Solusi-Relasi-Rekurensi.pdf

RELASI REKURENSIRELASI REKURENSI

SOLUSI RELASI REKURENSIRELASI REKURENSI

1Solusi Relasi Rekurensi

Relasi Rekurensi Linier Homogen,n ka,n ka

Misal

Definisi:Sebuah relasi rekurensi linier homogen

berderajat r dengan koefisien konstanadalah relasi rekurensi berbentuk :

+ + +an = c1an-1 + c2an-2 + + cran-r

Dengan ci konstanta bilangan riil dan cr 0



Misal

Solusi umum untuk persamaan diatas akan melibatkan penjumlahan dari solusi individual berbentuk an = n.

Untuk menentukan , subsitusikan a = n kedalam persamaan diatasan = kedalam persamaan diatas sehingga diperoleh

n = c1 n-1 + c2 n-2 + +cr n-r



Misal

Bagi persamaan tersebut dengan n-r Sehingga diperoleh:

r = c1 r-1 + c2 r-2 + +crAt Atau

r - c1 r-1 - c2 r-2 - - cr = 01 2 rPersamaan ini disebut sebagai persamaan karakteristik dari relasi rekurensi pada persamaankarakteristik dari relasi rekurensi pada persamaan awal.



Misal

Mi lk d l h b h Misalkan 1, 2, 3, ..., r adalah r buah akar dari persamaan karakteristik diatas

Maka an = i n dengan 0 i n adalah solusi dari relasi rekurensi persamaan pawal.



Misal

Kombinasi linier dari setiap solusi yangKombinasi linier dari setiap solusi yang ada juga merupakan solusi dari relasi rekurensi persamaan awal ataurekurensi persamaan awal, atau

an = A1 1 n + A2 2 n + + Ar r n

Untuk setiap konstanta Ai , 0 i np i ,



Misal

Untuk relasi rekurensi yang melibatkan a a a a dibutuhkan r buah nilaian-1, an-2, an-3, an-r dibutuhkan r buah nilai awal a0, a1, a2, ar-1 .

Misalkan a0, a1, a2, ar-1 adalah nilai awal yang diketahui, maka Ai dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan linier dari

A1 1 k + A2 2 k + + Ar r k=ak0 k r-1



Misal

Teorema 1:Misalkan c dan c adalah bilangan riilMisalkan c1 dan c2 adalah bilangan riil.

Misalkan bahwa 2 - c1 - c2 = 0 memiliki dua akar yang berbeda dan Makadua akar yang berbeda 1 dan 2 . Maka barisan {an} adalah solusi dari relasi rekurensi a = c1 a 1+ c2 a 2 jika danrekurensi an c1 an-1+ c2 an-2 jika danhanya jika an = A11n + A22n untuk n = 0, 1, 2, ..., dimana A1 dan A2 adalah1, 2, ..., dimana A1 dan A2 adalah konstanta



Misal

Contoh 1:Selesaikan relasi rekurensi berbentuk

2 + 3 1an = 2an-1+ 3an-2, a0 = a1 = 1



Misal

Ambil an = n , maka diperoleh n ppersamaan karakteristik

n = 2 n-1 + 3 n-2 2 3 2 = 2 + 3

2 2 3 0 2 - 2 - 3 = 0Sehingga diperoleh akar-akarkarakteristik 1 = -1 dan 2 = 3



Misal

Solusi individualnya adalah:y

an = 3n , dan an = (-1)n

Solusi umumnya berbentuk

a = A (3)n + A ( 1)nan = A1 (3)n + A2 (-1)n

Diketahui a0 = a1 = 1 maka, 0 1 A1 + A2 = 13A A = 13A1 - A2 = 1



Misal

Dengan menyelesaikan SPL diatas akan g ydiperoleh:

A = A = A1 = A2 =

Sehingga solusi dari relasi rekurensi ggadalah:

a = (3)n + ( 1)nan = (3)n + (-1)n



Misal

Contoh 2: (Doubling Rabbit Population)( g p )

Setiap tahun populasi kelinci Dr FinchSetiap tahun populasi kelinci Dr. Finch akan bertambah menjadi dua kali lipat. Dia mulai dengan 6 ekor kelinci. Berapa g pbanyak kelinci yang dia miliki setelah ntahun?



Misal

Jika an banyak kelinci, maka an akan n y n memenuhi relasi rekurensi an = 2an-1,

Diketahui a = 6 Diketahui a0 = 6,

Subsitusi an = n , n n = 2 n-1 = 2

Sehingga diperoleh solusi individualSehingga diperoleh solusi individual an = 2 (2n-1)= 2n



Misal

Solusi umumnya berbentuky

an = A (2)n

Diketahui a0 = 6 maka, A = 6A 6

Maka solusi untuk n tahun = 6 (2)nan = 6 (2)n



Misal

Contoh 3: (Fibonacci)( )

Diketahui relasi rekurensi barisanDiketahui relasi rekurensi barisan Fibonacci adalah an = an-1+ an-2, dengan kondisi awal a0 = 0 dan a1 = 1dengan kondisi awal a0 0 dan a1 1



Misal


n = n-1 + n-2 2 = + 1

2 1 0 2 - - 1 = 0Sehingga diperoleh akar-akarkarakteristik

1 5 1 5 + = =1 2,2 2 = =18Solusi Relasi Rekurensi


Solusi individual yang diperoleh adalah y g p

1 5n

na += 2n

Dan 1 52

n

na = 2n



Misal

Solusi umumnya berbentuk:y

1 5 1 5n n

a A A + = +

Dengan kondisi awal a = 0 dan a = 1

1 22 2na A A= +

Dengan kondisi awal a0 = 0 dan a1 = 1

Diperoleh: dan

+=

251

51

1A

=

251

51

2A 520Solusi Relasi Rekurensi


Misal

Sehingga solusinya menjadi:gg y j

11511511

++ + nn2

515

12

515

1

+=na



Misal

Teorema 2:Misalkan c dan c adalah bilangan riilMisalkan c1 dan c2 adalah bilangan riil

dengan c2 0. Misalkan bahwa 2 - c1 -c = 0 hanya memiliki satu akar Makac2 = 0 hanya memiliki satu akar 0 . Maka barisan {an} adalah solusi dari relasi rekurensi a = c1 a 1+ c2 a 2 jika danrekurensi an c1 an-1+ c2 an-2 jika danhanya jika an = A10n + A2 n0n untuk n = 0, 1, 2, ..., dimana A1 dan A2 adalah0, 1, 2, ..., dimana A1 dan A2 adalah konstanta



Misal

Contoh 4:Selesaikan relasi rekurensi berbentuk

4 4 d 1 3an+2 = 4an+1 - 4an, dan a0 = 1, a1 = 3



Misal


n+2 = 4 n+1 - 4 n 4 4 2 = 4 - 4

2 4 + 4 0 2 - 4 + 4 = 0Sehingga diperoleh akar-akarkarakteristik 1 = 2 = 0 = 2



Misal

Solusi umumnya berbentuky

an = A1 (2)n + A2 n(2)n

Diketahui a0 = 1 dan a1 = 3 maka, A1 = 1A1 12A1 + 2A2 = 3 A2 =



Misal

Sehingga solusi dari relasi rekurensi ggadalah:

a = 2n + n (2)nan = 2n + n (2)n

atau

an = 2n + n (2)n-1


Relasi Rekurensi Linier NonHomogen,n ka,n ka

Misal

Misalkan diketahui relasi rekurensisebagai berikut:

a = ca + f(n)an = can-1 + f(n)

Dengan f(n) sembarang fungsi dari ng f( ) g g

Relasi rekurensi seperti diatas dikatakansebagai relasi rekurensi Nonhomogensebagai relasi rekurensi Nonhomogen.



Misal

Untuk mendapatkan solusi dari relasiprekurensi ini perlu dicari solusi daribentuk homogen (an = can-1 )g ( n n 1 )

dan solusi partikulir berbentuka * = ca* + f(n)an = ca n-1 + f(n)

Sehingga solusinya berbentuk



Misal( )f ndBdn1 0B n B+2dn 22 1 0B n B n B+ +ned nBd

*

*[ ( )]

nn n

n

a Ac aAc ca f n

= ++ +1

1 *1

[ ( )]( ) ( )

nn

nn

Ac ca f nc Ac a f n

= + += + +1

1

( ) ( )( )

n

n

fca f n= +



Misal

Untuk kasus spesial dimana c = 1diperolehdiperoleh

an = an-1 + f(n)n n 1 f( )

Sehingga: f(1)a1 = a0 + f(1)a2 = a1 + f(2) = a0 + f(1) + f(2)a3 = a2 + f(3) = a0 + f(1) + f(2) + f(3)......an = an-1 + f(n) = a0 + f(1) + f(2) + f(3)+...+f(n)



Misal( )f ndBdn1 0B n B+2dn 22 1 0B n B n B+ +ned nBd

f(n) Solusi Partikulir

C, konstanta A, Konstanta

n A1n + A0

n2 A2n2 + A1 n + A0

nt , t Z+ Atnt + At-1nt-1 + + A1n + A0rn, r R Arnsin n A sin n + B cos ncos n A sin n + B cos n

ntrn rn(Atnt + At-1nt-1 + + A1n + A0)

rn sin n rn (A sin n + B cos n)rn cos n rn (A sin n + B cos n)



Misal

Contoh 5:Tentukan solusi rekurensi dari

a = a 1 + nan an-1 + n dengan kondisi awal a1 = 2 berasal dari persoalan membagi bidangberasal dari persoalan membagi bidangdengan garis untuk mendapatkan jumlahdaerahdaerah.



Misal

Jawab::kondisi awal a1 = 2 dapat diganti dengan

kondisi awal a0 = 1, yaitu kondisi dimana 0 , ytidak ada garis yang membagi bidang, berarti terdapat satu daerah.Karena c=1 maka solusi dari

a = a 1 + nan an-1 + n an = a0 + f(1) + f(2) + + f(n)a = 1 + 1 + 2 + + n = 1+ n(n+1)an = 1 + 1 + 2 + + n = 1+ n(n+1)



Misal

Contoh 6: (Tower of Hanoi)( )Diketahui bentuk relasi rekurensi dari

persoalan Tower of Hanoi adalah p

an= 2an-1 + 1d k di i l 1dengan kondisi awal an= 1. Tentukan solusi dari persoalan ini



Misal

Jawab: (Tower of Hanoi)( )Bentuk homogen dari relasi rekurensi

ini adalahini adalah

an= 2an-1 + 1maka berdasarkan contoh yang lalu

solusi homogennya adalah an= A2n



Misal

Untuk solusi partikulirnya dapat dilihatp y pberdasarkan tabel untuk f(n) = 1(konstanta), maka solusi partikulirnya( ) p yadalah a*n= A , sehingga

A = a* = 2a* + 1= 2A+1A = a*n= 2a*n-1 + 1= 2A+1

A = -1Berati solusi partikulirnya adalah

a*n= -1a n 1



Misal

Solusi umum nonhomogen adalahg

an= A2n-1 ,

Dengan kondisi awal a1= 1 maka

a = 2n 1an= 2n - 1


Sistem Relasi Rekurensi Linier,n ka,n ka

Misal

Misalkan diberikan relasi rekurensi linier berbentuk sebagai sistemberbentuk sebagai sistem

an= p an-1 + q bn-1bn= r bn-1 + s an-1

Dengan p, q, r dan s konstantasembarang

Maka untuk mendapatkan solusi daribentuk tsb cukup dengan melakukanbentuk tsb cukup dengan melakukansubsitusi



Misal

Selesaikan sistem relasi rekurensiSelesaikan sistem relasi rekurensi berikut:

an+ 2 an-1 4 bn-1 = 0

b + 5 a 1 7 b 1 = 0bn+ 5 an-1 7 bn-1 0

Dengan a1 = 4, b1=1



Misal

Jawab:Jawab:

bn-1= (an +2 an-1)

Subsitusi ke bn+ 5 an-1 7 bn-1 = 0

l h Diperoleh

(a +1 +2a ) + 5 a 1 7 { (a +2a 1)}= 0 (an+1 +2an) + 5 an-1 7 { (an +2an-1)} 0

an+1 5 an + 6 an-1 = 0


Documents

Solusi-Relasi-Rekurensi.pdf