Embed Size (px)
Citation preview
JEDNAČINE PRAVE ‐ KANONSKI OBLIK JEDNAČINA PRAVE Prava odredjena tačkom i paralelnim vektorom
x
y
z
:p
p
0P
0000 ,, zyxP cbap ,,
pzyxP ,,
P
0000 ,, zzyyxxPP
Tačka P pripada pravoj ako i samo ako su vektori kolimearni.
Iz uslova kolenearnosti slede jednačine prave:
czz
byy
axx 000
piPP 0
p
p
PRIMER
Napisati jednačine prave koja sadrži tačku i paralelna je vektoru .
3,2,10 P
3,2,5 p
:p 3,2,10 P
2,3,5 p czz
byy
axx 000
23
32
51
zyx
PARAMETARSKE JEDNAČINE PRAVE Prava odredjena tačkom i paralelnim vektorom
x
y
z
:p
p
0P
0000 ,, zyxP cbap ,,
pzyxP ,,
P
0000 ,, zzyyxxPP
Tačka P pripada pravoj ako i samo ako su vektori
piPP 0
p
kolinearni: RtptPP ,0
Rtcbatzzyyxx ,,,,, 000
Rtctzzbtyyatxx ,,, 000
Rtctzzbtyyatxx ,,, 000
PARAMETARSKE JEDNAČINE PRAVE Prava odredjena tačkom i paralelnim vektorom
x
y
z
:p
p
0P
0000 ,, zyxP cbap ,,
pzyxP ,,
P
0000 ,, zzyyxxPP
p
ctzzbtyyatxx
0
0
0
Rt
PARAMETARSKE JEDNAČINE PRAVE Prava odredjena tačkom i paralelnim vektorom
x
y
z
:p
p
0P
0000 ,, zyxP cbap ,,
pzyxP ,,
P
0000 ,, zzyyxxPP
p
ctzzbtyyatxx
0
0
0
Rt
tc
zzb
yya
xx
000
PRIMER
Napisati parametarske jednačine prave koja sadrži tačku i paralelna je vektoru .
3,2,10 P
:p 3,2,10 P
2,3,5 p:p 0000 ,, zyxP
cbap ,,
ctzzbtyyatxx
0
0
0
Rttz
tytx
2332
51
Rt
2,3,5 p
PRIMER*
Napisati parametarske jednačine prave koja sadrži tačku i paralelna je vektoru .
3,2,10 P
:p 3,2,10 P
2,3,5 p:p 0000 ,, zyxP
cbap ,,
ctzzbtyyatxx
0
0
0
Rttz
tytx
2332
51
Rt
2,3,5 p
tc
zzb
yya
xx
000 tzyx
23
32
51
PRIMER
Napisati jednačine prave koja sadrži tačku i normalna je na ravan .
3,2,10 P04232 zyx
N
0P
:p
3,2,10 P)2,3,2( Np
23
32
21
zyx
czz
byy
axx 000
Kanonske jednačine
PRIMER*
Napisati parametarske jednačine prave koja sadrži tačku i normalna je na ravan .
3,2,10 P04232 zyx
N
0P
:p
3,2,10 P)2,3,2( Np
Parametarske jednačine
ctzzbtyyatxx
0
0
0
Rt tztytx
233221
Rt
tzyx
23
32
21
JEDNAČINE PRAVE Prava odredjena sa dve tačke
x
y
z
:p
p
0P
0000 ,, zyxP
pzyxP ,,
1P
0000 ,, zzyyxxPP
Iz uslova koleniarnosti slede jednačine prave:
01
0
01
0
01
0
zzzz
yyyy
xxxx
100 PPiPPstkolinearno
1111 ,, zyxPP
01010110 ,, zzyyxxPPp
Napisati jednačine prave odredjene sa dve tacke i . 3,2,10 P
:p 3,2,10 P
PRIMER
1,4,31P
)2,6,2(31,24,1310 PPp
2,6,2 p
2,6,2 p
2
23
62
21 zyx
czz
byy
axx 000
)3(3
21
zyx
Napisati jednačine prave odredjene sa dve tacke i . 3,2,10 P
:p 3,2,10 P
PRIMER*
1,4,31P
)2,6,2(31,24,1310 PPp
2,6,2 p 1,3,1 p
1,3,1 p
13
32
11
zyx
czz
byy
axx 000
)3(3
21
zyx
PARAMETARSKE JEDNAČINE PRAVE Prava odredjena sa dve tačke
x
y
z
:p
p
0P
0000 ,, zyxP
pzyxP ,,
1P
0000 ,, zzyyxxPP
1000 PPtPPpiPPstkolinearno
1111 ,, zyxPP
01010110 ,, zzyyxxPP
010101000 ,,,, zzyyxxtzzyyxx
)(),(),( 010010010 zztzzyytyyxxtxx
PARAMETARSKE JEDNAČINE PRAVE
x
y
z
:p
p
0P
0000 ,, zyxP
pzyxP ,,
1P 1111 ,, zyxP
P
)()()(
010
010
010
zztzzyytyyxxtxx
10
10
10
)1()1()1(
ztztzytytyxtxtx
Rt
Rt)()()(
010
010
010
zztzzyytyyxxtxx
Rt
Napisati parametarske jednačine prave odredjene sa dve tacke i . 3,2,10 P
PRIMER
1,4,31P
:p 0000 ,, zyxP 1111 ,, zyxP
Rt
:p 3,2,10 P 1,4,31P
Rt
)()()(
010
010
010
zztzzyytyyxxtxx
)31(3)24(2
)13(1
tzty
tx
tzty
tx
2362
21
Rt
PARAMETARSKE JEDNAČINE PRAVE
x
y
z
:p
p
0P
0000 ,, zyxP
pzyxP ,,
1P 1111 ,, zyxP
P
Rt
100 PPtPP 10 t0t 1t0t 1t0P 1P
)()()(
010
010
010
zztzzyytyyxxtxx
PARAMETARSKE JEDNAČINE PRAVE
x
y
z
:p
p
0P
0000 ,, zyxP
pzyxP ,,
1P 1111 ,, zyxP
P
100 PPtPP 10 t0t 1t0t 1t0P 1P
10000 PPtOPPPOPOP
PARAMETARSKE JEDNAČINE DUŽI :p
0000 ,, zyxP
10,, PPzyxP
1111 ,, zyxP
10 t
x
y
z
p
0P
1P
PJednačine duži 10PP
)()()(
010
010
010
zztzzyytyyxxtxx
PARAMETARSKE JEDNAČINE DUŽI :p
0000 ,, zyxP
10,, PPzyxP
1111 ,, zyxP
10 t
x
y
z
p
0P
1P
PJednačine duži 10PP
10
10
10
)1()1()1(
ztztzytytyxtxtx
PARAMETARSKE JEDNAČINE PRAVE Prelazak sa kanonskog na parametarski oblik
czz
byy
axx 000
tc
zzb
yya
xx
000
ctzzbtyyatxx
0
0
0
Rt
Rt
PRODOR PRAVE KROZ RAVAN
czz
byy
axxp 000:
tc
zzb
yya
xx
000
0
0
0
zctzybtyxatx
Rt
0: DCzyBAx
P
0Pp
czz
byy
axxp 000:
0
0
0
zctzybtyxatx
Rt
0: DCzyBAx
PttDzctCybtBxatA 0)()()( 000
000 ,, zctzybtyxatx PPPPPP ),,( PPP zyxP
p
P
0P
?),,( PPP zyxP
PRODOR PRAVE KROZ RAVAN pP
PRIMER
Odrediti prodor prave kroz ravan
23
32
21:
zyxp
027232: zyx
p
P
0P
tzyx
23
32
21 Parametrizacija
prave
Rttztytx ,23,32,21
027232 zyx027)23(2)32(3)21(2 ttt
pP
017494 ttt 01717 t 1t)1(23),1(32),1(21 PPP zyx
5,5,1 PPP zyx )5,5,1( Pp
np
0: 1 DCzByAx
Czz
Byy
Axxp 000:
),,( 0000 zyxP:p
),,( CBAn
),,( 0000 zyxP
p
0P
n P
Pp
PROJEKCIJA TAČKE NA RAVAN
),( 0 ppP
PRIMER
p
0P
n P)5,2,1(0 P
0132: zyx
Odrediti ortogonalnu projekciju tačke
na ravan
ppP ,0
:p)1,3,2( np
)5,2,1(0 P
tzyxp
15
32
21:
523
12
tzty
txRt
01)5()23(3)12(2 ttt01414 t
45112)1(311)1(2
P
P
P
zyx
Pp
)4,1,1( Pp
1t
pn
0)()()(: 000 zzcyybxxa
czz
byy
axxp 000:
),,( 0000 zyxP:
),,( cban
),,( 0000 zyxP
Pp
PROJEKCIJA TAČKE NA PRAVU
),,( cbap
0P
nPp
p
),( 0 pP
PRIMER
)1,2,2(0POdrediti ortogonalnu projekciju tačke
na pravu
0P
nP p
p
: ),( 0 pP
)1,2,2(0P)1,3,2( pn
Pp
0)1()2(3)2(2: zyx0132 zyx
5,23,12: tztytxp01)5()23(3)12(2 ttt
101414 tt
4,1,1 PPP zyx 4,1,1 Pp
15
32
21:
zyxp
p
nn
nnp
p
0: 1111 DzCyBxA0: 2222 DzCyBxA
),,( 111 CBAn
),,( 222 CBAn
),,( cbannp
pzyxP ),,( 0000
0P
czz
byy
axx 000
PRAVA KAO PRESEK DVE RAVNI
p
:p
pnn
pnn
npnp ,
0: 1111 DzCyBxA0: 2222 DzCyBxA
p
nn
p0P
czz
byy
axxp 000:
PRAVA KAO PRESEK DVE RAVNI
p
00
:2222
1111
DzCyBxADzCyBxA
p
Kanonski oblik:
),,( 111 CBAn
),,( 222 CBAn
),,( cbannp
PRIMER
03
0132:
yxzyx
p
Napisati kanonske jednačine prave
zadate kao presek dve ravni.
p
nn
p0P
)1,3,2( n )0,1,1(n
kjikjikji
nnp
1132
0112
0113
011132
)1,1,1( nnp
*PRIMER
03
0132:
yxzyx
p
Napisati kanonske jednačine prave
zadate kao presek dve ravni.
p
nn
p0P
)1,3,2( n )0,1,1(n
pzyxP ),,( 0000
)1,1,1( nnp
0132 zyx03 yx
0z
03 yx0132 yx
2505 yy
8035 xx
)0,5,8(0 P)1,1,1( p
)1(11
518:
zyxp
:p
zyxp 52:
PROJEKCIJA PRAVE NA RAVAN
0: 1111 DzCyBxA
czz
byy
axxp 000:
),,( 111 CBAn
),,( cbap
,p
),,(,: 0000 zyxPpnn
p
p
pn
n
0P
pzyxPpnn ),,(, 0000
PRIMER
Odrediti projekciju prave na ravan .
15
32
21:
zyxp
042: zx
p
pn
n
0P
)1,3,2( p )2,0,1( n
kjikjikji
pnn
3560132
2112
2013
201132
pnn pP )5,2,1(0:
0)5(3)2(5)1(6: zyx
011356: zyx
p
011356
042:
zyxzx
p
UGAO IZMEDJU DVE PRAVE
1p
1p
2p
2p
1
0
1
0
1
01 :
czz
byy
axxp
Ugao izmedju dve prave je ugao za koji treba zarotirati jednu pravu da bi se poklopila sa drugom pravom.
2
0
2
0
2
02 :
czz
byy
axxp
),,( 1111 cbap ),,( 2222 cbap
cos2121 pppp
21212121 ccbbaapp
21
21cospppp
21
21cospppparc
, su dva ugla od kojih je jedan ostar a drugi tup
PRIMER
)2,3,1(1 p
)1,1,1(2 p21
33
12:1
zyxp
zxxp )1(4:2
Odrediti ugao izmedju pravih
0)1()2()1(31121 pp
00cos2121
21
pppp
pp
20cos arc
1p
1p
2p
2p
23
22
UGAO IZMEDJU PRAVE I RAVNI
czz
byy
axxp 000:
0: DCzyBAx
),,( cbap
),,( CBAn
p
P
0P
pn
2),( np
npnp
2cos
PRIMER
21
23
12:
zyxp
Odrediti ugao izmedju prave
i ravni 012: yx
)2,2,1(p
)0,1,2( n
p
P
0P
pn
npnp
2cos
222222 0)1(222102)1(221
2cos
02
cos
p 022
p
n np
0: 1111 DzCyBxA
0: 2222 DzCyBxA
),,( 111 CBAn
),,( 222 CBAn
0PUGAO IZMEDJU DVE RAVNI
Ugao izmedju dve ravni
nnnn
cos
1
0
1
0
1
01 :
czz
byy
axxp
2
0
2
0
2
02 :
czz
byy
axxp
),,( 1111 cbap
),,( 2222 cbap
),,(21 CBAppN
MIMOILAZNE PRAVE
1p
2p
Sadrži i paralelna je .
Sadrži i paralelna je . 1p 2p2p 1p
11,: pPN
22,: pPN
0: 1 DCzByAx
0: 2 DCzByAx
N
N
1p
1p
2p
2p 1P
2P
MIMOILAZNE PRAVE
N
1p
1p
2p
2p
d2p
1p
2P
1P
Najkraće rastojanje izmedju tačaka mimoilazne prave
NortPPd
21
NpnpP
111 ,: NpnpP
222 ,: n Zajednička normala
11 pMn 22 pMn najbliže tačke
Rastojanje izmedju tačaka i je najkraće rastojanje izmedju dve mimoilazne prave.
11 pM 22 pM
)(,: 1 p)(,: 2 p
12
111:
zyxp
PRIMER
NNapisati jednačinu ravni
koja sadrži tačku i normalna je na pravu .
0)()()(: 000 zzCyyBxxA
0)3()5()2( zyx
3,5,20 P
)1,1,1( pN
3,5,20P
04 zyx
0P
p
This image cannot currently be displayed.
0P
1P
pNapisati jednačinu ravni koja sadrži tačke i i paralelna je pravoj
PRIMER
121
11: zyxp
3,1,20 P 3,1,01 P
N
)6,0,2()33,11,20(10 PPa
)1,1,3()4,4,12( N
b
kjikjikji
baN
4412
2102
1162
1260
121602
0)3()1()0(3 zyx043 zyx
)1,2,1( p
p
Napisati jednačinu ravni koja sadrži tačku i paralelna je pravama i
PRIMER
0,3,20PThis image cannot currently be displayed.
N
0P 1p
2p2p
1p
21
35
15:1
zyxp
zyxp :2
)4,3,1( N
kjikjikji
ppN
43
1131
1121
1123
11123121
: )0,3,2(0P0)0(4)3(3)2( zyx01143 zyx
kjikjikji
baN
745
3112
1122
1321
131212
Napisati jednačinu ravni koja sadrži tačku , normalna je na ravan i paralelna pravoj .
PRIMER
3,2,00P
1312: zyxp
)7,4,5(N
: )3,2,0(0P 0)3(7)2(4)0(5 zyx029745 zyx
0222: zyx
p
n n
0P
a b
)1,3,1( p)2,1,2( n
p
