Sopra gli spettri di emissione del corpo nero

Secondo la teoria elettrodinamica di Maxwell le cariche accelerate emetto-no radiazione elettromagnetica. Dal momento che la materia é costituita damolecole caratterizzate da proprietá elettriche, l’agitazione termica fa sí che icorpi siano in grado di emettere radiazioni. L’agitazione delle molecole si tra-duce nella loro oscillazione armonica, la quale prevede che siano sottoposte adun’accelerazione, e dunque all’emissione di energia. Ciascun corpo ad una deter-minata temperatura T é in grado di emettere radiazioni, ed ovviamente anchein grado di assorbirle. Si intuisce che, agendo sulle caratteristiche molecolaridel corpo in questione, é possibile ottenere una notevole efficienza in termini diemissione e di assorbimento, ad esempio scegliendo un corpo conduttore. Fattoció, si puó considerare per semplicitá una cavitá cubica, caratterizzata da pareticonduttrici e perfettamente riflettenti. Se ora si pratica un foro di dimensionicontenute l’interno della cavitá sará riempito dalla radiazione entrante, la qualeinizierá a diffondersi e riflettersi sulle pareti, eccitando via via le molecole delmateriale, ovvero aumentandone la temperatura. In risposta, le molecole stesseinizieranno ad oscillare e ad emettere a loro volta radiazione elettromagneticafino a che si raggiunge l’equilibrio termico tra ambiente esterno e l’interno dellacavitá, entrambi alla stessa temperatura T. In queste condizioni la densitá dienergia elettromagnetica uscente dal foro deve essere la stessa di quella entrante,in ogni istante. All’interno le onde elettromagnetiche si comportano come ondestazionarie, ovvero vengono riflesse dalle pareti allo stesso modo di una cordavibrante fissata ad un estremo, dunque le pareti stesse si comportano come nodiper il fatto che sono conduttrici ed il campo elettrico tangente ad esse é nullo.L’onda elettromagnetica ha la forma

ξ = ξo sin(k1 x+ k2 x+ k3 x− ωt)

dove i coefficienti k1,k2,k3 sono i numeri d’onda nelle tre dimensioni tali chesia k =

√k2

1 + k22 + k2

3 = 2π/λ (considerato l’indice di rifrazione del mezzoall’interno della cavitá pari a uno λf = c). Se le facce del cubo di lato l sono 6,saranno 6 le onde stazionarie generate, con le immancabili condizioni

k1l = n1π k2l = n2π k2l = n3π n1, n2, n3 = 1, 2, 3...

Dalle precedenti relazioni si ricavano le seguenti espressioni

k =π

l

√n2

1 + n22 + n2

3

1

λ=

1

2l

√n2

1 + n22 + n2

3

f =c

2l

√n2

1 + n22 + n2

3

dalle quali si evince che la frequenza fondamentale di risonanza si ha per n1 =n2 = n3 = 1 ovvero f =

√3c/2l. Alla luce di queste considerazioni, in ogni

istante dal foro uscirá della radiazione elettromagnetica con una determina-ta potenza. Per ottenere questa energia per unitá di tempo posseduta dallaradiazione in equilibrio alla temperatura T e alla frequenza f sará necessario

1

moltiplicare l’energia media nell’unitá di tempo per il numero di modi asso-ciati a quella frequenza, tenendo in considerazione che i piani di oscillazionesono due (rispettivamente quello del campo elettrico e del campo magnetico)poiché le onde elettromagnetiche sono polarizzate in maniera indipendente. As-sumiamo per semplicitá concettuale che ora la cavitá cubica sia di forma sferica,anche se sará dimostrato che il risultato é indipendente da questa assunzione.Si immagini dunque che dal foro fuoriesca un flusso di energia con una potenzaP =

∫dS · undΣ dove S é il vettore di Poynting che indica il verso di propaga-

zione dell’onda elettromagnetica e la sua energia nell’unitá di tempo per unitádi superficie Σ.

Poiché infatti un tratto di superficie infinitesima dΣ irradia al di fuori del forouna densitá di energia che dipende dall’angolo solido sotto cui viene vista, sidefinisce il potere emissivo infinitesimo

dε =dP

dΣ= dS · un = dS cos θ

dove θ é l’angolo tra la normale al foro di uscita e il vettore di Poynting. Siadunque u la densitá di energia elettromagnetica per unitá di volume: consideratauna frazione di angolo solido dΩ

4π il vettore di Poynting ha la forma dS = c u dΩ4π . É

chiaro infatti che considerato un angolo di veduta maggiore verso l’interno dellacavitá, maggiore sará anche la potenza registrata all’uscita del foro. L’angolosolido é per definizione

dΩ =dΣ

r2

dove r é il raggio della sfera considerata. Ritorna dunque utile l’assunzione circala forma geometrica della cavitá

2

L’area infinitesima dA dalla quale proviene la radiazione puó essere espressa,secondo la figura, come il prodotto tra i due archi infinitesimi individuati dar dθ e r sin θ dφ ovvero dA = r2 sin θ dθ dφ. Tornando alla definizione di angolosolido si ha dunque

dΩ =dA

r2= sin θ dθ dφ

I precedenti ragionamenti sorgono in maniera naturale una volta che si considerala potenza istantanea come il flusso di una frazione di energia elettromagneticadU = u d% nell’unitá di tempo dt dove d% = c dt dΣ′ é il volumetto descritto dalpassaggio delle onde ad una velocitá c in un intervallo temporale dt attraversouna sezione infinitesima dΣ′ = dΣ cos θdΩ/4π In definitiva dP = dU

dt = c u dΣ′

e siccome per definizione dP = dS cos θ dΣ deve valere l’uguaglianza dS =u c dΩ

4π = u c4π sin θ dθ dφ e dunque si puó riscrivere il potere emissivo come

dε =u c

4πcos θ sin θ dθ dφ

Considerando la figura, per ottenere il contributo da parte dell’intera calottasferica si integra per 0 ≤ φ ≤ 2π e 0 ≤ θ ≤ π

2

ε =u c

4π

∫ 2π

0

dφ

∫ π2

0

cos θ sin θ dθ

Se il primo integrale é immediato, per il secondo si considerano le identitágoniometriche sin(2θ) = 2 sin θ cos θ ovvero si ha

1

2

∫ π2

0

sin(2θ) dθ

Ora, sia 2θ = t e dunque dθdt = 1

2 . In linea con ció, gli estremi di integrazionediventano 0 ≤ t

2 ≤π2 e dunque

1

4

∫ π

0

sin t dt = − (cosπ − cos0)

4=

1

2

In definitiva si ottiene la relazione tra potere emissivo e densitá di energiaelettromagnetica

ε =c u

4(1)

L’unitá di misura é chiaramente ms

Jm3 = J

s1m2 = W

m2 dunque la (1) descrivel’intensitá di emissione della radiazione. Si osservi come il risultato non dipendadalla particolare configurazione geometrica, in quanto si é ragionato unicamentein termini di angolo solido. Ora, si definisce il potere emissivo specifico come ilpotere emissivo nell’intervallo di lunghezze d’onda compreso tra λ e λ+ dλ taleche ελ = dε

dλ e dunque la (1) in forma differenziale si scrive

ελdλ =c

4uλdλ

definendo di conseguenza uλ come densitá di energia specifica nell’intervallospecifico di lunghezze d’onda. Nel nostro sistema di onde stazionarie all’internodella cavitá non resta altro che contare il numero di modi possibili di vibrazione

3

che hanno frequenza compresa tra la fondamentale f1 =√

3c/2l e una genericafrequenza f. Per far ció si contano tutte le combinazioni possibili degli interin1, n2, n3 tali che f = c

2l

√n2

1 + n22 + n2

3 ovvero

n21 + n2

2 + n23 =

4l2f2

c2=

4l2

λ2

Ora il termine 2lλ rappresenta il raggio di una sfera individuata in uno spazio

degli n di coordinate (n1;n2;n3) dunque in prima approssimazione si puó sup-porre che il numero di combinazioni possibili corrisponda di fatto al volumedella sfera stessa. Tuttavia questa approssimazione presenta alcuni problemi:utilizzando una sfera si considerano sia valori positivi che negativi degli n, quan-do invece n1, n2, n3 sono definiti solamente da valori positivi 1, 2, 3, 4.... Invecedi considerare l’intero volume della sfera, sará dunque necessario restringere ilcalcolo solo all’ottante positivo di sfera

Pertanto il numero di modi sará

Nv =1

8(4

3πR3) =

1

8(4

3π

8l3

λ3) =

4π l3

3λ3

Inoltre, come detto in precedenza, trattandosi di onde elettromagnetiche bisognatenere conto dei due stati di polarizzazione indipendenti perpendicolari tra loro(le oscillazioni del campo magnetico e del campo elettrico) dunque il numero dimodi di oscillazione raddoppia, ed esprimendo il numero di modi nell’unitá divolume l3 della cavitá cubica presa in considerazione in precedenza si avrá indefinitiva

nv =2Nvl3

=8π

3λ3

Nell’intervallo delle frequenze f e f+df ovvero delle lunghezze d’onda λ e λ−dλ(in quanto f ∝ 1

λ ) gli oscillatori per unitá di volume saranno rispettivamente

dnvdf

=d

df

8πf3

3 c3=

8πf2

c3

dnv−dλ

=8

3πd

dλ

1

λ3= −8π

λ4

Dunque

dnf =8πf2

c3df

4

dnλ =8π

λ4dλ

Basterá ora moltiplicare l’energia media di ciascun oscillatore per il numero dimodi di vibrazione, come preventivato, al fine di ottenere la densitá di energiaelettromagnetica uscente ottenendo cosí l’espressione analitica della (1). In pri-ma approssimazione, la probabilitá che un’oscillatore abbia un’energia compresatra w e w + dw dovrá essere proporzionale ad una distribuzione di Boltzmanne−wkbT dove kb é la costante di Boltzmann. Dovrá dunque esistere una funzionef(w) ∝ e

−wkbT che descriva questa probabilitá in maniera tale che l’energia media

assunta dagli infiniti oscillatori sia data da

wm =

∫ ∞0

df(w)

Cosí facendo la densitá di energia specifica potrá ad esempio essere espressacome

uλdλ = dnλwm

A tal fine, assumiamo che esista una costante C per la quale sia f(w) = C e−wkbT

e dunque df = C e−wkbT dw. Integrando con continuitá tra 0 ed infiniti valori

possibili di energia

w =

∫ ∞0

df(w) = C

∫ ∞0

e−wkbT dw

si esprime la costante C come

C =w∫∞

0e−wkbT dw

in modo tale da poter scrivere df = w∫∞0e−wkbT dw

e−wkbT dw e pertanto

wm =

∫∞0w e

−wkbT dw∫∞

0e−wkbT dw

Per il numeratore si integra per parti ponendo 1kbT

= α e rispettivamente u =

w,du = dw,dv = e−αwdw,v = − e−αw

α Secondo la formula dell’integrazione perparti

∫u dv = u v −

∫v du e pertanto∫

w e−αwdw = −we−αw

α+

1

α

∫e−αwdw = −we

−αw

α− e−αw

α2= −e

−αw

α2(1+αw)

Estendendo dunque l’integrale tra 0 ed infinito∫ ∞0

w e−αwdw =

[−we

−αw

α− e−αw

α2

]∞0

=1

a2

Per l’integrale al denominatore si ha invece∫ ∞0

e−αwdw =

[−e−αw

α

]∞0

= − 1

e∞α+e0

α=

1

α

5

In definitiva si ottiene l’espressione per l’energia media, calcolata nell’ipotesi chepossa assumere con continuitá ogni valore compreso tra zero ed infinito

wm =

∫ ∞0

w e−wkbT dw∫ ∞

0

e−wkbT dw

=1

α= kbT (2)

Pertanto all’espressione per la densitá si sostituisce

uλdλ = dnλkbT =8πkbT

λ4dλ

ottenendo dunque un’espressione analitica per la (1) in forma differenziale

ελdλ =2π c

λ4kbTdλ (3)

nota come formula di Rayleigh-Jeans. Il potere emissivo risulta dunque funzionedella temperatura alla quale si trova la cavitá (ricordiamo che questa tempe-ratura deve essere la stessa dell’ambiente esterno, in condizioni di equilibriotermico). L’intensitá emessa sará indubbiamente direttamente proporzionalealla temperatura della materia emittente, giacché la luminositá di un corpo étanto piú evidente quanto piú esso é incandescente (a tal proposito basti pen-sare al colore assunto da un pezzo di ferro ad alta temperatura). Come giáaccennato, dal punto di vista teorico ció si spiega associando la temperaturadi un corpo all’agitazione delle sue molecole, per oscillazioni maggiori é chiaroche si avranno emissioni maggiori di radiazioni. Sperimentalmente lo spettrodi emissione é misurabile con elevata precisione. In particolare l’energia emessaassume un picco ad una determinata lunghezza d’onda, ed in generale le radia-zioni con lunghezze d’onda maggiori sono emesse con intensitá molto piú bassarispetto alle radiazioni a frequenze piú elevate, anche se per valori vicini allozero, ovvero a queste frequenze, l’emissione ritorna a livelli trascurabili. A pro-posito dell’ultimo caso, si noti che in prossimitá di questi valori la (3) dovrebbedivergere verso l’infinito, ed infatti fu subito evidente che per lunghezze d’ondamolto piccole questa legge era in completo disaccordo con l’esperienza, mentreinvece l’accordo era buono per lunghezze d’onda molto grandi.

6

In base alla relazione dε = ελdλ é possibile ottenere il potere emissivo integrale(l’area sotto la curva in figura). Naturalmente é implicito il fatto che quest’areaavrá valore infinito, dal momento che la funzione diverge (limλ→0 ελdλ = +∞)Si calcola l’integrale nell’intervallo infinito di lunghezze d’onda

ε =

∫ ∞0

ελdλ =

∫ ∞0

2π c

λ4kbTdλ = 2π c kbT

∫ ∞0

1

λ4dλ

= −2π c

3kbT

[1

λ3

]∞0

=2π c

3kbT

[1

λ3

]0

∞=∞

In netto contrasto con il principio di conservazione dell’energia.Nonostante sul finire dell’ottocento furono ricavate varie leggi su base empiricaper cercare di predire formalmente le caratteristiche dello spettro di emissione diquesto cosiddétto corpo nero (ovvero un oggetto, come si é visto, idealizzato, conpareti perfettamente riflettenti e conduttrici) mancava una spiegazione razionalesu basi teoriche. La (3) decretó la catastrofe ultravioletta, cosí denominata poi-ché la sua struttura perdeva di attendibilitá per lunghezze d’onda molto corte(cioé nella regione dell’ultravioletto). Nell’inverno del 1900 Max Planck approc-ció il problema da un diverso punto di vista. Nel calcolo dell’energia media (2)constató come errata la supposizione che gli oscillatori potessero assumere concontinuitá ogni valore di energia. I valori di energia sono tutt’altro che continui,bensí discreti, ovvero possono essere multipli interi positivi o nulli di un energiaspecifica associata alla frequenza del singolo oscillatore E = hf dove h é notocome quanto d’azione di Planck. Alla luce di queste osservazioni, la (2) non sarápiú calcolata attraverso integrazione, ma con una somma di infiniti contributida parte di infiniti oscillatori con energia w = nhf e 0 ≤ n <∞

wm =

∞∑n=0

nhf e−nhfkbT

∞∑n=0

e−nhfkbT

Per calcolare questa somma si pone x = e−hfkbT

hf

∞∑n=0

nxn

∞∑n=0

xn= hf

x+ 2x2 + 3x3 + ...

1 + x+ x2 + x3 + ...

Si osservi ora che nello sviluppo in serie di McLaurin della funzione f(x)1 = 11−x

si ha

f(x)1 =

∑∞n=0 f

(n)(0)

n!xn = 1 + x+ x2 + x3 + ...

Mentre se si sviluppa f(x)2 = 1(1−x)2

f(x)2 = 1 + 2x+ 3x2 + ...

7

Il numeratore del calcolo dell’energia media ora non é altro che x(1+2x+3x2 +...) = x(f(x)2) mentre il denominatore é semplicemente f(x)1 pertanto

hf

∞∑n=0

nxn

∞∑n=0

xn= hfx

1(1−x)2

11−x

=hfx

1− x

Sostituendo si ha

wm =

∞∑n=0

nhf e−nhfkbT

∞∑n=0

e−nhfkbT

=hf e

−hfkbT

1− e−hfkbT

=hf

ehfkbT − 1

(4)

Arrestando lo sviluppo dell’esponenziale nel denominatore al secondo ordine (ilche equivale allo studio della funzione per valori molto piccoli della frequen-za, ovvero per lunghezze d’onda molto grandi) con hf

kbT= x, f(x) = ex =∑∞

n=0 f(n)(0)

n! xn = 1 +x... si ha ehfkbT = 1 + hf

kbTe la (4) diviene wm = hf

hfkBT

+1−1=

kbT . Dunque a basse frequenze la (4) si riduce semplicemente all’espressionedell’energia media di Rayleigh-Jeans. In conseguenza di questa quantizzazionedell’energia il potere emissivo infinitesimo é espresso come

ελdλ =2π c2 h

λ5

1

ehcλkbT − 1

dλ (5)

Nelle sue svariate forme, la (5) é detta legge di Planck.L’accordo sperimentale é ottimo, concettualmente l’esistenza di "pacchetti dienergia discreti" non fu digerita subito dal momento che formalmente la (5) éstata calcolata attraverso i metodi della fisica classica (nonostante l’escamotagedi Planck). Nonostante sia la progenitrice della teoria dei quanti, una trattazionerigorosa della legge di Planck arrivó solo piú tardi, anche se le conclusioni sonoovviamente identiche alla (5). Il quanto d’azione h corrispondente a 6.626 ×10−34J s ebbe all’inizio un ruolo puramente di "costante di proporzionalitá" trala minima energia di un oscillatore elettricamente carico e la sua frequenza dioscillazione (Planck calcoló inizialmente 6.55×10−34J s), ma ben presto divenneil sigillo della meccanica quantistica negli anni seguenti.Sulla scia di quanto fatto in precedenza, é possibile calcolare il valore del potereemissivo integrale (cioé l’area sotto la curva della (5)) con la sola importantedifferenza che ora non sará violato il principio di conservazione dell’energia: ciódecretó il superamento della catastrofe ultravioletta. Si integra nell’intervallo0 ≤ λ <∞ e cioé dalle frequenze piú alte alle lunghezze d’onda piú grandi

ε =

∫ ∞0

ελdλ =

∫ ∞0

2π c2 h

λ5

1

ehcλkbT − 1

dλ

Sia x = hcλkbT

e dunque dλ = − hcx2kbT

dx. In virtú di questa sostituzione, af-finché sia λ = 0 dovrá essere x = ∞ e viceversa, dunque il risultato é un

8

capovolgimento degli estremi di integrazione.

ε = −∫ 0

∞

2πc3h2

kbTλ5x2

dx

ex − 1=

2πk4bT

4

h3c2

∫ ∞0

x3

ex − 1dx

Il problema si riduce quindi allo studio dell’integrale∫∞

0x3

ex−1dx per il qualebisogna fare alcune considerazioni. Si osservi che

1

ex − 1=

e−x

1− e−x= e−x

(1

1− e−x

)Il termine tra parentesi, come visto in precedenza attraverso lo sviluppo in seriedi McLaurin, corrisponde alla convergenza di una serie del tipo

1

1− n= 1 + n+ n2 + n3 + ...+ nk =

∞∑k=0

nk

L’integrale si traduce quindi in una somma di infiniti integrali∫ ∞0

x3e−x(1+e−x+e−2x+e−3x+...)dx =

∫ ∞0

x3(e−x+e−2x+e−3x+e−4x+...)dx

Dove ora l’espressione e−x + e−2x + e−3x + e−4x + ... corrisponde alla sommainfinita di n-termini

∑∞n=1

1enx e l’integrale assume la forma∫ ∞

0

x3

ex − 1dx =

∞∑n=1

∫ ∞0

x3

enxdx

Non resta altro che calcolare∫∞

0x3e−nxdx ed estenderlo alla somma infinita.

Per fare ció si integra ancora per parti, considerando u = x3,du = 3x2dx,dv =

e−nx,v = − e−nx

n ∫x3e−nxdx = −x

3

ne−nx + 3

∫x2 e

−nx

ndx

Analogamente a quanto fatto prima∫x2 e

−nx

ndx = −x

2

n2e−nx + 2

∫xe−nx

n2dx

Ancora una volta∫xe−nx

n2dx = − x

n3e−nx +

∫e−nx

n3dx = − x

n3e−nx − e−nx

n4

Sostituendo nella prima espressione si arriva a∫x3e−nxdx = −x

3

ne−nx − 3x2

n2e−nx − 6x

n3e−nx − 6 e−nx

n4

Il calcolo dell’integrale definito conduce a∫ ∞0

x3e−nxdx =6

n4

9

Pertanto si calcola la somma infinita degli n-termini alla quarta potenza

∞∑n=1

∫ ∞0

x3

enxdx = 6

∞∑n=1

1

n4= 6(1 +

1

24+

1

34+

1

44+

1

54+ ...)

L’integrale iniziale é stato dunque ricondotto ad una serie di Dirichlet corri-spondente ad una funzione zeta di Riemann del tipo ζ(s) =

∑∞n=1

1ns ovvero é

necessario calcolare

ζ(4) =

∞∑n=1

1

n4= 1 +

1

24+

1

34+ ...

A tal fine si puó fare uso della formula

ζ(2k) =22k−1π2k |B2k|

(2k!)

dove in questo caso é k = 2, mentre Bn sono i numeri di Bernoulli (B0 =

1, B1 = −1/2, B4 = −1/30... ecc). Sostituendo i valori si arriva a ζ(4) = π4

90pertanto l’integrale vale ∫ ∞

0

x3

ex − 1dx = 6

π4

90=π4

15

Il potere emissivo corrisponde quindi a

ε =2π5k4

bT4

15h3c2= σT 4 (6)

dove σ =2π5k4b15h3c2 = 5.67 × 10−8W/m2K4 é nota come costante di Stefan-

Boltzmann. La (6) esprime dunque la legge di Stefan-Boltzmann, secondo laquale l’energia irradiata nell’unitá di tempo e nell’unitá di superficie da un cor-po nero (l’area sotto la curva del grafico) é proporzionale alla quarta potenzadella sua temperatura.

10

Per qualsiasi altro corpo il potere emissivo integrale dipende anche dalle suecaratteristiche materiali, se si definisce emissivitá il rapporto

e =εCε

tra potere emissivo del corpo materiale e potere emissivo del corpo nero (presocome unitá di misura), la (6) assume la forma

εw = eσT 4

Con 0 < e < 1 Il massimo dell’energia irradiata corrisponde ad una condizionedi corpo nero (e = 1). Per gli altri materiali l’emissivitá assume in generalevalori diversi a seconda della temperatura. Qualche tempo prima di Planck, la(6) era giá stata ricavata sperimentalmente (oltre ad alcune osservazioni teorichedi termodinamica) e la conoscenza della costante di Stefan-Boltzmann per viasperimentale permise allo stesso Planck di trovare il primo valore approssimatodel quanto d’azione h estraendone la radice cubica.Dalla forma del grafico si deduce che una particolare lunghezza d’onda é irradiataassai di piú rispetto alle altre. Per questa lunghezza d’onda λMax la (5) hadunque un massimo, calcolabile annullandone la derivata rispetto a λ

dε

dλ= 2πc2h

d

dλ

[1

λ5(ehcλkbT − 1)

]= 0

−5λ4ehcλkbT + 5λ4 = −λ3e

hcλkbT

hc

kbT

semplificando e ponendo x = hcλkbT

si arriva all’equazione

ex(5− x) = 5

la quale é risolvibile solo graficamente analizzando le intersezioni tra la curvaf(x)1 = 5ex − xex e la retta f(x)2 = 5 come indicato in figura

Si possono notare due intersezioni per x1 = 0 e x2 ≈ 4.965364..., tuttavia laprima soluzione é assurda poiché λMax dovrebbe tendere all’infinito, mentre perla seconda si ottiene

λMax =hc

x2kbT=

2.8978× 10−3

T

11

ovveroλMaxT = 2.8978× 10−3mK (7)

La (7) é nota come prima legge di Wien. Il valore della lunghezza d’onda irradia-ta maggiormente diminuisce all’aumentare della temperatura (com’é evidente infigura). Questa legge, cosí come la (6), era giá stata scoperta sperimentalmente;tuttavia ancora una volta fu la legge di Planck a fornirne un’interpretazioneteorica. Immaginando di osservare lo spettro di una stella, in base al picco diemissione di una determinata lunghezza d’onda é quindi possibile determinarela temperatura dell’oggetto emittente, la quale sará tanto piú elevata quantopiú corta é la lunghezza d’onda misurata. In natura le stelle rosse sono per l’ap-punto quelle che emettono luce a lunghezza d’onda maggiore, e dunque la lorotemperatura é assai minore rispetto alle stelle bianche, cosí come la loro aspet-tativa di vita. C’é da dire tuttavia che la temperatura calcolata corrispondesolo alla temperatura superficiale della stella (al livello della fotosfera del nostroSole). Se ora si calcola l’ordinata del massimo nella (5) ελ(λMax) si ottiene

2πc2

λ5Max

1

ehc

λMaxkbT

=2πk5

bT5x5Max

h5c3(2.8978× 10−3)5

1

exMax − 1

e ponendo

a =2πk5

bx5Max

h5c3(2.8978× 10−3)5

1

exMax − 1= 1.287× 10−5W/m3K5

si ottiene la seconda legge di Wien

ελMax = aT 5 (8)

L’intensitá massima irradiata é proporzionale alla quinta potenza della tempe-ratura. Anche per la (8) valgono le medesime considerazioni delle (6),(7) circala sua natura sperimentale.In natura lo spettro di emissione piú vicino a quello di un corpo nero lo si haper la radiazione cosmica di fondo (entro l’errore sperimentale)

Questa radiazione é presente in ogni direzione del cielo in cui si guardi, essa cor-risponde all’impronta lasciata dall’universo subito dopo i suoi primi 300.000 anni

12

di vita, quando la temperatura era abbastanza bassa affinché potessero formar-si gli atomi e la radiazione potesse attraversarli senza ionizzarli. Lo spettro diemissione corrisponde a quello di un corpo nero alla temperatura di circa 2.725Kalla quale corrisponde un picco di lunghezza d’onda irradiata λMax = 0.2 cm(microonde). Una radiazione a lunghezze d’onda cosí grandi é dovuta al fe-nomeno dello spostamento verso il rosso in seguito all’espansione dell’universonel corso del tempo. Tale rilevamento forní una prova fondamentale a sostegnodella teoria del Big Bang, oltre ad aver determinato la nascita della modernacosmologia sperimentale.

Matteo Parriciatu

13