Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL - 1 - BAB III Solusi Deret dari Persamaan Differensial Misalkanpersamaandifferensialberikuty=2xy.Persamaandifferensialinibiladiselesaikandengan metode yang telah dipelajari pada BAB 8 dapat dinyatakan ( )2' exp ln 2 22 2 xe C C x y C x y xdxydyxydxdy= + = + = = = Sekarang akan dicoba solusi yang berupa deret pangkat Bila didiferensialkan: Substitusi ke persamaan diffesensial yang dimaksud ( ) ... 2 ... 3 223 1 023 2 1+ + + = + + + x a x a a x x a x a amaka akan diperoleh: Sehingga akan diperoleh hubungan Karena hanya deret dengan n genap yang muncul, maka dapat dituliskan (ambil n = 2m): 2 2 2 2 2122 = =m m mamamasedangkan lebih lanjut dapat dituliskan 4 2 2 2 2 2 2112 22 ==m m mamamaDemikian seterusnya sehingga menjadi Untuk n ganjil Untuk n genap Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL - 2 - Dengan koefisien-koefisien yang diperoleh tersebut, solusi y dapat dituliskan menjadi ==+ + + + + + + + =020204020 0! ...!1... 0210 0mmmmxax amx a x a a y Bila solusi menggunakan deret tersebut dibandingkan dengan solusi cara biasa (menggunakan integral) yang telah disinggung pada bagian awal, maka akan diperoleh ==|||

\|+ + + = ==020!42!...! 21 ' '022nnnxxnxaxx C e C ynn

dengan a0 = C. Polinom Legendre Persamaan differensial Legendre merupakan persamaan differensial yang berbentuk denganladalahkonstanta.Persamaandifferensialtersebutakanbanyakdijumpaimanakala menyelesaikan persamaan differensial parsial dalam sistem koordinat bola. Solusipersamaandifferensialtersebutadalahdalambentukpolinomialyangdikenalsebagaipolinom Legendre.Misalkan solusi untuk y berbentuk deret pangkat dalam x turunan pertama dan keduanya adalah Substitusikan ke persamaan differensial Legendre tersebut di atas akan menghasilkan [ ] [ ][ ] 0 ... ) 1 (... 4 3 2 2 ) 1 ( ... 20 12 6 2 ) 1 (443322 1 01 3423 2 12 3524 3 22= + + + + + + + ++ + + + + + + + + + nnnnnnx a x a x a x a x a a l lx na x a x a x a a x x a n n x a x a x a a x Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL - 3 - Bila disusun dalam bentuk tabel agar lebih mudah dianalisa x0xx2x3x4xn 2a2 0 l(l+1)a0 0 2a1 l(l+1)a1 2a2 4a2 l(l+1)a2 6a3 6a3 l(l+1)a3 12a4 8a4 l(l+1)a4 na n n ) 1 ( nna 2 na l l ) 1 ( + Bilakoefisiendarimasing-masingsukupangkatxtersebutdijumlahkan,masing-masingharus memberikan nilai sama dengan nol agar persamaan differensial tersebut terpenuhi. Artinya yang memberikan nilai konstanta a: Sedangkan dari koefisien xn diperoleh Dapat diperoleh hubungan antara an+2 dengan an, yaitu Artinyauntukngenap,koefisienandapatdinyatakandalama0,sedangkanuntuksukuyangganjil dapat dinyatakan dalam a1. Dengan demikian solusi dari persamaan Legendre dapat dinyatakan dalam a0 dan a1: Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL - 4 - Derettersebutkonvergenuntukx2