Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó –avagy mire jók a differenciálegyenletek?

Besenyei Ádám

Alkalmazott Analízis TanszékEötvös Loránd Tudományegyetem

badam@cs.elte.hu

19. ELTE Kárpát-medencei Nyári Egyetem2014. július 11.

Sir Isaac Newton (1642–1727)

6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux(Newton anagrammája, Epistola posterior, 1676. október 24.)

Sir Isaac Newton (1642–1727)

Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente,fluxiones invenire; et vice versa.

(Newton anagrammája, Epistola posterior, 1676. október 24.)

Vladimir Igorevich Arnold (1937–2010)

Differenciálegyenleteket megoldani hasznos.A természet törvényeit differenciálegyenletek fejezik ki.

(Newton anagrammájának modern jelentése Arnold szerint)

Egy kis ízelítő...

Ízelítő

Sherlock Holmes helyszínelSherlock Holmes egy gyilkosság helyszínére érkezik. Hogyan állapítja meg, hogymikor halt meg az áldozat, ha nincs szemtanú és csak egy hőmérő van nála?

Ízelítő

A hangya és a gonosz manó eseteEljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?

1 cms 1 m

s

Ízelítő

A fura Rómeó és a normális Júlia eseteRómeó és Júlia együtt járnak.Júlia „normális”: minél inkább/kevésbé szereti őt Rómeó, annál inkább/kevésbészereti ő Rómeót.Rómeó kissé „fura”: minél inkább/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/inkábbszereti ő Júliát.Hogyan alakul a kapcsolatuk?

Ízelítő

Homok és hegedűvonóMi látható a képen?És hogyan kapcsolódik mindehhez Napóleon és a férfi álnéven levelező SophieGermain matematikushölgy?

A változás és annak üteme...

Változás

A változás nem csak a matematikában fontos...

A változás üteme

A változás üteme sem csak a matematikában fontos...

A változás üteme

Függvények növekedése

x0

√x

3√x

x

x32

x2x3x10

x23

polinomiális

1x

2x

3x

(1, 5)x

(1, 1)x

4x

exponenciális

A változás üteme

A változás ütemex(t) időtől függő mennyiség (Newton: „fluent”)x(t) a mennyiség változási üteme (Newton: „fluxion”)

Method of fluxions, 1666 („annus mirabilis”)/1671/1736

A változás üteme

Egy konkrét függvény változási üteme

A változás üteme

Autóvezetésx(t) elmozdulás

↓x(t) pillanatnyi sebesség

↓x(t) pillanatnyi gyorsulás

A változás üteme

Autóvezetésx(t) elmozdulás

↓x(t) pillanatnyi sebesség

↓x(t) pillanatnyi gyorsulás

Közönséges differenciálegyenletIsmert x, x, . . . , keresendő x.Newton 2. axiómája: F = ma. (Nyilván kell még: x(0), x(0), . . . .)

A változás üteme

Autóvezetésx(t) elmozdulás

↓x(t) pillanatnyi sebesség

↓x(t) pillanatnyi gyorsulás

Parciális differenciálegyenletA mennyiség több változótól is függ (idő, hely), minden változó szerint vanváltozási ütem.

Newton lehűlési törvénye

Newton lehűlési törvénye – a probléma

A szomjas matematikus problémájaA szomjas matematikus a 30◦-osra felmelegedett italát az 5◦-os hűtőbe teszi.Mennyi idő múlva vegye ki, ha 15◦-osan szeretné meginni?

A megoldásMilyen ütemben hűl le?Isaac Newton (1701): Scala graduum Caloris (A Scale of the Degree of Heat)Joseph Fourier (1822): Théorie analytique de la chaleur

Newton lehűlési törvénye – a probléma

A szomjas matematikus problémájaA szomjas matematikus a 30◦-osra felmelegedett italát az 5◦-os hűtőbe teszi.Mennyi idő múlva vegye ki, ha 15◦-osan szeretné meginni?

A megoldásMilyen ütemben hűl le?Isaac Newton (1701): Scala graduum Caloris (A Scale of the Degree of Heat)Joseph Fourier (1822): Théorie analytique de la chaleur

Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)

Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)

Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)

Newton lehűlési törvénye 1701-ből„...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron.Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in aGeometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms.”

Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)

Newton lehűlési törvénye 1701-ből„...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron.Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in aGeometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms.”

Newton lehűlési törvénye a középiskolábanA test és a közeg hőmérsékletének különbsége egyenlő időközök alattugyanannyiad részére csökken, vagyis az egyenlő időközökben mérthőmérséklet-különbségek mértani sorozatot alkotnak:

Ttest(t)− Tközeg = qt(Ttest(0)− Tközeg).

Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)

Newton lehűlési törvénye 1701-ből„...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron.Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in aGeometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms.”

Newton lehűlési törvénye a középiskolábanA test és a közeg hőmérsékletének különbsége egyenlő időközök alattugyanannyiad részére csökken, vagyis az egyenlő időközökben mérthőmérséklet-különbségek mértani sorozatot alkotnak:

Ttest(t)− Tközeg = qt(Ttest(0)− Tközeg).

Newton lehűlési törvénye differenciálegyenlettelA test közeghez képesti hőmérsékletének változása arányos a test és a közeghőmérsékletének különbségével:

(Ttest(t)− Tközeg)· = −λ(Ttest(t)− Tközeg).

Newton lehűlési törvénye – alkalmazás

Sherlock Holmes és a szomjas matematikus• Ttest − Tközeg kezdetben = ∆T0

• Ttest(t)− Tközeg egységnyi idő múlva = ∆T1

• ∆T1 = q∆T0 Megvan q!• Mikor lesz/volt a hőmérséklet-különbség egy adott érték? Milyen t-re lesz

∆T2 = qt∆T0? (logaritmus...)

További „italos” alkalmazások• Mikor tegyük a tejet a kávéba, hogy minél lassabban hűljön ki?• Mikorra józanodunk ki bizonyos mennyiségű alkohol elfogyasztása után?

Newton lehűlési törvénye – alkalmazás

Sherlock Holmes és a szomjas matematikus• Ttest − Tközeg kezdetben = ∆T0

• Ttest(t)− Tközeg egységnyi idő múlva = ∆T1

• ∆T1 = q∆T0 Megvan q!• Mikor lesz/volt a hőmérséklet-különbség egy adott érték? Milyen t-re lesz

∆T2 = qt∆T0? (logaritmus...)

További „italos” alkalmazások• Mikor tegyük a tejet a kávéba, hogy minél lassabban hűljön ki?• Mikorra józanodunk ki bizonyos mennyiségű alkohol elfogyasztása után?

A hővezetés elmélete – történelem

Joseph Fourier (1768–1830)• fizikus/matematikus/egyiptológus (hővezetés–üvegházhatás–Rosetta-kő...)• Napóleon tudományos tanácsadója• az Egyiptomi Intézet titkára, Alsó-Egyiptom kormányzója (1798)• Isère megye prefektusa (1801)

A hővezetés elmélete – történelem

A hővezetés analitikus elmélete (1822)• 1804-tól Grenoble-ban kutat (miközben megyét irányít, könyvet ír...)• 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corpes solides• 1811 Akadémiai díj• 1822 Akadémia titkára: Théorie analytique de la chaleur

A hővezetés elmélete – történelem

A hővezetés analitikus elmélete (1822)• 1804-tól Grenoble-ban kutat (miközben megyét irányít, könyvet ír...)• 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corpes solides• 1811 Akadémiai díj• 1822 Akadémia titkára: Théorie analytique de la chaleur

Fourier törvénye és a hővezetési egyenlet• Fourier törvénye ∼ Fick törvénye ∼ Ohm törvénye• hővezetési egyenlet

• Fourier-sorok... (zene, jelek)

A hővezetés elmélete – történelem

Szemelvények

A hővezetés elmélete – történelem

Szemelvények

„A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfedezéseklegtermékenyebb forrása.”

A hővezetés elmélete – történelem

Szemelvények

„A matematika az emberi elme azon képessége, amelynek célja, hogy kárpótoljonaz élet rövidségéért és érzékszerveink tökéletlenségéért.”

A hővezetés elmélete – történelem

Vélemények• William Thomson, Lord Kelvin (1824–1907): 16 évesen olvassa

„Fourier nagyszerű matematikai költeménye”

• Arnold Sommerfeld (1868–1951):„a fizikusok bibliája”

A hangya és a gonosz manó

A hangya és a gonosz manó – a probléma

A kis hangya és a gonosz manó eseteEljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?

1 cms 1 m

s

Egy kis történelem• 1972. december, Science et Vie folyóirat, Denys Wilquin (New Caledonia):

„small creature on an elastic rope”• Martin Gardner, Scientific American („worm”)

A hangya és a gonosz manó – a probléma

A kis hangya és a gonosz manó eseteEljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?

1 cms 1 m

s

Egy kis történelem• 1972. december, Science et Vie folyóirat, Denys Wilquin (New Caledonia):

„small creature on an elastic rope”• Martin Gardner, Scientific American („worm”)

A hangya és a gonosz manó – megoldás

A megoldásA manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m

sA hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme =hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm

s sebessége+ gumi adott pontjának u távolodási sebessége

x(t)távolodási ütem= u =?

d+ V t

távolodási ütem= V

t idő múlva

u

V= x(t)d+ V t

x(t) = v + V

d+ V tx(t)

A hangya és a gonosz manó – megoldás

A megoldásA manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m

sA hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme =hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm

s sebessége+ gumi adott pontjának u távolodási sebessége

x(t)távolodási ütem= u =?

d+ V t

távolodási ütem= V

t idő múlva

u

V= x(t)d+ V t

x(t) = v + V

d+ V tx(t)

A hangya és a gonosz manó – megoldás

A megoldásA manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m

sA hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme =hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm

s sebessége+ gumi adott pontjának u távolodási sebessége

x(t)távolodási ütem= u =?

d+ V t

távolodási ütem= V

t idő múlva

u

V= x(t)d+ V t

x(t) = v + V

d+ V tx(t)

A hangya és a gonosz manó – megoldás

A megoldásAki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy

a hangya távolsága a faltól x(t) = (d+ V t) · vV

log(

1 + V t

d

),

találkozási időpont T = d

V

(e

Vv − 1

),

találkozási hely x(T ) = d · eVv .

Mit is jelent ez?

Ha d = 1m, v = 1 cms , V = 1 m

s , akkortalálkozási időpont ∼ 2, 68 · 1043s ∼ 8, 5 · 1035 év,találkozási hely ∼ 2, 68 · 1043m ∼ 2, 8 · 1027 fényév.

Összehasonlításképpen:az univerzum életkora = 4 · 1017s ∼ 13 · 109 év,

az univerum átmérője = 8, 8 · 1023km ∼ 9, 3 · 1010 fényév.

A hangya és a gonosz manó – megoldás

A megoldásAki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy

a hangya távolsága a faltól x(t) = (d+ V t) · vV

log(

1 + V t

d

),

találkozási időpont T = d

V

(e

Vv − 1

),

találkozási hely x(T ) = d · eVv .

Mit is jelent ez?Ha d = 1m, v = 1 cm

s , V = 1 ms , akkor

találkozási időpont ∼ 2, 68 · 1043s ∼ 8, 5 · 1035 év,találkozási hely ∼ 2, 68 · 1043m ∼ 2, 8 · 1027 fényév.

Összehasonlításképpen:az univerzum életkora = 4 · 1017s ∼ 13 · 109 év,

az univerum átmérője = 8, 8 · 1023km ∼ 9, 3 · 1010 fényév.

A hangya és a gonosz manó – megoldás

A megoldásAki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy

a hangya távolsága a faltól x(t) = (d+ V t) · vV

log(

1 + V t

d

),

találkozási időpont T = d

V

(e

Vv − 1

),

találkozási hely x(T ) = d · eVv .

Mit is jelent ez?Ha d = 1m, v = 1 cm

s , V = 1 ms , akkor

találkozási időpont ∼ 2, 68 · 1043s ∼ 8, 5 · 1035 év,találkozási hely ∼ 2, 68 · 1043m ∼ 2, 8 · 1027 fényév.

Összehasonlításképpen:az univerzum életkora = 4 · 1017s ∼ 13 · 109 év,

az univerum átmérője = 8, 8 · 1023km ∼ 9, 3 · 1010 fényév.

Üldözési problémák – a három kutya

A három/négy kutya/egér/teknősÉdouard Lucas (1842–1891) és Henri Brocard (1845–1922), 1877.

Üldözési problémák – a három kutya

A három/négy kutya/egér/teknősA pálya logaritmikus spirál.

Üldözési problémák – a három kutya

Logaritmikus spirál

Üldözési problémák – a három kutya

Spira mirabilisJakob Bernoulli (1654–1705)

Eadem mutata resurgo.(Bár megváltozva, mégis én magam kelek fel.)

Üldözési problémák – a három hokotró és egyéb esetek

A három hókotróMurray S. Klamkin, 1951.

Üldözési problémák – a három hokotró és egyéb esetek

A három hókotróMurray S. Klamkin, 1951.

„Alkalmazások” tárháza kimeríthetetlen• róka–nyúl• kutya–gazdi• naszád–tengeralattjáró• differenciáljátékok (Rufus Isaacs, 1951.)

Rómeó és Júlia

Rómeó és Júlia – a probléma

Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:

R(t) = −J(t).

Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:

J(t) = R(t).

KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?

MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.

Rómeó és Júlia – a probléma

Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:

R(t) = −J(t).

Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:

J(t) = R(t).

KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?

MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.

Rómeó és Júlia – a probléma

Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:

R(t) = −J(t).

Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:

J(t) = R(t).

KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?

MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.

Rómeó és Júlia – a probléma

Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:

R(t) = −J(t).

Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:

J(t) = R(t).

KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?

MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.

Rómeó és Júlia – megoldás

Fura Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):

R(t) = −J(t),J(t) = R(t).

Rómeó és Júlia – megoldás

Fura Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):

R(t) = −J(t),J(t) = R(t).

R

J

centrum

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok

Normális Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):

R(t) = J(t),J(t) = R(t).

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok

Normális Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):

R(t) = J(t),J(t) = R(t).

R

J

nyereg

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok

Fura Rómeó és hangulatfüggő JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):

R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + J(t).

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok

Fura Rómeó és hangulatfüggő JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):

R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + J(t).

R

J

fókusz

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok

Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia 2.Matematikailag (a legegyszerűbben):

R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + 2J(t).

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok

Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia 2.Matematikailag (a legegyszerűbben):

R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + 2J(t).

R

J

csomó

Rómeó és Júlia – történelem

Rómeó és Júlia szerelmeSteven Strogatz (1959–), Love Affairs and Differential Equations, 1988.

Rómeó és Júlia – Petrarca és Laura

Petrarca és LauraFrancesco Petrarca (1304–1374) Laura de Noves (1310–1348) ??

Rómeó és Júlia – Petrarca és Laura

Petrarca érzései Laura irántSergio Rinaldi, 1998.

Rómeó és Júlia – Lotka–Volterra-modell

LotkaAlfred James Lotka (1880–1949), 1925.

Rómeó és Júlia – Lotka–Volterra-modell

VolterraVito Volterra (1860–1940) (após), Umberto D’Ancona (1896–1964), 1926.

Kérdés: Adriai-tengerben az I. világháború alatt a zsákmányhalak száma csökkent,a ragadozó halak száma nőtt. Miért?

Rómeó és Júlia – Lotka–Volterra-modell

Lotka–Volterra-modellZsákmányhalak száma: x(t).Ragadozó halak száma: y(t).Halászat intenzitása: ε.

x(t) = ax(t)− bx(t)y(t)− εx(t),y(t) = −cy(t) + dx(t)y(t)− εy(t).

Következmény:

átlagos zsákmányszám = c+ ε

d,

átlagos ragadozószám = a− εb

.

A halászat növeli a zsákmányszámot, csökkenti a ragadozószámot.

Rómeó és Júlia – háború

Harci modellekFrederick William Lanchester (1868–1946), 1916.

Harc típusok: hagyományos, gerilla, vegyes harc

Homok és hegedűvonó

Homok és hegedűvonó – történelem

Az akusztika szülőatyjaErnst Chladni (1756–1827)

Homok és hegedűvonó – történelem

Chladni-ábrák1787: Robert Hooke (1635–1703) kísérletét megismétli

Homok és hegedűvonó – történelem

Akusztika1802: Chladni könyve az akusztikáról (Die Akustik)

Homok és hegedűvonó – történelem

Akusztika1802: Chladni könyve az akusztikáról (Die Akustik)

Homok és hegedűvonó – történelem

Akusztika1802: Chladni könyve az akusztikáról (Die Akustik)

Homok és hegedűvonó – történelem

1809• bemutatja a kísérletet Napóleonnak• francia kiadása Chladni könyvének• Akadémiai pályázat (3000 frank)

Homok és hegedűvonó – történelem

Sophie Germain (1776–1831)• 13 éves korában apja könyvtárában felfedezi a matematika könyveket• Gauss-szal levelezik számelméletről (M. Leblanc)• háromszor pályázik, harmadjára „Prix extraordinaire”• rugalmasságtan (biharmonikus egyenlet), számelmélet (Fermat-sejtés)

Irodalomjegyzék

Hatvani László – Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek aközépiskolában, Polygon, Szeged, 1997.

www.archive.org (eredeti művek digitálisan)

www.wikipedia.org (képek)

http://abesenyei.web.elte.hu/mattanar/15o/diffegy15o/diffegy15o.php (további érdekességek)

Vége

Köszönöm a figyelmet!