SOPUM_P07_2013

13.04.2013.

1

SOPuM 2013

Neparametarskitestovi hipoteza II deo

U*test Mann-Withney-aIspituje da li su dve raspodele iste ili razliite.

Uticaj razliite veliine uzoraka je zanemarljiv.Primer 1

Date su dve grupe podataka. Uporediti da li imaju istu raspodelu.x y

4 97.5 7.56 63 5.58 54.5 7.57.5 107 4.56

13.04.2013.

2

Procedura testiranja hipoteza1. Poreenje jednakosti dve raspodele bez obzira na njihov oblik2. Postavljanje sistema hipoteza

(((( )))) (((( ))))(((( ))))H F x F y====0 1 2(((( )))) (((( ))))(((( ))))H F x F y1 1 2

3. Prag znaajnosti:

4. Statistika odluivanja:

5. Kritina oblast odbacivanja H0

. ==== 0 05usvaja se

(((( ))))** UZ ~ ,

====20

00 1

/z * z>>>> 2

Mogue varijantetestiranja hipoteza su

KOH1H0

(((( ))))x yH : F F====0(((( ))))x yH : F F1 2/z * u>>>>(((( ))))x yH : F F1

z* u< < < <

z* u>>>>

6. Proraun6.1. Od podataka se formira jedan rastui niz, bez obzira kom uzorku pripadaju6.2. Podaci se rangiraju (tabela) 3 x 1

4 x 24.5 y 3.54.5 x 3.55 y 55.5 y 66 y 86 x 86 x 87 x 107.5 x 12.57.5 x 12.57.5 y 12.57.5 y 12.58 x 159 y 1610 y 17

13.04.2013.

3

6.3. Rangirani podaci se razdvajaju prema uzorcima (tabela) i dobijaju se sume rangova Tx i Ty

3 x 14 x 24.5 y 3.54.5 x 3.55 y 55.5 y 66 y 86 x 86 x 87 x 107.5 x 12.57.5 x 12.57.5 y 12.57.5 y 12.58 x 159 y 1610 y 17

x 1 y 3.5x 2 y 5x 3.5 y 6x 8 y 8x 8 y 12.5x 10 y 12.5x 12.5 x 15x 12.5 y 16x 15 y 17

Tx=72.5 Ty=81

6.4. Trai se vrednost U* (((( )))) (((( ))))*x y

n n n nU T n n T+ ++ ++ ++ += = + = = + = = + = = + 1 1 2 21 21 1

2 2*U . .= == == == =9 1072 5 27 5

26.5. Trae se aproksimacije srednje vrednosti i varijanse

(((( ))))* n nE U = = = == = = == = = == = = =1 20 9 8 362 2(((( )))) (((( ))))* n n n nV U + ++ ++ ++ + = = = == = = == = = == = = =2 1 2 1 20 1 4 8 13 10812 12

(((( ))))** UZ ~ ,

====20

00 1

6.6. Odreuje se vrednost statistike odluivanja

.

z* ..

= = = = = = = =

27 5 36 0 81810 39

6.7. Odreuje se tablina vrednost normalne raspodele0 025

2

1 96.

u u . = == == == =

13.04.2013.

4

7. Odluka

2 1 96 0 818/u z* . . >>>> < < < <

Nulta hipoteza se ne moe odbaciti. To znai da su raspodele uzoraka iste.

Test znakova za medijanuKoristi se za testiranje vrednosti medijane kontinualne raspodele.Medijana je mesto grupisanja najveeg broja vrednosti raspodele,odnosno mesto koja deli podatke na dva dela. To znai da vai:

(((( )))) (((( ))))i iP x P x . = = = = = = = = 0 5 Ideja je da se broji boj + znakova i da se pretpostavlja da on odgovarabinomnoj raspodeli

(((( ))))B n,p ,p .==== 0 5Sistem testiranja hipoteza:

kriter.odbacivanja H0uslovstatistika odluivanja - p-nivoH1H0

==== 0

0 (((( )))) (((( ))))p P R r , p . + ++ ++ ++ += == == == =2 0 5(((( )))) (((( ))))p P R r , p . + ++ ++ ++ += == == == =2 0 5

nr ++++ >2

(((( ))))p

13.04.2013.

5

(((( )))) (((( ))))n

n ii

i r

np p p , p .

i ++++

====

= == == == =

1 0 5

Kada je (((( ))))n B n, p ~ N>>>> 10H0 H1 krit.odbac

statistika odluivanja - p-nivo

==== 0 0

>

0z u>>>>R . n

z. n

++++

====00 5

0 5

>>>> 0 0z u< < < <

Primer 2Merena je srednja potronja goriva kod 20 sluajno izabranih kola istogmodela. Podaci su prikazani u tabeli. Da li je najea prosena potronja10l?

kol. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10pot. 10.8 8.4 11.6 10.3 11 8.8 8.9 12.9 11.8 11.3kol. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20pot. 10.8 12 8.9 11.7 8.8 10.3 12.1 11 13.3 8.8

1. Definisanje testa - vrednost medijane2. Sistem hipoteza

(((( ))))H ====0 10(((( ))))H 1 10

3. Nivo znaajnosti . ==== 0 05

4. Statistika odluivanja (((( )))) (((( ))))r , p ++++ = += += += +5. Kriterijum odbacivanja H0 (((( ))))p

13.04.2013.

6

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))i ii

p P R , p . . . .i

++++

====

= = = == = = == = = == = = =

20

20

14

202 14 0 5 0 5 0 5 0 1153

7. Odluka

(((( ))))p . . = > == > == > == > =0 1153 0 05

Znai da se nulta hipoteza ne moe odbaciti.Zakljuuje se da je najea potronja goriva 10l

Primer 3Kada se u primeru 2 primeni aproksimacija binomne raspodele normalnomdobija se:

0 0 052

14 0 5 20 1 789 1 960 5 20 .

r pn .z . . u

p n .

++++

= = = < == = = < == = = < == = = < =

pa se nulta hipoteza ne moe odbaciti, odnosno zakljuuje se da jenajea potronja goriva 10l

Test znakova za razliku medijana

Test znakova za testiranje razlika medijana primenjuje se u sluajevimaporeenja najveeg grupisanja taaka kontinualnih asimetrinih raspodela.

Kada su raspodele simetrine poreenje medijana se svodi na poreenjearitmetikih sredina.

2.Sistem testiranja hipoteza je(((( ))))H ====0 1 2 (((( ))))H 1 1 2 (((( ))))dH 1 0

3. Nivo znaajnosti moe biti 0.1, 0.05 i 0.01 za dvostrani, odnosno 0.05,0.025 i 0.005, za jednostrani test

4. Statistika odluivanja je (((( ))))R min R ,R + + + +====5. Kriterijum odbacivanja nulte hipoteze je *R r

13.04.2013.

7

Primer 4Testira se potrotronja goriva kod dva tipa kola iste klase. Merenja 12sluajno izabranih kola svakog tipa su prikazana u tabeli. Da li kola imajuistu potronju? Ne zna se da li se potronja goriva ponaa po normalnojraspodeli.

1. Testira se razlika medijana2. Sistem hipoteza je

(((( ))))H ====0 1 2 (((( ))))H 1 1 2 (((( ))))dH 1 0 i i id x x= = = = 1 2

3. Nivo znaajnosti - usvaja se . ==== 0 05

4. Statistika odluivanja (((( ))))r min r ,r + + + +====5. Kriterijum odbacivanja nulte hipoteze *

.

r r 0 05

6. ProraunI tip 7.6 9.2 9.5 7.9 5.3 6.9 5.3 9.6 8.4 7.3 10.2 8.2II tip 6.8 10 8.4 6.6 6.2 6.4 5.9 6.8 8.2 8.9 8.8 7.9

d 0.8 -0.8 0.9 1.3 -0.9 0.5 -0.6 2.8 0.2 -1.6 1.4 0.3r + - + + - + - + + - + +

r ++++ ==== 8

r ==== 4(((( )))) (((( ))))r min r ,r min , + + + + = = == = == = == = =4 8 4

*

.

====0 05 2r

7. Odluka

*

.

r r= > == > == > == > =0 054 2

Nulta hipoteza se ne moe odbaciti.Zakljuuje se da oba tipa vozila imaju istu potronju

13.04.2013.

8

Domai 05Za dobijene podatke potrebno je:1. Testom Kolmogorova odrediti po kojoj

teorijskoj raspodeli se podaci rasporeuju2. Testom Mann-Withney-a utvrditi da li se

podaci rasporeuju po istoj raspodeli3. Sprovesti test medijane za podatke zadatka 14. Sprovesti test razlike medijana za podatke

zadatka 2

Domaci nosi 3% ocene

Documents

SOPUM_P07_2013