Sistemas de ecuaciones hergen

1.1 – Ecuación lineal

1.1.1 – DEFINICIÓN: Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.

bx.a...x.ax.a nn2211

coeficientes incógnitasTérmino

independiente

UNIVERSIDAD FERMIN TOROHERGERN SUAREZ


1.1.2 – ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución o soluciones.

“Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.”

.....

3y2x

12y8x4

6y4x2


1.1.3 – RESOLUCIÓN DE ECUACIONESResolver una ecuación es hallar el valor o valores de las incógnitas que la cumplen.

Llamamos grados de libertad o de incertidumbre al número de incógnitas menos uno y es el número de parámetros que debemos utilizar para resolver la ecuación.

solución!2

5x0l.g5x2

soluciones infinitas ExistenR 52y

x1l.g5yx2

soluciones initainfR,

525z

y

x

2l.g5zy5x2

Solución general

Soluciones particulares: Dándoles valores a los parámetros obtenemos las soluciones particulares.


1.1.4 – INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

• Dos incógnitas: ax + by = c Una recta en el plano

• Tres incógnitas: ax + by + cz = d Un plano en el espacio

• Más de tres incógnitas “Hiperplanos”

1.2 – Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

mecuaciones

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

...........................................................am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm

n incógnitas

Coeficientes del sistema

términosindependientes

incógnitas

1.2.1 - DEFINICIÓN


1.2.2 – SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

Una solución de un sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bx.a...x.ax.a

.......

bx.a...x.ax.a

bx.a...x.ax.a

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bs.a...s.as.a

.......

bs.a...s.as.a

bs.a...s.as.a


Sistemas deecuaciones lineales

Incompatible

Compatible

Sin solución

Con solución

Determinado

Indeterminado

Solución única

Infinitas soluciones

• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece• Un sistema de ecuaciones lineales no puede tener exactamente dos

soluciones, tres soluciones, cuatro soluciones, ...

1.2.3 - SOLUCIONES

1.3 – Sistema homogéneo

• Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0.

• En caso contrario se dice que es no homogéneo.

• Estos sistemas son siempre compatibles ya que x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 llamada solución trivial, es siempre solución del sistema.

• Será determinado si ésta es la única solución del sistema.

0x.a...x.ax.a

.......

0x.a...x.ax.a

0x.a...x.ax.a

nmn22m11m

nn2222121

nn1212111

1.4 – Sistemas equivalentes

II. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.

• Sistemas equivalentes: dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones. (Es necesario que tengan el mismo número de incógnitas.

• Para resolver un sistema es útil convertirlo en otro equivalente que sea fácilmente resoluble.(Sistemas escalonados)

Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:

I. Intercambiar entre sí dos ecuaciones

III. Sumar miembro a miembro una ecuación a otra ecuación.

1.5 – Sistemas escalonados

Un sistema escalonado es aquel en el que los coeficientes de la incógnitas situados por debajo de la diagonal principal (elementos que repiten subíndice) son nulos.

Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles (De abajo a arriba)

5z2y0x0

14z8y3x0

9z2yx

5z2

14z8y3

9z2yx

• Sistema escalonado compatible determinado

5z2

14z8y3

9z2yx

2

5z

23

2014

3

z814y

6529z2y9x

(x,y,z) = (6,-2,-5/2)

1.5 – Sistemas escalonados

• Sistemas escalonados compatibles indeterminados

14z8y3

9z2yx

z3

148

3

14z8y

3

2132

3

1489z2y9x

R ,3

148,

3

213)z,y,x(

1.5 – Sistema escalonado

Este sistema es incompatible porque no hay ninguna solución (x, y, z) que pueda cumplir la tercera ecuación (la última ecuación no tiene sentido)

5z0y0x0

14z8y3x0

9z2yx

50

14z8y3

9z2yx

• Sistemas incompatibles

1.6 – Método de Gauss

Para convertir un sistema como:

en un sistema escalonado, se pueden dar los siguientes pasos:

I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la

primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii)IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.

Nota: Si al hacer Gauss queda un “cuadrado” hay que seguir haciendo ceros.

3333232131

2323222121

1313212111

bx.ax.ax.a

bx.ax.ax.a

bx.ax.ax.a

1.6 – Gauss: Compatible determinado

1z6yx2

4z4yx2

9z2yx

1612

4412

9211

191030

14830

9211

5200

14830

9211

122 F2FF Hacer ceros

Hacer ceros

233 FFF

5z2

14z8y3

9z2yx

2

5z

23

2014

3

z814y

6529z2y9x

Clasificación: Sistema compatible determinado

solución!

Solución: (x,y,z) = (6,-2,-5/2)

Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en un punto.

133 F2FF

1.6 – Gauss: Compatible indeterminado

22yx4

4z4yx2

9z2yx

22014

4412

9211

14830

14830

9211

0000

14830

9211


Hacer ceros

233 FFF

Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones

Solución:

Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta

14z8y3

9z2yx

z3

148

3

14z8y

3

2132

3

1489z2y9x

R ,3

148,

3

213)z,y,x(

133 F4FF

1.6 – Gauss: Incompatible

1z4yx2

4z4yx2

9z2yx

1412

4412

9211

19830

14830

9211

5000

14830

9211


Hacer ceros

233 FFF

50

14z8y3

9z2yx

Clasificación: Sistema Incompatible

Solución: No existe solución

Interpretación geométrica: Tres planos que no se cortan

133 F2FF

1.6 – Gauss : Caso especial

Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones

Solución:

Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta

5zy3x3

5zy2x2

3zyx

0000

1100

3111


Hacer ceros

5133

5122

3111

133 F3FF

4400

1100

3111

1z

y

2x

-1z-

3zyx

(x,y,z) = (2 - , , 1) R

233 F4FF

1.7– Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales

1.º Se identifican las incógnitas.

2.º Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones.

3.º Se resuelve el sistema.

4.º Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema.

1.8– Sistemas con parámetros

1.º Se ordenan las ecuaciones e incógnitas: El parámetro lo más abajo y la derecha posible.

2.º Se aplica el método de Gauss teniendo en cuenta que la fila que cambiamos no podemos multiplicarla por el parámetro

3.º Se igualan por separado los elementos de la diagonal a cero

4.º Un caso más que el número de valores del parámetro.

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