Embed Size (px)
Citation preview
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Predavanje 9
Ishodi učenja:
Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da:
v Definišu frekvencijski odziv sistema i nađu odziv sistema ustacionarnom stanju na sinusoidalni signal
v Skiciraju asimptotske Bodeove dijagrame sistema
v Definišu osnove karakteristične veličine u frekvencijskom domenu iprepoznaju njihovu vezu sa karakterističnim veličinama ukompleksnom i vremenskom domenu
2
Frekvencijska karakteristika sistema
Mapa kursa
Modelovanje
3
Diferencijalne jednačineFunkcija prenosa• Polovi, nule, pojačanje• Strukturni blok
dijagramiModel u prostoru stanja• Kanonične forme• Linearizacija• Rješavanje jednačina
stanjaPrelazak iz jednog domena u drugi
Kontrolabilnost i opservabilnostStabilnost sistema• Raus• NikvistPerformanse SAU-a• Stacionarno stanje• Prelazni proces• Kompleksni domenFrekvencijske karakteristike• Bodeovi dijagrami
Specifikacije sistemaKompenzatori• Pojačavač• Integralni kompenzator• Diferencijalni
kompenzator• Diferencijalno -
integralni kompenzatorPID regulatorFizičke realizacijePrimjeri dizajna sistema upravljanja
DizajnAnaliza
Odziv na sinusoidalni ulaz
Posmatrajmo LTI sistem na čiji je ulaz doveden signal x(t)=cos(ω0t).
Generalno, odziv sistema se sastoji iz dvije komponente: prinudnog(eng. forced) i prirodnog (eng. natural) odziva. Već smo rekli da kodstabilnih sistema komponenta prirodnog odziva (tranzijent) iščezava,tako da u stacionarnom stanju postoji samo prinudni odziv. Takođe,ukoliko signal ima polove u lijevoj poluravni tada prirodni odiziv imagraničnu vrijednost koja se može izračunati primjenom Laplasovegranične teoreme. Ako je sistem stabilan, a signal ima polove naimaginarnoj osi (primjer: prostperiodična funkcija), odziv sistema jetakođe prostoperiodičan, pa samim tim ne postoji graničnavrijednost i ne može se primijeniti Laplasova teorema.
4
LTI( ) ( ) ( )f ny t y t y t
0( ) cos( )x t t
Odziv na sinusoidalni ulaz
5
Odziv LTI sistema na sinusoidalni signal se može izračunatiprimjenom teoreme o konvoluciji:
gdje je g(t) impulsni odziv sistema. Prva komponenta odzivapredstavlja odziv sistema u stacionarnom stanju (ujedno i prinudniodziv), dok je druga komponenta prirodni odziv (tranzijent) kojiiščezava pod uslovom da je sistem stabilan.
Odziv sistema u stacionarnom stanju je jednak:
gdje su A(jω0) i φ(jω0) moduo (amplituda) i argument (faza)frekvencijske karakteristike sistema G(jω0) na učestanosti ω0.
0
0 0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )cos ( )
( )cos ( ) ( )cos ( ) ( ) ( ).
t t
t
ss n
y t g t u t d g t t d
g t t d g t t d y t y t
0 0 0( ) ( )cos ( ) ,ssy t A j t j
Odziv na sinusoidalni ulaz
6
Dokaz:
Kako se kosinusna funkcija može zapisati na sljedeći način:
odziv LTI sistema u stacionarnom stanju će biti jednak:
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0
( ) ( )0
0 0
0 0
0 0
( ) ( )0 0
0
1( ) ( )cos ( ) ( )
2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 21 1
( ) ( )2 21
( )2
j t j tss
j t j j t j j t j t
j t j j j t j j
j t j
y t g t t d g t e e d
e g t e d e g t e d e G j e G j
e A j e e A j e
A j e e
0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ( ) ( ( )0
0 0 0
1( )( )
2( )cos ( )
j j t j j j t j j t je e A j e e
A j t j
0 0
0
1cos
2j t j tt e e
*0 0( ) ( )G j G j
Odziv na sinusoidalni ulaz
7
Dakle, odziv stabilnog sistema u stacionarnom stanju naprostoperiodični signal je signal iste frekvencije, koji je skaliran(pojačan ili oslabljen) sa vrijednošću frekvencijske karakteristike nadatoj učestanosti i fazno pomjeren za vrijednost faznekarakteristike sistema na datoj učestanosti.
Karakterisitka sistema G(jω) se često zove i frekvencijski odzivsistema, jer je ona sadrži infromacije od odzivu sistrama ustacionarnom stanju na prostoperiodičnu funkciju određeneučestanosti. Frekvencijski odziv se može dobiti eksperimentalno,dovođenjem sinusoidalnih signala različitih frekvencija na ulazsistema i upoređivanjem amplitude i faznog pomjeraja izlaza uodnosu na primijenjeni ulaz.
Frekvencijski odziv predstavlja Furijeovu transformaciju impulsnogodziva sistema. Takođe, on se može dobiti iz funkcije prenosa,zamjenom kompleksne promjenljive s sa jω.
Frekvencijski odziv
8
Frekvencijska karakteristika G(jω) se može prikazati na višenačina. Nikvistova kriva, koja se koristi za ispitivanje stabilnostispregnutog sistema, u stvari predstavlja frekvencijskukarakteristiku sistema, nacrtanu u kompleksnoj ravni, gdje se naapscisi nanosi Re{G(jω)}, a na ordinati Im{G(jω)}.
Frekvencijski odziv se najčešće prikazuje tako što se skiciraju dvijeodvojene karakteristike u zavisnosti od frekvencije: amplituda(moduo) i faza (argument). Bodeovi dijagrami su jedna varijacijaovakvog prikaza, kod kojih se amplituda izražava u decibelima(dB), pri čemu se koristi logaritamska frekvencijska skala.
Nikolslovi dijagrami su još jedan način prikazivanja frekvencijskekarakteristike. Na njima je prikazana zavisnost amplitudskekarakteristike od fazne karakteristike. Nikolsovi dijagrami sukorisni ukoliko na osnovu funkcije povratnog prenosa želimo da daočitamo bitne karakteristike spregnutog sistema.
Bodeovi dijagrami
Neka je funkcija prenosa zadata u obliku:
odnosno sistem ima pojačanje K, astatizam m-og reda, k prostihnula, i prostih polova, z kompleksnih nula i l komleksnih polova.
Amplitudska karakteristika sistema je:
9
2
2
2
2
( ) 21 1
1( ) ,
( ) 21 1
z
k zk nz nz
m
l
i li nl nl
j j j
aG s K
j j j j
a
2
2
2
2
( ) 21 1
1( ) .
( ) 21 1
z
k zk nz nz
m
l
i li nl nl
j j j
aA j K
j j jj
a
moduo
a b a b
aa
b b
Bodeovakanoničnaforma
Bodeovi dijagrami
10
Fazna karakteristika je jednaka:
Ukupna faza predstavlja zbir/razliku faza elementarnih komponentifunkcija prenosa, što je čini pogodnom za skiciranje. Da bi istaosobina važila i za ampitudsku karakteristiku, ona se izražava udecibelima (dB):
2 2
2 2
( ) arg 90 arg 1
( ) 2 ( ) 2arg 1 arg 1 arg 1 .
kk
z l
z i lnz nz i nl nl
jj K m
a
j j j j j
a
arg argument
arg arg arg
arg arg arg
a b a b
aa b
b
( ) 20 log ( ),dBA j A j
log log log
log log log
a b a ba
a bb
1
20 log 3dB2
20 log100 20dB( )
20( ) 10 .dBA j
A j
Bodeovi dijagrami
11
Bodeovi dijagrami se crtaju na logaritamskoj frekvencijskoj skali.Na logaritamskoj skali frekvencije koje su udaljene deset puta jednaod druge se nalaze na istom rastojanju.
Prednost korišćenja logaritamske skale je ta što se na njoj funkcijalog10ω crta kao prava linija. Na primjer 5log10ω na logaritamskojskali je isto što i 5ω na linearnoj skali. Na ovaj način se omogućavajednostavnije skiciranje amplitudske karaktersitike.
U nastavku će biti pokazano kako izgledaju Bodeovi dijagramielementarnih funkcija prenosa, pri čemu će neki biti aproksimativnonacrtani, da bi na kraju pokazali kako skiciraju složenije funkcijeprenosa.
0.1 1 10 100
dekada
0.2 0.3 2 3 50.5
dekadafrekvencija 0 se na
log skali nalazi u -∞
Pojačanje
12
Čisto pojačanje ima ravnuamplitudsku karakteristiku. Akoje pojačanje pozitivno, faza jenula, odnosno -180◦, ako je
negativno. 120 log K dB220 log K dB
320 log K dB
1 3
2
Re( )s
Im( )s1 10K
2 10K 3 2K
)( ()G s K G j K
10
( ) 10G j
20 log 10 10dB( ) ( ) 0,jA j
( ) 10jG
20 log 10 10( ) ( ) 180dB,A j j
2( )G j
20 log 2 6dB( ) 0, ( )A j j
Integrator
13
Na učestanosti ω = 0.1rad/s pojačanje isnosi:
Na učestanosti ω = 1 rad/s pojačanje je jednako:
)( ()1 1
G s G js j
120 log 20 lo( ) gA j
j
1( ) arg arg 90
jj
j
20 log 0( 0.1 .1 2 d) 0 B.jA
20 log( 1) 1 0dB.A j
Astatizam obara amplitudsku karak.za 20 dB/dec na svim frekvencijama:kad se frekvencija poveća 10 puta,pojačanje opadne za 20 dB.
Diferencijator
14
Na učestanosti ω=0.1rad/spojačanje isnosi:
Na učestanosti ω = 1 rad/s pojačanje je jednako:
)( ()G s s G j j
20 log g) 0 o( 2 lA jj
( ) arg 90j j
20 log 0.1( 0.1) 20dB.A j
20 log 1( 1) 20dB.A j
Diferencijator podiže ampl. karak. za20 dB/dec na svim frekvencijama:kad se frekvencija poveća 10 puta,pojačanje se poveća za 20 dB.
Sistem prvog reda (pol)
15
1(
1)
1(
1)G s G j
s j
a a
2 220 lo( ) g
aA
aj
( ) arg 1 arg 1
arctan , za 0
arctan ,za 0
j ja
aa
aa
0, za
20 log ,(
)
za A j
a
a
0a
0a
Realn
a karak
teristika
Asimptotska karakteristika
20 dB/dec
45 /dec
45 /dec
a
a
a
Sistem prvog reda (pol)
16
Na logaritamskoj skali arctanse može aproksimirati nasljedeći način:
Aproksimacija je najgrubljana prelomnim učestanostima:
0 , 0.1
arctan 45log , 0.1 100.1
90 , 0.1
a
a aa a
a
0a
0a
3dB
5.71
5.71
realnaasimptotska
realna
asimptotska
2 220 l d ,) og 3 B(
aaA
a aj
0.1(0.1 ) arctan 5.71 ,
aa
a
10(10 ) arctan 84.29 .
aa
a
a
a
a
Sistem prvog reda (nula)
17
)( () 1 1s j
G s G ja a
2 2
20 lo( ) ga
Aa
j
( ) arg 1
arctan , za 0
arctan ,za 0
j ja
aa
aa
0, za
20(
log , za )
aA
aj
Realn
a karak
teristika
Asimptotska karakteristika
20 dB/dec
45 /dec
45 /dec0a
0a
a
a
a
Sistem prvog reda (nula)
18
0a
0a
3dB
5.71
5.71
realna
asimptotska
realna
asimptotska
Na logaritamskoj skali arctanse može aproksimirati nasljedeći način:
Aproksimacija je najgrubljana prelomnim učestanostima:
0 , 0.1
arctan 45log , 0.1 100.1
90 , 0.1
a
a aa a
a
2 2
20 l d ,) og 3 B(a a
aa
jA
0.1(0.1 ) arctan 5.71 ,
aa
a
10(10 ) arctan 84.29 .
aa
a
a
a
a
Sistem drugog reda (polovi)
19
2
2
2
2
1
2 1
1(
(
2 1
)
)
n n
n n
G ss
s
G j
j
1
1
40 dB/dec
90 /dec
90 /dec
6dB
11.42
11.42
Za ζ=1 ili ζ=-1 sistem imadvostruki realni pol, pa seovaj slučaj svodi na zbirfrekvencijskih karakteristikaprvog reda, što rezultiradvostrukim nagibima fazne iamplitudske karakteristike.Greške u aproksimaciji sudva puta veće u odnosu nasistem prvog reda.
n
n
n
Sistem drugog reda (polovi)
20
Kada je ζ ≠ 1 greška uaproksimaciji je veća, pa seasimptotske karakteristikemogu korigovati na osnovugrafika prikazanih desno.Kod prigušenih sistemajavljaju se rezonantni pikovi,čije pojačanje raste kako ζopada ka nuli. Upravo ovirezonantni vrhovi su uzrokvelikih preskoka, jerpojačavaju frekvencijskekomponente signala narezonantnoj učestanosti.
0.1 0.2
1.5
0.5
0.1
0.2 1.5 0.5
n
n
n
Sistem drugog reda (nule)
21
1
1
40 dB/dec
90 /dec
90 /dec
6dB
11.42
11.42
2
2
2
2
2 1
( )
(
2 1
)n n
n n
sG s s
G j j
Za ζ=1 ili ζ=-1 sistem imadvostruku realnu nulu:
pa se ovaj slučaj svodi na zbirfrekvencijskih karakteristikaprvog reda, što rezultiradvostrukim nagibima fazne iamplitudske karakteristike.
22
2( ) 2 1 1 ,
n n n
G j j j
n
n
n
Sistem drugog reda (nule)
22
Kada je ζ ≠ 1 greška uaproksimaciji je veća, pa seasimptotske karakteristikemogu korigovati na osnovugrafika prikazanih desno. Zaζ<1 javljaju se antirezonantnipikovi, čije pojačanje rastekako ζ opada ka nuli.Antirezonantni vrhovi suuzrok “podbačaja” u odzivu(eng. undershoot) u odzivu,jer oni prigušuju frekvencijskekomponente signala koje senalaze na antirezonantnojučestanosti.
n
n
n
0.1 0.2
1.5 0.5
0.1 0.2
1.5
0.5
Primjer 1 – računanje odziva
23
Naći odziv integratora u stacionarnom stanju na signal x(t)=2sin(2ωt).
Kako je integrator po definiciji sistemna granici stabilnosti, njegov odziv ustacionarnom stanju se ne može upotpunosti odrediti posmatranjemBodeovih dijagrama. Komponentaprinudnog odziva u stacionarnomstanju će biti sinus iste frekvencije kaoi ulazni signal, pri čemu će bitipojačan (ili oslabljen) i faznopomjeren za vrijednost pojačanja ifaze integratora na frekvenciji ulaznogsignala:
Amplituda integratora je:
dok je faza konstanta na svakojfrekvenciji iznosi -90◦.
2 / 2 /2 sin 2( ) ( .)rad s radss st A ty
20 log 20 log 2 6dB,( 2)A j >> -20*log10(2)
ans = -6.0206
Primjer 1 – računanje odziva
24
>> 10^(-6/20) % pretvaranje dB
ans = 0.5012
>> s=tf('s'); >> W=1/s;
>> t1=0:0.01:10;
>> x=sin(2*t1);
>> lsim(W,x,t1)
>> syms t s
>>ilaplace(laplace(2*sin(2*t))*1/s)
>> ans = 1 - cos(2*t)
>>simplify(ifourier(fourier(2*sin(2
*t))*1/(j*w)))
>> ans = -cos(2*x)
Dakle, amplituda prinudnog odzivasignala će biti oslabljena za 6dB,odnosno 2 puta, i fazno pomjerena za-90◦:
U ovom specijalnom slučaju odzivmožemo jednostavno proračunati i uvremenskom domenu:
Može se uočiti da kompletni odzivpored komponente koju smo dobilipreko Bodeovog dijagrama sadrži ijedinicu. Ova dodatna komponentapredstavlja „prelazni proces“, odnosnoprirodni odziv sistema, koji neiščezava, jer sistem nije stabilan.
12 sin 2 90 ) sin 2 90 )
2cos(2 ).
( ) ( (ssy t t t
t
0
( ) (2 sin 2 ) 1 cos 2 .( )t
t t ty
Primjer 2 – računanje odziva
25
Naći odziv sistema u stacionarnom stanju na signal x(t)=2sin(2ωt).1
(1
)G ss
Kako je sistem stabilan, njegov odzivu stacionarnom stanju se može uodrediti na osnovu Bodeovihdijagrama. Amplituda sistema naučestnosti 2 rad/s je:
dok je faza jednaka:
Odziv sistema je:
20 log 20 log 2 6dB,( 2)A j
45 log 45 log 2( 2) 58.55 .j
12sin 2 58.55 ) sin 2 58.5 ).( ) ( (
2ss t ty t
Ako bi posmatrali realnu karakteristuku pojačanje i fazni pomjeraj bi bili jednaki:
2 2 2 2
1 1
2 1( 2) 0.45 i
ajA
( 2) atan atan 2 63.43 .j
a
Primjer 2 – računanje odziva
26
>> s=tf('s');
>> W=1/s;
>> x=sin(2*t1);
>> lsim(W,x,t1)
>> syms t s
>>ilaplace(laplace(2*sin(2*t))*1/(s
+1))
>> ans = (4*exp(-t))/5 -
(4*cos(2*t))/5 + (2*sin(2*t))/5
Kompletan odziv se može dobitiprimjenom Laplasove transformacije:
Može se uočiti da kompletan odzivsadrži komponentu prelaznog procesakoja iščezava, jer je sistem stabilan. Ustacionarnom stanju ostaje samoprunudna komponenta koja sejednostavno može proračunati naosnovu Bodeovih dijagrama.
2 2
1
4 2 4sin 2 cos 2
5 5 5
4 2 4 4sin 2 tan
5 5 5 24
+
( )
0.8944 63s .43in 2 .5
t
t
t
t e t t
e t
e t
y
Prelazni proces,
pol sistema -1( )ssy t
Prelazni process traje oko 4s, jer sistem ima pol -1.
Dijagrami sistema većeg reda
Ukoliko imamo složeni sistem koji predstavlja serijsku vezuprethodno opisanih funkcija prenosa, Bodeovi dijagrami se moguskicirati sabiranjem amplitudskih i faznih karakterstika svihpojedinačnih elemenata. Skiciranju dijagrama se može jednostavnijepristupiti tako što će se formirati tablice u kojima će biti definisaninagibi amplitudskih i faznih karakteristika na različitim opsezimafrekvencija.
Jednostavnosti radi, razmotrimo konkretnu funkciju prenosa sistema:
Najprije sistem treba zapisati u obliku Bodeove kanonične forme:
27
2
4( 5 .
( )( 6)
1 )
sG s
s s
2
120 4 .36 ( 1)( 1
6
( ))
s
G ss
s
Dijagrami sistema većeg reda
28
Sistem ima jedan nulu na frekvenciji -4, jednostruki pol na frekvenciji -1i dvostruki pol na frekvenciji -6. Nula podiže amplitudsku karakteristikuza 20dB/dec, dok polovi -1 i -6 respektivno obaraju karakteristiku za20dB/dec i 40 dB/dec. Pomenuti nagibi su dati u Tabeli 1, u kojoj supolovi i nule poređani u rastućem poretku (po apsolutnoj vrijednosti). UTabeli 2 su prikazani nagibi rezultujuće amplitudske karakteristike narazličitim opsezima. Na opsegu 0-1 rad/s nema polova i nula, pa jerezultujući nagib jednak nuli. Na frekvenciji 1rad/s pol počinje da spuštakarakterisiku za 20 dB/dec, pa se ovaj nagib sabira sa prethodnimnagibom davajući nagib -20dB/dec. Na isti način se računaju nagibi naostalim opsezima.
Pol 1 -20dB/dec
Nula 4 +20dB/dec
Pola 6 -40dB/dec
0 – 1 0dB/dec (const. 0 dB)
1 – 4 -20 dB/dec
4 – 6 0 dB/dec
6 – ∞ -40 dB/dec
Tabela 1 Tabela 2
Dijagrami sistema većeg reda
29
Što se tiče fazne karakeristike, jednostruki pol u tački a obara fazu za45◦/dec na opsegu od 0.1a do 10a, dok nula u tački a podižekarakteristiku za 45◦/dec na istom opsegu. Van opsega (0.1a, 10a) polovii nule ne unose nagib. Ukoliko je pol ili nula n-tostruk, onda se nagibipovećavaju n puta. U Tabeli 3 su dati nagibi nula i polova naodgovarajućim opsezima, dok su u Tabeli 3 dati nagibi rezultujuće faznekarakteristike na različitim opsezima.
Pol 1 0.1-10 -45◦/dec
Nula 4 0.4-40 +45◦/dec
Pola 6 0.6-60 -90◦/dec
Tabela 3
0 – 0.1 0◦/dec (const. 0◦)
0.1 – 0.4 - 45◦/dec
0.4 – 0.6 0◦/dec
0.6 – 10 -90◦/dec
10 - 40 -45◦/dec
40 - 60 -90◦/dec
60 - ∞ 0◦/dec
Tabela 4Treba voditi računa da nakonučestanosti 10a više nema nagiba,pa nagib koji je prethodno računatu okiviru opsega 0.1a-10a trebaoduzeti.
Dijagrami sistema većeg reda
30
Dijagrami sistema većeg reda
31
Na prethodnom slajdu su prikazani asimptotski Bodeovi dijagrami,nacrtani na osnovu Tabela 2 i 4, kao i realna karakteristika. Kakoje pojačanje sistema 20/26 amplitudska karakteristika je transliranaza -5.10dB. Upoređujući realnu i asimptotsku karakteristiku,uočava se da je greška u crtanju najveća na učestanosti 6 rad/s, jerna njoj postoji dvostruki pol. Kod fazne karakteristike se moguodrediti asimptote za ω=0 i ω=∞. Realna fazna karakteristika jejednaka:
odnosno φ(j0) = 0◦ i φ(j∞) = -180◦, što korespondira sa nacrtanimdijagramima. Treba napomenuti da, ukoliko sistem ima astatizamn-tog reda i ukoliko se karakteristika crta počevši od frekvencije 0.1rad/s, početna tačka apmlitudske karakterisike iznosi n×20dB (+translacija uslijed pojačanja), dok je početna faza jednaka -n×90◦.
arctan arctan 2arcta4
) n( ,6
j
Primjer 1 – Bodeovi dijagrami
32
Nacrtati asimptotske Bodeove dijagrame sistema
1
436 i
( 1)()
6)(
sG s
s s s
2
2
( 0.8)3 .( 0.2)( 0
(5)
).
sG s
s s
Primjer 2 – Bodeovi dijagrami
33
Na slici su prikazani blok dijagrami nekog minimalno faznog sistema. Odreditifunkciju prenosa, propusni opseg, pojačanje i fazu sistema na učestanosti 0.3 rad/s.
Sa amplitudske kar. se vidi dasistem ima polove u tačkama 1 i 2,i nulu na frekvenciji 3. Pojačanjesistema je 27.6042 dB, odnosno 24na linearnoj skali. Funkcija prenosasistema je:
Jednačina prave između tačaka 1 i2 je -20logω+27.6. Propusni opsegse dobija na sljedeći način:
-20logωB+27.6=24.6→ωB=1.41 rad/s.
Pojačanje sistema na učestanosti
/ 3 124 .
( 1)(( )
/ 2 1)
sG s
s s
0.2 rad/s je 27.6dB, dok se faza dobija iz jednačine -45log(ω/0.1)-45log(0.2/0.1)=-13.54◦. Napomena: jednačina faze na sljedećem opsegu je -45log(ω/0.3)-13.54◦.
Karakteristične veličine
Propusni opseg (ωB) sistema se definiše kao ona učestanost na kojoj
pojačanje sistema opadne 2 puta u odnosu na pojačanje na nultojfrekvenciji (ili za 3dB). Drugim riječima, snaga frekvencijskihkomponenti signala čija je frekvencija veća od ωB slabi za 50% uodnosu na komponente signala na nižim učestanostima. Idealan slučajbi bio kada bi pojačanje bilo konstantno na učestanostima manjim odωB, odnosno 0 (ili ∞ dB) na učestanostima većim od ωB.
Sistemi sa većim propusnim opsegom su brži, imaju kraće vrijemesmiranja i vrijeme uspona (polovi se nalaze lijevlje i visočije u s ravni).Sa te strane gledano, u praksi je poželjniji SAU sa većim propusnimopsegom, ukoliko želimo da on isprati brze promjene referentnogsignala. Sa druge strane, mjerni šumovi su najčešće slučajni i samimtim zauzmaju širok spektar frekvencija. To znači da su sistemi savećim propusnim opsegom manje robusni na šumove, pa sa te stranegledano, poželjniji su sistemi sa manjim propusnim opsegom.
34
Karakteristične veličine
35
Rezonantni vrh (Mr) se definiše kao maksimalna vrijednostamplitudske karakteristike spregnutog sistema. Učestanost ωr na kojojse javlja rezonantni vrh se zove rezonantna učestanost. Rezonantnivrhovi su posljedica kompleksnih polova i njihova amplituda raste zaopadanjem faktora relativnog prigušenja. Što je rezonantni vrh veći, toće biti veći preskok u vremenskom domenu. Rezonatni vrh je takođemjera relativne stabilnosti u frekvencijskom domenu: veći rezonantnivrh implicira manju vrijednost faktora relativnog prugušenja. Odnosno,za konstantno ωn, polovi će biti bliži imaginarnoj osi, a sistem manjestabilan.
Selektivnost se mjeri veličinom nagiba amplitudske karakteristike uokoloni učestanosti ωB (u dB/dec). Selektivnost izražava sposobnostfiltracije sistema u okolini učestanosti propusnog opsega. Što jeselektivnost veća, to će komponente van propusnog opsega biti jače ibrže prigušene.
Karakteristične veličine
36
Fazno kašnjenje predstavlja odnos fazne karakterisitke sistama iodgovarajuće frekvencije:
Fazno kašnjenje ima dimenziju vremena i nosi informaciju o tomekoliko sinusoidalni signal na izlazu sistema kasni u odnosu na ulaznisignal:
Grupno kašnjenje se definiše kao izvod fazne karaktersitike pofrekvenciji:
Ukoliko imamo amplitudsko modulisani signal a(t)cosω0t na ulazusistema i ukoliko je grupno kašnjenje kostantno u okolini frekvencije ω0
(linearna faza) izlazni signal će biti približno jednak:
( )( ) .d
j
0 0 0 0 0 0( ) ( )cos ( ) ( )cos ( ) .ss dy t A j t j A j t
( )( ) .g
d j
d
0 0 0( ) ( ) ( )cos ( ) .ss g dy t a t A j t
Karakteristične veličine
37
B
[ ]A dB
3 [ ]A dB
M [ ]r dB
r
selektivnost [dB/dec]
Veza sa vremenskim karakteristikama
38
Za sistem drugog reda može se izvesti veza između karakterističnih veličinau frekvencijskom, kompleksnom i vremenskom domenu. Ove veze se moguprimijeniti i za sisteme većeg reda ukoliko se dodatni polovi nalaze dalekood dominantnih, kompleksnih polova.
Rezonantni vrh, rezonantna frekvencija, kao i veza između propusnogopsega, položaja kompleksnih polova i vremena smirenja su dati relacijama:
Napomena: pojačanje sistema je jedinično. Za bilo koju drugu vrijednostpojačanja K pomenute veličine se ne mijenjaju, sem rezonantnog vrha kojise skalira sa K.
2
2
1, 1 2 ,
2 1r r nM
2 4 2(1 2 ) 4 4 2 iB n 2 4 24
(1 2 ) 4 4 2.B
sT
R(s) Y(s)2
( 2 )
n
ns s
+
-
( )E s 2
2 2( )
2n
n n
G ss s
Primjer - propusni opseg
39
Za SAU prikazan na slici odrediti faktor relativnog prugušenja i prirodnuneprigušenu učestanost, tako da preskok i propusni opseg budu jednaki 10% i6 rad/s. Simulirati odziv sistema na referentni signal sa slike.
R(s) Y(s)2
( 2 )
n
ns s
+
-
( )E sIz uslova da preskok bude jednak 10%dobija se da je ζ = 0.5912.
Da bi bio propusni opseg bio 6 rad/s,prirodnu neprigušenu učestanost trebaizabrati na osnovu jednačine:
Očekivano vrijeme smiranja je:
2 4 2
5.17 rad/s.
(1 2 ) 4 4 2
Bn
41.30s
n
T s
Kako vrijeme smiranja nije manje od 1s, sistem neće moći u potpunosti daisprati referentni signal. To znači da za zadati preskok treba povećati propusniopseg.
Primjer - propusni opseg
40
>> syms s k z
>> zeta=eval(solve(exp(-z*pi/sqrt(1-z^2))-0.1))
>> wn=6/sqrt(1-2*zeta(1)^2+sqrt(4*zeta(1)^4-4*zeta(1)^2+2))
>> t=0:0.01:10
>> r=0.2*heaviside(t)+0.8*heaviside(t-1)-heaviside(t-3)...
+0.4*heaviside(t-4)-0.3*heaviside(t-6)-0.1*heaviside(t-9)
>> s=tf('s');
>> G=wn^2/(s^2+2*zeta(1)*wn*s+wn^2)
>> lsim(G,r,t)
Primjer - prenos signala
41
U ovom primjeru je prikazan odzivsistema, čiji su Bodeovi dijagramiprikazani na slajdu 27, na ulazni signal
U pitanju je amplitudsko modulisanisignal, te da bi izlazu dobili samozakašnjelu verziju signala (bezizobličenja), frekvenciju nosioca trebaodabrati tako da u njegovoj okoliniamplitudska karakterisitika buderavna, a fazna karakteristika linearna(konstantno grupno kašnjenje).Simulirana su tri slučaja: kada je ω0
0.2, 2 i 20 rad/s. Može se uočiti da sejedino u prvom slučaju na izlazupojavljuje vjerna verzija ulaznogsignala.
0( ) cos( )cos( ).mx t t t
