme ve tümel evetleme eklemleri di¤er eklemleri ifade etmeyeyeterlidir:

1. p ∨ q ≡ ~(~p ∧ ~q)2. p → q ≡ ~(p ∧ ~q)3. p ↔ q ≡ ~(p ∧ ~q) ∧ ~(~p ∧ q))

Do¤ruluk tablolar›n› yaparak görebilece¤iniz gibi, afla¤›daki eflde¤erlikler do¤ruoldu¤undan, de¤illeme ve tikel evetleme eklemleri di¤er eklemleri ifade etmeyeyeterlidir:

1. p ∧ q ≡ ~(~p ∨ ~q)2. p → q ≡ (~p ∨ q)3. p ↔ q ≡ ~(~p ∨ ~q) ∨ ~(p ∨ q))

Bir A sembolik önermesinde geçen bir B bilefleni yerine B ile eflde¤er bir B'önermesi yaz›l›rsa, elde edilen A' önermesi A önermesine eflde¤er bir önermedir.Dolay›s›yla, A' önermesinin semantik statüsü A ile ayn›d›r. Yani, A totoloji ise A'önermesi de bir totoloji, A çeliflki önermesi ise A' önermesi de bir çeliflki önerme-si, A olumsal önerme ise A' önermesi de olumsal bir önermedir.

Bu ifllem birden çok kere tekrarlanabilir. Bu flekilde A önermesinden bir bile-fleni eflde¤eri ile yer-de¤ifltirme ile eflde¤er bir A' önermesi, ard›ndan A' önerme-sinden bir bilefleni eflde¤eri ile yer-de¤ifltirme ile eflde¤er bir A'' önermesi ... eldeedilir. Bu flekilde elde edilen tüm önermeler eflde¤er olur: A' ≡ A'' ≡ A'''...

Afla¤›daki önermelerin her biri ((p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q)) önermesi ile eflde¤erdir. (~(~p ∨ ~q) ↔ (~p ∨ ~q)) Aç›klama: ~(~p ∨ ~q) ile (p ∧ q) önermeleri eflde¤erdir.((~~p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q)) Aç›klama: ~~p ile p önermeleri eflde¤erdir((p ∧ q) ↔ ~(p ∧ q)) Aç›klama (~p ∨ ~q) ve ~(p ∧ q) önermeleri eflde¤erdir.

~(~(~p ∧ ~q) ∨ ~(p ∨ q)) ≡ ~~(~p ∧ ~q) ∧ ~~(p ∨ q))≡ (~p ∧ ~q) ∧ (p ∨ q)≡ ~p ∧ (~q ∧ (p ∨ q))≡ ~p ∧ ((~q ∧ p) ∨ (~q ∧ q))

Verdi¤imiz eflde¤erliklere göre, (a) ~p → (p ∧ q) önermesini sadece ~ ve ∨ ile ifade ediniz.(b) (p ∧ q) ∨ (~p ∧ r) önermesini sadece ~ ve → eklemleriyle en sade biçimde ifade ediniz.

“Önerme Eklemlerinin Do¤ruluk Tablolar›” k›sm›nda tan›tt›¤›m›z tikel-de¤ille-me () ve tümel-de¤illeme (↓) eklemlerinin her biri tek bafl›na di¤er befl önermeeklemini de ifade edebilmektedir. Afla¤›daki 1-5 eflde¤erlikleri tikel-de¤illeme ek-lemi ile, 6-10 eflde¤erlikleri de tümel-de¤illeme eklemi ile di¤er eklemleri nas›l ifa-de edebilece¤imizi ortaya koymaktad›r.


Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

1. ~p ≡ p p2. p ∧ q ≡ (p q) (p q) 3. p ∨ q ≡ (p p) (q q) 4. p → q ≡ p (q q) 5. p ↔ q ≡ (p q) ((p p) (q q))6. ~p ≡ p ↓ p7. p ∧ q ≡ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) 8. p ∨ q ≡ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q) 9. p → q ≡ ((p ↓ q) ↓ q) ↓ ((p ↓ q) ↓ q)10. p ↔ q ≡ ((p ↓ p) ↓ q) ↓ (p ↓ (q ↓ q))

Do¤ruluk tablolar›n› oluflturarak, (c) ~p ≡ p p(d) p → q ≡ p (q q)

eflde¤erliklerini denetleyiniz.

Birinci ünitede belirtti¤imiz gibi, tümdengelimli mant›k bak›m›ndan, sonuçönermesinin öncüllerin mant›ksal sonucu oldu¤u ç›kar›mlar düzgün ç›kar›mlarolarak kabul edilir ve bu ç›kar›mlar geçerli ç›kar›m olarak nitelendirilir. Geçerlilikkavram›n› do¤ruluk tablosu yard›m›yla kolayl›kla ifade edebiliriz.

Tan›m: Bir sembolik ç›kar›m›n do¤ruluk tablosunda, tüm öncüllerin “D” de-¤erini ald›¤› sat›rlardan hiçbirinde sonuç önermesi “Y” de¤erini alm›yorsa, bu ç›-kar›m geçerlidir.

Tan›ma göre, bir A, B, ... ∴ S ç›kar›m›n›n geçerli olmas› ile A, B, ... önermelerinin S öner-mesini içermesi ayn› anlama gelmektedir. Nedenini aç›klay›n›z.

Afla¤›daki ç›kar›m›n geçerlili¤ini do¤ruluk tablosu yöntemiyle denetleyelim: (p → q), (p → r) ∴ p → (q ∧ r)

Tüm öncüllerin D de¤erini ald›¤› iflaretli sat›rlarda sonuç önermesi de D de¤e-rini ald›¤›ndan ç›kar›m geçerlidir.

Tan›m: S bir önermeler kümesi olsun. En az bir de¤erlemede, S kümesi için-deki tüm önermeler D de¤erini al›yorsa S tutarl› yoksa S tutars›zd›r denir.

p q r p → q p → r q ∧ r p → (q ∧ r)

D D D D D D D

D D Y D Y Y Y

D Y D Y D Y Y

D Y Y Y Y Y Y

Y D D D D D D

Y D Y D D Y D

Y Y D D D Y D

Y Y Y D D Y D


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



5

Ö R N E K

K = {(p ∨ ~ q), (q → r), ~ r } önermeler kümesi tutarl›d›r.

Görüldü¤ü gibi, 4. ve 8. de¤erlemelerde, K kümesindeki tüm önermeler do¤rude¤erini ald›¤› için, K kümesi tutarl›d›r.

p q r ~ q ~ r (p ∨ ~q) (q → r)

D D D Y Y D D

D D Y Y D D Y

D Y D D Y D D

D Y Y D D D D

Y D D Y Y Y D

Y D Y Y D Y Y

Y Y D D Y D D

Y Y Y D D D D


Ö R N E K


Önerme eklemlerini aç›klayabilmek,

Baflka bir önermeden türetilmemifl olan önerme-ler basit önermelerdir. Önermelere eklenerek ve-ya önermeleri birlefltirerek yeni önerme elde et-memizi sa¤layan ifadeler önerme eklemleridir. Ba-sit önermeleri “de¤il”, “ve”, “veya”, “ise” ve “an-cak ve ancak” önerme eklemleri ile birlefltirerekbileflik önermeler elde edilir. Bir baflka deyiflle enaz bir baflka önermeden elde edilmifl önermelerbileflik önermedir. Önerme eklemleri olarak ka-bul edece¤imiz ifadelerin en önemli özelli¤i buifadelerin birer do¤ruluk fonksiyonu belirtmeleri-dir. Bir önerme ekleminin do¤ruluk fonksiyonubelirtmesi demek, bu eklemle elde edilmifl birönermenin do¤ruluk de¤erinin, sadece bu ekle-min anlam› ve birlefltirilen önermelerin do¤rulukde¤erlerine göre belirlenebilmesi demektir. Bueklemlere do¤rusal eklem denmektedir.“De¤il” de¤illeme eklemi, “ve” tümel-evetleme ek-lemi, “veya” tikel-evetleme eklemi, “ise” koflul ek-lemi, “ancak ve ancak” ise karfl›l›kl›-koflul ekle-midir. Bileflik önermenin ana eklemi de¤illemeeklemi ise de¤illeme önerme; tümel-evetleme ek-lemi ise tümel-evetlemeli önerme; tikel-evetlemeeklemi ise tikel-evetlemeli önerme; koflul eklemiise koflullu önerme; karfl›l›kl›-koflul eklemi ise kar-

fl›l›kl›-koflullu önermedir. Koflul önermesinin “ise”ifadesinden önceki k›sm› ön-bileflen, sonraki k›s-m› ard-bileflen olarak adland›r›l›r. Örne¤in, “Dün-ya yuvarlak ise her zaman Dünyan›n bir k›sm›karanl›kt›r” önermesinin ön-bilefleni “Dünya yu-varlakt›r” önermesi, ard-bilefleni ise “Her zamanDünyan›n bir k›sm› karanl›kt›r” önermesidir.Önerme eklemi olarak kabul etti¤imiz ifadelergündelik dilde baflka ifllevlerle de kullan›labilir-ler. Ayr›ca, gündelik dilde bir ifade, önerme ek-lemleri ile efl anlaml› kullan›ld›¤›nda, o ifadeyide efl anlaml›s› olan önerme eklemi gibi kabulederek sembollefltirece¤iz. Bir önerme ekleminin hangi do¤ruluk fonksiyo-nunu belirtti¤i o önerme ekleminin do¤ruluk tab-losu ile gösterilir. Bu tablonun sütunlar›, ana-bi-leflenlerin her biri için birer sütundan ve bileflikönerme için bir sütundan oluflur. Tablonun sat›r-lar› ise, ana bileflenlerin birlikte alabilece¤i do¤-ruluk de¤erlerine karfl›l›k gelir Buna göre 1-li bireklemin do¤ruluk tablosu iki sat›rdan, 2-li bir ek-

lemin do¤ruluk tablosu ise dört sat›rdan oluflur.Her sat›r›n en sa¤›nda bileflik önermenin ald›¤›do¤ruluk de¤eri belirtilir.

Sembolik önermeleri aç›klayabilmek ve sembolik

önermelerin do¤ruluk tablolar›n› yapabilmek,

Önermeler mant›¤›n›n sembolik dilinin alfabesi, • Basit önermeleri iflaret eden olarak p, q, r, ...önerme de¤iflkenlerini• 1-li bir önerme eklemi olan “~“ de¤illeme iflaretini• 2-li önerme eklemleri olan “∧“ tümel-evetlemeiflaretini, “∨“ tikel-evetleme iflaretini, “→“ koflul ifla-retini ve “↔“ karfl›l›kl›-koflul iflaretini• (, ) parantezlerini içerir.Hangi iflaret dizilerinin düzgün ifadeler olarak ka-bul edilece¤i dizim kurallar› ile kesin olarak belir-lenmifltir: • Her önerme de¤iflkeni bir sembolik önermedir. • A bir sembolik önerme ise, ~A bir sembolik öner-medir.• A ve B birer sembolik önerme ise, (A ∧ B),(A∨ B), (A → B), (A ↔ B) sembolik önermelerdir.Bir önermenin içerdi¤i önerme de¤iflkenlerine gö-re, her do¤ruluk de¤erlemesinde hangi do¤rulukde¤erini ald›¤›n› gösteren tablo o önermenin do¤-ruluk tablosudur. Önerme eklemlerinin do¤ruluktablolar›na göre, tüm bileflik önermelerin do¤ru-luk tablolar› oluflturulabilir. Do¤ruluk tablolar›n›yaparken, önerme de¤iflkenlerinin birlikte alabile-ce¤i tüm do¤ruluk de¤erlerini s›ralad›¤›m›zdanemin olmak için, flöyle bir yol izleyece¤iz: ‹lk ola-rak, en sol sütundan bafllayarak, önermenin için-de geçen tüm önerme de¤iflkenlerini alfabetik s›-rayla yazaca¤›z. Sat›r say›s› da, önerme de¤iflken-lerinin say›s› n ise, 2n olacakt›r. Ard›ndan en sa¤-daki önerme de¤iflkeninin alt›na bir D bir Y gele-cek flekilde 2n sat›r› dolduraca¤›z. Bir sütun solageçince, bu kez iki D iki Y fleklinde dolduraca¤›z.Böyle devam etti¤imizde, en sol sütunun üst yar›-s› D, alt yar›s› Y de¤erlerini içerecektir. Böylece,önerme de¤iflkenlerine ait sütunlar› belirlediktensonra, bileflenlere ait sütunlar›, karmafl›kl›k dere-cesini de gözeterek, sa¤a do¤ru oluflturaca¤›z. Ensa¤daki sütun, önermenin kendisine ait olacakt›r.Önermeler mant›¤›nda, önermeler semantik aç›-dan totolojiler, çeliflki önermeleri ve olumsal öner-meler olarak ayr›l›r: Tüm do¤ruluk de¤erlemele-

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç


rinde do¤ru olan bir önerme totoloji, tüm do¤ru-luk de¤erlemelerinde yanl›fl olan bir önerme çelifl-

ki önermesidir. En az bir do¤ruluk de¤erlemesin-de do¤ru, en az bir do¤ruluk de¤erlemesinde yan-l›fl de¤erini alan bir önerme olumsal önermedir.En az bir do¤ruluk de¤erlemesinde do¤ru olanönerme tutarl› bir önermedir. Buna göre hemolumsal önermeler hem de totolojiler tutarl› öner-melerdir.Do¤ruluk tablolar› ile, bir önermenin semantikstatüsü kesin olarak belirlenebilir. Bir önerme,sütunundaki tüm de¤erler D ise totoloji, tüm de-¤erler Y ise çeliflki önermesi, en az bir de¤er Dise tutarl› bir önerme, en az bir de¤er D ve en azbir de¤er de Y ise olumsal önermedir.


1. Afla¤›daki tümcelerden hangisinde “ve” sözcü¤üönerme eklemi olarak yorumlanamaz?

a. Ali ve Ahmet ö¤rencidir.b. 2 ve 4 ün ortalamas› 3 tür. c. Ankara ve ‹stanbul büyük flehirlerdir. d. 2 ve 4 çift say›d›r.e. 1 ve 2 say›lar› 3 ten küçük say›lard›r.

2. Afla¤›daki sembol dizilerinden hangisi önermelermant›¤›nda bir sembolik önermedir?

a. (~p ∨ qb. (~p ∨ q) → r)c. (p ∧ (~p ∨ q) → rd. (p ∧ (~p ∨ q)) → r)e. ((p ∧ (~p ∨ q)) → r)

3. Afla¤›daki önerme çiftlerinden hangisi eflde¤er öner-melerdir?

a. p ∨ q, (~p ∧ ~q)b. p ∨ q, ~(p ∧ q)c. ~p ∨ q, p ∨ ~qd. ~p ∨ q, q ∨ ~pe. ~(p ∧ q), (~p ∧ q)

4. Afla¤›daki önermelerden hangisi, “Ali ö¤renci iseAli’nin ö¤retmenleri vard›r” önermesi ile ayn› yarg›y›bildirmez?

a. Ali’nin ö¤renci olmas› Ali’nin ö¤retmenleri ol-mas› için yeterli kofluldur.

b. Ali’nin ö¤renci olmas› durumunda Ali’nin ö¤ret-menleri vard›r.

c. Ali’nin ö¤retmenleri olmas› Ali’nin ö¤renci ol-mas› için gerekli kofluldur.

d. Ali’nin ö¤retmenleri olmas›na ra¤men Ali ö¤ren-cidir.

e. E¤er Ali ö¤renci ise Ali’nin ö¤retmenleri vard›r.

5. A önermesi olumsal bir önerme ise, ~A önermesiiçin hangisi söylenebilir?

a. Totolojidir.b. Çeliflki önermesidir.c. Tutarl›d›r.d. A ∧ B biçimindedir.e. ~~A önermesi ile eflde¤erdir.

6-8. sorular›n› afla¤›daki do¤ruluk tablosuna göre ya-n›tlay›n›z.

6. Yukar›daki A, B, C önermelerinin ortak do¤ruluktablosuna göre afla¤›dakilerden hangisi söylenebilir?

a. A ≡ B b. A= Bc. B= Ad. A= Ce. C= A

7. Yukar›dakiA, B, C, D önermelerinin ortak do¤ru-luk tablosuna göre afla¤›dakilerden hangisi geçerli birç›kar›md›r?

a. B, C ∴Db. A, C ∴Dc. B, C ∴Ad. A, D ∴Be. C, A ∴D

8. Yukar›daki Tabloya göre afla¤›dakilerden hangisi birçeliflki önermesidir?

a. C ∧ ~ Ab. C → Dc. D → Cd. B ∧ ~ Ce. D → ~C

9. p → ~ q önermesinin de¤ili afla¤›daki önermelerdenhangisi ile eflde¤erdir?

a. p ∧ ~ q b. p ∧ qc. p ∨ qd. p ∨ ~qe. ~ p ∨ q

10. Eklemlerin öncelik s›ras›na göre parantezler kal-d›r›ld›¤›nda((p ∨ ~(q ∧ r)) ↔ ((p ∨ q) ∧ r))önermesinden elde edilen önerme afla¤›dakilerden han-gisidir?

a. (p ∨ ~q ∧ r)) ↔ (p ∨ q) ∧ r)b. p ∨ ~(q ∧ r) ↔ p ∨ q ∧ rc. (p ∨ ~q) ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ rd. p ∨ ~q ∧ r ↔ (p ∨ q) ∧ r)e. p ∨ ~(q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ r

A B C D

D D D D

D Y D Y

Y D D Y

Y Y Y D



1. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÖnermeEklemleri” konusuna bak›n›z.

2. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikÖnermeler ve Do¤ruluk Tablolar›” konusunabak›n›z.

3. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikÖnermeler ve Do¤ruluk Tablolar›” konusunabak›n›z.

4. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÖnermeEklemleri” konusuna bak›n›z.

5. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikÖnermeler ve Do¤ruluk Tablolar›” konusunabak›n›z.




9. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikÖnermeler ve Do¤ruluk Tablolar›”konusuna ba-k›n›z.

10 e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikÖnermeler ve Do¤ruluk Tablolar›” konusunabak›n›z.

S›ra Sizde Yan›t Anahtar›S›ra Sizde 1

Ali’nin ödevini yapmam›fl oldu¤unu ve okula gelmedi-¤ini bilmek, “Ali ödevini yapmad›¤› için okula gelmedi”önermesinin do¤ruluk de¤erini belirlemeye yetmez. Aliödevini yapmam›fl olmas›na ra¤men okula gelmeye ka-rar vermifl, ancak baflka bir nedenden dolay› okula ge-lememifl olabilir. Genel olarak belirtti¤imiz gibi, “için”ifadesi önermeleri birlefltirmek için kullan›labilmesineve genifl anlamda bir önerme eklemi olmas›na ra¤men,burada kabul etti¤imiz tek önerme eklemi türü olando¤rusal eklemlerden de¤ildir.

S›ra Sizde 2

A = (p → (q → r)) → ((p → q) → (q → r)) sembolikönermesinin do¤ruluk tablosu afla¤›daki gibidir:

Tabloda görüldü¤ü gibi, A = (p→ (q → r)) → ((p → q)→ (q → r )) önermesinin tek yanl›fllay›c› yorumlamas›p: Y, q: D, r: Y do¤ruluk de¤erlemesidir.

S›ra Sizde 3

(a)~p → (p ∧ q) ≡ ~~p ∨ (p ∧ q)≡ ~~p ∨ ~ (~p ∨ ~ q)≡ p ∨ ~ (~p ∨ ~ q)

(b) (p ∧ q) ∨ (~p ∧ r) ≡ ~(p → ~q) ∨ ~(~p → ~r)≡ ~~(p → ~q) → ~(~p → ~r)≡ (p → ~q) → ~(~p → ~r)

S›ra Sizde 4

(a) Afla¤›daki do¤ruluk tablosu ~p ≡ pp oldu¤unu or-taya koymaktad›r:

(b) p → q ≡ p (q q) oldu¤unu afla¤›daki do¤ruluktablosu ortaya koymaktad›r:

p ~p pp

D Y Y

Y D D

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›

p q r q → rp →

(q → r)p → q q → r

(p → q) →

(p → r)A

D D D D D D D D D

D D Y Y Y D Y Y D

D Y D D D Y D D D

D Y Y D D Y Y D D

Y D D Y D D D D D

Y D Y Y D D Y Y Y

Y Y D D D D D D D

Y Y Y D D D D D D

p q (p → q) (q q) p (q q)

D D D Y D

D Y Y D Y

Y D D Y D

Y Y D D D


S›ra Sizde 5

Bir A, B, C, ... ∴ S ç›kar›m›n›n geçerli olmas› demek, ç›-kar›m›n öncülleri A, B, C, ... do¤ru oldu¤unda S sonuçönermesinin yanl›fl olamamas› demektir. Bu ise, A, B,

C, ... önermelerinin S önermesini mant›ksal olarak içer-mesi demektir.


cilt). Ankara: METU Press. Grünberg, T. ve Grün-berg, D. vd. (2003). Mant›k Terimleri Sözlü¤ü.Ankara: METU Press.

Y›ld›r›m, C. (1976). 100 Soruda Mant›k. ‹stanbul: Ger-çek Yay›nevi.

Y›ld›r›m, C. (1999). Mant›k: Do¤ru Düflünme Yöntemi.

‹stanbul: Bilgi Yay›nevi.

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Gündelik dil önermelerini ve ç›kar›mlar›n› önermeler mant›¤›nda sembol-lefltirebilecek,Sembolik önerme ve ç›kar›mlar› gündelik dile çevirebilecek ve gündelik dil-deki önerme ve ç›kar›mlar› önermeler mant›¤›nda denetleyebileceksiniz.


• Sembollefltirme • Sembollefltirme anahtar›

• Gündelik dile çeviri• Çeviri anahtar›

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

N

Sembolik Mant›k Sembollefltirme veÇeviri

• G‹R‹fi• SEMBOLLEfiT‹RME • GÜNDEL‹K D‹LE ÇEV‹RME

3SEMBOL‹K MANTIK

G‹R‹fiMant›¤›n amac›n› ve temel kavramlar›n› tan›tt›¤›m›z birinci ünitede, mant›¤›n ama-c›n›n düzgün ak›l yürütme biçimlerini ortaya koymak ve ak›l yürütmelerin bu bi-çimlere uygunlu¤unu denetlememizi sa¤layacak yöntemler gelifltirmek oldu¤unusöylemifltik. Önerme eklemlerini, sembolik önermeleri ve do¤ruluk tablolar›n› ta-n›tt›¤›m›z ikinci ünitede ise, sembolik bir önermenin semantik statüsünün (totolo-ji önermesi, çeliflki önermesi veya olumsal önerme olmas›) ve sembolik bir ç›kar›-m›n geçerlili¤inin do¤ruluk tablolar›yla nas›l denetlenebilece¤ini görmüfltük.

Bu ünitede, ikinci ünitede ele ald›¤›m›z do¤ruluk tablosu yöntemini gündelikdil önermelerine ve gündelik dildeki ç›kar›mlara nas›l uygulayabilece¤imizi göre-ce¤iz. Bunun için, gündelik dil önermelerini sembolik önermeler mant›¤›n›n dilin-de nas›l ifade edebilece¤imizi ö¤renmemiz gerekir. Gündelik dil önermelerinisembolik önermeler mant›¤›nda ifade edebildi¤imizde, sembolik önermeler man-t›¤›, felsefede ve genel olarak düflünmede kullanabilece¤imiz bir araç olacakt›r. Ni-tekim, gündelik dildeki bir önermeyi do¤ru olarak sembollefltirdi¤imizde, elde et-ti¤imiz sembolik önermeyi denetleyerek, bafllang›çta verilen gündelik dil önerme-sini de denetlemifl oluruz. Bunun gibi, gündelik dildeki bir ç›kar›m› oluflturanönermeleri do¤ru olarak sembollefltirdi¤imizde, elde etti¤imiz sembolik ç›kar›m›denetleyerek, bafllang›çta verilen gündelik dil ç›kar›m›n›n geçerlili¤ini de denetle-mifl oluruz. Sembolik mant›¤› bu biçimde gündelik dildeki ve bilim dilindeki dü-flünmemizi denetlemede kullanamazsak, sembolik mant›k bizim için sadece birsemboller oyunu olmaktan öteye gidemez.

Ünitenin ikinci k›s›mda, önerme eklemleri mant›¤›n›n dilindeki sembolik öner-meleri gündelik dil önermelerine nas›l çevirebilece¤imizi ve dolay›s›yla, önermeeklemleri mant›¤›n›n dilindeki sembolik bir ç›kar›m› gündelik dildeki bir ç›kar›manas›l çevirebilece¤imizi ö¤renece¤iz. Sembolik bir ç›kar›m›n geçersiz oldu¤unu,bu ç›kar›m› gündelik dilde bir ç›kar›ma çevirerek, örnek gösterme yoluyla ortayakoyabiliriz. Ayr›ca, gündelik dil önermelerini ifade eden sembolik önermelerdenelde etti¤imiz di¤er sembolik önermelerin gündelik dilde ne ifade etti¤ini, ancakbu sonuç önermelerini gündelik dile çevirerek ortaya koyabiliriz. Bu nedenle,gündelik dile çeviri ifllemi de, sembollefltirme gibi, sembolik mant›k ile gündelikdildeki düflünmeyi birbirine ba¤lamam›z› sa¤lar.

Gündelik dilin hem terim say›s› hem de tümce yap›lar› bak›m›ndan zenginli¤idolay›s›yla, ne sembollefltirme ne de gündelik dile çeviri ifllemleri kesin kurallarla

Sembollefltirme ve Çeviri

ortaya konamaz. Bu nedenle olabildi¤ince çok say›da örnek üzerinde çal›flmak, veher durumda olabilecek en iyi sembollefltirmeye veya çeviriye ulaflmaya çal›flmakgerekir. Bunun için örnekleri dikkatle inceleyiniz. Ayr›ca, okudu¤unuz köfle yaz›-lar› ve di¤er makalelerde sembollefltirmeye uygun ç›kar›mlar› sembollefltirmeye ça-l›flman›z da oldukça ilginç ve faydal› bir çal›flma olacakt›r.

SEMBOLLEfiT‹RMEBir önermenin semantik statüsünün önermeler mant›¤› bak›m›ndan belirlenmesi,bu önermenin, totoloji mi, çeliflme önermesi mi, yoksa olumsal önerme mi oldu-¤unun ortaya konmas› demektir. Bir ç›kar›m›n denetlenmesi ise, ç›kar›m›n geçer-li mi geçersiz mi oldu¤unun ortaya konmas› demektir. Bir gündelik dil önermesi-nin semantik statüsünün önermeler mant›¤› bak›m›ndan belirlenebilmesi veya birgündelik dil ç›kar›m›n›n önermeler mant›¤› bak›m›ndan denetlenebilmesi için,öncelikle bu önermenin veya ç›kar›m›n önermeler mant›¤›nda sembollefltirilmesigerekir.

Bir gündelik dil önermesinin, önermeler mant›¤›n›n sembolik dilindeki bir sem-bolik önerme olarak karfl›l›¤›, bu önermenin önermeler mant›¤›nda sembollefltiril-mesidir. Bir ç›kar›m›n önermeler mant›¤›nda sembollefltirilmesi ise, ç›kar›m› olufl-turan önermelerin önermeler mant›¤›nda sembollefltirilmesinden ve öncüllerle so-nuç önermesi aras›na ∴ iflaretinin konulmas›ndan ibarettir. Sembollefltirmede hatayapmaktan kaç›nmak için, Kalish-Montague (1980) taraf›ndan kullan›lan, aflamal›bir yol izleyece¤iz.

Bir gündelik dil önermesini önermeler mant›¤›nda sembollefltirebilmek için,ilk olarak, bu gündelik dil önermesinde geçen basit önermelerin hangi önermede¤iflkenleriyle karfl›lanaca¤›n›n belirlenmesi gerekir. Sembollefltirme sonucun-da hangi sembolik önermenin elde edilece¤i, sembollefltirme anahtar›na ba¤l›olarak de¤iflir.

Tan›m: Bir gündelik dil önermesindeki her bir farkl› basit önermeyi farkl› birönerme de¤iflkeni ile efllefltiren bir listeye, bu gündelik dil önermesi için bir “sem-bollefltirme anahtar›” denir.

“Çifteler ya Eskiflehir”in bir ilçesi ya da Ankara’n›n bir ilçesidir” önermesini olufl-turan basit önermeler “Çifteler Eskiflehir’in bir ilçesidir” ve “Çifteler Ankara’n›n birilçesidir” önermeleridir. Buna göre, bu önerme için bir sembollefltirme anahtar›afla¤›da verilmifltir:

p: Çifteler Eskiflehir’in bir ilçesidir.q: Çifteler Ankara’n›n bir ilçesidir.

Bir gündelik dil ç›kar›m›n› önermeler mant›¤›nda sembollefltirebilmek için, ilk ola-rak, bu gündelik dil ç›kar›m›nda geçen tüm basit önermelerin hangi önerme de-¤iflkenleriyle karfl›lanaca¤›n›n belirlenmesi gerekir. Gündelik dil önermelerinde ol-du¤u gibi, gündelik dildeki ç›kar›mlarda da sembollefltirme sonucunda hangisembolik ç›kar›m›n elde edilece¤i, sembollefltirme anahtar›na ba¤l› olarak de¤iflir.

Tan›m: Bir gündelik dil ç›kar›m›ndaki her bir farkl› basit önermeyi farkl› birönerme de¤iflkeni ile efllefltiren bir liste, bu gündelik dil ç›kar›m› için bir sembol-lefltirme anahtar›d›r.


Gündelik dilde ifade edilenbir önermeyi önermelermant›¤›ndasembollefltirmek, sembolikönermeler mant›¤›n›ndilinde, verilen gündelik dilönermesine karfl›l›k gelensembolik önermeyi bulmakdemektir.

Sembollefltirme daima birsembollefltirme anahtar›nagöre gerçeklefltirilir.

Ö R N E K

“Ayfle Ali’yi tan›r. Ali Mehmet’i tan›r ise Ali Mehmet’le konuflur. O halde, Ayfle Meh-met’i tan›r” ç›kar›m›nda geçen basit önermeler “Ayfle Ali’yi tan›r”, “Ali Mehmet’itan›r”, “Ali Mehmet’le konuflur” ve “Ayfle Mehmet’i tan›r” önermeleridir. Buna gö-re, bu ç›kar›m için bir sembollefltirme anahtar› afla¤›da verilmifltir:

p: Ayfle Ali’yi tan›r. q: Ali Mehmet’i tan›r.r: Ali Mehmet’le konuflur. s: Ayfle Mehmet’i tan›r.

“ÖNERME EKLEMLER‹” ünitesinde belirtti¤imiz gibi, önerme eklemleri günde-lik dilde birçok farkl› flekilde ifade edilebilmektedir. Bir önermeyi sembollefltirir-ken, bir önerme eklemiyle efl anlaml› bir ifadenin de, efl anlaml›s› olan önerme ek-lemi gibi sembollefltirilece¤ini belirtmifltik. Bu nedenle, bir önermeyi sembolleflti-rirken ilk olarak bu önermede geçen önerme eklemlerinin efl anlaml›lar›n› standartolarak kabul etti¤imiz önerme eklemleriyle de¤ifltirece¤iz. Bu s›rada, gerekirsecümlenin yap›s›n› da yeniden düzenleyece¤iz ve noktalama iflaretlerine uygun ola-rak parantezler yerlefltirece¤iz. Önermenin bu flekilde elde edilen biçimi “standartbiçimi” olarak adland›r›l›r. Standart biçimdeki bir önerme sembollefltirmeye uygunhale gelmifl olur.

“Ali’nin mant›k dersinden geçmesinin yeterli bir koflulu, Ali’nin mant›k dersinedüzenli olarak çal›flm›fl ve tüm al›flt›rmalar› çözmüfl olmas›d›r” önermesini ele ala-l›m. “A B için yeterli bir kofluldur” önermesinin standart biçimi “A ise B” önerme-sidir. Önermede, Ali’nin mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›fl ve tüm al›flt›rma-lar› çözmüfl olmas›n›n, Ali’nin mant›k dersinden geçmesinin yeterli bir koflulu ol-du¤u söylendi¤ine göre, bu önermenin standart biçimi “((Ali mant›k dersine dü-zenli olarak çal›flm›flt›r ve Ali tüm al›flt›rmalar› çözmüfltür) ise Ali mant›k dersin-den geçer)” ifadesidir.

“Ali’nin mant›k dersinden geçmesinin gerekli bir koflulu, Ali’nin mant›k dersinedüzenli olarak çal›flm›fl ve tüm al›flt›rmalar› çözmüfl olmas›d›r” önermesini ele ala-l›m. “A B için gerekli bir kofluldur” önermesinin standart biçimi “B ise A” önerme-sidir. Önermede, Ali’nin mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›fl ve tüm al›flt›rma-lar› çözmüfl olmas›n›n, Ali’nin mant›k dersinden geçmesinin gerekli bir koflulu ol-du¤u söylendi¤ine göre, bu önermenin standart biçimi “(Ali mant›k dersinden ge-çer ise (Ali mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›flt›r ve Ali tüm al›flt›rmalar› çöz-müfltür))” ifadesidir.Sembollefltirmek istedi¤imiz gündelik dil önermesini standart biçimde ifade ettik-ten sonraki aflama, standart biçimde geçen, gündelik dile ait önerme eklemleri ye-rine önerme eklemi sembollerinin konmas›d›r.

Yukar›daki örnekte, ilk ad›m›n sonunda, “Ali’nin mant›k dersinden geçmesininyeterli bir koflulu, Ali’nin mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›fl ve tüm al›flt›rma-lar› çözmüfl olmas›d›r” önermesinden “((Ali mant›k dersine düzenli olarak çal›fl-m›flt›r ve Ali tüm al›flt›rmalar› çözmüfltür) ise Ali mant›k dersinden geçer)” öner-mesini elde etmifltik. ‹kinci ad›mda, önerme eklemlerini sembolleriyle de¤ifltirerekafla¤›daki önermeyi elde ederiz:

((Ali mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›flt›r ∧ Ali tüm al›flt›rmalar› çözmüfltür)→ Ali mant›k dersinden geçer)

473. Ünite - Sembol leflt i rme ve Çevi r i

Bir önermenin mant›ksalbiçimini ortaya ç›karmakiçin, önce önermeninstandart biçimde ifadeedilmesi gerekir.

Sembollefltirmenin ikinciad›m›, standart biçimdegeçen önerme eklemlerininsembollerinin konmas›d›r.

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Yukar›daki örnekte, ilk ad›m›n sonunda, “Ali’nin mant›k dersinden geçmesiningerekli bir koflulu, Ali’nin mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›fl ve tüm al›flt›rma-lar› çözmüfl olmas›d›r” önermesinden “(Ali mant›k dersinden geçer ise (Ali mant›kdersine düzenli olarak çal›flm›flt›r ve Ali tüm al›flt›rmalar› çözmüfltür))” ifadesinielde etmifltik. ‹kinci ad›mda, önerme eklemlerini sembolleriyle de¤ifltirerek afla¤›-daki önermeyi elde ederiz:

(Ali mant›k dersinden geçer → (Ali mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›flt›r ∧ Alitüm al›flt›rmalar› çözmüfltür))

Standart biçimden elde etti¤imiz son iki ifadede, önerme eklemi sembolleri d›fl›n-da, sadece basit önermelerin kald›¤›na dikkat ediniz. Önermenin sembolik biçiminielde edece¤imiz üçüncü ve son ad›mda, yapmam›z gereken tek fley, basit önerme-lerin yerine sembollefltirme anahtar›nda verilen önerme de¤iflkenlerinin konmas›d›r.

“Ali’nin mant›k dersinden geçmesinin yeterli bir koflulu, Ali’nin mant›k dersinedüzenli olarak çal›flm›fl ve tüm al›flt›rmalar› çözmüfl olmas›d›r” önermesini sem-bollefltirmemiz için bize afla¤›daki sembollefltirme anahtar› verilmifl olsun.

p: Ali mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›flt›r.q: Ali tüm al›flt›rmalar› çözmüfltür. r: Ali mant›k dersinden geçer.

‹kinci ad›mda elde etti¤imiz ((Ali mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›flt›r ∧ Alitüm al›flt›rmalar› çözmüfltür) → Ali mant›k dersinden geçer) ifadesinde, basit öner-meler yerine, bize verilen sembollefltirme anahtar›na uygun olarak, önerme de¤ifl-kenlerini koyarsak afla¤›daki sembolik önerme elde edilir:

((p ∧ q) → r)

fiimdi, e¤er istersek, ikinci ünitede belirledi¤imiz kurallara uygun olarak kimiparantezleri eleyebiliriz. Buna göre, ((p ∧ q) → r) önermesinden p ∧ q → r sem-bolik önermesi elde edilir.

E¤er bize, “Ali’nin mant›k dersinden geçmesinin yeterli bir koflulu, Ali’nin man-t›k dersine düzenli olarak çal›flm›fl ve tüm al›flt›rmalar› çözmüfl olmas›d›r” önerme-si için farkl› bir sembollefltirme anahtar› verilmifl olsayd›, elde edece¤imiz sembo-lik önerme de farkl› olacakt›. Örne¤in, bize yukar›daki sembollefltirme anahtar› ye-rine, afla¤›daki sembollefltirme anahtar› verilmifl olsun:

r: Ali mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›flt›r.t: Ali tüm al›flt›rmalar› çözmüfltür. s: Ali mant›k dersinden geçer.

Bu sembollefltirme anahtar›na göre, elde edece¤imiz sembolik önerme ((p ∧ q)→ r)de¤il, ((r ∧ t) → s) sembolik önermesi olacakt›.§

“Ali’nin mant›k dersinden geçmesinin gerekli bir koflulu, Ali’nin mant›k dersinedüzenli olarak çal›flm›fl ve tüm al›flt›rmalar› çözmüfl olmas›d›r” önermesini sembol-lefltirmemiz için bize afla¤›daki sembollefltirme anahtar› verilmifl olsun.

p: Ali mant›k dersine düzenli olarak çal›flm›flt›r.q: Ali tüm al›flt›rmalar› çözmüfltür. r: Ali mant›k dersinden geçer.


Sembollefltirmenin üçüncüad›m›, basit önermelerinyerine, sembollefltirmeanahtar›nda verilenkarfl›l›klar› olan, önermede¤iflkenlerininyerlefltirilmesidir.

Sembollefltirme sonundaelde edilen önermede,istersek, okumay› zorlaflt›rankimi parantezleri, ikinciünitede belirledi¤imiz ifllems›ras› kurallar›na uygunolarak, kald›rabiliriz.

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

‹kinci ad›mda elde etti¤imiz (Ali mant›k dersinden geçer → (Ali mant›k dersinedüzenli olarak çal›flm›flt›r ∧ Ali tüm al›flt›rmalar› çözmüfltür)) ifadesinde, basit öner-meler yerine, bize verilen sembollefltirme anahtar›na uygun olarak, önerme de¤ifl-kenlerini koyarsak afla¤›daki sembolik önerme elde edilir:

(r → (p ∧ q))

‹fllem önceli¤i kurallar›na göre, bu sembolik önermede geçen hiçbir parantezinkullan›m› gerekli olmad›¤›ndan, kurallara uygun olarak, (r → (p ∧ q)) sembolikönermesini r → p ∧ q biçiminde yazabiliriz.

fiimdi, sembollefltirmenin aflamalar›n› bir arada s›ralayal›m:1. ad›m: Önerme eklemlerinin eflanlaml›lar› yerine standart önerme eklemleri

yaz›larak, ve noktalamaya uygun olarak, parantezler yerlefltirilerek, önerme-nin standart biçimi elde edilir.

2. ad›m: Önerme eklemlerinin yerine önerme eklemi sembolleri konur.3. ad›m: Basit önermeler yerine, sembollefltirme anahtar›nda verilen önerme

de¤iflkenleri konur.4. ad›m: ‹stenirse, okumada kolayl›k sa¤lamak amac›yla, kimi parantezler

ikinci ünitede belirtti¤imiz ifllem önceli¤i kurallar›na göre kald›r›labilir.

“Hem Ankara’da hem de Eskiflehir’de ya¤mur ya¤acaksa, hem Ankara hem de Es-kiflehir’de, ya¤mur ya¤aca¤›nda trafik s›k›flt›¤›ndan, yar›n Ankara’da ve Eskifle-hir’de trafik s›k›fl›r.” önermesini, afla¤›da verilen sembollefltirme anahtar›na göre,önermeler mant›¤›nda sembollefltirelim:

p: Ankara’da ya¤mur ya¤acak.q: Eskiflehir’de ya¤mur ya¤acak.r: Ankara’da trafik s›k›fl›r.s: Eskiflehir’de trafik s›k›fl›r.

1. ad›m: ((Ankara’da ya¤mur ya¤acak ve Eskiflehir’de ya¤mur ya¤acak) ise((Ankara’da ya¤mur ya¤acak ise Ankara’da trafik s›k›fl›r) ve (Eskiflehir’deya¤mur ya¤acak ise Eskiflehir’de trafik s›k›fl›r)) ise, (Ankara’da trafik s›k›fl›rve Eskiflehir’de trafik s›k›fl›r)))

2. ad›m: ((Ankara’da ya¤mur ya¤acak ∧ Eskiflehir’de ya¤mur ya¤acak) →(((Ankara’da ya¤mur ya¤acak → Ankara’da trafik s›k›fl›r) ∧ (Eskiflehir’deya¤mur ya¤acak → Eskiflehir’de trafik s›k›fl›r)) → (Ankara’da trafik s›k›fl›r ∧Eskiflehir’de trafik s›k›fl›r)))

3. ad›m: ((p ∧ q) → (((p → r) ∧ (q → s)) → (r ∧ s)))4. ad›m: p ∧ q → ((p → r) ∧ (q → s) → r ∧ s)

“Ali’nin zengin olmas›n›n ve kendi iflini kurmas›n›n gerekli flart› Ali’ye piyangodan büyükikramiyenin ç›kmas› ise, Ali ne zengin olabilir ne de kendi iflini kurabilir.” önermesiniafla¤›daki sembollefltirme anahtar›na göre sembollefltiriniz.p: Ali zengin olur.q: Ali kendi iflini kurar.r: Ali’ye piyangodan büyük ikramiye ç›kar.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Ö R N E K

Afla¤›daki ç›kar›m›, verilecek olan sembollefltirme anahtar›na göre sembollefltirelim:E¤er Ahmet gelirinin yeterli olmas›n› istiyorsa, ya harcamalar›n› azaltmas› ya da,harcamalar›n› azaltam›yorsa, gelirini artt›rmaya çal›flmas› gereklidir. Ahmet’ebüyük ikramiye ç›karsa, ne harcamalar›n› azaltmas› ne de gelirini artt›rmaya ça-l›flmas› gereklidir. O halde, Ahmet’e büyük ikramiye ç›kmamas›na ra¤men Ahmetgelirinin yeterli olmas›n› istiyorsa, Ahmet’in ya harcamalar›n› azaltmas› ya da ge-lirini artt›rmaya çal›flmas› gereklidir.

p: Ahmet gelirinin yeterli olmas›n› istiyor.q: Ahmet’in harcamalar›n› azaltmas› gereklidir. r: Ahmet harcamalar›n› azaltabilir.s: Ahmet gelirini artt›rmaya çal›flmas› gereklidir.t: Ahmet’e büyük ikramiye ç›kar.

Öncülleri ve sonuç önermesini tek tek ele alal›m: Birinci öncül: E¤er Ahmet gelirinin yeterli olmas›n› istiyorsa, ya harcamala-

r›n› azaltmas› ya da, harcamalar›n› azaltam›yorsa, gelirini artt›rmaya çal›flmas›gereklidir.

1. ad›m: (Ahmet gelirinin yeterli olmas›n› istiyor ise (Ahmet’in harcamalar›n›azaltmas› gereklidir veya (Ahmet’in harcamalar›n› azaltabilece¤i do¤ru de-¤ildir ise Ahmet’in gelirini artt›rmaya çal›flmas› gereklidir)))

2. ad›m: (Ahmet gelirinin yeterli olmas›n› istiyor → (Ahmet’in harcamalar›n›azaltmas› gereklidir ∨ (~Ahmet harcamalar›n› azaltabilir → Ahmet’in geliriniartt›rmaya çal›flmas› gereklidir)))

3. ad›m: (p → (q ∨ (~r → s)))‹kinci öncül: Ahmet’e büyük ikramiye ç›karsa, ne harcamalar›n› azaltmas› ne de

gelirini artt›rmaya çal›flmas› gereklidir.1. ad›m: (Ahmet’e büyük ikramiye ç›kar ise (Ahmet’in harcamalar›n› azaltma-

s› gerekli de¤ildir ve Ahmet’in gelirini artt›rmaya çal›flmas› gerekli de¤ildir))2. (Ahmet’e büyük ikramiye ç›kar → (~Ahmet’in harcamalar›n› azaltmas› ge-

reklidir ∧ ~Ahmet’in gelirini artt›rmaya çal›flmas› gereklidir))3. (t → (~q ∧ ~s))Sonuç: Ahmet’e büyük ikramiye ç›kmamas›na ra¤men Ahmet gelirinin yeterli

olmas›n› istiyorsa, Ahmet’in ya harcamalar›n› azaltmas› ya da gelirini artt›rmaya ça-l›flmas› gereklidir.

1. ad›m: ((Ahmet’e büyük ikramiye ç›kt›¤› do¤ru de¤ildir ve Ahmet gelirininyeterli olmas›n› istiyor) ise, (Ahmet’in harcamalar›n› azaltmas› gereklidir ve-ya Ahmet’in gelirini artt›rmaya çal›flmas› gereklidir))

2. ad›m: ((~ Ahmet’e büyük ikramiye ç›kar ∧ Ahmet gelirinin yeterli olmas›n›istiyor) → (Ahmet’in harcamalar›n› azaltmas› gereklidir ∨ Ahmet’in geliriniartt›rmaya çal›flmas› gereklidir))

3. ad›m: ((~ t ∧ p) → (q ∨ s))Sonuç olarak, bize verilen ç›kar›m›n, belirtilen sembollefltirme anahtar›na göre,

sembolik önermeler mant›¤›nda sembollefltirilmesi afla¤›daki sembolik ç›kar›md›r.

(p → (q ∨ (~r → s))), (t → (~q ∧ ~s)) ∴ ((~t ∧ p) → (q ∨ s))

Gündelik dildeki bir önermenin, önermeler mant›¤› bak›m›ndan denetlenmesiiki ad›mda gerçekleflir: ‹lk olarak gündelik dil önermesi aç›kça belirtilen bir sem-


Ö R N E K

bollefltirme anahtar›na göre do¤ru biçimde sembollefltirilir. ‹kinci ad›mda, elde et-ti¤imiz sembolik önermeyi, ikinci ünitede gördü¤ümüz do¤ruluk tablosu yöntemiile (ya da baflka bir yöntem ile) denetleyebiliriz.

“E¤er Ali’nin dersten geçmesinin gerekli koflulu Ali’nin derse düzenli çal›flmas› ve al›fl-t›rmalar› çözmesi ise, Ali derse düzenli çal›flmaz ya da al›flt›rmalar› çözmez ise dersigeçmez.” gündelik dil önermesinin semantik statüsünü önermeler mant›¤› bak›m›n-dan denetleyelim. Bunun için afla¤›daki sembollefltirme anahtar›n› kullanal›m:

p: Ali dersi geçer.q: Ali derse düzenli çal›fl›r. r: Ali al›flt›rmalar› çözer.

1. ad›m: (Ali dersi geçer ise, (Ali derse düzenli çal›fl›r ve Ali al›flt›rmalar› çö-zer)) ise, ((Ali’nin derse düzenli çal›flt›¤› do¤ru de¤ildir veya Ali’nin al›flt›r-malar› çözdü¤ü do¤ru de¤ildir) ise Ali’nin dersi geçebilece¤i do¤ru de¤ildir)

2. ad›m: (Ali dersi geçer → (Ali derse düzenli çal›fl›r ∧ Ali al›flt›rmalar› çözer))→ ((~Ali derse düzenli çal›fl›r ∨ ~Ali al›flt›rmalar› çözer) → ~Ali dersi geçer)

3. ad›m: (p → (q ∧ r)) → ((~q ∨ ~r) → ~p)fiimdi sembolik önermenin semantik statüsünü, önermenin do¤ruluk tablosunu

yaparak denetleyelim. Yer kazanmak amac›yla, (p → (q ∧ r)) → ((~q ∨ ~r) → ~p)önermesini A ile gösterece¤iz.

Tablodan görüldü¤ü gibi, gündelik dildeki “E¤er Ali’nin dersten geçmesinin ge-rekli koflulu Ali’nin derse düzenli çal›flmas› ve al›flt›rmalar› çözmesi ise, Ali dersedüzenli çal›flmaz ya da al›flt›rmalar› çözmez ise dersi geçmez.” önermesini sembol-lefltirerek elde etti¤imiz A sembolik önermesi (yani, (p → (q ∧ r)) → ((~q ∨ ~r) →~p) önermesi) sadece D de¤erini ald›¤›ndan, bir totolojidir. Dolay›s›yla, gündelikdildeki önerme de bir totolojidir.

Gündelik dildeki bir ç›kar›m›n sembollefltirilmesi, ç›kar›mda geçen önermelerinsembollefltirilmesinden ibaret oldu¤undan, gündelik dildeki bir ç›kar›m›n, önerme-ler mant›¤› bak›m›ndan denetlenmesi iki ad›mda gerçekleflir: ‹lk olarak gündelikdil ç›kar›m›n› oluflturan önermeler aç›kça belirtilen bir sembollefltirme anahtar›nagöre do¤ru biçimde sembollefltirilir. ‹kinci ad›mda, elde etti¤imiz sembolik ç›kar›-m›, ikinci ünitede gördü¤ümüz do¤ruluk tablosu yöntemi ile (ya da baflka bir yön-tem ile) denetleyebiliriz.

p q r ~p ~q ~r ~q ∨ ~r q ∧ r p → (q ∧r)) ((~q ∨ ~r) → ~p) A

D D D Y Y Y Y D D D D

D D Y Y Y D D Y Y Y D

D Y D Y D Y D Y Y Y D

D Y Y Y D D D Y Y Y D

Y D D D Y Y Y D D D D

Y D Y D Y D D Y D D D

Y Y D D D Y D Y D D D

Y Y Y D D D D Y D D D


Tablo 3.1

Ö R N E K

“Ahmet ve Mehmet’in arkadafl olabilmelerinin gerekli koflulu, Ahmet Mehmet’inyard›m›n› istedi¤inde Mehmet’in Ahmet’e yard›m etmesidir. O halde, Ahmet Meh-met’in yard›m›n› isterse, ya Mehmet Ahmet’e yard›m eder ya da Ahmet ve Mehmetarkadafl olamazlar.” ç›kar›m›n› önermeler mant›¤› bak›m›ndan denetleyelim:Verilen ç›kar›m› önermeler mant›¤› bak›m›ndan denetleyebilmek için, ilk olarakç›kar›m› önermeler mant›¤›nda sembollefltirelim. Afla¤›daki sembolefltirme anahta-r›n› kullanal›m:

p: Ahmet ve Mehmet arkadafl olabilir. q: Ahmet Mehmet’in yard›m›n› ister.r: Mehmet Ahmet’e yard›m eder.

Öncül: Ahmet ve Mehmet’in arkadafl olabilmelerinin gerekli koflulu, AhmetMehmet’in yard›m›n› istedi¤inde Mehmet’in Ahmet’e yard›m etmesidir.

1. ad›m: (Ahmet ve Mehmet arkadafl olabilir ise (Ahmet Mehmet’in yard›m›n›ister ise Mehmet Ahmet’e yard›m eder))

2. ad›m: (Ahmet ve Mehmet arkadafl olabilir → (Ahmet Mehmet’in yard›m›n›ister → Mehmet Ahmet’e yard›m eder))

3. ad›m: (p → (q → r)) Sonuç: Ahmet Mehmet’in yard›m›n› isterse, ya Mehmet Ahmet’e yard›m eder ya

da Ahmet ve Mehmet arkadafl olamazlar.1. ad›m: (Ahmet Mehmet’in yard›m›n› ister ise (Mehmet Ahmet’e yard›m eder

veya Ahmet ve Mehmet’in arkadafl olabilece¤i do¤ru de¤ildir))2. ad›m: (Ahmet Mehmet’in yard›m›n› ister → (Mehmet Ahmet’e yard›m eder

∨ ~Ahmet ve Mehmet arkadafl olabilir))3. ad›m: (q → (r ∨~p))Buna göre, ç›kar›m›n verilen sembollefltirme anahtar›na uygun olarak sembolik

karfl›l›¤› flöyledir:

(p → (q → r)) ∴ (q → (r ∨ ~p))

fiimdi, ç›kar›m›n geçerlili¤ini do¤ruluk tablosu yöntemiyle denetleyebiliriz:

Öncülün do¤ru oldu¤u her sat›rda sonuç önermesi de do¤ru oldu¤undan ç›kar›mgeçerlidir. Bize verilen sembollefltirme anahtar› yerine baflka bir sembollefltirmeanahtar› kullanm›fl olsayd›k bile, yine geçerli bir ç›kar›m elde edecektik. Bu durumher zaman geçerlidir. Gündelik dildeki bir ç›kar›m›n karfl›l›¤› olan sembolik ç›kar›-

p q r q → r p → (q → r) ~p r ∨ ~p q → (r ∨ ~p)

D D D D D Y D D

D D Y Y Y Y Y Y

D Y D D D Y D D

D Y Y D D Y Y D

Y D D D D D D D

Y D Y Y D D D D

Y Y D D D D D D

Y Y Y D D D D D


Tablo 3.2

Ö R N E K

m›n geçerli olmas› seçilen sembollefltirme anahtar›na ba¤l› de¤ildir. Tüm basitönermeleri farkl› birer önerme de¤iflkeni ile sembollefltirmek flart› ile, elde edece-¤imiz tüm sembolik ç›kar›mlar ayn› sonucu verecektir.

Afla¤›daki ç›kar›m› verilen sembollefltirme anahtar›na göre sembollefltiriniz:Kedi ve köpek insan›n yak›n dostlar›d›r ama kedi ve köpek bak›m› zordur. Ahmet yafll› ol-mas›na ra¤men, köpek sahibidir ve köpe¤ine çok iyi bakmaktad›r. O halde, ya Ahmet kö-pe¤ini çok sever ya da köpek bak›m› zor de¤ildir.p: Kedi insan›n yak›n dostudur.q: Köpek insan›n yak›n dostudur.r: Kedi bak›m› zordur.s: Köpek bak›m› zordur.t: Ahmet yafll›d›r.u: Ahmet köpek sahibidir.v: Ahmet köpe¤ine iyi bakmaktad›r. y: Ahmet köpe¤ini çok sever

GÜNDEL‹K D‹LE ÇEV‹RMEÖnermeler mant›¤›n›n bir sembolik önermesinin gündelik dilde bir önerme olarakkarfl›l›¤›, bu önermenin gündelik dile bir çevirisidir. Önermeleri sembollefltirirkenhangi önerme de¤iflkeninin hangi basit önerme ile karfl›lanaca¤›n› gösteren birsembollefltirme anahtar›na ihtiyac›m›z oldu¤unu ve sembollefltirme iflleminin an-cak belli bir sembollefltirme anahtar›na göre yap›labilece¤ini belirtmifltik. Sembo-lik önermeleri gündelik dile çevirirken de, sembolik önermelerdeki önerme de¤ifl-kenlerinin hangi gündelik dil önermesi ile karfl›lanaca¤›n› belirtmemiz gerekir.

Bir sembolik önermede geçen her bir önerme de¤iflkeninin hangi gündelik dilönermesiyle karfl›lanaca¤›n› gösteren bir listeye “çeviri anahtar›” ad› verilir. Göre-ce¤imiz gibi, bir sembolik önermenin hangi gündelik dil önermesine çevrilece¤i,hangi çeviri anahtar›na göre çeviri yapt›¤›m›za göre de¤iflir.

p ↔ ((~r ∧ s) ∨ (t ∧ q)) sembolik önermesi için bir çeviri anahtar›, p, q, r ve s öner-me de¤iflkenlerine hangi gündelik dil önermelerinin karfl›l›k geldi¤ini bildirecektir.Buna göre, bu önerme için bir çeviri anahtar› afla¤›da verilmifltir:

p: Ali mant›k dersini geçebilir. q: Ali tüm al›flt›rmalar› çözer.r: Ali sadece s›nav öncesinde ders çal›fl›r.s: Ali derslerine düzenli çal›fl›r. t: Ali ders notlar›n› okur.

Gündelik dile çevirme ifllemi, sembollefltirme iflleminin tersidir. Dolay›s›yla,gündelik dile çevirme iflleminde, gündelik dil önermelerini sembollefltirirken yap-t›¤›m›z ifllemlerin tersini yapaca¤›z. Ad›m ad›m belirtirsek:

1. ad›m: Verilen sembolik önermede, k›saltma amac›yla eksik b›rak›lm›fl pa-rantezler yerine konur.

2. ad›m: Sembolik önermede geçen önerme de¤iflkenleri yerine, çeviri anah-tar›nda belirtilen gündelik dil önermeleri konur.

3. ad›m: Önerme eklemi sembolleri yerine önerme eklemleri konur. 4. ad›m: Elde edilen ifadeyi do¤al bir gündelik dil önermesine dönüfltürmek

için, parantezler kald›r›larak istenen önerme eklemlerinin yerine eflanlaml›-lar› ve uygun noktalama iflaretleri yerlefltirilir.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Bir sembolik önerme için birçeviri anahtar›, önermedegeçen her bir önermede¤iflkeninin hangi gündelikdil önermesiylekarfl›lanaca¤›n› gösteren birlistedir. Bir sembolikönermenin hangi gündelikdil önermesine çevrilece¤iverilen çeviri anahtar›naba¤l›d›r.

Bir sembolik önermeyigündelik dile çevirirken,sembollefltirme ad›mlar›n›tersine uygular›z.

Ö R N E K

Yukar›daki örnekte geçen (p ↔ ((~r ∧ s) ∨ (t ∧ q))) sembolik önermesini, örnekteverilen çeviri anahtar›na göre gündelik dile çevirelim:

1. ad›m: Eksik parantez olmad›¤› için, bu ad›m›n sonunda (p ↔ ((~r ∧ s) ∨(t ∧ q))) önermesi aynen kal›r. 2. ad›m: (Ali mant›k dersini geçebilir ↔ ((~Ali sadece s›nav öncesinde dersçal›fl›r ∧ Ali derslerine düzenli çal›fl›r) ∨ (Ali ders notlar›n› okur ∧ Ali tüm al›fl-t›rmalar› çözer)))3. ad›m: (Ali mant›k dersini geçebilir ancak ve ancak ((Ali’nin sadece s›navöncesinde ders çal›flt›¤› do¤ru de¤ildir ve Ali derslerine düzenli çal›fl›r) veya(Ali ders notlar›n› okur ve Ali tüm al›flt›rmalar› çözer)))4. ad›m: Ali mant›k dersini ancak ve ancak, sadece s›nav öncesinde ders ça-l›flmay›p derslerine düzenli olarak çal›fl›r veya ders notlar›n› düzenli olarakokur ve tüm al›flt›rmalar› çözerse geçebilir.

Gündelik dile çevirme, bir sembolik ç›kar›m›n geçersiz oldu¤unu göstermekiçin bir yöntem olarak da kullan›labilir. ‹kinci ünitede, “MANTI⁄IN TEMEL KAV-RAMLARI” k›sm›nda, ç›kar›m kavram›n› incelerken, bir tek durumda bir ç›kar›m›ngeçersiz oldu¤una ç›kar›m› oluflturan önermelerin gerçek do¤ruluk de¤erlerine gö-re karar verebilece¤imizi söylemifltik: E¤er, tüm öncülleri do¤ru ve sonuç önerme-si yanl›fl ise, o ç›kar›m geçersizdir. Buna göre, bir A, B, C, ∴ S sembolik ç›kar›m›-n›n geçersiz oldu¤unu göstermek istedi¤imizi kabul edelim. Bunun için, uygun birçeviri anahtar› seçerek, sembolik ç›kar›m› tüm öncülleri do¤ru ancak sonuç öner-mesi yanl›fl olacak flekilde gündelik dile çevirmemiz yeterlidir.

p ∧ q → r ∴ p → r sembolik ç›kar›m›n›n geçersiz oldu¤unu bu ç›kar›m› geçersizbir gündelik dil ç›kar›m›na çevirerek gösterelim. Bunun için afla¤›daki çevirianahtar›n› kullanabiliriz:

p: Saat 20:00 d›r.q: Mevsim k›flt›r.r: Hava kararm›flt›r.

Bu çeviri anahtar›na göre, ç›kar›m›n gündelik dile çevirisini bulal›m:Öncül: p ∧ q → r1. ad›m: ((p ∧ q) → r)2. ad›m: ((Saat 20:00 d›r ∧ Mevsim k›flt›r) → Hava kararm›flt›r)3. ad›m: ((Saat 20:00 d›r ve Mevsim k›flt›r) ise, Hava kararm›flt›r)4. ad›m: Saat 20:00 ve mevsim k›fl oldu¤unda hava kararm›flt›r.Sonuç: p → r1. ad›m: (p → r)2. ad›m: (Saat 20:00 d›r → Hava kararm›flt›r)3. ad›m: (Saat 20:00 d›r ise Hava kararm›flt›r)4. ad›m: Saat 20:00 oldu¤unda hava karar›r. Sonuç olarak, p ∧ q → r ∴ p → r sembolik ç›kar›m›n›n, verilen çeviri anahtar›-

na göre, gündelik dildeki karfl›l›¤›, “Saat 20:00 ve mevsim k›fl oldu¤unda hava ka-rarm›flt›r. O halde, Saat 20:00 oldu¤unda hava karar›r.” ç›kar›m›d›r. Gündelik dilde-ki bu ç›kar›m›n öncülü do¤rudur. Hakikaten, k›fl mevsiminde isek, saat 20:00 dahava kararm›fl olur. Ancak, sonuç önermesi yanl›flt›r. Ço¤u yaz gününde, saat 20:00oldu¤unda bile hava kararmaz. Dolay›s›yla bu ç›kar›m geçersizdir. Bu ise, p ∧ q →r ∴ p → r sembolik ç›kar›m›n›n geçersiz oldu¤unu gösterir.

(p → q) ∨ (q → p) ∴ (p ∨ q) ç›kar›m›n›n geçersiz oldu¤unu, bu sembolik ç›kar›m› gün-delik dilde geçersiz bir ç›kar›ma çevirerek gösteriniz.


Bir sembolik ç›kar›m›ngeçersiz oldu¤unugöstermenin yollar›ndan biri,bu sembolik önermeyigeçersiz bir gündelik dilç›kar›m›na çevirmektir.Bunun için, ç›kar›mda geçenönerme de¤iflkenlerinin,çeviri sonunda öncüllerido¤ru, sonucu yanl›fl birgündelik dil ç›kar›m› eldeedilecek flekilde seçilmesigereklidir.

Ö R N E K

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3


Gündelik dil önermelerini ve ç›kar›mlar›n› öner-meler mant›¤›nda sembollefltirebilmek.Bir gündelik dil önermesinin, önermeler mant›¤›-n›n sembolik dilindeki bir sembolik önerme ola-rak karfl›l›¤›, bu önermenin önermeler mant›¤›n-da sembollefltirilmesidir. Bir ç›kar›m›n önermelermant›¤›nda sembollefltirilmesi ise, ç›kar›m› olufl-turan önermelerin önermeler mant›¤›nda sembol-lefltirilmesinden ve öncüllerle sonuç önermesiaras›na ∴ iflaretinin konulmas›ndan ibarettir. Bir gündelik dil önermesinin semantik statüsü-nün önermeler mant›¤› bak›m›ndan belirlenmesi,bu önermenin, totoloji mi, çeliflme önermesi mi,yoksa olumsal önerme mi oldu¤unun ortaya kon-mas› demektir. Bir ç›kar›m›n denetlenmesi ise, ç›-kar›m›n geçerli mi geçersiz mi oldu¤unun ortayakonmas› demektir. Bir gündelik dil önermesininsemantik statüsünün önermeler mant›¤› bak›m›n-dan belirlenebilmesi veya bir gündelik dil ç›kar›-m›n›n önermeler mant›¤› bak›m›ndan denetlene-bilmesi için, öncelikle bu önermenin veya ç›kar›-m›n önermeler mant›¤›nda sembollefltirilmesi ge-rekir. Bu ünitede, Kalish-Montague (1980) tara-f›ndan kullan›lan üç aflamal› bir yol izledik.Bir gündelik dil önermesini veya ç›kar›m›n› öner-meler mant›¤›nda sembollefltirebilmek için, ilkolarak, basit önermelerin hangi önerme de¤ifl-kenleriyle karfl›lanaca¤›n›n belirlenmesi gerekir.Sembollefltirme sonucunda hangi sembolik öner-menin elde edilece¤i, sembollefltirme anahtar›naba¤l› olarak de¤iflir. Bir gündelik dil önermesindeveya ç›kar›m›nda geçen her bir farkl› basit öner-meyi farkl› bir önerme de¤iflkeni ile efllefltiren birlisteye, “sembollefltirme anahtar›” denir. Hangisembolik önerme veya ç›kar›m›n elde edilece¤i,sembollefltirme anahtar›na ba¤l› olarak de¤iflir.Sembollefltirmenin aflamalar› flu flekilde s›ralana-bilir:1. ad›m: Önerme eklemlerinin eflanlaml›lar› ye-rine standart önerme eklemlerinin yaz›larak, ve,noktalamaya uygun olarak, parantezler yerleflti-rilerek, önermenin standart biçimi elde edilir. 2. ad›m: Önerme eklemlerinin yerine önermeeklemi sembolleri konur.3. ad›m: Basit önermeler yerine, sembollefltirmeanahtar›nda verilen önerme de¤iflkenleri konur. 4. ad›m: ‹stenirse, okumada kolayl›k sa¤lamakamac›yla, kimi parantezler ikinci ünitede belirtti-¤imiz ifllem önceli¤i kurallar›na göre kald›r›labilir. Gündelik dildeki bir önermenin veya ç›kar›m›nönermeler mant›¤› bak›m›ndan denetlenmesi iki

ad›mda gerçekleflir: ‹lk olarak gündelik dil öner-mesi veya ç›kar›m› aç›kça belirtilen bir sembol-lefltirme anahtar›na göre do¤ru biçimde sembol-lefltirilir. ‹kinci ad›mda, elde etti¤imiz sembolikönermenin semantik statüsünü veya ç›kar›m›ngeçerlili¤ini, ikinci ünitede gördü¤ümüz do¤ru-luk tablosu yöntemi ile (ya da baflka bir yöntemile) denetleyebiliriz.Önermeler mant›¤› bak›m›ndan, hangi sembol-lefltirme anahtar›n› kulland›¤›m›z, sonuç olarakelde etti¤imiz sembolik önermenin semantik sta-tüsünü ya da elde etti¤imiz sembolik ç›kar›m›ngeçerli olup olmad›¤›n› etkilemez. Tüm basit öner-meleri farkl› birer önerme de¤iflkeni ile sembol-lefltirmek flart› ile, elde edece¤imiz tüm sembolikönerme ve ç›kar›mlar ayn› sonucu verecektir.

Sembolik önerme ve ç›kar›mlar› gündelik dile çe-virebilmek ve gündelik dildeki önerme ve ç›ka-r›mlar› önermeler mant›¤›nda denetleyebilmek.Gündelik dile çevirme ifllemi, sembollefltirme ifl-leminin tersidir. Dolay›s›yla, gündelik dile çevir-me iflleminde, gündelik dil önermelerini sembol-lefltirirken yapt›¤›m›z ifllemlerin tersini yapaca-¤›z. Ad›m ad›m belirtirsek:1. ad›m: Verilen sembolik önermede, k›saltmaamac›yla eksik b›rak›lm›fl parantezler yerine konur. 2. ad›m: Sembolik önermede geçen önerme de-¤iflkenleri yerine, çeviri anahtar›nda belirtilengündelik dil önermeleri konur.3. ad›m: Önerme eklemi sembolleri yerine öner-me eklemleri konur.4. ad›m: Elde edilen ifadeyi do¤al bir gündelikdil önermesine dönüfltürmek için, parantezler kal-d›r›larak istenen önerme eklemlerinin yerine eflan-laml›lar› ve uygun noktalama iflaretleri yerlefltirilir.Gündelik dile çevirme, bir sembolik ç›kar›m›n ge-çersiz oldu¤unu göstermek için bir yöntem ola-rak da kullan›labilir. 2. Ünitede “MANTI⁄IN TE-MEL KAVRAMLARI” k›sm›nda ç›kar›m kavram›n›incelerken, bir tek durumda bir ç›kar›m›n geçer-siz oldu¤una ç›kar›m› oluflturan önermelerin ger-çek do¤ruluk de¤erlerine göre karar verebilece-¤imizi söylemifltik: E¤er, tüm öncülleri do¤ru vesonuç önermesi yanl›fl ise, o ç›kar›m geçersizdir.Bir A, B, C, ... ∴ S ç›kar›m›n›n geçersiz oldu¤u-nu göstermek istedi¤imizi kabul edelim. Bununiçin, uygun bir çeviri anahtar› seçerek, sembolikç›kar›m› tüm öncülleri do¤ru ancak sonuç öner-mesi yanl›fl olacak flekilde gündelik dile çevir-memiz yeterlidir.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç


1. p: Ahmet baflar›l› bir ö¤rencidir.q: Ahmet tüm derslerinden geçmifltir r: Ahmet kopya çekmifltir.

Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, afla¤›daki-lerden hangisi “E¤er kopya çekmiflse, Ahmet tüm ders-lerinden geçmesi durumunda bile baflar›s›z bir ö¤renci-dir” gündelik dil önermesinin sembolik önermeler man-t›¤›n›n dilindeki karfl›l›¤›d›r?

a. (r → (p ∨ q))b. ((r → (q → ~p))c. ((r ∨ ~r) → p)d. (~r → (p ∨ q))e. (r → (p → q))

p: Satranç zeka gelifltiren bir spordur.q: Satrançta baflar›l› olmak için sab›rl› olmak gerekir.r: Ahmet satrançta baflar›l› bir oyuncudur.s: Ahmet sab›rl› bir oyuncudur.t: Ahmet son oynad›¤› satranç oyununu kaybetmifltir.u: Baflar›l› satranç oyuncular› baz› oyunlar› kay-

bedebilir.2-5 sorular›n› yukar›daki sembollefltirme ve çeviri anah-tar›na göre yan›tlay›n›z.

2. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, afla¤›da-kilerden hangisi “Ahmet sab›rl› ve satrançta baflar›l› biroyuncu olmas›na ra¤men, e¤er Ahmet son oynad›¤› sat-ranç oyununu kaybetmifl ise baflar›l› satranç oyuncular›baz› oyunlar› kaybedebilir” gündelik dil önermesininsembolik önermeler mant›¤›n›n dilindeki karfl›l›¤›d›r?

a. ((s → u) ∨ r)b. (u ↔ ((s ∧ r) ∧ t))c. (((s ∧ r) ∧ t) → u)d. (u → (~ s ∨ (s ∧ t)))e. ((s ∧ r) ∧ (t → u))

3. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, afla¤›-dakilerden hangisi “Satranç zeka gelifltiren bir spor ise,sab›rs›z bir oyuncu olan ve son oynad›¤› satranç oyu-nunu kaybeden Ahmet ayn› zamanda satrançta baflar›-s›z bir oyuncudur” gündelik dil önermesinin sembolikönermeler mant›¤›n›n dilindeki karfl›l›¤›d›r?

a. (p → ((~s ∧ t) ∧ ~r))b. (p → ((s ∧ t) ∧ r))c. (p → (~s → (t ∨ ~r)))d. (p → ((~s ∨ t) ∧ ~r))e. ((p → ~s) ∧ (t ∧ ~r))

4. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, “Sat-

rançta baflar›l› olmak için sab›rl› olmak gerekirse, bafla-

r›l› bir satranç oyuncusu olan Ahmet son oynad›¤› sat-

ranç oyununu kaybetmemifltir.” gündelik dil önermesi-

nin sembolik önermeler mant›¤›n›n dilindeki karfl›l›¤›

afla¤›dakilerden hangisidir?

a. (q → (r ∨ ~t))

b. (q → (~r ∧ ~t))

c. (q → (r ∧ ~t))

d. ((q → r) ∧ ~t)

e. ((q → ~r) ∧ ~t)

5. Yukar›daki çeviri anahtar›na göre, (u → (t ∧ r)) sem-

bolik önermesinin gündelik dile çevirisi afla¤›dakiler-

den hangisidir?

a. Baflar›l› satranç oyuncular› baz› oyunlar› kaybe-

debiliyorsa, Ahmet ya baflar›l› bir satranç oyun-

cusudur ya da baflar›l› satranç oyuncular› baz›

oyunlar› kaybedebilir.

b. Baflar›l› satranç oyuncular› baz› oyunlar› kaybe-

debiliyorsa, son oynad›¤› satranç oyununu kay-

betmesine ra¤men Ahmet baflar›l› bir satranç

oyuncusudur.

c. Baflar›l› satranç oyuncular› baz› oyunlar› kaybe-

debiliyorsa, Ahmet baflar›l› bir satranç oyuncusu

ise son oynad›¤› satranç oyununu kaybetmifltir.

d. Baflar›l› satranç oyuncular› baz› oyunlar› kay-

bedebiliyorsa, Ahmet baflar›l› bir satranç oyun-

cusu ise son oynad›¤› satranç oyununu kay-

betmemifltir.

e. Baflar›l› satranç oyuncular› baz› oyunlar› kay-

bedebiliyorsa, Ahmet baflar›s›z bir satranç

oyuncusu ise son oynad›¤› satranç oyununu

kaybetmifltir.

p: Ö¤renmenin yafl› yoktur.

q: Ayfle ‹ngilizce’yi 50 yafl›nda ö¤renmifltir.

r: Ayfle ‹ngilizce’yi çok iyi konuflur.

s: Ayfle ‹ngilizce’de hatas›z yazar.

t: Ayfle Almanca ö¤renmek istemektedir.

u: Ayfle Almanca’y› ö¤renebilir.

v: Almanca ö¤renmek isteyenler için pek çok kay-

nak kitap vard›r.

6-10 sorular›n› yukar›daki sembollefltirme ve çeviri

anahtar›na göre yan›tlay›n›z.



6. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, “Ayfle

‹ngilizce’yi 50 yafl›nda ö¤renmesine ra¤men, ‹ngiliz-

ce’yi çok iyi konuflur ve ‹ngilizce’de hatas›z yazarsa,

ö¤renmenin yafl› yoktur” gündelik dil önermesinin sem-

bolik önermeler mant›¤›n›n dilindeki karfl›l›¤› afla¤›da-

kilerden hangisidir?

a. (p → (q ∧ (r ∧ s)))

b. (p → (q ↔ (r ∧ s)))

c. (q ∧ ((r ∧ s) → p))

d. ((q ∨ (r ∧ s)) → p)

e. (q → (~s ∧ ~t))

7. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, “Ancak

ö¤renmenin yafl›n›n olmamas› durumunda, ‹ngilizce’yi

50 yafl›nda ö¤renmesine ra¤men, Ayfle ‹ngilizce’yi çok

iyi konuflur ve ‹ngilizce’de hatas›z yazar” gündelik dil

önermesinin sembolik önermeler mant›¤›n›n dilindeki

karfl›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. (p → (q ∧ (r ∧ s)))

b. p ↔ (q ∨ (r ∧ s)))c. ((p ↔ q) ∨ (r ∧ s))d. ((p ↔ q) ∧ (r ↔ s))e. p ↔ (q ∧ (r ∧ s)))

8. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, “Ay-

fle’nin ‹ngilizce’yi çok iyi konuflup ‹ngilizce’de hatas›z

yazmas›n›n gerekli bir flart›, Ayfle ‹ngilizce’yi 50 yafl›nda

ö¤renmemifl olmas› veya ö¤renmenin yafl›n›n olmama-

s›d›r” önermesinin sembolik önermeler mant›¤›n›n di-

lindeki karfl›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. (r ∧ s) → ~(q ∨ ~p)

b. (r ∧ s) → ~(q ∨ p)

c. (r ∧ s) → (~q ∨ ~p)

d. (r ∧ s) → (~q ∨ p)

e. (r ∨ s) → ~(q ∨ ~p)

9. Yukar›daki çeviri anahtar›na göre, (t ∧ q → v ∧ u)sembolik önermesinin gündelik dile çevirisi afla¤›daki-lerden hangisidir?

a. Ayfle Almanca’y› ö¤renmek istiyor ve ‹ngilizce’yi50 yafl›nda ö¤renmiflse, Almanca ö¤renmek iste-yenler için pek çok kaynak kitap oldu¤una gö-re Ayfle Almanca’y› ö¤renebilir.

b. Ayfle Almanca’y› ö¤renmek istiyorsa, Ayfle ‹ngi-lizce’yi 50 yafl›nda ö¤renmifltir ve, Almanca ö¤-renmek isteyenler için pek çok kaynak kitap ol-du¤una göre, Ayfle Almanca’y› ö¤renebilir.

c. Ayfle Almanca’y› ö¤renmek istiyorsa ve ‹ngiliz-ce’yi 50 yafl›nda ö¤renmifl olmas› Ayfle’nin Al-manca’y› ö¤renmesi için yeterli ise, Almanca ö¤-renmek isteyenler için pek çok kaynak kitap ol-du¤una göre, Ayfle Almanca’y› ö¤renebilir.

d. Ayfle Almanca’y› ö¤renmek istiyorsa ve ‹ngiliz-ce’yi 50 yafl›nda ö¤renmiflse, Almanca ö¤renmekisteyenler için pek çok kaynak kitap olmas› Ay-fle’nin Almanca’y› ö¤renmesi için yeterlidir

e. Ayfle Almanca’y› ö¤renmek istiyorsa ve ‹ngiliz-ce’yi 50 yafl›nda ö¤renmiflse, Almanca ö¤renmekisteyenler için pek çok kaynak kitap olmas› Ay-fle’nin Almanca’y› ö¤renebilmesi için gerekli birflartt›r.

10. Yukar›daki çeviri anahtar›na göre, (~p → q ∧ (t ∧~u)) sembolik önermesinin gündelik dile çevirisi afla¤›-dakilerden hangisidir?

a. Ö¤renmenin yafl›n›n olmamas›, ‹ngilizce’yi 50yafl›nda ö¤renen ve Almanca’y› da ö¤renmek is-teyen Ayfle’nin Almanca’y› ö¤renmesi için ge-rekli bir flartt›r.

b. Ö¤renmenin yafl›n›n olmad›¤› do¤ru de¤ilse,Ayfle ‹ngilizce’yi 50 yafl›nda ö¤renmifl olmas›-na ra¤men, Almanca’y› da ö¤renmek ister amaö¤renemez.

c. Ö¤renmenin yafl›n›n olmamas› Ayfle’nin ‹ngi-lizce’yi 50 yafl›nda ö¤renmifl olmas› için gerek-lidir ama, Ayfle Almanca’y› ö¤renmek istese deö¤renemez.

d. Ö¤renmenin yafl›n›n olmad›¤› do¤ru de¤ilse, Al-manca’y› da ö¤renmek isteyen Ayfle, ‹ngilizce’yi50 yafl›nda ö¤renmifl ise Almanca’y› ö¤renemez.

e. Ö¤renmenin yafl› yoksa, Almanca’y› da ö¤ren-mek isteyen Ayfle, ‹ngilizce’yi 50 yafl›nda ö¤ren-mifl ise Almanca’y› ö¤renemez.


1. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Sembollefltir-me” konusuna bak›n›z.

2. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Sembollefltir-me” konusuna bak›n›z.

3. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Sembollefltir-me” konusuna bak›n›z.

4. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Sembollefltir-me” konusuna bak›n›z.

5. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Gündelik Di-le Çevirme” konusuna bak›n›z.

6. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin ““Sembollefl-tirme” konusuna bak›n›z.


8. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Sembollefltir-me” konusuna bak›n›z.

9. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Gündelik Di-le Çevirme” konusuna bak›n›z.

10. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Gündelik Di-le Çevirme” konusuna bak›n›z.


1. ad›m: (((Ali zengin olur ve Ali kendi iflini kurar) iseAli’ye piyangodan büyük ikramiye ç›kar) ise (de¤il-dir Ali zengin olur ve de¤ildir Ali kendi iflini kurar))

2. ad›m: (((Ali zengin olur ∧ Ali kendi iflini kurar) →Ali’ye piyangodan büyük ikramiye ç›kar) → (~Alizengin olur ∧ ~ Ali kendi iflini kurar))

3. ad›m: (((p ∧ q) → r) → (~ p ∧ ~ q))

S›ra Sizde 2

Birinci öncül:

1. ad›m: ((Kedi insan›n yak›n dostudur ve köpek in-san›n yak›n dostudur) ve (kedi bak›m› zordur veköpek bak›m› zordur))

2. ad›m: ((Kedi insan›n yak›n dostudur ∧ köpek insa-n›n yak›n dostudur) ∧ (kedi bak›m› zordur ∧ köpekbak›m› zordur))

3. ad›m: ((p ∧ q) ∧ (r ∧ s))4. ad›m: (p ∧ q) ∧ (r ∧ s)

‹kinci öncül:

1. ad›m: (Ahmet yafll›d›r ve (Ahmet köpek sahibidirve Ahmet köpe¤ine çok iyi bakmaktad›r))

2. ad›m: (Ahmet yafll›d›r ∧ (Ahmet köpek sahibidir ∧Ahmet köpe¤ine çok iyi bakmaktad›r))

3. ad›m: (t ∧ (u ∧ v))4. ad›m: t ∧ (u ∧ v)

Sonuç önermesi:

1. ad›m: (Ahmet köpe¤ini çok sever veya de¤ildir kö-pek bak›m› zordur)

2. ad›m: (Ahmet köpe¤ini çok sever ∨ ~ köpek bak›-m› zordur)

3. ad›m: (y ∨ ~ s)4. ad›m: y ∨ ~ s

(p ∧ q) ∧ (r ∧ s), t ∧ (u ∧ v) ∴ y ∨ ~ s

S›ra Sizde 3

Afla¤›daki çeviri anahtar›n› kabul edelim:p: Bugün Dünya Ay ile Günefl aras›na girmifltir.q: Bugün Ay tutulmas› olmufltur.Bu çeviri anahtar›na göre, (p → q) ∨ (q → p) ∴ (p ∨ q)sembolik ç›kar›m›n›n gündelik dile çevirisi: “BugünDünya Ay ile Günefl ay aras›na girmiflse bugün Ay tu-tulmas› olmufltur. Bugün Ay tutulmas› olmuflsa bugünDünya Ay ile Günefl aras›na girmifltir. O halde, bugünDünya Günefl ile Ay aras›na girmifltir veya bugün Ay tu-tulmas› olmufltur” ç›kar›m›d›r. Bu ç›kar›m, Ay tutulmas›-n›n olmad›¤› günlerde öncülleri do¤ru ve sonucu yan-l›fl oldu¤undan, geçersizdir.


cilt). Ankara: METU Press.Grünberg, T. ve Onart, A. vd. (2003). Mant›k Terimle-

ri Sözlü¤ü. Ankara: METU Press.Kalish, D., Montague R., Mar, G. (1980) Logic: Techni-

ques of Formal Reasoning. 2. Bask›. New York:Oxford University Press.

Ural, fi. (1995). Temel Mant›k. ‹stanbul: Çantay Kitabe-vi.


Y›ld›r›m, C. (1999). Mant›k: Do¤ru Düflünme Yönte-



Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Çözümleyici çizelge kurallar›n› aç›klayabilecek, Çözümleyici çizelge yöntemi ile önerme eklemleri mant›¤›nda önermelerindo¤ruluk de¤erini ve semantik statüsünü denetleyebilecek,Çözümleyici çizelge yöntemi ile önerme eklemleri mant›¤›nda ç›kar›mlar›n ge-çerlili¤ini ve önermelerin birlikte tutarl› olup olmad›¤›n› denetleyebileceksiniz.

•


• Çözümleyici çizelge kurallar›• Bir önermenin çözümleyici

çizelgesi

• Bir ç›kar›m›n çözümleyici çizelgesi

• Aç›k ve kapal› dal

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NN

N

Sembolik Mant›k

• G‹R‹fi• ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGELER• ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGE ‹LE

ÖNERMELER‹N DENETLENMES‹ • ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGE ‹LE

ÇIKARIMLARIN DENETLENMES‹

4SEMBOL‹K MANTIK

Önerme EklemleriMant›¤›nda ÇözümleyiciÇizelge Yöntemi

G‹R‹fi ‹kinci ünitede, bir önermenin do¤ruluk tablosunu nas›l oluflturaca¤›m›z›, do¤ruluktablosu yöntemi ile bir önermenin semantik statüsünü nas›l belirleyebilece¤imizive bir ç›kar›m›n geçerlili¤ini nas›l denetleyebilece¤imizi görmüfltük. Bu ünitede,önermeler mant›¤› için bir di¤er denetleme yöntemi olan çözümleyici çizelge yön-temini ele alaca¤›z.

Bu ünitenin ilk k›sm›nda, çözümleyici çizelgenin ne oldu¤unu, çözümleyici çi-zelge yöntemine neden gerek duyuldu¤unu ve önerme eklemleri için çözümleyi-ci çizelge kurallar›n› ö¤renece¤iz. ‹kinci k›s›mda, önerme eklemlerine ait çözüm-leyici çizelge kurallar›n› kullanarak, bir önermenin çözümleyici çizelgesini nas›loluflturabilece¤imizi görece¤iz. Bu k›s›mda ayr›ca, çözümleyici çizelgeleri, öner-meler mant›¤›nda sembolik önermeler için do¤rulay›c› ve yanl›fllay›c› yorumlamabulmak ve sembolik önermelerin semantik statüsünü belirlemek için bir yöntemolarak nas›l kullanaca¤›m›z› da görece¤iz. Üçüncü k›s›mda, bir ç›kar›m›n çözümle-yici çizelgesini oluflturmay› ve çözümleyici çizelgeleri ç›kar›mlar›n geçerlili¤ini de-netleme yöntemi olarak kullanabilmeyi ö¤renece¤iz.

ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGELER‹kinci ünitede gördü¤ümüz gibi, do¤ruluk tablosu yöntemi ile bir önermenin se-mantik statüsünü belirleyebilir, bir ç›kar›m›n geçerlili¤ini denetleyebiliriz. Ancak,do¤ruluk tablosu yöntemi önermeler mant›¤› için çok kullan›fll› bir yöntem de¤il-dir. Bunun nedeni, do¤ruluk tablosundaki sat›r say›s›n›n, göz önünde bulundur-mam›z gereken önerme de¤iflkenlerinin say›s› ile orant›l› olarak çok h›zl› artmas›-d›r. ‹kinci ünitede söyledi¤imiz gibi, bir önermede ya da ç›kar›mda geçen önermede¤iflkenlerinin say›s› n ise, bu önermenin ya da ç›kar›m›n do¤ruluk tablosundakisat›r say›s› 2n olmal›d›r. Buna göre, bir önerme ya da ç›kar›m›n do¤ruluk tablosun-daki sat›r say›s›, e¤er bu önerme veya ç›kar›mda 4 önerme de¤iflkeni geçiyorsa 24

= 16, e¤er 5 önerme de¤iflkeni geçiyorsa 25 = 32, 6 önerme de¤iflkeni geçiyorsa 26

= 64 olur. Bu büyüklükte bir do¤ruluk tablosunu hata yapmadan oluflturmaya ça-l›flmak, oldukça zor ve yorucudur. Dolay›s›yla, önermeler mant›¤› için daha kulla-n›fll› denetleme yöntemleri gelifltirmek ve kullanmak gereklidir.

Çözümleyici çizelge yöntemi, bu amaçla gelifltirilmifl denetleme yöntemlerin-den biridir. Çözümleyici çizelge yönteminde, her önerme eklemi için çözümleyiciçizelge kurallar› tan›mlan›r. Çizelgedeki her önerme, ana-eklemine ait kurala göre

Önerme EklemleriMant›¤›nda Çözümleyici

Çizelge Yöntemi

ifllem görür. Çözümleyici çizelge yönteminin ana fikri, bir önermenin do¤ru olma-s› için gereken koflullar›n bir çizgesini (grafi¤ini) oluflturmakt›r. Çözümleyici çizel-ge kurallar› bu ana fikre göre kolayl›kla anlafl›labilir. Çözümleyici çizelge kurallar›alt alta yazma kurallar› ve çatal açma kurallar› biçimindedir. “Çatal açma” ile kas-tetti¤imiz çizelgeye afla¤›daki biçimde iki yeni dal eklemektir:

“Alt alta yazma” kurallar› ise, yeni dallara yol açmadan, sadece mevcut dala ye-ni bir ya da iki önerme eklememizi gerektiren kurallard›r.

Tümel-evetleme: (A ∧ B) tümel-evetleme önermesinin do¤ru olmas› için, A veB önermelerinin birlikte do¤ru olmalar› gereklidir. Buna göre tümel-evetlemeönermesine ait çözümleyici çizelge kural› afla¤›daki gibidir:

m. (A ∧ B)

n. An+1. B

Tikel-evetleme: (A ∨ B) tikel-evetleme önermesinin do¤ru olmas› için, A ve Bönermelerinden en az birinin do¤ru olmas› gereklidir. Buna göre, (A ∨ B) tikel-evetleme önermesine ait çözümleyici çizelge kural› afla¤›daki gibidir:

m. (A ∨ B)

n. A n. B

Çizelgedeki iki noktan›n aras›nda baflka noktalar olabilece¤inden “ “ dikey çizgi, sembo-lünü kulland›k. Örne¤in, yukar›daki çizelgede (A ∨ B) bileflik önermesine çözümleyici çi-zelge kural› hemen uygulanmay›p daha sonraya b›rak›lm›fl olabilir. Baz› örneklerde budurumun ortaya ç›kt›¤›n› görebilirsiniz.

Koflul eklemi: (A → B) koflul önermesinin do¤ru olmas› için, ya A ön-bilefleniyanl›fl olmal› (dolay›s›yla, ~A önermesi do¤ru olmal›) ya da B ard-bilefleni do¤ruolmal›d›r. Buna göre, (A → B) koflul önermesine ait çözümleyici çizelge kural› afla-¤›daki gibidir:

m. (A → B)

n. ~A n. B

Karfl›l›kl› koflul eklemi: (A ↔ B) karfl›l›kl›-koflul önermesinin do¤ru olmas›için, A ve B önermelerinin ya ikisi birden do¤ru olmal›, ya da ikisi birden yanl›fl ol-mal›d›r. Buna göre, (A ↔ B) karfl›l›kl›-koflul önermesine ait çözümleyici çizelgekural› afla¤›daki gibidir:


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Bir önermenin çözümleyiciçizelgesi, bu önermenindo¤ru olmas› için gerekenkoflullar›n bir çizgesini(grafi¤ini) verir.

m. (A ↔ B)

n. A n. ~An+1. B n+1. ~B

Çözümleyici çizelgeleri önermeler mant›¤› için bir denetleme yöntemi olarakkullanabilmek için, bu kurallar›n d›fl›nda, de¤illeme kurallar›na da ihtiyaç vard›r.De¤illeme kurallar›, çözümleyici çizelgede bir bileflik önermenin de¤illemesininnas›l ele al›naca¤›n› belirtir.

Tümel-evetlemenin de¤illenmesi: ‹kinci üniteden bildi¤iniz gibi, ~(A ∧ B) ve(~A ∨ ~B) önermeleri eflde¤erdir. Bu durumda, tümel-evetleme önermesinin de¤illen-mesi kural›, tikel-evetleme eklemine ait çözümleyici çizelge kural›na göre tan›mlan›r:

m. ~(A ∧ B)

n. ~A n. ~B

Tikel-evetlemenin de¤illenmesi: ‹kinci üniteden bildi¤iniz gibi, ~(A ∨ B) ve(~A ∧ ~B) önermeleri eflde¤erdir. Bu durumda, tümel-evetleme önermesinin de¤illen-mesi kural›, tikel-evetleme eklemine ait çözümleyici çizelge kural›na göre tan›mlan›r:

m. ~(A ∨ B)

n. ~An+1. ~B

Koflul önermesinin de¤illenmesi: ‹kinci üniteden bildi¤iniz gibi, ~(A → B)ve (A ∧ ~B) önermeleri eflde¤erdir. Bu durumda, koflul önermesinin de¤illenmesikural›, tümel-evetleme eklemine ait çözümleyici çizelge kural›na göre tan›mlan›r:

m. ~(A → B)

n. An+1. ~B

Karfl›l›kl›-koflul önermesinin de¤illenmesi: ‹kinci üniteden bildi¤iniz gibi,∼(A ↔ B) önermesi, ((A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ B)) önermesine eflde¤erdir. Bu durumda,tikel-evetleme ve tümel evetleme kurallar›na göre, karfl›l›kl› koflul önermesinin de-¤illenmesine ait çözümleyici çizelge kural› afla¤›daki flekilde tan›mlan›r:

m. ~(A ↔ B)

n. A n. ~An+1. ~B n+1. B

634. Ünite - Önerme Eklemler i Mant ›¤ ›nda Çözümley ic i Çize lge Yöntemi

Çözümleyici çizelgedede¤illenmifl bileflikönermelere uygulanacakifllemler de¤illeme kurallar›ile belirlenir.

Çifte de¤illeme kural›: ‹kinci üniteden bildi¤iniz gibi, ~~A önermesi, A önerme-sine eflde¤erdir. Buna göre, çifte de¤illeme (de¤illemenin de¤illenmesi) kural› afla-¤›daki gibi tan›mlan›r.

m. ~~A

n. A

ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGE ‹LE ÖNERMELER‹NDENETLENMES‹

Bir Önermenin Çözümleyici Çizelgesinin Oluflturulmas›Sembolik önermeler mant›¤›nda herhangi bir bileflik önermenin biçimi flunlardankesinlikle biridir: ~A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B). Yani, daha aç›k ifadeedersek, sembolik önermeler mant›¤›nda herhangi bir sembolik önerme:

a. Ya bir önerme de¤iflkeni, ya bir de¤illeme önermesi, ya bir tümel-evetleme-li önerme, ya bir tikel-evetlemeli önerme, ya bir koflul önermesi, ya da kar-fl›l›kl›-koflul önermesidir ve

b. Bu biçimlerden sadece birine sahiptir. Dolay›s›yla, sembolik önermeler mant›¤›nda, bir sembolik önermenin bu bi-

çimlerden birine sahip olmamas› veya bu biçimlerden birden fazlas›na sahip olma-s› mümkün de¤ildir. Buna göre, bir sembolik önermenin, örne¤in, hem biçimi ~Aolan bir de¤illeme önermesi hem de biçimi (A ∧ B) olan bir tümel-evetlemeli öner-me olmas› mümkün de¤ildir. Sembolik önermeler mant›¤›n›n dilinin (ve daha son-raki ünitelerde ele alaca¤›m›z sembolik niceleme mant›¤›n›n dilinin) “tekbiçimlilik”olarak adland›r›lan bu sentaktik özelli¤i, basit bir gözlem de¤il kan›tlanmas› gere-ken bir yönüdür. Ancak, bu kan›tlama daha ileri mant›k derslerinin konusu oldu-¤undan, burada bu önemli özelli¤i sadece belirtmekle yetiniyoruz. Tek-biçimlili¤inönemi, bir sembolik önermeye hangi kural› uygulayaca¤›m›zdan emin olmam›z›sa¤lamas›d›r. Örne¤in, bir önermenin hem biçimi ~A olan bir de¤illeme önermesihem de biçimi (A ∧ B) olan bir tümel-evetlemeli önerme olabilece¤ini kabul ede-lim. Bu önermenin do¤ruluk tablosunu ya da çözümleyici çizelgesini yaparken, tü-mel evetleme kural›n› m›, yoksa de¤illeme kurallar›ndan birini mi uygulayaca¤›m›-z› bilemezdik.

fiimdi, önermeler mant›¤›nda bir sembolik önermenin çözümleyici çizelgesininas›l oluflturaca¤›m›z› görelim. Çizelgeden bahsederken, çizelgedeki her numaral›önermeye bir “nokta”, 1. numaral› noktaya çizelgenin “kökü”, kökten en afla¤›yakadar birbirini izleyen noktalara bir “dal” ad›n› verece¤iz.

Belirtti¤imiz gibi, çözümleyici çizelgesini yapmak istedi¤imiz önerme, ya birönerme de¤iflkenidir ya da, bir bileflik önerme ise, ~A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B),(A ↔ B) biçimlerinden kesinlikle birine sahip olacakt›r. E¤er, önerme bir önermede¤iflkeni ise, çözümleyici çizelgesi basitçe afla¤›daki gibidir:

1. A

E¤er kökteki önerme bir bileflik önerme ise, o önermenin ana-eklemine ait çö-zümleme kural›na göre devam edilir. Bu flekilde devam edilerek dallar oluflturulur.Çizelgeye yazd›¤›m›z her bir önermenin numaras›n› ve bu önermenin hangi nok-taya çözümleyici çizelge kural› uygulanmas›ndan dolay› yaz›ld›¤›n›n belirtilmesigerekir. Hangi çözümleyici çizelge kural›n›n uyguland›¤›n› belirtmeye gerek yok-


Sembolik önermelermant›¤›nda her sembolikönermenin bir tek biçimi ve,bileflik önerme ise, bir tekana-eklemi vard›r.

Çözümleyici çizelgedeki hernumaral› önerme çizelgedebir nokta, 1 numaral› tepenoktas›na çizelgenin kökü,kökten itibaren afla¤›yado¤ru birbirini izleyenönermeler dizisine bir daldenir.

tur. Çünkü hangi noktadaki önermeye ifllem uyguland›¤› biliniyorsa, zaten o öner-meye uygulanabilecek eleme kural›, aç›kça, önermenin ana-eklemine ait elemekural›d›r. Buna göre, çözümleyici çizelgedeki -kök hariç- tüm önermeler afla¤›da-ki biçimde yaz›lmal›d›r.

n. A (k)

Burada n. kökten itibaren say›ld›¤›nda A önermesinin kaç›nc› önerme oldu¤u-nu belirtir. Çizelgedeki önermelere say› vererek, bu önermelere iflaret ederek ku-ral uygulayabiliriz. (k) say›s› A önermesinin hangi noktadaki önermeye kural uy-gulayarak elde edildi¤ini gösterir. Dikkat edilmesi gereken önemli bir kural, baflkabir dala ait önermeye göre ilerlememektir. Bir dalda ilerlerken, sadece o daldakiönermelere ifllem uygulanabilir.

Bir dalda ilerlerken, sadece o daldaki önermelere ifllem uygulanabilir. Baflka bir dala aitönermeye göre ilerlemek yanl›flt›r.

Bir dalda birbirinin de¤ili olan iki önerme ortaya ç›km›fl ise, o dal “kapal›d›r”denir ve bu durum ortaya ç›kt›¤›nda, o dalda daha fazla devam etmeden, hemendal›n alt›na bir x (çarp›) iflareti konarak, bu iflaretin yan›na o dal›n hangi iki nokta-s›n›n birbirinin de¤ili oldu¤u belirtilir. Dal kapanm›fl ise ya da dalda çözümleyiciçizelge kurallar›ndan birini uygulayabilece¤imiz hiçbir bileflik önerme kalmam›flise, o dal tamamlanm›fl bir dald›r. Tüm dallar tamamland›¤›nda çizelge de tamam-lanm›flt›r. Çizelge tamamland›¤›nda, tüm dallar kapan›r ise, çizelge kapal›d›r.

(p ∧ (p ∨ ~q)) sembolik önermesinin çözümleyici çizelgesini olufltural›m.

1. (p ∧ (p ∨ ~q)) 2. p (1)3. (p ∨ ~q) (1)

4. p (3) 4. ~q (3)

Kök noktas›na (p ∧ (p ∨ ~q)) önermesinin kendisini 1 numaras›yla yazd›k. Buönermenin ana eklemi tümel-evetleme eklemi oldu¤undan, hemen alttaki 2 ve 3numaral› iki noktaya ana bileflenleri alt alta yazd›k. Dalda herhangi bir A önerme-si için hem A hem de ~A önermesi ortaya ç›kmad›¤›ndan ilerlemeye devam etme-liyiz. Dalda bileflik önerme olarak sadece (p ∨ ~q) bulundu¤undan, bu dalda iler-lemek için yap›lmas› gereken ve yap›labilecek tek fley, (p ∨ ~q) tikel-evetlemeönermesine kural uygulamakt›r. Tikel-evetlemenin çözümleyici çizelge kural› ge-re¤i açt›¤›m›z çatal›n iki ucundaki noktalara p ve ~q önermelerini yazd›k. Ortayaç›kan her iki dalda da ifllem uygulanmam›fl bir bileflik önerme bulunmamaktad›r.Çizelge tamamlanm›flt›r.

‹fllem uygulad›¤›n›z bileflik önermelerin yan›na isterseniz bir iflaret koyarak, yapt›¤›n›zifllemleri takip edebilir ve ifllem uygulanmam›fl bir bileflik önerme kalmad›¤›ndan eminolabilirsiniz.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Hem A hem ~A önermesiiçeren bir dal kapal›d›r. Tümdallar› kapanan bir çizelgekapal›d›r. Bir dal kapanm›flise, ya da ifllemuygulanmam›fl bir bileflikönerme içermiyorsatamamlanm›flt›r. Tümdallar› tamamlanm›fl birçizelge tamamlanm›flt›r.

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



((p ∧ (~p ∨ q)) → r) sembolik önermesinin çözümleyici çizelgesini olufltural›m.

1. ((p ∧ (~p ∨ q)) → r)

2. ~(p ∧ (~p ∨ q)) ( 1) 2. r (1)

3. ~p (2) 3. ~ (~p ∨ q) (2)4. ~~ p (3)5. ~q (3)6. p (4)

~(p ↔ (∼ q ↔ p)) önermesinin do¤ruluk çizelgesini oluflturunuz.

Çözümleyici Çizelge ‹le Bir Önermenin Do¤rulukDe¤erinin DenetlenmesiBir önermenin çözümleyici çizelgesini yaparak, önermenin verilen bir do¤rulukde¤erlemesine göre alaca¤› do¤ruluk de¤erini belirleyebiliriz. Bunun için, çizelge-nin köküne önermeyi yazarak çözümleyici çizelge kurallar›na göre ilerleriz. Birdalda ortaya ç›kan her önerme de¤iflkenine ya da de¤illemesine, verilen do¤rulukde¤erlemesine göre do¤ruluk de¤erini yazar›z. E¤er dalda Y de¤eri ortaya ç›karsa,o dal yanl›flt›r ve o dalda daha fazla ilerlemeyiz. E¤er tamamlanan bir dalda tümde¤erler D ise, yani o tamamlanm›fl daldaki tüm önerme de¤iflkenleri ve de¤illen-mifl de¤iflkenler D de¤erini alm›fl ise, o dal do¤rudur denir. Çizelge tamamland›-¤›nda en az bir dal do¤ru ise, çizelgesini yapt›¤›m›z önerme bize verilen do¤rulukde¤erlemesinde do¤rudur. Çizelgeyi yaparken tamamlanm›fl bir do¤ru dal ortayaç›karsa, daha fazla devam etmeden, önermenin verilen do¤ruluk de¤erlemesindedo¤ru oldu¤unu söyleyebiliriz. E¤er tüm dallar yanl›fl ise, önerme bize verilen do¤-ruluk de¤erlemesinde yanl›flt›r. Bu nedenle, bir tek yanl›fl dala bakarak önermeninverilen do¤ruluk de¤erlemesinde yanl›fl oldu¤unu söyleyemeyiz. Önermenin veri-len do¤ruluk de¤erlemesinde yanl›fl oldu¤unu söyleyebilmek için tüm dallar›nyanl›fl olmas› gerekir.

Çözümleyici çizelge yöntemiyle ((p ∧ (~p ∨ q)) → r) sembolik önermesinin p: D, q:Y, r: Y do¤ruluk de¤erlemesine göre alaca¤› de¤eri hesaplayal›m.

1. ((p ∧ (~p ∨ q)) → r)

2. ~(p ∧ (~p ∨ q)) (1) 2. r (1) Y

3. ~p (2) Y 3. ~ (~p ∨ q) (2)4. ~ ~p (3)5. ~ q (3) D6. p (4) D

P


Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Çözümleyici çizelgesiniyaparak, bir önermenin birdo¤ruluk de¤erlemesindekido¤ruluk de¤erinihesaplayabiliriz.

Ö R N E K

Ortada P ile iflaretledi¤imiz tamamlanm›fl dalda tüm de¤erler D oldu¤undan budal do¤rudur. Bir önermenin verilen do¤ruluk de¤erlemesine göre do¤ru olmas›için bir do¤ru dal bile yeterli oldu¤undan, (( p ∧ (~p ∨ q)) → r ) önermesinin p : D,q : Y, r : Y do¤ruluk de¤erlemesine göre do¤ru oldu¤unu söyleyebiliriz.

Çözümleyici Çizelge ‹le Bir Önerme ‹çin Do¤rulay›c›Yorumlama Oluflturulmas›Çözümleyici çizelge yöntemi ile herhangi bir sembolik önerme için do¤rulay›c› yo-rumlama olup olmad›¤›n› denetleyebiliriz. Bir önermenin çözümleyici çizelgesi ta-mamland›¤›nda, kapanmadan kalan her dal o önerme için bir do¤rulay›c› yorum-lama sa¤lar.Do¤rulay›c› yorumlama flu flekilde oluflturulur:

a. Aç›k kalan dalda bir önerme de¤iflkeni de¤illemesiz olarak geçiyor ise, oönerme de¤iflkenine D de¤eri verilir.

b. Aç›k kalan dalda önerme de¤iflkeni de¤illemeli olarak geçiyor ise, o önermede¤iflkenine Y de¤eri verilir.

c. Bir önerme de¤iflkeni önermede geçti¤i halde, aç›k kalan tamamlanm›fl birdalda bu önerme de¤iflkeni ne de¤illemeli ne de de¤illemesiz olarak geçme-yebilir. O dala göre yorumlama yazarken, bu durumdaki de¤iflkenlere iste-di¤imiz de¤eri verebiliriz. Dolay›s›yla, dalda de¤illemeli veya de¤illemesizgeçmeyen her de¤iflken bize iki ayr› do¤rulay›c› yorumlama sa¤lar.

Az önceki örnekte çizelgesini yapt›¤›m›z ((p ∧ (~p ∨ q)) → r) sembolik öner-mesinin çözümleyici çizelgesinde en az bir aç›k dal oldu¤undan, bu sembolikönermenin do¤rulay›c› yorumlamas› vard›r. Yani bu sembolik önerme tutarl›d›r.fiimdi en soldaki aç›k dala göre bir do¤rulay›c› yorumlama olufltural›m. Bu dalda~p geçti¤ine göre p önerme de¤iflkenine Y de¤erini vermeliyiz. Bu dal tamamlan-m›fl olmas›na ra¤men, sadece ~p geçti¤inden, önermede geçen di¤er önerme de-¤iflkenleri q ve r do¤rulay›c› yorumlamada hem D hem Y de¤eri alabilir. Buna gö-re, bu daldan elde edilecek tüm do¤rulay›c› yorumlamalar flunlard›r:

1. p : Y, q : D, r : D2. p : Y, q : D, r : Y3. p : Y, q : Y, r : D4. p : Y, q : Y, r : Y

Çözümleyici çizelgesini oluflturarak, ~(p ∨ (p ∧ ~q)) önermesi için bir do¤rulay›c›yorumlama bulal›m.

1. ~(p ∨ (p ∧ ~q)) 2. ~p (1)3. ~(p ∧ ~q) (1)

4. ~p (3) 4. ~~q (3)5. q (4)

Çizelge tamamland›¤› halde, tamamlanan iki dal da aç›kt›r. Bu nedenle, iki dalabakarak da birer do¤rulay›c› yorumlama oluflturabiliriz. Soldaki aç›k dalda q de¤iflke-ni ne de¤illemeli ne de de¤illemesiz geçmedi¤inden, bu dala göre elde edece¤imiziki do¤rulay›c› yorumlama: p: Y, q: D ve p: Y, q: Y yorumlamalar›d›r. Sa¤daki aç›k da-


Bir sembolik önermeninçözümleyici çizelgesindekiaç›k kalan tamamlanm›fldallara göre önerme içindo¤rulay›c› yorumlamaoluflturabiliriz.

Ö R N E K

Tamamlanm›fl bir aç›k dala göre yorumlama yazarken, o dalda geçmeyen öner-me de¤iflkenlerinin de¤erini “hem D hem de Y de¤erini alabilir” anlam›nda D/Yolarak belirtebiliriz.

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, ((~p ∨ q) → (p ∧ r)) önermesi için do¤rulay›c›yorumlama olufltural›m.

1. ((~p ∨ q) → (p ∧ r))

2. ~ (~p ∨ q) (1) 2. (p ∧ r) (1)3. ~ ~p (2) 3. p (2)4. ~q (2) 4. r (2)5. p (3)

Çizelge tamamlanm›fl ve her iki dal da aç›k kalm›flt›r. Soldaki dala göre olufltu-rabilece¤imiz do¤rulay›c› yorumlamalar p : D, q : Y, r : D/Y do¤ruluk de¤erleme-leridir. Sa¤daki aç›k dala göre ise, p : D, q : D/Y, r : D do¤ruluk de¤erlemeleri do¤-rulay›c› yorumlamalar olarak elde edlir.

Bir önermenin çözümleyici çizelgesinde tamamlanm›fl bir aç›k dal elde edildi-¤inde, di¤er dallar› tamamlamaya gerek duymadan, bu aç›k dala göre bir do¤rula-y›c› yorumlama yazabiliriz.

Çözümleyici çizelgesini oluflturarak, ~~(p ∨ (p ∧ ~q)) önermesi için bir do¤rulay›c›yorumlama bulal›m.

1. ~~(p ∨ (p ∧ ~q))2. (p ∨ (p ∧ ~q)) (1)

3. p (2) 4. (p ∧ ~q) (2)

P

Çizelge tamamlanmad›¤› halde, soldaki tamamlanm›fl aç›k dala göre bir do¤ru-lay›c› yorumlama oluflturabiliriz. Bu dalda p önerme de¤iflkeni de¤illemesiz geçti-¤inden, p de¤iflkenine D de¤erini vermeliyiz. Ancak bu dalda q de¤iflkeni ne de-¤illemeli ne de de¤illemesiz geçmedi¤inden, q do¤rulay›c› yorumlamada hem Dhem de Y de¤erini alabilir. Buna göre, bu daldan elde edece¤imiz iki do¤rulay›c›yorumlama flunlard›r:

p: D, q: D/Y

Tamamlad›¤›m›z bir çözümleyici çizelgeye göre, do¤rulay›c› yorumlama yazarken, sadecebir aç›k dala göre yorumlama oluflturmaya dikkat etmeliyiz. Bir aç›k dala göre bir önermede¤iflkenine, bir baflka dala göre bir di¤er önerme de¤iflkenine de¤er atamak bafllang›çtas›k yap›lan hatalardan biridir.

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, (p ↔ (~q ∧ p)) önermesi için varsa bir do¤rulay›c› yo-rumlama oluflturunuz.


Ö R N E K

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T

2

Çözümleyici Çizelge ‹le Bir Önerme ‹çin Yanl›fllay›c› Yorumlama Oluflturulmas›Bildi¤iniz gibi, bir önermenin yanl›fllay›c› yorumlamas› o önermeyi yanl›fl yapando¤ruluk de¤erlemesidir. Bir önermenin yanl›fl olmas›, önermenin de¤ilinin do¤ruolmas› demek oldu¤undan, bir A önermesi için yanl›fllay›c› yorumlama aramak,önermenin de¤ili olan ~A önermesi için do¤rulay›c› yorumlama aramak demektir.Buna göre, çözümleyici çizelge yöntemi ile, bir önerme için yanl›fllay›c› yorumla-ma ararken, kök olarak ~A önermesini yazarak çözümleyici çizelge kurallar›na gö-re ilerleriz. Tamamlanm›fl aç›k kalan her dal, ~A önermesine do¤rulay›c› yorumla-ma sa¤lad›¤›ndan, A önermesi için bir yanl›fllay›c› yorumlama sa¤lar.

Yukar›daki örnekte, ~~(p ∨ (p ∧ ~q)) önermesi için do¤rulay›c› yorumlama bul-mufltuk. Buna göre, bu yorumlamalar ~(p ∨ (p ∧ ~q)) önermesinin yanl›fllay›c›yorumlamalar›d›r.

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, ((~p ∨ q) → ~(p ∧ r)) önermesi için yanl›fllay›c›yorumlama olufltural›m.

1. ~ ((~p ∨ q) → ~(p ∧ r))2. (~p ∨ q) (1)3. ~~ (p ∧ r) (1)4. (p ∧ r) (3)

5. ~p (2) 5. q (2)6. p (4) 6. p (4)7. r (4) 7. r (4)

× P

Sa¤daki tamamlanm›fl aç›k dala göre, p: D, q: D, r: D oldu¤u durumda ~((~p∨q) → ~(p ∧ r)) önermesi do¤ru, dolay›s›yla ((~p ∨ q) → ~(p ∧ r)) önermesi yan-l›flt›r. Bu durumda, p: D, q: D, r: D do¤ruluk de¤erlemesi ((~p ∨ q) → ~(p ∧ r))önermesinin yanl›fllay›c› yorumlamas›d›r. 4 numaral› önerme olan (p ∧ r) önerme-sinin her iki dalda da ayr› ayr› ifllem gördü¤üne dikkat ediniz. Bu önerme her ikidala da aittir ve bu nedenle her iki dalda da kullan›labilir.

‹kinci ünitede, bir önermenin totoloji olmas›n›n, önermenin de¤illemesininçeliflki önermesi olmas› demek oldu¤unu aç›klam›flt›k. Buna göre, bir A sembo-lik önermesinin totoloji önermesi olup olmad›¤›n›, ~A önermesinin çözümleyiciçizelgesini oluflturarak denetleyebiliriz. E¤er ~A önermesinin çözümleyici çizel-gesinde tüm dallar kapan›rsa, ~A önermesinin do¤rulay›c› yorumlamas› yok de-mektir. Yani, A önermesinin yanl›fllay›c› yorumlamas› yoktur ve A önermesi birtotolojidir. ~A önermesinin tamamlanm›fl çözümleyici çizelgesinde en az biraç›k dal kal›rsa, ~A önermesinin en az bir do¤rulay›c› yorumlamas› var demek-tir. Yani, A önermesinin yanl›fllay›c› yorumlamas› vard›r ve A önermesi bir toto-loji de¤ildir.


Ö R N E K

Ö R N E K

Bir önermenin de¤ilininçözümleyici çizelgesikapan›r ise, önermetotolojidir.

(p → (q → p)) önermesinin bir totoloji önermesi oldu¤unu, çözümleyici çizelgeyöntemi ile gösterelim:

1. ~(p → (q → p))2. p (1)3. ~(q → p) (1)4. q (3)5. ~p (3)

× (2,5)

((p →(q→ r)) → ((p → q) → (p → r))) önermesinin bir totoloji önermesi oldu¤u-nu, çözümleyici çizelge yöntemi ile gösterelim:

1. ~((p → (q→ r)) → ((p → q) → (p → r)))2. (p → (q→ r)) (1)3. ~((p → q) → (p → r)) (1)4. (p → q) (3)5. ~(p → r) (3)6. p (5)7. ~r (5)

8. ~p (4) 8. q (4)× (6,8)

9. ~p (2) 9. (q→ r) (2)× (6, 9)

10. ~q (9) 10. r (9)× (8, 10) × (7, 10)

Bir önermenin çözümleyici çizelgesini olufltururken, ço¤u zaman birden çokseçenek karfl›m›za ç›kar. Bir dalda ilerlerken ortaya ç›kan iki ya da daha fazla sa-y›da bileflik önermeden hangisini ilk olarak ele alaca¤›m›za karar vermek duru-munda kal›r›z. Afla¤›daki iki ipucunun faydal› olaca¤›n› göreceksiniz:

1. Çözümleyici çizelge yöntemi ile bir önermenin do¤rulay›c› veya yanl›flla-y›c› yorumlamas›n› ararken, çatal açmam›z› gerektiren kurallar›n alt altayazmam›z› gerektiren kurallara önceli¤i vard›r.

2. Çözümleyici çizelge yöntemi ile ~A önermesinin çözümleyici çizelgesini olufl-turarak A önermesinin totoloji oldu¤unu göstermeye çal›fl›rken, alt alta yazmagerektiren kurallar›n çatal açmam›z› gerektiren kurallara önceli¤i vard›r.

Bu ipuçlar›n›n aç›klamas› basittir. Do¤rulay›c› veya yanl›fllay›c› yorumlama arar-ken, aç›k bir dal elde etmek istedi¤imizden olabildi¤ince fazla say›da dal üretme-ye çal›flmal›y›z. A önermesinin totoloji önermesi oldu¤unu göstermek için ~A öner-mesinin çözümleyici çizelgesini tamamlay›p tüm dallar› kapatmaya çal›flt›¤›m›zdaise, olabildi¤ince az dal oluflturarak çizelgeyi tamamlamaya çal›flmam›z gerekir.


Ö R N E K

Ö R N E K

ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGE ‹LE ÇIKARIMLARINDENETLENMES‹Bildi¤iniz gibi, bir ç›kar›m›n geçerli olmas›, tüm öncüllerin do¤ru olmas› halin-de sonucun yanl›fl olamamas› demektir. Buna göre, bir ç›kar›m›n geçerli olupolmad›¤›n› denetlemek öncüller ile sonuç önermesinin de¤illemesinin birliktedo¤ru olup olamayaca¤›n› denetlemek demektir. Dolay›s›yla, çözümleyici çizel-ge ile bir ç›kar›m›n geçerlili¤ini denetlemek için, ilk noktalara öncülleri ve so-nucun de¤illemesini yazar ve çözümleyici çizelge kurallar›na göre ilerleriz. So-nuç olarak, bir ç›kar›m›n çözümleyici çizelgesi afla¤›daki ilk noktalarla bafllayançizelgedir:

1. Birinci öncül2. ‹kinci öncül...n n.inci öncüln+1 Sonucun de¤ili

Ç›kar›m›n çözümleyici çizelgesinde tüm dallar›n kapanmas› durumunda, öncül-ler ile sonucun de¤illemesi birlikte do¤ru olamayaca¤›ndan, denetledi¤imiz ç›ka-r›m geçerlidir. E¤er, çizelge tamamland›¤›nda aç›k en az bir dal kal›rsa, bu dala gö-re, öncüller ve sonuç önermesinin de¤ilini birlikte do¤ru yapan bir yorumlamavard›r ve ç›kar›m geçersizdir.

p → q, ~p → q ∴ q ç›kar›m›n›n geçerlili¤ini çözümleyici çizelge yöntemi ile denet-leyelim.

1. p → q (Öncül)2. ~p → q (Öncül)3. ~q (Sonucun de¤ili)

4. ~p (1) 4. q (1) × (3, 4)

5. ~~p (2) 5. q (2)6. p (5) × (3, 5)

× (4, 6)

Çizelgede tüm dallar kapand›¤› için, p → q, ~p → q ve ~q önermeleri birliktedo¤ru olamaz. Dolay›s›yla, p → q, ~p → q ∴ q ç›kar›m› geçerlidir.


Bir ç›kar›m›n geçerlili¤iniçözümleyici çizelge iledenetlerken tepe noktalaraalt alta öncülleri ve sonuçönermesinin de¤ilini yazar›z.Tüm dallar kapan›rsaç›kar›m geçerlidir.Tamamlanm›fl bir dal aç›kkal›rsa ç›kar›m geçersizdir.

Ö R N E K

p ∨ q, p → r, q → s ∴ r ∨ s ç›kar›m›n›n geçerlili¤ini çözümleyici çizelge yöntemi iledenetleyelim.

1. p ∨ q (Öncül)2. p → r (Öncül)3. q → s (Öncül)4. ~( r ∨ s) (Sonucun de¤ili)5. ~r (4)6. ~s (4)

7. p (1) 7. q (1)

8. ~p (2) 8. r (2) 8. ~q (3) 8. s (3)× (7,8) × (5,8) × (7,8) × (6,8)

Sa¤daki iki dal›n, çizelgedeki 2 numaral› önerme olan (p → r) önermesine ifl-lem uygulanmadan kapand›¤›na dikkat ediniz. Bir önermeye ifllem uygulamadanb›rak›p, o dal›n aç›k kald›¤›n› söyleyemeyiz ancak bir dal› o daldaki bir önermeyeifllem uygulamadan kapatmam›z çözümleyici çizelge kurallar›na uygundur.

Bir ç›kar›m›n geçerli olmas›n›n, ç›kar›m›n öncüllerinin sonucun de¤illemesi ilebirlikte tutars›z olmas› demek oldu¤unu, bir ç›kar›m›n geçersiz olmas›n›n da ç›ka-r›m›n öncüllerinin sonucun de¤illemesi ile birlikte tutarl› olmas› demek oldu¤unubiliyorsunuz. Genel olarak, çözümleyici çizelge yöntemi ile bir grup önermeninbirlikte tutarl› oldu¤unu göstermek için kökten bafllayarak bu önermeleri alt altayazar ve çözümleyici çizelge kurallar›na göre ilerleyerek çizelgeyi tamamlar›z.Tüm dallar kapan›r ise, bu önermelerin tümünün birlikte do¤ru olamayaca¤› anla-fl›l›r ve dolay›s›yla bu önermeler birlikte tutars›zd›r. En az bir aç›k dal kal›rsa, budala göre bu önermelerin tümünü birden do¤ru yapan bir yorumlama oluflturula-bilir ve dolay›s›yla bu önermeler birlikte tutarl›d›r.

Çözümleyici çizelge ile bir grup önermenin birlikte tutarl› oldu¤unu gösterirken ça-tal açma kurallar›n›n, birlikte tutars›z oldu¤unu gösterirken ise alt alta yazma kurallar›-n›n önceli¤i vard›r. Ç›kar›m›n geçerlili¤ini göstermek için, öncüller ile sonucun de¤ili-nin birlikte tutars›z oldu¤un göstermemiz gerekti¤inden, ç›kar›m›n denetlenmesindede alt alta yazma kurallar›n›n önceli¤i vard›r.

(p ↔(p ∧ q)), ~q önermelerinin birlikte tutarl› oldu¤unu çözümleyici çizelge yön-temi ile gösterelim:

1. p ↔ (p ∧ q)2. ~q

3. p (1) 3. ~p (1) 4. p ∧ q (1) 4. ~(p ∧ q) (1)5. p (4) 6. q (4)

× (2,6) 5. ~p (4) 5. ~q (4)


Bir grup önermenin birliktetutarl› olup olmad›¤›n›denetlerken bu önermeleritepedeki ilk noktalara altalta yazarakoluflturdu¤umuz çözümleyiciçizelgede aç›k dal arar›z.Aç›k kalan tamamlanm›fl birdal bize bu önermeleribirlikte do¤rulayan biryorumlama verir.

Ö R N E K

Ö R N E K

Çizelgenin tamamlanmas›na ra¤men sa¤daki her iki dal da aç›k kald›¤›ndan(p ↔ (p ∧ q)), ~q önermelerini birlikte do¤rulayan bir yorumlama oluflturulabi-lir. Bu dallar›n her ikisine göre de, p: Y, q: Y yorumlamas›, (p ↔ (p ∧ q)), ~qönermelerini birlikte do¤rulayan bir yorumlamad›r.

(p ↔ (p ∧ q)), p, ~q önermelerinin birlikte tutars›z oldu¤unu çözümleyici çizelgeyöntemiyle gösterelim.

1. p ↔ (p ∧ q)2. p3. ~ q

4. p (1) 4. ~p (1) 5. p ∧ q (1) 5. ~(p ∧ q) (1)6. p (5) × (2,4) 7. q (5)

× (3,7)

Tüm dallar kapand›¤› için (p ↔ (p ∧ q)), p, ~q önermelerini birlikte do¤ru ya-pan bir yorumlama bulunamaz. Bu nedenle, (p ↔ (p ∧ q)), p, ~q önermeleri bir-likte tutars›zd›r. Sa¤daki dal›n, o dalda ortaya ç›kan 5 numaral› ~(p ∧ q) önermesi-ne ifllem uygulamaya gerek kalmadan kapand›¤›na ddikat ediniz.

(p∨q), ~p, ~q önermelerinin birlikte tutarl› olup olmad›¤›n› çözümleyici çizelge yöntemiile denetleyiniz.


Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3


Çözümleyici çizelge kurallar›n› aç›klayabilmek, Bir önermenin çözümleyici çizelgesi, o önerme-nin do¤ru olmas› için gereken flartlar›n bir çizge-sidir. Buna göre, önerme eklemlerine ait çözüm-leyici çizelge kurallar› flu flekilde tan›mlan›r:

Tümel-evetleme: m. (A ∧ B)

n. An+1. B

Tikel-evetleme: m. (A ∨ B)

n. A n. B

Koflul: m. (A → B)

n. ~A n. B

Karfl›l›kl›-koflul: m. (A ↔ B)

n. A n. ~An+1. B n+1. ~B

Bunlardan baflka, çözümleyici çizelge yöntemiiçin bir de, de¤illeme kurallar›na ihtiyaç vard›r:

Tümel-evetlemenin de¤illenmesi: m. ~(A ∧ B)

n. ~A n. ~B

Tikel-evetlemenin de¤illenmesi: m. ~(A ∨ B)

n. ~An+1. ~B

Koflulun de¤illenmesi: m. ~ (A → B)

n. An+1. ~B

Karfl›l›kl›-koflulun de¤illenmesi: m. ~(A ↔ B)

n. A n. ~A

n+1. ~B n+1. B

Çifte de¤illeme: m. ~~A

n. A

Çözümleyici çizelge yöntemi ile önerme eklemle-ri mant›¤›nda önermelerin do¤ruluk de¤erini vesemantik statüsünü denetleyebilmek,Bir önermenin çözümleyici çizelgesini olufltur-mak için, 1 ile numaralanan “kök” noktas›naönermenin kendisi yaz›l›r ve önermelerin ana-eklemlerine ait çözümleyici çizelge kurallar›nagöre ilerlenir. Kökten en alt noktaya kadar birbi-rini izleyen önermelere bir dal denir. Bir daldabir önermenin kendisi ve de¤ili ortaya ç›karsa odal kapal›d›r. Kapal› bir dal ya da ifllem uygula-nacak bir bileflik önerme kalmam›fl bir dal ta-mamlanm›flt›r. Tüm dallar tamamland›¤›nda çi-zelge de tamamlanm›flt›r. a) Verilen bir do¤ruluk de¤erlemesine göre

önermenin do¤ruluk de¤eri hesaplan›rken,önermenin kendisinin çözümleyici çizelgesiyap›l›r. Bir dalda ortaya ç›kan önerme de¤ifl-kenlerine ve de¤illenmifl önerme de¤iflkenle-rine, verilen do¤ruluk de¤erlemesine göre Dveya Y de¤eri verilir. E¤er bir dalda, bir de-¤iflken ya da de¤illenmifl de¤iflken Y de¤eri-ni al›rsa, o dal yanl›flt›r. Tüm tamamlanm›fldallar yanl›fl ise, önerme verilen do¤ruluk de-¤erlemesinde yanl›flt›r, en az bir tamamlan-m›fl do¤ru dal (tüm de¤iflkenlerin ve de¤il-lenmifl de¤iflkenlerin D de¤erini ald›¤› dal)varsa, önerme verilen do¤ruluk de¤erleme-sinde do¤rudur.

b) Bir önerme için do¤rulay›c› yorumlama arar-ken, önermenin kendisinin çözümleyici çizel-gesi yap›l›r ve tamamlanm›fl bir aç›k dal aran›r.Böyle bir dal varsa, bu dala göre do¤rulay›c›yorumlama yaz›labilir: Bu dalda ortaya ç›kanönerme de¤iflkenleri D de¤erini, de¤ili ortayaç›kan önerme de¤iflkenleri Y de¤erini almal›-d›r. Hiç ortaya ç›kmayan önerme de¤iflkenleriise hem D hem de Y de¤erini alabilir.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç


c) Bir A önerme için yanl›fllay›c› yorumlamaaramak, önermenin de¤ili için do¤rulay›c›yorumlama aramakt›r. Bu nedenle, A öner-mesine yanl›fllay›c› yorumlama ararken, ~A

önermesinin çözümleyici çizelgesinde ta-mamlanm›fl aç›k dal aran›r. Böyle bir dal bu-lunursa, bir önceki maddedeki gibi yorum-lama oluflturulur.

d) Bir önermenin de¤ilinin hiçbir do¤rulay›c› yo-rumlamas› yoksa, önermenin yanl›fllay›c› yo-rumlamas› yok demektir. Buna göre, bir öner-menin totoloji oldu¤unu göstermek için, öner-menin de¤ilinin tamamlanm›fl çözümleyici çi-zelgesinde hiçbir aç›k dal olmad›¤›n› göster-mek gereklidir.

Çözümleyici çizelge yöntemini etkili kullanabil-mek için, kimi kurallar›n yeni dal açmak gerek-tirdi¤ini, kimi kurallar›n ise yeni bir dala yol aç-madan alt alta yazma gerektirdi¤ini göz önündebulundurarak flu ipuçlar›n› de¤erlendiririz. a) Do¤rulay›c› veya yanl›fllay›c› yorumlama arar-

ken, dal açma gerektiren kurallar›n alt altayazma gerektiren kurallara önceli¤i vard›r.

b) Bir önermenin totoloji oldu¤unu göstermeyeçal›fl›rken alt alta yazma kurallar›n›n, dal aç-ma gerektiren kurallara önceli¤i vard›r.

c) Bir önermenin do¤ruluk de¤eri hesaplan›r-ken alt alta yazma kurallar›n›n, dal açma ge-rektiren kurallara önceli¤i vard›r.

Çözümleyici çizelge yöntemi ile önerme eklemleri

mant›¤›nda ç›kar›mlar›n geçerlili¤ini ve önermele-

rin birlikte tutarl› olup olmad›¤›n› denetleyebilmek.

Bildi¤iniz gibi, bir ç›kar›m›n geçerli olmas›, ç›ka-r›m›n öncüllerinin sonucun de¤illemesi ile birlik-te tutars›z olmas› demektir. Bir ç›kar›m›n geçersizolmas› ise, ç›kar›m›n öncüllerinin sonucun de¤il-lemesi ile birlikte tutarl› olmas› demektir. Çözüm-leyici çizelge yöntemi ile, bir grup önermenin bir-likte tutarl› oldu¤unu göstermek için kökten bafl-layarak bu önermeleri alt alta yazar ve çözümle-yici çizelge kurallar›na göre ilerleyerek çizelgeyitamamlar›z. Tüm dallar kapan›r ise, bu önermele-rin tümünün birlikte do¤ru olamayaca¤› anlafl›l›rve dolay›s›yla bu önermeler birlikte tutars›zd›r.En az bir aç›k dal kal›rsa, bu dala göre bu öner-melerin tümünü birden do¤ru yapan bir yorum-lama oluflturulabilir ve dolay›s›yla bu önermelerbirlikte tutarl›d›r. Buna göre, ç›kar›m›n geçerli ol-mas› için afla¤›daki flekilde bafllayan çözümleyiciçizelgenin kapanmas› gerekir (Yani çizelgedekitüm dallar›n kapanmas› gerekir).1. Birinci öncül2. ‹kinci öncül...n n.inci öncüln+1 Sonucun de¤ili Çözümleyici çizelge ile, bir grup önermenin bir-likte tutarl› oldu¤unu göstermeye çal›fl›rken dalaçma kurallar›n›n, bir grup önermenin tutars›zoldu¤unu göstermeye çal›fl›rken alt alta yazmakurallar›n›n, ç›kar›mlar›n geçerlilik denetleme-sinde yine alt alta yazma kurallar›n›n önceli¤ivard›r.

3NA M A Ç


1. Çözümleyici çizelge yönteminin do¤ruluk tablosu yön-temine göre üstün bir yönü afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Daha kolay ö¤renilmesib. Genel olarak daha kullan›fll› bir yöntem olmas›c. Daha do¤ru sonuçlar vermesid. Çözümleyici çizelge yönteminde hata yapman›n

imkans›z olmas›e. Çözümleyici çizelge kurallar›n›n say›s›n›n daha az

olmas›

2. Afla¤›daki çözümleyici çizelgede soru iflaretli yere han-gi önerme gelmelidir?

1. ~(p → (q → p))2. p (1)3. ? (1)

a. ~(q → p)b. ~(p → q)c. (q → p)d. ~(q → q)e. ~(p → p)

3. Afla¤›daki çözümleyici çizelgede soru iflaretli yere han-gi önerme gelmelidir?

1. (p → (q → p))

2. ~p 2. ?

a. (q → p)b. ~(p → q)c. q

d. ~q

e. ~(p → p)

4. Afla¤›daki çözümleyici çizelgede soru iflaretli yerlerehangi iki önerme gelebilir?

1. ?

2. p (1) 2. ~p (1)3. ? (1) 3. p ∧ q (1)

a. p, p ∧ q

b. p ↔ ~(p ∧ q), ~(p ∧ q)c. ~(p ↔ ~(p ∧ q)), ~(p ∧ q)d. p ↔ (p ∧ q), ~(p ∧ q)e. ~(p ↔ (p ∧ q)), ~(p ∧ q)

5. 1. A

n. B n. C× ×

Yukar›daki çözümleyici çizelgeye göre afla¤›dakilerdenhangisi do¤rudur?

a. A önermesi totolojidir.b. A önermesi olumsald›r.c. Çözümleyici çizelge tamamlanmam›flt›r.d. A önermesi çeliflki önermesidir.e. A önermesinin yanl›fllay›c› yorumlamas› yoktur.

6. Bir önermenin çeliflki önermesi oldu¤unu göster-mek için çözümleyici çizelge yöntemine göre ne yap›l-mas› gerekir?

a. Önermenin çözümleyici çizelgesini yap›p tümdallar›n aç›k oldu¤unu göstermek

b. Önermenin çözümleyici çizelgesini yap›p tümdallar›n kapal› oldu¤unu göstermek

c. Önermenin çizelgesini yap›p en az bir aç›k dalbulmak

d. Önermenin de¤ilinin çizelgesini yap›p tüm dal-lar›n kapal› oldu¤unu göstermek

e. Önermenin de¤ilinin çizelgesini yap›p tüm dal-lar›n aç›k oldu¤unu göstermek

7. Bir önermenin tutarl› oldu¤unu göstermek için çö-zümleyici çizelge yöntemine göre ne yap›lmas› gerekir?

a. Önermenin çözümleyici çizelgesini yap›p tümdallar›n aç›k oldu¤unu göstermek

b. Önermenin çözümleyici çizelgesini yap›p tümdallar›n kapal› oldu¤unu göstermek

c. Önermenin çizelgesini yap›p en az bir aç›k dalbulmak

d. Önermenin de¤ilinin çizelgesini yap›p tüm dal-lar›n kapal› oldu¤unu göstermek

e. Önermenin de¤ilinin çizelgesini yap›p tüm dal-lar›n aç›k oldu¤unu göstermek



8. Bir ç›kar›m›n geçerli oldu¤unu göstermek için çözüm-leyici çizelge yöntemine ne yap›lmas› gerekir?

a. Ç›kar›m›n çözümleyici çizelgesini yap›p tüm dal-lar›n aç›k oldu¤unu göstermek

b. Ç›kar›m›n çözümleyici çizelgesini yap›p tüm dal-lar›n kapal› oldu¤unu göstermek

c. Ç›kar›m›n çizelgesini yap›p en az bir aç›k dalbulmak

d. Sonuç önermesinin de¤ilinin çizelgesini yap›ptüm dallar›n kapal› oldu¤unu göstermek

e. Sonuç önermesinin de¤ilinin çizelgesini yap›ptüm dallar›n aç›k oldu¤unu göstermek

9. Çözümleyici çizelge yöntemiyle ilgili afla¤›daki ifade-lerden hangisi do¤rudur?

a. Ç›kar›m›n geçerlili¤ini denetlerken dal açma ku-rallar›n›n önceli¤i vard›r.

b. Önermenin do¤rulay›c› yorumlamas›n› bulurkenalt alta yazma kurallar›n›n önceli¤i vard›r.

c. Önermenin yanl›fllay›c› yorumlamas›n› bulurkendal açma kurallar›n›n önceli¤i vard›r.

d. Alt alta yazma kurallar›n›n her zaman önceli¤ivard›r.

e. Dal açma kurallar›n›n her zaman önceli¤i vard›r.

10.1. ((p ↔ (p ∧ q)) ∧ ~q)2. p ↔ (p ∧ q) (1)3. ~q (1)

4. p (2) 4. ~p (2) 5. p ∧ q (2) 5. ~(p ∧ q) (2)6. p (5) 7. q (5)

× (3,7) 6. ~p (5) 6. ~q (5)

Yukar›daki çözümleyici çizelgeye göre afla¤›dakilerdenhangisi do¤rudur?

a. p: Y, q: Y do¤ruluk de¤erlemesi, ((p ↔ (p ∧ q)) ∧~q) önermesinin bir do¤rulay›c› yorumlamas›d›r.

b. p: Y, q: Y do¤ruluk de¤erlemesi, ((p ↔ (p ∧ q)) ∧~q) önermesinin bir yanl›fllay›c› yorumlamas›d›r.

c. ((p ↔ (p ∧ q)) ∧~q) önermesi bir çeliflki öner-mesidir.

d. ((p ↔ (p ∧ q))∧ ~q) önermesi bir totoloji öner-mesidir.

e. ((p ↔ (p ∧ q)) ∧ ~q) önermesinin do¤rulay›c›yorumlamas› yoktur.

Mant›k Felsefesi

1. Özel Bilimlerin Felsefesi

Her özel bilimin bir bilim felsefesi bulundu¤u gibi, ba-¤›ms›z bir bilim dal› olarak mant›¤›n da bir bilim felsefe-si, yani mant›k felsefesi olmal›d›r. Amac›m›z mant›k felse-fesinin belli bafll› sorunlar›n› k›saca ortaya koymakt›r. An-cak daha önce genel olarak bilim felsefesine ve özel ola-rak mant›k felsefesine niye gereksinme oldu¤unu araflt›r-makta yarar vard›r. Herhangi bir bilim dal›nda o bilime özgü terimleri kapsa-yan birtak›m önermelerin do¤rulu¤u ileri sürülür. Kulla-n›lan terimlerin anlam› ayd›nlat›l›r, ileri sürülen önerme-lerin de do¤rulu¤u temellendirilir. Ancak bir terimin anla-m›n› ayd›nlatmak için anlam› daha önce ayd›nlat›lm›flolan baflka terimlere ve bir önermenin do¤rulu¤unu te-mellendirmek için do¤rulu¤u daha önce temellendirilmiflbaflka önermelere gerek vard›r. K›s›r döngü veya durma-dan gerilemeye düflmemek için anlam› sezgisel olarakkavran›lan ilkel terimler, yani temel kavramlar ve do¤ru-lu¤u sezgisel olarak apaç›k olan ilkel önermeler, yani il-keler’e baflvurmak kaç›n›lmaz bir zorunluluktur. Nitekimçeflitli bilim dallar›nda ilgili bilim adamlar› toplulu¤unun,üzerinde anlaflt›klar› birtak›m temel kavramlar› ve ilkeleripaylaflt›klar›n› ve tüm bilimsel çal›flmalar›n› bu ortaklaflakabul ettikleri temel kavram ve ilkelere dayand›rd›klar›mgözlemliyoruz. Thomas Kuhn’a göre bilimi bilim yapanay›rt edici bir özellik, bilim adamlar› toplulu¤unun temelkavramlar ve ilkeler üzerine anlaflmalar›d›r. Ancak bu tür-lü anlaflmalar süresiz de¤ildir. Kuhn’un ola¤an bilim de-di¤i süreç ile s›n›rlanm›flt›r. Nitekim bilimsel etkinlikler nedenli baflar›l› olursa olsun gene de birtak›m ayk›r›l›klar(anomaliler) ortaya ç›kt›¤›n› görüyoruz. Bu durumda nor-mal bilim süreci bir bunal›m dönemine dönüflüp bilimadamlar› toplulu¤unda temel kavramlar ve ilkeler üzerin-deki anlaflma ve görüfl birli¤i zay›flayarak yerini gittikçeartan anlaflmazl›k ve çat›flmalara b›rak›r. Kuhn’un ola¤an-

d›fl› bilim dedi¤i bu süreçte bilim adamlar› toplulu¤undaeskileriyle uyuflmayan yeni temel kavramlar ve ilkeler(yani yeni bir paradigma) ortaya konulur. Temel kavram-lar ve ilkeler ola¤an bilimin yöntemleriyle de¤erlendirile-medi¤inden, eski ile yeni paradigmalar aras› seçim ola-¤an bilimde yap›lamaz. Bu aflamada bilim ile felsefe vegenellikle serbest kurgu (spekülasyon) aras›ndaki s›n›rkalkm›flt›r. ‹flte belli bir bilim dal›na özgü bilim felsefesi-nin ifllevi, bilimin yöntemleriyle de¤erlendirilemeyen te-mel kavramlar› ve ilkeleri inceleyip seçenekler aras›ndaakla uygun seçimler yap›labilmesini sa¤lamakt›r.

Okuma Parças›


2. Mant›k Felsefesi

Genel olarak bilim felsefesi hakk›nda söylediklerimizedayanarak mant›k felsefesinin amac›n›n mant›k bilimi-nin temel kavramlar›m ayd›nlatmak ve ilkeleri temel-lendirmek oldu¤unu söyleyebiliriz. Ancak tüm ilgilile-rin görüfl birli¤ini sa¤layacak tek çözümler bekleme-mek gerekti¤ini ak›ldan ç›karmamak gerekir. Mant›k felsefesinin belli bafll› sorunlar›n› ortaya koy-mak için mant›k biliminin en önemli temel kavramlar›-n› ve ilkelerini belirtmeliyiz. Mant›k kabaca do¤ru dü-flünmenin bilimidir. Düflünmenin kendisini psikoloji in-celer, mant›k ise yaln›zca düflünmenin do¤rulu¤ununveya daha belirgin olarak, düflünmenin en önemli süre-ci olan ak›l yürütmenin geçerlilik kurallar›m ortaya koy-may› amaçlar. Ça¤dafl sembolik mant›kta bu geçerlilikkurallar› çeflitli matematiksel sistemler olarak dile geti-rilmifltir. T›pk› Eaclides, Lobatchevski ve Riemann geo-metri sistemleri gibi, birbiriyle ba¤daflmayan matema-tiksel mant›k sistemleri kurulmufltur. Ancak bir mate-matik dal› haline gelen günümüzün mant›k bilimi çer-çevesi içinde rakip mant›k sistemlerini de¤erlendiripbunlar aras›nda ak›lc› bir seçim yapmak olanaks›zd›r.‹flte böyle bir ifllem ancak karfl›laflt›r›lan rakip sistemle-rin d›fl›na ç›karak mant›k felsefesi aç›s›ndan yap›labilir.Bu amaçla her düflünür do¤ru düflünme veya geçerliak›l yürütme hakk›ndaki kiflisel sezgileriyle önerilen ra-kip mant›k sistemleri aras›nda bir karfl›laflt›rma yaparakhangisinin sezgilerine daha uygun oldu¤unu araflt›r›r veböylece birini seçer. Ancak ayn› üflünürlerin sezgileribirbiriyle uyuflmayabildi¤inden dolay›, rakip mant›k sis-temler seçebilirler. Mant›k felsefesinde tan›k oldu¤u-muz bu çeliflkili seçimleri do¤al karfl›lamak gerekir. Mant›¤›n bafll›ca ilkelerine gelince, bunlar özdefllik, çe-liflkisizlik ve üçüncü fl›kk›n olmazl›¤› ilkeleridir. Mant›kilkeleri denilen bu ilkeler mant›k felsefesinde tart›flmakonusu olmaktad›r.

Kaynak: Grünberg, T. (1991) “Mant›k Felsefesi”, Felsefe

Dünyas›, Say› 2, s. 8-14,

1. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÇözümleyiciÇizelgeler” konusuna bak›n›z.

2. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÇözümleyiciÇizelgeler” konusuna bak›n›z.

3. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÇözümleyiciÇizelgeler” konusuna bak›n›z.

4. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÇözümleyiciÇizelgeler” konusuna bak›n›z.

5. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÇözümleyiciÇizelge ‹le Önermelerin Denetlenmesi” konu-suna bak›n›z.

6. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÇözümleyiciÇizelge ‹le Önermelerin Denetlenmesi” konu-suna bak›n›z.

7. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÇözümleyiciÇizelge ‹le Önermelerin Denetlenmesi” konu-suna bak›n›z.

8. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÇözümleyiciÇizelge ‹le Ç›kar›mlar›n Denetlenmesi” konusu-na bak›n›z.

9. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÇözümleyiciÇizelge ‹le Önermelerin Denetlenmesi” konu-suna bak›n›z.

10. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “ÇözümleyiciÇizelge ‹le Önermelerin Denetlenmesi” konu-suna bak›n›z.



S›ra Sizde 1

~(p ↔ (~q ↔ p)) sembolik önermesinin do¤ruluk çi-zelgesini oluflturmak için, önermeyi kök noktas›na ya-z›p, çözümleyici çizelge kurallar›na göre ilerleriz:

1. ~(p ↔ (~q ↔ p))

2. p (1) 2. ~p (1)3. ~(~q ↔ p) (1) 3. (~q ↔ p) (1)

4. ~q (3) 4. ~ ~q (3) 4. ~q (3) 4. ~ ~q (3)5. ~p (3) 5. p (3) 5. p (3) 5. ~p (3)

× (2,5) 6. q (4) × (2,5) 6. q (4)

S›ra Sizde 2

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, (p ↔ (~q ∧ p)) öner-mesi için do¤rulay›c› yorumlama oluflturmak için, öner-menin kendisinin çözümleyici çizelgesini yaparak aç›kkalan dal arar›z:

1. (p ↔ (~q ∧ p))

2. p (1) 2. ~p (1)3. (~q ∧ p) (1) 3. ~ (~q ∧ p) (1)4. ~q (3)5. p (3)P

‹flaretledi¤imiz tamamlanm›fl dala göre (sa¤ dalda dahafazla ilerlemeye gerek duymadan), p: D, q: Y de¤erle-mesinin (p ↔ (~q ∧ p)) önermesi için bir do¤rulay›c›yorumlama oldu¤unu söyleyebiliriz.

S›ra Sizde 3

Afla¤›daki çizelgede görülece¤i gibi, (p∨q), ~p, ~q öner-meleri birlikte tutars›zd›r. Tüm dallar kapal› oldu¤uiçin, bu önermeleri birlikte do¤rulayan bir yorumlamabulunamaz.

1. (p ∨ q)2. ~p

3. ~q

4. p (1) 4. q (1)× (2,4) × (3,4)

Grünberg, T. (2000). Sembolik Mant›k El Kitab›. (3cilt). Ankara: METU Press.

Grünberg, T. ve Onart, A. vd. (2003). Mant›k Terimleri

Sözlü¤ü. Ankara: METU Press.Kalish, D., Montague R., Mar, G. (1980) Logic:

Techniques of Formal Reasoning. 2. Bask›. NewYork: Oxford University Press.

Ural, fi. (1995). Temel Mant›k. ‹stanbul: ÇantayKitabevi.

Y›ld›r›m, C. (1976). 100 Soruda Mant›k. ‹stanbul:Gerçek Yay›nevi.

Y›ld›r›m, C. (1999). Mant›k: Do¤ru Düflünme

Yöntemi. ‹stanbul: Bilgi Yay›nevi.

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Niceleyici kavram›n› ve gündelik dildeki nicelemeli önermeleri aç›klayabilecek,Niceleme mant›¤›n›n sembolik dilinin temel kavramlar›n› aç›klayabileceksiniz.


• Yüklem• Niceleyici• Nicelemeli önerme• De¤iflken• Serbest ve ba¤l› de¤iflken

• Bir nicelemenin etki alan›• Aç›k formül• Kapal› formül (önerme)• Ön-nicelemeli normal biçim

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NN

Sembolik Mant›k

• G‹R‹fi• GÜNDEL‹K D‹LDE N‹CELEMEL‹

ÖNERMELER• N‹CELEME MANTI⁄ININ SEMBOL‹K

D‹L‹

5SEMBOL‹K MANTIK

Yüklemler veNiceleyiciler

G‹R‹fi Bundan önceki ünitelerde, önerme eklemlerinin mant›ksal özelliklerini sembolikbir sistem biçiminde ortaya koyan standart sembolik önermeler mant›¤›n› ele ald›k.Önermeler mant›¤›, bu üniteden itibaren ele almaya bafllayaca¤›m›z niceleme man-t›¤›n›n da temelini oluflturmaktad›r. Bir baflka deyiflle, niceleme mant›¤› önermelermant›¤›n›n üzerine kurulmufltur. Çünkü görece¤imiz gibi, niceleme mant›¤› “nice-leyiciler” olarak adland›r›lan ifadelerin yan› s›ra, önerme eklemlerini de içermekte-dir ve önerme eklemleri, önermeler mant›¤›nda tan›mlad›¤›m›z do¤ruluk tablolar›-na ve çözümleyici çizelge kurallar›na göre de¤erlendirilecektir. Bu nedenle, nice-leme mant›¤› konusunda rahat ilerleyebilmek için önermeler mant›¤› konular›n›gerektikçe tekrar etmenizi öneriyoruz.

Bu ünitenin ilk k›sm›nda, gündelik dildeki nicelemeli önermeleri ele alaca¤›z.Bu önermeler, içinde “her” ve “baz›” ifadelerini veya bu ifadelerin eflanlaml›lar›n›bar›nd›ran gündelik dil önermeleridir. Gündelik dilin nicelemeli önermelerinin te-mel özelliklerini kavramam›z, sembolik niceleme mant›¤›n› ö¤renirken ve dahasonra kullan›rken, sezgisel bir bak›fl aç›s› gelifltirmemizi sa¤layacakt›r.

Ünitenin ikinci k›sm›nda, niceleme mant›¤›n›n sembolik dilini ele alaca¤›z. Ni-celeme mant›¤›n›n sembolik dili, önermeler mant›¤›n›n sembolik diline k›yasla çokdaha zengin ve karmafl›kt›r. Bu sayede, niceleme mant›¤› ifade gücü oldukça yük-sek bir mant›k sistemidir. Felsefede ve bilimde karfl›m›za ç›kan pek çok ak›l yürüt-me niceleme mant›¤›nda sembollefltirilip denetlenebilir. Bu nedenle sa¤lam bir ni-celeme mant›¤› bilgisini edinmek, geçerli ak›l yürütmeler gelifltirmek ve geçersizolanlar› saptayabilmek için oldukça yararl› bir araca sahip olmak demektir.

GÜNDEL‹K D‹LDE N‹CELEMEL‹ ÖNERMELERNiceleme mant›¤›nda iki niceleyici temel olarak kabul edilir: “Her” kelimesiyle ifa-de edilen tümel-niceleyici ve “baz›” kelimesiyle ifade edilen tikel-niceleyici. ‹çinde“her” ve “baz›” ifadelerini veya bu ifadelerin eflanlaml›lar›n› bar›nd›ran önermeler“nicelemeli önermeler”dir. Önerme eklemleri gibi, niceleyiciler de gündelik dildefarkl› biçimlerde ifade edilebilmektedir. Bu eflanlaml› ifadelerle karfl›laflt›¤›m›zda,öncelikle bu ifadeleri standart niceleyicilerle de¤ifltirip, buna göre ifllem yapmam›zgerekir.

fiimdi, tümel ve tikel-niceleyiciyi gündelik dilde ifade etmekte kullan›lan kimiifade biçimlerini ele alal›m. Önermeler mant›¤› konusunda da belirtti¤imiz gibi,

Yüklem ve Niceleyiciler

Gündelik dilde, “her” ve“baz›” temel niceleyicilerid›fl›nda, “ço¤u”, “birkaç›”gibi, baflka nicelemeifadeleri de vard›r. Ça¤daflmant›kta bu gibiniceleyiciler de eleal›nmaktad›r. Ancak buniceleyicilerin incelenmesiflimdilik temel mant›¤›n birkonusu de¤ildir.

gündelik dilin ifade zenginli¤i dolay›s›yla gündelik dilde hangi ifadelerin niceleyiciifadeler oldu¤u ve bu ifadelerin ne flekilde yorumlanaca¤› kesin kurallarla belirle-nemez. Bununla birlikte bize yard›mc› olacak önemli noktalar› ortaya koyabiliriz.

Tümel-niceleyici: Gündelik dilde, tümel-niceleyiciyi ifade etmek için “her”kelimesi yerine, “tüm”, “bütün” ifadeleri de kullan›lmaktad›r. Buna göre, afla¤›dakiönermeler niceleme mant›¤› bak›m›ndan ayn› yarg›y› dile getirirler:

Her insan ölümlüdür.Tüm insanlar ölümlüdür.Bütün insanlar ölümlüdür.

Hiçbir niceleyici ifade kullanmadan da tümel-nicelemeli bir önerme ifade edi-lebilir. Nitekim “‹nsan ölümlüdür” dedi¤imizde asl›nda “Her insan ölümlüdür” de-mek isteriz. “Cisimler ›s›t›l›nca genleflir” önermesi de, “Her cisim ›s›t›l›nca genleflir”anlam›na gelir.

Ayr›ca, “bir” ifadesi de ço¤u zaman tümel-niceleyici anlam›nda kullan›l›r. Örne-¤in, “Bir say› çift ise iki ile bölünür” önermesi “Her çift say› iki ile bölünür” anla-m›na gelir.

Tikel-niceleyici: “Baz›” kelimesi yerine “kimi”, “en az bir” ifadeleri de tikel-ni-celeyici anlam›nda kullan›l›r. Buna göre, afla¤›daki önermeler niceleme mant›¤› ba-k›m›ndan ayn› yarg›y› dile getirirler:

Baz› insanlar filozoftur.Kimi insanlar filozoftur.En az bir insan filozoftur.

Tümel-niceleyiciyle eflanlaml› kullan›labildi¤ini söyledi¤imiz “bir” ifadesi kimidurumlarda tikel-niceleyiciyi ifade etmek için de kullan›l›r. Örne¤in, “Bir filozof‘‹nsan herfleyin ölçüsüdür’ demifl” önermesinde “bir” ifadesi tikel-niceleyici anla-m›nda kullan›lmaktad›r. Bu önermenin her filozofun ‘‹nsan herfleyin ölçüsüdür’dedi¤i yarg›s›n› bildirmedi¤i aç›kt›r. Gördü¤ümüz gibi, “bir” ifadesinin hangi du-rumda tikel-niceleyiciyi, hangi durumlarda tümel-niceleyiciyi ifade etti¤i konusun-da dikkatli olmam›z gerekir.

Nicelemeli önermeler sadece, F ve G “insand›r”, “sar›d›r” gibi birer yüklem ol-mak üzere, “Her fley F dir”, “Her F G dir” veya “Baz› fleyler F dir”, “Baz› F G dir”biçimindeki önermeler de¤ildir. Niceleyicileri kullanarak daha karmafl›k önermelerde elde edebiliriz. fiimdi, gündelik dilde daha karmafl›k nicelemeli önermeler olufl-turma yollar›ndan baz›lar›n› ele alal›m.

Önerme eklemlerini birlikte ya da bir önerme eklemini birden çok kez önerme-lere uygulayabildi¤imiz gibi, bir önermede niceleyici ifadeleri birlikte kullanabilirya da, bir niceleyici ifadeyi birden çok kez uygulayabiliriz. Gündelik dilde karma-fl›k niceleme önermelerinin birço¤u böyle iç içe geçmifl niceleyicileri içeren öner-melerdir. “Baz› insanlar tüm hayvanlar› sever”, “Tüm insanlar baz› hayvanlar› se-ver” önermeleri bu türden önermelerdir.

Önerme eklemlerini ilk kez ele ald›¤›m›z ikinci ünitede gördü¤ümüz gibi, her-hangi bir önermeyi de¤illeyebilir ve herhangi iki önermeyi 2-li önerme eklemleriolan “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” veya bunlar›n eflanlaml›lar› ile birlefltire-biliriz. Dolay›s›yla, nicelemeli önermeler de, önerme eklemleri kullan›larak, nice-lemeli ya da nicelemesiz önermeler ile birlefltirilebilir. Örne¤in, “Özgür irade ola-nakl› ise her insan davran›fllar›ndan sorumlu tutulabilir” önermesi, “Özgür iradeolanakl›d›r” ve “Her insan davran›fllar›ndan sorumlu tutulabilir” önermelerinin ko-flul eklemi ile birlefltirilmesi ile elde edilmifltir. “Baz› insanlar filozoftur ancak baz›-lar› filozof de¤ildir” önermesi ise, “Baz› insanlar filozoftur” ve “Baz› insanlar filozof


835. Ünite - Yüklemler ve Nice ley ic i ler

de¤ildir” önermelerinin “ve” ekleminin eflanlaml›s› olan “ancak” ifadesi ile birleflti-rilmesi ile elde edilmifltir.

Niceleyicilerle karmafl›k önermeler elde etmenin di¤er bir yolu bileflik önerme-lerin nicelenmesidir. Örne¤in, “Baz› insanlar zengindir ama mutlu de¤ildir” öner-mesi bu yolla elde edilmifltir. Bu önerme “Baz› insanlar zengindir ve baz› insanlarmutlu de¤ildir” biçiminde yorumlanamaz. “De¤iflken” kavram› ile ilgili ön bilgilergerektirdi¤inden, buna benzer gündelik dil önermelerinin niceleme mant›¤› bak›-m›ndan yap›s›n› yedinci ünitede ele alaca¤›z.

“Baz› insanlar zengindir ama mutsuzdur” önermesi niçin “Baz› insanlar zengindir ve baz›insanlar mutsuzdur” biçiminde yorumlanamaz?

Nicelemeli Önermelerin De¤illenmesiÖnermeler mant›¤›ndan bildi¤iniz gibi, bir A önermesi ile bu önermenin de¤iliolan ~A önermesi aras›ndaki iliflki fludur: A do¤ru ise ~A yanl›fl, A yanl›fl ise ~Ado¤rudur. “De¤illeme kurallar›” diyebilece¤imiz bu kurallar her A önermesi için geçer-lidir. Dolay›s›yla A nicelemeli bir önerme oldu¤unda bu kurallar›n sa¤lanmas› gerekir.fiimdi nicelemeli önermelerin de¤illenmesi konusunu buna göre de¤erlendirelim.

‹lk olarak, tümel-nicelemeli önermelerin de¤illenmesini ele alal›m: “Her F Gdir” önermesinin de¤ili “Baz› F G de¤ildir” önermesidir. “Her F G dir” önermesido¤ru ise F olup G olmayan bir fley olamaz. Dolay›s›yla, “Baz› F G de¤ildir” öner-mesi yanl›fl olur. “Her F G dir” önermesi yanl›fl ise, F olan baz› fleyler G de¤ildir ve“Baz› F G de¤ildir” önermesi do¤ru olur.

“Her F G dir” önermesinin dilbilgisi bak›m›ndan de¤ili olan “Her F G de¤ildir”önermesi “Her F G-olmayand›r” yani “Hiçbir F G de¤ildir” anlam›nda yorumlanabi-lece¤ine dikkat edilmelidir. Oysa “Her F G dir” önermesinin de¤ili “Hiçbir F G de-¤ildir” olamaz. Çünkü bu iki önerme de ayn› anda yanl›fl olabilir. Örne¤in, hem“Her insan filozoftur” önermesi hem de “Hiçbir insan filozof de¤ildir” önermesiyanl›flt›r. Bu iki önermenin birbirinin de¤ili kabul edilmesi de¤illeme kurallar›naayk›r›d›r: A ve ~A önermelerinin ikisi birden yanl›fl olamaz, biri yanl›fl ise di¤erido¤ru olmal›d›r. Bu nedenlerle biz “Her F G dir” önermesinin de¤ili olarak sadece“Baz› F G de¤ildir” önermesini kullanaca¤›z.

fiimdi de tikel-nicelemeli önermelerin de¤illenmesini ele alal›m. “Baz› F G dir”önermesinin de¤ili “Baz› F G de¤ildir” önermesi de¤il, “Hiçbir F G de¤ildir” öner-mesidir. Bunun nedenini kolayca görebiliriz: Ço¤u durumda, hem “Baz› F G dir”önermesi hem de “Baz› F G de¤ildir” önermesi birlikte do¤rudur. Örne¤in, hem“Baz› insanlar filozoftur” önermesi hem de “Baz› insanlar filozof de¤ildir” önerme-leri do¤rudur. Buna göre, “Baz› F G dir” önermesinin de¤ili “Baz› F G de¤ildir”önermesi olamaz çünkü de¤illeme kurallar› gere¤i A ve ~A önermelerinin ikisi bir-likte do¤ru olamaz.

Nicelemeli Ç›kar›mlar ve Önermeler Mant›¤›En az bir nicelemeli önerme içeren ç›kar›mlara “nicelemeli ç›kar›m” diyelim. Sem-bolik önermeler mant›¤›n›n dili, sadece önerme eklemleri ve önerme de¤iflkenleriüzerine kurulu oldu¤u için, oldukça s›n›rl›d›r. Bu nedenle, sezgisel olarak geçerlibaz› nicelemeli ak›l yürütmelerin do¤ru biçimde de¤erlendirilmesinde sembolikönermeler mant›¤› yetersiz kal›r. Klasik bir örnek olarak:

(1) Her insan ölümlüdürSokrates bir insand›r` Sokrates ölümlüdür

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

“Her F G dir” önermesininde¤ili olarak, sadece, “Baz›F G de¤ildir” önermesinikullanaca¤›z.

“Baz› F G dir” önermesininde¤ili, “Hiçbir F G de¤ildir”önermesidir.


ç›kar›m›n› ele alal›m. Bu ç›kar›m ve bu biçimdeki tüm ç›kar›mlar, sezgisel olarakaç›kça geçerli olduklar› halde, önermeler mant›¤›n›n dilinde ancak

(2) p, q ` rfleklinde sembollefltirilebilir. Oysa (2) önermeler mant›¤›nda geçersiz bir sembolikç›kar›md›r. Demek ki, (1) gündelik dil ç›kar›m› önermeler mant›¤›nda de¤erlendi-rildi¤inde geçersizdir.

(1) ç›kar›m›n›n geçerli olmas›, içinde geçen “her” ifadesinin anlam›na ve içindegeçen önermelerdeki “F bir G dir” biçimine ba¤l›d›r. Hakikaten, A bir varl›¤›n ad›,F ve G herhangi iki yüklem olmak üzere

(3) Her F G dirA bir F dir` A G dir

biçimindeki tüm ç›kar›mlar, sezgisel olarak geçerli ç›kar›mlard›r. Bir di¤er örnek:(4) Sokrates filozoftur

Sokrates insand›r` Baz› insanlar filozoftur

Bu ç›kar›m da geçerli oldu¤u halde, sembolik önermeler mant›¤›nda ancak (5) p, q ` r

fleklinde sembollefltirilebilir. Az önce de belirtti¤imiz gibi, bu sembolik ç›kar›m daönermeler mant›¤›nda geçersizdir. Dolay›s›yla, (4) ç›kar›m› önermeler mant›¤› bak›-m›ndan geçersizdir. Bu ç›kar›m›n geçerli olmas›, içinde geçen “baz›” ifadesine ve yi-ne, içinde geçen önermelerdeki “F bir G dir” biçimine dayanmaktad›r. Hakikaten,

(6) A bir F dirA bir G dir_` Baz› F G dir

biçimindeki tüm ç›kar›mlar, sezgisel olarak geçerli ç›kar›mlard›r. (1) ve (4) ç›kar›mlar› gibi, sezgisel olarak geçerli ancak geçerlilikleri önermeler

mant›¤›nda belgelenemeyen ç›kar›mlar›n varl›¤›, önermeler mant›¤›ndan dahagüçlü bir mant›k sistemine ihtiyac›m›z oldu¤unu ortaya koymaktad›r. (1) ve (4) ç›-kar›mlar›n›n sezgisel olarak geçerli olmalar›n›n, bu ç›kar›mlar› oluflturan önerme-lerin özne-yüklem yap›s›na ve içerdikleri “her” ve “baz›” ifadelerinin anlam›na da-yand›¤›n› görebiliyoruz. Buna göre, ihtiyaç duydu¤umuz mant›k sistemi önermele-rin özne-yüklem yap›s›n› ve niceleme özelliklerini ortaya koymal›d›r. Nicelememant›¤›, önermelerin özne-yüklem yap›s›n› ve “her”, “bütün”, “baz›”, “kimi” gibiifadeleri ele alan mant›k sistemidir.

N‹CELEME MANTI⁄ININ SEMBOL‹K D‹L‹Birinci ünitede belirtti¤imiz gibi, bir sembolik dilin belirlenmesi için, öncelikle budilde kullanaca¤›m›z sembolleri belirtmeli, ard›ndan da, bu sembolleri düzgün ifa-deleri oluflturmak için hangi flekillerde bir araya getirebilece¤imizi tan›mlamal›y›z.fiimdi, bu söylediklerimize uygun olarak, niceleme mant›¤›n›n sembolik diliniolufltural›m:

Niceleme mant›¤›n›n sembolik dili afla¤›daki sembolleri içerir:(a) Önerme eklemleri: ~, ∧, ∨, →, ↔(b) Birey de¤iflkenleri: x, y, z, ...(c) Ad sembolleri: A, B, C, ...(d) Yüklem sembolleri: F, G, H, ...(e) Tümel-niceleyici: 6 (“her” olarak okunur)

Tikel-niceleyici: 7 (“baz›” olarak okunur)(f) Parantezler: (, ).

Önermeler mant›¤› ilesezgisel olarak apaç›kgeçerli kimi ç›kar›mlar›nbiçimsel geçerlili¤ini ortayakoyamay›z. “Tüm”, “baz›”ifadelerini ve özne yüklemyap›s›n› ortaya koyan birmant›k sistemi olanniceleme mant›¤› bunedenle önemlidir.

Niceleme mant›¤›n›n düzgün deyimleri iki gruba ayr›l›r: terimler ve formüller. Tan›m : Niceleme mant›¤›n›n terimleri flu flekilde tan›mlanabilir:

(a) Her bir birey de¤iflkeni bir terimdir.(b) Her bir ad sembolü bir terimdir.(c) Baflka hiçbir sembol dizisi bir terim de¤ildir.

Tan›m : Niceleme mant›¤›n›n formülleri flu flekilde tan›mlanabilir:(a) t bir terim ve Y bir yüklem sembolü ise Yt bir formüldür,(b) A bir formül ise ~A bir formüldür,(c) A ve B birer formül ise, (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) ve (A ↔ B) birer

formüldür.(d) ν bir de¤iflken A bir formül ise, 6 ν A ve 7 ν A birer formüldür,(e) Baflka hiçbir sembol dizisi bir formül de¤ildir.Sadece bir yüklem ve onu izleyen bir formülden oluflan Yt biçimindeki formül-

ler “basit formül”, “atomik formül” ya da “atom”, bunun d›fl›ndaki formüller “bile-flik formül” olarak adland›r›l›r. “6” ve “7” sembollerine niceleyici, bir niceleyici vebir v de¤iflkeninden oluflan “6 ν” ve “7 ν” ifadelerine ise “niceleme” diyece¤iz.

(a) x, A birer terimdir.(b) Fx, Gy, HA birer basit (atomik) formüldür. (c) ~ Fx, (HA → ~ Gz) birer bileflik formüldür.(d) 6x Fx, 7y (Gy ∨ Hz) birer bileflik formüldür. (e) Birden çok defa niceleyerek de bir formül elde edebiliriz. Örne¤in, 6x 7y (Fx ∨ Gy) bir bileflik formüldür.

Ad sembollerinin ifllevi, belirli varl›klara iflaret etmektir. Yüklem sembolleri ise,varl›klar›n özelliklerini belirtir. Gündelik dildeki “siyaht›r”, “ö¤rencidir” gibi yük-lemlerin terimlerle birleflerek, “Ahmet ö¤rencidir”, “Kömür siyaht›r” gibi önermele-ri oluflturmas› gibi, yüklem sembolleri de sembolik terimlerle birleflerek formülleriolufltururlar.

Birey de¤iflkenleri gündelik dildeki “bu”, “flu” gibi zamirlerin sembolik dildekikarfl›l›¤›d›r. Aynen “bu” zamirinin hangi varl›¤a iflaret etti¤inin kullan›ld›¤› durumagöre de¤iflmesi gibi, birey de¤iflkenleri de, belirli bir varl›¤a iflaret etmezler ancakbir birey de¤iflkeni yerine belli bir varl›¤a iflaret eden bir sembol konabilir. Bu an-lamda birey de¤iflkenlerini birer “yer tutucu” olarak kabul edebiliriz. Belirli bir var-l›k hakk›nda konuflmak istedi¤imizde, bu de¤iflkenler yerlerini hakk›nda konufl-mak istedi¤imiz varl›¤a ait ad sembolüne b›rak›rlar.

(7) Bu siyaht›r.Tümcesi tek bafl›na do¤ru ya da yanl›fl bir yarg› bildirmez. Bildirebilmesi için, “bu”sözcü¤ünün hangi varl›¤a iflaret etti¤ini bilmemiz gerekir. “F” yüklem de¤iflkeninin“siyaht›r” yüklemini belirtti¤ini kabul edelim. Bu durumda

(8) FxFormülü, x birey de¤iflkeninin hangi varl›¤a iflaret etti¤i bilinmedi¤inden, do¤ru yada yanl›fl bir yarg› bildirmez. (8) formülünü bir önermeye dönüfltürmenin iki yoluvard›r. Birincisi, x de¤iflkeninin yerine belirli varl›¤a iflaret eden bir sembol, yani birad sembolü koymakt›r. Örne¤in, x de¤iflkeninin yerine A ad sembolünü koyarak el-de etti¤imiz FA formülü, A ad sembolünün Düldül’ü iflaret etti¤ini kabul edersekyanl›fl bir önerme olur (Bildi¤iniz gibi, çizgi kahraman Red Kit’in at› olan Düldül be-yazd›r). ‹kinci yol ise, (8) formülünün bafl›na 6x ya da 7x nicelemelerinden birinikoymakt›r. Bu flekilde elde etti¤imiz 6x Fx formülü “Her fley siyaht›r” anlam›na ge-lir ve yanl›flt›r. 7x Fx formülü ise “Baz› fleyler siyaht›r” anlam›na gelir ve do¤rudur.


Ö R N E K

Birey de¤iflkenleri belirlivarl›klara iflaret etmezler,ancak gündelik dildeki “bu”,“flu” zamirleri gibi ifllevgörürler.

Bu söylediklerimizi, niceleme mant›¤›n›n sembolik dilinin sentaktik özellikleri ba-k›m›ndan genel olarak aç›klayabilmek için, niceleme mant›¤› için çözümleyici çizelgekurallar›n› tan›mlarken de ihtiyaç duyaca¤›m›z, “bir nicelemenin etki alan›” kavram›-n› ve buna ba¤l› olarak, “ba¤l› ve serbest de¤iflken” kavramlar›n› tan›mlayaca¤›z.

Tan›m: Bir nicelemenin bir formüldeki etki alan›, o nicelemeyi izleyen formüldür.

7y (Gy ∨ Hz) önermesinde 7y nicelemesinin etki alan› (Gy ∨ Hz) formülüdür. 7ynicelemesinin (7y Gy ∨ Hz) formülündeki etki alan› ise Gy formülüdür.

7y (Gx ∨ 6z Hz) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alan› (Gx ∨ 6z Hz) for-mülüdür. Bu formülde 6z tümel-nicelemesinin etki alan› ise Hz formülüdür.

(7y (Gy ∨ 6z Hz) ↔ 7x Gx) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alan› (Gy ∨6z Hz) formülü, 6z tümel-nicelemesinin etki alan› Hz formülü, 7x tikel-niceleme-sinin etki alan› ise Gx formülüdür.

Tan›m: Bir v de¤iflkenin bir formüldeki bir geçifli, bir 6v veya 7v nicelemesininetki alan›nda ise bu de¤iflkenin bir “ba¤l›” geçiflidir. E¤er, v de¤iflkeninin bu geçi-fli ne 6v ne de 7v nicelemesinin etki alan›nda ise bu de¤iflkenin bir “serbest” ge-çiflidir. Niceleyiciye bitiflik olan birey de¤iflkenleri de ba¤l› kabul edilir. Yani, 6v ve7v nicelemelerinde, niceleyiciye bitiflik olan v de¤iflken geçiflleri ba¤l›d›r.

7y (Gx ∨ 6x Hx) formülünde x de¤iflkeninin alt› çizili olan ilk geçifli hiçbir 6x ve-ya 7x nicelemesinin etki alan›nda olmad›¤›ndan, 7y nicelemesinin etki alan›ndaolmas›na ra¤men, serbesttir. x de¤iflkeninin di¤er tüm geçiflleri ise 6x nicelemesi-nin etki alan›nda oldu¤undan ba¤l›d›r.

Tan›m: Bir formülde tüm de¤iflken geçiflleri ba¤l› ise, bu formül sembolik nicele-me mant›¤›nda bir “kapal› formül” veya “önerme”dir. En az bir serbest de¤iflkengeçifli olan bir formül ise “aç›k formül” olarak adland›r›l›r.

7y (Gx ∨ 6x Hx) formülünde x de¤iflkeninin alt› çizili olan geçifli serbest oldu¤un-dan, 7y (Gx ∨ 6x Hx) bir aç›k formüldür.

Bir v de¤iflkeninin serbest geçifllerini içeren bir aç›k formülü kapal› bir formü-le dönüfltürmenin iki yolu vard›r:

(a) Formülü 7v ya da 6v ile nicelemek(b) v de¤iflkeninin serbest geçiflleri yerine bir ad sembolü koymak

7y (Gx ∨ 6z Hz) aç›k formülünde, x de¤iflkeninin alt› çizili olan serbest geçifli ye-rine A ad sembolünü koymakla 7y (GA ∨ 6z Hz) önermesi elde edilir. Formülü 7xile nicelersek, 7x 7y (Gx ∨ 6z Hz) önermesi, 6x ile nicelersek, 6x 7y (Gx ∨ 6zHz)önermesi elde edilir.

Fz ∧ 7y (6x Gx ∨ Hy) formülünden, z de¤iflkeninin serbest geçifli yerine B adsembolünü koymakla FB ∧ 7y (6x Gx ∨ Hy)) önermesi elde edilir. Formülü 7zile nicelersek 7z (Fz ∧ 7y (6x Gx ∨ Hy))önermesini, 6z ile nicelersek 6z (Fz ∧7y (6x Gx ∨ Hy)) önermesini elde ederiz.


Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Tüm de¤iflken geçiflleri birayn› de¤iflkenle yap›lan birnicelemenin etki alan›ndaolan formüller nicelememant›¤›n›n önermeleridir.

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Bir formülde bir de¤iflkenin hem serbest hem de ba¤l› geçifllerinin olmas› kar›-fl›kl›¤a yol açabilir. Görece¤imiz gibi, bu durumdan kaç›nabiliriz. Niceleme mant›-¤›nda, ayn› de¤iflkenin hem serbest hem de ba¤l› geçifllerini içeren bir formülü, bude¤iflkenin sadece serbest geçiflleri olan eflde¤er bir formül ile ifade edebiliriz. Bunedenle, bundan sonra gerekmedikçe formüllerde bir de¤iflkenin hem serbesthem de ba¤l› geçifllerinin olmamas›na dikkat edece¤iz.

Nicelemeli Önermelerin Geçerlili¤i ve Eflde¤erli¤i‹kinci ünitede, bir önermenin totoloji olmas›n›n bu önermenin tüm do¤ruluk de-¤erlemelerinde do¤ru de¤erini almas› oldu¤unu, iki önermenin eflde¤er olmas›n›nda, bu iki önermenin tüm do¤ruluk de¤erlemelerinde ayn› do¤ruluk de¤erini al-malar› oldu¤unu söylemifltik. Niceleme mant›¤›nda, benzer biçimde, bir önerme-nin geçerli olmas› bu önermenin tüm yorumlamalarda dor¤u de¤erini almas›, ikiönermenin eflde¤er olmas› da , bu önermelerin tüm yorumlamalarda ayn› do¤ru-luk de¤erini almalar› biçiminde tan›mlan›r.

Niceleme mant›¤›nda, formüllerin yorumlanmas›, önermeler mant›¤›nda oldu-¤undan biraz daha karmafl›kt›r. Bu konuyu yedinci ünitede ele alaca¤›z. Oradahem niceleme mant›¤›n›n geçerli önermeleri konusu hem de, nicelemeli önerme-lerin eflde¤erli¤i konusu ayr›nt›l› olarak ele al›nacakt›r. Ancak, flimdiden kimi nice-lemeli önermelerin niceleme mant›¤›n›n geçerli önermeleri oldu¤unu, kimi öner-me çiftlerinin de eflde¤er oldu¤unu söyleyebiliriz.

‹lk olarak, totolojilerin birer örne¤i durumundaki nicelemeli önermeler, yani to-tolojilerde geçen de¤iflkenler yerine niceleme mant›¤›n›n diline ait önermelerinkonmas›yla elde edilmifl olan önermeler, niceleme mant›¤›nda geçerli önermeler-dir. Ayr›ca, önermeler mant›¤› bak›m›ndan birbirini içeren önermelerin birer örne-¤i durumundaki önermeler, niceleme mant›¤› bak›m›ndan da birbirini içerir. Dola-y›s›yla, önermeler mant›¤› bak›m›ndan eflde¤er önerme biçimlerinin birer örne¤idurumundaki nicelemeli önermeler, niceleme mant›¤› bak›m›ndan da eflde¤erönermelerdir.

Afla¤›daki önermeler, birer totoloji örne¤i olmalar›ndan dolay› niceleme mant›¤›-n›n geçerli önermeleridir: (a) FA ↔ FA önermesi, önermeler mant›¤›nda tüm örnekleri totoloji olan A ↔ Abiçiminde bir önerme oldu¤undan, niceleme mant›¤›nda geçerlidir.(b) ~(~6y ~Fy ∨ 7x ~Gy) → 6y ~Fy önermesi oldukça karmafl›k bir önerme gibigörünmesine ra¤men, do¤ruluk tablosonu yaparak görebilece¤iniz gibi, tüm ör-nekleri bir totoloji olan ~(~A ∨ B) → A biçiminde bir önerme oldu¤undan, nicele-me mant›¤›nda geçerli bir önermedir.

Afla¤›daki önerme çiftleri, önermeler mant›¤› bak›m›ndan eflde¤er önerme biçim-lerinin birer örne¤i durumundaki nicelemeli önermeler oldu¤undan nicelememant›¤› bak›m›ndan da eflde¤er önermelerdir:

(a)Önermeler mant›¤›nda A ∧ (B ∨ C) biçimindeki bir önerme A, B ve C ye-rine ayn› önermeler konmak flart›yla, (A ∧ B) ∨ (A ∧C) önermesine eflde¤er oldu-¤undan, FA ∧ (~6y ~Fy ∨ HA) önermesi, (FA ∧ ~6y ~Fy) ∨ (FA ∧ HA) önerme-si ile eflde¤erdir.

(b) Önermeler mant›¤›nda A önermesi (~A → B) önermesini içerir. Dolay›s›y-la, 6y ~Fy önermesinin niceleme mant›¤› bak›m›ndan, (~6y ~Fy → 7y (Gx ∨ 6xHx)) önermesini içerdi¤ini baflka hiçbir bilgiye gerek duymaks›z›n söyleyebiliriz.


Totolojilerden önermede¤iflkenleri yerine nicelememant›¤›n›n önermelerininkonmas›yla elde edilenniceleme mant›¤› önermeleriniceleme mant›¤›nda geçerliönermelerdir. Ayn› durumiçerme ve eflde¤erlik için degeçerlidir.

Ö R N E K

Ö R N E K

Ayr›ca, niceleyicilerin anlam›ndan yola ç›karak, nicelemeli önermelerin semantiközellikleri hakk›nda karar verebiliriz. Örne¤in,6x Fx önermesinin “Herfley F dir” an-lam›na geldi¤ini söylemifltik. 6y Fy veya 6z Fz önermeleri de tam olarak ayn› yar-g›y› dile getirir. Ayn› flekilde, 7y Fy veya 7z Fz önermeleri de 7x Fx önermesi gibi,“Baz› fleyler F dir” anlam›na gelir. Bu durum niceleme mant›¤›nda genel bir kurallaifade edilir: Bir önermede 6v veya 7v nicelemesine ba¤l› tüm de¤iflkenlerin yerineönermede geçmeyen bir w de¤iflkeni konur ve söz konusu 6v veya 7v nicelemesi-nin yerine 6w veya 7w konursa, elde edilen önerme ilk önerme ile eflde¤erdir.

7y (Gy ∨ 6x Hx) önermesi, 7z (Gz ∨ 6x Hx) önermesine ve 7y (Gy ∨ 6z Hz) öner-mesine eflde¤erdir. ‹lkinde, y ba¤l› de¤iflkeni z ile de¤ifltirilmifl, ikincisinde ise, xba¤l› de¤iflkeni z ile de¤ifltirilmifltir.

6y 7x (Gx ∧ (Fy ∨ Gx)) önermesinden, y ba¤l› de¤iflkenini w de¤iflkeni ile de¤iflti-rerek 6w 7x (Gx ∧ (Fw ∨ Gx)) önermesi elde edilir.

Bu k›s›mdaki bilgilerinizden yola ç›karak, afla¤›daki nicelemeli önermelerin her birininneden geçerli oldu¤unu aç›klay›n›z.

(a) 6w 7y (Gy ∧ ((Fw ∨ Gy)) ↔ 6x 7w (Gw ∧ (Fx ∨ Gw)) (b) 6w 7x (Gx ∧ ((Fw ∨ Gx)) ↔ 6x 7w ~(~Gw ∨ ~(Fx ∨ Gw))

Ön-nicelemeli Normal FormNiceleme mant›¤›nda her formül, baflta bir dizi niceleyici ve ard›ndan niceleyicigeçmeyen bir “matris” ile oluflmufl bir formüle eflde¤erdir. Bu biçime formülün“ön-nicelemeli normal biçimi” ad› verilir. Ön-nicelemeli biçimde bir önermenin ge-nel biçimi, her bir Qi tümel veya tikel-niceleyici, her bir vi bir de¤iflken ve P için-de hiçbir niceleyici geçmeyen bir formül olmak üzere afla¤›daki gibi olacakt›r:

Q1v1Q2v2...Qnvn P‹çinde hiçbir niceleyici geçmeyen bir formül, tan›m gere¤i ön-nicelemeli nor-

mal biçimdedir. Çünkü, bir formülde hiçbir niceleyici geçmiyor ise, bu formüldebafla geçirilmesi gereken niceleyici yok demektir. Bir baflka deyiflle, içinde hiçbirniceleyici geçmeyen bir formülün ön-nicelemeli normal biçimi kendisine eflittir.

Afla¤›daki formüllerin herbiri ön-nicelemeli normal biçimdedir:a. Fxb. FAc. 6y 7x (Gx ∧ ((Fy ∧ Gy) ∧ (~Fy ∧ ~Gy)))d. (Gx ∧ ((Fy ∧ Gy) ∧ (~Fy ∧ ~Gy)))e. 6x 7y 7w ((Fw ∧ Gy) ∧ (~Fx ∧ Gx))

Ön-nicelemeli normal formda verilen bir önermenin mant›k bak›m›ndan denet-lenmesi bu biçimde olmayan önermelere göre daha kolay oldu¤undan, önermele-rin ön-nicelemeli normal biçime dönüfltürülmesi uygulamada yarar sa¤lar. fiimdibir önermenin ön-nicelemeli normal biçimini nas›l elde edebilece¤imizi görece¤iz:

Tan›m: Niceleme mant›¤›nda, bir P formülünün ön nicelemeli normal biçimi afla-¤›daki aflamalar takip edilerek oluflturulur:(a) ‹kinci ünitede gördü¤ümüz eflde¤erlikler yard›m›yla koflul ve karfl›l›kl› koflul

eklemleri elenerek, önerme - niceleyiciler d›fl›nda - sadece de¤illeme, tümel-


Ö R N E K

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Tüm niceleyicileri baflta olanve ard›ndan nicelemesiz birformül gelen formüller ön-nicelemeli normal biçimdeformüllerdir.

Ö R N E K

evetleme ve tikel-evetleme eklemlerini içeren bir biçime dönüfltürülür. Sizekolayl›k sa¤lamak amac›yla, bu aflamada yararl› olacak eflde¤erlikleri tekrarla-yal›m:i. (P → Q) ≡ (~ P ∨ Q)ii. (P ↔ Q) ≡ ((P ∧ Q) ∨ (~ P ∨ ~Q))iii. (P ↔ Q) ≡ ((~ P ∨ Q) ∧ (P ∨ ~Q))

(b)Ard›ndan, afla¤›daki eflde¤erliklerden uygun olanlar› kullanarak, önermede tümde¤illeme eklemleri sadece atomik formüllere uygulanacak hale getirilir. Buaflamada afla¤›daki eflde¤erlikler kullan›lacakt›r:i. ~~ P ≡ Pii. ~(P ∧ Q) ≡ (~ P ∨ ~Q)iii. ~(P ∨ Q) ≡ (~ P ∧ ~Q)iv. ~6x Px ≡ 7x~Pxv. ~7x Px ≡ 6x~Px

(c) Gerekli ba¤l› de¤iflkenler, formülde hiç geçmeyen de¤iflkenlerle de¤ifltirilir. Buaflamada amaç, bir de¤iflkenin hem ba¤l› hem de serbest geçmesini, ve ayn› de-¤iflkenin birden çok nicelemede geçmesini engellemektir. Bunu yapmazsak, so-nuçta elde edece¤imiz formül, bafllang›çta bize verilen formüle eflde¤er olmaz.

(d)Tüm niceleyiciler önermedeki geçifl s›ralar›na göre bafla geçirilir. Bu ifllemin so-nunda eflde¤er bir formül elde edece¤imize dayanak oluflturan eflde¤erliklerafla¤›da verilmifltir. i. 6x Px ∧ Q ≡ 6x (Px ∧ Q)ii. Q ∧ 6x Px ≡ 6x (Q ∧ Px)iii. 7x Px ∧ Q ≡ 7x (Px ∧ Q)iv. Q ∧ 7x Px ≡ 7x (Q ∧ Px)v. 6x Px ∨ Q ≡ 6x (Px ∨ Q)vi. Q ∨ 6x Px ≡ 6x (Q ∨ Px)vii. 7x Px ∨ Q ≡ 7x (Px ∨ Q)viii. Q ∨ 7x Px ≡ 7x (Q ∨ Px)ix. 6x Px ∧ 6x Qx ≡ 6x (Px ∧ Qx)x. 7x Px ∨ 7x Qx ≡ 7x (Px ∨ Qx)xi. Q1 x P ∧ Q2y R ≡ Q1 x Q2y (P ∧ R)xii. Q1 x P ∨ Q2y R ≡ Q1 x Q2y (P ∨ R)

Ön-nicelemeli normal biçime çevirme örneklerine geçmeden önce, (d) afla-mas›ndaki eflde¤erliklerden nas›l yararlanabilece¤imizi bir kaç›na örnek vererekgörelim.

a. 6x Fx ∧ 7y Gy ≡ 6x (Fx ∧ 7y Gy) (i eflde¤erli¤ini kullanarak)b. 6x Fx ∧ 6x (Gx ↔ 7y Gy) ≡ 6x(Fx ∧ (Gx ↔ 7y Gy)) (ix eflde¤erli¤ini

kullanarak) c. 7x Gx ∨ 7x Fx ≡ 7x (Gx ∨Fx) (x eflde¤erli¤ini kullanarak)d. 6x Fx ∧ 7y Gy ≡ 6x 7y (Fx ∧Gy) (xi eflde¤erli¤ini kullanarak)

(6x Fx ↔ 7x Fx) önermesini ön-nicelemeli normal biçime dönüfltürelim:(a) Karfl›l›kl› koflul ekleminin elenmesi sonucunda afla¤›daki önerme eldeedilir:

((6x Fx ∧ 7x Fx) ∨ (~6x Fx ∧ ~7x Fx))


Ö R N E K

Ö R N E K

(b)De¤illemeleri sadece atomik formülere etki edecek flekile dönüfltürerek afla¤›-daki önerme elde edilir:

((6x Fx ∧ 7x Fx) ∨ (7x ~Fx ∧ 6x ~Fx))(c) Gerekli de¤iflken de¤ifltirmeleri yap›larak afla¤›daki önerme elde edilir

((6x Fx ∧ 7y Fy) ∨ (7z ~Fz ∧ 6w ~Fw))(d)Niceleyiciler bafla al›narak afla¤›daki ön-nicelemeli normal biçimdeki öner-

me elde edilir:6x 7y 7z 6w ((Fx ∧Fy) ∨ (~Fz ∧ ~Fw))

(7x Gx ∧ 6x (Fx ↔Gx)) önermesini ön-nicelemeli normal biçime dönüfltürelim:(a) Karfl›l›kl› koflul ekleminin elenmesi sonucunda afla¤›daki önerme elde edilir:

(7x Gx ∧ 6x ((Fx ∧ Gx) ∨ (~Fx ∧ ~Gx)))(b) Önermedeki de¤illeme sembolleri sadece atomik önermelere etki etti¤inden,

bu aflamada elde edilecek önerme yine (7x Gx ∧ 6x ((Fx ∧ Gx) ∨ (~Fx ∧ ~Gx)))önermesidir.

(c) Gerekli de¤iflken de¤ifltirmeleri yap›larak afla¤›daki önerme elde edilir:(7x Gx ∧ 6y ((Fy ∧ Gy) ∨ (~Fy ∧ ~Gy)))

(d) Niceleyiciler bafla al›narak afla¤›daki ön-nicelemeli normal biçimdeki öner-me elde edilir:

7x 6y (Gx ∧ ((Fy ∧Gy) ∨(~Fy ∧ ~Gy)))

7x((Gx ∧ FA) ↔ 6y Gy) formülünü ön-nicelemeli normal biçime dönüfltürelim:(a) Karfl›l›kl› koflul ekleminin elenmesi sonucunda afla¤›daki önerme elde edilir:

7x(((Gx ∧ FA) ∧ 6y Gy) ∨((~(Gx ∧ FA) ∧ ~6y Gy)))(b) De¤illemeleri sadece atomik formülere etki edecek flekle dönüfltürerek afla¤›-

daki önerme elde edilir:7x(((Gx ∧ FA) ∧ 6y Gy) ∨((~Gx ∨ ~FA) ∧ 7y ~Gy)))

(c) Ba¤l› de¤iflken de¤ifltirme yoluyla, formülde geçmeyen de¤iflkenler kullana-rak afla¤›daki önerme elde edilir:

7x(((Gx ∧ FA) ∧ 6z Gz) ∨ ((~Gx ∨ ~FA) ∧ 7w ~Gw)))(d) Niceleyiciler bafla al›narak afla¤›ddaki ön-nicelemeli normal biçimdeki

önerme elde edilir:7x 6z 7w (((Gx ∧ FA) ∧ Gz) ∨ ((~Gx ∨ ~FA) ∧ ~Gw)))

7x(Hy ↔ 6y (Gx ∧ Fy)) önermesini her ad›mda elde edilen önermeyi aç›kça belirterekön-nicelemeli normal biçime dönüfltürünüz.


Ö R N E K

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3


Niceleyici kavram›n› ve gündelik dildeki nicele-meli önermeleri aç›klayabilmek, Niceleme mant›¤›nda iki niceleyici temel olarakkabul edilir: “Her” kelimesiyle ifade edilen tü-mel-niceleyici ve “baz›” kelimesiyle ifade edilentikel-niceleyici. Bu niceleyiciler farkl› biçimlerdede ifade edilebilir. Gündelik dilde en basit nice-lemeli önermeler “Her fley F dir”, “Her F G dir”,“Baz› fleyler F dir”, “Baz› F G dir” biçimindekiönermelerdir. Daha karmafl›k nicelemeli öner-meler elde etmek için, bir önermede niceleyiciifadeleri birlikte kullanabilir ya da, bir niceleyiciifadeyi birden çok kez uygulayabiliriz. Ayr›ca ni-celemeli önermeleri önerme eklemleri ile birlefl-tirebilir veya önerme eklemleri içeren bileflikönermelere niceleyici ifadeleri uygulayabiliriz.“Her F G dir” önermesinin de¤ili “Baz› F G de¤il-dir” önermesidir. “Baz› F G dir” önermesinin de¤i-li ise, “Hiçbir F G de¤ildir” önermesidir. Niceleme-li önermelerin de¤illenmesinde de¤illeme kuralla-r›na uyulmal›d›r: Bir önerme do¤ru ise de¤ili yan-l›fl, bir önerme yanl›fl ise de¤ili do¤ru olmal›d›r.Önerme eklemleri mant›¤› niceleyici ifadeleriçeren ço¤u gündelik dil ç›kar›m›n› do¤ru bi-çimde de¤erlendirmekte yetersiz kald›¤›ndan,bu ç›kar›mlar› de¤erlendirmek için nicelememant›¤› gelifltirilmifltir.

Niceleme mant›¤›n›n sembolik dilinin temel kav-ramlar›n› aç›klayabilmek.Niceleme mant›¤›n›n dili önerme eklemlerini, bi-rey de¤iflkenlerini, ad sembollerini, yüklem sem-bollerini, tümel ve tikel-niceleyicileri içerir. Pa-rantezler ise anlam› belirli k›lmak için kullan›l›r.Niceleme mant›¤›n›n anlaml› deyimleri iki grubaayr›l›r: terimler ve formüller. Her bir de¤iflken vead sembolü bir terimdir. Niceleme mant›¤›n›nformülleri ise flu flekilde tan›mlanabilir:(a) t bir terim ve Y bir yüklem sembolü ise Yt bir

formüldür,(b) A bir formül ise ~A bir formüldür,(c) A ve B birer formül ise, (A ∧ B), (A ∨ B),

(A → B) ve (A ↔ B) birer formüldür.(d)v bir de¤iflken A bir formül ise, 6v A ve 7vA

birer formüldür,(e)Baflka hiçbir sembol dizisi bir formül de¤ildir.Sadece bir yüklem ve onu izleyen bir formüldenoluflan Yt biçimindeki formüller “basit formül”,“atomik formül” ya da “atom”, bunun d›fl›ndaki

formüller “bileflik formül” olarak adland›r›l›r.Bir formülde tüm de¤iflken geçiflleri ba¤l› ise, buformül sembolik niceleme mant›¤›nda bir öner-medir. En az bir serbest de¤iflken geçifli olan birformül ise “aç›k formül” olarak adland›r›l›r. Bir vde¤iflkenin bir formüldeki bir geçifli, bir 6v veya7v nicelemesinin etki alan›nda ise bu de¤iflkeninbir “ba¤l›” geçiflidir. E¤er, v de¤iflkeninin bu ge-çifli ne 6v ne de 7v nicelemesinin etki alan›ndaise bu de¤iflkenin bir “serbest” geçiflidir. Bir for-mülde tüm de¤iflken geçiflleri ba¤l› ise, bu for-mül sembolik niceleme mant›¤›nda bir önerme-dir. En az bir serbest de¤iflken geçifli olan bir for-mül ise “aç›k formül” olarak adland›r›l›r.Nicelemeli önermelerin geçerlili¤ini, eflde¤erli¤i-ni ve birbirlerini içerip içermediklerini denetle-mek, önermeleri niceleme mant›¤›nda yorumla-man›n önermeler mant›¤›na göre daha karmafl›k-t›r. Ancak, önermeler mant›¤› bilgimizi ve nicele-yicilerin temel anlam›n› de¤erlendirerek birtak›msonuçlara varabiliriz: Bir totoloji örne¤i duru-mundaki bir nicelemeli önerme geçerlidir. Ayr›-ca, bir önermeden ba¤l› de¤iflken de¤ifltirmekleeflde¤er bir önerme elde edilir. Her nicelemeli önerme, tüm niceleyicileri bafltaolan ve bunu izleyen niceleyicisiz bir formüldenoluflan bir önermeye dönüfltürülebilir. Elde edi-len bu önermeye, önermenin “ön-nicelemeli nor-mal biçimi” ad› verilir. Nicelemeli önermeleri ön-nicelemeli normal biçime çevirebilmek özellikleniceleme mant›¤›n›n uygulamas› bak›m›ndanönemlidir. Niceleme mant›¤›nda, bir önermeninön-nicelemeli normal biçimi afla¤›daki aflamalartakip edilerek oluflturulur:(a) ‹kinci ünitede gördü¤ümüz eflde¤erlikler yar-

d›m›yla koflul ve karfl›l›kl› koflul eklemleri ele-nerek, önerme -niceleyiciler d›fl›nda- sadecede¤illeme, tümel-evetleme ve tikel-evetlemeeklemlerini içeren bir biçime dönüfltürülür.

(b) Ard›ndan, uygun eflde¤erliklerden faydalana-rak, önermede tüm de¤illeme eklemleri sadeceatomik formüllere uygulanacak hale getirilir.

(c) Gerekli ba¤l› de¤iflkenler, formülde hiç geç-meyen de¤iflkenlerle de¤ifltirilir. Bu aflamadaamaç, bir de¤iflkenin hem ba¤l› hem de ser-best geçmesini, ve ayn› de¤iflkenin birden çokniceleyicide geçmesini engellemektir.

(d) Tüm niceleyiciler önermedeki geçifl s›ralar›nagöre bafla geçirilir.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç


1. “Baz› arabalar sar› de¤ildir” önermesinin de¤ili afla-¤›dakilerden hangisidir?

a. Hiçbir araba sar› de¤ildir.b. Tüm arabalar sar›d›r.c. Baz› arabalar sar›d›r.d. Baz› sar› fleyler araba de¤ildir.e. En az bir araba sar› de¤ildir.

2. “Hiçbir insan bitki de¤ildir.” önermesinin de¤ili afla-¤›dakilerden hangisidir?

a. Baz› insanlar bitki de¤ildir.b. Tüm insanlar bitkidir.c. Baz› insanlar bitkidir.d. Baz› bitkiler insan de¤ildir.e. Tüm bitkiler insand›r.

3. Afla¤›daki önermelerden hangisi tümel-nicelemelibir önermedir?

a. Bir gök cismi Dünyaya h›zla yaklaflmaktad›r.b. Trafik kurallar› yaya ve yolcular›n güvenli¤i

içindir.c. Evrende Dünya d›fl›nda da yaflam vard›r.d. 2 çift asal say›d›r.e. Baz› matematik önermeleri yanl›flt›r.

4. Afla¤›daki önermelerden hangisinde “bir” ifadesi tü-mel-niceleyici anlam›nda kullan›lm›flt›r?

a. Her insan›n bir hayali olmal›d›r.b. Bir gök cismi Dünyaya h›zla yaklaflmaktayd›.c. Dengeli beslenme hastal›klardan korunman›n

etkili bir yoludur. d. Bir gün 24 saattir.e. Ahmet o zaman daha küçük bir çocuktu.

5. 7y (Gx ∨ 6z (Hy ↔ Gz)) formülünde hangi de¤ifl-kenlerin en az bir serbest geçifli vard›r?

a. Sadece xb. Sadece yc. Sadece zd. x ve ye. x ve z

6. Afla¤›dakilerden hangisi sembolik niceleme mant›-¤›nda bir önermedir?

a. 7y (Gx ∨ 6z (Hy ↔ Gz))b. 7y (Gy ∨ 6z (Hy ↔ Gz))c. 7x (Gy ∨ 6z (Hy ↔ Gz))d. 7x (Gx ∨ 6z (Hy ↔ Gz))e. 7y (Gy ∨ 6x (Hy ↔ Gz))

7. Afla¤›daki önerme çiftlerinden hangisi, ba¤l› de¤ifl-ken de¤ifltirme ve önermeler mant›¤›na göre eflde¤erformüllerin yerde¤ifltirmesi ile elde edilmifl eflde¤erönermeler de¤ildir?

a. 6z 7y (Fz ∨ (GA → Hy)), 6x 7y (Fx ∨ (GA →Hy))

b. 6z 7y (Fz ∨ (GA → Hy)), 6z 7x (Fz ∨ (GA →Hx))

c. 6z 7y (Fz ∨ (GA → Hy)), 6z 7x (Fz ∨ (~GA ∨Hx))

d. 6z 7y (Fz ∨ (GA → Hy)), 6z 7y (Fz ∨ (Hy →GA))

e. 6z 7y (Fz ∨ (GA → Hy)), 6z 7y (~Fz → (GA→Hy))

8. Afla¤›daki nicelemeli önermelerden hangisi bir toto-loji biçiminden elde edildi¤i için niceleme mant›¤›ndada geçerlidir?

a. 7x 6z (7w (Gw ∧ Fy) ∨ Gz)b. 7x 6z (7w (Gw ∧ Fy) ∨ 7w (Fy ∧ Fy))c. 7x 6z (7w (Gw ∧ Fw) ∨ 7w (Fy ∧ Fy))d. 7y 6z (Gy ∨ 6x (Hx ↔ Gz))e. 7x Fx → (7w (Gw ∧ Fy) ∨ 7x Fx)

9. Afla¤›daki önermelerden hangisi ön-nicelemeli nor-mal biçimdedir?

a. 6z (7w (Gw ∧ Fz) ∨ Gz)b. 7x 7w ((Gx ∧ Fw) ∨ 6z Gz)c. 7x 7w ((Gx ∧ Fw) ∨ Gw)d. 7w 6z ((Gw ∧ 7w Fw) ∨ Gz)e. 7w 6w ((Gz ∧ 7w Fw) ∨ Gz)

10. 7x (Gx → 6x (Fx ∨ Gx)) önermesinin ön-niceleme-li normal biçimi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 7y 6x (~Gx ∨ (Fy ∨ Gy))b. 6x 7y (~Gx ∨ (Fy ∨ Gy))c. 6x 6y (~Gx ∨ (Fy ∨ Gy))d. 7x 6y (~Gx ∨ (Fy ∨ Gy))e. 6y 6x (~Gx ∨ (Fy ∨ Gy))



1. b. Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Niceleyicilerve Nicelenmifl Önermeler ” konusuna bak›n›z.

2. c. Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Niceleyicilerve Nicelenmifl Önermeler” konusuna bak›n›z.

3. b. Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikNiceleme Mant›¤›n›n Dili” konusuna bak›n›z.

4. d. Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Niceleyicilerve Nicelenmifl Önermeler” konusuna bak›n›z.

5. a. Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikNiceleme Mant›¤›n›n Dili” konusuna bak›n›z.

6. b. Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikNiceleme Mant›¤›n›n Dili” konusuna bak›n›z.

7. d. Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikNiceleme Mant›¤›n›n Dili” konusuna bak›n›z.

8. e. Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikNiceleme Mant›¤›n›n Dili” konusuna bak›n›z.

9. c. Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikNiceleme Mant›¤›n›n Dili” konusuna bak›n›z.

10. d. Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “SembolikNiceleme Mant›¤›n›n Dili” konusuna bak›n›z.


“Baz› insanlar zengindir ama mutsuzdur” önermesi “Ba-z› insanlar zengindir ve baz› insanlar mutsuzdur” biçi-minde yorumlanamaz çünkü “Baz› insanlar zengindirama mutsuzdur” önermesinin do¤ru olmas› için hemzengin hem de mutsuz olan bir insan bulmam›z gerek-lidir oysa “Baz› insanlar zengindir ve baz› insanlar mut-suzdur” önermesinin do¤ru olmas› için biri zengin biride mutsuz farkl› iki kifli bulmak yeterlidir.

S›ra Sizde 2

(a)6w 7y (Gy ∧ (Fw ∨ Gy)) ↔ 6x 7w (Gw ∧ (Fx∨ Gw)) önermesi geçerlidir çünkü, w ba¤l› de-¤iflkeni yerine x de¤iflkeninin, y de¤iflkeni ye-rine de w de¤iflkeninin konmas›yla elde edil-mifltir.

(b)6w7x (Gx ∧ (Fw ∨ Gx)) ↔ 6x 7w ~(~Gw ∨~(Fx ∨ Gw)) önermesi geçerlidir çünkü, öner-meler mant›¤›nda ~(~A ∨ ~B) ≡ (A ∧ B) oldu-¤undan, (Gx ∧ (Fw ∨ Gx)) ve ~(~Gw ∨ ~(Fx ∨Gw)) formülleri niceleme mant›¤› bak›m›ndaneflde¤erdir. 6x 7w ~(~Gw ∨ ~(Fx ∨ Gw))önermesi, 6w 7x (Gx ∧ (Fw ∨ Gx)) önerme-sinden, (Gx ∧ (Fw ∨ Gx)) yerine eflde¤eri olan~(~Gw ∨ ~(Fx ∨ Gw)) formülünün konmas›y-la elde edilmifltir.

S›ra sizde 3

Birinci ad›mda, 7x (Hx ↔ 6y (Gx ∧ Fy)) önermesin-den, karfl›l›kl›-koflul eklemini eleyerek,

7x ((Hx ∧ 6y (Gx ∧ Fy)) ∨ (~Hx ∧ ~6y (Gx ∧ Fy)))önermesi elde edilir.‹kinci ad›mda, de¤illemeleri sadece basit önermelereuygulanacak flekle getirerek,

7x ((Hx ∧ 6y (Gx ∧ Fy)) ∨ (~Hx ∧ 7y ~(Gx ∧ Fy)))≡ 7x ((Hx ∧ 6y (Gx ∧ Fy)) ∨ (~Hx ∧ 7y (~ Gx ∨ ~Fy)))önermesi elde edilir.Üçüncü ad›mda, ba¤l› de¤iflken de¤ifliklikleriyle,7x ((Hx ∧ 6y (Gx ∧ Fy)) ∨ (~Hx ∧ 7z (~Gx ∨ ~Fz)))

önermesi elde edilir.Son ad›mda, niceleyicileri geçifl s›ralar›na göre bafla ta-fl›yarak, ön-nicelemeli normal biçimdeki

7x 6y 7z ((Hx ∧ (Gx ∧ Fy)) ∨ (~Hx ∧ (~Gx ∧ ~Fz)))önermesi elde edilir.

Yararlan›lan ve BaflvurulabilecekKaynaklarGrünberg, T. (2000). Sembolik Mant›k El Kitab›. (3 cilt).

Ankara: METU Press.Grünberg, T. ve Onart, A. vd. (2003). Mant›k Terimleri

Sözlü¤ü. Ankara: METU Press.Kalish, D., Montague R., Mar, G. (1980) Logic: Techni-

ques of Formal Reasoning. 2. Bask›. New York:Oxford University Press.

Ural, fi. (1995). Temel Mant›k. ‹stanbul: Çantay Kitabevi.Y›ld›r›m, C. (1976). 100 Soruda Mant›k. ‹stanbul: Ger-

çek Yay›nevi.Y›ld›r›m, C. (1999). Mant›k: Do¤ru Düflünme Yöntemi.

‹stanbul: Bilgi Yay›nevi.


Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Niceleme mant›¤›nda “model” kavram›n› aç›klayabilecek,Nicelemeli önermeleri bir modelde denetleyebilecek,Nicelemeli ç›kar›mlar› bir modelde denetleyebileceksiniz.


• Do¤rusal aç›l›m• Model• Karfl›-model

• Nicelemelerin elenmesi• Nicelemeli önermenin do¤rusal

aç›l›m›

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NNN

Sembolik Mant›k

• G‹R‹fi• MODELLER• MODELLER VE N‹CELEMEL‹

ÖNERMELER• MODELLER VE N‹CELEMEL‹

ÇIKARIMLAR

NicelenmiflÖnermelerinYorumlanmas›

6SEMBOL‹K MANTIK

G‹R‹fiBir önceki ünitede, gündelik dildeki nicelemeli önermeleri sezgisel bak›mdan elealarak, niceleme mant›¤›n›n sembolik dilinin ve nicelemeli sembolik önermelerintemel özelliklerini tan›m›flt›k. Bu ünitede, niceleme mant›¤›nda önermelerin yo-rumlanmas› için temel kavram olan “model” kavram›n› tan›mlayarak, nicelemelisembolik önermelerin, önerme kümelerinin ve ç›kar›mlar›n niceleme mant›¤›ndadenetlenmesi konusunu ele alaca¤›z. Bunu yaparken önermeler mant›¤›ndan edin-di¤imiz bilgileri de kullanaca¤›z, çünkü önermeler mant›¤›nda ele ald›¤›m›z tümönerme eklemleri niceleme mant›¤›nda da kullan›l›r. Dahas›, bu önerme eklemle-rinin do¤ruluk tablolar›yla belirlenen anlam›, niceleme mant›¤›nda da ayn›d›r.Önermeler mant›¤›nda gördü¤ümüz önerme eklemleri ile elde edilen bir bileflikönermenin do¤ruluk de¤eri, önerme ekleminin do¤ruluk tablosuna ve bileflenlerindo¤ruluk de¤erine göre belirlenir. Bileflenlerin nicelemeli veya nicelemesiz öner-meler olmas› bu durumu de¤ifltirmez. Örne¤in, A ve B, nicelemeli veya niceleme-siz, do¤ruluk de¤eri bilinen herhangi iki önerme ise, (A → B) önermesinin do¤ru-luk de¤eri, koflul ekleminin do¤ruluk tablosundan baflka hiçbir bilgiye gerek duy-madan hesaplanabilir. Ancak, tüm nicelemeli önermelerin do¤ruluk de¤erlerinibasitçe bileflenlerine birer do¤ruluk de¤eri vererek belirleyemeyiz. Aksi takdirdeniceleme mant›¤› önermeler mant›¤›ndan daha güçlü bir mant›k sistemi olmazd›.

Örne¤in, (A → B) biçimindeki ∀x Fx → ∃x Gx önermesinin anlam›n›n nicele-me mant›¤› bak›m›ndan denetlenebilmesi için, ∀x Fx ve ∃x Gx önermelerinindo¤ruluk de¤erlerinin bir modelde nas›l belirlenece¤inin ortaya konmas› gerekir.∀x Fx → ∃x Gx önermesinin, sadece, ∀x Fx do¤ru ve ∃x Gx yanl›fl ise yanl›fl, di-¤er üç durumda do¤ru oldu¤unu söylemek niceleme mant›¤› bak›m›ndan doyuru-cu bir aç›klama kabul edilemez. Görece¤imiz gibi, ∀ ve ∃ niceleyicilerinin nas›l yo-rumlanaca¤› belirlenmifl oldu¤undan, bir modelde ∀x Fx ve ∃x Gx nicelemeliönermelerinin do¤ruluk de¤erlerini, F ve G yüklemlerinin bu modeldeki karfl›l›k-lar›na göre hesaplayabiliriz. Bu flekilde, önce ∀ ve ∃ niceleyicilerinin anlamlar›nagöre ∀x Fx ve ∃x Gx önermelerinin do¤ruluk de¤erlerini hesaplayabilir, ard›ndankoflul ekleminin do¤ruluk tablosuna göre, ∀x Fx → ∃x Gx önermesinin do¤rulukde¤erini hesaplayabiliriz. Bu durumun genel olarak geçerli oldu¤unu, içinde ge-çen ad ve yüklem sembollerinin bir modeldeki karfl›l›¤› bilinen tüm nicelemeliönermelerin bu modeldeki do¤ruluk de¤erinin hesaplanabilece¤ini görece¤iz. Buünitede, Kalish ve Montague (1980) taraf›ndan da kullan›lan, önerme eklemleri

Nicelenmifl ÖnermelerinYorumlanmas›

mant›¤›na indirgemeye dayal› yöntemi gerekli gördü¤ümüz ufak bir de¤iflikliklekullanaca¤›z.

Niceleme mant›¤›nda önermelerin yorumlanmas› için temel kavram oldu¤unusöyledi¤imiz “model” kavram›n› tan›mlayabilmek ve kullanabilmek için kümelerleilgili kimi temel önbilgilere ihtiyaç duyaca¤›z. Bu nedenle, bu ünitenin ilk k›sm›n-da, kümeler ile ilgili birkaç basit kavram› hat›rlatarak, “model” kavram›n› tan›mla-yaca¤›z. ‹kinci k›s›mda, nicelemeli önermelerin modellerle iliflkisini ortaya koyaca-¤›z. Bunun için, önce nicelemelerin bir kümede elenmesi ifllemini ele al›p, nicele-meli bir önermenin bir kümede do¤rusal aç›l›m›n› tan›mlayaca¤›z. Sonra, nicele-meli bir sembolik önermenin bir modeldeki do¤ruluk de¤erinin hesaplan›fl›n› elealaca¤›z. Ard›ndan, nicelemeli bir önerme için nas›l model ve karfl›-model olufltu-raca¤›m›z› görece¤iz. Son k›s›mda, bir nicelemeli ç›kar›m için model ve karfl›-mo-del bulma konular›n› ele alaca¤›z.

MODELLER

Kümelerle ‹lgili ÖnbilgilerNiceleme mant›¤›nda önermelerin yorumlanmas› için temel kavram olan “model”kavram›n› ele alabilmek için, kümelerle ilgili en temel kavramlara iliflkin bilgiye ih-tiyac›m›z olacakt›r. fiimdi kümelerle ilgili ihtiyac›m›z olan kavramlar› hat›rlayal›m.

Tan›m: Küme, varl›¤› mant›ksal bir çeliflkiye yol açmayan herhangi bir nesne-ler toplulu¤udur. Bir a nesnesi S kümesini oluflturan nesnelerden biri ise, “a nes-nesi S kümesinin eleman›d›r” denir ve bu durum sembolik olarak “a ∈ S” fleklindegösterilir. E¤er a nesnesi S kümesini oluflturan nesneler aras›nda de¤il ise, “a nes-nesi S kümesinin eleman› de¤ildir” denir ve bu durum sembolik olarak “a ∉ S” bi-çiminde gösterilir. Kümeyi, elemanlar›n› “{” ve “}” küme parantezleri aras›na yaza-rak gösteririz. Bir kümenin hiçbir eleman›n›n olmamas› da mümkündür. Hiçbireleman› olmayan küme “bofl küme” olarak adland›r›l›r. Bofl küme { } sembolü ilegösterilir.

Haftan›n ad› “P” harfiyle bafllayan günlerinin kümesi {Pazar, Pazartesi, Perflem-be} kümesidir. 2 ile 5 aras›ndaki tamsay›lar›n kümesi {3, 4} kümesidir. Haftan›nad› “Z” harfiyle bafllayan günlerinin kümesi { }, yani bofl kümedir. Do¤al say›larkümesi {0, 1, 2, ...} kümesidir.

Bir S kümesinin eleman say›s› bir do¤al say› ise, S kümesi sonlu bir kümedir.Örne¤in, {Pazar, Pazartesi, Perflembe} kümesi, 3 elemanl› bir küme oldu¤u içinsonludur. Bofl küme de, 0 elemanl› bir küme oldu¤u için sonlu bir kümedir. Bizimihtiyaç duyaca¤›m›z kümeler sadece sonlu kümeler olacakt›r.

Tan›m: S kümesinin tüm elemanlar› T kümesinin de elemanlar› ise, “S kümesiT kümesinin altkümesidir” denir. Bu durum sembolik olarak “S ⊆ T” biçimindegösterilir.

(a) {a} ⊆ {a, b}, {b} ⊆ {a, b}, {a, c} ⊆ {a, b, c} (b) Her S kümesi için, { } ⊆ S(c) Her S kümesi için, S ⊆ S


Varl›¤› mant›ksal birçeliflkiye yol açmayanherhangi bir nesnelertoplulu¤u bir kümedir.

Ö R N E K

Ö R N E K

Model Kavram›Belirtti¤imiz gibi, niceleme mant›¤›nda yorumlama modellerle gerçekleflir. Hermodel bir küme üzerinde oluflturulur. Modelin üzerine kuruldu¤u küme, modelin“tafl›y›c› kümesi” ya da “evreni” olarak adland›r›l›r.

Bir S kümesi üzerinde, bu kümeyi evren olarak kabul eden bir model olufltura-bilmek için, yüklem ve ad sembollerini bu küme üzerinde yorumlamak gerekir.Yaln›z, bir önermeyi, bir önerme kümesini veya bir ç›kar›m› denetlemek için, birmodeli araç olarak kullan›rken, denetledi¤imiz önermelerde geçmeyen yüklem vead sembollerinin modelde nas›l yorumlanaca¤›n› bilmemiz gerekmez. Bu nedenle,bir önermeyi, bir önerme kümesini veya bir ç›kar›m› herhangi bir S kümesi üzerin-deki bir modelde denetlerken sadece ele ald›¤›m›z önermede, önerme kümesindeveya ç›kar›mda geçen ad ve yüklem sembollerini S kümesinde yorumlamam›z ye-terli olacakt›r. Peki, bir ad ya da yüklem sembolünü S kümesinde yorumlamak nedemektir?

Bildi¤iniz gibi, gündelik dilde bir özel ad›n ifllevi belirli bir varl›¤a iflaret ede-rek, o varl›k hakk›nda konuflmam›z› sa¤lamakt›r. Örne¤in, “Ankara” özel ad› saye-sinde Ankara kenti hakk›nda konuflabiliriz. Niceleme mant›¤›n›n sembolik dilindead sembolleri gündelik dildeki özel adlar gibi ifllev görür. Dolay›s›yla, bir ad sem-bolünün bir kümede yorumlanmas› demek o ad sembolünü kümenin bir eleman›ile efllefltirmek demektir.

Gündelik dilde bir yüklemin ifllevi, kimi varl›klar›n sahip oldu¤u, kimi varl›kla-r›n ise sahip olmad›¤› bir özelli¤i dile getirmektir. Örne¤in, “insand›r” yüklemi ki-mi varl›klara do¤ru olarak uygulan›r, kimi varl›klara ise uygulanamaz. Yüklemlerinniceleme mant›¤›n›n sembolik dilindeki karfl›l›¤›, yüklem sembolleridir. Bu neden-le, bir yüklem sembolünün bir kümede yorumlanmas› demek, o yüklem sembolü-nün kümedeki hangi elemanlara do¤ru olarak uygulanabilece¤ini, hangi varl›klarauygulanamayaca¤›n› belirtmek demektir. Bu ise, yüklem sembolünü kümenin biraltkümesi ile efllefltirmek demektir. Evrenin yüklem sembolünü efllefltirdi¤imiz alt-kümesi, evrende bu yüklemin belirtti¤i özelli¤e sahip olan nesnelerin kümesidir.Bu küme, yüklemin “kaplam›” olarak adland›r›l›r.

Bu söylediklerimizi bir tan›mla dile getirelim: Tan›m: S sonlu bir küme ise, bir önermede, önerme kümesinde veya ç›kar›m-

da geçen her yüklem sembolü için S kümesinin bir altkümesi ve her ad sembolüiçin S kümesinin bir eleman›ndan oluflan yap›, bu önermeyi, önerme kümesini ve-ya ç›kar›m› denetleyebilece¤imiz bir modeldir.

∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinde, F, G ve H yüklem sembolleri ve A adsembolü geçmektedir. Dolay›s›yla, bu önermeyi denetleyebilece¤imiz bir M modeli,modelin evreni olarak bir SM kümesinden, F, G ve H yüklemlerinin herbiri için SMkümesinin FM, GM ve HM altkümelerinden ve A ad sembolünün karfl›l›¤› olarak SMkümesinin bir AM eleman›ndan oluflmal›d›r. O halde, afla¤›daki modellerin herbi-ri ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesini denetleyebilece¤imiz birer modeldir:

(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, HM = {b}, AM = a(b) SM = {a, b, c}, FM = {b}, GM = {b,c}, HM = {b}, AM = c(c) SM = {a}, FM = { }, GM = {a}, HM = {a}, AM = a

976. Ünite - Nice lenmifl Önermeler in Yorumlanmas›

Bir yüklem sembolünün birkümede yorumlanmas›, okümede o yüklemin belirtti¤iözelli¤e sahip elemanlardanoluflan altkümeninbelirtilmesidir. Bu altkümeyüklemin “kaplam›” olarakadland›r›l›r.

Bir ad sembolünün birkümede yorumlanmas›, o adsembolünün kümede iflaretetti¤i eleman›nbelirtilmesidir.

Ö R N E K

∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ↔ HB) ç›kar›m›nda, F, G ve H yüklem sem-bolleri, A ve B ad sembolleri geçmektedir. Dolay›s›yla, bu ç›kar›m› denetleyebilece-¤imiz bir M modeli, modelin evreni olarak bir SM kümesinden, F, G ve H yüklemle-rinin herbiri için SM kümesinin FM, GM, HM altkümelerinden, A ve B ad sembolle-rinin karfl›l›¤› olarak SM kümesinin AM ve BM elemanlar›ndan oluflmal›d›r. O hal-de, afla¤›dakilerin her biri ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ↔ HB) ç›kar›-m›n› denetleyebilece¤imiz bir modeldir:

(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, HM = {a}, AM = a, BM = a(b) SM = {a, b,c}, FM = GM = HM = {a}, AM = a, BM = b(c) SM = {a, b}, FM = { }, GM = {a}, HM = {b}, AM = b, BM = b

{∃x ∃y (FA ∧ ~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler kümesinde, F ve G yüklem sembolle-ri, A ve B ad sembolleri geçmektedir. Dolay›s›yla, bu önermeler kümesini denetle-yebilece¤imiz bir M modeli, modelin evreni olarak bir SM kümesinden, F ve G yük-lemlerinin herbiri için SM kümesinin FM ve GM altkümelerinden, A ve B ad sembol-lerinin karfl›l›¤› olarak SM kümesinin AM ve BM elemanlar›ndan oluflmal›d›r. Ohalde, afla¤›dakilerin her biri {∃x ∃y (FA ∧ ~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler küme-sini denetleyebilece¤imiz bir modeldir:

(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, AM = a, BM = b,(b) SM = {a, b, c}, FM = {b}, GM = {b,c}, AM = c, BM = c,(c) SM = {a}, FM = { }, GM = {a,b}, AM = a, BM = a

MODELLER VE N‹CELEMEL‹ ÖNERMELERBir önermenin, dolay›s›yla bir önermeler kümesinin veya ç›kar›m›n, bir modeldedenetlenebilmesi için, önermenin bu modelde ne ifade etti¤inin ortaya konmas›gerekir. Bunun ilk ad›m› önermedeki niceleyicilerin elenmesi ve böylece önerme-nin modelin tafl›y›c› kümesindeki aç›l›m›n›n elde edilmesidir.

Nicelemeli Bir Önermenin Bir Evrende Aç›l›m›Bir A formülünden, v de¤iflkeninin tüm serbest geçiflleri yerine bir kümenin a ele-man›n›n konmas›yla elde edilen ifade, A(a/v) ile gösterilir. Bildi¤iniz gibi, bir for-mülde ayn› de¤iflkenin hem serbest, hem de ba¤l› geçiflleri olmad›¤›n› kabul edi-yoruz. Buna göre, “v de¤iflkeninin tüm serbest geçiflleri yerine” ifadesi yerine, “vde¤iflkeninin tüm geçiflleri yerine” ifadesini kullanabiliriz.

Bizim karfl›laflaca¤›m›z tüm durumlarda, a eleman›n›n A formülünde geçen han-gi de¤iflken yerine konaca¤› belli oldu¤undan, A(a/v) yerine k›saca A(a) yazaca¤›z.

(a) A = ∀y ((Fx ∧ Gy) ∨ (Gy → Hx)) olsun. A formülünün tek serbest de¤iflkenix oldu¤undan, A(a) ifadesi A formülünde x de¤iflkeninin her geçifli yerine aeleman›n›n konmas› ile elde edilir: A(a) = ∀y ((Fa ∧ Gy) ∨ (Gy → Ha)) . Ay-n› flekilde, A(b) = ∀y ((Fb ∧ Gy) ∨ (Gy → Hb)) .

(b) A = ∃x ((FA ∧ Gy) ∨ (Gy → Hx)) olsun. A formülünün tek serbest de¤iflkeni yoldu¤undan, A(a) ifadesi A formülünde y de¤iflkeninin her geçifli yerine aeleman›n›n konmas› ile elde edilir: A(a) = ∃x ((FA ∧ Ga) ∨ (Ga → Hx)). Ay-n› flekilde, A(b) = ∃x ((FA ∧ Gb) ∨ (Gb →Hx)).Gördü¤ünüz gibi, her iki formülde de serbest geçiflleri olan tek de¤iflken oldu-¤undan, A(a/x), A(b/x), A(a/y), A(b/y) yerine A(a), A(b) yazabildik.


Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Bir nicelemeli önermenin bir kümedeki aç›l›m›n› elde etmekteki temel fikir,hakk›nda konufltu¤umuz tüm varl›klar yani “konuflma evreni” bu küme oldu¤un-da, önermenin ifade etti¤i yarg›y› ortaya koymakt›r. Belirtti¤imiz gibi, bizim kulla-naca¤›m›z tüm kümeler sonlu olaca¤›ndan, önermenin aç›l›m› da belli uzunluktabir ifade olacakt›r.

Örne¤in, F gündelik dilde herhangi bir yüklem olmak üzere, “Her fley F dir”önermesini ele alal›m: Bizim hakk›nda konufltu¤umuz tüm varl›klar yani “her fley”,S = {a, b, c} kümesinin elemanlar› ise, “Her fley F dir” demek, hem a, hem b, hemde c F dir demektir. “Her fley F dir” önermesi sembolik olarak ∀x Fx ile gösterildi-¤ine göre, ∀x Fx nicelemeli önermesinin S = {a, b, c} kümesindeki aç›l›m› Fa ∧ Fb∧ Fc ifadesidir.

fiimdi de, F gündelik dilde herhangi bir yüklem olmak üzere, “Baz› fleyler F dir”önermesini ele alal›m: Bizim hakk›nda konufltu¤umuz tüm varl›klar yani “her fley”,S = {a, b, c} kümesinin elemanlar› ise, “Baz› fleyler F dir” yani “En az bir fley F dir”demek, “Ya a, ya b, ya da c F dir” demektir. “Baz› fleyler F dir” önermesi sembo-lik olarak ∃x Fx ile gösterildi¤ine göre, ∃x Fx nicelemeli önermesinin S = {a, b, c}kümesindeki aç›l›m› Fa ∨ Fb ∨ Fc ifadesidir.

∀x Fx ve ∃x Fx nicelemeli önermelerinin S = {a, b, c} kümesindeki aç›l›m› içinsöylediklerimizi, tüm nicelemeli önermelere ve tüm sonlu kümelere genellefltirme-ye çal›flal›m. Bunun ilk ad›m›, ∀v A ve ∃v A biçimindeki nicelemeli önermelerinsonlu kümelerdeki aç›l›m›n› belirlemektir.

Tan›m: S = {a, b, c, ...} ve A içinde sadece v de¤iflkeninin serbest geçti¤i bir ifa-de olsun.

(a) ∀v A ifadesinin S kümesindeki bir do¤rusal aç›l›m›, A(a) ∧ A(b) ∧ A(c) ∧…ifadesidir.

(b) ∃v A ifadesinin S kümesindeki bir do¤rusal aç›l›m›, A(a) ∨ A(b) ∨ A(c) ∨…ifadesidir.

∀v A ve ∃v A birer önerme ise, A formülünde sadece v de¤iflkeninin serbest ge-çiflleri olabilir. E¤er A formülünde baflka bir w de¤iflkeninin serbest geçiflleri olsaidi, ∀v A ve ∃v A birer önerme olamazd› çünkü w de¤iflkeninin A formülü içinde-ki serbest geçiflleri ∀v A ve ∃v A içinde hala serbest kal›rd›. Örne¤in, A = (Fx ∧ Fy)ve v = x olsun. Bu durumda, ne ∀v A ne de ∃v A bir önermedir: Her ikisinde de yde¤iflkeninin serbest geçiflleri vard›r.

Dolay›s›yla, ∀v A ifadesi bir önerme ise, S kümesindeki do¤rusal aç›l›m›n›nA(a) ∧ A(b) ∧ A(c) ∧… ifadesi, ∃v A ifadesi bir önerme ise, S kümesindeki do¤ru-sal aç›l›m›n›n A(a) ∨ A(b) ∨ A(c) ∨… ifadesi oldu¤unu söylemek uygundur. Çün-kü A(a), A(b), A(c) gösteriminde, a, b, c elemanlar›n›n v de¤iflkeninin yerine ko-naca¤› aç›kt›r.

Bir önermede geçen ∀v A biçimindeki bir ifadenin aç›l›m›n› oluflturdu¤umuz-da, bu önermedeki ∀v tümel-nicelemesini eledi¤imizi söyleyece¤iz. Ayn› flekilde,bir önermedeki ∃v A biçimindeki bir ifadenin aç›l›m›n› oluflturdu¤umuzda, buönermedeki ∃v tikel-nicelemesini eledi¤imizi söyleyece¤iz.


∃x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinin {a, b} kümesindeki do¤rusal aç›l›m›n›bulal›m: ∃x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesi, A = ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) ol-mak üzere ∃v A biçimindedir. Tan›ma göre, ∃v A ifadesinin {a, b} kümesindeki birdo¤rusal aç›l›m›, A(a) ∨ A(b) ifadesidir. Yani, ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) formülün-de, x yerine önce a sonra b koyarak elde etti¤imiz iki ifadeyi tikel-evetleme ile bir-lefltirmemiz gerekir:

A(a) = ((Fa ∧ GA) ∨ (Ga → Ha))A(b) = ((Fb ∧ GA) ∨ (Gb → Hb))

oldu¤undan, ∃x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinin {a, b} kümesindeki aç›l›m›olan ifade afla¤›daki biçimde elde edilir:

((Fa ∧ GA) ∨ (Ga → Ha)) ∨ ((Fb ∧ GA) ∨ (Gb → Hb))

∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinin {a, b} kümesindeki bir do¤rusal aç›l›m›-n› bulal›m: ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesi, A = ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx))olmak üzere ∀v A biçimindedir. Tan›ma göre, ∀v A ifadesinin {a, b} kümesindekido¤rusal aç›l›m›, A(a) ∧ A(b) ifadesidir. Yani, ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) formülün-de, x yerine önce a sonra b koyarak elde etti¤imiz iki ifadeyi tümel-evetleme ile bir-lefltirmemiz gerekir:

A(a) = ((Fa ∧ GA) ∨ (Ga → Ha))A(b) = ((Fb ∧ GA) ∨ (Gb → Hb))

oldu¤undan, ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinin {a, b} kümesindeki aç›l›-m› olan A(a) ∧ A(b) ifadesi afla¤›daki biçimde elde edilir:

((Fa ∧ GA) ∨ (Ga → Ha)) ∧ ((Fb ∧ GA) ∨ (Gb → Hb))

Bir nicelemeli önermenin bir kümedeki do¤rusal aç›l›m›n› olufltururken, hanginicelemenin önce elendi¤i sonucu de¤ifltirmez. Örnek olarak, ∃x ∀y (Fx ∧ Gy)önermesini {a, b} kümesinde açal›m. Önce tikel-nicelemeyi elesek, ∀y (Fa ∧ Gy) ∨∀y (Fb ∧ Gy) ifadesini, ard›ndan tümel-nicelemeyi eleyerek

((Fa ∧ Ga) ∧ (Fa ∧ Gb)) ∨ ((Fb ∧ Ga) ∧ (Fb ∧ Gb))ifadesini elde edecektik. E¤er önce tümel-nicelemeyi elesek, ∃x ((Fx ∧ Ga) ∧ (Fx∧ Gb)) ifadesini, ard›ndan tikel-nicelemeyi eleyerek yine

((Fa ∧ Ga) ∧ (Fa ∧ Gb)) ∨ ((Fb ∧ Ga) ∧ (Fb ∧ Gb))ifadesini elde edecektik.

Nicelemeli bir önermeden bir niceleyicinin nas›l elenece¤ini gördü¤ümüze gö-re, tüm nicelemeli önermelerin sonlu bir kümede aç›l›m›n› oluflturabiliriz. Çünkütüm nicelemeli önermeler nicelemesiz formüllerden niceleyiciler ve önerme ek-lemleriyle elde edilmektedir.

Tan›m: Bir A önermesinde geçen tüm nicelemelerin bir S kümesine göre elen-mesiyle elde edilen ifade, A önermesinin S kümesindeki bir “do¤rusal aç›l›m›” ola-rak adland›r›l›r.


Ö R N E K

Ö R N E K

Bir nicelemeli önermenin birkümedeki do¤rusal aç›l›m›,hangi nicelemenin önceelendi¤ine göre de¤iflmez.

A = ∀y ∃x ((Fx ∧ Gy) ∨ (Gy → Hx)) olsun. A önermesinin {a, b} kümesindeki do¤-rusal aç›l›m›n› bulal›m. Önce tümel-niceleyiciyi elersek,

∃x ((Fx ∧ Ga) ∨ (Ga → Hx)) ∧ ∃x ((Fx ∧ Gb) ∨ (Gb → Hx))

elde edilir. fiimdi tikel-nicelemeleri elersek,

(((Fa ∧ Ga) ∨ (Ga → Ha)) ∨ ((Fb ∧ Ga) ∨ (Ga → Hb))) ∧(((Fa ∧ Gb) ∨ (Gb → Ha)) ∨ ((Fb ∧ Gb) ∨ (Gb → Hb)))

ifadesi, ∀y ∃x ((Fx ∧ Gy) ∨ (Gy → Hx)) önermesinin {a, b} kümesindeki do¤rusalaç›l›m› olarak elde edilir.

∀y (Gy ↔ ∃x (Gy → Hx)) önermesinin {a, b} kümesindeki do¤rusal aç›l›m›n› bu-lal›m. Önce tümel-niceleyiciyi elersek,

(Ga ↔ ∃x (Ga → Hx)) ∧ (Gb ↔ ∃x (Gb → Hx))

elde edilir. fiimdi de tikel-nicelemeleri eleyelim. Sonuçta elde edece¤imiz

(Ga ↔ ((Ga → Ha) ∨ (Ga → Hb))) ∧ (Gb ↔ ((Gb → Ha) ∨ (Gb → Ha)))

ifadesi, ∀y (Gy ↔ ∃x (Gy → Hx)) önermesinin {a, b} kümesindeki do¤rusal aç›l›m›d›r.

∃x (Fx → ∀y (Gy ∧ GA)) önermesinin {a, b} kümesindeki do¤rusal aç›l›m›n› oluflturunuz.

Bir Yorumlamada Bir Önermenin Do¤ruluk De¤erininHesaplanmas›Bir nicelemeli önermenin, evreni SM olan bir M modelinde do¤ruluk de¤erinin he-saplanmas›, Y önermede geçen bir yüklem, s ∈SM olmak üzere Ys biçimindeki ifa-delerin modeldeki do¤ruluk de¤erine dayanmaktad›r. Dolay›s›yla ilk olarak bu bi-çimdeki ifadelerin modeldeki do¤ruluk de¤erinin belirlenmesi gerekir.

Tan›m: M bir model, SM bu modelin evreni, Y bir yüklem sembolü ve s ∈SMolsun. Ys ifadesi M modelinde ancak ve ancak s ∈YM ise do¤rudur. Yani,

s ∈YM ise Ys ifadesinin M modelindeki do¤ruluk de¤eri D, s ∉YM ise Ys ifadesinin M modelindeki do¤ruluk de¤eri Y olur.

{a, b, c} kümesi üzerindeki M modelinde FM = {a, b}, GM = {b, c} olsun. Buna göre,a ∈ FM ve b ∈ FM oldu¤undan, Fa ve Fb do¤ru, c ∉ FM oldu¤undan Fc yanl›flt›r. Gayanl›fl, Gb ve Gc ise do¤rudur.

Bir A önermesinin bir M modelindeki do¤ruluk de¤erini hesaplamak için1. A önermesinin SM kümesindeki aç›l›m›n› olufltururuz.2. A önermesinin SM kümesindeki aç›l›m›nda ad sembollerinin yerine bunlar›n

modeldeki karfl›l›¤› olan elemanlar› koyar›z. Sonuçta elde etti¤imiz ifade Aönermesinin M modelindeki ifadesidir.

3. Elde etti¤imiz ifade Y bir yüklem, s ∈SM olacak flekilde Ys biçimindeki ifa-delerden ve önerme eklemlerinden olufltu¤una göre, bu önermenin do¤ru-luk de¤erini önceki tan›m ve önerme eklemlerinin do¤ruluk de¤erlerine gö-re hesaplar›z. Buldu¤umuz do¤ruluk de¤eri A önermesinin M modelindekido¤ruluk de¤eridir.


Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Ö R N E K

Ö R N E K

SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, AM = a olsun. ∃x (Fx → ∀y (GA → Fy)) önermesi-nin afla¤›da belirtilen modeldeki do¤ruluk de¤erini hesaplayal›m.

(a) ‹lk olarak, önermenin bu modeldeki do¤rusal aç›l›m›n› hesaplayal›m. ‹lkolarak tikel nicelemeyi eleyelim:

((Fa → ∀y (GA → Fy)) ∨ (Fb → ∀y (GA → Fy)))

Tümel nicelemeleri eledi¤imizde

(Fa → ((GA → Fa) ∧ (GA → Fb))) ∨ (Fb → ((GA → Fa) ∧ (GA → Fb)))

(b) A ad sembolünün karfl›l›¤›n› yerine koydu¤umuzda,

(Fa → ((Ga → Fa) ∧ (Ga → Fb))) ∨ (Fb → ((Ga → Fa) ∧ (Ga → Fb)))

(c) Ys biçimindeki ifadelerin do¤ruluk de¤erlerini tan›ma göre yerlerine koy-du¤umuzda,

(D → ((D → D) ∧ (D → Y))) ∨ (Y → ((D → D) ∧ (D → Y)))

elde edilir. Önerme eklemlerinin do¤ruluk tablolar›na göre bileflenlerin do¤rulukde¤erlerini hesaplayarak ilerlersek, bu önermenin do¤ruluk de¤eri D olarak he-saplan›r. Dolay›s›yla ∃x (Fx → ∀y (GA → Fy)) önermesi bize verilen modeldedo¤rudur.

SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a, b}, AM = a olsun. Afla¤›da verilen önermelerin bu mo-deldeki do¤ruluk de¤erini hesaplay›n›z.

(a) (FA → GA) → (∃x Fx → ∃x Gx)(b) ∃x (Fx → Gx) → (∃x Gx → ∀x Fx)

Nicelemeli Önermeler ‹çin Model ve Karfl›-ModelOluflturulmas›Önermeler mant›¤›nda, bize verilen bir önermenin do¤rulay›c› ya da yanl›fllay›c›yorumlamalar›n›, do¤ruluk tablolar› ve çözümleyici çizelge yöntemi ile nas›l olufl-turabilece¤imizi görmüfltük. Bu k›s›mda, bize verilen bir nicelemeli önermenindo¤rulay›c› ya da yanl›fllay›c› yorumlamalar›n› nas›l oluflturabilece¤imizi görece¤iz.Niceleme mant›¤›nda yayg›n kullan›ma uygun olarak, bir önermenin do¤rulay›c›yorumlamas› yerine bu önermenin bir “modeli”, yanl›fllay›c› yorumlamas› yerine“karfl›-modeli” ifadelerini kullanaca¤›z.

A önermesinde geçen tüm yüklem ve ad sembollerinin yorumland›¤› ve Aönermesinin do¤ru oldu¤u bir M modeli A önermesinin bir modelidir. E¤er Aönermesinin bir modelini oluflturmak istiyorsak, oluflturaca¤›m›z M modelinin ev-reni olmak üzere bir S kümesi seçip, bu kümede A önermesinin aç›l›m›n› olufltur-duktan sonra, ad ve yüklem sembollerini, A önermesinin aç›l›m›n› do¤ru yapacakflekilde yorumlamam›z gerekir. Bildi¤iniz gibi, yorumlamada ad sembollerinekarfl›l›k S kümesinin bir eleman›n›, yüklem sembollerine karfl›l›k olarak da Skümesinin bir altkümesini seçmemiz gerekir.

Olabildi¤ince küçük bir model oluflturmak isteyece¤imiz için önce tek elema-n› olan bir küme üzerinde bir model kurmaya çal›fl›p, olmuyorsa eleman say›s›n›gittikçe artt›rmak iyi bir yoldur.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Bir önermenin bir modelinioluflturmak için,oluflturaca¤›m›z modelinevreni olmak üzere bir kümebelirleyip, bu kümedeönermenin do¤rusalaç›l›m›n› oluflturduktansonra, ad ve yüklemsembollerini, önermeninaç›l›m›n› do¤ru yapacakflekilde yorumlamam›zgerekir.

Ö R N E K

∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesi için en fazla iki elemanl› bir küme üzerin-de, bir karfl›-model bulmaya çal›flal›m: Modeli ilk olarak {a} kümesi üzerinde olufl-turmay› deneyelim. ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinin {a} kümesindeki aç›-l›m› ((Fa ∧ GA) ∨ (Ga → Ha)) ifadesidir. Tikel-evetlemenin do¤ru olmas› için bile-flenlerden birinin do¤ru olmas› yeterlidir. Buna göre, (Fa ∧ GA) veya (Ga → Ha)ifadelerinden birini do¤ru yapmaya çal›flal›m: (Fa ∧ GA) tümel-evetlemesinin do¤-ru olmas› için hem Fa hem de GA do¤ru olmal›d›r. Yani, a ∈FM ve AM ∈GM olma-l›d›r. Dolay›s›yla, AM için tek seçenek olan a eleman›n› seçmeli ve a ∈GM olmas›n›sa¤lamal›y›z. Bu söylediklerimize göre, {a} kümesi üzerinde, AM = a, FM = {a} veGM = {a} modelinde ((Fa ∧ Ga) ∨ (Ga → Ha)) ifadesi do¤rudur. Bu ifade M mode-linde ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinin karfl›l›¤› oldu¤undan, oluflturdu-¤umuz M modeli, ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinin bir modelidir.

∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy) önermesi için bir model bulmaya çal›flal›m. Mode-li ilk olarak {a} kümesi üzerinde oluflturmay› deneyelim: ∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y(Gy ∧~Fy) önermesinin {a} kümesindeki aç›l›m› (Fa ∧ ~Ga) ∧ (Ga ∧ ~Fa) ifadesidir. Buifade önerme eklemleri mant›¤› bak›m›ndan bir çeliflme önermesi biçimi olan (A ∧~B) ∧ (B ∧ ~A) biçiminde oldu¤undan, FM ve GM nas›l seçilirse seçilsin, do¤ru ola-maz. Dolay›s›yla iki elemanl› bir küme üzerinde bir model kurmay› denemeliyiz:

∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy) önermesinin {a, b} kümesindeki aç›l›m›((Fa ∧ ~Ga) ∨ (Fb ∧ ~Gb)) ∧ ((Ga ∧ ~Fa) ∨ (Gb ∧ ~Fb))

ifadesidir. Oluflturmak istedi¤imiz modelde, bu ifadenin, do¤ru olmas› için hem((Fa ∧ ~Ga) ∨ (Fb ∧ ~Gb)) hem de ((Ga ∧ ~Fa) ∨ (Gb ∧ ~Fb)) ifadelerinin do¤-ru olmas› gereklidir. Her iki ifade de tikel-evetleme oldu¤undan, birer bileflenlerinido¤ru yapmak yeterlidir. Birinci ifadeden (Fa ∧ ~Ga) ifadesini, ikinci ifadedende (Gb ∧ ~Fb) ifadesini do¤ru yapal›m. Bunun için a ∈FM, a ∉GM, b ∈GM,b ∉FM olmas› gerekli ve yeterlidir. Dolay›s›yla afla¤›daki, M modeli ∃x (Fx ∧ ~Gx)∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy) önermesinin bir modelidir:

SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {b}

A önermesinde geçen tüm yüklem ve ad sembollerinin yorumland›¤› ve A öner-mesinin yanl›fl oldu¤u bir M modeli A önermesinin bir karfl›-modelidir. A önerme-sinin bir karfl›-modelini oluflturmak için, oluflturaca¤›m›z M karfl›-modelinin evreniolmak üzere bir S kümesi seçip bu kümede A önermesinin aç›l›m›n› oluflturduktansonra, ad ve yüklem sembollerini A önermesinin aç›l›m›n› yanl›fl yapacak flekildeyorumlamam›z gerekir. Model ararken oldu¤u gibi, bir elemanl› bir kümeyle bafl-lay›p, gerektikçe eleman say›s›n› artt›rmal›y›z.

Az önceki örnekten yola ç›karak, ∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy) önermesi için birelemanl› bir karfl›-modeli kolayl›kla bulabiliriz. Asl›nda, bir elemanl› her model,∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy) önermesinin karfl›-modelidir. Çünkü önermenin birelemanl› {a} kümesindeki aç›l›m› olan (Fa ∧ ~Ga) ∧ (Ga ∧ ~Fa) ifadesi, önermelermant›¤› bak›m›ndan bir çeliflme önermesi biçimi olan (A ∧ ~B) ∧ (B ∧ ~A) biçi-minde oldu¤undan, FM ve GM nas›l seçilirse seçilsin, do¤ru olamaz.


Ö R N E K

Ö R N E K

Bir önermenin bir karfl›-modelini oluflturmak için,oluflturaca¤›m›z modelinevreni olmak üzere bir kümebelirleyip, bu kümedeönermenin do¤rusalaç›l›m›n› oluflturduktansonra, ad ve yüklemsembollerini, önermeninaç›l›m›n› yanl›fl yapacakflekilde yorumlamam›zgerekir.

Ö R N E K

(∃x Fx ∧ ∃x Gx) → ∃x (Fx ∧ Gx) önermesi için bir karfl›-model bulal›m. Önce tekelemanl› {a} kümesi üzerinde bir karfl›-model oluflturmaya çal›flal›m: Öncelikle,(∃x Fx ∧ ∃x Gx) → ∃x (Fx ∧ Gx) önermesinin {a} kümesindeki aç›l›m›n› bulal›m.∃x Fx önermesinin {a} kümesindeki aç›l›m› Fa, ∃x Gx önermesinin {a} kümesinde-ki aç›l›m› Ga, ∃x (Fx ∧ Gx) önermesinin {a} kümesindeki aç›l›m› ise (Fa ∧ Ga) ifa-desidir. Dolay›s›yla, (∃x Fx ∧ ∃x Gx) → ∃x (Fx ∧ Gx) önermesinin {a} kümesinde-ki aç›l›m› (Fa ∧ Ga) → (Fa ∧ Ga) olur. Bu ifade bir totoloji örne¤i oldu¤undanyanl›fl olamaz. Dolay›s›yla, tek elemanl› bir küme üzerinde, (∃x Fx ∧ ∃x Gx) → ∃x(Fx ∧ Gx) önermesine karfl›-model oluflturulamaz.

‹ki elemanl› {a, b} kümesi üzerinde bir karfl›-model oluflturmay› deneye-lim: (∃x Fx ∧ ∃x Gx) → ∃x (Fx ∧ Gx) önermesinin {a, b} kümesindeki aç›l›m›,

((Fa ∨ Fb) ∧ (Ga ∨ Gb)) → ((Fa ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb))

ifadesidir. Bu ifadeyi yanl›fl yapmak için, (Fa ∨ Fb) ∧ (Ga ∨ Gb)) ifadesi do¤ru,((Fa ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb)) ifadesi yanl›fl olmal›d›r. Kolayl›kla görebilece¤iniz gibi, Fave Gb ifadelerini do¤ru, Fb ve Ga ifadelerini yanl›fl kabul etti¤imizde, ((Fa ∨ Fb) ∧(Ga ∨ Gb)) ifadesi do¤ru, ((Fa ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb)) ifadesi yanl›fl olur. Buna göre,

SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {b}

modelinde (Fa ∨ Fb) ∧ (Ga ∨ Gb)) → ((Fa ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb)) ifadesi yanl›flt›r. Buifade, modelde (∃x Fx ∧ ∃x Gx) → ∃x (Fx ∧ Gx) önermesinin karfl›l›¤› oldu¤undan,bu model önermenin bir karfl›-modelidir.

Tüm modellerde do¤ru olan bir nicelemeli önerme, niceleme mant›¤›nda “ge-çerli” bir önermedir. Bu k›s›mda anlatt›¤›m›z yöntem, nicelemeli önermelerin ge-çerlili¤ini göstermek için de kullan›labilir: E¤er içinde n tane yüklem sembolü ge-çen bir önerme için, en çok 2n elemanl› bir kümede karfl›-model oluflturulamazsa,bu önermenin karfl›-modeli yoktur. Dolay›s›yla, bu önerme niceleme mant›¤›ndageçerli bir önermedir. Kullan›fll› olmad›¤›ndan, bunu bir yöntem olarak gelifltirme-yece¤iz. Niceleme mant›¤›nda geçerlilik denetlemesini sekizinci ünitede ele alaca-¤›m›z çözümleyici çizelge yöntemiyle gerçeklefltirece¤iz.

MODELLER VE N‹CELEMEL‹ ÇIKARIMLARÖnermeler mant›¤›nda bir ç›kar›m›n geçersiz oldu¤unu göstermek için, ç›kar›m›ndo¤ruluk tablosunu yaparak, ç›kar›m›n tüm öncüllerinin do¤ru ancak ç›kar›m›n so-nuç önermesinin yanl›fl oldu¤u bir do¤ruluk de¤erlemesi bulmak yeterli idi. Nice-leme mant›¤›nda bir ç›kar›m›n geçersiz oldu¤unu, ç›kar›m›n tüm öncüllerinin do¤-ru ancak ç›kar›m›n sonuç önermesinin yanl›fl oldu¤u bir “karfl›-model” oluflturarakgösterebiliriz. Bir ç›kar›m›n bir karfl›-modeli varsa, bu ç›kar›m niceleme mant›¤›n-da geçersizdir. Ç›kar›m›n karfl›-modeli olmayan tüm modeller ç›kar›m›n bir mode-li kabul edilir. Yani, bir modelin ç›kar›m›n bir modeli olmas› için, öncüllerden enaz biri bu modelde yanl›fl olmal› veya tüm öncüller bu modelde do¤ru ise, sonu-cun da bu modelde do¤ru olmas› gerekir.

Bir ç›kar›m›n karfl›-modelini olufltururken tüm önermeleri ayn› modelde de¤er-lendirmek gereklidir. Öncüllerin do¤ru ve sonucun yanl›fl oldu¤u ayr› modelleroluflturmakla ç›kar›m›n geçersiz oldu¤unu gösteremeyiz. Bu nedenle, ç›kar›m›ngeçersiz oldu¤unu gösteren bir karfl›-model oluflturmaya çal›fl›rken afla¤›daki ad›m-lar› izleriz:


Ö R N E K

Bir ç›kar›m›n tüm öncüllerinido¤ru, sonuç önermesiniyanl›fl yapan bir karfl›-modeli varsa, bu ç›kar›mniceleme mant›¤›ndageçersizdir.

(a) Sonlu bir S kümesi seçmek,(b) Ç›kar›m› oluflturan tüm önermelerin A kümesindeki bir do¤rusal aç›l›m›n›

oluflturmak,(c) Elde edilen ifadede, bileflenlere öncülleri do¤ru, sonuç önermesini yanl›fl

yapacak flekilde do¤ruluk de¤eri vermeye çal›flmak,(d) Elde edilen do¤ruluk de¤erlemesine göre, ad sembollerine karfl›l›k gelecek

elemanlar› ve yüklemlerin kaplamlar›n› belirlemek.

∃x ∃y (Fx ∧ ~Fy) ∴ ∃x ∀y (Fx ∧ ~Fy) ç›kar›m› için iki elemanl› bir karfl›-model bul-maya çal›flal›m: ∃x ∃y (Fx ∧ ~Fy) önermesinin {a, b} kümesindeki aç›l›m›n› elde etmek için, önce ∃xnicelemesini eleyelim. Elde edece¤imiz ifade ∃y (Fa ∧ ~Fy) ∨ ∃y (Fb ∧ ~Fy) ifade-sidir. fiimdi her iki ∃y nicelemesini de elersek,

((Fa ∧ ~Fa) ∨ (Fa ∧ ~Fb)) ∨ ((Fb ∧ ~Fa) ∨ (Fb ∧ ~Fb))

ifadesini elde ederiz. ∃x ∀y (Fx ∧ ~Fy) önermesinin {a, b} kümesindeki aç›l›m›n› elde etmek için, ön-

ce ∃x nicelemesini eleyelim. Elde edece¤imiz ifade ∀y (Fa ∧ ~Fy) ∨ ∀y (Fb ∧ ~Fy)ifadesidir. fiimdi her iki ∀y nicelemesini de elersek,

((Fa ∧ ~Fa) ∧ (Fa ∧ ~Fb)) ∨ ((Fb ∧ ~Fa) ∧ (Fb ∧ ~Fb))

ifadesini elde ederiz. ((Fa ∧ ~Fa) ∨ (Fa ∧ ~Fb)) ∨ ((Fb ∧ ~Fa) ∨ (Fb ∧ ~Fb)) ifadesinin do¤ru olma-

s› için, (Fa ∧ ~Fb) veya (Fb ∧ ~Fa) ifadelerinden birinin do¤ru olmas› gerekir.(Fa ∧ ~Fb) ifadesini do¤ru kabul edelim. Dolay›s›yla, a eleman› F yükleminin kap-lam›nda yer almal› b eleman› ise F eleman›n›n kaplam›nda yer almamal›d›r.

((Fa ∧ ~Fa) ∧ (Fa ∧ ~Fb)) ∨ ((Fb ∧ ~Fa) ∧ (Fb ∧ ~Fb)) ifadesi ise hiçbir durum-da do¤ru olamaz. Bu ifade bir tikel-evetleme oldu¤undan, (Fa ∧ ~Fa) ∧ (Fa ∧~Fb) ya da (Fb ∧ ~Fa) ∧ (Fb ∧ ~Fb) bileflenlerinden birinin do¤ru olmas› yeterli-dir. Ancak, (Fa ∧ ~Fa) ifadesi nedeniyle (Fa ∧ ~Fa) ∧ (Fa ∧ ~Fb) ifadesi, (Fb ∧~Fb) ifadesi nedeniyle de (Fb ∧ ~Fa) ∧ (Fb ∧ ~Fb) ifadesi do¤ru olamaz.

Dolay›s›yla, ∃x ∃y (Fx ∧ ~Fy) ∴ ∃x ∀y (Fx ∧ ~Fy) ç›kar›m› için karfl›-modeliafla¤›daki flekilde oluflturabiliriz.

SM = {a, b}, FM = {a}

∀x ∃y (Fx ∧ Gy) ∴ ∃y ∀x (Fx ∧ Gy) ç›kar›m› için en çok iki elemanl› bir karfl›-mo-del bulmaya çal›flal›m:

Modeli ilk olarak, {a} kümesi üzerinde kurmaya çal›flal›m:Öncül: ∀x ∃y (Fx ∧ Gy) önermesinden tümel-niceleyiciyi eledi¤imizde ∃y

(Fa ∧ Gy) elde edilir. Bu ifadeden tikel-niceleyiciyi elersek (Fa ∧ Ga) elde edilir.Sonuç: ∃y ∀x (Fx ∧ Gy) önermesinden tikel niceleyiciyi eledi¤imizde ∀x

(Fx ∧ Ga) elde edilir. fiimdi bu ifadeden tümel-niceleyiciyi elersek (Fa ∧ Ga) eldeedilir.

Dolay›s›yla, ç›kar›m›n {a} kümesindeki aç›l›m› (Fa ∧ Ga) ∴ (Fa ∧ Ga) ifadesidir.Bu ifade, önermeler mant›¤›nda geçerli bir ç›kar›m biçimi olan (A ∧ B) ∴ (A ∧ B)biçiminde oldu¤undan, F ve G yüklemlerinin nas›l yorumlarsak yorumlayal›m, ön-cülünü do¤ru sonuç önermesini yanl›fl yapamay›z.


Ö R N E K

Ö R N E K

Tek elemanl› bir karfl›-model bulamayaca¤›m›za göre, karfl›-modeli, {a, b} kü-mesi üzerinde kurmaya çal›flal›m:

Öncül: ∀x ∃y (Fx ∧ Gy) önermesinden tümel-niceleyiciyi eleyerek elde ede-ce¤imiz önerme ∃y (Fa ∧ Gy) ∧ ∃y (Fb ∧ Gy) ifadesidir. Bu ifadeden tikel-niceleyi-cileri eleyerek elde edece¤imiz ifade fludur:

((Fa ∧ Ga) ∨ (Fa ∧ Gb)) ∧ ((Fb ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb))

Sonuç önermesi: ∃y ∀x (Fx ∧ Gy) önermesinden tikel niceleyiciyi eledi¤imiz-de ∀x (Fx ∧ Ga) ∨ ∀x (Fx ∧ Gb) elde edilir. fiimdi bu ifadeden tümel-niceleyici-leri elersek elde edece¤imiz ifade fludur:

((Fa ∧ Ga) ∧ (Fb ∧ Ga)) ∨ ((Fa ∧ Gb) ∧ (Fb ∧ Gb))

fiimdi F ve G yüklemlerinin kaplamlar›n›, {a, b} kümesi üzerinde elde edece¤i-miz modelde öncül önermesi do¤ru, sonuç önermesi yanl›fl olacak flekilde belirle-meye çal›flal›m:

((Fa ∧ Ga) ∨ (Fa ∧ Gb)) ∧ ((Fb ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb)) ifadesini do¤ru yapmak için,hem (Fa ∧ Ga) ∨ (Fa ∧ Gb) hem de (Fb ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb) ifadelerini do¤ru yap-mal›y›z. Bunun için, hem Fa hem de Fb do¤ru olmal›, Ga ve Gb ifadelerinden deen az biri do¤ru olmal›d›r. Hangisini do¤ru kabul edece¤imize, sonuç önermesinebakarak karar verelim:

Sonuç önermesinin aç›l›m› olan ((Fa ∧ Ga) ∧ (Fb ∧ Ga)) ∨ ((Fa ∧ Gb) ∧ (Fb ∧Gb)) ifadesini yanl›fl yapmak için, hem Fa hem de Fb ifadelerini do¤ru kabul etti-¤imize göre, hem Ga hem de Gb yanl›fl olmal›d›r. Ga do¤ru olursa, ((Fa ∧ Ga) ∧(Fb ∧ Ga)), Gb do¤ru olursa, ((Fa ∧ Gb) ∧ (Fb ∧ Gb)) do¤ru olur. Sonuç ifadesi,bu iki ifadenin tikel-evetlemesi oldu¤undan, bu iki ifadeden birinin bile modeldedo¤ru olmas› durumunda, sonuç ifadesi do¤ru olur.

Sonuç olarak, ∀x ∃y (Fx ∧ Gy) ∴ ∃y ∀x (Fx ∧ Gy) ç›kar›m› için iki elemanl› birkarfl›-model bulunamaz.

∃x ∃y (Fx ∧ Gy) ∴ ∀x ∃y (Fx ∧ Gy) ç›kar›m› için iki elemanl› bir karfl›- model bu-lunuz.

Bu k›s›mda anlatt›¤›m›z yöntem, nicelemeli ç›kar›mlar›n geçerlili¤ini göstermekiçin de kullan›labilir: E¤er içinde n tane yüklem sembolü geçen bir ç›kar›m için, ençok 2n elemanl› bir kümede karfl›-model oluflturulamazsa, bu ç›kar›m›n karfl›-mode-li yoktur. Dolay›s›yla, bu ç›kar›m niceleme mant›¤›nda geçerli bir önermedir. Öner-meler k›sm›nda belirtti¤imiz gibi, kullan›fll› olmad›¤›ndan, bunu bir yöntem olarakgelifltirmeyece¤iz. Niceleme mant›¤›nda ç›kar›mlar›n geçerlilik denetlemesini seki-zinci ünitede ele alaca¤›m›z çözümleyici çizelge yöntemiyle gerçeklefltirece¤iz.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3


Niceleme mant›¤›nda “model” kavram›n› aç›kla-

yabilmek.

Niceleme mant›¤›nda yorumlama modellerle ger-çekleflir. Her model bir küme üzerinde oluflturu-lur. Modelin üzerine kuruldu¤u küme, modelin“tafl›y›c› kümesi” ya da “evreni” olarak adland›r›-l›r. Bir S kümesi üzerinde, bu kümeyi evren ola-rak kabul eden bir model oluflturabilmek için,yüklem ve ad sembollerini bu küme üzerindeyorumlamak gerekir. Bir önermeyi, önerme kü-mesini veya ç›kar›m› herhangi bir S kümesi üze-rindeki bir modelde denetlerken, sadece ele al-d›¤›m›z önermede, önerme kümesinde veya ç›-kar›mda geçen ad ve yüklem sembollerini S kü-mesinde yorumlamam›z yeterlidir. Gündelik dilde bir özel ad›n ifllevi belirli bir var-l›¤a iflaret ederek, o varl›k hakk›nda konuflmam›-z› sa¤lamakt›r. Niceleme mant›¤›n›n sembolik di-linde ad sembolleri gündelik dildeki özel adlargibi ifllev görür. Dolay›s›yla, bir ad sembolününbir kümede yorumlanmas› demek, o ad sembolü-nü kümenin bir eleman› ile efllefltirmek demektir.Gündelik dilde bir yüklemin ifllevi, kimi varl›kla-r›n sahip oldu¤u, kimi varl›klar›n ise sahip olma-d›¤› bir özelli¤i dile getirmektir. Yüklemlerin ni-celeme mant›¤›n›n sembolik dilindeki karfl›l›¤›,yüklem sembolleridir. Bu nedenle, bir yüklemsembolünün bir kümede yorumlanmas› demek,o yüklem sembolünün kümedeki hangi eleman-lara do¤ru olarak uygulanabilece¤ini, hangi var-l›klara uygulanamayaca¤›n› belirtmek demektir.Bu ise, yüklem sembolünü kümenin bir altkü-mesi ile efllefltirmek demektir. Evrenin yüklemsembolünü efllefltirdi¤imiz altkümesi, evrende buyüklemin belirtti¤i özelli¤e sahip olan nesnelerinkümesidir. Bu altküme yüklemin o evrendeki“kaplam›” olarak adland›r›l›r. S sonlu bir küme ise, bir önermede, önerme kü-mesinde veya ç›kar›mda geçen her yüklem sem-bolü için S kümesinin bir altkümesinden ve herad sembolü A için S kümesinin bir eleman›ndanoluflan yap›, bu önermeyi, önerme kümesini ve-ya ç›kar›m› denetleyebilece¤imiz bir modeldir.

Nicelemeli önermeleri bir modelde denetleyebilmek.

Bir nicelemeli sembolik önermeyi bir modeldedenetleyebilmek için, önce önermenin o mode-lin evreninde aç›l›m›n› oluflturmam›z gerekir. Buifllem, önermedeki tümel ve tikel-nicelemelerinelenmesiyle gerçeklefltirilir. Önermedeki nicele-meler hangi s›rayla elenirse elensin, elde edece-¤imiz aç›l›m de¤iflmez. S = {a, b, c, ...} ise, ∀v Aifadesinin S kümesindeki bir do¤rusal aç›l›m›,A(a) ∧ A(b) ∧ A(c) ∧… ifadesidir. ∃v A ifadesi-nin S kümesindeki do¤rusal aç›l›m›, A(a) ∨ A(b)∨ A(c) ∨… ifadesidir. Bir önermede geçen ∀v Aifadesi yerine bu ifadenin S kümesindeki aç›l›-m›n› yazd›¤›m›zda, burada geçen ∀v A tümel-ni-celemesini S kümesine göre eledi¤imizi söyleriz.Ayn› flekilde, bir önermede geçen ∃v A ifadesi-nin yerine bu ifadenin S kümesindeki aç›l›m›n›yazd›¤›m›zda burada geçen ∃v tikel-nicelemesi-ni S kümesine göre eledi¤imizi söyleriz. Bir Aönermesinde geçen tüm niceleyicilerin S küme-sine göre elenmesiyle elde edilen ifade, A öner-mesinin S kümesindeki “do¤rusal aç›l›m›” olarakadland›r›l›r. Nicelemeli bir sembolik önermenin bir modelinevrenindeki do¤rusal aç›l›m›n› oluflturduktansonra, elde etti¤imiz ifadenin modeldeki do¤ru-luk de¤eri, önermenin bu modeldeki do¤rulukde¤eridir. Önermenin aç›l›m› olan ifadenin bumodeldeki do¤ruluk de¤erini bulmak için, ilkolarak ad sembollerinin yerine modeldeki karfl›-l›klar›n› koyar›z. fiimdi elde etti¤imiz ifade, Y biryüklem sembolü, s ise evrenin bir eleman› ol-mak üzere sadece Ys biçimindeki ifadelerden veönerme eklemlerinden oluflur. Bu ifadenin mo-deldeki do¤ruluk de¤erini belirlemek için önceYs biçimindeki ifadelerin do¤ruluk de¤erlerininbelirlenmesi gerekir: E¤er s eleman› Y yüklemi-nin modeldeki yorumu olan YM altkümesinin bireleman› ise, Ys ifadesi do¤ru, de¤ilse yanl›flt›r.‹fadede geçen Ys biçimindeki ifadelerin do¤ru-luk de¤erlerinin belirlenmesinden sonra, öner-me eklemlerinin do¤ruluk tablolar›na göre ilerle-yerek tüm ifadenin do¤ruluk de¤eri elde edilir. Nicelemeli bir A önermesi bir M modelinde do¤-ru ise M modeli A önermesinin modelidir, A öner-mesi bir M modelinde yanl›fl ise M modeli A öner-

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç


mesinin bir karfl›-modelidir. Bize verilen bir ni-celemeli önerme için (varsa) model veya karfl›-model oluflturabiliriz. Bunun için önce modeliveya karfl›-modeli oluflturmak istedi¤imiz küme-de önermenin aç›l›m›n› olufltururuz. Ard›ndan,model bulmak için, ad ve yüklem sembollerini,önermeyi bu modelde do¤ru yapacak flekilde,karfl›-model bulmak için ise, ad ve yüklem sem-bollerini, önermeyi bu modelde yanl›fl yapacakflekilde yorumlar›z. Tüm modellerde do¤ru olan bir nicelemeli öner-me, niceleme mant›¤›nda “geçerli” bir önerme-dir. Model oluflturma yöntemi, nicelemeli öner-melerin geçerlili¤ini göstermek için de kullan›la-bilir: E¤er içinde n tane yüklem sembolü geçenbir önerme için, en çok 2n elemanl› bir kümedekarfl›-model oluflturulamazsa, bu önermenin kar-fl›-modeli yoktur. Dolay›s›yla, bu önerme nicele-me mant›¤›nda geçerli bir önermedir. Kullan›fll›olmad›¤›ndan, bunu bir yöntem olarak gelifltir-meyece¤iz. Niceleme mant›¤›nda önermeleringeçerlilik denetlemesini sekizinci ünitede ele ala-ca¤›m›z çözümleyici çizelge yöntemiyle gerçek-lefltirece¤iz.

Nicelemeli ç›kar›mlar› bir modelde denetleyebilmek.

Önermeler mant›¤›nda bir ç›kar›m›n geçersiz ol-du¤unu göstermek için, bu ç›kar›m›n tüm öncül-lerinin do¤ru ancak ç›kar›m›n sonuç önermesininyanl›fl oldu¤u bir do¤ruluk de¤erlemesi bulmakyeterli idi. Böyle bir do¤ruluk de¤erlemesini, ç›-kar›m›n do¤ruluk tablosunu veya çözümleyici çi-zelgesini oluflturarak, bulabiliyorduk. Nicelememant›¤›nda ise, bir ç›kar›m›n geçersiz oldu¤unugöstermek için, ç›kar›m›n tüm öncüllerinin do¤ruancak ç›kar›m›n sonuç önermesinin yanl›fl oldu-¤u bir model oluflturmam›z gerekir. Böyle bir mo-del, varsa, ç›kar›m›n niceleme mant›¤›nda geçer-siz oldu¤unu gösterir ve bu model ç›kar›m›n birkarfl›-modelidir. Ç›kar›m›n karfl›-modeli olmayantüm modeller ç›kar›m›n bir modeli kabul edilir.Yani, bir modelin ç›kar›m›n bir modeli olmas›için, öncüllerden en az biri bu modelde yanl›fl ol-mal› veya tüm öncüller bu modelde do¤ru ise,sonucun da bu modelde do¤ru olmas› gerekir.

Bir ç›kar›m›n karfl›-modelini olufltururken tümönermeleri ayn› modelde de¤erlendirmek gerek-lidir. Öncüllerin do¤ru ve sonucun yanl›fl oldu¤uayr› modeller oluflturmakla ç›kar›m›n geçersiz ol-du¤unu gösteremeyiz. Ç›kar›m›n geçersiz oldu-¤unu gösteren bir karfl›-model oluflturmaya çal›-fl›rken afla¤›daki ad›mlar› izleriz: 1. Sonlu bir S kümesi seçmek,2. Ç›kar›m› oluflturan tüm önermelerin S küme-

sindeki bir do¤rusal aç›l›m›n› oluflturmak,3. Elde edilen ifadenin bileflenlerine, öncülleri

do¤ru, sonuç önermesini yanl›fl yapacak fle-kilde do¤ruluk de¤eri vermek,

4. Elde edilen do¤ruluk de¤erlemesine göre, adsembollerine karfl›l›k gelecek elemanlar›n veyüklemlerin kaplamlar›n› belirlemek.

Bu yöntem, nicelemeli ç›kar›mlar›n geçerlili¤inigöstermek için de kullan›labilir: E¤er içinde n ta-ne yüklem sembolü geçen bir ç›kar›m için, ençok 2n elemanl› bir kümede karfl›-model olufltu-rulamazsa, bu ç›kar›m›n karfl›-modeli yoktur. Do-lay›s›yla, bu ç›kar›m niceleme mant›¤›nda geçer-li bir önermedir. Önermeler k›sm›nda belirtti¤i-miz gibi, kullan›fll› olmad›¤›ndan, bunu bir yön-tem olarak gelifltirmeyece¤iz. Niceleme mant›-¤›nda ç›kar›mlar›n geçerlilik denetlemesini seki-zinci ünitede ele alaca¤›m›z çözümleyici çizelgeyöntemiyle gerçeklefltirece¤iz.

3NA M A Ç


1. ∀x (Fx → ∃y (Gx ∨ Gy)) önermesinin {a, b} kümesin-deki aç›l›m› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. (Fa → (Ga ∨ Ga) ∨ (Ga ∨ Ga)) ∧(Fb → ((Ga ∨ Gb) ∨ (Ga ∨ Gb)))

b. (Fa → (Ga ∨ Ga) ∨ (Ga ∨ Gb)) ∧(Fb → ((Gb ∨ Ga) ∨ (Gb ∨ Gb)))

c. (Fa → (Ga ∨ Gb) ∨ (Ga ∨ Gb)) ∧(Fb → ((Gb ∨ Gb) ∨ (Ga ∨ Gb)))

d. (Fa → (Ga ∨ Gb) ∨ (Ga ∨ Gb)) ∧(Fb → ((Gb ∨ Gb) ∨ (Gb ∨ Gb)))

e. (Fa → (Ga ∨ Ga) ∧ (Ga ∨ Gb)) ∧(Fb → ((Gb ∨ Ga) ∧ (Gb ∨ Gb)))

2. SM = {a, b, c}, FM = {a, b}, GM = {b, c}, AM = a, BM = b,

CM = c, modelinde afla¤›daki önermelerden hangisi yan-

l›flt›r?

a. FA

b. FB

c. FC

d. GB

e. GC

3. Afla¤›dakilerden hangisi, SM = {a, b, c}, FM = ?, GM

= {b, c}, AM = a modelinde FA ↔ GA önermesinindo¤ru olmas› için gereklidir?

a. a ∈FM

b. a ∉FM

c. b ∈FM

d. b ∉FM

e. c ∈FM

4. Afla¤›daki önermelerden hangisi SM = {a, b, c}, FM =

{a, b}, GM = {b, c}, AM = a, BM = c, modelinde yanl›flt›r?

a. ∃x ~Fx

b. ∃x Fx

c. ∀x (Fx ↔ Gx)d. ∀x (Fx ∨ Gx)e. ∃x (Fx ∧ Gx)

5. Afla¤›daki önermelerden hangisi SM = {a, b}, FM =

{a, b}, AM = a modelinde do¤rudur?a. ∀x ~Fx

b. ∃x ~Fx

c. ~FA

d. ∀x Fx

e. ∃x (Fx → ~FA)

6. Afla¤›daki önermelerden hangisi SM = {a, b, c}, FM =

{a, b}, AM = a modelinde do¤rudur?a. ∀x ~Fx

b. ∀x Fx

c. ∃y (~FA ∧ Fy)d. ∃y (FA ∧ ~Fy)e. ~FA ∧ ∃y Fy

7. Afla¤›daki önermelerden hangisi SM = {a, b}, FM = {a},AM = b modelinde yanl›flt›r?

a. ∃x ~Fx

b. ∃x Fx

c. ∃x (Fx → FA)d. ∀x (Fx ∨ ~FA)e. ∀x (Fx → FA)

8. Afla¤›daki önermelerden hangisi SM = {a, b}, FM = {b},AM = a modelinde yanl›flt›r?

a. ∃x ~Fx

b. ∃x Fx

c. ∃x (Fx → FA)d. ∀x (Fx ∨ ~FA)e. ∀x (Fx → FA)

9. Afla¤›daki modellerin hangisi ∃x Fx ∴∀x (Fx ∧ FA)ç›kar›m›n›n bir karfl›-modelidir?

a. SM = {a}, F = { }, A = a

b. SM = {a, b}, F = { }, A = a

c. SM = {a, b}, F = {a}, A = a

d. SM = {a, b}, F = {a, b}, A = a

e. SM = {a, b}, F = {a, b}, A = b

10. Afla¤›daki modellerin hangisi ∃x Fx ∴∃x (Fx ∧ FA)ç›kar›m›n›n bir karfl›-modelidir?

a. SM = {a}, F = { }, A = a

b. SM = {a, b}, F = { }, A = a

c. SM = {a, b}, F = {a}, A = a

d. SM = {a, b}, F = {b}, A = b

e. SM = {a, b}, F = {a}, A = b



1. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Modeller veNicelemeli Önermeler” konusuna bak›n›z.

2. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Modeller veNicelemeli Önermeler” konusuna bak›n›z.

3. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Modeller veNicelemeli Önermeler” konusuna bak›n›z.

4. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Modeller veNicelemeli Önermeler” konusuna bak›n›z.

5. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Modeller veNicelemeli Önermeler” konusuna bak›n›z.

6. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Modeller veNicelemeli Önermeler” konusuna bak›n›z.

7. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Modeller veNicelemeli Önermeler” konusuna bak›n›z.

8. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Modeller veNicelemeli Önermeler” konusuna bak›n›z.

9. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Modeller veNicelemeli Ç›kar›mlar” konusuna bak›n›z.

10. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Modeller veNicelemeli Ç›kar›mlar” konusuna bak›n›z.


∃x (Fx → ∀y (Gy ∧ GA)) önermesinin {a, b} kümesinde-ki aç›l›m›n› oluflturmak için, önce ∃x nicelemesini ele-yelim. Bu durumda

(Fa → ∀y (Gy ∧ GA)) ∨ (Fb → ∀y (Gy ∧GA))

ifadesi elde edilir. fiimdi ∀y nicelemelerini de elersek,

(Fa → ((Ga ∧ GA) ∧ (Gb ∧ GA))) ∨(Fb → ((Ga ∧ GA) ∧ (Gb ∧ GA)))

ifadesi elde edilir.

S›ra Sizde 2

SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a, b}, AM = a modelinde bi-ze verilen önermelerin do¤ruluk de¤erini hesaplayal›m: (a) (FA → GA) → (∃x Fx → ∃x Gx) önermesinin {a, b}

kümesindeki do¤rusal aç›l›m›.

(FA → GA) → ((Fa ∨ Fb) → (Ga ∨ Gb))

ifadesidir. Ad sembolünün karfl›l›¤›n› yerine koyarsak

(Fa → Ga) → ((Fa ∨ Fb) → (Ga ∨ Gb))

ifadesini elde ederiz. Modele göre, Fa: D, Fb: Y, Ga:

D, Gb: D olur. Bu de¤erleri yerine koyarsak, (D →D) → ((D ∨ Y) → (D ∨ D)) ifadesini elde ederiz.Kolayca hesaplanabilece¤i gibi, bu ifade D do¤ru-luk de¤erini al›r. Dolay›s›yla, (FA → GA) → (∃x Fx

→ ∃x Gx) önermesi bu modelde do¤rudur.

(b) ∃x (Fx → Gx) → (∃x Gx → ∀x Fx) önermesinin {a,

b} kümesindeki aç›l›m›

((Fa → Ga) ∨(Fb → Gb)) → ((Ga ∨ Gb) → (Fa ∧Fb))

ifadesidir. Ad sembolü olmad›¤›ndan, hemen do¤-ruluk de¤erlerini yerine koyarak elde edece¤imiz((D → D) ∨ (Y → D)) → ((D ∨ D) → (D ∧ Y)) ifa-desi Y de¤erini al›r.

S›ra Sizde 3

∃x ∃y (Fx ∧ Gy) ∴ ∀x ∃y (Fx ∧ Gy) ç›kar›m›n› {a, b} kü-mesinde açal›m. ∃x ∃y (Fx ∧ Gy) öncülünden, önce ∃x tikel-nicelemesi-ni elersek,

∃y (Fa ∧ Gy) ∨ ∃y (Fb ∧ Gy)

ifadesini elde ederiz. fiimdi, ∃y nicelemesini eleyerek

((Fa ∧ Ga) ∨ (Fa ∧ Gb)) ∨ ((Fb ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb))

elde edilir. ∀x ∃y (Fx ∧ Gy) sonuç önermesinden ∀x

nicelemesini elersek

∃y (Fa ∧ Gy) ∧ ∃y (Fb ∧ Gy)

ifadesini elde ederiz. fiimdi, bu ifadeden ∃y tikel-nice-lemelerini eleyerek

((Fa ∧ Ga) ∨ (Fa ∧ Gb)) ∧ ((Fb ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb))

elde edilir. fiimdi, ∃x ∃y (Fx ∧Gy) ∴ ∀x∃y (Fx ∧ Gy) ç›kar›m›-

n›n {a, b} kümesindeki aç›l›m› olarak elde etti¤imiz

((Fa ∧ Ga) ∨ (Fa ∧ Gb)) ∨ ((Fb ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb))

∴((Fa ∧ Ga) ∨ (Fa ∧ Gb)) ∧ ((Fb ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb))

ifadesinin öncülünü do¤ru, sonucunu yanl›fl yapacakbir model kurmaya çal›flal›m:



Öncülü do¤ru yapmak için a ∈FM, a ∈GM kabul etmekyeterlidir. Çünkü bu durumda (Fa ∧ Ga) do¤ru olur vedolay›s›yla ((Fa ∧ Ga) ∨ (Fa ∧ Gb)) ∨ ((Fb ∧ Ga) ∨ (Fb

∧ Gb)) ifadesi de do¤ru olur. fiimdi, b ∉ FM oldu¤unukabul edersek, Fb yanl›fl olaca¤›ndan, hem (Fb ∧Ga)hem de (Fb ∧ Gb) yanl›fl olur ve dolay›s›yla sonuç ifa-desi olan ((Fa ∧ Ga) ∨ (Fa ∧ Gb)) ∧ ((Fb ∧ Ga) ∨ (Fb

∧ Gb)) ifadesi kuraca¤›m›z modelde yanl›fl olur.Buna göre, ∃x ∃y (Fx ∧Gy) ∴ ∀x∃y (Fx ∧ Gy) ç›kar›m›için iki elemanl› bir karfl›-modeli afla¤›daki gibi olufltu-rabiliriz:

SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a}.

Grünberg, T. (2000). Sembolik Mant›k El Kitab›. (3cilt). Ankara: METU Press.

Grünberg, T. ve Onart, A. vd. (2003). Mant›k Terimle-

ri Sözlü¤ü. Ankara: METU Press.Kalish, D., Montague R., Mar, G. (1980) Logic:


Ural, fi. (1995). Temel Mant›k. ‹stanbul: Çantay Kitabe-vi.


Y›ld›r›m, C. (1999). Mant›k: Do¤ru Düflünme Yönte-


Yararlan›lan ve BaflvurulabilecekKaynaklar

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Gündelik dildeki nicelemeli önermeleri ve ç›kar›mlar› niceleme mant›¤›ndasembollefltirebilecek, Nicelemeli sembolik önerme ve ç›kar›mlar› gündelik dile çevirebileceksiniz.


• Sembollefltirme• Sembollefltirme anahtar›• Kategorik önerme

• Çeviri• Çeviri anahtar›

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

N

Sembolik Mant›k

• G‹R‹fi• SEMBOLLEfiT‹RME • GÜNDEL‹K D‹LE ÇEV‹R‹

Niceleme Mant›¤›ndaSembollefltirme ve Çeviri

7SEMBOL‹K MANTIK

G‹R‹fiÜçüncü ünitede, gündelik dildeki önerme ve ç›kar›mlar›n önermeler mant›¤›ndasembollefltirilmesi ve önermeler mant›¤›n›n sembolik dilindeki önermelerin gün-delik dile çevrilmesi konular›n› ele alm›flt›k. Beflinci ünitede ise, önermeler mant›-¤›n›n gündelik dildeki kimi önerme ve ç›kar›mlar›n uygun biçimde denetlenmesiiçin yeterli olmad›¤›n›, nicelemeli ç›kar›m örnekleri ile göstermifltik. Nicelememant›¤›n›n sembolik dili, gündelik dildeki tümel ve tikel-niceleme ifadelerini detemsil ederek, gündelik dildeki ak›l yürütmelerimizi daha güçlü biçimde denetle-yebilmemizi sa¤lar. Bu ünitede, içinde niceleme ifadeleri bulunan gündelik dilönerme ve ç›kar›mlar›n› niceleme mant›¤›nda sembollefltirme ve niceleme mant›-¤›n›n sembolik önermelerinin gündelik dil önermelerine çevirisi konusunu ele ala-ca¤›z. Bu sayede, nicelemeli gündelik dil ç›kar›mlar›n› niceleme mant›¤›nda denet-leyebilece¤iz.

SEMBOLLEfiT‹RMEBir önceki ünitede “model” kavram›n› ele alm›fl ve nicelemeli önermelerin model-de do¤rulu¤una-yanl›fll›¤›na nas›l karar verebilece¤imizi görmüfltük. Buna göre, enaz bir modelde do¤ru olan bir nicelemeli önerme tutarl›, en az bir modelde yanl›flolan bir önerme geçersiz, en az bir modelde do¤ru ve en az bir modelde yanl›flolan (yani tutarl› ama geçersiz) bir önerme olumsal, tüm modellerde do¤ru olanbir önerme geçerlidir. Ç›kar›mlara gelince, en az bir modelde tüm öncülleri do¤ruama sonuç önermesi yanl›fl olan bir ç›kar›m geçersiz, öncüllerinin tümünün do¤ruoldu¤u her modelde sonuç önermesi de do¤ru olan bir ç›kar›m ise geçerlidir.

Gündelik dildeki bir önerme veya ç›kar›m› niceleme mant›¤›nda denetlemek, buönerme veya ç›kar›m›n semantik statüsünü (geçerlilik, geçersizlik, tutarl›l›k, olum-sall›k durumunu) niceleme mant›¤› bak›m›ndan ortaya koymak demektir. Bu denet-lemeyi do¤ru biçimde yapmam›z, gündelik dildeki nicelemeli bir önermeyi nicele-me mant›¤›nda do¤ru olarak sembollefltirmemize yani, bu gündelik dil önermesininniceleme mant›¤›n›n dilindeki do¤ru sembolik karfl›l›¤›n› bulmam›za ba¤l›d›r.

Nicelemeli önermelerin sembollefltirilmesinde temel ad›m, geleneksel mant›kta(Aristoteles mant›¤›) “kategorik önermeler” olarak adland›r›lan dört temel nicele-meli önerme biçiminin sembollefltirilmesidir. F ve G, “insan”, “canl›” gibi, herhan-gi iki genel terim olmak üzere, kategorik önermeleri genel olarak afla¤›daki flekil-de ifade edebiliriz:

Niceleme Mant›¤›ndaSembollefltirme ve Çeviri

Gündelik dildeki nicelemelibir önermenin, nicelememant›¤›n›n dilindekisembolik karfl›l›¤›n›oluflturdu¤umuzda, bugündelik dil önermesinisembollefltirdi¤imizi söyleriz.

• Her F G dir. • Hiçbir F G de¤ildir.• Baz› F ler G dir.• Baz› F ler G de¤ildir. “Her F G dir” önermesi, “Her fley, e¤er F ise G dir” ya da, daha aç›k bir ifade

ile, “Her fley için, e¤er o fley bir F ise, o fley bir G dir” biçiminde yorumlanarak, 6x(Fx → Gx) biçiminde sembollefltirilir. “Her F G dir” önermesinin6x (Fx ∧ Gx) bi-çiminde sembollefltirilmesi yanl›fl olurdu:6x (Fx ∧ Gx) önermesi bir modelde yo-rumland›¤›nda, o modeldeki her nesnenin hem F hem G oldu¤unu ifade eder. Ha-kikaten, S = {a, b, c, ...} ise, bu kümede6x (Fx ∧ Gx) önermesinin aç›l›m›, (Fa ∧Ga) ∧ (Fb ∧ Gb) ∧ (Fc ∧ Gc) ∧... olurdu. Ancak, “Her F G dir” önermesi, bu biçim-de yorumlanamaz. Örne¤in, “Her insan ölümlüdür” önermesini düflünelim: Buönermeyi F yüklemini “insand›r”, G yüklemini de “ölümlüdür” kabul ederek,6x(Fx ∧ Gx) biçiminde sembollefltirsek, “Her fley, hem insand›r hem de ölümlüdür”ile, “Her fley, e¤er insan ise ölümlüdür” önermelerini ayn› flekilde sembollefltirmiflolurduk. Oysa “Her insan ölümlüdür” do¤ru bir önerme iken, “Her fley hem insanhem de ölümlüdür” önermesi yanl›flt›r.

“Hiçbir F G de¤ildir” önermesi, “Her fley, e¤er F ise G de¤ildir” ya da, daha aç›kbir ifade ile, “Her fley için, e¤er o fley bir F ise, o fley bir G de¤ildir” biçiminde yo-rumlanarak,6x (Fx → ~Gx) biçiminde sembollefltirilir. Bir önceki paragraftakiaç›klamaya göre, “Hiçbir F G de¤ildir” önermesinin 6x (Fx ∧ ~Gx) biçiminde sem-bollefltirilemeyece¤i anlafl›labilir.

“Baz› F ler G dir” önermesi, “Baz› fleyler, hem F dir hem de G dir” ya da, dahaaç›k bir ifade ile, “Baz› fleyler için, o fley hem bir F hem de bir G dir” biçiminde yo-rumlan›r ve 7x (Fx ∧ Gx) biçiminde sembollefltirilir. “Baz› F ler G dir” önermesi-ni, “Baz› fleyler, e¤er F ise G dir” biçiminde yorumlay›p 7x (Fx → Gx) biçimindesembollefltirmek yanl›fl olurdu. 7x (Fx → Gx) önermesi, örne¤in, en az bir nes-nenin F özelli¤ine sahip olmad›¤› bir modelde yorumland›¤›nda do¤ru olur: Buönerme modelin evreni olan {a, b, c, ...} kümesinde aç›ld›¤›nda, (Fa → Ga) ∨ (Fb→ Gb) ∨ (Fb → Gb) ∨... ifadesi elde edilir. Bu önerme tikel-evetlemelerden olufl-tu¤undan, bir bileflenin do¤ru olmas› durumunda, tüm ifade do¤ru olur. Ön-bile-fleni yanl›fl olan bir koflul önermesi do¤ru oldu¤undan, e¤er bir eleman bile F özel-li¤ini tafl›masa, o elemana ait bileflen, dolay›s›yla tüm ifade do¤ru olurdu. Örne¤in,“Baz› insanlar dört-ayakl›d›r” önermesini düflünelim. Bu önermeyi, F yüklemini“insand›r”, G yüklemini de “dört-ayakl›d›r” kabul ederek, 7x (Fx → Gx) biçimin-de sembollefltirdi¤imizi varsayal›m. 7x (Fx → Gx) önermesinin do¤ru olmas› için,en az bir a nesnesi için (Fa → Ga) olmas› yeterlidir. fiimdi, a nesnesi elimdeki ka-lem olsun. Bu kalem 7x (Fx → Gx) önermesini, dolay›s›yla “Baz› insanlar dört-ayakl›d›r” önermesini do¤ru yapmaya yeterdi! Çünkü elimdeki kalem, a, insan ol-mad›¤›ndan, Fa yanl›flt›r. Dolay›s›yla, (Fa → Ga) do¤rudur. Bir tek nesnenin bile(Fx → Gx) formülünü sa¤lamas›, 7x (Fx → Gx) önermesinin do¤ru olmas› içinyeterli oldu¤undan, 7x (Fx → Gx) do¤rudur. Oysa “Baz› insanlar dört-ayakl›d›r”önermesi yanl›flt›r. Dolay›s›yla, “Baz› insanlar dört-ayakl›d›r” önermesi7x (Fx →Gx) biçiminde sembollefltirilemez.

“Baz› F ler G de¤ildir” önermesi “Baz› fleyler, F dir ve G de¤ildir” ya da, dahaaç›k bir ifade ile, “Baz› fleyler için, o fley bir F dir ve bir G de¤ildir” biçiminde yo-rumlan›r ve7x (Fx ∧ ~Gx) biçiminde sembollefltirilir. Bir önceki paragraftaki aç›k-lamaya göre, “Baz› F ler G de¤ildir” önermesinin 7x (Fx → ~Gx) biçiminde sem-bollefltirilemeyece¤i anlafl›labilir.


“Her F G dir” önermesi, 6x(Fx → Gx) biçimindesembollefltirilir.

“Hiçbir F G de¤ildir”önermesi, 6x (Fx → ~Gx)biçiminde sembollefltirilir.

“Baz› F ler G dir” önermesi,7x (Fx ∧ Gx ) biçimindesembollefltirilir.

“Baz› F ler G de¤ildir”önermesi 7x (Fx ∧ ~Gx )biçiminde sembollefltirilir.

Baflvuruda kolayl›k sa¤lamas› amac›yla, dört kategorik önerme biçiminin sem-bolik karfl›l›klar›n› tekrarlayal›m:

• Her F G dir: 6x (Fx → Gx)• Hiçbir F G de¤ildir: 6x (Fx → ~Gx)• Baz› F ler G dir: 7x (Fx ∧ Gx) • Baz› F ler G de¤ildir: 7x (Fx ∧ ~Gx)

Bu dört kategorik önermenin sembollefltirmesinin, daha karmafl›k gündelik dilönerme ve ç›kar›mlar›n›n sembollefltirmesinde de faydal› olaca¤›n› görece¤iz.Üçüncü ünitede, önermeler mant›¤›nda sembollefltirme konusunu ele al›rkenyapt›¤›m›z gibi, hata yapmaktan kaç›nmak için, niceleme mant›¤›nda da, Kalish-Montague (1980) sistemini izleyerek, sembollefltirme ve çeviriyi aflamal› olarakgerçeklefltirece¤iz.

Önermeler mant›¤›nda oldu¤u gibi, niceleme mant›¤›nda da sembollefltirmeancak bir sembollefltirme anahtar›na göre yap›labilir. Önermeler mant›¤›nda, sem-bollefltirme anahtar› basit önermelerin önerme de¤iflkenleri ile efllefltirilmesi ile be-lirtiliyordu. Niceleme mant›¤›nda ise, bir önerme için bir sembollefltirme anahtar›,bu önermede geçen yüklemlerin yüklem sembolleri ile, adlar›n da ad sembolleriile efllefltirilmesi ile belirtilir. Kullanaca¤›m›z yöntem bak›m›ndan, yüklemler yeri-ne a,b,... de¤iflkenleri yard›m›yla, “yüklem ifadeleri” kullanaca¤›z. Örne¤in, “insan-d›r” yüklemine ait bir yüklem ifadesi “a bir insand›r” gündelik dil formülü, “sar›d›r”yüklemine ait bir yüklem ifadesi “b sar›d›r” gündelik dil formülüdür.

Bir gündelik dil önermesini, afla¤›daki ad›mlar› izleyerek sembollefltirece¤iz: 1. ad›mda, gündelik dil önermesinde geçen tikel ve tümel-niceleme ifadeleri-

nin ve önerme eklemlerinin efl anlaml›lar›, standart niceleme ifadeleriyle veönerme eklemleri ile de¤ifltirilerek, noktalama iflaretlerine uygun olarak pa-rantezler yerlefltirilir. Önermeler mant›¤›nda oldu¤u gibi, bu ifllem sonucun-da elde edilen ifade gündelik dil önermesinin standart biçimidir.

2. ad›mda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve öner-me eklemi sembolleri yerlefltirilir.

3. ad›mda, “x bir insand›r”, “Ahmet bir ö¤rencidir” gibi, X bir de¤iflken veyaad, Y bir yüklem ifadesi olmak üzere, (XY) biçimindeki gündelik dil formül-leri yerine, “{a bir insand›r}x” ve “{a bir ö¤rencidir}Ahmet” ifadeleri gibi, {Y}Xifadesi konur.

4. ad›mda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembollefltirme anahtar›nda veri-len yüklem sembolleri konur.

5. ad›mda, ifadede geçen adlar yerine ad sembolleri konur.6. ad›mda, istenirse, kimi parantezler kurallara uygun olarak kald›r›labilir.

“Her insan hata yapabilir ancak kimi hatalar kolay affedilmez” önermesini F: a bir insand›r.G: a hata yapabilir.H: a bir hatad›r.K: a kolay affedilir.

sembollefltirme anahtar›na göre, niceleme mant›¤›nda sembollefltirelim:

1. ad›mda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin efl anlaml›la-r› standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile de¤ifltirilerek ve nok-talama iflaretlerine uygun olarak parantezler yerlefltirilerek,

1157. Ünite - Nice leme Mant ›¤ ›nda Sembol leflt i rme ve Çevi r i

Niceleme mant›¤›ndasembollefltirme adlar›n veyüklemlerin sembolikkarfl›l›¤›n› belirtensembollefltirme anahtar›nagöre gerçeklefltirilir.

Ö R N E K

Her x (x bir insand›r ise x hata yapabilir) ve baz› y (y bir hatad›r ve de¤ildir ykolay affedilir.)

ifadesi, önermenin standart biçimi olarak elde edilir.

2. ad›mda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve önermeeklemi sembolleri yerlefltirilerek

6x (x bir insand›r → x hata yapabilir) ∧ 7y (y bir hatad›r ∧ ~y kolay affedilir)

3. ad›mda, parantezli yüklem ifadelerinin uyguland›klar› de¤iflkenle birlikte ko-nulmas›yla

6x ({a bir insand›r}x → {a hata yapabilir}x) ∧ 7y ({a bir hatad›r}y ∧ {a kolayaffedilir}y)


4. ad›mda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembollefltirme anahtar›nda bunlar›nkarfl›l›¤› olarak verilen yüklem sembolleri konarak

6x (Fx → Gx) ∧ 7y (Hy ∧ ~Ky)

önermesi elde edilir.

5. ad›mda, önermede geçen hiçbir ad olmad›¤›ndan, yine

6x (Fx → Gx) ∧ 7y (Hy ∧ ~Ky)


6. ad›mda, kurallara göre hiçbir parantez elenemeyece¤inden, yine ayn› önermeelde edilir.

Dolay›s›yla, “Her insan hata yapabilir ancak kimi hatalar kolay affedilmez”önermesinin verilen sembollefltirme anahtar›na göre niceleme mant›¤›ndaki sem-bolik karfl›l›¤› 6x (Fx → Gx) ∧ 7y (Hy ∧ ~Ky) sembolik önermesidir.

“2 den büyük tüm asal say›lar tek say›d›r” önermesini F: a 2 den büyüktür.G: a asal say›d›r.H: a tek say›d›r.

sembollefltirme anahtar›na göre, niceleme mant›¤›nda sembollefltirelim:

1. ad›mda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin efl anlaml›la-r›n› standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile de¤ifltirerek ve nok-talama iflaretlerine uygun olarak parantezler yerlefltirerek,

Her x ((x 2 den büyüktür ve x asal say›d›r) ise x tek say›d›r)

ifadesini elde ederiz.

2. ad›mda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve önermeeklemi sembolleri yerlefltirilerek

6x ((x 2 den büyüktür ∧ x asal say›d›r) → x tek say›d›r

3. ad›mda, parantezli yüklem ifadelerinin uyguland›klar› de¤iflkenle birlikte ko-nulmas›yla

6x (({a 2 den büyüktür}x ∧ {a asal say›d›r}x) → {a tek say›d›r}x)



Ö R N E K

4. ad›mda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembollefltirme anahtar›nda bunlar›nkarfl›l›¤› olarak verilen yüklem sembolleri konarak

6x ((Fx ∧ Gx) → Hx)


5. ad›mda, ad yerine konmas› gereken bir ad sembolü olmad›¤›ndan yine ayn›sembolik önerme elde edilir.

6. ad›mda, kurallara göre tümel-evetlemenin koflul eklemine göre ifllem önceli¤ioldu¤undan, tümel-evetlemeye ait parantez kald›r›larak

6x (Fx ∧ Gx → Hx)


Önermeler mant›¤›ndan bildi¤iniz gibi, bir ç›kar›m›n sembollefltirilmesi, ç›ka-r›mdaki tüm önermelerin sembollefltirilmesi ve sonuç önermesini bildiren “o hal-de” ve benzeri ifade yerine, ` sembolünün konulmas›ndan ibarettir.

“Her canl› üremifltir. O halde, hiçbir canl› ilk canl› de¤ildir” ç›kar›m›n› afla¤›dakisembollefltirme anahtar›na göre sembollefltirelim:

F: a ilktir.G: a canl›d›r.H: a üremifltir.

Temel bir kategorik önerme olan öncül önermesinin sembollefltirmesi, bildi¤inizgibi, 6x (Gx → Hx) sembolik önermesidir. O halde, sonuç önermesini sembollefl-tirmeye geçebiliriz:

1. ad›mda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin efl anlaml›la-r›n› standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile de¤ifltirerek ve nok-talama iflaretlerine uygun olarak parantezler yerlefltirerek,

Her x ((x canl›d›r ise de¤ildir (x ilktir ve x canl›d›r))


2. ad›mda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve önermeeklemi sembolleri yerlefltirerek

6x ((x canl›d›r ( → ~(x ilktir ∧ x canl›d›r))


3. ad›mda, yüklemler yerine küme parantezli yüklem ifadelerini ve uyguland›kla-r› de¤iflkenleri koyarak

6x (({a canl›d›r}x → ~({a ilktir}x ∧ {a canl›d›r}x))


4. ad›mda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembollefltirme anahtar›nda verilenkarfl›l›klar› konarak,

6x ((Gx → ~(Fx ∧ Gx))

sembolik önermesi elde edilir. 5. ad›mda, önermede hiçbir ad geçmedi¤inden, yine ayn› önerme elde edilir. 6. ad›mda, kurallara göre hiçbir parantez elenemeyece¤inden, yine

6x ((Gx → ~(Fx ∧ Gx))



Ö R N E K

Dolay›s›yla, “Her canl› üremifltir. O halde, hiçbir canl› ilk canl› de¤ildir” ç›kar›-m›n›n, bize verilen sembollefltirme anahtar›na göre, niceleme mant›¤›n›n dilindekisembolik karfl›l›¤›

6x (Gx → Hx) ` 6x ((Gx → ~(Fx ∧ Gx))

sembolik ç›kar›m›d›r.

“Baz› baflar›l› ö¤renciler, arkadafllar› taraf›ndan sevilmeyen ö¤rencilerdir. ÇünküAhmet baflar›l› ama, arkadafllar› taraf›ndan sevilmeyen bir ö¤rencidir” ç›kar›m›n›afla¤›daki sembollefltirme anahtar›na göre sembollefltirelim:

F: a baflar›l›d›r.G: a ö¤rencidir.H: a arkadafllar› taraf›ndan sevilir.A: Ahmet

Sembollefltirece¤imiz “Baz› baflar›l› ö¤renciler, arkadafllar› taraf›ndan sevilme-yen ö¤rencilerdir. Çünkü Ahmet baflar›l› ama arkadafllar› taraf›ndan sevilmeyen birö¤rencidir” ç›kar›m›n›n öncülü “Ahmet baflar›l› ama arkadafllar› taraf›ndan sevilme-yen bir ö¤rencidir” önermesi, sonucu da “Baz› baflar›l› ö¤renciler, arkadafllar› tara-f›ndan sevilmeyen ö¤rencilerdir” önermesidir. ‹lk ünitede ç›kar›mlar› ele al›rkenbelirtti¤imiz gibi, öncül yani, sonuca dayanak oluflturan önerme, bazen sonuçtansonra belirtilir.

“Ahmet baflar›l› ama arkadafllar› taraf›ndan sevilmeyen bir ö¤rencidir” önerme-sinde hiçbir niceleme ifadesi geçmemektedir. Buna ra¤men, önerme bu k›s›mdaedindi¤imiz yönteme göre sembollefltirilebilir:

1. ad›mda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin efl anlam-l›lar›n› standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile de¤ifltirmemizve noktalama iflaretlerine uygun olarak parantezler yerlefltirmemiz gerek-mektedir. Önermede hiçbir niceleme ifadesi geçmedi¤inden, sadece “ama”ifadesi yerine, standart karfl›l›¤› olan “ve” önerme eklemini koyarak ve “ar-kadafllar› taraf›ndan sevilmeyen” tümceci¤ini tümel-evetleme ile ekleyerek,

Ahmet baflar›l›d›r ve (de¤ildir Ahmet arkadafllar› taraf›ndan sevilir ve Ahmetbir ö¤rencidir)

ifadesi elde edilir.2. ad›mda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyicileri ve

önerme eklemi sembollerini yerlefltirmemiz gerekmektedir. Hiçbir nicelemeifadesi geçmedi¤inden, sadece önerme eklemleri yerine önerme eklemisembollerini koyarak,

Ahmet baflar›l›d›r ∧ (~ Ahmet arkadafllar› taraf›ndan sevilir ∧ Ahmet birö¤rencidir)

ifadesini elde ederiz.3. ad›mda, yüklemler yerine küme parantezli yüklem ifadelerini ve uygulan-

d›klar› ad sembolünü koyarak,

{a baflar›l›d›r} Ahmet ∧ (~{a arkadafllar› taraf›ndan sevilir} Ahmet ∧ {a bir ö¤rencidir} Ahmet)



Ö R N E K

4. ad›mda, yüklem ifadeleri yerine sembollefltirme anahtar›ndaki karfl›l›klar›olan yüklem sembollerini koyarak,

F Ahmet ∧ (~H Ahmet ∧ G Ahmet)


5. ad›mda, “Ahmet” ad› yerine, sembollefltirme anahtar›nda verilen “A” sembo-lünü koyarak,

FA ∧ (~HA ∧ GA)

önermesini elde ederiz.

6. ad›mda, kurallara göre hiçbir parantez elenemeyece¤inden, yine

FA ∧ (~HA ∧ GA)

önermesini elde ederiz.

“E¤er her zengin insan mutlu ise, Ahmet mutludur” önermesini niceleme mant›¤›nda, ve-rilen sembollefltirme anahtar›na göre sembollefltiriniz.

F: a zengindir.G: a insand›r.H: a mutludur.A: Ahmet

“Her satranç oyunu ya berabere ya da matla biter” önermesini niceleme mant›¤›nda, veri-len sembollefltirme anahtar›na göre sembollefltiriniz.

F: a bir satranç oyunudur.G: a berabere biter.H: a matla biter.

Nicelemeli bir gündelik dil önermesinin niceleme mant›¤› bak›m›ndan denet-lenmesi, bu önermenin sembollefltirilmesinin niceleme mant›¤›nda denetlenmesidemektir. Önermenin sembollefltirilmesinin niceleme mant›¤›na göre geçerli, tutar-l›, olumsal, çeliflme olmas›na göre, gündelik dil önermesi niceleme mant›¤› bak›-m›ndan geçerli, tutarl›, olumsal ya da çeliflme olur. Nicelemeli bir gündelik dil ç›-kar›m›n›n niceleme mant›¤› bak›m›ndan denetlenmesi, bu ç›kar›m›n sembollefltir-mesinin niceleme mant›¤›nda denetlenmesi demektir. Ç›kar›m›n sembollefltirmesi-nin niceleme mant›¤›na göre geçerli veya geçersiz çeliflme olmas›na göre, günde-lik dil ç›kar›m› niceleme mant›¤› bak›m›ndan geçerli veya geçersizdir.

GÜNDEL‹K D‹LE ÇEV‹R‹Nicelemeli bir sembolik önermenin gündelik dildeki karfl›l›¤›n› oluflturdu¤umuz-da, bu sembolik önermeyi gündelik dile çevirdi¤imizi söyleriz. Gündelik dile çe-virme ifllemini de, sembollefltirmede oldu¤u gibi ad›m ad›m gerçeklefltirece¤iz.

Önermeler mant›¤›nda oldu¤u gibi, niceleme mant›¤›nda da gündelik dile çe-viri ancak bir çeviri anahtar›na göre yap›labilir. Niceleme mant›¤›nda, sembolik birönerme için bir çeviri anahtar›, bu önermede geçen yüklem sembollerinin yüklemifadeleri ile, ad sembollerinin ise adlar ile efllefltirilmesi ile belirtilir.

Gündelik dile çevirme ifllemi, sembollefltirme iflleminin tersi oldu¤undan, sem-bolik bir önermeyi gündelik dile çevirirken, sembollefltirmede izledi¤imiz ad›mla-r› tersine çeviririz. Gündelik dile çeviri ad›mlar›n› aç›kça s›ralayal›m:


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Niceleme mant›¤›ndagündelik dile çeviri, ad veyüklem sembolleriningündelik dildeki karfl›l›¤›n›belirten çeviri anahtar›nagöre gerçeklefltirilir.

1. ad›mda, en d›fltaki parantezler hariç, okuma kolayl›¤› sa¤lamak için kald›r›l-m›fl olan parantezler eklenir.

2. ad›mda, ad sembolleri yerine, sembollefltirme anahtar›nda verilen adlarkonur.

3. ad›mda, ifadede geçen her yüklem sembolü yerine, sembollefltirme anahta-r›nda verilen yüklem ifadesi küme parantezleri içine konur. Hemen yan›nayüklemin uyguland›¤› de¤iflken veya ad konur.

4. ad›mda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesindea yerine X de¤iflken veya ad sembolünün konmas›yla elde edilen Y(X) ifa-desi konur.

5. ad›mda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine gündelik dildekiniceleme ifadeleri ve önerme eklemleri konur.

6. ad›mda, do¤al bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama iflaret-leri konur ve istenirse kimi niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri eflanlam-l› baflka ifadelerle de¤ifltirilir.

7x ((Fx ∧ Gx) ∧ Hx) sembolik önermesini afla¤›da verilen çeviri anahtar›na göregündelik dile çevirelim:

F: a ‹lkça¤da yaflam›flt›r.G: a filozoftur.H: a Anadolu’ludur.

1. ad›mda, verilen sembolik önermede, okuma kolayl›¤› sa¤lamak için kald›r›lm›flparantez olmad›¤›ndan bu ad›mda yine 7x ((Fx ∧ Gx) ∧ Hx) önermesi eldeedilir.

2. ad›mda, önermede ad sembolü olmad›¤›ndan, bu ad›mda yap›lmas› gerekenbir fley yoktur.

3. ad›mda, yüklem sembolleri yerine, sembollefltirme anahtar›nda verilen yüklemifadelerini küme parantezleri içine koyarak ve bu ifadelerin yan›na yükleminuyguland›¤› de¤iflkenleri koyarak,

7x (({a ilkça¤da yaflam›flt›r}x ∧ {a filozoftur}x) ∧ {a Anadolu’ludur}x)

ifadesini elde ederiz. 4. ad›mda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde a ye-

rine X de¤iflken veya ad sembolünün konmas›yla elde edilen Y(X) ifadesini ko-yarak,

7x ((x ilkça¤da yaflam›flt›r ∧ x filozoftur) ∧ x Anadolu’ludur)

ifadesini elde ederiz.5. ad›mda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine niceleme ifadelerini

ve önerme eklemlerini koyarak,

Baz› x ((x ilkça¤da yaflam›flt›r ve x filozoftur) ve x Anadolu’ludur)

ifadesini elde ederiz.6. ad›mda, do¤al bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama iflaretleri

koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eflanlaml› baflka ifadeler-le de¤ifltirerek,

‹lkça¤da yaflam›fl baz› filozoflar Anadolu’ludur

gündelik dil önermesini elde ederiz.


Ö R N E K

6x (Gx ↔ Fx ∨ Hx) sembolik önermesini afla¤›da verilen çeviri anahtar›na göregündelik dile çevirelim:

F: a bir köpektir.G: a’n›n kuyru¤u vard›r.H: a kedidir.

1. ad›mda, verilen sembolik önermede, (Fx ∨ Hx) tikel-evetleme önermesinin pa-rantezleri, okuma kolayl›¤› sa¤lamak için kald›r›lm›flt›r. Bu parantezleri ekleyerek,

7x (Gx ↔ (Fx ∨ Hx))

önermesini elde ederiz. 2. ad›mda, önermede ad sembolü olmad›¤›ndan, bu ad›mda yap›lmas› gereken

bir fley yoktur.3. ad›mda, yüklem sembolleri yerine, sembollefltirme anahtar›nda verilen yüklem

ifadelerini küme parantezleri içine koyarak ve bu ifadelerin yan›na yükleminuyguland›¤› de¤iflkenleri koyarak,

6x ({a’n›n kuyru¤u vard›r}x ↔ ({a bir köpektir}x ∨ {a bir kedidir}x))

ifadesini elde ederiz. 4. ad›mda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde a ye-

rine X de¤iflken veya ad sembolünün konmas›yla elde edilen Y(X) ifadesini ko-yarak,

6x (x’in kuyru¤u vard›r ↔ (x bir köpektir ∨ x bir kedidir))

ifadesini elde ederiz.5. ad›mda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine niceleme ifadelerini


Her x (x’in kuyru¤u vard›r ancak ve ancak (x bir köpektir veya x bir kedidir))


koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eflanlaml› baflka ifadeler-le de¤ifltirerek,

Bir fleyin kuyru¤u vard›r ancak ve ancak, o fley ya bir köpek veya bir kedidir.


FA → 7x (Fx ∧ Gx) sembolik önermesini afla¤›da verilen çeviri anahtar›na göregündelik dile çevirelim:

F: a asal say›d›r.G: a çift say›d›r.A: 2

1. ad›mda, verilen sembolik önermede, okuma kolayl›¤› sa¤lamak için kald›r›lm›flparantez olmad›¤›ndan, bu ad›mda yine FA → 7x (Fx ∧ Gx) önermesini eldeederiz.

2. ad›mda, “A” ad sembolü yerine, sembollefltirme anahtar›nda verilen karfl›l›¤›n›koyarak

F 2 →7x (Fx ∧ Gx)



Ö R N E K

Ö R N E K

3. ad›mda, yüklem sembolleri yerine, sembollefltirme anahtar›nda verilen yüklemifadelerini küme parantezleri içine koyarak ve bu ifadelerin yan›na yükleminuyguland›¤› de¤iflkenleri koyarak,

{a asal say›d›r} 2 → 7x ({a asal say›d›r}x ∧ {a çift say›d›r}x)

ifadesini elde ederiz. 4. ad›mda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde a

yerine X de¤iflken veya ad sembolünün konmas›yla elde edilen Y(X) ifadesinikoyarak,

2 asal say›d›r → 7x (x asal say›d›r ∧ x çift say›d›r)

ifadesini elde ederiz.5. ad›mda niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine niceleme ifadelerini


2 asal say›d›r ise, baz› x (x asal say›d›r ve x çift say›d›r)


koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eflanlaml› baflka ifadelerlede¤ifltirerek,

2 asal say› ise, baz› asal say›lar çift say›d›r.

gündelik dil önermesini elde ederiz.

6x (Fx →7y (Hy ∧ Gy)) sembolik önermesini verilen çeviri anahtar›na göre gündelikdile çeviriniz:

F: a roman okurudurG: a romand›rH: a iyidir

Önermeler mant›¤›nda oldu¤u gibi, gündelik dile çeviri ile bir sembolik öner-me veya ç›kar›m›n semantik statüsü hakk›nda bilgi edinebiliriz. E¤er bir sembolikönermenin gündelik dile bir çeviri anahtar›na göre çevirisi yanl›fl bir gündelik dilönermesi ise, bu sembolik önerme geçersizdir. E¤er bir sembolik önermenin gün-delik dile bir çeviri anahtar›na göre çevirisi do¤ru bir gündelik dil önermesi ise, busembolik önerme tutarl›d›r. Bir sembolik ç›kar›m›n bir çeviri anahtar›na göre gün-delik dile çevirisi olan ç›kar›m›n öncülleri do¤ru ancak sonucu yanl›fl ise, bu sem-bolik ç›kar›m geçersizdir. Sembolik bir ç›kar›m› geçerli bir gündelik dil ç›kar›m›naçevirmekle, o sembolik ç›kar›m›n geçerli oldu¤u sonucuna varamay›z. Çünkü sem-bolik ç›kar›m›n gündelik dile baflka bir gündelik dil ç›kar›m› olarak çevirisi, gün-delik dilde geçersiz bir ç›kar›m olabilir. Bu nedenle bu yöntem sadece bir sembo-lik ç›kar›m›n geçersiz oldu¤unu görmek ve göstermek için kullan›labilir.

7x Fx ∧7x Gx `7x (Fx ∧ Gx) sembolik ç›kar›m›n›nF: a bitkidirG: a insand›r

çeviri anahtar›na göre gündelik dile çevirisi: “Baz› fleyler bitkidir ve baz› fleyler in-sand›r. O halde, baz› insanlar bitkidir.” gündelik dil ç›kar›m›d›r. Bu ç›kar›m, ön-cülleri do¤ru, sonuç önermesi yanl›fl oldu¤undan, gündelik dilde geçersiz bir ç›ka-r›md›r. Dolay›s›yla, geçersiz bir gündelik dil ç›kar›m›na dönüfltürülebilmesindendolay›, 7x Fx ∧ 7x Gx `7x (Fx ∧ Gx) sembolik ç›kar›m› niceleme mant›¤›ndageçersiz bir sembolik ç›kar›md›r.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

Ö R N E K


Gündelik dildeki nicelemeli önermeleri ve ç›ka-

r›mlar› niceleme mant›¤›nda sembollefltirebilmek,

Gündelik dildeki nicelemeli bir önermenin, nice-leme mant›¤›n›n sembolik dilinde ifade eden birsembolik önerme oluflturdu¤umuzda, bu günde-lik dil önermesini sembollefltirdi¤imizi söyleriz.Ç›kar›mlar da önermelerden olufltu¤undan, nice-lemeli önermeleri sembollefltirebiliyorsak, nice-lemeli ç›kar›mlar› da sembollefltirebiliriz. Nicele-meli bir ç›kar›m›n sembollefltirilmesi, ç›kar›m›oluflturan tüm önermelerin sembollefltirilmesi veöncüllerle sonuç aras›na ` ç›kar›m sembolününkonmas› demektir. Önermeler mant›¤›nda oldu¤u gibi, nicelememant›¤›nda da sembollefltirme ancak bir sem-bollefltirme anahtar›na göre yap›labilir. Önerme-ler mant›¤›nda, sembollefltirme anahtar› basitönermelerin önerme de¤iflkenleri ile efllefltiril-mesi ile belirtiliyordu. Niceleme mant›¤›nda ise,bir önerme için bir sembollefltirme anahtar›, buönermede geçen yüklemlerin yüklem sembolle-ri ile, adlar›n da ad sembolleri ile efllefltirilmesiile belirtilir. Kullanaca¤›m›z yöntem bak›m›n-dan, yüklemler yerine a,b,... de¤iflkenleri yard›-m›yla, “yüklem ifadeleri” kullanaca¤›z. Örne¤in,“insand›r” yüklemine ait bir yüklem ifadesi “abir insand›r” gündelik dil formülü, “sar›d›r” yük-lemine ait bir yüklem ifadesi “b sar›d›r” günde-lik dil formülüdür.Gündelik dilde ifade edilmifl bir önermeyi nicele-me mant›¤›nda sembollefltirme ad›mlar›n› s›rala-yal›m: 1. ad›mda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile

önerme eklemlerinin efl anlaml›lar› standartniceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ilede¤ifltirilerek, noktalama iflaretlerine uygunolarak parantezler yerlefltirilir.

2. ad›mda, niceleme ifadeleri ve önerme eklem-leri yerine niceleyiciler ve önerme eklemi sem-bolleri yerlefltirilir.

3. ad›mda, X bir de¤iflken veya ad, Y bir yüklemifadesi olmak üzere, (XY) biçimindeki günde-lik dil formülleri yerine {Y}X ifadesi konur.

4. ad›mda parantezli yüklem ifadeleri yerinesembollefltirme anahtar›nda verilen yüklemsembolleri konur.

5. ad›mda ifadede geçen adlar yerine ad sem-bolleri konur.

6. ad›mda, istenirse, kimi parantezler kurallarauygun olarak kald›r›labilir.

Nicelemeli bir gündelik dil önermesinin nicele-me mant›¤› bak›m›ndan denetlenmesi, bu öner-menin sembollefltirilmesinin niceleme mant›¤›n-da denetlenmesi demektir. Önermenin sembol-lefltirilmesinin niceleme mant›¤›na göre geçerli,tutarl›, olumsal, çeliflme olmas›na göre, gündelikdil önermesi niceleme mant›¤› bak›m›ndan ge-çerli, tutarl›, olumsal ya da çeliflme olur. Nicele-meli bir gündelik dil ç›kar›m›n›n niceleme man-t›¤› bak›m›ndan denetlenmesi, bu ç›kar›m›n sem-bollefltirilmesinin niceleme mant›¤›nda denetlen-mesi demektir. Ç›kar›m›n sembollefltirilmesininniceleme mant›¤›na göre geçerli veya geçersizolmas›na göre, gündelik dil ç›kar›m› nicelememant›¤› bak›m›ndan geçerli veya geçersizdir.

Nicelemeli sembolik önerme ve ç›kar›mlar› gün-

delik dile çevirebilmek,

Nicelemeli bir sembolik önermenin gündelik dil-deki karfl›l›¤›n› oluflturdu¤umuzda, bu sembolikönermeyi gündelik dile çevirdi¤imizi söyleriz.Gündelik dile çevirme ifllemini de, sembollefltir-mede oldu¤u gibi ad›m ad›m gerçeklefltirece¤iz.Gündelik dile çevirme ifllemi, sembollefltirme ifl-leminin tersi oldu¤undan, sembolik bir önerme-yi gündelik dile çevirirken, sembollefltirmede iz-ledi¤imiz ad›mlar› tersine çeviririz. Gündelik dileçeviri ad›mlar›n› aç›kça s›ralayal›m:1. ad›mda, en d›fltaki parantezler hariç, okuma

kolayl›¤› sa¤lamak için kald›r›lm›fl olan paran-tezler eklenir.

2. ad›mda, ad sembolleri yerine, sembollefltirmeanahtar›nda verilen adlar konur.

3. ad›mda, yüklem sembolleri yerine, sembol-lefltirme anahtar›nda verilen yüklem ifadesiküme parantezleri içine konur. Hemen yan›-na yüklemin uyguland›¤› de¤iflken veya adkonur.

4. ad›mda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri ye-rine, Y(a) yüklem ifadesinde a yerine X de¤ifl-ken veya ad sembolünün konmas›yla elde edi-len Y(X) ifadesi konur.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç


5. ad›mda, niceleyiciler ve önerme eklemi sem-bolleri yerine gündelik dildeki niceleme ifa-deleri ve önerme eklemleri konur.

6. ad›mda, do¤al bir ifade elde etmek için paran-tezler yerine noktalama iflaretleri konur ve is-tenirse kimi niceleme ifadeleri ve önerme ek-lemleri eflanlaml› baflka ifadelerle de¤ifltirilir.

Önermeler mant›¤›nda oldu¤u gibi, gündelik di-le çeviri ile nicelemeli bir sembolik önerme veyaç›kar›m›n semantik statüsü hakk›nda bilgi edine-biliriz. E¤er bir sembolik önermenin gündelik di-le bir çeviri anahtar›na göre çevirisi yanl›fl birgündelik dil önermesi ise, bu sembolik önermegeçersizdir. E¤er bir sembolik önermenin günde-lik dile bir çeviri anahtar›na göre çevirisi do¤rubir gündelik dil önermesi ise, bu sembolik öner-me tutarl›d›r. Bir sembolik ç›kar›m›n bir çevirianahtar›na göre gündelik dile çevirisi olan ç›ka-r›m›n öncülleri do¤ru ancak sonucu yanl›fl ise,bu sembolik ç›kar›m geçersizdir.


F: a say›d›r.G: a çift say›d›r.H: a tek say›d›r.

1. Yukar›daki çeviri anahtar›na göre, 6x (Fx → (Gx ∨Hx)) sembolik önermesinin gündelik dile çevirisi afla¤›-dakilerden hangisidir?

a. Her say› ya tek ya da çift say›d›r.b. Her çift say› bir say›d›r. c. Her tek say› bir say›d›r.d. Her çift ya da tek say› bir say›d›r.e. Her tek ya da çift say› bir say›d›r.

F: a baflar›l› olur.G: a bir adayd›r.A: Ahmet

2. Yukar›daki çeviri anahtar›na göre, (FA ↔ 7y (Gy ∧~Fy)) sembolik önermesinin gündelik dile çevirisi afla-¤›dakilerden hangisidir?

a. Baz› adaylar ancak ve ancak Ahmet baflar›l› ol-mazsa baflar›l› olur.

b. Ahmet baflar›l› olmazsa hiçbir aday baflar›l› olmaz.c. Ahmet ancak ve ancak baz› adaylar baflar›l› ol-

mazsa baflar›l› olur.d. Ahmet baflar›l› olursa her aday baflar›l› olur. e. Her aday baflar›s›z olursa Ahmet de baflar›s›z olur.

F: a bir filozoftur.G: a bir insand›r.A: Aristoteles

3. Yukar›daki çeviri anahtar›na göre, GA ∧ FA ∨ (~FA

→6x (Gx → ~Fx)) sembolik önermesinin gündelik di-le çevirisi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Aristoteles hem bir insan hem de bir filozofturya da, Aristoteles bir filozof de¤ilse hiçbir insanfilozof de¤ildir.

b. Aristoteles bir insand›r ve, Aristoteles ya bir filo-zoftur ya da, Aristoteles bir filozof de¤ilse hiçbirinsan filozof de¤ildir.

c. Aristoteles ne bir insan ne de bir filozof de¤ilse,hiçbir insan filozof de¤ildir.

d. Aristoteles bir insan de¤ilse, bir filozof da de¤il-dir ve hiçbir insan filozof de¤ildir.

e. Aristoteles bir insan de¤ilse, bir filozof da de¤il-dir veya hiçbir insan filozof de¤ildir.

F: a filozoftur.G: a usçudur.H: a deneycidir.

4. Yukar›daki çeviri anahtar›na göre, 7x (Fx ∧ Gx)∧7x (Fx ∧ Hx) ∧ 7x (Fx ∧ (~Hx ∧ ~Gx)) sembolikönermesinin gündelik dile çevirisi afla¤›dakilerden han-gisidir?

a. Baz› usçular ayn› zamanda deneyci ve baz› de-neyciler usçudur ama baz› filozoflar ne deneycine de usçudur.

b. Baz› filozoflar deneyci ve baz› filozoflar usçudurama baz› filozoflar hem deneyci hem de usçudur.

c. Baz› filozoflar usçu ve baz› filozoflar deneycidirama baz› filozoflar ne deneyci ne de usçudur.

d. Baz› filozoflar usçu ve baz› filozoflar deneycidirama baz› usçu olmayan filozoflar deneyci dede¤ildir.

e. Baz› filozoflar deneyci ve baz› filozoflar usçudurama baz› filozoflar ne deneyci ne de usçudur.

F: a bir sporcudur.G: a sa¤l›¤›na dikkat etmelidir.H: a dengeli beslenmelidir.K: a düzenli antrenman yapmal›d›r.A: Ahmet

5. Yukar›daki çeviri anahtar›na göre, 6x (Fx → Gx)`FA → HA ∧ KA sembolik ç›kar›m›n›n gündelik dileçevirisi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Her sporcu dengeli beslenmelidir. O halde, Ah-met bir sporcu ise, dengeli beslenmeli ve dü-zenli antrenman yapmal›d›r.

b. Her sporcu düzenli antrenman yapmal›d›r. Ohalde, Ahmet bir sporcu ise, dengeli beslenmelive düzenli antrenman yapmal›d›r.

c. Her sporcu sa¤l›¤›na dikkat etmelidir. O halde,Ahmet bir sporcu ise, dengeli beslenmeli ve dü-zenli antrenman yapmal›d›r.

d. Düzenli antrenman yapan her sporcu sa¤l›¤›nadikkat etmelidir. O halde, Ahmet bir sporcu ise,dengeli beslenmeli ve düzenli antrenman yap-mal›d›r.

e. Her sporcu sa¤l›¤›na dikkat etmelidir. O halde,Ahmet dengeli beslenmeli ve düzenli antrenmanyapmal› ise Ahmet sporcudur.



F: a hayvand›r.G: a et oburdur.H: a ot oburdur.

6. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, “Baz›hayvanlar ne ot obur ne de et oburdur” önermesinin ni-celeme mant›¤›nda sembollefltirmesi afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. 7x (Fx ∨ (~Gx ∧ ~Hx))b. 7x (Fx ∨ (~Gx ∨ ~Hx))c. 7x (Fx ∧ ~(Gx ∧ Hx))d. 7x (Fx ∧ (~Gx ∧ ~Hx))e. 7x ((Fx ∧ ~Gx) ∧ ~Hx)

F: a insand›r.G: a yapt›¤›n›n kötülük oldu¤unu bilir.H: a kötülük yapar.

7. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, “Yapt›-¤›n›n kötülük oldu¤unu bilen hiçbir insan kötülük yap-maz” önermesinin niceleme mant›¤›nda sembollefltir-mesi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 6 x ((Fx ∧ Gx) ∧ ~Hx)b. 6 x (Gx → (Fx ∧ ~Hx))c. 6 x (Gx → Fx) ∧ ~Hx))d. 6 x (Fx → ~ (Gx ∧ ~Hx))e. 6 x ((Gx ∧ Fx) → ~Hx)

F: a cisimdir.G: a ›s›t›l›r.H: a genleflir.

8. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, “Cisim-ler ›s›t›ld›¤›nda genleflir” önermesinin niceleme mant›-¤›nda sembollefltirmesi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 6 x (Fx→ (Gx ∧ Hx))b. 6 x (Fx ∧ (Gx→ Hx))c. 6 x (Fx → (Gx → Hx))d. 6 x ((Gx → Hx) → Fx)e. 6 x ((Fx → Gx) → Hx)

F: a filozoftur.G: a pozitivisttir.H: a deneycidir.

9. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, “Bütünpozitivist filozoflar deneycidir. O halde, baz› deneyci fi-lozoflar pozitivisttir.” ç›kar›m›n›n niceleme mant›¤›ndasembollefltirmesi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 6 x (Gx ∧ Fx → Hx) ` 7x (Hx ∧ Fx → Gx)b. 6 x (Gx ∧ Fx → Hx) ` 7x (Hx → Fx ∧ Gx)c. 6 x ((Gx → Fx) ∧ Hx) ` 7x (Hx ∧ Fx ∧ Gx)d. 6 x (Gx ∧ Fx → Hx) ` 7x ((Hx ∧ Fx) ∧ Gx)e. 6 x (Gx ∧ Fx → Hx) ` 7x ((Gx ∧ Fx) ∧ Hx)

F: a bilgidir.G: a deneyle elde edilebilir.H: a ak›l yürütme ile elde edilebilir.

10. Yukar›daki sembollefltirme anahtar›na göre, “Baz›bilgiler ak›l yürütme ile elde edilebilir. Dolay›s›yla, baz›bilgiler deneyle elde edilemez.” ç›kar›m›n›n nicelememant›¤›nda sembollefltirmesi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 7x (Fx ∧ Hx) ` 7x (Fx ∧ ~Gx)b. 7x (Fx → Hx) ` 7x (Fx ∧ Gx)c. 7x (Fx → Hx) ` 7x (Fx → ~Gx)d. 7x (Fx → Gx) ` 7x (Fx → ~Gx)e. 7x (Fx ∧ Gx) ` 7x (Fx → Gx)


Sembollefltirme Niçin Önemlidir?

Modern mant›¤› geleneksel mant›ktan ay›ran en belir-gin özelli¤i hiç flüphesiz sembolik görünümüdür.Sembol (veya simge) kendinden baflka bir fleyi temsileden veya akla getiren bir iflarettir. Bir fleyin baflka birfley için sembol olarak kullan›lmas› ikisi aras›nda ne zo-runlu ne de do¤al bir iliflkinin olmas›n› gerektirir. Sem-boller anlaflmaya ba¤l› iflaretlerdir. Örne¤in herhangibir milleti temsil eden bir bayra¤›n flu ya da bu renkte,flu ya da bu biçimde olmas› ne do¤al ne de baflka birzorunluluktur. Oysa, bir tür bulutun ya¤muru iflaretle-mesi, ya da yapraklar›n sarar›p dökülmesiyle k›fl›n yak-laflmakta oldu¤unu düflünmemiz bu fleyler aras›nda “do-¤al” diyebilece¤imiz bir iliflkiye dayanmaktad›r. Bu türiflaretlere, kullan›mlar› anlaflmaya ba¤l› olmad›¤›ndan,“sembol” demiyoruz. Do¤ada bir olgunun baflka bir ol-guyu iflaretledi¤i yaln›z insanlar›n de¤il hayvanlar›n dadavran›fllar›n› düzenlemede kulland›klar› bir bilgidir.Oysa sembol yapma ve kullanma öyle görünüyor ki,tümüyle insano¤luna özgü bir yetenektir. Sembolün düflün yaflam›ndaki önemini bir kelime ilebelirtmek gerekse, dil dedi¤imiz bildiriflim arac›n›n “ke-lime” dedi¤imiz sembollerden kurulu oldu¤unu söyle-mek yeter. Ayn› flekilde rakamlar da say›lar› belirleyenbirer sembolden baflka bir fley de¤ildir. Ancak dilimizioluflturan kelimelere, rakamlara o denli al›fl›¤›z ki, bun-lar›n birtak›m anlam veya nesneleri simgelediklerini çokkere düflünmeyiz bile. Mant›k, matematik gibi alanlardakullan›lan özel semboller ise böyle al›fl›k oldu¤umuztürden olmad›klar› için ço¤umuzca yad›rgan›r. Hatta ba-z› kimseler için bunlar ya gizli anlamlar› olan birtak›mkorkulu nesneler, ya da düpedüz anlams›z iflaretler ola-rak kal›r. Do¤rusu, pek az kifli ilk karfl›laflt›¤› bir sembo-lü veya formülü ürkmeden benimseyebilir. Bu nedenle“sembol” deyince ço¤unluk akl›m›za “garip” bir nesne,esrarl›, bir fley gelir. Oysa sembol olma yönünden man-t›k ve matematikteki iflaretlerle, her gün kulland›¤›m›zkelimeler aras›nda bir fark yoktur. Sadece, daha soyutolan birincilere yeterince al›fl›k de¤iliz, o kadar.‹flte modern mant›k al›fl›k olmad›¤›m›z bu yüzden bizegarip gelen birtak›m özel sembolleri çokça kulland›¤›içindir ki, “sembolik” veya “matematiksel” diye nitelen-dirilmektedir. Yoksa genifl anlamda geleneksel mant›kda semboliktir. Orada da terimleri S, P ve M gibi harf-lerle, önerme kal›plar›n› A, E, I, O (veya SaP, SeP, SiP,SoP) gibi anlaflmaya ba¤l› iflaretlerle temsil tekni¤i kul-lan›lmaktad›r. fiu kadar ki, bunlar hem say› olarak az,

hem de basit görünümlü oldu¤undan yeni ö¤renenleriçin fazla bir güçlük yaratmamaktad›r. Matematik gibimodern mant›¤›n da, sembollere dayanmas› nedeniylebafltan biraz karmafl›k veya ürkütücü görünmesi ola-¤and›r. (...)Sembolik notasyonla günlük dil aras›ndaki fark›, etkin-lik ve ifllerlik yönlerinden, romen rakamlar›yla aritme-tikte kulland›¤›m›z rakamlar aras›ndaki farka benzete-biliriz. ‹kisi de say›lar› temsil eden sembolik notasyon-lard›r. Biriyle toplama, ç›karma, çarpma ve bölme ifl-lemlerini yapmak ne derece zorsa, ötekisi ile yapmak oderece kolayd›r. Günlük dil (dolay›s›yla gelenekselmant›k) romen rakamlar› gibi, mant›ksal iliflkileri belir-lemede yeterince etkin, tam ve aç›k de¤ildir. Daha do¤-rusu mant›kta istenen kesinlik ve aç›kl›¤› sa¤layama-maktad›r. Özellikle soyut kavram ve iliflkilerin dile geti-rilmesinde, bunlara dayal› problemlerin çözümünde,kurallar› belli bir sembolik notasyon vazgeçilmez biraraçt›r. Bunun en canl› örne¤ini matematikte görüyo-ruz. Herkes bilir ki, say›sal bir problemin çözümündecebir aritmetikten, aritmetik de parmakla saymadan da-ha etkin ve üstündür. Etkinlik derecesindeki art›fl›n sem-bolleflmede ulafl›lan düzeye do¤rudan ba¤l› oldu¤unubu yöntemlere bakt›¤›m›zda aç›kça görmekteyiz.K›saca demek gerekirse,1. Günlük dille anlat›lmas› zor soyut kavram ve iliflki-

leri daha kolay, k›sa ve aç›k bir flekilde ifade etmek,2. Günlük dilin çok kere yol açt›¤› çok anlaml›l›¤›, an-

lam belirsizli¤ini önlemek,3. Düflünmeyi etkin ve sa¤l›kl› k›lmak, birtak›m somut

olgu veya iliflkilerin dar çerçevesini aflarak ona so-yut düzeyin özgürlü¤ünde aç›lma, ilerleme olana¤›kazand›rmak,

ancak iyi bir sembolik notasyonla sa¤lanabildi¤inden,matematik gibi, mant›k da sembolleflme yoluna giderekbugünkü ileri düzeye ç›kabilmifltir.Russell, “yeni mant›k düflünceye kanat takt›” derken sem-bolleflmenin bu de¤erini anlatmak istemifltir, herhalde.

Kaynak: Y›ld›r›m, C. (1976) 100 Soruda Mant›k El

Kitab›. ‹stanbul: Gerçek Yay›nevi, s. 143-146.

Okuma Parças›


1. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Gündelik Di-le Çeviri” konusuna bak›n›z.

2. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Gündelik Di-le Çeviri” konusuna bak›n›z.

3. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Gündelik Di-le Çeviri” konusuna bak›n›z.





8. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Sembollefltir-me” konusuna bak›n›z.


10. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “Sembollefltir-me” konusuna bak›n›z.

S›ra Sizde 1

“E¤er her zengin insan mutlu ise, Ahmet mutludur”önermesini bize verilen sembollefltirme anahtar›na gö-re sembollefltirelim:1. ad›mda,

Her x (x zengindir ve x insand›r ise x mutludur) iseAhmet mutludur.

ifadesini elde ederiz. 2. ad›mda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri ye-

rine niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yer-lefltirerek,

6x (x zengindir ∧ x insand›r ise x mutludur) → Ah-met mutludur.

ifadesini elde ederiz.3. ad›mda, (XY) biçimindeki gündelik dil formülleri ye-

rine {Y}X ifadelerini koyarak,

6x ({a zengindir}x ∧ {a insand›r}x ise {a mutludur}x)→ {a mutludur}Ahmet

ifadesini elde ederiz.4. ad›mda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembol-

lefltirme anahtar›nda verilen yüklem sembollerini ko-yarak,

6x (Fx ∧ Gx → Hx) → HAhmet

5. ad›mda ifadede geçen adlar yerine ad sembollerinikoyarak,

6x (Fx ∧ Gx → Hx) → HA

nicelemeli sembolik önermesini elde ederiz. 6. ad›mda, önermede kurallara uygun olarak kald›r›la-

bilecek parantez olmad›¤›ndan,

6x (Fx ∧ Gx → Hx) → HA

önermesi, “E¤er her zengin insan mutlu ise, Ahmetmutludur” önermesinin verilen sembollefltirme anah-tar›na göre sembollefltirmesi olarak elde edilir.

S›ra Sizde 2

“Her satranç oyunu ya berabere ya da matla biter” öner-mesini niceleme mant›¤›nda, verilen sembollefltirmeanahtar›na göre sembollefltirelim: 1. ad›mda,

Her x (x bir satranç oyunudur ise (x berabere biterveya x matla biter))




2. ad›mda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri ye-rine niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yer-lefltirerek,

6x (x bir satranç oyunudur → (x berabere biter ∨x matla biter))

ifadesini elde ederiz.3. ad›mda, (XY) biçimindeki gündelik dil formülleri ye-

rine {Y}X ifadelerini koyarak,

6x ({a bir satranç oyunudur}x → ({a berabere bi-ter}x ∨ {a matla biter}x))

ifadesini elde ederiz.4. ad›mda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembol-

lefltirme anahtar›nda verilen yüklem sembollerini ko-yarak,

6x (Fx → (Gx ∨ Hx))

5. ad›mda, ifadede hiçbir ad sembolü geçmedi¤indenyine,

6x (Fx → (Gx ∨ Hx))

nicelemeli sembolik önermesini elde ederiz. 6. ad›mda, tikel-evetleme ekleminin koflul eklemine

göre önceli¤i oldu¤undan, tikel-evetlemeye ait pa-rantezleri kald›rarak,

6x (Fx → (Gx ∨ Hx))

önermesini, “Her satranç oyunu ya berabere ya damatla biter” önermesini niceleme mant›¤›nda, veri-len sembollefltirme anahtar›na göre sembollefltirme-si olarak elde ederiz.

S›ra Sizde 3

6x (Fx → 7y (Hy ∧ Gy)) sembolik önermesini veri-len çeviri anahtar›na göre gündelik dile çevirelim:1. ad›mda, kurallara uygun olarak kald›r›lacak paran-

tez olmad›¤›ndan yine,

6x (Fx → 7y (Hy ∧ Gy))

sembolik önermesini elde ederiz. 2. ad›mda, önermede ad sembolü olmad›¤›ndan yine,

6x (Fx → 7y (Hy ∧ Gy))

önermesini elde ederiz.3. ad›mda, yüklem sembolleri yerine, sembollefltirme

anahtar›nda verilen yüklem ifadelerini küme paran-tezleri içine al›p hemen yanlar›na yüklemin uygu-land›¤› de¤iflkeni koyarak,

6x ({a roman okurudur}x →7y ({a iyidir}y ∧ {a birromand›r}y))


4. ad›mda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine,Y(a) yüklem ifadesinde a yerine X de¤iflken veya adsembolünün konmas›yla elde edilen Y(X) ifadesinikoyarak,

6x (x roman okurudur → 7y (y iyidir ∧ y bir ro-mand›r))

ifadesini elde ederiz. 5. ad›mda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri

yerine gündelik dildeki niceleme ifadeleri ve öner-me eklemlerini koyarak,

Her x (x roman okurudur ise baz› y (y iyidirve y bir romand›r))

6. ad›mda, do¤al bir ifade elde etmek için parantezleryerine noktalama iflaretleri konur ve niceleme ifade-leri ve önerme eklemleri eflanlaml› baflka ifadelerlede¤ifltirilerek,

Her roman okuru için baz› iyi romanlar vard›r.


Yararlan›lan ve BaflvurulabilecekKaynaklar Grünberg, T. (2000). Sembolik Mant›k El Kitab›. (3

Cilt). Ankara: METU Press. Grünberg, T. ve Onart, A. vd. (2003). Mant›k Terimleri

Sözlü¤ü. Ankara: METU Press.Kalish, D., Montague, R. ve Mar, G. (1980). Logic:


Ural, fi. (1995). Temel Mant›k. ‹stanbul: ÇantayKitabevi.

Y›ld›r›m, C. (1976). 100 Soruda Mant›k El Kitab›.

‹stanbul: Gerçek Yay›nevi. Y›ld›r›m, C. (1999). Mant›k: Do¤ru Düflünme

Yöntemi. ‹stanbul: Bilgi Yay›nevi.

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Çözümleyici çizelge yöntemi ile nicelemeli sembolik önermeleri denetleye-bilecek,Çözümleyici çizelge yöntemi ile nicelemeli sembolik ç›kar›mlar› denetleye-bileceksiniz.


• Çözümleyici çizelge• Tümel-özelleme• Tikel-özelleme• Aç›k dal

• Kapal› dal• Tamamlanm›fl çizelge• Model• Karfl›-model

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

8SEMBOL‹K MANTIK

N

N

Sembolik Mant›k

• G‹R‹fi• N‹CELEMEL‹ SEMBOL‹K

ÖNERMELER VE ÇÖZÜMLEY‹C‹Ç‹ZELGELER

• N‹CELEMEL‹ SEMBOL‹KÇIKARIMLAR VE ÇÖZÜMLEY‹C‹Ç‹ZELGELER

Niceleme Mant›¤›ndaÇözümleyici ÇizelgeYöntemi

G‹R‹fiBu ünitede, dördüncü ünitede gördü¤ümüz çözümleyici çizelge kurallar›na nice-leyiciler için gerekli kurallar› ekleyerek, çözümleyici çizelge yöntemini nicelemelisembolik önerme ve ç›kar›mlar› denetlemek için kullanaca¤›z. Önermeler mant›-¤›nda gördü¤ümüz çözümleyici çizelge kurallar›n› da kullanmaya devam edece¤i-miz için, dördüncü üniteye dönüp bu kurallar› tekrar hat›rlay›p gözden geçirmeni-zi tavsiye ediyoruz.

Alt›nc› ünitede, do¤rusal aç›l›m yöntemi ile, nicelemeli bir sembolik önermeninbir modeldeki do¤ruluk de¤erini nas›l hesaplayaca¤›m›z›, nicelemeli bir sembolikönermenin veya ç›kar›m›n bir modelini ve karfl›-modelini nas›l oluflturabilece¤imi-zi görmüfltük. Do¤rusal aç›l›mla model ve karfl›-model oluflturma yöntemini, nice-lemeli sembolik önerme ve ç›kar›mlar›n geçerlili¤ini denetlemek için de kullanabi-lece¤imizi söylemifltik. Ancak, alt›nc› ünitede de k›saca belirtti¤imiz gibi, bu yön-tem geçerlilik denetlemesinde kullan›fll› bir yöntem olmazd›. Nitekim bu yöntemegöre, içinde n tane yüklem geçen bir önerme veya ç›kar›m›n geçerli oldu¤unu gös-termek için 2n elemanl› hiçbir karfl›-model olamayaca¤›n› göstermek gereklidir. Buise, yöntemin karmafl›kl›k derecesinin yüklem say›s› ile birlikte çok h›zl› artmas›demektir.

Ayn› durum önermeler mant›¤›nda da karfl›m›za ç›km›fl ve önerme de¤iflkenle-rinin say›s› ile birlikte sat›r say›s› h›zla artan do¤ruluk tablolar›n› kullanmak yerine,çözümleyici çizelgeleri kullanarak sembolik önerme ve ç›kar›mlar› denetleyebile-ce¤imizi görmüfltük. Çözümleyici çizelge yöntemi, niceleyicileri ele alabilmemiziçin birkaç yeni kural eklendi¤inde, niceleme mant›¤› için de kullan›fll› bir denet-leme yöntemi sa¤lamaktad›r.

Bu ünitenin ilk k›sm›nda, niceleyiciler için çözümleyici çizelge kurallar›n› ta-n›mlay›p aç›klayarak, nicelemeli bir sembolik önermenin çözümleyici çizelgesininas›l oluflturaca¤›m›z› ve çözümleyici çizelge yöntemi ile nicelemeli bir sembolikönermeyi nas›l denetleyece¤imizi görece¤iz. ‹kinci ve son k›s›mda ise, nicelemelisembolik önerme kümelerinin ve nicelemeli sembolik ç›kar›mlar›n çözümleyici çi-zelge yöntemi ile denetlenmesi konusunu ele alaca¤›z.

Niceleme Mant›¤›ndaÇözümleyici Çizelge

Yöntemi

N‹CELEMEL‹ SEMBOL‹K ÖNERMELER VE ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGELERDördüncü ünitede aç›klad›¤›m›z gibi, çözümleyici çizelge yönteminin ana fikri, çi-zelgedeki noktalarda bulunan önermelerin do¤ru olmas› için yeterli olan flartlar›nbelirtilmesidir. Bu flekilde, çizelgede aç›k bir dal bularak önerme için bir modeloluflturmaya çal›fl›l›r. ‹lk olarak, çözümleyici çizelge ile bir önermenin bir model-deki do¤ruluk de¤erinin nas›l hesaplanaca¤›n› görelim.

Çözümleyici Çizelge ‹le Do¤ruluk De¤eri Hesaplanmas›Alt›nc› üniteden, do¤rusal aç›l›m yöntemi ile nicelemeli sembolik önermelerin birmodeldeki do¤ruluk de¤erini nas›l belirleyece¤imizi biliyoruz: S = {a, b, c, ...} veher s ∈ S eleman› için A(s) ifadesi A ifadesinden v de¤iflkeninin her geçti¤i yere seleman›n›n konmas›yla elde edilen ifade ise,

a. ∀ν A ifadesinin S kümesindeki bir do¤rusal aç›l›m› A(a) ∧ A(b) ∧ A(c) ∧…ifadesi,

b. ∃ν A ifadesinin S kümesindeki bir do¤rusal aç›l›m› A(a) ∨ A(b) ∨ A(c) ∨…ifadesidir.

Öyleyse, do¤rusal aç›l›m sonucunda, ∀ν A biçimindeki tümel-niceleme ifadele-ri tümel-evetleme ifadelerine, ∃ν A biçimindeki tikel-niceleme ifadeleri de tikel-evetleme ifadelerine dönüflmektedir. Dolay›s›yla, tümel-evetleme ve tikel-evetlemeeklemlerine ait çizelge kurallar›n› bildi¤iniz için, çözümleyici çizelge ile do¤rulukde¤eri denetlemesinde kullan›lacak olan, tümel ve tikel-niceleyicilere ait kurallar›nafla¤›daki flekilde tan›mland›¤›n› görmek sizi flafl›rtmayacakt›r.

Tümel-nicelemenin aç›l›m›: ∀ν A tümel-nicelemeli önermesinin bir model-de do¤ru olmas›, A(a) ∧ A(b) ∧ A(c) ∧… ifadesinin bu modelde do¤ru olmas› de-mektir. Bu ise, A(a), A(b), A(c), … ifadelerinin her birinin do¤ru olmas› demektir.Buna göre, çözümleyici çizelge yöntemiyle, nicelemeli bir sembolik önermenin birmodeldeki do¤ruluk de¤erini hesaplarken, bir noktada ∀ν A biçiminde tümel-ni-celemeli bir ifade ortaya ç›kt›¤›nda, modelin evrenindeki her bir s eleman› içinoluflturulan A(s) ifadeleri alt alta yaz›l›r:

k. ∀ν A

m. A(a)m+1 A(b)

Tikel-nicelemenin aç›l›m›: ∃ν A tikel-nicelemeli önermesinin bir modeldedo¤ru olmas›, A(a) ∨ A(b) ∨ A(c) ∨… ifadesinin bu modelde do¤ru olmas› demek-tir. Bu ise, A(a), A(b), A(c), … ifadelerinden en az birinin bu modelde do¤ru ol-mas› demektir. Buna göre, çözümleyici çizelge yöntemiyle, nicelemeli bir sembo-lik önermenin bir modelde do¤ruluk de¤erini hesaplarken, bir noktada ∃ν A biçi-minde tikel-nicelemeli bir ifade ortaya ç›kt›¤›nda, dala bir çatal eklenerek modelinevrenindeki her s eleman› için oluflturulan A(s) ifadesi çatal›n uçlar›na eklenir:


k. ∃ν A

m. A(a) m. A(b) m. A(c)

Çözümleyici çizelge yöntemini niceleme mant›¤›nda kullanabilmek için, tümelve tikel-nicelemenin aç›l›m› kurallar›ndan baflka bir de niceleyicilerin de¤illenme-si ile ilgili kurallara ihtiyac›m›z vard›r. ‹ki niceleyici kulland›¤›m›zdan, niceleyicide¤illeme kurallar› da iki tanedir:

Tümel-niceleyicinin de¤illenmesi kural›: ~∀ν A ve ∃ν ~A önermeleri nice-leme mant›¤›nda eflde¤er önermeler oldu¤undan, daldaki bir üst noktada ~∀ν Aifadesi varsa, o dalda bir nokta olarak ∃ν ~A ifadesi eklenir:

k. ~∀ν A

m. ∃ν ~A

Tikel-niceleyicinin de¤illenmesi kural›: ~∃ν A ve ∀ν ~A önermeleri nicele-me mant›¤›nda eflde¤er önermeler oldu¤undan, daldaki bir üst noktada ~∃ν A ifa-desi varsa, o dalda bir nokta olarak ∀ν ~A ifadesi eklenir:

k. ~∃ν A

m. ∀ν ~A

Nicelemeli bir sembolik önermenin verilen bir modeldeki do¤ruluk de¤eriniçözümleyici çizelge yöntemi ile nas›l hesaplayaca¤›m›z› görelim. ‹lk olarak, öner-mede geçen ad sembolleri yerine, bunlar›n modelde karfl›l›¤› olarak verilen ele-manlar› yazarak elde etti¤imiz ifadeyi, çözümleyici çizelgenin 1 numaral› kök nok-tas›na yazar›z. Ard›ndan tümel ve tikel-nicelemenin aç›l›m› kurallar›n›, niceleyicide¤illeme kurallar›n› ve önerme eklemlerine ait çözümleyici çizelge kurallar›n›kullanarak ilerleriz. Bir dalda ilerlerken, Y bir yüklem sembolü, s modelin evreni-nin bir eleman› olmak üzere Ys veya ~Ys biçimindeki bir ifade ortaya ç›kt›¤›nda;

• Dalda ortaya ç›kan ifade Ys ise ve modelde s ∈ YM ise, Ys ifadesi do¤rudurve o dalda ilerlemeye devam ederiz.

• Dalda ortaya ç›kan ifade ~Ys ise ve modelde s ∉ YM ise, ~Ys ifadesi do¤ru-dur ve yine o dalda ilerlemeye devam edebiliriz.

• Dalda ortaya ç›kan ifade Ys ifadesi ise ve modelde s ∉ YM ise, Ys ifadesiyanl›flt›r ve o dalda daha fazla ilerlemeden, dal›n sonuna bir # (çarp›) iflare-ti koyar›z ve bu dal›n “yanl›fl” bir dal oldu¤unu söyleriz.

• Dalda ortaya ç›kan ifade ~Ys ifadesi ise ve modelde s ∈ YM ise,~Ys ifadesiyanl›flt›r ve o dalda daha fazla ilerlemeden, dal›n sonuna bir # (çarp›) iflare-ti koyar›z ve bu dal›n “yanl›fl” bir dal oldu¤unu söyleriz.

1338. Ünite - Nice leme Mant ›¤ ›nda Çözümley ic i Çize lge Yöntemi

Çizelgedeki bir dalda ifllem uygulanacak bir ifade kalmad›¤› halde, o daldaki(Fa, ~Gb ifadeleri gibi) Ys ve ~Ys biçimindeki tüm basit ifadeler ve de¤illenmifl ba-sit ifadeler ifadeleri do¤ru ise, o dal “do¤ru” bir dald›r. Çizelgede en az bir do¤rudal ortaya ç›karsa, tamamlanmam›fl dallar kalm›fl olsa bile, önermenin bize verilenmodelde do¤ru oldu¤unu söyleyebiliriz. Çizelgede tüm dallar yanl›fl ise, önermebize verilen modelde yanl›flt›r.

Çözümleyici çizelge yöntemi ile, nicelemeli bir sembolik önermenin bir model-deki do¤ruluk de¤erini hesaplarken, baflvurulmas› zorunlu olmayan ama çizelgeyiolabildi¤ince basit tutmak ve böylece hata yapmaktan kaç›nmak için izleyebilece-¤imiz “öncelik kurallar›” vard›r:

• Niceleyici-de¤illeme kurallar› tüm kurallardan önce uygulanmal›d›r. • Tümel-nicelemenin aç›l›m› kural› tikel-nicelemenin aç›l›m› kural›ndan önce

uygulanmal›d›r.• Önerme eklemleri elenirken, alt alta yazma gerektiren kurallar çatal açma

kurallar›ndan önce uygulanmal›d›r. • Bir niceleyici kural› ile önerme eklemi kural› aras›nda seçim yapmam›z ge-

rekti¤inde de, alt alta yazma gerektiren kural çatal açma kurallar›ndan önceuygulanmal›d›r. Örne¤in, dalda bir tümel-niceleme ve bir tikel-evetlemeönermesi varsa, önce tümel-nicelemenin aç›l›m› kural› uygulanmal›d›r.

Çözümleyici çizelge yöntemi ile, ∃x (Fx → ∀y (GA → Fy)) önermesinin afla¤›da be-lirtilen modeldeki do¤ruluk de¤erini hesaplayal›m:

SM = {a, b }, FM = {a}, GM = {a,b }, AM = a

‹lk olarak, önermede geçen A ad sembolü yerine, bu sembolün modelde karfl›l›¤›olan AM = a eleman›n› koyal›m. fiimdi elde etti¤imiz ∃x (Fx → ∀y (Ga → Fy)) ifa-desini kök noktas›na yerlefltirerek çözümleyici çizelgeyi olufltural›m:

1. ∃x (Fx → ∀y (Ga → Fy))

2. (Fa → ∀y (Ga → Fy)) (1) 2. (Fb → ∀y (Ga → Fy)) (1)

3. ~Fa (2) 3.∀y (Ga → Fy) (2) 3. ~Fb (2) 3. ∀y (Ga →Fy) (2)#(a ∈ FM) 4. (Ga → Fa) (3) P 4. (Ga → Fa) (3)

5. (Ga → Fb) (3) 5. (Ga → Fb) (3)

6. ~Ga (4) 6. Fa (4)

# (a ∈ GM)7. ~Ga (5) 7. Fb (5)

# (a ∈ GM) # (b ∉ FM)


Ö R N E K

Çözümleyici çizelge ilenicelemeli bir sembolikönermenin bir modeldedo¤ruluk de¤erinihesaplarken, çizelgede en azbir do¤ru dal ortaya ç›karsa,önerme bize verilen modeldedo¤rudur. Çizelgede tümdallar yanl›fl ise, önermebize verilen modeldeyanl›flt›r.

Çizelgede P iflareti ile gösterdi¤imiz dal do¤ru bir dald›r: Bu dalda kendisineifllem uygulayarak ilerlememizi gerektiren bir ifade yoktur (ifllem uygulanmam›flbir niceleyici veya önerme eklemi olsayd›, dalda devam etmemiz gerekirdi) ve Ysveya ~Ys biçimindeki tek ifade olan ~Fb ifadesi, b ∉ FM oldu¤undan, do¤rudur. Çi-zelgede do¤ru bir dal ortaya ç›kt›¤› için, ∃x (Fx → ∀y (GA → Fy)) önermesi bizeverilen modelde do¤rudur. Do¤ru bir dal›n ç›kmas› önermenin verilen modeldedo¤ru olmas› için yeterli oldu¤undan, en sa¤daki dalda devam etmedi¤imize dik-kat ediniz.

‹fllem uygulanmam›fl bir niceleyici veya önerme eklemi bulunan bir dal tamamlanmam›fldald›r. Bu noktalara ifllem uyguland›¤›nda dal yanl›fl hale geçebilece¤inden, tamamlanma-m›fl bir dal›n do¤ru oldu¤una karar verilemez.

Çözümleyici çizelge yöntemi ile, (FA → GB) → (∃x Fx → ∃x Gx) önermesinin,SM = {a, b }, FM = {a}, GM = {a, b }, AM = a, BM = b modelindeki do¤ruluk de¤eri-ni hesaplayal›m. ‹lk olarak, önermede geçen A ve B ad sembolleri yerine, busembollerin modelde karfl›l›¤› olarak verilmifl a ve b elemanlar›n› koyal›m. fiim-di elde etti¤imiz (Fa → Gb) → (∃x Fx → ∃x Gx) ifadesini kök noktas›na yerlefl-tirerek çözümleyici çizelgeyi olufltural›m:

1. (Fa → Gb) → (∃x Fx → ∃x Gx)

2. ~(Fa → Gb) (1) 2. (∃x Fx → ∃x Gx) (1)

3. Fa (2)

4. ~Gb (2) 3. ~∃x Fx (2) 3. ∃x Gx (2)

# (b ∈ GM) 4. ∀x~Fx (3)5. ~Fa (4) 4. Ga (3) 4. Gb (3)6. ~Fb (4) P P

#(a ∈ FM)

Çizelgede P iflareti ile gösterdi¤imiz iki dal do¤ru dallard›r: Bu dallarda kendi-sine ifllem uygulayarak ilerlememizi gerektiren bir ifade yoktur ve Ys veya ~Ys bi-çimindeki Ga ve Gb ifadeleri, a ∈ GM ve b ∈ GM oldu¤undan do¤rudur. Çizelge-de do¤ru en az bir dal ç›kmas› bile yeterli oldu¤undan, (FA → GB) → (∃x Fx →∃x Gx) önermesi bize verilen modelde do¤rudur.

Çözümleyici çizelge yöntemi ile, (GA → ∀y(Fy → ∃x Gx)) önermesinin SM = {a, b}, FM ={a}, GM = {a, b}, AM = a modelindeki do¤ruluk de¤erini hesaplay›n›z.


Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Çözümleyici Çizelge ‹le Önermeler ‹çin Model ve Karfl›-Model Oluflturulmas›Çözümleyici çizelge yöntemi ile, nicelemeli bir sembolik önermenin modeliniolufltururken, aç›l›m kurallar› yerine, tümel-özelleme ve tikel-özelleme kurallar›nabaflvuraca¤›z. Bu kurallar flunlard›r:

Tümel-özelleme: ∀ν A tümel-nicelemeli önermesinin bir modelde do¤ru ol-mas› için, bu modeldeki her s eleman› için A(s) ifadesinin do¤ru olmas› gerekir.Dolay›s›yla, çözümleyici çizelgede bir dalda ilerlerken ∀ν A biçiminde bir önermeortaya ç›kt›¤›nda, o dalda ortaya ç›km›fl her s eleman› için A(s) ifadesi dala eklen-melidir:

k. ∀ν A

m. A(s) (s herhangi bir eleman)

Tikel-özelleme: ∃ν A tikel-nicelemeli önermesinin bir modelde do¤ru olmas›için, bu modeldeki en az bir s eleman› için A(s) ifadesinin do¤ru olmas› gerekir.Ancak, hangi s eleman› için A(s) ifadesinin do¤ru oldu¤unu bilmedi¤imizden, ti-kel-niceleyicinin çözümleyici çizelge kural›nda, o dalda daha önce ortaya ç›km›flbir eleman› kullanamay›z. Dolay›s›yla, çözümleyici çizelgede bir dalda ilerlerken∃ν A biçiminde bir önerme ortaya ç›kt›¤›nda, o dalda ortaya ç›kmam›fl yeni bir seleman› için A(s) ifadesi dala eklenmelidir:

k. ∃ν A

m. A(s) (s o dalda yeni bir eleman)

Çözümleyici çizelge yöntemi ile, nicelemeli bir sembolik önerme için bir mo-del bulmak için,

1. Önermede her S ad sembolü yerine s eleman›n› yazar›z: A yerine a, B yeri-ne b, ... gibi. Bir ad sembolünün her geçti¤i yere ayn› eleman konmal›d›r.

2. 1 numaral› kök noktas›na elde etti¤imiz ifadeyi yazar›z. 3. Tümel-özelleme ve tikel-özelleme kurallar›n›, tümel ve tikel-nicelemelerin

de¤illenmesi kurallar›n› ve önerme eklemlerine ait kurallar› uygulayarakilerleriz. Burada özellikle dikkat etmemiz gereken nokta fludur: Dalda orta-ya ç›kan her eleman için o daldaki her ∀ν A ifadesine tümel-özelleme ku-ral› uygulanmal›d›r. Bir ∀ν A ifadesine tümel-özelleme kural› uyguland›ktansonra da dalda yeni bir eleman ortaya ç›karsa, ∀ν A ifadesine o eleman içinde tümel-özelleme kural› uygulanmal›d›r.

4. Bir dalda ilerlerken, bir ifade ve onun de¤ili ortaya ç›karsa o dal kapal›d›r vebu durum o dal›n, sonuna # (çarp›) iflareti konarak kapanmas›yla belirtilir.

5. ‹fllem uygulanacak bir ifade kalmad›¤› halde kapanmayan bir dal aç›k birdald›r. Bu durum o dal›n sonuna bir P iflareti konarak gösterilir.

6. Bir önermenin çözümleyici çizelgesinde tamamlanm›fl (ifllem uygulanacakbir ifade kalmam›fl dal) bir aç›k dal (bir ifade ve onun de¤ilini bulundurma-yan bir dal) ortaya ç›karsa, bu dallardan herhangi birine göre önermenin birmodeli oluflturulabilir: Modelin evreni o dalda ortaya ç›kan elemanlardan


Çözümleyici çizelge ile modelolufltururken, bir dalda ∀ν Abiçiminde bir önerme ortayaç›kt›¤›nda, o dalda ortayaç›km›fl her s eleman› için A (s)ifadesi dala eklenmelidir.

Çözümleyici çizelge ile modelolufltururken bir dalda ∃ν Abiçiminde bir önerme ortayaç›kt›¤›nda, o dalda ortayaç›kmam›fl yeni bir s eleman›için A (s) ifadesi dala eklen-melidir.

oluflmal›d›r. Ad sembolleri, ilk aflamada yerlerine konan elemanlarla eflleflti-rilir: AM = a, BM = b, … Yüklem sembollerinin yorumlanmas›nda, o dalda or-taya ç›kan Ys ve ~Ys biçimindeki ifadelere bak›l›r. Dalda bir Ys ifadesi var-sa modelde s ∈ YM olmal›, ~Ys ifadesi varsa modelde s ∉ YM olmal›d›r. Dal-da ortaya ç›km›fl bir eleman ne Ys ne de ~Ys ifadesinde ortaya ç›kmam›fl ise,bu Y yüklemi için s ∈ YM veya s ∉ YM olarak karar verebiliriz. Böyle bir du-rum ortaya ç›kt›¤›nda, modeli basit tutmak için s ∉ YM seçece¤iz. Bu zorun-lu de¤ildir. s ∉ YM olmas›n›n zorunlu oldu¤u tek durum, modeli kendisinegöre oluflturdu¤umuz aç›k dalda ~Ys ifadesinin olmas›d›r.

Modeli olufltururken bir tek aç›k dala bakarak ilerlemeye dikkat ediniz. Birden çok aç›kdala bakarak model oluflturmak yanl›flt›r. Çizelgedeki tamamlanm›fl her aç›k dal ayr› eleal›nmal›d›r.

Çözümleyici çizelge ile model oluflturmaya çal›fl›rken, olabildi¤ince fazla dal el-de etmeye çal›flt›¤›m›zdan, çatal açma kurallar›n›n alt alta yazma kurallar›na önce-li¤i vard›r. Ayr›ca, tikel-özelleme kural› tümel-özelleme kural›ndan önce uygulan-mal›d›r.

Çözümleyici çizelge yöntemi ile, ∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy) önermesi için birmodel bulmaya çal›flal›m.

1. ∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy)2. ∃x (Fx ∧ ~Gx) (1)3. ∃y (Gy ∧ ~Fy) (1)4. (Fa ∧ ~Ga) (2)5. Fa (4)6. ~Ga (4)7. Gb ∧ ~Fb (3)8. Gb (7)9. ~Fb (7)

P

Çözümleyici çizelge bir tek daldan oluflmaktad›r ve bu dal tamamland›¤› haldeaç›kt›r. Dolay›s›yla önermenin bir modeli vard›r. fiimdi, aç›k dalda ortaya ç›kan Ysve ~Ys biçimindeki ifadelere bakarak ∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy) önermesininbir M modelini olufltural›m: Dalda a ve b elemanlar› geçti¤inden, SM = {a, b } olur.Fa ve ~Fb oldu¤undan, a ∈ FM ve b ∉ FM olmal›d›r. Dolay›s›yla, FM = {a} olarakbelirlenir. ~Ga ve Gb oldu¤undan, a ∉ GM ve b ∈ GM olmal›d›r. Dolay›s›yla, GM ={b} olarak belirlenir. fiimdi ∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy) sembolik önermesi içinelde etti¤imiz M modelini bütün olarak yazal›m:

M: SM = {a, b }, FM = {a}, GM = {b}

Nicelemeli bir sembolik önerme için, çözümleyici çizelge yöntemi ile modeloluflturma kurallar›yla buldu¤umuz modelde önermenin do¤ru olmas› gerekir. Bu-nu da, daha önce gördü¤ümüz aç›l›m yöntemiyle ya da, az önceki k›s›mda gördü-¤ümüz gibi, çözümleyici çizelge ile gerçeklefltirebiliriz.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Çözümleyici çizelge ile modelolufltururken, çatal açmakurallar›n›n alt alta yazmakurallar›na önceli¤i vard›r.Tikel-özelleme kural› datümel-özelleme kural›ndanönce uygulanmal›d›r.

Ö R N E K

Çözümleyici çizelge yöntemi ile, buldu¤umuz M: SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {b}modelinde ∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy) önermesinin do¤ruluk de¤erini hesap-layal›m.

1. ∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy)2. ∃x (Fx ∧ ~Gx) (1)3. ∃y (Gy ∧ ~Fy) (1)

4. (Fa ∧ ~Ga) (2) 4. (Fb ∧ ~Gb) (2)P 5. Fa (4)P 6. ~Ga (4)

7. (Ga ∧ ~Fa) (3) 7. (Gb ∧ ~Fb) (3)8. Ga (7) P 8. Gb (7)9. ~Fa (7) P 9. ~Fb (7)

#(5,9) P

Çözümleyici çizelgede P iflareti ile gösterdi¤imiz dal, tamamlanm›fl bir do¤rudald›r. Bu dalda ortaya ç›kan Fa, ~Ga, Gb ve ~Fb ifadelerinin tümü modelde do¤-ru oldu¤undan, ∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃y (Gy ∧ ~Fy) önermesi M modelinde do¤rudur.

Çözümleyici çizelge yöntemi ile, ∀x (Fx ∨ ~Gx) ∧ ∃y (Gy → ~Fy) önermesi için birmodel bulmaya çal›flal›m:

1. ∀x (Fx ∨ ~Gx) ∧ ∃y (Gy → ~Fy)2. ∀x (Fx ∨ ~Gx) (1)3. ∃y (Gy → ~Fy) (1)4. Ga → ~Fa (3)5. Fa ∨ ~Ga (2)

6. ~Ga (4) 6. ~Fa (4)

7. Fa (5) 7. ~Ga (5) 7. Fa (5) 7. ~Ga (5)P P #(6,7) P

‹lk olarak tikel nicelemeyi gerçeklefltirdi¤imize dikkat ediniz. Çizelgede P ileiflaretledi¤imiz dallar tamamlanm›fl ve aç›kt›r. Önermenin modelini bu dallardanherhangi birine göre oluflturabiliriz. En soldaki dala göre ortaya ç›kan model afla-¤›daki gibidir:

M: SM = {a}, FM = {a}, GM = { }


Ö R N E K

Ö R N E K

Bildi¤iniz gibi, bir önermenin yanl›fl oldu¤u bir model, o önermenin bir karfl›-modelidir. A önermesinin yanl›fl olmas›, ~A önermesinin do¤ru olmas› demektir.Yani, nicelemeli bir A sembolik önermesinin bir karfl›-modelini oluflturmak demek~A önermesinin bir modelini oluflturmak demektir. Dolay›s›yla, çözümleyici çizel-ge yöntemi ile A önermesinin bir karfl›-modelini oluflturmak için, ~A önermesindeher S ad sembolü yerine s eleman›n› koyarak elde etti¤imiz ifadeyi 1. numaral› köknoktas›na koyarak çizelgeyi oluflturmaya bafllar ve model olufltururken belirtti¤i-miz (3)-(6) kurallar›n› aynen uygular›z.

Çözümleyici çizelge yöntemiyle (FA ↔ GB) → ∃x (Fx ∨ Gx) önermesi için bir kar-fl›-model bulmaya çal›flal›m:Önermenin de¤ilinde geçen ad sembollerini birer elemanla efllefltirerek ~((Fa ↔Gb) → ∃x (Fx ∨ Gx)) ifadesini elde ederiz. Karfl›-model oluflturmaya çal›flt›¤›m›z-dan, bu ifadenin çözümleyici çizelgesini olufltural›m:

1. ~((Fa ↔ Gb) → ∃x (Fx ∨ Gx))2. (Fa ↔ Gb) (1)3. ~∃x (Fx ∨ Gx) (1)4. ∀x ~(Fx ∨ Gx) (3)

5. Fa (2) 5. ~Fa (2)6. Gb (2) 6. ~Gb (2)7. ~(Fa ∨ Ga) (4) 7. ~(Fa ∨ Ga) (4)8. ~(Fb ∨ Gb) (4) 8. ~(Fb ∨ Gb) (4)9. ~Fa (7) 9. ~Fa (7)10. ~Ga (7) 10. ~Ga (7)

#(5,9) 11. ~Fb (8)12. ~Gb (8)

P

Her iki dalda da, a ve b elemanlar› geçti¤inden, tümel-özellemeyi hem a hemde b elemanlar› ile gerçeklefltirdi¤imize dikkat ediniz. Çözümleyici çizelgede P ilegösterdi¤imiz dal tamamland›¤› halde aç›kt›r. O halde, bu dala bakarak bir karfl›-model olufltural›m: Dalda a ve b elemanlar› geçti¤inden, SM = {a, b } olur. ~Fa ve~Fb oldu¤undan, FM = {}, ~Ga ve ~Gb oldu¤undan, GM = {} olur. Bafllang›çta kabuletti¤imiz gibi, AM = a, BM = b oldu¤undan, (FA ↔ GB) → ∃x (Fx ∨ Gx) önermesiiçin elde etti¤imiz karfl›-modelin bütünü afla¤›daki gibidir:

M: SM = {a, b }, FM = { }, GM = { }, AM = a, BM = b.


Ö R N E K

Çözümleyici çizelge yöntemiile A önermesinin bir karfl›-modelini oluflturmak için,~A önermesinde her S adsembolü yerine s eleman›n›koyarak elde etti¤imizifadeyi kök noktas›nakoyarak model oluflturmakurallar›na göre ilerleriz.

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, (FA ↔ GB) → ∀x (Fx ∨ Gx) önermesi için bir kar-fl›-model bulmaya çal›flal›m. Önermenin de¤ilinde geçen ad sembollerini birer ele-manla efllefltirerek, ~((Fa ↔ Gb) → ∀x (Fx ∨ Gx)) ifadesini elde ederiz. Karfl›-mo-del oluflturmaya çal›flt›¤›m›zdan, bu ifadenin çözümleyici çizelgesini olufltural›m:

1. ~((Fa ↔ Gb) → ∀x (Fx ∨ Gx))2. (Fa ↔ Gb) (1)3. ~∀x (Fx ∨ Gx) (1)4. ∃x ~(Fx ∨ Gx) (3)

5. Fa (2) 5. ~Fa (2)6. Gb (2) 6. ~Gb (2)7. ~(Fc ∨ Gc) (4)8. ~Fc (7)9. ~Gc (7)

P

Tikel-özellemeyi yaparken, yeni bir eleman kullanmak gerekti¤inden, c elema-n›n› kulland›¤›m›za dikkat ediniz. Çözümleyici çizelgede P ile gösterdi¤imiz daltamamland›¤› halde aç›kt›r. O halde, bu dala bakarak bir karfl›-model olufltural›m:Dalda a, b ve c elemanlar› geçmektedir. Buna göre modelin evreni SM = {a, b, c}olur. Dalda Fa ve ~Fc geçti¤inden a ∈ FM ve c ∉ FM olmas› gereklidir. b eleman›ne Fb ne de ~Fb ifadesinde geçmedi¤inden, b ∉ FM kabul edece¤iz. Buna göre, FM

= {a} olur. Dalda Gb ve ~Gc geçmekte, a eleman› ise ne Ga ne de ~Ga ifadesindegeçmemektedir. Dolay›s›yla, GM = {b}. O halde, (FA ↔ GB) → ∀x (Fx ∨ Gx) öner-mesi için afla¤›daki karfl›-modeli elde etmifl olduk:

M: SM = {a, b, c}, FM = {a}, GM = {b}, AM = a, BM = b

Çözümleyici Çizelge ‹le Önermelerin Geçerlili¤inin DenetlenmesiÖnermeler mant›¤›nda oldu¤u gibi, niceleme mant›¤›nda da, bir önermenin geçer-li oldu¤unu çözümleyici çizelge ile ortaya koymak için, önermenin yanl›fl oldu¤ubir yorumlaman›n, yani önermenin bir karfl›-modelinin olmad›¤›n› gösterece¤iz.Dolay›s›yla, bir A nicelemeli sembolik önermesinin geçerli oldu¤unu göstermekiçin, ~A önermesinin tamamlanm›fl çözümleyici çizelgesinin kapal› olmas› gerekir.Çizelgeyi olabildi¤ince az dalland›rarak kapatmak isteyece¤imizden, çözümleyiciçizelge ile geçerlilik denetlemesi yaparken, alt alta yazma kurallar›n›n çatal açmakurallar›na önceli¤i vard›r. Ayr›ca, tikel-özelleme kural›n›n tümel-özelleme kural›n-dan önce uygulanmas› gerekir. Bunun sebebi kolayca anlafl›labilir: Önce tümel-özelleme kural›n›, ard›ndan tikel-özelleme kural›n› uygularsak, tümel-özellemedekulland›¤›m›z eleman› tikel-özellemede kullanamayaca¤›m›zdan, çeliflki elde ede-meyiz ve çizelgeyi kapatamay›z. Bu durumda tekrar bir tümel-özelleme yapmakyani çizelgeye fazladan bir nokta eklemek zorunda kal›r›z. Bunu örneklerde veçözdü¤ünüz al›flt›rmalarda görebilirsiniz.


Nicelemeli bir sembolikönermenin geçerli oldu¤unugöstermek için, önermeninde¤ilinin model oluflturmakurallar›na göre oluflturulantamamlanm›fl çözümleyiciçizelgesinin kapal› olmas›gerekir.

Çözümleyici çizelge ilegeçerlilik denetlemesiyaparken, alt alta yazmakurallar›n›n çatal açmakurallar›na, tikel-özellemekural›n›n tümel-özellemekural›na önceli¤i vard›r.

Ö R N E K

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, ∃x (Fx ∨ Gx) ↔ (∃x Fx ∨ ∃x Gx) önermesinin ge-çerli oldu¤unu gösterelim. Bunun için, ~(∃x (Fx ∨ Gx) ↔ (∃x Fx ∨ ∃x Gx)) öner-mesinin çözümleyici çizelgesinin kapal› oldu¤unu göstermemiz gerekir:

1. ~(∃x (Fx ∨ Gx) ↔ (∃x Fx ∨ ∃x Gx))

2. ∃x (Fx ∨ Gx) (1) 2. ~∃x (Fx ∨ Gx) (1)3. ~(∃x Fx ∨ ∃x Gx) (1) 3. ∃x Fx ∨ ∃x Gx (1)4. ~∃x Fx (3) 4. ∀x ~(Fx ∨ Gx) (2)

5. ~∃x Gx (3)

6. ∀x ~Fx (4) 5. ∃x Fx (3) 5. ∃x Gx (3)7. ∀x ~Gx (5) 6. Fa (5) 6. Ga (5)8. (Fa ∨ Ga) (2) 7. ~(Fa ∨ Ga) (4) 7. ~(Fa ∨ Ga) (4)9. ~Fa (6) 8. ~Fa (7) 8. ~Fa (7)10. ~Ga (7) 9. ~Ga (7) 9. ~Ga (7)

# (6, 8) # (6, 9)11. Fa (8) 11.Ga (8)

# (9, 11) # (10, 11)

Gördü¤ünüz gibi, çözümleyici çizelgedeki tüm dallar kapand›¤›ndan, ~(∃x (Fx ∨Gx) ↔ (∃x Fx ∨ ∃x Gx)) önermesinin bir modeli yoktur. Dolay›s›yla, ∃x (Fx ∨Gx) ↔ (∃x Fx ∨ ∃x Gx) önermesinin karfl›-modeli yoktur yani önerme tüm mo-dellerde do¤rudur. Sonuç olarak, ∃x (Fx ∨ Gx) ↔ (∃x Fx ∨ ∃x Gx) önermesi ni-celeme mant›¤›nda geçerlidir.

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, ∃x (Fx → FA) önermesinin niceleme mant›¤›ndageçerli bir önerme oldu¤unu gösterelim:

1. ~∃x (Fx → Fa)2. ∀x ~ (Fx → Fa) (1)3. ~ (Fa → Fa) (2)4. Fa (3)5. ~Fa (3)

#(4, 5)


Ö R N E K

Ö R N E K

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, ∀x (Fx → Gx) → (∀x Fx → ∀x Gx) önermesiningeçerli oldu¤unu gösterelim:

1. ~(∀x (Fx → Gx) → (∀x Fx → ∀x Gx))2. ∀x (Fx → Gx) (1)3. ~(∀x Fx → ∀x Gx) (1)4. ∀x Fx (3)5. ~∀x Gx (3)6. ∃x ~Gx (5)7. ~Ga (6)8. Fa (4)9. Fa → Ga (2)

10.~Fa (9) 10.Ga (9)# (8, 10) # (7, 10)

∀x (Fx ∧ Gx) → (∀x Fx ↔ ∀x Gx) önermesinin geçerli oldu¤unu çözümleyici çizelgeyöntemiyle gösteriniz.

Çözümleyici Çizelge ‹le Önermelerin Eflde¤erli¤inin DenetlenmesiA ve B önermelerinin niceleme mant›¤› bak›m›ndan eflde¤er olmas›, bu iki öner-menin tüm modellerde ayn› do¤ruluk de¤erini almalar› demektir. Bu ise, (A ↔ B)önermesinin niceleme mant›¤›nda geçerli olmas› demektir. Dolay›s›yla, A ve Bönermelerinin niceleme mant›¤› bak›m›ndan eflde¤er oldu¤unu çözümleyici çizel-ge yöntemi ile göstermek için ~(A ↔ B) önermesinin çözümleyici çizelgesinin ka-pal› oldu¤unu ortaya koymam›z gerekir.

~∀x Fx ve ∃x ~Fx önermelerinin niceleme mant›¤›nda eflde¤er oldu¤unu çözüm-leyici çizelge yöntemiyle gösterelim:

1. ~ (~∀x Fx ↔ ∃x ~Fx)

2. ~∀x Fx (1) 2. ~~∀x Fx (1)3. ~∃x ~Fx (1) 3. ∃x ~Fx (1)4. ∃x ~Fx (2) 4. ∀x Fx (2)5. ∀x ~~Fx (3) 5. ~Fa (3) 6. ~Fa (4) 6. Fa (4) 7. ~~Fa (5) # (5, 6)

# (6, 7)


A ve B önermelerininniceleme mant›¤›bak›m›ndan eflde¤eroldu¤unu çözümleyiciçizelge yöntemi ilegöstermek, (A ↔ B)önermesinin nicelememant›¤›nda geçerlioldu¤unu göstermekdemektir.

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Ö R N E K

N‹CELEMEL‹ SEMBOL‹K ÇIKARIMLAR VE ÇÖZÜMLEY‹C‹ Ç‹ZELGELERBir ç›kar›m›n geçersiz olmas›, en az bir modelde tüm öncüllerin do¤ru olmas›nara¤men sonuç önermesinin yanl›fl olmas›d›r. Bir baflka deyiflle, bir ç›kar›m›n geçer-li olmas›, bu ç›kar›m›n öncüllerinin sonuç önermesinin de¤ili ile birlikte tutarl› ol-mas›d›r. Bir ç›kar›m›n öncüllerinin sonuç önermesinin de¤ili ile birlikte tutarl› ol-du¤unu ortaya koyan bir model ç›kar›m›n bir karfl›-modelidir. Bir ç›kar›m›n geçer-li oldu¤unu göstermek için, ç›kar›m›n bir karfl›-modeli olmad›¤›n› ortaya koyma-m›z gerekir.

Çözümleyici çizelge yöntemiyle sonlu say›da bir grup önermenin birlikte tutar-l› oldu¤unu göstermek için, bu önermelerden ad sembolleri yerine elemanlar›nkonmas›yla elde edilen ifadeleri, kök noktas›ndan itibaren alt alta yazar ve ard›n-dan model oluflturma kurallar›na göre ilerleriz. Çizelgede tamamlanm›fl ve aç›k birdal olmas› durumunda, bu dala göre bu önermeleri birlikte do¤ru yapan bir mo-del oluflturabilece¤imizden, bu önermeler birlikte tutarl›d›r. Çizelge tamamland›-¤›nda tüm dallar kapan›yorsa, bu önermelerin tümünü do¤ru yapan bir modelyoktur ve dolay›s›yla bu önermeler birlikte çelifliktir.

∀x (Fx → FA), ∃x ~Fx ve ~FA önermelerinin birlikle tutarl› oldu¤unu çözümleyiciçizelge yöntemiyle gösterelim:

1. ∀x (Fx → Fa)2. ∃x ~Fx3. ~Fa4. ~Fb (2)5. Fa → Fa (1)6. Fb → Fa (1)

7. ~Fa (5) 7. Fa (5)

8. ~Fb (5) 8. Fa (5) 8. ~Fb (5) 8. Fa (5)P # (3, 8) P # (3, 8)

Çizelgede P ile iflaretledi¤imiz tamamlanm›fl ve aç›k iki daldan dolay›, ∀x(Fx → FA), ∃x ~Fx ve ~FA önermeleri birlikte tutarl›d›r.

Nicelemeli bir sembolik ç›kar›m›n geçersiz oldu¤unu ortaya koyan bir karfl›-mo-delini bulmak için, öncüller ve sonucun de¤ilinde her S ad sembolü için s eleman›-n› koyarak (ayn› ad sembolünün ç›kar›mdaki her geçifli yerine ayn› eleman› koyma-ya dikkat ederek), önermeler için model oluflturma kurallar› olarak verdi¤imiz (2)-(6) kurallar›na göre ilerleriz. Çizelgede tüm dallar kapan›rsa (yani çizelge kapan›r-sa) ç›kar›m geçerlidir. Çizelgede tamamlanm›fl bir aç›k dal kal›rsa, önermeler k›s-m›nda gördü¤ümüz kurallara uygun olarak, ç›kar›m›n bir karfl›-modelini bu dala gö-re oluflturabiliriz. Ç›kar›m›n karfl›-modelini bulmaya çal›fl›yorsak, mümkün oldu¤un-ca fazla aç›k dal elde etmek için çatal açma kurallar›n› önce uygulamaya dikkat ede-riz. Ç›kar›m›n geçerli oldu¤unu, yani karfl›-modeli olmad›¤›n› göstermeye çal›fl›rkenise, alt alta yazma kurallar›n› önce uygular›z. Hem karfl›-model bulurken, hem degeçerlili¤i ortaya koyarken, tikel-özellemenin tümel-özellemeye önceli¤i vard›r.


Nicelemeli bir sembolikç›kar›m›n geçerlili¤inidenetlerken, öncüllerde vesonucun de¤ilinde her S adsembolü için s eleman›n›koyarak (ayn› adsembolünün ç›kar›mdaki hergeçifli yerine ayn› eleman›koymaya dikkat ederek),model oluflturma kurallar›nagöre ilerleriz. Çizelgede tümdallar kapan›rsa (yaniçizelge kapan›rsa) ç›kar›mgeçerlidir.

Ö R N E K

∀x (Fx ∨ Gx), ~FA ∴ GA ç›kar›m›n›n geçerli oldu¤unu çözümleyici çizelge yönte-miyle gösterelim.

1. ∀x (Fx ∨ Gx) (öncül)2. ~Fa (öncül)3. ~Ga (sonucun de¤ili)4. (Fa ∨ Ga) (1)

5. Fa (4) 5. Ga (4)# (2, 5) # (3, 5)

∀x (Fx → Gx), ∀x (Gx → Hx) ∴ ∀x (Fx → Hx) ç›kar›m›n›n geçerli oldu¤unu çö-zümleyici çizelge yöntemiyle gösterelim:

1. ∀x (Fx → Gx) (öncül)2. ∀x (Gx → Hx) (öncül)3. ~∀x (Fx → Hx) (sonucun de¤ili)4. ∃x ~(Fx → Hx) (3)5. ~(Fa → Ha) (4)6. Fa (5)7. ~Ha (5)8. Fa → Ga (1)9. Ga → Ha (2)

10.~Fa (4) 10.Ga (4)

#(6, 10)11. ~Ga (9) 11. Ha (9)

# (10, 11) # (7, 11)

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, ∃x (FA ∧ Fx) ∴ ∃x Fx → FA ç›kar›m›n›n geçerli ol-du¤unu gösterelim. ‹lk olarak, öncülde ve sonucun de¤ilinde A ad sembolü yerine aeleman›n› koyarak, ∃x (Fa ∧ Fx) ve ~(∃x Fx → Fa) ifadelerini elde ederiz. fiimdi buifadeleri tepe noktalar›na yerlefltirerek ç›kar›m›n çözümleyici çizelgesini olufltural›m:

1. ∃x (Fa ∧ Fx) (öncül)2. ~(∃x Fx → Fa) (sonucun de¤ili)3. ∃x Fx (2)4. ~Fa (2)5. Fb (3)6. (Fa ∧ Fc) (1)7. Fa (6)8. Fc (6)

#(4, 7)


Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

Çizelge kapand›¤› için (yani çizelgedeki tüm dallar kapand›¤› için), ç›kar›m›n kar-fl›-modeli yoktur. Dolay›s›yla ç›kar›m geçerlidir.

∃x Fx ∴ ∀x Fx ç›kar›m›n›n geçersiz oldu¤unu çözümleyici çizelge yöntemiylegösterelim.

1. ∃x Fx (öncül)2. ~∀x Fx (sonucun de¤ili)3. ∃x ~Fx (2)4. Fa (1)5. ~Fb (3)

P

Çizelgeyi oluflturan tek dal tamamland›¤› halde aç›k kald›¤›ndan, bu dala bakarakç›kar›m için bir karfl›-model yaz›labilir. Dikkat ediniz: 5. noktada 3 noktas›ndan aeleman› ile tikel-özelleme yapabilseydik çizelge kapan›rd›. Ancak, yeni bir harfkullanmam›z zorunlu oldu¤undan bunu yapamay›z. Ayn› sebeple, 6. nokta olarak,1. noktaya dönüp b ile tikel-özelleme de yapamay›z. Dolay›s›yla çizelgenin aç›kkalmas› zorunludur. Bu daldan oluflturulacak karfl›-model afla¤›daki gibidir:

M: SM = {a, b }, FM = {a}

∃x Fx ∧ ∃x Gx ∴∃x (Fx ∧ Gx) ç›kar›m›n›n geçersiz oldu¤unu çözümleyici çizelgeile bir karfl›-model oluflturarak gösterelim:

1. ∃x Fx ∧ ∃x Gx (öncül) 2. ~∃x (Fx ∧ Gx) (sonucun de¤ili)3. ∀x ~(Fx ∧ Gx) (2)4. ∃x Fx (1)5. ∃x Gx (1)6. Fa (4)7. Gb (5)8. ~(Fa ∧ Ga) (3)9. ~(Fb ∧ Gb) (3)

10. ~Fa (8) 10. ~Ga (8)

#(6,10)

11. ~Fb (9) 11. ~Gb (9) 12. Fc (4) #(7,11)13. Gd (5)14. ~(Fc ∧ Gc) (3)15. ~(Fd ∧ Gd) (3)


Ö R N E K

Ö R N E K

Görüldü¤ü gibi, çizelgenin bir dal›n› kapatma imkan› olmad›¤›ndan ç›kar›m geçer-sizdir. Bu aç›k dala bakarak ç›kar›m›n bir karfl› modelini oluflturabiliriz. Asl›nda,karfl›-modeli dal›n ilk 11 noktas›na bakarak oluflturabiliriz:

M: SM = {a, b }, FM = {a}, GM = {b}

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, M: SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {b} modelinde ∃x Fx ∧ ∃xGx ve ∃x (Fx ∧ Gx) önermelerinin do¤ruluk de¤erlerini hesaplayarak, M modelinin ç›ka-r›m›n karfl›-modeli oldu¤unu gösteriniz.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3


Çözümleyici çizelge yöntemi ile nicelemeli sem-

bolik önermeleri denetleyebilmek,

Çözümleyici çizelge sembolik bir nicelemeliönermenin bir modeldeki do¤ruluk de¤erini he-saplarken, tümel-nicelemenin aç›l›m›, tikel-nice-

lemenin aç›l›m›, tümel-niceleyicinin de¤illenme-

si ve tikel-niceleyicinin de¤illenmesi kurallar›nabaflvurulur. Nicelemeli bir sembolik önermenin verilen birmodeldeki do¤ruluk de¤erini çözümleyici çizel-ge yöntemi ile hesaplarken, ilk olarak, önerme-de geçen ad sembolleri yerine, bunlar›n model-de karfl›l›¤› olarak verilen elemanlar› yazarak el-de etti¤imiz ifadeyi, çözümleyici çizelgenin 1 nu-maral› kök noktas›na yazar›z. Ard›ndan tümel vetikel-nicelemenin aç›l›m› kurallar›n›, niceleyicide¤illeme kurallar›n› ve önerme eklemlerine aitçözümleyici çizelge kurallar›n› kullanarak ilerle-riz. Bir dalda ilerlerken, Y bir yüklem sembolü, smodelin evreninin bir eleman› olmak üzere Ys

veya ~Ys biçimindeki bir ifade ortaya ç›kt›¤›nda; • Modelde s ∈ YM ise, dalda ortaya ç›kan Ys

ifadesi do¤rudur ve o dalda ilerlemeye de-vam ederiz.

• Modelde s ∉ YM ise, dalda ortaya ç›kan ~Ys

ifadesi do¤rudur ve yine o dalda ilerlemeyedevam edebiliriz.

• Modelde s ∉ YM ise, dalda ortaya ç›kan Ys ifa-desi yanl›flt›r ve o dalda daha fazla ilerleme-den, dal›n sonuna bir # (çarp›) iflareti koyar›zve bu dal›n “yanl›fl” bir dal oldu¤unu söyleriz.

• Modelde s ∈ YM ise, dalda ortaya ç›kan ~Ys

ifadesi yanl›flt›r ve o dalda daha fazla ilerleme-den, dal›n sonuna bir # (çarp›) iflareti koyar›zve bu dal›n “yanl›fl” bir dal oldu¤unu söyleriz.

Çizelgedeki bir dalda ifllem uygulanacak bir ifa-de kalmad›¤› halde, o daldaki tüm Ys ve ~Ys

ifadeleri do¤ru ise, o dal “do¤ru” bir dald›r. Çi-zelgede en az bir do¤ru dal ortaya ç›karsa, ta-mamlanmam›fl dallar kalm›fl olsa bile, önerme-nin bize verilen modelde do¤ru oldu¤unu söyle-yebiliriz. Çizelgede tüm dallar yanl›fl ise, önermebize verilen modelde yanl›flt›r. Çözümleyici çizelge yöntemi ile, nicelemeli birsembolik önermenin bir modeldeki do¤ruluk de-¤erini hesaplarken, baflvurulmas› zorunlu olma-

yan ama çizelgeyi olabildi¤ince basit tutmak veböylece hata yapmaktan kaç›nmak için “öncelikkurallar›” izlenir.Çözümleyici çizelge yöntemi ile, nicelemeli birsembolik önermenin modelini olufltururken, aç›-l›m kurallar› yerine, tümel-özelleme ve tikel-özel-

leme kurallar›na baflvurulur. Çözümleyici çizelgeyöntemi ile, nicelemeli bir sembolik önerme içinbir model bulmak için, 1. Önermede her S ad sembolü yerine s elema-

n›n› yazar›z: A yerine a, B yerine b, ... gibi.Bir ad sembolünün her geçti¤i yere ayn› ele-man konmal›d›r.

2. 1 numaral› kök noktas›na elde etti¤imiz ifa-deyi yazar›z.

3. Tümel-özelleme ve tikel-özelleme kurallar›n›,tümel ve tikel-nicelemelerin de¤illenmesi ku-rallar›n› ve önerme eklemlerine ait kurallar›uygulayarak ilerleriz. Burada özellikle dikkatetmemiz gereken nokta fludur: Dalda ortayaç›kan her eleman için o daldaki her ∀ν A ifa-desine tümel-özelleme kural› uygulanmal›d›r.Bir ∀ν A ifadesine tümel-özelleme kural› uy-guland›ktan sonra da dalda yeni bir elemanortaya ç›karsa, ∀ν A ifadesine o eleman içinde tümel-özelleme kural› uygulanmal›d›r.

4. Bir dalda ilerlerken, bir ifade ve onun de¤iliortaya ç›karsa o dal kapal›d›r ve bu durumo dal›n, sonuna # (çarp›) iflareti konarak ka-panmas›yla belirtilir.

5. ‹fllem uygulanacak bir ifade kalmad›¤› haldekapanmayan bir dal aç›k bir dald›r. Bu du-rum o dal›n sonuna bir P iflareti konarakgösterilir.

6. Bir önermenin çözümleyici çizelgesinde ta-

mamlanm›fl (ifllem uygulanacak bir ifadekalmam›fl dal) bir aç›k dal (bir ifade ve onunde¤ilini bulundurmayan bir dal) ortaya ç›-karsa, bu dallardan herhangi birine göreönermenin bir modeli oluflturulabilir: Mode-lin evreni o dalda ortaya ç›kan elemanlardanoluflmal›d›r. Ad sembolleri, ilk aflamada yer-lerine konan elemanlarla efllefltirilir: AM = a,

BM = b, … Yüklem sembollerinin yorumlan-mas›nda, o dalda ortaya ç›kan Ys ve ~Ys bi-çimindeki ifadelere bak›l›r. Dalda bir Ys ifa-

Özet

1NA M A Ç


desi varsa modelde s ∈ YM olmal›, ~Ys ifade-si varsa modelde s ∉ YM olmal›d›r. Dalda or-taya ç›km›fl bir eleman ne Ys ne de ~Ys ifa-desinde ortaya ç›kmam›fl ise, bu Y yüklemiiçin s ∈ YM veya s ∉ YM olarak karar verebi-liriz. Böyle bir durum ortaya ç›kt›¤›nda, mo-deli basit tutmak için s ∉ YM seçece¤iz. Buzorunlu de¤ildir. s ∉ YM olmas›n›n zorunluoldu¤u tek durum, modeli kendisine göreoluflturdu¤umuz aç›k dalda ~Ys ifadesininolmas›d›r.

Çözümleyici çizelge ile model oluflturmaya çal›-fl›rken, olabildi¤ince fazla dal elde etmeye çal›fl-t›¤›m›zdan, çatal açma kurallar›n›n alt alta yazmakurallar›na önceli¤i vard›r. Ayr›ca, tikel-özellemekural› tümel-özelleme kural›ndan önce uygulan-mal›d›r. Nicelemeli bir A sembolik önermesinin bir karfl›-modelini oluflturmak demek ~A önermesinin birmodelini oluflturmak demektir. Dolay›s›yla, çö-zümleyici çizelge yöntemi ile A önermesinin birkarfl›-modelini oluflturmak için, ~A önermesindeher S ad sembolü yerine s eleman›n› koyarak el-de etti¤imiz ifadeyi 1. numaral› kök noktas›nakoyarak çizelgeyi oluflturmaya bafllar ve modelolufltururken belirtti¤imiz (3)-(6) kurallar›n› ay-nen uygular›z. Önermeler mant›¤›nda oldu¤u gibi, nicelememant›¤›nda da, bir önermenin geçerli oldu¤unuçözümleyici çizelge ile ortaya koymak için, öner-menin yanl›fl oldu¤u bir yorumlaman›n, yaniönermenin bir karfl›-modelinin olmad›¤›n› göste-ririz. Dolay›s›yla, bir A nicelemeli sembolik öner-mesinin geçerli oldu¤unu göstermek için, ~Aönermesinin tamamlanm›fl çözümleyici çizelgesi-nin kapal› olmas› gerekir. Çizelgeyi olabildi¤inceaz dalland›rarak kapatmak isteyece¤imizden, çö-zümleyici çizelge ile geçerlilik denetlemesi ya-parken, alt alta yazma kurallar›n›n çatal açma ku-rallar›na önceli¤i vard›r. Ayr›ca, tikel-özellemekural›n›n tümel-özelleme kural›ndan önce uygu-lanmas› gerekir. Herhangi iki A ve B nicelemeli sembolik öner-mesinin niceleme mant›¤› bak›m›ndan eflde¤eroldu¤unu çözümleyici çizelge yöntemi ile gös-termek için ~(A ↔ B) önermesinin çözümleyiciçizelgesinin kapal› oldu¤unu ortaya koymam›zgerekir.

Çözümleyici çizelge yöntemi ile nicelemeli sem-

bolik ç›kar›mlar› denetleyebilmek,

Bir ç›kar›m›n geçersiz olmas›, en az bir modelde

tüm öncüllerin do¤ru olmas›na ra¤men sonuçönermesinin yanl›fl olmas›d›r. Bir baflka deyiflle,bir ç›kar›m›n geçerli olmas›, bu ç›kar›m›n öncül-lerinin sonuç önermesinin de¤ili ile birlikte tutar-l› olmas›d›r. Bir ç›kar›m›n öncüllerinin sonuçönermesinin de¤ili ile birlikte tutarl› oldu¤unuortaya koyan bir model ç›kar›m›n bir karfl›-mo-delidir. Bir ç›kar›m›n geçerli oldu¤unu göster-mek için, ç›kar›m›n bir karfl›-modeli olmad›¤›n›ortaya koymam›z gerekir. Çözümleyici çizelge yöntemiyle sonlu say›da birgrup önermenin birlikte tutarl› oldu¤unu göster-mek için, bu önermelerden ad sembolleri yerineelemanlar›n konmas›yla elde edilen ifadeleri, köknoktas›ndan itibaren alt alta yazar ve ard›ndanmodel oluflturma kurallar›na göre ilerleriz. Çizel-gede tamamlanm›fl ve aç›k bir dal olmas› duru-munda, bu dala göre bu önermeleri birlikte do¤-ru yapan bir model oluflturabilece¤imizden, buönermeler birlikte tutarl›d›r. Çizelge tamamland›-¤›nda tüm dallar kapan›yorsa, bu önermelerintümünü do¤ru yapan bir model yoktur ve dola-y›s›yla bu önermeler birlikte çelifliktir. Nicelemeli bir sembolik ç›kar›m›n geçersiz oldu-¤unu ortaya koyan bir karfl›-modelini bulmakiçin, öncüller ve sonucun de¤ilinde her S ad sem-bolü için s eleman›n› koyarak (ayn› ad sembolü-nün ç›kar›mdaki her geçifli yerine ayn› eleman›koymaya dikkat ederek), önermeler için modeloluflturma kurallar› olarak verdi¤imiz (2)-(6) ku-rallar›na göre ilerleriz. Çizelgede tüm dallar ka-pan›rsa (yani çizelge kapan›rsa) ç›kar›m geçerli-dir. Çizelgede tamamlanm›fl bir aç›k dal kal›rsa,önermeler k›sm›nda gördü¤ümüz kurallara uy-gun olarak, ç›kar›m›n bir karfl›-modelini bu dalagöre oluflturabiliriz. Ç›kar›m›n karfl›-modelini bul-maya çal›fl›yorsak, mümkün oldu¤unca fazla aç›kdal elde etmek için çatal açma kurallar›n› önceuygulamaya dikkat ederiz. Ç›kar›m›n geçerli ol-du¤unu, yani karfl›-modeli olmad›¤›n› gösterme-ye çal›fl›rken ise, alt alta yazma kurallar›n› önceuygular›z. Hem karfl›-model bulurken, hem degeçerlili¤i ortaya koyarken, tikel-özellemenin tü-mel-özellemeye önceli¤i vard›r.

2NA M A Ç


1. ~∃x (Fx → ∀y Gy)

2. ∀x ~ (Fx → ∀y Gy)

3. ~(Fa → ∀y Gy)

4. Fa

5. ?

1. ∃x (Fx → ∀y Gy) önermesi için karfl›-model olufltur-mak için, çizelgedeki soru iflaretli noktaya afla¤›dakiformüllerden hangisi gelmelidir?

a. Ga

b. Gb

c. ∃y Gy

d. ∀y Gy

e. ~∀y Gy

2. ∀x (∀y Gy → Fx) önermesinin, evreni {a, b } olan birmodelde do¤ruluk de¤erini çözümleyici çizelge ile he-saplarken, çizelgedeki ilk noktalara hangi formüllergelmelidir?

a. 1. ∀x (∀y Gy → Fx)

2. (Ga → Fx)

3. (Gb → Fx)

b. 1. ∀x (∀y Gy → Fx)

2. ~∀y Gy

3. Fx

c. 1. ∀x (∀y Gy → Fx)

2. ∀y Gy

3. ~Fx

d. 1. ∀x (∀y Gy → Fx)

2. (∀y Gy → Fa)

3. (∀y Gy → Fb)

e. 1. ∀x (∀y Gy → Fx)

2. (∀y Gy → Fx)

3. ~(∀y Gy → Fx)

1. ∃x (Fx ∧ ∃y Gy)

2. (Fa ∧ ∃y Gy)

3. Fa

4. ∃y Gy

5. ?

3. ∃x (Fx ∧ ∃y Gy) önermesinin modeli oluflturulan yu-kar›daki çizelgede, soru iflaretli yere afla¤›daki formül-lerden hangisi gelemez?

a. Ga

b. Gb

c. Gc

d. Gd

e. Ge

4. (FA ∧ ∃y (Gy ∧ GB)) önermesine çözümleyici çizelge

ile model olufltururken, çizelgenin kök noktas›na (1 nu-

maral› nokta) afla¤›daki ifadelerden hangisi yaz›lmal›d›r?

a. (Fx ∧ ∃y (Gy ∧ Gy))

b. (FA ∧ ∃y (Gy ∧ GA))

c. (FB ∧ ∃y (Gy ∧ GB))

d. (Fa ∧ ∃y (Gy ∧ Gb))

e. ~(FA ∧ ∃y (Gy ∧ GB))

1. A

k. Fa

k+1 ~Ga

k+2 ~Gb

k+3 Gc

P5. Yukar›daki çizelgeye göre, afla¤›daki modellerden

hangisi A önermesinin bir modelidir?

a. M: SM = {a, b, c}, FM = { }, GM = {a, b }

b. M: SM = {a, b, c}, FM = { }, GM = {c}

c. M: SM = {a, b, c}, FM = {a}, GM = {c}

d. M: SM = {a, b, c}, FM = {a}, GM = {a, b }

e. M: SM = {a, b, c}, FM = {a}, GM = {a, b, c}

6. Çözümleyici çizelge ile nicelemeli bir sembolik öner-

menin geçerli oldu¤unu göstermek için yap›lmas› gere-

ken afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Kök noktas›na önermeyi yazarak oluflturulan çi-

zelgede en az bir aç›k dal olmal›d›r.

b. Kök noktas›na önermenin de¤ili yazarak olufltu-

rulan çizelgede en az bir aç›k dal olmal›d›r.

c. Önermenin de¤ilinde ad sembolleri yerine birer

eleman yazarak oluflturulan ifadeyi kök noktas›-

na yazarak oluflturulan çizelgede en az bir aç›k

dal olmal›d›r.

d. Önermenin de¤ilinde ad sembolleri yerine birer


na yazarak oluflturulan çizelgede tüm dallar ka-

panmal›d›r.

e. Önermenin de¤ilinde ad sembolleri yerine birer


na yazarak oluflturulan çizelgede tüm dallar aç›k

olmal›d›r.



7. Çözümleyici çizelge ile nicelemeli bir sembolik ç›-

kar›m›n geçerli oldu¤unu göstermek için yap›lmas› ge-

reken afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Kök noktas›ndan bafllayarak, ç›kar›m› oluflturan

önermeleri yazarak oluflturulan çizelgede en az

bir aç›k dal olmal›d›r.

b. Kök noktas›ndan bafllayarak, ç›kar›m› oluflturan

önermelerin de¤illeri yazarak oluflturulan çizel-

gede en az bir aç›k dal olmal›d›r.

c. Kök noktas›ndan bafllayarak, öncüllerde ve so-

nucun de¤ilinde ad sembolleri yerine birer ele-

man yazarak oluflturulan ifadeleri yazarak olufl-

turulan çizelgede en az bir aç›k dal olmal›d›r.

d. Kök noktas›ndan bafllayarak, öncüllerde ve so-



turulan çizelgede tüm dallar aç›k olmal›d›r.

e. Kök noktas›ndan bafllayarak, öncüllerde ve so-



turulan çizelgede tüm dallar kapanmal›d›r.

8. Çözümleyici çizelge ile nicelemeli bir sembolik ç›-

kar›m›n geçersiz oldu¤unu göstermek için yap›lmas›

gereken afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Kök noktas›ndan bafllayarak ç›kar›m› oluflturan

önermeleri yazarak oluflturulan çizelgede en az

bir aç›k dal olmal›d›r.

b. Kök noktas›ndan bafllayarak, ç›kar›m› oluflturan

önermelerin de¤illeri yazarak oluflturulan çizel-

gede en az bir aç›k dal olmal›d›r.

c. Kök noktas›ndan bafllayarak, öncüllerde ve so-



turulan çizelgede en az bir aç›k dal olmal›d›r.

d. Kök noktas›ndan bafllayarak, öncüllerde ve so-



turulan çizelgede tüm dallar aç›k olmal›d›r.

e. Kök noktas›ndan bafllayarak, öncüllerde ve so-



turulan çizelgede tüm dallar kapanmal›d›r.

9. Çözümleyici çizelge yönteminde öncelik kurallar›

ile ilgili afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur?

a. Çözümleyici çizelge yöntemi ile önermeler için

model olufltururken tümel-özelleme kural›n›n ti-

kel-özellemeye önceli¤i vard›r.

b. Çözümleyici çizelge yöntemi ile önermelerin ge-

çerlili¤ini denetlerken tümel-özelleme kural›n›n

tikel-özellemeye önceli¤i vard›r.

c. Çözümleyici çizelge yöntemi ile önermelerin ge-

çerlili¤ini denetlerken tikel-evetleme kural›n›n

tikel-özellemeye önceli¤i vard›r.

d. Çözümleyici çizelge yöntemi ile önermelerin ge-

çerlili¤ini denetlerken tümel-özelleme kural›n›n

tümel-evetlemeye önceli¤i vard›r.

e. Çözümleyici çizelge yöntemi ile önermelerin ge-

çerlili¤ini denetlerken tikel-özelleme kural›n›n

tümel-özellemeye önceli¤i vard›r.

10. Çözümleyici çizelge yönteminde öncelik kurallar›

ile ilgili afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur?

a. Çözümleyici çizelge yöntemi ile do¤ruluk de¤e-

ri denetlemesinde tümel-nicelemenin aç›l›m› ku-

ral›n›n tikel-nicelemenin aç›l›m› kural›na önceli-

¤i vard›r.

b. Çözümleyici çizelge yöntemi ile do¤ruluk de¤e-

ri denetlemesinde tikel-nicelemenin aç›l›m› ku-

ral›n›n tümel-nicelemenin aç›l›m› kural›na önce-

li¤i vard›r.

c. Çözümleyici çizelge yöntemi ile do¤ruluk de¤e-

ri denetlemesinde tikel-evetleme kural›n›n tü-

mel-evetlemeye önceli¤i vard›r.

d. Çözümleyici çizelge yöntemi ile do¤ruluk de¤e-

ri denetlemesinde tümel-evetlemenin de¤illen-

mesi kural›n›n tümel-evetlemeye önceli¤i vard›r.

e. Çözümleyici çizelge yöntemi ile do¤ruluk de¤e-

ri denetlemesinde tümel-evetlemenin de¤illen-

mesi kural›n›n tikel-evetlemenin de¤illenmesi

kural›na önceli¤i vard›r.


1. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “NicelemeliSembolik Önermeler ve Çözümleyici Çizelgeler”konusuna bak›n›z.

2. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “NicelemeliSembolik Önermeler ve Çözümleyici Çizelgeler”konusuna bak›n›z.

3. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “NicelemeliSembolik Önermeler ve Çözümleyici Çizelgeler”konusuna bak›n›z.


5. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “NicelemeliSembolik Önermeler ve Çözümleyici Çizelgeler”konusuna bak›n›z.


7. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “NicelemeliSembolik Ç›kar›mlar ve Çözümleyici Çizelgeler”konusuna bak›n›z.

8. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “NicelemeliSembolik Ç›kar›mlar ve Çözümleyici Çizelgeler”konusuna bak›n›z.

9. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “NicelemeliSembolik Önermeler ve Çözümleyici Çizelgeler”konusuna bak›n›z.

10. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse, ünitenin “NicelemeliSembolik Önermeler ve Çözümleyici Çizelgeler”konusuna bak›n›z.

S›ra sizde 1

Çözümleyici çizelge yöntemi ile, (GA → ∀y(Fy → ∃x Gx))

önermesinin SM = {a, b }, FM = {a}, GM = {a, b }, AM = a mo-delindeki do¤ruluk de¤erini hesaplayal›m:

1. (Ga → ∀y(Fy → ∃x Gx))

2. ~Ga (1) 2. ∀y(Fy → ∃x Gx) (1)#(a ∈ GM) 3. (Fa → ∃x Gx) (2)

4. (Fb → ∃x Gx) (2)

5. ~Fa (3) 5. ∃x Gx (3)

#(a ∈ FM)

6. Ga (5) 6. Gb (5)

7. ~Fb (4) 7. ∃x Gx (4)P

Çizelgede P ile iflaretledi¤imiz dal tamamlanm›fl birdo¤ru dal oldu¤undan, di¤er dallara devam etmeden(GA → ∀y(Fy → ∃x Gx)) önermesinin bize verilen mo-delde do¤ru oldu¤unu söyleyebiliriz.

S›ra sizde 2

∀x (Fx ∧ Gx) → (∀x Fx ↔ ∀x Gx) önermesinin geçerlioldu¤unu çözümleyici çizelge yöntemiyle gösterelim:

1. ~(∀x (Fx ∧ Gx) → (∀x Fx ↔ ∀x Gx))

2. ∀x (Fx ∧ Gx) (1)3. ~(∀x Fx ↔ ∀x Gx) (1)

4. ∀x Fx (3) 4. ~∀x Fx (3)5. ~∀x Gx (3) 5. ∀x Gx (3)6. ∃x ~Gx (5) 6. ∃x ~ Fx (4)7. ~Ga (6) 7. ~ Fa (6)8. (Fa ∧ Ga) (2) 8. (Fa ∧ Ga) (2)9. Fa (8) 9. Fa (8)10. Ga (8) 10. Ga (8)

#(7,10) #(7,9)

Çizelgede tüm dallar kapand›¤›ndan, ∀x (Fx ∧ Gx) →(∀x Fx ↔ ∀x Gx) önermesi geçerlidir. Sa¤daki dalda aeleman›n› kulland›¤›m›za dikkat ediniz. Bu dalda a ele-



man› geçmedi¤inden, istersek, bu dalda da tikel-özelle-mede a eleman›n› kullanabiliriz. Tikel-özelleme kura-l›ndaki s›n›rlamay› de¤erlendirirken her dal ayr› de¤er-lendirilir. Bir dalda bir eleman ç›kt›ktan itibaren, art›k odalda tikel-özellemede kullan›lamaz.

S›ra sizde 3

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, M: SM = {a, b }, FM = {a},GM = {b } modelinde ∃x Fx ∧ ∃x Gx ve ∃x (Fx ∧ Gx)

önermelerinin do¤ruluk de¤erlerini hesaplayal›m:

1. ∃x Fx ∧ ∃x Gx

2. ∃x Fx (1)3. ∃x Gx (1)

4. Fa (2) 4. Fb (2)

#(b ∉ FM)5. Ga (3) 5. Gb (3)

#(a ∉ GM) P (a ∈ FM, b ∈ GM))

1. ∃x (Fx ∧ Gx)

2. (Fa ∧ Ga) (1) 2. (Fb ∧ Gb) (1)3. Fa (2) 3. Fb (2)4. Ga (2) 4. Gb (2)

#(a ∉ GM) #(b ∉ FM)

Sonuç olarak, verilen modelde ∃x Fx ∧ ∃x Gx önerme-si do¤ru ancak ∃x (Fx ∧ Gx) önermesi yanl›flt›r. Dolay›-s›yla, verilen model ∃x Fx ∧ ∃x Gx ∴ ∃x (Fx ∧ Gx) ç›-kar›m›n›n bir karfl›-modelidir.

Grünberg, T. (2000). Sembolik Mant›k El Kitab›. (3 Cilt).Ankara: METU Press.

Grünberg, T. Ve Onart, A. vd. (2003). Mant›k Terimle-

ri Sözlü¤ü. Ankara: METU Press.Kalish, D., Montague, R. ve Mar, G. (1980). Logic: Tech-

niques of Formal Reasoning. 2. Bask›. New York:Oxford University Press.

Ural, fi. (1995). Temel Mant›k. ‹stanbul: Çantay Kitabevi. Y›ld›r›m, C. (1976). 100 Soruda Mant›k El Kitab›. ‹s-

tanbul: Gerçek Yay›nevi. Y›ld›r›m, C. (1999). Mant›k: Do¤ru Düflünme Yönte-


Yararlan›lan ve BaflvurulabilecekKaynaklar

153Sözlük

AAç›k Formül: Niceleme mant›¤›n›n sembolik dilinde en az

bir de¤iflkeni serbest olan formül.

BBa¤l› De¤iflken: Sembolik bir nicelemeli önermede bir 6v

veya 7v nicelemesinin etki alan›ndaki v de¤iflkeni.

Basit Önerme: Baflka önermelerden türetilmemifl olan öner-

me.

Bileflik Önerme: En az bir baflka önermeden türetilmifl olan

önerme.

ÇÇeliflme: Tüm yorumlamalarda “yanl›fl” do¤ruluk de¤erini

alan önerme.

Çözümleyici Çizelge: Önermelerin do¤ruluk de¤erini he-

saplamak, önerme ve ç›kar›mlar için model ve karfl›-mo-

del oluflturmak, önerme ve ç›kar›mlar›n geçerlili¤ini de-

netlemek için kullan›lan çizge (grafik).

Çeviri Anahtar›: Gündelik dile çevirme ifllemini gerçekleflti-

rirken baflvurulan, önerme de¤iflkenlerinin, ad ve yük-

lem sembollerinin gündelik dilde karfl›l›¤› olan basit

önerme, ad ve yüklemleri belirten çizelge.

Ç›kar›m: Öncül önermeleri ve sonuçtan oluflan bir önerme-

ler dizisi. Bir veya daha fazla say›da önermeden hare-

ketle bir baflka önermeye ulaflmak bir ç›kar›mda bulun-

makt›r. Bir ç›kar›mda bulundu¤umuzda ulaflt›¤›m›z öner-

me sonuç önermesi, sonuç önermesine ulaflmak için da-

yanak olarak gösterdi¤imiz önermeler öncül önermeler

veya k›saca öncüllerdir.

DDo¤ruluk Fonksiyonu: Bir do¤rusal önerme eklemine kar-

fl›l›k gelen fonksiyon.

Do¤ruluk De¤erlemesi: Her önerme de¤iflkenine bir do¤ru-

luk de¤eri atayan bir fonksiyon. Bir önerme veya ç›kar›-

m› denetlemek için sadece bu önerme veya ç›kar›mda

geçen önerme de¤iflkenlerinin do¤ruluk de¤erlerini bil-

mek yeterli oldu¤undan, bir önerme veya ç›kar›m için

bir do¤ruluk de¤erlemesi, bu önerme veya ç›kar›mda

geçen her önerme de¤iflkenine bir do¤ruluk de¤eri atan-

mas›ndan ibarettir.

Do¤ruluk Tablosu: Bir önerme için her do¤ruluk de¤erle-

mesinde o önermenin ald›¤› do¤ruluk de¤erini gösteren

tablo. Bir ç›kar›m için her do¤ruluk de¤erlemesinde o

ç›kar›m› oluflturan önermelerin ald›¤› do¤ruluk de¤erle-

rini gösteren tablo.

Do¤rusal Aç›l›m: Nicelemeli bir sembolik önermede geçen

tüm nicelemelerin bir kümeye göre elenmesiyle elde

edilen ifade.

EEflde¤erlik: ‹ki önermenin her yorumlamada ayn› do¤ruluk

de¤erlerini almas› durumu. A ve B önermelerinin eflde-

¤er önermeler oldu¤u, A ≡ B biçiminde gösterilir.

GGeçerlilik: (Ç›kar›mlar için) Bir ç›kar›mda öncüllerin tümü-

nün do¤ru olmas› durumunda sonuç önermesinin yanl›fl

olamamas› durumu. (Önermeler için) Bir önermenin hiç-

bir yorumlamada yanl›fl de¤erini almamas› durumu.

Gündelik Dile Çeviri: Bir mant›k sisteminin sembolik dilin-

deki bir sembolik önermenin veya ç›kar›m›n, gündelik

dilde ifade etti¤i bir gündelik dil önermesini veya ç›ka-

r›m›n› oluflturma.

HHeptengitme: Öncül önermelerinin tümünün do¤ru olmas›

durumunu en iyi aç›klayan önermeye sonuç önermesi

olarak ulaflmaya çal›flt›¤›m›z ak›l yürütme türü.

‹‹çerme: Bir grup önermenin “do¤ru” de¤erini ald›¤› her du-

rumda bir di¤er önermenin de “do¤ru” de¤erini almas›

durumu. A, B, C,... önermelerinin Ö önermesini içerme-

si durumu

A, B, C,... Ö biçiminde gösterilir.

KKapal› Formül: Niceleme mant›¤›n›n sembolik dilinde hiçbir

serbest de¤iflkeni olmayan formül. Önerme.

Kategorik Önerme: “Her F G dir”, “Hiçbir F G de¤ildir”, “Ba-

z› F ler G dir”, “Baz› F ler G de¤ildir” biçimindeki öner-

meler.

MMant›k: Düzgün ak›l yürütme biçimlerini ortaya koymaya ve

ak›l yürütmelerin düzgün olup olmad›¤›n› s›namam›z›

sa¤layacak yöntemler gelifltirmeye çal›flan analitik bilim.

Model: Bofl-olmayan bir küme, her yüklem sembolü için bu

kümenin bir alt-kümesi, her ad sembolü için bu küme-

nin bir eleman›ndan oluflan bir yap›.

Sözlük


NNiceleyici: Niceleme mant›¤›n›n sembolik dilinde kullan›lan

6 ve 7 sembollerinin her biri. 6 “tümel-niceleyici”

olarak adland›r›l›r ve gündelik dildeki “her” niceleme

ifadesinin karfl›l›¤›d›r, 7 ise “tikel-niceleyici” olarak ad-

land›r›l›r ve gündelik dildeki “baz›” ifadesinin karfl›l›¤›-

d›r. Niceleyiciler de¤iflkenlerle birlikte nicelemeleri olufl-

tururlar.

O-ÖOlumsal Önerme: En az bir yorumlamada “Do¤ru” ve en az bir

yorumlamada “Yanl›fl” do¤ruluk de¤erini alan önerme.

Önerme: Anlaml› ve kesin yarg› bildiren bildirsel tümce. Di-

¤er tümce türlerinden farkl› olarak, önermeler “do¤ru”

ve “yanl›fl” do¤ruluk de¤erlerini alan ve ç›kar›mlar› olufl-

turan tümcelerdir.

Önerme Eklemi: Önermelere uygulanarak daha karmafl›k

önermeler elde etmemizi sa¤layan ifade. En yayg›n ola-

rak kullan›lan önerme eklemlerinden baz›lar›, “de¤il”,

“ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak”, “zorunludur”, “ola-

nakl›d›r” ifadeleridir. Bir önerme eklemini kullanarak el-

de edilmifl bileflik önermenin do¤ruluk de¤eri sadece bi-

leflenlerin do¤ruluk de¤erine göre belirlenebiliyorsa o

önerme eklemi do¤rusal bir önerme eklemidir.

Ön-Nicelemeli Normal Biçim: Niceleme mant›¤›nda, baflta

bir dizi niceleme ve ard›ndan niceleyici geçmeyen bir

matristen oluflan bir formül. Her formül bu biçimde bir

formüle eflde¤erdir. Bir formülün eflde¤eri olan ön-nice-

lemeli normal biçimdeki formüle, bu formülün “ön-nice-

lemeli normal biçimi” ad› verilir. Ön-nicelemeli biçimde

bir formül, her bir Qi tümel veya tikel-niceleyici, her bir

vi bir de¤iflken ve P içinde hiçbir niceleyici geçmeyen bir

formül olmak üzere Q1v1Q2v2...Qnvn P biçimindedir.

SSembollefltirme: Bir gündelik önerme veya ç›kar›m›n›n bir

mant›k sisteminin sembolik dilindeki karfl›l›¤›n› olufltur-

ma ifllemi.

Sembollefltirme Anahtar›: Sembollefltirme ifllemini gerçek-

lefltirirken baflvurulan, basit önerme, ad ve yüklemlerin

karfl›l›¤› olan, önerme de¤iflkenlerini, ad ve yüklem sem-

bollerini belirten çizelge.

Serbest de¤iflken: Sembolik bir nicelemeli önermede hiçbir

6v veya 7v nicelemesinin etki alan›nda olmayan v de-

¤iflkeni.

TTotoloji: Önermeler mant›¤›nda geçerli olan önerme. Tüm

do¤ruluk de¤erlemelerinde “do¤ru” do¤ruluk de¤erini

alan önerme.

Tümdengelim: Do¤ru öncüllerden yola ç›kt›¤›m›zda bizi mut-

laka do¤ru sonuçlara ulaflt›raca¤›ndan emin olaca¤›m›z

ç›kar›m biçimlerine göre ak›l yürütme türü.

Tutarl›l›k: Bir grup önermenin tümünün ayn› yorumlamada

do¤ru olabilmesi durumu.

Tümevar›m: Öncüllerin do¤ru olmas› durumunda, do¤ru ol-

ma olas›l›¤› yüksek olan sonuç önermelerine ulaflmaya

çal›flt›¤›m›z ak›l yürütme türü.

YYüklem ‹fadesi: Niceleme mant›¤›nda çeviri ve sembollefltir-

me aflamalar›nda yard›mc› olarak kulland›¤›m›z yapay

bir ifade türü. “Y” yüklemine ait yüklem ifadesi {a Y dir}

ifadesi.

Documents

SEMBOL‹K MANTIK - aöf sosyoloji öğrencileri ... · Önsöz Mant›k, kurucusu olan ve bu alanda ilk kapsaml› çal›ﬂmay› ortaya koyan Aristoteles’ten itibaren felsefenin