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Signalverarbeitung - Filterung, PSD, Korrelationen

Messtechnik Vorlesung

9. Dezember 2010

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Zurück zur Schnellen Fourier-Transformation (FFT)

Ein FFT-Beispiel mit zwei sich überlagernden Sinusfunktionen

• Im Zeitbereich• und im Frequenzbereich

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Filterung

Einführung

• Eine der nützlichsten Anwendungen der FFT is die Filterung• Man kann frei entscheiden, welcher Frequenzbereich ausgefiltert

werden soll!• Typisch verwendet man einen Tiefpassfilter, um das

experimentelle Rauschen zu entfernen.• Normalerweise gibt es Rauschen immer bei höheren Frequenzen.• In unserem ersten Beispiel, betrachten wir das Signal mit 100 Hz

als Rauschen und das mit 1 Hz soll abgetastet werden.

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Vorbereitung der Filterung

Änderung der Frequenz der Signale (1/100 Hz)

• Sodass die zwei Frequenzen gut getrennt sind (Faktor 100).• Die geänderten Signale sehen jetzt so aus:

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Filterung

Funktionsweise

• Um das Signal bei einer bestimmten Frequenz zu filtern, muss derentsprechende Teil der DFT H(f ) auf 0 gesetzt werden.

• Die DFT ist aber imaginär.• Deswegen muss natürlich sowohl der reelle als auch der

imaginäre Teil auf 0 gesetzt werden.• entweder getrennt (HR und HI)• oder beide zusammen (H)

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Filterung - H(t)

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Filtering (3/3)

high frequency

suppress by filtering

low frequency

keep!

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Beispiel in LabVIEW

1 Der richtige Bereich muss ausgewählt werden (wir filtern alles von50 Hz bis zur Nyquistfrequenz)

2 Die cut-off Frequenz wird mit Variablen eingegeben.3 Der entsprechende Teil der DFT wird auf 0 gesetzt.4 Die inverse FFT (iFFT) wird berechnet.5 Das gefilterte Signal wird mit dem Originalsignal verglichen.

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Filterung von Rauschen

• Bis jetzt haben wir nur bestimmte Frequenzen betrachtet.• In der Praxis müssen wir aber (zufälliges) Rauschen filtern.• Ist Filterung immer noch wirksam?

Beispiel

• Wir betrachten jetzt ein Signal entstehend aus der Superpositioneiner Sinuswelle mit einer Frequrenz von 1 Hz (Amplitude=A1)und eines zufälligen Rauschen (Amplitude=A2)

• Unterschiedliche cut-off Frequenzen werden getestet, von 50 biszu 2 Hz

• Verschiedene Amplituden werden getestet (SRV 30. . .0)• Beobachtungen?

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Spektrale Energiedichte (ESD)

Die Spektrale Energiedichte beschreibt, wie sich die Energie einesSignals auf den Frequenzbereich verteilt. Es ist nichts anderes als dasQuadrat der Größe der FT.

ESD(f ) = H(f )H∗(f ) = |H(f )|2 (1)

Ist der globale Mittelwert eines Signals nicht 0, geht die ESD für langeReihen gegen unendlich.

limN→+∞

ESD = +∞ (2)

In solchen Fällen ist es sogar unmöglich die DFT zu berechnen.

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Spektrale Leistungsdichte (PSD)

Alternativ kann die Spektrale Leistungsdichte (PSD) berechnetwerden.

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Power Spectral Density (PSD)If the global mean value of a signal is not 0 and has not been

removed, the ESD tends toward infinity for long sequences

+∞⎯⎯⎯ →⎯ +∞→NESD

Indeed, for such a case, it will become at some point even impossible to compute the DFT

As an alternative, it is still possible to compute the Power Spectral Density (PSD)

Physically, the computation of the PSD uses an overlapping segmentation of the original signal, followed by corresponding DFT computations and final re-assembling by averaging

1 N

Die PSD-Berechnung verwendet eine überlappende Segmentation(Unterteilung) des Originalsignals, gefolgt von einer entsprechendenDFT-Berechnung und schließlich die Rekonstruktion mittels Mittelung.

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Practical PSD computation

samplingh(t) h(kΔt) hi(kΔt)

segmentation DFT

Hi(kΔf) 2 averaging PSD

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Beispiel für PSD

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Korrelation

Einführung

• Es ist häufig notwendig die Korrelation zwischen zwei Signalenzu bestimmen

• Das bedeutet: «wie ähnlich sind die Signale, auf einerquantitativen Weise?»

• Die DFT kann sehr wirksam verwendet werden um die Korrelationfestzustellen, basierend auf der Frequenzanalyse.

• und zwar wegen der mathematischen Eigenschaft:• DFT(Korrelation zwischen h(t) und g(t))=N H∗(f )G(f )

• Das bedeutet: die DFT der Korrelation ist das Produkt der DFTsder beiden Signale multipliziert mit der Länge des Signals (N)

• Konsequenz: es reicht die einzelne DFTs zu berechnen um dieKorrelation zu bestimmen!

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Normalisierung der Korrelation

Definition

• Offensichtlich, die bestmögliche Korrelation bekommt man beizwei identischen Signalen

• Die allgemeine Gleichung liefert in diesem Fall:• DFT(Korrelation zwischen h(t) und h(t))=N H∗(f )H(f ) = N|H(f )|2

• Konsequenz: die Definition der normalisierten Korrelation (Wertezwischen -1 und 1, wobei 0=keine Korrelation) zwischen einerbekannten, Referenzfunktion h(t) und eine Testfunktion g(t) wird:

Korr(h(t), g(t)) = iDFT(

H∗(f )G(f )(|H(f )||G(f )|)

)(3)

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Beispiele in LabVIEW

mit den folgenden Funktionen

• g = h• g = −h• g = 2h• g = 2h + 13• g = (5− 2h)2

• g = 1• g = h+ Rauschen

Alternativ kann ein Koeffizient r auch bestimmt werden (r ∈ [−1, 1])• 0 - keine Korrelation,• 1, -1: komplette Korrelation.

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Wavelet - Einführung 1/2

• Wavelet wurde in der 50er definiert• als eine Ergänzung zur klassischen Fourier-Analyse• Warum soll die Fourier-Analyse überhaupt erweitert werden?

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Introducing Wavelets (1/2)Wavelets have been defined in the 50s

as a complement to classical Fourier analysis

Why extend the Fourier analysis at all?

Drawback of FFT: by transformation, the time information is completely lost when obtaining the frequency spectrum

It is thus impossible to know at which time an event took place

A choice is needed: either time or frequency, not both!

• Nachteil der FFT: die Zeitinformation geht komplett verloren• → es ist unmöglich zu sagen, wann ein Ereignis passiert ist.• Eine Wahl muss getroffen werden: entweder Zeit oder Frequenz

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Wavelet - Einführung 1/2

• Wenn das Signal in der Zeit sich nicht ändert (stationär), ist eskein Problem!

• Bis jetzt war das bei uns immer der Fall.• Also die meisten einfachen und sogar 50% der komplexeren

Anwendungen werden damit abgedeckt.• Aber, wenn die zeitlichen Änderungen wichtig werden und die

Signale nicht mehr mit FFT analysiert werden können:• Signale mit Drift• monoton zu-/abnehmende Signale• Signale mit plötzlichen Änderungen

• Dann müssen die zeitlichen Änderungen berücksichtigt werden!

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Short-time Fourier-Analyse

• Um das Problem zu lösen, hat D. Gabor die STFT eingeführt• Es ist eine einfache DFT mit Fensterung des Signals• Die Fensterfunktion hat eine konstante Breite

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Short-time Fourier analysisTo solve this problem, D. Gabor introduced the short-time

Fourier analysis

It is simply a DFT relying on windowing the signal

The window has a constant, user-defined size

We now have an analysis both in time and frequency! ☺

But using a constant-size window limits the possible resolution in both dimensions

• Ergebnis in sowohl Frequenz- als auch in Zeitbereich! ,• Begrenzte Auflösung in beiden Dimensionen. /

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Wavelet-Analyse

• Die Wavelet-Analyse führt eine variable Fenstergröße ein.• Lange Fenstergröße→ niederfreqente Information• kürzere→ hochfrequente Information

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Wavelet analysisAs a final evolution, the wavelet analysis introduces windowing

on variable-sized regions

Long window sizes are employed where accurate low-frequency information is required, shorter windows are used where high-frequency information is important.

We now have an analysis both in time and frequency (or scale)! ☺

With an optimally-adapted window size

• Ergebnis in Frequenz- (oder Skala) und Zeitbereich! ,• Mit einer optimierten Fenstergröße ,

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STFT vs. Wavelet

National Instruments Confidential

Analytic wavelet transform

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Vorteile

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wavelet

Wavelets can reveal aspects of data that DFT completely miss (trends, breakdown points, discontinuities, fractal nature...)

Advantage of Wavelet analysis

fft

time point 100

time point 100

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FFT vs. Wavelet 1/2

• Die Fourier Analyse zerlegt die Signale in Sinuswellenunterschiedlicher Frequenzen

• Die Sinusfunktion ist die Grundfunktion für die Zerlegung• Die breitet sich von −∞ . . . +∞ aus, dadurch nicht für eine

örtliche Analyse geeignet.

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Fourier analysis vs. Wavelet (1/2)The Fourier analysis breaks up a signal into sine waves of

various frequencies

The function « sin » is the basis function for decomposition

This function extends from -∞ to +∞, and is thus not suited for a local analysis

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FFT vs. Wavelet 2/2

• Die Wavelet-Transformation verwendet andere Grundfunktionen:die Wavelet-Funktionen,

• Diese sind lokal im Zeitbereich definiert.• Es gibt unterschiedliche Wavelet-Funktionen• Die Zerlegung ist dann ähnlich zu der der FFT

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Fourier analysis vs. Wavelet (2/2)The Wavelet transform uses other basis functions, called

wavelet functions

These wavelet functions are local in space

Different families of wavelet functions exist

The decomposition is then similar to FFT

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Wavelet-Funktionen

Skalierend Verschiebend

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Scaling / shifting wavelet functionsScaling Shifting

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Verstehen des Ergebnisses

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Understanding wavelet output

Time-information is not lost!

Frequency=1/(time scale)

low f

high f

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Verstehen des Ergebnisses

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First hands-on: noisy signalFor this basic example, we use a pre-defined noisy signal of

Matlab, comprising 1000 points with a sampling period of 1 (« s »).

From Matlab, type

load noissin

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Choosing the scalesThe choice of the scales is essential for the analysis

All scales must be real, positive, increasing and are bounded by the length of the signal. Try:

c = cwt(noissin,2:2:128,’db4’,’plot’)

Periodicity is now visible

(9 half-periods+)