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AP00057��

Andrea Austa, Alberto Cuda

Appunti di Comunicazioni elettriche��

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Appunti di Comunicazioni

Elettriche

Andrea Austa, Alberto Cuda

9 Aprile 1998

Revisione 1.1.0

http://www.appunti.net/

© 2000 A. Austa, A. Cuda AP00057

Appunti di Comunicazioni elettriche

Pag. 1

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� Aggiornando il presente documento (il che dà diritto ad essere inseriti nellalista degli autori);

� Mettendo a disposizione i propri appunti di una qualsiasi materia ed appo-nendovi questa stessa nota.

1




Pag. 2

Un particolare ringraziamento a Claudio Vacca, Felice Cifarelli, Daniele Bechis, Fa-brizio Vacca, Ezio Ricca, Michelangelo de Bonis : : :

Andrea Austaemail: [email protected]: http://www.cclinf.polito.it/˜s83414

Alberto Cudaemail: [email protected]: http://www.cclinf.polito.it/˜s84606




Pag. 3

Prefazione

Questo fascicolo contiene gli appunti relativi al corso di Comunicazioni ElettricheGenerale tenuto dal professore Guido Albertengo, svoltosi durante l’anno accademico1996-’97 presso il Politecnico di Torino.

L’idea è nata da una nostra necessità di avere degli appunti ordinati, ma anche dal-la convinzione che la collaborazione debba sempre svolgere un ruolo significativo nellavita di chiunque; saremo perciò grati a chi vorrà contribuire inviandoci segnalazioni esuggerimenti.

Questo documento è stato realizzato mediante AMSLATEX1; la copertina, invece, èstata composta mediante il pacchetto FoilTEX2; il sistema operativo utilizzato è DebianGNU Linux3.

Il presente testo può essere liberamente distribuito tramite fotocopie o in forma elettro-nica, nei formati Postscript e LATEX ed è disponibile sulla rete Internet a partire dallenostre home page.

Per contattarci, potete inviare una e-mail ai nostri indirizzi; consigliamo inoltre divisitare periodicamente le nostre home page per consultare l’errata corrige o di scriverci sevolete essere avvertiti ogni volta che viene aggiornata.

Siamo disponibili a fornire supporto a chiunque voglia intraprendere un lavoro discrittura in LATEX.

ANDREA AUSTA ALBERTO CUDA

1Si pronuncia “late�”; l’ultima lettera va aspirata, come Ich in tedesco.2Copyright c1995 IBM Corporation.3Abbandonate ogni altra distribuzione, questa è l’unica veramente “GNU”.

3




Pag. 4

Indice

Prefazione 3

Capitolo 1. Teoria dell’Informazione 71. Struttura di un Sistema di Comunicazione 72. Codifica di Fano 83. Codifica di Fano-Huffman 9

Capitolo 2. Analisi di Segnali 131. Potenza 132. Lo Spazio delle Funzioni 163. Realizzazione di Trasmettitore e Ricevitore 20

Capitolo 3. Serie e Trasformata di Fourier 221. Base di Fourier 222. La Serie di Fourier delle funzioni reali. Teorema di Parseval 243. Trasformata di Fourier 254. Conversione da Serie a Trasformata e viceversa 26

Capitolo 4. Densità Spettrali di Energia e di Potenza 321. Definizione di densità spettrale di energia e di potenza 322. Densità di potenza di funzioni periodiche 33

Capitolo 5. Processi Casuali 351. Definizioni 352. Calcolo di media e varianza di x(t) 363. Applicazione: trasmissione con rumore termico 37

Capitolo 6. Il Digital Signal Processing 391. Analisi del DSP con componenti ideali 392. Analisi del DSP con componenti reali 43

Capitolo 7. Codici di Linea 461. Definizioni 462. Densità spettrale di potenza per simboli equiprobabili 483. Generalizzazione a simboli non equiprobabili 51

Capitolo 8. Segnalazioni in Banda Limitata 531. Parametri caratteristici della trasmissione in bande 532. Interferenza Intersimbolica 573. Il Primo Criterio di Nyquist 634. Il Filtro Trasversale 66

4




Pag. 5

INDICE 5

Capitolo 9. Rumore 701. Resistore Rumoroso 702. Doppio Bipolo Rumoroso 733. Modello della temperatura equivalente 754. Catena di doppi bipoli 765. Rumore gaussiano bianco con il modello della Te 79

Capitolo 10. Filtro Adattato 811. Presentazione 812. Dimostrazione 813. Filtro adattato con rumore gaussiano bianco. 834. Esempio 84

Capitolo 11. Soglie, codifica Gray, Canali 871. Soglie in un NRZ 872. Soglie e probabilità di errore in sistemi multilivello 893. Codifica Gray 904. Canale 91

Capitolo 12. Modulazioni Numeriche 931. Banda base e banda traslata 932. On-Off Keying 963. Amplitude Shift Keying e Binary Phase Shift Keying 994. Frequency Shift Keying 100

Capitolo 13. Segnalazioni Multilivello Modulate 1031. M-ASK 1032. M-PSK 1043. M-QAM 1064. Confronto fra sistemi 108

Capitolo 14. Rumore Associato a Segnali Modulati 1091. Il Rumore Modulato 1092. Stazionarietà di n(t) 1103. Altre Caratteristiche Statistiche di xn(t) e yn(t) 1124. Modulazione in Banda Vestigiale. AMSSB 114

Capitolo 15. Probabilità d’Errore in Segnali Modulati 1161. Probabilità d’Errore nel B-PSK con Demodulazione Coerente 1162. Probabilità d’Errore nel 4-PSK con Demodulazione Coerente 1163. Probabilità d’Errore nell’OOK con Demodulazione Incoerente 1184. Probabilità d’Errore nel 16-QAM con Demodulatore Coerente 1205. Probabilità d’Errore nel M-PSK 1246. Probabilità d’Errore nel FSK con Demodulatore Coerente 1277. Union Bound 1298. La Ritrasmissione 130

Capitolo 16. Quantizzazione di segnali analogici 1331. Campionamento e quantizzazione 1332. Rumore di quantizzazione: un primo approccio 1343. Trasmissioni attraverso un BSC 137




Pag. 6

INDICE 6

4. Rumore di quantizzazione: un approccio generale. 142

Appendice A. Alcune Formule Trigonometriche 1471. Algebra delle Delta4 1472. Alcune Relazioni Trigonometriche 150

Appendice B. Formulario 1521. Teoria dell’Informazione 1522. Analisi di Segnali 1523. Serie e Trasformata di Fourier 1534. Densità Spettrali di Energia e di Potenza 1545. Processi Casuali 1556. Il Digital Signal Processing 1557. Codici di Linea 1558. Segnalazioni in Banda Limitata 1569. Rumore 15710. Filtro Adattato 15711. Soglie, codifica Gray, Canali 15812. Modulazioni Numeriche 15813. Segnalazioni Multilivello Modulate 15914. Rumore Associato a Segnali Modulati 15915. Probabilità d’Errore in Segnali Modulati 16016. Quantizzazione di segnali analogici 161

4Adattato da: Mencuccini, Silvestrini, Fisica II (Liguori Editore).




Pag. 7

CAPITOLO 1

Teoria dell’Informazione

1. Struttura di un Sistema di Comunicazione

Un sistema di comunicazione elettriche può essere schematizzato cosı̀:

S ! TX !Canale trasmissivoz }| {

! RX| {z }Parte elettrica

! U

FIGURA 1

Dove:� S è la sorgente, che genera l’informazione;� TX è il trasmettitore, che converte le informazioni in segnali elettrici;� RX è il ricevitore, che esegue la trasformazione inversa;� U è l’utilizzatore;

Un classico esempio è il telefono: TX e RX sono gli apparecchi telefonici,S ed U gli utenti, il canale trasmissivo la rete telefonica. Si osservi che solo lecomunicazioni fra trasmettitore e ricevitore sono di natura elettrica.

Qualora si voglia classificare i sistemi di comunicazione, la prima ovvia distin-zione da operare è tra sorgente numerica (detta anche digitale) e sorgente analogica:una sorgente numerica è discreta nel tempo ed ha un numero finito di valori si-gnificativi, mentre una sorgente analogica è continua nel tempo ed ha un numeroinfinito (seppure limitato) di valori significativi.

Un sistema numerico è di qualità superiore (più immune al rumore) rispettoad uno analogico, ma quando il rumore supera una certa soglia le prestazioni ca-lano bruscamente, mentre un sistema analogico peggiora in maniera graduale alcrescere dei disturbi.

Gli esempi di sistemi digitali sono molti:� Compact Disk;� Telex / Telefax;� Computer;� GSM;� ...

Quelli analogici di una certa importanza, invece, sono attualmente solo due:� Radio;� Televisione (anche se nel 1997 è stato approvato uno standard per la televi-

sione digitale);

7




Pag. 8

2. CODIFICA DI FANO 8

Storicamente i sistemi di comunicazione numerici sono stati i primi ad essereutilizzati, mentre i sistemi analogici sono entrati in scena solo grazie all’impiegodell’elettricità, la quale ha permesso le comunicazioni a lunga distanza.

2. Codifica di Fano

Una sorgente numerica è caratterizzata da un alfabeto A, composto da n sim-boli:

A = fs1; s2; :::; sng

Ad ogni simbolo si si associa una probabilità pi. In linea teorica questo da-to è incompleto, in quanto sarebbe necessario conoscere le probabilità congiunte,cioè quelle di ogni sequenza di simboli di lunghezza arbitraria, in quanto gli ele-menti di un alfabeto non sono in generale indipendenti fra loro (ad esempio laprobabilità che ad una T segua una Z in un testo italiano è oltremodo bassa). Persemplicità qui si supporrà sempre l’indipendenza statistica, cioè:

fXY (sx; sy) = fX(sx)fY (sy)

Un simbolo è tanto più rilevante quanto più raramente viene trasmesso; unmodo per misurare questa ‘importanza’ è dunque:

Ij /1

p j

Ij viene detta quantità di informazione. Siccome è comodo esprimerla in bit (cosı̀da assegnare al simbolo in questione una stringa di bit di tale lunghezza), la suadefinizione è:

Ij = log21

p j

Ad esempio:

� p1 = p2 = 12 ) I1 = I2 = 1� p1 = p2 = p3 = p4 = 14 ) I1 = I2 = I3 = I4 = 2

Un importante parametro della sorgente è il valore atteso della quantità diinformazione trasmessa:

H � EfIjg =NXj=1

Ijpj =

=

NXj=1

pj log21

pj=

= �NXj=1

pj log2 pj(1)

Il parametro H è detto entropia della sorgente, e misura la ‘regolarità’ dellesue trasmissioni, ad esempio supponiamo che l’alfabeto sia costituito dai segenti




Pag. 9

3. CODIFICA DI FANO-HUFFMAN 9

simboli:

A : pA =1

2

B : pB =1

4

C : pC =1

8

D : pD =1

8

Si ottiene:

H =1

2log2 2 +

1

4log2 4 +

1

8log2 8 +

1

8log2 8 = 1; 75 bit/simbolo

Volendo assegnare ad ogni simbolo una stringa di bit lunga come la quantitàdi informazione che porta, bisogna rispettare la regola del prefisso: nessun simbolodeve iniziare con la codifica di un altro. Il metodo più semplice (particolarmenteappropriato a questo caso) è usare il bit ‘1’ per indicare la fine del simbolo:

A ! 1B ! 01C ! 001D ! 000

Questo alfabeto si può rappresentare cosı̀:

{A B C D}

{A}{B}

{C} {D}

{C D}{B C D}1 0

1 0

1 0

FIGURA 2

Tale codifica è detta codifica di Fano, ma può essere applicata solo se

pj =1

2j8j < N(2)

3. Codifica di Fano-Huffman

È estremamente raro che la condizione (2) sia rispettata: bisogna trovare unmetodo che permetta di codificare i simboli anche quando non sia cosı̀; l’idea èdi partire da un albero analogo a quello illustrato in figura 2, ma costruito al con-trario, cioè partendo da insiemi formati da un singolo elemento, come in figura 3.




Pag. 10


0,60,30,060,04

ABCD

FIGURA 3

Se osserviamo ancora la figura 2, notiamo che, partendo dal basso, vengo-no uniti i due insiemi con la probabilità minore di tutti. Applichiamo lo stessoprincipio anche qui:

0,60,3

0,1

ABCD

0,60,30,060,04

FIGURA 4

A questo punto si può reiterare fino ad arrivare alla radice:

ABCD

0,60,30,060,04

0,1

0,4

1

FIGURA 5

Non resta che etichettare i nodi dell’albero:

0

1 0

1

1

0

ABCD

0,60,30,060,04

FIGURA 6

Cui corrisponde una codifica del tipo:

A ! 1B ! 01C ! 001D ! 000

In questo caso la lunghezza media delle stringhe di bit non è più uguale al-la quantità media di informazione trasmessa, cioè l’entropia; valutiamo questegrandezze:

H = �0; 6 log2 0; 6� 0; 3 log2 0; 3� 0; 06 log2 0; 06� 0; 004 log2 0; 004 == 1; 39

N = 3 � 0; 1 + 2 � 0; 3 + 1 � 0; 6 = 1; 5




Pag. 11


È sempre H 6 N , con H = N se e solo se vale la (2), ed in questo caso l’al-goritmo descritto (detto algoritmo di Fano-Huffman) produce gli stessi risultati dellacodifica di Fano. È da notare che in generale il simbolo ‘1’ non è più il simbolo ditermine sequenza, infatti l’albero può essere più complesso:

0,20,10,4

0,3

0

1

0

1

0

1ABCD

FIGURA 7

Che fornisce:

A ! 11B ! 10C ! 01D ! 00

Non viene mai violata però la regola del prefisso.Il problema della codifica è particolarmente sentito nella scelta del formato

delle immagini; possono esserci vari approcci al problema:� Un metodo ingenuo può essere quello di assegnare ad ogni colore lo stesso

numero di bit, il che richiede N � p bit (N è il numero di pixel, mentre p è ilnumero di colori);

� Un metodo migliore è utilizzare proprio l’algoritmo di Fano-Huffman: nonsi perdono informazioni, ma non si sfrutta il fatto che difficilmente duepixel adiacenti hanno colori fortemente differenti

� Il metodo impiegato nella codifica JPEG è quello di dividere l’immaginein quadrati di dimensioni 8x8 pixel, eseguire l’analisi di Fourier e filtrarele frequenze basse ed alte: si perdono delle informazioni, ma le dimen-sioni dei file sono particolarmente modeste. Nei file MPEG (filmati) sisfrutta anche il fatto che il colore di un pixel nel tempo non varia moltovelocemente.

Che rischi si corrono compattando? Supponiamo di trasmettere la sequenzaA B B A D C C A

Codificata in maniera usuale si ottiene:

1 01 01 1 000 001 001 1

Se un disturbo sulla linea dovesse modificare la sequenza, ad esempio se ilricevitore riconoscesse:

1 01 00 1 000 001 001 1

Questa sequenza verrebbe interpretata come

1 01 001 000 001 001 1

cioè




Pag. 12


A B C D C C AUn errore in B si propaga e corrompe anche A. Le possibili soluzioni a questo

problema sono:� Tenere molto basso il rumore� Proteggere l’informazione

La protezione dell’informazione può essere eseguita in varie maniere, tutteperò basate sull’inserimento di una certa quantità di ridondanza nelle trasmissio-ni. Il modo più semplice è aggiungere in fondo al pacchetto trasmesso un singolobit (bit di parità), in modo tale che la somma di bit a ‘1’ sia sempre pari (o sempredispari). I vantaggi sono:

� La ridondanza inserita è molto modesta (solo un bit);� Rileva tutti gli errori che interessano un numero dispari di bit (ed è raro che

siano già due in un pacchetto);Uno svantaggio è che, sebbene ci si accorga dell’errore, è impossibile correggere ilpacchetto, quindi è necessaria la ritrasmissione (cosa non sempre possibile, comenel caso di sistemi a tempo reale).

Quando è necessario correggere oltre che rilevare gli errori, si può ricorrere ametodi più complessi, come quello illustrato in figura 8.

Informazione

Parità ‘verticale’

Parità ‘orizzontale’

FIGURA 8

L’unica regola che vale con questi sistemi di protezione è che la dimensionedell’informazione codificata e protetta è sempre minore di quella dell’informazio-ne non codificata.




Pag. 13

CAPITOLO 2

Analisi di Segnali

1. Potenza

Sia dato un bipolo nella configurazione di figura 1.

i(t)

v(t)p

FIGURA 1

Valgono le note relazioni

p = v(t)i(t) = R(t)i2(t) =v2(t)

R(t)

Uno strumento di misura reale non può fornire la potenza istantanea, ma soloquella media. La media temporale si definisce come:

< � >= 1b� a

Z ba

[�]dt

Da un punto di vista teorico, dovrebbe essere:

< � >= limT!+1

1

T

Z +T2

�T2

[�]dt

ma, anche qui, visto che si parla di strumenti reali, ci si accontenta di un intervallodi tempo sufficientemente lungo.

Supponiamo che il doppio bipolo sia un semplice resistore:

< p(t) >= R < i2(t) >=< v2(t) >

R

Se poi R = 1:

< p(t) >=< i2(t) >=< v2(t) >(3)

La potenza, in questo caso particolare, viene detta normalizzata, e deve la suaimportanza al legame diretto con la tensione; a tale proposito va osservato chev(t) è interpretabile come:

v(t) = v0(t)+ < v(t) >(4)

L’informazione è tutta in v0(t), ragion per cui si tenta sempre di ridurre a zero latensione media, che rappresenta solo potenza sprecata.

13




Pag. 14

1. POTENZA 14

La potenza (normalizzata e non) gioca un ruolo fondamentale nell’analisi deisegnali, ad esempio permette di classificarli: un primo tipo (l’unico fisicamenterealizzabile) è quello di figura 2.

0Τ+τT0

A

FIGURA 2

Questo genere di segnale viene detto ad energia finita, mentre la sua potenzamedia è nulla infatti:

< P >= limT!+1

A

T= 0

Un secondo tipo di segnale è illustrato in figura 3.

FIGURA 3

Qui l’integrale da eseguire per calcolare la media temporale della potenzadiverge, dunque si parla di segnale a potenza media infinita.

In figura 4 è rappresentato un terzo tipo di segnale:

FIGURA 4




Pag. 15

1. POTENZA 15

Essendo un segnale periodico, si può far tendere T ad infinito, ma con lacondizione che sia sempre multiplo del periodo della funzione, quindi si ottiene

< P >= limT!+1

CT

T= C

con

C =

Z T00

�2(t)dt

Un’altra applicazione della potenza è la misura del livello di disturbi presentein una trasmissione: esso normalmente si esprime come

S

N

Dove S è la potenza del segnale utile, mentre N è la potenza del rumore. Ingenere il rumore introdotto è funzione di più contributi

f = f

��S

N

�1

;

�S

N

�2

; :::

�Per misurare tali grandezze si è soliti usare il decibel, definito come

PdB = 10 log10Px

P0(5)

dove P0 è una potenza di riferimento; nella telefonia è frequente l’uso del dBm,dove P0 = 1mW o del dBW, dove P0 = 1W.

Spesso si conoscono solo le tensioni, ma, proprio per il fatto che quel che contaè il rapporto di due potenze, il calcolo dei decibel si può effettuare facilmente:

Px

P0=V 2x =R

V 20 =R=V 2xV 20

10 log10

�V 2xV 20

�= 20 log10

Vx

V0

Supponiamo ora di avere una cascata di doppi bipoli

! g1 ! g2 ! g3 !Ognuno di essi può essere caratterizzato da una impedenza di ingresso ed una diuscita, come in figura 5.

Z Zout in

FIGURA 5

Per quale valore della resistenza di ingresso la potenza fornita ad ognuno diessi è massima? Chiaramente deve essere un valore finito, perché, se Zin = 0, latensione di ingresso è nulla, mentre se Zin = +1, sarà la corrente ad essere paria zero. Si può dimostrare che la condizione di massimo trasferimento di potenza




Pag. 16

2. LO SPAZIO DELLE FUNZIONI 16

(detta anche condizione di adattamento) si ha per Zin = Zout. La potenza trasferitain condizione di adattamento è detta potenza disponibile, e vale

Pdu = (Zoutiout)iout =V 2out4Zout

(6)

Un esempio di applicazione di questa regola è il televisore: ogni cavo coassialeha una resistenza di 75, dunque ogni televisore ha una resistenza di ingresso di75. D’ora innanzi si sottointenderà sempre, quando si parla di catene di doppibipoli, che essi siano in condizione di adattamento.

2. Lo Spazio delle Funzioni

Si può pensare ad una funzione �(t) come ad un vettore, le cui componentisiani i valori assunti al variare di t, cioè:

�t � �(t)La definizione di prodotto scalare fra funzioni risulta quindi ovvia

bXt=a

�t �t �

Z ba

�(t) �(t)dt(7)

Si può verificare che tale definizione soddisfa i requisiti per essere un prodottoscalare e che i segnali non devono necessariamente essere reali.

Due segnali si dicono ortogonali se vale la relazioneZ ba

�(t) �(t)dt = 0(8)

Sono di particolare importanza gli insiemi di funzioni a due a due ortogonalifra di loro, cioè certe funzioni �k tali cheZ b

a

�i(t)��j (t)dt = Ki�i;j(9)

dove �i;j è il simbolo di Krönecker, che vale uno se i = j, zero altrove (si puòvedere come un elemento della matrice identità). Se inoltre Ki = 1 8i, allorai segnali sono fra loro ortonormali. Va segnalato che i Ki hanno un ben precisosignificato fisico, infatti

Ki =

Z ba

j�ij2dt = E�i(10)

E�i è l’energia normalizzata del segnale �(t)1. Condizione necessaria affinché

un insieme di segnali sia ortonormale è dunque che siano dotati di energia finita.Supponiamo ora che una funzione u(t) sia esprimibile come combinazione

lineare delle funzioni componenti la base ortogonale

� = f�j jj 2 N; 1 6 j 6 Ng

1Se si interpreta �i(t) come una tensione o una corrente, �2i (t) è la sua potenza normalizzata, inaccordo con la (3). Poiché si integra nel tempo, si ottiene l’energia fornita dal segnale dall’istante aall’istante b.




Pag. 17


Allora esisteranno certi coefficienti aj tali che:

u(t) =

NXj=0

aj�j(t)

Geometricamente questi coefficienti si possono vedere come le ‘proiezioni’della funzione u(t) lungo i vettori della base, quindi si dovrebbero ricavare me-diante il prodotto scalare; si può verificare che è proprio cosı̀:

< u(t)j�j(t) > =1

Kj

Z ba

u(t)��j (t)dt =

=1

Kj

Z ba

NXi=0

ai�i(t)��j (t)dt =

=

NXi=0

1

Kj

Z ba

ai�i(t)��j (t)dt =

=

NXi=0

1

KjaiKj�i;j =

= aj

Noti i coefficienti aj è facile ricavare anche l’energia che il segnale trasporta:

Ew = Efw(t)g =

= E

8<:

NXj=0

aj�j(t)

9=; =

=

NXj=0

Efaj�j(t)g =

=

NXj=0

jaj j2Kj

Se vale l’ortonormalità:

Ew =

NXj=0

jaj j2(11)

L’equazione (11) è di fondamentale importanza anche perché è rispettata se esolo se il segnale u(t) è completamente rappresentabile con il sistema di riferimen-to �, altrimenti la sommatoria è strettamente minore di Ew. Conviene peraltroricordare che la funzione originale e quella ricostruita si equivalgono solo all’in-terno dell’intervallo dove l’integrale è stato calcolato, mentre al di fuori di essonulla si può dire.

Come esempio consideriamo le due funzioni ortogonali di figura 6.




Pag. 18


φ1

Τ/2

φ2

Τ

A

Τ/2

B

FIGURA 6

Per prima cosa dimensioniamo A e B affinché le due funzioni siano ancheortonormali:

K1 =

Z T2

0

A2�u(t)� u

�t� T

2

��dt =

= A2T

2= 1

A =

r2

T

Per simmetria è evidente che affiché sia anche K2 = 1 deve essere A = B. Ora‘proiettiamo’ il segnale di figura 7.

w

Τ/2

3

-1

Τ

FIGURA 7

a1 =

Z T0

w(t)�1(t)dt = 3

rT

2

a2 =

Z T0

w(t)�2(t)dt = �rT

2

Il punto in cui si trova w(t) è quello di figura 8.Grazie alla (11) possiamo dire che l’energia di ogni simbolo rappresentato su

tale piano è proporzionale alla sua distanza dall’origine: questo vale anche per lafunzione, purché sia rappresentabile.




Pag. 19


φ 1

φ 2

a

a2

1

FIGURA 8

Possiamo controllare la completa rappresentabilità mediante la (11) stessa:

2Xi=1

a2i = 9T

2+T

2=

10

2T = 5T

Ew = 32T

2+ (�1)2T

2=

10

2T = 5T

Che cosa succede se tale condizione non viene rispettata? Proviamo a rappre-sentare il segnale di figura 9.

w

3

-1

ΤΤ/2Τ/4

FIGURA 9

Si ottiene il vettore posizione

~w =

3

2

rT

2;�1

2

rT

2

!

La funzione che si ottiene componendo i vettori della base è in figura 10.

w

-1

ΤΤ/23/2

FIGURA 10




Pag. 20

3. REALIZZAZIONE DI TRASMETTITORE E RICEVITORE 20

In effetti la (11) non è soddisfatta:2X

j=1

a2i =5

4T

Ew =11

4T

3. Realizzazione di Trasmettitore e Ricevitore

Sia data una sorgente numerica che fornisca due simboli (A = fA;Bg); ilsistema avrà la struttura:

SA�! A! �1(t)

B! �2(t) ! !�1(t)! A�2(t)! B

A�! U

Si può notare che i simboli generati dalla sorgente sono concettualmente di-versi da quelli trasmessi sul canale, tant’è vero che si usano le diciture simboli dellasorgente e simboli di canale rispettivamente. I simboli di canale sono quelli che ab-biamo esaminato finora, e la conversione in simboli della sorgente (e viceversa)viene operata da trasmettitore e ricevitore, come descritto in figura 11.

φ (t)1

A,B

∫a+Ta

∫a+Ta

φ (t)1DECISORE

φ (t)2*

A,B

φ (t)2

*

FIGURA 11

Volendo passare da una costellazione di soli due simboli ad una di quattrosimboli, si possono operare varie scelte, la più semplice delle quali è illustrata infigura 12.

FIGURA 12

Le modifiche concettuali sono modestissime: basta sostituire agli interruttoridel trasmettitore dei moltiplicatori (amplificatori a guadagno variabile) e la logicainterna del decisore del ricevitore (vd. figura 13).




Pag. 21

3. REALIZZAZIONE DI TRASMETTITORE E RICEVITORE 21

φ (t)1 ∫a+Ta

∫a+Ta

DECISORE

φ (t)2*

φ (t)1*

φ (t)2

A,B A,B

C,DC,D

FIGURA 13

Il passaggio da quattro a otto simboli è immediato, come anche da otto a se-dici e cosı̀ via, ma ci sono dei limiti pratici qualora si debba utilizzare un canalenon ideale, in quanto il rumore non è nullo, ed i simboli sarebbero troppo vicinil’uno all’altro (a meno di allontanarli sempre più, ma questo richiederebbe energiesempre maggiori).

Data una costellazione è facile ricavare l’energia media spesa per trasmetterei simboli che le appartengono, ad esempio prendiamo in considerazione quella difigura 14:

1

FIGURA 14

In questo caso l’energia media (supponendo i simboli equiprobabili) è:

E =1

M

MXi=1

Ei =

=1

M

MXi=1

j~wij2 =

=1

8(4 + 2 � 4) = 3

2J

La quantità di informazione insita in ogni simbolo è

Ii = � log21

8= 3 bit

Quindi si ottiene che l’energia necessaria per trasmettere un singolo bit diinformazione è:

Eb =E

3= 0; 5 J




Pag. 22

CAPITOLO 3

Serie e Trasformata di Fourier

1. Base di Fourier

Una delle possibili basi ortogonali per il prodotto scalare (7) è:

�n(t) = ej2�nf0t = ejn!0t(12)

dove n è un intero relativo. Valgono le note relazioni

!0 = 2�f0 =2�

T0

L’importanza di questo insieme infinito di funzioni deriva dal seguente:

TEOREMA DI FOURIER. Qualunque segnale ad energia finita è rappresentabile inmanera completa mediante la base (12).

Ciò significa che w(t) deve essere tale per cui:Z +1�1

jw(t)j2dt = C

Una funzione che soddisfi questa proprietà deve essere identicamente nulla aldi fuori di un certo intervallo [a; b] con a e b finiti e reali, inoltre non deve avereasintoti verticali al suo interno.

ab

FIGURA 1. Esempio di funzione che ammette Sviluppo di Fourier

Prima di proiettare le funzioni è opportuno rendere la base (12) ortonormale:

�n(t) = K n(t)Z x+T0x

j n(t)j2dt = 1

22




Pag. 23

1. BASE DI FOURIER 23

Si ottiene:

n =1pT0ej2�nf0t(13)

Se la funzione è diversa da zero nell’intervallo [a; b], conviene ovviamente por-re x = a e T0 > b � a, quindi le componenti di una funzione rispetto alla base orora introdotta sono:

cn =1pT0

Z a+T0a

w(t)e�jn!0tdt

Una volta ottenute le componenti, si può esprimere la funzione originale comecombinazione lineare delle n(t):

w(t) =1pT0

+1Xn=�1

cnejn!0t

Normalmente si raggruppano le due radici esterne all’integrale e si indicanoin una sola delle due formule:

cn =1

T0

Z a+T0a

w(t)e�jn!0tdt(14)

w(t) =

+1Xn=�1

cnejn!0t(15)

Poiché l’integrale è stato eseguito solo su di una porzione dell’asse delle ascis-se, non esiste alcun vincolo che costringa la sommatoria al secondo membro adessere identicamente nulla al di fuori di esso. Per sapere quali valori assuma inrealtà, è opportuno indagare sulle funzioni periodiche: esse non sono ad energiafinita, ma sono a potenza media finita, e, particolare essenziale, possono esseredescritte completamente conoscendo il loro andamento su di un intervallo finito.

w (t)w (t)

T

FIGURA 2. Funzione periodica w(t) e relativo troncamento wT (t)

Data dunque una funzione periodica w(t) eseguiamo un troncamento, ovveroconsideriamo la funzione wT (t) che assume i suoi stessi valori solo su di un inter-vallo di lunghezza pari al periodo T di w(t), mentre è identicamente nulla al difuori di esso.




Pag. 24

2. LA SERIE DI FOURIER DELLE FUNZIONI REALI. TEOREMA DI PARSEVAL 24

Chiaramente wT (t) è ad energia finita, quindi se ne può fare l’analisi di Fou-rier:

cn =1

T0

Z T0

wT (t)e�jn!0tdt

wT (t) =

+1Xn=�1

cnejn!0t

Se però considerassimo un altro troncamento, a causa della periodicità dell’espo-nenziale complesso (!0 è uguale alla pulsazione della funzione periodica), otter-remmo gli stessi coefficienti cn, dunque si può dire che una funzione periodica èuguale allo sviluppo di Fourier su tutto l’asse delle ascisse.

2. La Serie di Fourier delle funzioni reali. Teorema di Parseval

Se la funzione in questione è reale, i coefficienti della Serie di Fourier godonodi particolari proprietà, utili quando si devono fare delle verifiche:

w(t) Reale �!cn = c��nw(t) Reale e pari �! =fcng = 0 cn = c�n

w(t) Reale e dispari �!

3. TRASFORMATA DI FOURIER 25

Parseval, applicazione della (11):

1

T0

Z a+T0a

jw(t)j2dt = 1T0

Z a+T0a

+1Xn=�1

cnejn!0t

"+1X

m=�1cme

jm!0t

#�dt =

=1

T0

+1Xn;m=�1

Z a+T0a

cnc�me

j(n�m)!0tdt =

=

+1Xn;m=�1

�n;mcnc�m =

=

+1Xn=�1

jcnj2(18)

Questo teorema è un’estensione del Teorema di Pitagora applicato ad uno spa-zio con un’infinità numerabile di dimensioni, ed ha la caratteristica di permettereil calcolo dell’energia di una funzione w(t) sviluppabile secondo Fourier noti soloi suoi coefficienti.

3. Trasformata di Fourier

Aumentando T0, cioè le dimensioni dell’intervallo in cui la funzione è diversada zero (o, nel caso di funzioni periodiche, aumentando il loro periodo), f0 si ridu-ce di conseguenza. Al limite per T0 tendente all’infinito, f0 diviene infinitesimale,quindi si può sostituire a nf0 (discreto) la variabile f (continua). Si parla allora diTrasformata di Fourier, e si indica con il seguente formalismo:

w(t)F�!W (f)

La trasformata di Fourier è utile per calcolare la banda di frequenze occupatada un certo segnale; le sue formule sono:

W (f) = F [w(t)] =Z +1�1

w(t)e�j2�ftdt(19)

w(t) = F�1[W (f)] =Z +1�1

W (f)ej2�ftdf(20)

Si può sostituire la pulsazione alla frequenza, ma in tal caso bisogna tenerconto del un fattore costante 12� da portare fuori dall’integrale:

W (!) =

Z +1�1

w(t)e�j!tdt(21)

w(t) =1

2�

Z +1�1

W (!)ej!td!(22)




Pag. 26

4. CONVERSIONE DA SERIE A TRASFORMATA E VICEVERSA 26

Se un segnale è reale, la parte reale della sua trasformata è pari, mentre la parteimmaginaria è dispari. È inoltre facile ricavare le proprietà analoghe alle (16):

w(t) Reale �!W (f) =W �(�f)w(t) Reale e pari �! =fW (f)g = 0!W (f) =W (�f)

w(t) Reale e dispari �!


Ricordiamo alcune proprietà notevoli della delta di Dirac:

�(x) =

Z +1�1

e�j2�xydy

Z +1�1

�(x)dx = 1

Z +1�1

w(x)�(x � x0)dx = w(x0)

Una funzione periodica ammette dunque come trasformata un treno di deltaequispaziate, e la distanza fra due delta adiacenti è pari all’inverso del periododella funzione nel dominio del tempo.

Come esempio notevole si può calcolare la trasformata della sinusoide:

v(t) = A sin(!0t)

V (f) =

Z +1�1

A sin(!0t)e�j2�ftdt =

= A

Z +1�1

sin(!0t)e�j!tdt =

= A

Z +1�1

ej!0t � e�j!0t2j

e�j!tdt =

=A

2j

Z +1�1

e�j(!�!0)tdt� A2j

Z +1�1

e�j(!+!0)tdt =

=A

2j[�(f � f0)� �(f + f0)](27)

f0

-f 0

-A/2j

A/2j

f

FIGURA 3. Trasformata di A sin(!0t)

Non è difficile trovare anche la trasformata del coseno:

FfA cos (!0t)g =A

2[�(f � f0) + �(f + f0)](28)




Pag. 28


f0-f 0 f

A/2

FIGURA 4. Trasformata di A cos (!0t)

Un’importante funzione è il pettine di Dirac, ovvero la funzione:

w(t) =

+1Xm=�1

�(t�mT0)(29)

Se si tenta di trasformare direttamene la (29), si ottiene:

W (f) =

Z +1�1

+1Xm=�1

�(t�mT0)e�j2�ftdt =

=

+1Xm=�1

e�j2�fmT0

(30)

Intuitivamente questa funzione assomiglia molto ad un treno di delta, infattise f = 1

T0l’argomento della sommatoria è unitario (quindi W ( 1

T0) ! 1), mentre

per gli altri valori della f le varie armoniche dovrebbero tendere ad elidersi a vi-cenda. Un metodo per risolvere questo problema è calcolare la serie ed ottenere latrasformata mediante la (26). I suoi coefficienti sono:

cn =1

T0

Z +T02

�T02

w(t)e�jn!0tdt =

=1

T0

Z +T02

�T02

+1Xm=�1

�(t�mT0)e�jn!0tdt =1

T0

Questo perché fra �T02

e +T02

c’è solo una delta. Da questi coefficienti è facilerisalire alla trasformata:

W (f) = f0

+1Xm=�1

�(f �mf0)(31)




Pag. 29


Dalla (31) e dalla (30) otteniamo una relazione che ci sarà utile:

+1Xm=�1

e�j2�fmT0 = f0

+1Xm=�1

�(f �mf0)(32)

Sappiamo ottenere la trasformata nota la serie: ci si può chiedere se sia possi-bile eseguire anche il passaggio inverso, cioè, data la trasformata, trovare la serie(come è ovvio, la trasformata deve essere un treno di delta); il nostro obiettivo ècalcolare i coefficienti cn tali che:

w(t) =

+1Xn=�1

cnejn!0t

O anche, utilizzando la funzione troncata (ricordiamo che w(t) è periodica):

+1Xn=�1

wT (t� nT0) =+1X

n=�1cne

jn!0t(33)

*

FIGURA 5. Esempio di convoluzione con una delta

L’idea è di trasformare ambo i membri: per quanto riguarda quello di destra,è presto fatto:

F(

+1Xn=�1

cnejn!0t

)=

+1Xn=�1

cn�(f � nf0)(34)

La convoluzione di una funzione f(x) con una delta equivale a ‘centrare’ f(x)sull’argomento della delta stessa, come indicato in figura 5. Tutto ciò permette di




Pag. 30


esprimere in modo differente la traslazione della wT nella (33):

w(t) =

+1Xn=�1

wT (t� nT0) =

=

+1Xn=�1

wT (t) � �(t� nT0) =

=

Z +1�1

+1Xn=�1

wT (�)�(� � t+ nT0)d� =

=

Z +1�1

wT (�)

+1Xn=�1

�(� � t+ nT0)d� =

= wT (t) �+1X

n=�1�(t� nT0)

Questo risultato si poteva immaginare anche senza il calcolo diretto: il segnaleperiodico è somma di tanti segnali elementari opportunamente sfasati fra di lorodi un tempo pari a T0; per spostare un segnale basta convolverlo con una delta, ela somma di infinite delta equispaziate è il pettine di Dirac.

Trasformando:

W (f) = F(wT �

+1Xn=�1

�(t� nT0))=

=WT (f)F(

+1Xn=�1

�(t� nT0))=

=WT (f)f0

+1Xn=�1

�(f � nf0)

L’espressione trovata è dunque costituita da un pettine di Dirac moltiplica-to per una funzione: gli unici valori significativi che tale funzione assume sonoin realtà in corrispondenza delle ascisse in cui una delle delta è diversa da zero,quindi si può scrivere:

W (f) = f0

+1Xn=�1

WT (nf0)�(f � nf0)(35)

Tornando all’equazione (33), combinando (34) con (35), si ottiene:

+1Xn=�1

f0WT (nf0)�(f � nf0) =+1X

n=�1cn�(f � nf0)

ovvero:

cn =WT (nf0)f0(36)




Pag. 31


Graficamente la (36) corrisponde a porre delle delta equispaziate alle ascissemultiple della f0 e con forza pari al valore che assume in quel punto la WT (f)(scalandola di un fattore f0).

f0f0-2 f0- f02 f0f0-2 f02f0-

FIGURA 6. Due importanti esempi di applicazione della (36): ilpettine di Dirac (a sinistra) e la funzione sinusoidale (a destra). Inentrambi i casi la WT (f) è indicata a tratto discontinuo




Pag. 32

CAPITOLO 4

Densità Spettrali di Energia e di Potenza

1. Definizione di densità spettrale di energia e di potenza

La relazione di Parseval ha un importante significato fisico:Z +1�1

jw1(t)j2| {z }Potenza del segnale

dt =

Z +1�1

jW1(f)j2| {z }Densità spettrale di energia

df(37)

La densità spettrale di energia si misura in J/Hz ed è un parametro fonda-mentale nell’analisi dei segnali: indica infatti la distribuzione di energia in funzio-ne della frequenza, ed il confronto fra le densità del segnale trasmesso e di quelloricevuto può rivelare le distorsioni subite.

Se il sistema non è ad energia finita (cioè non ha potenza media nulla), si puòtentare di trovare un modo per esprimere come la potenza sia distribuita al variaredella frequenza.

Sappiamo che:

P = limT!+1

1

T

Z +T2

�T2

jw(t)j2dt

Poiché T tende ad infinito, si può anche riscrivere cosı̀:

P = limT!+1

1

T

Z +1�1

jwT (t)j2dt

Dove con wT (t) si intende la funzione w(t) troncata all’intervallo��T

2;+T

2

�. Gra-

zie alla relazione di Parseval:

P = limT!+1

1

T

Z +1�1

jWT (f)j2df =

= limT!+1

Z +1�1

jWT (f)j2T

df

È dunque ovvio definire densità spettrale di potenza:

Pw(f) = limT!+1

jWT (f)j2T

(38)

Se il segnale w(t) è reale, allora Pw(f):� È pari;� È sempre positiva o nulla;� Se il segnale è periodico è costituita da un treno di delta equispaziate;� Ha una delta nell’origine se e solo se esiste una componente continua;

32




Pag. 33

2. DENSITÀ DI POTENZA DI FUNZIONI PERIODICHE 33

Le prime due asserzioni sono inoltre condizioni necessarie e sufficienti.Un grave limite della definizione (38) è il fatto che non sempre la trasfor-

mata di wT (t) è agevole da calcolare, anche per segnali molto semplici come lasinusoide. In tali casi è molto più comodo usare la seguente formula:

Pw(f) = FfRw(�)g(39)Dove Rw(�) è detta funzione di autocorrelazione di w(t), ed è pari a:

Rw(�) = w�(t) � w(t + �)(40)

Se il segnale è reale, allora Rw(�):

� È pari;� Assume il massimo assoluto (che coincide con la potenza del segnale) nel-

l’origine;� La sua trasformata ha le caratteristiche di una densità spettrale di potenza;� È periodica se e solo se anche w(t) è periodico ed ha uguale periodo;

Le prime tre asserzioni sono inoltre condizioni necessarie e sufficienti.

2. Densità di potenza di funzioni periodiche

Come esempio di applicazione della formula precedente, supponiamo di do-ver calcolare la densità spettrale di potenza per il segnale w(t) = A sin!0t: è logicoaspettarsi che tutta la potenza sia concentrata alla pulsazione !0. Per prima cosabisogna calcolare la funzione di autocorrelazione:

Rw(�) = limT!+1

1

T

Z +T2

�T2

A2 sin!0t sin(!0t+ !0�)dt =

= limT!+1

A2

2T

Z +T2

�T2

[cos!0� � cos (2!0t+ !0�)] dt =

=A2

2cos!0�

A questo punto si può calcolare la sua trasformata di Fourier:

Pw(f) = FfRw(�)g =A2

4[�(f + f0) + �(f � f0)]

Pw =

Z +1�1

Pw(f)df =A2

2

In effetti il risultato è proprio quello che ci aspettavamo: tutta la potenzaè equipartita alle due frequenza f0 e �f0, in modulo pari alla frequenza dellasinusoide.

Come conseguenza del fatto che il termine superstite nel calcolo della funzionedi autocorrelazione è il coseno avente come argomento la differenza di t e t + � , ladensità spettrale di potenza di una cosinusoide (che è una sinusoide sfasata di �=2)è uguale a quella calcolata precedentemente per il seno.

Ci si può chiedere se sia possibile calcolare la densità spettrale di potenza nelcaso in cui il segnale sia periodico e si abbiano a disposizione i coefficienti cn della




Pag. 34

2. DENSITÀ DI POTENZA DI FUNZIONI PERIODICHE 34

Serie di Fourier: in tal caso la funzione di partenza è esprimibile come:

w(t) =

+1Xn=�1

cnej2�nf0t

E, come si è detto precedentemente, la sua trasformata sarà:

W (f) =

+1Xn=�1

cn�(f � nf0)

Calcoliamo la funzione di autocorrelazione:

Rw(�) =*

+1Xn=�1

cnej2�nf0t

��+1X

m=�1cme

j2�mf0(t+�)

+=

=

+1Xn;m=�1

cnc�m < e

j2�nf0tjej2�mf0(t+�) >=

=

+1Xn;m=�1

cnc�me

jm!0� < ejn!0tjejm!0t >=

=

+1Xn=�1

jcnj2ejn!0�

Dove si è sfruttata la relazione

< e�j2�nf0tjejm!0t >= �n;m(41)Per finire:

Pw(f) = F(

+1Xn=�1

jcnj2ejn!0�)=

=

+1Xn=�1

jcnj2�(f � nf0)(42)

Quindi lo spettro è composto da un treno di delta (spettro a righe), cosı̀ comesuccede per la trasformata del segnale.




Pag. 35

CAPITOLO 5

Processi Casuali

1. Definizioni

Si definisce processo casuale una funzione in una o più variabili casuali ed unao più variabili deterministiche. Si dice che un processo casuale è stazionario se lesue caratteristiche statistiche non dipendono dal tempo.

I segnali sono tipici esempi di processi casuali, in cui le variabili casuali sonoi valori campionati, mentre la variabile deterministica è il tempo. La densità diprobabilità in generale si indica con:

f��(x; y)

dove � ed � sono le variabili casuali. Nel caso sopracitato, la densità di probabilitàsarà:

fn1n2(x; y)

con

n1 = n(t1)

n2 = n(t2)

Le due variabili casuali indicano, dunque, i campioni prelevati ai tempi t1 et2. Se il processo è stazionario, si richiede non solo che fn1n2 (secondo ordine) siaindipendente dal tempo, ma che lo siano anche fn1n2n3 , fn1n2n3n4 e cosı̀ via (terzo,quarto ordine...). È dunque particolarmente difficile dimostrare la stazionarietàcosı̀ come è stata definita precedentemente (detta anche stazionarietà in senso stret-to), e spesso ci si accontenta di una condizione più blanda (detta stazionarietà insenso lato) le cui caratteristiche sono:

� n(t) indipendente dal tempo� Rn(�) = n(t1)n(t2) dipendente solo da � = t2 � t1

Vale la pena di ricordare che il simbolo ‘< � >’ indica media nel tempo,mentre ‘�’ significa media statistica. Le rispettive definizioni sono:

< x(t) > = limT!+1

1

T

Z +T2

�T2

x(t)dt(43)

Ef�g = x(t) =Z +1�1

xf�(x)dx(44)

Ad esempio consideriamo la funzione

x(t) = A sin(!0t+ �0)

in cui:� A è costante;

35




Pag. 36

2. CALCOLO DI MEDIA E VARIANZA DI x(t) 36

� !0 è costante;� �0 è una variabile casuale con densità di probabilità indicata in figura 1;

θ (θ)0

θπ−π

FIGURA 1

Si ottiene:

x(t) =A

2�

Z +��

sin(!0t+ �)d� = 0

Rx(t1; t2) = x(t1)x(t2) == A sin(!0t1 + �0)A sin(!0t2 + �0) =

= A2sin(!0t1 + �0) sin(!0t2 + �0) =

=A2

2cos!0(t1 � t2)� cos [!0(t1 + t2) + 2�0]| {z }

Mediamente nullo

=

=A2

2cos (!0�)

Dunque il processo esaminato è stazionario in senso lato. Va comunque se-gnalato il fatto che se la distribuzione fosse, ad esempio, una porta fra 0 e �, lamedia non più sarebbe nulla.

Si dice che un processo casuale è ergodico se vale la relazione

< x(t1)x(t2) >= x(t1)x(t2)(45)

2. Calcolo di media e varianza di x(t)

Nella maggior parte delle distribuzioni è sufficiente conoscere media e varian-za (talvolta anche solo una di esse) per conoscere l’andamento esatto della fx(t).Lo scopo di questo paragrafo è di trovare un legame fra Rx(f) e media e varianzadi x(t).

Consideriamo la definizione della funzione di autocorrelazione

Rx(�) = x(t)x(t + �)(46)Se � è sufficientemente grande, x(t) e x(t+ �) diventano statisticamente indi-

pendenti, quindi:

x(t)x(t + �) = x(t) x(t+ �)




Pag. 37

3. APPLICAZIONE: TRASMISSIONE CON RUMORE TERMICO 37

Ma abbiamo richiesto stazionarietà1, quindi:

x(t) = x(t+ �)

In conclusione: hx(t)

i2= lim

�!+1Rx(�)(47)

Intuitivamente (47) indica che se due campioni infinitamente lontani sono in qual-che maniera legati fra loro (cioè la media del loro prodotto non è nulla), deve es-serci una componente continua. Un altro indizio per scoprire se il processo è amedia non nulla è la presenza di una delta nell’origine della Px(f).

Per calcolare la varianza, va prima trovato il valore atteso di x2(t):

x2(t) = Rx(0) = P =Z +1�1

Px(f)df

Dunque:

�2x = x2(t)� �2x = Rx(0)�Rx(+1)(48)

3. Applicazione: trasmissione con rumore termico

Per il teorema del limite centrale la densità di probabilità della somma di in-finite variabili casuali è una gaussiana. Questo è proprio il caso del rumore ter-mico, somma delle perturbazioni delle particelle atomiche, che sono in numeropraticamente infinito, quindi si ha:

f�(x) =1p2��2x

e� (x��x)

2

2�2x

In figura 2 è indicata la distribuzione del rumore gaussiano bianco su un canaletrasmissivo.

N /20

f

FIGURA 2

La media è nulla, perché non ci sono delta nell’origine, del resto la sua an-titrasformata, che rappresenta la funzione di autocorrelazione, è una delta, cheall’infinito è nulla, mentre nell’origine è infinita, per cui la varianza di x(t) èinfinita.

1Peraltro la condizione di ergodicità x(t) =< x(t) > ci assicura che x(t) è indipendente daltempo.




Pag. 38

3. APPLICAZIONE: TRASMISSIONE CON RUMORE TERMICO 38

Questi valori fuori della norma derivano dal fatto che la banda non è statalimitata: se questo viene effettuato tramite un filtro passabasso ideale, si ottieneuna Py(f) come quella in figura 3.

N /20

f+B-B

FIGURA 3

Siccome il filtro è un sistema lineare, se all’ingresso c’è una gaussiana, deveuscirne una gaussiana. Si ottiene cosı̀:

y(t) = 0

y2(t) =

Z +1�1

Px(f)df =N0

22B = N0B




Pag. 39

CAPITOLO 6

Il Digital Signal Processing

1. Analisi del DSP con componenti ideali

Per elaborare dei segnali analogici in maniera agevole, si può discretizzarli,operare sul corrispondente segnale digitale (tramite un DSP), e quindi riconvertireil tutto in segnale analogico. La struttura che si usa in genere è la seguente:

S. anal��! C ! Q S. num.��!DSP ! D=A ! R S. anal.��!(49)

Dove:� C è il campionatore (Sample and Hold);� Q è il quantizzatore;� DSP è il Digital Signal Processor;� D/A è il convertitore digitale/analogico;� R è il ricostruttore di segnale (detto anche filtro ricostruttore)

Se il DSP non facesse nulla (cioè lasciasse inalterato il segnale digitale), all’in-gresso ed all’uscita si dovrebbe teoricamente trovare lo stesso segnale analogico.La struttura equivalente sarebbe la seguente:

x(t)S. analogico��!C S. numerico��!R

S. analogico��!~x(t)(50)

L’obiettivo di questo capitolo è fare in modo da avere:

x(t) = ~x(t)(51)

Prima di affrontare questo problema è opportuno però aprire una breve pa-rentesi riguardante i sistemi lineari.

1.1. Sistemi Lineari ed Invarianti. Si definisce sistema lineare ed invarianteun funzionale � [x(t)] che goda delle proprietà di:

� Linearità: � [a1x1(t) + a2x2(t)] = a1� [x1(t)] + a2� [x2(t)];� Invarianza temporale: � [x(t)] = y(t)! � [x(t � T )] = y(t� T ) 8T 2 R

Si può dimostrare che un sistema lineare invariante può essere caratterizzatocompletamente dalla risposta all’impulso h(t):

x(t)=�(t)��!� y(t)=h(t)��!y(t) = x(t) � h(t)

Y (f) = X(f)H(f)

Se all’ingresso di un sistema lineare è presente un segnale x(t) caratterizzatoda una certa Px(f), quale sarà la densità spettrale di potenza Py(f) del segnale

39




Pag. 40

1. ANALISI DEL DSP CON COMPONENTI IDEALI 40

y(t) all’uscita?

Px(f) x(t)��!h(t) y(t)��! Py(f) = limT!+1

��YT (f)��2T

=

= limT!+1

YT (f)Y�T (f)

T=

= limT!+1

H(f)XT (f)H�(f)X�T (f)

T=

= limT!+1

��XT (f)��2T

��H(f)��2==��H(f)��2Px(f)(52)

Un elemento di ritardo non influisce su questo risultato:

Px(f) x(t)��!h(t) �! ej!t �! Py(f) =��H(f)ej!t��2Px(f) =

=��H(f)��2��ej!t��2Px(f) =

=��H(f)��2Px(f)

Questo fatto si può esprimere dicendo che la potenza non dipende dalla fase.Come conseguenza, se si conoscono solo gli spettri di ingresso e di uscita è impos-sibile conoscere completamente la funzione di trasferimento: ci è dato conoscernesolo il modulo, mentre la fase è totalmente indeterminata:��H(f)��2= Py(f)Px(f)(53)

Un sistema non è distorcente se valgono le relazioni(��H(f)��= C\H(f) = �2�fTd

(54)

che mantengono inalterato il rapporto (53). Queste condizioni sono soddisfatteda

y(t) = Cx(t)

Ma anche da

y(t) = Cx(t � �)(purché � sia costante).

Un tipico esempio è il filtro passabasso (fig. 1).

C

R

x(t)

i(t)

y(t)

FIGURA 1




Pag. 41


Il sistema è retto dalle equazioni�x(t) = Ri(t) + y(t)

i(t) = C ddty(t)

(55)

È immediato ricavare

H(f) =1

1 + j ff0

f0 =1

2�RC��H(f0)�� =p2

2

��H(0)��

Il sistema distorce al crescere delle frequenze, infatti:

� Il modulo decresce, ma��H(f)��= 1p1+(f=f0)2

' C se f � f0� La fase decresce in maniera non lineare, ma\H(f) = arctan f

f0' Kf se f � f0

Però se f � f0, Py ' CPx

1.2. Il campionatore ideale. Può essere schematizzato cosı̀:

x(t)��! xc(t)=P+1

n=�1 x(nTc)�(t�nTc)��!x??P+1n=�1 �(t�nTc)e la sua mansione è illustrata in figura 2.

cT

FIGURA 2

È chiaro che, affinché durante il campionamento non vadano perse delle in-formazioni preziose tali da rendere impossibile riottenere il segnale elementare, ènecessario che la funzione non vari ‘troppo’ tra un campione e quello successivo.Matematicamente questo si esprime dicendo che il segnale deve essere a bandalimitata, cioè supporremo che:

X(f) = 0 8jf j > B




Pag. 42


Come deve essere scelto B in relazione a Tc? Per prima cosa occorre calcolarela trasformata del segnale campionato mediante l’operazione di convoluzione delsegnale x(t) con il treno di delta S(t):

Xc = S(f) �X(f) =

=

Z +1�1

X(�)S(f � �)d� =

= fc

Z +1�1

X(�)

+1Xn=�1

�(f � �+ nfc)d� =

=

+1Xn=�1

fcX(f + nfc)

Quindi la convoluzione con un treno di delta ‘trasla’ il segnale originale1. Seil segnale è quello descritto in figura 3, si otterrà quello di figura 4.

+B-B

FIGURA 3

fccf -B

B

FIGURA 4

1.3. Il filtro ricostruttore ideale. Per riavere il segnale originario, si può pen-sare ad un filtro passabasso ideale, che agirà come si vede in figura 5. Si vedesubito che il segnale ricostruito non è quello originale, perché le due ‘copie’ adia-centi non vengono filtrate. L’unico sistema è allontanare fra di loro le ‘repliche’campionando più spesso (vd. figura 6).

1Vedi paragrafo 4 del capitolo 3.




Pag. 43

2. ANALISI DEL DSP CON COMPONENTI REALI 43

FIGURA 5

FIGURA 6

La condizione richiesta è:

fc > 2B(56)

2. Analisi del DSP con componenti reali

Chiaramente la realizzazione della catena (49) con componenti reali richiededelle considerazioni aggiuntive, che riguardano

� Il campionatore;� Il filtro ricostruttore.

2.1. Il filtro ricostruttore reale. Le specifiche per un filtro reale introduconodelle zone che la funzione di trasferimento non deve attraversare, tipicamentecome in figura 7.

FIGURA 7




Pag. 44


Più le specifiche sono severe (e stretti i corridoi fra le zone non permesse),più complessa (e costosa) è la progettazione e la realizzazione, ma aumentandola frequenza di campionamento un numero intero di volte la frequenza richiestadalla (56), il filtro può essere meno sofisticato (vd. figura 8).

FIGURA 8

Un esempio di applicazione di questa tecnica sono i lettori CD x2: l’orecchioumano non riesce ad apprezzare suoni di frequenza superiore ai 16 KHz, ragionper cui i campionamenti su di un CD sono di 44 KHz, in modo da eliminare l’a-liasing. I lettori più recenti interpolano i campioni, passando al filtro ricostruttorecampioni a frequenza 88 KHz, cosicché il filtro risulta più semplice, meno costosoe la qualità del suono all’uscita è migliore.

2.2. Il campionatore reale. Abbiamo sempre espresso l’azione del campiona-tore mediante delle delta di Dirac, ma non è cosı̀: in un campionamento reale, gli‘impulsi’ sono rappresentati come in figura 9.

Tcτ

FIGURA 9

Poiché il campionatore reale dà in uscita porte anziché impulsi, viene chia-mato S/H (Sample and Hold). Il S/H è un sistema lineare, caratterizzato dallafunzione di trasferimento illustrata in figura 10.

La funzione di trasferimento ideale è quella tratteggiata, che non distorce (am-plifica alla stessa maniera tutte le frequenze). Si vede bene che alle alte frequenzequesto filtro riduce il guadagno, ma a noi interessano solo le frequenze in modulominori di B e, per quella banda, la funzione è sufficientemente piatta (è del tiposinxx

), inoltre riducendo � la funzione diviene sempre più prossima a quella ideale.Si può pensare di inserire un filtro correttore Z(f) tale che H(f)Z(f) = 1

(almeno per le frequenze che ci interessano). Lo schema diventa:

! S=H ! ! Z(f) !




Pag. 45


FIGURA 10

Un filtro di tal tipo è piuttosto complicato, e spesso non è necessario, perché �è sempre molto piccolo. In genere si progetta il filtro passabasso in modo tale chela sua funzione di trasferimento comprenda già al suo interno la Z(f).




Pag. 46

CAPITOLO 7

Codici di Linea

1. Definizioni

Supponiamo di voler trasmettere un segnale digitale, ad esempio1 1 0 1 0 0 1

Il metodo più semplice (impiegato, ad esempio, nella trasmissione mediantefibre ottiche) consiste nel trasmettere un impulso in presenza di un ‘1’, oppurenulla in presenza di un ‘0’.

? ? ? ?

Già dall’esame della linea precedente si può notare che un problema rilevanteè la possibile perdita di sincronismo in seguito a lunghe sequenze di ‘0’. Esisteun corrispettivo elettrico di questo sistema di comunicazione, ed è chiamato NRZ(Non Return to Zero): alla sequenza di cui sopra è associata una forma d’onda deltipo descritto in figura 1.

1 1 1 10 0 00

+V

FIGURA 1. NRZ unipolare

Il segnale è costante all’interno di una bit-cell, e non torna a zero: il nome NRZderiva da questa caratteristica; un altro considerevole svantaggio è il valor mediodiverso da zero, che provoca lo spreco di energia senza la trasmissione di alcunainformazione1, inoltre i trasformatori che si interfacciano al canale ricevendo unacomponente continua vengono saturati, isolando il secondario.

Per eliminare questo difetto si può ricorrere all’NRZ antipodale, in cui i duelivelli di tensione sono �V , anziché +V e 0. Questo sistema funziona finché idue simboli sono equiprobabili in quanto le componenti positive e negative sicompensano originando un segnale a media nulla.

L’altro difetto dell’ NRZ, cioè la perdita di sincronismo, può essere eliminatoadottando una delle seguenti tecniche:

� Usare orologi precisi;

1Vedi paragrafo 1 del capitolo 2.

46




Pag. 47

1. DEFINIZIONI 47

1 1 1 10 0 00

+V

-V

FIGURA 2. NRZ antipodale

� Usare pacchetti brevi (ad es. RS232C: 1 bit di start, 8 bit di informazioni, 1-2bit di stop);

� Usare un altro canale per trasmettere il segnale di sincronismo;� Ricorrere all’RZ (Return to Zero), dove nella bit cell di ciascun ‘1’ si torna a

zero, come illustrato in figura 3.

1 1 1 10 0 0

0

+V

FIGURA 3. RZ unipolare

Anche con l’RZ si può eliminare la componente continua: si ricorre a tale sco-po alla segnalazione RZ bipolare, in cui a ‘0’ è sempre associata tensione nulla,mentre a ‘1’ è associata una tensione alternativamente +V e �V . Questo metodoveniva implementato nella realizzazione dei primi telex, ed è indipendente dallaprobabilità dei simboli ‘1’ e ‘0’ (vedi figura 4).

1 1 1 10 0 0

0

+V

-V

FIGURA 4. RZ bipolare

C’è comunque il problema delle lunghe sequenze di ‘0’: a questo si può ov-viare utilizzando l’RZ antipodale (figura 5), oppure ricorrerndo al ‘bit-stuffing’.




Pag. 48

2. DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA PER SIMBOLI EQUIPROBABILI 48

1 1 1 10 0 0

0

+V

-V

FIGURA 5. RZ antipodare

Il bit stuffing dal punto di vista del trasmettitore consiste nell’inserire un ‘1’dopo una sequenza di ‘0’ di una certa lunghezza (stuffing); tale bit biene denomi-nato stuff bit. Il ricevitore deve riconoscere lo stuff bit contando il numero di ‘0’consecutivi ed eliminarlo (destuffing), ad esempio:

1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0Stuffing

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0Destuffing

1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0Evidentemente se avviene un errore che interessa un ‘0’ in quella sequenza, lo

stuff bit viene scambiato per un bit significativo.

2. Densità spettrale di potenza per simboli equiprobabili

Il segnale può essere considerato un processo casuale, funzione del tempo e dicerte variabili aleatorie �n:

x(t) =

+1Xn=�1

�ns(t� nTs)

Consideriamo la trasmissione NRZ unipolare: in tal caso s(t) (segnale elemen-tare) sarà una porta di periodo Ts, mentre la distribuzione di ciascuna delle �nè:

�n =

(A con probabilità p10 con probabilità p0

La probabilità del primo ordine è indipendente dal tempo (p0 = p1 = K, assu-miamo K = 12 ), mentre la densità di probabilità del secondo ordine dipende dalladifferenza dei tempi (se t2 � t1 < Ts, la probabilità che il segnale assuma lo stes-so valore è maggiore, perché si potrebbe ricadere nella stessa bit-cell). Possiamoinoltre pensare che il processo sia ergodico: lo è certamente al primo ordine, infatti

< x(t) >= x(t) =A

2

ma non possiamo essere certi che sia cosı̀ anche per quel che riguarda gli ordinisuperiori.




Pag. 49


Vogliamo ora calcolare la densità spettrale di potenza in una segnalazione deltipo:

x(t) =

+1Xn=�1

anf(t� nTs)

an =

(+A con probabilità 1

2

�A con probabilità 12(57)

La segnalazione è un NRZ antipodale con i simboli equiprobabili, quindi f(t) èquella rappresentata in figura 6.

f(t)

1

s-T /2s +T /2

t

FIGURA 6

È logico troncare la funzione x(t) usando multipli di Ts, centrando nell’origine(figura 7), dunque è:

T = (2N + 1)Ts

NN 1

FIGURA 7




Pag. 50


La Trasformata di Fourier del segnale troncato xT (t) è

XT (f) =

+NXn=�N

F (f)ane�jn!Ts =

= F (f)

+NXn=�N

ane�jn!Ts

Il calcolo della densità di probabilità è immediato:

Px(f) = limT!+1

jXT (f)j2T

= limT!+1

24 jF (f)j2

T

��+NX

n=�Nane�jn!Ts

��235

L’unica parte che ci interessa, cioè l’unica casuale, è la sommatoria, di cuibisogna eseguire una media statistica:��

+NXn=�N

ane�jn!Ts

��2

=

+NXn=�N

+NXm=�N

ana�me�j(n�m)!Ts =

=

+NXn=�N

+NXm=�N

ana�me�j(n�m)!Ts

Ancora una volta isoliamo la parte che contiene le uniche variabili casuali2:

ana�m = R(k) = anam| {z }am2R

=

(a2n = 1 se n = manam = 0 se n 6= m

(58)

In questo caso specifico an è nullo (simboli equiprobabili e con segni opposti),dunque la sommatoria diviene

+NXn=�N

+NXm=�N

ana�me�j(n�m)!Ts =

+NXn=�N

+NXm=�N

�2n;me�j(n�m)!Ts = 2N + 1

Allora è:

Px(f) = limT!+1

jF (f)j2T

(2N + 1) =

= limT!+1

jF (f)j2T

T

Ts=

=jF (f)j2Ts

=

= Pf (f)Dunque la densità spettrale dell’intero segnale è pari a quella del segnale

elementare.

2Ipotizziamo sempre che due segnali distinti siano statisticamente indipendenti. In tal caso,appunto, anam = an am.




Pag. 51

3. GENERALIZZAZIONE A SIMBOLI NON EQUIPROBABILI 51

3. Generalizzazione a simboli non equiprobabili

Può essere interessante calcolare la densità spettrale di potenza di un segnalerinunciando all’ipotesi (57): in tal caso

Px(f) = limT!+1

"1

TjF (f)j2

��+NX

n=�Nane

�jn!Ts

��2#

=

= limN!+1

P+Nn=�N

P+Nm=�N aname

�j(n�m)!Ts

(2N + 1)TsjF (f)j2 =

=jF (f)j2Ts

limN!+1

P+Nn=�N

P�n+Nk=�n�N aname

jk!Ts

2N + 1=

=jF (f)j2Ts

limN!+1

+NXn=�N

P�n+Nk=�n�N aname

jk!Ts

2N + 1

È opportuno constatare che, seN tende ad infinito, la sommatoria in k divieneinsensibile al variare di n, quindi tutti i termini della sommatoria in n tendonoad essere uguali fra di loro ed, essendo 2N + 1, possono essere semplificati comesegue:

Px(f) =jF (f)j2Ts

limN!+1

�n+NXk=�n�N

anam| {z }R(k)

ejk!Ts =

=jF (f)j2Ts

+1Xk=�1

R(k)ejk!Ts =

=jF (f)j2Ts

"R(0) +

�1Xk=�1

R(k)ej!Ts ++1Xk=1

R(k)ej!Ts#=

=jF (f)j2Ts

"R(0) + 2

+1Xk=1

R(k) cos (k!Ts)#

(59)

Essendo questo risultato più generale di quello trovato al paragrafo preceden-te, si può verificare la correttezza delle formule ricavate applicandole al caso in cuivalga la (57); ricorrendo alla (58) si ottiene:

Px(f) =jF (f)j2Ts

"R(0) + 2

+1Xk=1

R(k) cos(k!Ts)#=

=jF (f)j2Ts

[1 + 0] =

=jF (f)j2Ts

=

= Pf (f)

che è esattamente quello che avevamo ottenuto.




Pag. 52

3. GENERALIZZAZIONE A SIMBOLI NON EQUIPROBABILI 52

Un altro caso importante è l’NRZ unipolare:

an =

(1 con probabilità 1

2

0 con probabilità 12

Per calcolare la funzione di autocorrelazione occorre distinguere:� Se k = 0 le possibili coppie (an; an+k) sono (0; 0) e (1; 1), quindi R(0) =

12� 0 � 0 + 1

2� 1 � 1 = 1

2.

� Se k 6= 0 le possibili coppie sono invece (0; 0), (0; 1), (1; 0) e (1; 1), quindiR(0) = 1

4� 0 � 0 + 1

4� 0 � 1 + 1

4� 1 � 0 + 1

4� 1 � 1 = 1

4.

Concludendo:

R(k) =(

12 se k = 014

se k 6= 0Si ottiene immediatamente, mediante la (32):

Px(f) =jF (f)j2Ts

"1

2+ 2

+1Xk=1

1

4cos (2�fnTs)

#=

=jF (f)j2Ts

"+1X

k=�1

1

4ej!kTs +

1

4

#=

= f0jF (f)j24Ts

"+1X

k=�1�(f � kfs) + 1

#

Che testimonia con la delta nell’origine la presenza di una componente continua.Siccome si ha spesso a che fare con variabili casuali scorrelate, si può cercare

un’equazione generale nel caso in cui

R(k) =(a2n = �

2 + �2 k = 0

anak = an ak = �2 k 6= 0

In tal caso, sfruttando ancora una volta la (32)

Px(f) =jF (f)j2Ts

limN!+1

�n+NXk=�n�N

R(k)ejk!Ts =

=jF (f)j2Ts

limN!+1

�2 +

�n+NXk=�n�N

�2ejk!Ts =

=jF (f)j2Ts

"�2 +

�2

Ts

+1Xn=�1

�

�f � n

Ts

�#(60)




Pag. 53

CAPITOLO 8

Segnalazioni in Banda Limitata

1. Parametri caratteristici della trasmissione in bande

Riconsideriamo lo schema trasmissivo di figura 1: il canale trasmissivo è nor-malmente suddiviso in bande, per rendere possibile a più sorgenti di comunicareal rispettivo utente. Per banda si intende l’insieme di frequenze occupate dalladensità spettrale di potenza.

Un primo problema è il fatto che la Px(f) dipende da x(t), il quale a sua voltaè funzione dell’informazione trasportata e del segnale elementare; mentre que-st’ultimo può essere manipolato come più conviene, l’informazione è una variabilecasuale, su cui non si possono fare ipotesi.

Un altro problema è il fatto che un segnale limitato in banda deve essere, se-condo un noto teorema, illimitato nel dominio del tempo, cosa fisicamente irrea-lizzabile. In pratica è necessario ‘troncare’ il segnale al di là di certi estremi, e, aseconda della regola utilizzata si distingue in:

� Banda null to null (o banda da zero a zero) che va dal primo zero a sinistraal primo zero a destra del punto in cui la Px(f) è massima;

� Banda a 3 dB, in cui si considera l’intervallo di frequenze in cui è presenteil massimo e gli estremi sono rappresentati dai punti in cui la Px(f) scendea 3 dB sotto di esso;

� Banda assoluta, in cui non si eseguono troncamenti, perché il segnale èlimitato di per sé in banda (è chiaramente una idealizzazione);

� Banda a 99%, in cui si considera un intervallo di frequenze dove è presenteil 99% della potenza complessiva del segnale.

Banda null to null

Banda assoluta

3 dB99 % P

Banda 3 dB

Banda 99%

FIGURA 1

Salvo sia diversamente specificato, ci riferiremo sempre alla banda null to null.

53




Pag. 54

1. PARAMETRI CARATTERISTICI DELLA TRASMISSIONE IN BANDE 54

Che banda occupa il segnale elementare NRZ? Si ha che:

f(t) = u(t)� u(t� Ts)

F (f) = Tssin(�fTs)

�fTs

jF (f)j2 = T 2ssin2(�fTs)

(�fTs)2

In una segnalazione NRZ, la densità spettrale di potenza è proporzionale alquadrato del modulo del segnale elementare, quindi si può applicare quanto dettoa jF (s)j. Osservando la figura 2 si nota che tale grafico può essere diviso in lobi:

1/T 2/Ts s-1/T-2/Ts s

Lobo principale

Lobi secondari

FIGURA 2

scegliere la banda null to null corrisponde a considerare il solo lobo principale.L’eliminazione dei lobi secondari rende il segnale nel dominio del tempo non

più uguale ad una porta, ma inserisce delle interferenze, generalmente trascurabilia causa della modesta entità della potenza che è stata esclusa.

Si è soliti introdurre alcuni parametri che misurano l’efficienza della trasmis-sione, cioè la velocità di trasferimento dell’informazione in relazione alle dimen-sioni della banda occupata. In particolare si definisce R la velocità di trasmissionedei simboli della sorgente, espressa in bit al secondo; D è la velocità di trasmissione deisimboli di canale, espressa in simboli al secondo; B è la dimensione della banda (nelcaso specifico della banda null to null si usa il simbolo B00); infine � è l’efficienzaspettrale, ed è pari al rapporto fra la velocità di trasmissione e le dimensioni dellabanda considerando le sole frequenze positive (Banda unilatera):

� =R

B00=2(61)

Per codici di canale

� NRZ unipolari� NRZ bipolari� NRZ antipodali

se non si adottano tecniche di trasmissione multilivello (che verranno trattate piùavanti), ad ogni simbolo della sorgente corrisponde un simbolo di canale, quindi




Pag. 55


D = R, e la durata di ciascun simbolo è Ts, perciò

R =1

Ts

Osservando la figura 2 si ricava subito che

B00 =1

Ts� = 1

Per codici di canale

� RZ unipolari� RZ bipolari� RZ antipodali

se si suppone che il segnale torni a zero a,Ts=2 il segnale elementare è una portadi dimensione pari Ts=2 soltanto (vd. fig. 3).

Ts

sT/2

FIGURA 3

Come conseguenza, anziché ottenere il grafico di figura 2 se ne ottiene uno cheha gli zeri distanziati di 2=Ts invece di 1=Ts, il che, se non modifica R (è sempreun bit per simbolo, e Ts non cambia), modifica �, poiché la banda si allarga:

R =1

Ts

B00 =2

Ts

� =1

2

Per colmare questa lacuna dell’RZ si può aumentare il numero di simboli pos-sibili, in modo da potere assegnare più bit a ciascuno di essi, ad esempio se i vari




Pag. 56


simboli sono porte di ampiezza 0 V, 1 V, 2 V e 3 V si può porre

00! 0 V01! 1 V10! 2 V11! 3 V

A questo punto non è più vero che ad ogni simbolo di canale corrisponde un sim-bolo della sorgente: ne corrispondono due (R = 2D), il che modifica R, ma nonB00, e si riottiene:

R = 2 � 1Ts) � = 1

Generalizzando, se ad un simbolo sono associati l bit, ovviamente sarà

D =R

l

Per quanto riguarda l’efficienza spettrale

� =

(l NRZl2 RZ

(62)

Chiaramente aumentare il numero di simboli di sorgente per un simbolo dicanale ha delle conseguenze in termini di energia media spesa per trasmettere unbit di informazione. Nel caso in cui la corrispondenza sia 1:1, cioè la costellazionesia quella di figura 4, si ottiene:

φ+V0-V

d=2V

FIGURA 4

E =1

2

�V 2 + (�V )2� = V 2

Se invece i simboli sono otto (fig. 5), si trova:

φ-7V -5V -V +V +3V +5V +7V-3V 0

FIGURA 5

E =1

8V 2 [49 + 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 + 49] = 21V 2

Come si vede, E cresce di molto, ed i canali reali non possono trasportaresegnali eccessivamente energetici. Si può scegliere di ‘comprimere’ la costellazio-ne, cioè di dimensionare il valore di V in figura 5 affinché abbia la stessa energia




Pag. 57

2. INTERFERENZA INTERSIMBOLICA 57

media di quella calcolata in figura 4; si ottiene:

V2 =V1p21

Questo comporta una minore immunità al rumore (d2 � 0; 2d1). Noto il rapportoSN

è possibile calcolare il massimo numero di simboli che si possono introdurre,infatti deve essere:

N 6d

2

dove d è la distanza fra i simboli:

d =2V

M � 1 =2V

2l � 1Il numero di bit per simbolo è indicato con l. Con un po’ di algebra si ricava che,per un NRZ:

�max = l = log2

�1 +

S

N

�(63)

2. Interferenza Intersimbolica

Abbiamo precedente affermato che l’eliminazione dei lobi secondari causadelle distorsioni, generalmente trascurabili: è giunto il momento di trattare più ap-profonditamente questo argomento. Il segnale elementare dell’NRZ è una porta:matematicamente si ottiene che il lobo principale (l’unico che attraversa il canale)ha una forma d’onda come quella di figura 6: il punto di campionamento ottimo,cioè quello il cui è più facile discriminare fra ‘1’ e ‘0’ è quello indicato.

Ts Ts

t0

FIGURA 6. Segnale elementare prima e dopo l’eliminazione deilobi secondari.

Scegliere t0 come punto di campionamento non garantisce però che il decisoreriesca sempre ad interpretare correttamente il segnale ricevuto, infatti il segnaleelementare cosı̀ come giunge all’altro capo del canale non si esaurisce subito, maha una ‘coda’ (enfatizzata in figura 7) rivolta verso l’infinito positivo che rischia difare interpretare come ‘1’ i simboli successivi, anche se sono ‘0’.

Questo genere di ‘disturbo’ è detto interferenza intersimbolica (ISI); se conduceall’errata ricezione di certe sequenze di simboli, si parla di ‘errore sistematico’,cioè di un grave errore di progetto, che causa

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