Sistema de Equa s Linearesarquivos.info.ufrn.br/arquivos/2011182123f58d7764908dc... · 2016-08-23 · Posto de uma matriz M´etodo da matriz inversa Soluc˜ao de Sistema de equa

Summary

Sistema de Equacos Lineares

Hector L. Carrion

ECT-UFRN

Agosto, 2010

Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

Equacoes LinearesSolucao de Eq. Lineares

Posto de uma matrizMetodo da matriz inversa

Solucao de Sistema de equa. Lineares

Summary

1 Sistema de Eq. Lineares

2 Eliminacao Gaussiana-Jordan

3 Posto de uma matriz retangular

4 Metodo da matriz inversa

5 Regra de Cramer





Summary





5 Regra de Cramer





definicao

Um sistema de equacoes lineares e um conjunto finito de m equacoescom coeficientes constantes aij e variaveis xi , i , j = 1, 2, ...n cada uma depotencia 1, definida do seguinte modo.

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . . a1nxn = b1...

......

......

ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . . ainxn = bi...

......

......

am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . . amnxn = bm

As n variaveis xi sao chamadas de incognitas. aij , bi ∈ R , ∀ i , j = 1, 2, ..n.♠ Se bi 6= 0 por lo menos para alguns i = 1, 2, .., n; entao o sistema enao homogeneo.♠ Se bi = 0 ∀ i , i = 1, 2, .., n; entao o sistema e homogeneo.





Dado o sistema de equacoes lineares nao-homogeneo.

x + y + z = 102x + y + 4z = 202x + 3y + 5z = 25

A matriz aumentada associada (matriz de coeficientes) ao sistemaanterior e

1 1 1 102 1 4 202 3 5 25

.

Observe que na ultima coluna temos a parte nao homogena do sistemade equacoes.





Duas sitemas de equacoes lineares se chaman equivalentes se elaspossuem as mesmas solucoes.Dado um sistema de equacoes Lineares 1 (SEL1)I) 1-equacao se multiplica por 2: L1 → 2L1

SEL1

{

y + 2x = 1y − x = 4

⇒ SEL2

{

2y + 4x = 2y − x = 4

SEL1 ∼ SEL2, tem as mesmas solucoes! (solucao unica: x=-1, y=3)II) Troca de posicoes : L1 e trocada de posicao com L2

SEL1

{

y + 2x = 1y − x = 4

⇒ SEL3

{

y − x = 4y + 2x = 1

SEL1 ∼ SEL3, tem as mesmas solucoes!





III) Somar uma equacao o multiplo de outra : L2 → L2 + 2L1

SEL1

{

y + 2x = 1y − x = 4

⇒ SEL4

{

y + 2x = 13y + 3x = 6

SEL1 ∼ SEL4, tem as mesmas solucoes!Conclusao importante : As transformacoes feitas no sistema deequacoes que levam a um outro sistema equivalente sao na verdade aschamadas operacoes elementares que agem sobre as linhas da matrizaumentada.♥ Teorema: Se as matrizes completas de dois sistemas lineares saolinha-equivalentes, entao os dois sistema tem o mesmo conjunto solucao.Importante: Todo sistema de equacoes Lineares tem

Nehuma solucao ou

Solucao unica ou

infinitas solucoes





� Exemplo de sistem de equacoes lineares com nehuma solucao (sistemade equacoes inconsistentes)

x + y = 8

2x + 2y = 5 (1)

∄ valores de x , y tal que resolva o sistema de equacoes anterior.♦ Multiplicando a primeira equacao por 2, chegamos a uma contradicao5 = 16 (falso)

duas retas paralelas

0

2

4

6

8

10

12

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

xHector L.Carrion aula-ECT/UFRN




� Exemplo de sistem de equacoes lineares com solucao unica (sistema deequacoes consistentes)

2x + y = 1

−x + y = 4. (2)

A solucao unica e {x = −1, y = 3}.♦ 2 equacoes inequivalentes e 2 variaveis ou incognitas.

duas retas secantes

–6

–4

–2

2

4

6

8

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x





� Exemplo de sistemas de equacoes lineares com ∞ solucoes (sistema deequacoes consistentes).

4x + y = 1

−4x − y = −1 (3)

O conjunto solucao e {x = t, y = 1− 4t}, ∀t ∈ ℜ. t e o parametro reale arbitrario.♦ 1 equacao inequivalente e 2 variaveis (ou 2 incognitas).

duas retas superpostas

–5

5

10

–3 –2 –1 1 2 3

x





Summary





5 Regra de Cramer





Eliminacao GaussianaResolvendo um sistema linear

Temos um metodo que utiliza as tres operacoes seguintes

1 trocar duas equacoes entre si;

2 multiplicar toda uma equacao do sistema por uma constantediferente de zero;

3 somar um multipo de uma equacao com outra equacao.

Observamos que as 3 operacoes anteriores sao o mesmo das operacoeselementares aplicadas as linhas de uma matriz, que estudamosanteriormente. Ou seja, estas 3 operacoes elementares levam o sistemade equacoes inicial em outro sistema equivalente(com as mesmassolucoes).





Procedimento

a) Primeiro passo: Se constroi a matriz aumenta do sistema de equacaodada.b) Usando as 3 possıveis operacoes elementares na linha, levar a matrizaumentada do sistema de equacoes inicial a outra equivalente onde amatriz aumentada seja triangular (escalonada e reduzida) . (Metodode Gauss-Jordan)

• • • •• 0 • •• • • 0

. ⇒

1 0 0 •0 1 0 •0 0 1 •

,

.

observe que os elementos da diagonal em cada coluna e o numero 1(pivo).Ou levar unicamente a matriz triangular (escalonada)

• • • •• 0 • •• • • 0

. ⇒

• 0 • •0 • • 00 0 • •

.

c) escrever a matriz aumentada na sua forma equacional, e resolverimediatamente o sistema que e equivalente ao sistema original.





Exemplo 1

Resolva o seguinte sistema de equacoes.

x + y + z = 102x + y + 4z = 202x + 3y + 5z = 25

1 1 1 102 1 4 202 3 5 25

. (4)

Agora, realizamos as operacoes (L2 → L2− 2L1) e (L3 → L3− 2L1),

x + y + z = 100x − y + 2z = 00x + 1y + 3z = 5

1 1 1 100 −1 2 00 1 3 5

.

Aqui, fazemos as operacoes (L1 → L1 + L2) e (L3 → L3 + L2),

x + 0y + 3z = 10x − y + 2z = 00x + 0y + 5z = 5

1 0 3 100 −1 2 00 0 5 5

.





Em seguida, tomamos (L2 → −L2) e (L2 → 1/5L3),

x + 0y + 3z = 100x + y − 2z = 00x + 0y + z = 1

1 0 3 100 1 −2 00 0 1 1

.

Por fim, realizamos as operacoes (L1 → L1− 3L3) e (L2 → L2 + 2L3),

x + 0y + 0z = 70x + y + 0z = 20x + 0y + z = 1

1 0 0 70 1 0 20 0 1 1

.

Assim, a matriz aumentada do sistema inicial foi transformada a umaforma escalonada e reduzida que e equivalente ao sistema original,com a mesma solucao {x = 7, y = 2, z = 1}.





Exemplo 2

Seja o sistema de equacoes lineares

− x2 + x3 = 2

−x1 + 3x2 = 5

2x1 + 6x3 = 20 (5)

resolva para x1, x2, x3.Para resolver, comecamos construindo a matriz aumentada

0 −1 1 2−1 3 0 52 0 6 20

(6)





Eliminacao Gaussianae o procedimento utilizado na matriz completa do exemplo anterior, ondereduzimos esta matriz a forma escalonada e reduzida, suficientementesimples para nos ajudar a encontrar a solucao do sistema linearcorrespondente.matriz aumentada

0 −1 1 2−1 3 0 52 0 6 20

Procedimento : http://www.youtube.com/watch?v=I1kexTz5GTMMatriz escalonada reduzida

1 0 0 −1/20 1 0 3/20 0 1 7/2

conjunto solucao {x1 = −1/2, x2 = 3/2, x3 = 7/2}





Exemplo 3

Seja o sistema de equacoes lineares

x1 − 2x2 − 1x3 = 0

x1 + x2 = 4

x2 + x3 = 2 (7)

resolva para x1, x2, x3.Para resolver, comecamos construindo a matriz aumentada

1 −2 −1 01 1 0 40 1 1 2

Resolvendo

x1 − 2x2 − 1x3 = 00x1 + x2 + 0x3 = 40x1 + x2 + x3 = 2

1 −2 −1 01 1 0 40 1 1 2

.





continua..Realizamos a operacao (L2 → L2− L1),

1x1 − 2x2 − 1x3 = 00x1 + 3x2 + x3 = 40x1 + 1x2 + x3 = 2

1 −2 −1 00 3 1 40 1 1 2

.

Realizamos a operacao (L2 → (1/3)L2)

1x1 − 2x2 − 1x3 = 00x1 + 1x2 + (1/3)x3 = 4/3

0x1 + 1x2 + 1x3 = 2

1 −2 −1 00 1 1/3 4/30 1 1 2

.

Agora, realizamos a operacao (L3 → L3− L2) e

1x1 − 2x2 − x3 = 00x1 + 1x2 + (1/3)x3 = 4/30x1 + 0x2 + (2/3)x3 = 2/3

1 −2 −1 00 1 1/3 4/30 0 2/3 2/3

.





Realizamos a operacao (L3 → (3/2)L2)

1x1 − 2x2 − x3 = 00x1 + 1x2 + (1/3)x3 = 4/3

0x1 + 0x2 + x3 = 1

1 −2 −1 00 1 1/3 4/30 0 1 1

.

A matriz aumentada anterior, ja esta na sua forma triangular(escalonada).logo resolvendo a equacao associada:- Da terceira equacaox3 = 1,- Da segunda equacaox2 + (1/3)x3 = 4/3,→ x2 = 1.- Da primeira equacaox1 − 2x2 − x3 = 0,→ x1 = 3.Solucao do sistema original {x1 = 3, x2 = 1, x3 = 1.}





Summary





5 Regra de Cramer





Dada uma matriz M , se este nao for matriz nula, ha sempre infinitasmatrizes escada obtidas a partir de M , mas todas elas tem em comum onumero de linhas nao nulas e as colunas onde aparecem os pivos. Amatriz escada 1-reduzida (Gauss-Jordan) e unica.Definicao: O posto de uma matriz M e o numero de linhas nao nulasde qualquer matriz escada obtida a partir de M por operacoeselementares sobre linhas (p).

A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1n...

.... . .

.... . .

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

.... . .

.... . .

...0 0 · · · app · · · apn0 0 · · · 0 · · · 0· · · · · · · · · 0 · · · 0...

...... 0

... 00 0 · · · 0 · · · 0

. (8)





Observamos que existe outra definicao de posto de matriz, sem utilizarescalonamento: o posto de M e a ordem da maior submatriz quadrada deM com determinante nao nulo. Por exemplo, se M for quadrada einvertıvel, seu posto e a ordem da matriz. Pode-se demonstrar que setrata do mesmo conceito.Teorema de Rouche-CapelliSeja um sistema linear AX = B de m-equacoes a n variaveis. cuja matrizdos coeficientes A tem posto p e cuja matriz ampliada e A tem posto q.Entao:⋆ Se p 6= q, o sistema e impossıvel;⋆ Se p = q = n, o sistema e possıvel e determinado;⋆ Se p = q < n, o sistema e possıvel e indeterminado, com grau deliberdade = n − p.





Exemplos:Voltamos aos exemplos (1)- (2) e trabalhemos no nivel da matriz decoeficientes A e matriz aumentada A

Exemplo 1 (equacao (1))

A =

[

1 12 2

]

, A =

[

1 1 82 2 5

]

. (9)

Realizamos a operacao elementar L2 → L2− 2L1

A =

[

1 10 0

]

, A =

[

1 1 80 0 −11

]

. (10)

O posto de A e p = 1; o posto de A e q = 0p 6= q, logo o sistema e impossıvel. conclusao que coincide com aanalise inicial do exemplo (1).






A =

[

2 1−1 1

]

, A =

[

2 1 1−1 1 4

]

. (11)

Realizamos a operacao elementar L2 → L2 + (1/2)L1

A =

[

2 10 3/2

]

, A =

[

2 1 10 3/2 3/2

]

. (12)

O posto de A e p = 2; o posto de A e q = 2p = q = n = 3, logo o sistema e determinado. conclusao que coincidecom a analise inicial do exemplo (2).






A =

[

4 1−4 1

]

, A =

[

4 1 1−4 −1 −1

]

. (13)

Realizamos a operacao elementar L2 → L2 + L1

A =

[

4 10 0

]

, A =

[

4 1 10 0 0

]

. (14)

O posto de A e p = 1; o posto de A e q = 1p = q < n = 3, logo o sistema e indeterminado.g .l . = n − p = 3− 2 = 1, entao temos 1 variavel livre (”t”). conclusaoque coincide com a analise inicial do exemplo (3).Tarefa: Verifique que no exemplo da equacao (4), a matriz A decoeficientes tem posto = q =3. A matriz aumentada A tem posto=q=3;p = q = n, entao os sistema e possıvel (determinado): solucao unica.





Summary





5 Regra de Cramer





Seja um sistema de n equacoes nao homogenea com n incognitas,

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1...

......

...an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

(15)

Aqui, todos os coeficientes aij formam a matriz dos coeficientes A deordem n × n,

A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1n...

.... . .

.... . .

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

.... . .

.... . .

...an1 an2 · · · anj · · · ann

. (16)





Considerando

X =

x1...xi...xn

, B =

b1...bi...bn

. (17)

O sistema de equacoes lineares nao homogeneo (15) pode ser colocadona seguinte equacao matrizial.

a11 a12 · · · a1j · · · a1n...

.... . .

.... . .

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

.... . .

.... . .

...an1 an2 · · · anj · · · ann

.

x1...xi...xn

=

b1...bi...bn

.





A equacao matrizial anterior tem a seguinte forma compacta

AX = B equa. Linear nao homogenea

(18)

Seja A inversıvel ⇒ det(A) 6= 0 e B estao definidas em (16) e (17)respectivamente.Casso particular : Se B = [bi ] = [0], ∀ i = 1, ...n.

AX = 01×n Equa. Linear homogenea

Solucao geral do sistema anterior AX = B

Se existir a matriz inversa de A, teremos

X = A−1B (19)

como a solucao geral do sistema (18) ou (15) (ambas equivalentes).





Exercıcio 1

Resolva o sistema de equacoes (5) usando metodo da matriz inversa.Solucao: Da equacao (6) temos

A =

0 −1 1−1 3 02 0 6

, B =

2520

(20)

Como |A| = −12,A−1 ∃, calculando a matriz inversa de A temos:

A−1 =

− 3

2− 1

2

1

4

− 1

2

1

6

1

121

2

1

6

1

12

, (21)

logo, usando a solucao geral (19), temos :

x1x2x3

=

− 3

2− 1

2

1

4

− 1

2

1

6

1

121

2

1

6

1

12

.

2520

=

− 1

23

27

2





Teorema importante

Seja A = [aij ]n×n,X = [xi ]n×1, 0n×1; i , j = 1, 2, ...n. Definamos o seguintesistema de equacoes homogeneo

AX = 0. (22)

Teorema Se a matriz A e inversıvel (ou seja, A−1∃) ⇒ a equacaoanterior (22) tem como unica solucao a solucao trivial

X =

0..0

(23)

Corolario Se queremos que a equacao anterior (22) tenha solucao naotrivial entao A deve ser nao inversıvel, o que quer dizer que det(A) = 0.





Resultados generais e interessantes

Seja A = [aij ]m×n,X = [xi ]n×1, 0n×1;X ∈ ℜ3. Definamos o seguintesistema de equacoes homogeneo

AX = 0. (24)

O sistema anterior sempre tem pelo menos uma solucao, a saber, asolucao trivial. Ou seja, a solucao

X =

0..0

, ∈ ℜ3. (25)

Existe alguma solucao nao trivial? (X 6= 0), que resolva o sisema (24).Teorema A equacao AX = 0 tem solucao nao trivial ⇔ a equacaotem pelo menos uma variavel livre(1 grau de liberdade).





Exemplos

Exemplo 1 Resolva o sistema homogeneo seguinte

x − y = 0

2x + z = 0

3x − y + z = 0,

Exemplo 2 Resolva o sistema nao homogeno seguinte

x − y = 2

2x + z = 1

3x − y + z = 3,

Que relacao existem entre a solucao dos sistemas de equacoes anteriores?.Teorema Suponha que AX = B tem solucao para algunB, e seja P esta solucao particular e nao nula. Se V eum vetor solucao geral de AX = 0, entao a solucaogeral de AX = B e W = P + V , .





Summary





5 Regra de Cramer





Regra de Cramer

A Regra de Cramer afirma que ”se A = [aij ]n×n e uma matriz quepossui inversa, e seja B = [bi ], i = 1, 2, ..n; e aij ∈ ℜ, bi ∈ ℜ, a solucaoX do sistema AX = B, tem suas componentes xi dadas por

xi =det(Ai )

det(A), i = 1, 2, . . .n,

onde X =

x1..xn

, e a matriz Ai e obtida quando substituımos os

elementos da i-esima coluna de A pelos elementos dos termosindependentes”.





Exercıcio 2

Resolva sistema de equacoes (5) usando metodo de Cramer.Solucao Da equacao (5) temos

A =

0 −1 1−1 3 02 0 6

, B =

2520

(26)

Pelo metodo de Cramer

x1 =

det

2 −1 15 3 020 0 6

det(A), x2 =

det

0 2 1−1 5 02 20 6

det(A), x3 =

det

0 −1 2−1 3 52 0 20

det(A)

Sendo det(A) = −12 , o conjunto solucao e {x1 = − 1

2, x2 =

3

2, x3 =

7

2.}





Exercıcios

1 Resolva o exemplo 1 usando metodo da matriz inversa.2 Resolva o exemplo 1 usando a regra de Cramer.3 Determine o posto da matriz de coeficientes A e da matriz

aumentada A do seguinte sistema de equacoes lineares.

x + y + 2z = 9

2x + 4y − 3z = 1

3x + 6y − 5z = 0,

posteriormente resolva o sistema4 Seja o sistema

−x2 + x3 = 0

−x1 + 3x2 = 0

2x1 + 6x3 = 0

resolva para {x1, x2, x3}





Exercıcios..continua

1 Resolva o sistema 3x + 2y + z = 0,−6x + 4y − z = 0, 8y + z = 0, osistema tem solucao unica? ou tem infinitas solucoes?, a solucaotrivial e uma solucao particular dela?

2 Seja o sistema

−x2 + x3 = 1

−x1 + 3x2 = 2

resolva para {x1, x2, x3}, qual e o posto da matriz de coeficiente A.


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