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SISTEMAS DE ECUACIONES

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S ISTEMAS DE ECUACI ONES

Ejercicio 1.- Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de GAUSS.

1. !2x + y − z = 0x − y + 2z = 5x + y + z = 4

2. !x + 2y + z = 42x + 5y + z = −34x + 9y + 3z = 2

3. !2x − y + z = 3x + 2y − z = 4x − 8y + 5z = −6

4. !−x + 3y − z = 4x + 4y = 5

2x − 6y + 2z = 3

5. !4x + y − 2z = −33x − y + 4z = −2−x + y + z = 5

6. !2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 03𝑥 − 2𝑦 = 1

Ejercicio 2.- Resuelve utilizando la regla de CRAMER

1. !2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4

2. !4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −33𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = −2−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5

3. !−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 4𝑥 + 4𝑦 = 5

2𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 3

4. !−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −32𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

5. !2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = −3

6. !𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 13𝑥 + 𝑧 = 3

Ejercicio 3.- Resuelve los siguientes sistemas con parámetros mediante GAUSS

1. !𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 5𝑥 +𝑚𝑦 + 3𝑧 = 7

Resuélvelo cuando tenga infinitas soluciones

2. !2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 14𝑥 + 6𝑦 − 𝑎𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 10



3. !𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 0𝑥 +𝑚𝑦 + 2𝑧 = 0

2𝑥 + (3 +𝑚)𝑦 + 4𝑧 = 0

Ejercicio 4.- Discute y resuelve los sistemas en los casos que sea posible por determinantes y rangos.

1. ;5𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 02𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0

4𝑥 − 𝑦 +𝑚!𝑧 = 𝑚 − 1

2. !𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 𝑘2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 6𝑥 − 4𝑦 + 5𝑧 = 9

3. !𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 − 12𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 1

4. !2𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎−𝑦 + 𝑎𝑧 = 0

𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠𝑒𝑎𝑢𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜.

Ejercicio 5.- Resuelve el siguiente sistema utilizando el concepto de ecuación matricial.

1. !2x + y − z = 0x − y + 2z = 5x + y + z = 4

2. !4x + y − 2z = −33x − y + 4z = −2−x + y + z = 5



SOLUCIONES

Ejercicio 1.- Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de GAUSS.

1. !2x + y − z = 0x − y + 2z = 5x + y + z = 4

→

L2 1 −1 01 −1 2 51 1 1 4

M2𝐿! − 𝐿"

→2𝐿# − 𝐿"

L2 1 −1 00 −3 5 100 1 3 8

M3𝐿# + 𝐿!→ L2 1 −1 00 −3 5 100 0 14 34

M

→ !2x − 3y + 5z = 10−3y + 5z = 1014z = 34

Ahora de la ultima ecuación puedes despejar el valor de la incógnita z:

𝑧 =3414

=177

Sabiendo el valor de la incógnita z puedes ir a la segunda ecuación y determinar el valor de y:

−3y + 5z = 10 → −3y = 10 − 5177→ −3𝑦 =

−157

→ 𝑦 =57

Y finalmente solo tienes que ir a la primera ecuación para saber el valor de x:

2x − 3y + 5z = 10 → 2x = 357− 5

177→ 𝑥 =

67

2. !x + 2y + z = 42x + 5y + z = −34x + 9y + 3z = 2

→

L1 2 1 42 5 1 −34 9 3 2

M𝐿! − 2𝐿"

→𝐿# − 4𝐿"

L1 2 1 40 1 −1 −110 1 −1 −14

M𝐿# − 𝐿"→ L1 2 1 40 1 −1 −110 0 0 3

M

Finalmente, cuando ya has hecho todos los ceros necesarios debes de analizar la ultima final para distinguir el tipo de sistema.

L1 2 1 40 1 −1 −110 0 0 3

M → !𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑦 − 𝑧 = −11

0 ≠ 3

Date cuenta de que llegas a un absurdo 0 ≠ 3 por tanto el sistema no tiene solución, se tarta de un sistema incompatible.



3. !2x − y + z = 3x + 2y − z = 4x − 8y + 5z = −6

→

L2 −1 1 31 2 −1 41 −8 5 −6

M2𝐿! − 𝐿"

→2𝐿# − 𝐿"

L2 −1 1 30 5 −3 50 −15 9 −15

M→

𝐿# + 3𝐿! L2 −1 1 30 5 −3 50 0 0 0

M

Cuando ya has terminado de hacer los ceros correspondientes, fíjate que tienes en la ultima fila todos ceros, eso quiere decir que estas ante un sistema compatible indeterminado y que, por tanto, tienes infinitas soluciones. Para resolver este tipo de sistemas seguirás el siguiente procedimiento:

L2 −1 1 30 5 −3 50 0 0 0

M → !2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 35𝑦 − 3𝑧 = 5

𝑧 = 𝑡→ P

2𝑥 − 𝑦 = 3 − 𝑡5𝑦 = 5 − 3𝑡

Fíjate que del ultimo sistema puedes saber cuanto es el valor de la incógnita y, en función de t.

5𝑦 = 5 − 3𝑡 → 𝑦 =5 − 3𝑡5

Finalmente, con la primera ecuación y sabiendo el valor de las incógnitas 𝑧𝑒𝑦 ∶

2𝑥 − 𝑦 = 3 − 𝑡 → 𝑥 =3 − 𝑡 + 𝑦

2→ 𝑥 =

3 − 𝑡 + 5 − 3𝑡52

→ 𝑥 =15 − 5𝑡 + 5 − 3𝑡

10→

𝑥 =20 − 8𝑡10

→ 𝑥 =10 − 4𝑡

5

4. !−x + 3y − z = 4x + 4y = 5

2x − 6y + 2z = 3→

L−1 3 −1 41 4 0 52 −6 2 3

M𝐿! + 𝐿"→

𝐿# + 2𝐿"L−1 3 −1 40 7 −1 90 0 0 11

M

Aquí tienes otro tipo de solución en función de los ceros que has hecho mediante GAUSS, fíjate que la ultima fila tiene la siguiente estructura: 000𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 → 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒, El sistema no tiene solución.



5. !4x + y − 2z = −33x − y + 4z = −2−x + y + z = 5

→

L4 1 −2 −33 −1 4 −2−1 1 1 5

M𝐿# ↔ 𝐿"→ L

−1 1 1 53 −1 4 −24 1 −2 −3

M𝐿! + 3𝐿"

→𝐿# + 4𝐿"

L−1 1 1 50 2 7 130 5 2 17

M2𝐿# − 5𝐿!→

L−1 1 1 50 2 7 130 0 −31 −31

M → !−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 53𝑦 + 7𝑧 = 13−31𝑧 = −31

→ 𝑧 = 1

Lo que tienes que hacer, una vez tengas los ceros correspondientes, es transformar la matriz en sistema para obtener la solución de forma escalonada.

2𝑦 + 7𝑧 = 13 → 𝑦 = 3

−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5 → 𝑥 = −1

6. !2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 03𝑥 − 2𝑦 = 1

→

L2 1 −1 11 −3 1 03 −2 0 1

M2𝐿! − 𝐿"

→2𝐿# − 3𝐿"

L2 1 −1 10 −7 3 −10 −7 3 −1

M𝐿# − 𝐿"→ L2 1 −1 10 −7 3 −10 0 0 0

M

Como te ha ocurrido en otro ejercicio anterior, la ultima fila de la matriz son todo ceros, por tanto, estas ante un sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.

L2 1 −1 10 −7 3 −10 0 0 0

M → !2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1−7𝑦 + 3𝑧 = −1

𝑧 = 𝑡→ P2𝑥 + 𝑦 = 1 + 𝑡

−7𝑦 = −1 − 3𝑡 → 𝑦 =−1 − 3𝑡−7

2𝑥 +−1 − 3𝑡−7

= 1 + 𝑡 → −14𝑥 − 1 − 3𝑡 = −7 − 7𝑡 → 𝑥 =3 + 2𝑡7



Ejercicio 2.- Resuelve utilizando la regla de CRAMER

1. !2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4

Lo primero que tienes hacer es convertir el sistema en una matriz para identificar la matriz A que será la matriz de coeficientes y la matriz ampliada de A.

!2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

→ L2 1 −1 01 −1 2 51 1 1 4

M

Ahora tienes que calcula el determinante de la matriz A,

det(𝐴) = Y2 1 −11 −1 21 1 1

Y = −2 − 1 + 2 − 1 − 4 − 1 = −7

Y ahora para dar solución a las incógnitas:

𝑋 =

Y0 1 −15 −1 24 1 1

Y

Y2 1 −11 −1 21 1 1

Y=−6−7

=67 ; 𝑌 =

Y2 0 −11 5 21 4 1

Y

Y2 1 −11 −1 21 1 1

Y=−5−7

=57 ; 𝑍 =

Y2 1 01 −1 51 1 4

Y

Y2 1 −11 −1 21 1 1

Y=177

2. !4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −33𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = −2−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5


!4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −33𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = −2−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5

→ L4 1 −2 −33 −1 4 −2−1 1 1 5

M


det(𝐴) = Y4 1 −23 −1 4−1 1 1

Y = −4 − 4 − 6 + 2 − 3 − 16 = −31


𝑋 =

Y−3 1 −2−2 −1 4−5 1 1

Y

Y4 1 −23 −1 4−1 1 1

Y=

31−31

= −1; 𝑌 =

Y4 −3 −23 −2 4−1 5 1

Y

Y4 1 −23 −1 4−1 1 1

Y=−93−31

= 3; 𝑍

=

Y4 1 −33 −1 −2−1 1 5

Y

Y4 1 −23 −1 4−1 1 1

Y=−31−31

= 1



3. !−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 4𝑥 + 4𝑦 = 5

2𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 3


"−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 4𝑥 + 4𝑦 = 5

2𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 3→ .

−1 3 −1 41 4 0 52 −6 2 3

/


det(𝐴) = Y−1 3 −11 4 02 −6 2

Y = −12


𝑋 =

Y4 3 −15 4 03 −6 2

Y

Y−1 3 −11 4 02 −6 2

Y

=−16−12

=43 ; 𝑌 =

Y−1 4 −11 5 02 3 2

Y

Y−1 3 −11 4 02 −6 2

Y

=−11−12

;

𝑍 =

Y−1 3 41 4 52 −6 3

Y

Y−1 3 −11 4 02 −6 2

Y

=41−12

4. !−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −32𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

→ L−1 2 −11 −3 12 1 −1

0−31M ; det(𝐴) = Y

−1 2 −11 −3 12 1 −1

Y = −3 ≠ 0

→ 𝐸𝑠𝑡𝑜𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟𝑞𝑢𝑒𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑢𝑛𝑎𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛𝑆. 𝐶. 𝐷.→ 𝐶𝑅𝐴𝑀𝐸𝑅

𝑋 =

Y0 2 −1−3 −3 11 1 −1

Y

Y−1 2 −11 −3 12 1 −1

Y=43; 𝑌 =

Y−1 0 −11 −3 12 1 −1

Y

Y−1 2 −11 −3 12 1 −1

Y=−9−3

= 3;

𝑍 =

Y−1 2 01 −3 −32 1 1

Y

Y−1 2 −11 −3 12 1 −1

Y=143



5. !2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = −3

→ L2 −1 −1 0−1 2 1 11 −3 −2 −3

M ; det(𝐴) = Y2 −1 −1−1 2 11 −3 −2

Y = 2 ≠ 0

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜, 𝑢𝑛𝑎𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.

𝑋 =

Y0 −1 −11 2 1−3 −3 −2

Y

Y2 −1 −1−1 2 11 −3 −2

Y

=−2−2

= 1; 𝑌 =

Y2 0 −1−1 1 11 −3 −2

Y

Y2 −1 −1−1 2 11 −3 −2

Y

=0−2

= 0;

𝑍 =

Y2 −1 0−1 2 11 −3 −3

Y

Y2 −1 −1−1 2 11 −3 −2

Y

=−4−2

= 2

6. !𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 13𝑥 + 𝑧 = 3

Primero puedes comprobar el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:

det(𝐴) = Y1 −1 −22 1 33 0 1

Y = 1 − 9 + 6 + 2 = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑑𝑒(𝐴) < 3

Cogemos ahora un determinante 2x2 que este dentro de A para demostrar que el rango es dos:

|𝐴| = i1 −12 1 i = 1 + 2 = 3 ≠ 0 → 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2

Ahora tienes que comprobar cual es el rango de la matriz ampliada, para ello debes de coger las dos columnas que has utilizado para demostrar que el rango de A era dos y la columna de la ampliada.

det(𝐴) = Y1 −1 22 1 13 0 3

Y = 3 − 3 − 6 + 6 = 0 → 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑟 →

→ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 2

Estas trabajando con un sistema con infinitas soluciones, te voy a enseñar como se da solución utilizando la regla de CRAMER. Tienes que entender lo siguiente, al ser el rango de las matrices dos, una de las filas es combinación lineal de las otras dos y, por tanto, podemos eliminarla. En este caso, para demostrar el rango de A y de A’ he cogido las dos primeras filas, por tanto, será con esas dos ecuaciones con las que trabaje y quite la ultima fila:



!𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 13𝑥 + 𝑧 = 3

→ P 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1

Ahora una de las letras, tienes que hacer que sea igual a una variable, en este caso, 𝑧 = 𝜆, entonces;

P 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1 → P 𝑥 − 𝑦 = 2 + 2𝜆

2𝑥 + 𝑦 = 1 − 3𝜆

Y ahora tienes que hacer CRAMER con estas ecuaciones:

𝑋 =i2 + 2𝜆 −11 − 3𝜆 1 i

i1 −12 1 i

=2 + 2𝜆 + 1 − 3𝜆

3=3 − 𝜆3

𝑌 =i1 2 + 𝜆2 1 − 3𝜆i

i1 −12 1 i

=1 − 3𝜆 − 4 − 2𝜆

3=−3 − 5𝜆

3

Ejercicio 3.- Resuelve los siguientes sistemas con parámetros mediante GAUSS

1. !𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 5𝑥 +𝑚𝑦 + 3𝑧 = 7

Resuélvelo cuando tenga infinitas soluciones

Lo primero tal y como haces siempre en estos casos, es transformar el sistema en una matriz:

!𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 5𝑥 +𝑚𝑦 + 3𝑧 = 7

→ L1 2 1 31 3 2 51 𝑚 3 7

M

Y ahora tienes que hacer los ceros correspondientes:

L1 2 1 31 3 2 51 𝑚 3 7

M𝐿! − 𝐿"→

𝐿# − 𝐿"L1 2 1 30 1 1 20 𝑚 − 2 2 4

M𝐿# − 2𝐿!→ L1 2 1 30 1 1 20 𝑚 − 4 0 0

M

Ahora como ya has terminado de hacer los ceros que corresponden, tienes que recordar que clase de sistema tienes, en función de lo que aparece en la ultima fila, por tanto,

𝑚− 4 = 0 → 𝑚 = 4 Ahora vas a hacer una discusión en función de la ultima fila y el valor de m:

• Si 𝑚 = 4 → 𝑙𝑎𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠𝑜𝑛𝑡𝑜𝑑𝑜𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠𝑦𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒𝑢𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜.

• Si 𝑚 ≠ 4 → 𝑙𝑎𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑢𝑛𝑎𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎00𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜/𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 → 𝑆. 𝐶. 𝐷.

Ahora el ejercicio quiere que lo resuelvas cuando estas trabajando con un sistema compatible indeterminado, para eso tienes que cambiar el valor de 𝑚 = 4en el sistema y resolverlo:



L1 2 1 30 1 1 20 𝑚 − 4 0 0

M → 𝑚 = 4 → !𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3𝑦 + 𝑧 = 2𝑧 = 𝑡

→ P𝑥 + 2𝑦 = 3 − 𝑡𝑦 = 2 − 𝑡 → 𝑥 = −1 + 𝑡

2. !2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 14𝑥 + 6𝑦 − 𝑎𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 10

Lo primero tal y como haces siempre en estos casos, es transformar el sistema en una matriz:

!2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 14𝑥 + 6𝑦 − 𝑎𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 10

→ L2 3 −4 14 6 −𝑎 21 1 𝑎 10

M

L2 3 −4 14 6 −𝑎 21 1 𝑎 10

M𝐿" ↔ 𝐿#→ L

1 1 𝑎 104 6 −𝑎 22 3 −4 1

M𝐿! − 4𝐿"

→𝐿# − 2𝐿"

L1 1 𝑎 100 2 −5𝑎 −380 1 −4 − 2𝑎 −19

M

2𝐿# − 𝐿!→ L

1 1 𝑎 100 2 −5𝑎 −380 0 −8 − 5𝑎 0

M

Ahora, en función de lo que puedas tener en la ultima fila, tendrás un resultado u otro, por tanto, tienes que igual a cero −8 − 5𝑎

−8 − 5𝑎 = 0 → 𝑎 = −85

Ahora veamos que soluciones tienes en función de este resultado:

• Si 𝑎 = − %&→ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠𝑙𝑎𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 →

𝑆. 𝐶. 𝐼.(𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑜𝑛𝑒𝑠) • Si 𝑎 ≠ − %

&→ 𝑙𝑎𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑢𝑛𝑎𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎00𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜/𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 →

𝑆. 𝐶. 𝐷.

3. !𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 0𝑥 +𝑚𝑦 + 2𝑧 = 0

2𝑥 + (3 +𝑚)𝑦 + 4𝑧 = 0→ L

1 3 21 𝑚 22 3 +𝑚 4

000M𝐿! − 𝐿"→

𝐿# − 𝐿"L1 3 20 𝑚 − 3 00 𝑚 − 3 0

000M

Por tanto, ahora 𝑚− 3 = 0 → 𝑚 = 3

• 𝑆𝑖, 𝑚 = 3 →𝑠𝑜𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑢𝑛𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎𝑛𝑜𝑛𝑢𝑙𝑎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 0 → 𝑥 = −3𝑦 − 2𝑧

• 𝑆𝑖𝑚 ≠ 3 →𝑒𝑙𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑠𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜𝑠𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠𝑛𝑜𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠.



L1 3 20 𝑚 − 3 00 𝑚 − 3 0

000M → !

𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 0(𝑚 − 3)𝑦 = 0

𝑧 = 𝑡

Si determinas que m es distinto de tres → 𝑦 = 0, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜; 𝑦 = 0; 𝑧 = 𝑡; 𝑥 = 2𝑡

Ejercicio 4.- Discute y resuelve los sistemas en los casos que sea posible por determinantes y rangos.

1. ;5𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 02𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0

4𝑥 − 𝑦 +𝑚!𝑧 = 𝑚 − 1→ L

5 4 2 02 3 1 04 −1 𝑚! 𝑚− 1

M

Ahora tienes que calcular el determinante de la matriz de coeficientes:

det(𝐴) = Y5 4 22 3 14 −1 𝑚!

Y = 15𝑚! + 16 − 4 − 24 − 8𝑚! + 5 → 7𝑚! − 7 = 0

7𝑚! − 7 = 0 → 𝑚 = ±1 Ahora, como has tenido dos resultados tendrás tres casos diferentes para ver las distintas soluciones:

• 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 ≠ ±1 En este caso en concreto det(𝐴) ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 3 Como la matriz de coeficientes esta dentro de la matriz ampliada podemos afirmar que 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 3 Y finalmente, y aplicando el Teorema de Rouche, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 𝑛º𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 →𝑆. 𝐶. 𝐷.

• 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 = 1 Puedes hay que afirmar que det(𝐴) = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) < 3 tienes que buscar un determinante de 2x2 dentro de la matriz de coeficientes para afirmar que el rango es 2.

i5 42 3i = 15 − 8 = 7 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2

Para verificar el rango de la matriz ampliada, como he cogido las dos primeras columnas para demostrar que el rango de A es dos, voy a coger esas dos columnas y la columna de la matriz ampliada para verificar el rango de 𝐴′

det(𝐴$) = Y5 4 02 3 04 −1 0

Y = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) < 3

→ 𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑑𝑒𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠𝑢𝑛𝑎𝑑𝑒2𝑥2𝑞𝑢𝑒𝑒𝑠 ≠ 0→ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 2

Para terminar, aplicando el Teorema de Rouche → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) ≠ 𝑛º𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 → 𝑆. 𝐶. 𝐼.

• 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 = −1 Puedes hay que afirmar que det(𝐴) = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) < 3 tienes que buscar un determinante de 2x2 dentro de la matriz de coeficientes para afirmar que el rango es 2.

i5 42 3i = 15 − 8 = 7 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2

Para verificar el rango de la matriz ampliada, como he cogido las dos primeras columnas para demostrar que el rango de A es dos, voy a coger esas dos columnas y la columna de la matriz ampliada para verificar el rango de 𝐴′



det(𝐴$) = Y5 4 02 3 04 −1 −2

Y = −30 + 16 = +14 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 3

Para terminar, aplicando el Teorema de Rouche → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) ≠ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) → 𝑆. 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒.

2. !𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 𝑘2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 6𝑥 − 4𝑦 + 5𝑧 = 9

→ L1 2 1 𝑘2 1 4 61 −4 5 9

M

Ahora calcula el determinante de la matriz de coeficientes:

det(𝐴) = Y1 2 12 1 41 −4 5

Y = 5 + 8 − 8 − 1 − 20 + 16 = 0

Como el determinante de la matriz de coeficientes es cero independientemente del valor de k el rango de la matriz es 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) < 3

Comprueba que el rango es dos → i1 22 1i = 1 − 4 = −3 ≠ 0 → 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2

Ahora como has cogido las dos primeras columnas para demostrar que el rango de A es dos, tienes que coger las dos primeras columnas y la ultima para determinar el rango de la matriz ampliada:

det(𝐴$) = Y1 2 𝑘2 1 61 −4 9

Y = 9 + 12 − 8𝑘 − 𝑘 − 36 + 24 → −9𝑘 + 9 = 0 → 𝑘 = 1

Ahora, como has obtenido una solución tienes que estudiar dos casos diferentes:

• 𝑘 ≠ 1 → det(𝐴$) ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 3 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2 → 𝑆. 𝐼.

• 𝑘 = 1 → det(𝐴$) = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 2 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2 ≠ 𝑛º𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 →𝑆. 𝐶. 𝐼. (∞𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠).

Observación, para demostrar que el rango de la matriz ampliada es dos , únicamente tienes que coger un determinante de dos por dos dentro de la matriz ampliada que de distinto de cero.

i1 22 1i = 1 − 4 = −3 ≠ 0 → 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴′) = 2

3. !𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 − 12𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 1

Lo primero transformar el sistema en matriz:

!𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 − 12𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 1

→ L1 1 1 𝑎 − 12 1 𝑎 𝑎1 𝑎 1 1

M

Ahora tienes que calcular el determinante de la matriz de coeficientes:



det(𝐴) = Y1 1 12 1 𝑎1 𝑎 1

Y = 1 + 𝑎 + 2𝑎 − 1 − 2 − 𝑎! → −𝑎! + 3𝑎 − 2 = 0

𝑎 =−3 ±r9 − 4(−1)(−2)

−2= s𝑎 = 1

𝑎 = 2

Ahora como has obtenido dos resultados, vas a tener tres casos:

• 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑎 ≠ 1𝑦𝑎 ≠ 2 det(𝐴) ≠ 0 → 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 3

Como la matriz de coeficientes esta dentro de la matriz ampliada, hay que afirmar directamente que el rango de la matriz ampliada también será 3. Entonces, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 𝑛º𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = 3 → 𝑆. 𝐶. 𝐷(1𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛)

• 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑎 = 1 𝑒𝑛𝑒𝑠𝑡𝑒𝑐𝑎𝑠𝑜 det(𝐴) = 0 → 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 → 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) < 3

Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.

i1 12 1i = 1 − 2 = −1 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2

Ahora para mirar el rango de la matriz ampliada, tienes que coger las dos columnas que has cogido para demostrar que el rango de A es dos, es decir, las dos primeras y la columna de soluciones:

det(𝐴$) = Y1 1 02 1 11 1 1

Y = 1 + 1 − 2 − 1 = −1 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 3

En este caso como los rangos son diferentes, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2 ≠ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 3 → 𝑆. 𝐼. No tiene solución

• 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑎 = 2

𝑒𝑛𝑒𝑠𝑡𝑒𝑐𝑎𝑠𝑜 det(𝐴) = 0 → 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 → 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) < 3 Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.

i1 12 1i = 1 − 2 = −1 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2


det(𝐴$) = Y1 1 12 1 21 2 1

Y = 1 + 2 + 4 − 1 − 2 − 4 = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) < 3

En este caso tienes que determinar si el rango de la matriz ampliada, es decir A’, es dos. Para eso tienes que coger un determinante de dos por dos que este dentro de la matriz ampliada:

i1 12 1i = 1 − 2 = −1 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴′) = 2

En definitiva, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2 = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) ≠ 𝑛º𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 → 𝑆. 𝐶. 𝐼.→ (∞𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)



4. !2𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎−𝑦 + 𝑎𝑧 = 0

𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠𝑒𝑎𝑢𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜.

!2𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎−𝑦 + 𝑎𝑧 = 0

→ L2 𝑎 1 21 𝑎 0 𝑎0 −1 𝑎 0

M

det(𝐴) = Y2 𝑎 11 𝑎 00 −1 𝑎

Y = 2𝑎! − 1 − 𝑎! → 𝑎! − 1 = 0 → 𝑎 = s 1−1

Ahora tienes que hacer la discusión, como has obtenido dos resultados tienes 3 casos:

• 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑎 ≠ 1𝑦𝑎 ≠ −1

det(𝐴) ≠ 0 → 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 3 Como la matriz de coeficientes esta dentro de la matriz ampliada, hay que afirmar directamente que el rango de la matriz ampliada también será 3. Entonces, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 𝑛º𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = 3 → 𝑆. 𝐶. 𝐷(1𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛)

• 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑎 = 1 𝑒𝑛𝑒𝑠𝑡𝑒𝑐𝑎𝑠𝑜 det(𝐴) = 0 → 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 → 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) < 3

Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.

i2 11 1i = 2 − 1 = 1 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2


det(𝐴$) = Y2 1 21 1 10 −1 0

Y = −2 + 2 = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) < 3

Para demostrar que el rango es 2, tienes que coger un determinante de 2x2 que de distinto de cero:

i2 11 1i = 2 − 1 = 1 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2

En definitiva, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2 = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) ≠ 𝑛º𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 → 𝑆. 𝐶. 𝐼.→ (∞𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠) El ejercicio nos pide que resolvamos el sistema en este caso en concreto, por tanto:

!2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 = 1−𝑦 + 𝑧 = 0

→ 𝑄𝑢𝑖𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠𝑙𝑎𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎 → !2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 = 1𝑧 = 𝑡

→ P2𝑥 + 𝑦 = 2 − 𝑡𝑥 + 𝑦 = 1

Recordatorio: he quitado la ultima fila ya que, para hacer el rango de A que era 2 había utilizado las dos primeras filas. Ahora para continuar, haces el método de reducción:

P2𝑥 + 𝑦 = 2 − 𝑡𝑥 + 𝑦 = 1 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜𝑙𝑎𝑠𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 → 𝑥 = 1 − 𝑡

Sabiendo que 𝑥 = 1 − 𝑡; 𝑧 = 𝑡 → 𝐸𝑙𝑙𝑎𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 → → 2(1 − 𝑡) + 𝑦 + 𝑡 = 2 → 2 − 2𝑡 + 𝑦 + 𝑡 = 2 → 𝑦 = 𝑡



• 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑎 = −1

𝑒𝑛𝑒𝑠𝑡𝑒𝑐𝑎𝑠𝑜 det(𝐴) = 0 → 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 → 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) < 3 Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.

i2 −11 −1i = −2 + 1 = −1 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2


det(𝐴$) = Y2 −1 21 −1 −10 −1 0

Y = −2 − 2 = −4 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 3

En este caso como los rangos son diferentes, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2 ≠ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴$) = 3 → 𝑆. 𝐼. No tiene solución Ejercicio 5.- Resuelve el siguiente sistema utilizando el concepto de ecuación matricial.

1. !2x + y − z = 0x − y + 2z = 5x + y + z = 4

!2x + y − z = 0x − y + 2z = 5x + y + z = 4

→ L2 1 −11 −1 21 1 1

M ∙ v𝑥𝑦𝑧w = L

054M

Ahora voy a llamar a cada una de las matrices con un nombre para resolver el sistema matricialmente:

𝐴 = L2 1 −11 −1 21 1 1

M; 𝑋 = v𝑥𝑦𝑧w ; 𝐵 = L

054M → 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 → 𝑋 = 𝐴'"𝐵

Se trata ahora de calcular la inversa de la matriz A para después poder realizar las operaciones y dar solución a la matriz X.



2. !4x + y − 2z = −33x − y + 4z = −2−x + y + z = 5

!4x + y − 2z = −33x − y + 4z = −2−x + y + z = 5

→ L4 1 −23 −1 4−1 1 1

M ∙ v𝑥𝑦𝑧w = L

−3−25M

Ahora voy a llamar a cada una de las matrices con un nombre para resolver el sistema matricialmente:

𝐴 = L4 1 −23 −1 4−1 1 1

M; 𝑋 = v𝑥𝑦𝑧w ; 𝐵 = L

−3−25M → 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 → 𝑋 = 𝐴'"𝐵

Se trata ahora de calcular la inversa de la matriz A para después poder realizar las operaciones y dar solución a la matriz X.

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