Shperical Harmonics Lighting

Shperical Harmonics Lighting계명대학교

이주영

목 차

1. Global Illumination1. Global Illumination

2. 2. 몬테카를로 적분법몬테카를로 적분법 (Monte Carlo Integration)(Monte Carlo Integration)

3. 3. 구 샘플링구 샘플링4. Orthogonal Basis Functions4. Orthogonal Basis Functions

5. Spherical Harmonics5. Spherical Harmonics

6. Spherical Harmonics Projection6. Spherical Harmonics Projection

7. Spherical Harmonics Lighting Example7. Spherical Harmonics Lighting Example

Global Illumination

Local Illumination – Local Illumination – 물체 표면과 광원의 관계를 물체 표면과 광원의 관계를 이용하여 계산하는 방법이용하여 계산하는 방법

Global Illumination – Global Illumination – 조명이 주변환경에 의해 반사되는 조명이 주변환경에 의해 반사되는 모든 빛을 계산하는 방법모든 빛을 계산하는 방법

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Local_illumination.JPG

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/Global_illumination.JPG

Global Illumination

Diffuse Surface ReflectionDiffuse Surface Reflection

Rendering EquationRendering Equation

: : 점 점 xx 에서 방향으로 전달되는 빛의 총 세기에서 방향으로 전달되는 빛의 총 세기

: : 점 점 xx 에서 방향으로 스스로 내뿜는 빛의 세기에서 방향으로 스스로 내뿜는 빛의 세기

: : 점 점 xx 에서 빛의 입에서 빛의 입 ,, 반사 방향에 대한 반사 방향에 대한 BRDF(BRDF( 반사율함수반사율함수 ))

: : 다른 점 다른 점 x’x’ 에서 방향으로 점 에서 방향으로 점 xx 에 입사하는 빛의 세기에 입사하는 빛의 세기

: : 점 점 xx 와 와 x’ x’ 간의 기하학적 관계간의 기하학적 관계

: : 서로가 서로에게 보이는지 유무서로가 서로에게 보이는지 유무 , 0 , 0 또는 또는 11

nlightss

iii LNlightcolsurfacecolI

1

)(**

s

kioiroeoo dwxxVxxGwxLwwxfwxLwxGwxL )',()',(),'(),(),(),(),(

),( owxL

ow

ow

),( oe wxL

),( oir wwxf

),'( iwxL

iw

)',( xxV)',( xxG

Global Illumination

한 정점에서의 빛의 입사 및 반사

Monte Carlo Integration

들어오는 광원을 표현하기 위한 함수를 근사치로 들어오는 광원을 표현하기 위한 함수를 근사치로 적분하기 위한 방법적분하기 위한 방법

수치계산으로 풀지 않고 확률 이용수치계산으로 풀지 않고 확률 이용- - 대상 함수를 샘플링하고 평균을 내서 근사치의 대상 함수를 샘플링하고 평균을 내서 근사치의 적분값을 구하는 방법적분값을 구하는 방법

대상 함수의 근사치를 구하는 식대상 함수의 근사치를 구하는 식

샘플링을 많이 할수록 대상 함수에 더 가까워진다샘플링을 많이 할수록 대상 함수에 더 가까워진다 ..

1

11

)()(11

iii

N

i i

i xwxfNxp

xf

N

dxxpxp

xfdxxf

구 샘플링

구를 단위 영역으로 나누는 것구를 단위 영역으로 나누는 것 10,00010,000 개의 불규칙한 구 상의 샘플개의 불규칙한 구 상의 샘플

-> (θ,φ)-> (θ,φ) 를 사용하는 구 좌표계로 를 사용하는 구 좌표계로 Projection Projection x,yx,y 는 는 [0…1. 0…1] [0…1. 0…1] 범위 내에서 샘플링범위 내에서 샘플링

πyφxθ 21arccos2

Orthogonal Basis Functions

Basis FunctionsBasis Functions 은 어떤 함수를 나타낼 수 있는 작은 은 어떤 함수를 나타낼 수 있는 작은 조각조각

크기를 적절하게 조정하고 결합하여 원래 함수의 크기를 적절하게 조정하고 결합하여 원래 함수의 근사치 계산근사치 계산

Projection(Projection( 내적내적 ) : ) : 적절한 크기를 조절하기 위해서 원래 적절한 크기를 조절하기 위해서 원래 함수와 함수와 basis functionsbasis functions 의 내적값을 구하는 것의 내적값을 구하는 것

1c

2c

3c


크기 조절을 마친 신호들을 결합하면 원래 함수와 크기 조절을 마친 신호들을 결합하면 원래 함수와 비슷한 모양을 만들 수 있다비슷한 모양을 만들 수 있다 ..

1c

2c

3c


Orthogonal Basis FunctionOrthogonal Basis Function

- - 두 함수가 직각을 의미하고 두 함수는 서로 관련이 없두 함수가 직각을 의미하고 두 함수는 서로 관련이 없다다 ..

- - 두 함수를 더해도 원래의 두 함수로 분해할 수 있다두 함수를 더해도 원래의 두 함수로 분해할 수 있다 ..

ji

jikdxxBxB ji 0

xBcN

iii

1


basis functionsbasis functions 을 구하기 위한 직교다항식 중에서 을 구하기 위한 직교다항식 중에서 SHFSHF에서는 에서는 Associated legendre polynomialsAssociated legendre polynomials 를 사용를 사용

Associated legendre polynomialsAssociated legendre polynomials

0,11

0246)2(

0135)2(

!!

)12(

)1(!)!12()1(

)1(1)12()(

1

2/2

21

x

evenxnn

oddxnn

x

pmxp

xmp

pmlPlxPml

mm

mm

mmmm

ml

ml

ml


4 개 주파수에서의 associated Legendre polynomials

Spherical Harmonics

구를 생성하는 구를 생성하는 orthogonal basisorthogonal basis 를 형성를 형성 구 좌표계 상의 임의의 함수를 원하는 개수의 주파수 구 좌표계 상의 임의의 함수를 원하는 개수의 주파수

영역들로 분해하고영역들로 분해하고 , , 복원할 수 있다복원할 수 있다 .. SH functionSH function 은 은 yy 로 표기로 표기

PP 는 는 Associated legendre polynomialsAssociated legendre polynomials KK 는 함수를 표준화하기 위한 크기 조절 요소 는 함수를 표준화하기 위한 크기 조절 요소

0

0

0

,cos

,cossin2

,coscos2

,00 m

m

m

PK

PmK

PmK

y

ll

ml

ml

ml

ml

ml

|)!|(

|)!|(

4

)12(

ml

mllk lm

lmlRlwhereyml ,,

Spherical Harmonics

– +Not thisdirection

Thisdirection

– +Not thisdirection

Thisdirection

Spherical Harmonics

m = 2, l = 4

0

0

0

,cos

,cossin2

,coscos2

,00 m

m

m

PK

PmK

PmK

y

ll

ml

ml

ml

ml

ml

Spherical Harmonics

00y

11y

11y

12y

22y

02y

12y2

2y

Spherical Harmonics

데카르트 좌표계를 데카르트 좌표계를 SH SH 입력값으로하여 다항식으로 입력값으로하여 다항식으로 나타낼 수 있다나타낼 수 있다 ..

)(546274.0),(

092548.1),(

)13(315392.0),(

092548.1),(

092548.1),(

488603.0),(

488603.0),(

488603.0),(

282095.0),(

2222

21

220

21

22

11

10

11

00

yxY

xzY

zY

yzY

xyY

xY

zY

yY

Y

Spherical Harmonics Projection

구 좌표계 상의 함수 구 좌표계 상의 함수 f(s)f(s) 는 주어진 주파수 는 주어진 주파수 l,ml,m 에 대해서 상수 에 대해서 상수 ccll

mm 로 분해로 분해 특별한 주파수를 위한 하나의 계수를 계산하기 위해서는 원 특별한 주파수를 위한 하나의 계수를 계산하기 위해서는 원

함수 함수 f(s)f(s) 와 와 SH SH 함수의 곱들을 더하기만 하면 된다함수의 곱들을 더하기만 하면 된다 ..

함수 함수 f(s)f(s) 의 의 ss 는 구 샘플는 구 샘플 ((θ,φθ,φ)) 각 샘플에 대해서 각 샘플에 대해서 yyll

mm 을 한번만 구하고 여기에 대상 함수값을 을 한번만 구하고 여기에 대상 함수값을 곱하면 곱하면 SH SH 계수 구할 수 있다계수 구할 수 있다 ..

S

ii dssysfc


몬테카를로 적분법의 식몬테카를로 적분법의 식

xxii 는 샘플의 배열이고는 샘플의 배열이고 , , 함수 함수 ff 는 는 f(xf(xii) = light(x) = light(xii)y)yii(x(xii))

이다이다 .. 각각 샘플마다 가중치 같도록 하면샘플마다 가중치 같도록 하면 , , 하나의 샘플이 구 하나의 샘플이 구

표면에서 나올 확률 표면에서 나올 확률 p(xp(xii) = 1/4π, ) = 1/4π, 가중치가중치 w(xw(xii) = 4π) = 4π

각 샘플마다 가중치가 같으므로 상수가 된다각 샘플마다 가중치가 같으므로 상수가 된다 ..

N

iii xwxf

Ndxxf

1

1

N

jjij

N

jjiji xyxlight

Nxyxlight

Nc

11

)()(4

4)()(1


원 함수의 근사값을 구할 수 있다원 함수의 근사값을 구할 수 있다 ..

주파수 수를 늘여 주파수 수를 늘여 SH functionSH function 의 개수가 많을수록 원 의 개수가 많을수록 원 함수에 더 근접한 함수를 얻을 수 있다함수에 더 근접한 함수를 얻을 수 있다 ..

2

0

1

0

)(~ N

iii

n

l

l

lm

ml

ml sycsycsf


-1-2 0 1 2

0

1

2

( , )lmY

xy z

xy yz 23 1z zx 2 2x y

l

m

Exact imageOrder 01 term

RMS error = 25 %


-1-2 0 1 2

0

1

2

( , )lmY

xy z


l

m

Exact imageOrder 14 terms

RMS Error = 8%


-1-2 0 1 2

0

1

2

( , )lmY

xy z


l

m

Exact imageOrder 29 terms

RMS Error = 1%

For any illumination, average error < 3% [Basri Jacobs 01]

Spherical Harmonics Lighting 정리

입력값 (θ,φ) 생성

입력입사광에 대해 프로젝션한 벡터 생성

입사광에 대한 벡터 저장

렌더링시 한 점에서 재질의 색상과저장된 벡터의 내적으로

해당 점의 밝기 계산

구 샘플링 ( 몬테카를로 적분법 이용 )

Basis Function 으로 Associated Legendre Polynomials 를이용한 Spherical Harmonics 사용

( 두 각으로 표현되는 구 좌표계 상의임의의 함수를 원하는 개수의

주파수 영역들로 분해 )

미리 계산하여 저장하므로렌더링시 연산량 줄여줌 .

SHL Example

Sample : 2,500 band : 4 Basis Functions : 16 개 Rotation : θ(43.3), φ(225.0)θ(43.3), φ(225.0)

otherwise

tdt

0

01,

SHL Example

GL LightingGL Lighting

SHL Example

SH Lighting - UnshadowedSH Lighting - Unshadowed

SHL Example

SH Lighting - ShadowedSH Lighting - Shadowed

감사합니다 .

Documents

Shperical Harmonics Lighting