Solución de Ecuaciones Diferenciales tipo Bilaplaciano para la Simulación de MEMS tipo acelerómetro

José D. ALANIS

División de Tecnologías de la Información y Comunicación, Universidad Tecnológica de Puebla Puebla, Puebla, 72300, México

Blanca BERMUDEZ

Facultad de Ciencias de la Computación, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Puebla, Puebla, 72570, México

y

José L. Hernández Rebollar Facultad de Ciencias de la Electrónica, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

Puebla, Puebla, 72570, México

RESUMEN

En este artículo se presenta la solución numérica de una ecuación diferencial parcial del tipo bilaplaciano para simular el comportamiento de la deformación de un MEMS (Micro Electro Mechanical Systems, por sus siglas en inglés) del tipo acelerómetro. El modelo físico de este dispositivo es una placa rectangular simplemente apoyada, sujeta por los cuatro extremos y se le aplica una fuerza inicial sobre toda la superficie de forma sinusoidal y como resultado de la vibración se tiene una deformación. Seguidamente se obtiene un modelo matemático que resulta ser una ecuación diferencial parcial que tiene un laplaciano elevado al cuadrado, es decir un bilaplaciano. La solución numérica de la ecuación diferencial parcial tipo bilaplaciano se realizó usando el lenguaje de programación Java, mediante el método de diferencias finitas aprovechando las ventajas del paradigma orientado a objetos y la potencia del lenguaje de programación. Los resultados de la simulación numérica resultan aceptables para este problema en particular y son un primer paso hacia la simulación con visualización mediante la técnica de simulación denominada modelado basado en física. Este mismo método se puede utilizar como base para la simulación de otro tipo de dispositivos, tomando como base este método. Palabras Claves: MEMS tipo acelerómetro Ecuaciones Diferenciales Parciales, EDP tipo Bilaplaciano. Modelado Basado en Física.

1. INTRODUCCIÓN Se puede definir a los MEMS (Micro Electromechanical Systems: por sus siglas en inglés) como una forma de diseñar y desarrollar sistemas electrónicos y mecánicos en una escala en el orden de los micrómetros [2] Los efectos de la aplicación de los MEMS en dispositivos más complejos ó adaptarlos como sensores, actuadores, narices electrónicas, se pueden percibir incluso a gran escala. Lo anterior es utilizado para instrumentar soluciones que generalmente son utilizadas en aparatos electrónicos que obtienen medidas o parámetros del mundo real[2][4][1].En la Figura 1 se puede observar un uso común del MEMS tipo acelerómetro dentro de la industria de los dispositivos móviles para controlar la orientación de la pantalla.

Figura 1 Aplicaciones del MEMS tipo Acelerómetro en la

Industria de los dispositivos móviles. Existen en la literatura acerca del comportamiento de placas y los materiales que las conforman, conocimientos que si bien no son nuevos, aportan un entendimiento particular del tema en cuestión, entre los que más se ha apoyado esta teoría esta Timoshenko [6], en su obra el autor señala que es necesario conocer la física, más precisamente la mecánica del comportamiento de los placas que involucran fuerzas, tensiones y presiones que se aplican sobre el material. De esta forma se puede describir un MEMS tipo acelerómetro de forma general, como una placa, similar a un plato elástico delgado y forma rectangular, simplemente apoyada sujeta por ambos extremos, la deformación del material se da en el plano perpendicular es decir el eje Z. Esto es debido a que se tiene una función de deformación en dos dimensiones x y y, por lo tanto la deformación se mide en dirección de z [2][6]. La obtención de la deformación del material es importante para la construcción de dispositivos del tipo acelerómetro e implementar soluciones electrónicas más complejas. La simulación de este fenómeno ahorra costos en la construcción especializada de materiales, ahorro en tiempo y esfuerzos necesarios para lograr buenos resultados. Actualmente se cuenta con software especializado para realizar la simulación de la deformación de materiales, sin embargo son costosos computacionalmente hablando, y el pago de licencias, aplicaciones adicionales y capacitación han vuelto prohibitivo contar con esta clase de herramientas para modelar y simular los materiales ó los dispositivos [2][5]. Por todo lo anterior y mediante el uso de la técnica de simulación del modelado basado en física, utilizando software libre para generar una propuesta de solución que abata los costos computacionales, pago de licencias y esfuerzos, logrando así una implementación que simule la deformación con visualización del problema planteado.

Para lograr la simulación ya descrita, es necesario obtener un modelo matemático derivado del estudio de la deformación del acelerómetro sujeto a una fuerza bidimensional. Este modelo matemático es generalmente una ecuación diferencial parcial [4] [6] En este trabajo se presenta la solución numérica de una ecuación diferencial parcial del tipo bilaplaciano, mediante el método de diferencias finitas, implementado en Java. Primeramente se describe un modelo matemático representado por una ecuación diferencial parcial y de la cual se tiene un resultado analítico con el que se puede comparar los resultados obtenidos numéricamente. En la Sección 2 se presenta el modelo matemático que es la ecuación diferencial parcial que describe la deformación del acelerómetro, con las condiciones iniciales para dicho dispositivo. En la Sección 3 se describe el método de diferencias finitas aplicado a esta ecuación diferencial, como base para la simulación numérica de la mencionada ecuación y sus parámetros que son necesarios para la solución numérica. En la Sección 4 se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica, dada la instrumentación de la solución realizada en la sección anterior. En la Sección 5 se presentan las conclusiones y trabajos actuales y futuros del trabajo que se está realizando.

2. MODELO MATEMATICO

Un acelerómetro es una placa indeformable que puede ser rectangular ó cuadrada, que se sujeta en un extremo ó en todos sus extremos [1] [2] [6]. Para entender un acelerómetro sujeto por todos sus extremos y que recibe un impulso eléctrico que lo hace vibrar, de tal forma que ese impulso provoca la deformación en el eje de las z, que es el principal objeto de estudio para casi todos los MEMS [1][2][6] como se puede apreciar en la Figura 1 la cual representa un acelerómetro simulado.

Figura 2. Placa de un acelerómetro simulada con COMSOL

A continuación, en la Figura 3, se ilustra algunas de las fuerzas que intervienen en un acelerómetro, que en este caso van a provocar la deformación de la placa en cuestión, dada la aplicación de un impulso electrónico en el eje Z.

Figura 3. Fuerzas que intervienen en acelerómetro en dos

dimensiones

De esta manera la ecuación que gobierna la deformación del movimiento de un MEMS de tipo acelerómetro, como el que se ha mencionado viene dada como [1][6]: ������ � 2 ���

������ ������� �1�

Donde � es la deformación del material y q es la intensidad de la fuerza que se aplica a la placa. Dicha fuerza se puede describir en términos de la siguiente ecuación[4][6]:

�� sin ���� � ��� ���� ��2�

Donde � es la fuerza en el centro del plato, el parámetro �, es la rigidez que el material opone a la flexión, y está determinado como sigue[6]:

� ���1 � ����3�

De la ecuación (3), tenemos los siguientes significados [6]: E es el modulo de Young ó modulo de tracción, es una medida de caracterización de los materiales que mide el grado de rigidez de un material elástico. I es el momento de inercia, esto es la resistencia de un material a la flexión, de acuerdo a esto, el mayor momento de inercia se da antes de que el material se doble por completo. v es el radio de Poisson, que es la relación de contracción a la tensión transversal al eje donde se ejerce la tensión o impulso. Para este problema utilizaremos los siguientes parámetros para la solución de la ecuación diferencial, merece la pena mencionar que no son resultado de otras simulaciones, sino más bien proceden de la experimentación en el ICBUAP1, y a continuación se presentan en la tabla1 [1][2][6]:

Silicio Modulo de Young 13 x1010

Momento de Inercia 2330 Radio de Poisson 0.28

Tabla 1. Medidas iniciales para el cálculo del parámetro D, en el lado derecho de la ecuación (1)

Dadas las ecuaciones anteriores, ahora se muestran las condiciones iniciales y de frontera del problema en cuestión, primeramente se sabe que el acelerómetro está sujeto por los cuatro extremos, lo que describe las siguientes condiciones de frontera para una placa simplemente apoyada [6]:

� 0, ������ 0#�$�� 0�� ��4��

� 0, ������ 0#�$�� 0�� ��4��

En este caso las dimensiones de los lados están denotadas como a y b, luego los extremos son x=a y y=b, como ya se dijo lo anterior denota que la placa esta simplemente apoyada y sujeta en sus extremos [1] [6].

1 Los autores agradecemos al Dr. Salvador Alcántara los datos proporcionados en su tesis doctoral y su experimentación con estudiantes del ICBUAP, CIDS (Centro de Investigación en Dispositivos Semiconductores)

Las condiciones de frontera vienen dadas como sigue: � 0&' 0#�$�� 0�� ��5�� � 0&) 0#�$�� 0�� ��5�� Donde &'�&) son los momentos de flexión que se observan cuando el material es sometido a la fuerza que ya se mencionó en el sentido del eje z [6] [1].

3. INSTRUMENTACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS

Sea �*0,1+*0,1+ y sea , ,' ,) .

Figura 1. Discretización del Dominio para usarlo en

diferencias finitas. Para la discretizacion, se usan las siguientes fórmulas:

-.-' /

∆.∆'

.1234.1,5∆' (6)

-6.-'6 /

.123,54.1,57.183,5∆'6 (7)

-9.-'9 /

.126,54�.123,57:.1,54�.183,57.186,5∆'9 (8)

-9.

-'6-)6 /.126,5234�.123,5237:.1,54�.183,5837.186,583

∆'9 (9)

La ecuación (1) discretizada entonces, queda como sigue:

-9;-'9 � 2 -9;

-'6-)6 �-9;-)6 /

.126,54�.123,57:.1,54�.183,57.186,57.126,5234�.123,5237:.1,54�.183,5837.186,5837.1,5264�.1,5237:.1,54�.1,5837.1,586

∆'9 (10)

Resulta entonces un sistema de ecuaciones lineales de la forma Ax=b, donde A tiene la siguiente forma:

Figura 4 Forma de la matriz A

Sea I el momento de inercia dado por: � < 12⁄ , donde t es el grosor (thickness) del material que se trate y tomando en consideración que � 20#�� [1] [6] realizando los cálculos el correspondientes el valor de

>?@ , es el siguiente:

ABC 7.0544289198926322450270970902522I104J (11)

El lado derecho queda de la siguiente forma: �K 7.054428919892632245027097090I104J sin���L����M��NO (12) Sea �� el número de puntos en el eje �, �� el número de puntos en el eje �, dada la discretización ya mencionada se tiene que � 1, … , �� , Q 1, … , ��, por último R 1,… , ��� ∗ ���. En Timoshenko et al. [6], se presenta la solución exacta a este problema que viene dada por:

� TU9� 3V67

3W6�

6 >?@ sin �U'X � sin �U)Y � (13)

Para el dominio � la solución analítica está dada por:

� T�U9

>?@ sin���� sin���� (14)

4. RESULTADOS

Una vez que se tiene el sistema de ecuaciones lineales se resuelve para ∆�=1/16 mediante SOR, y se compara con la solución analítica en Matlab[3][1], obteniendo la siguiente tabla:

h (∆Z ∆[�

Error Absoluto

Error Relativo

1/16 0.000006547 0.2999

Tabla 2 Cálculo del error para los resultados que se obtienen mediante el uso del tamaño de paso ∆� 1/16

Se puede observar que el error relativo es del 30% aproximadamente. Tomando en consideración la función exacta de la ecuación (1) y (2) se tiene la siguiente gráfica:

Figura 5 Gráfica de la Solución Exacta realizada por Matlab [4]

Luego se muestra en la Figura 6 la gráfica de la solución numérica obtenida mediante la implementación en diferencias finitas como se ve a continuación:

Figura 6 Gráfica de la Solución Numérica de la

instrumentación de Java en Matlab con ∆� 1/16 [4] Con el objetivo de disminuir el error se tomó ∆� 1/32 obteniendo los siguientes resultados:

h (∆Z ∆[�

Error Absoluto

Error Relativo

1/32 0.00000621910 0.2849

Tabla 3 Cálculo del error para los resultados que se obtienen mediante el uso del tamaño de paso ∆� 1/32

Como se puede observar mediante la disminución proporcional en el tamaño de paso produce una reducción de un margen de error del 1%, se prevé que una disminución en el tamaño de paso en mayor medida se obtengan mejores resultados. La Figura 7 muestra la solución exacta:

Figura 7. Gráfica de la Solución Exacta realizada mediante

Matlab[4] Por último se muestra la gráfica de la solución obtenida mediante Java en la Figura 8, que se presenta a continuación:

Figura 8 Gráfica de la Solución Numérica de la instrumentación de Java, con ∆� 1/32 [4]

5. CONCLUSIONES

En este trabajo se ha presentado la solución numérica de una ecuación diferencial del tipo bilaplaciano, que representa el comportamiento de un MEMS tipo acelerómetro obteniendo buenos márgenes de error aceptables para este problema en particular, mediante el método de diferencias finitas. Al disminuir en forma proporcional el tamaño de paso, los márgenes de error disminuyen en una cantidad igualmente proporcional. La implementación del método se ha realizado explotando en mayor manera las capacidades del software libre, en particular de la programación orientada a objetos que provee elementos flexibles, adaptables y que ayudan en el manejo de la memoria principal. Estos resultados se utilizarán en los trabajos subsecuentes para lograr la simulación con visualización mediante modelado basado en física y constituyen el primer paso para lograr renderizar los resultados por medio de esta técnica. El método de diferencias finitas resulta adecuado para resolver numéricamente esta clase de ecuaciones. Se considerará realizar este mismo problema mediante el método de elemento finito, con el fin de estudiar la variación del error con respecto al número de elementos utilizados.

6. REFERENCIAS [1] Alanís José D., Bermúdez B., Hernández José L., Solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales tipo Bilaplaciano en la Simulación numérica de MEMS tipo acelerómetro, 1° Conferencia Iberoamericana de Instrumentación y Ciencias Aplicadas 2013 SOMI XXVIII CCADET UNAM, Campeche, Campeche, México, ISBN Pendiente. [2] Maluf, Nadim, An Introduction to Microelectromechanical

Systems Engineering, Artech House Publishers, USA 2000. [3] Matworks and Simulink Manuales y Ayuda en Línea para desarrollo en Matlab disponible en: http://www.mathworks.com/help/ [4] Pelesko, John A., Berstein David H., Modeling MEMS and

NEMS, Chapman & Hall/CRC Press Company, USA, 2003 [5] Reddy, J.N., An Introduction to the Finite Element Method

3rd Edition, McGraw-Hill; USA 2005. [6]Timoshenko, S, Woinowsky Krieger, Theory of Plates and

Shells, McGraw hill International Book Company, USA 1984.