Upload
marin-zanze
View
202
Download
28
Embed Size (px)
DESCRIPTION
2012 2013
Citation preview
Predavanja
Automatika
Ak.godina 2010/2011
(radni materijal)
Split, 2011.
Predavanja iz automatike 2011
2
Napomena: Ova skripta obuhvaća predavanja odrţana u akademskoj godini 2010/2011. U njoj nisu i
svi zadaci koji su rješavani tijekom auditornih vjeţbi. Kako je skripta prvenstveno napisana kako bi se
olakšalo pripremanje studenata za kolokvij i ispit, studenti za potpunu pripremu trebaju riješiti i
nauĉiti i te zadatke.
Predavanja iz automatike 2011
3
Sadržaj
1. Uvod ................................................................................................................................... 5 1.1 Vrste sustava ................................................................................................................ 5
1.2 Opća svojstva tehniĉkih sustava .................................................................................. 8 1.2.1 Tipiĉne pobudne funkcije sustava ...................................................................... 10
1.3 Podjela sustava .......................................................................................................... 11 1.4 Opis linearnih kontinuiranih sustava ......................................................................... 16
2. Matematiĉki opis dinamiĉkih sustava .............................................................................. 17
2.1 Opis jednostavnih linearnih sustava diferencijalnim jednadţbama ........................... 18 2.2 Analiza u podruĉju kompleksne varijable (Laplaceova transformacija) ................... 25 2.3 Standardne pobudne funkcije i njihova LT ............................................................... 26
2.3.1 Odskoĉna funkcija (step) .................................................................................... 26 2.3.2 Uzlazna pravĉasta funkcija ................................................................................. 27 2.3.3 Impulsna (Diracova) funkcija ............................................................................. 27
2.3.4 Eksponencijalna funkcija ................................................................................... 27 2.3.5 Sinusna funkcija ................................................................................................. 27 2.3.6 Tablica korespondentnih funkcija ...................................................................... 28
2.3.7 Laplaceove transformacije nekontinuiranih funkcija ......................................... 29 2.3.8 LT operacija deriviranja i integriranja ............................................................... 29
2.3.9 Dodatna svojstva LT .......................................................................................... 30
2.4 Inverzna Laplaceova transformacija .......................................................................... 31
2.5 Primjeri rješavanja DJ pomoću LT ............................................................................ 35 3. Prijenosna funkcija ........................................................................................................... 37
3.1 Prijenosne funkcije jednostavnih mreţa .................................................................... 38 3.2 Prijenosna funkcija sklopa s operacijskim pojaĉalom ............................................... 46 3.3 Osnovni elementi mehaniĉkih sustava ...................................................................... 47
4. Algebra blokova ............................................................................................................... 52
4.1 Pravila algebre blokova ............................................................................................. 52 4.1.1 Osnovna pravila algebre blokova ....................................................................... 52 4.1.2 Dodatna pravila algebre blokova ........................................................................ 53
4.2 Primjeri ...................................................................................................................... 55 5. Analiza sustava u vremenskom podruĉju ......................................................................... 64
5.1 Standardne pobudne prijelazne funkcije .................................................................... 64
5.1.1 Jediniĉna odskoĉna funkcija (jediniĉni odskok / jediniĉni step) ........................ 64
5.1.2 Jediniĉna nagibna funkcija / jediniĉna uzlazna pravĉasta funkcija .................... 65 5.1.3 Jediniĉna parabola .............................................................................................. 65 5.1.4 Jediniĉna impulsna funkcija / Jediniĉna Diracova funkcija ............................... 66
5.2 Prijelazna funkcija ..................................................................................................... 66 5.3 Vremenski odziv osnovnih sustava ........................................................................... 67
5.3.1 Proporcionalni ĉlan nultog reda (P0 – ĉlan) ....................................................... 67 5.3.2 Proporcionalni ĉlan prvog reda (P1 – ĉlan) ........................................................ 68 5.3.3 Proporcionalni ĉlan drugog reda (P2 – ĉlan) ...................................................... 70 5.3.4 Integracijski ĉlan ................................................................................................ 75 5.3.5 Derivacijski ĉlan ................................................................................................. 77 5.3.6 Ĉlan sa vremenskom zadrškom .......................................................................... 79
Predavanja iz automatike 2011
4
5.3.7 Pregled osnovnih ĉlanova i njihovih vremenskih odziva na step ....................... 80 5.4 PID regulator ............................................................................................................. 80
5.4.1 Oblici PID regulatora ......................................................................................... 80 5.4.2 Djelovanje PID regulatora .................................................................................. 81
6. Sustavi prvog i drugog reda ............................................................................................. 82 6.1 Sustavi prvog reda ..................................................................................................... 82 6.2 Sustavi drugog reda ................................................................................................... 86
7. Analiza sustava u frekvencijskom podruĉju ..................................................................... 94 7.1 Uvod .......................................................................................................................... 94
7.2 Polarni i Nyquistovi dijagrami .................................................................................. 96 7.2.1 Nyquistov polarni dijagram sloţenih prijenosnih funkcija ................................ 98
7.3 Bodeovi dijagrami ................................................................................................... 105 7.3.1 Osnovna ideja crtanja Bodeovih dijagrama ..................................................... 108
7.3.2 Amplitudna i fazna karakteristika sustava 1. reda ............................................ 109 7.3.3 Amplitudna i fazna karakteristika sustava 2. reda ............................................ 112
8. Stabilnost sustava ........................................................................................................... 114 8.1 Kriteriji stabilnosti ................................................................................................... 119
8.2 Grafoanalitiĉki kriteriji stabilnosti ........................................................................... 120 8.2.1 Bodeov kriteriji stabilnosti ............................................................................... 120 8.2.2 Nyquistov kriteriji stabilnosti ........................................................................... 121
8.3 Analitiĉki kriteriji stabilnosti ................................................................................... 124
8.3.1 Hurwitzov kriterij stabilnosti ........................................................................... 125 8.3.2 Routhov kriterij stabilnosti ............................................................................... 128
9. Pogreške ustaljenog stanja ............................................................................................. 134 9.1 Uvod ........................................................................................................................ 134
9.2 Pogreške ustaljenog stanja pomaka, brzine i ubrzanja ............................................ 136 9.2.1 Pogreška ustaljenog stanja pomaka .................................................................. 136
9.2.2 Pogreška ustaljenog stanja brzine .................................................................... 137 9.2.3 Pogreška ustaljenog stanja ubrzanja ................................................................. 138 9.2.4 Odstupanje od ţeljenog odziva sustava ............................................................ 139
10. Osjetljivost .................................................................................................................. 143 10.1 Uvod ..................................................................................................................... 143
10.2 Osjetljivost – izvod .............................................................................................. 143 10.3 Osjetljivost - primjeri ........................................................................................... 146
Predavanja iz automatike 2011
5
1. Uvod
AUTOMATIKA: automatos (grč.) – ono što se dogaĎa samo od sebe.
Automatska tvorevina: djeluje samostalno s pomoću ugraĎenog mehanizma koji joj to
omogućuje. Uloga čovjeka: opskrba energijom, puštanje u rad, nadzor rada, korištenje
rezultata tog rada.
"Sustav je skup objekata objedinjenih nekim oblikom meĎudjelovanja ili meĎuovisnosti.“
(Websterov rječnik)
"Sustav je dio svijeta koji je povezan s okolinom preko ulaznih i izlaznih djelovanja. Ulazna
djelovanja sustav preoblikuje u izlazna djelovanja. Izlaz sustava općenito može ovisiti o
trenutku pobude i o “memoriji“ sustava do trenutka pobude. Povijest,odnosno "memorija“
sustava tretira se konceptom stanja sustava“ (Vladimir Kučera, 1979).
Poĉeci:
Ktesibiusov vodeni sat: prva poznata tvorevina s povratnom vezom (3.st. p.n.e.)
Klasiĉni regulacijski ureĊaj: centrifugalni regulator C. Huygens (1658.)
(Reguliranje rada satova, vjetrenjaĉa i vodenica)
Napredak automatike u 20. stoljeću: sliĉnost ponašanja i djelovanja
“samostalnih” odnosno “automatskih” tvorevina i ţivih bića
(Norbert Wiener – “Cybernetics”, 1918.)
Norbert Wiener (1894-1964. – slika desno): “Za samostalno
djelovanje neke tvorevine, bilo prirodne ili tehniĉke, potrebno je
svojstvo voĊenja.” KIBERNETIKA: hiberneti (grĉ.) – voditi, upravljati, usmjeravati
Slika 1. Norbert Wiener
Automatika je sastavni dio znanosti o sustavima. Automatika obuhvaća teoriju voĊenja, istraţivanje
uvjeta djelovanja i zakonitosti voĊenja razliĉitih tehniĉkih tvorevina i sastavljanje i gradnju njihovih
dijelova za voĊenje.
1.1 Vrste sustava
Sustavi:
- tehniĉki
- biološki
- ekonomski
- ekološki
- informacijski
- transportni
- ...
Slika 2. Primjeri sustava
Predavanja iz automatike 2011
6
Slika 3. Sustavi („Sve je sustav i podsustav“)
Prirodni sustavi nastaju pod uticajem prirodnih zakona.
Biološki sustavi - jedan od osnovnih ciljeva: opstanak, razvoj i razmnoţavanje. Proces
ostvarivanja ovih ciljeva je odreĊen prirodnim zakonima koji se ogledaju u adaptaciji sustava
vanjskim utjecajima.
Proces spoznaje ciljeva i naĉina djelovanja sustava, usmjerenih na ostvarenje tih ciljeva,
pomaţe nam da svojim djelovanjem pospješimo realizaciju ovih ciljeva, ili utiĉemo na
izmjenu ciljeva u zavisnosti od vrste sustava.
Umjetni sustavi tj. sustavi koje je stvorio ĉovjek - ciljeve ovih sustava odreĊuje ĉovjek.
Određivanje granica sustava
Postoje tri kriterija odreĊivanja (sva tri moraju biti zadovoljena):
Predavanja iz automatike 2011
7
1. da li izmeĊu elemenata i ostalih dijelova postoji neka bitna veza?
2. da li posmatrani element ima funkciju koja utiĉe na ono što definiramo kao sustav?
3. da li postojanje i funkcioniranje zamišljenog sustava utiĉe na element i funkcioniranje
promatranog elementa?
Sustave možemo dijeliti i prema
Naĉinu postanka:
- Prirodni (nastaju pod uticajem prirodnih zakona bez neposrednog uticaja
ĉovjeka)
- Umjetni (stvora ih ĉovjek svojim posrednim ili neposrednim uĉešćem)
Obliku postojanja:
- Realni (materijalni sustavi ĉija je struktura sastavljena iz realnih elemenata
izmeĊu kojih postoje realne veze. Svi prirodni sustavi su realni sustavi.)
- Apstraktni (spadaju u grupu nematerijalnih sustava. To su formalni, misaoni,
idejni ili matematiĉki. Opisuju realne sustave.)
Pod pojmom sustav u daljnjem razmatranju podrazumijevat će se uglavnom dinamički
tehnički sustav.
Predavanja iz automatike 2011
8
1.2 Opća svojstva tehničkih sustava
Osmišljava ga i realizira ĉovjek u svrhu postizanja toĉno odreĊenog i unaprijed zadanog cilja.
Materijalni sustav koji se gradi od razliĉitih komponenata (elemenata). Sve komponente
sustava su u funkciji ostvarenja zadanog cilja. Temeljno svojstvo komponenata sustava je
njihova sposobnost povezivanja s drugim komponentama sustava i s okolinom u kojoj sustav
djeluje. Svaka komponenta sustava razmatra se sa stajališta njezinog meĊudjelovanja s
drugim komponentama sustava.
Značajke sustava
Dvije osnovne znaĉajke sustava (ne samo tehniĉkih) su:
- Djelovanje
- Svrhovitost
DJELOVANJE predstavlja obavljanje radnje (pretvorba energije, prerada tvari, obrada
informacija i sl.)
SVRHOVITOST ili CILJ je kod sustava uvijek prisutna, ali ne mora biti odmah i uoĉljiva.
Karakteristike dinamičkih tehničkih sustava
Osnovne karakteristike dinamiĉkih tehniĉkih sustava su:
- Usmjerenost djelovanja
- Kauzalnost
- Ograniĉenost energetskih resursa
- Ograniĉenost informacijskog kapaciteta
- Strukturiranost
- Povezanost procesa unutar sustava
Slika 4. Automobil je sustav? (DA/NE). Što je sa samostalnošću?
Proces: djelovanje u prirodi, društvu i tehnici.
Procesni prostor: prostor u kojem se odvijanju ta djelovanja. U procesnom prostoru se
akumuliraju tvari i energija potrebni za odrţavanje procesa. Manjak ili višak tvari ili energije -
> nepravilno odvijanje procesa.
Predavanja iz automatike 2011
9
VoĎenje omogućava ĉuvanje koliĉine akumulirane tvari i energije u procesnom prostoru.
Proizvodni postupci – procesi
voĊenje procesa elektrolize
voĊenje procesa taljenja
voĊenje procesa mljevenja sirovine
…
VoĊenje objekata: procesi vezani uz svrhovito gibanje nekog stroja, tijela ili objekta.
VoĊenje: svaki svrhoviti utjecaj na ponašanje procesa ili objekta.
Slika 5. Osnovni prikaz sustava
Naĉini upravljanja sustavom:
1) VoĊenje
2) Reguliranje
Slika 6. Upravljanje voĊenjem
Slika 7. Upravljanje regulacijom
Predavanja iz automatike 2011
10
1
t
x(t) = u(t)
Zadaci koji se mogu postaviti i rješavati općenito se mogu podijeliti u tri grupe:
- ZADACI ANALIZE – poznati sustav, ulazna veliĉina x(t), traţi se y(t) – izlazna veliĉina
- ZADACI PROJEKTIRANJA – poznati x(t) i y(t), traţi se sustav
- ZADACI IDENTIFICIRANJA – poznato x(t), y(t), djelomiĉno sustav, traţe se: nepoznati
parametri sustava
1.2.1 Tipične pobudne funkcije sustava
Ovdje ćemo navesti pet osnovnih (najĉešćih) pobudnih funkcija sustava (Slika 8).
1) Jediniĉna odskoĉna funkcija (step funkcija)
2) Dirackova delta funkcija
3) Jediniĉna pravĉasta
4) Paraboliĉna funkcija
5) Sinusna (x(t) = A sin ωt)
a) Jediniĉna odskoĉna funkcija b) Dirackova delta funkcija
c) Jediniĉna pravĉasta funkcija
t
x(t) = t2
d) Paraboliĉna funkcija
Slika 8. Osnovne pobudne funkcije (nedostaje sinusna)
t
x(t) = t
Predavanja iz automatike 2011
11
1.3 Podjela sustava
1) LINEARNI I NELINEARNI SUSTAVI
LINEARNI – oni sustavi koji se mogu opisati linearnom diferencijalnom jednadţbom
općenitog oblika:
izlaz,ulaz,konstante,;0 0
yxbadt
xdb
dt
yda ji
n
i
m
jj
j
ji
i
i
NELINEARNI – opisuju se nelinearnim diferencijalnim jednadţbama, sloţeni su, pa se
pretvaraju u linearne i onda se analiziraju kao linearni (uz zanemarivu grešku)
Za LINEARNE sustave vrijedi PRINCIP SUPERPOZICIJE:
operacija,)()(0 0
TtxkTtykn
i
n
i
iiii
Slika 9. Superpozicija vrijedi za linearne sustave
2) SUSTAVI SA KONCENTRIRANIM I RASPODIJELJENIM PARAMETRIMA
Ako je sustav sastavljen od konaĉno mnogo pojedinaĉnih elemenata, tada je to
KONCENTRIRANI sustav. Opisuju se pomoću obiĉnih diferencijalnih jednadţbi.
Slika 10. a) Sustav sa koncentriranim i b) raspodijeljenim parametrima
Ako sustav posjeduje beskonaĉno mnogo pojedinaĉnih elemenata, radi se o sustavu sa
RASPODIJELJENIM PARAMETRIMA. Opisuju se pomoću parcijalnih dif. jednadţbi.
Predavanja iz automatike 2011
12
3) VREMENSKI PROMJENJIVI I VREMENSKI NEPROMJENJIVI (INVARIJANTNI)
SUSTAVI
Ako parametri sustava nisu konstantni, nego se mijenjaju s vremenom, onda se radi o
VREMENSKI PROMJENJIVIM sustavima, a ako to nije sluĉaj, onda se radi o
INVARIJANTNIM sustavima.
4) SUSTAVI SA KONTINUIRANIM, KVANTIZIRANIM I DISKRETNIM NAĈINOM
RADA
Ako je izlazni signal y(t) promjenjiv unutar odreĊenih granica, radi se o KONTINUIRANOM
sustavu.
t
y(t)
T
Slika 11. Kontinuirani sustav (Analogni sustav) !
Ako izlazni signal y(t) poprima samo odreĊene vrijednosti amplitude, onda se radi o
KVANTIZIRANOM sustavu.
t
y(t)
T
Slika 12. Kvantizirani sustav (digitalni sustav) !
Ako je izlazni signal y(t) poznat samo u diskretnim trenutcima, radi se o DISKRETNOM
sustavu.
Predavanja iz automatike 2011
13
t
y(t)
T
Slika 13. Diskretni sustav (digitalni sustav) !
5) DETERMINISTIĈKI, NEDETERMINISTIĈKI I STOHASTIĈKI SUSTAVI
DETERMINISTIĈKI sustavi su jednoznaĉno odreĊeni, mogu se analitiĉki opisati (u jednakim
uvjetima se uvijek jednako vladaju).
NEDETERMINISTIĈKI sustavi se u jednakim uvjetima u razliĉitim sluĉajevima razliĉito
vladaju.
STOHASTIĈKI sustavi su dinamiĉki sustavi kod kojih pojedinim varijablama ili svojstvima
sustava pridruţujemo odreĊenu mjeru vjerojatnosti kako bi bilo moguće opisati njihovo
ponašanje (opisuju se pomoću statistiĉkih zakonitosti).
6) KAUZALNI I NEKAUZALNI SUSTAVI
Za KAUZALNE sustave karakteristiĉno je da najprije nastupi pobuda pa se onda nakon toga
dobije odziv.
Kod NEKAUZALNIH sustava odziv se moţe dobiti i bez pobude.
7) STABILNI I NESTABILNI SUSTAVI
Ako svaka ograniĉena pobuda daje ograniĉeni izlazni signal, sustav je STABILAN.
Karakteristika stabilnog sustava je da amplituda izlaznog signala s vremenom pada.
Predavanja iz automatike 2011
14
SUSTAV
1
t
x(t) = u(t)
1
t
(t)
x(t) = (t)
t
y(t)
t
y(t)
Slika 14. Ulaz i izlaz za stabilan sustav
Kod NESTABILNIH sustava amplituda izlaznog signala s vremenom raste.
t
y(t)
Slika 15. Izlaz nestabilnog sustava
8) SUSTAVI S JEDNIM ULAZOM I IZLAZOM / SUSTAVI S VIŠE ULAZA I IZLAZA
Sustav s jednim ulazom i izlazom (skalarni sustav) engl. SISO – Single Input Single Output.
Sustav s više ulaza i izlaza (multivarijabilni, višestruki) engl. MIMO – Multiple Input Multiple
Output.
Moguće su i sljedeće opcije: MISO; SIMO.
9) SUSTAVI SA I BEZ MEMORIJE
Sustav bez "memorije" – sustav koji ne posjeduje skladišta energije (odziv u svakom
vremenskom trenutku t ovisan samo o pobudi u tom istom trenutku).
Sustav s "memorijom" – sustav koji ima barem jedno skladište energije (njegov odziv u
nekom vremenskom trenutku t ovisi i o iznosima pobude u prošlosti).
Predavanja iz automatike 2011
15
Slika 16. Sustav sa (desno) i bez memorije (lijevo).
Slika 17. Pregled kriterija podjele sustava.
Predavanja iz automatike 2011
16
1.4 Opis linearnih kontinuiranih sustava
Linearne kontinuirane sustave moţemo opisati u vremenskom i frekvencijskom podruĉju:
U vremenskom podruĉju ove sustave moţemo opisati:
1) pomoću jedne diferencijalne jednadţbe n-tog reda
2) pomoću N diferencijalnih jednadţbi 1.reda (opis varijablama stanja)
3) pomoću posebnih izlaznih signala (slika 18).
SUSTAV
1
t
u(t)
t
(t)
y(t) - težinska funkcija
y(t) - prijelazna funkcija
Slika 18. Opis linearnih kontinuiranih sustava pomoću posebnih funkcija
U frekvencijskom podruĉju ove sustave moţemo opisati:
1) pomoću Laplaceove transformacije
2) pomoću prijenosne funkcije (poĉ.uvjeti = 0)
3) pomoću amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike
Predavanja iz automatike 2011
17
2. Matematički opis dinamičkih sustava
Diferencijalna jednadţba - bilo koja algebarska ili neka druga jednakost koja sadrţi derivacije
ili diferencijale.
Diferencijalne jednadţbe dijelimo na:
Obiĉne diferencijalne jednadţbe
Parcijalne diferencijalne jednadţbe
Obična diferencijalna jednadžba – jednakost koja ima jednu neovisnu varijablu, jednu ili više
ovisnih varijabli i jednu ili više derivacija ovisnih varijabli po neovisnoj varijabli.
Primjer: Drugi Newtonov zakon.
dt
dvMaMf
Sila f i brzina v su ovisne, vrijeme t je neovisna varijabla (Vrijeme je najĉešća neovisna
varijabla kod dinamiĉka pojava).
ttvvtff ;)(;)(
Obiĉne dif.jednadţbe opisuju sustave s usredotočenim (koncentriranim) parametrima u
kojima dolazi do pretvorbe energije iz kinetiĉke u potencijalnu i obrnuto.
Vrijeme jedina neovisna varijabla. Nuţno poznavanje početnih uvjeta.
Parcijalna diferencijalna jednadžba - jednakost koja sadrţi dvije ili više neovisnih varijabli,
te jednu ili više ovisnih varijabli uz parcijalne derivacije ovisnih varijabli po neovisnim
varijablama.
Primjer: Jednadţba difuzije.
t
Tk
x
T
T=T(x,t) – ovisna varijabla koja predstavlja koncentraciju neke tvari na nekom poloţaju u
nekom vremenu.
x – pomak (neovisna varijabla)
t – vrijeme (neovisna varijabla)
Parcijalne diferencijalne jednadžbe – opisuju sustave s raspodijeljenim (distribuiranim)
parametrima kod kojih su elementi raspodijeljeni u prostoru.
Nuţno poznavanje početnih uvjeta i rubnih uvjeta (neovisne varijable su i vrijeme i poloţaj).
Parcijalne diferencijalne jednadţbe je općenito mnogo teţe za rješavati stoga se nadomještaju
nizom sustava s koncentriranim parametrima koji se onda mogu opisati obiĉnom
diferencijalnom jednadţbom ili sustavom obiĉnih diferencijalnih jednadţbi.
Moguće su i drugaĉije podjele diferencijalnih jednadţbi:
Predavanja iz automatike 2011
18
a) s vremenski nepromjenljivim koeficijentima (npr.
dt
dxy 2 )
b) s vremenski promjenljivim koeficijentima (npr.
dt
dxty 2
)
I još:
a) linearne dif.jednadţbe (sastoje se od zbroja linearnih ĉlanova)
b) nelinearne dif.jednadţbe (ostale)
Primjeri:
Linearna PDJ: t
Tk
x
T
Nelinearna ODJ (ima kvadratni ĉlan): 0
2
y
dt
dy
Linearnim DJ opisujemo linearne sustave. Linearan sustav –> vrijedi princip superpozicije.
Ponovimo još jednom princip superpozicije:
Odziv y(t) linearnog sustava koji je posljedica istovremenog djelovanja više ulaza x1(t),
x2(t),…,xn(t) jednak je zbroju odziva na svaki pojedinačni ulaz posebno:
n
i
i tyty1
)()(
2.1 Opis jednostavnih linearnih sustava diferencijalnim jednadžbama
Nema općenitog recepta za postavljanje matematiĉkog modela pomoću diferencijalne
jednadţbe. Nema opće metode za rješavanje svih tipova jednadţbi.
Opći zapis linearne diferencijalne jednadţbe s konstantnim koeficijentima:
)()()(
...)()(
0011
1
1 txbtyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
n
n
nn
n
n
(nehomogena dif.jednadţba)
Gdje je
x – ulazna varijabla (pobuda), y – izlazna varijabla (odziv)
an,…,a0 – konstantni parametri sustava
b0 – konstantni parametar pridruţen pobudi.
Ako na sustav djeluje vanjska pobuda -> neautonoman sustav – opisuje se nehomogenom
diferencijalnom jednadžbom (prethodni izraz).
Ako imamo vanjska pobuda oscilacijskog karaktera -> odziv sustava su prisilne oscilacije.
Ukoliko nema vanjske pobude -> autonoman sustav – opisuje se homogenom diferencijalnom
jednadžbom.
Predavanja iz automatike 2011
19
0)()(
...)()(
011
1
1
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
n
n
nn
n
n
Za autonoman sustav – uz odreĊene uvjete moţe doći do tzv. vlastitih oscilacija.
Ako uz tzatytx )()(
vrijedi atzaatyatx ,)()( onda je sustav vremenski nepromjenljiv tj ako se pobuda pomakne za vremenski interval a, i
odziv se pomakne za istu vrijednost.
Matematiĉko modeliranje moţe se temeljiti na:
- mjerenju
- fiziĉkim zakonima
- kombinaciji mjerenja i fiziĉkih zakona
Kombinirani pristup je najprikladniji – ujedno se vrši i meĊusobna provjera zakljuĉaka
dobivenih mjerenjem i primjenom teorije.
Neki najĉešći primjenjivani fiziĉki zakoni u razliĉitim podruĉjima:
ELEKTRIĈKI SUSTAVI OHMOV ZAKON
KIRCHOFFOVI ZAKONI
MEHANIĈKI SUSTAVI NEWTONOV ZAKON
D’ALAMBERTOV PRINCIP
TERMODINAMIĈKI SUSTAVI FOURIEROV ZAKON O PRIJENOSU TOPLINE
NEWTONOV ZAKON O HLAĐENJU
HIDRODINAMIĈKI SUSTAVI DARCYEV ZAKON O STRUJANJU
HAGEN-POISEUILLEOV ZAKON O STRUJANJU
Primjer modeliranja: RC krug
R – otpornost
C - kapacitivnost
Drugi Kirchoffov zakon (zbroj narinutih napona jednak je zbroju padova napona na pojedinim
elementima):
CCR UiRUUtU )(
u(t)
+
R
C uC
+
i
Predavanja iz automatike 2011
20
Napon kondenzatora UC razmjeran je naboju q:
CUCidtq
Dakle,
dt
dUCi
dt
dq C pa uz CCR UiRUUtU )( dobijemo
)(tUUdt
dUCR C
C .
Ovo je linearna diferencijalna jednadţba prvog reda s konstantnim koeficijentima.
Prvi red znaĉi da sustav ima jedan spremnik energije (kondenzator).
Primjer modeliranja: elementarni mehaniĉki sustav
Zadano (slika): M – masa; B – koeficijent
viskoznog trenja; S – koeficijent elastiĉnog
popuštanja.
Koristimo D’Alambertov princip:
Zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo
jednak je zbroju sila reakcije tj.
SBM ffftf )(
Gdje su izrazi za navedene sile
- Sila ubrzavanja mase
-
- Sila trenja
- Sila elastiĉnog popuštanja
Pa moţemo napisati
Sxdt
dxB
dt
xdMtf
2
2
)(
Dobiveni izraz predstavlja linearnu DJ drugog reda s konstantnim koeficijentima (dva
spremnika energije : masa kao spremnik kinetiĉke energije + opruga kao spremnik
potencijalne energije).
Ako u sustavu postoji n spremnika energije -> sustav n-tog reda -> opis dif. jednadţbom n-tog
reda.
MB
S
f(t), x
Sxf
dt
dxBf
dt
xdMf
S
B
M
2
2
Predavanja iz automatike 2011
21
Kada je DJ nekog dinamiĉkog sustava postavljena kaţemo da je odnos izmeĊu odzivne i
pobudne veliĉine izraţen u implicitnom obliku:
0,,,...,, )1()( txyyyF nn
Praksa traţi eksplicitni oblik: txfy , koji identiĉki zadovoljava postavljenu DJ.
Postoje 3 skupine metoda za rješavanje diferencijalnih jednadţbi:
- egzaktne analitičke metode (najtoĉnije, kod sloţenijih sustava zahtijevaju teţak i
dugotrajan rad). To je klasiĉno rješenje.
- numeričke metode (pribliţno rješenje – digitalna raĉunala)
- analogne metode (rješenje u grafiĉkom obliku)
Primjer: primjena egzaktne analitiĉke metode na MBS sustavu
- DJ drugog reda -> lako proširiti na sustave višeg reda
Znamo:
Sxdt
dxB
dt
xdMtf
2
2
)(
Pretpostavka: na sustav ne djeluje nikakva vanjska sila tj. f(t) = 0. Stoga, moţemo pisati
02
2
Sxdt
dxB
dt
xdM (Homogena DJ)
Rješenje homogene DJ naziva se komplementarna funkcija (XFK). Komplementarna funkcija
ovisi samo o sustavu, ne o pobudi. Smatramo da općenito ima eksponencijalni oblik:
t
FK eKX
Pa kada prethodni izraz uvrstimo u 02
2
Sxdt
dxB
dt
xdM , dobijemo karakteristiĉnu
jednadţbu: 02 SBM .
Ova karakteristiĉna jednadţba ima rješenja
M
S
M
B
M
B
2
2
2,142
pa je komplementarna funkcija:
tt
FK eKeKX 21
21
Gdje su K1 i K2 – konstante koje treba odrediti.
Predavanja iz automatike 2011
22
Komplementarnu funkciju nazivamo i prijelazno rješenje (slobodni odziv, dio ukupnog
rješenja koje teţi nuli za t ). Ovo vrijedi samo za stabilne sustave.
Sada uzmimo da na sustav djeluje vanjska pobuda f(t), a da je pohranjena energija u sustavu
jednaka nuli. Pobuda stalno donosi sustavu energiju. Nakon nekog vremena uspostavlja se
stacionarno stanje.
Stacionarno stanje opisujemo partikularnim integralom XPI koji ovisi o pobudi i sustavu.
Ako je pobuda konstantna sila 0)( Ftf , uvrštenje rješenja u izraz Sxdt
dxB
dt
xdMtf
2
2
)(
treba to i pokazati.
Pretpostavimo rješenje S
FX PI
0 i uvrstimo ga u Sxdt
dxB
dt
xdMtf
2
2
)( .
Dobijemo 0000)( F
S
FSBMtf ĉime je dokazana ispravnost pretpostavljenog
rješenja.
Partikularnim integralom ĉesto se naziva stacionarnim rješenjem (prinudni odziv) koji ne teţi
nuli za t . Ovo takoĎer vrijedi za stabilne sustave.
Sasvim općenito sustav ima i pohranjenu energiju i na njega djeluje vanjska pobuda: opće
rješenje DJ je zbroj prijelaznog i stacionarnog rješenja (princip superpozicije):
S
FeKeKXXX tt
PIFK0
2121
(totalni odziv)
Još iz poĉetnih uvjeta treba odrediti konstante integracije. Konstante integracije fizikalno
predstavljaju pohranjenu energiju u spremnicima sustava (potencijalna energija opruge
razmjernu poloţaju x i kinetiĉka energija mase razmjerna brzini dx/dt).
Pretpostavka: za t=0 –> x = 0, dx/dt = 0.
Ovo uvrstimo u opće rješenje:
0021
00
2
0
1 S
FKK
S
FeKeKX
i uz
02211221121 KKeKeK
dt
dx tt
moţemo odrediti konstante K1 i K2:
12
102
21
201
S
FK
S
FK
Predavanja iz automatike 2011
23
pa je opće rješenje:
121
21
1
21
20 ttee
S
FX
,
M
S
M
B
M
B
2
2
2,142
Uz poznate vrijednosti za F0, M, B, S dobije se numeriĉki oblik rješenja. Prikaz je najĉešće u
grafiĉkom obliku (apscisa t, ordinata odziv).
Primjer: zadana je DJ 0232
2
ydt
dy
dt
yd
- uz poĉetne uvjete 1)0(;0)0( dt
dyy
Ovo je homogena DJ. Karakteristiĉna jednadţba ove homogene DJ glasi:
1
2
2
13
2
893
023
2,1
2
odakle imamo tt eKeKy 2
21
Derivacija rješenja: tt eKeKdt
dy 2
21 2
Pa uz poĉetne uvjete imamo:
1,121
0
1)0(/;0)0(;0
21
21
21
KKKK
KK
dtdyyt
Te je rješenje: FK
tt Yeety 2)(
Grafiĉko rješenje:
t(s) 0 0.5 1 2 5 besk.
yFK(t) 0 0.239 0.233 0.117 0.007 0
t(s)
y(t)
Predavanja iz automatike 2011
24
Primjer: razni sustavi
Predavanja iz automatike 2011
25
2.2 Analiza u području kompleksne varijable (Laplaceova transformacija)
Jednostavnije rješavanje DJ!
Ideja: znak za derivaciju d/dt zamijeniti s operatorom s pa se, uz nulte poĉetne uvjete DJ:
)()()(
...)()(
0011
1
1 txbtyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
n
n
nn
n
n
pretvara u
XbYasasasa n
n
n
n 001
1
1 ...
što se rješava obiĉnim algebarskim postupkom – rezultat u Laplaceovom podruĉju.
Rješenje u vremenskom podruĉju: primjenom inverzne Laplaceove transformacije. Široko se
primjenjuje pri rješavanju linearnih diferencijalnih jednadţbi s konstantnim koeficijentima.
Laplaceova transformacija vremenski zavisne f(t) odreĊena je nepravim integralom:
0
)()( dtetfsF st
gdje je operator “s” definiran kao “kompleksna frekvencija”:
js
f(t) je realna funkcija realne varijable t definirana za t>0. Izraz e-st
predstavlja prigušenje.
Ako je nepravi integral apsolutno konvergentan, funkcija f(t) se moţe transformirati i tu
operaciju obiljeţavamo sa:
)()( tfLsF
Funkcija F(s) se moţe transformirati u vremenski zavisnu funkciju f(t) s pomoću inverzne
Laplaceove transformacije:
j
j
stdsesFj
tf )(2
1)(
Ili simboliĉki:
)()( 1 sFLtf
Praktiĉna korist LT:
U tablicama izraĉunati parovi f(t) i F(s) za najvaţnije funkcije
Predavanja iz automatike 2011
26
1
t
x(t) = u(t)
DJ se iz vremenskog (t) podruĉja pomoću tablica transformiramo u algebarske
jednadţbe u kompleksnom frekvencijskom podruĉju
Jednostavnije rješavanje algebarske jednadţbe u “s” podruĉju
Tabliĉno prebacivanje iz “s” u “t” podruĉja - > rješenje poĉetne DJ
Shematski prikaz primjene LT:
2.3 Standardne pobudne funkcije i njihova LT
2.3.1 Odskočna funkcija (step)
sss
edtedtetutuL
ststst 110
1)()(
000
Predavanja iz automatike 2011
27
t
x(t) = t
2.3.2 Uzlazna pravčasta funkcija
Gdje su ,dtedvtu st
pa je: sevdtdu st /
22
0000
1101*
sss
e
sdt
s
e
s
etvduuv
ststst
2.3.3 Impulsna (Diracova) funkcija
*1
lim1
lim
)()(1
lim
),(lim)()(
00
0
00
00
0
as
edte
a
dteatutua
dtetaudtettL
as
a
a
st
a
st
a
st
a
st
Riješit ćemo je primjenom L’Hospitalovog pravila za 0/0
1
)(
1
lim*
s
s
da
asdda
ed as
2.3.4 Eksponencijalna funkcija
assasa
edtedteeeL
tsatsastatat
1
)(
10
)(00
)(
0
2.3.5 Sinusna funkcija
22
0
0 0
2
1
2
1sinsin
ssj
e
sj
e
j
dteeej
dtettL
tsjtsj
sttjtjst
Predavanja iz automatike 2011
28
2.3.6 Tablica korespondentnih funkcija
Predavanja iz automatike 2011
29
2.3.7 Laplaceove transformacije nekontinuiranih funkcija
2.3.8 LT operacija deriviranja i integriranja
Ova LT nuţna je za rješavanje diferencijalnih jednadţbi
a) LT derivacije
)0()()(
fsFsdt
tdfL
Predavanja iz automatike 2011
30
gdje je f(0+) vrijednost funkcije f(t) neposredno nakon t=0, što je dovoljno da se
promijeni vrijednost odskoĉne funkcije, a nedovoljno da se promijene sve fiziĉke
varijable koje se mijenjaju u konaĉnom vremenu.
b) LT integracije
s
f
s
sFdttfL
)0()()(
)1(
gdje je:
dttfft
)(lim)0(0
)1(
dok s
f )0()1(
predstavlja konstantu integracije.
Derivacije višeg reda
Transformacija derivacije je zapravo mnoţenje, a transformacija integracije je dijeljenje s
operatorom “s”.
2.3.9 Dodatna svojstva LT
a) Teorem linearnosti
)()()()(
)()()()(
)()(
2121
2121
sbFsaFtbftafL
sFsFtftfL
sFatfaL
a za inverznu LT:
)()()()(
)()()()(
)()(
2121
1
2121
1
1
tbftafsbFsaFL
tftfsFsFL
tfasFaL
što sve vrijedi za t>=0.
Predavanja iz automatike 2011
31
b) Teorem prigušenja
)()(
)()(
asFtfeL
asFtfeL
at
at
c) Teorem pomaka
)()(
)()(
sFeatfL
sFeatfL
as
as
d) Teorem početne vrijednosti
)(lim)(lim0
ssFtfst
e) Teorem konačne vrijednosti
)(lim)(lim0
ssFtfst
f) Teorem vremenskog skaliranja
asFaa
tfL
g) Teorem frekvencijskog skaliranja
atfaa
sFL
1
2.4 Inverzna Laplaceova transformacija
Osnovna ideja:
funkciju F(s) rastaviti na zbroj jednostavnih parcijalnih razlomaka
jednostavne parcijalne razlomke pomoću L-tablica transformiramo u t podruĉje
primijenimo teorem linearnosti na pojedinaĉna rješenja
Regulacijske sustave opisujemo funkcijom u obliku:
Predavanja iz automatike 2011
32
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sN
sBsF
n
n
n
m
m
m
m
gdje mora biti n>=m, a koeficijent uz sn = 1.
Pišemo nazivnik u tzv. faktorskom obliku:
nssssss
sB
sN
sBsF
...
)(
)(
)()(
21
gdje su si korijeni nazivnika, dakle vrijednosti za koje je N(s)=0.
Nadalje, pišimo prethodni izraz kao zbroj parcijalnih razlomaka:
n
n
i
i
ss
K
ss
K
ss
K
ss
K
sN
sBsF
......
)(
)()(
2
2
1
1
gdje su koeficijenti Ki konstante koje treba izraĉunati.
U teoriji kompleksne varijable nazivaju se rezidui (ostaci) funkcije F(s) u singularnoj toĉki
s=-si. Korijeni nazivnika mogu biti realni i razliĉiti, realni koji se ponavljaju i konjugirano
kompleksni.
a) Realni i različiti korijeni
Koeficijenti Ki dobit će se mnoţenjem jednadţbe
n
n
i
i
ss
K
ss
K
ss
K
ss
K
sN
sBsF
......
)(
)()(
2
2
1
1
sa (s+si):
n
ini
iii
ss
ssKK
ss
ssK
ss
ssK
sN
sBss
......
)(
)(
2
2
1
1
Uz s=-si dobit će se koeficijent Ki:
nii
ssiissssssss
sBsFssK
i
......
)()(
111
…obratnu transformaciju pojedinog ĉlana nalazimo iz tablice
0,1
teKss
KL
ts
i
i
i i
Predavanja iz automatike 2011
33
dok je cijela inverzna transformacija funkcije F(s):
ts
n
ts
i
ts ni eKeKeKsFL ......)( 1
1
1
b) Višestruki realni korijeni
Sloţeno traţenje koeficijenata.
Primjer: dvostruki korijen
221
1
)(
)()(
sssssN
sBsF
Rastavljanje vršimo na sljedeći naĉin:
22
22
2
21
1
1
)(
)()(
ss
K
ss
K
ss
K
sN
sBsF
Parcijalna ekspanzija mora sadrţavati sve potencije. Koeficijenti K1 i K22 se raĉunaju kao u
primjeru a) uz s=-s1 odnosno s=-s2.
Za izraĉunavanje K21 mnoţimo
22
22
2
21
1
1
)(
)()(
ss
K
ss
K
ss
K
sN
sBsF
sa 22ss i derivirajmo po s:
212
1
2
2121
22122
1
2
21
2
2
2
)(
Kss
ssssssK
ssKKss
ssK
ds
dsFss
ds
d
uz s=-s2 na desnoj strani ostaje samo K21, dakle:
2
)(2
221 sssFss
ds
dK
Općenito za korijene koji se ponavljaju n puta imamo:
)1(,...,2,1,)(1
, nksFss
ds
d
kK
iss
n
ik
n
kni
Predavanja iz automatike 2011
34
c) Konjugirano kompleksni korijeni
Zapoĉnimo od općenitijeg jednostavnog primjera:
jbas
K
jbas
K
ss
K
ssjbasjbas
ssbassN
sBsF
22
1
1
1
1
22
1
1
)(
)()(
Koeficijente izraĉunamo na sljedeći naĉin:
jbasbj
sFjbasK
jbasbjsFjbasK
bassFssK
jbas
jbas
ss
1
2
1
2
22
1
11
2
1)(
2
1)(
1)(
1
odakle moţemo zakljuĉiti da su 22 KiK konjugirano kompleksan par. Inverzna
transformacija od F(s) je:
tjbatjbats
eKeKeKtf 221
1)(
kako su 22 KiK konjugirano kompleksan par vrijedi:
tjbajtjbajts
eeKeeKeKtf
2211)(
Koristeći Eulerove formule moţemo pisati:
bteKeK
eeeKeKtf
atts
btjbtjatts
cos2
)(
21
21
1
1
gdje se amplituda K2 i fazni kut odreĊuju iz:
b
asarctg
K
Karctg
basbK
1
2
2
22
1
2
Re
Im
2
1
Predavanja iz automatike 2011
35
2.5 Primjeri rješavanja DJ pomoću LT
Na temelju pravila raĉunanja s pomoću LT linearnu diferencijalnu jednadţbu (LDJ)
rješavamo na slijedeći naĉin:
1) Svaki ĉlan LDJ transformiramo iz vremenskog (t) podruĉja u frekvencijsko (s)
podruĉje
2) U tako dobivenoj jednadţbi s pomoću algebarskih operacija naĊemo rješenje F(s) i u
to rješenje uvrstimo vrijednosti za poĉetne uvjete.
3) Rješenje F(s) je u obliku razlomljene racionalne funkcije; ako je nazivnik višeg reda,
rastavljamo F(s) u zbroj parcijalnih razlomaka.
4) Svaki ĉlan tako dobivene jednadţbe transformiramo iz “s” u “t” podruĉje (ponekad
nije neophodno).
Primjer 1:
Pomoću LT riješimo DJ:
teyy ako je poĉetni uvjet y(0) = 3, a ostali poĉetni uvjeti su jednaki 0.
1
1
)(
3)()0()(
seL
sYyL
ssYyssYyL
eLyyL
t
t
Pa dobijemo:
1
1)(3)(
ssYssY
odnosno:
11
23)(
ss
ssY
2
5
11
23
1
23)(1
2
1
11
23
1
23)(1
11)(
112
111
21
ss
ss
s
ssYsK
s
ssYsK
s
K
s
KsY
Dobijemo:
Predavanja iz automatike 2011
36
1
1
2
5
1
1
2
1)(
sssY
odnosno:
tt eesYLty 2
5
2
1)()( 1
Primjer 2:
Pomoću LT odredimo odziv sustava y(t) definiranog DJ:
)(3
3
txdt
dy
dt
yd
ako je )()( ttx Diracova delta funkcija. Svi poĉetni uvjeti su jednaki 0.
Pišemo:
111
1)(
1)()(
221
2
3
js
K
js
K
s
K
sssY
ssYsYs
odnosno:
2
1
1
1)(1
2
1
1
1)(1
11
1)(
1
13
1
12
0
201
js
js
js
js
ss
jsssYjsK
jsssYjsK
sssYK
Pa imamo:
ttuty
s
s
sjsjsssY
cos)()(
1
1
1
1
1
1
2
11)(
2
Predavanja iz automatike 2011
37
21
2
211
21
1
2
)(
)()(
ZZ
Z
ZZI
ZI
sU
sUsW
Z1
Z2
ULAZ
u (s)1
IZLAZ
u (s)2
I1
422
432221
222111
0
ZIU
ZZZIZI
ZIZZIU
3. Prijenosna funkcija
Opći oblik linearne diferencijalne jednadţbe:
xbdt
dxb
dt
xdb
dt
xdbya
dt
dya
dt
yda
dt
yda
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n 011
1
1011
1
1 ......
Koeficijenti an,..., a0, bm,..., b0 – konstante, n ≥ m
y – izlazna varijabla, x – ulazna varijabla
Laplaceova transformacija prethodnog izraza:
)()(...)()()(...)( 0101 sXbssXbsXsbsYassYasYsa m
m
n
n
01
01
0101
...
...)(
)(
)(
...)(...)(
asasa
bsbsbsW
sX
sY
bsbsbsXasasasY
n
n
m
m
m
m
n
n
Primjer 1:
Primjer 2:
Z1
Z2
ULAZ
U1
IZLAZ
U2
I1
Z3
Z4I2
?)(
)()(
1
2 sU
sUsW
u vremenskom
podruĉju
u Laplaceovom
podruĉju
prijenosna
funkcija
212
2111
ZIU
ZZIU
Predavanja iz automatike 2011
38
Riu RR
Prisjetite se: CRAMEROVO PRAVILO
• daje formulu za rješenje sustava linearnih jednadţbi kada je matrica sustava regularna.
• T: Neka je A regularna matrica i neka je Di determinanta matrice koja se dobije kada se i-
ti stupac matrice A zamijeni s vektorom b. Tada su komponente rješenja sustava Ax = b
dane s
ii
iA
Dx
)det(
422
432221
222111
0
ZIU
ZZZIZI
ZIZZIU
Dalje pišemo:
4232413121
4322
221
22
ZZZZZZZZZZZZZZ
ZZZ
I
12
2
121
20
UZZ
UZZ
Pa je
4232413121
1424
22
ZZZZZZZZZZ
UZZZU
I konaĉno, prijenosna funkcija :
4232413121
42
1
2
)(
)()(
ZZZZZZZZZZ
ZZ
sU
sUsW
3.1 Prijenosne funkcije jednostavnih mreža
Otpornik R:
)()( sIRsU RR
RsI
sUsZ
R
RR
)(
)()(
u t podruĉju mala slova
u Lap. podruĉju velika
slova
Predavanja iz automatike 2011
39
dtiC
u CC
1
s
sI
CsU C
C
)(1)(
sCsI
sUsZ
C
CC
1
)(
)()(
dt
diLu L
L
Z1
Z2
Z1 Z2
Kondenzator C :
Zavojnica L :
Znamo :
21
21
ZZ
ZZZuk
21 ZZZuk
Poznavanjem prijenosne funkcije i pobude sustava moţemo izraĉunati izlaz (odziv) sustava:
)()()()(
)()( sUsWsU
sU
sUsW ulizl
ul
izl
)()( sIsLsU LL
sLsI
sUsZ
L
LL
)(
)()(
Predavanja iz automatike 2011
40
Definicija:
Prijenosna funkcija je omjer Laplaceove transformacije signala na izlazu i Laplaceove
transformacije signala na ulazu uz nulte početne uvjete.
Dalje moţemo pisati:
'1'
'1'
01
01
...
...)(
asas
bsbsKsW
nn
mm
n
m
ili
))...()((
))...()(()(
21
21
n
m
pspsps
zszszsKsW
- z1, z2,...,zm – nultoĉke brojnika (nule W(s), o)
- p1, p2,...,pn – nultoĉke nazivnika (polovi W(s), x)
Općenito:
)(
)()(
1
1
j
n
j
i
m
i
ps
zsKsW
Zadatak 1:
Odredite prijenosnu funkciju sustava čija je dinamika opisana diferencijalnom jednadžbom
xxyyy 4''3''
Y – izlaz
X – ulaz
13
4
)(
)()(
4)(13)(
)(4)()()(3)(
2
2
2
ss
s
sX
sYsW
ssXsssY
sXssXsYssYsYs
Predavanja iz automatike 2011
41
Zadatak 2:
Odredite prijenosnu funkciju sustava čije je pojačanje K = 7, a raspored polova i nula je
prikazan na slici 19
Slika 19. Zadatak 2. raspored nula i polova
Općenito vrijedi
)(
)()(
1
1
j
n
j
i
m
i
ps
zsKsW
Gdje je n – broj polova, m – broj nula
Dakle, za naš sluĉaj imamo : K = 7, m = 2, n = 4
)54(
)3)(1(7
)12)(12(
)3)(1(7)(
22
sss
ss
jsjsss
sssW
P1 = 0
P2 = 0
P3 = -2+j1
P4 = -2-j1
Z1 = -1
Z2 = -3
Predavanja iz automatike 2011
42
Zadatak 3:
Odredite prijenosnu funkciju sustava prikazanog na slici 20
Slika 20. Zadatak 3.
134
3
92
3
)(
)()(
11)()(
92
33sin)()(
22
2
2
ss
s
s
s
sX
sYsW
sLtxLsX
steLtyLsY t
Predavanja iz automatike 2011
43
Zadatak 4:
Za RC mrežu na slici odredite napon na izlazu ako je na ulazu jedinična odskočna pobuda
(Slika 21).
Slika 21. Zadatak 4. R1 = R2 = 1 MΩ
22
1
1
1
1
11
)(
11
1
)(
RsZ
sCR
R
CsR
CsR
CRsZ
1
2
2121
221
2
1
1
2
21
2
2
1
1
)(U
U
s
s
sCRRRR
RsCRR
RsCR
R
R
ZZ
ZsW
22
1)(
1
2
1)()()(
2
12
s
B
s
A
ss
ssU
ss
ssUsWsU
2
2
2
1
ss
BsAAs
ss
s
ABAss 21
Pa je
2
1;
2
1
12
1
BA
A
BA
Nadalje:
2
1
2
11
2
1)(2
ss
sU
-1
Predavanja iz automatike 2011
44
2
21
2
21
sCC
sCC
Konaĉno:
tetu 2
22
1
2
1)(
2
1)(
1)0(
2
2
tu
tu
Zadatak 5:
Odredite odziv RC mreže prema slici 22
Slika 22. 24
2
3
1
211 ;1
;1
; RZsC
ZsC
ZRZ
Moţemo pisati (poznato od prije):
sC
R
sCCRR
sC
R
sC
R
sC
R
sW
ZZZZZZZZZZ
ZZsW
1
2
2
21
21
2
1
1
1
1
2
4232413121
42
1)(
)(
1)(
221121
2
2121
22
sCRCRCRsCCRR
sCRsW
Uvrštavanjem vrijednosti otpornika i kondenzatora dobijemo:
1
2
2 13)(
U
U
ss
ssW
Sada dovodimo step na ulaz:
Predavanja iz automatike 2011
45
sss
ssUsWsU
1
13)()()(
212
13
1)(
22ss
sU 38.062.238.062.2
1
s
B
s
A
ss
Izraĉunajmo koeficijente A i B:
45.045.0124.2162.238.0
0
162.238.0
ABBBA
BAsBAs
sBsA
i uvrstimo ih:
38.0
45.0
62.2
45.0)(2
sssU
Prebacimo se sad u vremensko podruĉje ( ):
tt eetu 62.238.0
2 45.045.0)(
Za kvalitativno crtanje izlaznog signala uvrstimo:
0)(
0)0(
2
2
tu
tu
Pa imamo:
Predavanja iz automatike 2011
46
3.2 Prijenosna funkcija sklopa s operacijskim pojačalom
Izvedimo prijenosnu funkciju sklopa s operacijskim pojaĉalom. Shema je prikazana na slici
23.
Slika 23. Jednostavni sklop s operacijskim pojaĉalom. Z2 – impedancija povratne grane
ig – struja koja ulazi u operacijsko pojaĉalo. Unap+/nap- – istosmjerni napon napajanja OP (poz. i
neg.); AUulaz – naponski izvor ovisan o padu napona na Rul ; U+ - neinvertiajući ulaz; U- -
invertirajući ulaz; Uizlaz – izlazni napon
?)(
)()(
1
2 sU
sUsW
Ĉetiri najvaţnija svojstva idealnog operacijskog pojaĉala:
1. Beskonaĉno pojaĉanje
A
2. Ulazna impedancija beskonaĉno velika
Zul
3. Izlazna impedancija = 0
Ziz 0
4. Propusni pojas (frekvencijski opseg) neograniĉen P.P.
Pri rješavanju koristimo metodu ĉvora, a ne metodu petlje (ne moţemo definirati petlje).
Dakle:
giii 21
Kako za idealno operacijesko pojaĉalo vrijedi 0 gul iZ pa moţemo pisati
002
2
1
121
Z
UU
Z
UUii AA
Predavanja iz automatike 2011
47
Za idealno operacijsko pojaĉalo vrijedi
UA = 0 (objašnjenje u okviru)
pa moţemo pisati 02
2
1
1 Z
U
Z
U
odakle dobijemo prijenosnu funkciju sklopa
1
2
1
2
)(
)()(
Z
Z
sU
sUsW
Za drugaĉiji raspored elemenata, biti će drugaĉija i prijenosna funkcija (mi ćemo koristiti
samo ovu sliku i formulu).
3.3 Osnovni elementi mehaničkih sustava
Prvi osnovni element: opruga
a ) translacijski sustavi:
b) rotacijski sustavi:
Potrebno je napomenuti da ovdje prikazani izrazi vrijede kod malih pomaka i zakreta, u
sluĉaju velikih pomaka imamo nelinearnost.
Drugi osnovni element: prigušenje
a) translacijsko prigušenje - prikazuje se pomoću sustava klip - cilindar
Negativna povratna veza sklopa sa slike 24 nastoji
odrţati napon na invertirajućem ulazu U- jednak
naponu na neinvertirajućem ulazu U+, koji je
uzemljen (0 V). Naime, što U- postaje pozitivniji,
izlaz postaje negativniji, pa preko Z2 ulaz U- postaje
negativniji.
Sliĉno, što je U- negativniji, izlaz postaje pozitivniji
što za posljedicu ima povećanje pozitivnosti U-.
Za idealno pojaĉalo, pojaĉanje je beskonaĉno,
stabilizacija je savršena i ulaz U- je stalno na 0 V.
Stoga je ulazni napon operacijskog pojaĉala U+ - U-
jednak nuli tj. vrijedi 0 UU
f(t) – sila
S – koeficijent opruge
(elastiĉnosti)
xStf )(
Na kraj se dovodi vanjski moment
m(t), zakrene se za ,
k je koeficijent opruge:
ktm )(
B – koeficijent viskoznog trenja
21 xx : razlika brzina u prigušnom elementu
Relacija koja opisuje ponašanje ovog mehaničkog
translacijskog prigušenja:
21)( xxBtf
Predavanja iz automatike 2011
48
b) rotacijsko prigušenje
Treći osnovni element: inercija
a) u translacijskim sustavima
b) inercija u rotacijskim sustavima (predstavlja se diskom koji rotira)
Mehanički transformatori
a) Mehaniĉki translacijski transformator (poluga)
D – koeficijent trenja ulja
Relacija :
21)( Dtm
Relacija :
xmtf )(
J – moment inercije
Relacija :
Jtm )(
0
0
BBAA
C
rFrF
M
nr
r
F
F
B
A
B
A - omjer transformacije
B
A
BB
AA
k
kn
kr
kr
cos
cos
Predavanja iz automatike 2011
49
b) Mehaniĉki rotacijski transformator (zupĉanici)
21 FF (gubitke zanemarujemo)
Primjer 1)
Sustav pruga – masa – prigušenje
Za jednostavnu mehaniĉku tranformacijsku mreţu sa slike 24 napišite diferencijalnu
jednadţbu i odredite prijenosnu funkciju
?)(
)()(
sF
sXsW
D’ALEMBERTOV PRINCIP
Dodamo li nekom sustavu sila i silu inercije, tj. silu kojom se
tijelo odupire gibanju, sustav će biti u ravnoteţi.
ili
D’ALEMBERTOV PRINCIP
Suma vanjskih sila narinutih na neki translacijski sustav mora biti
jednaka sumi sila reakcije.
Silu gravitacije ne uzimamo u obzir jer je x = 0 uzeto u poloţaju statiĉke ravnoteţe.
Pretpostavka: masa se kreće prema dole.
Posljedica:
Opruga se rasteţe.
Sila opruge djeluje prema gore (suprotstavlja se akceleraciji prema dole).
Kretanje mase prema dole – prigušna sila usmjerena gore.
Vanjska sila pomaţe kretanje prema dole (+ predznak).
Dakle:
T – zakretni moment
d – promjer zupĉanika
Zupĉasti prijenos:
1
2
2
1
1
2
T
T
d
dn
222
111
FrT
FrT
F1
F2
Slika 24.
Predavanja iz automatike 2011
50
Slika 25. Rotacija – izlaz; ulazni
moment - ulaz
)(tffff SBm
xSxBxmtf
ffftf SBm
)(
)(
gdje je B koeficijent viskoznog trenja, S koeficijent opruge, f(t) vanjska sila (ulaz), a x
rezultantni pomak.
Prebacivanjem u Laplaceovo podruĉje dobijemo
)()()()( 2 sXSsXsBsXsmsF
pa je prijenosna funkcija
SsBsmsF
sXsW
2
1
)(
)()( .
Primjer 2)
Za mehaniĉku rotacijsku mreţu sa slike 25
napišite diferencijalnu jednadţbu i odredite
prijenosnu funkciju.
?)(
)()(
sM
ssW
Sukladno D'Alambertovom principu moţemo
napisati
kDJ mmmtm )( ili )(tmmmm kJD
kDJtm
mmmtm kDJ
)(
)(
tj. u Laplaceovom podruĉju
)()( 2 skDsJssM
pa je traţena prijenosna funkcija rotacijskog sustava
ksDsJsM
ssW
2
1
)(
)()(
Predavanja iz automatike 2011
51
Primjer 3)
Odredite prijenosnu funkciju )(
)()( 1
sX
sXsW za mehaniĉku translacijsku mreţu sa slike 26.
Slika 26. Translacijska mreţa za primjer 3.
- pomak mase m1 je razliĉit od pomaka mase m
- na m djeluje sila f(t)
- na m1 nema vanjskih sila
1. Opisujemo gibanje mase m :
1111)( xxBxxSxmxStf (1)
2. Opisujemo gibanje mase m1 :
xxBxxSxm 1111110 (2)
Izraze (1) i (2) prebacimo u Laplaceovo podruĉje:
)()()( 11111
2 sXSsBsXSSsBsmsF (3)
)()(0 111
2
111 sXSsBsmsXsBS (4)
iz izraza (4) dobijemo
)()( 111
2
111 sXSsBsmsXSsB
11
2
1
111
)(
)()(
SsBsm
SsB
sX
sXsW
(pišemo po potencijama).
Primijetimo da je, zbog naĉina na koji je zadana prijenosna funkcija, jednadţba prvog dijela
sustava (1) bila suvišna.
Predavanja iz automatike 2011
52
4. Algebra blokova
Radi što zornije predodţbe sloţene sustave najĉešće prikazujemo grafiĉki pomoću tzv. blok-
dijagrama.
Algebra blokova: matematiĉki postupci vezani uz rješavanje problema blok-dijagrama.
Pod algebrom blokova podrazumijevamo postupak saţimanja blokova sloţenog sustava u
jedan jedini blok najĉešće s jednom ulaznom i jednom izlaznom veliĉinom.
Slika 27. Blok prikaz sustava
4.1 Pravila algebre blokova
4.1.1 Osnovna pravila algebre blokova
1) Serijski spoj
2) Paralelni spoj
3) Povratni spoj (Povratna veza)
G – prijenosna funkcija direktne grane
H – prijenosna funkcija povratne grane (ako je H = 1 – negativna povratna veza)
Predavanja iz automatike 2011
53
4.1.2 Dodatna pravila algebre blokova
1) Prebacivanje toĉke grananja u smjeru toka signala
Ako se točka grananja prebacuje u smjeru toka signala, prijenosna funkcija grane koja se
prebacuje dijeli se sa prijenosnom funkcijom grane preko koje se prebacuje.
2) Prebacivanje toĉke grananja u smjeru suprotnom od toka signala
Ako se točka grananja prebacuje suprotno od toka signala, prijenosna funkcija grane koja se
prebacuje množi se sa prijenosnom funkcijom grane preko koje se prebacuje.
3) Prebacivanje toĉke zbrajanja u smjeru toka signala
Ako se točka zbrajanja prebacuje u smjeru toka signala, prijenosna funkcija grane koja se
prebacuje množi se sa prijenosnom funkcijom grane preko koje prebacujemo.
Predavanja iz automatike 2011
54
4) Prebacivanje toĉke zbrajanja u smjeru suprotnom od toka signala
Ako se točka zbrajanja prebacuje u smjeru suprotnom od toka signala, prijenosna funkcija
grane koja se prebacuje dijeli se sa prijenosnom funkcijom grane preko koje prebacujemo.
Moţe se zamijeniti toĉke grananja bez mijenjanja prijenosne funkcije:
Mogu se zamijeniti i toĉke zbrajanja bez mijenjanja prijenosne funkcije:
Toĉka zbrajanja i toĉka grananja se ne zamjenjuju
Predavanja iz automatike 2011
55
4.2 Primjeri
Primjer 1
Odredite prijenosnu funkciju sustava sa slike:
Primijenjujemo pravilo prebacivanja toĉke zbrajanja u smjeru suprotnom od toka signala !
Nakon prvog koraka:
Pojednostavnimo!
Nakon drugog koraka:
Dalje imamo:
H
G
Predavanja iz automatike 2011
56
Rješavanje je sada poznato:
2211
21
1
2
11
21
11
21
1
11
1
1 HGHG
GG
G
H
HG
GG
HG
GG
HG
G
X
Y
Odnosno:
Primjer 2
Odredite izlazni signal (Y = ?) sustava sa 2 ulaza prema slici:
Primijenimo superpoziciju!
2121 ,010,1 XXXXYYY
A: X1, X2 = 0
1
21
21
1
1
1Y
HGG
GG
X
Y
B: X1 = 0, X2
Pa imamo:
Predavanja iz automatike 2011
57
2
12
2
12
2
2
2
11Y
HGG
G
HGG
G
X
Y
Ukupni signal je dakle:
211
21
2
21
22
21
12121
111XXG
HGG
G
HGG
XG
HGG
XGGYYY
Sustav smo mogli riješiti i na drugi naĉin:
Sa slike:
12
21
GAXB
HGBXA
pa je
HGGBGXXB 21112
12
21
GAXB
HGBXA
HGGBGXXB 21112
Predavanja iz automatike 2011
58
I dalje:
HGG
XGXB
GBY
21
211
2
1
Pa je izlaz jednak:
211
21
2
1XGX
HGG
GY
.
Primjer 3
Odredite prijenosnu funkciju sustava sa slike:
G3G1
y
H1
x
B
G2
H2
D C
A
Prebacimo izlaz iz bloka H2 sa toĉku zbrajanja C u D. Prebacimo i granu koja iz toĉke
grananja A ide u blok H1 na toĉku grananja B. Nakon prebacivanja imamo:
G3G1
y
H1
x
G2
H2
G3
G1
Pišemo:
)()()()( 3211 sGsGsGsW
jer su blokovi G1(s), G2(s) i G3(s) vezani kaskadno. TakoĊer, moţemo pisati
Predavanja iz automatike 2011
59
)()(
)()()()(
)(
)(
)(
)()(
31
3211
1
2
3
12
sGsG
sGsHsGsH
sG
sH
sG
sHsW
jer su blokovi H1(s)/G3(s) i H2(s)/G1(s) vezani paralelno. Stoga moţemo dobiveni sustav
prikazati kao klasiĉni povratni prijenos:
Pa je prijenosna funkcija:
)()()()()()(1
)()()()(
)()(
)()()()()()()(1
)()()()(
)()(1
)(
)(
)()(
232121
321
31
3211321
321
21
1
sHsGsGsHsGsG
sGsGsGsW
sGsG
sGsHsGsHsGsGsG
sGsGsGsW
sWsW
sW
sX
sYsW
Primjer 4
Odredite odziv Y(s) sustava sa slike:
G1
yx
G2
H2H1
x3
x2
Primijenimo metodu superpozicije:
Predavanja iz automatike 2011
60
a)
2121
121111
2121
21
1
1132
1
10
HHGG
XGGXWY
HHGG
GG
X
YWXX
b)
2112
22222
2112
2
2
2231
1
10
HHGG
XGXWY
HHGG
G
X
YWXX
c)
2121
3211333
2211
211
3
3321
1
10
HHGG
XGGHXWY
HGGH
GGH
X
YWXX
Konaĉno:
2121
3112112321
1 HHGG
XHGXXGGYYYY
Primjer 5
Odredite prijenosnu funkciju sustava sa slike:
C
AU(s) Y(s)
B
Prebacivanje toĉke zbrajanja u smjeru suprotnom od toka signala !
C
AU(s) Y(s)
B
Prebacivanje toĉke grananja u smjeru toka signala !
Predavanja iz automatike 2011
61
C
AU(s) Y(s)
B
1/B
Blokovi A i B su u kaskadi, a blokovi C i 1/B paralelno spojeni.
-C + 1/B
U(s) Y(s)AB
Ovo je povratna veza pa imamo
U(s) Y(s)AB
1+ABC-A
Dakle, prijenosna funkcija je
AABC
AB
sU
sYsW
1)(
)()(
Primjer 6
Odredite prijenosnu funkciju sustava sa slike:
AU(s) Y(s)
B C E
F
G
H
Nakon sreĊivanja osjenĉanog dijela imamo
Predavanja iz automatike 2011
62
Dakle, sada moţemo u jedan blok staviti A, B/(1+BF) i C. TakoĊer moţemo prebaciti i izlaz
iz bloka H kako je prikazano na gornjoj slici.
Dalje:
U(s) Y(s)ABC
1+BF+ G
E
1+EGH
Odnosno, konaĉno dobijemo:
U(s) Y(s)ABCE + GE + BEFG
(1+BF) (1+EGH)
Predavanja iz automatike 2011
63
Zadatak za samostalnu vjeţbu (sa rješenjem):
U(s) Y(s)A(B + C)
1 + AE (1 + CD)
AU(s) Y(s)
B
C
E
X(s)
D
Z(s)
I(s) H(s)J(s)K(s)
Predavanja iz automatike 2011
64
5. Analiza sustava u vremenskom području
Rješenje dif.jednadţbe opisuje vremenski tok odzivne funkcije uz proizvoljni tok
pobudne funkcije.
Kod stvarnih sustava – pobudna funkcija uglavnom sluĉajnog karaktera (teško
matematiĉki opisati)
Zakljuĉivanje o ponašanju sustava pomoću standardnih pobudnih funkcija
Analiza u vremenskom podruĉju – standardne pobudne prijelazne funkcije.
5.1 Standardne pobudne prijelazne funkcije
5.1.1 Jedinična odskočna funkcija (jedinični odskok / jedinični step)
Definira se kao:
0,1
0,0)()(
t
ttutf
ako je vremenski pomaknuta za interval “a” onda je definiramo kao:
at
atatu
,1
,0)(
Ova funkcija je idealizirani prikaz nekog fiziĉkog stanja jer ne postoji fiziĉka veliĉina koja se
moţe trenutno promijeniti.
Slika: Jedinična odskočna funkcija
1
0 ta
u(t)
u(t-a)
Predavanja iz automatike 2011
65
1
0 t
f(t)
t
1
5.1.2 Jedinična nagibna funkcija / jedinična uzlazna pravčasta funkcija
Definira se kao:
0,
0,0)(
tt
ttf
pa je moţemo pisati i kao tu(t).
Moţemo je shvatiti kao vremenski integral jediniĉnog odskoka:
tt
tdtdttutf00
1)()(
Slika:
Jedinična
nagibna
funkcija
5.1.3 Jedinična parabola
Definira se kao:
0,2/
0,0)(
2 tt
ttf ili )(
2
2
tut
Moţemo je shvatiti i kao vremenski integral jediniĉne nagibne funkcije:
2)(
2
0
ttdttf
t
.
Slika:
Jedinična
parabola
0,5
0 t
f(t)
t /22
1
Predavanja iz automatike 2011
66
0 t
f(t)
(t)
a
(t-a)
5.1.4 Jedinična impulsna funkcija / Jedinična Diracova funkcija
Definira se kao impuls neizmjerno velike amplitude i neizmjerno kratkog trajanja:
0,0
0,
0,0
)()(
t
t
t
ttf
Ovu funkciju dobijemo deriviranjem odskoĉne funkcije:
dt
tdut
)()(
Jediniĉna impulsna funkcija zatvara jediniĉnu površinu (zato je jediniĉna):
1)()()(
)(
tutdudtdt
tdudtt
Slika:
Jedinična
impulsna
funkcija
Ĉetiri standardne pobudne funkcije su meĊusobno povezane. Kod istraţivanja regulacijskih
sustava mogu dati odgovore na bitna pitanja o ponašanju sustava.
5.2 Prijelazna funkcija
Ĉest pojam:
impulsni odziv (odziv sustava na impulsnu pobudu)
odskoĉni odziv (odziv sustava na odskoĉnu pobudu)
Ukoliko nema posebnog objašnjenja, podrazumijeva se odziv linearnih vremenski
invarijantnih sustava na pobudu u obliku odskočne funkcije.
Definicija prijelazne funkcije:
“Prijelazna funkcija h(t) je kvocijent odziva i pobudne odskočne funkcije amplitude X”:
)(
)()(
tXu
tYth
Predavanja iz automatike 2011
67
+R1
R2
uizl
uul +
1
0 t
uul
1
0 t
uizl
k up ul
Ako odaberemo jediniĉnu odskoĉnu funkciju X = 1, onda je prijelazna funkcija po obliku
identiĉna odzivnoj funkciji
1
)(
)(
)(
)(
)()(
tY
tu
tY
tXu
tYth
5.3 Vremenski odziv osnovnih sustava
Realni regulacijski sustavi mogu se razloţiti na niz jednostavnijih podsustava koji su
pogodniji za analizu. Svodimo ih na tzv. osnovne podsustave ili osnovne članove :
proporcionalni članovi nultog, prvog i drugog reda
integracijski članovi
derivacijski članovi
član s vremenskom zadrškom
5.3.1 Proporcionalni član nultog reda (P0 – član)
Primjer elektriĉnog potenciometra odnosno djelitelja napona
Slika desno
Pobuda (gore) i
odziv P0 člana (dole)
Kp se općenito naziva prijenosni omjer (ako su ulazna i izlazna veliĉina razliĉite fiziĉke
veliĉine ili pojačanje (ako su ulazna i izlazna veliĉina iste fiziĉke veliĉine).
P0 ĉlan – pojačivački član
Kp < 1 -> prigušenje (pasivni sustavi)
Za izlazni napon moţemo pisati:
)()(
)(
21
2 thtu
tuKuKu
RR
Ru
ul
izlpulpulizl
ulpulizl ukuRR
Ru
21
2
Predavanja iz automatike 2011
68
+
R
uC
uul
Ci
+
(uz )()( tutuul prigušenje odgovara prijelaznoj funkciji).
5.3.2 Proporcionalni član prvog reda (P1 – član)
Primjer: RC krug
Ovo je nehomogena DJ prvog reda; nehomogena jer se na desnoj strani jednakosti ne nalazi 0,
a prvog reda jer funkciju uc(t) deriviramo samo jednom.
ulcc uu
dt
duRC
Općenito je rješenje nehomogene DJ jednako
uc(t) = ucH(t) + ucP (t)=UCKF +UCPI
gdje je ucH(t) rješenje odgovarajuće homogene jednadţbe, a ucP (t) tzv. partikularno rješenje
koje ima funkcionalnu ovisnost o parametru t jednako onome koje ima nehomogeni dio.
za poĉetak uzmimo samo homogenu diferencijalnu jednadţbu (Uul = 0) i riješimo je
separacijom varijabli:
RC
dt
u
du
c
c
integriranjem obje strane dobijemo prijelazno rješenje:
RCt
C eKUKF
/
gdje je K konstanta integracije.
Rješenje ustaljenog stanja je:
ulC UUPI jer se za t kondenzator potpuno nabije na izvor napona. Ukupno rješenje je:
ulcc
cc
cc
cul
uudt
duRC
dt
duCuCi
dt
dqi
Cdt
dqu
C
qu
uiRu
Predavanja iz automatike 2011
69
RCt
ulCCC eKuUUUPIKF
/ .
uz poĉ. uvjet (t = 0 -> UC = 0 jer kondenzator nije prethodno nabijen): ulUK
pa konaĉno imamo:
RCt
ulC eUU /1
ili uz RC što nazivamo vremenskom konstantom sustava:
/1 t
ulC eUU .
Vremenska konstanta (u primjeru RC) daje nam direktnu informaciju o vremenu punjenja
kondenzatora odnosno o vremenskom ponašanju sustava.
0 t
uul
u (t)ul
0 t
uul
u (t)C
tangenta
0,632uul
uC
Slika: pobuda i odziv P1 člana.
Analitiĉki se lako dokazuje (uz t = ) da je vremenska konstanta vrijeme u kojem
eksponencijalna rastuća funkcija dosegne 63,2% od svoje konaĉne vrijednosti:
ululC UeUU 632,01)( 1
Izraz za prijelaznu funkciju ovog P1 ĉlana je:
//
1)(1
)(
)()( t
ul
t
ul
ul
C ethU
eU
tU
tUth
Predavanja iz automatike 2011
70
5.3.3 Proporcionalni član drugog reda (P2 – član)
Primjer: RLC krug
+
R
uC
uul
Ci
+
L
II Kirchoffov zakon za petlju sa slike RLC kruga:
ulCRL UidtC
Ridt
diLUUU
1
Uz dt
dUCi C
Pišemo:
ulCCC UU
dt
dURC
dt
UdLC
2
2
Napišimo prijelazno rješenje iz homogene DJ uz pretpostavku da je općeniti izraz za napon na
kondenzatoru:
t
C KeU 012 RCLCKe t
budući je 0tKe izraz u zagradi mora biti identiĉno jednak nuli -> dobije se karakteristiĉna
jednadţba ĉiji su korijeni:
LCL
R
L
R 1
42 2
2
2,1
pa je prijelazno rješenje:
tt
C eKeKUKF
21
21
,
a rješenje ustaljenog stanja je:
ulC UUPI
jer se za t kondenzator konaĉno nabije na napon Uul.
Predavanja iz automatike 2011
71
Konstante integracije odredimo iz poĉetnih uvjeta ( 0//,0 CidtdUU CC
ako ni C ni L ne sadrţe pohranjenu energiju prije t = 0).
Poĉetni uvjeti se uvrste u opće rješenje i njegovu derivaciju (2 jednadţbe s 2 nepoznanice):
021
21 ul
tt
CCC UeKeKUUUPIKF
(1)
021
2211 ttC eKeK
dt
dU (2)
uz t = 0 dobije se:
21
12
21
21
2211
21
0
0
ul
ulul
UK
UK
KK
UKK
Uvrstimo konstante u opću jednadţbu i sredimo:
21
1221
1
tt
ulCCC
eeUUUU
PIKF (*)
Tri su karakteristiĉna sluĉaja za rješenje ovog problema, a ovise o izrazu pod korijenom:
LCL
R
L
R 1
42 2
2
2,1 .
1. slučaj: LCL
R 1
4 2
2
rješenje su konjugirano kompleksni korijeni.
Faktor prigušenja
Prigušena vlastita frekvencija sustava
Ovo uvrstimo u jednadţbu (*) pa dobijemo:
tjt
p
ptjt
p
p
ulCpp ee
j
jee
j
jUU
221 .
Nadalje, uz primjenu Eulerovih formula (2
cos,2
sintjtjtjtj ee
tj
eet
) dobijemo:
tteUU pp
p
t
ulC
cossin1
2
2
2,1
4
1
2
L
R
LC
L
R
j
p
p
Predavanja iz automatike 2011
72
Veliĉina Uc se pribliţava novom stacionarnom stanju uz prigušeno osciliranje. Kada je R = 0,
faktor prigušenja = 0 pa se javljaju oscilacije s neprigušenom vlastitom frekvencijom:
LCN
1 .
2. slučaj: LCL
R 1
4 2
2
rješenje realni i razliĉiti korijeni.
LCL
R
L
R 1
42'
2
2
2,1 .
Opće rješenje (*) je za ovaj sluĉaj:
tttt
ulC eeeeUU ''
'2
'
'2
'1
koristeći hiperbolne funkcije (2
',2
''''' tttt ee
tchee
tsh
) dobijemo:
tchtsheUU t
ulC '''
1
Ovo je aperiodski odziv ( izlazna funkcija se nakon poremećaja monotono pribliţava novoj
vrijednosti ustaljenog stanja).
3. slučaj: LCL
R 1
4 2
2
rješenje realni i jednaki korijeni 2,1 .
Budući da moramo imati dvije konstante integracije K1 i K2, rješenje pišemo općenito:
ul
tt
C UteKeKU 21
a derivacija je:
tttC eKteKeKdt
dU 221
uz t =0 i 0dt
UdU C
C dobijemo: ulul UKUK 21 , pa je: teUU t
ulC 11 .
Ovo je granični aperiodični slučaj (izlazna funkcija se nakon poremećaja najbrţe aperiodiĉno
pribliţava novom stacionarnom stanju).
Predavanja iz automatike 2011
73
Definirajmo omjer n
kao stupanj prigušenja.
Vrijede sljedeće tvrdnje:
0
0
10
1
1
Razmotrimo prigušeni oscilacijski sluĉaj na primjeru općenite DJ drugog reda:
)(0012
2
2 tubyadt
dya
dt
yda
Pa umjesto koeficijenata a1, a2 i b0 napišimo izraz:
)(21
2
2
2tuKy
dt
dy
dt
ydp
nn
Koji po obliku odgovara zapisu RLC kruga:
ulCCC UU
dt
dURC
dt
UdLC
2
2
Stoga je i rješenje oblika :
tteUU pp
p
t
ulC
cossin1
Odnosno
tteKty nn
t
pn 22
21cos1sin
11)(
.
Sustav je, dakle, opisan sa i n .
Uz pomoć trigonometrijske relacije: sinsincoscossin , dobit ćemo :
te
Kty n
t
p
n
2
21sin
11)(
gdje je fazni pomak arccos .
Predavanja iz automatike 2011
74
Ovu funkciju moţemo prikazati na tzv. normiranom dijagramu (na apscisi je normirano
vrijeme tn , na ordinati normirana amplituda y/Kp, a parametar koji se mijenja je stupanj
prigušenja .
Slika: Proporcionalni član drugog reda (P2 – član) - normirani dijagram prijelazne funkcije)
Frekvencija osciliranja (prigušena vlastita frekvencija sustava) moţe se prikazati:
222
2
2
14
1 nnp
L
R
LC
Oĉigledno, za veći imat ćemo manju vrijednost p . Prvi maksimum krivulje – nadvišenje
izraĉunavamo deriviranjem y(t) u vremenu i izjednaĉimo sa nulom (raĉunamo ekstrem
funkcije):
01cos1
11sin1
)( 2
2
22
2
te
te
Kdt
tdyn
t
nn
t
np
nn
.
Nakon skraćivanja izraza i dijeljenja sa tn
21cos dobijemo:
Predavanja iz automatike 2011
75
22 1
1
ttg n
a uz /1arccos;arccos 2 tg dobijemo:
tgttg n 21
što je je zadovoljeno samo za:
,...2,1,01 2 kktn
Budući nas zanima prvi maksimum (k=1):
21
n
pTt
Uvrstimo t = Tp u
tteKty nn
t
pn 22
21cos1sin
11)(
pa dobijemo
normiranu vršnu vrijednost :
arccossin1
11
)( 21
2
e
K
Ty
p
p
uz : 21arccossin konaĉni izraz za normiranu vršnu vrijednost glasi:
211
)(
eK
Ty
p
p
Postotno nadvišenje Mp [%] je razlika izmeĊu vršne vrijednosti i vrijednosti ustaljenog stanja
izraţena u postotcima:
1001001)(
%21
eK
TyM
p
p
p (Ovisi samo o stupnju prigušenja!)
5.3.4 Integracijski član
Tipiĉan integracijski ĉlan je istosmjerni motor (slika)
Predavanja iz automatike 2011
76
Slika:
Shematski prikaz istosmjernog
motora
Uz konstantnu struju magnetskog polja Im = konst. napon Ua je je razmjeran kutnoj brzini
osovine ω. Izraz za kutnu derivacija kuta po vremenu je:
aiUKdt
d
pa je odnos izmeĊu odziva Φ i pobude Ua: dtUK ai
Prijelazna funkcija opisanog integracijskog ĉlana (I0 – ĉlan) je općenito:
)(
)()(
tu
tyth a uz )(ty i )(tuUa : tK
tu
dttuKth i
i
)(
)()( .
što je grafiĉki prikazano na slici:
Slika:
Uzbuda i odziv
integracijskog I0 - člana
Prikazan je idealni elektromotor, bez zakašnjenja. Ako uzmemo u obzir zakašnjenje zbog
mase, trenja, induktivnosti, … - potrebni su novi derivacijski ĉlanovi za opis sustava.
Integracijski I1 – ĉlan : jednostavan sluĉaj kada se javlja samo jedan dodatan ĉlan:
dtUKydt
dyT ai
Uz poĉetne uvjete:
.0;0,0 dt
dyyt
Deriviranjem prethodnog izraza dobijemo:
Predavanja iz automatike 2011
77
aiUKdt
dy
dt
ydT
2
2
pa uz supstituciju dt
dyy ' i jediniĉni odskok na ulazu imamo:
)(''
tuKydt
dyT i
Rješenje jednadţbe je tada:
Tt
i eKy /1'
Vratimo izvornu varijablu y:
Tt
ii
tT
i
t
o
eKTtKTeKdyy /
0
/)('
Grafiĉki prikaz odziva odnosno prijelazna funkcija I1 – ĉlana gornjeg izraza:
5.3.5 Derivacijski član
Elektriĉki generator posebne izvedbe tzv. tahogenerator uzima se kao primjer derivacijskog
ĉlana. Uz konstantnu struju magnetskog polja Im brzina rotacije dt
d je razmjerna
izlaznom naponu Ua : dt
dKU da
.
Predavanja iz automatike 2011
78
Slika: tahogenerator
Odskoĉni zakret osovine za neki kut uzrokuje nagli naponski impuls na izlazu, koji pada na
nulu kad se osovina zaustavi. Prijelazna funkcija ovakvog D0 derivacijskog ĉlana je teoretski:
00
0
00
)(
)()(
t
t
t
tu
tyth
Slika: Prijelazna funkcija
D0 člana
Uzmimo u obzir kašnjenje prvog reda zbog mase, trenja i induktivnosti – derivacijski D1 –
ĉlan:
dt
dxKy
dt
dyT d
Partikularni integral je nula jer je dx/dt=δ(t), dakle Diracova funkcija koja nestaje u t=0+. Kao
rješenje ostaje TtKey / .
Konstantu integracije odreĊujemo iz poĉetnih uvjeta:
xKydtTy d
za t=0+, Ty i Kdx su konaĉne vrijednosti, a integral ydt je 0. Uz x(0
+)=1 slijedi iz
T
Ky d0 .
Prijelazna funkcija D1 derivacijskog
ĉlana je dakle (slika):
Ttd eT
K
tu
tyth /
)(
)()(
Predavanja iz automatike 2011
79
5.3.6 Član sa vremenskom zadrškom
Primjer ovakvog sustava je transportna traka za materijal.
Ovakve sustave ne moţemo opisati obiĉnim diferencijalnim jednadţbama već parcijalnim
jednadžbama ili, u jednostavnijim sluĉajevima, jednadžbama diferencija.
Slika: Primjer sustava sa vremenskom
zadrškom
Ako je M vrijeme potrebno da materijal preĊe put od x=0 do x=L i uz pretpostavku da sav
materijal doĊe na završetak trake pišemo izraz:
0,, MtqLtq
gdje je q koliĉina materijala.
S obzirom da poloţaj ne utjeĉe na q, moţemo pisati:
Mui tqtq
Slika: Ulazna i odzivna veličina transportnog sustava s vremenskom zadrškom
Uz ulaznu funkciju odskoĉnog tipa x=u(t) prijelazna funkcija M ĉlana će biti:
M
M
tza
tza
tu
tyth
1
0
)(
)()(
Predavanja iz automatike 2011
80
5.3.7 Pregled osnovnih članova i njihovih vremenskih odziva na step
5.4 PID regulator
Posebno mjesto meĊu kontinuiranim regulatorima ima PID (proporcionalno – integracijsko –
derivacijski) regulator.
Njegov je znaĉaj u voĊenju sustava izuzetno velik, i u analognoj primjeni prošao je cijeli niz
verzija od pneumatskog, preko relejnog do tranzistorskog i integriranog.
5.4.1 Oblici PID regulatora
Osnovna jednadţba koja opisuje djelovanje PID regulatora je:
dt
tdeTdtte
TteKtu d
t
i
)()(
1)()(
0
Predavanja iz automatike 2011
81
i sadrţi tri osnovne komponente – proporcionalnu, integracijsku i derivacijsku definirane
konstantama:
- K konstanta pojaĉanja,
- Ti vremenska konstanta integracijskog dijela, i
- Td vremenska konstanta derivacijskog dijela.
Prebacimo li ga u Laplaceovo podruĉje dobiti ćemo:
)()(
)()()(1
)()( sEsKs
sEKsEKsETssE
TssEKsUU did
i
5.4.2 Djelovanje PID regulatora
PID regulator nije ništa drugo nego gruba matematiĉka kopija postupka kojeg bi iskusni
ĉovjek operater koristio pri voĊenju.
Zamislimo primjer voĎenja broda. Kormilar promatra trenutni kurs i željeni kurs u kojem bi
brod trebao voziti. Na temelju njihove razlike (pogreške e(t)) on provodi upravljačku akciju –
zakret lista kormila (upravljanje u(t)) koje mu je obično proporcionalno s iznosom pogreške –
što je razlika izmeĎu željenog i stvarnog kursa veća to će više zakrenuti kormilo (P –
proporcionalno djelovanje). Upravljački signal proporcionalnog djelovanja u svakom
trenutku ovisi o trenutnoj vrijednosti pogreške pa je P djelovanje vezano sa sadašnjošću, s
onim što se sada dogaĎa. Dobar kormilar neće samo promatrati pogrešku kursa broda, on će
pratiti i što se s brodom dogaĎa tijekom mijenjanja kursa, on će pamtiti prošlost pogreške.
Zašto?
Zato da bi kod odreĎivanja upravljačkog signala uzeo u obzir i cijeli tijek mijenjanja
pogreške. Kormilar prati što se dogaĎa u prošlosti pogreške, a najgrublji matematički model
prošlosti je integral. Dakle I – integracijska komponenta na neki način modelira prošlost, a
kroz prošlost i iskustvo kormilara. Treći mogući način djelovanja je pokušati predvidjeti i
budućnost, pokušati predvidjeti što će se s pogreškom zbivati u budućnosti. Upravljački signal
se vezuje i s onim što će se u budućnosti dogoditi, a najjednostavniji matematički model
budućnosti je derivacija.
Zbog toga postoji i treća D – derivacijska konstanta koja na neki način modelira budućnost,
a kroz nju i intuiciju kormilara.
PID regulator je prema tome grubi matematiĉki model pokušaja da se kod odreĊivanja
upravljaĉke akcije uzme u obzir i sadašnjost (P – djelovanje) i prošlost (I – djelovanje) i
budućnost (D – djelovanje).
Upravljaĉki se signal formira ovisno o trenutnoj vrijednosti pogreške (P – djelovanje), ovisno
o tome kako se pogreška mijenjala u prošlosti (I – djelovanje) i ovisno o tome kakav je
trenutni trend porasta pogreške (D-djelovanje).
Ne smijemo zaboraviti da kod PID regulatora sva tri dijela djeluje istovremeno, pa je
upravljaĉka akcija rezultata njihovog zajedniĉkog djelovanja.
Utjecaji proporcionalnog, integracijskog i derivacijskog dijela PID regulatora mogu se
promatrati i u odnosu na specifikacije vremenskog odziva zatvorenog regulacijskog sustava.
Predavanja iz automatike 2011
82
Slika: Djelovanje PID regulatora
Proporcionalni član djeluje na vrijeme porasta, ali se njegovim povećanjem ne moţe ukloniti
pogreška ustaljenog stanja.
Integracijski član djeluje na smanjenje pogreške ustaljenog stanja, ali moţe pogoršati
dinamiĉka svojstva sustava (usporiti sustav).
Derivacijski dio utjeĉe na povećanje stabilnosti sustava, smanjuje prebaĉaj i poboljšava
karakteristike prijelaznog dijela odziva.
6. Sustavi prvog i drugog reda
6.1 Sustavi prvog reda
Sustavi prvog reda su sustavi koji se mogu opisati diferencijalnom jednadţbom prvog reda.
gdje je
y(t) izlaz, a x(t) ulaz sustava
K – pojaĉanje sustava
T – vremenska konstanta sustava
U Laplaceovom podruĉju pišemo:
Slika: Sustav prvog reda
)()()( txKtytydt
dT
1)(
)()(
)(1)(
)()()(
sT
K
sX
sYsW
sXKsTsY
sXKsYsYsT
Predavanja iz automatike 2011
83
Sada kada smo odredili prijenosnu funkciju, razmotrimo ponašanje sustava na tipiĉne
pobudne signale.
A. Neka je )()( ttx :
Tada kaţemo da je y(t) impulsni odziv (teţinska funkcija)
1)()()( sXttx
Izraĉunajmo odziv :
)()()()(
)()( sXsWsY
sX
sYsW
Ts
T
K
sT
KsWsY
1
1
1)()(
T
t
eT
Kty
)(
Gornji izraz još nazivamo i težinska funkcija. Grafiĉki prikaz odziva sustava prvog reda na
impulsnu pobudnu funkciju prikazan je na donjoj slici.
Slika: Odziv sustava prvog reda na impulsnu pobudnu funkciju. Odsječak T na vremenskoj osi
dobije se presjekom pravca – tangente krivulje za t = 0.
B. Neka je 1)()( tutx (jediniĉna odskoĉna funkcija)
Tada kaţemo da je y(t) vremenski odziv (prijelazna funkcija). Izraĉunajmo odziv i za ovaj
sluĉaj.
ssXtutx
1)(1)()(
)()()()(
)()( sXsWsY
sX
sYsW
T
t
eT
Kty
)(
Predavanja iz automatike 2011
84
T
s
B
s
A
Tss
T
K
sTs
KsWsY
11
1
1)()(
Vrijednosti za A i B izraĉunajmo metodom ostatka.
K
Tss
T
K
TsBK
Tss
T
K
sA
Tss
1
0
1
1;
1
Ts
K
s
KsY
1)(
Sada primijenimo inverznu Laplaceovu transformaciju i napišimo odziv u vremenskom
podruĉju:
T
t
T
t
eKeKKty 1)(
Grafiĉki prikaz odziva sustava prvog reda na jediniĉnu odskoĉnu funkciju prikazan je na
donjoj slici.
Slika: Odziv sustava prvog reda na jediničnu odskočnu funkciju.
Promotrimo 2 sluĉaja:
1) K = konst., T1 < T2 < T3
T
t
T
t
eKeKKty 1)(
Predavanja iz automatike 2011
85
Grafiĉki prikaz odziva uz gornji uvjet prikazan je na donjoj slici.
Slika:
K = konst., T1 < T2 < T3
Vrijeme kašnjenja – tD: vrijeme
potrebno odzivu da poprimi 50%
vrijednosti ustaljenog stanja
Vrijeme porasta – tR: vrijeme potrebno
odzivu da poprimi 90% ustaljenog
stanja
2) T = konst. , K1 < K2 < K3
Grafiĉki prikaz odziva uz gornji uvjet
prikazan je na slici desno.
Slika:
T = konst. , K1 < K2 < K3
- Vremena kašnjenja su jednaka
- Vremena porasta su jednaka
Razmotrimo polove prijenosne funkcije sustava prvog reda:
Ts
Ts
Ts
T
K
sW1
01
1)(
Slika: Za sustav 1. reda pol je stabilan jer mu se položaj nalazi na lijevoj strani kompleksne
ravnine.
Predavanja iz automatike 2011
86
Primjer:
Automobil mase M se giba po cesti.
v je horizontalna brzina automobila
F sila koju stvara motor.
b je koeficijent prigušenja za automobil,
(ovisi o otporu vjetra, trenju kotaĉa, itd.)
Postavimo jednadţbu:
)()()( tvbtFtaM
Kako znamo da je dt
dva , moţemo pisati:
)()()(
tvbtFdt
tdvM
U Laplaceovom podruĉju pišemo:
)()()( sVbsFsVsM
Dakle, ulaz je sila motora - F(s), a izlaz brzina automobila - V(s). Napišimo prijenosnu
funkciju:
1/
/11
)(
)()(
)()()(
)()()(
sbM
b
bsMsF
sVsW
bsMsVsF
sVbsVsMsF
Dakle, ponašanje ovog sustava moţe se opisati prijenosnom funkcijom prvog reda (K = 1/b ;
T = M/b).
6.2 Sustavi drugog reda
Sustavi drugog reda su zanimljivi iz sljedećih razloga:
1) Matematiĉki ih je lako opisati
• u vremenskom podruĉju radi se o diferencijalnoj jednadţbi 2. reda
• u Laplaceovom podruĉju opisuju se obiĉnom kvadratnom jednadţbom
2) Svi sustavi u prirodi mogu se opisati sustavom drugog reda
3) Svi sustavi višeg reda mogu se dovoljno dobro aproksimirati sustavom drugog reda
4) Sustav 1. reda samo je specifiĉni oblik sustava 2.reda
Opisuju se diferencijalnom jednadţbom drugog reda. U vremenskom podruĉju, standardni
oblik jednadţbe sustava drugog reda je:
Predavanja iz automatike 2011
87
)()()(2
)(1
2
2
2txKtyty
dt
dty
dt
d
nn
gdje je
K - istosmjerno pojaĉanje sustava (odreĊuje amplitudu odziva ustaljenog stanja )
- stupanj prigušenja (zeta) (odreĊuje koliko će biti oscilacija u odzivu)
n - neprigušena vlastita frekvencija (odreĊuje brzinu osciliranja)
Gornju diferencijalnu jednadţbu prebacimo u Laplaceovo podruĉje:
)(121
)(
)()()(2
)(1
2
2
2
2
sXKsssY
sXKsYsYssYs
nn
nn
22
2
2
2
21
21)(
)()(
nn
n
nn
ss
K
ss
K
sX
sYsW
Za K = 1 imamo standarni zapis sustava drugog reda:
22
2
2)(
)()(
nn
n
sssX
sYsW
gdje je
- stupanj prigušenja (zeta)
n - neprigušena vlastita frekvencija
Kako će biti vidljivo iz izlaganja, stupanj prigušenja zapravo odreĊuje koliko će biti oscilacija
u odzivu dok neprigušena vlastita frekvencija odreĊuje brzinu osciliranja. Sada izraĉunajmo
polove prijenosne funkcije :
02 22 nn ss
2
122
2
442
2
2,1
222
2,1
nn
nnn
js
s
pnn jjs 2
2,1 1
Predavanja iz automatike 2011
88
gdje je n faktor prigušenja, a pn 21 tzv. prigušena vlastita frekvencija.
Oĉito, mogući su razliĉiti tipovi rješenja odnosno polova zavisno o vrijednosti stupnja
prigušenja i neprigušenoj vlastitoj frekvenciji.
1. Slučaj :
10 - polovi su konjugirano kompleksni par (slika)
2
2,1 1 nn js - u ovom sluĉaju pod korijenom imamo pozitivan realni broj.
Slika:
10 - polovi su konjugirano kompleksni par
cos (Sustav je stabilan!)
Neka je ulazni signal x(t) = u(t) = 1
)()()()( 1 tsXsWLty
)(
2)(
22
21 t
sssLty
nn
n
Koristeći tablice, prebacimo izraz u vremensko podruĉje. Koristimo redak
22sin
aste at iz tablica pretvorbe.
arccos1sin1
1)( 2
2
te
ty n
tn
Dakle, uz x(t) = u(t) = 1 imamo odziv prikazan na donjoj. Radi se o prigušenom
oscilirajućem odzivu.
Slika: Prigušeni oscilirajući odziv
sustava drugog reda na impulsnu
pobudu i uz 10 .
Mp – maksimalni postotni prebaĉaj:
razlika vršne i stacionarne vrijednosti
(najĉešće izraţen u % ustaljenog
stanja).
Tp – vrijeme prvog prebaĉaja.
tS – vrijeme smirivanja (vrijeme
potrebno oscilacijama da uĊu unutar
nekih unaprijed dogovorenih granica
+/-5% vrijednosti ustaljenog stanja.
tD – vrijeme kašnjenja ; tR – vrijeme
porasta
Predavanja iz automatike 2011
89
Maksimalni postotni prebaĉaj Mp i vrijeme prvog prebaĉaja Tp izraĉunavamo kao klasiĉni
maksimum funkcije: 0dt
dy
222
2
1101sin
11)(
ttgdt
dyt
ety nn
tn
Ova jednakost vrijedi za
,...3,2,1,01 2 nntn
Za n = 1:
Pn
pTt
21
%10021
eM p
Moguće je izraĉunati i druge karakteristiĉne veliĉine. Ovde su konaĉni izrazi:
n
St
05.0ln
n
Dt
7.01
Vrijeme porasta Rt izraĉunavamo izjednaĉavajući y(t) sa 0.9. Grafiĉki prikazi mjera kvalitete
u ovisnosti o stupnju prigušenja dani su na sljedećim slikama.
Slika: Grafički prikazi mjera kvalitete u ovisnosti o stupnju prigušenja.
%10021
eM pPn
pTt
21
n
St
05.0ln
21 np
Predavanja iz automatike 2011
90
Nastavimo razmatranje odziva uz 10 . Promotrimo izraz
22
2
2)(
)()(
nn
n
sssX
sYsW
te ispitajmo ponašanje zavisno o promjenama parametara i n . Rezultati su prikazani na
donjim slikama.
Slika:
.konstn
321
321
321
PPP
PPP
TTT
MMM
Najmanjoj vrijednosti
prigušenja odgovara najveći
prebačaj i najmanje vrijeme
prebačaja
Slika: .konst ; 321 nnn ; 321 PPP MMM ; 321 PPP TTT ;
nn
p
konstT
21
Najvećoj neprigušenoj vlastitoj frekvenciji odgovara najmanje vrijeme 1. prebaĉaja
Predavanja iz automatike 2011
91
2. Slučaj :
0 - sustav je na granici stabilnosti (slika)
U ovom sluĉaju, polovi prijenosne funkcije sustava drugog reda se nalaze na imaginarnoj osi.
nnn jsjs 2,1
2
2,1 1
Slika: Polovi i odziv sustava za 0 . Odziv sustava je neprigušen i oscilirajući.
3. Slučaj :
1 - sustav je stabilan (slika dole).
nnn sjs 2,1
2
2,1 1
Slika: Polovi i odziv sustava za 1 . Oba pola su na lijevoj strani kompleksne ravnine.
Sustav ima graničan aperiodski odziv.
tty
M
n
p
cos1)(
%100
tety
T
eM
n
t
n
p
p
n
11)(
1
0%100
2
1 2
Predavanja iz automatike 2011
92
4. Slučaj :
1 - sustav je stabilan (slika dole).
2
2,1 1 nn js
Slika: Polovi i odziv sustava za 1 . Oba pola su na lijevoj strani kompleksne ravnine. Ne
postoji maksimalni prebačaj ni vrijeme 1. prebačaja (pod korijenom je negativni broj).
Sustav ima aperiodski odziv.
Odziv sustava: vrijeme kašnjenja i vrijeme porasta za sluĉaj 1 je veće od tih vremena
kada je 1 .
212
21
121)(
s
e
s
ety
tsts
n
Predavanja iz automatike 2011
93
5. Slučaj :
0 - sustav je nestabilan (slika dole). Moguća su tri rasporeda polova o kojem ovisi i oblik
odziva sustava.
2
2,1 1 nn js
a)
b)
Slika: Polovi i odziv sustava za 0 . Oba pola su na desnoj strani kompleksne ravnine. Za
slučaj a) sustav ima raspireni oscilirajući odziv dok slučaj b) nastupa za vrijednosti 1 .
Predavanja iz automatike 2011
94
7. Analiza sustava u frekvencijskom području
7.1 Uvod
Uz standardne prijelazne funkcije za ispitivanje linearnih vremenski nepromjenjivih sustava
najĉešće se koristi sinusna funkcija.
Metoda ispitivanja sinusnom funkcijom – metoda prisilnih oscilacija.
Ako na ulaz linearnog, vremenski nepromjenjivog sustava dovedemo sinusnu funkciju:
tXx sin
na izlazu će se nakon prijelaznog razdoblja pojaviti sinusni signal iste frekvencije, ali
općenito razliĉite amplitude i s faznim pomakom u odnosu na ulaznu funkciju:
tYy sin
Slika: Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika
Analiza u frekvencijskom podruĉju predstavlja ispitivanje promjena amplitude i faznog
pomaka kod različitih frekvencija. Kod Laplaceove transformacije smo imali: d/dt → s, gdje
je s = σ+jω. Kod sinusne pobude konstantne frekvencije i amplitude nema prigušenja dakle,
uz σ = 0 pa moţemo pisati: s = jω .
Napišimo sinusnu prijenosnu funkciju:
je
X
Y
jx
jyjWsW
)(
)()()(
Prijenosna funkcija se sastoji iz realnog i imaginarnog dijela:
j
jseMjIRsW
)(
Apsolutna vrijednost ili modul prijenosne funkcije je apsolutna vrijednost odnosa amplituda
verzora:
22)(
IRsWM
js
Fazni kut ili faza prijenosne funkcije jednaka je:
Predavanja iz automatike 2011
95
R
IarctgsW
js
)(arg
Slika: Kompleksna ravnina: modul (M) i fazni zakret prijenosne funkcije (Φ).
Grafiĉki prikaz se sastoji u prikazivanju amplitude i faze sinusne prijenosne funkcije W(s)s=jω
tj. W(jω) u ovisnosti o frekvenciji ω kao nezavisnoj varijabli (Slika 50).
Za grafiĉku analizu ponašanja sustava na sinusnu ulaznu funkciju (prikazujemo sinusnu
prijenosnu funkciju W(jω)) moţemo koristiti razliĉite postupke.
Najĉešći :
Nyquistov dijagram
Bodeovi dijagrami
Slika: Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika
Predavanja iz automatike 2011
96
7.2 Polarni i Nyquistovi dijagrami
Polarni dijagram predstavlja prikaz prijenosne funkcije sustava W(s) u kompleksnoj ravnini
( se mijenja u intervalu od 0 do ).
Nyquist-ov dijagram predstavlja proširenje polarnog dijagrama prijenosne funkcije W(s) za
frekvencijski opseg . Ako se polarnom dijagramu nacrta simetriĉna slika
obzirom na realnu os, dobije se tzv. Nyquistov dijagram.
Slika: Prikaz amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike u kompleksnoj ravnini: polarni
dijagram (hodograf frekvencija).
Primjer 1.
Nacrtajte polarni dijagram sustava ĉija je prijenosna funkcija: 2
2)(
ssW
js
2
2)(
jjW
24
2)(
jW
nazivnikabrojnika
22
0 arctgarctg
2
arctg
Sada u tablici izraĉunajmo vrijednosti modula i faznog zakreta za odabrane diskretne
vrijednosti frekvencije ω:
ω 0 0.5 1 2 5 10 ∞
1 0,97 0,89 0,107 0,37 0,2 0
0 -14 -26 -45 -68 -78 -90
Predavanja iz automatike 2011
97
= 0
Im
Re= 0.5
= 1= 10
Vrijednosti izraĉunate u tablici moţemo prikazati na dva naĉina (slika dole).
c) b)
Slika: Grafički prikaz: a) Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika; b) gore - polarni
dijagram (vrhovi spojeni krivuljom, označi se smjer rasta frekvencije); dole – Nyquistov
dijagram (takoĎer označen smjer rasta frekvencije)
Drugi naĉin crtanja Nyquistovog dijagrama prijenosne funkcije sustava iz primjera primjera je
preko realnog i imaginarnog dijela prijenosne funkcije, a ne modula i faznog zakreta.
4
2
4
4
2
2
2
2)(
22
jj
j
jjW
js
Sada u tablicu upisujemo izraĉunate vrijednosti realnog i imaginarnog dijela za odabrane
frekvencije:
ω 0 2 … ∞
Re 1 1/2 0
Im 0 -1/2 0
= 0
Im
Re= 0.5
= 1= 10
Predavanja iz automatike 2011
98
7.2.1 Nyquistov polarni dijagram složenih prijenosnih funkcija
Sustavi, odnosno njihovi sastavni dijelovi mogu se opisati prijenosnim funkcijama razliĉitih
vrsti i redova. Vrsta sustava ovisi o broju polova u ishodištu tj. sustav 0. vrsti nema polova u
ishodištu, sustav 1. vrsti ima jedan pol u ishodištu itd.
Razmotrit ćemo kvalitativno crtanje Nyquistovih polarnih dijagrama za niz tipiĉnih
prijenosnih funkcija 0, 1. i 2. vrsti te 1, 2, 3. i 4. reda:
0. vrst. 1. red: as
KsW
')(
0. vrst. 2. red: bsas
KsW
')(
0. vrst. 3. red: csbsas
KsW
')(
0. vrst. 4. red: dscsbsas
KsW
')(
Zajedniĉka osobina svih sustava 0. vrsti je da im je izvorište Nyquistovog polarnog
sustava negdje na realnoj osi. Ovo se lako dokaţe uvrštavajući s = 0 u prethodne
jednadţbe.
Svaki ĉlan prvog reda u nazivniku prijenosne funkcije za js dosegne fazu od
-90°. Posljedica: prijenosna funkcija prvog reda za js imati će ponorište
Nyquistovog dijagrama u ishodištu, ali tako da dijagram tangira -90° os. Nyquistov
dijagram prijenosne funkcije drugog reda završavat će takoĊer u ishodištu tangirajući
-180° os itd…
Primjeri:
-1 -0.5 0 0.5-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
2
1)(
ssW
Predavanja iz automatike 2011
99
-1 -0.5 0 0.5-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
21
1)(
sssW
321
1)(
ssssW
Predavanja iz automatike 2011
100
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Razmotrimo sustave 1. vrsti:
1. vrst 2. red: ass
KsW
')(
1. vrst 3. red: bsass
KsW
')(
1. vrst 4. red: csbsass
KsW
')(
Zbog slobodnog s u nazivniku, svi Nyquistovi dijagrami sustava 1. vrsti poĉinju s fazom
-90°. Dakle, izvorište im je u “-Re”, “-Im” kvadrantu. O ponorištu donosimo zakljuĉak na
temelju reda prijenosne funkcije kao i kod sustava 0. vrsti.
Primjeri:
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
)1(111
1)(
sssssW
11
)(
ss
sW
Predavanja iz automatike 2011
101
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
21
1)(
ssssW
-0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
321
1)(
sssssW
Predavanja iz automatike 2011
102
-250 -200 -150 -100 -50 0-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Nyquistovi polarni dijagrami za sustave 2. vrsti (3. i 4. reda).
2. vrst 3. red: ass
KsW
2
')(
2. vrst 4. red: bsass
KsW
2
')(
Primjeri:
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
11
)(2
ss
sW
Predavanja iz automatike 2011
103
-200 -150 -100 -50 0 50-15
-10
-5
0
5
10
15
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Primjer:
Nacrtaj Nyquistov dijagram prijenosne funkcije: 12
2)(
2
sssW
Prijenosna funkcija je 0. vrste, 2. reda. Dakle, poĉetak grafa je na realnoj osi, ponorište u
ishodištu uz tangiranje realne osi pod kutem -180°.
s = jω:
21
2
12
2)(
22 jjsW
222222
2
41
4
41
12)(
jsW
ω 0 0.5 1 5 ∞
Re W(jω) 2 0.96 0 -0.071 0
Im W(jω) 0 -1.28 -1 -0.029 0
Pa je Nyquistov dijagram:
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
21
1)(
2
ssssW
Predavanja iz automatike 2011
104
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Predavanja iz automatike 2011
105
7.3 Bodeovi dijagrami
Bodeovi dijagrami su metoda aproksimacijskog crtanja amplitudne i fazne frekvencijske
karakteristike sloţenih sustava.
Da bi se ovom metodom nacrtale amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika potrebno je
poznavati amplitudnu i faznu frekvencijsku karakteristiku za 7 osnovnih tipova prijenosnih
funkcija.
Slika:
Amplitudna i fazna
frekvencijska karakteristika
osnovnih tipova
prijenosnih funkcija
Tip 1:
KsW )(1
Slika:
Amplitudna i fazna
frekvencijska karakteristika
osnovnih tipova
prijenosnih funkcija
Tip 2:
,...3,2,1
,1
)(2
n
ssW
n
Predavanja iz automatike 2011
106
Slika:
Amplitudna i fazna
frekvencijska karakteristika
osnovnih tipova
prijenosnih funkcija
Tip 3:
,...3,2,1
,)(3
n
ssW n
Slika:
Amplitudna i fazna
frekvencijska karakteristika
osnovnih tipova
prijenosnih funkcija
Tip 4:
1
1)(4
TssW
L - lomna frekvencija
TL
1
Slika:
Amplitudna i fazna
frekvencijska karakteristika
osnovnih tipova
prijenosnih funkcija
Tip 5:
1)(5 TssW
L - lomna frekvencija
TL
1
-1 dogovor
+1
Predavanja iz automatike 2011
107
Slika:
Amplitudna i fazna
frekvencijska karakteristika
osnovnih tipova
prijenosnih funkcija
Tip 6:
nL
nn
n
T
sssW
Ts
Ts
T
TssTsW
1
2)(
12
1
12
1)(
22
2
6
2
2
2
226
Slika:
Amplitudna i fazna
frekvencijska karakteristika
osnovnih tipova
prijenosnih funkcija
Tip 7:
T
TssTsW
L
1
12)( 22
7
dogovor
-2
+2
Predavanja iz automatike 2011
108
7.3.1 Osnovna ideja crtanja Bodeovih dijagrama
Općenito prijenosnu funkciju moţemo napisati pomoću sljedećeg izraza:
n
m
j
n
j
i
m
i
pspspszszszsK
ps
zsKsW
1...
11...)(
21
21
1
1
)(...)(...)()(
......)(
1
21
jWjWjWKjW
WWWWKsW
nmm
nmm
jj
nm
jjeWeWeWeWKjW nm
......)( 21
21
Dakle, moţemo posebno pisati :
nmWWWKW ...21
mn ...21
Ako izraz (21) logaritmiramo onda dobijemo:
nmWWWKW log...loglogloglog 21
i dalje, sve pomnoţimo sa 20:
nmWWWKW log20...log20log20log20log20 21
Odnosno, u decibelima
dBWWWKW nm ...21
Predavanja iz automatike 2011
109
7.3.2 Amplitudna i fazna karakteristika sustava 1. reda
Prisjetimo se sustava prvog reda:
Uz K = 1, imamo sljedeću prijenosnu funkciju:
TTssW L
1,
1
1)(
Grafiĉki prikaz amplitudne frekvencijske karakteristike ovog sustava prikazan je na donjoj
slici. Maksimalno odstupanje Bodeove aproksimacije i stvarne karakteristike je 3 db.
Slika: Amplitudna frekvencijska karakteristika sustava 1. reda.
TTssW L
1,
1
1)(
Analizirajmo karakteristiku:
1
1
1
1)(
L
jTj
jW
js
2
1
1)(
L
jW
1. sluĉaj: L
1jW
Nakon logaritmiranja i mnoţenja sa 20:
Predavanja iz automatike 2011
110
0dBjW dBW 00
2. sluĉaj: L
2
2
2
1W
Nakon logaritmiranja i mnoţenja sa 20:
3dBW
3. sluĉaj: L
LjW
Nakon logaritmiranja i mnoţenja sa 20:
log20log20 LdBW
Gornji izraz deriviramo po log
logd
d pa za nagib pravca dobijemo
20k
Slika: Fazna frekvencijska karakteristika sustava 1. reda.
TTssW L
1,
1
1)(
Predavanja iz automatike 2011
111
Analizirajmo i faznu frekvencijsku karakteristiku prikazane na prethodoj slici:
1
1
L
j
jW
L
L
nazivnikbrojnik
arctg
arctgarctg
1
0
1. sluĉaj: L
00
L
2. sluĉaj: L
451arctg
3. sluĉaj: L
90
L
Predavanja iz automatike 2011
112
7.3.3 Amplitudna i fazna karakteristika sustava 2. reda
Prijenosna karakteristika sustava 2. reda (donje slike):
nLTTssT
sW
1
,12
122
LL
j
jW
TjTjW
js
21
1
12
1
2
22
2
2
22
2
41
1
21
1
LLLL
jW
j
jW
Derivirajmo gornji izraz i izjednaĉimo ga s nulom kako bi odredili frekvenciju na kojoj
nastupa maksimalni modul:
2
max 210
nd
Wd
707.02
2021 2
707.0 Nemamo prebaĉaj
707.0 Maksimum postoji
2
max
12
1
W
WL ,0
Sada analiziramo i faznu frekvencijsku karakteristiku:
Slika: Amplitudna frekvencijska
karakteristika sustava 2. reda.
Predavanja iz automatike 2011
113
2
1
2
L
Lnazivnikbrojnik arctg
Slika:
Slika: Fazna frekvencijska
karakteristika sustava 2. reda.
12
1)(
2
nn
sssW
Predavanja iz automatike 2011
114
8. Stabilnost sustava
Definicije stabilnosti:
“Linearni regulacijski sustav je stabilan, ako je njegov odziv na ograničenu pobudu
takoĎer ograničen.”
“Linearni regulacijski sustav je stabilan, ako mu odziv na impulsnu pobudu teži k nuli
kad vrijeme teži k beskonačnosti.”
Pri razmatranju stabilnosti sustava uvodimo i pojam relativne stabilnosti, koja daje
informaciju o stupnju stabilnosti sustava. Općenito razlikujemo statiĉku i dinamiĉku
nestabilnost. Statička nestabilnost izaziva monotoni porast (Moţe se lako eliminirati -> nije
zanimljiva.). Dinamička nestabilnost nastaje u sustavima koji imaju takve parametre da
dolazi do osciliranja na odreĊenim frekvencijama.
Potrebno je naglasiti da je stabilnost znaĉajka samog sustava tj. ona ne ovisi o pobudnoj
funkciji. Ako je poznata prijenosna funkcija sustava, ili njegova diferencijalna jednadţba, tada
se problem stabilnosti svodi na rješavanje karakteristične jednadžbe zatvorene petlje
(odnosno homogene diferencijalne jednadţbe). Karakteristiĉnu jednadţbu sustava dobijemo
kada nazivnik prijenosne funkcije zatvorene petlje izjednaĉimo sa nulom.
Moţemo kazati da je sustav stabilan ako vrijedi:
0lim
tyt
Sustav je na granici stabilnosti ako je:
.lim konsttyt
Sustav je nestabilan ako je:
tytlim
Slika 8.1.
Impulsna funkcija na ulazu stabilnog sustava daje odziv 0lim
tyt
O stabilnosti sustava moţemo zakljuĉivati temeljem eksperimentalno dobivenih rezultata ili
temeljem analize njegove prijenosne funkcije.
Predavanja iz automatike 2011
115
Slika 8.3.
Raspored polova sustava iz
primjera B (lijevo)
1) Ispitivanje stabilnosti sustava eksperimentalnim putem
Kod eksperimentalnog ispitivanja stabilnosti sustava potrebno je pobuditi sustav nekom od
standardnih pobuda.
Pritom vrijedi:
1) Sustav je STABILAN ako je njegov odziv na ograničenu pobudu takoĊer
ograničen 2) Sustav je STABILAN ako njegov odziv na impulsnu pobudu teţi nuli
2) Ispitivanje stabilnosti sustava opisanog prijenosnom funkcijom
Ukoliko nam sustav nije dostupan već je opisan sa prijenosnom funkcijom o stabilnosti
zakljuĉujemo temeljem poloţaja polova tog sustava u kompleksnoj ravnini.
Ispitivanje stabilnosti sustava opisanog prijenosnom funkcijom (primjeri)
A) )(
)(1)(
sX
sY
ssW
)()(1)( ttxsX
tetys
sY
)(1
)(
0)(lim
tyt
Dakle, sustav je stabilan (polovi su realni i negativni).
Slika 8.2.
Raspored polova sustava iz primjera A (lijevo) i njegov odziv na impulsnu funkciju (desno)
B) )(
)(1)(
sX
sY
ssW
)()(1)( ttxsX
1)(1
)( tys
sY
1)(lim
tyt
Dakle, sustav je na granici stabilnosti (polovi su na
imaginarnoj osi).
Predavanja iz automatike 2011
116
Slika 8.5.
Raspored polova sustava iz
primjera D (gore) te odziv
sustava (dole)
C) )(
)(1)(
sX
sY
ssW
)()(1)( ttxsX
tetys
sY
)(1
)(
)(lim tyt
Dakle, sustav je nestabilan (polovi su realni i pozitivni).
Slika 8.4.
Raspored polova sustava iz primjera C (lijevo) i njegov odziv na impulsnu funkciju (desno)
D) )(
)(1)(
sX
sY
jsjssW
)()(1)( ttxsX
)(
1)(
22sX
sjsjssY
22
1)(
ssY
22
1)(
ssY
tety t
sin1
)(
0)(lim
tyt
Dakle, sustav je stabilan (polovi imaju negativni realni
dio).
Predavanja iz automatike 2011
117
Slika 8.6.
Raspored polova sustava iz
primjera E (lijevo) te odziv
sustava (desno)
Slika 8.7.
Raspored polova sustava iz primjera F (lijevo)
te odziv sustava (desno)
E) )(
)(1)(
sX
sY
jsjssW
)()(1)( ttxsX
22
22
1)(
1)(
ssY
ssW
tty
sin1
)(
Dakle, sustav je na granici stabilnosti (oscilator).
F) )(
)(11)(
22sX
sY
sjsjssW
)()(1)( ttxsX
22
1)(
ssY
tety t
sin1
)(
Dakle, sustav je nestabilan (raspirene
oscilacije).
Pregled svih šest sluĉajeva prikazan je na sljedećoj tablici:
A,D (Re < 0) STABILAN!
B, E (Re = 0) NA GRANICI!
C, F (Re > 0) NESTABILAN!
Iz navedenog slijedi osnovni uvjet stabilnosti sustava:
SVI POLOVI SUSTAVA SE MORAJU NALAZITI S LIJEVE STRANE KOMPLEKSNE
RAVNINE!
Predavanja iz automatike 2011
118
DOMINANTNI POL (POLOVI) je onaj pol koji znatnije utjeĉe na konaĉni oblik odziva
sustava.
Za STABILNI sustav dominantni polovi su oni koji su bliţe imaginarnoj osi. Ukoliko postoje
polovi s pozitivnim realnim dijelom – onda su oni dominantni.
Slika 8.8.
Dominantni polovi.
Predavanja iz automatike 2011
119
8.1 Kriteriji stabilnosti
Pregled kriterija stabilnosti dan je na slici 8.9.
KRITERIJI STABILNOSTI
Grafoanalitički kriteriji Analitički kriteriji
Bodeovkriterij
Nyquistovkriterij
Hurwitzovkriterij
Routhovkriterij
W (s) – prijenosna funkcija
otvorene petlje0 Karakteristična jednadžba
Slika 8.9.
Kriteriji stabilnosti.
Iz slike 8.9 se moţe uoĉiti kako grafoanalitiĉke metode kao polazište koriste prijenosnu
funkciju otvorene petlje sustava, a analitiĉki kriteriji stabilnosti koriste karakteristiĉnu
jednadţbu sustava. Vezu izmeĊu ovih pojmova i njihovo znaĉenje moţemo analizirati
koristeći sliku 8.10.
Slika 8.10.
Sustav s povratnom vezom.
Kako već znamo, prijenosna funkcija sustava sa slike 75 glasi:
)()(1
)(
)(
)()(
sHsG
sG
sX
sYsW
Tada je
)()()(0 sHsGsW - prijenosna funkcija otvorene petlje tog sustava
)()(1 sHsG = 0 – karakteristiĉna jednadţba
Predavanja iz automatike 2011
120
8.2 Grafoanalitički kriteriji stabilnosti
8.2.1 Bodeov kriteriji stabilnosti
Bodeov kriterij stabilnosti: Sustav je stabilan ako aproksimacijska amplitudna karakteristika
prijenosne funkcije otvorene petlje presjeĉe frekvencijsku os prije nego fazna frekvencijska
karakteristika te iste funkcije presijeĉe os -180°.
Promatrajući odnos izmeĊu frekvencije kritiĉne amplitude I i frekvencije kritiĉne faze
moţemo zakljuĉiti o stabilnosti sustava:
1) I Stabilan sustav
2) I Sustav na granici stabilnosti
3) I Nestabilan sustav
Iz amplitudne i fazne karakteristike prijenosne funkcije otvorene petlje mogu se odrediti i tzv.
mjere stabilnosti (AMPLITUDNA i FAZNA PRIĈUVA). AP i FP nam govore koliko je
sustav daleko od granice stabilnosti.
Amplitudna priĉuva definirana je na frekvenciji kritiĉne faze i predstavlja udaljenost
amplitudnog dijagrama do frekvencijske osi (AP na slici 8.11).
Fazna priĉuva definirana je na frekvenciji kritiĉne amplitude i predstavlja udaljenost od osi -
180° do faznog dijagrama (FP na slici 8.11).
Amplitudna priĉuva i fazna priĉuva su uvijek ili obe pozitivne ili obe negativne.
Za stabilan sustav: AP [dB] > 0 (AP > 1 - Ako nije u dB); FP > 0
Za sustav na granici stabilnosti: AP [dB] = 0 (AP = 1 - Ako nije u dB); FP = 0
Slika 8.11.
Ilustracija Bodeovog kriterija
stabilnosti.
I - Frekvencija kritiĉne amplitude
- Frekvencija kritiĉne faze
I Sustav je stabilan!
Predavanja iz automatike 2011
121
Za nestabilna sustav: AP [dB] < 0 (AP < 1 - Ako nije u dB); FP < 0.
Primjer nestabilnog sustava prikazan je na slici 8.12.
8.2.2 Nyquistov kriteriji stabilnosti
Matematiĉka osnova ovog kriterija je CAUCHY-ev TEOREM:
“Ako zatvorena krivulja u S ravnini obuhvaća Z - nula i P – polova neke funkcije, njezina
odgovarajuća preslikana krivulja u kompleksnoj ravnini obuhvaća ishodište N = Z – P puta.”
N – broj obilazaka krivulje oko ishodišta
Slika 8.12.
Ilustracija Bodeovog kriterija
stabilnosti na primjeru nestabilnog
sustava.
I Sustav je nestabilan!
0
)1(
0
FP
AP
dBAP
Slika 8.13.
PZN
PZ
polovanula
00 360360
.arg.arg
tj. preslikana krivulja
napravi (Z-P) okruţenja
ishodišta kompleksne
ravnine
Predavanja iz automatike 2011
122
Slika 8.15.
Broj obilazaka ishodišta: N =-3 kada 1+GH ima 6 polova (P=6) i 3 nule (Z=3).
Nazivnik prijenosne funkcije zatvorenog kruga koji definira njegovu stabilnost glasi:
)(
)(
)(
)(1)(1)()(1
0
0sA
sA
sA
sBKsWsHsG z
gdje je Az(s) brojnik karakteristiĉne jednadţbe (nazivnika prijenosne funkcije zatvorenog
kruga), a A0(s) nazivnik k.j.
Prema Cauchyevu principu argumenta slijedi da će funkcija 1+W0(s) okruţiti ishodište Z-P
puta u smjeru obilaska krivulje koja se preslikava (smjer kazaljke sata), gdje je Z broj nula
polinoma Az(s) obuhvaćenih krivuljom (u desnoj poluravnini) i P- broj nula polinoma Ao(s)
obuhvaćenim krivuljom koja se preslikava.
Nyquist:
1. Nyquist proširuje konturu na ĉitavu desnu poluravninu
2. Krivulja koja se promatra pripada karakteristiĉnoj jednadţbi 1+GH=0 (nazivnik
prijenosne funkcije izjednaĉimo s nulom)
Da bi sustav bio stabilan dovoljno je pokazati da nijedna nula K.J. nije unutar
Nyquistove konture D, koja obuhvaća cijelu desnu poluravninu s-ravnine.
Nul toĉke karakteristiĉne jednadţbe polovi prijenosne funkcije sustava
PZN
PZ
polovanula
00 360360
.arg.arg
Slika 8.14.
Princip argumenata:
Ako 1+GH sadrţi Z nula i P polova
unutar D, dijagram 1+GH za s koji
se mijenjaju po konturi D u smjeru
kazaljke na satu obići će ishodište u
kompleksnoj ravnini Z-P puta
Predavanja iz automatike 2011
123
Da bi sustav bio stabilan treba biti zadovoljeno Z = 0, odnosno N = -P.
Predznak za N: + u smjeru kretanja kazaljke na satu, - obratno od smjera
kretanja kazaljke na satu.
3. 1 + GH = 0
GH = -1
W0 = -1 + j0
Napomena: Treba primjetiti da se kod analize stabilnosti, zbog jednostavnosti, obično
preslikava funkcija W0(s) a ne 1+W0 (s), što ima za posljedicu da se stabilnost odreĎuje s
obzirom na broj okruženja točke -1 + j0 umjesto ishodišta.
Nyquistov kriterij stabilnosti:
“Sustav je stabilan ako polarna krivulja prijenosne funkcije otvorene petlje obiĎe kritičnu
točku -1 + j0 u smjeru suprotnom od kazalke na satu onoliko puta koliko ta prijenosna
funkcija otvorene petlje ima polova sa pozitivnim realnim dijelom (N=-P).”
Amplitudna i fazna priĉuva kod Nyquistovih dijagrama
Neka imamo sustav ĉija je prijenosna funkcija otvorene petlje:
bsass
KW
0
Obilaţenje dijagrama 1+GH oko ishodišta jednako je
obilaţenju GH tj. W0 oko toĉke -1, na negativnoj realnoj osi.
Slika 81.
1) SLUČAJ :
Stabilan sustav
Slika 8.16.
1) SLUČAJ :
Stabilan sustav
Slika 8.17.
2) Sluĉaj:
Nestabilan sustav
Predavanja iz automatike 2011
124
Amplitudna i fazna priĉuva - analitiĉki
1:
Re
Im
Re
Im180
arg180
0Im:
Re
1log20
0
0
0
0
0
0
II
NAZBR
I
jW
arctgarctgFP
jWFP
jW
dBjW
AP
I
Dobre strane Nyquistovog kriterija stabilnosti:
o nije potrebno poznavati diferencijalnu jednadţbu sustava; polarna krivulja se moţe
odrediti pokusom ili iz poznatih prijenosnih funkcija pojedinih elemenata,
o uvid u relativnu stabilnost preko amplitudne i fazne priĉuve,
o moţe se odrediti utjecaj pojedinaĉno svakog elementa sustava što je vaţno sa stajališta
i analize i sinteze,
o mogu se analizirati i sustavi s raspodijeljenim parametrima.
Nedostaci :
o potrebno je dosta vremena da se doĊe do informacije o stabilnosti sustava.
8.3 Analitički kriteriji stabilnosti
Da bi sustav bio apsolutno stabilan dovoljno je da svi korijeni karakteristiĉne jednadţbe
0)()(1 sHsG leţe u lijevoj polovini s- ravnine.
K.J. moţemo pisati u obliku:
0... 01
1
1
asasasa n
n
n
n
Treba poznavati koeficijente:
011 ,,..., aaaa nn
Da bi odredili gdje se nalaze korijeni karakteristiĉne jednadţbe, a da pri tom ne raĉunamo
njihovu toĉnu vrijednost, koristimo Routhov i Hurwitzov kriterij stabilnosti.
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
Predavanja iz automatike 2011
125
8.3.1 Hurwitzov kriterij stabilnosti
Za primjenu ovog kriterija potrebno je formirati tzv. Hurwitzovu determinantu:
...
...00
...0
...0
...
...
1
2
31
42
531
n
n
nn
nn
nnn
nnn
n
a
a
aa
aa
aaa
aaa
H
Hurwitzova determinanta ima redova ima koliko je i n u bazi Hn. Iz ove determinante
formiramo subdeterminante:
11 naH
2
31
2
nn
nn
aa
aaH
31
42
531
3
0
nn
nnn
nnn
aa
aaa
aaa
H
nH...
Hurwitz je pokazao sljedeće:
“Zatvoreni regulacijski sustav s negativnom povratnom vezom je stabilan ako su svi
koeficijenti ai karakteristične jednadžbe istog predznaka i ako su sve dijagonale
subdeterminante Hi Hurwitzove determinante H veće od nule.”
Odnosno:
o Sustav je stabilan ako su sve subdeterminante Hurwitzove determinante ukljuĉujući i
samu determinantu veće od 0.
o Ako je jedna od subdeterminanti jednaka 0, Hurwitzov kriterij ne daje odgovor je li
sustav stabilan ili nije.
Prednosti:
Nije potrebno poznavati rješenje diferencijalne, odnosno karakteristiĉne jednadţbe
sustava da bi se ustanovila apsolutna stabilnost.
Treba poznavati samo koeficijente karakteristiĉne jednadţbe.
Predavanja iz automatike 2011
126
Nedostatci:
Potrebno je poznavati karakteristiĉnu jednadţbu sustava koju je u praksi ĉesto vrlo teško
odrediti.
Dobije se informacija samo o apsolutnoj, ne i relativnoj stabilnosti sustava.
Ne moţemo odrediti utjecaj pojedinih elemenata i sklopova na stabilnost sustava.
Primjer 1:
S pomoću Hurwitzova kriterija ispitajmo stabilnost sustava ĉija je karakteristiĉna jednadţba:
024148 23 sss
Koeficijenti su:
024;014;08;01 321 nnnn aaaa
Pa je Hurwitzova determinanta:
...
...00
...0
...0
...
...
1
2
31
42
531
n
n
nn
nn
nnn
nnn
n
a
a
aa
aa
aaa
aaa
H
Odnosno za ovaj primjer:
2480
0141
0248
H
A subdeterminante:
08824148141
248;088 21 HH
02112242424148
2480
0141
0248
3 H
Svi koeficijenti i sve determinante > 0 tj. sustav je stabilan!
Predavanja iz automatike 2011
127
Primjer 2:
S pomoću Hurwitzova kriterija ispitajmo stabilnost sustava ĉija je karakteristiĉna jednadţba:
01242 23 sss
Koeficijenti su:
012;04;02;01 321 nnnn aaaa
Pa je Hurwitzova determinanta:
48
1220
041
0122
0 31
42
531
3
nn
nnn
nnn
aa
aaa
aaa
H
A subdeterminante:
0412841
122;022 21 HH
Sustav nije stabilan jer su H2 i H3 < 0!
Primjer 3:
S pomoću Hurwitzova kriterija odredimo vrijednost konstante K pa da sustav ĉija je
karakteristiĉna jednadţba:
0122 KKss
bude stabilan!
Koeficijenti su:
;12;;01 02112 KaaKaaaa nnn
Pa je Hurwitzova determinanta:
KKK
K
aa
aaH
nn
nn
2
2
31
2 2121
0
Za stabilan sustav trebaju biti zadovoljeni uvjeti:
Predavanja iz automatike 2011
128
,2
1
2
10012
02 2
KKKKK
KK
8.3.2 Routhov kriterij stabilnosti
Za sustave više od ĉetvrtog reda Hurwitzov kriterij postaje jako neprikladan jer je potrebno
rješavati subdeterminante ĉetvrtog i višeg reda. U tim sluĉajevima se koristi Routhov kriterij
stabilnosti. Jako sliĉan Hurwitzovom, ali sa znatno jednostavnijim proraĉunima.
Prvo formiramo tzv. Routheov raspored:
1. Stupac (izdvojimo prvi stupac)
).1(
.4
.3
.2
.1
321
321
531
42
n
BBB
AAA
aaa
aaa
nnn
nnn
Kako se moţe primijetiti, prva dva reda Routhovog rasporeda se pišu direktno iz koeficijenata
karakteristiĉne jednadţbe.
Ostale ĉlanove raĉunamo iz sljedećih izraza:
3
72633
1
31512
1
5412
1
21311
1
3211
n
nnnn
nn
n
nnnn
nn
n
nnnn
a
aaaaA
A
AaaAB
a
aaaaA
A
AaaAB
a
aaaaA
Općenito pravilo za raĉunanje tih i ostalih (osim elemenata prva dva retka) je sljedeće:
lijevi
donji
desni
donji
lijevi
gornji
desni
gornji
lijevi
donji
(31)
Predavanja iz automatike 2011
129
Routhov kriterij stabilnosti:
“Sustav je stabilan ako svi elementi prvog stupca Routhovog rasporeda imaju isti predznak.
Ako se meĎu elementima prvog stupca pojavi nula, Routhov kriterij stabilnosti daje odgovor
na pitanje da li je sustav stabilan ili nije (nužan i dovoljan uvjet stabilnosti)*.
Broj promjena predznaka meĎu elementima prvog stupca govori koliko promatrani sustav
ima polova sa pozitivnim realnim dijelom.”
* Tj. ako je neki prvi element u bilo kojem retku nula, zamjenjujemo ga s vrlo malim brojem
koji jeveći od nule (e > 0).
Primjer 4:
Primjenom Routhovog kriterija stabilnosti ispitajte stabilnost sustava ĉija je karakteristiĉna
jednadţba:
023 24 sss
Formiramo Routhov raspored:
2131 01234
4321
aaaaa
aaaaa nnnnn
Jako mali pozitivni broj
Izraĉunajmo i elemente 3., 4. i 5. retka:
21
021
12
20
1313
1
12211
1
1
1
23111
0
3
4032
3
14231
B
ABABC
A
A
A
AaaAB
aa
aaaA
a
aaaaA
Pa je Routhov raspored:
2.5
1.4
213
.3
1.2
231.1
).1(
.4
.3
.2
.1
321
321
531
42
n
BBB
AAA
aaa
aaa
nnn
nnn
).1(
.4
.3
01.2
231.1
321
321
13
024
n
BBB
AAA
aa
aaa
lijevi
donji
desni
donji
lijevi
gornji
desni
gornji
lijevi
donji
0
Predznak se mijenja 2 puta:
Sustav ima dva pola s pozitivnim
realnim dijelom - NESTABILAN
Promjena
predznaka
Predavanja iz automatike 2011
130
Primjer 5 :
Za sustav ĉija je karakteristiĉna jednadţba:
01242 23 sss
O stabilnosti zakljuĉujemo Routhovim kriterijem:
12421 321
321
nnnn
nnnn
aaaa
aaaa n=3 -> 4 retka
Izraĉunajmo i elemente 3. i 4. retka (n+1=4):
122
0122
0
22
12142
1
21311
1
5412
1
3211
A
AaaAB
a
aaaaA
a
aaaaA
nn
n
nnnn
n
nnnn
Pa je Routhov raspored:
012.4
002.3
0122.2
041.1
Primjer 6 :
Za sustav ĉija je prijenosna funkcija zatvorene petlje:
7643
8)(
23
sss
ssW
Pa je karakteristiĉna jednadţba: 07643 23 sss
O stabilnosti zakljuĉujemo Routhovim kriterijem:
7643 321
321
nnnn
nnnn
aaaa
aaaa n=3 -> 4 retka
Izraĉunajmo i elemente 3. i 4. retka (n+1=4):
Predznak se mijenja 2 puta:
Sustav ima dva pola s pozitivnim
realnim dijelom - NESTABILAN
Predavanja iz automatike 2011
131
775.0
04775.0
0
75.04
7364
1
21311
1
5412
1
3211
A
AaaAB
a
aaaaA
a
aaaaA
nn
n
nnnn
n
nnnn
Pa je Routhov raspored:
7.4
075.0.3
74.2
63.1
Primjer 7 :
Za sustav ĉija je karakteristiĉna jednadţba:
015322 2345 sssss
O stabilnosti zakljuĉujemo Routhovim kriterijem:
15
3
2
2
1
1
5
4
3
2
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
n=5 -> 6 redaka
Prvi način:
Izraĉunajmo i elemente 3.-6. retka (n+1=6):
15
122
1442415
12
0
1
2
1
21311
1
5412
1
C
A
AaaAB
a
aaaaA
A
nn
n
nnnn
Predznak se ne mijenja :
Sustav je STABILAN
Predavanja iz automatike 2011
132
012122
1442415lim
122lim
2
0
0
Sustav nije stabilan
Drugi način:
Uvodimo supstituciju: s = 1/ x
Pa nakon supstitucije rješavamo novu jednadţbu:
0122315
/0151
31
21
211
2345
5
2345
xxxxx
xxxxxx
1.6
012.5
15.0.4
48.3
123.2
1215.1
Sustav nije stabilan!
Primjer 8 :
Za sustav sa slike odredite K tako da sustav bude stabilan:
K1
s(s+1)(s+2)(s+4)+
-
15.6
0122
1442415.5
15122
.4
12.3
1521.2
321.1
2
Predavanja iz automatike 2011
133
GH
GsW
1)(
Pa je karakteristiĉna jednadţba:
08147
0421
34
Kssss
Kssss
O stabilnosti zakljuĉujemo Routhovim kriterijem:
Kaaaa
aaaaa
nnnn
nnnnn
81471 321
4321
n=4 -> 5 redaka
Pa je Routhov raspored:
K
K
K
K
.5
090
49720.4
7
90.3
087.2
141.1
Uvjet stabilnosti:
49
7200
90
49720
0
KK
K
Predavanja iz automatike 2011
134
9. Pogreške ustaljenog stanja
9.1 Uvod
Osnovni zahtjev koji se postavlja pred svaki regulacijski sustav – stabilnost u radu.
Dodatni zahtjevi:
Što točniji sustav tj. da mu izlazna stvarna veliĉina bude što bliţa izlaznoj veliĉini;
Što manja osjetljivost na promjenu pojedinih parametara.
Točnost sustava opisujemo s pomoću trajnog regulacijskog odstupanja – pogrešaka
ustaljenog stanja.
Osjetljivost definiramo kao promjenu prijenosne funkcije sustava u odnosu na promjenu
pojedinih parametara sustava (zbog temperature, vlage, starenja, itd.).
Prisjetimo se zatvorenog sustava s negativnom povratnom vezom:
Slika 9.1.
Zatvoreni sustav s negativnom povratnom vezom
Njegova prijenosna funkcija je:
)()(1
)(
)(
)()(
sHsG
sG
sX
sYsW
A prijenosna funkcija otvorene petlje: )()()(0 sHsGsW
Prijenosna funkcija otvorene petlje ovog regulacijskog sustava je sasvim općenito:
n
j
j
m
i
i
ps
zsK
sHsGsW
1
10
'
)()()( (9.1)
K’ je prijenosni omjer ili pojaĉanje, -zi, -pj nule odnosno polovi prijenosne funkcije otvorene
petlje, a m ≤ n.
Ako postoji a nula i b polova u ishodištu, pišemo:
Predavanja iz automatike 2011
135
bn
j
j
b
am
i
i
a
pss
zssK
sHsG
1
1
'
)()( (9.2)
Razmotrimo li sustave sa b ≥ a i uz b-a=d, dobit ćemo:
)(
)(''
)()(
1
1
sNs
sBK
pss
zsK
sHsGdadn
j
j
d
am
i
i
(9.3)
gdje eksponent d odreĊuje sustav obzirom na vrstu:
d = 0 sustav nulte vrsti
d = 1 sustav prve vrsti
d = 2 sustav druge vrsti
…
Vrsta sustava odgovara broju čistih integracija.
Za sustav sa slike 9.1 odredimo pogrešku ustaljenog stanja, dakle razliku ulaznog i povratnog
signala kad vrijeme t teţi u beskonaĉnost:
e(t) = x(t) – p(t)
Odnosno:
E(s) = X(s) – P(s) (9.4)
Oĉito je:
E(s) = X(s) – Y(s) H(s)
odnosno:
E(s) = X(s) – E(s) G(s) H(s)
pa je:
E(s) =G(s)H(s)1
X(s)
(9.5)
Budući da je po teoremu konačne vrijednosti:
)(lim)(lim0
ssEteest
dobit ćemo:
)()(1
)(lim
0 sHsG
sXse
s
(9.6)
Predavanja iz automatike 2011
136
Vidljivo je da pogreška ustaljenog stanja ovisi o ulaznom signalu i o prijenosnoj funkciji
sustava.
9.2 Pogreške ustaljenog stanja pomaka, brzine i ubrzanja
Definirajmo tri pogreške ustaljenog stanja: pomaka, brzine i ubrzanja.
9.2.1 Pogreška ustaljenog stanja pomaka
Ako na ulaz stabilnog sustava dovedemo jediniĉnu odskoĉnu funkciju:
s
sXilitutx1
)()(
odredit ćemo konstantu:
)(
)('lim)()(lim)(lim
000
0 sNs
sBKsHsGsWK
dsssp
(9.7)
kao konstantu položaja ili koeficijent pogreške položaja.
Oĉigledno je:
0
0)0(
)0('
dza
dzaN
BK
K p (9.8)
Ţelimo li odrediti pogrešku ustaljenog stanja položaja koristit ćemo jednadţbu
)()(1
)(lim
0 sHsG
sXse
s
dakle:
p
s
sP
KsHsGsHsG
sse
1
1
)()(lim1
1
)()(1
1
lim
0
0 (9.9)
Oĉigledno je iz navedenog (vidi izraze 9.8 i 9.9) :
Pe (9.10)
razliĉita od nule i konaĉna za d = 0
0 za d > 0
Predavanja iz automatike 2011
137
9.2.2 Pogreška ustaljenog stanja brzine
Ako na ulaz stabilnog sustava dovedemo jediniĉnu pravĉastu funkciju:
2
1)(
ssXilittx
definirat ćemo konstantu:
)(
)('lim)()(lim)(lim
1000
0 sNs
sBKsHsGssWsK
dsssV
(9.11)
kao konstantu brzine ili koeficijent pogreške brzine.
Oĉito je:
1
1)0(
)0('
00
dza
dzaN
BK
dza
KV (9.12)
Odredimo sada pogrešku ustaljenog stanja brzine s pomoću jednadţbe
)()(1
)(lim
0 sHsG
sXse
s
)()(
1lim
)()(1
1
lim0
2
0 sHssGssHsG
ssess
V
s
VKsHssG
e1
)()(lim
1
0
(9.13)
Iz izraza (9.12) i (9.13) slijedi:
Ve (9.14) ∞ za d = 0
razliĉita od 0 i konaĉna za d = 1
0 za d > 1
Predavanja iz automatike 2011
138
9.2.3 Pogreška ustaljenog stanja ubrzanja
Ako na ulaz stabilnog sustava dovedemo paraboliĉku pobudnu funkciju:
3
2 1)(
2)(
ssXili
ttx
definirat ćemo konstantu:
)(
)('lim)()(lim)(lim
20
2
00
2
0 sNs
sBKsHsGssWsK
dsssa
(9.15)
kao konstantu ubrzanja ili koeficijent pogreške ubrzanja.
Oĉigledno je:
2
2)0(
)0('
1,00
dza
dzaN
BK
dza
Ka (9.16)
Pogreška ustaljenog stanja ubrzanja je prema jednadţbi
)()(1
)(lim
0 sHsG
sXse
s
as
sa
KsHsGssHsG
sse1
)()(lim
1
)()(1
1
lim)(2
0
3
0
(9.17)
pa je:
)(ae (9.18)
Zajedniĉki zakljuĉak:
Sve konstante odnosno koeficijenti pogreške su upravo proporcionalni pojaĉanju u
sustavu.
Sve pogreške su ubrnuto proporcionalne pojaĉanju u sustavu.
Zakljuĉak:
SUSTAV JE TOĈNIJI ŠTO JE POJAĈANJE VEĆE.
(Sustav s većim pojaĉanjem moţe reagirati na male pogreške, odnosno na male razlike
izmeĊu ţeljene i stvarne vrijednosti).
∞ za d = 0,1
razliĉita od 0 i konaĉna za d = 2
0 za d > 2
Predavanja iz automatike 2011
139
Tabelarni prikaz pogreški ustaljenog stanja i koeficijenata za sustave 0, 1. i 2. vrsti:
Ulaz JEDINIČNI ODSKOK u(t) ili 1/s
JEDINIČNI PRAVAC
t ili 1/s2
JEDINIČNA PARABOLA
t2
/2 ili 1/s3
Vrst sustava
Kp ep(∞)
K
V e
V(∞) K
a e
a(∞)
0
)0(
)0('
N
BK pK1
1
0
∞
0
∞
1 ∞
0 )0(
)0('
N
BK
VK
1
0
∞
2 ∞
0
∞
0 )0(
)0('
N
BK
aK
1
9.2.4 Odstupanje od željenog odziva sustava
Pod pogreškom ĉesto podrazumijevamo odstupanje stvarnog od ţeljenog odziva sustava
(Slika 84). Pogreška (E) je tada:
)()()( sYsYsE T (9.19)
Gdje je )(sYT ţeljeni odziv, a )(sY stvarni odziv sustava.
Slika 9.2.
Odstupanje odziva idealnog i stvarnog sustava.
U ovom sluĉaju definiraju se sljedeće veliĉine:
Konstanta pogreške odskoka:
X
YT
K
s
S
0lim
1 (9.20)
Predavanja iz automatike 2011
140
Pogreška ustaljenog stanja (odskoka):
S
St
SK
tee1
)(lim
(9.21)
Konstanta pogreške nagiba:
X
YT
s
K
s
R1
lim
1
0
(9.22)
Pogreška ustaljenog stanja (nagiba):
R
Rt
RK
tee1
)(lim
(9.23)
Konstanta pogreške parabole:
X
YT
s
K
s
PA
20
1lim
1 (9.24)
Pogreška ustaljenog stanja (parabole):
PA
PAt
PAK
tee1
)(lim
(9.25)
Ako ţelimo odrediti relacije izmeĊu ovih konstanti i konstanti pogrešaka kod, na primjer,
sustava s negativnom jediniĉnom povratnom vezom, imat ćemo uz T = 1:
GG
G
X
YT
G
G
X
YTH
1
1
11
1;1;1
pa vrijedi
Ps
s
S KsG
G
K
1)(lim1
1
1lim
1
0
0
Vs
s
R KssG
Gs
K
)(lim1
1
11lim
1
0
0
Predavanja iz automatike 2011
141
as
s
PA KsGs
Gs
K
)(lim1
1
11lim
1 2
0
20
Primjer 1:
Za regulacijski sustav sa slike odredite pogrešku ustaljenog stanja poloţaja pe .
Prijenosna funkcija otvorene petlje ovog sustava je:
1033,0
9,025)()()(0
ssHsGsW
pa je:
)()(1
)(lim)(lim)(
00 sHsG
sXsssEe
ssP
u ovom sluĉaju imamo X(s) = 1/s pa je:
0425,05,23
1
1033,0
9,0251
/1lim)(
0
s
sse
sP
Primjer 2:
Za regulacijski sustav sa slike odredite koeficijente pogreške odskoka, ulaza i parabole te
odgovarajuće pogreške ako je ţeljena prijenosna funkcija T = 0.5.
Moţemo pisati:
Predavanja iz automatike 2011
142
42
2
222
2
2
121
2
2
1
2
2
2
2
ssX
Y
ss
s
ss
GH
G
X
Y
422
2
42
2
2
122
ss
ss
ssX
YT
Koeficijenti su:
0
422
21lim
1
1lim
1
4
422
21lim
1
1lim
1
422
2lim
1
lim
1
22020
200
200
ss
ss
sX
YT
s
K
ss
ss
sX
YT
s
K
ss
ss
X
YT
K
ss
PA
ss
R
ss
S
Dakle, odgovarajuće pogreške su:
Za odskok na ulazu:
Za uzlaz na ulazu:
Za parabolu na ulazu:
PA
R
S
Ke
Ke
Ke
1
25,01
01
Predavanja iz automatike 2011
143
10. Osjetljivost
10.1 Uvod
Prvi korak kod analize ili sinteze regulacijskih sustava je izrada matematiĉkog modela
sustava. Kod vremenski nepromjenljivih linearnih sustava najĉešće najvaţniji matematiĉki
modeli su:
a) prijenosna funkcija i
b) frekvencijska prijenosna funkcija.
a) Prijenosna funkcija OdreĊena je konaĉnim brojem konstantnih parametara. Vrijednosti ovih parametara su tzv.
nazivne vrijednosti. Takva prijenosna funkcija naziva se nazivna prijenosna funkcija.
Točnost modela ovisi o odstupanju stvarnih vrijednosti parametara od nazivnih vrijednosti te
o odstupanju od nazivnih vrijednosti tijekom rada sustava.
U tom sluĉaju, osjetljivost definiramo kao mjerilo odstupanja prijenosne funkcije sustava od
njene nazivne vrijednosti kada se vrijednost jednog od njenih parametara razlikuje od svoje
nazivne vrijednosti.
b) Frekvencijska prijenosna funkcija OdreĊuje se direktno iz prijenosne funkcije sustava (kompleksnu varijablu “s” zamijenimo s
“jω”). U tom sluĉaju – frekvencijska prijenosna funkcija definirana istim parametrima kao i
prijenosna funkcija. Toĉnost odreĊena toĉnošću parametara prijenosne funkcije.
Frekvencijska prijenosna funkcija (FPF) moţe takoĊer biti odreĊena dijagramima amplitude i
faznog kuta kao funkcija kruţne frekvencije ω. Amplitudni i fazni dijagrami se najĉešće
odreĊuju eksperimentalno. Ĉesto ne mogu biti opisani konaĉnim brojem parametara, stoga je
potrebna aproksimacija.
Toĉnost modela ovisi o tome koliko dobro dijagrami amplitude i faznog kuta aproksimiraju
nazivnu frekvencijsku prijenosnu funkciju.
U ovom sluĉaju, osjetljivost je mjerilo odstupanja frekvencijske prijenosne funkcije od njene
nazivne vrijednosti, kada frekvencijska prijenosna funkcija jednog od elemenata sustava
odstupa od nazivne vrijednosti.
10.2 Osjetljivost – izvod
Pretpostavimo da je T(k) matematiĉki model prijenosne funkcije ili frekvencijske prijenosne
funkcije linearnog i vremenski nepromjenjivog sustava:
Tj
ekTkT
)()( (10.1)
gdje je k parametar o kojem ovisi T(k).
Obiĉno i T(k) i ΦT ovise o k, a k je realna ili kompleksna veliĉina koja predstavlja neki od
parametara sustava.
Osjetljivost funkcije T(k) u odnosu na parametar k odreĊuje se preko prirodnog logaritma kao:
Predavanja iz automatike 2011
144
T
k
kT
k
kT
k
S
S
S
)(
)(
)(
)()(
)(
ln
)(ln)(
kT
k
dk
kdT
k
dk
kT
kdT
kd
kTdS kT
k (10.2)
Osjetljivost modula funkcije T(k) je:
)(
)()(
kT
k
dk
kTdS
kT
k (10.3)
Osjetljivost argumenta funkcije T(k) je:
T
Tk
k
dk
dS T
(10.4)
Ove tri osjetljivosti povezane su relacijom:
(10.5)
gdje su:
- ukupna osjetljivost
- osjetljivost modula
- osjetljivost argumenta
prijenosne funkcije TjekTkT
)()( u odnosu na parametar k.
Općenito su )(kT
kS i T
kS
kompleksni brojevi (realni su ako je k realan). Veliki broj
prijenosnih funkcija sustava automatske regulacije moţe se svesti na općeniti oblik:
43
21)()(kAA
kAAsWkT
(10.6)
gdje je k parametar a A1, A2, A3 i A4 polinomi od s.
Nadalje, izraĉunajmo osjetljivost prijenosne funkcije prema izrazu (10.2)
)(
)()(
kT
k
dk
kdTS kT
k
pa dobijemo:
T
kT
kTkT
k SjSS
)()(
Predavanja iz automatike 2011
145
4321
41424232
43
212
43
214432
43
21
43
21
)(
kAAkAA
AAkAAkAAAAk
kAA
kAA
k
kAA
kAAAkAAA
kAA
kAA
k
dk
kAA
kAAd
S kT
k
(10.7)
Konaĉno:
4321
4132)(
kAAkAA
AAAAkS kT
k
(10.8)
Primijenimo izraz (10.8) na klasiĉnu prijenosnu funkciju s negativnom povratnom vezom
Imamo:
)()(1
)()()(
sHsG
sGkTsW
a) Neka je k = G(s) pa je prema (10.6):
43
21
)()(1
)()(
kAA
kAA
sHsG
sGsW
Oĉigledno je: A1 = 0
A2 = 1
A3 = 1
A4 = H(s)
Pa je osjetljivost prijenosne funkcije sustava u ovisnosti preijenosne funkcije direktne grane:
)()(1
1
)()(1)(
)(
4321
4132)(
)(sHsGsHsGsG
sG
kAAkAA
AAAAkS sW
sG
b) Neka je k = H(s) pa je
43
21
)()(1
)()(
kAA
kAA
sHsG
sGsW
Predavanja iz automatike 2011
146
Oĉigledno je: A1 = G(s)
A2 = 0
A3 = 1
A4 = G(s)
Pa je osjetljivost prijenosne funkcije sustava u ovisnosti prijenosne funkcije povratne grane:
)()(1
)()(
)()(1)(
)()( 2
4321
4132)(
)(sHsG
sHsG
sHsGsG
sGsH
kAAkAA
AAAAkS sW
sH
Na temelju izraza za )(
)(
sW
sGS i )(
)(
sW
sHS mogu se izvući sljedeći zakljuĉci:
1. Osjetljivost u svakom slučaju ovisi o frekvenciji (s=jω)-
2. Osjetljivost W(s) u ovisnosti o G(s) je pozitivna, a u ovisnosti od H(s) je negativna (ako
raste G(s), raste i W(s), a ako raste H(s) – opada W(s)).
3. Ako sustav ima odreĎeno pojačanje p.f. otvorene petlje (GH>1), osjetljivost prijenosne
funkcije sustava o H(s) je izrazito veća nego osjetljivost o G(s).
Na primjer: GH = 100, pa je:
19901,01001
100
01,00099,01001
1
)(
)(
)(
)(
sW
sH
sW
sG
S
S
10.3 Osjetljivost - primjeri
Primjer 1
Odredite ukupnu osjetljivost te osjetljivost modula i argumenta prijenosne funkcije RC mreţe
na slici u ovisnosti o promjeni kapaciteta C na frekvenciji ω=2 1srad .
C = 0,7 μF
R1 = R2 = 2 MΩ
RCs
RCs
R
CsR
CsR
R
U
UsW
2
1
1
1)(
1
2
Usporedimo
Predavanja iz automatike 2011
147
RCs
RCs
CAA
CAA
2
1
43
21
pa dobijemo
RsAARsAA 4321 ;2;;1 .
Stoga je
RCsRCs
RsRsC
CAACAA
AAAACSW
C
12
2
2143
4132
az s = jω = j2 (zadano)
4,884,5
4,884,5
4,884,5
8,2
8,218,22
8,2
j
j
j
j
jj
jSW
C
1562,02247,0665,104
352,1652,23j
jSW
C
Budući da je W
CW
W
C
W
C SjSS
Dakle:
W
C
CW
W
C
W
W
S
jSj
S
1562,0
1562,0
2247,0
Odredimo sad argument prijenosne funkcije ΦW
2365,08311,084,11
8,284,92
8,22
8,22
8,22
8,21
22
212
jj
jW
j
j
j
j
RCj
RCjjWjW
Pa je:
radarctgarctgW 277,088,152845,08311,0
2365,0 0
I nadalje:
5638,0277,0
1562,0W
CS
Predavanja iz automatike 2011
148
Ukupna osjetljivost:
1562,02247,0 jSW
C
Osjetljivost modula:
2247,0W
CS
Osjetljivost argumenta:
5638,0W
CS
Primjer 2
Odredite prijenosne funkcije sustava a) i b). Zatim odredite ukupne osjetljivosti prijenosnih
funkcija u odnosu na pojaĉanje K1 ako je K1 = K2 = 100.
10010009,01
100
09,0109,01
1001001000099,01
100100
0099,01
2
2
2
1
12
21
211
K
K
K
KW
KK
KKW
Uz K1 = K2 = 100 – prijenosne funkcije su jednake po iznosu.
Odredimo osjetljivosti za prvi sluĉaj:
W1
W2
Predavanja iz automatike 2011
149
01,0
1001001001000099,01
100100
0099,01
0099,0;1;;00099,01
0
1
1
1
1
2121
21
243221
21
211
W
K
W
K
S
KKKK
KKS
KAAKAAKK
KKW
Odredimo osjetljivosti za drugi sluĉaj:
1,0
10009,01
1
09,01
1
09,0109,01
09,01
0081,009,0;09,01
;;0
0081,009,009,01
0
2
1
2
1
12121
221
2423
221
212
212
W
K
W
K
S
KKKKK
KKKS
KAKA
KAA
KKK
KKW
Dakle: ako se, na primjer, K1 promijeni za 10%, W1 se promijeni za 0,1%, a W2 za 1% - drugi
sustav je 10 puta osjetljiviji na promjene pojaĉanja K1.