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Semejanza de
TriaacutengulosLiceo Javiera Carrera
Departamento de Matemaacutetica
Asignatura - Matemaacutetica
Matemaacutetica Comuacuten
Semejanza
bull En esta presentacioacuten encontraraacutes
Descripcioacuten
del concepto
de
semejanza y
ejemplos
Definicioacuten y
ejemplos del
concepto de
semejanza
Criterios de
semejanza
de triaacutengulos
y ejemplos
Una sencilla
demostracioacuten
Todos estos elementos son
la base de los contenidos
relacionados con la unidad
de semejanza
Algunos
ejercicios
sencillos
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son
semejantes cuando tienen la misma
ldquoformardquo pero no necesariamente el
mismo tamantildeo
Ejemplos de
figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son
semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados
homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son
congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos
son semejantes
5cm
2cm4cm
iquestTienen sus lados
respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos
rectaacutengulos todos los aacutengulos
miden 90ordm y se cumple que los
aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos
condiciones anteriores
podemos decir que los
dos rectaacutengulos son
semejantes
2
4
5
10=
Asiacute es ya que
los productos
ldquocruzadosrdquo son
iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes
congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si
sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus
lados homoacutelogos son
proporcionales
Criterios de semejanza de
triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triaacutengulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus aacutengulos Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de
semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos
congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a = aacute b = bacute de lo anterior se deduce que g = gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Semejanza
bull En esta presentacioacuten encontraraacutes
Descripcioacuten
del concepto
de
semejanza y
ejemplos
Definicioacuten y
ejemplos del
concepto de
semejanza
Criterios de
semejanza
de triaacutengulos
y ejemplos
Una sencilla
demostracioacuten
Todos estos elementos son
la base de los contenidos
relacionados con la unidad
de semejanza
Algunos
ejercicios
sencillos
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son
semejantes cuando tienen la misma
ldquoformardquo pero no necesariamente el
mismo tamantildeo
Ejemplos de
figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son
semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados
homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son
congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos
son semejantes
5cm
2cm4cm
iquestTienen sus lados
respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos
rectaacutengulos todos los aacutengulos
miden 90ordm y se cumple que los
aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos
condiciones anteriores
podemos decir que los
dos rectaacutengulos son
semejantes
2
4
5
10=
Asiacute es ya que
los productos
ldquocruzadosrdquo son
iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes
congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si
sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus
lados homoacutelogos son
proporcionales
Criterios de semejanza de
triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triaacutengulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus aacutengulos Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de
semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos
congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a = aacute b = bacute de lo anterior se deduce que g = gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son
semejantes cuando tienen la misma
ldquoformardquo pero no necesariamente el
mismo tamantildeo
Ejemplos de
figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son
semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados
homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son
congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos
son semejantes
5cm
2cm4cm
iquestTienen sus lados
respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos
rectaacutengulos todos los aacutengulos
miden 90ordm y se cumple que los
aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos
condiciones anteriores
podemos decir que los
dos rectaacutengulos son
semejantes
2
4
5
10=
Asiacute es ya que
los productos
ldquocruzadosrdquo son
iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes
congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si
sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus
lados homoacutelogos son
proporcionales
Criterios de semejanza de
triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triaacutengulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus aacutengulos Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de
semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos
congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a = aacute b = bacute de lo anterior se deduce que g = gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Descripcioacuten Dos figuras son
semejantes cuando tienen la misma
ldquoformardquo pero no necesariamente el
mismo tamantildeo
Ejemplos de
figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son
semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados
homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son
congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos
son semejantes
5cm
2cm4cm
iquestTienen sus lados
respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos
rectaacutengulos todos los aacutengulos
miden 90ordm y se cumple que los
aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos
condiciones anteriores
podemos decir que los
dos rectaacutengulos son
semejantes
2
4
5
10=
Asiacute es ya que
los productos
ldquocruzadosrdquo son
iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes
congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si
sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus
lados homoacutelogos son
proporcionales
Criterios de semejanza de
triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triaacutengulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus aacutengulos Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de
semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos
congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a = aacute b = bacute de lo anterior se deduce que g = gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son
semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados
homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son
congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos
son semejantes
5cm
2cm4cm
iquestTienen sus lados
respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos
rectaacutengulos todos los aacutengulos
miden 90ordm y se cumple que los
aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos
condiciones anteriores
podemos decir que los
dos rectaacutengulos son
semejantes
2
4
5
10=
Asiacute es ya que
los productos
ldquocruzadosrdquo son
iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes
congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si
sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus
lados homoacutelogos son
proporcionales
Criterios de semejanza de
triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triaacutengulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus aacutengulos Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de
semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos
congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a = aacute b = bacute de lo anterior se deduce que g = gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son
semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados
homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son
congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos
son semejantes
5cm
2cm4cm
iquestTienen sus lados
respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos
rectaacutengulos todos los aacutengulos
miden 90ordm y se cumple que los
aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos
condiciones anteriores
podemos decir que los
dos rectaacutengulos son
semejantes
2
4
5
10=
Asiacute es ya que
los productos
ldquocruzadosrdquo son
iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes
congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si
sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus
lados homoacutelogos son
proporcionales
Criterios de semejanza de
triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triaacutengulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus aacutengulos Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de
semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos
congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a = aacute b = bacute de lo anterior se deduce que g = gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si
sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus
lados homoacutelogos son
proporcionales
Criterios de semejanza de
triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triaacutengulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus aacutengulos Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de
semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos
congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a = aacute b = bacute de lo anterior se deduce que g = gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Criterios de semejanza de
triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triaacutengulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus aacutengulos Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de
semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos
congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a = aacute b = bacute de lo anterior se deduce que g = gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Existen tres criterios de
semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos
congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a = aacute b = bacute de lo anterior se deduce que g = gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos
congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a = aacute b = bacute de lo anterior se deduce que g = gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
II Segundo criterio
LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales
son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el
aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
III Tercer criterio
LAL
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los
lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon
semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Para terminar una pequentildea
demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
