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1
Sistemas Lineares
1. Equação Linear
Toda equação da forma bxa...xaxa nn =+++ 2211 é denominada equação linear, em
que:
na,..,a,a 21 são coeficientes
nx,...,x,x 21 são as incógnitas
b é um termo independente
Exemplos:
a) 532 321 =+− xxx é uma equação linear de três incógnitas.
b) 1−=+−+ tzyx é uma equação linear de quatro incógnitas.
Observações:
1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação linear homogênea. Por exemplo: 05 =+ yx .
2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma 2121 x.x,x etc., isto é, cada termo da
equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1.
As equações 323 221 −=+ xx e 24 =+ zy.x não são lineares.
3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou ênupla ( )n,...,, ααα 21 , que, colocados respectivamente no lugar de nx,...,x,x 21 , tornam
verdadeira a igualdade dada.
4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea 03 =+ yx é a dupla ( )00, .
Vejamos alguns exemplos:
1º exemplo: Dada a equação linear 24 =+− zyx , encontrar uma de suas soluções.
Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.
0
2
=
=
y
x
⇒
6
2042
−=
=+−
z
z.
Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
2º exemplo: Dada a equação 523 =− yx , determinar α para que a dupla (-1, α) seja solução da equação.
Resolução: ( )α,1− ⇒ α=−=
y
x 1 ⇒
( )
482
523
521.3
−=⇔=−=−−
=−−
ααα
α
Resposta: α = – 4
2
Exercícios Propostos:
1. Determine m para que ( )2,1,1 −− seja solução da equação 62 =−+ zymx .
Resp: -1
2. Dada a equação 132
−=+ yx, ache α para que ( )1, +αα torne a sentença verdadeira.
Resp: -8/5
2. Sistema linear.
Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas nxxx ,...,, 21 todo sistema da
forma:
=+++
=+++=+++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
nn bbbaaa '2'1'11211 ,...,,,,...,,→ são números reais.
Se o conjunto ordenado de números reais ( )n'2'1' ,...,, ααα satisfizer a todas as equações do
sistema, será denominado solução do sistema linear.
Observações:
1ª) Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, 021 ==== n'' b...bb , o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:
=+−=++=−+
0325
04
02
zyx
zyx
zyx
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.
Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial.
2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo:
3
( ){ }2142
531 −=⇒
=−−=+
,Syx
yx:S
( ){ }211
3
22
3
2 −=⇒
−=+−
=+,S
yx
yx
:S
Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes.
Exercícios Popostos:
1. Seja o sistema
−=++−=+−=−+
2
52
032
321
321
321
1
xxx
xxx
xxx
:S .
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.
Resp: a) é b) não é
2. Seja o sistema:
+=−−=+32
93 2
kyx
kyx. Calcule k para que o sistema seja homogêneo.
Resp: k = -3
3. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:
=+=−
52
1
yx
yx e
=+−=−2
1
mynx
nymx
Resp: m = 0 e n = 1
4
3. Expressão matricial de um sistema de equações lineares.
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de equações lineares.
Seja o sistema linear:
=+++
=+++=+++
nnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa
...
...
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
............
...
...
21
22221
11211
.
nx
x
x
...
...2
1
=
nb
b
b
...
...2
1
↑ ↑ ↑
matriz constituída matriz coluna matriz coluna
pelos coeficientes constituída pelas dos termos
das incógnitas incógnitas independentes
Observe que se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas irá obter o sistema dado.
Se a matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas for quadrada, o seu determinante é dito determinante do sistema.
Exemplo:
Seja o sistema:
=−+−=+−
=−+
827
1634
052
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma:
−=
−−
−
8
1
0
.
217
634
152
3
2
1
x
x
x
5
Exercícios Propostos:
1. Expresse matricialmente os sistemas:
a)
=−=+
03
52
yx
yx
b)
=−+−=+
−=++
253
0
12
cba
ca
cba
2. A expressão matricial de um sistema S é:
−=
−7
4
13
52
b
a. . Determine as equações de S.
4. Classificação dos sistemas lineares
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:
6
5. Regra de Cramer
A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear.
=+++
=+++=+++
nnmnmm
nn
nn
bxa..xaxa
...
...
bxa..xaxa
bxa..xaxa
2211
22222121
11212111
:sistema o Seja
Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas:
=
mnmm
n
n
a...aa
...
...
...
a...aa
a...aa
A
21
22221
11211
Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtém a partir da matriz A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes.
=
mnmn
n
n
x
a...ab
...
...
...
a...ab
a...ab
A
2
2222
1121
1
Pela regra de Cramer: Adet
Adetx x1
1 =
De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas:
=
mnnm
n
n
x
a...ba
...
...
...
a...ba
a...ba
A
1
2221
1111
2 Adet
Adetx x2
2 =⇔
=
nmm
xn
b...aa
...
...
...
b...aa
b...aa
A
21
22221
11211
Adet
Adetx xn
n =⇔
7
Generalizando, num sistema linear o valor da incógnita x1 é dado pela expressão:
Adet
Adetx i
i = →
tes.independen termosdos coluna pela
xde escoeficient dos colunas as
se-dosubstituinA de obtida matriz a é A
sistema. do incompleta matriz a éA
i
i
Vejamos alguns exemplos.
1º Exemplo: Resolver o sistema
−=+=−
25
72
yx
yx.
Resolução: 1151
12=⇒
−= AdetA
3352
1711 =⇒
−−
= AdetA
1121
7222 −=⇒
−= AdetA
311
331 ===Adet
Adetx 1
11
112 −=−==Adet
Adety
Resposta: ( ){ }13 −= ,S
2º Exemplo: Resolver o sistema
=−−=+
2
5
yx
yx.
Resolução: 011
11=⇒
−−= AdetA
712
15−=⇒
−= xx AdetA
721
51=⇒
−= yy AdetA
0
7−==Adet
Adetx x impossível
0
7==Adet
Adety y impossível
Resposta: φ=S
3º Exemplo: Resolver o sistema
=++=+−
=−+
1
10543
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Resolução:
1º) Cálculo do determinante da matriz incompleta.
8
126543104
111
543
121
−=−−−−+−=⇒
−−
= AdetA
2º) Cálculo do determinante das incógnitas.
24200410100
111
5410
120
11 −=−+−−+=⇒
−−
= AdetA
1205103010
111
5103
101
22 =+−+−+=⇒
−= AdetA
061000204
111
1043
021
33 =−−+++−=⇒
−= AdetA
3º) Cálculo das incógnitas.
212
2411 =
−−==
Adet
Adetx
112
1222 −=
−==
Adet
Adetx
012
033 =
−==
Adet
Adetx
Resposta: ( ){ }012 ,,S −= Sistema Possível e Determinado.
Exercícios Propostos:
1. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
a)
−=−=+
432
52
yx
yx
Resp: {(1,2)}
9
b)
=+=−93
143
yx
yx
Resp: {(3,2)}
2. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:
a)
=−+=+−
=−+
3233
932
22
zyx
zyx
zyx
Resp: {(1,2,3)}
b)
=−−=−−
=−+
03
05
010
zy
zx
yx
Resp: {(6,4,1)}
10
3. Resolva as equações matriciais:
a)
−=
− 13
9
31
12
y
x.
Resp:
5
2
b)
=
− 8
2
2
115
632
741
z
y
x
.
Resp:
−1
2
1
6. Discussão de um sistema linear
Seja o sistema linear de n equações a n incógnitas.
=+++
=+++=+++
nnnnnn
nn
nn
bxa...xaxa
...
...
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
11
Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou determinado.
Utilizando a regra de Cramer, temos:
Adet
Adetx,...,
Adet
Adetx,
Adet
Adetx n
n === 22
11
Possível e Determinado ⇒ 0≠Adet
Possível e Indeterminado ⇒
====
=
0
0
21 nAdet...AdetAdet
e
Adet
Impossível ⇒
≠
=
0 um menos pelo
0
nAdet
e
Adet
Vejamos alguns exemplos:
1º) Exemplo: Discutir o sistema
=−=+
1
23
yx
myx.
Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
mAdetm
A −−=⇒
−= 3
11
3
mAdetm
A −−=⇒
−= 2
11
211
111
2322 =⇒
= AdetA
Fazendo: 3030 −=⇒=−−⇒= mmAdet
20201 −=⇒=−−⇒= mmAdet
Resposta: SPD 3−≠⇒ m (sistema possível e determinado)
SPI m∃/⇒ (sistema possível e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor de m
SI 3−=⇒ m (sistema impossível)
2º) Exemplo: Determinar m, de modo que o sistema
=−+−=++
=−
4
0
2
zyx
zmyx
yx
seja incompatível.
Resolução: 1
111
11
011
−−=⇒
−−
−= mAdetmA
12
62
114
10
012
−−=⇒
−
−= mAdetmA xx
4
141
101
021
−=⇒
−−= yy AdetA
66
411
01
211
+=⇒
−
−= mAdetmA zz
Fazendo: 1010 −=⇒=−−⇒= mmAdet
30620 −=⇒=−−⇒= mmAdet x
10660 −=⇒=+⇒= mmAdet z
Para m = –1, teremos: 0
4−=x (impossível) 0
4−=y (impossível)
0
0=z (indeterminado).
Resposta: SI 1−=⇒ m
3º) Exemplo: Verificar se o sistema
=+=−0
023
yx
yx é determinado ou indeterminado.
Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
5det11
23=
−= AA 0det
10
20=
−= xx AA 0det
01
03=
= yy AA
Como 05det ≠=A , o sistema é determinado.
Vamos achar a solução:
05
0
det
det===
A
Ax x e 0
5
0
det
det===
A
Ay y
( ){ }0,0=S
Resposta: O sistema é determinado e ( ){ }0,0=S .
Observação:
Todo sistema homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0, 0,.., 0) chamada solução trivial.
Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre 0det,...,0det,0det 21 === nAAA
Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo, é suficiente o estudo do determinante dos coeficientes das incógnitas.
13
Determinado 0det ≠⇒ A
Indeterminado 0det =⇒ A
4º)Exemplo: Calcular o valor de a para que o sistema
=+=+
0
0
ayax
yax tenha soluções diferentes
da trivial.
Resolução: Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos 0det =A .
( ) 1ou 001.0²det1
==⇒=−⇒=−=⇒
= aaaaaaA
aa
aA
Resposta: { }1,0
Exercícios Propostos:
1. Discuta os sistemas:
a)
=−=+myx
ymx 2
b)
=+=+2
1
yx
ykx
c)
=++=++
=−+
qpzyx
zyx
zyx
4
6
1037
14
2. Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
a)
=+−=−
086
043
21
21
xx
xx
b)
=++=++
=++
03
0422
0
zyx
zyx
zyx
c)
=+=−−=++
04
03
02
yx
zyx
zyx
3. Determine a e b para que o sistema
=+=+
byx
ayx
44
126seja indeterminado.
4. Calcule os valores de a para que o sistema
=−=+
04
123
yax
yx seja compatível e
determinado.
15
5. Dê os valores de a para que o sistema
−=+−=++
−=+−
542
2
zyax
azyx
azy
seja compatível e
determinado.
6. Dê o valor de a para que o sistema
=+++=−+−
=++
054
02
02
azyx
azyx
yax
seja impossível.
7. Determine o valor de k para que o sistema
−=−=−=−
kxy
zx
yz
332
224
143
seja indeterminado.
16
8. Ache m para que o sistema
=++=−+=+−
023
054
032
zmyx
zyx
zyx
tenha soluções próprias.
9. Qual o valor de p para que o sistema
=−=++=−+
2
0
4
yx
zpyx
zypx
admita uma solução única?
10. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear
−=+=+−
=++
2
323
1
kzy
zyx
zyx
é
compatível e determinado?
17
Respostas exercícios propostos: 1. Discussão de um Sistema Linear. 1. a) SPD se 1−≠m SI se m = –1
b) SPD se 1≠k SI se k = 1 c) SPD se 1−≠p ; SPI se p = –1 e q = 8; SI se p = –1 e 8≠q
2. a) indeterminado. b) indeterminado. c) determinado
3. a = 6 e b = 8 4. 6−≠a 5. { }1 e 4 ≠−≠∈ aa/Ra 6. 1ou 4 =−= aa 7. k = 5
8. 13
3=m
9. { }1−≠∈ p/Rp
10.
≠∈
4
1k/Rk
7. Escalonamento de Sistemas Lineares Considerando um sistemas genérico m x n, dizemos que ele está escalonado quando os coeficientes aij, com i > j , são todos nulos.
Exemplos:
==+=+−
84
123
752
z
zy
zyx
−=+=++
454
11723
zy
zyx
=+=+++
1054
92
tz
tzyx
Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados
1º
==−
−=+−
105
024
623
z
zy
zyx
Sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas)
Da 3ª equação tiramos z = 2
Da 2ª equação, fazendo z = 2, tiramos y = 1
Fazendo y =1 e z = 2 na 1ª equação tiramos x = -2
Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S={(-2,1,2)}
18
2º
==+=+−
=−+−
90
325
642
1329
w
wz
wzy
wzyx
Sistema 4 x 4 já escalonado.
A 4ª equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S = ∅
3ª
=−=++
063
0
zy
zyx
Sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações < número de incógnitas)
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas que equações e pelo menos um coeficiente não nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado. A variável que não aparece no começo das equações é chamada variável livre. Nesse exemplo z é a variável livre. Fazemos z = k, com k ∈R, para descobrir a solução geral do sistema.
Da 2ª equação, temos kyzy 2063 =⇒=− .
Usando z = k e y = 2k, temos kxkkx 302 −=⇒=++ .
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (-3k, 2k, k).
4º
=+=−+−
132
22
tz
tzyx
Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem 2 equações e 4 incógnitas) e duas são variáveis livres (y e t).
Fazemos ReRcom,tey ∈β∈αβ=α= .
Substituindo nas equações:
4
3523524
42312422
312
2
31312132
+β+α=⇒+β+α=⇒
⇒+β+β+−α=⇒=β−β−+α−
β−=⇒β−=⇒=β+
xx
xx
zzz
Solução geral:
ββ−α+β+α,,,
2
31
4
352
Exercício: Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:
a)
−==−
=+−
62
12
032
z
zy
zyx
19
b)
=−=+−0
223
zy
zyx
c)
=−=+−+
0
22
dc
dcba
8. Processo para escalonamento de um sistema linear
Para escalonar um sistema linear e depois classificá-lo e resolvê-lo, alguns procedimentos podem ser feitos:
1º Eliminamos uma equação que tenha todos os coeficientes e o termo independente nulos. Por exemplo: 0x + 0y + 0z = 0 pode ser eliminada, pois todos os termos de números reais são soluções:
20
2º Podemos trocar a posição das equações. Exemplo:
=−=+
⇒
=+=−
623
14
14
623
yx
yx
yx
yx
3º Podemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real diferente de zero:
1022653 =+−⇒=+− zyxzyx
Podemos multiplicar os 2 membros de uma equação por um mesmo número real diferente de zero e somarmos aos membros correspondentes da outra equação. Regra de Chio de matrizes = 10ª propriedade. Exemplo:
( )
=−=+−
⇒
+↵=+−−⋅=+−
43
742
25953
3742
zy
zyx
zyx
zyx
4º Se no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equação é suficiente para afirmar que o sistema é impossível., isto é, S = ∅ .
Exemplo 1:
( )( )
−=−=+=++
+↵=−−⋅=+
=++⇒
=+=−=++
⇒
+↵−=+−−↓+↵=++
⋅−⋅=++
3216
135
72
73
3135
72
135
73
72
8253
2172
3272
z
zy
zyx
zy
zy
zyx
zy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado. Podemos agora resolver:
17232
31325
216
32
−=⇒=+⋅+=⇒=⋅+
==
xx
yy
z
Sistema possível e determinado, com S = {(-1,3,2)}
Exemplo 2:
( ) ( )⇒
=++−=+−
=−+⇒
+↵=−+↓+↵=+−
−⋅−⋅=−+
)inarlime(zyx
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
0000
847
32
6242
13
2332
−=+−=−+
847
32
zy
zyx
Sistema possível e indeterminado (escalonado e 2 x 3). Variável livre: z.
21
7
48
847
α+=
⇒−=α+−⇒α=
y
yz
7
53
7
482
α−=⇒=α−
α+⋅+ xx
Solução geral:
αα+α−,,
7
48
7
5
Exercícios propostos:
1) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
a)
=+=+−=++
02
833
132
zy
zyx
zyx
Resp: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)}
b)
=++=−+
5232
2
zyx
zyx
22
Resp: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)}
c)
=++=++
032
3
zyx
zyx
Resp: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}
23
9. Testes:
1. (FMU – SP) O valor de a para que o sistema
=−=+
543
182
ayx
yx seja possível e
indeterminado é:
a) -6 b) 6 c) 2 d) -2 e) 3/2
Resp: a)
2. (FGV – SP) O sistema
=−=++=−+
014
042
032
zx
zyx
zyx
é:
a) determinado.
b) Impossível
c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1).
d) Indeterminado.
e) N.D.A.
Resp: d)
3. (UFRN) A solução do sistema
=++=−+
=++
1323
524
6
zyx
zyx
zyx
é:
a) (-2, 7, 1) b) (4, -3, 5) c) (0, 1, 5) d) (2, 3, 1) e) (1, 2, 3)
Resp: e)
4. (Osec – SP) O sistema linear
=++=++
=+−
724
9432
22
zyx
zyx
zyx
:
a) admite solução única;
b) admite infinitas soluções;
c) admite apenas duas soluções;
d) não admite solução;
e) N.D.A.
Resp: b)
5. (Efoa – MG) O sistema de equações
=+=+0
55
ybx
yax, terá uma única solução se:
a) ba 5=
b) 05 =+ ba
c) 05 ≠− ba
24
d) 05 =ab
e) 05 ≠ab
Resp: c)
6. (Faap – SP) Para que o sistema linear
=+=−
152
7
yx
byax admita uma única solução, é
necessário que:
a) 5
2ba
−≠
b) 5
2ba
−=
c) 2
5ba
−≠
d) 5
2ba ≠
e) 2
5ba
−=
Resp: a)
7. (FCC – BA) O sistema linear
=+=+
12 yxa
ayx é impossível se e somente se:
a) 1≠a e 1−≠a b) 1=a ou a = –1 c) 1=a d) 1−=a e) Ra∉
Resp: d)
8. (FEI – SP) Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema
=+=+=−
104
4
3
zy
zx
yx
, então
ABC vale:
a) -5 b) 8 c) -6 d) -10 e) 5
Resp: c)
9. (UFRS) O sistema sobre R
−=+−−=−−
−=+−
11114
2
132
zyx
bzyx
zyx
, terá solução apenas se o valor
de b for igual a:
a) 6 b) 4 c) 1 d) -11 e) -12
Resp: b)
10. (Mack – SP) O sistema
=+=+
24
2
myx
kyx é indeterminado. Então k + m vale:
a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3
Resp: e)
25
11. (UFSC) Para qual valor de m o sistema
=−=−−=−−
023
02
02
yx
zmyx
zymx
admite infinitas soluções?
a) m = 0 b) 0≠m c) m = 2 d) m = 10 e) m = 1
Resp: c)
12. (FCC – BA) O sistema
=+=−0
02
kyx
yxk nas incógnitas x e y:
a) é impossível se 1−≠k
b) admite apenas a solução trivial se k = 1
c) é possível e indeterminado se k = -1
d) é impossível para todo k real
e) admite apenas a solução trivial para todo k real.
Resp: c)
13. (Cesgranrio) O sistema
=+=+−=−+
byx
zayx
zyax
1
0
tem uma infinidade de soluções. Então,
sobre os valores dos parâmetros a e b, podemos concluir que:
a) a = 1 e b arbitrário.
b) a = 1 e 0≠b
c) a = 1 e b = 1
d) a = 0 e b = 1
e) a = 0 e b = 0
Resp: d)
14. (Fuvest – SP) O sistema linear:
=−−=++
=−α+
3
1
02
zyx
zyx
zyx
não admite solução se α for igual
a:
f) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
Resp: e)
