SOLUSI NUMERIK DARI PERSAMAAN NONLINEAR INTEGRAL

HAMMERSTEIN MELALUI METODE SINC COLLOCATION

BERDASARKAN TRANSFORMASI EKSPONENSIAL GANDA

Abstrak

Dalam paper ini menjelaskan solusi numerik dari persamaan nonlinear integral

Hammerstein melalui metode kolokasi berdasarkan transformasi eksponensial ganda. Beberapa

komentar sehubungan dengan biaya komputasi dan stabilitas dan implementasi. Contoh disajikan

untuk menggambarkan efektivitas metode.

Pendahuluan

Dalam paper ini, kita mempertimbangkan persamaan nonlinear integral Hammerstein dari rumus

ini :

u ( x )=g ( x )+∫Γ

❑

K ( x ,t ) F (t , u ( t ) )dt , x , t∈Γ=[a , b] (1)

di mana a, b, dan adalah konstanta real : g (x), K (x, t), dan F (t, u (t)) yang diberikan fungsi,

dan u (x) yang akan menghalangi. Persamaan (1) diterapkan dalam berbagai bidang

elektromaknetik, dinamika fluida, masalah nilai reformulasi batas dua titik [1]. Banyak metode

yang berbeda yang biasa digunakan untuk memecahkan Persamaan (1) seperti pendekatan

polyno-mial [2], radial fungsi dasar [3], metode dekomposisi Adomian [4], Chebyshev dan

Taylor Collo-kation [5], dan wavelet [6] . .

Metode Sinc adalah alat numerik yang baik untuk mencari solusi yang cepat dan akurat

dalam berbagai bidang masalah. Dalam [7,8], menjelaskan fungsi Sinc dan kondisi yang tepat

dan teorema yang didiskusikan. Dalam [9], metode kolokasi Sinc digunakan untuk solusi

numerik dari persamaan integral Hammerstein. Transformasi eksponensial ganda yang disingkat

DE pertama kali diusulkan oleh Takahashi dan Mori [10] pada tahun 1974 untuk integrasi

numerik satu dimensi, dan itu telah digunakan secara luas. Hal ini diketahui bahwa transformasi

eksponensial ganda memberikan hasil yang optimal untuk evaluasi numerik dari integral tertentu

dari fungsi analitik [11-13] . Sesungguhnya telah didemonstrasi bahwa penggunaan metode Sinc

bekerjasama dengan transformasi DE memberikan metode numerik yang sangat efisien untuk

pendekatan fungsi, numerik integrasi terbatas, dan solusi persamaan diferensial [14] . Akan

tetapi, Sugihara [15-17] baru-baru ini menemukan bahwa adanya kesalahan dalam metode

numerik Sinc pada O(exp(cN/logN)) dengan c > 0 ,yang juga memiliki makna.

Tujuan utama dari penelitian ini adalah untuk mempertimbangkan solusi numerik dari

persamaan integral Hammerstein berdasarkan transformasi eksponensial ganda dan investigasi

gerbang biaya komputasi dan stabilitas dan implementasi algoritma . Serta, menjelaskan

beberapa hal penting dari metode ini.

Isi dalam paper ini adalah sebagai berikut : pada bagian " Metode ", kami memberikan

definisi dasar , asumsi dan persiapan dari perkiraan Sinc dan gagasan utama dalam pekerjaan.

Dalam bagian " Hasil dan diskusi ", algoritma yang diusulkan diterapkan untuk memecahkan

beberapa persamaan nonlinear integral Hammerstien dan rincian pelaksanaan numerik dan

beberapa hasil eksperimen yang disebutkan; pada bagian akhirnya, " Kesimpulan ", berisi

pernyataan kesimpulan.

Metodedasar dan pendahuluan

f didefinisikan sebagai fungsi pada ℝ, h> 0 sebagai ukuran langkah, dan kemudian kardinal

Whittaker didefinisikan oleh rumus

C (f , h)(x)=∑j=−∞

∞

f ( jh)S ( j , h)(x) (2)

rumus ini bersifat konvergen, dan

S ( j , h ) (x )=sin [ π ( x− jh )

h ]π ( x− jh)

h

, j=0 ,± 1 ,± 2 ,... , (3)

dimana S (j,h) (x) dikenal sebagai j th fungsi Sinc dievaluasi pada x. Dalam tulisan ini, d> 0

dan Dd menyatakan Wilayah {z = x+iy |y|<d} dalam skema kompleks C dan dari peta

konformal domain D terhubung secara sedarhana kedalam domain kompleks Dd, sehingga (a)

= , (b) = , dimana a, b merupakan titik batas dari D dengan a, b ∂D. menunjukkan

kebalikan peta , dan membiarkan busur Γ , dengan titik akhir a, b (a, b Γ), yang diberikan

oleh Γ = (, ). Untuk h> 0, xk poin diberikan oleh xk = (kh), k Z..

Selain itu, mari kita perhatikan H1 (Dd) menjadi keluarga semua fungsi g analitik di Dd,

sehingga

N 1 (g , Dd )=lim ¿c → 0 ∫∂ Dd( ϵ )

❑

¿g (t)∨¿dt∨¿∞ ,¿

Dd (ϵ )={t∈C ,∨Ret∨¿ 1ϵ

,∨Imt∨¿d (1−ϵ)}

kita mengingat kembali definisi dari [10,16] yang akan menjadi instrumental kita dalam

membangun rumus:

Definisi 1. Fungsi g dikatakan eksponansial ganda jika terdapat konstanta dan C, sehingga

¿ g(t )∨≤C exp¿

Secara ekuivalen, sebuah fungsi g dikatakan eksponensial ganda dengan conformal peta

jika konstanta dan C bernilai positif sehingga

|g ( (t ) ) (t )|≤ C exp (−α exp|t|) ,t∈(−∞, ∞).

Di sini, kita menganggap bahwa K❑α (Dd) sebagai bagian fungsi g, dimana g ( (t)) (t)

mengikuti H1 (Dd) dan secara menyeluruh eksponensial ganda berhubungan dengan . Jika f

mengikuti K❑α (Dd), berhubungan dengan , maka kita sudah memiliki rumus untuk integral

terbatas dan tak terbatas berdasarkan Transformasi DE yang diberikan dan dibahas penuh dalam

[18]:

∫a

b

f ( x )dx=h ∑j=−N

j=N

f (¿¿ ( jh ))❑' ( jh)+O(exp( −2πdN

log( 2 πdNα )))¿¿ (4)

∫a

b

f ( x )dx=h ∑j=−N

j=N

f (¿¿ ( jh ))❑' ( jh) ×(12 + 1π

si( π❑−1(s)h

− jπ))+O( log NN

exp ( −πdN

log( πdNα )))¿¿

Dimana:

(t)=b−a2

tanh ( π2

sin ht)+ a+b2 (5)

❑'( t)=b−a2

π /2cosh(t)cosh2¿¿

(6)

N T(s) ||.|| ||.||2 RMS Cond

5 34.60 9.36E-004 1.96E-002 5.90E-004 3.86E+000

8 480.80 8.72E-005 1.29E-004 5.56E-005 5.56E+000

11 100.1 9.15E-006 2.73E-005 5.70E-006 7.19E+000

Serta Si (t) adalah integral Sine didefinisikan oleh

si (t )=∫0

t sin ww

dw ,

dan ukuran mesh h memenuhi h=1N

log ( πdNα

)

Dasar Pemikiran

Untuk menerapkan transformasi DE yang diestimasi pada Persamaan 1, pertama, kita

menggunakan integrasi tidak terbatas untuk

Istilah kedua pada sisi kanannya

∫a

x

K ( x ,t ) F (t , u (t ) )dt ≃h ∑j=−N

N

K (¿x , , ( j h ))❑' ( jh )(12 + 1π

si( π❑−1 ( x )h

− jπ))F j .¿ (7)

Demikian pula, untuk integral terbatas yang kita miliki:

∫a

b

K ( x ,t ) F (t , u ( t ) )dt ≃h ∑j=−N

N

K (¿x , , ( j h ))❑' ( jh ) F j ,¿

dimana Fj = F (tj, u (tj)), j = N. .. N. Jika kita mengganti Persamaan 7 di sisi kanan dari

Persamaan 1 ,

u ( x )−h ∑j=−N

N

K ¿¿ (8)

Untuk mendapatkan diketahui Fj = F (tj, u (tj), j = N. .. N, kita bisa menerapkan Sinc poin

kolokasi xk sebagai xk = (kh), k = N. .. N, jadi kita memiliki sistem nonlinear berikut dari (2N

+ 1) (2N + 1) diketahui Fj:

u ( x )−h ∑j=−N

N

K ¿¿k, j = −N..N. (9)

Dengan menyelesaikan sistem persamaan nonlinier, kita memperoleh solusi perkiraan u j

yang sesuai dengan solusi u (x j ) di Sinc titik xk = (kh). Dalam memperkirakan x disembarang

tempat, kita menggunakan metode mirip dengan metode Nyström [19] untuk persamaan

diferensial integro Volterra :

uN ( x )=g ( x )+ λ h ∑j=−N

N

K ¿¿ (10)

Dengan beberapa catatan

A=(akj ) , akj=¿

U ¿(u−N ,…. , uN)t , g¿(g (x−N) ,…. , g (xN))

t ,F ¿(F−N , …. , F N)t ,

sistem dalam Persamaan 9 dapat ditampilkan bentuk matriks :

U−AF=g (11)

Akhirnya, kami memberikan Algoritma 1 untuk menghitung solusi numerik dari persamaan 1.

Hasil dan diskusi

eksperimen numerik

Pada bagian ini, tiga contoh disajikan berdasarkan Algoritma 1 untuk menggambarkan

efektivitas dan kepentingan metode yang diusulkan. Semua program telah disediakan oleh Maple

13. Serta, untuk menunjukkan kesalahan dan akurasi dari perkiraan, kami menerapkan kriteria

sebagai berikut:

1) kesalahan Absolute antara solusi tepat dan perkiraan

(L error normal) didefinisikan untuk M = 2N + 1 oleh

¿∨.∨¿∞=Ma x i=−N .. N [u ( xi )−uM (x i )] . (12)

2) L2 error normal didefinisikan oleh

¿∨.∨¿2=√∑i=−N

N

[u (x i )−uM ( xi )]2 (13)

3) Root mean square (RMS) didefinisikan oleh

RMS√ 1M ∑

−N ≤ i ≤N[u (x i )−uM (x i )]

2 (14)

dimana M = 2N + 1 adalah jumlah titik uji (Sinc points).

4) Program Runtime yang ditunjukkan oleh T (S artinya Second)

Contoh 1. Pertimbangkan persamaan integral [3]:

u ( x )=1+sin2 ( x )+∫0

x

−3sin ( x− t ) u2 (t ) dt , 0 ≤ x≤ 1 (15)

dengan solusi yang tepat: u (x) = cos (x).

Untuk mendapatkan hasil, kita mengambil tiga nomor sampel dari fungsi dasar , seperti N

= 5 , 8 , 11. Serta, dalam rangka untuk memiliki hasil yang lebih baik , kita konsentrasi pada

kriteria yang disebutkan sebagai runtime , infinity normal , L2 error normal, kesalahan ,

bilangan. Hasil dalam metode kolokasi Sinc ditunjukkan pada Tabel 1.

Pengmatan pada Tabel 1 , hasil numerik menunjukk an kesederhanaan dan akurasi yang

sangat baik dari metode ini . Melalui penurunan jumlah fungsi dasar , Serta kesalahan telah

berkurang , dibandingkan dengan hasil [3], yang menggunakan fungsi dasar MQ Radial, kondisi

bilangan dalam setiap baris adalah sangat kecil , yang merupakan faktor yang baik dalam metode

Sinc.

Misalnya, dalam metode Sinc untuk N = 10 , kita memiliki sebuah sistem 21 × 21 dari

persamaan nonlinear dengan kondisi penjumlahan 7.19E + 000 , tetapi dalam [ 3 ] , kondisi

penjumlahan adalah 2.45E + 013 yang sangat jelas . Serta , kita harus melihat ukuran sistem

yang dalam hal ini adalah 10 × 10 . Program RunTime dibandingkan dengan ukuran sistem

nonlinear dalam metode Sinc adalah luar biasa . Gambar 1 menunjukkan solusi perkiraan yang

tepat yang dicontoh

Contoh 2 . Perhatikan persamaan integral berikut [ 9 ] :

u ( x )=exp ( x+1 )−∫0

1

exp ( x−2 t )u3 (t )dt , 0≤ x≤ 1 (16)

dengan solusi yang tepat: u (x) = exp (x).

Dalam contoh ini, hasil menunjukkan pendekatan yang baik berdasarkan metode Sinc

kolokasi. Jelas bahwa faktor-faktor penting sebagian besar disebabkan oleh struktur matriks

koefisien yang penting. Serta, dalam [9], Sinc kolokasi dengan transformasi tunggal (x) = ln

( x1−x ) diterapkan dan untuk N = 35 kesalahan maksimum. ||.|| = 9.37E 10 diperoleh

dengan membandingkan dengan dua transformasi eksponensial adalah sangat luar biasa karena

dengan cara ini ukuran sistem nonlinier adalah 71 × 71. Gambar 2 menunjukkan konvergensi

perilaku metode kolokasi Sinc dalam hal infinity normal dibandingkan kebalikan dari jumlah

titik kolokasi N. Mirip dengan kolom. ||.|| pada Tabel 2, Gambar 2 menunjukkan bahwa

infinity norma berkurang dengan meningkatkan jumlah kolokasi titik. Gambar 3 menunjukkan

solusi perkiraan yang tepat dicontoh ini.

Contoh 3. Pertimbangkan persamaan nonlinear integral Hammerstein berikut [9]:

u ( x )=∫0

1

xtu2 ( t ) dt− 512

x+1 , 0≤ x ≤ 1 (17)

dengan solusi yang tepat: u ( x )=1+ 13

x

Hasil pada Tabel 3, menunjukkan efisiensi dan tingkat konvergensi metode. Dengan

mengurangi jumlah fungsi dasar, kesalahan telah menurun. Nilai kondisi dalam setiap baris

adalah kecil, yang merupakan faktor yang baik dalam metode Sinc. Properti ini disebabkan oleh

struktur khusus dari koefisien Matrix. Dibandingkan dengan [9] oleh transformasi eksponensial

tunggal dan kesalahan besar. ||.| = 5.88E 9 dengan N = 45, hasil pada Tabel 3 adalah sangat

besar. Gambar 4 menunjukkan sifat konvergensi metode Sinc kolokasi. Juga, Gambar 5

menunjukkan soluasi perkiraan yang tepat pada contoh ini.

Namun, hasil menunjukkan bahwa metode yang diusulkan praktis dapat diandalkan.

Serta, metode kolokasi Sinc memberikan akurasi yang lebih baik dalam waktu jangka yang

sangat kecil dengan biaya computasi yang rendah. Berdasarkan hasil dan karya-karya lain

[20,21], metode kolokasi Sinc memberikan akurasi yang lebih baik dengan biaya komputasi,

juga, pelaksana dan pengkodean yang sangat mudah.

kesimpulan

Kami menerapkan metode kolokasi Sinc berdasarkan transformasi eksponensial ganda untuk

persamaan integral nonlinear Hammerstein. Metode Sinc kolokasi dalam waktu berjalan dan

kondisi penomoran memiliki keandalan yang baik dan efisiensi. Juga, kita dapat meningkatkan

akurasi dari solusi dengan memilih parameter bentuk yang sesuai dengan memilih nilai-nilai

besar N. Hasil menunjukkan akurasi yang tinggi dari metode dengan mengambil pandangan ini

bahwa menyimpan dalam waktu dan memori properti lain yang berguna dalam Sinc metode.

Selain itu, metode ini adalah portable ke area lain yang bermasalah dan program yang mudah.