SESIÓN 5:

Probabilidad

CURSO: METODOS ESTADÍSTICOS

LIC. IVAN MORALES CHAVARRY

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL PSICOLOGÍA

FACULTAD DE HUMANIDADES

En estadística la palabra experimento se utiliza para describir un proceso que genera un conjunto de datos cualitativos o cuantitativos. Estos experimentos pueden ser:-Experimento determinístico.-Experimento aleatorio.

Experimento determinístico: Es todo proceso que consiste en la ejecución de un acto(o prueba) cuyo resultado se puede predecir antes de realizar el experimento.

Ejemplos:-Se lanza una piedra a un estanque con agua (éste va a flotar)-Se lanza una piedra a un fluorescente(éste se va a romper)-Soltamos un objeto de determinada altura(éste por efecto de la gravedad va a caer)-Se lanza un dado trucada-Se lanza una moneda trucada-El precio del dólar del día anterior.-El número de ventas realizadas en el mes pasado

EXPERIMENTO

Experimento aleatorio:Es todo proceso que consiste en la ejecución de un acto (o prueba)una o más veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar yen consecuencia no se puede predecir su resultado antes de realizarel experimento.Ejemplo:• E1: Se lanza un dado • E2: Se lanza una moneda• E3: Se lanza un dado y una moneda.• E4: Se seleccionan dos articulos de un lote que contiene artículos

buenos y defectuosos.• E5: Número de clientes que llegan a la ventanilla de un banco.• E6: Cantidad de galones de gasolina que venderá la empresa

Repsol en un día determinado.• E7: Tiempo de viada de una cámara fotográfica.

ESPACIO MUESTRAL

Espacio muestral :Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio y se le denota por:

Ejemplo 1: Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral . Ω = 1,2,3,4,5,6Ejemplo 2: Experimento : Se lanza una moneda. Espacio muestral : Ω = c, s Ejemplo 3: Experimento : Se lanza un dado y una moneda. Espacio muestral : Ω = (1, c), (2, c), (3, c), (4, c), (5, c), (6, c) (1, s), (2, s), (3, s), (4, s), (5, s), (6, s)

Ejemplo 4: Experimento : Se seleccionan dos articulos de un lote que contiene artículos buenos y defectuosos. Espacio muestral : Ω = BB,BD,DB,DD B: artículo bueno, N: artículo defectuoso.

Ejemplo 5: Experimento : Número de clientes que llegan a la ventanilla de un banco. Espacio muestral : Ω = 0,1,2,3,4,…,n

Ejemplo 6: Experimento : Cantidad de hamburguesas que venderá la empresa en un día determinado. Espacio muestral : Ω = D Ω / D 0 D: demanda de hamburguesas

Ejemplo 7: Experimento : Tiempo de vida de una cámara fotográfica

Espacio muestral : Ω = T Ω / T 0 T: tiempo de vida de una cámara fotográfica

Ejemplo 8:

Se lanzan tres monedas simultáneamente. Los ochos resultados posibles de este experimento pueden detallarse de manera conveniente mediante un diagrama de árbol:

Primera Segunda Tercera Resultado Moneda Moneda Moneda Posible

=CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS

CCCCCSCSCCSSSCCSCSSSCSSS

CSCSCSCS

C

SC

S

C

S

EVENTOEvento : Es un subconjunto del espacio muestral , se denota con letras mayúsculas: A, B, C,…… (También es llamado Suceso) donde: A, B, C,… Ω

Punto muestral : Es cada uno de los elementos del espacio muestral.

Nota: -Cuando un evento tiene un sólo elemento se llama “Evento simple”.-Cuando un evento no tiene elementos se llama “Evento imposible”-Cuando un evento coincide con todos los elementos del espacio

muestral se llama “Evento seguro”

Ejemplo 1:Considere el experimento de contar el número de carros que pasan por un punto de una autopista .

a) Describa el espacio muestral. Ω = 0, 1,2,3,4,5,6,……

b)Describa los siguientes eventos: A: ”Pasan un número par de carros” Ω = 0,2,4,6,8,10,…….

B: ”El número de carros que pasan es múltiplo de 6” Ω = 0, 6,12,18,……..

C: ”Pasan por lo menos 20 carros” Ω = 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, …..

D: ”Pasan a lo más 15 carros” Ω = 0,1,2,3,4,…….,15

Ejemplos 2:

• El gerente de un cine local registra el número de personas que asisten a la función de las 6:00 p.m. El cine tiene capacidad para 500 personas.

a) ¿Cuál es un espacio muestral adecuado para este experimento?

b) Describa el evento A de que menos de 90 personas asistan a dicha función

c) Describir el evento B de que el cine esté lleno a más de la mitad de su capacidad en dicha función.

Desarrollo:• a) Ω = 0,1,2,3,4,…….,500• b) A = 0,1,2,3,4,5,6,……,89• c) B = 251,252,253,……,500

Ejemplo 3:

Podemos considerar los siguientes Eventos:

A: la suma de puntajes es 7, es decir

A=(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)

B: la suma de puntajes es 11, es decir

B=(5,6) (6,5)

C: la suma de puntajes es 7 u 11, es decir

C=(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5)

1. Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los clientes prospectos para la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar cualquiera de cuatro diseños diferentes, 3 sistemas de calefacción, cochera con puertas o sin ellas y patio o pórtico ¿Cuántos planes distintos están disponibles para el comprador?

2. De cinco estudiantiles de Psicología: a, b, c, d, e se elige una comisión de tres miembros:

• Elabore el espacio muestral adecuado al experimento.• En base al espacio muestral, determine los eventos:• A:” a sea integrante de la comisión”• B: ”a o b sean seleccionados• C” a y b sean seleccionados”• D: ” a no seas seleccionado”• Determine el cardinal para cada evento.

3. Una investigadora tiene cuatro clases de instrumentos que desea probar, pero solo dispone de ensayos suficientes para probar 3 de los instrumentos ¿De cuántas formas los puede probar?

ELABORACION DE ESPACIOS MUESTRALES

4. Sean , y tres eventos cualesquiera de un espacio muestral Ω, expresar cada uno de los siguientes eventos compuestos en términos de operaciones entre conjuntos:

a) Ocurra por lo menos uno de los eventos b) Ocurran todos los eventos c) Ocurra exactamente uno de los eventosd) No ocurran ninguno de los eventose) No ocurra más de uno de los eventos 5. Cada uno de cuatro amigos elige una bebida al azar en la cafetería. Describa el espacio

muestral del experimento si hay disponibles en tres sabores denominados por ,a,b y c . ¿Cuántos elementos tiene?

6. Un experimento consiste en lanzar 4 monedas, describa el espacio muestral del número de caras obtenidas.

7. Cierta marca de cámara fotográfica es calificada por especialistas, en cuanto a rendimiento, como: "Muy buena", (Bl); o, "buena", (B2); ; o "regular“, (B3); en cuanto al precio, como "cara", (C1), o "barata"; (C2). ¿De cuántas maneras es calificada la cámara fotográfica por los especialistas.

8. En la clase de estadística hay 60 estudiantes, se toma un examen y el evento de interés es el número de Estudiantes que aprobaron dicho examen. Elabore el espacio muestral

9. Una urna contiene 3 bolas blancas, 4 negras y 5 rojas. Se extraen 3 bolas sin reposición. Exprese los resultados del experimento en un diagrama del árbol.

10. Un experimento consiste en estudiar la composición de una familia de tres hijos, donde los hijos nacen en diferentes fechas.

a) Describir un espacio muestral adecuado S para este experimento.b) Describa el evento B de que el hijo mayor sea una niña.c) Describir el evento C de que el hijo mayor sea una niña y el menor sea un

niño,

14. ¿Cuáles de los siguientes son resultados mutuamente excluyentes al lanzar dos dados?

• Un total de cinco puntos y un cinco en un dado.• Un total de siete puntos y un numero par de puntos en ambos dados• Un total de ocho puntos y un numero impar de puntos en ambos lados.• Un total de nueve puntos y un dos en uno de los dados.• Un total de diez puntos y un cuatro en un dado.

15. Un experimento consiste en hacer tres llamadas de venta : En cada una habrá compra y no compra:

a) Trace un diagrama de árbol de este experimento en tres etapas.

b) Identifique cada punto muestral y el espacio muestral. ¿Cuántos puntos muestrales hay?

c) ¿Cuántos puntos muestrales habrá si el experimento consistiera en cuatro llamadas de venta.?

16. Perez y compañía formará un comité de planeación a largo plazo, con el encargo de desarrollar un plan quinquenal estratégico para que la empresa ingrese al mercado de un nuevo producto. El presidente ha identificado a siete gerentes capaces como candidatos para el comité ¿De cuántas maneras se puede formar el comité de tres miembros?

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.

INTRODUCCION A LA TEORIA DE PROBABILIDADES

16

¿Qué es Probabilidad?

Definición clásica de Probabilidad (Regla de Laplace)

n(A)P (A) = -------

N(S) En donde:

P(A): Probabilidad de ocurrencia del evento An(A): Número de casos de ocurrencia del

evento An(S ) : Todos los posibles casos

Esta expresión de P (A) es sólo aplicable cuando todos los eventos simples del espacio muestral finito S son igualmente probables (equiprobables).

Probabilidad

(A) Concepto: Ponderación asignada a cada punto muestral que mide la verosimilitud de su ocurrencia.

(B) Principios para asignar probabilidad:

a) La probabilidad de cada punto muestral debe estar entre 0 y 1

b) La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales deben ser iguales a 1.

0 0,5 1

Tan probable

como improbableImprobable

Probable

1. Se lanza una moneda

=cara, sello

P(cara) = 0,5 P(sello) = 0,5

Ejemplos:

2. Se lanzan 3 monedas

= CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS

1/8 1/8 1/8 1/8 /8 1/8 1/8 1/8

A: obtener exactamente 2 caras

A = CCS, CSC, SCC

1/8 + 1/8 + 1/8

P(A) = 3/8

(C) Conclusiones: De acuerdo a la definición de probabilidad de un suceso, y a los dos principios, tenemos las siguientes conclusiones:

(1º) P() = 1

(2º) P( ) = 0

(3º) P(A´) = 1 - P(A)

1. Un Psicólogo trabaja en seleccionar el mejor profesional para una empresa. De 200 postulantes sometidos a prueba, 180 no pasaron la prueba psicologica.

2. Un estudiante de Psicologia sufre de cálculos renales, y no se ha conseguido mejora alguna a partir de métodos ordinarios. Su medico ésta planteándose el llevar a cabo una intervención quirúrgica y debe responder a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la operación sea un éxito?.

EJEMPLOS

• El Enfoque Clásico.

• El Enfoque de Frecuencia Relativa.

• El Enfoque Subjetivo.

ENFOQUES DE PROBABILIDAD

Asigna probabilidades basado en el supuesto de que todos los resultados son igualmente probables. Si un experimento tiene K posibles resultados, este metodo asignara una probabilidad de 1/k a cada uno de ellos.

Experimento: Se seleccionan dos articulos de un lote que contieneEspacio muestral : Ω = BB,BD,DB,DD Evento A: ”muestra igual resultado” A = BB, DD

ENFOQUE CLASICO

( ) 2( )

( ) 4

n AP A

n

También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un numero de observaciones. En este enfoque no se utiliza la suposición previa de aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos.

El enfoque de frecuencia relativa

Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina no tienen cinturón de seguridad. Si un policía de transito se para en esa misma esquina un día cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un vehículo sin cinturón de seguridad?

Ejemplo:

Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando sólo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

El enfoque subjetivo

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A B)

U REGLAS DE PROBABILIDAD

Un diagrama de Venn es una útil para mostrar la relación entre conjuntosRegla de la Adición

(A B)

U

BA

Un Periodista ingresa a una tienda. La probabilidad de que compre (a) chocolates es 0,60 (b) galletas 0,50, y c) chocolates y galletas es 0,30 ¿Cuál es la probabilidad de que compre chocolates, galletas o ambos?.DatosP(P) = 0,60P(L) = 0,50P = 0,30(P L)

U

P(PUL) = P(P) + P(L) -P(PUL) = 0,60 + 0,50 - 0,30P(PUL) = 0,80

(P L)

U

Ejemplo:

Ejemplo: Se tira un dado sobre la mesa y se consideran dos eventos: Evento A: Sale el número 6 Evento B: Sale el número 8

Hallar la probabilidad de que salga un seis o un ocho

Solución: En este caso: P(A) = 1/6

P(B) = 1/6

Cómo no existe la posibilidad de que aparezcan simultáneamente el seis y el ocho P(A B) = 0 Luego, P( A U B ) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Ejemplo: En una de las aulas de la USS hay 90 alumnos, de los cuales 50 están matriculados en Estadística I, 40 en Administración y 30 en ambos cursos. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente un estudiante, éste se encuentre matriculado en Estadística I o en Administración? Solución: Evento A: alumno matriculado en Estadística I P(A) = 50/90 Evento B: alumno matriculado en Administración P (B) = 40/90 Evento (A B): alumno matriculado en Estadística y en Psicología P(A B) = 30/90

P(A U B) = P(A) + P (B) - P(A B) = 5/9 + 4/9 – 3/9 = 2/3

Dos sucesos son mutuamente excluyentes, si no tienen elementos comunes

A B

Si :Por lo tanto :

(A B) =

U

P(A B) = 0

U Regla de adición para sucesos mutuamente excluyentes

P(AUB) = P(A) + P(B)

Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as o un rey?

P(AUR) = P(A) + P(R)

= 4

52

= 8

52

4

52

52

4 =P(R)

52

4 =P(A)

Ejemplo:

Ejemplo En una residencial se tiene los siguientes datos sobre: antiguedad y pertenencia de vivienda de 200 familias

Pertenencia

Total

antigüedad (años) propia alquilado

Menor de 20 32 25 57

20 o más 60 83 143

T o t a l 92 108 200

a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una familia que tenga su vivienda propia? Sea el evento A: familia elegido con vivienda propia

Luego la probabilidad del evento A es: 46,0200

92

)(

)(

Sn

AnAP

b. ¿cuál es la probabilidad de encontrar a una familia que tenga su vivienda alquilada?

Luego la probabilidad del evento B es: 54,0200

108

)(

)(

Sn

BnBP

c. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una familia que la antigüedad de vivencia es menor de 20 años? Sea el evento C: familia elegida es menor de 20 años de antigüedad de vivencia

Luego la probabilidad del evento C es: 285,0200

57

)(

)(

Sn

CnCP

d. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una familia que la antigüedad de vivencia es mayor de 20 años? Sea el evento D: Cliente elegido es mayor de 30 años

Luego la probabilidad del evento D es: 715,0200

143

)(

)(

Sn

CnDP

Es la probabilidad de que ocurra un evento A,

sabiendo que también sucede otro evento B. La

probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se

lee “la probabilidad de A dado B”.

Fórmula:

PROBABILIDAD CONDICIONAL

( )( / )

( )

P A BP A B

P B

Ejemplo 1: Se dispone de 11 Carpetas Académicas, pertenecientes a Estudiantes de la EAP de Psicología masculinos y femeninos agrupados por su nivel tenencia de DNI.

118

=P(A)

M F

TotalTenencia de DNI (Masculino) (Femenino)

SI 5 3 8

No 1 2 3

Total 6 5 11

Sexo

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carpeta perteneciente a un estudiante con DNI?

b)¿Cuál es la probabilidad de extraer una carpeta correspondiente a un estudiante que posee DNI y que sea mujer?

c) Dado que la carpeta corresponde a un estudiante con DNI, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer?

113

=F)P(A

83

=AFP )(

Derivación de la fórmula:

118

113

=AFP )(

83

=AFP )(

P(A)B)P(F

=AFP )(

comprobando:

La probabilidad de que el personal administrativo que labora en el área de Psicología de un Hospital, llegue tarde el día lunes es 0,50 y la probabilidad de que llegue retrasado los días lunes y martes es 0,20. Dado que cierto trabajador llegó tarde el día lunes, ¿cuál es la probabilidad de que llegue tarde el día siguiente?.

0,50 = )P(TL

0,20 = )TP(T ML )P(T

)TP(T = T

TPL

LM

L

M )(

0,40 = 0,50

0,20 =

Ejercicio 2:

Se refieren a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A y B. Existen dos acepciones de esta regla: 1) Si los eventos son independientes: P(A y B ) = P( A ∩ B ) = P(A)P(B)

2) Si los eventos son dependientes: Es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad

condicional de B dado A. P(A y B) = P( A ∩ B ) = P(A)P(B|A)

Si la posición de los dos eventos se invierte, se obtiene un valor equivalente.

P(A y B) = P(B y A ) = P(B)P(A|B)

REGLAS DE LA MULTIPLICACION

Ejemplo Las probabilidades de que Ivan, Gustavo y Mariela resuelvan este ejercicio son respectivamente 1/4, 1/6 y 1/8. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres resuelvan?

Evento A: que lo resuelva Ivan P(A) = 1/4 Evento B: que lo resuelva Guatavo P(B) = 1/6 Evento C: que lo resuelva Mariela P(C) = 1/8 Como los tres eventos son independientes: P(ABC) = P(A).P(B).P(C) = (1/4)(1/6)(1/8) = 1/192

El teorema de la probabilidad total afirma lo

siguiente:

Sea A1,A2,...,An una partición sobre el espacio

muestral y sea B un suceso cualquiera, del que

se conocen las probabilidades condicionales

P(B | Ai), entonces la probabilidad del suceso B

viene dada por la expresión:

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

1

( ) ( / ) ( )K

i ii

P B P B A P A

Sea A1,A3,…...,Ak un conjunto de eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero.

Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:

donde:•P(Ai) son las probabilidades a priori. •P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai. •P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.

TEOREMA DE BAYES

( / ) ( )( / )

( )i i

i

P B A P AP A B

P B

Ejemplo 1:

La Clínica Psicología JL, ha implementado un novedoso seguro médico contra accidentes. De acuerdo con una investigación hecha en el mercado, la probabilidad de que el seguro tenga éxito es 0,80 si una compañía competidora no introduce un plan similar en el mercado, en tanto que la probabilidad de éxito es 0,30 si la empresa competidora implementa un seguro similar. Además, la clinica JL estima que hay una probabilidad de 0,40 de que la firma competidora implemente el producto.

Solución: P(C) = probabilidad de que la Clínica

competidora implemente el seguro.P(C´) = probabilidad de que la Clínica

competidora no implemente el seguro.P(E) = probabilidad de que el plan de seguro

contra accidente de la Clinica JL tenga éxito.

Dado que el seguro de la clínica JL tuvo éxito, ¿cuál es la probabilidad de que la firma competidora haya implementado su novedoso plan de seguro?

P(E/C) = 0,30

P(E/C´) = 0,80

P(C) = 0,40

P(C´) = 0,60

0,12=0,300,40=E)C(P

0,48=0,800,60=E)C(P '

P. Marginal

0,60=E)(PP. Total

P. Condicional P. Conjunta

Luego, de acuerdo con el Teorema de Bayes

20.060.0

12.0

48.012.0

12.0

E)C(+E)C(

E)C(=E

C'

)(

PP

PP

La probabilidad que la compañía de seguros haya participado en el mercado, dado que JL tuvo éxito es de 0,20.

La Director de la EAP de Psicología está considerando comprar un lote de 10000 equipos para sus laboratorios de un proveedor nacional. El fabricante de estos equipos estima la proporción de equipos defectuosas en el lote, en la siguiente forma.

Proporción de piezas defectuosas ()

1 = 0,10

2 = 0,15

3 = 0,25

Probabilidad P()

P(1) = 0,20

P(2) = 0,30

P(3) = 0,50

Ejemplo 2:

Esto significa que el proveedor no está seguro acerca de la proporción de equipos defectuosos en el lote, sin embargo, basándose en experiencias anteriores, cree que hay una probabilidad de 0,20 de que el lote tenga 10% de piezas defectuosas, una probabilidad de 0,30 de que tenga 15%. Y finalmente, de 0,50 de que tenga 25% de piezas defectuosas. Supongamos que elige un equipo al azar en el lote:

A) ¿Cuál es la probabilidad de qué esta sea defectuosa?B) Dado que el equipo resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el lote tenga 25% de piezas defectuosas?

P. Marginal P. Condicional P. Conjunta

P( 1) =

0,2

0

P(3 ) = 0,50

0,1900=D)(P

0,0200=0,100,20=D)(P 1

P(D/3)= 0,25

P(D/2)= 0,15

P(D/1)= 0,10

P(2) = 0,300,045=0,150,30=D)(P 2

0,1250=0,250,50=D)(P 3 3=0,25

2=0,15

1=0,10

Hay tres maneras posibles de obtener un equipo defectuosa del lote. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una pieza defectuosa, cualquiera que se la tasa porcentual de defectuosos 10, 15 ó 25 es:

)(P)(P)(P)( 321 DDDDP

19,0

1250,00450,00200,0

Respuesta A:

Respuesta B:

De acuerdo con el Teorema de Bayes, la probabilidad de que el lote contenga 25% de piezas defectuosas, dado que la pieza elegida es defectuosa, es:

6579.01900.0

1250.0

)(P

)(P)/(P 3

3 D

DD

Ejercicio

Un Psicólogo ha decidido recomendar dos nuevos medicamentos a 200 clientes de la manera siguiente: 50 clientes compraron el producto A, otros 50 compraron el producto B y los otros 100 restantes compraron ambos productos

El Producto A reduce la probabilidad de ansiedad en 0,35, el producto B reduce la probabilidad de ansiedad en 0,20 y los dos productos, cuando se les utiliza juntos, actúan de manera independiente.

Los 200 clientes fueron escogidos entre los que tenían 0,80 de probabilidad de comprar un producto. Si un cliente elegido al azar compra, ¿cuál es la probabilidad de que haya decidido comprar ambos productos?

Para reforzar……..

EVENTOS INDEPENDIENTES

Son eventos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro, por ejemplo el resultado de un lanzamiento de una moneda y el de un dado. El resultado del lanzamiento de una moneda no afecta al dado. Dos lanzamientos de una moneda también son eventos independientes

Ejemplos:•Lanzar una moneda dos veces consecutiva.•El nacimiento de los dos primeros hijos de una familia.•La probabilidad de que varios estudiantes resuelvan la misma pregunta sin tener la posibilidad de consultar entre ellos.

Leyes De La ProbabilidadLas relaciones que se dan entre los eventos

al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad).

Axioma.- es una verdad evidente que no requiere demostración.

Teorema.- Es una verdad que requiere ser demostrada.

LEYES DE PROBABILIDAD

Axioma 1.- Sea Ω un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A Ω, entonces se cumple que

0 P(A) 1

esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible. P(A)___________________________________• -2 -1 0 1 2

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es un evento seguro, es uno

P(Ω) = 1

Ejemplo.-

Experimento.- Se lanza un dado

Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces. P(Ω) = 1

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que

A Ω, B Ω y A B = , es decir, dos eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A B) = P(A) + P(B).

AXIOMAS DEPROBABILIDAD

A B

Generalizando para K-eventos mutuamente

excluyentes: A1, A2, A3,…, Ak ,

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

1 2 3 1 2 3

11

( ... ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( )

K K

k K

i iii

P A A A A P A P A P A P A

P A P A

Teorema 1.- Si es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de es igual a 0

P()=0

Ejemplos:

-Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto.

-Que aparezca un siete al lanzar un dado

-Que una persona viva 250 años

En estos casos los eventos son vacíos

TEOREMAS DE PROBABILIDAD

Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad). Sean A y B dos eventos no excluyentes, A B , entonces

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

TEOREMAS DE PROBABILIDADES

A B

Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un

espacio muestral, tal que AS, si Ac es el

complemento del evento A, entonces la

probabilidad de Ac es igual a 1 menos la

probabilidad de A, es decir

P(Ac) = 1 – P(A)

TEOREMAS DE PROBABILIDAD

Teorema 4.- (Ley Aditiva de la Probabilildad). Sean A , B y C tres

eventos cualesquiera en , entonces

P(A B) = P(A) + P(B)+P(C) - P(A B)- P(A C)-

P(B C)+ P(A B C)

Teorema 5.- Sea A y B dos evento cualesquiera en Ω .

Si

TEOREMAS DE PROBABILIDADES

( ) ( )A B P A P B

Teorema 4.- (Ley Aditiva de la Probabilildad). Sean A , B y C tres

eventos cualesquiera en , entonces

P(A B) = P(A) + P(B)+P(C) - P(A B)- P(A C)-

P(B C)+ P(A B C)

Teorema 5.- Sea A y B dos evento cualesquiera en Ω .

Si

TEOREMAS DE PROBABILIDADES

( ) ( )A B P A P B