Soluciones de Ecuaciones Diferenciales por Elemento Finito ... · ra rápida y precisa la configuración de su proyecto de simulación. El software SEDEF incluye una interfaz específica

IngenIeriacutea InvestIgacIoacuten y tecnologiacutea

volumen XXI (nuacutemero 1) enero-marzo 2020 1-11ISSN 2594-0732 FI-UNAM artiacuteculo arbitradoInformacioacuten del artiacuteculo Recibido 14 de mayo de 2018 reevaluado 21 y 24 de mayo de 2018 aceptado 25 de mayo de 2018Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 40 International (CC BY-NC-ND 40) licensehttpdxdoiorg1022201fi25940732e202021n1002

ResumenEn este trabajo se expone el desarrollo de la primera versioacuten de un software amigable de elemento finito gratuito y de coacutedigo abier-to llamado SEDEF copy el cual propone y resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales generales dependientes de dos dimensiones una espacial y una temporal Estas ecuaciones se proponen de tal manera que se puedan modelar diferentes fenoacutemenos fiacutesicos Cabe mencionar que se da solucioacuten a la parte espacial de las ecuaciones generales mediante el meacutetodo del elemento finto y a la temporal por medio del meacutetodo BDF (ldquoBackward Differentiation Formulardquo) lo que resulta en sistemas de ecuaciones lineales con matrices dispersas Estos sistemas son programados y resueltos en el lenguaje C++ el aacutelgebra de matrices dispersas se soluciona a traveacutes de la libreriacutea CSparse creada por Timothy A Davis (2006) El software estaacute dotado de una interfaz graacutefica intuitiva y faacutecil de manejar programada en RAD Studio XE la cual permite tener un moacutedulo exclusivo para problemas de transferencia de calor un moacutedulo para problemas de vigas de Euler en un plano y un moacutedulo general donde el usuario puede adaptar sus propias ecuaciones constitutivas para problemas particulares unidimensionales La validacioacuten del software se hace a traveacutes del planteamiento de tres problemas uno matemaacutetico otro de transferencia de calor y un uacuteltimo de vigas en el plano En estos la solucioacuten de SEDEF se compara con solucio-nes analiacuteticas y los resultados del software comercial de elementos finitos COMSOL Multiphysics El fin que persigue SEDEF es el de dotar a las instituciones educativas de una herramienta que ayude en el entendimiento de matemaacuteticas fiacutesica y varias ramas de in-genieriacutea gracias a la resolucioacuten de ecuaciones y la interfaz graacutefica amigable para las etapas de preprocesamiento y postprocesamien-to de resultadosDescriptores Software elementos finitos ecuaciones diferenciales vigas transferencia de calor

AbstractThis paper presents the development of the first version of SEDEF a free and open source software which proposes and solves a system of general differential equations that depends of two dimensions spatial and temporal These equations are proposed in a manner that they can model several physical phenomena Itrsquos worth mentioning that the spatial part of the general equations are solved by the finite element technique while the temporal part is solved by the BDF (ldquoBackward Differentiation Formulardquo) method These methods lead to the resolution of linear equations systems with sparse matrices All the implementation is developed in C++ and the sparse matrices algebra is solved by the CSparse library created by Timothy A Davis (2006) The software has an intuitive easy to use graphic user interface (GUI) developed in RAD Studio XE This GUI has three main modules that solve heat transfer problems in-plane Euler beam problems and mathematical problems which can be modeled by the generic unidimensional transient equations Software validations are performed for each one of the modules by making the analysis of particular problems Results obtained by SEDEF are compared with analytical solutions and results obtained by COMSOL Multiphysics a commercial finite ele-ment software The main purpose of SEDEF software is to provide academic institutions a tool that helps in understanding mathema-tics physics and several engineering branches owing to the equations resolution and the friendly interface for preprocessing and postprocessing stagesKeywords Software finite elements differential equations beams heat transfer

Soluciones de Ecuaciones Diferenciales por Elemento Finito (SEDEF)Solutions of Differential Equations by Finite Element (SEDEF)

Castantildeeda-Balderas RubeacutenCentro de Investigacioacuten en Materiales Avanzados SC MeacutexicoDepartamento de Metalurgia e Integridad EstructuralCorreo rubencastanedacimavedumx httpsorcidorg0000-0002-0040-6321

Diacuteaz-Diacuteaz AlbertoCentro de Investigacioacuten en Materiales Avanzados SC MeacutexicoDepartamento de Metalurgia e Integridad EstructuralCorreo albertodiazcimavedumx httpsorcidorg0000-0002-4873-7947

Domiacutenguez-Alvarado Axel FernandoCentro de Investigacioacuten en Materiales Avanzados SC MeacutexicoDepartamento de Metalurgia e Integridad EstructuralCorreo axeldominguezcimavedumx httpsorcidorg0000-0003-1255-8987

Martiacutenez-Morfiacuten Claudio IvaacutenCentro de Investigacioacuten en Materiales Avanzados SC MeacutexicoDepartamento de Metalurgia e Integridad EstructuralCorreo cimartinezmorfingmailcom httpsorcidorg0000-0002-5300-3681

IngenIeriacutea InvestIgacIoacuten y tecnologiacutea volumen XXI (nuacutemero 1) enero-marzo 2020 1-11 ISSN 2594-0732 FI-UNAM2

SolucioneS de ecuacioneS diferencialeS por elemento finito (Sedef)

httpdxdoiorg1022201fi25940732e202021n1002

IntroduccIoacuten

Los fenoacutemenos fiacutesicos pueden ser descritos por medio de ecuaciones diferenciales parciales (Johnson 2009 Boyce 2000) para las cuales es imposible encontrar so-luciones analiacuteticas en la mayoriacutea de los casos Cuando esto sucede es necesario apoyarse en meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de elementos finitos (FEM por sus siglas en ingleacutes) (Yuste 2006 Moaveni 1999) Este meacutetodo genera sistemas de ecuaciones enormes que se pueden resolver haciendo uso del poder de caacutel-culo computacional El presente trabajo de investiga-cioacuten se centra en la creacioacuten de una primera versioacuten de una herramienta FEM desarrollada en la plataforma RAD Studio XE (cuyo lenguaje base es C++) (Deitel amp Deitel 1995 Joyanes 2008) El software desarrollado es llamado SEDEF copy (Soluciones de Ecuaciones Diferen-ciales por Elemento Finito) y se pretende que su prime-ra versioacuten sea capaz de resolver cualquier sistema diferencial de una dimensioacuten (1D) temporal con deriva-das espaciales de orden dos El programa estaacute dotado de una interfaz graacutefica modular que permite plantear y resolver problemas de fenoacutemenos de transferencia de calor modelos de vigas y sistemas generales de ecua-ciones diferenciales El fin que persigue SEDEF es prin-cipalmente subsanar las aacutereas acadeacutemicas que requieren del uso de la simulacioacuten computacional y que poco pro-gresan en Meacutexico por los altos costos de las herramien-tas comerciales existentes en el mercado Los detalles para su descarga y las poliacuteticas de uso se pueden con-sultar en el Sitio Web del proyecto en wwwsedefmx

En este artiacuteculo se presenta primeramente la inter-faz graacutefica de SEDEF Despueacutes se muestran las ecua-ciones geneacutericas que resuelve el software Luego se aplica el meacutetodo de elementos finitos a la resolucioacuten de

dichas ecuaciones Posteriormente se muestran los ti-pos de estudio y aplicaciones a fenoacutemenos fiacutesicos que se pueden hacer con esta primera versioacuten de SEDEF Finalmente se presenta la validacioacuten de SEDEF me-diante la comparacioacuten de sus resultados con las del software comercial de elementos finitos COMSOL Mul-tiphysics y con soluciones analiacuteticas

Interfaz graacutefIca

El disentildeo de la interfaz graacutefica se basa principalmente en las etapas de configuracioacuten que requiere el meacutetodo del elemento finito Estas etapas consisten en la defini-cioacuten de paraacutemetros de estudio definicioacuten de la geome-triacutea o dominio la captura de propiedades de materiales y constantes la aplicacioacuten de condiciones de frontera y condiciones iniciales la construccioacuten del mallado el caacutelculo y finalmente el post-procesamiento Para cada una de estas etapas el software cuenta con una serie de herramientas que permiten al usuario realizar de mane-ra raacutepida y precisa la configuracioacuten de su proyecto de simulacioacuten

El software SEDEF incluye una interfaz especiacutefica para la configuracioacuten y simulacioacuten de problemas de transferencia de calor (Heat Transfer) de vigas (Beam) y de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales gene-rales o PDE Para cualquiera que sea el tipo de simula-cioacuten se puede elegir entre un estudio de tipo estaacutetico o de tipo transitorio

En cuanto a la construccioacuten del dominio el software estaacute dotado de herramientas tipo CAD (disentildeo asistido por computadora) con lo cual un usuario puede crear y manipular dominios con facilidad y de la misma mane-ra puede iniciar el condicionamiento de los mismos (Fi-gura 1) Ademaacutes SEDEF proporciona un analizador

Figura 1 Ejemplo de CAD para vigas

3IngenIeriacutea InvestIgacIoacuten y tecnologiacutea volumen XXI (nuacutemero 1) enero-marzo 2020 1-11 ISSN 2594-0732 FI-UNAM

Castantildeeda-Balderas ruBeacuten diacuteaz-diacuteaz alBerto domiacutenguez-alvarado axel Fernando martiacutenez-morFiacuten Claudio ivaacuten

leacutexico y sintaacutectico que permite realizar el condiciona-miento del problema a traveacutes de expresiones matemaacuteti-cas (funciones de variables de espacio y tiempo) y no solo de valores numeacutericos constantes

Para la etapa del mallado del dominio las opciones pueden variar entre la imposicioacuten de un nuacutemero de ele-mentos en el dominio la exigencia de tamantildeos maacutexi-mos y miacutenimos de elementos hasta poder introducir una tasa de crecimiento del mallado respecto a una ex-tremidad mediante series geomeacutetricas (Figura 2)

Finalmente la etapa de post-procesamiento estaacute programada de acuerdo con el tipo de estudio por lo cual la interfaz puede variar entre simples graacuteficas XY hasta un mapa de colores sobre los dominios (Figura 3)

ecuacIones generales

Para poder modelar gran cantidad de fenoacutemenos fiacutesicos es necesario proponer expresiones que puedan repre-sentar cualquier sistema de ecuaciones diferenciales

parciales (EDPs) (Johnson 2009 Boyce 2000) con coeficientes tanto dependientes del espacio como del tiem-po En SEDEF se proponen dos ecuaciones geneacutericas ambas consideran un vector incoacutegnita ũ de n funciones escalares de las variables de espacio x y tiempo t (x isin Ωs y t isin [t0 t] Ωs es el dominio nuacutemero s) La primera EDP geneacuterica es

Para algunos fenoacutemenos fiacutesicos que involucran teacutermi-nos de conveccioacuten y difusioacuten es maacutes coacutemodo manejar la ecuacioacuten geneacuterica siguiente

u uKu Lu M N Pu fxx

part part+ + + + =

partpart

u uKu Lu M Ou r N Pu fx x x

part part part+ + - - + + + = part part part

Figura 2 Mallado de una geometriacutea

Figura 3 Moacutedulo de post-procesamiento

Para las ecuaciones 1 y 2 son matrices de coeficientes del sistema de dimensioacuten n times n son vectores conocidos de dimensioacuten n ũ es el vector de in-coacutegnitas de dimensioacuten n y el punto sobre el vector ũ indica derivada parcial de este respecto al tiempo Las componentes del vector ũ son

A continuacioacuten se muestra una interpretacioacuten fiacutesica a los teacuterminos de la ecuacioacuten (2)

bull = coeficientes de masa

bull = coeficientes de amortiguamiento

bull = flujo conservativo

bull = difusioacuten la conveccioacuten y la fuente del flujo respectivamente

bull = conveccioacuten

bull = la absorcioacuten

bull = vector fuente

aplIcacIoacuten del meacutetodo de elementos fInItos

Las ecuaciones diferenciales parciales propuestas en la seccioacuten anterior son vaacutelidas en el dominio nuacutemero s Ωs = [as bs] Para esta porcioacuten de liacutenea y su respectiva ecuacioacuten se aplica el meacutetodo de elementos finitos (FEM) en una forma deacutebil (Felippa 2003) Por ejemplo para la ecuacioacuten (2) se obtiene la siguiente ecuacioacuten in-tegral escalar

donde es un vector de funciones de forma de la va-riable de espacio y el superiacutendice t indica la transposi-cioacuten del vector Se define el vector de flujo

Para el teacutermino de la ecuacioacuten integral que involucra al vector de flujo se realiza una integracioacuten por partes la cual hace aparecer las condiciones de frontera sobre el vector flujo Sin embargo es posible que en lugar del flujo se conozca directamente el valor de la incoacutegnita en la frontera por lo que los valores conocidos en las fron-teras x = as y x = bs son

= la componente i del vector ui = la componente i del vector

Continuando con el proceso se divide el dominio en m elementos delimitados por nodos Se interpola a ũ en cada elemento con polinomios de x de grado p isin 1 2 3 4 y se consideran funciones de forma del mismo grado polinomial Al verificar la ecuacioacuten integral para cual-quier funcioacuten de forma se obtiene el sistema de ecuacio-nes diferenciales ordinarias

= vector que contiene el valor de cada una de las in-coacutegnitas en cada nodo de la malla y = matrices cuadradas de masas amortigua-mientos y rigideces respectivamente = vector fuente

Es posible que el problema cuente con maacutes de un domi-nio y ademaacutes los dominios tengan zonas de unioacuten para esto se definen fronteras internas y externas como se muestra en la Figura 4 Para asegurar la continuidad en las fronteras internas se escriben las expresiones 8 y 9

yK L M O N P

1( )( )

u x tu x t

uM Ou rx

part- - +

yuM Ou rx

partpart

b b bt t t

uN dx Pudx fdxx

ϕ ϕ ϕpart+ + =

partint int int

( ) si se conoce el valor del vector de flujo

( ) si se conoce el valor de la incoacutegnita

( ) si se conoce el valor de la incoacutegnitas

gas is

v a tg

v b tg

ifv fv

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t U t t U t T t U t e tσ λ+ + =

b b bt t t

uKudx Ludx M Ou r dxx x

ϕ ϕ ϕ part part + + - - + part part

int int int

para la ecuacioacuten (1)( ) =

para la ecuacioacuten (2)f

uMxv xtuM Ou rx

part part part- - + part

σ λ T

si el flujo es continuo si se desea definir una discontinuidad del flujo es el vector de incoacutegnitas en el nodo de unioacuten en el dominio s es el vector de flujo en el nodo de unioacuten del dominio s nΩ es el nuacutemero de dominios

tIpos de estudIo

Estudio Estaacutetico

Cuando se realiza un estudio estaacutetico o estacionario la ecuacioacuten (7) se reduce a

Se determina mediante un meacutetodo directo con matri-ces dispersas (Davis 2006)

Estudio transitorio

Para estudios dependientes del tiempo se utiliza la teacutec-nica BDF (Backward Differentiation Formula) (Ascher amp Petzold 1998) En este tipo de estudio se requieren definir las condiciones iniciales Estas condiciones son el valor en el primer instante de la incoacutegnita y si hay

teacuterminos de segunda derivada respecto al tiempo tam-bieacuten es necesario el valor de su derivada en cualquier punto x del dominio

donde y son los valores iniciales del vector de fun-ciones incoacutegnita y sus derivadas de acuerdo con el tiempo respectivamente

Se discretiza el tiempo en una serie de instantes tr(1 le r le m el nuacutemero total de instantes considerados es m) y se aplican series de Taylor (Chapra 2007) hasta un orden k isin 1 2 3 4 5 6 a la ecuacioacuten (7) Todo este procedimiento resulta en

bull Caso

bull Caso = 0

En las expresiones (13-14) h es el paso de tiempo y son coeficientes resultantes del desarrollo BDF y cuyo valor puede encontrarse en (Domiacutenguez 2015)

adaptacIones a fenoacutemenos fiacutesIcos

transfErEncia dE calor

La ecuacioacuten de transferencia de calor unidimensional en un medio soacutelido (Zill 2012) estaacute dada por

1 s nc c cu u u Ω= = = =

sv gη

1 si la frontera en la unioacuten es1 si la frontera en la unioacuten es

0g = 0g ne

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x t v x u t v x= =

0σ ne

1( ) ( ) ( )

r k r i r ii

U t h U t a U tβ -- - -

21 1( ) ( ) ( ) ( )r k r k rV t h t h T tσ β λ β- -= + +

0σ ne

1 11 1

1( ) ( ) ( ) ( )

r k r r i r ii

U t V h e t t a U tβ λ- -- - -

1( ) ( )r k rV t h T tλ β -= +

kia --

1kβ -

( ) ( t) ( ) ( ) ( ) ( )px t c x T x t k x t T x t Q x tt x x

r part part part + - = part part part

Figura 4 Ejemplo de un problema con tres dominios conectados

1 1 11 1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k kk k

r k r r i r i r i r ii i

U t V h e t T t a U t t a U tβ σ- - -- - - - -

sum sum

donde r cp k y Q son la densidad del material el calor especiacutefico la conductividad teacutermica y la fuente de ca-lor respectivamente El vector de incoacutegnitas ũ de la ecuacioacuten general (2) tiene una sola componente la tem-peratura T Por identificacioacuten las matrices y el vector fuente de la ecuacioacuten (2) se reducen a escalares

K = M = O = N = P = 0 L = rcp M = k y f = Q (16)

Debido a esto el vector de flujo de calor tiene una sola componente la cual tiene por expresioacuten

Las condiciones de frontera pueden ser sobre el flujo de calor (ecuacioacuten (17)) o el valor de la temperatura T

Vigas En El plano

Para vigas de Euler en el plano (Liu 2003 Slivker 2007) se tienen dos desplazamientos u y v y una rotacioacuten θ dentro del plano Las 3 ecuaciones de equilibrio son

mientras que el comportamiento mecaacutenico estaacute defini-do por las 3 ecuaciones siguientes

En las ecuaciones (18-19)

bull r E A Izz N Q y Mz son la densidad del material el moacutedulo de Young del mismo el aacuterea de la seccioacuten el momento de inercia de la seccioacuten la fuerza nor-mal la fuerza cortante y el momento respectiva-mente

bull fx fy y m son las densidades lineales de fuerzas apli-cadas en x y y y la densidad lineal de momento apli-cado

bull N0 Mz0 θ0 y e0

n son valores previos de fuerza normal momento aacutengulo de rotacioacuten y deformacioacuten nor-mal (pre-esfuerzos pre-deformaciones)

El vector de incoacutegnitas escogido para la ecuacioacuten (2) es

Las matrices de coeficientes y el vector fuente tienen las siguientes expresiones

Las demaacutes matrices en la ecuacioacuten (2) son cero Estas ecuaciones son vaacutelidas en el sistema de coordenadas locales Para definir un sistema en comuacuten para todos los

v f Tx

k part= -

u NA fxt

v QA fxt

MI Q m

part part- = partpart

part part - = partpartpart part

- - = partpart

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1zz

= part - part -

z zz z

M EI M EIx x

uN EA N EAx

part- =part

partpart - = - part partpart - = - part

xθpart

dominios llamado sistema global (Figura 5) se imple-menta la matriz de rotacioacuten

Al definir la matriz de rotacioacuten el vector de funcio-nes incoacutegnitas ũ g en coordenadas globales (XY) es

y el vector de flujo

Por lo tanto seguacuten la ecuacioacuten 9 la ecuacioacuten de equili-brio de los nodos de conexioacuten (los cuales son fronteras internas) entre dominios distintos se escribe en

donde i es el vector de fuerzas internas aplicadas en el nodo de conexioacuten y es el vector de fuerzas externas aplicadas en dicho nodo

ValIdacIoacuten

Validacioacuten 1 Estudio Estacionario con dos VariablEs y dos dominios

El problema consiste de los dominios Ω1 = [05] y Ω2 = [573] con dos funciones incoacutegnita u1 y u2 El siste-ma de ecuaciones en forma de la ecuacioacuten geneacuterica (2) es

(28)Donde

Para este problema no se plantea la continuidad del flujo en el nodo x = 5 Las condiciones de frontera son

bull u1 (0) = 0 u1 (5) = 15 (5)3 u1(73) = 15 (73)3

bull u2 (0) = u2 (5) = 1

La solucioacuten analiacutetica del problema es

Para el estudio se utilizaron 100 elementos lineales por cada dominio En la Figura 6 se muestra la comparacioacuten entre la solucioacuten analiacutetica y la solucioacuten numeacuterica de SE-DEF Se aprecia que se obtienen praacutecticamente los mis-mos resultados El error relativo maacuteximo cometido por SEDEF es de 138 Se puede disminuir este error uti-

cos sin 0 0 0 0sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

θ θθ θ

U uV v

u RQ QM MN N

sin cossin cos

Q NN Q

θ θθ θ

- - - -

1 1 1 12 90

01 2 0 0 1 1

2 1 0 0 1 (90 15M N P f

x x x x -

- - = = = = - - - -

2 2 2 22

1000 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 100 45x

M N P fx

- - = = = = -

100 30 3251x

x ux x

forall isinΩ = - +

1 Figura 5 Elemento viga en el plano

0i eF F+ =sum

1 y 2 k k k kk

du duud dx dxk x M N P f

du dudx udx dx

= forall isinΩ - + + =

15 5 590 15 cos sin 1426csc cot

2 2 2 2

xx u x xx x

forall isinΩ = - + + -

0(90 15 90x x x

lizando un mayor nuacutemero de elementos o empleando elementos de mayor orden (por ejemplo cuacutebicos en lu-gar de lineales es decir funciones de forma de tipo po-linomios de grados 3 en lugar de grado 1)

Validacioacuten 2 Estudio dE transfErEncia dE calor dEpEn-diEntE dEl tiEmpo

Para esta prueba se desea predecir la distribucioacuten de temperatura t isin [01] (en segundos) de una barra de longitud l = 2m (Ω = [-1 1]) con las siguientes propieda-des k= 1 W(mk) r = 1 kgm3 y cp = 1 J(kgK)

Las condiciones iniciales estaacuten dadas por una tem-peratura uniforme e igual a 1 degC Las condiciones de frontera estaacuten dadas por la condicioacuten que la temperatu-ra en ambos bordes (x = 1m y x = -1m) decrece lineal-mente con el tiempo

T(x = 1 t) = T(x = -1 t) = 1 - gt (32)

donde g = 1 degCs Para validar los resultados obtenidos se compararaacuten estos contra los resultados del software COMSOL En el mallado se emplearon 27 elementos de segundo grado

Las temperaturas obtenidas por ambos software son graficadas en funcioacuten de la variable de espacio en la Fi-

gura 7 y esto en diferentes instantes El resultado obte-nido por ambos software es praacutecticamente el mismo (el error relativo maacuteximo es 0113 ) esto significa que el moacutedulo de transferencia de calor de SEDEF fue adapta-do correctamente a partir de la ecuacioacuten (2) y que los resultados del software son precisos

Validacioacuten 3 conjunto dE Vigas En El plano

Se desea predecir los desplazamientos en el puente que se muestra en la Figura 8 hecho de acero estructural En esta figura los nodos estaacuten enumerados del 0 al 15 en color negro mientras que los dominios van del 0 al 22 en color rojo Los nodos 0 y 4 estaacuten empotrados en los nodos 10 y 15 existen apoyos de articulacioacuten y de rodi-llo respectivamente

El puente estaacute sometido a las cargas mostradas en la Tabla 1 y al peso propio de la estructura que estaacute dado por

Wi = gAir (33)

Wi = peso propio del dominio ig = 981 ms2

Figura 7 Temperaturas obtenidas por COMSOL y SEDEF

Figura 6 Solucioacuten analiacutetica vs solucioacuten de SEDEF para un sistema de ecuaciones diferenciales

Ai = aacuterea transversal del dominio i y r = 7850 kgm3 = densidad

Se tienen dos tipos secciones transversales diferentes tipo 1 y tipo 2 La nomenclatura de sus dimensiones se muestra en la Figura 9 y sus valores en la Tabla 2 para cada seccioacuten

Tabla 1 Fuerzas nodales

Nodo Fx(N) Fxy(N)

11 3000 3000

12 3000 3000

13 -3000 3000

14 -3000 3000

Tabla 2 Dimensiones de la seccioacuten transversal de cada dominio

Dominio(s) Tipo de seccioacuten h(m) b(m) tw(m) tp(m)

01 1 04 0025 0025

23 1 04 0025 0025

4-12 2 025 025 0025 0025

13-22 1 04 02 00125 00125

Los dominios 13 a 22 ademaacutes de estar sometidos a su peso propio soportan una densidad lineal de carga en

direccioacuten y de grados de -247212 kNm y sufren una variacioacuten de temperatura dT = 30 degC El coeficiente de dilatacioacuten teacutermica del material es a = 1203 10-6 degC-1 y el moacutedulo de Young es E = 200 GPa

La altura de la seccioacuten transversal del arco variacutea li-nealmente conforme a las siguientes foacutermulas

Se utilizaron 40 elementos por dominio y elementos con funciones de forma de grado 3 En la Figura 10 se muestran las deformadas obtenidas por COMSOL y por SEDEF utilizando un factor de amplificacioacuten de 450 No se aprecia diferencia alguna entre las dos defor-madas Para cada nodo se determinoacute la magnitud de desplazamiento con SEDEF y se calculoacute la diferencia relativa respecto al resultado obtenido por COMSOL En la Figura 11 se muestra un histograma con las dife-rencias relativas mencionadas para cada nodo Estas diferencias son muy pequentildeas la maacutexima diferencia no alcanza 05 Esta diferencia tiende hacia cero a medi-da que se refina el mallado Cabe sentildealar que la diferen-cia entre los resultados de SEDEF y COMSOL radica en que COMSOL no maneja el mismo orden de elementos

22 21 1(X) 64 32 ln 1

8 2 8 64X XL X X X

= + + + +

Figura 8 Geometriacutea considerada del puente nuacutemeros negros hacen referencia al nodo nuacutemeros rojos al dominio

Figura 9 Secciones transversales consideradas

03 ( )[ 80] ( ) 06(0)( ) (0)[08] ( ) 03 1(8) (0)

L XX h XLL X LX h XL L

forall isin - = -

-forall isin = + -

4 2 ln(1 2) + + +

(mismo grado polinomial de funciones de forma) para los desplazamientos y rotaciones mientras que en SE-DEF siacute y esto no solo para desplazamientos y rotacio-nes sino tambieacuten para momentos de flexioacuten y fuerzas normales y cortantes Por todas estas razones se valida el moacutedulo de vigas de SEDEF y se comprueba su utili-dad y precisioacuten para problemas de vigas sometidas a cargas termo-mecaacutenicas

conclusIones

Se desarrolloacute la primera versioacuten de un software gratui-to llamado SEDEF para la resolucioacuten de ecuaciones di-ferenciales parciales por el meacutetodo de elementos finitos En esta versioacuten SEDEF es capaz de resolver problemas

transientes de una dimensioacuten espacial en sus tres moacute-dulos ecuaciones matemaacuteticas geneacutericas transferencia de calor en soacutelidos y vigas en el plano Se realizaron varias pruebas confrontando los resultados de SEDEF contra soluciones analiacuteticas y numeacutericas obtenidas por el software comercial COMSOL Multiphysics y se com-proboacute la precisioacuten de SEDEF para su validacioacuten Tam-bieacuten SEDEF resuelve los problemas de manera raacutepida y utilizando pocos recursos de memoria de la computa-dora Con lo anterior se puede decir que el programa es eficiente y eficaz La eficiencia conseguida se debe principalmente a la implementacioacuten de la libreriacutea CS-parse

En un futuro el programa se aplicaraacute a maacutes fenoacuteme-nos fiacutesicos entre ellos se encuentra el de vigas en el es-

Figura 11 Diferencia relativa de desplazamientos nodales de SEDEF respecto a los de COMSOL

Figura 10 Comparacioacuten de la geometriacutea deformada entre a) COMSOL y b) SEDEF

pacio Tambieacuten se desarrollaraacute un algoritmo capaz de obtener los valores y vectores propios de las matrices dispersas Asimismo se haraacute un desarrollo para resol-ver problemas 2D Todo esto seraacute implementado en la segunda versioacuten del software gratuito SEDEF

A pesar de las limitaciones de la primera versioacuten de SEDEF el software puede ser ya una herramienta de gran valor pedagoacutegico para clases de matemaacuteticas meacute-todos numeacutericos fiacutesica y mecaacutenica entre otras Tam-bieacuten el software puede ser de utilidad para cientiacuteficos e ingenieros particularmente para ingenieros civiles (Yuste 2006) por el alcance del moacutedulo de vigas

agradecImIentos

Los autores agradecen la colaboracioacuten teacutecnica a Rivera-Nevaacuterez Enrique Alonso Gutieacuterrez-Ramiacuterez Leonardo Viramontes-Mendoza Joseacute Arturo Loacutepez-Caacuterdenas Fernando Pallares-Loacutepez Joseacute Luis Torres-Macedo Omar Bolivar-Moreno David Zapata-Santana Alexis Tambieacuten hacer mencioacuten al Instituto Tecnoloacutegico de Chi-huahua II por todas las atenciones teacutecnicas prestadas durante el desarrollo de este proyecto

referencIas

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con valores en la frontera Editorial LimusaYuste SB (2006) Meacutetodos matemaacuteticos avanzados para cientificos e

ingenieros Universidad de Extremadura Servicio de publica-ciones

Zill DG (2012) A first course in differential equations whit modeling applications 10a edicioacuten Estados Unidos Cengage Learning

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IntroduccIoacuten

Los fenoacutemenos fiacutesicos pueden ser descritos por medio de ecuaciones diferenciales parciales (Johnson 2009 Boyce 2000) para las cuales es imposible encontrar so-luciones analiacuteticas en la mayoriacutea de los casos Cuando esto sucede es necesario apoyarse en meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de elementos finitos (FEM por sus siglas en ingleacutes) (Yuste 2006 Moaveni 1999) Este meacutetodo genera sistemas de ecuaciones enormes que se pueden resolver haciendo uso del poder de caacutel-culo computacional El presente trabajo de investiga-cioacuten se centra en la creacioacuten de una primera versioacuten de una herramienta FEM desarrollada en la plataforma RAD Studio XE (cuyo lenguaje base es C++) (Deitel amp Deitel 1995 Joyanes 2008) El software desarrollado es llamado SEDEF copy (Soluciones de Ecuaciones Diferen-ciales por Elemento Finito) y se pretende que su prime-ra versioacuten sea capaz de resolver cualquier sistema diferencial de una dimensioacuten (1D) temporal con deriva-das espaciales de orden dos El programa estaacute dotado de una interfaz graacutefica modular que permite plantear y resolver problemas de fenoacutemenos de transferencia de calor modelos de vigas y sistemas generales de ecua-ciones diferenciales El fin que persigue SEDEF es prin-cipalmente subsanar las aacutereas acadeacutemicas que requieren del uso de la simulacioacuten computacional y que poco pro-gresan en Meacutexico por los altos costos de las herramien-tas comerciales existentes en el mercado Los detalles para su descarga y las poliacuteticas de uso se pueden con-sultar en el Sitio Web del proyecto en wwwsedefmx

En este artiacuteculo se presenta primeramente la inter-faz graacutefica de SEDEF Despueacutes se muestran las ecua-ciones geneacutericas que resuelve el software Luego se aplica el meacutetodo de elementos finitos a la resolucioacuten de

dichas ecuaciones Posteriormente se muestran los ti-pos de estudio y aplicaciones a fenoacutemenos fiacutesicos que se pueden hacer con esta primera versioacuten de SEDEF Finalmente se presenta la validacioacuten de SEDEF me-diante la comparacioacuten de sus resultados con las del software comercial de elementos finitos COMSOL Mul-tiphysics y con soluciones analiacuteticas

Interfaz graacutefIca

El disentildeo de la interfaz graacutefica se basa principalmente en las etapas de configuracioacuten que requiere el meacutetodo del elemento finito Estas etapas consisten en la defini-cioacuten de paraacutemetros de estudio definicioacuten de la geome-triacutea o dominio la captura de propiedades de materiales y constantes la aplicacioacuten de condiciones de frontera y condiciones iniciales la construccioacuten del mallado el caacutelculo y finalmente el post-procesamiento Para cada una de estas etapas el software cuenta con una serie de herramientas que permiten al usuario realizar de mane-ra raacutepida y precisa la configuracioacuten de su proyecto de simulacioacuten

El software SEDEF incluye una interfaz especiacutefica para la configuracioacuten y simulacioacuten de problemas de transferencia de calor (Heat Transfer) de vigas (Beam) y de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales gene-rales o PDE Para cualquiera que sea el tipo de simula-cioacuten se puede elegir entre un estudio de tipo estaacutetico o de tipo transitorio

En cuanto a la construccioacuten del dominio el software estaacute dotado de herramientas tipo CAD (disentildeo asistido por computadora) con lo cual un usuario puede crear y manipular dominios con facilidad y de la misma mane-ra puede iniciar el condicionamiento de los mismos (Fi-gura 1) Ademaacutes SEDEF proporciona un analizador

Figura 1 Ejemplo de CAD para vigas

u uKu Lu M N Pu fxx

part part+ + + + =

partpart

yK L M O N P

1( )( )

u x tu x t

uM Ou rx

part- - +

yuM Ou rx

partpart

b b bt t t

uN dx Pudx fdxx

ϕ ϕ ϕpart+ + =

partint int int

gas is

v a tg

v b tg

ifv fv

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t U t t U t T t U t e tσ λ+ + =

b b bt t t

int int int

uMxv xtuM Ou rx

σ λ T

tIpos de estudIo

Estudio transitorio

bull Caso

bull Caso = 0

1 s nc c cu u u Ω= = = =

sv gη

0g = 0g ne

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x t v x u t v x= =

0σ ne

1( ) ( ) ( )

r k r i r ii

U t h U t a U tβ -- - -

0σ ne

1 11 1

1( ) ( ) ( ) ( )

r k r r i r ii

1( ) ( )r k rV t h T tλ β -= +

kia --

1kβ -

1 1 11 1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k kk k

sum sum

K = M = O = N = P = 0 L = rcp M = k y f = Q (16)

Vigas En El plano

v f Tx

k part= -

u NA fxt

v QA fxt

MI Q m

- - = partpart

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1zz

= part - part -

z zz z

M EI M EIx x

uN EA N EAx

part- =part

xθpart

ValIdacIoacuten

(28)Donde

bull u1 (0) = 0 u1 (5) = 15 (5)3 u1(73) = 15 (73)3

bull u2 (0) = u2 (5) = 1

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

θ θθ θ

U uV v

u RQ QM MN N

sin cossin cos

Q NN Q

θ θθ θ

- - - -

1 1 1 12 90

01 2 0 0 1 1

2 1 0 0 1 (90 15M N P f

x x x x -

- - = = = = - - - -

2 2 2 22

1000 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 100 45x

M N P fx

- - = = = = -

100 30 3251x

x ux x

forall isinΩ = - +

0i eF F+ =sum

1 y 2 k k k kk

du dudx udx dx

15 5 590 15 cos sin 1426csc cot

2 2 2 2

xx u x xx x

0(90 15 90x x x

T(x = 1 t) = T(x = -1 t) = 1 - gt (32)

Wi = gAir (33)

Nodo Fx(N) Fxy(N)

11 3000 3000

12 3000 3000

13 -3000 3000

14 -3000 3000

01 1 04 0025 0025

23 1 04 0025 0025

4-12 2 025 025 0025 0025

13-22 1 04 02 00125 00125

22 21 1(X) 64 32 ln 1

8 2 8 64X XL X X X

= + + + +

03 ( )[ 80] ( ) 06(0)( ) (0)[08] ( ) 03 1(8) (0)

forall isin - = -

-forall isin = + -

4 2 ln(1 2) + + +

conclusIones

agradecImIentos

referencIas

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u uKu Lu M N Pu fxx

part part+ + + + =

partpart

yK L M O N P

1( )( )

u x tu x t

uM Ou rx

part- - +

yuM Ou rx

partpart

b b bt t t

uN dx Pudx fdxx

ϕ ϕ ϕpart+ + =

partint int int

gas is

v a tg

v b tg

ifv fv

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t U t t U t T t U t e tσ λ+ + =

b b bt t t

int int int

uMxv xtuM Ou rx

σ λ T

tIpos de estudIo

Estudio transitorio

bull Caso

bull Caso = 0

1 s nc c cu u u Ω= = = =

sv gη

0g = 0g ne

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x t v x u t v x= =

0σ ne

1( ) ( ) ( )

r k r i r ii

U t h U t a U tβ -- - -

0σ ne

1 11 1

1( ) ( ) ( ) ( )

r k r r i r ii

1( ) ( )r k rV t h T tλ β -= +

kia --

1kβ -

1 1 11 1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k kk k

sum sum

K = M = O = N = P = 0 L = rcp M = k y f = Q (16)

Vigas En El plano

v f Tx

k part= -

u NA fxt

v QA fxt

MI Q m

- - = partpart

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1zz

= part - part -

z zz z

M EI M EIx x

uN EA N EAx

part- =part

xθpart

ValIdacIoacuten

(28)Donde

bull u1 (0) = 0 u1 (5) = 15 (5)3 u1(73) = 15 (73)3

bull u2 (0) = u2 (5) = 1

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

θ θθ θ

U uV v

u RQ QM MN N

sin cossin cos

Q NN Q

θ θθ θ

- - - -

1 1 1 12 90

01 2 0 0 1 1

2 1 0 0 1 (90 15M N P f

x x x x -

- - = = = = - - - -

2 2 2 22

1000 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 100 45x

M N P fx

- - = = = = -

100 30 3251x

x ux x

forall isinΩ = - +

0i eF F+ =sum

1 y 2 k k k kk

du dudx udx dx

15 5 590 15 cos sin 1426csc cot

2 2 2 2

xx u x xx x

0(90 15 90x x x

T(x = 1 t) = T(x = -1 t) = 1 - gt (32)

Wi = gAir (33)

Nodo Fx(N) Fxy(N)

11 3000 3000

12 3000 3000

13 -3000 3000

14 -3000 3000

01 1 04 0025 0025

23 1 04 0025 0025

4-12 2 025 025 0025 0025

13-22 1 04 02 00125 00125

22 21 1(X) 64 32 ln 1

8 2 8 64X XL X X X

= + + + +

03 ( )[ 80] ( ) 06(0)( ) (0)[08] ( ) 03 1(8) (0)

forall isin - = -

-forall isin = + -

4 2 ln(1 2) + + +

conclusIones

agradecImIentos

referencIas

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yK L M O N P

1( )( )

u x tu x t

uM Ou rx

part- - +

yuM Ou rx

partpart

b b bt t t

uN dx Pudx fdxx

ϕ ϕ ϕpart+ + =

partint int int

gas is

v a tg

v b tg

ifv fv

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t U t t U t T t U t e tσ λ+ + =

b b bt t t

int int int

uMxv xtuM Ou rx

σ λ T

tIpos de estudIo

Estudio transitorio

bull Caso

bull Caso = 0

1 s nc c cu u u Ω= = = =

sv gη

0g = 0g ne

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x t v x u t v x= =

0σ ne

1( ) ( ) ( )

r k r i r ii

U t h U t a U tβ -- - -

0σ ne

1 11 1

1( ) ( ) ( ) ( )

r k r r i r ii

1( ) ( )r k rV t h T tλ β -= +

kia --

1kβ -

1 1 11 1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k kk k

sum sum

K = M = O = N = P = 0 L = rcp M = k y f = Q (16)

Vigas En El plano

v f Tx

k part= -

u NA fxt

v QA fxt

MI Q m

- - = partpart

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1zz

= part - part -

z zz z

M EI M EIx x

uN EA N EAx

part- =part

xθpart

ValIdacIoacuten

(28)Donde

bull u1 (0) = 0 u1 (5) = 15 (5)3 u1(73) = 15 (73)3

bull u2 (0) = u2 (5) = 1

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

θ θθ θ

U uV v

u RQ QM MN N

sin cossin cos

Q NN Q

θ θθ θ

- - - -

1 1 1 12 90

01 2 0 0 1 1

2 1 0 0 1 (90 15M N P f

x x x x -

- - = = = = - - - -

2 2 2 22

1000 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 100 45x

M N P fx

- - = = = = -

100 30 3251x

x ux x

forall isinΩ = - +

0i eF F+ =sum

1 y 2 k k k kk

du dudx udx dx

15 5 590 15 cos sin 1426csc cot

2 2 2 2

xx u x xx x

0(90 15 90x x x

T(x = 1 t) = T(x = -1 t) = 1 - gt (32)

Wi = gAir (33)

Nodo Fx(N) Fxy(N)

11 3000 3000

12 3000 3000

13 -3000 3000

14 -3000 3000

01 1 04 0025 0025

23 1 04 0025 0025

4-12 2 025 025 0025 0025

13-22 1 04 02 00125 00125

22 21 1(X) 64 32 ln 1

8 2 8 64X XL X X X

= + + + +

03 ( )[ 80] ( ) 06(0)( ) (0)[08] ( ) 03 1(8) (0)

forall isin - = -

-forall isin = + -

4 2 ln(1 2) + + +

conclusIones

agradecImIentos

referencIas

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tIpos de estudIo

Estudio transitorio

bull Caso

bull Caso = 0

1 s nc c cu u u Ω= = = =

sv gη

0g = 0g ne

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x t v x u t v x= =

0σ ne

1( ) ( ) ( )

r k r i r ii

U t h U t a U tβ -- - -

0σ ne

1 11 1

1( ) ( ) ( ) ( )

r k r r i r ii

1( ) ( )r k rV t h T tλ β -= +

kia --

1kβ -

1 1 11 1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k kk k

sum sum

K = M = O = N = P = 0 L = rcp M = k y f = Q (16)

Vigas En El plano

v f Tx

k part= -

u NA fxt

v QA fxt

MI Q m

- - = partpart

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1zz

= part - part -

z zz z

M EI M EIx x

uN EA N EAx

part- =part

xθpart

ValIdacIoacuten

(28)Donde

bull u1 (0) = 0 u1 (5) = 15 (5)3 u1(73) = 15 (73)3

bull u2 (0) = u2 (5) = 1

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

θ θθ θ

U uV v

u RQ QM MN N

sin cossin cos

Q NN Q

θ θθ θ

- - - -

1 1 1 12 90

01 2 0 0 1 1

2 1 0 0 1 (90 15M N P f

x x x x -

- - = = = = - - - -

2 2 2 22

1000 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 100 45x

M N P fx

- - = = = = -

100 30 3251x

x ux x

forall isinΩ = - +

0i eF F+ =sum

1 y 2 k k k kk

du dudx udx dx

15 5 590 15 cos sin 1426csc cot

2 2 2 2

xx u x xx x

0(90 15 90x x x

T(x = 1 t) = T(x = -1 t) = 1 - gt (32)

Wi = gAir (33)

Nodo Fx(N) Fxy(N)

11 3000 3000

12 3000 3000

13 -3000 3000

14 -3000 3000

01 1 04 0025 0025

23 1 04 0025 0025

4-12 2 025 025 0025 0025

13-22 1 04 02 00125 00125

22 21 1(X) 64 32 ln 1

8 2 8 64X XL X X X

= + + + +

03 ( )[ 80] ( ) 06(0)( ) (0)[08] ( ) 03 1(8) (0)

forall isin - = -

-forall isin = + -

4 2 ln(1 2) + + +

conclusIones

agradecImIentos

referencIas

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K = M = O = N = P = 0 L = rcp M = k y f = Q (16)

Vigas En El plano

v f Tx

k part= -

u NA fxt

v QA fxt

MI Q m

- - = partpart

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1zz

= part - part -

z zz z

M EI M EIx x

uN EA N EAx

part- =part

xθpart

ValIdacIoacuten

(28)Donde

bull u1 (0) = 0 u1 (5) = 15 (5)3 u1(73) = 15 (73)3

bull u2 (0) = u2 (5) = 1

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

θ θθ θ

U uV v

u RQ QM MN N

sin cossin cos

Q NN Q

θ θθ θ

- - - -

1 1 1 12 90

01 2 0 0 1 1

2 1 0 0 1 (90 15M N P f

x x x x -

- - = = = = - - - -

2 2 2 22

1000 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 100 45x

M N P fx

- - = = = = -

100 30 3251x

x ux x

forall isinΩ = - +

0i eF F+ =sum

1 y 2 k k k kk

du dudx udx dx

15 5 590 15 cos sin 1426csc cot

2 2 2 2

xx u x xx x

0(90 15 90x x x

T(x = 1 t) = T(x = -1 t) = 1 - gt (32)

Wi = gAir (33)

Nodo Fx(N) Fxy(N)

11 3000 3000

12 3000 3000

13 -3000 3000

14 -3000 3000

01 1 04 0025 0025

23 1 04 0025 0025

4-12 2 025 025 0025 0025

13-22 1 04 02 00125 00125

22 21 1(X) 64 32 ln 1

8 2 8 64X XL X X X

= + + + +

03 ( )[ 80] ( ) 06(0)( ) (0)[08] ( ) 03 1(8) (0)

forall isin - = -

-forall isin = + -

4 2 ln(1 2) + + +

conclusIones

agradecImIentos

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ValIdacIoacuten

(28)Donde

bull u1 (0) = 0 u1 (5) = 15 (5)3 u1(73) = 15 (73)3

bull u2 (0) = u2 (5) = 1

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

θ θθ θ

U uV v

u RQ QM MN N

sin cossin cos

Q NN Q

θ θθ θ

- - - -

1 1 1 12 90

01 2 0 0 1 1

2 1 0 0 1 (90 15M N P f

x x x x -

- - = = = = - - - -

2 2 2 22

1000 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 100 45x

M N P fx

- - = = = = -

100 30 3251x

x ux x

forall isinΩ = - +

0i eF F+ =sum

1 y 2 k k k kk

du dudx udx dx

15 5 590 15 cos sin 1426csc cot

2 2 2 2

xx u x xx x

0(90 15 90x x x

T(x = 1 t) = T(x = -1 t) = 1 - gt (32)

Wi = gAir (33)

Nodo Fx(N) Fxy(N)

11 3000 3000

12 3000 3000

13 -3000 3000

14 -3000 3000

01 1 04 0025 0025

23 1 04 0025 0025

4-12 2 025 025 0025 0025

13-22 1 04 02 00125 00125

22 21 1(X) 64 32 ln 1

8 2 8 64X XL X X X

= + + + +

03 ( )[ 80] ( ) 06(0)( ) (0)[08] ( ) 03 1(8) (0)

forall isin - = -

-forall isin = + -

4 2 ln(1 2) + + +

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T(x = 1 t) = T(x = -1 t) = 1 - gt (32)

Wi = gAir (33)

Nodo Fx(N) Fxy(N)

11 3000 3000

12 3000 3000

13 -3000 3000

14 -3000 3000

01 1 04 0025 0025

23 1 04 0025 0025

4-12 2 025 025 0025 0025

13-22 1 04 02 00125 00125

22 21 1(X) 64 32 ln 1

8 2 8 64X XL X X X

= + + + +

03 ( )[ 80] ( ) 06(0)( ) (0)[08] ( ) 03 1(8) (0)

forall isin - = -

-forall isin = + -

4 2 ln(1 2) + + +

conclusIones

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Nodo Fx(N) Fxy(N)

11 3000 3000

12 3000 3000

13 -3000 3000

14 -3000 3000

01 1 04 0025 0025

23 1 04 0025 0025

4-12 2 025 025 0025 0025

13-22 1 04 02 00125 00125

22 21 1(X) 64 32 ln 1

8 2 8 64X XL X X X

= + + + +

03 ( )[ 80] ( ) 06(0)( ) (0)[08] ( ) 03 1(8) (0)

forall isin - = -

-forall isin = + -

4 2 ln(1 2) + + +

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Soluciones de Ecuaciones Diferenciales por Elemento Finito ... · ra rápida y precisa la configuración de su proyecto de simulación. El software SEDEF incluye una interfaz específica