SismaConTeoria

PROGRAM GEO - SismaCon - SismaCon - SismaCon - SismaCon ver.1 per Windows

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3. Teoria

Verranno descritti di seguito brevemente gli algoritmi di calcolo utilizzatiper l’interpretazione nei tre metodi inseriti all’interno del programma.

3.1 Metodo convenzionale (metodo del tempo di ritardo - delaytime)

Questo metodo, di semplice applicazione, è utilizzabile nel caso di stratiorizzontali o con inclinazione uniforme e in presenza di una superficietopografica, almeno lungo lo stendimento, orizzontale. Si parte inoltre dalpresupposto che la velocità dei rifrattori aumenti con la profondità. Inpratica si dovrà verificare che la velocità delle onde P nel primo strato siaminore della velocità delle onde P nel secondo, a sua volta inferiore a quelladel terzo, ecc. (V1<V2<V3).

3.1.1 Strati con interfaccia orizzontale

Consideriamo il caso di due strati con profilo orizzontale, caratterizzati dallevelocità V1 e V2.Se S è la sorgente di energia e G è il geofono ricevitore il tempo necessario,perché il segnale copra la distanza SG (= x) viaggiando nel primo strato(onde dirette) sarà:

1V

xt =

Oltre alle onde dirette, al geofono giungeranno anche le onde rifratte dalsecondo strato. In questo caso il tempo necessario perché il segnale rifrattovenga ricevuto è:

12cos1

2

2α

V

h

V

xt +=


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dove h è lo spessore dello strato e α è l’angolo limite di incidenza. Laquantità

12cos1

αV

h

viene detto tempo di ritardo o delay time.

Tempi

Distanza

Xc

ti

V1

V2

Ponendo su grafico in ascissa la distanza dei geofoni dello stendimento dallasorgente e in ordinata i tempi di arrivo del segnale ai singoli ricevitori, siottengono due segmenti retti (dromocrone), con il secondo tratto menoinclinato del primo. I reciproci dei coefficienti angolari delle duedromocrone corrispono alle velocità delle onde P nei due strati (V1 e V2). Ilrapporto fra le due fornisce il valore dell’angolo limite:


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=2

1arcsen12 V

Vα

La profondità del secondo strato può essere ricavata attraverso ladeterminazione del tempo intecetto del secondo strato o dell’ascissa delpunto ginocchio. Il tempo intercetto si ottiene estrapolando la dromocronafino ad intercettare l’asse dei tempi. In pratica corriponde al tempo di arrivodel segnale rifratto per x=0:

12cos1

2 αV

ht i =

e quindi è uguale al doppio del tempo di ritardo. Quindi lo spessore è datoda:

12cos2

1

αVt

h i=

Il punto ginocchio corrisponde alla distanza alla quale arrivanocontemporaneamente le onde dirette e le onde rifratte. Nel grafico coincideall’ascissa in cui giace l’intersezione delle due dromocrone. Noto xc lospessore del primo strato si ricava dalla relazione:

12

12

2 VV

VVxh c

+−=

Nel caso di più di due strati la procedura è analoga. Il tempo di arrivo algeofono G delle onde rifratte dall’interfaccia dello strato n è fornito dallarelazione

nnnn

n

nn V

h

V

h

V

xt ,1

1

1,1

1

1 cos2

...cos2 αα +++= −

−

−


60

Anche in questo caso le velocità dei singoli rifrattori si ottengono,calcolando il reciproco del coefficiente angolare di ogni dromocrona e i

valori degli angoli limite dal rapporto delle velocità (

= −

−n

nnn V

V 1,1 arcsenα ).

Per il calcolo degli spessori dei singoli strati si procede come indicato diseguito:• si stimano i tempi intercetti di ogni dromocrona;

• si calcola lo spessore del primo strato con la relazione: 12

11 cos2

1

αVt

h = ,

dove t1 è il tempo intercetto della dromocrona relativa al secondorifrattore;

Tempi

Distanza

t1

V1

V2

t2

V3

• si calcola lo spessore del secondo strato con la relazione

131

23

22 cos

1

2

cos2

2 αα V

hVth −= , dove h1 è lo spessore del primo strato,

ricavato in precedenza, e t2 il tempo intercetto del terzo rifrattore;


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• si procede analogamente per gli strati rimanenti.

3.1.2 Strati con interfaccia inclinata

Nel caso il limite fra due strati non sia orizzontale, si introduce nel calcolouna nuova incognita, l’angolo β che il piano di strato forma conl’orizzontale. In questa situazione bisogna operare con due sorgenti (S e S’)posizionate agli estremi opposti dello stendimento. Si otterrano quindi, nelgrafico distanza-tempi, due serie di dromocrone: quelle relative alle ondeche viaggiano da S verso S’ (tiro diretto) e quelle corrispondenti al percorsoinverso (da S’ a S – tiro coniugato).

Tempi

Distanza

t1

V1

V2d

t1’

V2c


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Le formula che fornisce il tempo di arrivo delle onde rifratte, viste nelparagrafo precedente, è ancora valida, ma, nel caso di due strati, va riscrittacome segue

12cos1

cos2

αβV

zZ

V

xt

++=

dove Z è la distanza minima fra la sorgente S e la base del primo strato e z,analogamente, la distanza minima fra la sorgente S’ e la base del primostrato. Z e z quindi non corrispondono alle profondità del rifrattore.I reciproci dei coefficienti angolari delle dromocrone delle onde rifrattelungo l’interfaccia del secondo strato non forniscono le velocità reali deirifrattori; sono però collegate ad esse dalle relazioni:

( )βα −=

sen1

2

VV d e ( )βα +

=sen

12

VV c

Queste due formule combinate permettono di ricavare le grandezze β e α,

essendo V1 nota. Dalla relazione

=2

1sen

V

Vα è possibile quindi ricavare

V2. I tempi intercetti delle dromocrone relative allo strato 2 possono essereespresse dalle formule:

αcos1

21 V

Zt = (tiro diretto) e αcos

1

2'1 V

zt = (tiro coniugato)

Le grandezze Z e z possono essere ricavate quindi dalle espressioni:

αcos

11VtZ = e

αcos

1'1Vtz =

Noto β, H e h (spessore del primo strato in corrispondenza di S e S’)possono essere ricavate infine con le relazioni:


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βcos

ZH = e

βcos

zh =

La procedura esposta può ovviamente essere estesa al caso di n strati, con ipassaggi già visti per il caso di rifrattori orizzontali.

3.2 Metodo reciproco generalizzato (G.R.M.).

Nel caso in cui la morfologia del rifrattore sia irregolare è possibileutilizzare il metodo reciproco generalizzato (G.R.M.) (Palmer, 1980).Questa metodologia interpretativa consente di ricostruire l’andamento distrati di forma qualsiasi, anche nel caso di variazioni laterali di velocità.Questa maggiore versatilità però ha come prezzo una superiore complessitàoperativa, richiedendo un maggior numero di sorgenti di energia,posizionate ai due estremi e internamente allo stendimento. Infatti, per poterricostruire l’andamento dell’interfaccia di strato lungo tutto lo stendimento,è necessario che i segnali provenienti dal singolo rifrattore siano ricevuti datutti i geofoni messi in opera. Il grafico distanza-tempi che si ottiene èconsiderevolmente più complesso rispetto al caso del metodoconvenzionale. L’interpretazione del grafico distanza-tempi prevede duepassaggi:1. la ricostruzione delle dromocrone relative ai singoli strati;2. la stima delle velocità e delle profondità di ogni sinoglo rifrattore.


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S1S2S3S4S5S6S7S8S9

Program Geo-Via Tosio, 28-25121 Brescia-03048485

Distanza (m)706050403020100

Tempo diarrivodelsegnale(ms)

130

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Curve distanza - tempo

3.2.1 Ricostruzione delle dromocrone

Compito principale dell’operatore sarà quello di ricostruire la dromocronarelativa ad ogni strato, seguendola, se possibile, da un estremo all’altro dellostendimento, assemblando quindi insieme tratti di dromocrone relative asorgenti differenti, ma i cui segnali provengono dallo stesso rifrattore. Ciòandrà fatto sia per il tiro diretto che per quello coniugato. Questo lavoro diricostruzione è la parte più delicata dell’interpretazione, in quantol’attribuzione di dromocrone appartenenti ad un rifrattore ad un altro puòdare origine a grossolani errori nel modello finale del terreno. Esistonocomunque alcune semplici regole che possono guidare l’operatore nellascelta.• Dromocrone appartenti allo stesso rifrattore devono avere un andamento

subparallelo, cioè la distanza verticale fra esse deve rimanere più o menocostante.


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Tempi

Distanza

• Le due dromocrone ricostruite per un dato rifrattore, quella relativa altiro diretto e quella corrispondente al tiro coniugato, dovranno averetempi di estremità identici, con uno scarto massimo di pochi puntipercentuali (Te=Te’); per tempo di estremità s’intende il tempo di arrivodel segnale associato al rifrattore considerato all’estremità opposta dellostendimento.


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Tempi

Distanza

TeTe’

• I tempi intercetti delle dromocrone ricostruite relative al rifrattoreconsiderato devono essere gli stessi.

3.2.2 Stima delle velocità e delle profondità dei rifrattori

Con il metodo reciproco generalizzato si parte dall’ipotesi che esista unadistanza intergeofonica XY ottimale, distanza che fornisce il maggiordettaglio possibile nella ricostruzione della morfologia del rifrattore. Perdeterminare la distanza XY ottimale in pratica si deve procedere comeindicato di seguito.• Si fa variare XY da un valore minimo corrispondente alla spaziatura

reale fra i geofoni fino a un valore massimo di 9-10 volte tale distanza;quindi se, per esempio, i geofoni sono spaziati di 3 m, si dovrannoprendere in considerazione intervalli di XY uguali a 3, 6, 9, 12, 15, 18,21, 24, 27, 30 m.

• Per ogni valore di XY scelto si stima, con un passo di calcolo uguale aXY, la funzione velocità:


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( )2

11 ssxssyv

TTTT

+−=

dove Tsy è il tempo necessario al segnale proveniente dalla sorgente S pergiungere al punto Y, Ts1x è il tempo che impiega il segnale per arrivare nelpunto X partendo dalla sorgente S1 e Tss1 è il tempo di estremità. G è ilgeofono virtuale posto a metà della distanza XY.

S S1X YG

• Nel diagramma distanza - funzione velocità ottenuto si individua ilvalore XY ottimale, corrispondente alla curva che meglio approssimauna retta.


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XY=0XY=3XY=6XY=9XY=12XY=15XY=18XY=21XY=24XY=27


Distanza (m)35302520151050

Fun

zion

e ve

loci

tà (

ms)

150

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Grafico funzione velocità: strato 3

• Si stima Vn, la velocità delle onde P nel rifrattore, posta uguale alreciproco del coefficiente angolare della curva funzione velocitàselezionata.

• In corrispondenza di ogni valore di XY si stima, sempre con un passo dicalcolo uguale a XY, la funzione tempo-profondità:

2

11

+−+

= nssxssy

g

V

XYTTT

T


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XY=0XY=3XY=6XY=9XY=12XY=15XY=18XY=21XY=24XY=27


Distanza (m)35302520151050

Fun

zion

e te

mpo

-pro

fond

ità (

ms)

130

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Grafico funzione tempo - profondità: strato 3

• Si controlla che per al valore di XY scelto corrisponda la funzionetempo-profondità con maggiore articolazione.

• Infine, in corrispondenza di ogni geofono virtuale, posto nei punti XY/2,si calcola la distanza minima geofono-rifrattore:

gng T

XYVTh

2min =

3.3 Metodo reciproco di Hawkins.

Può essere visto come un caso particolare del metodo reciprocogeneralizzato, in cui si ponga XY=0. Questa semplificazione comporta duelimitazioni significative:1. la morfologia del rifrattore può avere un andamento irregolare, ma i

singoli tratti non devono avere inclinazioni eccessive (in pratica nonsuperiori a 20°);

2. non è possibile individuare variazioni laterali di velocità all’interno dellostesso rifrattore.


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Rispetto al G.R.M. il metodo ha comunque il vantaggio di essere di piùrapida e semplice applicazione, in quanto non risulta più necessario passareper la determinazione del valore XY ottimale.

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