1

אותות ומערכות

אותות ופעולות באותותמערכות :1הרצאה מס

נושאי ההרצאה .הסבר המושגים אותות ומערכות

אותות הספק ואותות , אינטגרביליים, מחזוריים, אותות חסומים, אותות רציפים בדידים: איפיונים שונים של אותות

.אנרגטיים

.ואקספוננטהלם , שיפוע, גה מדר,בעורמ, משולש :אור והגדרה של אותות מיוחדיםית

. הלמים רכבת פולסים ורכבת, יםהרמוניאותות , אותות מחזורייםאור והגדרה של ית

מכפלה , שונות, ממוצע . וקורלציהקונבלוציה .גזירה ואינטגרציה, שיקופים, הזזות, כפל, חבור: הגדרת פעולות באותות

.סקלרית של אותות והגדרת מאונכות של אותות

תות ומערכותאוהקדמה .המושגים אותות ומערכות מופשטים למדי ולכן הגדרתם די חמקמקה

יקלי זגודל פי אות הוא ,כלל בדרך. חופשיההפרמטר מכונה גם משתנ. לגודל שתלוי בפרמטרהמושג אות מתיחס

התנאחרים המשבמקרים . אות המתאר את הטמפרטורה הנמדדת בתלות בזמן המדידה, למשל. משתנה בתלות בזמןש

אות המתאר את הבהירות של , למשל. משתנה בתלות במיקוםשגודל פיזיקלי האות הוא ,כלומר. חופשי הוא המרחבה

בהמשך נראה שיש הבדלים . אותות שתלויים במרחב נקראים גם שדות. נקודה על פני מסך בתלות במיקום הנקודה

.יםזמניבקורס נתמקד באותות . ם ומרחבייםימהותיים בין אותות זמני

רמקול זה מערכת שאות הכניסה אליה , למשל. המושג מערכת מבחינתנו זה כל דבר שפועל על אותות ומפיק אותות

אנו נייצג מערכות בצורה . היא המתח שמסופק לסליל הרמקול ואות המוצא הוא לחץ האוויר המתקבל במרכז הרמקול

כמו . סה אחת בה נכנס האות עליו המערכת פועלתיש לפחות כניפל בקורס טשנת ומערכהלכל . סמלית בהתאם לציור

מערכת ללא הם לדוגמה יםמתנד. לפחות יציאה אחת בה מתקבל האות שהמערכת מפיקהיש בדיוןמערכת הלכל , כן

רק למערכות בהן יש קשר חד משמעי שניתן לתיאור בצורה מתמטית נתייחסבקורס . בהם לא נעסוק לכןכניסות ו

במערכות קוונטיות לדוגמה אין קשר חד משמעי בין הכניסה . בין אות הכניסה לאות היציאה בעזרת פונקציה המקשרת

ממשית ותפיזיקלי מערכת לייצגמבחינתנו מערכת יכולה . הקשר ביו האותות במקרה זה הוא הסתברותי בלבד. ליציאה

לנתח את התכונות של אפשר, למשל. פעולה מתמטית שלא ניתנת למימושלייצגאך באותה המידה מערכת יכולה

ניתוח כזה יכול לעזור ). המושג מערכת סיבתית יוסבר בהמשך(מערכת לא סיבתית למרות שאי אפשר לממש אותה

. יים התיאורטיים של מערכות שונותאלבהבנת הביצועים האופטימ

in(t) x(t)

out(t) y(t)

A

2

יכולה fהפונקציה . y(t)=f(x(t)), כלומר. f סמן באת הפונקציה שמתארת את הקשר בין אות הכניסה לאות המוצא נ

להיות נתונה בצורה מפורשת או בצורה סתומה אך גם במקרים שאין ביטוי מפורש לפונקציה אפשר לומר

.y(t)=f(x(t))ש

: דוגמאות

f נתון בצורה מפורשת y(t)=cos(x(t)) f=cos(.).

f נתון בצורה סתומה ואי אפשר להציגו בצורה מפורשת tg(y(t)+x(t))=cos(x(t)).

רישום מדויק של . חסרת יחידותן רוב הפונקציות המתמטיות פועלות על גודל חסר יחידות והתוצאה שלה:הערה

האות ,למשל. יחידותהמקרים רבים הוספה של איברים שתפקידם לדאוג לתיאום במשוואת מערכת מצריך

( ) sin( )y t t=למשל מקומו יש לרשוםוב: לא מוגדר כהלכה ( ) sin( )y t A t τ=.

:התחום של אותות ומערכות מטפל במספר נושאים

מה הבדיקות הנחוצות כדי לאפיין מערכת פיסקלית לא כגוןהנושא מטפל בשאלות , כלומר. נושא אחד הוא אנליזה

. מוכרת וכן מה התגובה הצפויה של מערכת מוכרת לכל כניסה אפשרית

מה המשוואה המתמטית של מערכת שתפיק מוצא כמוהנושא דן בשאלות , כלומר. זה של מערכותט נוסף הוא סיננושא

צריך לתכנן מסנן שינחית הפרעה , למשל. איזה משוואות ניתנות למימוש מהבחינה התיאורטיתה בשאל,וכן. רצוי

מה ,ם ניתן לתכנן מסנן כזה ובמידה שכןהשאלה המתבקשת היא הא). פי מליון,לדוגמה(ידועה במידה מוגדרת מראש

. המשוואה של המסנן

.זהטבקורס זה נעסוק רק באנליזה אך נכין את הרקע המתמטי הנחוץ לסינ

סיווג ואיפיון אותות מימד האות

אות ,למשל :הפרמטר ממד האות נקבע לפי ממד )פרמטרים שונים (יםשונמשתנים חופשיים אותות שונים תלויים ב

ואות שתלוי במרחב . v(x,y)אות שתלוי במרחב כגון תמונה הוא אות דו ממדי . x(t)מן הוא אות חד ממדי שתלוי בז

.v(x,y,z)כגון פטנציאל חשמלי הוא אות תלת ממדי

(discrete) בדיד ,(continuous)אות רציף

בדיד זה אות שמוגדר אות . מוגדר ברצף של נקודותשתלוי בפרמטר חופשי רציף כלומר האות אות רציף זה אות

אות רציף בזמן זה אות שמוגדר במרווחי זמן , למשל. מספר הנקודות יכול להיות סופי או אינסופי. בנקודות מבודדות

זמנים אלה הם כפולות ,בדרך כלל. אות בדיד בזמן זה אות המוגדר רק בזמנים מסוימים מבודדים, לעומת זאת. רציפים

דוגמא . t=nT בו מתקיים tהאות הבדיד במקרה זה מוגדר רק בזמן , כלומר. Tב ומןשתסשלמות של יחידת זמן בסיסית

. במקרה זה האות מוגדר רק בנקודות מסוימות מבודדות ולא בכל רצף המרחב. נוספת לאות בדיד זה אות בדיד במרחב

3

ידי פעולת - רציף עלתמאובאופן כללי ניתן לקבל אות בדיד . אות כזה יכול להתקבל ממטריצה של חישנים נקודתיים

את האות הרציף אפשר לתאר .אפשר במקרים מסוימים לשחזר את האות הרציף מתוך האות הדגום, בנוסף לכך. דגימה

פרמטר בדיד את האות הבדיד אפשר לתאר כפונקציה של ,ומת זאתע ל.מרחבאו הזמן פרמטר רציף כגון כפונקציה של

n או nT .

ופיאינס, אות בעל משך זמן סופי

כך T2וT1 אם קיימים שני זמנים , כלומר. אות בעל משך זמן סופי זה אות שערכו שונה מאפס רק בקטע זמן סופי

.אז האות הוא בעל משך זמן סופי T1<t<T2 : המקייםtשהאות שונה מאפס רק עבור זמן

אות אנטי סיבתי ,אות סיבתי

.יםיחיובאות סיבתי זה אות שערכו שונה מאפס רק בזמנים

.םיאות אנטי סיבתי זה אות שערכו שונה מאפס רק בזמנים שלילי

אות סיבתי

אות אנטי סיבתי

x(t) 0 t x(t) t

x(t) 0 T1 T2 t

4

שמאל–אות צד , ןי ימ–אות צד

. אפסחרכ האות לא בהת דומה לאות סיבתי אך זמן תחילןי ימ–אות צד

[ ]

0

0

( ) 0

0

x t t T

x n n N

= ∀ <

= ∀ <

שמאל– אות צד

[ ]

1

1

( ) 0

0

x t t T

x n n N

= ∀ >

= ∀ >

אות מחזורי

.Tזמן זה נקרא זמן המחזור והוא מסומן ב. אות מחזורי בזמן זה אות שערכיו חוזרים על עצמם כל פרק זמן קבוע

.t ולכל שלםn לכל x(t+nT)=x(t) הוא אות מחזורי אם מתקיים x(t)האות : בצורה מתמטית

. λכל מרחק קבוע המסומן ב בצורה דומה אות הוא מחזורי במרחב אם ערכיו חוזרים על עצמם

היא שהם ) ימים את תנאי דריכלה שיוצגו בהמשךימקאותות ש(רגילים ובה של אותות מחזוריים תכונה חשהערה

המשמעות של .ניתנים לתצוגה בעזרת טור של אותות הרמוניים בעלי תדרים שהם כפולה שלמה של התדר היסודי

.ניהםי ביספקטרום של אות מחזורי הוא ספקטרום בדיד הבנוי מאיברים בתדרים בעלי יחס רציונאלהטענה היא שה

אות כמעט מחזורי

המשמעות של הטענה היא . ירציונאל-אישניתן להצגה בעזרת טור של אותות הרמוניים בעלי תדרים עם יחס אות

. ניהםי ביברים בתדרים בעלי יחס אירציונאלמחזורי הוא ספקטרום בדיד הבנוי מאי כמעטשהספקטרום של אות

):דוגמה ) ( )( )( ) cos / cos /x t t t eτ τ= +.

אות חסום

כך שעבור kאות הוא אות חסום אם קיים מספר , כלומר. אות חסום זה אות שכל ערכיו המוחלטים קטנים מגודל סופי

. מתקייםtכל זמן

ktx <)(

x(t) -T 0 T 2T t

5

] nלכל להתקיים באופן דומה לאות בדיד צריך ]x nT k<

)בעל סכום סופי(אות אינטגרבילי

קיים מספר האות אינטגרבילי אם,כלומר. על הערך המוחלט שלו הוא מספר סופילאות אינטגרבילי זה אות שהאינטגר

kמתקיים כך שעבורו :

( )x t dt k∞

−∞

<∫

.הוא אות לא אינטגרבילי) אות שערכו אפס בכל זמןפרט ל(ברור שכל אות מחזורי : הערה

כך שעבורו k קיים מספר אות הוא בעל סכום סופי אם כלומר .מדברים על אות בעל סכום סופיעבור אותות בדידים

:םיקיתמ

( )n

x nT k−∞

=−∞

<∑

געי של אותיהספק ר

: מוגדר x(t)של אות , p(t) רגעיהספק 2)()( txtp =

הספק ממוצע של אות

: מוגדרx(t) של האות Pxההספק הממוצע

,

1 ( )limb

xa b a

P p t dtb a→−∞ →∞

=− ∫

:עבור אות מחזורי נקבל: הערה

0

1 ( )T

xP p t dtT

= ∫

:הוכחה

, 0 0

1 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( )( ) 2lim lim lim

b nT T T

xa b n na nT

P p t dt p t dt n p t dt p t dtb a nT nT nT T→−∞ →∞ →∞ →∞−

= = = =− − −∫ ∫ ∫ ∫

אנרגיה של אות

: מוגדרתx(t) של האות Exהאנרגיה

6

( )xE p t dt∞

−∞

= ∫

:הערות

. על הספק בלי לציין רגעי או ממוצע מתכוונים ברוב המקרים להספק הממוצעכאשר מדברים) 1

ההספק הפיזיקלי הרגעי , למשל. ההגדה המקובלת של ההספק בתחום האותות שונה במקצת מזו המקובלת בפיזיקה) 2

: המתפתח על נגד הואRtvtp

2)()( )()(2: וההספק הרגעי בהתאם להגדרה של אותות הוא= tvtp = .

ואות הספקאות אנרגטי

בעל משך זמן אות חסום כל . שווה לאפסשל כל אות אנרגטי ההספק הממוצע . אות אנרגטי זה אות בעל אנרגיה סופית

.הוא אות אנרגטיסופי

. אינסופית היאהספקהאנרגיה של אות . גדול מאפסזה אות בעל הספק ממוצע סופי הספקאות

יכולים להיות או אותות אנרגטיים ∞±=tאותות ששואפים לאפס ב . אנרגטי ולא אות הספקאות וא לא אות מתבדר ה

.או אותות הספק

:דוגמאות

.בעל אנרגיה סופית והספק ממוצע אפס ,אנרגטי כלומראות חסום בעל משך זמן סופי הוא אות . 1

. בעל אנרגיה אינסופית והספק ממוצע סופי,כלומר. פקת הסו אאות חסום מחזורי הוא. 2

. אות מתבדר בעל אנרגיה אינסופית והספק ממוצע אינסופי3

x(t) -T 0 T 2T t

x(t) 0 t

7

:ת הבאים אם הם אותות הספק או אותות אנרגטייםוהאות בדוק עבור :תרגיל בית

1( )1

x tt

=+

( )2

1( )1

x tt

=+

.

זוגי-יאות זוגי וא

] אות זוגי ] [ ]( ) ( )x t x t

x n x n= −

= −

] זוגי-איאות ] [ ]( ) ( )x t x t

x n x n= − −

= − −

.וגיהראה שאפשר לייצג כל אות באמצעות חיבור של אות זוגי ואות אי ז: תרגיל בית

תיאור והגדרה של אותות מיוחדים ריבוע

הסימן המקובל לאות זה הוא .בשאר הזמן ערך האות אפס. 1/2+ ועד 1/2-אות הריבוע הוא אות שערכו אחד מזמן

Π(t)) שטח של האות שווה לאחד, הערה.) פי.

x(t) אי זוגיאות 0 t

x(t) 0 t

x(t) 0 t

8

1 1/ 2 1/ 2( ) 1/ 2 1/ 2, 1/ 2

0 1/ 2, 1/ 2

tt t t

t t

− < <⎧⎪Π = = − =⎨⎪ < − >⎩

משולש

Λ(t)הסימן המקובל לאות זה הוא .בשאר הזמן ערך האות אפס. 1 ועד 1-מזמן |t|-1וא אות שערכו אות המשולש ה

.שטח של האות שווה לאחד, הערה .)גמה(

⎩⎨⎧

≤−>

=Λ1110

)(ttt

t

signסימן

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<−

=000

101

)(ttt

tsign

sign(t) 1

0 t -1

Λ (t) 1 -1 0 1 t

Π (t) 1 -1/2 0 1/2 t

9

מדרגה

הסימן המקובל לאות זה הוא . גה הוא אות שערכו אחד עבור זמנים חיוביים וערכו אפס עבור זמנים שלילייםאות המדר

u(t) או δ-1(t).

0 0( ) 1/ 2 0

1 0

tu t t

t

<⎧⎪= =⎨⎪ >⎩

Rampשיפוע

או r(t)המקובל לאות זה הוא הסימן . בזמנים חיובייםtאות שיפוע הוא אות שערכו אפס בזמנים שליליים וערכו שווה ל

δ-2(t)..

0 1( )

1t

r tt t

<⎧= ⎨ ≥⎩

.r(t)=t u(t) או

אקספוננט

. x(t)=u(t)eαtאות אקספוננציאלי מוגדר

u(t) 1 0 t

r(t) 0 t

10

הלם

אות זה מועיל , כפי שנראה בהמשך, למרות זאת. אות הלם הוא למעשה המצאה מתמטית ואי אפשר להפיקו במציאות

ההגדרה של אות זה היא .u0(t) או )הטדל δ(t)(הסימן המקובל לאות זה הוא . בצורה בלתי רגילה בניתוח מערכות

הוא שאפשר להגדיר את ןהמעניי. ההגדרה היא בעזרת גבול של סדרה של אותות. הגדרה מסוג חדש שלא הכרנו עד כה

המשותף לכל הסדרות הוא שהערך שלהם שואף לאפס בכל זמן . תות מסוגים שוניםאות ההלם בעזרת סדרות של או

. השטח של האותות חייב לשאוף לשטח קבוע בגודל יחידה, בנוסף לכך. שונה מאפס ואילו באפס ערכם שואף לאינסוף

נגדיר את . ריבועה המבוססים על אות xn(t)הדוגמה הפשוטה ביותר להגדרת אות ההלם היא בעזרת סידרה של אותות

:הסידרה בצורה הבאה

xn(t)=n*Π(nt).

. שואף לאינסוףnדרה כאשר יסשל הפונקצית ההלם תוגדר כגבול

: כלומר

∞→=

nn (t) xlimδ(t)

הסדרות שואפות , כלומר. xn(t1)=0 אשר ממנו והלאה n שונה מאפס קיים t1עבור כל זמן . ההגדרה עומדת בדרישות

. הוא אחדxn(t) השטח הכולל של כל אות ,בנוסף לכך. ונה מאפסלאפס עבור כל זמן ש

: ייראו כךxn(t)בצורה גרפית האותות

α>0 xn(t) α=0 α<0 0 t

Xn(t) xn(t)=n*Π(nt) n

0 1/n t

11

בצורה דומה אפשר להגדיר את אות ההלם בעזרת סדרות של אותות משולשים ובעזרת סדרות של אותות

.םיאקספוננציאלי

t ,xn(t) ולכל nשונה בצורה מהותית מההגדרות הקודמות מכוון שלכל קספוננטים אדרת סבעזרת ההגדרה האחרונה

.שואפת להלםדרה ס ה,למרות זאת. לא מתאפס ממש אלה רק שואף לאפס

:שים לב0

1ntne dt∞

− =∫

בדרך זו מגדירים את .)משפט שיוצג בהמשך ( ההצבהטהלם בעזרת משפבאופן פורמאלי אפשר להגדיר את אות ה

שהגדרה זו עוזרת להמחיש תכונות שונות של אות הוא היתרון של ההגדרה בעזרת סדרות . סדרותב להיעזרבלי ההלם

. בעזרת הסידרה של אותות משולשיםδ'(t(ות של ע נוח להמחיש את המשמ, למשל.ההלם

גישה זו . ידרה של אותות אפשר ליישם לאותות נוספיםסשל הגדרת אותות כגבול של את הגישה שהצגנו : הערה

.מועילה בהבנה של תגובת מערכות לכניסות שונות

אפשר להגדיר את האות כגבול של סדרה של אותות . u(t)האות שנבחר הוא . ניתן דוגמה נוספת להגדרת אות בדרך זו

): ∞→nגבול כאשר (מהצורה הבאה

xn(t) xn(t)=U(t)n e-nt x2(t) x1(t) 0 t

xn(t) xn(t)=n*Λ(nt) n -1/n 0 1/n t

xn(t) 1 0 1/n t

12

:ות של פונקצית ההלםכונת

.פונקציה זוגית) א

)) ב ) ( )1at ta

δ δ=

sincאות

)sin : מוגדרת sinc פונקצית )sinc( )( )

atatat

.sec/1 בעל יחידות של aהגודל . =

ולפי ההגדרה השנייה a=1/secלפי ההגדרה הראשונה . aלפונקציה בהתאם לערך של י הגדרות דומות תשישנם

a=π/sec .אנו נשתמש בהגדרה הראשונה.

מתאפס עבור זמנים האות ). תוצאה שמתקבלת בעזרת כלל לופיטל( שווה לאחד t=0ערכו ב . הוא אות זוגי sinc האות

.πמה של שלכפולהשהם

לופיטל בעזרת כללt=0ב ערך הפונקציה חישוב

0 0 0 0

sin( ) sin( ) '(sinc( )) ( ) ( ) (( ) ( ) 't t t t

at at alms t lms lms lmsat at→ → → →

= = =cos( )at

a) 1=

אותות מחזורים מיוחדים רכבת , פולסיםרכבתספים הם ואותות שימושיים נ. ים האות החשוב ביותר הוא האות ההרמוניין האותות המחזורמבי

. גל משולש ושן מסור, )מסרק הלמים(הלמים

.אות הרמוני

.בסעיף זה נציג מספר ייצוגים שימושיים. אפשר להגדיר בצורות שונותהאות ההרמוניאת

.ודה ופאזהטייצוג לפי אמפלי

x(t)=Ccos(ωt+θ)

C של האותוהיחידות מייצג את האמפליטודה ,ωמציין את התדר הזויתי ו θ מייצג את זווית המופע ההתחלתית של

.האות

Sinc(t) 1 2/π 5/(2π) -5 π -4 π -3 π -2 π -1 π 0 1 π 2 π 3 π 4 π 5 π t - 7/(2π) - 3/(2π)

13

:עבור אות הרמוני מתקיים

ωT=2π, ω=2πf, f=1/T

. הוא זמן המחזורT הוא תדר האות וf: כאשר

:ר אפשר להבחין ש מהציובנוסף לכך

θ=-2πt1/T=cos-1(x(0)/C)

. שלילי ההפךθעבור . Acos(ωt)ומת הגרף של ע שלילי והגרף זז שמאלה לt1 חיובי θעבור

:ייצוג לפי סינוס וקוסינוס

x(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)

:ייצוג אקספוננציאלי בעזרת משפט אוילר

( ) *j t j tx t e eω ωα α −= +

ת פולסיםבכר

. רכבת פולסים זה אות מחזורי כאשר האות היסודי הוא אות פולס

.Dומסומן באות ".Duty sicle"לזמן המחזור נקרא " 1"היחס בין הזמן בו ערך האות

)מסרק הלמים (יםהלמבת כר

δT(t). אות זה בנסמן. הלםה זה אות מחזורי כאשר האות היסודי הוא אות הלמיםרכבת

x1(t) 1 t

x(t) C Ccos(θ) t1 0 T t

14

גל משולש

גל שן מסור

הגדרת פעולות על אותות חיבור אותות

הערך של האות המתקבל בכל זמן הוא המספר המתקבל מחיבור. פעולת החיבור של אותות זו פעולה שמספקת אות

:כלומר, רגיל של הערכים הרגעיים של האותות המחוברים

y(t)=x1(t)+x2(t)

:דוגמה

.יחידות אות המוצא זהות ליחידות אות הכניסה. אפשר לחבר רק אותות בעלי יחידות זהות: הערה

x1(t) t x2(t) t x1(t)+ x2(t) t

שן מסור t

משולש t

.δT(t) 1 t

15

כפל אותות

תקבל בכל זמן הוא המספר המתקבל מכפל רגיל הערך של האות המ. פעולת הכפל בין אותות זו פעולה שמספקת אות

. של הערכים הרגעיים של האותות המוכפלים

נקודה, לסימני הכפל. או ללא סימן בכלל" ×"אנו נשתמש בסימן . צריך לשים לב לסימן של פעולת כפל אותות: הערה

. אותות יש משמעות מיוחדת באותות והם לא משמשים לציון כפל רגיל של)"*"," ."( וכוכבית

:דוגמה

y(t)=x1(t)×x2(t)=x1x2

:ותהער

במקרים אלה אות אחד נקרא אות מאפנן והשני . ודהיטפעולת המכפלה במקרים מסוימים נקראת גם איפנון אמפל -

.אות מאופנן

. מכפלת היחידות של אותת הכניסהןיחידות אות המוצא ה -

אותותקידום של או השהיה ,הזזה

מבחינה גרפית . T זה אות בעל צורה זהה לאות הכניסה אך הוא מופיע לאחר זמן )מפגר בזמן (אות מושהה בזמן

. y(t)=x(t-T):ההגדרה המתמטית של השהיה. Tשווה ל גודל ההזזה כאשר ,הפעולה נראית כהזזה של הגרף ימינה

מבחינה גרפית הפעולה . לפני אות הכניסהTופיע זמן בזמן זה אות בעל צורה זהה לאות הכניסה אך הוא מ םיאות מקד

היא פעולה בזמן ברור שפעולת הקידום . y(t)=x(t+T): ההגדרה המתמטית של קידום. נראית כהזזה של הגרף שמאלה

מתמטית שלא ניתן לממש באופן פיזיקלי מכוון ששום מערכת לא יכולה לצפות לעתיד ולדעת מה יהיה ערך הכניסה

.ים במיקום אפשר לבצע הזזות לשני הכיווניםי עבור אותות התלו,מת זאתועל. העתידי

הה בשלושסי האות המתקבל מהשהיה של אות הכנ,למשל. תהיה בכפולות שלמות) קידום(עבור אותות בדידים השהיה

. y(n)=x(n-3): ברים יתואר בצורה הבאהיא

x1(t) t x2(t) t x1(t) x2(t) t

16

משפט ההצבה:תרגיל דוגמא

.y(t)=x1(T)×δ(t-T): צייר סקיצה של האותות והראה שy(t)=x1(t)×δ(t-T) נתון ש

.שיקופים

.האנכיציר ה או סביב האופקיציר השיקוף אותות יכול להתבצע סביב

. y(t)=-x(t) :האופקי ציר הנוסחת שיקוף סביב

בזמנים . שלא ניתן לממשמדובר בפעולה של אותות זמנים במקרה . y(t)= x(-t): האנכי ציר הנוסחת שיקוף סביב

, לנחש את העתידהמכוון ששום מערכת לא יכול, ולכן. מקבל ערכים הזהים לערכי כניסה עתידייםאשליליים המוצ

. נראה בהמשך שאנו משתמשים רבות בפעולה המתמטית של השיקוף, למרות זאת. מדובר במערכת לא פיזיקלית

x(t) t x(t-T) T t x(t+T)

T t

x1(t) T t a

1 δ(t-T) T t x1(T) δ(t-T) T t a

17

י קנה מידהשינוי

)). x(t) קנה המידה הוא ביחס לאות מקורי שינוי (y או בציר x, (t) קנה מידה של אותות יכול להתבצע בציר שינוי

. הגרף נדחסa|<1| הגרף נמתח וכאשר a|>1|כאשר . y :y(t)=ax(t) קנה מידה בציר שינוי

. הגרף נמתחa|<1| הגרף נדחס וכאשר a|>1|כאשר . x :y(t)= x(at) קנה מידה בציר שינוי

PT(T,t). הפולס ב את אותנסמן . בעזרת האות הריבועTאפשר לתאר פולס ברוחב : דוגמא

PT(T,t)=Π(t/T).

. משתני חופשירנספורמציה של ט אותנקרכאלה פעולות t.בחלק מהפעולות שהוצגו יש שינו בפרמטר : הערה

:בשלביםאת הטרנספורמציות לבצע די מבלבלות וכדאירנספורמציות כאלה במקרים מורכבים ט

:דוגמא

:יר את האותות הבאיםיצ

( ) ( )( ) ( )

1

2 1 0.5 2sec

x t t t

x t x t

= Π

= − −

x(t) אות מקורי t x,t משוקף בציר אות -x(t) t y משוקף בציר אות x(-t) t

Π (t/T)

1

-T/2 0 T/2 t

18

:ר ישירות מההגדרהי אפשר לציx1את

: אפשר לחשב במספר דרכיםx2את

)במשתנה. x1ב שמופיע t המשתנה להחלפה ש) א )0.5 2sect− −.

): נקבלבהתאם לכך ) ( ) ( ) ( )2 1 0.5 2sec 0.5 2sec 0.5 2secx t x t t t= − − = − − Π − −

5tעבור = )נקבל − )0.5 2sec 0.5t− − =

3tעבור = )נקבל − )0.5 2sec 0.5t− − = −

: יהיהx2 הגרף של ולכן

חושלב שני נהפוך ונמתאת האות שלב ראשון נשהה ב. נבצע את ההמרה בשלבים) ב

( )( ) ( )

1

2

' 2sec

' 0.5

x x t

x t x t

= −

= −

x2(t)

1/2 -3 -5 0 t -1/2

x'.(t)

1/2 0 1 2 3 t -1/2

x2(t)

1/2 -3 -5 0 t -1/2

x1(t)

1/2 -1/2 0 1/2 t -1/2

19

. נשההשלב שני בו חנהפוך ונמתאשון שלב ר. נבצע את ההמרה בשלבים) ג

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )

2 1 1

1

2

0.5 2 0.5 4

'' 0.5

'' 4

x t x t x t

x x t

x t x t

= − − = − +

= −

= +

אינטגרציה

ττ dxtyt

∫∞−

= )()(

.tלזמן עד מזמן מינוס אינסוף x(τ) שווה לשטח מתחת לגרף tבפעולה זו המוצא בזמן

: לאינטגרציה דוגמא

x(t) =-sign(t) Π(t/2)

x2(t)

1/2 -3 -5 -4 0 t -1/2

x''.(t)

1/2 1 -1 0 2 3 t -1/2

x(τ) 1 s 1 -1 t1 τ -1 y(t) y(t1) = s t1 t

20

1

0

0

0 t<-1 0

1 -1<t<0 0 1

( )

1 0<t<1 1 1

0 1<t 0 0

t

t

t

t

d

t d

y t

t d

d

τ

τ

τ

τ

−∞

−

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ + +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪= ⎨

⎛ ⎞⎪ − + −⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎪

⎪ ⎛ ⎞⎪ +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∫

∫

∫

∫

.יש להוסיף את הערך ההתחלתי) למשל מאפס(במידה והאינטגרציה מתחילה מזמן מסוים : הערה

)0()()(0

xdxtyt

+= ∫ ττ

:הערות

.−1xפעולת האינטגרציה מסומנת גם ב -

אות הכניסה ויחידות גורם של יחידות היחידות אות המוצא שוות למכפלת . פעולת האינטגרציה משנה יחידות -

. האינטגרציה

):עם אות הלם מקימת את המשוואה אינטגרציה - ) ( )( )x t x t dτ δ τ τ∞

−∞

= −∫

גזירה

( )( ) dx ty tdt

=

: הערות

)1. לפעולת הגזירה בזמן יש מספר סימנים מקובלים - ) 'dx t Dx x x xdt

•

= = = פעולת הגזירה היא פעולה הפוכה =

.x(t)י האות שינוילאינטגרציה והיא מבטאה את קצב

. מתקבלים אחד מהשני לפי הסדר בעזרת אינטגרציה ובסדר ההפוך בעזרת גזירהr(t) וδ(t) ,u(t)האותות -

לפיו גוזרים גורם האות הכניסה ויחידות של יחידות ה מנתיחידות אות המוצא שוות ל. משנה יחידותגזירהפעולת ה -

.) לרוב לפי הזמן(

-

:דוגמא לגזירה

21

.δ(t)’ וצור ממנה סידרה שמגדירה את האות δ(t)בחר באחת הסדרות של : תרגיל

דגימה

אות הכניסה בזמני הערך של כל איבר בסדרה הוא ערך . רציףתדגימה זו פעולה שמפיקה סידרה של מספרים מאו

לת דגימה נקראת ו מערכת שמבצעת פע.y[n]=x(nT) :במקרה זה יתקיים. לרוב מדובר על דגימה בקצב אחיד, הדגימה

.דוגם

האות הדגום מוגדר כאות המתקבל מהכפלת אות . למיםהמסרק ההכפלה בלעיתים מגדירים את פעולת הדגימה בעזרת

.הכניסה במסרק ההלמים

y(t)=δT(t)x(t)

. בגדלים שוניםהגדרה האחרונה האות הדגום בנוי מאוסף של הלמיםהפי ל

( ) ( ) ( )n

y t x nT t nTδ∞

−∞

= −∑

מתקבל ש הערך שיתקבל יהיה זהה לערך . על האות הדגוםה מאפשרת ביצוע פעולות אינטגרציהאחרונההגדרה ה

. מפעולות סכימה של הדגימות בהגדרה הראשונה

זמן בו הדגימות ה מתעלמים מהראשונה היא גישה מנורמלת בהגישה ה, תות דגומיםי גישות לטיפול באותיש ש: הערה

שומרים על אינפורמצית הזמן יה יבגישה השנ. y(n)=n+2, למשלפלים בסדרות של מספרים טמבגישה זו .מתבצעות

.t=nTומדברים על ערך הפונקציה בזמנים

שיחזור

ול ככ. קבלים אות רציף מאוסף דגימות או ממסרק הלמים מאופנןפעולת השיחזור היא פעולה הפוכה לדגימה ובה מ

.שהאות המתקבל דומה יותר לאות ממנו התקבלו הדגימות השחזור מוצלח יותר

x(t) t y(t) t

22

ה או בקיצור קורלאציהקורלאצי-אוטו

:מוגדרתהקורלציה פעולת

dttxtxy )()()( ττ += ∫∞

∞−

האות מקבל ערך τ=0בזמן ). אות זוגי(סביב הראשית הוא אות סימטרי הקורלציה האות המתקבל מפעולת : הערות

עבור . 2T במשך נקבל אות בעל משך זמן סופי Tעבור אות בעל משך זמן סופי . מקסימלי השווה לאנרגיה של האות

אות . עבור אות הרמוני נקבל אות הרמוני מסוג קוסינוס. אות מחזורי נקבל אות מחזורי בתדר של האות המקורי

ן את י אות הקורלציה מאפי.של האותות המקורייםהקורלציה זהה לאות ) מקדימים(אותות מושהים של הקורלציה

כן אות ל יהיו דומים לאות המושהה במשך הרבה זמןאט אותות שמשתנים ל. τ מידת הדמיון בין אות לעצמו מושהה ב

זמן קצר שונים בהרבה מהאות אותות שמשתנים במהירות יהיו לאחר. בחיהיה אות רהמתקבל במקרים אלה הקורלציה

ה יות המושהה במידה וההשהיא לזהיםם יהיו יאותות מחזורי. יהיה אות צרבמקרה זה אות הקורלציה , ולכןהמושהה

. בעל זמן מחזור זהה לזמן המחזור של האות המקורימחזוריאות ולכן אות הקורלציה יהיה היא כפולה של זמן המחזור

:שימושים

אותות ,כלומר. ע על אפיון האותיהזזה של האות לא תשפאותות בדרך בה ין ילאפאפשר קורלציה בעזרת פעולת

בוד האות הנקלט יהמטרה הראשונה בע. ם"תכונה זו חשובה למשל במקלטי מק. יפיקו אותו אות קורלציהמוזזים

רה בלי טלזיהוי מ. מציאת מקום המטרה מתבצעת בשלב מתקדם יותר. ם היא לזהות האם יש מטרה"במקלט המק

הוא טרה האות הנקלט במידה ואין מ.להתחשב בזמן הופעתה מבצעים קורלציה לאות הנקלט ובודקים את אזור האפס

רוחב. רחברה נקבל פולס טיש מ כאשר ,ומת זאתעל. פולס צר מאודבמקרה זה הוא אות הקורלציה .רעש אקראי

. רהט יחסי לגודל המהפולס המתקבל

אציה זו פונקציה זוגית לוהוכחה שקור

', '

'

( ) ( ) ( ) ( ') ( ') ' ( )t t

t tdt dt

y x t x t dt x t x t dt yτ

τ τ τ τ∞ ∞

= −−∞ −∞=±∞ =±∞

=

− = − + = + =∫ ∫

) τ בגודלימינהמוזז (τמושהה בזמן באופן גרפי פעולת הקורלציה מתקבלת בעזרת הכפלה של האות באות

מהציור אפשר להבחין שהתוצאה .להאשמים הזזה עים מבצי שליל השהיהעבור זמני. אינטגרציה על המכפלהו

מתקבלת מהזזה אפשר להבחין מהציור שהתוצאה ה,בנוסף לכך. τ =0כלומר בזמן . מקסימלית מתקבלת ללא הזזהה

. זוגיאותא והקורלציה האות שמחיש את התכונהמכך אפשר לה. מהזזה ימינהזהה לתוצאה המתקבלת שמאלה

.פעולת הקורלציה משנה יחידות: הערה

23

קונבלוציה

:)אינטגרל הקונבלוציה (פעולת הקונבלוציה מוגדרת בהתאם לאינטגרל הבא

τττ dtxxxx )()(* 2121 −= ∫∞

∞−

אריות י בהמשך נראה שפעולה זו מתארת מעבר אותות דרך מערכות לינ"*".מסמנים את פעולת הקונבלוציה בעזרת

.שים לב פעולת הקורלציה משנה יחידות .קבועות בזמן

τ=0

τ=1

τ=-1

-1 1 τ

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x(t)

x(t)

x(t)

x(t-0)

x(t-1)

x(t--1)

y(τ)

x(t) x(t-0)

x(t) x(t-0)

x(t) x(t+1)

24

: הערותתכונות ו

עבור אותות סיבתיים . עבור אותות אנרגטיים נקבל אות אנרגטי.קיים חכרון שהאינטגרל אינסופי הוא לא בהומכ) 1

נבלוציהמשך הזמן של אות הקו. נקבל אות סיבתי ועבור אותות בעל משך זמן סופי נקבל אות בעל משך זמן סופי

.של שני האותותהזמן כיהוא סכום מש

:כלומר. יביט והחוק האסוצי חוק הפילוגימת את חוק החילוףפעולת הקונבלוציה מקי) 2

(x1*x2) *x3 = x1* (x2* x3) ,(x1+x2)* x3=x1*x3+x2*x3 ,x1*x2=x2*x1.

x2=a(x2*x1)*(ax1) :ובנוסף לכך

:הוכחה לחוק החילוף

1 2 1 2 1 2 1 2''

' ,

2 1 2 1

* ( ) ( ) ( ') ( ( ')) ( ') ( ') ( ') ( ')

( ') ( ') ( ') *

td d

x x x x t d x t x t t d x t x d

x x t d x x

τ ττ τ

τ τ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ

τ τ τ

∞ −∞ ∞

= −−∞ ∞ −∞=−

=±∞ = ∞

∞

−∞

= − = − − − − = −

= − =

∫ ∫ ∫

∫

m

:הוכחה לחוק הפילוג

1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 2 3( )* ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * *x x x x x x t d x x t d x x t d x x x xτ τ τ τ τ τ τ τ τ τ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

+ = + − = − + − = +∫ ∫ ∫

קונבלוציה בין אות לאות הלם מוזז בזמן מפיקה את האות . בין אות לאות הלם מפיקה את האות המקוריקונבלוציה) 3

.המקורי מוזז בזמן

: הוכחה

( )( )( ) x(t)* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t t T x t T d x t T t T d x t Tδ τ δ τ τ δ τ τ∞ ∞

−∞ −∞

= − = − − = − − − = −∫ ∫

יוצר אות מחזורי כאשר זמן המחזור של האות המתקבל שווה לזמן המחזור של לרכבת הלמים קונבלוציה בין אות ) 4

גדול מזמן )T ( וזמן המחזור של רכבת הפולסים)τ (במידה והאות הוא אות סופי בזמן, בנוסף לכך. ההלמיםרכבת

.המקורימחזור היסודי זהה לאות האות בקיום האות נקבל גל מחזורי שבו

x(t) t τ δT(t) t x(t)* δT(t) T

t

25

. קונבלוציה בין אות הרמוני לבין אות אנרגטי מפיק אות הרמוני באותו התדר אך בעל אמפליטודה ופאזה חדשים)5

הוכחה

}

1

cos( )

1 2 1 1

1

1 1

( ) x * x ( ) cos( ( ) ) ( ) cos[( ) ( )] )

( ) [cos( )cos( ) sin( )sin( )]

cos( ) ( ) cos( ) sin( ) ( )sin( )

A t

k k

y t x A t d x A t d

x A t t d

A t x d A t x d

ω θ

τ ω τ θ τ τ ω θ ωτ τ

τ ω θ ωτ ω θ ωτ τ

ω θ τ ωτ τ ω θ τ ωτ τ

+ ∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

∞ ∞

−∞ −∞

= = − + = + + −

= + − − + − =

= + − − + −

∫ ∫

∫

∫ ∫1 4 4 4 2 4 4 43

{ {

2

1 21 2

cos( ) sin( )

1 1 2 1

2 2 21 2

cos( ) sin( ) [ cos( ) sin( )]

[cos( ) cos( ) sin( )sin( )] cos( )

( )cos( ) , ( )sin( )

,

k kk A t k A t rA t t

r r

rA t t Ar t

k x d k x d

r k k

α α

ω θ ω θ ω θ ω θ

α ω θ α ω θ ω θ α

τ ωτ τ τ ωτ τ∞ ∞

−∞ −∞

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + = + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ − + = + +

= − = −

= +

∫ ∫

1 4 4 4 2 4 4 43

2

1

( )k

tgk

α =

. k2 וk1לחישוב המשמשים שה לאות אנרגטי נחוצה לקיום האינטגרלים יהדר: הערה

:המחשה גיאומטרית מתוארת בציור הבא

x(t) t τ δT(t) t x(t)* δT(t) T

t

26

ומסומן התדירותיתהתמסורת המכונה פונקצית מורכבאת הביטוי האחרונים נהוג לסמן בצורה אחרת בעזרת גודל

( )H ω .לפי ההגדרה: ( ) 1 2_H k jkω :בהתאם להגדרה מתקבל. =

( )H rω )ו = ) ( )( )1 2

1

img( ( ))argrel( ( ))

k Htg Hk H

ωα ωω

− = = =

:בהתאם לכך נרשוםכמו כן

1( ) x * cos( ) ( ) cos( arg( ( )))y t A t A H t Hω θ α ω ω θ ω= + + = + +

)את )H ωאפשר לחשב בעזרת אינטגרל יחד בעזרת משפט אוילר

1( ) ( ) j tH x t e dtωω∞

−

−∞

= ∫

:הערה

)1: באופרטור הבא השתמשנוHלמציאת ( )) ( ) ( ) ,j tF x t X x t e dtωω∞

−

−∞

= = ת התמרת אהפעולה של האופרטור נקר ∫

פוריה של האות

מפיק אות אקספוננציאלי בעל אמפליטודה כלשהו לבין אות )אנסופי בזמן (קונבלוציה בין אות אקספוננציאלי) 6

.חדשה

הוכחה

( )1 1 1 1

( )

( ) x * ( ) ( ) ( ) ( )st s t st s st s st

H s

y t Ae x Ae d x Ae e d Ae x e d H s Aeτ τ ττ τ τ τ τ τ∞ ∞ ∞

− − −

−∞ −∞ −∞

= = = = =∫ ∫ ∫1 44 2 4 43

ωt+θ A k2 Ar k2 α A k1 ωt+θ Ar cos(α+ωt+θ) A k2 sin(ωt+θ) A k1 cos(ωt+θ)

27

:הערה

)למציאת )H s1: באופרטור הבא השתמשנו( ( )) ( ) ( ) ,stL x t X s x t e dt∞

−

−∞

= = ת א הפעולה של האופרטור נקר∫

בהם s הטענה מוגבלת רק לערכים של ולכן sמת לכל ערך של י קיחרכההתמרה לא בה. של האותס לפלהתמרת

.מתיההתמרה קי

אם התמרת מתלכדת ההתמרה דמיונייםמספרים הם sוהערכים של במידה . יכולים להיות מורכביםsהערכים של

.היפורי

.)τ לtתוך החלפת שמות בין (השה פעולת הקורלצי היא למעx(-t) לבין האות x(t)פעולת קונבלוציה בין אות ) 7

של אות הלם מפיק אות ת לבין אות שמתקבל בעזרת טרנספורמציה ליניאריx(t)פעולת קונבלוציה בין אות ) 8

F תעבור טרנספורמציה ליניארי, כלומר. x(t)אות השמתקבל מהפעלת הטרנספורמציה על

{ } { }( ) x(t)*F ( ) F (x(t))y t tδ= =

:למשל

( )( ) x(t)* ''( ) 2 ( ) ''( ) 2 ( )y t t T t x t T x tδ δ= − + = − +

האות השני של מתקבלת בעזרת הכפלה של האות הראשון באות המתקבל משיקוף קונבלוציההבאופן גרפי פעולת •

מהציור אפשר . לאחר קבלת האות המוכפל יש לבצע אינטגרציה על המכפלה. t והזזתו ימינה בגודל yסביב ציר

. x1*x2=x2*x1 אכןלהבחין ש

x1(t) x2(τ) x1(τ) 0 1 x2(t) x1(t-τ) t<0 x2(t-τ) t<0 x1(t-τ) 0<t<1 x2(t-τ) 0<t<1 x1(t-τ) 1<t x2(t-τ) 1<t x2* x1 x1* x2 t t

28

)בדידה(ית טקונבלוציה דסקר

הערך ראשונה לפי ההגדרה המיוצגיםכאשר האותות הדגומים . בין אותות דגומים תיתן אות דגוםפעולת קונבלוציה

:סקרטיתידקונבלוציה פעולה זו נקראת : מתקבל מפעולת הסיכום הבאהפעולת הקונבלוציה של

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2*i

y n x n x n x i x n i∞

=−∞

= = −∑

רגילהקונבלוציה הערך של פעולת הקונבלוציה מתקבל מפעולת שניהמיוצגים לפי ההגדרה הם כאשר האותות הדגומי

:דוגמא

:נתונים שני אותות

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2

2 1

1 1

x t t t T

x t t t T

δ δ

δ δ

= + −

= + −

.של אות דגום י ההגדרותתבין האותות לפי שחשב את הקונבלוציה

:פתרון

:ראשונהחישוב לפי ההגדרה

: הם האותות הדגומיםהראשונהלפי ההגדרה

[ ] [ ][ ] [ ]

1 1

2 2

0 2, 1 1

0 1, 1 1

x x

x x

= =

= =

:סקרטית בהתאם לנוסחהילחישוב הקונבלוציה בין האותות מבצעים קונבלוציה ד

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2*i

y n x n x n x i x n i∞

=−∞

= = −∑

:נחשב. n=0,1,2נקבל תוצאה שונה מאפס רק עבור

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0 0 0 0 2 1 2

1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 3

2 2 1 1 1 1 1

i

i

i

y x i x i x x

y x i x i x x x x

y x i x i x x

∞

=−∞

∞

=−∞

∞

=−∞

= − = = × =

= − = + = × + × =

= − = = × =

∑

∑

∑

: הבאדגוםהאות את הקבלנו לאחר הקונבלוציה

[ ] [ ] [ ]0 2, 1 3, 2 1y y y= = =

29

הישנילפי ההגדרה החישוב

מבצעים לחישוב קונבלוציה בין האותות לפי הגדרה זו . יהיהשנהגדרה ב אותות דגומים נתונים לפי הצורה שלהאותות

. רגילהקונבלוציה רציפה

:במשפט הבאשל הקונבלוציה נשתמש שובים יבח

x(t)* ( ) ( )t T x t Tδ − = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )1 1

1 2 1 1 1

1 1

* * 1 1 * *

2 1 2 1 2 3 1 2x t x t T

y t x t x t x t t t T x t t x t t T

x t x t T t t T t T t T T t t T t T

δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δ−

= = + − = + − =

+ − = + − + − + − − = + − + −1 4 44 2 4 4 43 1 4 4 4 4 2 4 4 4 43

: הבאדגוםהאות את הבלוציה בלנו לאחר הקוניק

( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2y t t t T t Tδ δ δ= + − + −

.שהתקבל בחלק הראשון בייצוג השניכצפוי הוא האות האות

30

כעת נגדיר מספר פעולות שהתוצאה המתקבלת מהן היא סקלר . עד כה הגדרנו פעולות ביו אותות שמפיקים אות: הערה

.ת באופן כמותי תכונה מסוימת של האון הסקלר מאפיי)מספר(

)תוחלת של אות(ערך ממוצע של אות

∫−=

∞→−∞→

b

abadttx

abx )(1lim

,

. מסמן אנרגיהמן זהיס אצלנו E(x)בסיפרות מקובל לסמן את התוחלת ב : הערה

שונות של אות

. של האות מהערך הממוצעההסטייהיא מדד למידת σהשונות

∫ −−

=∞→−∞→

b

abadtxEtx

abx 2

,

2 ))()((1)(σ lim

מכפלה סקלרית של אותות

::אנו נשתמש בהגדרה הבאה. יש הרבה דרכים להגדיר את המכפלה" ."של אותות מסומנת במכפלה סקלרית

dttxtxxx )()( 2121 ∫=⋅∞

∞−

:הערות

:כלומר. מכפלה סקלרית מקיימת את חוק החילוף וחוק הפילוג) 1

x1.x2=x2.x1 ו(x1+x2).x3=x1.x3+x2.x3.

, כלומר. סקלרית של אות בעצמוהמכפלה ל שווהיה של אות מתקבל שהאנרג,בהתאם להגדרה של אנרגיה של אות) 2

Ex=x.x.

וזאת כדי להבטיח שהמכפלה בין אות לעצמו תפיק מספר ממשי , עבור אותות מרוכבים המכפלה תוגדר בצורה הבאה

.חיובי

*1 2 1 2( ) ( )x x x t x t dt

∞

−∞

⋅ = ∫

אותות מאונכים

מושג הזווית בין אותות יוסבר (דרים כמאונכים במידה והמכפלה הסקלרית של שני אותות שווה לאפס האותות מוג

).בהמשך

:דוגמאות לאותות מאונכים

י טי זוגי היא אנטהסיבה לכך היא שמכפלת אות זוגי באות אנ. י זוגייםטאותות זוגיים תמיד מאונכים לאותות אנ) 1

. ס מאונכים לאותות מסוג סינוס שאותות מסוג קוסינו,נובע מכך. זוגית ואינטגרל אינסופי אל פונקציה כזו שווה לאפס

.התדרים הזוויתיים יכולים להיות זהים או שונים. Bsin(ω2t)מאונכים לאותות מסוג . Acos(ω1t)אותות מסוג , כלומר

31

.אותות בעלי משך זמן סופי שאין חפיפה בזמני קיום האות הם אותות מאונכים) 2

xn=Π(t-n). הבאים מאונכים האחד לשניxn(t)האותות , למשל

.אותות הרמוניים בעלי תדרים שונים הם אותות מאונכים) 3

:ותהער

מספיק לבצע אינטגרציה , הם אותות מאונכיםTבעלי זמן מחזור משותף מינימלי , כדי לבדוק האם אותות מחזוריים) 1

.בודד מחזורשל של המכפלה למשך זמן

: י דרכיםתל אותות מאונכים בשאפשר לחשב את האנרגיה או הספק של אות שמתקבל מחיבור ש) 2

.בצורה ישירה לפי הגדרה) א

.מחושבותההאנרגיות בוריוחספק של כל אחד מהאותות המאונכים האנרגיה או ההשב יחבעזרת ) ב

.בעזרת אינדוקציהאפשר להוכיח את המקרה הכללי . מאונכיםבור של שני אותותיענה עבור חטנוכיח את ה

E x1+x2 = (x1+x2) . (x1+x2) = x1. (x1+x2) + x2. (x1+x2) = x1. x1 + x1. x2 + x2. x1 + x2. x2

= x1. x1 + 0 + 0 + x2. x2 = Ex1 + Ex2

. למשפחות שונות של אותות מאונכיםתלמשפט זה יש מספר וריאציו. המשפט האחרון נקרא משפט פרסוול

1

אותות ומערכות

:2הרצאה מס

אפיונים שונים של מערכות

נושאי ההרצאה, )ב"מלק(אריות קבועות בזמן ימערכות לינ, מערכות קבועות בזמן, אריותימערכות לינ: איפיונים ותכונות של מערכות

.רציפותומערכות מערכות בדידות ,מערכות סיבתיות, מערכות יציבות

דותבדימערכות , מערכות רציפות

היא מערכת הפועלת המערכת בדיד. ףימערכת רציפה היא מערכת הפועלת על אות כניסה רציף ומפיקה אות מוצא רצ

ומפיקה מערכת רציפה מתוארת בעזרת פונקציה שפועלת על אות הכניסה . על אות כניסה בדיד ומפיקה אות מוצא בדיד

מכוון זה אך במקרה ציה שפועלת על אות הכניסה גם במקרה הבדיד המערכת מתוארת בעזרת פונק. את אות המוצא

. שאות הכניסה מוגדר בזמנים בדידים אי אפשר לבצע פעולות רציפות כגון גזירה ובמקומם נבצע פעולות של הפרשים

מערכות מרובות כניסות ויציאות

SISO) (Single Input - Single Outputמערכת בעלות כניסה אחת ויציאה אחת נקראת מערכת

MIMO) (Multi Input - Multi Output ומספר יציאות נקראת מערכת ותמערכת בעלות מספר כניס

SIMO) (Single Input - Multi Outputומספר יציאות נקראת מערכת מערכת בעלות כניסה אחת

MISO) (Multi Input - Single Outputויציאה אחת נקראת מערכת כניסות מערכת בעלות מספר

אריותירכות לינמע

. ותנאי ההומוגניות) הסופרפוזציה(תנאי החיבוריות : תנאיםמוגדרת כליניארית אם היא מקיימת שני SISOמערכת

תנאי החיבוריות אומר שתגובת המערכת לסכום של כל שני אותות הוא סכום התגובות של המערכת לכל אחד

לכל אות כניסה המוכפל בסקלר היא התגובות של המערכת ת אומר שתגובת המערכתותנאי ההומוגני. מהאותות בנפרד

כל מערכת מעשית תקרוס עבור אות ,ראוי לציין שבטבע אין מערכות ליניאריות. לאות המקורי מוכפלת באותו סקלר

תנות לתיאור טוב בתחום רחב של אותות כניסה בעזרת מודל יהרבה מאוד מערכות נ, למרות זאת. כניסה גדול מידי

.קורס זה מתמקד במערכות ליניאריות. ליניארי

:הגדרה מתמטית

:(a, b) זוג סקלריםכלו) x1, x2( שמתארת אותה מקיימת עבור כל זוג אותות f אם הפונקציה תמערכת היא ליניארי

f[ax1(t)+bx2(t)]= af [x1(t)]+bf [x2(t)]

2

:דוגמאות

.2y(t)=x(t): תמערכת לא ליניארי) 1

.y(t)= t x(t): תמערכת ליניארי) 2

.2 =x (dy/dt): תמערכת לא ליניארי) 3

.d2y/dt2+3 dy/dt+7y = 5 dx/dt+2x: ) י התחלה אפסיעבור תנא (תמערכת ליניארי) 4

: תמערכת ליניארי) 52 2

2 2

( , )x yx yψ ψ ρ

ε∂ ∂

+ = −∂ ∂

.

.y(n)- 0.5 y(n-1)=x(n) בדידה תמערכת ליניארי) 6

.ליניארית מערכת הואדוגם ) 7

: ותהער

נת בעזרת משוואה דיפרנציאלית יהמערכת מאופי. בקורסליניאריתהת ומערכה של הסטנדרטית היא הצורה 4ה מדוג

.2 בדוגמה זו הוא n .n מסדר ליניארית

בקורס לא נטפל במערכות .פרנציאליות חלקיותי שמתוארת בעזרת משוואות דליניארית היא דוגמה למערכת 5דוגמה

.אלו

סה יבין אות כנ קונוולוציה בפרט הראה שפעולת ה.הפעולות שהגדרנו אם הן פעולות ליניאריותבדוק עבור כל : תרגיל

x1 ליניאריתהיא פעולה כלשהו לאות אחר קבוע.

.מת את תנאי החיבוריות ותנאי ההומוגניות לכל אחת מהיציאותימקיליניארית אם היא מערכת היא MIMOמערכת

צירוף של אותות אות כניסה בנוי מ. בה יותר מאשר במערכת בעלת כניסה אחתחרההגדרה של אות כניסה במקרה זה

x1(t) =[xa(t),xb(t)] אות כניסה יהיה מהצורה b וaי כניסות ת במערכת בעלת ש,למשל. שנכנסים לכול הכניסות

) או לא סטציונריותמשתנות בזמן(סטציונריות מערכות קבועות בזמן

היא האות המתקבל כתגובה ) או מקדים(תגובת המערכת לכל אות כניסה מושהה מערכת מוגדרת כקבועה בזמן אם

סטציונריות אם ורק אם מערכת היא , כלומר.שווה להשהיה של אות הכניסההבמידה ) םמקדי(שהה ו מ,לאות המקורי

, בועות בזמןראוי לציין שבטבע אין מערכות ק .תגובתה לכניסה תלויה רק בצורת הכניסה ולא בזמן שהכניסה מופעלת

הרבה מאוד מערכות ניתנות לתיאור טוב , למרות זאת. כל מערכת מעשית מתיישנת ומשנה את תכונותיה במשך הזמן

רכות משתנות בזמן המתקבלות עקורס זה מתמקד במערכות קבועות בזמן אך נטפל גם במ. בעזרת מודל קבוע בזמן

. התקשורתבות מרובה בתחוםילמערכות אלה יש חש. ממכפלה של אותות

:הגדרה מתמטית

:את התנאי הבא Tה יולכל זמן השהx(t) מערכת היא קבועה בזמן אם היא מקיימת לכל אות כניסה

y(t)=f (x(t))

y(t-T)=f (x(t-T))

3

t אם הזמן .משתנה בזמןאו בזמן קבועה מערכת אם הfשל הפונקציה שום המתמטי י הראפשר לזהות מידית מתוך

tבמערכות קבועות בזמן הזמן . אז המערכת משתנה בזמןמתארת את המערכתש fפונקציה מופיע כגורם עצמאי ב

)הכניסה אות של ואינטגרלים או בנגזרות x(t) רק דרך אות הכניסה fמופיע ב )( ) , t dx tx d

dtτ τ

−∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫.

:דוגמאות

.2y(t)=x(t): מערכת קבועה בזמן

.d2y/dt2+3 dy/dt+7y = 5 dx/dt+2x: מערכת קבועה בזמן

.y(t)= t x(t): מערכת משתנה בזמן

.2y(n)=x(n): מערכת בדידה קבועה בזמן

.y(n)= n x(n): מערכת בדידה משתנה בזמן

.דוגם זה מערכת לא קבועה בזמן מכוון שבזמנים מסוימים המערכת מתחשבת בערכי הכניסה ובזמנים אחרים לא

קבועות בזמן אריותימערכות לינ

מן מקובל למערכות אלה יס. אריות וגם קבועות בזמן הן מערכות בעלות חשיבות מיוחדת בהנדסהי גם לינןשהמערכות

. אלהת הקורס הנוכחי ברובו מוקדש למערכו.ב"מלקמערכות אפשר להתיחס לרוב הרשתות הפסיביות כ .ב"מלקהוא

אנטי סיבתיותמערכות , )קוזאליות (מערכות סיבתיות

, כלומר. המוצא בכל רגע מושפע רק מערכי הכניסה שנכנסו למערכת עד אותו הרגעמערכת היא סיבתית אם אות

פרט (כל המערכות הנורמליות בטבע הן מערכות סיבתיות . המוצא במערכת סיבתית לא מושפע מאותות כניסה עתידיים

בהירות , למשל. תמערכות בהן האותות תלויים במרחב יכולות להיות לא סיבתיו, למרות הנאמר ).למערכות קוונטיות

במקרה . יקטישל נקודה כלשהי הנמצאת על מישור המוקד של עדשה תלוי בעוצמת האור בנקודות שונות במישור האוב

,כמו כן. נובע מכך מבחינה מתמטית שהמערכת לא סיבתית. זה נקודות משמאל ומימין לנקודה משפיעות במידה שווה

הבמקרה זה כל האינפורמציה על האות ידוע. סננים לא סיבתייםבעזרת מה טלאחר הקלים יזמנאפשר לעבד אותות

בעזרת מסנן כזה אפשר לקבל תוצאות טובות יותר . אינפורמציה עתידיתבעזרת גם אפשר לסנן את האות לכן מראש ו

מסננים נניםכשלעיתים כאשר מתהיא סיבה אחרונה לטיפול במערכות לא סיבתיות .מסנן סיבתישמתקבלים מ אלומ

בדיקה האם . המסנן שמתקבל יכול להיות סיבתי או לא סיבתי .ם לדרישות מסוימות מתקבל באופן תיאורטי מסנןבהתא

.מסנןאת ה ניתן לממש המסנן סיבתי תקבע האם

:רישום מתמטי

y(t)=f(x(τ)) τ≤t

א לא ברור שמערכת כזו הי. מערכת בה אות המוצא מושפע רק מערכי כניסה עתידיים זו תאנטי סיבתי מערכת

ולמערכת אנטי אך במקרים מסוימים נוח לנתח מערכות לא סיבתיות בעזרת פרוק המערכת למערכת סיבתיתתפיזיקלי

סיבתית

4

:דוגמאות

1 (y(t)= x(-t)לא סיבתי .

2 (y(t)= x(t+1)לא סיבתי .

3 (ττ dxtyt

∫∞−

= . סיבתי)()(

4 (ττ dxtyt∫∞

= . אנטי סיבתי)()(

מערכות דינמיות, )ללא זכרון (ותמערכות סטטי

אם היא דינמיותמערכת מוגדרת כ. מערכת מוגדרת כסטטית אם יציאתה בכל זמן תלויה רק בערך הכניסה באותו רגע

לא סטטית

:דוגמאות

1 (y(t)= x(-t)לא סטטי .

2 (ττ dxtyt

∫∞−

= ).דינמי( לא סטטי )()(

4 (2y(t)= x(t) + x(t)סטטי .

בותמערכות יצי

ההגדרה שנאמץ בקורס זה אומרת שמערכת יציבה אם . ליציבות של מערכות יש מגוון הגדרות שלא תמיד מתלכדות

.התגובה שלה לכל אות מבוא חסום היא אות חסום

.bibo (bounded input bounded input output) :השם המקובל ליציבות זו הוא

:דוגמאות

1 (y(t)= x(-t)יציב .

2 (ττ dxtyt

∫∞−

= . y(t)=t מתקבל האות המתבדר x(t)=1עבור אות הכניסה החסום . לא יציב)()(

3 (dtdxty . עבור אות מדרגה מתקבל אות הלם שהוא אות לא חסום. לא יציב)(=

מערכות מפולגות, מערכות מקובצות

רגילות נקראות מערכות מקובצות ) תפרנציאליואו אינטגרליות די (תמערכות המתוארות בעזרת משוואות דיפרנציאליו

Lumped parameter systems .

חלקיות נקראות מערכות מפולגותתמערכות המתוארות בעזרת משוואות דיפרנציאליו

Distributed parameter systems.

5

:דוגמאות

1 (v(t)= iR+Ldi/dtמערכות מקובצות .

2 (ψ= −∇Eת מערכות מפולגו.

מערכות אקטיביות, פסיביותמערכות

נגדים קבלים וסלילים חיוביים. מערכות פסיביות שכל המרכיבים שלה הם צורכי אנרגיה או אוגרי אנרגיה היא מערכת

.ליניאריים וקבועים בזמן הם רכיבים פסיביים

ים קבלים וסלילים שליליים נגד, מגברים, מקורות מתח. אקטיביתמערכת שכוללת רכיבים מספקי אנרגיה היא מערכת

.יםאקטיבי רכיבים יכולים להיות) פרמטריים(סלילים וקבלים משתנים בזמן וכן

:הגדרת רכיב פסיבי

אבל אינו יכול ליצור ) מאבשדה מגנטי או חשמלי לדוג(אנרגיה ומפזר אותה בחום או צובר אותה ) מקבל(רכיב שקולט

:ם את התנאיכלומר רכיב המקיי. יותר אנרגיה ממה שקיבל

∫∞−

∀≥=t

tdPtE 0)()( ττ

)inverse systems(ומערכות הפוכות , )invertibility(מערכות הפיכות

צור מערכת יאם מערכת היא הפיכה ניתן ל .נקבל אות מוצא שונה שונה לכל אות כניסה נקראת הפיכה אםמערכת

מערכת . סה של המערכת המקוריתיות הכנצא המערכת המקורית את אושתפיק עבור אות כניסה שמתקבל ממהפוכה

.היא מערכת היחידה בה המוצא זהה לכניסהשמורכבת מחיבור טורי של מערכת והמערכת ההפוכה לה

אי אפשר ליצור מערכת אם שני אותות כניסה יוצרים אותו אות מוצא אי אפשר לדעת לפי המוצא מי אות הכניסה ולכן

.הפוכה

:דוגמאות

)המערכת - ) ( )y t ax t b= 1 : היא מערכת הפיכה והמערכת ההפוכה היא+ ( )( ) x t by ta

− −נפעיל את אם . =

:המערכת ההפוכה על מוצא המערכת המקורית נקבל את האות המקורי

1 ( ) ( ( ) )( ) ( )y t b ax t b by t x ta a

− − + −= = =.

)2המערכת - ) ( )y t x t=למשל. ה שונים שמפיקים אותו אות מוצא שני אותות כניסם לא הפיכה מכוון שקיימי,

1האותות 2( ) 1, 1x t x= = . יגרמו לאותו אות מוצא−

אותות ומערכות

:3הרצאה מס

ואינטגרל הקונבלוציהתכונות של מערכות ליניאריות קבועות בזמן

נושאי ההרצאה .ב"תכונות של מלק

קבועות בזמןליניאריותתכונות של מערכות

. עיקריותי סיבותתההתמקדות במערכות אלו נובעת מש. ב"לק קובצותמערכות מיחס ליעיקר הקורס מת: הערה

רוב המעגלים החשמליים שנלמדים : למשל. בהנדסה וכוללות תחומים חשובים ביותרכות כאלו נפוצות מאודמער) א

מעגלים לא כן ו,מעגלי בקרהמסננים ו, יםע כגון מנוםימכני-מעגלים הכוללים רכיבים אלקטרו, בקורס חשמל

.נים כניסה קטתו כאשר הם מנותחים עבור אותםליניאריי

ולרוב המערכות הלא לרוב המערכות המשתנות בזמן. כוללת לניתוח גישה מתמטית ישעבור מערכות אלו ) ב

. אין תיאורית טיפול כוללת ולרוב המקרים מסתפקים בקירובים שונים ובשיטות נומריותליניאריות

: סוגיםלשה משב"מלקבקורס זה נתיחס למערכות

.ריתליניאמערכות שאפשר להציג בעזרת משוואה דיפרנציאלית ) א

.n מסדר ליניאריתמערכות בדידות שאפשר להציג בעזרת משוואת הפרשים ) ב

. מערכות שמבצעות השהייה של אות הכניסה וכן מערכות שמבצעות קומבינציה ליניארית של השהיות כאלה) ג

.מערכות שמתוארות בעזרת משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא יטופלו בקורס, מערכות מפולגות) ד

בעזרת . אותןין יביטוי שמאפ קבל היא שאפשר בעזרת ניסוי בודד לב"מלקשל והיחודיות חשובותהתכונות האחת

ין ילאפלא נוכל ,למשל. ב"מלק לתיחודיותכונות אלו הן ותונכת. כניסהלכלהביטוי אפשר לחשב את תגובת המערכת

לא הניסוי ת המערכת רק ברגע ביצוע הניסוי וין איאפמ י וזאת מכוון שהניסו בודדמערכת משתנה בזמן בעזרת ניסוי

,קריותיהעשיטות הי תש אנו נטפל ב.ב"מלקמספר שיטות לאפיון יש . שוב תגובת המערכת בזמנים אחריםייועיל לח

. יתתדירותהתגובה האחת בעזרת תגובה להלם ואחת בעזרת

י י מערכת ליניארית בתנאי שתנא היאתדיפרנציאלית ליניארי משוואותשמתוארת בעזרת מערכת : הערה חשובה

כפי ."zsr)(תגובה למצב אפס "תגובת המערכת לכניסה במקרה זה נקראת . ההתחלה אפסיים ולמערכת כניסה יחידה

ההתחלה לא אפסיים יש יבמידה ותנאי. שנראה בהמשך הפרק אפשר לחשב תגובה זו בעזרת אינטגרל הקונבלוצייה

הפתרון המתקבל ".(zir)תגובה לכניסה אפס " תגובה זו נקראת . י ההתחלהיאלהוסיף לפתרון את תגובת המערכת לתנ

ההפרש בין כל . פרטי שונהפתרון תנאי התחלה לכלעבור אותו אות כניסה נקבל . פרטיפתרון מחיבור התגובות נקרא

2

כת בעזרת אפשר לחשב את תגובת המער,עקב זאת. ים כאלה הוא פיתרון הומוגני של המערכתישני פתרונות פרט

באופן צורני פתרון ידוע, כלומר .כלליהומוגני פתרון ו) התגובה למצב אפס אקוולאו ד(פרטי כלשהו פתרון בור של יח

ההומוגני מחושבים בעזרת השוואת מקדמים בזמן פתרון בגישה זו הפרמטרים של ה. אך בעל פרמטרים לא ידועים

א במקרים רבים קל למצו,ומת זאתעל. מסובךzsr) (שוב של גישה זו במקרים רבים יותר פשוטה מכוון שהחי. אפס

. (ssr) לפתרון זה אנו קוראים תגובת המצב המתמיד. י מציאת הפתרון לאחר דעיכת הפתרון ההומגני"פתרון פרטי ע

כניסות מספר ניסה לכהאות י פירוק " היא שאפשר לחשב את התגובה לכניסה נתונה עב"מלק של בסיסיתתכונה

ם יים כלליישובים וכן לקבל ביטויבדרך זו אפשר לפשט ח. בור התגובות לכניסות השונותיי ח"אות המוצע עוחישוב

.לתגובת המערכת

ב בעזרת פירוק אות הכניסה לפולסים "תגובת מלק לששוב מקורב יח

ת הכניסה התהליך מתבסס על פרוק או. לכל כניסהב "של מלקפשר לחשב באופן מקורב בדיוק רצוי את התגובה א

.י חיבור אותות התגובה"עהכוללת שוב התגובה י וחיםפולסאחד מהשוב תגובת המערכת לכל י ח.לאוסף של פולסים

.כל פולס מוזז בזמן שהוא כפולה של משך הפולסכאשר פולסים אוסף של אות הכניסה מפורק ל ,בהתאם לשיטה

, צר יותריםול שרוחב הפולסככ. הפולסאמצע זמן בהכניסה שווה לאמפליטודת אות כזה של כל פולס ודה טהאמפלי

:של הפירוק הוא מתמטיהרישום ה . קטן יותרהמקורי והאות המקורבההבדל בין האותות

( ) ( ) ( ) ( )Tn

tx t x t x nT nTT

+∞

=−∞

≅ = Π −∑

בים י שמרכים הפולסאוסףבציור מתואר אות יחד עם האות המקורב וכן :הבאגרפי הר את הפירוק באופן אתאפשר ל

. המקורבאת אות הכניסה

3

x(t) t -4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T

( 4 ) ( ( 4) )tx T TT

− Π − −

t

( 3 ) ( ( 3) )tx T TT

− Π − − t

( 2 ) ( ( 2) )tx T TT

− Π − − t

( 1 ) ( ( 1) )tx T TT

− Π − −

t

(0) ( )txT

Π

t

( ) ( )tx T TT

Π −

t

(2 ) ( 2 )tx T TT

Π −

t

(3 ) ( 3 )tx T TT

Π − t

(4 ) ( 4 )tx T TT

Π − t

( ) ( )n

tx nT nTT

+∞

=−∞

Π −∑

t

4

את . Tברוחב ו בגודל יחידהא את תגובת המערכת לפולס בודדוניסה לפולסים יש צורך למצכהאות רוק ילאחר פ

.hT(t)ב נסמן את התגובה .התגובה לפולס הבודד אפשר לקבל מניסוי או בעזרת חישוב

התגובה וקבועה בזמן ליניאריתכוון שהמערכת . אר הפולסיםלאחר מציאת התגובה הבודדת יש לחשב את התגובה לש

גודל כל אחד מאותות , אך. ניסה בגודל יחידהכ עבור פולס נואמצשלתגובה בצורתה זההאחד מהפולסים האחרים לכל

ת יחסימוזזיהיה כל אחד מאותות התגובה ,בנוסף לכך . הרלוונטי פולס הכניסהפרופורציונלי לגודלהנוספים התגובה

.בהתאם לתזוזה של פולס הכניסה hT(t)ל

:הואמתקבל המוצא שאות של הרישום המתמטי

T( ) ( )h ( )Tn

y t x nT t nT+∞

=−∞

≅ −∑

ים יחידות יש צורך לכפול את הצד הימני של תאכדי לה. המשוואה האחרונה לא מתואמת מבחינת יחידות: הערה

:כלומר. המשוואה בהופכי של יחידות אות הכניסה

[ ] T1( ) ( )h ( )T

n

y t x nT t nTx

+∞

=−∞

≅ −∑

וכן אוסף ) hT(t)(יחידה בגודל התגובה לפולס בציור מתואר אות .תגרפי צורה את התהליך בהמחישאפשר ל

מתואר בציור אות המוצא ,בנוסף לכך. מהדוגמא הקודמתאת אות הכניסהבקירוב בים ישמרכלפולסים תגובותה

. תגובה שהתקבלואותות השל המקורב שמתקבל מסיכום

5

קונבלוציהאינטגרל ה. להלמיםב בעזרת פירוק אות הכניסה "תגובת מלק לש מדויקשוב יח

ל ככ. לפולסיםכניסה כניסה בעזרת פירוק הלכלב "בסעיף הקודם הצגנו גישה מקורבת לחישוב תגובת מלק

במקרה זה . ר רוחב הפולס ישאף לאפסדיוק מלא יתקבל כאש. שהפולסים יהיו צרים יותר החישוב יהיה יותר מדויק

ם התגובה להלם של ע של אות הכניסה קונבלוציההפולס הופך להלם והמוצא מתקבלת מ. הסכום הופך לאינטגרל

.המערכת

hT(t) t -4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T

( 4 ) ( ( 4) )Tx T h t T− − −

t ( 3 ) ( ( 3) )Tx T h t T− − −

t

( 2 ) ( ( 2) )Tx T h t T− − − t

( ) ( ( 1) )Tx T h t T− − −

t (0) ( )Tx h t

t ( ) ( )Tx T h t T−

t (2 ) ( 2 )Tx T h t T−

t (3 ) ( 3 )Tx T h t T−

t

(4 ) ( 4 )Tx T h t T− t

( ) ( )Tn

x nT h t nT+∞

=−∞

−∑

t

6

:קונבלוציהפיתוח אינטגרל ה

,כאמור}

T( ) ( ) ( )h ( )ה

Tn

y t y t x nT t nT+∞

=−∞

≅ = :כלומר. שואף לאפסTים כאשר יויון מתקווש ∑−

{ } T0 0

T T

0 0

( ) ( ) ( ) h ( )

h ( ) h ( )( ) ( ) ( )

( ) h ( ) * h

TnT T

nT T

y t y t x n T t n T

t n T tx n T T x d

T T

x t d x

lm s lm s

lm s lm s ττ τ

τ τ τ

+∞

= −∞⎯⎯→ ⎯⎯→

+∞+∞

= −∞⎯⎯→ ⎯⎯→= −∞

+∞

= −∞

= = − =

− −= =

= − =

∑

∑ ∫

∫

:כאשר

Ttt lms

T

)(h)(h T

0⎯→⎯

=

.הגבול האחרון קרוי התגובה להלם

. ומה מקור שמו מה משמעותו,המתבקשת היא האם הגבול האחרון קייםהשאלה

מכוון . T זה האות המתקבל במוצא המערכת כאשר הכניסה היא פולס בגובה יחידה ובמשך זמן hT(t)בהתאם להגדרה

, כלומר. לאות כניסה מוכפל באותו קבועת המערכתשל המוצא בקבוע שקולה לתגובפלה כ הליניאריתשהמערכת

hT(t)/T 1א פולס בגובה וכניסה האות המתקבל במוצא המערכת כאשר ש האות הוא/T ובמשך זמן T. כאשרT שואף

ות המוצא א למעשה או ה h(t), לכן.הלםלפונקצית שפולס הכניסה שואף נובע מכך. לאפס הפולס שואף לאות הלם

.א אות הלםוכאשר הכניסה למערכת ה

: לפי סכום רימןבהגדרת האינטגרלבמעבר מסידרה לאינטגרל השתמשנו : הערה

∑∫=⎯→⎯

=Tb

TanT

b

a

TnTfdf lms/

/0

)()( ττ

: בעזרת הציור הבאההגדרהאפשר להבין את

f(τ) a 0 T b τ

7

שואף לאפס השטחים T כאשר .של העמודותהאינטגרל מתאר את השטח תחת העקומה והסכום מתאר את השטח

. מתלכדים

.באינטגרל τ וdτב בסכום שמופיע (nT)ו T ,∫ב∑בהתאם להגדרה אנו מחליפים

:ותרעה

קרה זה במ. קונבלוציה בדידות אפשר לתאר את אות המוצא בעזרת פעולת הב"מלקאפשר להראות שגם עבור •

וה ואות ההלם במקרה הבדיד מוגדר כאות שש. סקרטית בין אות הכניסה לאות התגובה להלםי דקונבלוציהך לבצע יצר

. ושווה לאפס בשאר המקריםn=0לאחד כאשר

.את המשוואה בגורם תיקון יחידותלתיאום יחידות יש להכפיל . לא מתואמות קונבלוציהההיחידות באינטגרל •

)1 :מתקבל הואהביטוי המתואם ה ) * h[ ] s e c

y t xx

.מציין את היחידות של אות הכניסה] x[כאשר הגורם . =

קונבלוציהנות ממשפט הקמס

של התגובה קונבלוציה מחוברות בטור אפשר להמירם במערכת אחת שמתקבלת מב"מלקמספר מערכות כאשר )1

נובעת מתכונת ונה זו כ ת. את התגובהלא משנה שינוי סדר המערכות ,בנוסף לכך. להלם של כל המערכות הטוריות

.תן לשנות סדר של מערכותי באופן כללי לא נ.ב"מלקחודית ליי והיא קונבלוציההחילופיות של פעולת ה

:המחשה

:שימושים

) ל השהיות של האותותכול( ליניארית של אותות כאלה או קומבינציהu(t) r(t)כאשר אות הכניסה הוא מהמשפחה

ניתן לחשב את ,למשל. קונבלוציהאת הישירות מתוך התגובה להלם בלי לבצע אפשר לחשב את תגובת המערכת

. h(t)בעזרת אינטגרציה כפולה על r(t) התגובה ל

. וכניסה מחזוריתתוהרמוני הב לכניס"תגובת מלק) 2

בין אות הרמוני לאות אנרגטי היא אות הרמוני באותו וציהקונבלהוכחנו ש קונבלוציההפעולת בסעיף בו הגדרנו את

היחס בין גודל אות . באותו התדראות הרמונילכניסה הרמונית היא ב"מלקישירות שהתגובה של כל מכך נובע .התדר

: הואקונבלוציהבסעיף הדן בפעולת ההיציאה ואות הכניסה בהתאם לחישובים שביצענו

δ(t) h1(t) h(t)= h1(t)* h2(t) h1 h2 δ(t) h2(t) h(t)= h2(t)* h1(t) h2 h2

8

( ) * cos( ) ( ) cos( arg( ( )))

( ( ))( ) ( ) , (arg( ( )))( ( ))

j t

y t h A t A H t H

img HH h t e dt tg Hrel H

ω

ω θ ω ω θ ω

ωω ωω

∞−

−∞

= + = + +

= =∫

): רההע )h tהוא התגובה להלם ,( )H ωהם נקרא ינישמקשר בהאינטגרל נקרא פונקצית התמסורת התדירותית ו

) או אינטגרל פוריההתמרת פוריה ( )) ( ) j tF x t x t e dtω∞

−

−∞

= ∫.

ם בתדרים שהם כפולות ישל אותות הרמוניאם אות הכניסה הוא אות מחזורי לא הרמוני נוכל לבנות אותו מסכום

לכל אחד ת המערכת לחשב את תגובנוכל המערכת ליניאריותעקב . )תדר יסודי (שלמות של תדר האות המחזורי

שהתגובה של ,נובע מכך. שיתקבל יהיה בתדר של האות היסודיאות הסיכום . את התגובותמהאותות ההרמוניים ולחבר

.יא אות מחזורי באותו התדר לכניסה מחזורית הב"מלקכל

.כלשהי בעזרת התמרת פוריה הב לכניס"תגובת מלקחישוב ) 3

ת לחשב את תגוב נוכלאריות י עקב הלינ.יםי מסכום של אותות הרמונהכניסהאות במקרים רבים נוכל לבנות את

זו היא שיטה שיטה . את התגובותמהאותות ההרמוניים ולחבר לכל אחד חישוב תגובת המערכת י"המערכת ע

א ושה זו היבגמבחינתנו השלב החסר . קונבלוציהבלי לחשב לכניסה כלשהי ב"תגובה של מלקאלטרנטיבת לחישוב

יםי עבור אותות מחזור פוריהיינושא זה מטופל בעזרת טור. כניסהה אות שלים יבים ההרמונימציאת המרכשלב

. במקרה הכלליובעזרת אינטגרל פוריה

המערכת סיבתית אם ורק אם אות התגובה להלם הוא אות . ניתן לבדוק סיבתיות בעזרת התגובה להלם ב"מלקעבור ) 4

) וה לאפס בזמן שליליואות שש(סיבתי

שיטות שונות לחישוב התגובה להלם

.ב משני הסוגים שצוינו מקודם" זה נתיחס למלקבסעיף

התגובה להלם של מערכת שמבצעת , דומהבאופן. ה היא הלם מושההיהתגובה להלם של מערכת שמבצעת השהי

. של אותות כניסה מושהים היא אותה קומבינציה של הלמים מושהיםליניאריתקומבינציה

אפשר לחשב במספר n מסדר ליניארית להציג בעזרת משוואה דיפרנציאלית ניתןאת התגובה להלם של מערכות ש

:שיטות

. פולס והשאפת הפולס להלם חישוב תגובת המערכת לל ידיבצורה ישירה ע) א

. והשוואת מקדמיםתבעזרת ניחוש תגובה סטנדרטי) ב

.שיטה זו נוחה במיוחד במעגלים מסדר ראשון. וגזירת התוצאהמדרגה לת המערכתחישוב תגובעל ידי ) ג

שיטה זו תוסבר ותילמד בשלב . הפוכה של פונקצית התמסורת התדירותית של המערכתפוריהבעזרת התמרת ) ד

.אוחר יותר של הקורסמ

9

:אדוגמ

.מתח הקבל וכאשר המוצא מתח הנגד חשב את התגובה להלם כאשר המוצא הוא .נתון המעגל שבאיור

משוואההנוח לרשום את . של המעגלסטנדרטיתהפרנציאלית ידהמשוואה ה בשלושת השיטות הוא רישוםשלב ראשון

היגב אופרטורי של סליל . בהיגבים אופרטורייםבשיטה זו משתמשים . Dרת אופרטור הגזירה בצורה אופרטורית בעז

הגישות המקובלות לפתרון כלעזר ביבשיטה זו אפשר לה, כזכור. CD/1 והיגב אופרטורי של קבל הוא LDהוא

.לן ניתן לחבר היגבים בטור ובמקבי סופרפוזיציה וכ, זרמי חוגים,מתחי צמתים: כגון. מעגלים

. הנגד בעזרת משוואת מחלק מתחמתח אנו נרשום את משוואת מתח הקבל ו

11 1

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1( )

c in in

cc in c in

R in in

inRR in R

CDv v vRCR D

CD RCdvD v v v v

RC RC dt RC RC

R Dv v vR D

CD RCdvdvD v Dv v

RC dt RC dt

= =+ +

⎧ ⎫→ + = → + =⎨ ⎬⎩ ⎭

= =+ +

⎧ ⎫→ + = → + =⎨ ⎬⎩ ⎭

.הג את הפתרון ההומוגני ואת התגובה למדרתקלסילפני שניגש לחישוב התגובה להלם נחפש בדרך

)1 :המשוואה ההומוגנית בשני המקרים זהה ) 0D vRC

+ =

ktv, ננחש פתרון Ae= .האופיניתמשוואהנציב את הניחוש במשוואה ההומוגנית ונקבל את ה .

המשוואה האופינית

1 1 1 1( ) 0 ( ) 0 ( ) 0kt ktD Ae k Ae k kRC RC RC RC

+ = → + = → + = → = −1 44 2 4 43

t :ן נובע שהפתרון ההומוגני הואאמכ RCv Ae−=

+ vR - + R +

vin i C vc - -

10

מתח , עקב זאת. נתקמתנהג כבמצב המתמיד הקבל . ssr לחישוב התגובה למדרגה נחשב את הפתרון במצב המתמיד

}1v ל,כלומר. הנגד שווה לאפס ומתח הקבל שווה למתח הכניסה }( ) 0[ ], ( ) 1[ ]R R C Cv ssr v v ssr v∞ = = ∞ = = .

}1v מתח הקבל שווה לאפס ומתח הנגד שווה ל+0בזמן }(0 ) 1[ ], (0 ) 0[ ]R Cv v v v+ += = .

י ייה כזה שתנאהמקדם של הפתרון ההומוגני יה. ssrהתגובה למדרגה תתקבל מחיבור של הפתרון ההומוגני וה

}: הפתרון יהיה מהצורה. ויתקיימההתחלה בזמן אפס {{( (0) ( )) ( )} ( )t RC

ssr ssr

v v v e v u t−= − ∞ + ∞

} ,עבור מתח הקבל{{

{{

1 10

{( (0) ( )) ( )} ( ) {1 1 } ( )[ ]t RC t RCC C C C

ssr ssr

v v v e v u t e u t v− −= − ∞ + ∞ = −

} ,עבור מתח הנגד{{

{{

0 01

{( (0) ( )) ( )} ( ) 1 ( )[ ]t RC t RCR R R R

ssr ssr

v v v e v u t e u t v− −= − ∞ + ∞ =

ישיר פתרון ,ראשונההשיטה חישוב תגובה להלם ב

.ולס להלםנחשב את תגובת המעגל לפולס ונשאיף את הפ

. מתח הקבל בזמנים אלה שווה לאפס,ב זאתקע. אפס מתח הכניסה שווה לאפסלפני זמן זמן עבור כל

. הקבל נטעןזהבמשך זמן . }volt[vin=(1/T)[{ עולה לערך גבוה כניסהמתח ה Tעד אפס מזמן הפולס ממשך ב

לקבוע ס כדי לתאם יחידות נייח. וולטן ה במקרה שלנו היחידותsec-1 הם T/1 באופן רגיל היחידות של הביטויהערה

. היחידות של הביטוי האחרון הן וולטיםvin=(1[v sec]/T): נקבל. ]v sec[ של יחידות"1"

אפשר ,עקב זאת . זמן הפולס קטן בהרבה מקבוע הזמן של המעגלפים את זמן הפולס לאפס ולכןיאנו משא, כאמור

.יח שמתח הקבל קטן בהרבה ממתח הכניסה וכן ניתן להנליניאריתהיא להניח שהטעינה

i ≈ (1[v sec]/TR): לבקירוב שווה הפולסהזרם בזמן בהנחות אלה מתקבל ש

{ i=(vin-vc)/R≈ vin/R=(1/TR)[A] }

[v sec]1 שווה להקבלמתח וC

tvTRC

=

00 0 0

1[v sec] 1[v sec] 1 1[v sec] 1[v sec] 1[v sec]( )t t t t

Ctv i d d d

C C TR TRC TRC TRCτ τ τ τ τ= = = = =∫ ∫ ∫

.יתבלנו שמתח הקבל בזמן הפולס עולה ליניאריק

[v sec]1 .מתח הקבל בסוף הפולסנחשב את 1[v sec]( )CTv T

TRC RC= המתח שהתקבל הוא גודל קבוע והוא לא תלוי . =

.במשך הפולס

. הן יחידות של זמןRC מתח וזאת מכוון שהיחידות של ן היחידות של התוצאה ההערה

11

פתרוןפריקה היא הנוסחה של הנוסחת ה. במשך הזמן מסוף הפולס והלאה מתח הכניסה שווה לאפס והקבל מתפרק

). ההומוגני של המעגל ) / ( ) /1[v sec]( ) ( ) t T RC t T RCC Cv t v T e e

RC− − − −= =

מסמן שהיציאה היא מתח Cאינדקס . (hTCתגובה זו היא האות שסימנו ב . בציור מתואר תגובת המערכת לפולס צר

לגודל הקבל קפיצה מידית של מתח נקבל במקרה זה . את התגובה להלם לאפס נקבל Tכעת אם נשאיף את ) .הקבל

RC/1 לאפסקספוננציאליתאירידה נקבל ,ולאחר זאת .

)[v sec]1/ :הואלתגובה להלם הביטוי הסופי המתקבל ) ( )t RCCh t e u t

RC−=

את התגובה להלם של מתח הנגד נחשב בעזרת מתח הקבל שחישבנו

/1[v sec]( )[ ] ( )t RCR R in ch v v v t v e u t

RCδ −= = − = −

.הלם עבור יציאה מתח הקבל ועבור היציאה מתח הנגדבציור מתוארת התגובה ל

ת מקדמיםוואהשסטנדרטי ו פתרוןניחוש ,הניישהשיטה חישוב תגובה להלם ב

תגובת המערכת להלם , מכוון שאות ההלם שווה לאפס בכל זמן פרט לאפס .ם שהמערכת סיבתיתיבשיטה זו מניח

בזמן . ים תגובת המערכת שווה לאפסי עבור זמנים שליל.הומוגני של המערכת פתרוןווה לבזמנים גדולים מאפס ש

nההומוגני של מערכת מסדר פתרוןה. גזרות של הלםייל הלם וכן נכולה להכתגובת המערכת י )t=0(ההלם בכניסה

את הקבועים הספציפיים המתקבלים מהכנסת הלם למערכת אנו מוצאים בעזרת השוואת מקדמים . קבועיםnתלוי ב

בשיטה זו ,לסיכום. הם מוצאים בעזרת השוואת מקדמיםי גם את המקדמים של ההלמים וניגזרות,בנוסף לכך. t=0בזמן

:מהצורה סטנדרטי פתרוןמניחים

hTC 1[v sec]/RC T t hC 1[v sec]/RC t

hC 1[v sec]/RC t hR 1[V]δ(t) t -1[v sec]/RC

12

'1 1( ) ( ) ( ) ( ) hh t Ay u t A T A Tδ δ= + + + L

. הוא פתרון הומוגני של המערכתyhכאשר

פתרוןת המציבים אכעת . שוניםn Ai נחוצים nבמערכת מסדר , כלומר . הנחוצים נקבע לפי סדר המעגלAiהמספר

.ומחלצים משוואות למציאת המקדמים השונים במשוואת המערכת הסטנדרטי

:דוגמה

.שוב התגובה להלם עבור המעגל הקודםיח

:הניחוש הסטנדרטי יהיה, לכן. A1סטנדרטי יכיל רק את הפתרוןה) מסדר ראשון למעג(עבור המעגל שלנו /

1{ ( ) ( )}[ ]t RCh Ae u t A t vδ−= +

. הוא הלםכניסהחוש במשוואת מתח הקבל כאשר מתח הילמציאת התגובה להלם של מתח הקבל נציב את הנ

/1

1 1( )

1 1( ) ( )

1 1( ){ ( ) ( )}[ ] ( )[ ]

c in

c

t RC

D v vRC RC

D h tRC RC

D Ae u t A t v t vRC RC

δ

δ δ−

+ =

→ + =

→ + + =

/ ( )t RCA e u tRC

−→ − / 1 ' 1 /1[ ] ( )[ sec ] ( )[ sec ] ( )t RC t RCAv Ae t v A t v e u t

RCδ δ− − − −+ + +

{/

1

/ 1 ' 111

0 1

1 ' 111

1

/

1[ ] ( )[ ] ( )[ ]

1{ [sec ] } ( )[ ] ( )[ sec ] ( )[ ]

1{ [sec ] } ( )[ ] ( )[ sec ] ( )[ ]

10, [sec]

1[ sec] ( )

t RC

t RC

t e

t RCC

Av t v t vRC RC

AA e t v A t v t vRC RC

AA t v A t v t vRC RC

A ARC

vh e u tRC

δ δ

δ δ δ

δ δ δ

−

− − −

= → =

− −

−

+ =

→ + + =

→ + + =

→ = =

→ =

. תוצאה כמו בשיטה הראשונהבלנו אותהיק

אומר שאפשר טהמשפ. ההצבהטמשתמשים במשפהלם אנו אות בכלשהו אותבמקומות בהם יש מכפלה של : הערה

f(t)δ(t)= f(0)δ(t) : ההצבה אומרטמשפ ,כלומר. בזמן ההלםלהחליף את האות שבמכפלה בערך האות

ההבדלים הם רק בחלק . גף השמאלי נישאר ללא שינויהא. תגובה להלם של מתח הנגד נבצע אותו תהליךלמציאת

. לכניסהסשמתייח

13

/1

1 ' 1 ' 111

1

/

1( )

1( ) ( )

1( ){ ( ) ( )}[ ] ( )[ ]

{ [sec ] } ( )[ ] ( )[ sec ] ( )[ sec ]

11, [sec]

1[ sec]( )[ ] ( )

R in

R

t RC

t RCR

D v DvRC

D h D tRC

D Ae u t A t v D t vRC

AA t v A t v t vRC

A ARCvh t v e u tRC

δ

δ δ

δ δ δ

δ

−

− − −

−

+ =

→ + =

→ + + =

→ + + =

→ = = −

→ = −

.בלנו אותה תוצאה כמו בשיטה הראשונהיק

למדרגה וגזירת התוצאההתגובה חישוב ,לישיתשהשיטה חישוב תגובה להלם ב

ם נכניס למערכת מדרגה וגוזר נקבל א. ב אפשר להחליף סדר פעולות"השיטה מתבססת על העובדה שבמערכות לק

. אם נחליף את מקום הגוזר נקבל ביציאה את אותו האות,כעת. מערכת שבמבואותיה הלם ובמוצאה התגובה להלם

. תגובה זו מתקבלת מגזירת התגובה למדרגה.התגובה להלםאת ,כלומר

,גוזר משנה יחידות לכן. h אותות כניסה למערכת ןהתי להיות זהות מכוון ששיבותיחδ(t) וu(t)היחידות של : הערה

באופן דומה כאשר נרצה לחשב את תגובת sec .גורם כפל במגוזר לכדי לשמור על תיאום יחידות צריך להוסיף

sec-1 .גרציה של אות ההלם יש צורך לכפול כל אינטגרטור בטהמערכת לאותות שמתקבלים מאינ

:בלנו את התגובות הבאותיו מקודם את תגובות המעגל למדרגה וקחישבנ

1} ,עבור מתח הקבל 1 } ( )[ ]t RCcv e u t v−= −

) ,עבור מתח הנגד )[ ]t RCRv e u t v−=

.י גזירת הביטויים האחרונים"כעת נקבל את התגובה להלם ע

:עבור הקבל

u(t) δ(t) h(t) 1[sec] D h u(t) y(t) h(t) h 1[sec] D

14

0

0

' '

1

1 1

[sec] [sec] {1 1 } ( )[ ] [ sec]{(1 1 ) ( ) (1 1 ) ( ) }

[ sec] 1( ) [ sec]{1 1 } ( )[sec ] ( )[ sec]RC

t RCt RC t RCc

C

t RC t RC t RC

e

dv d e u t vh v e u t e u tdt dt

v e u t v e t e u t vRC RC

δ−

−− −

− − − −

−

−= = = − + −

+ − =

1 4 2 43

1 4 2 4 3

:עבור הנגד

0

1

' '

1

[sec] [sec] { ( )[ ]} {( ) ( ) ( ) ( ) }[ sec]

1 1[ sec]{ ( ) { } ( )[sec ]}[ sec] ( )[ ] ( )RC

t RCt RC t RCR

R

t RC t RC t RC

e

dv d e u t vh e u t e u t vdt dt

ve u t e t v t v e u tRC RC

δ δ−

−− −

− − − −

= = = + =

− + = −

1 2 3

1 2 3

. אותם ביטויים כמו בשיטות הקודמותבלנוקי

f(t)δ(t)= f(0)δ(t) : ההצבהטמשפנו על סגם כאן התבס: הערה

של פונקצית לפלס הפוכה התמרתאו יה הפוכה יבעזרת התמרת פור, חישוב תגובה להלם בשיטה הרביעית

.התמסורת של המערכת

. שלב ראשון צריך לחשב את פונקצית התמסורת למתח הקבל. ל מתח הקבלבשיטה זו נחשב רק את התגובה להלם ש

את . לחישוב פונקצית התמסורת נבצע התמרה פאזורית של המשוואה הדיפרנציאלית הסטנדרטית של מתח הקבל

:משוואת מתח הקבל חישבנו מקודם

1 1( ) c inD v vRC RC

+ =

פוריה זהה להתמרתפאזוריתההתמרה (jω בD אופרטור הגזירה י החלפה של"ענבצע התמרה פאזורית של המשוואה

.)jω בDבשני המקרים מחליפים את אופרטור הגזירה

( )

1 1( )

11

1 1

c in

c

in

j V VRC RC

V RCHV j RCj

RC

ω

ωωω

+ =

→ = = =++

:יה ההפוכה לביטוי שקיבלנוית נחשב את התמרת פורעכ

( ){ }

( )

1 1 1( )1

1 1 12 2 1

j t j t

h t F H Fj RC

H e d e dj RC

ω ω

ωω

ω ω ωπ π ω

− −

∞ ∞− −

−∞ −∞

⎧ ⎫= = ⎨ ⎬+⎩ ⎭

= = =+∫ ∫

15

זה לא נחשב את שלבב. קציות המרוכבותאת האינטגרל האחרון אפשר לחשב בעזרת משפט השארית של הפונ

. הדרך המעשית למציאת ההתמרה ההפוכה היא בעזרת שימוש בטבלאות. האינטגרל

:לפי טבלה

{ } 1( )tF e u tj

α

ω α− ⎧ ⎫

= ⎨ ⎬+⎩ ⎭

: נובע מכך

{1 1 11 1 1 1 1( )

1 1/ 1/

1 ( )t RC

h t F F Fj RC RC j RC RC j RC

e u tRC

α

ω ω ω− − −

−

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪= = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + +⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎩ ⎭

כמעט זהה אפשר לעבוד בעזרת התמרת לפלסבאופן

( ) ( ) ( )

{1 1

1 1 1 1 1 1( ) 1

1 1 1 1( )1/ 1/

1 ( )

cc in c in

in

t RC

VD v v s V s V s H sRC RC RC RC V RC s

RC

h t L LRC s RC RC j RC

e u tRC

α

ω− −

−

⎛ ⎞+ = ⇒ + = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ +

⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

+ +⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

קונבלוציהובת מערכת לכניסות שונות בעזרת אינטגרל החישוב תג

ישירות בעזרת אינטגרציה על התגובה להלם ו ,י שיטותתו בששעי החישובים י.נחשב את תגובת המעגל לכניסות שונות

.קונבלוציהבעזרת אינטגרל ה

.שיפועלמתח הקבל ומתח הנגד למדרגה ותגובת נחשב תחילה את

. yc(u)(t): מדרגה בנסמן את תגובת מתח הקבל ל

. yc(r)(t): נסמן את תגובת מתח הקבל לשיפוע ב

. yR(u)(t): נסמן את תגובת מתח הנגד למדרגה ב

. yR(r)(t): נסמן את תגובת מתח הנגד לשיפוע ב

.sec-1 לחישוב התגובה למדרגה היא בעזרת אינטגרציה של התגובה להלם והכפלה בגורם דרך ראשונה

16

1 1( )

0

1[ sec]( ) [sec ] ( ) ( ) [sec ] ( ) ( )

1[ ] ( ) 1[ ] ( )( )

t tRC

C u C

tRC

vy t h d e u t dRC

v u t v u te dRC RC

τ

τ

τ τ τ

τ

− − −

−∞ −∞

−

= = =

=

∫ ∫

∫ ( RC−0

)

(1 ) ( )[ ]

tRC

t RC

e

e u t v

τ−

−

=

= −

].sec-1[ לחישוב התגובה לשיפוע היא בעזרת אינטגרציה של התגובה למדרגה והכפלה בגורם דרך ראשונה

1 1( ) ( )

1 1

00

1 1

( ) [sec ] ( ) ( ) [sec ] (1 ) ( )[ ] ( )

1[ sec ] ( ) (1 ) ( ) 1[ sec ] ( ){ }

1[ sec ] ( ){ ( 1)} ( )[ ] ( 1) ( )[ sec ]

t tRC

C r C u

t tRC RC

t RC t RC

y t y d e u v d

v u t e d v u t RCe

v u t t RC e r t v RC e u t v

τ

τ τ

τ τ τ τ

τ τ

− − −

−∞ −∞

− − − −

− − − −

= = − =

− = + =

= + − = + −

∫ ∫

∫

נחשב באופן ישיר את תגובת מתח ,למרות זאת. vR=vin-vcאת התגובה של מתח הקבל ניתן לקבל בקלות מהשוויון

.ם אותות הלםערגל אינטגרציות הנגד למדרגה כדי לת

1 1( )

1

1[ sec]( ) [sec ] ( ) ( ) [sec ] { ( )[ ] ( )} ( )

1[sec ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )

1[ ] ( )[ ] ( )

t tRC

R u R

t tRC

vy t h d v e u t dRC

v d v e u t dRC

v u tv u tRC

τ

τ

τ τ δ τ τ

δ τ τ τ

− − −

−∞ −∞

− −

−∞ −∞

= = − =

− =

= −

∫ ∫

∫ ∫

( RC−0

) [ ] ( ) 1[ ] ( )( 1)

( )[ ]

tRC t RC

t RC

e v u t v u t e

e u t v

τ− −

−

= + −

=

.בלנו מקודםיבלנו את התוצאה שקקיואכן

{ }

1 1( ) ( )

1

0

1

0

1

( ) [sec ] ( ) ( ) [sec ] 1[ ] ( ) ( )

[sec ] ( ) ( )

[sec ] ( )( )

[sec ] ( )( ) 1

t tRC

R r R u

tRC

tRC

t RC

y t y d v e u d

v u t e d

v u t RC e

v u t RC e

τ

τ

τ

τ τ τ τ

τ

− − −

−∞ −∞

− −

− −

− −

= = =

=

= − =

= −

∫ ∫

∫

הנגדמתח הקבל ומתח בציור הבא מתואר התגובה לשיפוע עבור

17

ציהקונבלובעזרת אינטגרל הקבל למדרגה מתח תגובת חישוב

1 1 1 1 1 1( )

0

1[ sec ] * [ sec ] ( ) ( ) [ sec ] ( )[ sec] ( )[ ]

( ) ( )[ ]

RCC u C C

tRC

y v h u v h u t d v e u v u t v dRC

u t u tv e dRC RC

τ

τ

τ τ τ τ τ τ

τ

∞ ∞− − − − − − −

−∞ −∞

−

= = − = −

= =

∫ ∫

∫ [ ](v RC−0

) ( )(1 )[ ]t

RC t RCe u t e vτ− −= −

.כרצוננוt- τ או τ לפי h בההצבהמת את חוק החילוף ולכן נוכל לבחור את י מקיקונבלוציהפעולת :הערה

ציור להמחשת גבולות האינטגרציה

קונבלוציהתגובת מתח קבל לשיפוע בעזרת אינטגרל החישוב

( )0

0 0

1* ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

tRC

C r C C

t tRC RC

y h r h r t d u t e t dRC

u t u t u te td e d tRC RC RC

τ

τ τ

τ τ τ τ τ

τ τ τ

∞−

−∞

− −

− −

= = − = − =

− =

∫ ∫

∫ ∫ ( RC−

{ }

0 0

0 0

0

( ))

( )( )(1 )

( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( ) ( 1)

( )(1

ttRC RC

ttt RC RC RC

tt RC t RC RC t RC t RC t RC

t RC

u te e dRC

u ttu t e RCe RCe dRC

tu t e u t e t e d tu t e u t e t RC e

tu t e

τ τ

τ τ

τ

τ τ

τ τ

τ

− −

−

− − −

−

− − − − − −

−

−

⎧ ⎫− ⎨ ⎬

⎩ ⎭⎧ ⎫

− − − − −⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫

= − − − + = − + + − =⎨ ⎬⎩ ⎭

−

∫

∫

∫

) ( ) t RCu t e−+ { }( 1) ( ) ( 1)t RC t RCt RC e r t RC e− −+ − = + −

hC(τ) τ u(t-τ) t τ hC(τ) u(t-τ) 0 t τ

v vin r(t) vC= 1

( ) ( ) ( )[ ] ( 1) ( )[ sec ]t RCC ry t r t v RC e u t v− −= + −

RC vR= 1

( ) ( ) (1 ) ( )[ sec ]t RCR ry t RC e u t v− −= −

t

18

.באינטגרציה השתמשנו בנוסחת אינטגרציה בחלקים0

' 'b bt

a a

f gd fg fg dτ τ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭∫ שהתקבלה התוצאה הסופית .∫

. מקודםבלנו יזהה לזו שק

ציור להמחשת גבולות האינטגרציה

:תרגיל נוסף

Ae-αt u(t) הקבל לכניסה תגובתחשב את

- - ( ) - ( )

0

-

- ( 1 )

- ( 1 )0

1 ( )( ) *A ( ) ( )A ( ) A

( ) tA =1( ) A ( ) 1A ( -1)

( 1 )

tRC t RC t

C C

tt

t RC

t RC t

u ty t h e u e u e u t d e e dRC RC

u t e RCu t RCe e d u tRC e e

RC RC

ατ τ α τ τ α τ

α

α α τ

α α

τ τ τ τ τ

ατ

α

∞− − − −

−∞

−

−

= = − = =

=

−

∫ ∫

∫

-

-

1

( ) tA =1

A ( ) ( - ) 11

t

t RC t

RC

u t e RCRC

u t e e RCRC

α

α

α

α

αα

−

⎧⎪⎪⎨⎪ ≠⎪⎩

⎧⎪⎪= ⎨⎪ ≠⎪ −⎩

כה להתלכד עם ישווה לאחד התשובה צרA ושווה לאפס αכאשר . יםינבדוק את התשובה בעזרת בדיקה בערכים קיצונ

. כה להתלכד עם התגובה להלםיהתשובה צר אינסוףל שווה Aו אינסוףשווה ל αכאשר . התגובה למדרגה

{ }

-

( )

( )A( ) ( - ) 1

0, 1 ( ) ( ( ))( 1) ( )(1 )=

t RC tC

t RC t RCC c u

u ty t e eRCA y t u t e u t e y

α

αα

−

− −

=−

= = → = − − = −

{ } {

-

-

0

1

( )( ) A( - ) 1

A ( ), ( ) ( ) ( - ) ( )=1

t RC tC

t RC t t RCC c

RC

u ty t e eRC

u tA y t u t e e e hRC RC

α

α

α

α αα

−

− −

=−

⎧ ⎫→∞ = →∞ → = =⎨ ⎬−⎩ ⎭1 4 2 4 3

יצה של התוצאהסק

hC(τ) τ r(t-τ) =(t-τ)u(t-τ) t τ hC(τ) r(t-τ) 0 t τ

19

כמו כן בזמן גדול מאוד מתח ).הקבל לא מספיק להיטען(עבור כל המקרים מתח הקבל ברגע ההתחלה שווה לאפס

.מתח הקבל לא יכול להיות שלילי ולכן יש לו מקסימום. הקבל שווה לאפס וזאת מכוון שהכניסה שווה לאפס

)קופסה שחורה(פיזית לא ידועה ב "מלקשל תגובה תדירותית וה להלםגובה תשיטות מעשיות למציאת ה

י אי אפשר להכניס אות הלם למערכת ולכן הדרך המעשית לקבלת התגובה להלם של מערכת היא בעזרת שבאופן מע

. כהדרך נוספת היא בדיקת פונקצית התמסורת התדירותית וביצוע התמרת פוריה הפו. תגובה למדרגה וגזירת התוצאה

ודת היציאה והכניסה ובדיקת הפרש טאת פונקצית התמסורת התידירותית מקבלים בעזרת בדיקת היחס בין אמפלי

.י ביצוע התמרת פוריה על התגובה להלם"דרך נוספת היא ע . עבור כניסות הרמוניות בתדרים שוניםהמופע ביניהם

ל המערכתפרנציאלית שיב מתוך משוואה ד"חישוב תגובה תדירותית של מלק

מערכת בעזרת החלפה של הפרנציאלית של ידהמשוואה המישירות פונקצית התמסורת התדירותית אפשר לקבל את

המעבר . עבור המצב המתמיד אפשר לעבור לייצוג המערכת בעזרת התמרת לפלס ,בנוסף לכך.jω בD אופרטור

.sב jω או החלפה של sבמשתנהD ללפלס מתקבל בעזרת החלפה של האופרטור

yC(t) t

1

אותות ומערכות

:4הרצאה מס

התבוננות באותות מנקודת מבט וקטורית

נושאי ההרצאההמשמעות הוקטורית של חיבור וכפל סקלרי . המשמעות הוקטורית של אותות. התבוננות באותות מנקודת מבט וקטורית

.ות הקשר בין מעבר בסיסים של וקטורים בעלי מימד סופי להתמרות ליניאריות של אות.של אותות

ם במרחבוקטורי יםרשל הווקטומופשטת הרחבה סוג שלהם אובייקטים אלה . מסוג וקטוריםם מטפלת באובייקטיתאלגברה ליניארי

כזו מאפשרת לנצל כללים שנכונים לכל תהתייחסו. לאותות כאל וקטוריםגם סבהמשך נראה שאפשר להתייח. במרחב

משפט . הוא משפט המוכר מהגיאומטריהגורסטפימשפט , למשל. ותותמרחב וקטורי להסקת מסקנות לגבי תכונות של א

תהתייחסושבעזרת , ממבט ראשון אין שום קשר בין המשפטים אך מסתבר. פרסוול הוא משפט הדן באנרגיה של אותות

, בנוסף לכך). משפט פרסוול יילמד במהלך הקורס( ששני המשפטים מתלכדים מתקבל, לאותותלגיאומטריה ווקטורית

י השוואה "על אותות עהמבוצעות וקטורית על אותות מאפשרת להמחיש פעולות מורכבות ט מנקודת מבהתבוננות

ההתמרה הוצגה בפרק (התמרות מופשטות כגון התמרת פוריה , למשל. וקטורים במרחבנעשות עללפעולות פשוטות ש

. טורים במישורי השוואה לפעולה של החלפת בסיס של וק"מקבלות משמעות פשוטה ע) הקודם

הוקטורים מתארים . לפני שנרחיב את מושג הוקטור לאותות נחזור על הכללים הבסיסים הנוגעים לוקטורים במרחב

הואקטורים הסימון המתמטי המקובל ל .ניתן לתאר את הוקטורים במרחב בעזרת חיצים. כיוונים ומרחקים במרחב

Aכלומר ( בעזרת חץ או קו מעל האות סף הואסימון מקובל נו. A) BOLD(באותיות מודגשות בעזרת r

גודל ). A או

A| בסימן הערך המוחלט יםמסמנהגודל את . מכונה הנורמה של הוקטורהוקטור rאת כיוון הוקטור מציינים בעזרת . |

כל וקטור ניתן לייצוג , בהתאם לכך.Aובע כוקטור זה מסומן בעזרת . קטור המקוריוקטור בגודל יחידה בכיוון הו

A=ˆ :בצורה הבאה A Ar r

במרחב כזה חייבים להיות . נקרא מרחב הילברטכללי מרחב מתמטי מופשט שמקים את הדרישות ממרחב וקטורי

באותה הדרך בה הם והפילוג הפעולות צריכות לקיים כללים כגון חוק החילוף .מטיות פעולות מתמוגדרים שלוש

בסעיף זה נציין את שלושת הפעולות בווקטורים במרחב הפיזי הנחוצות .מתקיימים בווקטורים פיזיקליים במרחב הפיזי

.לקיום מרחב הילברט

הילברטפעולה זו לא מוגדרת במרחב . פל וקטורימוגדרת פעולה נוספת שנקראת כהפיזי לגבי וקטורים במרחב : הערה

. ולכן לא נפרט אותה

2

כפל בסקלר) 1

פעולה זו מקיימת את חוק החילוף .משנה את גודל הוקטור אך לא משנה את כיוונוש פעולה הכפלה בסקלר זו

(Commutative law) כלומר ,aA = Aa.

חיבור וקטורי) 2

הקו המחבר בין . )1ציור ראה (של אחד הוקטורים לקצה של הוקטור השניבילה מקי הזזה "מתבצע ע חיבור וקטורים

.ות הוקטורים הוא הוקטור המחוברוקצ

. (Associative law) וחוק הקיבוץ (Commutative law) פעולת החיבור היא פעולה המקיימת את חוק החילוף

.C= A+(B +C)+(A+B) ו A+B=B+A, כלומר

A+B B

A

חיבור וקטורים

מכפלה סקלרית ) 3

ים יאו בעזרת סוגרמסומנת בנקודה זו מכפלה . פעולה נוספת בין וקטורים נקראת מכפלה סקלרית או מכפלת נקודה

בין הוקטורים כאשר היא הזווית θכאשר . A.B = <A,B> =⏐A⏐⏐B⏐cos(θ): מוגדרת כךהמכפלה . ממשולשים

משותפת יש להזיז אחד מהם אחיזה במידה ולווקטורים אין נקודת (שותפת שלהם מ)נקודת ההתחלה(האחיזה נקודת

כאשר המעבר B לAמעבר מכזווית המתקבלת ב הזווית מוגדרת) שנקבל נקודת התחלה משותפתעדהזזה מקבלית

מוכפל בגודל B בכוון וקטור Aההיטל של וקטור של המכפלה היא גיאומטרית המשמעות ה .נגד כוון השעוןמתבצע

.Bוקטור ה

B

A.B/|B| = ⏐A⏐cos(θ) A θ

3.2 ציור

3

:מסקנות

המשפט נכון גם . cos(90°)=0 ובדה שעתכונה זו נובעת מה .מכפלה סקלרית של וקטורים מאונכים שווה לאפס) 1

. פס התאפסות המכפלה הסקלרית מבטיחה שהוקטורים מאונכיםעבור וקטורים שונים מא, בכיוון הפוך

AAA: גודל של וקטור הוא)2 ⏐A.A=⏐A ,הוכחה. =⋅2cos(0) =⏐A⏐

2.

: תכונה זו נובעת מהעובדה ש.A.B=B.A:.כלומר. מכפלה סקלרית מקיימת את חוק החילוף) 3

cos(θ)=cos(360°-θ).

,כלומר. הוקטורירהחיבולגבי פעולת (Distributive law) וק הפילוגמכפלה סקלרית מקיימת את ח) 4

(A+B).C=A.C+B.C.

.| C |ברים מחולקים ב ישים לב בציור כל הא.)ציורראה (מישורשל וקטורים בנמחיש בעזרת ציור

C

B A+B B.C/|C| (A+B) .C/|C|

θ α A.C/|C| A

המחשה לחוק הפילוג

.גורסטפימשפט את ומשפט הקוסינוסים הוכיח את על סמך חוק החילוף וחוק הפילוג אפשר ל) 5

)3.3הזוויות בהתאם לציור (: הקוסינוסיםטמשפ

⏐A+B⏐2= (A+B). (A+B) = A.A+2A.B+B.B =⏐A⏐

2+⏐B⏐

2+2⏐A⏐⏐B⏐cos(θ) =

cos( )

2 2 2 2

cos( )cos(- ) sin( )sin(- )

2 cos( - ) - 2 cos( )A B A B A B A B

α

π α π α

π α α

−

−

= + + = +

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3

1 4 2 43

.

. cos(θ)=0ב זאת קועכאשר הוקטורים מאונכים מתקבל גורסטפימשפט

⏐A+B⏐2=⏐A⏐

2+⏐B⏐

2.

4

נסמן את ההיטל של וקטור . אחר חשב את גודל ההיטל של וקטור בכיוון של וקטורבעזרת מכפלה סקלארית ניתן ל) 6

A בכיוון של וקטור Bב AB)ולכן הוא מסומן ללא הדגשהריאההיטל הוא גודל סקל .(

ˆ⋅A B AB =⏐A⏐ cos(θ)=A.B/⏐B⏐=

.ייצוג קרטזי של וקטורים זה וקטור שמתקבל כקומבינציה תוקטור תלוי ליניארי (תכל קבוצה של שלושה וקטורים בלתי תלויים ליניארי

אם . יהבסיס נקרא אורטוגונלאחד לשני במידה והוקטורים מאונכים ,נקראת בסיס) ליניארית של הוקטורים האחרים

תכל וקטור במרחב יכול להתקבל כקומבינציה ליניארי. הבסיס נקרא אורטנורמלי, וסף לכך הוקטורים בגודל יחידהבנ

: בצורהU,V,W בעזרת בסיס Aיצג כל וקטור יתן לי נ, כלומר.של וקטורי הבסיס

A=α U +β V +δ W

חישוב יאורטוגונלת אך עבור בסיס מסובכ δ ,β ,α במקרה הכללי מציאת המקדמים. עבור כל בסיס הייצוג הוא יחיד

:המקדמים פשוט

( )µ

( ) µ{ ( )2 = 1 1U

UA

Aα = ⋅ ⋅ = ⋅ =

U

A U/ U A U/ U / U A U / U / U14 2 43

β= A.V /|V|2 =AV/| V |=

δ= A.W/|W|2=AW /| W |

הם ההיטלים של הוקטור Aבייצוג של הוקטור המקדמים במקרה זה ולכןעבור בסיס אורטנורמלי המכנה שווה לאחד

: כלומר.על וקטורי הבסיס

α=AU, β=AV, δ=AW,

:בלנק וU בוקטור הבסיס Aנכפיל את וקטור למטרה זו . מהםעבור אחד רק ת המקדמיםח את נוסחינוכ

{ {2

0 0

2

=( + + ) = + + = =

=

α β δ α β δ α α

α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⇒

A U U V W U U U V U W U U U U

A UU

יצוג יהמקדמים של ההמספרים הם כאשר . ניתן לייצוג כל וקטור בצורה תמציתית בעזרת שורה של שלושה מספרים

.צוג נקרא ייצוג קרטזי של הוקטורי בסיס אוטונרמלי היבמידה והבסיס הוא. בעזרת הבסיס הנתון

ˆב נהוג לסמן את וקטורי הבסיס האוטונורמלי ˆ ˆX Y Z.

5

: הבאהכל וקטור ניתן ליצוג בצורה, בהתאם לנאמר

( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= A A Aα β γ= + + + +

X Y ZA X Y Z X Y Z

:הוא של הוקטור הייצוג הקרטזי, בהתאם לכך

( )ˆ ˆ ˆ, , A A A= X Y ZA.

.יחידההוקטור לו יךישש כובע ה סימןבמקרים רבים לשם נוחות משמיטים את: רהעה

קבל את הייצוג הקרטזי של ל אפשר )פעולת כפל בסקלרלגבי החילוף הפילוג והקיבוץ חוק ( ים שהוצגוחוקהעל סמך

.עם וקטוריםשהגדרנו פעולות ה

:בהתאם לכך

,כלומר. היטל בנפרדכפל בסקלר בייצוג הקרטזי הוא כפל של כל -

aA = (aAx,aAy,aAz) .

,כלומר. חיבור וקטורים בייצוג הקרטזי הוא חיבור של כל היטל בנפרד -

A+B=(Ax+Bx,Ay+By,Az+Bz) .

: סכום המכפלות של המקדמים בהתאמהאיהבייצוג הקרטזי מכפלה סקלרית -

A.B=(AxBx+AyBy+AzBz).

. סקלריתהמכפלה הנוכיח את הביטוי עבור

( ) ( )

( ) ( ) ( )x y z x y z

x x y z y x y z z x y z

x x y y z z x x y y z z

A A A B B B

A B B B A B B B A B B B

A B A B A B A B A B A B

⋅ = + + ⋅ + + =

= ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + +

A B x y z x y z

x x y z y x y z z x y z

x x y y z z

.החלפת בסיסיםהחלפת בסיס יכולה להוביל במקרים מסוימים לייצוג נוח יותר של .שונים בעזרת בסיסים יםאפשר לייצג וקטור

עבור כל .יםילגונוטאור בבסיסיםבשלב זה אנו נעסוק .שוט משוואות הקשורות בהםייכולה לגרום לפ וכן יםרוהוקט

שת המספרים וליד שלין י ולכן במקרים של ספק יש צורך לצ. של מספריםאחרתה ישישל קרטזייצוג הי נקבל ב,בסיס

את נמחיש .םסימכונה החלפת בסי בעזרת בסיס אחר גלייצוצוג בעזרת בסיס מסוים ייהמעבר מ. באיזה בסיס מדובר

בסיסיםהשני בעזרת כל אחד מתן להצגה ינ Aוקטור ה. מישוריאורטונורמלי ציור למקרה בעזרת המעבר

'Xו X אורטונורמלייםה

6

X2

X2' A Ax2

X1' Ax2'

Ax1' X1

Ax1

המחשה למעבר בסיסים

.X(Ax1,Ax2): הואX לפי בסיס Aייצוג קרטזי של

'X('Ax1',Ax2): הוא'X לפי בסיס Aייצוג קרטזי של

.ברי הבסיס הנבחרי של את של הוקטור צריך לחזור לביטוי שהוא קומבינציה ליניארימפורש גלייצו

A=AX1 X1+ AX2 X2=AX1' X1'+ Ax2' X2'

. U-1ה בעזרת מטריצה הפוכה ש והמעבר חזרה נעUה בעזרת מטריצת מעבר שטזי אחד לשני נעצוג קרייהמעבר מ

ל עמטריצת המעבר תהיה בנויה משורות כאשר כל שורה בנויה מהטלים של וקטורי בסיס אחד מהציור אפשר לראות ש

.אחד מוקטורי הבסיס השני

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1

'2'2

'1'1

'2

'1

2121

x

x

x

x

xx

xx

x

x

AA

AA

xxxx

AA

U

:באותו אופן מתקבל

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

'2

'11

'2

'1

22

11

2

1

'2'1'2'1

x

x

x

x

xx

xx

x

x

AA

AA

xxxx

AA

U

.מטריצת המעבר והמטריצה ההפוכה זהיםאורטונורמליים שעבור בסיסים מהדוגמה ים אאנו רו

בעזרת פרוק באופן מתמטי את נכונות מטריצת המעבר הוכיחאפשר ל. 'Ax1מומחשת בציור עבור המעבר נכונות

.בר בודדאינדגים עבור . ביםילמרכ A קטורוהו

¶ ( ) ¶ ¶ ¶

( )

1' 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1' 2 1'

11' 1'

2

' ' ' ' 1 2

1 2

X X X

X

A A A A A A A

AA

= ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

X X X X X X

XX X

A X X X X X X X X X X

X X

7

עבור (פשוט למטריצת המעבריחסית אפשר לקבל ביטוי יונורמלטלא אוראך נלי וגם בבקרה שמדובר בבסיס אורטוג

. )נלי המטריצות מסובכות בהרבהוטוגרבסיס לא או

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

γβα

γβα

U'''

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

23

332

3

322

3

31

22

232

2

222

2

21

21

132

1

122

1

11

''

''

''

''

''

''

''

''

''

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

U

.נדגים עבור איבר בודד. ביםיוק הוקטור למרכמטריצת המעבר בעזרת פרהוכיח את נכונות אפשר לגם במקרה זה

α'=A.x1'/| x1'|2 = (α x1+β x2+γ x3).x1'/| x1'|2 = αx1.x1'/| x1'|2 + βx2.x1'/| x1'|2 + γx3.x1'/| x1'|2

.בוקטור בלי תג וההפך" ' " תג עם י החלפה של כל וקטור "ע ההפוכה מתקבלת באופן דומה המטריצה

:כלומר

3 11 1 2 12 2 2

1 1 1

1 3 21 2 2 22 2 2

2 2 2

1 3 2 3 3 32 2 2

3 3 3

'' '

'' '

' ' '

−

⎛ ⎞⋅⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅⋅ ⋅⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x xx x x xx x x

x xx x x xU

x x xx x x x x x

x x x

הרחבה של מושג הוקטורכפל בסקלר ( במרחב הפיזיו נגדרי הפעולות שההם )מרחב הילברט( כללי וקטוריבמרחב כאמור הפעולות המוגדרות

מכיל אלמנטים שנקראים וקטורים שכללי הוא מרחב מתמטי מרחב וקטורי ,כלומר ).חיבור וקטורי ומכפלה סקלרית

במרחב םקיימות את כללי החילוף הפילוג והקיבוץ באותן אופן בו הם מתקיימי פעולות שמהשלגביהם מוגדרים שלוש

אנו לא .אנו נתייחס רק לתחום האותות. מועילכללים מוש בוקטורים יבהם שבמדע יש הרבה תחומים . הפיזיהוקטורי

יפייםספצוקטוריים מספר מרחבים חס לינתיבמקום זאת מקרה הכללי והגדרות המופשטות הנחוצות בנטפל ב

שמתבססת על שימוש בשדה של המרחב הפיזי להרחבהחס ינתי. שמתקבלים בעזרת הרחבה של המקרה הפיזי

ולות ע הגדרת הפ.ביותר ממדיםוקטור התלוי ול ממדים הקטור התלוי בשלושוהמספרים המורכבים וכן על הרחבה מו

.פעולותקרטזי של הההייצוג תתבסס על על וקטורים

8

של מושג הוקטור) קומפלקסית (הרחבה מורכבתבמקרה זה הסקלרים , כלומר. הרחבה של מושג הוקטור המרחבי אפשרית בעזרת שימוש בשדה המספרים המורכבים

להגדיר את המכפלה הסקלרית מחייבמורכביםשימוש במספרים . וקטורים הם מספרים מורכביםבשאפשר להכפיל

יבת יכלומר מכפלת וקטור בעצמו ח, A.A=|A|2 שתשמור על הכלל רה להגדיר את המכפלה בצורהטהמ. בצורה חדשה

יצוג ים ההגדרה המקורית בעים ההגדרה צרכה להתלכד יעבור וקטורים ממש, בנוסף לכך. חיוביתלתת תוצאה ממשית

:הגדרה אפשרית כזו היא ההגדרה הבאה. הקרטזי

∑=

=⋅3

1

*

iiibaBA *) מסמן מספר צמוד(

:ייםקימת את חוק החילוף ובמקומו מתקיא מההגדרה האחרונה ל

A.B = (B.A)*

אך ההגדרה מסתמכת על ההגדרה החדשה של נשארת ללא שינויB על וקטור אחר Aהגדרה של ההיטל של וקטור

.|AB= A.B/|B, כלומר. הסקלריתכפלהמה

קטור בעצמו תמיד נותנת ערך אך מכפלה של ו. טל של וקטור על וקטור יכול להיות מספר מורכביההש ההגדרהנובע מ

. חיוביממשי

את מטריצת המעבר ביםיהמרכים יהביטו. במקרה זה ניתן לתאר מעבר בסיסים בעזרת הכפלה במטריצת מעברגם

עבור בסיסים צת המעבר ימטרעקב העובדה שחוק החילוף מפסיק להתקיים במקרה זה . נשארים ללא שינוי

המטריצה ש עבור בסיסים ארטונרמליים מתקבל,במקום זאת .זהיםמפסיקים להיות והמטריצה ההפוכה ארטונרמליים

.U-1=Ut*מוחלפת צמודה למטריצה הריצה הט היא המההפוכה

: דוגמא למעבר בסיסיםתרגיל

.סטנדרטיהבסיס הנתון מרחב דו ממדי המיוצג בעזרת

. X=(1,0), Y=(0,1)

.A, A= α X+βY רונתון וקט

.WוZ בעזרת הוקטורים Aהצג את הוקטור

. Z=(j,j), W=(j,-j)

:תשובה

לפי A שלג וייצה. Uמטריצת המעבר חשב את ל לכ נו,במידה וכן. מאונכיםZ וWשלב ראשון נבדוק אם הוקטורים

. המטריצהבעזרת יחושב WוZבסיס ה

בדיקת מאונכות

( ) ( ) { {-j j

Z W= j,j j,-j =j( j*)+j((-j)*)=0⋅ ⋅

: ונוכל לחשב את מטריצת המעברורים מאונכים הוקט, כלומר. המכפלה הסקלרית התאפסה

9

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+−

−−+

++=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅⋅

=

22

22

))(()(

))((

)()(

**

*

**

*

**

*

**

*

22

22

jj

jj

jjjjj

jjjjj

jjjjj

jjjjj

WWy

WWx

ZZy

ZZx

U

. בעזרת הבסיס החדשAכעט נעבור לייצוג של

( )

( )

' 2 2 2'

2 2 2

j j j

j j j

α βα α αβ β β α β

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

U

α' =-j (α+β)/2

β' =-j (α-β)/2

: בעזרת הבסיס החדש הוא Aפורש של וקטור יצוג המי ה,כלומר

A=α' Z +β'W =-j(α+β)/2 Z +-j(α-β)/2 W

:בדיקה

.W וZ לבדיקת התוצאה נציב את הוקטורים

A = -j(α+β)/2 Z +-j(α-β)/2 W = -j(α+β)/2 (j,j) +-j(α-β)/2 (j,-j) = (α+β)/2 (1,1) + (α-β)/2 (1,-1) =

=([(α+β)/2+ (α-β)/2] , [(α+β)/2 - (α-β)/2])=(α,β)

A קבלנו את הוקטורןואכ

U-1=Ut: *וויון הבאכה להתקיים היא השיתכונה נוספת שצר

:נבדוק

*

1 *

1 02 2 2 20 1

2 2 2 2

t

t

j j j j

j j j j

−

− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⇒ =

UU

U U

ג הוקטור למרחב מרובה ממדיםשהרחבה של מוהתבוננות על הייצוג הקרטזי מובילה למסקנה המיידית . הקרטזיגתתבסס על הייצוף זה יב וקטורי בסעחשל מרהגדרה

. מספריםNכשורה של ) מספר טבעיN ( ממדיN שההגבלה לשלושה מספרים מיותרת לחלוטין ואפשר להגדיר וקטור

כאשר . אינסופיסופי או יכול להיות N המספר . A=(a0,a1,a2,...aN-1),כלומר N-1נהוג לסמן את המספרים מאפס ל

10

Nברים יהא. מד סופיי סופי הוקטור נקרא וקטור בעל מai יכולים למשל להיות שורה של משתנים במערכת משוואות

.אותות בדידיםוהם למעשה פים רצית של אותותמדגימהוקטורים מתקבלים בדרך כלל בתחום האותות . אלגבריות

: הבאהוקטורי הבסיס יכולים להיות וקטורים מהצורה

) 0,0,....0 ,0 ,1(x0= ,)0,0,....,0,1,0( x1= ,)0,0,....0,0,1( x2=) 0,1,....0 ,0 ,0(xN-1= .

.נה הבסיס הסטנדרטיוהבסיס האחרון מכ

.הסטנדרטי מניחים שהיצוג הוא בעזרת הבסיס ,בסיס לא מצויין במפורשקטורים מיוצגים בצורה קרטזית וההוכאשר

קבוצה כזו של וקטורים יכולה להיות . של וקטוריםנבחרת אחרת ייצוג של הוקטור בעזרת קבוצה יספקמעבר בסיס

הוא אות דיבור אז נחפש בתור בסיס קבוצה נניח שהאות , למשל. יהיה שייך אליהAקבוצה שיש סיכוי גבוה שהוקטור

. של אותות שמאפיינת אותות דיבור

)סופימספר N(הפעולות בוקטורים והגדרת ממדייםNוקטורים הגדרת

Xבעזרת בסיס אורטונורמלי , ממדיA, Nשל וקטור מפורש ייצוג -1

0

N

i ii

a−

=

=∑A x ,. xi ai=A

,כלומר. המקדמים של היצוג המפורששורה של הוא Xבסיס העזרת ב Aייצוג קרטזי של הוקטור

) A=(a0, a1.. .., aN-1.

המפורש ייצוג בכפל וקטור בסקלר -

i

N

i

N

i kaakk xxA ∑∑−−

==1

0

1

0

. =k a0, k a1.. .., k aN-1 kA) (קרטזי הייצוג בכפל בסקלר

המפורשבייצוג חיבור וקטורים -

i

N

iii

N

ii

N

i baba xxxBA ∑∑∑−−−

+=+=+1

0

1

0

1

0)(

. A+B=(a0+b0, a1+b1,...aN-1+b N-1) יצוג הקרטזיביחיבור

)ונורמליות הבסיסטהמכפלה מסתמכת על ההגדרה המורכבת וכן מסתמכת על אור( המפורשבייצוג מכפלה סקלרית -

∑∑∑−

=

−

=

−

=

=⋅=⋅1

0

*1

0

1

0)()(

N

iiij

N

jji

N

ii baba xxBA

∑. יצוג המפורשיזהה לזו שב בייצוג הקרטזיהמכפלה הסקלרית −

=

=⋅1

0

*N

iiibaBA.

11

וקטורנורמה של -

|A|= (A.A)1/2.

B על וקטור Aהיטל של וקטור -

AB= A.B/|B|.

בצורה ) םייונורמלטאור חרכבהלא ( םיוגונליטאור ממדיים גם בעזרת בסיסים Nניתן לייצג בקלות וקטורים : רהעה

:הבא

i

N

iia xA ∑

−

=

=1

0 ,

ii

iia

xxxA⋅⋅

=

. ולא נעסוק בומורכב יותרם יוגונליטאור לא יםיצוג בעזרת בסיסיה

: אוה 'Xו X מדיםי מרובי מםבבסיסים אורטוגנלי Aצוגים של וקטור ישני י ביןהמעבר

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−− 1

1

0

1

1

0

'

''

NN a

aa

a

aa

ΜΜU

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

−

−−

−

−

−

−

−

−

21

112

1

112

1

10

21

112

1

112

1

10

20

012

0

012

0

00

''

''

''

''

''

''

''

''

''

N

NN

N

N

N

N

N

N

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

U

Κ

Μ

Κ

Κ

: הואAהמעבר חזרה בין שני הייצוגים של וקטור

0 0

1 11

1 1

''

'N N

a aa a

a a

−

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

UM M

0 0 1 0 1 02 2 2

0 0 0

0 1 1 11 12 2 2

1 1 11

0 1 1 1 1 12 2 2

1 1 1

' ' '

' ''

' ' '

N

N

N N N N

N N N

−

−

−

− − − −

− − −

⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x x x x x xx x x

x x x xx xx x x

U

x x x x x xx x x

K

K

M

K

:יותרים פשוטים י נקבל ביטוםונורמליט אוריםר בסיסעבו

12

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−− 1

1

0

1

1

0

'

''

NN a

aa

a

aa

ΜΜU

0 0 1 0 1 0

0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1

' ' '' ' '

' ' '

N

N

N N N N

−

−

− − − −

⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

x x x x x xx x x x x x

U

x x x x x x

KK

M

K

0 0

1 11

1 1

''

'N N

a aa a

a a

−

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

UM M

0 0 1 0 1 0

0 1 1 1 1 11

0 1 1 1 1 1

' ' '' ' '

' ' '

N

N

N N N N

−

−−

− − − −

⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

x x x x x xx x x x x x

U

x x x x x x

KK

M

K

), כלומר . מוחלפות וצמודותריצות ט מןאנו רואים שהמטריצות הם של המטריצות ימהביטוי )*1 T− =U U.

אתהיה בנויה משורות כאשר כל שורה היU מטריצת המעבר ,הסטנדרטימקרה שהבסיס ממנו אנו יוצאים הוא הבסיס ב

. של הבסיס החדשצמוד לוקטור וקטור

0 0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

' ' ' (1,0,...0) ' (0,1,...0) ' (0,0,...1) '' ' ' (1,0,...0) ' (0,1,...0) ' (0,0,...1) '

' ' ' (1,0,...0) ' (0,1,...

N

N

N N N N N

−

−

− − − − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

x x x x x x x x xx x x x x x x x x

U

x x x x x x x

K KK K

M M

K 1 1

0

1

1

0) ' (0,0,...1) '

'*'*

'*

N N

N

− −

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x x

xx

x

K

M

וגונלייםטתכונות של ייצוגים אור

:משפט פרסוול) 1

של Eאנרגיה . מדיימN גורס למקרה הטבה של משפט פייחס לאנרגיה של אותות והוא למעשה הרחימשפט פרסוול מת

2E :כלומר .מוגדרת כנורמה בריבוע) וקטור(אות = A.

וגונליטאורצג בעזרת בסיס וימהוקטור כאשר Aשל וקטור אנרגיה הנחשב את 1 1 1

2 2

0 0 0

N N N

i i j j i ii j i

E a a a− − −

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑A A x x x

:ם יתקבליוגונליטאורצוגים ייעבור כל שני ולכן וגונליטאורהביטוי נכון לכל בסיס

13

21

0

221

0

2 '' i

N

ii

N

i aa xx ∑∑−−

=

:עבור בסיסים אורטונרמלים יתקבל1 1

2 2

0 0'

N N

i ia a− −

=∑ ∑

.שני השוויונים האחרונים נקראים משפט פרסוול

:ייצוג מקורב של וקטור ) 2

קבוצת וקטורים המרחב כלומרמד מינחוץ לייצג וקטור בקירוב בעזרת קבוצת וקטורים שמספרם קטן מלעיתים

היא קבוצה במידה וקבוצת הוקטורים. למשל נחוץ לייצג וקטור במרחב בעזרת וקטור במישור. שפורסת תת מרחב

בייצוג ) מקדמים של הוקטור הקרוב ביותר לוקטור המדויק( האופטימלייםהמקדמים . וגונליטחלקית של בסיס אור

.המקורב יהיו אותם המקדמים שמופיעים בייצוג המדויק

:נדגים בציור

מד אינסופי יג המרחב הוקטורי למרחב בעל משהרחבה של מו

אך זאת בתנאי שלא אינסופי Nגם למקרה ש ממדיים אפשר להרחיבNבוקטורים כל ההגדרות של הפעולות את

.צריך לשנות את ההגדרותאינסופיים שמקבלים בחלק מהפעולות ערכים במקרים . ערכים אינסופייםבסכומים מקבלים

∑ הסקלריתלמשל אפשר להגדיר את המכפלה−

=

∞→⎯⎯⎯ →⎯=⋅1

0

*lim 1 N

iii

sN baN

BA

במקרה .קטורי היא הרחבה מקבוצה אינסופית בדידה של וקטורים לרצףו נוספת של מושג המרחב הואפשריתהרחבה

צורותב הווקטורי במקרה זה בעלות המרחהגדרת. A=a(t) , כלומר, יהיה פונקציה כלשהי של הזמןA וקטורהרציף

.שונות שמתאימות לסוגים שונים של אותות

ההגדרות של חיבור ווקטורים וההגדרה של כפל וקטור בסקלר במקרה של ווקטורים רציפים בדרך כלל לא בעיתית

α וגנליט לפי בסיס אור α וגנליט לפי בסיס לא אור

α' תת מרחבלפי מקורבאופטימלי

α=α'

α' אופטימלי לפי תת מרחב .

α'≠ α

14

:וההגדרות נשארות דומות להגדרות בווקטורים בדידים

. A+B= a(t)+b(t)חיבור וקטורים

kA=ka(t) וקטורבו סקלרשל כפל

.יםינסופיערכים אהעובדה שהמכפלה יכולה לקבל ההגדרה של מכפלה סקלרית יותר בעיתית עקב

לנרמל את האינטגרלך ישונים צרמסוגים אך עבור אותות .עזרת אינטגרלבבדרך כלל תרדגומבמקרה הרציף המכפלה

: בדרך הבאהאת המכפלה גדירר להאפש) אנרגיה סופית (עבור אותות אנרגטייםלמשל . בצורה שונה

∫∞

∞−

=⋅ τττ dba *)()(BA

: הבאהצורהאת המכפלה ב אפשר להגדיר) אנרגיה אינסופית הספק סופי (עבור אותות הספק

∫−

∞→⎯⎯⎯ →⎯=⋅2/

2/

*T Lms )()(1 T

T

dbaT

τττBA

:הבאהבצורה את המכפלה פשר להגדיראT ים בעלי זמן מחזור ימחזור הספקעבור אותות / 2

*

/ 2

1 ( ) ( )T

T

a b dT

τ τ τ−

⋅ = ∫A B.

את המכפלה בצורה יםגדירמבמקרים אחרים . האחרונות ההכפלה של אות בעצמו נתנה ערך סופידוגמאותהבשלוש

. )סינגולרי(אינסופי ערך לקבל יכולהשהכפלה של אות בעצמו

היטל של וקטור על וקטור ים שקשורים למכפלה כגון יביטו של ותבנוסף להגדרות השונות של המכפלה גם ההגדר

.הגדרותמגוון במקרה הרציף יםקבלמתלות בין וקטורים גדרות של והה

: היאההגדרה בהתאם לכך .למקרה הבדיד דמיון של היטל יכולה להתקבל בעזרת טבעיתהגדרה ,למשל

Ax= A(t).X(t)/|X(t)| . תיתן ערך אפס במקרה ש האחרונההגדרה X(t) ו אות הספקA(t)ע כדי למנו. אות אנרגטי

. Ax= A.X(t) :בצורה הבאהעבור מקרה כזה הגדיר את ההיטל שנות את ההגדרה ולאפשר למצב כזה

הנורמה של אות הגדרה של המכפלה היא כזו שובמידה . במקרה הרציףתיתיאותות בעימאונכות של ההגדרה של גם

לא כלשהומקבלת ערך סופי ניהםיבאם המכפלה בין אותות מאונכות אפשר להגדיר ערכים אינסופיים אז יכולה לקבל

מקבלת ערך מכפלה של וקטורים תלויים תיצור סינגולריות ומכפלה של אותות מאונכים ה לפי הגדרה כזו. אפסחבהכר

.סופי

. גם ההגדרה של הנורמה של אות בעלת צורות רבות ומגוונות

A|| = (A.A)1/2||: בה השתמשנו עד כה אוקלידיתהשל וקטורים זו הנורמה ) גודל(נורמה של מקובלת הגדרה : למשל

:מקובלות ותלנורמאך גם הגדרות הבאות

( ) ( ) nn

nx t x t dt

∞

−∞

= ∫.

15

.ייצוג המפורשבעזרת ייצוג דמוי קרטזי ובעזרת הל ייצוג אותות עגם במקרה הרציף אפשר לדבר

,כלומר A(ω).או a(t)ף למשל בעזרת משתנה חופשי רצירהדומה לייצוג הקרטזי יהיה ביטוי של הווקטוייצוג ה

.A= a(t) נקבל וקטור רציף מהצורה A=(a0, a1.. .., aN-1 (מהצורה בדיד וקטורבמקום

במקרה הרציף ש רק. בעזרת בסיס אורטונורמלי בדידשל וקטור דומה לייצוג המפורש של וקטור רציףהייצוג המפורש

:מהצורהכלומר במקום וקטור בדיד .הסכום מוחלף באינטגרל1

0

N

k kk

a−

=

= ∑A x, k ka = ⋅A x.

: הבאה נקבל וקטור רציף מהצורה

( ) ( )a w w dw∞

−∞

= ∫A x ,( ) ( )a w w= ⋅A x.

: יותרמפורטתבצורה האחרון אפשר לרשום את האינטגרל

( )( ) ( , )t a w w t dw∞

−∞

= ∫A x ,( ) ( ) ( , )a w t w t= ⋅A x

x(w,t) עבור כל . נורמליוטהאור של הבסיסיםוקטורהםw ותהאות x(w,t) מאונכים האחד לשניו יםשונ .( )a w הוא

מימד הבסיס הוא מימד הרצף מכוון ששבמקרה זה חשוב לשים לב x(t,w). על וקטור הבסיס A ההיטל של וקטור

את וwאת האינדקס בזה סימנו הרציף הקרה במלמשל . האינדקס שמבחין בין וקטורים שונים של הבסיס הוא רציף

) ב סימנו וקטורי הבסיס , )w tx. עזרת אינדקס בדיד סימנו את וקטורי הבסיס בהמקביל מקרה הבדיד בk והוקטורים

.kxסומנו ב

:אותדוגמ

)ותות הלם מוזזים הבנוי מהאיוגונלטאורבעזרת בסיס בייצוג המפורש נייצג אותות , ) ( )t tτ δ τ= −x) האינדקס

מכפלה את הנגדיר .הסטנדרטיהרציף הבסיס הזה הוא הבסיס . )τבמקרה זה הוא השונים הבסיסשמבחין בין וקטורי

: בעזרת האינטגרל הבאסקלרית

*( ) ( )a t b t dt∞

−∞

⋅ = ∫A B

של שני וקטורי בסיס שונים שווה לאפס ומכפלה של וקטור בסיס בעצמו היא מכפלהמתקבל שהבהתאם להגדרה זו

).תסינגולארי(נסופית יא

:הוכחה

16

1 2 1 2

2

0

2

0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

1( ) ( ) ( ) ( ) lim ( / )

1lim

t t t t dt

t t t t dt t dt

δ τ δ τ δ τ δ τ

δ τ δ τ δ τ δ τ τ

∞

−∞

∞ ∞

Δ→−∞ −∞

Δ→

− ⋅ − = − − =

⎛ ⎞− ⋅ − = − − = Π Δ − =⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ Δ = ∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫ ∫

האותות מסתבר ש. מדובר באותות מאונכים,כלומר. תואמת לאחת ההגדרות שצוינו למאונכות אותותהמכפלה ת תוצא

. הבסיס הסתנדרטימכונההאחרון הבסיס .ים בסיסוולא רק מאונכים הם גם מה

:עזרת הבסיס הסתנדרטימפורש בהייצוג ב Aווקטוראת הכעת נייצג

( ) ( )a t dτ δ τ τ∞

−∞

= −∫A

)ההיטל את )a τ של וקטור A על וקטור הבסיסx(τ,t)נחשב בצורה הבאה :

{ ( )( ) ( )( )*

( )

( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )t

a t t a t t dt a t t dt a tδ τ

τ τ δ τ δ τ∞ ∞

−∞ −∞−

= ⋅ = − = − =∫ ∫A x

:נציב ונקבל

( ) ( )a t t dδ τ τ∞

−∞

= −∫A

: נוספתדוגמה

)ים בעזרת בסיס אורטוגונלי הבנוי מהאותות ינייצג אותות אנרגט , ) jftf t e=x .

.שלב ראשון נבדוק מאונכות

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 21 2 1 2 1 2

1 11 1 1 1 1 1

*

1 21 2

1 2

*

2

1

j f f t

j f f tjf t jf t jf t jf t jf t jf t

j f f tjf t jf t jf t jf t jf t jf t

ef f e e e e dt e e dt e dt

j f f

f f

e e e e dt e e dt e dt dt

∞−

∞ ∞ ∞−− −∞

−∞ −∞ −∞

∞ ∞ ∞ ∞−−

−∞ −∞ −∞ −∞

⋅ = ⋅ = = = = <−

< ∞−

⋅ = = = = = ∞

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

x x

: בהתאם לכך נקבל את הייצוג המפורש הבא.הוקטורים מאונכים ונניח שהם בסיס

( )( ) jftt a f e df∞

−∞

= ∫A

17

)ההיטל את )a fשל הוקטור A על וקטור הבסיסx(f,t)נחשב בצורה הבאה :

( )( ) ( ) ( )*

( ) ( ) ( , )jft

jft jft

e

a f t f t a t e dt a t e dt∞ ∞

−

−∞ −∞

= ⋅ = =∫ ∫A x1 2 3

.ם האחרונים הם וריאציות של התמרת פוריה וההתמרה ההפוכהישני הביטוי

לא גורמת הוכלש Nמד סופי יבעל מ התלוי בשלושה ממדים לוקטור רהרחבה של מושג הוקטור מוקטו: הערות

היא ראשונה בעיה . מספר בעיות תמדים מעורריהמעבר לוקטורים התלויים באינסוף מ, ומת זאתעל. לסיבוכים מיוחדים

מדי כל קבוצה י מNבמקרה ה. בעיה של מציאת בסיסבעיה נוספת היא . המכפלה הסקלריתה שלהבעיה שצוינה בהגדר

א בסיס שמתאים וולמעשה קשה למצ .מקרה האינסופי הדבר לא כךב. וקטורים בלתי תלויים יכולה להוות בסיסNשל

ים תאלכול סוג נ. מסוים של אותותיםנים סוגישמאפים על תת מרחבים י אנו מדברבאופן פרקטי. לכל סוגי האותות

סיסים בבבעיקר במהלך הקורס נעסוק . בקבוצהאותצג כל יל ליכקבוצה מסוימת של פונקציות בעזרתה נו

. בסיס של אותות הרמוניים שהם וריאציות שלרציפיםהמורכבים מאותות ם אורטוגונליי

1

ותות ומערכות

:5 'הרצאה מס

פורייההתמרות

נושאי ההרצאה נטפל , בפרק זה.הקשר בין מעבר בסיסים של וקטורים להתמרות ליניאריות של אותות את גנוצה בפרק הקודם

. המטופלים בהתאם לסוג האותות ציותאורי יש מספר הלהתמרות אל. פורייההתמרות הקרויות תליניאריוהתמרות ב

של הגיאומטריתוכן נטפל במשמעות . רכז בהצגת ההתמרות השונות ובהבנת המעברים מאחד לשניבפרק זה נת

וגונלי הבנוי טההתמרה מסתמכת על בסיס אור: למשפחה הזו של התמרות יש מספר תכונות משותפות .ההתמרה

הטרנספורמציכל של פונקציות עצמיותןקספוננציאליות הוא שהאהמיוחד בפונקציות ה .קספוננציאליותאמפונקציות

מתקבל מהכפלה של אקספוננציאלית לכניסה ב "מלקהמתקבל ממערכת אות המוצא כלומר. ליניאריות קבועות בזמן

בצורה ניתן לייצג אות הרמוני (יםניונה בשינויים קלים נכונה גם לאותות הרמעטה H(s).אות הכניסה בערך העצמי

אות הכניסה פאזור המוצא לכניסה הרמונית יתקבל מהכפלה של אות ).םיי אקספוננציאלה בעזרת אותותטפשו

H(ω).בערך

מנורמלת בדידהפורייההתמרת וקטורי ב חבמקרה זה מדובר במר . איבריםN ם בעלייסופי לאותות בדידים תמתייחסמנורמלת בדידה פורייההתמרת

:מסומנת ב והיאההתמרה במקרה זה מכונה התמרת פורייה הדיסקרטית . מימדיNסופי

DFT (descrete Fourier Transform)

. מהוקטורים הבאיםרכבומ מרחב של הסטנדרטיהבסיס ה

x0= (1,0,0…….0)

x1= (0,1,0....….0) :

xi= (0,0,0...,1...0) :

xN-1= (0,0,0 ..... 1)

.ולכן הבסיס אורטונורמלי, (xl|=1|) לאחד שווה הנורמה של כל וקטורלשני והוקטורים מאונכים האחד

:מספרים שורה של של וקטור לפי הבסיס הסטנדרטי הואקרטזי ייצוג

A=(a0, a1, a2……. AN-1)

.לרוב שורה של מספרים שמתקבלים מדגימה של אות רציף כלשהויהיה Aבאותות הווקטר

: מהצורה'x וקטוריםN הבסיס בהתמרה היא קבוצה של ים אתווקבוצת הווקטורים שמה

2

( WN0×0, WN

0×1, WN0×2 ……. WN

0× (N -1) ) 1/ N x0'=

( Wv1×0, Wv

1×1, WN1×2 ...…. WN

1× (N -1) ) 1/ N x1'=

: ( WN

k×0, WNk×1, WN

k×2 …… WNk× (N -1) ) 1/ N xk'=

. :

( WN (N -1) ×0, WN

(N -1) ×1, WN (N -1) ×2……. WN

(N-1) × (N -1)) 1/ N x N-1'=

:כאשר

WN=ejθ, θ=2π/N

' בוקטור iמההגדרה אנו רואים שהאיבר הkxהוא : k i

nW ×

WN מסובב נגד כוון השעון בזוויתה הוא מספר מורכב בגודל יחידה θ . מד של המרחב הוקטורי י תלויה במסיבובזווית

N .ברים מהצורהאי WNkנגד כוון השעון בזווית ים מסובבהמספרים. הם מספרים מורכבים בגודל יחידה kθ

)ejθk=k)WNk=(ejθ(. המספרWN

N שווה לאחד וזאת מכוון ש Nθ=2πוej2π=1 . המספר הצמוד למספרWnk הוא

Wn)המספר k)* מורכב בגודל יחידה המסובב עם כוון השעון בזווית זה הוא מספר מספרkθ.מתקיים ,ך בנוסף לכ

(Wnk)*= Wn

-k.

כאשר כל מחוג נוטה ) ונים פאזוריםכהמ( בתור שורה של מחוגים 'xk לוקטורים סלהתייחאפשר יבאופן ויזואל

נגד המחוג הראשון פונה ימינה וכל מחוג אחר מסובב 'x1קטור ובו. כל המחוגים פונים ימינה'x0בווקטור . בזווית שונה

המחוג הראשון פונה 'xkקטור ובו .2π-θע לזווית י המחוג האחרון יגאלושממהמחוג שמ יותר θבזווית כוון השעון

מתקדמים יותר גדול המחוגים Kול שככ, כלומר. יותר מהמחוג שמשמאלוKθימינה וכל מחוג אחר מסובב בזווית

.K(2π-θ) ס לזוויתיסתובב מזווית אפ 'xkוקטור ובהמחוג . יותר סיבוביםוויבצע ותגדוליותר זוויתית קפיצות ב

K(N-1)θ=KNθ-Kθ=K2π-Kθ= K(2π-θ)

kשל בתדרים רציפיםהרמוניים ים יאקספוננציאל אותותאפשר לקבל בעזרת דגימה של בסיס החדש האת וקטורי

0 ,מחזורים לוקטור k (N-1)≥ ≤.

.N=4נמחיש עבור

3

θ=2π/N=π/2 ,.WN=ejθ=ejπ/2=j

x0'=1/2 (→,→,→,→)=1/2 (1,1,1,1)

x1'= 1/2 (→,↑,←,↓) = 1/2 (1,j,-1,-j)

x2'=1/2 (→,←,→,←)=1/2 (1,-1,1,-1)

x3'=1/2 (→,↓,←,↑) = 1/2 (1,-j,-1,+j)

:טענה

. יחידה בגודל הםמאונכים האחד לשני והנורמה שלהוקטורים , כלומר. ונורמליט בסיס אורםמהווי 'xהוקטורים קבוצת

:הוכחה

( ) ( )*1 1 1

, , r i k i r i -k i (r-k) iN N N n N

0 0 0

1 1 1 1W W W W W

,( ) 1, ( )10, ( ) 0, ( )

N N N

r ki i iN NN N

N r k r kr k r kN

− − −× × × × ×

= = =

⋅ = = = =

= =⎧ ⎧× =⎨ ⎨≠ ≠⎩ ⎩

∑ ∑ ∑x x

.כל מקרה בנפרדעבור נוכיח

r=kעבור 1 1 1

(r-k) i (0) in n

0 0 0W W 1

N N N

i i iN

− − −× ×

= = =

= = =∑ ∑ ∑

WN וכן נשתמש בעובדה ש נשתמש בנוסחה של טור הנדסיr≠kעבור N =1.

0 1 2 3

(1,-1, 1,-1)

(1,-j,-1,+j)

(1, 1, 1, 1)

(1, j,-1,-j)

k=0

k=1

k=2

k=3

4

( )} }1 1

(r-k) N N (r-k)N (r-k)1 1 1i(r-k) i (r-k) i N NN N

0 0 0q

1 (W ) 1 (W )1 q 1 1W W q 01 q 1 q 1 q 1 q

N N N

i i i

− − −×

= = =

− −− −= = = = = = =

− − − −∑ ∑ ∑14 2 43

. בראשיתםומסתיימי הסכום האחרון יוצר מצולעים משוכללים שמתחילים מבחינה גיאומטרית

ת ו אחרותקבוצ שאפשר לבחור בתור בסיס גם ,נובע מכך. N÷0ום ח יהיו בתk ו rה דרישה שת לא היבהוכחה הערה

אחר הבנוי מוקטוריםבסיס בהמשך נשתמש בתכונה זו ונעבור ל. של תדריםאחרים עוקבים בתחומיםקטורים ושל

) מחזורים לוקטור כאשר kבתדרים של - N/2) k (N/2)≥ ≤.

המעבר לשורת המקדמים כאמור .בעזרת הבסיס החדשהסטנדרטי המיוצג בעזרת הבסיס Aכל וקטור תן לייצוג ינ

המיוצג בעזרתA של וקטור פלה כבעזרת ה ההתמרה מתבצעת .סקרטיתי הדפורייה התמרת ונהכמבבסיס החדש

.Uריצת המעבר טבמסטנדרטי הבסיס ה

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−− 1

1

0

1

1

0

'

''

NN a

aa

a

aa

ΜΜUUAA'

).ראה פרק קודם( תהיה בצורה הבאה U מטריצת המעבר נורמליוטמכוון שהבסיס הוא בסיס אור

0 0 1 0 1 00

0 1 1 1 1 11

10 1 1 1 1 1

' ' ''*

' ' ''*

'*' ' '

N

N

NN N N N

−

−

−− − − −

⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

x x x x x xx

x x x x x xx

U

xx x x x x x

KK

M M

K

.'x החדשהמטריצה בנויה משורות כאשר כל שורה היא וקטור צמוד לווקטור מהבסיס

גהייצו הם פאזורים שמסתובבים נגד כוון השעון אך בזמן חישוב המקדמים של 'xlטורים ים לב שהוקשיש ל: רהעה

שמסתובבים פאזורים ,הצמודים כלומרפאזורים ההכפלות של האות עם סכימה של בעזרת וקטורים אלה מבצעים

.בכוון השעון

5

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−×−−×−−×−−

−×−×−×−

−×−×−×−

− )1()1(1)1(0)1(

)1(11101

)1(01000

1

1

0

1

'*

'*'*

NNN

NN

NN

NNNN

NNNN

N WWW

WWWWWW

N Μ

Κ

Μx

xx

U

) הוא U במטריצהi,kאנו רואים שהאיבר 1) ( 1),

1 i ki k NW

N− − × −=U .)של אברים נובע מספירה שונה1ההפרש ב

:כלומר. זהותמוחלפת אנו רואים שהמטריצה והמטריצה ה,כמו כן) פעם מאפס ופעם מאחד. בוקטור ובמטריצהT =U U

.חדש על אחד מוקטורי הבסיס השלוהיטל ה ומחשבים את ההתמרה שלו למעשה מחשבים את Aכאשר נתון וקטור

טל על אות י החלק הממשי של התוצאה מבטא את הה'xkעבור וקטור . היטל על פאזור מסתובבה מקבלים את ,כלומר

ל האות על גל יט מתאר את ה'Axkכל . sin(i[kθ]) על אות מסוג לההיטהחלק הדמיוני מבטא את . cos(i[kθ])מסוג

. תדרים שונים Nהאות בים של יההרמונ םביימרכהאת מתאר 'xצוג האות בעזרת הבסיס יי. )kθ (הרמוני בתדר שונה

המעבר לבסיס החדש ,מסיבה זו. בי האות בתדרים הולכים וגדליםי לפי הסדר נקבל את מרכ'Axkאם נציג את ערכי

. מכונה מעבר לציר התדר

התדר המובן של ולכןמאיבר לאיבר בווקטור לא עורכת זמן ההתקדמות .ו במובן הזמניאג התדר כאן הוא לושמ: הערה

. במקרה המנורמל גם הזמן מנורמל וגם התר מנורמל.לזמן של צעדזווית זווית לצעד ולא של הוא של

.מעבר זה נקרא ההתמרה ההפוכה. U-1המעבר מציר התדר חזרה לציר הדגימות נעשה בעזרת המטריצה ההפוכה

: נחשב את המטריצה ההפוכה בעזרת הביטוי הכללי מהפרק הקודם

. מסובבים'x מהבסיס יוקטורמ בנויה מאחד עמודה כאשר כל מעמודותקרה זה מקבלים שהמטריצה בנויה במ

0 0 1 0 1 0

0 1 1 1 1 11

0 1 1

0 1 1 1 1 1

0 0 1 0 ( 1) 0

0 1 1 1 ( 1) 1

0 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)

' ' '' ' '

' , ' , '

' ' '

1

N

NT T

N T

N N N N

NN N N

NN N N

N N N NN N N

W W WW W W

NW W W

−

−−

−

− − − −

× × − ×

× × − ×

× − × − − × −

⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

⎛⎜⎜= ⎜⎜⎜⎝

x x x x x xx x x x x x

U x x x

x x x x x x

KK

LM

K

K

M*

⎞⎟⎟ =⎟⎟⎟⎠

U

במקרה הנוכחי .הצמודההמוחלפת שהמטריצה ההפוכה היא המטריצה ונורמלי טבפרק הקודם הראנו עבור בסיס אור

.מטריצה ההפוכה היא המטריצה הצמודה שהמטריצה היא מטריצה הופכית מתקבל שההעובדהעקב

6

נצטרך םכאשר נרצה לעבור לוקטורים אינסופיי. ה לאות סופי בעזרת מכפלה מטריציתיצענו התמרת פורייעד כה ב

את הסכום בשלב מתקדם יותר נהפוך לאינטגרל ולכן בשלב זה נעבור . ים דומים הרשומים בעזרת סיכוםילעבור לביטו

את הגודל רק לדעת םמעונייניבמקרים רבים היא שבעזרת סכימהיבה נוספת למעבר לייצוג ס. ים בעזרת סכוםילביטו

ka' מקדםכל בפרק הקודם כאמור , בתדר מסויםשל האות כלומר את המרכיב . ka' מרהתב מסוים בהכישל מר

בצורה הבאה ריתאלקסמכפלה מבוצעת בעזרת ההיטל בחישו .kx' של האות בוקטורפעולת ההיטלבעזרת מתקבל

): ראה פרק קודם(1

'

0

1

' 1'' '

Ni kk

k k i nik k

a aWN

−− ×

=

⋅= = ⋅ =

⋅ ∑A x A xx x1 2 3

:אוהבעזרת טור הדיסקרטית פורייה סופי של התמרת הביטוי ה1

'

0

1 Ni k

k i ni

a a WN

−− ×

=

= ∑

:אקספוננציאליתהבצורה גם את הביטוי האחרון אפשר לרשום 1

'

0

1 Nji k

k ii

a a eN

θ−

− ×

=

= ∑

i :במעבר השתמשנו בשוויון k ji knW e θ− × − ×=.

דגימהב( במקום מסויםת מה ערך האותעם לדציו בתדר ורובי של האות בעזרת מרכיגהייצובאופן דומה כאשר נתון

.מרה ההפוכה בעזרת סכימהתים ביטוי להשאנו מחפבסעיף זה . הפוכהפורייה צריך לבצע התמרת ))i (מסוימת

i :ונורמלי שטפרק הקודם ראינו עבור בסיס אורב ia = ⋅A x .את גנייצ A בעזרת הבסיס 'ix ונקבל של ההתמרה :

1' '

0

N

i ii

a−

=

= ∑A x

( )1 1

' ' ' '

0 0

N N

i k k i k k ik k

a a a− −

= =

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑x x x x

מכל וקטור בבסיס i את האיבר הצריך לקחת) iaאיבר (iבר במקום ישלחישוב הא :היאהאחרון ות של הביטוי עהמשמ

'ix אותו במקדם שלו להכפיל '

iaלסכם את כולם ו.

: להתמרה ההפוכההסופיתנבצע את המכפלה שבסוגריים ונקבל את התוצאה 1

'

0

1 Nk i

i k nk

a a WN

−×

=

= ∑

' בוקטור iבהצבה הסתמכנו על זה שהאיבר הkxהוא : k i

nW ×

:את הביטוי האחרון אפשר לרשום גם בצורה האקספוננציאלית

7

1'

0

1 Nji k

i kk

a a eN

θ−

×

=

= ∑

:הערות

הביטוי של ההתמרה . בעזרת פעולת הסכימהמרה ההפוכהתמרה וההת של ההומיםשיהביטויים האחרונים הם רשני •

וזאת מכוון שהוקטורים N0-בתחום מספרים שלמים להיות k וiהגדלים מאלץ את לריתאמכפלה הסקהבעזרת

מאפשר הרחבה של בעזרת הסכימה הביטוי ,ומת זאתע ל.לרית מוגדרים רק בתחום זהאשמופיעים במכפלה הסק

. מהדגימות שלהםתו אותחזוריבש כאשר נעסוק המשמעות של ההרחבה תוסבר בהמשך . k וiההתמרה לכל ערך של

ההבדלים נובעים . בספרים שונים מופיעים הגדרות שונות. תהדיסקרטי פורייה של התמרת וריאציותישנם מספר •

בעיקר במיקום הגורם N בגורםכפליםמההגדרות המקובלות לא חלק לפי. 1

Nבמקום זאת . י ההתמרותתבש 1

גורם מכפילים בN . הסיבה לכך תוסבר בהמשך) בהתמרה או בהתמרה ההפוכה(באחת מההתמרות . 1

בנוסף לכך הסימון המקובל של האיברים באות .יםקשורות לתחום של האינדקסבהגדרת ההתמרה נוספות וריאציות

αkבהמשך נשתמש בסימון . פחות מקובל" ' " סימן ה Ak. גדולות למשלבאותיות או שם הסיגנל αkהמותמר הוא או

. ak'במקום

מערכות מבוקרות מחשב שמנתחות וקטורים ןבוד אותות הינו רוב המערכות לעיי בטכנולוגיה של ימש מעופןאב •

אחת . (DFT) ת הדיסקרטיפורייהעבוד האות נעשה בעזרת התמרת . שמתקבלים מדגימות של אות רציף כלשהו

FFTם זה נקרא ט אלגוריושובים מהיר לחט לנפוץ כל כך הוא שקיים אלגוריDFTימוש בהסיבות שהופכות את הש

יכול להתבצע בעזרת קונבלוציה או בעזרת תבגישה ליניאריבוד אות יע. שנלמד בקורס המשך) מהירהפורייההתמרת (

הכפל פעולותספר ם המהיר מט באלגוריN2י השיטות יחסי ל ת הכפל שצריך לבצע בשפעולות מספר פורייההתמרת

. Nln(N)הנחוץ יחסי ל

קצב הדגימה לא ידוע למרות שהאותות דגומים .מים דגוותאותווקטורים שהם למעשה לתמתייחס ההתמרה בפרק זה •

רבווקטו) הפאזור(המחוג . גורם הזמן לא קייםבאותות המותמרים גם . יבודאכלומר גורם הזמן בתהליך הדגימה הולך ל

xk' ית אפס לזווית סתובב מזוומK(2π-θ) של רמולינמבחינה מתמטית יש . לא ידוע משך הזמן שהפאזור מסתובבאך

. בסעיף הבא נכניס את גורם הזמן להתמרה. הזמן ולכן ההתמרה נקראת מנורמלת

8

)לא מנורמלת( בדידה פורייההתמרת

בין והזמן τ [sec] שדוגמים הוא הזמןכאשר . איבריםNים בעלי ייחסת לאותות דגומים סופי בדידה מתפורייההתמרת

גם . גורם הזמן לתמונהנכניס את ף זה יבסע .N=τ/T: מות בהתאם לכך הואי מספר הדג.T[sec]מה הוא ימה לדגידג

מסוים היא זמן בר אימיקום של של משמעות ה .בריםאיהוא אוסף של נדרטי טבייצוג לפי הבסיס הסבמקרה זה וקטור

יהיה A ז הווקטור הדגום א a(t)אם נתון אות רציף , כלומר. iTדגימה של האות בזמן הוא iבר במקום איה. הדגימה

, בצורה

A=(a0, a1, a2……. AN-1)כאשר ,ai=a(iT)

): או בקיצור )= a(0T), a(1T), a(2T), .... A((N-1)T)A.

ולכן . N תתלויה במספר הדגימו Aשהנורמה של הווקטור היא בעיה ראשונה . יש מספר בעיותבהגדרה האחרונה

:ע על הנורמהיולא ישפט הדגום בדרך בה מספר הדגימות כמערהווקטונגדיר את

A= [1/N1/2] ( a(0T), a(1T), a(2T)……. A((N-1)T) )

יכול להיות אות a(t)אך באופן כללי האות . יםימות נעשות רק בזמנים חיוביבעיה נוספת בהגדרה האחרונה היא שהדג

את שהוא יכילהיא מהאות הדגום נוספת דרישה. יםייל גם זמנים שלילכההגדרה כך שתולכן נשנה את לא סיבתי

הווקטור הדגום ההגדרה של .עבור מספר אי זוגי של דגימותלכל הדרישות רון תפאפשר למצוא .מה בזמן אפסיהדג

:יה הווקטור הבאתה

A= [1/N1/2] ( a(-(N/2)T), …. a(-1T), a(0T), a(1T), …. A((N/2)T) )

.) היא לחלק השלםN/2הכוונה ב (

) :N=5למשל עבור )A= [1/ 5] a(-2T), a(-1T), a(0T), a(1T), A(2T).

כפולות של זווית יסודית ןם מפאזורים שמתקדמים בקפיצות שהייבהתמרה המנורמלת הוקטורים בבסיס החדש בנו

הלא מנורמלת הזווית עקב זאת בהתמרה . Tבמקרה שבו הזמן לא מנורמל משך הזמן של כל צעד הוא .θבגודל

.ω0=θ/T הבסיסית תהפוך לתדר בסיסי

:נציב את כל הדרישות ונקבל את הביטויים הבאים

0

/ 2

0/ 2

1 1( ) ( )N

jiT k

i Nk a iT e

N Nωα ω − ×

=−

= ∑

0

/ 2

0/ 2

1 1( ) ( )N

jk iT

k Na iT K e

N Nωα ω ×

=−

= ∑

ω0=θ/T =2π/(NT)

:)לא מנורמלת( סקרטיתי הדפורייהת נקבל את התמרוτ וN Tנשתמש בקשר בין נסדר אגפים ו

0

/ 2

0/ 2

1( ) ( )N

jiT k

i Nk a iT e

Nωα ω − ×

=−

= ∑

9

0

/ 2

0/ 2

( ) ( )N

jk iT

k Na iT k e ωα ω ×

=−

= ∑

ω0=2π/τ

: הערות

. םים לבסיס שמכיל גם תדרים שלילייתדרים חיוביבעלי מבסיס של אותות אקספוננציאליים בתחום התדר עברנו -

אותות אקספוננציאליים בעלי תדרים עוקבים שהם כפולות של התדר היסודי Nבוצה של קאפשרי ולמעשה כל המעבר

.יכולות להוות בסיס להתמרה

בציר התדר .τ הוא ההדגימזמן ומשך Tהקפיצות בזמן הם בגודל . ההתמרה מעבירה אותנו מציר הזמן לציר התדר -

אותו במידה והאות . W (W=2ωmax=2π/T) בח ותחום התדרים הנסרק הוא ברוω0 )(ω0=2π/τ הקפיצות הם בגודל

במידה והאות מכיל . צריך להיות קטןTבקצב גבוה והזמן בין הדגימות אותו מכיל תדרים גבוהים יש לדגום אנו דוגמים

.ך להיות גדולי צרτתדרים נמוכים צרי לדגום אותו במשך הרבה זמן ולכן

.) באופן שרירותי האמפליטודה נלקחה (נמחיש את הקשר בין ציר הזמן לציר התדר

ω0=2π/NT=2π/τ ωmax=(N/2)ω 0= =(N/2) (2π/NT) = π/T

י "ע וTי הקטנת " עNאפשר להגדיל את . האות הדגום יתקרב לאות הרציףבדרך זו ו Nבסעיפים הבאים נגדיל את

לא תשנה את τ הגדלת ,ומת זאתעל. ום התדרים אך לא תשנה את המרווח ביניהםח תגדיל את תTהקטנת . τהגדלת

בל את קצג בעזרת אינטגרל וניתן לייבשני המקרים אחד הסכומים נ. בתדרום התדרים אך תגדיל את הרזולוציהחת

: מרה של אות דגוםת או ההפורייטורי

פורייהטורי

פעולה זו הגיונית כאשר האות הוא מחזורי .בו אנו דוגמים הזמןמשך לאינסוף בלי לשנות את Nף את יאנשבסעיף

. קיים רק במשך זמן הדגימההאות או שτ מחזורבזמן

a[iT] -T 0 T 2T τ/2 t α[kω0 ] -ω0 0 ω0 2ω0 ωmax ω

τ

W

π/T 2π/τ

10

ה הדיסקרטית תמרהשל הנצא מהמשוואות

( ) ( ) ( )( )0 0 0/ 2 / 2 / 2

0/ 2 / 2 / 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )N N N

jiT k jiT k jiT k

i N i N i N

Tk a iT e a iT e a iT e TN

ω ω ωα ωτ τ

− − −

=− =− =−

= = =∑ ∑ ∑

0

/ 2

0/ 2

( ) ( )N

jk iT

k Na iT k e ωα ω

=−

= ∑

ω0=2π/τ

:כלומר. עזרת סכום רימןהפוך את הסכום הראשון לאינטגרל בונ . לאפסTות נשאיף את הזמן בין הדגימת עכ

,T↔dt iT↔t גבולות הסכום ±N/2אינטגרל ה ות הופכים לגבול (TN/2=τ/2) ±τ/2 .

:התוצאה המתקבלת

( )0

/ 2

0/ 2

1( ) ( ) j k tk a t e dtτ

ω

τ

α ωτ

−

−

= ∫

, .-τ/2<t<τ/2( )00( ) ( ) j k t

ka t k e ωα ω

∞

=−∞

= ∑

ω0=2π/τ

.יהירההתמרה האחרונה נקראת טורי פו

: בעזרת סכום רימןבמעבר מסדרה לאינטגרל השתמשנו בהגדרת האינטגרל: הערה

2 2

11 0

( ) ( )b N T N

i NTa N T

f t dt f iT Tlms=

=⎯⎯→=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫

: אפשר להבין את ההגדרה בעזרת הציור הבא

שואף לאפס השטחיםTכאשר . האינטגרל מתאר את השטח תחת העקומה והסכום מתאר את השטח של העמודות

.באינטגרלτ ו dt tשמופיע בסכום ב Nו T (iT), ∫ב∑ אנו מחליפים,כלומר. מתלכדים

במשוואה למציאת המקדמים בתדר המגבלה תקפה τ/2<t<τ/2-. בתהליך פיתוח הנוסחאות הזמן מוגבל לתחום :הערות

התוצאה שנקבל . בכל זמןaאנו יכולים לחשב את הערך של . המגבלה מיותרתבמשוואה למציאת הערכים בזמן אך

בלים ערכים בדידים קבציר התדר מ. לאותות מחזורייםתולכן התמרה זו מתייחס. τתפיק אות מחזורי כשמשך המחזור

f(t) -τ/2 0 T τ/2 t

11

אות הוא)המשוחזרהאות (הזמני שמתקבל בעזרת ההתמרה ההפוכה נוכיח שהאות .0ω יסודי רבכפולות של תד

:מחזורי

( ) ( )}

{( )

2

0 0 000 0

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )jk t jk t jk tjk

k k ka t k e k e e k e a t

π

ω τ ω ωω ττ α ω α ω α ω∞ ∞ ∞

+

=−∞ =−∞ =−∞

+ = = = =∑ ∑ ∑

:נמחיש את התהליך בציורום כלסי

:וקטורים מהצורהמאינסוף היה בנוי לפני שעברנו מסכום לאינטגרל הסטנדרטי ממנו יצאנו הבסיס הערה

( )( ) 0,0,...,1,0,....0iT =x .הוא זהבסיס ההייצוג של האות בעזרת ה:/ 2

/ 2( ) ( )

N

i Na iT iT

=−

= ∑A x

פונקציות , כלומר.של פונקציות הלם בזמנים שוניםרציף הופך לאוסף הסתנדרטי לאחר המעבר לאינטגרל הבסיס

):מהצורה ') ( '), - / 2< '< / 2t t t tδ τ τ= −x.

:הואהייצוג של האות בעזרת הבסיס הזה / 2

/ 2

( ') ( ') 'a t t t dtτ

τ

δ−

= −∫A.

:ואכן מתקיים/ 2

/ 2

( ') ( ') ' ( )a t t t dt a tτ

τ

δ−

− ) הייצוג האחרון הוא באמת ייצוג של האות , כלומר∫= )a t בעזרת בסיס

.סטנדרטי רציף

פורייה של אות דגום התמרת

כאשר רוצים לעקוב אחר מועילה בין היתרפעולה זו . לאינסוף בלי לשנות את הזמן בין הדגימותNנשאיף את בסעיף

. פעם ביוםבמקרה זה נמדוד את הטמפרטורה . מזג אוויר לטווח ארוךיישל במעקב אחר שינולמ. רוכי טווחאתהליכים

.ול שאפשרכ משך זמן המדידה הרצוי הוא גדול כ,תאומת זעל .ילעמדידה צפופה יותר לא תו

:ההתמרה במקרה זה מכונה התמרת פורייה לאות בדיד והיא מסומנת ב

DTFT (descrete Time Fourier Transform)

A(t) -τ/2 0 τ/2 t α[kω0] …… ….. -ω0 0 ω0 2ω0 ω

12

.) לאפסω0את ( לאינסוףτ את שאיףנצא מהמשוואות של ההתמרה הדיסקרטית ונ

( )0/ 2

0/ 2

1( ) ( )N

jiT k

i N

k a iT eN

ωα ω −

=−

= ∑

( )0/ 2

0/ 2

( ) ( )N

j k iT

k N

a iT k e ωα ω=−

= ∑

ω0=2π/τ

.ובאות הספק) שואף לאפס בקצוות(פל בנפרד בשני מקרים באות אנרגטי טצריך ל תכע

. בלבדבאות אנרגטי בשלב זה נטפל

קטנו ובסופו י יα(kω0)ות אנרגטי משלב מסוים הסכום מפסיק להשתנות ולכן הערכים של באτכאשר מגדילים את

המשתנים . α'(kω0) .Nα(kω0) = α'(kω0) ים חדשים כדי להתגבר על בעיה זו נעבוד במשתנ.שאפו לאפסיר יבשל ד

.שואף לאינסוף τ שואפים לגודל קבוע כאשר החדשים

.במשתנים החדשיםנרשום את המשוואות

( )0/ 2

0/ 2

'( ) ( )N

jiT k

i Nk a iT e ωα ω −

=−

= ∑

( )0/ 2

0/ 2

1( ) '( )N

j k iT

k Na iT k e

Nωα ω

=−

= ∑

. ונקבלω0T/2π=1/Nנשתמש בקשר וכן "' " את סימן הטשמינ

0

/ 2

0/ 2

( ) ( )N

jiT k

i Nk a iT e ωα ω − ×

=−

= ∑

( )/ 2

0 0/ 2

( ) ( )2

Njk iT

k N

Ta iT k e ωα ω ωπ

×

=−

= ∑

: לאינטגרל בצורה הבאהשניהפוך את הסכום הונ לאפס ω0כעת נשאיף את

, ω0↔dω kω0↔ω גבולות הסכום ±N/2ם לגבולות האינטגרל הופכי (ω0N/2=π/T) ±π/T .

:התוצאה המתקבלת

, .- π/ T >ω<π/T ( ) ( ) jiT

i

a iT e ωα ω∞

−

=−∞

= ∑

/

/

( ) ( )2

Tj iT

T

Ta iT e dπ

ω

π

α ω ωπ −

= ∫

13

.פורייה של אות דגוםהתמרת ההתמרה האחרונה נקראת

המגבלה זמןב במשוואה למציאת המקדמים T/π>ω< T/π-. , מוגבל לתחום תדרבתהליך פיתוח הנוסחאות ה: הערות

התוצאה . תדר בכל αאנו יכולים לחשב את הערך של . המגבלה מיותרתתדרתקפה אך במשוואה למציאת הערכים ב

את המשמעות של . )פורייה הוכחה דומה למקרה של טור ( 2π/T כשמשך המחזורבתדר שנקבל תפיק אות מחזורי

.Tזמן הדגימה בלים ערכים בדידים בכפולות של קמ זמןבציר ה. פל באינטגרל פוריהטשר נאהמחזוריות בתדר נבין כ

:נמחיש את התהליך בציורום כלסי

יהיאינטגרל פור

ניתן לייצג גם אותות לא מחזוריים בעזרת שמסתבר . יםטור בעזרת )בזמן או בתדר (עד כה טיפלנו באותות מחזוריים

באופן . יש צורך לסכום את כל האותות לא בעזרת סכום אלה בעזרת אינטגרלאוסף של אותות הרמוניים אך במקרה זה

י במקרים מיוחדים יש ש באופן מע) לאפס בקצוותותאפושאותות ש(היות אותות אנרגטיים האותות חייבים ל יפורמאל

.גם התמרות לאותות לא אנרגטיים

בעזרת גם גדלה של מספר הדגימות נעשההה. מספר הדגימותשל הגדלהי " לאינטגרל מתבצע עיםהמעבר מטור

.τ משך הדגימהלשם כך נתחיל מטור פורייה ונגדיל את. הגדלת משך דגימהעזרת בהקטנת הזמן בין הדגימות וגם ב

מחזורי שיחזור על אות מחזורי למאותאנו עוברים , כלומר. זמן המחזור לאינסוףאת יםפישאאנו למעשה מ בדרך זו

כאשר מגדילים את זמן המחזור . כך אפשר להתייחס אליו כאל אות שלא חוזר על עצמו לעולם. זמןעצמו בעוד המון

אינטגרל פוריה את קבלת אפשרות אחרת ל .הרזולוציה בתדר הולכת וגדלה ובסופו של דבר אנו שואפים לרצף בתדר

.Tצאת מהתמרת אות דגום ולהקטין את הזמן בין הדגימות היא ל

בר לזמנים בהם ערך האות המקורי עמשך הדגימה צריך להכיר את התנהגות האות בזמנים מכאשר מגדילים את הערה

.זהבתחום נניח שהאות שווה לאפס מקורי זמנים הום החבר לתעמבמידה והאות המקורי לא ידוע . ידוע

A[iT] -2T -T 0 T t T= 2π/ W

α[ω] -π/T 0 π/T ω ωmax= π/T W W=2ωmax

14

0

/ 2

0/ 2

1( ) ( ) jk tk a t e dtτ

ω

τ

α ωτ

−

−

= ∫

, .-τ/2>t<τ/200( ) ( ) jk t

k

a t k e ωα ω∞

=−∞

= ∑

ω0=2π/τ

משלב מסוים םעבור אות אנרגטי. יםי באותות אנרגט זמן הדגימה לאינסוף וכן אנו דניםמגדילים את כאמור אנו

כדי להתגבר . ישאף לאפסα הערך של כלτ עם הגדלת עקב זאת τ. עם הגדלתאת ערכו לא ישנה האינטגרל הראשון

:משתנה החדשעבור הנרשום את המשוואות ]. [α' , α'=τα נגדיר משתנה חדש על בעיה זו

0

/ 2

0/ 2

'( ) ( ) jk tk a t e dtτ

ω

τ

α ω −

−

= ∫

, .-τ/2>t<τ/20 00 0 0

' 1( ) ( ) '( )2

jk t jk t

k ka t k e k eω ωα ω α ω ω

τ π

∞ ∞

=−∞ =−∞

= =∑ ∑

ω0=2π/τ

.ונהפוך את הסכום לאינטגרל) ישאף לאפס ω0( לאינסוף τ כמו כן נשאף את ," ' " כעת נוכל להשמיט את סימן ה

0 0, ,d kω ω ω ω→ →

∫∞

∞−

−= dteta tjωωα )()(

, .-∞>t<∞1( ) ( )2

j ta t e dωα ω ωπ

∞

−∞

= ∫

ת המותמרים באותיות ות קטנות והאותו באופן בו האותות הזמניים מצוינים באותיהאחרונהנהוג לסמן את ההתמרה

. גדולות

.Xוהאות המותמר ב xלמשל במסומן האות הזמני F -1ההתמרה ההפוכה מסומנת ב .Fההתמרה מסומנת באות , כלומר

( ) { }

( ){ } ( )1

( ) ( )

1( )2

j t

j t

X F x t x t e dt

x t F X X e d

ω

ω

ω

ω ω ωπ

∞−

−∞

∞−

−∞

= =

= =

∫

∫

מה לטיפול באותות יהתמרה זו מתא כפי שצוין . או אינטגרל פורייההאחרונה נקראת התמרת פורייההתמרה ה

למרות הנאמר במקרים מסוימים אפשר להשתמש . בהמשךוהמגבלות המפורשות לקיום ההתמרה יינתנ. אנרגטיים

נקציות הלם אפשר תמטיות ושימוש בפובמקרים אלה בעזרת מניפולציות מ. באינטגרל פורייה גם באותות הספק

,בנוסף לכך .המקרה של אות דגום כמקרים פרטיים של אינטגרל פורייהאת להכליל את המקרה של תורי פורייה ו

. וכן התמרות של רעשu(t)בעזרת טריקים כאלה אפשר לקבל התמרה של אותות כגון

ט אותות כמע,אותות מחזוריים, )DC (יטאותות בעלי הס. את אותות ההספק אפשר לחלק למספר קבוצותכללי באופן

. נפרדתת כל סוג מחייב התייחסו.כאוטייםואותות אותות רעש אותות אקראיים ,יםימחזור

15

aאם האות , למשל. a שונות מהיחידות של αהיחידות של , כלומר. שהאינטגרל יוצר שינוי ביחידותחשוב לשים לב

מפרקים בהתמרה אנו. [v /Hz] או בצורה אחרת [v sec]יהיו α הוא אות מתח תלוי בזמן היחידות של האות המותמר

הרמוניים כאשר האמפליטודה של כל הרמוניה בודדת שואפת לאפס אך חבור של רצף את האות לרצף של אותות

שכל מסויםאם נחבר אוסף של הרמוניות בתדרים קרובים נקבל למשך זמן .הרמוניות כאלה יוצר את האות המקורי

הבדל הקטן בתדר יגרום שינוי עבור זמנים רחוקים ה. זהים ולכן נקבל בקרוב אות הרמוני בתדר המרכזיהאותות כמעט

. מופע והאותות יבטלו האחד את השני

2 ( ) קטן t ( )

גדול 0 t

j tj t e

e dω ω

ω

ω

α ωα ω ω

+Δ

−Δ

⎧ Δ≅ ⎨⎩

∫

דו צדדיתפלסאהתמרת ל

שתעזור גם רה להגדיר התמרה בעלת תכונות דומותטהמ. בהתאם לנאמר התמרת פורייה מוגבלת לאותות מסוימים

בהתמרת . השימוש במספרים קומפלקסים בהתמרת פורייה לא נוח, בנוסף לכך.במקרים בהם התמרת פורייה לא קיימת

בזמן האינטגרציה מבצעים אינטגרציות רגילות ורק בשלב . משתמשים במספרים משדה המספרים המורכביםלאפלס

.תהליך את היםפשטמ זו ך למספרים דמיוניים ובדריםבורוהסופי ע

:הגדרת ההתמרה

( ) ( ) stA s a t e dt∞

−

−∞

= ∫

1( ) ( )2

k jst

k j

a t A s e dsπ

+ ∞

− ∞

= ∫

:תכונות

. ההתמרה מתלכדת עם התמרת פורייה k=0 ו s=jωשעבור המקרה בו ברור , לאפלסשל התמרת בהתאם להגדרה

כאשר חוקרים . מתנדנד נציאליונקספאעל אות הזמני ל האות ט ההתמרה מתארת את היsעבור ערכים אחרים של

. מדים על המערכת הן מתוך ערכי ההתמרה והן מתוך התחום בו ההתמרה קיימתואנו ללאפלס מערכת בעזרת התמרת

לי יטאנו מחשבים את ה, כלומר). רייה קיימתובמקרים שהתמרת פ(רייה ו היא הרחבה של התמרת פלאפלס התמרת

ערכי ההתמרה , כלומר.אינפורמציהעודף ה זו יש לנו בהתמר. האות על קבוצה של אותות שהיא יותר גדולה מבסיס

בהתמרה ההפוכה אנו משתמשים רק .s מאלצת את הערכים באזורים אחרים של מישור sבקבוצה חלקית של מישור

הסבר נוסף לכך שאנו יכולים להשתמש . ומתחשבים בערכי ההתמרה רק בקו מסויםלשחזור הנחוצה הבאינפורמצי

הפונקציה ערכי). גזירה(מערכי האות המותר היא שההתמרה יוצרת פונקציה אנליטית חלק רק בבהתמרה ההפוכה

.ובעים את ערכי הפונקציה בתוך המעטפתק אנליטיות פונקציות במעטפת של

1

אותות ומערכות

:6הרצאה מס

תכונותפורייה טורי

נושאי ההרצאהההיגיון כן הראנו את וימה תאהסברנו לאיזה אותות כל צורה מ ,התמרות פורייהשל צורות שונות גנוצהבפרק הקודם

שעסקנו לכל המקרים המשותף .נתרכז בכל אחת מההתמרותובפרק הבא נוכחיבפרק ה. במעבר בין הצורות השונות

מבחינה אלגברית אנו . את האות הזמני בעזרת חיבור של אותות הרמוניים בתדרים שוניםהוא שאנו בונים בהם

.)אקספוננציאליים (של אותות הרמונייםוגונלי טאוריצגים את האות הזמני בעזרת בסיס ימ

טורי פורייה

טורי היא ההתמרה הנקראת τמחזור בעלי זמן בזמן מתאימה לאותות מחזורייםהתמרה ההכפי שראינו בפרק הקודם

.פורייה

ים של האות הם מרכיבים בתדרים שהם כפולות שלמות של תדר יתכונה הבולטת במקרה זה היא שהמרכיבים ההרמונה

תדר ה שמוגדר רק בתדרים שהם כפולות של בדיד הספקטרום במקרה זה הוא ספקטרום ,כלומר. האות המחזורי

נראה שספקטרום זה הוא למעשה דגימה של ספקטרום רציף שמתקבל ) היגרל פוריבפרק של אינט(בהמשך .יסודיה

לחישוב האות בתדר משתמשים רק היא שטורי פורייהתכונה אופינית נוספת של .מהתמרת פורייה של מחזור אחד

.במחזור אחד של האות בזמן

ם אלה מבטיחים התכנסות יתנאי. י דריכלהינקראים תנאפורייה טור ל שקיום מאפשרים שעל האות הזמני המגבלות

. המקוריתזמנית בכל הנקודות הרציפות של הפונקציה פורייה נכונה של טור

:י דריכלהיתנא

1 (0

x dtτ

< ∞∫

.בכל קטע סופי יש מספר סופי של נקודות אקסטרימום) 2

A(t) -τ/2 0 τ/2 t α[kω0] …… ….. -ω0 0 ω0 2ω0 ω

2

.רציפות-אינקודות בכל קטע סופי יש מספר סופי של ) 3

:י דריכלה הראשון היא הפונקציה הבאהיימת את תנאידוגמא לפונקציה מחזורית שלא מק -

1/ tבתחום מאפס לאחד .

:י דריכלה השני היא הפונקצייה הבאהימת את תנאיידוגמא לפונקציה מחזורית שלא מק -

sin(1/ )tאחד בתחום מאפס ל.

:י דריכלה השלישי היא הפונקצייה הבאהיימת את תנאידוגמא לפונקציה מחזורית שלא מק -

( )sign sin(1/ )t בתחום מאפס לאחד.

הערך של האות שמתקבל מהתמרת פורייה ההפוכה בנקודות אי רציפות של האות הזמני המקורי הוא הערך :הערה

.של האות המקורי ודת האי רציפות מימין ומשמאל לנקגבולהאמצעי בין ה

.ת יש מספר ווריאציוטורי פורייהל

:קספוננצייאליםאטורי פורייה ה -

F התמרה

( ) 0

/ 2

0/ 2

1( ) ( ) ( ) jk tk k F a t a t e dt

τω

τ

α α ωτ

−

−

= = = ∫

F-1 התמרה הפוכה

( ) 0 010 0( ) ( ) ( ) jk t jk t

kk k

a t F k k e eω ωα ω α ω α∞ ∞

−

=−∞ =−∞

= = =∑ ∑

ω0=2π/τ

הערה

τ בזהזמן הה לפעמים מסמנים את .באות מחזורי בודדמחזור של משך הזמן את או ההקלטה מסמן את זמן T במקום

τ.

αn ממשיות בזמן המקדמים תעבור פונקציו. הם מספרים מרוכביםαnבאופן כללי המקדמים של הטור האקספוננציאלי

.*α(n)= α(-n): יקיימו את השוויון הבא

הטריגונומטרייםפורייהטורי -

F התמרה/ 2

0 0/ 2

1 ( ) , 0a f t dt bτ

ττ −

= =∫

/ 2

0/ 2

2 cos( ) ( ) , 0na n t f t dt nτ

τ

ωτ −

= >∫

3

/ 2

0/ 2

2 sin( ) ( ) , 0nb n t f t dt nτ

τ

ωτ −

= >∫

F-1 התמרה הפוכה

0 00 0

( ) cos( ) sin( )n nn n

f t a n t b n tω ω∞ ∞

= =

= +∑ ∑

ω0=2π/τ

. והאקספוננציאלי שונההטריגונומטריום הסכימה בטור חת, שים לב

כאשר בכל אות יש בלבד cosיים מסוג טור של אותות הרמונהיא בעזרת הטריגונומטרית נוספת של ההתמרה וריאציה

.הייצוג האחרון נקרא ייצוג לפי אמפליטודה ופאזה. מתאימההתחלתית פאזה

.ייצוג לפי אמפליטודה ופאזהב פורייהטורי -

( ) ( )00

cosn nn

f t c n tω ϕ∞

=

= +∑

b0=0 2 2 1, tan nn n n n

n

bc a ba

ϕ − ⎛ ⎞−= + = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

. φ0=0וC0=a0 מתקבל b0=0 העובדה שעקב : הערה

וג לייצוגמעבר מייצ

בהתאם לכך נקבל את הקשרים בין . x על ציר באופן גרפי ניתן לתאר כל הרמוניה בעזרת היטל של מחוג מסתובב

:שוניםצוגים הייבהמקדמים

: את התמונה הבאהבייצוגים הטריגונומטרים נקבל

:הבאיםמעברים ה סיק אתהאפשר לולזהות הטריגונומטרית הבאה בהתאם לציור

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0cos cos cos - sin sinn n

n n n n n n

a b

c n t c n t c n tω ϕ ϕ ω ϕ ω+ = +1 4 2 43 1 44 2 4 43

מאמפליטודה ופאזה מייצוג הטריגונומטרי ל -

2 2 1, tan nn n n n

n

bc a ba

ϕ − ⎛ ⎞−= + = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

an

bn

cn

φn

nω0t

4

מאמפליטודה ופאזה לייצוג הטריגונומטרי -

( ) ( )cos , sinn n n n n na c b cϕ ϕ= = −

צמודים פאזורים מקבלים כל הרמוניה כסכום וקטורי של שני אנוהאקספוננציאלי הגרפי של הביטוי בייצוג

nω0-. ואחד בתדר זוויתיnω0אחד בתדר זוויתי . שמסתובבים בכוונים מנוגדים :המחשה

:במעברים הבאיםה הסיק אתאפשר לולזהות הבאה בהתאם לציור

( ) ( ) ( ) ( ){ ( )0 0 0 0arg arg arg arg

02 cos argn n n n

n n

j j j jjn t jn t jn t jn tn n n n n n

c

e e e e e e e e n tα α α αω ω ω ω

ϕ

α α α α α ω α− −− −−

⎛ ⎞⎜ ⎟+ = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

14 2 43

מאקספוננציאלי למאמפליטודה ופאזה -

( )( )

1 imj2 , tan

reln

n n nn

cα

α ϕα

− ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

מאמפליטודה ופאזה למאקספוננציאלי -

*

, 02

, 0

njnn

n n

c e n

n

ϕα

α α−

= ≥

= <

מאקספוננציאלי לטריגונומטרי -

an=( αn+α-n)=2rel(αn) ,bn=j( αn- α-n)=-2im(αn)

מטריגונומטרי לאקספוננציאלי -

( )*

, n 02

, n 0

n nn

n n

a jb

a

α

α −

−= ≥

= <

αn αnejnω0t φn αnejnω0t+ α-ne-jnω0t= 2|αn| cos(nω0t+ φn) α-n α-ne-jnω0t

5

של טורי פורייהתכונות

} .אריותילינ • } { } { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )F ax t bx t aF x t bF x t+ = +

)0cosנקבל טור של פונקציות מסוג } x(t)=x(-t){עבור אות זוגי • )n tω .לכל , כלומרn bn=0 ו αnממשי.

)0sinנקבל טור של פונקציות מסוג } x(t)=-x(-t){זוגי -עבור אות אי • )n tω .לכל , כלומר n an=0ו αn דמיוני

.טהור

נקבל טור של פונקציות שמכיל רק הרמוניות } x(t)=-x(τ/2+t){ית חצי גל מהסוג עבור אות בעל סימטר •

.זוגיות-אי

אחרת לפי פרסוול נקבל (כל ההרמוניות של כל אות מחזורי בעל הספק סופי שואפות לאפס מתדר מסוים והלאה •

. )הספק אינסופי

גורמים להרמוניות בנגזרתנקודות אי רציפות גם , כןכמו. אות בעל נקודות אי רציפות יכיל הרבה תדרים גבוהים •

.יחסית גבוהות

נובע מכך שגזירה משנה את הפאזה של כל . 0jnω בnגורמת להכפלה של המקדם של הרמוניה פעולת גזירה •

ים מהירים י גזירה מדגישה שינו,כלומר. רמוניות הגבוהותאמפליטודה של ההמגדילה את הההרמוניות במידה שווה ו

.ותבא

0jnω/1הרמוניה בכל גורמת להכפלה של המקדם של במידה ואות המוצא נשאר מחזורי פעולת האינטגרציה •

(n≠0) .אמפליטודה של את הקטינהמ משנה את הפאזה של כל ההרמוניות במידה שווה ואינטגרציהנובע מכך ש

.כלומר אינטגרציה מחליקה את האות. רמוניות הגבוהותהה

השינוי במרכיבים ההרמוניים , כלומר. םמזיזה את כל אחת מההרמוניות אך לא משנה את גודל בזמןהזזה של אות •

. של הטור של האות המוזז בזמן לעומת ההרמוניות של הטור המקורי יהיה רק בפאזה של ההרמוניות

. הייצוגים של הטורשלושתאפשר להציג את הגרף ב. נוח להציג אותות בעזרת גרף בציר התדר •

קב לאות מחזורי "ה של מלתגוב

מתקבלת בעזרת קונבלוציה של במקרה זה העובדה שהתגובה אפשר ללמוד מתוך אות מחזורי לקב "מלשל התגובה על

סכום מתקבלת מתגובות המערכת שהיא אות מחזורי ל המתקבלת לגבי התגובה המסקנה. להלםהאות הכניסה והתגוב

. )מתקבל לאחר החלפה של סדר סכימה ואינטגרצה (האות המחזורילכל אחת מההרמוניות שמרכיבות את התגובות

ניתן לחשב את תגובת המערכת לכל אחת .התגובה של המערכת לכל אחת מההרמוניות היא אות הרמוני בתדר הכניסה

אפשר לייצג כל אות הרמוניה זמני בעזרת מספר מורכב המכונה , כלומר. מההרמוניות בעזרת עבודה בפאזורים

X(nω0), הוא nω0של אות כניסה בתדר הפאזור .הפאזור

0( ) njnX n c e ϕω =

Y(nω0), הפאזור של אות המוצא בתדר הנתון הוא { }0arg( ( ))

0 0( ) ( ) nj H nnY n c H n e ω ϕω ω +=

)0כאשר )H nωהוא פונקצית התמסורת של המערכת .

6

:הביטוי הזמני לאות המוצא הוא

{ }0 0 0 01

( ) (0) ( ) cos arg( ( ))n nn

y t c H c H n n t H nω ω ω ϕ∞

=

= + + +∑

)0 פונקצית התמסורתאת הערך שלניתן לחשב , כפי שראינו בפרק הקודם )H nω של התגובה הפוריי בעזרת אינטגרל

.פרנציאלית של המערכתיהמשוואה הדשל הפורייבעזרת התמרת אך הדרך הפשוטה יותר היא . של המערכתלהלם

ואין צורך בפונקצית התמסורת jωבשמופיע במשוואה Dטור הגזירה אופראת בדרך זו באופן מעסי מחליפים

)0לחישוב דוגמא (באינטגרציות )H nω בפרק שדן בהתמרת פורייה מתוארת(.

למשל מערכת שמבצעת . לאפסאות מחזורי נכונות בתנאי שהתגובה להלם מתכנסת לשענות לגבי התגובה טההערה

H(0) במקרה זה . לאפס לא מתכנסתפונקצית זורכת שהתגובה להלם שלה היא מדרגה והיא מעאינטגרציה = ∞

בעזרת טור אותואי אפשר לתאר נקבל במוצא אות מתבדר לא מחזורי ושל אות הכניסה שונה מאפס 0cובמידה

.סחהלחשב אותו בעזרת הנו וכמובן אי אפשר פורייה

דוגמאות

טור השל עבור לייצוגים הנוספים.tsω(sin5=f(, f האקספוננציאלי עבור הפונקציה ההרמונית טור פורייהחשב את ) א

פתרון

ω0=ωs.:כלומרהסינוסי המחזורי אות ההתדר היסודי של הטור הוא התדר של

b1=5 0 1nb,שבעזרת השוואת מקדמים ברור ללא חישוב n= ∀ 0na ו, ≠ =

,1 11, 0, 5 / 2 5 / 2nn j jα α α−≠ ± = = − =.

1 15 / 2c ϕ π= = −

. השוניםצוגיםי בין הי בתרגיל לאמת את התוצאות ולאמת את כלי המעבררהטהמ

( )

( )( ) ( )( )

0 0

0 0

/ 2 / 2 / 2

0 0 0 0/ 2 / 2 / 2

/ 2 / 2

0 0 0 0/ 2 / 2 cos 1 cos 1

0 2

1 1 5( ) 5sin( ) sin( ) cos( ) sin( )

5 5sin( ) cos( ) sin( )sin( )

jn t jn tn

n t n t

f t e dt t e dt t n t j n t dt

t n t dt j t n t

τ τ τω ω

τ τ τ

τ τ

τ τ ω ω

α ω ω ω ωτ τ τ

ω ω ω ωτ τ

− −

− − −

− − + − −

= = = − + − =

= − + −

∫ ∫ ∫

∫ 1 4 44 2 4 4 431 4 4 4 4 2 4 4 4 43

0, 1,12, 1

2, 1

0, 1,15 2, 1

5 2, 1

nj n

j n

ndt j n

j n

ττ

≠−⎧⎪ =−⎨⎪ − =⎩

≠ −⎧⎪= = −⎨⎪ − =⎩

∫1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3

)cos :בפיתוח השתמשנו בכלל ) cos( )sin( )sin( )2

α β α βα β − − +=

דמיוניαמכוון שהאות הוא אות סינוסי בנוסף לכך . ω0±יש לו רכבים רק בתדרים כצפוי וני ולכן האות הוא אות הרמ

.טהור

7

.לטור הטריגונומטריבעזרת כללי המעבר נעבור

an=( αn+ α-n)=2rel(αn)=0 .

n n -n n

-2imj(-5/2)=5, n=1b =j( - )=-2imj( )=

0, n 1α α α

⎧⎨ ≠⎩

האקספוננציאללטור מהטור הטריגונומטרי נחזור

( )

1 11

**

1 ( 1)

5 , n 02 2 2

5 5 , 0 n2 2

n nn

a jb a jb j

j ja

α α

α− − −

− − −= ⇒ = = ≥

−⎛ ⎞= = = >⎜ ⎟⎝ ⎠

.לטור לפי אמפליטודה ופאזה יהאקספוננציאלמהטור נעבור

{

( )( )

( )( )

1 11

11 1 11

1

2 5, 0,

imj imj 5 / 2tan tan tan / 2rel rel 0

nn

nn

n

c cα

α αϕ ϕ π

α α

≠

−∞

− − −

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎛ ⎞= ⇒ = = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

64 7 48

: ת התוצאותבדיק

אמפליטודה ופאזהבדיקה של הייצוג בעזרת

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 10

0 1

cos cos 5cos / 2

5 cos cos / 2 sin sin / 2 5sin

n nn

f t c n t c t t

t t t

ω ϕ ω ϕ ω π

ω π ω π ω

∞

=

−

= + = + = − =

⎛ ⎞⎜ ⎟− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

1 4 2 43 1 4 2 4 3

n הטור הטריגונומטרבדיקה של הייצוג בעזרת nb , a.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 1

cos cos 5cos / 2 0

sin sin 5sin / 2 5n n n

n n

a c a c

b b c

ϕ ϕ π

ϕ ϕ π

= ⇒ = = − =

= − ⇒ = − = =

אמפליטודה כללי המעבר מהייצוג של בעזרת נבדוק את התוצאה. יהאקספוננציאל הטור בעזרתבדיקה של הייצוג

.ופאזה

( ) ( )( )1 / 211

5 5 5cos / 2 sin / 22 2 2 2 2

nj j jnn

c ce e e j jϕ ϕ πα α π π−= ⇒ = = = − + − = −

.t(f(עבור הפונקציה המחזורית הטריגונומטרי פורייהצייר את האות וחשב את טור ) ב

( ) ( ), 2 >t< 2 f t sign t τ τ= −

8

. a0=0האות יושב סביב האפס ללא היסט ולכן צפוי ש

. n an=0 זוגי ולכן צפוי לכל -האות הוא אי

.זוגיות-האות בעל סימטרית חצי גל לכן צפוי שהאות יכיל רק הרמוניות אי

בהתאם להגדרההטריגונומטרי נחשב את הטור

{/ 2

/ 2 0 / 2

0/ 2 / 2 0

/ 2(0 ( / 2))

0

1 1( ) 1 1 0a f t dt dt dt

τ

τ τ

τ τ

ττ

τ τ

−

− −

− − −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

= = − + =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ ∫1 44 2 4 43

14 2 43

1 4 44 2 4 4 43

{ {0 00 00 0

0 0

/ 2 0 / 2

0 0 0/ 2 / 2 0

1 1sin(0) sin( ) sin( ) sin(0)

2 2( ) cos( ) cos( ) cos( ) 0n

n nn n

a f t n t dt n t dt n t dtτ τ

τ τ

π πω ω

ω ω ωτ τ− −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = − + =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ ∫

14 2 43 14 2 431 4 4 44 2 4 4 4 43 1 4 4 44 2 4 4 4 43

1 4 4 2 4 4 3 1 44 2 4 43

0 / 20 0/ 2 0

0 0

0

/ 2 0 / 2

0 0 0/ 2 / 2 0

cos( ) cos( )

cos(0) cos( ) cos( cos( )) cos(0)

2 2 2 1 co( )sin( ) sin( ) sin( ) 2n

n t n tn n

n n nn

b f t n t dt n t dt n t dt

ττ

τ τ

τ τ

ω ωω ω

π πω

ω ω ωτ τ τ− −

−

− − +

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪= = − + =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ ∫1 4 4 2 4 4 3 1 44 2 4 43

1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43

( )

( )

( ){

( )

0

1

0

1 12

0

2

s( )

1 1 1 14 2

n

n

n

n n

nn

n n

ω

π

πω

ω τ π

−

− −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

− − − −=

64 7 48

1 4 4 2 4 43

f(t) t

- τ /2 τ/2

9

:תוצאה סופית

( ) 41 12

0

n

nb nn

ππ

⎧− − ⎪= = ⎨⎪⎩

.זוגיות- האות מכיל רק הרמוניות אי,כצפוי

:לרשום את הביטוי האחרון בלי להפריד בין מספרים זוגיים ואי זוגייםאפשר

( )2 14

2 1nbn π+ =+

:אההפוכה הו פורייה תבל בעזרת התמרמתקהביטוי הזמני של האות

( ){ } ( ) ( )( )10

0

4( ) sin 2 12 1n

f t F F n tn

ω ωπ

∞−

=

= = ++∑

:הצג את הטור בעזרת אמפליטודה ופאזה) ג

:לפי כללי המעבר

( )2 241 1

20

n

n n n nc a b b nn

ππ

⎧− − ⎪= + = = = ⎨⎪⎩

:זוגיים-לרשום את הביטוי האחרון בלי להפריד בין מספרים זוגיים ואיאפשר

( )2 1 2 14

2 1n nc bn π+ += =+

( )1 1 1tan tan tan =- 0 2

n nn

n

b ba

πϕ − − −⎛ ⎞− −⎛ ⎞= = = −∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )( )00

4( ) cos 2 1 / 22 1n

f t n tn

ω ππ

∞

=

= + −+∑

n זוגי- אי

nזוגי

n זוגי- אי

nזוגי

10

הצג את גרף ההרמוניות של האות)ד

. הפונקציהשלחשב את הטור האקספוננציאלי ) ה

ונשווה את התוצאה לזו שמתקבלת בעזרת כללי מעבר בין בהתאם להגדרהישירות נחשב את הטור האקספוננציאלי

.יצוגיםיה

0 0 0

0 00 0 / 2 0 / 2 0

0 0

0

0 0 0

/ 2 0 / 2

/ 2 / 2 0

( 0)

2 cos( / 2)1

0 / 2 / 2

1 1( )

1

jn jn jn jnT T

T Tjn t jn t jn t

nT T

e e e ejn jn n

n T

jn jn T jn T jn

f t e dt e dt e dtT T

e e e eT

ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω

ω

ω ω ω ω

α

− − −

− − −

− −

− −−

− − ≠

− − −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = − + =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

− + + −

∫ ∫ ∫1 44 2 4 43 1 4 2 4 3

6 7 8 6 4 44 7 4 4 48

{ } { }

0

1

0

0 ( 0)

( 0)

( 0) ( 0)

2 2cos( )2

1 ( 1)1 cos( )

n

n

n

n n

njn j n

jj nn n

πω π

ππ π

≠

≠

≠ ≠

⎧ ⎫⎪ ⎪ − +⎪ ⎪ = =⎨ ⎬− −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

− − −− +=

6 7 8

{ }( 0)

1 ( 1)n

n n

j

nα

π≠

− − −=

.במקרה הנוכחי נקבל אפס. צריך לחשב בנפרדα0את

: לפי כללי מעברנחשב את מקדמי הטור הטריגונומטרי

an=2rel(αn)=0 .( )1 1

2n

nπ− −

bn=-2im(αn) =

.של הטור הטריגונומטריהישיר אלה אותם הביטויים שקיבלנו בחישוב , ואכן

C(ω) C1 Cn=4/nπ ( יזוג- אי n) C3 C5 1ω0 3ω0 5ω0 7ω0 9ω0 ω

11

.t(g( עבור הפונקציה המחזורית פורייהחשב את טור ) ו

( ) 4 2 >t< 2 g t t τ τ τ= − −

כדי לפשט את . על האות אך ההתמרה מצריכה שימוש באינטגרציה בחלקים ישירה פורייהאפשר לבצע התמרת

את האינטגרל נחשב .)ראה ציור (מהתרגיל הקודם f בעזרת אינטגרל על הפונקציה gנבטא את הפונקציה התהליך

.איבר איבר

): מתקבלרציובהתאם ל ) ( ) t

g t f dτ τ−∞

= ).a0=0 כלומר הנח שהפונקציה המתקבלת היא ללא היסט (∫

( ){ }

00

number

0 0

0 20 0 0

02

0 0

4( ) ( ) sin((2 1) )(2 1)

4 cos(2 1) ) cos((2 1) ( )4 sin((2 1) )

(2 1) (2 1)

4 cos (2 1) 4cos(2 1)

t t

n

t

n n

n

g t f d n dn

n t n

n dn n

n tn

τ τ ω τ τ

ω ω

ω τ τω

ωω

∞

=−∞ −∞

∞ ∞

= =−∞

∞

=

⎧ ⎫= = + =⎨ ⎬+⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪− + − + −∞⎨ ⎬⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎩ ⎭+ = =⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

− += +

+

∑∫ ∫

∑ ∑∫

∑

6 4 44 7 4 4 48

{

( )

00

number

002 2

0 00 0

(2 1) 20

4cos (2 1)((2 1) ( )(2 1) (2 1)

4(2 1)

n n

a

n

n tnn n

an

ωωω ω

ω

∞ ∞

= =

+

− ++ −∞=

+ +

⎧ ⎫−→ =⎨ ⎬

+⎩ ⎭

∑ ∑6 4 44 7 4 4 48

1 4 4 4 4 2 4 4 4 43

f(t) t -τ/2 τ/2 g(t) t

g(t) t -τ/2 τ/2

12

:הערות

. cosו טור שמכיל רק פונקציות מסוג היא פונקציה זוגית ואכן קיבלנgהפונקציה •

. ספרים שלילייםי הם מanהפונקציה בעלת ערך שלילי באפס ולכן המקדמים •

.זוגיות-ל רק הרמוניות אייכמצפוי האות כהאות בעל סימטרית חצי גל לכן •

חיתה אינטגרציה מנבגלל ש וזאת f חזקה יותר מאשר בפונקציה gהדעיכה של ההרמוניות הגבוהות בפונקציה •

.)n/1 דועך לפי fו n2/1דועך לפי g (הרמוניות גבוהות

.ניתן לחשב את הטור גם בצורה ישירה בעזרת שימוש בנוסחת אינטגרציה בחלקים •

:x(t) של פולס מחזוריפורייהחשב את טור ) ז

ך שזמן המחזור בכהשוני הוא. השתמשנו עד כה הגדרת הפולס כאן היא לפי סימונים מקובלים והיא שונה ממה שהערה

) ציור הרא(מסמן את משך הפולס τ וτמקום בTב מסומן

x(t)=1, -τ/2<t< τ/2

-T/2<t<-τ/2 או x(t)=0, τ/2<t< T/2

האקספוננציאלינחשב את מקדמי הטור

n≠0תחילה נחשב את האיברים עבור

{

{

0 0 00 0

0

/ 2 / 2 / 2 / 2/ 2

( 0)/ 20 0/ 2 / 2

0 0 0

2 /0 0 0

1 1 1 1( ) 1

2 sin( / 2) 2sin( / 2) sin( / 2)1 1 sin( / )( / 2) ( / )

sin(

T jn t jn jnjn t jn t

n nT

T

DT

e e ef t e dt e dtT T T jn T jn

j n n n n TT jn T n T n T n T

nD

τ ω ω τ ω ττω ω

ττ

ω π

τ

αω ω

ω τ ω τ ω ττ τ πτω ω ω τ πτ

− −− −

≠−− −

=

=

−= = = =

− −

−= = = =

−

=

∫ ∫

) ( )( )

D Dsinc n Dn Dπ π

π=

:בפיתוח השתמשנו בהגדרות הבאות

• DTτ

= ,D מכונה יחס המחזור .

• sin( ) ( )( )

x sinc xx

הפונקציה מתאפסת ". 1: "בעלת מקסימום בראשית וערכה בראשית הואsinc הפונקציה , =

.πבכפולות של

בנפרד α 0נחשב את

0

/ 2 / 2 / 20

0/ 2/ 2 / 2

1 1 1( ) 1T

j t

T

f t e dt dt t DT T T T

τ τω

ττ

τα −

−− −

= = = = =∫ ∫

n=0 נכונה גם עבור n≠0מסתבר שהתוצאה שהתקבלה עבור

:אה הסופיתהתוצ

13

( )n Dsinc n Dα π=

מספר ההרמוניות . πכלומר עד ל. sincההרמוניות המשמעותיות נמצאות בתחום מאפס עד להתאפסות הראשונה של ה

. כלומר ככול שהפולס צר יותר יש צורך ביותר הרמוניות לתיאור הפולסD/1המשמעותיות הוא

.בציור מתוארים ההרמוניות עבור שני מקרים

הערות

מהתרגיל הקודם fכמו של הפונקציה ) פרט להרמונית האפס( צפוי לקבל אותם הרמוניות D=1/2עבור המקרה בו •

הסיבה לכך שהגודל של האמפליטודות צפוי להיות זהה היא שאפשר להגיע מאות לאות . אך הפאזה אמורה להיות שונה

. י הזזה בזמן פעולה שלא משפיעה על גודל ההרמוניות"ע

: נבדוק •

: התקבלfעבור { }

( 0)

1 ( 1)n

n n

j

nα

π≠

− − −=

:עבור הפולס התקבל

x1(t) 1 -T -τ/2 τ/2 T t X1(ω) D1 ω0 ω 0 D1π [π] [3/2π] [2π] [3π] nDπ x2(t) 1 -T -τ/2 τ/2 T t X2(ω) D2 ω0 ω 0 D2π [π] [3/2π] [2π]

14

{{ }1

( 0)1/ 2

( 1) 1 ( 1)sin( ) sin( / 2) sin( / 2)( ) ( ) ( ) ( )

n n

n nD

n D n nDn D n n nπ π πα

π π π π

−

≠=

− − −= = = =

.דות של שני הסדרות זהותואכן האמפליטו

אך הפאזה שלהם אמורה ) פרט להרמונית האפס( יהיו בעלי אותה אמפליטודה D-1 ועבור Dצפוי שההרמוניות עבור

-1"י הכפלה ב"הסיבה לכך שהגודל של האמפליטודות צפוי להיות זהה היא שאפשר להגיע מאות לאות ע. להיות שונה

. הן פעולות שלא משפיעות על גודל ההרמוניותפעולות אלה. לתוצאה" 1"והוספה של "

:נבדוק

( ) [ ]( )

( 0)

0 1

1( 0)

sin( )( )

sin 1 sin( ) cos( ) cos( )sin( ) 1 sin( )( ) ( ) ( )

n

Dn n

nD

n n

n Dn

n D n n D n n D n Dn n n

παπ

π π π π π παπ π π

≠

−

−≠

=

− − − − −= = =

64 7 48 64 7 48

.ואכן האמפליטודות של שתי הסדרות זהות

):מסרק הלמים(בת הלמים כ של רפורייהחשב את טור ) ח

על , בהתאם לכך. τ/1ודה של טימוכפל באמפלτבת הלמים היא למעשה מקרה גבולי של פולס צר מאוד ברוחב כר

DTτסמך ההתמרה של פולס והקשר : נקבל=

{0 0

1 1lim ( ) lim ( )n D D

DT

D sinc n D sinc n DT T

α π πτ→ →

= = =.

.בתדר מותמרת למסרק הלמים בזמן בתכר. ודהטהמשמעות של התוצאה היא שכל ההרמוניות בעלות אותה אמפלי

אות המחזורי מחזור בודד ב מצב כזה אפשרי בתנאי שההספק של .אות לו דועך בתדרמקרה זה הוא מקרה מיוחד בו ה

. אינסופי ואכן במקרה זה ההספק אינסופי

נמחיש בציור

15

משפט פרסוול

הספק סופי בעלי (ים הם אותות הספק יאותות מחזור. ציות שונות לאות אנרגטי ולאות הספקאלמשפט פרסוול יש ורי

. להספקיםסולכן במקרה זה המשפט מתייח) ואנרגיה אינסופית

: בתחום האותות מגדירים ערך אפקטיבי של אות בצורה הבאה/ 2

2

/ 2

1 T

T

p f dtT −

= משפט פרסוול מאפשר חישוב . ∫

. האותהרמוניות להאות המותמר כלומר בעזרת חישוב הקשור הערך האפקטיבי של אות בעזרת

. ופאזה ולטור האקספוננציאליאמפליטודה לפי יהטריגונומטרלטור . פורייה של טור ת המשפט לייצוגיםנוכיח א

x1(t) 1 -T -τ/2 τ/2 T t

X1(ω) ω0 ω 0 ω0=2 π/ T n= [π/ D] x2(t) 1 -T 0 T t X2(ω) 1/T ω0 ω 0 ω0=2 π/ T x3(t) 1 -T 0 T t X3(ω) 1/T ω0 ω 0 ω0=2 π/ T

16

ודה ופאזהט לפי אמפלייהטריגונומטרמשפט פרסוול עבור הטור / 2 / 2

20 0

0 0/ 2 / 2

/ 22

0 0 00 0 0/ 2

00

1 1 cos( ) cos( )

1 cos( ) cos( ) cos( )

1 cos( )

T T

n n m mn mT T

T

n n m m m mn m mT m n

n nn

p f dt C n t C m t dtT T

C n t C m t C m t dtT

C n tT

ω ϕ ω ϕ

ω ϕ ω ϕ ω ϕ

ω ϕ

∞ ∞

= =− −

∞ ∞ ∞

= = =− ≠

∞

=

⎧ ⎫⎧ ⎫= = + +⎨ ⎬⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

⎡ ⎤⎧ ⎫⎧ ⎫= + + + +⎨ ⎬⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

⎧ ⎫= +⎨ ⎬⎩ ⎭

∑ ∑∫ ∫

∑ ∑ ∑∫

∑2 2

01

/ 2 / 22 2

0 00 0/ 2 / 2

0 12

2 20

1

1cos( ) cos( )

12

mm

T T

m m m mm mT m n T

C C

mm

C m t dt C m t dtT

C C

ω ϕ ω ϕ

∞

=

∞ ∞

= =− ≠ −

+

∞

=

⎡ ⎤⎧ ⎫+ + + =⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

∑

+

∑ ∑∫ ∫

∑

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 31 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3

:תוצאה סופית

2 20

1

12 n

n

p c c∞

=

⎧ ⎫= +⎨ ⎬⎩ ⎭

∑

ימשפט פרסוול עבור הטור הטריגונומטר

:לכלי המעבר נוכל לרשום את המשפט בצורה הבאההתאם ב

( )2 2 20

1

12 n n

n

p a a b∞

=

⎧ ⎫= + +⎨ ⎬⎩ ⎭

∑

משפט פרסוול עבור הטור האקספוננציאלי2 21 ( ) ( ) ( ) ( )*n n n

n

p a t dt α ω α ω α ωτ

∞ ∞ ∞

−∞ −∞−∞

= = =∑ ∑∫

. בעזרת התמרה הפוכה ונחליף סדר אינטגרציהa(t)נציב את : הוכחה2 / 2 / 2

/ 2 / 2( ) ( ) ( )*

1 1 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*jk t jk t

k k k

a t k k

a t dt k e a t dt k a t e dt k kτ τ

ω ω

τ τ

α ω α ω

α ω α ω α ω α ωτ τ τ

∞ ∞ ∞ ∞× ×

=−∞ =−∞ =−∞−∞ − −

− =

= = =∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫1 4 4 2 4 4 3 1 4 4 2 4 4 3

:דוגמה

A(t)= cos(ωt)י הרמוניות תבציר התדר מקבלים ש. ר הזמן שווה לחצי ההספק לפי ציα(-ω)=α(ω)=1/2 וההספק

(1/2=2[1/2]+2[1/2])שוב שווה לחצי

הערות

17

כאשר הרמוניה מסוימת קטנה מעשירית ההרמוניות הגבוהות של האות אז תרומתה להספק האות קטנה מאחוז אחד

בלי לכלול את ( הרמוניות 6 יש צורך להתחשב בכfבמקרה של הפונקציה . וברוב המקרים אפשר להתעלם ממנה

.) מהדוגמאות הקודמותg וf (אפשר להסתפק בשלוש הרמוניותg ובפונקציה ) ההרמוניות הזוגיות

תרגיל

. מתחילת הפרקf בעזרת משפט פרסוול והפונקציה πמצא טור לחישוב המספר

פתרון

.שפט פרסוול ונשווה את התוצאות פעם ישירות ופעם לפי מfנחשב את הערך האפקטיבי של

( )/ 2 0 / 2

22 2

/ 2 / 2 0

1 1 1 1 1T T

T T

p f dt dt dtT T− −

⎛ ⎞= = − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( ) ( )

2

2 20 22

1 0 0

1 1 4 8 12 2 2 1 2 1n

n m m

p c cm mπ π

∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

:נסדר אגפים ונקבל

( )2

20

182 1n n

π∞

=

=+

∑

. ישירות ולפי משפט פרסוולgחשב את הערך האפקטיבי של הפונקציה : תרגיל

DTFT )אות דגום(בדיד בזמן פורייה של אות התמרת

מוגדר רק כפי שראינו בפרק הקודם במקרה זה האות . הוא המקרה של אות דגום בזמןפורייההדואלי לטורי המקרה

האות ערך חישוב בהתמרה ההפוכה כלומר ב .מחזוריהוא אות בציר התדר האות . בזמנים שהם כפולות של זמן הדגימה

.משתמשים רק במחזור אחד של האות בתדרהדגימות בזמן

:הגדרה היאההתמרה בהתאם ל

, .- π/ T >ω<π/T [ ]( ) jiT

i

a iT e ωα ω∞

−

=−∞

= ∑

[ ]/

/

( )2

Tj iT

T

Ta iT e dπ

ω

π

α ω ωπ −

= ∫

18

הגדרה זו מאפשרת . כאשר הגדרנו דגימה הראנו שאפשר להגדיר את הדגימה גם בעזרת הכפלה במסרק הלמים

יון באותות נרחיב את הדן כ וליש מספר יתרונותזו ה לגישה. פורייה לדגימה כמקרה פרטי של אינטגרל תהתייחסו

.פורייהדגומים בפרק של אינטגרל

של אות בדיד פורייההתמרתשל האופיניות תכונות

]. אריותילינ • ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }1 2 1 2F ax nT bx nT aF x nT bF x nT+ = +

)cosפונקציות מסוג ערכים ממשים כלומר רק בציר התדר רקנקבל } x[nT]= x[-nT]{עבור אות זוגי • )tω .

)sin פונקציות מסוג ערכים דמיוניים כלומר רקבציר התדר נקבל } x[nT]= -x[-nT]{זוגי -עבור אות אי • )tω .

דגימותנקבל טור של פונקציות שמכיל רק } X(ω)=-X(w/2+ ω){מהסוג בתדר עבור אות בעל סימטרית חצי גל •

.זוגיות-אי

. םמשנה את גודלאך לא כל ההרמוניות של הפאזהמזיזה את ן בזמ הדגימותהזזה של •

בדרך כלל הקריטריון הוא כזה שיאפשר . י כאשר דוגמים אות צריך להחליט מה הוא קצב הדגימה הרצוישבאופן מע

משפט מתמטי שדן בקצב הדגימה הרצוי הוא משפט . לשחזר את האות המקורי מהדגימות בשגיאה מוגדרת מראש

.פורייהבפרק של אינטגרל ובבעיות נוספות של אותות דגומים זהמשפט ב פלטנ. שנוןהדגימה של

:דוגמא

.בזמן ובתדרר את האות יצי. של האות וההתמרה ההפוכה פורייהחשב את התמרת a[iT]נתון אות בדיד

1, 12, 0

[ ]1, 1 0, אחרת

ii

a iTi

= −⎧⎪ =⎪= ⎨ =⎪⎪⎩

A[iT] -2T -T 0 T t T= 2π/ W

α[ω] -π/T 0 π/T ω ωmax= π/T W W=2ωmax

19

פתרון

[ ] [ ] [ ]{{ [ ]{ ( )1 0 1

12 11

( ) 1 0 1 2 2cosjiT j T j T j T

i

A a iT e a T e a T e a T e Tω ω ω ωω ω∞

− − −

=−∞

= = − + + = +∑ 1 2 3

i=1 ו i=0נחשב עבור

[ ] [ ]( )( )

{ {/ /

0

1/ / 2 2 cos

2( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2

T Tj iT j T

T T T

T T Ta iT A e d a T A e dT

π πω ω

π π ω

πω ω ω ωπ π π− − +

= ⇒ = = =∫ ∫

[ ]0 2a T =

[ ]( )( )

{( ) ( ){

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

/1

cos sin/ 2 2 cos

/ / / /2

/ / / /

0 2 0 0

1 ( )2

2cos 2cos 2 sin 2 cos sin 12

Tj T

T j TT T

T T T T

T T T T

T

Ta T A e d

T T d T d j T d j T T d

πω

ω ωπ ω

π π π π

π π π π

π

ω ωπ

ω ω ω ω ω ω ω ω ωπ

+− +

− − − −

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

+ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫ ∫ ∫ ∫1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43 1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43

[ ]1 1a T =

A[ω] 4 -π/T 0 π/T ω

a[iT] 2 1 -T 0 T t

1

אותות ומערכות

:7הרצאה מס

תכונותפורייהאינטגרל

נושאי ההרצאה .תכונות ושימושים אינטגרל פורייה

פורייהאינטגרל

.פורייהם רציפים היא התמרת ייטההתמרה המתאימה לאותות אנרג

. פורייהי קיום טור יי דריכלה לקיום ההתמרה דומים לתנאיתנא

1 (x dt∞

−∞

< ∞∫

. בכל קטע סופי יש מספר סופי של נקודות אקסטרימום)2

.בכל קטע סופי יש מספר סופי של נקודות אי רציפות) 3

: הם ההפוכההתמרה וההתמרה השלהביטויים

( ) { }

( ){ } ( )1

( ) ( )

1( )2

j t

j t

X F x t x t e dt

x t F X X e d

ω

ω

ω

ω ω ωπ

∞−

−∞

∞−

−∞

= =

= =

∫

∫

הערה

המקורי היחידות של האות המותמר הן היחידות של האות . יחידותיםבמקרה זה משנוההתמרה ההפוכה ההתמרה

נובע מכך שהיחידות של האות . ωיחידות אלה שוות גם ליחידות המקוריות חלקי היחידות של . secמוכפלות ב

: הן יחידות של צפיפות למשל ωהמותמר במרחב / secv

rad⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

להתמרהותדוגמא

),פולסיה של אות יחשב את התמרת פור )1 )( ) /x t t τ= Π.

x(t)=1, -τ/2<t< τ/2 , אחרתx(t)=0,

( ) { }/ 2 / 2 / 2/ 2

/ 2/ 2

( ) ( ) 1

2 sin( / 2) 2sin( / 2) sin( / 2) ( / 2)( / 2)

j t j jj t j t e e eX F x t x t e dt e dt

j jj sinc

j

τ ω ωτ ωττω ω

ττ

ωω ω

ωτ ωτ τ ωτ τ ωτω ω ωτ

∞ − −− −

−−∞ −

−= = = = =

− −

−= = = =

−

∫ ∫

2

.הוא אות זוגי ולכן בהתמרה כמו בטורי פורייה מתקבל אות ממשיאות הפולס

עבור הפולס . בציר התדררחבעבור הפולס הצר נקבל אות . שלהםפורייהמתוארים שני פולסים והתמרת , הבאבציור

. ה גבוהה של האות המותמר בתדרים הנמוכים נקבל אמפליטודרחבה

חס האנרגיות ברור שי,כמו כן .בזמןמזו של האות הרחב האות הצר בזמן קטנה של אנרגיה השאנרגטית ברור מבחינה

ודה של האות המותמר של האות הצר קטנה מזו של האות טהאמפלי, מצד שני . של הפולסיםלפי יחס הזמניםנקבע

מורה אשל האות הצר האנרגיה ,עקב זאת. לפי יחס זמני הפולסיחס האמפליטודות נקבע, המותמר של האות הרחב

ב בתדר מתקבל חזמן מותמר לאות רבאך מכוון שהאות הצר . לפי יחס הזמנים בריבועמזו של האות הרחב להיות קטנה

.ן בניתוח בזמתוצאה זהה לזו שהתקבלה .של האות הצר קטנה רק לפי יחס הזמניםשהאנרגיה

: של הלםפורייההתמרת )2

פרט לעובדה שהאות .יחסות זהירהיאות סינגולרי שראוי להתב מדוברשאות ההלם מקיים את דרישת דריכלה למרות

).ת כלומר מדובר באות לא אנרגטי שלו אינסופיאנרגיה היסינגולרהוא )220

1limE t dtδ∞

Δ→−∞

⎛ ⎞= = Δ = ∞⎜ ⎟Δ⎝ ⎠∫

:ובאופן עקיף בעזרת התמרה של פולסלפי ההגדרה הלם אפשר לבצע ישירות האותההתמרה של את

באופן ישירחישוב

( ) { } { } {0

1

( ) ( ) ( ) ( ) 1j t j

t t

Y F y t F t t e dt t e dtω ωω δ δ δ∞ ∞

− −

=−∞ =−∞

= = = = =∫ ∫

x1(t) 1 t - τ/2 τ/2 X1(ω) τ ω 0 [2π/τ] 2[2π/τ] 3[2π/τ] x2(t) 1 t [-τ/2]/2 [τ/2]/2 X2(ω) τ/2 ω 0 2[2π/τ] 4[2π/τ]

3

בעזרת התמרה של פולסחישוב

ששואפים נחשב את ההתמרה כגבול של ההתמרות של הפולסים . τ/1ההלם מתקבל כגבול של פולס צר בגובהאות

.להלם

0

1( ) lim ttτ

δτ τ→

⎛ ⎞⎛ ⎞= Π⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( ) ( )0 0 0

1 1( ) lim lim ( / 2) lim ( / 2) 1tF t F sinc sincτ τ τ

δ τ ωτ ωττ τ τ→ → →

⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Π = = =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭

עבור הלם . ול שהפולס צר יותרכבתדר כיותר רחב המותמרתמרה של פולס שהאות המהבאופן ויזואלי אפשר להבחין

.מתקבל אות ברוחב אינסופי בתדר) פולס ברוחב אפס(

אות ההלם שדה בעוההתקבלה עקב זו תופעה ) לא אינטגרבילי(י דרכלי ילא מקיים את תנאבתדר האות שהתקבל הערה

.יטהוא אות לא אנרג

סבר למהות האות המותמרה

כל . cos(ωt) מסוגאותותאות הזמני מתקבל מסכימה של ש,נובע מכך .האות המותמר במקרה זה הוא אות ממשי

שונה מאפס בכל זמן נתון ,ומת זאתעל. זו שואף לאינסוףת זמןנקודב ולכן האות t=0 האלה שוות לאחד ב אותותה

כתוצאה מכך האות הסופי יאפסו אחד את השני י יהיו חיוביות ואחרות שליליות כך שהם cos(ωt)חלק מהפונקציות

.לםה פונקצית השיתקבל הוא

}האות של פורייההתמרת )3 } 0 , ( ) ( ) tx t u t e αα −> =rel.

. יא בצורה זוהאחרון חשוב במיוחד מכוון שהתגובה להלם של קוטב פשוט האות ה

{ } ( ) ( ) ( )2 2

0 0

1 1( ) ( ) ( ) j t j tt j t jX F x t u t e e dt e dt ej j

α ω α ωα ω α ωωα ω α ω α ω

∞∞ ∞− + − +− −

−∞

− −= = = = = =

+ + +∫ ∫

.האות הזמני לא זוגי ולא אי זוגי ולכן האות המותמר הוא אות מרוכב: הערה

}האות של פורייההתמרת )4 } 0 , ( ) ( ) tx t u t eαα > = −rel.

{ } ( ) ( ) ( )00

2 2

1 1( ) ( ) ( ) j t j tt j t jX F x t u t e e dt e dt ej j

α ω α ωα ω α ωωα ω α ω α ω

∞− −−

−∞ −∞ −∞

+= = − = = = =

− − +∫ ∫

תכונה זו היא . המותמר הקודםלאות שהתקבל הוא הצמוד המותמר האות . האחרון הוא שיקוף של האות הקודםאות ה

} :בהמשךנוכיח תכונה כללית ש } { }*( ) ( )F x t F x t− =

4

}האות של פורייההתמרת )5 } 0 , ( ) tx t e αα −> =rel.

:ןכהאות הוא חיבור של שני האותות הקודמים ול

{ } 2 2 2 2 2 2

2( ) ( ) t j t j jX F x t e e dtα ω α ω α ω αωα ω α ω α ω

∞− −

−∞

+ −= = = + =

+ + +∫

. ן ההתמרה ממשיתכאות זוגי ול בדוגמה זו הואאות ה

}האות של פורייההתמרת )6 } 2

0 , ( ) tx t e αα −> =rel.

2 4( )X e ω απωα

−=

פורייהתכונות של התמרת

ליניאריות )1

}אם }( ) ( )X F x tω } ו= }( ) ( )Y F y tω } , אזי= }( ) ( ) ( ) ( )F ax t by t aX bYω ω+ = +

הוא זוגיאי אות משי והאות המתקבל מהתמרת פורייה של הוא אות מ אות זוגיהאות המתקבל מהתמרת פורייה של )2

.אות דמיוני

הכפלה באקספוננט )3

}אם }( ) ( )X F x tω } , אזי= }( ) ( )tF x t e X jα ω α− = −

:הוכחה

{ } ( )( ) ( ) ( ) ( )j j tt t j tF x t e x t e e dt x t e dt X jω αα α ω ω α∞ ∞

− −− − −

−∞ −∞

= = = −∫ ∫

והזזה בתדר)Time shifting(הזזה בזמן )4

}אם }( ) ( )X F x tω } , אזי= }( ) ( )j TF x t T e Xω ω−− =

1jון שו מכ Te ω− ההשהיה .מושהה זהים לאלו של האות המקוריהאות הם של ישהמרכיבים התדירותי מתקבל =

. המקורייבות את האותכות שמרהרמוניהאחת משל כל הפאזות שינוי עקב מתקבלת

5

:הוכחה

{ }}

( ) ( )

{ }( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t T

j T jj t j T j T

F x t

F x t T x t T e dt x e d e x e d e Xτ

ω τ ω τω ω ωτ τ τ τ ω− =∞ ∞ ∞

− + −− − −

−∞ −∞ −∞

− = − = = =∫ ∫ ∫1 4 4 2 4 43

:מתקבלאלי ובאופן ד

}אם }( ) ( )X F x tω } , אזי= } 00( ) ( )j tF x t e Xω ω ω= −

:חהכהו

}: בסעיף הקודם הוכחנו }( ) ( )tF x t e X jα ω α− = 0jαנציב .− ω= } ונקבל − }00( ) ( )j tF x t e Xω ω ω= −

אך הוא יכול לשמש כשלב . ותעסר משמחאות לרוב אות כזה הוא . בכהאות הזמני במקרה זה הוא אות מר: הערה

. םיי ממשותשוב התמרות של אותיים לחיבינ

) :דוגמהל ){ }0 0

0 00

( ) ( )( ) cos ( )

2 2

j t j t X Xe eF x t t F x tω ω ω ω ω ω

ω−⎧ ⎫ − + ++

= =⎨ ⎬⎩ ⎭

) :דוגמה נוספת ){ }0 0

0 00

( ) ( )( )sin ( )2 2

j t j t jX jXje jeF x t t F x tω ω ω ω ω ωω

−⎧ ⎫ + − −−= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

:הדגמה

צימוד מורכב )5

}אם }( ) ( )X F x tω } , אזי= }*( ) *( )F x t X ω= −

:הוכחה

|X| 0 ω

arg(X) 0 ω

x(t)| 0 t

|X| 0 ω

arg(X) 0 ω

x(t-T)| 0 T t

6

{ } ( )

*

*** * * *

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )j t j t j t

X

F x t x t e dt x t e dt x t e dt Xω ω ω

ω

ω∞ ∞ ∞

− −

−∞ −∞ −∞

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤

= = = = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫1 4 2 4 3

)* ש העובדהם במקרה זה עקב ים הם אותות ממשיילרוב האותות הזמני ) ( )x t x t=יתקבל : *( ) ( )X Xω ω= − .

:מכאן אפשר להסיק

- ( )rel ( )X ω זוגיתפונקציה .

- ( )im ( )X ω אי זוגיתהפונקצי .

- ( )X ω זוגית הפונקצי

- ( )arg ( )X ω אי זוגית הפונקצי.

:דוגמא

:x(t)בציור מתואר הספקטרום של אות

.X(ω) צייר את האמפליטודה והפאזה של חשב ו

פתרון

.יםישלילההתאם למקרה לתדרים ונשלים בω<1>0נחשב את הפתרון ב

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2( ) 1 1 2 2X rel X img Xω ω ω ω ω= + = − + = − +

( )( ) ( )1 1( )arg tan tan

1img XXrel X

ωωω

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠

Rel(X(ω)) 1 0 1 ω

img (X(ω)) 1 -1 0 1 ω -1

7

: בזמן ובתדרגזרתינ של פורייההתמרת )6

}אם }( ) ( )X F x tω } , אזי= }( ) ' ( ) ( )F x t j Xω ω=.

:הוכחה

{ }}

( ) ( )

אינטגרציה בחלקים

'

) במידה וההתמרה קיימת הביטוי שווה לאפס )

( ) ' ( ) '

( ) ( ) ( )

( ) ( )

j t

t

j t j t j t

t t

X

F x t x t e dt

x t e x t e dt j x t e dt

j X

ω

ω ω ω

ω

ω

ω ω

∞−

=−∞

∞ ∞∞− − −

−∞ =−∞ =−∞

= =

− = − −

=

∫

∫ ∫1 4 2 4 3 1 44 2 4 43

הערות

המשמעות של התוצאה היא שגזירה של אות הרמוני מפיקה אות הרמוני . בהתמרה הפאזוריתרתכמו תוצאה זהה -

ככול שתדר האות גבוה יותר אמפלטודת . הזוויתיתדרל שווהודת המוצע והכניסה טהיחס בין אמפלי. באותו התדר

ומת האות המקורי ערת מפגר להמופע של אות הנגז. אות הנגזרת שלו גדולה יותר ולכן גם האות המותמר גדול יותר

מזווית של האות π/2זווית של האות המותמר שמייצג את אות הנגזרת גדולה ב כתוצאה מכך ה π./2 בזווית

.המקורי

. למערכתוספיםותשמ רעש ות לרוב הרמוניות גבוהות שיחות לאותגבוהותפעולת הגזירה מגדילה הרמוניות -

.להימנע מגוזריםבתכנון מערכות ן רצוי רעשים ולכים מגדיליםהגוזרהיא שהמסקנה

|X| 1 0 1 ω arg(X)

( )1tan 1 / 4π− = -1 0 1/2 1 ω

/ 2π

8

:המחשה

:באופן דואלי עבור גזירה בתדר נקבל

1 ( )( ) ( ) dXjt x t Fdωω

− ⎧ ⎫− = ⎨ ⎬⎩ ⎭

:הוכחה

}

( ) ( )

1

אינטגרציה בחלקים1

'

) במידה וההתמרה קיימת הביטוי שווה לאפס )

( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) '2

1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2

(

j t

t

j t j t j t

t t

x t

dXF jt x td

dXF X e dd

X e X e d jt X e d

ω

ω ω ω

ωω

ω ω ωω π

ω ω ω ω ωπ π π

−

∞−

=−∞

∞ ∞∞−

−∞ =−∞ =−∞

⎧ ⎫ = −⎨ ⎬⎩ ⎭

⎧ ⎫ = =⎨ ⎬⎩ ⎭

− = −

=

∫

∫ ∫1 4 4 2 4 4 3 1 4 4 4 2 4 4 43

) ( )jt x t−

x1= Acos(ωt) x2= Acos(1.5ωt)

y1= Acos(ωt)'= -ωAsin(ωt)= Aωcos(ωt+π/2)

y2= Acos(1.5ωt)'= -1.5ωAsin(1.5ωt)= 1.5A ωcos(1.5ωt+π/2)

t t

t t

9

.קונוולוציה של פורייההתמרת )7

( ) { } { } { }

{ }}

{ }

{ } ( ){ }

החלפת סדר אינטגרציה

( ) ( )* ( ) ( )* ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

j t

t

j t j t

t t

j tj t j

t t

Y F y t F h t x t h t x t e dt

h x t d e dt h x t e dt d

h x t e dt d h x t e e dt

ω

ω ω

τ τ

ω τω ωτ

τ

ω

τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ

∞−

=−∞

∞ ∞ ∞ ∞− −

−∞ =−∞ −∞ =−∞

∞ ∞− −− −

−∞ =−∞

= = = =

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− = ⋅ − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫

− = −⎨ ⎬⎩ ⎭

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫}

( )} }'' '

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tt dt

j tj j j

t

HX

d

h e x t e dt d h e X d X h e d X H

τ

ω τωτ ωτ ωτ

τ τ τ

ωω

τ

τ τ τ τ ω τ ω τ τ ω ω

∞ ∞

−∞ =−∞

∞ ∞ ∞ ∞− −− − −

−∞ =−∞ −∞ −∞

⎧ ⎫=⎨ ⎬

⎩ ⎭⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪− = = =⎨ ⎨ ⎬ ⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫1 4 4 2 4 431 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3

. למכפלה במישור התדרהופכת בזמן קונוולוציהעולת המשמעות של הביטוי היא שפ

)ב האות "מדובר במלק כאשר )h tהמותמרוהאות. הוא אות התגובה להלם של המערכת ( )H ω הוא פונקצית

.התמסורת התדירותית של המערכת

באופן מעשי לרוב נוח ,למרות זאת. על התגובה להלםפורייהי ביצוע התמרת " ניתן לחשב לפי ההגדרה עH(ω)את

. נגזרת של פורייה תוך העזרות בהתמרת מערכת של התהדיפרנציאלי ישירות מתוך המשוואה H(ω)יותר לחשב את

. (jω) בשל המערכת בפונקצית התמסורת האופרטוריתבמשוואת המערכת או Dאופרטור הגזירה החלפה של , כלומר

.ת למכפלה בזמןכ בתדר הופקונוולוציה שוכיחופן דומה נוכל לה באהערה

{ }1 21( ) ( ) ( ) * ( )

2F x t x t X Hω ω

π=

:דוגמא

התגובה בעזרת התמרה של חשב את פונקצית התמסורת פעם ישירות מהמשוואה ופעם . נתונה פונקציה של מערכת

.להלם

( ) out inD v Dvα β+ =

:פונקצית התמסורת על הפונקציה ונחשב את פורייהנבצע התמרת

( )( ){ } { }

( )

( )

in

in

in

out

out

out

out

in

D v Dv

F D v F Dv

j V j V

V jHV j

α β

α β

ω α β ω

β ωωω α

+ =

→ + =

→ + =

→ = =+

10

:השוואת מקדמיםניחוש סטנדרטי וי "עאת התגובה להלם נחשב . בדרך השניה נחשב תחילה את התגובה להלם

): נניח ) ( ) kth t B Au t eδ= . ונציב את ההנחה במשוואה+

( )( )( )

( ) ( )( )

( )

0 0

( )

( ) ( )

( ) ( )

, , ( ) ( )

kt kt

ktA Aku t e

kt

kt kt

A e Aku t e

kt kt

t

D h D

D B Au t e D

BD DAu t e B Au t e D

BD A B Aku t e Au t e D

B A B kh t u t e

δ

δ

α

α β δ

α δ β δ

δ α δ α β δ

δ δ α δ α β δ

β α αβ α

βδ αβ

+

+

−

+ =

+ + =

+ + + =

+ + + + =

→ = = − = − = −

→ = −

1 4 44 2 4 4 43

1 4 2 43

1 4 2 4 3 1 4 4 44 2 4 4 4 43

:להלם על התגובה פורייהכעת נבצע התמרת

( ) { } { }

{ } { }( )

( ) ( )( )

( )

( )( )( )

( )( )

0

0

1

1

( ) ( ) ( )

( )

j t

j je ej

j

j t t j t

j t t j t

e dt

H F h t h t e dt u t e e dt

j je dt u t e e dt

j j j

ω α

ω α ω α

ω α

ω α

ω α ω

τ τ

ω α ω

τ τ

ω βδ αβ

β ω α αβ β ωαββ δ αβ βω α ω α ω α

∞− +

− + ∞ − +−− +

+

∞ ∞− − −

−∞ −∞

∞ ∞− − −

−∞ −∞

= = = −

+ −= − = − = =

+ + +

∫

∫ ∫

∫ ∫

1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43

1 44 2 4 43

1 44 2 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43

. בלנו אותה תוצאה אך ברור שהדרך הראשונה פשוטה יותריבשני הדרכים ק

)על ההנחה ש בדרך הארוכה הסתמכנו הערה ) 0je ω α− + ∞בדרך . ום קיום ההתמרהחהנחה זו קובעת את ת. =

.ום קיום ההתמרה צריך לחשב בנפרדחמת אך את תיהראשונה מקבלים תוצאות נכונות בהנחה שההתמרה קי

)scaling(כיול )8

}אם }( ) ( )X F x tω } , אזי= } 1( )F x at Xa a

ω⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

:הוכחה

{ }( ) ( ) j tF x at x at e dtω∞

−

−∞

= ∫

τ=atנבצע החלפת משתנים

11

{ }

( )

( )

/

( / )

/

( / )

1 ( ) , 0

( ) ( )1 ( ) , 0

j a

X aj t

j a

X a

x e d aa

F x at x at e dtx e d a

a

ω τ

ωω

ω τ

ω

τ τ

τ τ

∞−

−∞∞

−

∞−∞ −

−∞

⎧>⎪

⎪⎪= = ⎨⎪− <⎪⎪⎩

∫

∫∫

1 4 4 2 4 4 3

1 4 4 2 4 4 3

.חיבור של שני המקרים נותן את התוצאה הסופית

כדי לבנות אות צר צריך . וההפך שדחיסה של האות בזמן גורמת למתיחה של האות בתדרנה היאעט ההמשמעות של

הסיבה לכך מובנת לפי .ודה בתדרטבנוסף לכך יש צורך להקטין את האמפלי. אותות בתדרים גבוהיםיותר בלהשתמש

.ודה בתדרטרך להקטין את האמפליהאנרגיה של האות הדחוס קטנה ולכן כדי לקבל אותו אנרגיה יש צו. משפט פרסוול

}: נקבלa= -1עבור מקרה פרטי בו } ( )( )F x t X ω− = הצימוד המורכב הצבה של השוויון האחרון בנוסחת . −

}: מובילה למסקנה } ( )*( )F x t X ω− = .

של אינטגרלפורייההתמרת )9

. jω חלוקה ב,כלומר. עולה הפוכה לגזירה ולכן צפוי לקבל בתדר תופעה הפוכה לניגזרתפעולת אינטגרציה היא פ

ולכן . ערך קבוע בזמנים גדוליםאותות בעליל יהפכואחרי אינטגרציה בתדר אפסשיש להם רכיב אותות שהבעיה היא

בעזרת נראה שהפרק בהמשך . ההגדרהל בהתאםתמרה ההם ילעואין אפשרות לבצע דריכלהי את תנאיימו לא יקיהם

: שתוכח בהמשך היא התוצאה הסופית.לאותות כאלהפונקצית הלם נוכל לבצע התמרה גם

( )1( ) ( )t

F x d Xjτ

τ τ πδ ω ωω=−∞

⎧ ⎫ ⎛ ⎞= +⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

∫

. X(0) בזמנים גדולים שווה להאות שעובר אינטגרציהשים לב הערך של

t

t

ω

ω

x(t)

x(2t)

X(ω)

1/2X(ω/2)

12

( ) ( ) ( ){0

1

(t גדול)

(0)

tj ty x d x d x t e d

X

τ τ τ τ τ∞ ∞

−

−∞ −∞ −∞

= ≅ =

=

∫ ∫ ∫

): הגורם ) ( )Xπδ ω ω שווה לביטוי ( ) (0)Xπδ ω אות הוא ההתמרה של כפי שנראה בהמשך וביטוי זהDC בגודל

.X(0)באמת חצי הוא האינטגרלשל אות DC מהציור ניתן להבחין שערך ה. X(0)חצי

.עקרון אי הוודאות )10

ערך הקבועה תלוי . גדולה מקבוע) ום קיומו בתדרחת( שלו טב הסרחשהמכפלה של זמן קיום אות ורועקרון זה אומר

רחב ות הפשוטה של הכלל אומרת שאות צר בזמן הוא אות רחב בתדר וההפך אות עהמשמ. רוחב הסרתבהגדרה של

תכן אות שהוא גם רחב בתדר ייומת זאת על .דר אות שהוא גם צר בזמן וגם צר בתהפיק אי אפשר ל.בזמן הוא צר בתדר

כיווץ האות בזמן . על סמך משפט הכיולעקרון אפשר להבין את ה.)ופל בהמשךטי( למשל אות רעש לבן וגם רחב בזמן

. וההפךגורר מתיחה בתדר

ון אי עקראחת הצורות של ,למשל. הערה עקרון אי הוודאות במכניקה הקוונטית קשור לעקרון אי הוודאות כאן

גדולים תמיד ך הזמן של התהליך אנרגיה של תהליך ומשהשגיאה בהקוונטית אומר שהמכפלה של במכניקה הוודאות

האחרונה האנרגיה של התהליך יחסית לתדר ולכן המכפלה במחניקה הקוונטית ש ידועה. )hקבוע פלנק (מקבועה מסוים

בת להיות יכפלה זו בהתאם לעקרון אי הוודאות חימ. היא מכפלה של זמן הקיום של אות ברוחב הסרט שלו בתדר

. באותות עקרון אי הוודאות הקוונטי נובע מעקרון אי הוודאות, כלומר. מערך מינימלי מסויםגדולה

.לא חסום בתדר וההפך אות חסום בתדר הוא אות אינסופי בזמןאות חסום בזמן הוא אות )11

).המשפט הבא(התכונה מתקבלת ממשפט הדואליות חסום בתדר לגבי אות . נוכיח לגבי אות חסום בזמן

האות ,עקב זאת. יםתא ברוחב מ∏ חלון מסוגכל אות חסום בזמן אפשר להציג כמכפלה של האות המקורי אם אות

ההתמרה של אות החלון היא הפונקציה . בין ההתמרה של האות וההתמרה של אות החלוןקונוולוציהבתדר יתקבל כ

sincשווה לסכום משכי הקיום קונוולוציהמשך הקיום של אות שמתקבל מפעולת . אינסופית בתדר ופונקציה זו היא

.הקיום של האות בתדר הוא אינסופינובע מכך שמשך . קונוולוציהשל האותות המשתתפים ב

x(t)

t

t ( )( )

t

y t x dτ τ−∞

= ∫ X(0) X(0) חציDCערך

13

דואליות )12

יה יש י כדי לעבור מאחת לשנ,למעשה. וההתמרה ההפוכה כמעט זהיםפורייהמבחינה של אופרטור מתמטי התמרת

.π2 ולחלק או להכפיל בyלשקף את האות סביב ציר להפוך

}אם : ה מתמטיתבבכתי }( ) ( )X F x tω } , אזי= } ( )( ) 2F X t xπ ω= −.

:תגרפיבצורה

ברוב בצורה שונה םסיאנו מתייחההתמרה וההתמרה ההפוכה האותות שמתקבלים לאחר הדמיון בתכונות למרות

אות מתמטי והוא ממשי ואילו האות המותמר הוא פיזיקלי האות בזמן הוא לרוב אות . לאות בתדרלאות בזמן והמקרים

. אות מורכביכול להיות

:למשל. אפשר להבין תכונות דואליות רבותוהדמיון בין ההתמרות ל סמך המשפט ע

).מכפלה בזמן זה למעשה איפנון( בזמן הכפלמל תכ בתדר הופלוציהקונוו. בזמן הופכת למכפלה בתדרקונוולוציה -

jt-.נגזרת בתדר הופכת למכפלה ב. בתדרjωנגזרת בזמן הופכת למכפלה ב -

.אות מחזורי בתדר הופך לאות דגום בזמן. אות מחזורי בזמן הופך לאות דגום בתדר -

נובע מכך שמסרק הלמים מותמר למסרק . בתדראות שהוא גם מחזורי בזמן וגם דגום הופך לאות דגום ומחזורי -

.הלמים בתדר

. בפאזהתאות מושהה בתדר הוא אות זמני בעל הזה ליניארי . בפאזהתליניארימוזז אות מושהה בזמן הוא אות -

.אות חסום בזמן הוא אות לא חסום בתדר ואות חסום בתדר הוא אות אינסופי בזמן -

.קונוולוציה דוגמה

F F

F

F-1

A 2πA

t t ω

t ω

x(t) X(ω)

X(t)

2π x(-ω) 2πA

14

נקציות מיוחדות לפופורייההתמרת

x דריכלה הראשון ימים את תנאייישנם אותות אשר לא מקי dt∞

−∞

< התמרת רצוי להגדיר עבורם את ין י ועד∫∞

לרוב עבור מקרים אלה אי אפשר לבצע את . בעזרת פונקציות סינגולריותמתוארתההתמרה במקרה זה .פורייה

מניפולציות בעזרת ניחוש או בעזרת אומשפט הדואליות בעזרת וההתמרה מתקבלתההתמרה ישירות מההגדרה

. בעזרת התמרה הפוכהאפשר לבדוקהסופית את התוצאה . מתמטיות

.DC של פורייההתמרת )1

)אות מהצורה בתדר צפוי אות קבוע הוא למעשה אות בתדר אפס ולכן )0α δ ω .0א את וכדי למצα נבצע התמרה

:הפוכה

{ { } ( ) ( ){ }1 0 00 0

0

1 1 1( ) ( )2 2 2 2

2

j t j t j t

constx t K F X X e d e d e d

K

ω ω αω ω ω α δ ω ω α ω

π π π πα π

∞ ∞ ∞−

−∞ −∞ −∞

= = = = = =

⇒ =

∫ ∫ ∫

}נובע מכך ש } ( )1 2F πδ ω= . ההתמרה של .פי משפט הדואליותגם לאפשר להגיע למסקנה זו ( )tδ שווה לאחד

} :היא התמרה של אחד לפי משפט הדואליות ולכן } ( )1 2F πδ ω= מכוון שפונקצית ההלם היא פונקציה זוגית אך −

}כצפוי שיתקבל } ( )1 2F πδ ω=.

של פונקצית סימןפורייההתמרת )2

לחישוב ההתמרה . אי אפשר לבצע התמרה ישירהלאות הזה ולכן גם קיצוניים זמניםגם פונקצית הסימן לא מתאפסת ב

.גבולג את פונקצית הסימן בעזרת ציינ

{ }0

( ) lim ( ) ( )t tsign t u t e u t eα α

α

−

→= − − +

{ } ( ){ } ( ) ( )0 0

1 1

0 0

( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

1 1lim lim

t t t t

J J

F sign t F u t e u t e F u t e F u t e

JJ J

α α α α

α α

ω α ω α

α α

ω αω α ω α

− −

→ →

− +

→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − − + = − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎛ ⎞+ =⎜ ⎟− +⎝ ⎠

1 44 2 4 43 1 4 2 4 3

Jω α+ −

( )2 2 22 0

2 2 2lim J JJJ α

ωω α ω ωω α →

⎛ ⎞ − −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠−⎝ ⎠

אך פונקציה זו . התוצאה שהתקבלה נראית ממבט ראשון לא בעיתית. זוגי ההתמרה דמיונית-מכוון שמדובר באות אי

. דריכלהיימים את תנאיילא מק כך שבמקרה זה גם ההתמרה וגם ההתמרה ההפוכה היא לא אינטגרבילית

15

התמרת פורייה של מדרגה )3

:י ההתמרות הקודמותתאת ההתמרה של מדרגה נקבל בעזרת ש

{ } ( )( ) 1( ) ( )2

sign t Ju t F u t πδ ωω

+ −= ⇒ = +

:)הכלל הבא(האינטגרציה את ההתמרה האחרונה אפשר לקבל גם בעזרת כלל

( ) { } ( ) ( ) { } ( )1

1 1( ) ( ) ( )t t

u t d F u t F d F tj j

δ τ τ δ τ τ πδ ω δ πδ ωω ω−∞ −∞

⎧ ⎫ ⎛ ⎞= ⇒ = = + = +⎨ ⎬ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭∫ ∫ 14 2 43

של אינטגרלפורייההתמרת )4

שמבצע ם התגובה להלם של בלוק ע של האותקונוולוציה אפשר לבצע בעזרת בזמןאת פעולת האינטגרציה

)בין , כלומר. גרציהטאינ )x tו ( )u t . התוצאה ההתמרות ההתמרה של האות לאחר האינטגרציה מתקבלת ממכפלה של

) :שמתקבלת )1( ) ( )t

F x d Xjτ

τ τ πδ ω ωω=−∞

⎧ ⎫ ⎛ ⎞= +⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

∫

{ } { } { }( )

( )( ) 1

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

Xj

F x d F x t u t F x t F u t Xjτ ω πδ ω

ω

τ τ πδ ω ωω=−∞

+

⎧ ⎫ ⎛ ⎞= ∗ = = +⎨ ⎬ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭∫ 14 2 43 14 2 43

.ריפורייה של אות מחזוהתמרת )5

. אין לו התמרהכלומר לפי ההגדרה ם את תנאי דריכלה הראשוןיות ולכן הוא לא מקיואות מחזורי לא שואף לאפס בקצ

בעזרת פונקציות לאות המותמר למרות הנאמר גם במקרה זה בעזרת שימוש בכללי מעבר אפשר לקבל ביטוי

. סינגולריות

נקבל עבור תדרים שהם כפולות של תדר האות ערכים אינסופיים של פונקציה מחזורית נבצע התמרה לפי ההגדרה אם

תתקבל בעזרת ספקטרום דגום על העובדה שההתמרהעובדה זו מרמזת . ועבור תדרים אחרים האינטגרל לא מוגדר

.של האות המחזוריהיסודי התדר בגודלמרווח הדגימה בתדר הוא כאשר . בתדר

למעשה כאשר מבצעים . ונבדוק את המשמעות של ההתמרה ההפוכהכדי להבין את המשמעות של הלם בתדר נחזור

סכימה אלה בעזרת נעשה בעזרת לא האיסוף . התמרה הפוכה בונים אות בזמן בעזרת אוסף של אותות הרמוניים

שמממוקמים בתדר אותות אינסוף בוצה של קודה של כל הרמוניה שווה לאפס ורק טהאמפליבמצב כזה .אינטגרל

בעל יב הרמוני כ מראם באות יש. מקבלים למעשה צפיפות אות בתדרפורייה בהתמרה .ת אות זמני יוצרΔωברוחב

בהתמרה ההפוכה . בתדר מסוים אז הצפיפות שלו היא איסופית ולכן בהתמרה מקבלים הלםאמפליטודה שונה מאפס

)0 מהצורה אותות על ציהכאשר מבצעים אינטגר ) j te dωδ ω ω ω−0ל הופך לסכום אותות מהצורה אז האינטגרj te ω

. התמרה ההפוכה של טור פוריהביטוי זהה להופך ל צורתובוהביטוי

16

ת סינוסווא.בעזרת התמרה של אות קוסינוסהשונות ותנדגים את הטענ

.של הזזה בתדרנשתמש בכלל . את ההתמרה אי אפשר לחשב ישירות לכן נחשב אותה בעזרת כללים

( ){ }( )}

( )0 0

0 00 0 0

1 1cos ( ) ( )2 2 2

x t

j t j tj t j te eF t F F e e

ω ωω ωω π δ ω ω δ ω ω

−−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫+

= = + = + + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎩ ⎭

:בהתמרה השתמשנו בקשר

{ }1 2 ( )F πδ ω=

ההתמרה ההפוכה את לכן אפשר לחשבולה כ את תנאי דריםימקיהאות . בנוי מהלמים בתדר שקיבלנו אות המותמרה

:ישירות מההגדרה

( ){ } ( )

( )0 0

1 0 0

0

( ) ( )1 1( ) 22 2 2

cos2

j t j t

j t j t

x t F X X e d e d

e e t

ω ω

ω ω

δ ω ω δ ω ωω ω ω π ω

π π

ω

∞ ∞−

−∞ −∞

−

+ + −⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+=⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

0jמהצורה בהתמרה ההפוכה האינטגרל הפך לסיכום איברים te ω ההתמרה דומה להפך בצורתו לביטוי כלומר הוא

.טור פוריהההפוכה של

:באופן דומה אפשר לקבל את ההתמרה של אות סינוס

( ){ } ( )0 0 0sin ( ) ( )F t jω π δ ω ω δ ω ω= + − −

אות ל כה של בל את ההתמרקניתן ל) מסוג קוסינוס ומסוג סינוס(יחיד ההתמרה של אות הרמוני מציאת על סמך

בשניכל אות הרמוני בהתמרה נחליףאחר כך . תחילה נתאר את האות בעזרת טור פורייה הטריגונומטרי .מחזורי

השיטה האחרונה .יהיפור ם טורמקדמים ע ת מתוך השוואאלמצואת הגודל של כל הלם ניתן . היהלמים באינטגרל פורי

.לא יעילהנכונה אך

.ישירה לחישוב ההתמרהדרך

. בין מסרק הלמים לבין אות הבנוי ממחזור אחד של האות המחזוריקונוולוציהיתן לתאר כל אות מחזורי בעזרת נ

פלה של התמרה של מחזור אחד בהתמרה של מסרק ככלומר מ. התמרת פורייה תתקבל בעזרת מכפלת ההתמרות

. ההתמרה של מחזור אחדההתמרה האחרונה היא מסרק הלמים ולכן מקבלים למעשה דגימה בתדר של. ההלמים

:נותטענחזור על ה

)נתון אות מחזורי )x t בעל זמן מחזור .T

( ) À( ) ( )Tx t x t tδ= ∗

)Àכאשר )x t של האות המחזורי אות שמכיל רק מחזור אחד.

17

( ){ } À( ) ( ){ } À( ){ } ( ){ } À( ){ } ( ){ }2

ST T S

S

F x t F x t t F x t F t F x t

Tωδ δ ω δ ω

ω π

= ∗ = =

=

): התמרה של מסרק הלמיםתמרה השתמשנו בההחישוב ב ){ } ( ){ }ST SF t ωδ ω δ ω= בהמשך נוכיח את ההתמרה.

.לבדיקת התוצאה נחשב את ההתמרה ההפוכה

( ) ( ){ } À( ){ } ( ){ }{ } ( ) ( ){ }

( ) ( ){ }{

( ) ( )

( )

/ 21 1 1

/ 2

/ 2 / 2

/ 2 / 21

12 2

1

S S

S

S

Tj t

S ST

T Tj t j t j t j tS

S SiT T

T

ji t

x t F X F F x t F x t e dt

x t e dt e d x t e dt i e d

x t e dtT

ωω ω

ω ω ω ωω

ω

ω ω δ ω ω δ ω

ωω δ ω ω δ ω ω ωπ π

− − − −

−

∞ ∞ ∞− −

=−∞−∞ − −∞ −

−

−

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= = = ⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞= = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭

=

∫

∑∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( )

/ 2

/ 2

1

S

i

S S S

Tji tj t

S i Si iT

ji t ji t ji ti S i S i

i i i

i e d i e d

i e d e i d e x t

ωω

α

ω ω ω

δ ω ω ω α δ ω ω ω

α δ ω ω ω α δ ω ω ω α

∞ ∞∞ ∞

=−∞ =−∞−∞ −∞

∞ ∞∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞−∞ −∞

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎧ ⎫⎪ ⎪− = − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟

⎩ ⎭⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

− = − = =

∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫

1 4 4 4 2 4 4 4 3

1 4 44 2 4 4 43

:בהוכחה השתמשנו בהגדרות של טור פוריה

( )

( )

/ 2

/ 2

1S

S

Tji t

iT

ji ti

i

x t e dtT

x t e

ω

ω

α

α

−

−

∞

=−∞

=

=

∫

∑

:מסרק הלמיםנכונות ההתמרה מוכיחה בעקיפין את נכונות ההתמרה של הערה

( ){ } ( ){ }2

ST S

S

F t

Tωδ ω δ ω

ω π

=

=

:דוגמאות

התמרת פוריה פולס מחזורי -

)הנוסחה של התמרת פוריה של אות מחזורי )x tהיא : ( ){ } À( ){ } ( ){ }SSF x t F x t ωω δ ω=

)À: מתקיים) מסרק או רכבת פולסים (פולס מחזוריעבור ) ( )/x t t τ= Π מתקבל בהתאם לכך:

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( / 2)

/ ( / 2)S SS S

sinc

F x t F t sincω ω

τ ωτ

τ ω δ ω τ ωτ ω δ ω= Π =1 4 2 4 3

18

. בטורi עם האיבר הiנשווה את גודל ההלם ה

) :הוא nההלם הגודל / 2)S Ssinc nτ ω τ ω 2 נציבSTω π=ו DTτ

2: ונקבל= ( )Dsinc nDπ π.

)בפרק הקודם בטור האקספוננציאלי קיבלנו )n Dsinc n Dα π=.

. 2π יבר בטור פוריה האקספוננציאלית מומר באינטגרל פוריה בהלם בגודל המקדם בטור מוכפל בא כל ,כלומר

התמרת פוריה של מסרק הלמים -

)הנוסחה של התמרת פוריה של אות מחזורי )x tהיא : ( ){ } À( ){ } ( ){ }SSF x t F x t ωω δ ω=

): מתקייםסרק הלמיםעבור מ ) ( )Tx t tδ=ו À( ) ( )x t tδ=בהתאם לכך מתקבל :

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }1

S ST S SF t F t ω ωδ δ ω δ ω ω δ ω= =14 2 43

:בהתמרה האחרונה יש מספר בעיות

אבל בהוכחת הנוסחה השתמשנו בהתמרה של מסרק . בהוכחה השתמשנו בנוסחה של התמרה של אות מחזור,ראשית

אפשר להוכיח בעזרת השוואת מקדמים עם הוכחה כזו . ויש צורך בהוכחה נוספת מעגליתבהוכחהובר הלמים כך שמד

.טור פוריה

ודה בתדר טמורה להקטין את האמפליאדחיסה של מסרק ההלמים בזמן . שכלל הדחיסה לא מתקייםבעיה נוספת היא

.טגרביליים נוספיםלא אנבאותות גם בעיות מסוג זה מתחוללות .ודה בתדר גדלהטאך האמפלי

.ודהט איפנון אמפליהתמרת פורייה של אותות מאופננים )6

והאות פנוןיהאהאות המחזורי נקרא אות . אות שמתקבל מהכפלה של אות באות מחזוריודה זהטאמפלימאופנן אות

חשובה מאוד פעולת האפנון. מקרה הנפוץ ביותר הוא המקרה בו האות המאפנן הוא אות הרמוני. השני האות המאופנן

כזכור התמרת פוריה של . בתדר בין האותותקונוולוציההתמרת פוריה של האות המאופנן מתקבלת בעזרת . בתקשורת

.האות סביב ההלםבין אות להלם מוזז גורמת להזזה של יה צלוווקונ. אות מחזורי בנויה מהלמים בתדר

דוגמא

.וסימצא את התמרת פורייה של אות מאופנן בעזרת אות קוסינ

( ){ } { } ( ){ } ( ) ( )0 0 0 0

0 0

1 1( ) cos ( ) * cos * ( ) ( )2 2

( ) ( )2

F x t t F x t F t X

X X

ω ω ω π δ ω ω δ ω ωπ π

ω ω ω ω

= = + + −

+ + −=

.לתוצאה זהה הגענו מקודם בדרך אחרת

19

יה של אות דגום ומשפט הדגימהיהתמרת פור )7

להגדיר שורה של דרך אחת היא . י דרכים להגדיר את פעולת הדגימהתכאשר הגדרנו את פעולת הדגימה הראנו שיש ש

ההגדרה הראשונה .אות הדגום בזמן הדגימה והדרך השניה היתה בעזרת הכפלה במסרק הלמיםערכים השווים לערך ה

בין .רק בזמן הדגימותידוע ערך האות הדגום בהתאם להגדרה זו . יה לאות דגוםיהביאה להגדרה של התמרת פור

קיבלנו , בנוסף לכך π/T .ל π/T-ום תדרים יסודי מחבלנו תקבהתמרה בתדר . הדגימות הנחנו שהפונקציה לא מוגדרת

בהתמרה ההפוכה . במעבר מהתדר לדגימותבהתמרה ההפוכה חסרת חשיבות הונה זו הייתכשהאות מחזורי בתדר אך ת

.השתמשנו רק במחזור היסודי בתדר

בהתאם להגדרה החדשה .פנון של אות במסרק הלמיםיכאיה כלומר יבדרך השננגדיר את פעולת הדגימה בסעיף זה

ωs שהמרווח בתדר בו הוא יה של מסרק ההלמים היא מסרק הלמיםיהתמרת פור. כאפסמוגדר דגימותהאות בין ה

)ωs=2π/T .(המקורי לפני בתדר של התמרת פוריה של האות קונוולוציההתמרת פוריה של האות המאופנן מתקבלת מ

למסקנה דומה הגענו . ωsהוא רוחב המחזור בתדר . כתוצאה מכך מתקבל בתדר אות מחזורי. הדגימה אם המסרק בתדר

בדרך הקודמת ההתמרה ההפוכה התיחסה . ההבדל בין המקרים הוא בהתמרה ההפוכה. בהגדרה הקודמת של הדגימה

במקרה הנוכחי אנו . לחישוב הזה מספיק היה להתחשב במחזור אחד בתדר. רק לזמנים שהם כפולות של התדר היסודי

גורמת להתאפסות המחזוריות בתדר . משתמשים באות המותמר בכל תדר ואנומבצעים התמרה הפוכה רגילה בכל זמן

.בין הדגימות וכן היא אחראית להלמים בזמן

משפט הדגימה

ברור שהדגימה . שלום עבורם נוכל לשחזר אות מקורי מתוך הדגימותי לשאלה מה הם התנאיסמשפט הדגימה מתייח

ים שמתחוללים המהירשינויים אחרת הדגימה עלולה לפספס תצריכה להיות בתדר גבוה מהתדרים המרכיבים את האו

x(t) X(ω) t 0 ω x(t)cos(ω0t)

t -ω0 0 ω0 ω

20

. החזור כהפרעיהוא יתפרש בש המהירעורא במידה ונדגום את המ,ךגרוע מכ .קים קטניםיבין הדגימות כגון ספי

.חזור כאותות בתדר נמוךייתפרשו בשבאות המקורי מתדר הדגימה הרמוניות גבוהות

:נקבל את התמונה הספקטרלית הבאה ωs/2 קטן מ ωmקורי במקרה בו התדר המקסימלי של האות המ

מחזור של השיעביר רק את התדרים אידאלי באופן תיאורטי ניתן לשחזר את האות המקורי בעזרת מסנן ,במצב כזה

.סביב האפס המחזור י,היסודי

נקבל את התמונה תדר הדגימה לא יהיה מספיק גבוה ו ωs/2 במקרה בו התדר המקסימלי של האות המקורי גדול מ

:הספקטרלית הבאה

מכוון שהספקטרום של האות הדגום שונה באופן מהותי במדויק במצב כזה לא ניתן לשחזר את האות המקורי

.מהספקטרום המקורי

תקיים הקשר הבא בין תדר האות המקסימלי ותדר הדגימה חייב להניתן לשחזור יהיה שאות מנת-לע :המסקנה היא

2s mω ω> . אות רציף אפשר לחשב את זמן הדגימה הנחוץ המאפשר שיחזור האותשל במידה ונתון התדר המקסימלי.

( )/ / 2 / 2m m mT f Tπ ω π π≤ = רותי בעל התדר הגבוה ביותר הוא זמן המחזור של המרכיב התדיmT כאשר =

a(t) -2T -T 0 T A(ω) ωs -π/T 0 π/T ωm ωs ω

a(t) -2T -T 0 T 2T t A[ω] - ωs -π/T 0 ωm π/T ωs ω

21

/: חזור יהיהיזמן הדגימה הארוך ביותר שייאפשר ש. באות 2mT T= במילים אחרות קצב הדגימה המינמלי של אות

הוא כזה בו דוגמים את המרכיב התדירותי הגבוה ביותר לפחות באופן תיאורטי כך שניתן יהיה לשחזר אותו במדויק

.יאורטי של האות נקרא תדר ניקווסתתתדר הדגימות המינימלי הנחוץ לשיחזור . זורפעמים בכל מח

:הערות

למרות שאות דגום בתדר ניקווסט מכיל את כל האינפורמציה על האות המקורי אי אפשר באופן מעשי לשחזר את -

הסיבה שאי אפשר . או כל מסננן סופי בתדריהאות המקורי במדויק וזאת מכוון שאי אפשר לממש מסנן אידיאל

). sinc היא האות יתגובה להלם של המסנן האידיאל( היא שמסנן כזה הוא מסנן לא סיבתי ילממש מסנן אידיאל

. באופן מעשי אם מאפשרים השהיה בשחזור אפשר לשחזר את האות בכל רמת דיוק רצויה

המשוחזר צריך להעביר את האות במידה ודוגמים מערכת בתדר נמוך מתדר ניקווסת כדי להקטין את העיוות באות -

פעולה זו יכולה להקטין את השגיאה . המקורי לפני הדגימה במסנן מעביר נמוכים שינחית את התדרים הגבוהים

. מסנן כזה נקרא אנטיאליסינג פילטר.באות המשוחזר בחצי

גרפי של השיחזורתיאור

פלה של האות בתדר כ לבצע ה,כלומר. להעביר את האות הדגום דרך מסנן אידאלילקבלת האות המשוחזר יש צורך

)באות )/ sω ωΠ . של אות קונוולוציההמשמעות בזמן של המכפלה בתדר היא sincפעולה זו . עם ההלמים הדגומים

גמים בתדר גבוהה בהרבה מתדר בשיחזור מעשי דו. פלים בגודל הדגימהכמהווה חיבור של אותות סינק מוזזים ומ

י מעגל ששומר על " למשל ע,חזור טובי ועדיין לקבל שיבמצב כזה אפשר להשתמש במסנן רחוק מאידיאל. ניקווסת

. ערך קבוע בין ההלמים

Ts

ωs

ωm ωm

ωm ωm

ω > ω m

ω > ω m

ωm ωm ω ω ω ω

t

t t

t

22

.התמרת פורייה של אותות שונים על סמך כללים )8

:הכללים היעילים הם. והחישוב נוח יותר בעזרת כלליםה מסובךייבמקרים רבים חישוב ישיר של אינטגרל פור

כלל הדואליות) א

קונוולוציהניצול כלל ההמרה של ) ב

והתמרה של האות בעזרת התמרה של הלמים מוזזים ושימוש בכלל ההתמרה של . גזירה של האות עד לקבלת הלמים) ג

.אינטגרל

:דוגמאות

:יה של האות יחשב את התמרת פור

פתרון

: כלומרקונוולוציהאפשר לקבל את האות בעזרת . דרך ראשונה

{ } { } 2* sinc( )F x F ω= Π Π =

לאחר ההתמרה יש להשתמש פעמיים בכלל של . מיים לקבל הלמים ולהתמיר אותםעלגזור את האות פה ידרך שני

.התמרה של אינטגרל

רייה משפט פרסוול עבור אינטגרל פו

x(t) 1 0 1 t

אידיאלי שיחזור

אידיאלי לא שיחזור

23

ωωωπ

ωωπ

dFFdFdttf ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

== *)()(21)(

21)(

22

. בעזרת התמרה הפוכה ונחליף סדר אינטגרציהf(t)נציב את : הוכחה

ωωωπ

ωωπ

ωωπ

ωω

dFF

ddttfeFdttfdeFdttf tjtj

∫

∫ ∫∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=

==

*)()(21

])()[(21)(])(

21[)(

2

היחידות של האות [v2 sec]היחידות של האינטגרל הראשון יהיו . נניח שהאות הוא אות מתח: השוואת יחידות

v2 sec]2[(1/rad)(v/hz) =(rad/sec): והיחידות של האינטגרל השני[v/hz]המותמר הם