Upload
grzesmir
View
250
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
1/14
2015-08-
Marek Wesołowski
Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
Skur cz betonu
Geneza, właściwości, konsekwencje
• A.Mitzel , Reologia betonu, Arkady, Warszawa 1972
• T.Szulczyński, Wpływ skurczu betonu na wielkość momentu zarysowania zginanychelementów żelbetowych, Archiwum Inżynierii Lądowej 2/1975
• H.Rüsch D.Jungwirth, Skurcz i pełzanie w konstrukcjach betonowych, Arkady,Warszawa 1979
• K. Flaga, Skurcz betonu i jego wpływ na nośność, użytkowalność i trwałośćkonstrukcji żelbetowych i sprężonych, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej,
Kraków 2002
• K. Flaga, Zbrojenie przeciwskurczowe, obliczenia, zalecenia konstrukcyjne w
budownictwie powszechnym, XVII Ogólnopolska Konferencja Warsztat Pracy
Projektanta Konstrukcji, Ustroń 20 ÷ 23 lutego 2002
• W. Kiernożycki, Betonowe konstrukcje masywne, Polski Cement, Kraków 2003
• K. Flaga, Naprężenia skurczowe i zbrojenie przypowierzchniowe w konstrukcjach
betonowych, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2004
• K. Flaga, Naprężenia skurczowe i zbrojenie przypowierzchniowe w konstrukcjach
betonowych, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2011
• K. Flaga, Rola skurczu betonu w żelbetowych elementach konstrukcyjnych,
Inżynieria i Budownictwo 9/2014
Skurcz betonu – literatura
Norma europejska
EN 1992-1-1. Eur ocode 2. Design of concr ete structures , Part 1-1. General rules and rules for buildings,
European Commitee for Standarization, Brussels 2004
PN-EN 1992-1-1.Eur okod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu ,Część 1-1. Reguły ogólne i reguły dla budynków,Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2008
Norma polska
PN-B-03264:2002. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone,
Obliczenia statyczne i projektowanie,Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2002
Skurcz betonu – literatura Skurcz betonu – dane podstawowe
Skurcz betonu jest procesem zmian objętościowych, wywołanych złożonymi
zjawiskami fizyko-chemicznymi. Powstają one skutkiem wysychania
twardniejącego zaczynu cementowego – skurcz od wysychania (zwany także
fizycznym, wilgotnościowym) oraz wskutek zachodzących w młodym betonie
procesów przemian strukturalnych i chemicznych – skurcz samoczynny (zwany
także samorodnym, chemicznym, autogenicznym, właściwym, plastycznym).
Skurcz wilgotnościowy rozwija się powoli, gdyż wynika z powolnego procesu
migracji wody przez twardniejący beton.
Skurcz autogeniczny kształtuje się w trakcie procesu twardnienia masy
betonowej i dlatego ważna jego część narasta we wczesnym okresie po
zarobieniu mieszanki betonowej – jest on liniową funkcją wytrzymałości betonu.
Profesor Bronisław Bukowski nazywał go skurczem powstałym z kontrakcji(o charakterze fizyko-chemicznym), czyli z nieodwracalnego zmniejszania
objętości, towarzyszącego reakcjom chemicznym w betonie, w tym przypadku
zmniejszaniem objętości układu woda-cement w procesie tężenia oraz
początkowego okresu twardnienia betonu.
W najogólniejszym przypadku, dla bryły betonu o dowolnym kształcie, miarę
miarodajnego wymiaru przekroju można zdefiniować wzorem
gdzie
V c – objętość bryły betonu
Aout – zewnętrzna powierzchnia betonu, podlegająca wysychaniu
Skurcz betonu – dane podstawowe
Ponieważ dominującą składową skurczu betonu jest skurcz od wysychania, który
uzależniony jest głównie od stosunku powierzchni zewnętrznej elementu
(podlegającej wysychaniu) do jego objętości (zawierającej niezwiązaną wodę),
stąd jako praktyczną miarę stopnia zwartości zadanego elementu wprowadzono pojęcie miarodajnego wymiaru przekroju ho .
out
co A
V h
2
Skurcz betonu – dane podstawowe
Dla prętowego elementu pryzmatycznego miarodajny wymiar przekroju
można obliczyć według relacji
gdzie
Ac – pole przekroju poprzecznego elementu
u – obwód przekroju poprzecznego elementu
l – długość elementu
l
Au A Al u l A AV h cc
c
c
out
co
22222
Ponieważ dla pręta o znacznej długości (teoretycznie dla l ∞) stosunek pola
przekroju poprzecznego do długości zmierza do zera, otrzymuje się
u A
h co
2
Jest to definicja normowa, lecz ważna jedynie dla pręta pryzmatycznego ,
o czym normy PN-EN oraz PN jednak nie wspominają!
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
2/14
2015-08-
Dla bryły betonu o dowolnym kształcie, miarę modułu powierzchniowegoelementu definiuje się wzorem
gdzie
V c – objętość bryły betonu
Aout – zewnętrzna powierzchnia betonu, podlegająca wysychaniu
Skurcz betonu – dane podstawowe
Drugim parametrem, ważnym do oceny zjawiska skurczu betonu (obok
wspomnianego wcześniej miarodajnego wymiaru przekroju) jest inna miara
stopnia zwartości elementu w postaci modułu powierzchniowego mo .
c
out o V
Am
Dla zadanego prętowego elementu pryzmatycznego, związek pomiędzy
modułem powierzchniowym mo a miarodajnym wymiarem przekroju ho
opisanym normową zależnością
Skurcz betonu – dane podstawowe
Na tej podstawie wyróżnia się trzy typy elementów, w zależności od ich modułu
powierzchniowego:
• elementy masywne mo 2 m-1
• elementy średniomasywne 2 < mo < 15 m-1
• elementy niemasywne mo 15 m-1
oo h
m 2
u A
h co
2
jest następujący
Skurcz betonu – dane podstawowe
Skurcz od wysychania objawia się objętościowym zmniejszaniem się bryły
betonu (co w przypadku elementu prętowego prowadzi praktycznie do jego
dominującego skracania się podłużnego).
Natomiast w sytuacji ograniczenia swobody odkształceń betonu, powstają
wymuszone naprężenia wewnętrzne, które dla elementu prętowego mają
charakter stanu liniowego.
Wymuszenia powyższe wynikają z dwóch przyczyn:
• więzów wewnętrznych – generowanych przez istniejące zbrojenie elementu
żelbetowego,
• więzów zewnętrznych – związanych ze skrępowaniem elementu na
podporach lub w innych jego obszarach.
Teoretycznie , umożliwienie swobody odkształceń bryły betonu w każdym
dowolnym punkcie, prowadziłoby do beznaprężeniowej zmiany jej kształtu.
Skurcz betonu – dane podstawowe
Należy jednak mieć dodatkowo na względzie, że nawet jeżeli nie będzie żadnych
więzów wewnętrznych (czyli przy braku zbrojenia) ani więzów zewnętrznych
(czyli przy umożliwieniu całkowitej swobody na podporach), a element zostanie
dodatkowo w pełni odizolowany od otoczenia zewnętrznego (czyli będzie
zabezpieczony przed wysychaniem) – to i tak objawią się w nim odkształcenia
skurczowe, spowodowane trzecią przyczyną: wewnętrznymi procesami
chemicznymi w betonie (skurcz autogeniczny).
W tej sytuacji generowane skutkiem tego nieliniowe i niestacjonarne pola
wilgotnościowe (wspomniane już wcześniej) pociągają za sobą powstanie
wypadkowego nieliniowego stanu naprężeń własnych, który charakteryzuje się
tym, że przypowierzchniowe pasma betonu są rozciągane, natomiast pasma
wewnętrzne są ściskane.
Naprężenia te powstają na skutek oporu jednych warstw betonu w stosunku do
innych (co wynika z tendencji do nierównomiernych odkształceń skurczowych
poszczególnych warstw betonu).
Według A.M.Freundenthala (1906-1977), przez długie lata będącego wzorcem
dla wielu norm, odkształcenia skurczowe można opisać relacją
gdzie
t – czas wysychania betonu, w latach
Skurcz betonu – ujęcie klasyczne
41041 6)( t t t cs
W tym ujęciu, dla czasu t ∞ wynika
końcowa wartość odkształceń skurczowych: 0,15·10 -3 = 0,15 ‰
Warto zauważyć, że wg powyższego wzoru otrzymuje się
• dla czasu t = 0,25 roku: 1/2 skurczu całkowitego
• dla czasu t = 0,50 roku: 2/3 skurczu całkowitego
• dla czasu t = 1,00 roku: 8/10 skurczu całkowitego
Ponieważ skurcz betonu polega na zmniejszaniu się jego objętości, nasuwa się
logiczny wniosek, że dla elementów liniowych można jego skutki modelować
adekwatnym spadkiem temperatury, według relacji
gdzie
αt – współczynnik liniowej rozszerzalności betonu ΔT – równoważny skurczowi spadek temperatury
Skurcz betonu – ujęcie klasyczne
Przyjmując średnią wartość współczynnika liniowej rozszerzalności betonu na
poziomie 1· 10-5 1/deg, to przy zastosowaniu wzoru A.M.Freundenthala, dla
którego końcowa wartość odkształceń skurczowych wynosi 0,15‰ wynika, że
skurcz ten jest równoważny z obniżeniem temperatury betonu o 15 stopni .
T t cs
Taką wartość przyjmowano w klasycznej teorii żelbetu oraz w wielu normach
projektowania konstrukcji z betonu w poprzednich dekadach.
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
3/14
2015-08-
Całkowite odkształcenia skurczowe betonu opisuje wzór
gdzie
cd – odkształcenie skurczowe od wysychania
ca – odkształcenie skurczowe autogeniczne
W normie PN-EN odkształcenia skurczowe betonu opisano z uwzględnieniem
wszystkich istotnych parametrów materiałowych i warunków środowiskowych,
a także biorąc pod uwagę technologię wykonywania konstrukcji oraz pielęgnację
świeżego betonu.
cacd cs
Skurcz betonu wg PN-EN:2008
W porównaniu do wcześniejszych norm należy mieć na uwadze istotny fakt, że
końcowe odkształcenia skurczowe w skrajnie niekorzystnych warunkach mogą
być znacznie większe, aniżeli klasyczna ich wartość wynosząca 0,15 ‰.
Końcowe wartości skurczu przy wysychaniu oblicza się z następującego
wzoru (odmiennego niż w PN ):
gdziek h – współczynnik zależny od miarodajnego wymiaru przekroju
εcd,o – nominalne odkształcenia skurczowe przy wysychaniu
ocd hcd k ,)(
Skurcz betonu wg PN-EN:2008
Współczynnik korekcyjny k h wyznacza się z następującej tabeli:
Nominalne odkształcenia skurczowe przy wysychaniu opisuje relacja
gdzie
f cm – średnia wytrzymałość betonu na ściskanie
f cmo – porównawcza wytrzymałość betonu, równa 10 MPa
RH – współczynnik zależny od wilgotności otoczenia
ds1 – współczynnik zależny od rodzaju cementu
= 3 – dla cementów klasy (S)
= 4 – dla cementów klasy (N)
= 6 – dla cementów klasy (R)
ds2 – współczynnik zależny od rodzaju cementu
= 0,13 – dla cementów klasy (S)
= 0,12 – dla cementów klasy (N)
= 0,11 – dla cementów klasy (R)
Skurcz betonu wg PN-EN:2008
6
21, 10exp)110220(85,0
RH
cmo
cmdsdsocd
f
f
Tempo narastania w czasie skurczu od wysychania przedstawia równanie
(odmienne niż w PN )
gdzie
t – czas (wiek betonu) w dniach
t s – wiek betonu (w dniach) na początku procesu wysychania
ho – miarodajny wymiar przekroju równy 2Ac /u
Ac – pole przekroju betonu
u – obwód części przekroju wystawionej na wysychanie
34,0),(
o s
s sds
ht t
t t t t
Skurcz betonu wg PN-EN:2008
Przebieg skurczu od wysychania w funkcji czasu jest w tym ujęciu ostatecznie
opisany zależnością
ocd h sdscd k t t t ,),()(
Końcowe wartości skurczu autogenicznego oblicza się z następującego wzoru
(analogicznego jak w PN ):
gdzie
f ck – charakterystyczna wytrzymałość betonu (MPa)
610)10(5,2)(
ck ca f
f ck [MPa] ca (∞) [‰]
12 0,01
16 0,02
20 0,03
25 0,04
30 0,05
35 0,06
40 0,08
45 0,09
50 0,10
Skurcz betonu wg PN-EN:2008
Tempo narastania w czasie skurczu autogenicznego przedstawia równanie
(analogiczne jak w PN ):
gdzie
t – czas (wiek betonu) w dniach
)2,0exp(1)( t t as
)()()( caasca t t
Skurcz betonu wg PN-EN:2008
Przebieg skurczu autogenicznego w funkcji czasu jest ostatecznie opisany
zależnością
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
4/14
2015-08-
Odkształcenia skurczowe betonu niezbrojonego (swobodnego) cs realizują
się w stanie beznaprężeniowym.
Więzami wewnętrznymi dla elementu żelbetowego jest opór zbrojenia,
spowodowany faktem, że stal zbrojeniowa – w przeciwieństwie do betonu – nie
ulega samoistnie odkształceniom reologicznym.
Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych
Efekt działania więzów wewnętrznych w kontekście skurczu betonu zostanie przedstawiony poniżej, na przykładzie symetrycznego elementu zbrojonego,
o jednostkowej długości.
Odkształcenia skurczowe betonu zbrojonego (z więzami wewnętrznymi) cs RC
są mniejsze od odkształceń skurczu swobodnego i generują stan naprężeń
wewnętrznych w elemencie.
Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych
Schemat do wyznaczania odkształceń i naprężeń skurczowych
wskutek więzów wewnętrznych
Ponieważ wypadkowa siła normalna w przekroju żelbetowym musi być równa
zero, stąd otrzymujemy zależność
Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych
0 sc N N
Podstawiając odpowiednie wartości odkształceń, wynikające z zasady
zachowania płaskich przekrojów, dochodzimy do równania
0 s RC cs sc RC cscsc E A E A
Dzieląc obustronnie przez Ac· E c mamy
0 RC cs se RC
cscs
… i ostatecznie
cs
se
RC
cs
1
1 Skurcz elementu żelbetowego bez uwzględnienia relaksacji
betonu wskutek jego pełzania
Naprężenia normalne w betonie (rozciągające) wynoszą
Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych
csc se
sec
RC
cscsc E E
1
Naprężenia normalne w stali (ściskające) wynoszą
cs s
se
s
RC
cs s E E
1
1
Należy raz jeszcze wyraźnie podkreślić, że w wyniku działania więzów
wewnętrznych nie jest generowana żadna zewnętrzna siła normalna.
W metodzie uniwersalnej (która dalej będzie zamiennie nazywana metodą sił
uogólnionych N s – M s ) zakłada się, że najpierw swobodny beton (nie związany
ze stalą siłami przyczepności) uległ skurczowi beznaprężeniowemu o wielkości
jednostkowej cs – natomiast każdy pręt zbrojeniowy został oddzielnie ściśniętyadekwatną dla niego zewnętrzną siłą normalną, co wygenerowało w każdym z
nich naprężenia
Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej
scs s E
Następnie usunięto wspomniane zewnętrzne siły normalne w każdym pręcie,
których rolę przejęły naprężenia przyczepności na styku stali i betonu.
W konsekwencji tego, wskutek odkształcalności betonu, pierwotnie ściśnięte
pręty doznały stopniowego odprężenia, sukcesywnie rozciągając przy tym
beton, aż do osiągnięcia stanu równowagi w przekroju.
W tej sytuacji opisane powyżej zjawisko można analizować obliczeniowo biorąc
pod uwagę żelbetowy przekrój sprowadzony (z uwzględnieniem istniejącej stali
zbrojeniowej, co uwzględnia częściowe jej odprężenie), poddany działaniu
mimośrodowego rozciągania siłami w stali N si według poniższego szkicu (dla przykładowych dwóch warstw zbrojenia):
Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej
Schemat odpowiada sytuacji, gdy A s1 > As2 – w wyniku tego moment M s wygina element ku dołowi
(gdy As1 < As2 – wygięcie ku górze, natomiast dla As1 = As2 – tylko zmiana długości od siły N s )
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
5/14
2015-08-
Dla tego przypadku otrzymujemy wypadkową siłę normalną od stali
Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej
2121 s scs s scs s s s A E A E N N N
)()( 221121 a z N a z N M M M g sd s s s s
)()( 2211 a z A E a z A E g s scsd s scs
s scs g sd s scs S E a z Aa z A E )]()([ 2211
s scs s s scs A E A A E
)( 21
W ostatniej zależności wielkość S s jest momentem statycznym zbrojenia
względem środka ciężkości przekroju żelbetowego (fazy I lub fazy II).
oraz wypadkowy moment zginający od stali
Interpretując wpływ skurczu jako działanie pary sił uogólnionych N s – M s(odniesionych do przekroju sprowadzonego) otrzymujemy ze znanych wzorów
następujące relacje
Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej
Z powyższych równań wynikają zależności
g csc
s
csc
s
cg z J E
M
A E
N
d
csc
s
csc
scd z
J E
M
A E
N
cg cs g
cd csd
W szczególnym przypadku, dla zbrojenia symetrycznego ( A s2 = A s1), moment
zginający M s wynosi zero, skąd otrzymujemy
Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej
a po dalszych podstawieniach dochodzimy do wyrażenia
csc
sccd cg
A E
N
cs se se
cs
secc
s s
csc
s scsc
A E
A E
A E
A E
11
Jak widać, odkształcenia wyznaczone powyższą metodą mają identyczną postać
jak wcześniej obliczone w elementarnych rozważaniach wstępnych.
Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej
Obraz graficzny przekroju żelbetowego w stanie równowagi:
stal ściśnięta odkształceniami εs natomiast beton rozciągnięty odkształceniami εc
Po wyznaczeniu odkształceń d s1 s2 g można obliczyć towarzyszące im
naprężenia, oparte na bazie teorii liniowej sprężystości, która w tym przypadku
może mieć adekwatne zastosowanie:
Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych
W powyższych wzorach przyjęto następującą konwencję znakowania naprężeń:
rozciąganie ( + )
ściskanie ( – )
Należy raz jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że powyższe wzory nie uwzględniają
pełzania betonu, powodującego relaksację naprężeń.
c g cs g E
cd csd E
s s s E 22
s s s E 11
Uwzględnienie relaksacji naprężeń wskutek pełzania betonu może być
dokonane przy założeniu stałych – niezależnych od czasu – naprężeń w betonie.
Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego
przy czym moduł sprężystości opóźnionej (reologicznej) opisuje równanie
,
11c
p
c
pel E E
p
cc
E E
1
,
Ten postulat z uwagi na fakt, że efekt skurczu ma charakter wymuszenia typukinematycznego, może być przyjęty bez większych zastrzeżeń.
Zostanie to przedstawione na przykładzie symetrycznego elementu zbrojonego,
w którym dla czasu t = ∞ mamy całkowite odkształcenia jednostkowe równe
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
6/14
2015-08-
Z wcześniejszych rozwiązań, bez uwzględnienia pełzania betonu (czyli według
interpretacji reologicznej dla czasu t = 0 ) uzyskano odkształcenia skurczowe
dla żelbetowego elementu symetrycznego w postaci
gdzie
Stosując metodę sił uogólnionych N s – M s dla czasu t = ∞ mamy z kolei
c
se
E
E
cs se
RC
cs
1
1
s scs s A E N
0 s M
Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego
W tej sytuacji obliczamy odkształcenia według wzoru
gdzie
,
,
c
se
E
E
cs se se
cs
secc
s s
csc
s scsc
A E
A E
A E
A E
,
,
,,,,
,11
,,
,
csc
sc
A E
N
czyli
Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego
Na tej podstawie otrzymujemy ostatecznie odkształcenia skurczowe elementu
żelbetowego z uwzględnieniem pełzania betonu (czyli według interpretacji
reologicznej dla czasu t = ∞ )
pe pc
s
c
se
E E
E E
11,
,
cs
se
cs
se
se
csccs
RC
cs
,,
,
,,1
1
1
Jak widać, jest to postać równania analogiczna jak dla czasu t = 0, z jedną tylko
różnicą: zamiast αe mamy αe∞ – przy czym między tymi dwiema wielkościamizachodzi relacja
Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego
W tej sytuacji można wyznaczyć związek zachodzący między odkształceniami
elementu z uwzględnieniem pełzania betonu, a odkształceniami bez
uwzględnienia pełzania betonu, otrzymując
p
se
se p se
se
se
se
RC
cs
RC
cs
11
1
11
1
1
1
,
,
Przyjmując następnie oznaczenie
se
se
1
mamy
3
,
1
1k
p
RC
cs
RC
cs
Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego
Uwaga: z definicji k 3 < 1
Aby uwzględnić efekt reologiczny w postaci starzenia betonu, we wzorze
opisującym współczynnik zmniejszający k 3 w jego pierwotnej postaci
dokonuje się modyfikacji, wprowadzając przy φ p dodatkowy mnożnik β
Przy analizie zjawisk skurczowych przyjmuje się najczęściej
80,0
Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego
p
k
1
13
p
k
1
13
Interpretacja graficzna efektu skurczu z uwzględnieniem pełzania betonu
rysunek górny: po czasie t = 0, rysunek dolny: po czasie t = ∞
Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
7/14
2015-08-
Po czasie t = 0
cs
se
RC
cs s
1
1
cs
se
se RC
cscsc
1
s
RC
cs s E
c RC cscsc E
Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego
Po czasie t = ∞
s
RC
cscs
se
RC
cs s k k
33
,
,,1
1
s s
RC
cs s
RC
cs s k E k E 33,,
RC
cscscs
se
se RC
cscsc k
3
,
,
,,1
,3,,, c RC cscsc RC cscsc E k E
Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego
Mamy zatem następujące związki
33, k k
s
s
s
s
33, k k
s
s
s
s
3
,
,,1
1
1k p
se
se
se
se
c
c
33,,,
11 k E
E
k E
E
pc
c
pcc
cc
c
c
Wniosek : odkształcenia stali, naprężenia stali, naprężenia betonu zmieniają się
proporcjonalnie do k 3 – nie dotyczy to odkształceń betonu!
Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego
W najogólniejszym przypadku, dla elementu dowolnie zbrojonego, stan
odkształceń dla czasu t = ∞ uzyskamy metodą sił uogólnionych N s – M sstosując we wzorach obliczeniowych parametry materiałowe adekwatne dla
wyżej wymienionego czasu.
a następnie wyznaczamy odkształcenia krawędziowe betonu według wzorów
Przyjmujemy zatem wyjściowe siły uogólnione w znanej formule
Wpływ pełzania betonu dla dowolnego elementu zbrojonego
s scs s S E M
s scs s A E N
,,,,,, g csc
s
csc
s
cg
z J E
M
A E
N
,,,,,
, d
csc
s
csc
scd z
J E
M
A E
N
Po wyznaczeniu odkształceń krawędziowych betonu można łatwo obliczyć
dopełniające odkształcenia krawędziowe:
Powyższe odkształcenia stanowią punkt wyjścia do obliczenia odpowiednich
odkształceń stali zbrojeniowej w poszczególnych jej warstwach.
Wpływ pełzania betonu dla dowolnego elementu zbrojonego
,,,, cg cs RC
g cs g
,,,, cd cs RC
d csd
W tym celu wystarczy tylko znajomość usytuowania poszczególnych warstw
prętów zbrojeniowych, a następnie skorzystanie z elementarnych zależności
geometrycznych, wynikających z zasady zachowania płaskich przekrojów.
Więzami zewnętrznymi elementu żelbetowego są dodatkowe podpory, tworzące
ustrój statycznie niewyznaczalny, krępujące jego swobodne przemieszczenia.
Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych
Efekt działania więzów zewnętrznych w kontekście skurczu betonu zostanie przedstawiony na przykładzie symetrycznego elementu zbrojonego,
o jednostkowej długości, w schemacie pręta obustronnie utwierdzonego:
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
8/14
2015-08-
Przed analizą wpływu więzów zewnętrznych na zachowanie się elementu
żelbetowego poddanego skurczowi betonu, należy przypomnieć podstawowy
fakt, że każda zmiana odkształceń tegoż elementu, przy założeniu zgodności
odkształceń stali i betonu (co z definicji stanowi istotną cechę konstrukcji
żelbetowych, opisaną warunkiem: c = s = ), wymaga zaistnienia siły
normalnej o wartości
Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych
Po uporządkowaniu prowadzi to do znanej relacji
s scc s scc sc A E A E A A N N N )(
cc se
c
s
c
scc A E
A
A
E
E A E N 11)(
Przy więzach zewnętrznych niepodatnych (sztywnych) rozważanego
elementu, powstaje stan jego wymuszonego rozciągania o wartości cs RC .
Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych
Skutkiem tego generowana jest zewnętrzna siła normalna , której wartość
można obliczyć, w kontekście poczynionej przed chwilą uwagi, z zależności
Podstawiając do powyższego równania wyprowadzoną wcześniej wielkość
RC cscc seo RC
cs A E N N N 1)()(
cs
se
RC
cs
1
1
otrzymujemy wyrażenie alternatywne
cscccs se
cc seo A E A E N
1
11
Stal zbrojeniowa wskutek niepodatnych więzów zewnętrznych poddana
rozciąganiu jednostkowemu cs RC niejako powraca do swego położenia
wyjściowego, jak przed zabetonowaniem elementu, stąd naprężenia normalne
w stali są zerowe, a siła normalna wynosi
Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych
Beton od momentu zabetonowania elementu poddany został wypadkowemu
rozciąganiu jednostkowemu cs (odpowiadającemu skurczowi swobodnemu
elementu betonowego), wykazując naprężenia normalne (bez uwzględnienia
relaksacji betonu wskutek jego pełzania) o wartości
c RC
cs seccsc E E 1
Skutkiem tego globalna siła w betonie jest równa
cc RC
cs secccsccc A E A E A N 1
0 s s s A N
Warto zauważyć, że globalna siła w betonie, obliczona poprzednim wzorem,
jest dokładnierówna zewnętrznej sile normalnej, generowanej wskutek
więzów zewnętrznych w postaci niepodatnych podpór.
Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych
co powoduje, że na podporach nie jest potrzebna żadna siła zewnętrzna.
Nie powinno to jednak dziwić, gdyż w przypadku braku więzów zewnętrznych
sumaryczna siła rozciągająca w betonie jest równoważona sumaryczną siłą
ściskającą w stali, czyli zachodzi
Natomiast w przypadku niepodatnych więzów zewnętrznych, skutkiem czego
w stali naprężenia ponownie powracają do zera (jak przed zabetonowaniem),
celem zrównoważenia siły rozciągającej w betonie (która w międzyczasie
wzrosła w stosunku do stanu, gdy nie było niepodatnych więzów zewnętrznych)
musi na podporach powstać zewnętrzna siła normalna o takiej samej wartości
jak wspomniana siła w betonie.
sc N N
Opisany przed chwilą mechanizm powstawania zewnętrznej siły rozciągającej
oraz obliczona wielkość tej siły dotyczyły sytuacji, gdy element żelbetowy
wskutek rozciągania od skurczu nie uległ zarysowaniu.
Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych
Prowadzi to do zmniejszenia rozciągającej siły normalnej na podporze do
wartości
Po zarysowaniu sytuacja ulega istotnej jakościowej oraz ilościowej zmianie:
zakładając, że powstało n rys o rozwarciu wk – wymuszone jednostkowe
odkształcenia ε x wskutek niepodatnych więzów zewnętrznych są mniejsze niżdla elementu niezarysowanego, proporcjonalnie do sumy szerokości powstałych
rys, co dla elementu żelbetowego o długości l można wyrazić równaniem
l
wn k RC cs x
l
wn A E A E N k RC cscc se xcc se x 11
Po przekształceniach otrzymujemy siłę po zarysowaniu elementu w postaci
Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych
Ponieważ siła przed zarysowaniem elementu wynosiła
zatem siła rozciągająca po zarysowaniu może być opisana relacją
l
wn A E N
RC cs
k RC
cscc se x 11
RC cscc seo A E N 1
11 o RC
cs
k o x N
l
wn N N
RC
cs
x
RC
cs
k
o
x
l
wn
N
N
11
lub
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
9/14
2015-08-
Znając siłę po zarysowaniu elementu
Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych
oraz siłę przed zarysowaniem elementu
można wyznaczyć spadek siły wskutek zarysowania elementu
l
wn A E N
RC
cs
k RC
cscc se x
11
RC cscc seo A E N 1
Stąd względna miara ubytku siły rozciągającej wskutek zarysowania wynosi
l
wn
N
N RC
cs
k
o
l
wn A E N N N k cc se xo
1
Stal zbrojeniowa w elemencie zarysowanym, wskutek niepodatnych więzów
zewnętrznych wykazuje średnie naprężenia równe zero, przy czym w rysach
oraz w ich otoczeniu jest lokalnie rozciągana, natomiast pomiędzy rysami jest
lokalnie ściskana.
Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych
Beton w elemencie zarysowanym, wskutek niepodatnych więzów zewnętrznych
wykazuje spadek naprężeń rozciągających z pierwotnej wartości przed
zarysowaniem elementu:
c RC
cs seccso E E 1
do wartości po zarysowaniu elementu
1oc
Rzeczywiste i obliczeniowe naprężenia skurczowe w betonie
Zależność σ–ε dla betonu w strefie rozciąganej, wynikająca z jego nieliniowości materiałowej:
σ pl – naprężenia rzeczywiste (plastyczne), σ el – naprężenia obliczeniowe (sprężyste, elastyczne)
W nawiązaniu do poprzedniego rysunku, należy zwrócić uwagę na fakt, że
obliczając naprężenia rozciągające w betonie według teorii liniowej (co w
praktyce ma najczęściej miejsce), przeszacowuje się naprężenia obliczeniowe
w stosunku do rzeczywistych, z uwagi na nieliniowość materiałową betonu.
Przyjmując w strefie rozciąganej betonu przebieg zależności σ–ε wedługparaboli drugiego stopnia (co jest wystarczająco dokładne), otrzymuje się
zależność między naprężeniami sprężystymi – liniowymi ( σ el ), a naprężeniami plastycznymi – nieliniowymi ( σ pl ) w postaci
ct
el el pl
f
2
11
Przykładowo, dla φ = 1,7 (często przyjmowana wartość w praktyce)
242,07,1
17,1122
Rzeczywiste i obliczeniowe naprężenia skurczowe w betonie
Do tej pory były omawiane odkształcenia i naprężenia skurczowe, wynikające
z istnienia więzów wewnętrznych oraz zewnętrznych w rozpatrywanym
elemencie żelbetowym.
Naprężenia skurczowe własne
Istnieje jeszcze trzecia składowa odkształceń i naprężeń skurczowych: są to
naprężenia skurczowe własne, wynikające z nieliniowych i niestacjonarnych pól
wilgotnościowych w elemencie.
Jak wspomniano już wcześniej, naprężenia skurczowe własne są wynikiem
oporu poszczególnych warstw betonu w stosunku do warstw sąsiednich,
spowodowanego ich zróżnicowaną odkształcalnością skurczową.
Na następnym rysunku zostanie przedstawiony przykładowy rozkład
wspomnianych nieliniowych i niestacjonarnych pól wilgotnościowych w dwóch
różnych okresach czasu.
Interpretacja graficzna nieliniowych i niestacjonarnych pól wilgotnościowych w elemencie
z uwzględnieniem funkcji czasu
Naprężenia skurczowe własne
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
10/14
2015-08-
Na szkicu obrazującym pole wilgotności na grubości elementu żelbetowego
wyszczególniono następujące wielkości:
U o – wilgotność wyjściowa (po zarobieniu betonu)
U z – wilgotność zewnętrzna (powietrza) = constU w – wilgotność wnętrza elementu po czasie τ U p – wilgotność powierzchni betonu po czasie τ U śr – wilgotność średnia elementu po czasie τ U kr – wilgotność średnia początkowa elementu
Naprężenia skurczowe własne
Należy wspomnieć, że naprężenia skurczowe własne, będące skutkiem
nieliniowych i niestacjonarnych pól wilgotnościowych, mają przebieg podobny
do pól wilgotnościowych w rozważanym czasie.
Odkształcenia skurczowe wynikające z więzów zewnętrznych i wewnętrznych
(oporu zbrojenia) są funkcją średniej zmiany wilgotności w przekroju:
Naprężenia skurczowe własne
Natomiast odkształcenia skurczowe własne zależą od gradientu wilgotności
przypowierzchniowe j elementu:
śr w śr kr w
I
cs U U U
p śr w III cs U U
śr w śr kr w
II
cs U U U
W powyższych wzorach β w oznacza współczynnik liniowy względnejodkształcalności wilgotnościowej betonu dla jednostkowej względnej zmiany
wilgotności wagowej
Naprężenia skurczowe własne na tle pozostałych dwóch składowych naprężeń skurczowych w elemencie
(beznaprężeniowa część skurczu wynika z podatności więzów zewnętrznych)
Naprężenia skurczowe własne
Schemat do wyznaczania przypowierzchni owego zbroj enia przeciwskurczowego
dla elementów masywnych i średniomasywnych
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
W elementach o średniej masywności krzywa naprężeń skurczowych własnych
(w przybliżeniu podobna do kształtu pola wilgotności) zbliżona jest do paraboli
trzeciego stopnia, stąd szerokość przypowierzchniowej strefy rozciąganej wynosi
Mniejsze wartości odpowiadają elementom o dużej grubości (gdy moduł
powierzchniowy jest znacząco mniejszy od 2,0 m-1), natomiast większe wartości
odpowiadają elementom o współczynniku masywności zbliżonym do 2,0 m-1 .
bb 185,01
W elementach masywnych krzywa naprężeń skurczowych własnych (w ślad za
kształtem pola wilgotności) zbliża się do parabol wyższych stopni, stąd
szerokość przypowierzchniowej strefy rozciąganej wynosi
bb 15,005,01
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
Przekrój zbrojenia przeciwskurczowego w warstwie przypowierzchniowej
o szerokości b1 wyznacza się z warunku podobnego, jak przy klasycznym
obliczaniu zbrojenia minimalnego w elementach żelbetowych, czyli przy
założeniu, że w momencie pojawienia się rysy (w tym przypadku rysyskurczowej) cała bryła naprężeń rozciągających musi być przejęta przez stal.
przy czym powierzchnia strefy rozciąganej wynosi w tej sytuacji
Powyższy postulat można ująć w sposób przybliżony ogólnym warunkiem
ct ct y ss f A f A
00,11 b Act
Przybliżenie powyższej procedury polega na założeniu, że w strefie rozciąganej
naprężenia w betonie są stałe, równe wytrzymałości betonu na rozciąganie.
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
11/14
2015-08-
Po przekształceniach dochodzi się do relacji
W zależności od tego, jakie konkretne wartości przyjmuje się w odniesieniu do
wytrzymałości betonu na rozciąganie ( f ct ) oraz do wytrzymałości stali ( f y),
uzyskuje się różne formuły obliczeniowe do wyznaczania potrzebnego zbrojenia
przeciwskurczowego.
a po wykorzystaniu definicji stopnia zbrojenia w przypowierzchniowej warstwie
betonu uzyskuje się
y
ct
ct
ss
f
f
A
A
y
ct ss
f
f
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
Według F.Leonhardta
Według H.Rüscha – D.Jungwirtha
yk
ctm
yk
ctk
ss f
f
f
f 30,195.0,
yk
ctm
yk
ctmctm
yk
ctmctk
ss f
f
f
f f
f
f f
89,0
7,05,005,1
5,005,1
05.0,
Według K.Flagi
yk
ctm ss
f
f 10,1
Według PN-EN:2008
yk
ctm ss
f
f 00,1
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
Przy wyznaczaniu zbrojenia przypowierzchniowego z uwagi na działanie
naprężeń skurczowych własnych, należy mieć dodatkowo na względzie
spełnienie wymagań w zakresie ograniczenia szerokości rys.
Wykorzystując pierwszy i trzeci człon powyższej relacji uzyskuje się
Wychodząc z teorii przyczepnościowej, rozstaw rys sr wyznacza się z warunku
s sct ct r sbm A A f su
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
s
s
bm
sr
u
A s
przy czym τ bm opisuje średnie naprężenia przyczepności w betonie
Dla n jednakowych prętów zbrojeniowych o średnicy ϕ s otrzymuje się
Ponieważ odległość pomiędzy rysami w skrajnych przypadkach wynosi sr lub
2 sr – stąd średnia ich odległość jest równa
stąd rozstaw rys sr wynosi
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
44
2
s
s
s
s
s
n
n
u
A
4
s
bm
sr s
r r r
rm s s s
s
2
3
2
2
W tej sytuacji otrzymujemy
uzyskuje się ostatecznie
Przyjmując przybliżenie
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
bm
s s s
bm
srm s
8
3
42
3
3
1
9
3
8
3
bm
s srm s
3
Przy założeniu, że całe wydłużenie elementu realizuje się tylko w rysie (bez
uwzględnienia rozciągania betonu na odcinku między rysami, czyli bez efektu
tension stiffening ), średnią szerokość rysy wrm wyznacza się z warunku
pociąga za sobą
Zatem postulat ograniczenia szerokości rys
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
sbm
s s
bm
s s
s
srm srm
E E sw
33
2
limwwrm
2
lim3
s
sbm s
E w
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
12/14
2015-08-
Przy zastosowaniu minimalnego zbrojenia przeciwskurczowego, które z definicji
ulega uplastycznieniu po zarysowaniu, otrzymujemy
Jest to wzór H.Rüscha – D.Jungwirtha nakładany na średnicę zbrojenia przeciwskurczowego, celem kontroli szerokości rys skurczowych, przy czym dla
prętów zabetonowanych w pozycji poziomej autorzy dopuszczają przyjęcie
stąd warunek ograniczenia średnicy prętów zbrojeniowych przyjmuje postać
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
yk s f
2
lim3
yk
sbm s
f
E w
cmbm f 15,0
Warto zauważyć, że średnica prętów ϕ s odpowiadająca uplastycznieniuminimalnego zbrojenia przeciwskurczowego, może być zamieniona na średnicę
większą ϕ – przy czym, aby spełnić wymóg ograniczenia szerokości rys, należyzmienić któryś z innych parametrów wpływających na szerokość rys.
• dla wyjściowej średnicy ϕ s
Praktycznie mamy jedynie wpływ na zmniejszenie naprężeń w stali z wyjściowejwartości f yk na wartość σ s 3 mm), czyli
1262max s
632max slub
W świetle normy PN-EN:2008 wpływ korzystnego oddziaływania pręta
zbrojeniowego na zwiększenie wydłużalności granicznej betonu zachodzi w
paśmie o szerokości
przy czym c jest grubością otuliny betonowej pręta.
Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne
2
5max
c s
Przykładowo, przy otulinie zbrojenia wynoszącej c = 30 mm, mamy dla prętów
zbrojeniowych ϕ = 10 mm: c = 3ϕ i wówczas
5,172
35max s
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
13/14
2015-08-
Podstawowym pojęciem w analizie ugięć jest krzywizna, którą wyznaczyć
można z definicji miary łukowej kąta
Wpływ skurczu na ugięcia
ds
d
1
gdzie
κ – krzywizna w zadanym punkcie krzywej ρ – promień krzywizny w zadanym punkcie krzywej ds – przyrost długości łuku krzywej w zadanym punkcie
d φ – przyrost kąta stycznych do krzywej na długości ds
otrzymując ostatecznie
ds
d
W ortogonalnym układzie współrzędnych x – y krzywizna dowolnej krzywej,opisanej równaniem y( x), wynosi w miejscu o odciętej x
Wpływ skurczu na ugięcia
2/32
2
2
)(1
)(
dx
xdy
dx
x yd
x
Przy małych nachyleniach krzywej y( x) jej pierwsza pochodna podniesiona do
kwadratu przyjmuje bardzo małe wartości, w związku z czym można przyjąć, że
jest bliska zeru, otrzymując w wyniku tego
2
2)(
dx
x yd x
Dla elementów prętowych, przebiegających wzdłuż umownej osi x (co często
wykorzystujemy w praktyce), wychodzimy z definicji
Wpływ skurczu na ugięcia
dx
d
1
gdzie
κ – krzywizna w zadanym punkcie krzywej ρ – promień krzywizny w zadanym punkcie krzywej dx – przyrost długości elementu wzdłuż osi x
d φ – przyrost kąta stycznych do krzywej na długości dx
otrzymując w rezultacie
dx
d
Schemat do wyznaczania krzywizny elementu w zadanym przekroju, przy znanych odkształceniach
(na rysunku zaznaczono dodatnie wartości odkształceń jednostkowych)
Wpływ skurczu na ugięcia
Dla przypadku pokazanego na poprzednim rysunku otrzymujemy
Wpływ skurczu na ugięcia
gdzie
ε g εd – odkształcenia krawędziowe (górne i dolne) h – wysokość przekroju poprzecznego
Wykorzystując następnie definicję kąta d φ mamy
d
h
dx
h
dxdx d g g d
11
skąd ostatecznie krzywizna wynosi
h
d g
1
dx
h
dxd g
Znając odkształcenia krawędziowe od skurczu betonu w zadanym przekroju
wzdłuż umownej osi x, krzywiznę od skurczu, w nawiązaniu do ostatniego
wzoru, opisujemy analogicznie
Wpływ skurczu na ugięcia
Wykorzystując następnie fakt, że w przypadku skurczu będziemy mieli do
czynienia z małymi ugięciami (co jest najczęstsze w realnych konstrukcjach
budowlanych), możemy zapisać
przy czym znak minus oznacza, jak w wytrzymałości materiałów, że ugięcia
skierowane ku dołowi są traktowane jako dodatnie.
h
x d g
cs
xdx
xwd cs 2
2 )(
8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt
14/14
2015-08-
Jeżeli krzywizna od skurczu jest stała na całej długości elementu
Wpływ skurczu na ugięcia
otrzymujemy
Stałe całkowania C 1 oraz C 2 w powyższej relacji wyznaczamy z odpowiednich
warunków brzegowych.
cs
dx
xwd
2
2
212
2C xC
x xw cs
to po dwukrotnym scałkowaniu wyrażenia
csd g
cs const h
x
W szczególnym przypadku jednoprzęsłowego elementu swobodnie podpartego
o długości l mamy dwa warunki brzegowe:
• x = 0 w = 0
• x = l w = 0
Wpływ skurczu na ugięcia
z których ostatecznie uzyskujemy linię ugięcia od skurczu o równaniu
przy czym
22
2)(
l
x
l
x x xw cs
82
2
max
l l ww cs
Podstawiając następnie zdefiniowane wcześniej wyrażenie opisujące krzywiznę
od skurczu
Wpływ skurczu na ugięcia
uzyskujemy wartość maksymalnego ugięcia od skurczu
8
2
max
l
hw
d g
gdzie ε g εd – skurczowe odkształcenia krawędziowe (górne i dolne) h – wysokość przekroju poprzecznego
l – rozpiętość elementu
hconst
d g
cs
Jak widać, kluczowe dla problemu ugięć jest wyznaczenie adekwatnej krzywizny
od skurczu, której najogólniejszy wzór ma postać
Wpływ skurczu na ugięcia
Korzystanie z powyższej relacji może być w praktycznych zastosowaniach
niewygodne, w związku z czym celowe jest wykorzystanie opisanej wcześniej
uniwersalnej metody sił uogólnionych N s – M s w której dla standardowych
dwóch warstw zbrojenia (górnego i dolnego) mamy
h
d g
cs
s scs s s scs s A E A A E N )( 21
s scs g sd s scs s S E a z Aa z A E M )]()([ 2211
Ponieważ moment od stali M s można interpretować jako moment od skurczu
M cs (siła N s nie daje żadnego wygięcia, a jedynie skrócenie elementu), wobec
czego krzywizna od skurczu może w tej sytuacji być opisana relacją
Wpływ skurczu na ugięcia
cs
cs
se
csc
s scs
csc
cscs
J
S
J E
S E
J E
M
Powyższy wzór, dokładnie w takiej samej postaci, zamieszczono w normie
PN-EN:2008 (str.119), gdzie zdefiniowano:
S s – moment statyczny zbrojenia względem ś.c. przekroju
J cs – moment bezwładności przekroju sprowadzonego
εcs – swobodne odkształcenia skurczowe betonu
Dziękuję za uwagę