-
A, Castellanos, M, Martnez y M. Arias / Caracterizacin Dinmica
de Materiales. Feb 2015
SIMULACIN NUMRICA DEL IMPACTO DE UN PROYECTIL DE CABEZA
PLANA
SOBRE UNA PLACA DE ACERO AISI 4340 EMPLEANDO MTODOS DE
DISCRETIZACIN LAGRANGE-LAGRANGE Y LAGRANGE-SPH
RESUMEN
Este artculo describe mediante simulacin numrica la perforacin
de una placa
de Acero 4340 de 12 mm de espesor con un proyectil de una
aleacin de
Tungsteno (3%Ni, 7%Fe) de punta plana de 10 mm de dimetro. La
simulacin
numrica se realiza en el hidrocdigo de AutoDYN utilizando dos
modelos
constitutivos: Johnson Cook y Zerilli Armstrong. Las
simulaciones se realizaron
con mtodos de discretizacin de Lagrange y SPH para cada
modelo
constitutivo. Se encontr una tendencia en los resultados para
velocidades de
impacto de 500m/s; adicionalmente, se logr obtener tendencias
similares con
respecto a la velocidad residual del proyectil con los mtodos de
discretizacin
de Lagrange-Lagrange y Lagrange-SPH.
PALABRAS CLAVES: Zerilli Armstrong, Johnson Cook,
perforacin,
proyectil, modelo constitutivo.
ALEJANDRO CASTELLANOS VARGAS
Ingeniero Mecnico y Qumico
Estudiante de Maestra Ing. Qumica
Universidad de los andes
[email protected]
MAGALY MARTINEZ NIO
Ingeniera de materiales
Estudiante de Maestra Ing.
Mecnica
Universidad de los Andes
[email protected]
MAURICIO ARIAS VANEGAS
Ingeniero Mecnico
Estudiante de Maestra Ing.
Mecnica
Universidad de los Andes
[email protected]
1. INTRODUCCIN
Estudios previos realizados por Borvik et al. [1], [2] han
demostrado que existe una buena relacin entre las
simulaciones numricas y resultados experimentales para
anlisis de penetracin de placas de acero con proyectiles
de diferentes tipos de puntas: plana, hemisfrica y cnica.
Partiendo de la buena relacin simulacin-experimento
obtenida por Borvik et al., se procede directamente a
realizar un estudio, mediante una simulacin numrica en
ANSYS Workbench con el mdulo de AutoDYN, del
impacto de la penetracin de una placa de Acero 4340 de
12 mm de espesor por un proyectil de aleacin de
Tungsteno (7%Ni, 3% Fe) de punta plana de 20 mm de
dimetro.
Para la simulacin se utilizaron dos modelos constitutivos:
Johnson Cook (JC) y Zerilli Armstrong (ZA) para la placa
objetivo, adems de dos mtodos de discretizacin:
Lagrange-Lagrange, (LL) y Lagrange- Smoothed-Particle
Hydrodynamics (SPH), (LS). Para el modelo de falla de la
placa objetivo se utiliz el modelo de falla de Johnson
Cook para Acero 4340.
El objetivo principal de este estudio es determinar el
comportamiento de las curvas velocidad residual del
proyectil con respeto a la velocidad inicial del mismo para
dos modelos constitutivos diferentes. Adems, se desea
evaluar si al variar el mtodo de discretizacin dichas
curvas presentan variaciones significativas entre un
mtodo y otro, as como la facilidad para la simulacin del
caso en estudio y las variables a considerar para cada
mtodo de discretizacin.
2. DESCRIPCIN GENERAL DE LA SIMULACIN
A continuacin se presenta el diseo experimental y las
caractersticas y condiciones de la simulacin.
2.1. Diseo experimental El desarrollo de las simulaciones tiene
como objetivo ver
el comportamiento de una placa de acero ASIS 4340 al
impacto de un proyectil de aleacin de tungsteno de
punta plana empleado simulacin por hidrocdigo. Para
esto se plante un diseo experimental con tres factores
(velocidad inicial, modelo constitutivo y mtodo de
discretizacin) cuyos niveles se presentan a continuacin.
Velocidad inicial de proyectil () 100, 150, 200, 250, 300, 350,
400, 450,
500 m/s.
Modelo constitutivo del material del objetivo Johnson-Cook.
Zerilli-Armstrong.
Mtodo de discretizacin Lagrange-Lagrange. Lagrange-SPH.
Como variable respuesta se evala la velocidad residual
del proyectil luego del impacto sobre el objetivo.
-
A, Castellanos, M, Martnez y M. Arias / Caracterizacin Dinmica
de Materiales. Feb 2015
2.2. Software Para el desarrollo de las simulaciones de impacto
se us
el software ANSYS WorkBench con su mdulo
AUTODYN.
2.3. Modelo computacional Para las simulaciones de impacto se
crearon dos modelos
computacionales de acuerdo al mtodo de discretizacin
empleado. El primero modelo computacional (Lagrange-
Lagrange) consiste en el proyectil y el objetivo, ambos
discretizados con el mtodo de Lagrange. Por otro lado,
el segundo modelo computacional (Lagrange- SPH)
consiste en el proyectil discretizado con el mtodo de
Lagrange y el objetivo con el mtodo SPH.
A continuacin se presenta una descripcin detallada de
los modelos computacionales implementados.
2.3.1. Geometra El modelo geomtrico se compone de dos slidos,
el
proyectil y el objetivo. Por un lado, el proyectil tiene una
geometra cilndrica con una longitud de 50 mm y un
dimetro de 20 mm, y, presenta una punta plana. Por otro
lado, el objetivo se representa como un disco de 12 mm
de espesor y un dimetro de 200mm (ver Figura 1).
2.3.2. Simplificaciones Para establecer las simplificaciones del
modelo se
consider las caractersticas geomtricas de los slidos
modelados, que en este caso al tener caractersticas
cilndricas permite el uso de una condicin de simetra
axial, aplicada en el eje de revolucin de los slidos, que
en el caso del proyectil y el objetivo se encuentra en el
centro de sus caras (ver Figura 1). Con lo anterior se
logr representar la geometra 3D a travs de un modelo
bidimensional, lo que se traduce en un menor tiempo de
cmputo y una menor cantidad de elementos de
discretizacin.
2.3.3. Discretizacin Como se mencion anteriormente, se usaron
dos modelos
de discretizacin, Lagrange-Lagrange (LL) y Lagrange-
SPH (LS). En el caso de la discretizacin con Lagrange
us una malla de elementos cuadrilteros fijos. Las
caractersticas de discretizacin se presentan a
continuacin
Proyectil: El proyectil se discretiz con el mtodo Lagrange para
ambos modelos
constitutivos; sin embargo, para cada uno de
stos se defini una malla diferente. En el caso
de Johnson-Cook se emple una malla de 50
elementos en direccin I y 10 elementos en
direccin J, obteniendo as una mallado de 500
elementos. Por otro lado, para el modelo de
Zerilli-Armstrong se emple una malla de 25
elementos en direccin I y 5 elementos en
direccin J, lo que se representa una malla de
125 elementos.
Objetivo: El objetivo se discretiz usando dos mtodos (Lagrange y
SPH). En el primer caso se
us una tcnica de refinacin la cual consiste en
crear el objetivo a partir de dos geometras. La
primera geometra se asocia a la regin de
impacto y tiene una dimensin de 12 mm en I y
15 mm en J; por otro lado, la segunda geometra
se ubica encima de la primera y tiene
dimensiones de 12 mm en I y 85 en J. Con el
proceso anterior se puede aplicar un mallado
diferente a cada geometra que compone el
objetivo. En el caso de la primera geometra
(zona de impacto) se aplic una discretizacin
de 20 elementos en I y 25 en J, obteniendo una
malla de 500 elementos, cada uno de estos
elementos mide 0.6x0.6 mm. Para la geometra
dos se us una discretizacin de 20 elementos en
I y 100 en J, lo que representa una malla de 200
elementos, cada uno de stos con dimensiones
de 0.6x0.85 mm. Para el caso del mtodo de
discretizacin por SPH, la regin que contiene a
las partculas se defini de 12x100mm y se
estableci un tamao de partcula de 0.5mm,
con lo que se obtuvo un total de 4765 elementos.
Lo anterior se presenta en la Figura 1
2.3.4. Uniones Dado que para el mtodo de discretizacin
Lagrange-
Lagrange el objetivo se cre a partir de dos geometras,
stas fueron unidas con la herramienta Join; la cual
permite unir dos piezas independientes por medio de los
nodos que estn en contacto, con lo que se obtiene una
nica pieza.
2.3.5. Condiciones iniciales Como condiciones iniciales se
estableci la velocidad del
proyectil, la cual se defini en un rango de 100 a 500 m/s
con un cambio de 50 m/s entre cada valor, de esta forma
se realizaron simulaciones para 9 condiciones iniciales.
2.3.6. Condiciones de frontera La condicin de frontera se defini
en la direccin de
impacto de la simulacin, para la cual se estableci que la
velocidad es igual a cero (0). Con lo anterior se model la
sujecin del objetivo con una prensa o marco
esttico ubicado en su periferia. En el caso de
discretizacin LL la condicin de frontera se aplic en las
dos caras del objetivo (nodos 1 y 21 en I), con un tamao
de 17 mm medido desde la periferia del disco
representada por el rango de elementos de 81 a 101 en
direccin J. Por otro lado, para el caso del mtodo LS se
estableci una regin de condicin de frontera delimitada
por los puntos 51 y 63 mm en direccin I y 80 a 100 mm
en direccin J. Lo anterior se muestra en la Figura 1
-
A, Castellanos, M, Martnez y M. Arias / Caracterizacin Dinmica
de Materiales. Feb 2015
Figura 1. Esquema modelo computacional, a. Lagrange-Lagrange, b.
Lagrange-SPH
2.4. Modelos de los materiales usados Para el desarrollo de la
simulacin se emplearon dos
modelos constitutivos: Johnson Cook y Zerrilli
Armstrong.
2.4.1. Modelo constitutivo de Johnson Cook Este modelo es
emprico y relaciona el esfuerzo del
material con su deformacin, la tasa de deformacin y la
temperatura, representado con la siguiente ecuacin [3]:
= [0 + ] [1 + (
0
)] [1 ] (1)
Dnde 0, , , y son parmetros propios del material y se establece
como
=
(2)
2.4.2. Modelo constitutivo de Zerilli Armstrong Es un modelo
basado en una simplificacin del
mecanismo de dislocacin que sufre un material, as
como su estructura cristalina. Este modelo hace
distincin entre las estructuras FCC y BCC representadas
con las siguientes ecuaciones [4]:
FCC
= 0 + 2() exp[3 + 4()] (3)
BCC
= 0 + 1 exp(3 + 4()) + 5() (4)
Donde 0, 1, 2, 3, 4, 5 y son constantes del material.
2.4.3. Modelo de falla de Johnson Cook Este modelo de falla
permite establecer los efectos de
impacto sobre el material objetivo asociados al dao
acumulado y los procesos de deformacin. Con el
modelo de Johnson Cook es posible establecer la
deformacin de fractura dctil de un material, este
modelo se similar al modelo de plasticidad de Johnson
Cook ya que se compone de 3 trminos dependientes de
la deformacin, la tasa de deformacin y la temperatura,
y se define como [5]:
= [1 + 2 exp(3)][1 + 4 ln(||)][1 + 5
] (5)
Donde 1, 2, 3, 4 y 5 son constantes del material.
2.5. Materiales Como materiales se us aleacin de tungsteno para
el
proyectil y acero AISI 4340 para el objetivo.
2.5.1. Proyectil La aleacin de tungsteno usada para el proyectil
se
denomina como aleacin WNiFe clase 1, debido a su
contenido de hierro (3%) y nquel (7%). En la Tabla 1 se
presentan las propiedades fsicas de esta aleacin
Tabla 1. Propiedades fsicas de la aleacin WNiFe [3]
Dureza
Rockwell
Densidad
[kg/m3]
Calor
Especifico [J /kg K]
Temperatura de
Fusin (K)
C-47 17000 134 1723
Este material se model nicamente con el modelo de
Johnson Cook, en la Tabla 2 se muestran las constantes
del material.
Tabla 2. Parmetros Johnson Cook de la aleacin WNiFe [3]
[MPa]
B [MPa] n C m
156 177 0.12 0.016 1
-
A, Castellanos, M, Martnez y M. Arias / Caracterizacin Dinmica
de Materiales. Feb 2015
2.5.2. Objetivo Como se mencion previamente, el material usado
para
el objetivo fue acero AISI 4340. En la Tabla 3 se
muestran las propiedades fsicas del material.
Tabla 3. Propiedades fsicas del acero AISI 4340 [3]
Dureza
Rockwell
Densid
ad [kg/m3]
Calor
Especifico [J /kg K]
Temperatura
de Fusin (K)
C-30 7830 477 1793
Al tratarse del material del objetivo, el acero AISI 4340
se model con los modelos de Johnson-Cook y Zerill-
Armstrong, para este ltimo dado que el material
presentan estructura cristalina BCC, se usa la Ecuacin 4
en la Tabla 4 y Tabla 5 se presentan los parmetros del
material para cada modelo.
Tabla 4. Parmetros Johnson Cook del acero AISI 4340 [3]
[MPa]
B [MPa] n C m
792 510 0.26 0.014 1.03
Tabla 5. Parmetros Zerilli- Armstrong del acero AISI 4340
[6]
[MPa]
[MPa]
[MPa]
[1/K]
[1/K]
[MPa]
n
89.9 2073.6 - 0.0015 4.85E-5 1029.4 0.531
Ya que en la simulacin el objetivo ser impactado, el
acero AISI 4340 debe estar asociado a un modelo de
falla, en la Tabla 6 se presentan los parmetros del
modelo de falla de Johnson-Cook.
Tabla 6. Parmetros modelo de falla de Johnson-Cook del acero
AISI 4340 [5]
0.05 3.44 -2.12 0.002 0.61
Finalmente, para el mtodo Lagrange-Lagrange se
emple erosin en trminos de la deformacin
geomtrica, que para el caso del modelo constitutivo de
Johnson-Cook se defini en 1, mientras que para el
modelo de Zerilli-Armstrong se estableci como 0.75.
3. RESULTADOS Y ANLISIS DE RESULTADOS Implementando los modelos
computacionales
presentados previamente se realizaron 36 simulaciones
correspondientes al diseo experimental (9 velocidades
iniciales, 2 modelos constitutivos y 2 mtodos de
discretizacin). Como se mencion anteriormente, la
variable repuesta de la simulacin corresponde a la
velocidad residual del proyectil despus del impacto, en
las siguientes tablas se muestran los valores de
velocidades iniciales y finales obtenidas en todas las
simulaciones, as como el porcentaje de reduccin de
velocidad. En los casos donde la reduccin de la
velocidad es del 100% el proyectil no penetr el objetivo
sino que rebot en ste.
Tabla 7. Datos de velocidad modelo Johnson-Cook (LL)
[/] [/] Reduccin
100 0.00 100 %
150 0.00 100 %
200 0.00 100 %
250 103.92 58.43 %
300 195.93 34.69 %
350 242.01 30.85 %
400 290.62 27.35 %
450 323.23 28.17 %
500 361.07 27.79 %
Tabla 8. Datos de velocidad modelo Zerilli-Armstrong (LL)
[/] [/] Reduccin
100 0.00 100 %
150 0.00 100 %
200 0.00 100 %
250 0.00 100 %
300 0.00 100 %
350 97.73 72.08 %
400 223.69 44.08 %
450 279.76 37.83 %
500 347.60 30.48 %
Tabla 9. Datos de velocidad modelo Johnson-Cook (LS)
[/] [/] Reduccin
100 0.00 100 %
150 0.00 100 %
200 102.02 48.99 %
250 156.75 37.30 %
300 205.39 31. 54 %
350 255.85 26.90 %
400 297.06 25.73 %
450 339.73 24.51 %
500 376.70 24.66 %
-
A, Castellanos, M, Martnez y M. Arias / Caracterizacin Dinmica
de Materiales. Feb 2015
Tabla 10. Datos de velocidad modelo Zerilli-Armstrong (LS)
[/] [/] Reduccin
100 0.00 100 %
150 0.00 100 %
200 27.07 86.47 %
250 133.42 46.63 %
300 141.03 52.99 %
350 210.76 39.78 %
400 258.24 35.44 %
450 295.27 34.38 %
500 343.36 31.33 %
Implementando los modelos computacionales
presentados previamente se realizaron 36 simulaciones
En la Figura 2 se muestran los perfiles de velocidades
iniciales contra velocidad residual. Adicionalmente, en la
Figura 3 se presentan los valores porcentuales de
reduccin de velocidad.
Con respecto a los valores de velocidad residual se
observa que los perfiles presentan un comportamiento
similar. No obstante, para cada modelo y mtodo de
discretizacin la velocidad a la cual el proyectil penetra
al objetivo es diferente; de esta forma para la simulacin
con Johnson-Cook con discretizacin Lagrange-Lagrange
la penetracin se da entre 200 y 250 m/s. Por otro lado,
para la simulacin con Johnson-Cook con discretizacin
Lagrange-SPH y la simulacin con Zerilli-Armstrong con
discretizacin Lagrange-SPH la penetracin se da entre
150 y 200 m/s. Finalmente, para la simulacin con
Zerilli-Armstrong con discretizacin Lagrange-Lagrange
la penetracin se da entre 300 y 350 m/s
Figura 2. Perfiles de velocidad inicial contra impacto
Figura 3. Valores porcentuales de reduccin de velocidad
En la Figura 3 se observa que para todas las simulaciones
se el porcentaje de reduccin de velocidad disminuye con
el aumento de la velocidad del proyectil, esto se debe a
que a mayores velocidades iniciales se presentan mayores
energas de impacto sobre el material del objetivo, lo que
resulta en una menor capacidad de absorber la energa
asociada al proyectil y as mismo se reduce la variacin
en la velocidad del mismo.
Adicionalmente, en las curvas de porcentaje de reduccin
se evidencia una tendencia asociada a una velocidad de
500 m/s, para la cual se observa que las curvas tienden al
valor de 30% de reduccin; esto tambin se presenta en
las curvas de velocidad residual, donde para el valor de
velocidad inicial de 500 m/s la velocidad final del
proyectil tiende a un valor de 350 m/s. Lo anterior indica,
que para cualquiera de los modelos usados y mtodos de
discretizacin implementados se espera que para
velocidades altas (>500 m/s) se obtengan valores muy
similares en la velocidad residual del proyectil.
La principal diferencia que se observa entre los modelos
constitutivos de Johnson-Cook y Zerilli-Armstrong es la
rigidez y tenacidad al impacto con la cual cada modelo
representa al material. Lo anterior se observa en la Figura
2 donde las curvas asociadas al modelo de Zerilli-
Armstrong presentan una mayor cambio en la velocidad
del proyectil, evidenciando valores ms pequeos de la
velocidad residual del mismo en comparacin con las
curvas del modelo de Johnson-Cook. De esta forma, al
modelar el material del objetivo con caractersticas ms
rgidas y con una mayor tenacidad al impacto, el modelo
de Zerilli-Armstrong genera que las simulaciones de
impacto tengan un porcentaje de reduccin mayor en la
velocidad del proyectil, dado que en este caso el material
del objetivo tiene una mayor capacidad de absorber la
energa asociada al proyectil de tungsteno.
-
A, Castellanos, M, Martnez y M. Arias / Caracterizacin Dinmica
de Materiales. Feb 2015
Figura 4. Contornos de impacto esfuerzo de von Mises, velocidad
inicial 400 m/s, a. Johnson-Cook (LL), b. Johnson-Cook (LS), c.
Zerilli-Armstrong (LL), d. Zerilli Armtrong (LS)
Con respecto a los mtodos de discretizacin se observ
que la implementacin Lagrange-SPH es ms fcil que el
mtodo Lagrange-Lagrange, dado que en el primer caso
no fue necesario el uso de erosin para el material del
objetivo. Sin embargo, el mtodo LS presenta el
problema del tamao de los elementos, dado que para
obtener resultados ms cercanos a la realidad el tamao
de las partculas debe ser muy pequeo, lo que representa
un aumento en el tiempo de cmputo y problemas de
licencia en las versiones acadmicas de ANSYS.
Adicionalmente, es posible obtener comportamientos
muy diferentes en las curvas de velocidad residual, esto
se observa claramente en la curva para el modelo Zerilli-
Armstrong (LS), en la cual para valores de 250 y 300 m/s
de velocidad inicial la velocidad residual es muy parecida
haciendo que en esa regin la curva sea casi horizontal.
No obstante, en el caso de modelo de Johnson-Cook el
comportamiento de las curvas para ambos mtodos de
a
b
c
d
-
A, Castellanos, M, Martnez y M. Arias / Caracterizacin Dinmica
de Materiales. Feb 2015
discretizacin fueron muy similares sobre todo para
valores de velocidad inicial del proyectil mayores a 300
m/s.
Con respecto a las grficas de contorno (Ver Figura 4) se
observa que para las simulaciones con LL los mayores
esfuerzos se presentan cuando el proyectil est
atravesando el objetivo, mientras que para las
simulaciones con LS los mayores esfuerzos ocurren
apenas el proyectil impacta al objetivo, luego de esto los
esfuerzos ms grandes se presentan en el material del
objetivo.
Otra diferencia que se observa entre los mtodos de
discretizacin LL y LS es la manera como se deforma y
falla el material del objetivo. Ya que en el caso LL la
deformacin es cerrada haciendo que la pieza impactada
tenga una forma similar a la del proyectil, mientras que
con el mtodo LS la deformacin y falla es abierta
resultando en una pieza impactada con un tamao mayor
al proyectil.
4. NOMENCLATURA
: Esfuerzo [MPa]
: Deformacin [-]
: Deformacin de fractura [-]
: Tasa de deformacin [s-1]
: Temperatura [K]
: Temperatura de fusin [K]
: Temperatura de referencia [K]
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Los modelos constitutivos
pueden representar de forma
diferente la respuesta de un material, dado que define
propiedades de impacto como rigidez y tenacidad al
impacto.
Con los mtodos de discretizacin Lagrange-Lagrange y
Lagrange-SPH es posible modelar el impacto de un
proyectil sobre una placa, obteniendo comportamientos
similares en las curvas de velocidad residual; no obstante,
los fundamentos implcitos en cada aproximacin
pueden afectar tanto cualitativamente como
cuantitativamente los resultados obtenidos.
Se observ una tendencia en los resultados de las
simulaciones para la velocidad de impacto de 500 m/s lo
que sugiere que para velocidades superiores se pueden
obtener velocidades residuales muy similares para todos
los modelos implementados.
Como recomendacin final se tiene la validacin de los
resultados de forma experimental con el fin de identificar
con qu modelo constitutivo y con qu mtodo de
discretizacin se obtienen los valores ms cercanos a la
realidad.
6. REFERENCIAS [1] T. Brvik, O. S. Hopperstad, T. Berstad, and
M.
Langseth, Perforation of 12mm thick steel plates by 20mm
diameter projectiles with flat, hemispherical
and conical noses: part II: numerical simulations, Int. J.
Impact Eng., vol. 27, no. 1, pp. 3764, 2002.
[2] T. Brvik, M. Langseth, O. S. Hopperstad, and K. A.
Malo, Perforation of 12mm thick steel plates by 20mm diameter
projectiles with flat, hemispherical
and conical noses: part I: experimental study, Int. J. Impact
Eng., vol. 27, no. 1, pp. 1935, 2002.
[3] M. A. Meyers, Dynamic Behavior of Materials. John
Wiley & Sons, 1994.
[4] T. zel and Y. Karpat, Identification of constitutive
material model parameters for high-strain rate metal
cutting conditions using evolutionary computational
algorithms, Mater. Manuf. Process., vol. 22, no. 5, pp. 659667,
2007.
[5] G. R. Johnson and W. H. Cook, Fracture characteristics of
three metals subjected to various
strains, strain rates, temperatures and pressures, Eng. Fract.
Mech., vol. 21, no. 1, pp. 3148, 1985.
[6] S. Tanimura, T. Tsuda, A. Abe, H. Hayashi, and N.
Jones, Comparison of rate-dependent constitutive models with
experimental data, Int. J. Impact Eng., vol. 69, pp. 104113,
2014.
