Solución _del_Segundo_Parcial_de_MatIII-TipoA-Sep-Dic2014.pdf

8/10/2019 Solucin _del_Segundo_Parcial_de_MatIII-TipoA-Sep-Dic2014.pdf

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Caracas: 26-10-2014.

SOLUCIN DEL SEGUNDO PARCIAL MATEMTICASIII

TIPO A

1. Halle la ecuacin del plano , que pasa por el punto P(1,3,4) y es

perpendicular a la recta L, interseccin de los planos:

,1:

,1:

2

:1

zy

zx

Solucin:

Sea la matriz ampliada del sistema formado por los dos planos dados y usando el Mtodo

de Gauss, se tiene:

1110

1101

Como la matriz ya est reducida, al obtener la matriz de los coeficientes como una matriz

triangular superior y pasar el sistema matricial AX=B al sistema de ecuaciones, haciendo

sustitucin de atrs hacia adelante, se tienen las ecuaciones paramtricas de la recta L:

),1,1,1(,

,

,1

,1

:

Lu

tz

tty

tx

L

Como la recta L es perpendicular al plano pedido, el vector normal al plano es el vector

director de la recta L, adems el plano pasa por el punto P, siendo Q un punto cualquiera

del plano, entonces:

,6:

,04)3()1(:

)1,1,1)(4,3,1(.::

zyx

zyx

zyxuPQ L


2/4

Nota: en este primer ejercicio, tambin se pudo calcular el vector normal al plano pedido,

como el producto vectorial de los vectores normales a los planos:

,1:

,1:

2

:1

zy

zx

2. Sean:

KkHhkhKH

xxxxxxK

xxxxxxH

,

,0),,,(

,0),,,(

321321

321321

a) Pruebe que H+K es un subespacio de 3 .

b) Halle una base para H+K y su dimensin.

Solucin:

a) Como H y K son planos en el espacio que pasan por el origen, son subespacios

propios de 3 , adems

,,)0,0,0(,0000,0000),0,0,0()0,0,0()0,0,0(

KHKH

i)

,)(,)(

,),()(

,,,,

212121

3

2121221121

22211121

KHvvKkkHhh

desSubespacioKyHserporkkhhkhkhvv

khvkhvKHvv

ii)

,,

,,)(

,,,

111

3

11111

1111

KHvKkHh

desSubespacioKyHserporkhkhv

khvKHv

Luego de i) y ii) H+K es un subespacio en el espacio.

b) Base de H+K,

Sabiendo que:


3/4


4/4

Solucin:

Apl icando el s iguiente Teorema:

Teorema: Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en R

n

generaa Rn.

Luego, solo nos hace falta ver para que valores de alpha, estos tres vectores son linealmente

independientes, para ello calculamos su triple producto escalar:

:

.,1,1,0

,0)1)(1()00()00(

121

00

1033

2

ntesindependieelinealmentsondadovectoreslos

Entonces para es tos valores de alpha es te conjunto de vectores son

l inealmente independientes y generan a R3, es decir forman una base del

espacio.

NOTA: Tambin se pudo aplicar en este ejercicio el siguiente teorema:

Teorema: Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en un

espacio vectorial V de dimensin n constituyen una base para V.

4. Determine s i la s iguiente af i rmacin es verdadera o falsa:

Sabiendo que:

.,:

,3

,),(

,3,),(

2

2

2

desubespaciounesVUEntonces

xyyxV

xyyxU

Solucin:

.)2,4()1,3()3,1()1,3(,)3,1(: VUVUVUFalso

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