Skripsi Ravell Baru

BAB 1PENDAHULUAN

Pada umumnya, data yang dikumpulkan pada suatu penelitian yang digunakan sebagai dasar untuk menarik kesimpulan, karena banyaknya anggota populasi maka pengamatan keseluruhan anggota populasi tidak ekonomis, baik tenaga, waktu maupun biaya, sehingga harus dilakukan pengambilan sampel atau sampling, sampel harus mencerminkan semua unsur dalam populasi secara proposional atau sampel reprensentatif. Untuk memperoleh sampel yang representatif, pengambilan sampel dari populasi sebaiknya menggunakan metode tertentu agar sampel yang diperoleh mempunyai ciri-ciri yang relatif sama dengan ciri populasi, di dalam sampel tersebut lahirlah penaksir yang akan digunakan untuk parameter.Sampling ada dua macam yaitu sampling probabilitas dan sampling nonprobabilitas. Sampling probabilitas adalah cara pengambilan sampel didasarkan atas probabilitas sehingga setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi anggota sampel. Sampling nonprobabilitas adalah suatu cara pengambilan sampel tanpa mempertimbangkan probabilitas sehingga setiap anggota populasi tidak memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi anggota sampel.

Salah satu cara untuk meningkatkan ketelitian penaksir digunakan metode dual rasio dan metode dual produk. Dengan variabel pendukung X dan Z yang mempunyai korelasi negatif dengan Y. Metode penaksir dual rasio-cum-produk merupakan teknik untuk memperkirakan nilai dua variabel pendukung x dan z dari suatu parameter. Dalam metode penaksir dual rasio-cum-produk, suatu variabel yi yang akan diteliti diperoleh untuk setiap unit didalam sampel. Dengan mengambil hubungan antara xi , zi dan yi, dimana xi , zi adalah unit dari populasi variabel tambahan berkarakter X dan Z dan yi adalah unit dari populasi berkarakter Y. Penggunaan variabel tambahan dapat meningkatkan ketelitian penaksir. Variabel tambahan yang diketahui untuk meningkatkan ketelitian penaksir yaitu koefisien korelasi yang berkorelasi dengan variabel yang diamati. Penaksir dengan metode rasio merupakan penaksir bias.

Bentuk umum penaksir rasio dan penaksir produk sederhana untuk rata-rata populasi dari variabel yang diteliti adalah [2: h.173]

,

dengan menyatakan penaksir rasio sederhana untuk rata-rata populasi, menyatakan penaksir produk sederhana untuk rata-rata populasi, dan berturut-turut sebagai rata-rata sampel dari populasi dan , kemudian menyatakan rata-rata populasi .

Sehingga dalam penelitian ini akan dibandingkan tiga penaksir yaitu penaksir rasio-cum-produk , dual rasio-cum-produk untuk rata-rata populasi Y yang diajukan oleh Singh dan Taylor (2005) dengan menggunakan koefisien korelasi yaitu penaksir rasio-cum-produk, dual rasio-cum-produk dan kombinasi dual rasio-cum-produk . Kemudian dibutuhkan pula dan yang juga merupakan penaksir tak bias untuk variabel pendukung dan yang diketahui [10].Dari beberapa bentuk penaksir dual rasio-cum-produk untuk rata-rata populasi tersebut merupakan penaksir bias, maka untuk mendapatkan penaksir rasio yang efisien adalah dengan membandingkan Mean Square Error (MSE) untuk masing-masing penaksir. Semakin kecil MSE yang diperoleh, maka akan meningkatkan presisi dalam sampling. Hal inilah yang mendasari untuk menggunakan penaksir dual rasio-cum-produk yang diajukan untuk memilih penaksir yang efisien. Pembahasan masalah ini dibahas dalam skripsi yang berjudul Penaksir Dual Rasio-Cum-Produk untuk Rata-rata Populasi dengan menggunakan Koefisien Korelasi . Referensi utamanya diambil dari jurnal yang berjudul Dual To Ratio-Cum-Product Estimator Using Known Parameters Of Auxiliary Variables oleh Rajesh Tailor, dkk (2012) [10] .Adapun isi dari skripsi ini terdiri dari empat bab yang diawali dengan pendahuluan pada Bab 1. Selanjutnya pada Bab 2 dijelaskan tentang beberapa teori yang mendukung pembahasan, diantaranya adalah penaksir rasio dan penaksir produk pada sampling acak sederhana. Pada Bab 3 dibahas tentang penaksir rasio-cum-produk dan penaksir dual rasio-cum-produk dan terakhir pada Bab 4 disajikan kesimpulan dan saran tentang pembahasan skripsi ini. Penulis menggunakan notasi untuk mengakhiri pembuktian teorema.

BAB 2PENAKSIR PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

Pada Bab 2 ini dijelaskan tentang penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana, beberapa definisi dan teorema yang merupakan teori pendukung permasalahan serta bias dan MSE dari penaksir rasio.

2.1 Penaksir Rata-rata Populasi pada Sampling Acak SederhanaPenarikan sampel acak sederhana merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengambil unit sampel dari unit populasi sehingga setiap unit populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi unit sampel. Pengambilan sampel dapat dilakukan dengan pengembalian atau tanpa pengembalian. Apabila pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian maka ada kemungkinan satuan unit yang telah terpilih akan terpilih kembali menjadi anggota sampel. Oleh karena itu, sampel diambil tanpa pengembalian agar karakteristik unit-unit lebih akurat.

Pada pengambilan sampel tanpa pengembalian probabilitas terpilihnya anggota n dari N unit populasi sebagai unit sampel pada pengambilan pertama yaitu , probabilitas pada pengambilan kedua yaitu sampai probabilitas pada pengambilan ke- yaitu . Maka probabilitas seluruh unit-unit tertentu yang terpilih dalam pengambilan adalah . Berikut diberikan beberapa definisi dan teorema pendukung permasalahan. Salah satu materi pendukung yang digunakan untuk menentukan penaksir rasio yang efisien untuk rata-rata populasi adalah ekspektasi matematika yang dinyatakan sebagai berikut.

Definisi 2.1 [1: h. 61]Misalkan adalah variabel random diskrit dengan fungsi kepadatan peluang , maka ekspektasi dari yang dinotasikan dengan didefinisikan sebagai

dengan merupakan probabilitas terpilihnya suatu unit sebesar .Untuk melihat keragaman dari suatu data, dapat dilihat dari variansi data tersebut. Berikut diberikan definisi tentang variansi

Definisi 2.2 [1: h. 73] Misalkan adalah penaksir untuk , variansi yang dinotasikan dengan diberikan sebagai

Selanjutnya diberikan definisi kovariansi yang menyatakan hubungan antara dua variabel acak yang digunakan untuk menentukan kovariansi dari rata-rata sampel

Definisi 2.3 [1: h. 174 ] Kovariansi dari pasangan variabel dan dengan rata- rata untuk masing-masing dan yang dinotasikan dengan Cov adalah

Cov.Suatu penaksir dari parameter populasi memiliki beberapa sifat, diantara sifat-sifat penaksir dari populasi adalah penaksir bias dan tak bias yang didefinisikan sebagai berikut

Definisi 2.4 [1: h. 302] Misalkan adalah penaksir untuk , , merupakan ruang parameter. Penaksir dikatakan sebagai penaksir tak bias, jika:

Definisi 2.5 [1: h. 309] Misalkan adalah penaksir untuk , , merupakan ruang parameter. Penaksir merupakan penaksir bias untuk jika

dengan adalah bias dari penaksir , sehingga dapat dinyatakan dengan .

Misalkan suatu populasi berukuran yang berkarakter dengan nilai variabel untuk masing-masing unit ke-i, dengan . Maka rata-rata populasi adalah

.

Kemudian akan diambil sampel berukuran unit secara sampling acak sederhana dengan nilai variabel , . Maka rata-rata sampel adalah

.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa rata-rata sampel merupakan penaksir tak bias untuk rata-rata populasi . Berdasarkan Definisi 2.1, maka

Karena probabilitas seluruh unit-unit tertentu yang terpilih dalam pengambilan yaitu sebesar , sehingga diperoleh

kemudian diketahui bahwa unit ada sebanyak pada seluruh unit-unit yang terbentuk dengan penarikan sampel tanpa pengembalian, sehingga

. (2.1) Berdasarkan persamaan (2.1), maka merupakan penaksir tak bias untuk .

Teorema 2.1 [2: h. 27] Apabila sampel berukuran diambil dari populasi berukuran yang berkarakter dengan sampling acak sederhana maka variansi rata-rata sampel dinotasikan dengan dan dirumuskan sebagai berikut

(2.2) dengan

menyatakan fraksi penarikan sampel

menyatakan variansi pada populasi berkarakter .Bukti :Berdasarkan Definisi 2.2, maka variansi rata-rata sampel adalah

(2.3)Dengan mensubstitusikan persamaan (2.2) ke persamaan (2.3), diperoleh

(2.4)untuk menyelesaikan persamaan (2.4) terlebih dahulu ditentukan

Berdasarkan sifat ekspektasi, diperoleh

(2.5)Berdasarkan Definisi 2.1, suku pertama untuk ruas kanan pada persamaan (2.5) diperoleh

(2.6)Kemudian substitusikan persamaan (2.6) ke persamaan (2.5), diperoleh

(2.7)

Untuk mencari persamaan (2.7), terlebih dahulu ditentukan melalui variansi dalam sebuah populasi, sehingga diperoleh

(2.8)Dengan mensubstitusikan persamaan (2.8) ke persamaan (2.7), maka diperoleh

(2.9) Berdasarkan Definisi 2.1, maka suku kedua ruas kanan dari persamaan (2.5) dapat ditulis

Sukhatme [8:h.24] menyatakan bahwa probabilitas terpilihnya menjadi anggota sampel adalah sehingga

(2.10)

selanjutnya dari persamaan (2.10) dicari terlebih dahulu melalui hubungan tersebut

sehingga diperoleh

(2.11)

Kemudian dengan mensubstitusikan pada persamaan (2.8) ke persamaan (2.11), diperoleh

(2.12) Persamaan (2.12) disubstitusikan ke persamaan (2.10), diperoleh

(2.13) Kemudian substitusikan persamaan (2.9) dan persamaan (2.13) ke persamaan (2.5) diperoleh

atau dapat ditulis

(2.14) Selanjutnya persamaan (2.14) disubstitusikan ke persamaan (2.4), sehingga terbukti bahwa variansi dari rata-rata sampel adalah

Teorema 2.2 [2: h. 29] Jika , adalah sebuah pasangan yang bervariasi ditetapkan pada unit dalam populasi dan , adalah rata-rata dari sampel acak sederhana berukuran , maka kovariansi dan adalah

.Bukti:

Misalkan

Maka rata-rata sampel dari adalah dan rata-rata populasi dari adalah .

Berdasarkan Teorema 2.1 , maka variansi rata-rata sampel sebagai berikut

Karena dan , maka

(2.15)kemudian sederhanakan suku-suku pada kedua ruas. Berdasarkan Teorema 2.1, maka

(2.16)dan

(2.17)sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (2.16) dan (2.17) ke persamaan (2.15) terbukti bahwa

dengan , maka

Menentukan penaksir yang efisien untuk penaksir bias adalah penaksir yang memiliki rata-rata kesalahan kuadrat atau MSE terkecil. MSE didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.6 [3: h. 901] Misalkan adalah penaksir bias untuk , , merupakan ruang parameter. Rata-rata kesalahan kuadrat dinotasikan dengan yang didefinisikan sebagai

Jika terdapat beberapa penaksir yang bersifat bias, maka untuk mengetahui penaksir yang lebih efisien dapat digunakan dengan menentukan efisiensi relatifnya yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.7 [4: h. 272] Misalkan dan adalah penaksir bias untuk, selanjutnya misalkan dan adalah MSE dari dan , maka efisiensi relatif ke dinotasikan dengan dan didefinisikan dengan

Jika efisiensi relatif kecil dari satu, maka dapat disimpulkan bahwa penaksir lebih efisien dari pada penaksir atau MSE () lebih kecil dari MSE (), yaitu dapat ditunjukkan dengan:

atau ekuivalen dengan

Sehingga untuk mengetahui penaksir yang efisien antara dan penaksir yaitu dengan menentukan selisih antara dan .Pada beberapa penyelesaian persamaan disederhanakan dengan menggunakan deret Taylor, yang dinyatakan sebagai berikut.

Teorema 2.3 Teorema Taylor [5: h. 184] Misalkan , dan I = [a,b], misalkan dan adalah kontinu pada dan ada pada . Jika maka untuk sembarang terdapat suatu titik sehingga

(2.18)Bukti: Bukti dari teorema ini dapat dilihat pada [5: h. 184] .

Deret Taylor untuk variabel [9: h. 210] Misalkan adalah suatu fungsi variabel dan adalah kontinu pada interval dan ada pada dengan , maka:

(2.19)

Dari persamaan (2.19) apabila diperoleh deret Taylor yaitu:

(2.20)dengan mengabaikan pangkat-pangkat yang lebih besar dari satu, maka persamaan (2.20) dapat juga ditulis dalam bentuk

(2.21)

Teorema 2.4 ( Uji Turunan Kedua Ekstrim Lokal ) [6: h. 204] Andaikan dan ada pada setiap titik dalam selang terbuka yang memuat , dan andaikan (i)

Jika , adalah nilai maksimum lokal .(ii)

Jika , adalah nilai minimum lokal .2.2Koefisien KorelasiTerdapat tiga macam bentuk hubungan antar variabel, yaitu hubungan simetris, hubungan sebab akibat (kausal) dan hubungan Interaktif (saling mempengaruhi). Untuk mencari hubungan antara dua variabel atau lebih dilakukan dengan menghitung korelasi antar variabel yang akan dicari hubungannya.Korelasi merupakan angka yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan antar variabel atau lebih. Artinya dinyatakan dalam bentuk hubungan positif atau negatif, sedangkan kuatnya hubungan dinyatakan dalam besarnya koefisien korelasi. Hubungan dua variabel atau lebih dinyatakan positif, bila nilai satu variabel ditingkatkan, maka akan meningkatkan variabel yang lain, dan sebaliknya bila nilai satu variabel diturunkan maka akan menurunkan variabel yang lain. Hubungan dua variabel atau lebih dinyatakan negatif, bila nilai satu variabel dinaikkan maka akan menurunkan nilai variabel yang lain, dan juga sebaliknya bila nilai satu variabel diturunkan, maka akan menaikkan nilai variabel yang lain. Kuatnya hubungan antara variabel dinyatakan dalam koefisien korelasi.Koefisien korelasi positif terbesar adalah 1 dan koefisien korelasi negatif terbesar adalah -1, sedangkan yang terkecil adalah 0. Bila besarnya antara dua variabel atau lebih itu mempunyai koefisien korelasi adalah 1 atau -1, maka hubungan tersebut sempurna. Dalam arti kejadian-kejadian pada variabel yang satu akan dapat dijelaskan atau diprediksikan oleh variabel yang lain tanpa terjadi kesalahan (error). Makin kecil koefisien korelasi, maka akan semakin besar error untuk membuat prediksi.Koefisien korelasi berdasarkan [10] dirumuskan sebagai berikut

dengan merupakan sekumpulan data berukuran .

BAB 3PENAKSIR DUAL RASIO-CUM-PRODUK UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN KOEFISIEN KORELASI

Penaksir dual rasio-cum-poduk yang dibahas pada bab ini adalah penaksir yang dimodifikasi oleh Singh dan Taylor [10]. Untuk menentukan penaksir yang lebih efisien antara penaksir rasio-cum-produk, penaksir dual rasio-cum-produk dan kombinasi dari penaksir dual rasio-cum-produk maka akan dibandingkan MSE dari masing-masing penaksir. Penaksir dengan MSE terkecil merupakan penaksir yang paling efisien.

3.1Penaksir Rasio-Cum-Produk untuk Rata-rata Populasi Dengan Menggunakan Koefisien Korelasi

Penaksir rasio-cum-produk yang dimodifikasi oleh Singh dan Taylor (2005) untuk menaksir rata-rata populasi dengan menggunakan koefisien korelasi dinotasikan dengan dan dirumuskan dalam [10: .h.68] yaitu

(3.1)

dengan merupakan korelasi antara variabel dan .

3.1.1Bias Penaksir Rasio-Cum-Produk untuk Rata-rata Populasi Dengan Menggunakan Koefisien KorelasiPenaksir rasio-cum-produk merupakan penaksir bias. Bias dari penaksir rasio-

cum-produk untuk menaksir rata-rata populasi dengan menggunakan koefisien korelasi dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:Bentuk lain dari rata-rata sampel dapat ditulis sebagai

(3.2)

(3.3)

(3.4)

dengan , dan adalah suatu konstanta error, sehingga dapat ditunjukkan bahwa

, , ,

,

,

. Substitusikan persamaan (3.2), (3.3) dan (3.4) ke persamaan (3.1), sehingga diperoleh

(3.5)

dengan , maka persamaan (3.5) dapat dinyatakan dengan

(3.6)

Untuk suku pertama pada persamaan (3.6), asumsikan bahwa sehingga dapat diaproksimasikan dengan deret Maclaurin sebagai berikut

(3.7)Substitusikan persamaan (3.7) ke persamaan (3.6) menjadi

(3.8)

Pada persamaan (3.8) nilai dari yang cukup kecil dan hampir mendekati nol sehingga diperoleh

(3.9)

Kedua ruas pada persamaan (3.9) dikurangkan dengan , diperoleh

(3.10)Kemudian ekspektasikan kedua ruas persamaan (3.10) diperoleh

Berdasarkan asumsi ekspektasi dari , , , , , dan maka diperoleh

(3.11) dengan

,

,

,

,

.

Dari persamaan (3.11) diperoleh bahwa . Berdasarkan Definisi 2.5 maka penaksir merupakan penaksir bias. Besarnya bias penaksir adalah

3.1.2MSE Penaksir Rasio-Cum-Produk untuk Rata-rata Populasi Dengan Menggunakan Koefisien Korelasi

MSE dari dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan deret Taylor untuk tiga variabel yakni dengan mengabaikan deret Taylor yang berderajat lebih dari satu pada persamaan (2.21). Misalkan sebagai penaksir dari parameter . Berdasarkan Definisi 2.6, maka pendekatan MSE dari penaksir diperoleh

(3.12)Berdasarkan persamaan (2.21) maka persamaan (3.12) menjadi

(3.13)

sehingga diperoleh rumus pendekatan untuk mendapatkan MSE adalah (3.14)

Dengan menggunakan persamaan (3.14) dapat dicari MSE dari penaksir , dengan memisalkan , terlebih dahulu dicari turunan terhadap yaitu

turunan terhadap

(3.15)

turunan terhadap

(3.16)

dan turunan terhadap

(3.17)Subsitusikan persamaan (3.15), (3.16) dan (3.17) ke persamaan (3.14), diperoleh

dengan

dan sehingga diperoleh

Jadi diperoleh

(3.18)3.2 Penaksir Dual Rasio-Cum-Produk untuk Rata-rata Populasi Dengan Menggunakan Koefisien Korelasi

Penaksir dual rasio-cum-produk yang dimodifikasi oleh Singh dan Taylor (2005) untuk menaksir rata-rata populasi dengan menggunakan koefisien korelasi dinotasikan dengan dan dirumuskan dalam [10: h.68] yaitu

(3.19)dengan

merupakan korelasi antara variabel dan

3.2.1Bias Penaksir Dual Rasio-Cum-Produk untuk Rata-rata Populasi dengan Menggunakan Koefisien Korelasi

Penaksir dual rasio-cum-produk merupakan penaksir bias. Bias dari penaksir dual rasio-cum-produk untuk menaksir rata-rata populasi dengan menggunakan koefisien korelasi dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:Substitusikan persamaan (3.2), (3.3) dan (3.4) ke persamaan (3.19), sehingga diperoleh

(3.20)

dengan , maka persamaan (3.20) dapat dinyatakan dengan

(3.21)

Untuk suku pertama pada persamaan (3.21), asumsikan bahwa sehingga dapat diaproksimasikan dengan deret Maclaurin sebagai berikut

(3.22)Substitusikan persamaan (3.22) ke persamaan (3.21) menjadi

(3.23)Pada persamaan (3.23) nilai dari

yang cukup kecil dan hampir mendekati nol sehingga diperoleh

(3.24)



Berdasarkan asumsi ekspektasi dari , , , , , dan maka diperoleh

(3.26)

Dari persamaan (3.26) diperoleh bahwa . Berdasarkan Definisi 2.5 maka penaksir merupakan penaksir bias. Besarnya bias penaksir adalah

Selanjutnya akan ditentukan besar bias dari penaksir kombinasi dual rasio-cum-produk yaitu

(3.27)

dengan berada diantara 0 dan 1.Substitusikan persamaan (3.2), (3.3) dan (3.4) ke persamaan (3.27), sehingga diperoleh

(3.28)

dengan dan maka persamaan (3.28) dapat dinyatakan sebagai

(3.29)

Untuk suku pertama pada persamaan (3.29), asumsikan bahwa untuk , sehingga dan dapat diaproksimasikan dengan deret Maclaurin sebagai berikut

(3.30)

(3.31)Substitusikan persamaan (3.30) dan (3.31) ke persamaan (3.29) menjadi

sehingga

(3.32)Pada persamaan (3.32) nilai dari

dan

yang cukup kecil dan hampir mendekati nol sehingga diperoleh

(3.33)



Berdasarkan asumsi ekspektasi dari , , , , , , dan maka diperoleh

(3.35)

Dari persamaan (3.35) diperoleh bahwa . Maka berdasarkan Definisi 2.5 maka penaksir merupakan penaksir bias. Besarnya bias penaksir adalah

3.2.2MSE Penaksir Dual Rasio-Cum-Produk untuk Rata-rata Populasi dengan Menggunakan Koefisien Korelasi

Ketelitian dari suatu penaksir yang bersifat bias ditinjau berdasarkan MSE. MSE dari penaksir dan dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan deret Taylor tiga variabel pada persamaan (2.21). MSE dari kedua penaksir dapat diperoleh sebagai berikut1. MSE Penaksir dual rasio-cum-produk untuk rata-rata populasi dengan menggunakan koefisien korelasi.


turunan terhadap

sehingga diperoleh turunan terhadap yaitu

(3.36)

turunan terhadap

(3.37)


(3.38) Subsitusikan persamaan (3.36), (3.37) dan (3.38) ke persamaan (3.14), diperoleh

Berdasarkan asumsi ekspektasi dari , , , , dan sehingga diperoleh

Jadi diperoleh

(3.39) 2. MSE Penaksir kombinasi dual rasio-cum-produk untuk rata-rata populasi dengan menggunakan koefisien korelasi.


turunan terhadap

(3.40)

turunan terhadap

(3.41)

(3.41)


(3.42)Subsitusikan persamaan (3.40), (3.41) dan (3.42) ke persamaan (3.14), diperoleh

Berdasarkan asumsi ekspektasi dari , , , ,dan sehingga diperoleh

Jadi diperoleh

(3.43)

Pada persamaan (3.43) merupakan fungsi dari sehingga dapat ditentukan optimum berdasarkan yaitu digunakan Teorema 2.4 sebagai berikut :

dapat juga diubah dalam bentuk

Sehingga akan optimum pada

(3.44)

Maka berdasarkan Teorema 2.4 dapat diperoleh minimum yaitu

(3.45)

3.3Penaksir Rasio yang Efisien

Untuk menentukan penaksir yang efisien dari penaksir yang bias, dapat ditentukan dengan cara membandingkan MSE dari masing-masing penaksir tersebut. Dalam membandingkan MSE digunakan efisiensi relatif. Suatu penaksir dikatakan efisien apabila mempunyai MSE yang terkecil. Selanjutnya untuk mengetahui penaksir yang efisien antara dan dapat diketahui dengan langkah-langkah sebagai berikut1.

Perbandingan penaksir dengan penaksir

Untuk mendapatkan penaksir yang efisien antara penaksir dengan berdasarkan Definisi 2.7 yaitu dengan membandingkan dengan , yang dapat ditunjukkan dengan menentukan selisih dari

dengan sebagai berikut

dan dapat juga ditulis dalam bentuk

(3.46)Dari persamaan (3.46) suku pada ruas kanan ada dua kemungkinan, yaitu 1) Kemungkinan pertama yaitu

(3.47)

Pertidaksamaan (3.47) merupakan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk , maka untuk menentukan akar-akar dari pertidaksamaan tersebut dapat diubah kedalam bentuk persamaan kuadrat, sehingga

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat dari peubah dapat ditentukan dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat sebagai berikut

.

Dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat diperoleh nilai dari yaitu

(3.48)sehingga pada persamaan (3.48) diperoleh akar-akar persamaan kuadrat yaitu

atau

dengan

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa a.

Untuk dengan maka penaksir akan lebih efisien dari penaksir jika

(3.49)b.


atau

2) Kemungkinan kedua yaitu

(3.50)Berdasarkan persamaan (3.50) dapat dikatakan bahwa a.


atau

b.


2.


Untuk mendapatkan penaksir yang efisien antara penaksir dengan berdasarkan Definisi 2.7 yaitu dengan membandingkan dengan , yang dapat ditunjukkan dengan menentukan selisih dari dengan sebagai berikut



(3.52)


Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat dari peubah dapat ditentukan dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat sebagai berikut

.

Dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat diperoleh nilai yaitu

(3.53)dengan

dan

sehingga diperoleh akar-akar dari persamaan (3.53) yaitu

atau

Maka dapat dikatakan bahwa a.


b.


atau



Untuk dengan maka penaksir akan lebih

efisien dari penaksir jika

atau (3.55)

b.


3.


Untuk mendapatkan penaksir yang efisien antara penaksir dengan berdasarkan Definisi 2.7 yaitu dengan membandingkan dengan , yang dapat ditunjukkan dengan menentukan selisih dari dengan sebagai berikut



(3.57)


Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat dari peubah dapat ditentukan dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat sebagai berikut .

Dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat diperoleh nilai yaitu

(3.58)dengan

dan

sehingga diperoleh akar-akar dari persamaan (3.58) yaitu

atau

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa a.



(3.59)b.


atau





atau

b.


3.4 ContohSebagai contoh dari pembahasan pada bab ini, diberikan data pada Lampiran tentang persentase bintik-bintik pada tubuh manusia yang disebabkan oleh penyakit. Persentase bintik-bintik pada tubuh manusia yang disebabkan oleh penyakit (Y) berdasarkan 10 responden yang dipilih secara acak sederhana [7]. Peneliti ingin mengetahui rata-rata persentase bintik-bintik pada tubuh manusia yang disebabkan oleh penyakit dan untuk menentukan rata-rata tersebut diperlukan informasi tambahan yang telah diteliti sebelumnya, yaitu rata-rata suhu di Bulan Januari (X) dan banyaknya bunga dari spesies musim panas tertentu (Z). Informasi yang diperoleh dari data pada Lampiran persentase bintik-bintik pada tubuh manusia yang disebabkan oleh penyakit adalah sebagai berikut :Y : Persentase bintik-bintik disebabkan penyakit (dalam satuan %)

X : Rata-rata suhu di Bulan Januari (dalam satuan )Z : Banyaknya bunga dari spesies musim panas tertentu (dihitung dari 1 Januari) (dalam satuan tangkai)

Dengan menggunakan persamaan (3.49), (3.55) dan (3.59) serta memanfaatkan informasi yang diperoleh pada contoh, maka dapat ditentukan penaksir yang lebih efisien diantara dua penaksir.

Berdasarkan persamaan (3.49) bahwa penaksir merupakan penaksir yang lebih efisien daripada penaksir jika . Syarat lebih efisien pada persamaan (3.49) terpenuhi, sehingga penaksir merupakan penaksir yang lebih efisien daripada penaksir .

Pada persamaan (3.55) bahwa penaksir merupakan penaksir yang lebih efisien daripada penaksir jika atau Syarat lebih efisien pada persamaan (3.55) terpenuhi, sehingga penaksir merupakan penaksir yang lebih efisien daripada penaksir .

Selanjutnya, pada persamaan (3.59) bahwa penaksir merupakan penaksir yang lebih efisien daripada penaksir jika Syarat lebih efisien pada persamaan (3.59) terpenuhi, sehingga penaksir merupakan penaksir yang lebih efisien daripada penaksir .Secara umum untuk menentukan penaksir yang lebih efisien dapat juga dihitung dari nilai MSE masing-masing penaksir. Nilai MSE untuk masing-masing penaksir diperoleh seperti pada Tabel 1.Tabel 1: Nilai MSE untuk ketiga penaksirPenaksirMSE

2,678039

2,504543

2,262858

Berdasarkan kriteria penaksir yang efisien, maka dapat disimpulkan bahwa penaksir lebih efisien daripada penaksir . Kemudian penaksir lebih efisien daripada penaksir . Sehingga penaksir yang paling efisien adalah penaksir .

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN

Setelah membandingkan MSE terkecil dari penaksir rasio-cum-produk, dual rasio-cum-produk dan kombinasi dual rasio-cum-produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana, maka dapat dibuat kesimpulan dan saran sebagai berikut.

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan efisiensi yang telah dikemukakan pada Bab 3 maka dapat disimpulkan bahwa penaksir kombinasi dual rasio-cum-produk yang menggunakan informasi tambahan koefisien korelasi lebih efisien daripada penaksir rasio-cum-produk dan dual rasio-cum-produk. Dengan adanya informasi tambahan tersebut sangat mempengaruhi tingkat ketelitian penaksir.

4.2SaranPada skripsi ini penulis membahas tentang penaksir rasio-cum-produk, dual rasio-cum-produk dan kombinasi dual rasio-cum-produk dengan menggunakan koefisien korelasi pada sampling acak sederhana. Pembaca yang berminat untuk pembahasan selanjutnya dapat membahas mengenai penaksir dual rasio-cum-produk pada sampling acak berstrata atau sampling acak sistematis.

DAFTAR PUSTAKA[1]Bain, L. J. & M. Engelhardt. 1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Second Edition. Duxbury Press, California[2]Cochran, W. G. 1991. Teknik Penarikan Sampel, Edisi ketiga. Terj. Dari Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E.R Osman. UI Press, Jakarta.[3]Gujarati, D. N. 2004. Basic Econometrics. Fourth Edition. McGraw Hill pub.Co.New York. [4]Montgomery, D. C. & G. C. Runger.1999. Applied Statistics and Probability for Engineers, Second Edition. John Wiley & Sons, New York.[5]Phillips, G. M. & P. J. Taylor. Theory and Applications of Numerical Analysis, Second Edition. Academic Press, New York.[6]Purcell, E. J. & D. Varberg. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, Edisi Kelima. Terj. Dari Calculus with Analytic Geometry, Oleh Nyoman, I. s, Kartasasmita, B. & Rawuh. Penerbit Erlangga, Jakarta. [7] Singh, H. P & R. Singh. 2005. On the Efficiency of a Dual to Ratio-Cum-Product Estimator in Sample Surveys. Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy. 105A(2): 51-56.[8]Sukhatme, P. V. 1957. Sampling Theory of Surveys with Applications. The Indian Council of Agricultural Research, New Delhi.[9]Taylor, A. E & Mann, W. R. 1983. Advanced Calculus. Third edition. John Wiley & Sons. New York.[10] Taylor, R & Dkk. 2012. Dual to Ratio-Cum-Product Estimator Using Known Parameter of Auxiliary Variables. Journal of Reliability and Statistical Studies. 5(1): 65-71.LAMPIRANPersentase Bintik-bintik pada Tubuh Manusia yang disebabkan oleh Penyakit yang dipengaruhi oleh Suhu dan Banyaknya Bunga pada Musim Panas TertentuNo.Y (Persentase Bintik-bintik pada Tubuh Manusia)X (Rata-rata Suhu di Bulan Januari)Z (Banyaknya Bunga dari Spesies Musim Panas tertentu)

1.4935200

2.4035212

3.4138211

4.4640212

5.5240203

6.5942194

7.5344194

8.6146188

9.5550196

10.6450190

Sumber: Singh dan Singh [7]

18

Documents

Skripsi Ravell Baru