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Sistemas LinearesParte IV
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 11
Produto Matriz-Vetor
Definição (produto matriz-vetor)
Seja A =[
a1 a2 · · · an
]∈ Rm×n e x =
x1x2...
xn
∈ Rn. Então
Ax =n∑
j=1
xjaj .
O produto matriz-vetor é a combinação linear das colunas da matriz comcoeficientes dados pelas entradas do vetor.
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 11
Produto Matriz-Vetor
Definição (produto matriz-vetor)
Seja A =[
a1 a2 · · · an
]∈ Rm×n e x =
x1x2...
xn
∈ Rn. Então
Ax =n∑
j=1
xjaj .
O produto matriz-vetor é a combinação linear das colunas da matriz comcoeficientes dados pelas entradas do vetor.
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 11
Exemplo Numérico de Produto Matriz-vetor
[1 2 34 5 6
] 789
= 7[
14
]+ 8
[25
]+ 9
[36
]
=
[7
28
]+
[1640
]+
[2754
]=
[7 + 16 + 27
28 + 40 + 54
]=
[50
122
]
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 11
Exemplo Numérico de Produto Matriz-vetor
[1 2 34 5 6
] 789
= 7[
14
]+ 8
[25
]+ 9
[36
]
=
[7
28
]+
[1640
]+
[2754
]=
[7 + 16 + 27
28 + 40 + 54
]=
[50
122
]
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 11
Exemplo Numérico de Produto Matriz-vetor
[1 2 34 5 6
] 789
= 7[
14
]+ 8
[25
]+ 9
[36
]
=
[7
28
]+
[1640
]+
[2754
]
=
[7 + 16 + 27
28 + 40 + 54
]=
[50
122
]
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 11
Exemplo Numérico de Produto Matriz-vetor
[1 2 34 5 6
] 789
= 7[
14
]+ 8
[25
]+ 9
[36
]
=
[7
28
]+
[1640
]+
[2754
]=
[7 + 16 + 27
28 + 40 + 54
]
=
[50
122
]
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 11
Exemplo Numérico de Produto Matriz-vetor
[1 2 34 5 6
] 789
= 7[
14
]+ 8
[25
]+ 9
[36
]
=
[7
28
]+
[1640
]+
[2754
]=
[7 + 16 + 27
28 + 40 + 54
]=
[50
122
]
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 11
Segunda Interpretação para o Produto Matriz-vetor
A i-ésima entrada de Ax é o produto escalar da i-ésima linha de A por x.(O produto escalar de dois vetores é o somatório dos produtos das entradascorrespondentes.)
[1 2 34 5 6
] 789
=
[1× 7 + 2× 8 + 3× 94× 7 + 5× 8 + 6× 9
]=
[50
122
]
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 11
Segunda Interpretação para o Produto Matriz-vetor
A i-ésima entrada de Ax é o produto escalar da i-ésima linha de A por x.(O produto escalar de dois vetores é o somatório dos produtos das entradascorrespondentes.)
[1 2 34 5 6
] 789
=
[1× 7 + 2× 8 + 3× 94× 7 + 5× 8 + 6× 9
]=
[50
122
]
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 11
Segunda Interpretação para o Produto Matriz-vetor
A i-ésima entrada de Ax é o produto escalar da i-ésima linha de A por x.(O produto escalar de dois vetores é o somatório dos produtos das entradascorrespondentes.)
[1 2 34 5 6
] 789
=
[1× 7 + 2× 8 + 3× 94× 7 + 5× 8 + 6× 9
]=
[50
122
]
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 11
Segunda Interpretação para o Produto Matriz-vetor
A i-ésima entrada de Ax é o produto escalar da i-ésima linha de A por x.(O produto escalar de dois vetores é o somatório dos produtos das entradascorrespondentes.)
[1 2 34 5 6
] 789
=
[1× 7 + 2× 8 + 3× 94× 7 + 5× 8 + 6× 9
]=
[50
122
]
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 11
Segunda Interpretação para o Produto Matriz-vetor
A i-ésima entrada de Ax é o produto escalar da i-ésima linha de A por x.(O produto escalar de dois vetores é o somatório dos produtos das entradascorrespondentes.)
[1 2 34 5 6
] 789
=
[1× 7 + 2× 8 + 3× 94× 7 + 5× 8 + 6× 9
]=
[50
122
]
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 11
Segunda Interpretação para o Produto Matriz-vetor
A i-ésima entrada de Ax é o produto escalar da i-ésima linha de A por x.(O produto escalar de dois vetores é o somatório dos produtos das entradascorrespondentes.)
[1 2 34 5 6
] 789
=
[1× 7 + 2× 8 + 3× 94× 7 + 5× 8 + 6× 9
]=
[50
122
]Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 11
Segunda Interpretação para o Produto Matriz-vetor
A i-ésima entrada de Ax é o produto escalar da i-ésima linha de A por x.(O produto escalar de dois vetores é o somatório dos produtos das entradascorrespondentes.)
[1 2 34 5 6
] 789
=
[1× 7 + 2× 8 + 3× 94× 7 + 5× 8 + 6× 9
]=
[50
122
]Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 11
Segunda Interpretação para o Produto Matriz-vetor
A i-ésima entrada de Ax é o produto escalar da i-ésima linha de A por x.(O produto escalar de dois vetores é o somatório dos produtos das entradascorrespondentes.)
[1 2 34 5 6
] 789
=
[1× 7 + 2× 8 + 3× 94× 7 + 5× 8 + 6× 9
]=
[50
122
]Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 11
Linearidade do Produto Matriz-vetor
É fácil verificar que o produto matriz vetor é linear:I A(x + y) = Ax + Ay, ∀ x,y ∈ Rn
I A(αx) = αAx, ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ Rn
Assim,I A0 = 0
I A
( p∑i=1
αixi
)=
p∑i=1
αiAxi
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 11
Linearidade do Produto Matriz-vetor
É fácil verificar que o produto matriz vetor é linear:I A(x + y) = Ax + Ay, ∀ x,y ∈ Rn
I A(αx) = αAx, ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ Rn
Assim,I A0 = 0
I A
( p∑i=1
αixi
)=
p∑i=1
αiAxi
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 11
Relação entre Sistema Linear e Produto Matriz-vetor
Pensando por coluna:
I Interpretação por coluna de SL: x é solução de[
A∣∣∣ b]⇔
∑nj=1 xjaj = b.
I Definição de produto Matriz-vetor (CL das colunas de A): Ax =∑n
j=1 xjaj .
I Segue que o sistema[
A∣∣∣ b]
corresponde à equação vetorial Ax = b.
Pensando por linha:I A equação vetorial Ax = b corresponde a m equações escalares:
(Ax)i =∑n
j=1 aijxj = bi , i = 1,2, . . . ,m
Estas são as equações do sistema[
A∣∣∣ b].
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 11
Relação entre Sistema Linear e Produto Matriz-vetor
Pensando por coluna:
I Interpretação por coluna de SL: x é solução de[
A∣∣∣ b]⇔
∑nj=1 xjaj = b.
I Definição de produto Matriz-vetor (CL das colunas de A): Ax =∑n
j=1 xjaj .
I Segue que o sistema[
A∣∣∣ b]
corresponde à equação vetorial Ax = b.
Pensando por linha:I A equação vetorial Ax = b corresponde a m equações escalares:
(Ax)i =∑n
j=1 aijxj = bi , i = 1,2, . . . ,m
Estas são as equações do sistema[
A∣∣∣ b].
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 11
Relação entre Sistema Linear e Produto Matriz-vetor
Pensando por coluna:
I Interpretação por coluna de SL: x é solução de[
A∣∣∣ b]⇔
∑nj=1 xjaj = b.
I Definição de produto Matriz-vetor (CL das colunas de A): Ax =∑n
j=1 xjaj .
I Segue que o sistema[
A∣∣∣ b]
corresponde à equação vetorial Ax = b.
Pensando por linha:I A equação vetorial Ax = b corresponde a m equações escalares:
(Ax)i =∑n
j=1 aijxj = bi , i = 1,2, . . . ,m
Estas são as equações do sistema[
A∣∣∣ b].
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 11
“Linearidade de Sistemas Lineares”
x1 solução de[
A∣∣∣ b1
]x2 solução de
[A∣∣∣ b2
] ⇒ (αx1 + βx2) solução de
[A∣∣∣ αb1 + βb2
]
poisAx1 = b1
Ax2 = b2
⇒ A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2 = αb1 + βb2
I Esta observação é particularmente relevante quando um dos sistemas éhomogêneo.
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 11
“Linearidade de Sistemas Lineares”
x1 solução de[
A∣∣∣ b1
]x2 solução de
[A∣∣∣ b2
] ⇒ (αx1 + βx2) solução de
[A∣∣∣ αb1 + βb2
]
poisAx1 = b1
Ax2 = b2
⇒ A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2 = αb1 + βb2
I Esta observação é particularmente relevante quando um dos sistemas éhomogêneo.
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 11
“Linearidade de Sistemas Lineares”
x1 solução de[
A∣∣∣ b1
]x2 solução de
[A∣∣∣ b2
] ⇒ (αx1 + βx2) solução de
[A∣∣∣ αb1 + βb2
]
poisAx1 = b1
Ax2 = b2
⇒ A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2 = αb1 + βb2
I Esta observação é particularmente relevante quando um dos sistemas éhomogêneo.
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 11
Sistemas Homogêneos
Definição (sistema homogêneo)a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0
......
. . ....
...am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0
Definição (solução trivial)O vetor nulo 0 = (0,0, . . . ,0) é sempre solução do sistema homogêneo.Esta solução é chamada solução trivial.
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 11
Sistemas Homogêneos
Definição (sistema homogêneo)a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0
......
. . ....
...am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0
Definição (solução trivial)O vetor nulo 0 = (0,0, . . . ,0) é sempre solução do sistema homogêneo.Esta solução é chamada solução trivial.
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 11
Sistemas HomogêneosLado direito de zeros é preservado pelo escalonamento.
? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
I p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)I p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 11
Sistemas HomogêneosLado direito de zeros é preservado pelo escalonamento.
? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
I p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)I p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 11
Sistemas HomogêneosLado direito de zeros é preservado pelo escalonamento.
? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
I p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)I p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 11
Sistema Não-Homogêneo × Sistema Homogêneo Associado
Axp = b
Axh = 0
⇒ A(xp + xh) = b
Axp,1 = b
Axp,2 = b
⇒ A(xp,2 − xp,1) = 0
Se um SL não-homogêneo admite solução, então seu conjunto-solução é umatranslação daquele do SL homogêneo associado.
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 11
Sistema Não-Homogêneo × Sistema Homogêneo Associado
Axp = b
Axh = 0
⇒ A(xp + xh) = b
Axp,1 = b
Axp,2 = b
⇒ A(xp,2 − xp,1) = 0
Se um SL não-homogêneo admite solução, então seu conjunto-solução é umatranslação daquele do SL homogêneo associado.
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 11
Sistema Não-Homogêneo × Sistema Homogêneo Associado
Axp = b
Axh = 0
⇒ A(xp + xh) = b
Axp,1 = b
Axp,2 = b
⇒ A(xp,2 − xp,1) = 0
Se um SL não-homogêneo admite solução, então seu conjunto-solução é umatranslação daquele do SL homogêneo associado.
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 11
Sistema Não-Homogêneo × Sistema Homogêneo Associado 0 3 9 3 −90 1 3 2 10 2 6 3 −2
∼
1 0 0 0 r
0 1 3 0 −7
0 0 1 0 s
0 0 0 1 4
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −7 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1 4
Conjunto-solução:{(0,−7,0,4) + r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)
∣∣∣ r , s ∈ R}
0 3 9 3 00 1 3 2 00 2 6 3 0
∼
1 0 0 0 r
0 1 3 0 0
0 0 1 0 s
0 0 0 1 0
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1
Conjunto-solução:{
r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)∣∣∣ r , s ∈ R
}
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 11
Sistema Não-Homogêneo × Sistema Homogêneo Associado 0 3 9 3 −90 1 3 2 10 2 6 3 −2
∼ [ 0 1 3 0 −70 0 0 1 4
]
∼
1 0 0 0 r
0 1 3 0 −7
0 0 1 0 s
0 0 0 1 4
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −7 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1 4
Conjunto-solução:{(0,−7,0,4) + r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)
∣∣∣ r , s ∈ R}
0 3 9 3 00 1 3 2 00 2 6 3 0
∼ [ 0 1 3 0 00 0 0 1 0
]
∼
1 0 0 0 r
0 1 3 0 0
0 0 1 0 s
0 0 0 1 0
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1
Conjunto-solução:{
r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)∣∣∣ r , s ∈ R
}
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 11
Sistema Não-Homogêneo × Sistema Homogêneo Associado 0 3 9 3 −90 1 3 2 10 2 6 3 −2
∼
1 0 0 0 r
0 1 3 0 −7
0 0 1 0 s
0 0 0 1 4
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −7 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1 4
Conjunto-solução:{(0,−7,0,4) + r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)
∣∣∣ r , s ∈ R}
0 3 9 3 00 1 3 2 00 2 6 3 0
∼
1 0 0 0 r
0 1 3 0 0
0 0 1 0 s
0 0 0 1 0
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1
Conjunto-solução:{
r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)∣∣∣ r , s ∈ R
}
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 11
Sistema Não-Homogêneo × Sistema Homogêneo Associado 0 3 9 3 −90 1 3 2 10 2 6 3 −2
∼
1 0 0 0 r0 1 3 0 −70 0 1 0 s0 0 0 1 4
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −7 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1 4
Conjunto-solução:{(0,−7,0,4) + r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)
∣∣∣ r , s ∈ R}
0 3 9 3 00 1 3 2 00 2 6 3 0
∼
1 0 0 0 r0 1 3 0 00 0 1 0 s0 0 0 1 0
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1
Conjunto-solução:{
r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)∣∣∣ r , s ∈ R
}
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 11
Sistema Não-Homogêneo × Sistema Homogêneo Associado 0 3 9 3 −90 1 3 2 10 2 6 3 −2
∼
1 0 0 0 r0 1 3 0 −70 0 1 0 s0 0 0 1 4
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −7 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1 4
Conjunto-solução:{(0,−7,0,4) + r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)
∣∣∣ r , s ∈ R}
0 3 9 3 00 1 3 2 00 2 6 3 0
∼
1 0 0 0 r0 1 3 0 00 0 1 0 s0 0 0 1 0
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1
Conjunto-solução:{
r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)∣∣∣ r , s ∈ R
}
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 11
Sistema Não-Homogêneo × Sistema Homogêneo Associado 0 3 9 3 −90 1 3 2 10 2 6 3 −2
∼
1 0 0 0 r0 1 3 0 −70 0 1 0 s0 0 0 1 4
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −7 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1 4
Conjunto-solução:
{(0,−7,0,4) + r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)
∣∣∣ r , s ∈ R}
0 3 9 3 00 1 3 2 00 2 6 3 0
∼
1 0 0 0 r0 1 3 0 00 0 1 0 s0 0 0 1 0
∼
1 0 0 0 1 r0 1 0 0 −3 s0 0 1 0 1 s0 0 0 1
Conjunto-solução:
{r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0)
∣∣∣ r , s ∈ R}
Álgebra Linear II Profs. Marco Cabral & Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 11
