Embed Size (px)
Citation preview
1
2. CONVOLUTIA
2.1 Suma de convolutie. Raspunsul sistemelordiscrete liniare si invariante in timp la un semnal de intrare oarecare.
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
0
10
0
k
x n n x n
, n kn k
, n k
x k , n kx n n k
, n k
x n n k x k n k
x n x k n k∞
=−∞
⋅δ = ⋅δ
=⎧δ − = ⎨ ≠⎩
⎧ =⋅δ − = ⎨
≠⎩⋅δ − = ⋅δ −
= ⋅δ −∑
2
Raspunsul sistemelor discrete liniare si invariante in timp la un semnal de intrare oarecare
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]
[ ] [ ]{ }
[ ] [ ]{ }
[ ] [ ] [ ]
d dk
dk
k d
kk
y n S x n S x k n k
x k S n k
h n S n k
y n x k h n
∞
=−∞∞
=−∞
∞
=−∞
⎧ ⎫= = ⋅δ − =⎨ ⎬
⎩ ⎭
= ⋅ δ −
= δ −
= ⋅
∑
∑
∑
Suma de convolutie
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k
x n h n h n x n
∞
=−∞= ⋅ − =
= ∗ = ∗
∑
3
Convolutia a doua semnale de duratefinite N1 si N2 este convergenta si de durata N1+ N2-1.
( )[ ] [ ] [ ]knykxnyxk
−=∗ ∑∞
−∞=
4
2.1. Conditia de cauzalitate a unui sistem discret
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
0
0 , 0 ,
k kn
k
h n n h n h n n n Z
y n x n k h k x n k h k
x k h n k
∞ ∞
=−∞ =
=−∞
≡ < ⇔ = ⋅σ ∀ ∈
= − = − =
= −
∑ ∑
∑
Daca atat semnalul de intrare cat si sistemul sunt cauzale atunci sisemnalul de iesire este cauzal.
2.1.2 Conditia de BIBO stabilitate a sistemelor discrete,
liniare si invariante intimp
Daca semnalul de intrare este marginit atunci si raspunsultrebuie sa fie marginit.
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] 1
k=-
conditie suficienta
k k
k
x n M , n Z
y n x k h n k x k h n k
M h k
y n h k h n l
∞ ∞
=−∞ =−∞∞
=−∞∞
∞
≤ ∀ ∈
≤ − ≤ − ≤
≤ ⋅
< ∞ ⇒ < ∞ ∈
∑ ∑
∑
∑
5
Necesitatea conditiei[ ] [ ]( )
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
1
kl=-
1
0 0
0 0
0 , conditie necesara,
a.i.
k k
k k
k k
M , x n sgn h n
y x k h k sgn h k h k
a a sgn a
y h k y h k
y h k , h n l
K n h n K
∞ ∞
=−∞ =−∞
→−∞ ∞
=−∞ =−∞∞
∞
= = −
= ⋅ − = − −
= ⋅
= − ⇒ =
< ∞ ⇒ < ∞ ∈
∃ ∀ <
∑ ∑
∑ ∑
∑
Un exemplu[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
0
0
- cauzal, - acumulator
1 1
Acumulatorul este instabil.
n
kn
kn
k
h n n ,
y n x k
x n y n x k
x n n y n n
=−∞
=
=
= σ
=
=
= σ ⇒ = = +
∑
∑
∑
6
2.1.3 Cateva proprietati ale convolutiei si semnificatia lorδ[n] este element neutru pentru convolutie.
h[n] raspunsul sistemului la impulsul unitar.
Sistemul pentru care h[n]=δ[n] este unul de identitate.
Sistemul pentru care h[n]=δ[n-n0] este unul de intarziere.
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]00
00
00
11011
nnx...nnxnnxnnx...
knnkxnnnxk
−=+−δ⋅+−+
+δ⋅−+δ⋅−−=
=−−δ⋅=−δ∗ ∑∞
−∞=
7
Asociativitatea convolutiei. Conectarea in cascada (serie) a
sistemelor liniare si invariante in timp discret
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]nhnhnh
nhnhnxnhnhnxny
e 21
2121∗=
∗∗=∗∗=
Prin conectarea in cascada a 2 sisteme stabile se obtinetot un sistem stabil.
[ ] [ ] ( )[ ] 121
12
11 lnhhlnh,lnh ∈∗⇒∈∈
Suma de convolutie este comutativa.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nhnhnhnhnhe 1221 ∗=∗=
La conectarea in cascada nu conteaza ordinea.
8
Sistemul invers
[ ][ ]
[ ] [ ] [ ]nnhnh
nhnh
δ=∗ 1
1
.identitate de sistemun obtine se cascadain lor conectareaprin daca impuls la raspunsulcu
sistemului inversul este impuls la raspunsulcu Sistemul
Distributivitatea convolutiei fatade adunare. Conectarea in
derivatie (paralel) a sistemelorliniare si invariante in timp discret
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]nhnhnh
knhkxnyknhknhkxnyny
knhkxnhnxnyknhkxnhnxny
e
ekk
kk
21
2121
222111
,
,
+=
−⋅=−+−=+
−⋅=∗=−⋅=∗=
∑∑
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
9
2.2 Raspunsul unui sistem discret, liniar si invariant in timp la
treapta unitara, raspunsul indicial
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ]∑
∑
=
−∞=
=
<≡−−=
=σ∗==σ=
n
k
n
k
khns
nnsnsnsnh
khnnhnsny,nnx
0
0pentru ,0 cauzal, este sistemul Daca1
2.3 Sisteme discrete cu raspunsfinit la impuls (FIR) si sistemediscrete cu raspuns infinit la
impuls (IIR)
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤
=
−=−=
====≠
−=−
∑∑
∑ ∑
∞
−∞==
= =
restin , 0
0,
;
0 si 0 ca ipotezaIn
;
0
0 0
210
0 0
Mnab
nh
knxkhnyknxabny
a...aaa
knxbknya
n
k
M
k
k
N
N
k
M
kkk
FIR (Finite Impulse Response Systems).
10
Sisteme IIR (Infinite Impulse Response Systems)
[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
2
3
0.5 1
1 0;
0 0.5 1 0 1 0 1 0 0
1 0.5 0 1 0 1 0.5 1 1
2 0.5 1 2 0 2 0.5 2 2
3 0.5 2 3 0 3 0.5 3 3
0.5n
y n y n x n
y
y y x y y h
y y x y y h
y y x y y h
y y x y y h
h n n
− − =
− =
− − = = ⇒ = ⇒ =
− = = ⇒ = ⇒ =
− = = ⇒ = ⇒ =
− = = ⇒ = ⇒ =
= σ
2.4 Implementarea sistemelordiscrete liniare si invariante in
timp, caracterizate prin ecuatii cudiferente finite, liniare si cu
coeficienti constanti
[ ] [ ] [ ] [ ]11 1010 −+=−+ nxbnxbnyanya
11
2.4.1 Implementarea directa I
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]( )111
11
10
10
1010
−−=
−+=−+=−+
nyanza
ny
nxbnxbnznxbnxbnyanya
[ ] [ ] [ ] [ ]11 1010 −+=−+ nxbnxbnyanya
12
[ ] [ ] ; 0 0
∑ ∑= =
−=−N
k
M
kkk knxbknya
FIR – forma transversala
13
2.4.2 Implementarea directa II
2.5 Produsul de convolutie. Raspunsul sistemelor continue,
liniare si invariante in timp la un semnal de intrare oarecare
(tratarea euristica)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ; txtxktdirkxtxk
≅Δ−⋅ΔΔ= Δ
∞
−∞=∑
( )⎪⎩
⎪⎨⎧ Δ<<Δ=Δ
restin 0
01
,
t,tdir
14
Un sir reprezentativ pentrudistributia Dirac
( ) ( )
( ) ( )ttdirlim
baba,ba,
dttdir,
t,tdirb
a
δ=
⎩⎨⎧
<<<<<<
=⎪⎩
⎪⎨⎧ Δ<<Δ=
Δ→Δ
Δ→Δ
Δ ∫
0
0
0sau 0001
lim restin 0
01
( ) ( ) ( ) ; Δ−⋅ΔΔ= Δ
∞
−∞=∑ ktdirkxtx
k
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( )
{ } { }τ=Δτ=Δ
=
=
ΔΔ−Δ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ΔΔ−Δ=
→Δ→Δ
→Δ
∞
−∞=ΔΔ
∞
−∞=∑∑
dlimklimxlimSxSlimS
tytylim
ktdirSkxktdirkxStykk
00
0
continuu operator -
15
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( ){ } ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ−δτ=δ∗=
ττ−δτ==
∗=ττ−τ=
τ−=τ−δ=δ=
ττ=
=τ−δ
ττ−δτ=ΔΔ−Δ=
∫
∫
∫
∫
∑ ∫
∞
∞−
∞
∞−→Δ
∞
∞−
τ
τ
∞
∞−
τ
∞
−∞=
∞
∞−Δ
→Δ
→Δ
τ→Δ
dtxttxtx
,dtxtxtxlim
thtxdthxty
thtSthtSth
dthxty
thtS
dtSxktdirSkxlimty
k
kk
00
0
in timpinvariant este sistemul Dacasistemului al impuls la raspunsul
2.5.1 Produsul de convolutie intrefunctii
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )tfgtgf
dtfgdtgftgf
Ltg,tf loc
∗=∗
ττ−τ=ττ−τ=∗
∈
∫∫∞
∞−
Δ∞
∞−
Δ
a.p.t. comutativa este convolutie de Operatia
1
16
Conditii de convergenta a convolutiei
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ∞<=
⋅≤∗
∈∗
=∗
∗→∈
∫
∫ ∫∫
∞
∞−
∞
∞
∞
∞−
∞
∞−
dttff
L
gfgfLgf
dvvgduufdttgf
tgfCR:g,f;Lf,g
1
1111
1-
1
: formulacu calculeaza se in Norma
iii) ii)
i)
:si a.p.t. exista atunci Daca 1.
( )( )
( )( )
2
2 1
2
1
2. Daca , ; : atunci exista, este marginita si continua, avand proprietatea de distributivitate.3. Daca si ; : atunci exista si este
din .4. Daca si este o
f g L f,g R C f g t
f L g L f,g R C f g t
Lf L g
∈ → ∗
∈ ∈ → ∗
∈
( )( )functie marginita pe R, ;
: atunci exista, este marginita si continua pe R.
g M
f,g R C f g t
<
→ ∗
17
( )( )
1
1
5. Daca , , : ,dar una are suportul compact
(de exemplu ) atunci exista si este din , dar nu are,in general, suportul compact. Numai daca ambele functii au suportul compact, co
loc
loc
f g L f,g R C I
f f g t L
∈ →
∗
( )( )
( )
1
1
nvolutia are suport compact.6. Daca , , : , [0, ) , atunci
exista si este din , a.p.t. Suportul convolutiei este inclus in ,supp .
loc
loc
f g L f,g A R A f g t
L Af g A
∈ → ⊂ ∞ ∗
∗ ⊂
Exemple
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
2
1
12
- 0 01
1
2
1 1i) : , , deoarece1
2 2 1
0 1
Convolutia exista a.p.t., dar nu pentru 0.
t u
f R R f t f Ltt
duf t dt f t dt f Lu
g f f g L
df f f f d
t
∗
∞ ∞ ∞=
∞
∞ ∞
−∞ −∞
→ = ⋅ ∈+
= = < ∞ ⇒ ∈+
= ⇒ ∗ ∈
τ∗ = τ −τ τ = → ∞
τ τ +
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫
18
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) .0 ,0 ,
; ,
; ,
; ,0
;0 ,0.cu deplaseaza Se
teconstruies Se si Fie ii)
21
21211
212
02
21
1
2
2
=∗=−+>
−+==∗+≤≤
==∗≤≤
==∗≤<
=−<
−=−−=−−=
∫
∫
∫
−
−
tgftgfTTt
tTTdtgfTTtT
TdtgfTtT
tdtgfTt
tgfttggg
TtttgTtttf
T
Tt
t
Tt
t
ττ
τ
τ
τ
τττ
ττσσσσ
Suportul convolutiei este T1+T2 sumasuporturilor celor doua semnale.
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( );TtTtTt
Ttgf
;tftg
;TtTttf
Ltgf
t,Tt,tTtT,T
TTtT,tTTTTt,
tgf
−σ−+σ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=∗
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −σ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +σ=
∈∗
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<<≤≤≤+≤≤−+
+>
=∗
1
22 iii)
000
0
2
2
122
21121
21
19
( )
( ) ( )( )
( )( )
.Tta
Tta
aln
tgf
Lgf
;atatg
TtTttf
Tt
Tt
t
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −σ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +σ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=∗
∈∗
<<σ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −σ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +σ=
−
+
21
21
11
infinit.suport are
10 ,
; 22
iv)
2
2
2
( )( ) ( ) ( )
( ).ttt,t,t
dtt
σ⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<≥
=
=ττ−στσ=σ∗σ ∫∞
∞−
000
v)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )∫∫∞−∞−
ττ=ττδ=
=σ=σ∗δ==∗=
tt
dxd
tttthtxty
Raspunsul la impuls al unui integrator este σ(t).
20
Asociativitatea convolutiei
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
).[0,in inclusa inchisa,multime osuport drept au trei toatesi din sunt si 3)
compact;suport au ele dintre doua si din sunt si )2
din sunt si 1)
:daca
:asociativa este Convolutia
1
1
1
∞
∗∗=∗∗
loc
loc
Lhf, g
Lhf, g
;Lhf, g
thtgtfthtgtf
2.5.2 Produsul de convolutie intre o distributie si o functie.
Convolutia ca operatie de regularizare a unei distributii
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( );t,tt
.t',ftt
tttt,f
tttt
t,ftgft
f
ϕ=τϕτ−δ=ϕ∗δ
τ−ϕτ=ψ
→Δ
τ−ϕ−τ−Δ+ϕτ=
Δψ−Δ+ψ
τ−ϕτ=∗=ψ
ψϕ
':obtine se 0Δ cand limita la rePrin trece
: functia este test functiacuieidistribuitconvolutia definitiePrin
21
Efectul de regularizare al distributiei f (asociata unei functiidiscontinue) prin convolutie.
{ } .fSfS
ff
ϕϕ∗=ϕ
ϕ∗→ϕ
test functia fiar oricare incat astfel , unica edistributi o aintotdeaun exista , , in timp
invariant sicontinuu liniar,operator oricepentru Reciproc, ii)in timp.invariant sicontinuu liniar,operator
unesteaplicatiafixata, adistributiPentru i)
Teorema de reprezentare a sistemelor continue liniare si invariante in timp
22
2.5.3 Convolutia distributiilorProdusul direct al distributiilor
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )00 noteaza mai Se
000tExemplu
:adistributi
noteaza se si si ilor distributi aldirect produsul defineste Se
,,t,,t,t,t
,,t,t,t,,t,t,
,,t,tf,g,t,g,tf,t,gtfgf
gf
.ddt,ttfg
dtd,tgtfdtd,tgtf,t,gtf
ϕ=τϕτδ
τδ×δ=τδ
ϕ=ϕδ=τϕτδδ=τϕτδ×δ
ϕ∀τϕτ=τϕτ=τϕτ×
×
τ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ τϕτ=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ττϕτ=ττϕτ=τϕτ
∫∫
∫∫∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
Convolutia distributiilor( )( ) compact. estenu functiei Suportul
, vu
vu,gf,gf+ϕ
ϕ∀+ϕ×=ϕ∗
23
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ϕ∀+ϕα×=ϕ∗
>∀=αα−
∞→
:defineste se si ilor distributi convolutia 1
ca eaproprietatcu functii desir - compacta;plan din regiune
,vuv,u,vguflim,gfgf
,KNn,v,uv,u
K
nn
n
n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )vu'v
vu,,'gf
vu,v'g,ufvu',vg,uf
vu',vg,uft',gf,'gf
,fff
,fu,uflim
vuv,u,v,uflim
vuv,u,vguflim,f
v
vv
nn
nn
nn
+ϕ=∂+ϕ∂
ϕ∗=
=+ϕ=+ϕ−=
=+ϕ−=ϕ−∗=ϕ∗
=∗δ=δ∗
ϕ=ϕα=
=+ϕαδ=
=+ϕα×=ϕδ∗
∞→
∞→
∞→
notatiacu
eidistributi iconvolutie Derivata ii)
0
i)Exemple
24
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )
'f'fgfgfgf
'gfg'f'gf
,,g'fvu,vg,u'f
'vu,vg,uf
vu',vg,uf,'gf
kkk
u
u
u
=δ∗∗=∗=∗
∗=∗=∗
ϕ∗=+ϕ=
=+ϕ−=
=+ϕ−=ϕ∗
:ca demonstra poate se inductiePrin
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).ttttttt
,ttftttf,ttftttf
Rt,ttttgtftgtttfttgttf
k kkk
2121
00
2121
2121
eparticular Cazuri ,
in timpTranslatia iii)
−−δ=−δ∗−δ
−=−δ∗−=−δ∗
∈∀−−∗==∗−−=−∗−
∑ ∑
25
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
iv) Asociativitatea convolutiei distributiilor1, ',
1 ' 1'0 0
1 ' 1 '
1 1 1 0
;In general, convolutia distributiilor nu este asociativa.Regula de as
f g hf g h
f g h
f g h f g h
= = δ = σ
∗ ∗ = ∗δ ∗σ = ∗δ ∗σ =
= ∗σ =
∗ ∗ = ∗ δ ∗σ = ∗ δ∗σ =
∗ δ∗δ = ∗δ = ≠
∗ ∗ ≠ ∗ ∗
ociativitate pentru trei factorise poate aplica numai daca:1) cel putin doi factori au suport compact,2) toti trei factorii au suportul de forma [0, ).∞
Efectul de regularizare al convolutiei distributiilor
Teorema 2.2Pentru orice distributie f exista un sir {φn} de functii test astfel incat φn→ f pentru n →∞.
Acest sir poate fi obtinut prin convolutia distributiei f cu un sir de functii test {ψn}: ϕn = ψn∗ f
Conform proprietatii de regularizare a operatiei de convolutie elementele sirului {φn} sunt regularizate.
Deci distributia f reprezinta limita slaba a sirului {φn} de regularizate ale ei (ψn→δ cand n →∞, f=f∗δ).
26
Teorema de reprezentareTeorema 2.3.
( )0
Orice distributie este limita unei combinatii liniare
de distributii Dirac: .
Aceasta teorema sta la baza modelarii microscopice a semnalelor electrice.Cu ajutorul acestei teoreme poate fi
m
k kk
a t t=
⋅ δ −∑
generalizata teorema de modelare a sistemelor liniare si invariante in timp prin operatori de convolutie la cazul distributiilor.
Modelarea sistemelor liniare si invariante in timp prin operatori
de convolutieTeorema 2.4.
{ }.S
fSf
S
δ
∗=cu egala si unica este edistributi Aceasta
incat astfel adistributi existaca inseamna Asta .convolutie tipde estedaca numai si daca i translatilainvariant si
siruriprin continuu liniar,esteoperator Un
27
Raspunsul indicial al unui sistemliniar si invariant in timp
( ) ( ){ } ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
.
' ' '
;
" " .
s t S t h t
s h h h h
x t t t y t S t t h t t
y t h t t t h t h t
= σ = ∗σ
= ∗σ = ∗σ = ∗δ =
= σ ⇒ = σ = ∗ σ
= ∗ σ = ∗δ =
2.5.4 Conditia ca un un sistemcontinuu liniar si invariant in timp
sa fie cauzal( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )ttyty
;dhtxdthx
dthxtxthty
ttxtx
dhtxdthxtxthty
,tththt,th
tt
t
t
σ=
τττ−=ττ−τ
=ττ−τ=∗=
σ⋅=
τττ−=ττ−τ=∗=
σ⋅=⇔<≡
∫∫
∫
∫∫∞
∞−
00
0
0
:obtine se cauzal, este intrare de semnalul si Daca
0 0
28
2.5.5 Conditia de BIBO stabilitatea sistemelor continue, liniare si
invariante in timp
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) .Lth
thMtydhM
dhtxty,Mtx
1
1
este suficienta conditie O
∈
≤⇔ττ⋅≤
≤τττ−=≤
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
Necesitatea conditiei
( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) necesara. deci este Conditia
0
1
1
Lth
thdhdhsgnh
dhsgnhdxhy
;thsgnthsgntx
∈
=ττ=τττ=
=ττ−τ=ττ−τ=
=−=
∫∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
29
Un contraexemplu
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) marginit. este atunci limitata durata de este Daca
.nemarginit semnal ,1
marginit, este Semnalul
:cauzal este intrare de semnalul Daca
stabil.estenu ulIntegrator
0
0
1
tytx
tdty
ttx
;dxty
dxty;Ltth
t
t
t
=τ⋅=
σ=
ττ=
ττ=∉σ=
∫
∫
∫∞−
2.5.6 Semnificatia practica a proprietatilor produsului de
convolutie( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 1
2 1
2 1
2 1
2 1 1 2
;
;
,e
e
x t h t x t y t h t x t
h t h t x t
y t h t h t x t
h t h t x t h t x t
h t h t h t h t h t
= ∗ = ∗ =
= ∗ ∗
= ∗ ∗ =
∗ ∗ = ∗
= ∗ = ∗
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ).txty
.tthththth
=
δ=∗ ,identitate de sistemun este invers sidirect sistemelor a cascadain conectarea
prin obtinut Sistemul eaproprietat are care impuls la raspunsulcu sistemulesteimpulslaraspunsulcu sistemului Inversul
11
30
Conectarea in derivatie a sistemelor liniare si invariante in
timp
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )ththth;txthtxthth
txthtxthtytyty
e
e
21
21
2121
+=∗=∗+=
=∗+∗=+=
2.5.7 Raspunsul unui sistemcontinuu liniar si invariant in timp
la treapta unitate. Raspunsulindicial
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ).tht's
.thtth'ttht's
.dhtthtst
==δ∗
=σ∗=
ττ=σ∗= ∫∞−
( ) ( ) ( ) ( ) ττ=σ∗= ∫ dhtthtst
0
:relatiacu calculeazasecauzalsistemunuial indicial Raspunsul
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ττ=σ∗=
==δ∗=σ∗=
=σ∗=
ττ=σ∗=
∫
∫∞−
dhtthts
.tht's.thttht'th
'ttht's
.dhtthts
t
t
0
: atunci cauzal este sistemul Daca
31
2.5.8 Implementarea sistemelorcontinue, liniare si invariante in
timp caracterizate de ecuatiidiferentiale liniare, cu coeficienti
constanti
( ) ( ) 0 00
≠= ∑∑==
N
N
k k
k
k
N
k k
k
k adt
txdbdt
tyda
Forma directa II de implementarefolosind derivatoare.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2
0 0
0
1 11
1 1 22
1 1 2 11
0 1
0
,
.
.
.
... ...
; ,...
Integrand de ori ecuati
k k
k kN N
k k Nk kk k
t
t
t
k kk k
d y t d x ta b a
dt dty t y t
y t y t t y d
y t y t t t y d d
y t y t t y d d d d
x t x t x t x t t
N
−
= =
−∞
τ
−∞ −∞
τ τ τ
−−−∞ −∞ −∞ −∞
= ≠
=
= ∗σ = τ τ
= ∗σ ∗σ = τ τ τ
= ∗σ = τ τ τ τ τ
= = ∗σ
∑ ∑
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )0 0
a diferentiala se obtine:
.N N
k kN k N kk k
a y t b x t− −= =
=∑ ∑Forma directa II de implementare folosindintegratoare
32
Exemple
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
0 1 2 2
2 1 0 0
,
;
, , 1, 1.
k kN N
k kk kk k
N N
k kN k N kk k
d y t d x ta b
dt dt
a y t b x t
LCy t RCy t y t x t
a LC a RC a b
= =
− −= =
=
=
+ + =
= = = =
∑ ∑
∑ ∑
i)
ii)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ).kTthth
,thtxkTthtxty
,hNTtx...hTtxhtxty
N
kk
N
kk
N
∑
∑
=
=
−δ=
∗=−δ∗=
−++−+=
0
0
10
Structura transversala.
