SOPuM_P08_2013

18.04.2013.

1

SOPuM 2013

ANOVA

Analiza varijanseNaziv oblastiDisperziona analizaAnaliza varijanseANOVA (ANalysis Of VArince)

EksperimentEksperimentSvaki eksperiment ukljuuje sledee sekvence aktivnosti: postavljanje poetne hipoteze koja motivie

eksperiment eksperiment, sprovoenje da bi se dobili rezultati analizu - statistika analiza podataka eksperimenta zakljuke o tome ta se dobija na osnovu poetnih

hipoteza

18.04.2013.

2

nivo (tretman) faktorareplikacijarandomizacijaekspreimentalni plan

balansirani

nebalansirani

fiksni efekti

sa blokirajuim faktorom

jA , j ...a==== 1jix , j ...a, i ...n= == == == =1 1

(((( ))))j an ... n ... n n= = = = == = = = == = = = == = = = =1(((( ))))n const

Osnovni pojmovi

Postavljanje modelaji j ji j jix e x x e = + + = + += + + = + += + + = + += + + = + +

(((( ))))jH , j ...a = == == == =0 0 1 (((( ))))H ... const = = == = == = == = =0 1 2

(((( )))), 2

(((( ))))iH , j ...a = = = =1 0 1 (((( ))))iH const , j ...a = = = =1 1

Postupak:1. Sume kvadrata

2. Broj stepeni slobode3. Ocene varijansi4. Proraunska vrednost F testa odnos ocena varijansi5. Formiranje ANOVA tabele

zadatak bez ovoga -- ocena 50% manja

Hipoteze

18.04.2013.

3

T A eSK SK SK= += += += +

a n a

A ij jj i j

T TSK x An a n n a n

= = == = == = == = =

= = = = = = = =

2 2 22

1 1 1

1 1

n

j iji

A x====

==== 1

ij

a n

Tj i

TSK xN

= == == == =

= = = = 2

2

1 1

N a n= = = =

e T ASK SK SK= = = =

Sume kvadrata

a n

ijj i

T x= == == == =

==== 1 1

Tf N a n= = = = = = = = 1 1

T A ef f f= += += += +

Af a= = = = 1

e T Af f f= = = =

Broj stepeni slobode

Ocena varijanseA

AA

SKSf

====2

ee

e

SKSf

====2

Proraunska vrednost F-testa

A

e

SFS

====

2

2

18.04.2013.

4

Tablina vrednost F-testa

A e,f ,fF

Faktor ima uticaja ako je A e,f ,fF F

18.04.2013.

5

Primer 1

Pod identinim uslovima testirani su sluajni uzorci 4 vrste autobuskihguma. Rezultati su prikazani u tabeli. Potrebno je, za nivo znaajnosti 0.01,utvrditi da li postoji razlika u kvalitetu izmeu tipova automobilskih guma

tip gumaI II III IV

merenje1 27 22 28 252 31 20 30 253 25 21 28 264 22 21 35 28

Ispitivani faktor: A - vrsta (tip) automobilskih gumabroj nivoa faktora: a=4broj merenja u okviru nivoa (replikacija): n=4tip eksperimenta: balansiran

tip gumaA1 A2 A3 A4merenje

1 7 2 8 52 11 0 10 53 5 1 8 64 2 1 15 8 25 4 41 24

tip gumaA1 A2 A3 A4merenje

1 27 22 28 252 31 20 30 253 25 21 28 264 22 21 35 28 105 84 121 104

18.04.2013.

6

Hipoteze

(((( ))))H A A A A A= = = == = = == = = == = = =0 1 2 3 4(((( ))))jH A A 1

Pripremni podaci

ii

A x====

= = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =4

1 11

27 31 25 22 105

ii

A x====

= = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =4

2 21

22 20 21 21 84

ii

A x====

= = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =4

3 31

28 30 28 35 121

ii

A x====

= = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =4

4 41

25 25 26 28 104

a n a

ij jj i j

T x A= = == = == = == = =

= = = + + + == = = + + + == = = + + + == = = + + + = 1 1 1

105 84 121 104 414

N a n= = == = == = == = =4 4 16

Sume kvadrataa n

T ijj i

TSK xa n

= == == == =

= = = =

2

2

1 1

a n a

A ij jj j j

T TSK x An a n n a n

= = == = == = == = =

= = = = = = = =

2 2 22

1 1 1

1 1

(((( ))))ASK .= + + + == + + + == + + + == + + + =2

2 2 2 21 414105 84 121 104 172 254 16

e T ASK SK SK . . .= = == = == = == = =255 75 172 25 83 5

(((( ))))TSK .= + + + + == + + + + == + + + + == + + + + =2

2 2 2 2 41427 31 26 28 255 7516

18.04.2013.

7


Tf N a n= = = == = = == = = == = = =1 1 16 1 15

T A ef f f= += += += +

Af a= = == = == = == = =1 4 1 3

e T Af f f= = == = == = == = =15 3 12

Ocene varijansi

AA

A

SK .S .f

= = == = == = == = =2 172 25 57 417

3

ee

e

SK .S .f

= = == = == = == = =2 83 5 6 958

12


A

e

S .F .S .= = == = == = == = =2

257 4167 8 2526 9583


A e,f ,f . , ,F F . = == == == =0 01 3 12 5 95

Tabela analize varijanse

izvor varijacije SK f ocena varijanse F0 pfaktor 172.25 3 57.417 8.252* 0.0030

greka 83.50 12 6.958

total 255.75 15

18.04.2013.

8

F(3, 12)=8.2515, p=.00301

A1 A2 A3 A420

22

24

26

28

30

32

F(3, 12)=8.2515, p=.00301

A1 A2 A3 A40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

18.04.2013.

9

Studenti su sluali vebe iz istog predmeta kod 5 razliitih nastavnika.Svaki nastavnik je imao odreeni broj grupa. Na kraju semestra suposmatrani kriterijumi ocenjivanja nastavnika, na osnovu prosenih ocenapostignutih u pojedinim grupama. Rezultati su prikazani u tabeli. Potrebnoje utvrditi da li nastavnici imaju isti kriterijum ocenjivanja.

Primer 2

I II III IV V6.5 7.5 6.9 9.4 8.37.7 6.9 7.8 8.9 6.17.3 8.3 6.7 8.7 7.27.9 8.1 6.2 8.8 6.77.1 7.2 8.3 8.6

6.9 7.9 7.6

9.0

Ispitivani faktor: A - nastavnikbroj nivoa faktora: a=5broj replikacija: n1=6, n2=7, n3=6, n4=4, n5=5, tip eksperimenta: nebalansiran

A1 A2 A3 A4 A5

6.5 7.5 6.9 9.4 8.3

7.7 6.9 7.8 8.9 6.1

7.3 8.3 6.7 8.7 7.2

7.9 8.1 6.2 8.8 6.7

7.1 7.2 8.3 8.6

6.9 7.9 7.6

9.0 43.4 54.9 43.5 35.8 36.9n 6 7 6 4 5

18.04.2013.

10

Hipoteze

(((( ))))H A A A A A A= = = = == = = = == = = = == = = = =0 1 2 3 4 5(((( ))))jH A A 1

Pripremni podaci

ii

A x . . .====

= = + + == = + + == = + + == = + + =6

1 11

6 5 6 9 43 4

ii

A x . . .====

= = + + == = + + == = + + == = + + =7

2 21

7 5 9 0 54 9

ii

A x . . .====

= = + + == = + + == = + + == = + + =6

3 31

6 9 7 6 43 5

ii

A x . . .====

= = + + == = + + == = + + == = + + =4

4 41

9 4 8 8 35 8

ii

A x . . .====

= = + + == = + + == = + + == = + + =5

5 51

8 3 8 6 36 9

Sume kvadrataa n

T ijj i

TSK xN

= == == == =

= = = = 2

2

1 1

jn

ij jj i j

T x A . . . . . .= = == = == = == = =

= = = + + + + == = = + + + + == = = + + + + == = = + + + + = 5 5

1 1 143 4 54 9 43 5 35 8 36 9 214 5

a

jj

N n====

= = + + + + == = + + + + == = + + + + == = + + + + =1

6 7 6 4 5 28

(((( ))))T .SK . . . . .= + + + + == + + + + == + + + + == + + + + =2 2 2 2 214 56 5 7 7 6 7 8 6 21 56728jna

A ijj ij

a j

j j

TSK xn N

A T . . . . . ..

n N

= == == == =

====

= == == == =

= = + + + + == = + + + + == = + + + + == = + + + + =

2 2

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1

1

43 4 54 9 43 5 35 8 36 9 214 5 9 3836 7 6 4 5 28

e T ASK SK SK . . .= = == = == = == = =21 567 9 383 12 183

18.04.2013.

11


Tf N= = == = == = == = =1 28 1 27

T A ef f f= += += += +

Af a= = == = == = == = =1 5 1 4

e T Af f f= = == = == = == = =27 4 23

Ocene varijansi

AA

A

SK .S .f

= = == = == = == = =2 9 383 2 346

4

ee

e

SK .S .f

= = == = == = == = =2 12 183 0 530

23


A

e

S .F .S .= = == = == = == = =2

22 346 4 4280 530


A e,f ,f . , ,F F . = == == == =0 05 4 23 2 8


izvor varijacije SK f ocena varijanse F0 pfaktor 9.383 4 2.346 4.428* 0.008

greka 12.183 23 0.530total 21.567 27

18.04.2013.

12

F(4, 23)=4.4285, p=.00844

A1 A2 A3 A4 A5

7.2

7.4

7.6

7.8

8.0

8.2

8.4

8.6

8.8

9.0

F(4, 23)=4.4285, p=.00844

A1 A2 A3 A4 A50.0

0.8

1.6

2.4

3.2

4.0

4.8

5.6

6.4

7.2

8.0

8.8

9.6

18.04.2013.

13

Blokirajui faktor

Postoje 4 razliita tipa instrumentnih tabli koje obavetavaju radnike onekorektnim parametrima proizvodnog procesa. Sva etiri tipa su ispitivanai mereno je vreme reakcije radnika. Pet sluajno izabranih radnika jeobavetavano preko svakog tipa tabli. Rezultati merenja su prikazani utabeli. Potrebno je utvrditi da li postoji razlika u efektima koji se postiuprimenom razliitih tipova tabli.

Primer 3

radnik1 2 3 4 5

tabla

1 12 10 13 10 122 14 10 11 12 153 10 8 6 8 124 15 13 16 15 17

Ispitivani faktor: A - tip table

broj nivoa faktora: a=4broj merenja u okviru nivoa (replikacija): n=5tip eksperimenta: sa blokirajuim faktoromblokirajui faktor: radnikbroj blokova nbl=5

Hipoteze

(((( ))))H A A A A A= = = == = = == = = == = = =0 1 2 3 4(((( ))))jH A A 1

18.04.2013.

14

Pripremni podaci

ii

A x====

= = + + + + == = + + + + == = + + + + == = + + + + =5

1 11

12 10 13 10 12 57

ii

A x====

= = + + + + == = + + + + == = + + + + == = + + + + =5

2 21

14 10 11 12 15 62

ii

A x====

= = + + + + == = + + + + == = + + + + == = + + + + =5

3 31

10 8 6 8 12 44

ii

A x====

= = + + + + == = + + + + == = + + + + == = + + + + =5

4 41

15 13 16 15 17 76

ii

Bl x====

= = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =4

1 11

12 14 10 15 51

ii

Bl x====

= = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =4

2 21

10 10 8 13 41

ii

Bl x====

= = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =4

3 31

13 11 6 16 46

ii

Bl x====

= = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =4

4 41

10 12 8 15 45

ii

Bl x====

= = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =4

5 51

12 15 12 17 56

N a n= = == = == = == = =4 5 20

ij i jj i i j

T x Bl A= = = == = = == = = == = = =

= = = = + + + == = = = + + + == = = = + + + == = = = + + + = 4 5 5 4

1 1 1 157 62 44 76 239

radnik1 2 3 4 5

tabla

1 12 10 13 10 12 572 14 10 11 12 15 623 10 8 6 8 12 444 15 13 16 15 17 76 51 41 46 45 56 239

18.04.2013.

15

Sume kvadrata

(((( ))))a nT ijj i

TSK x .a n

= == == == =

= = + + + + == = + + + + == = + + + + == = + + + + =

2 2

2 2 2 2 2

1 1

23912 10 15 17 158 9520

(((( ))))aA jj

TSK A .n a n

====

= = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =

2 2

2 2 2 2 2

1

1 1 23957 62 44 76 104 955 20

(((( ))))nBL ii

TSK Bl .a a n

====

= = + + + + == = + + + + == = + + + + == = + + + + =

2

2 2 2 2 2 2

1

1 1 23951 41 46 45 56 33 74 20

e T A BlSK SK SK SK . . . .= = == = == = == = =158 95 104 95 33 7 20 3

Broj stepeni slobodeTf a n= = == = == = == = =1 20 1 19

Af a= = == = == = == = =1 4 1 3

Blf n= = == = == = == = =1 5 1 4

e T A Blf f f f= = == = == = == = =19 3 4 12

Ocene varijansiA

AA

SK .S .f

= = == = == = == = =2 158 95 34 983

3e

ee

SK .S .f

= = == = == = == = =2 20 3 1 692

12


A

e

S .F .S .

= = == = == = == = =

2

234 983 20 6791 692


A e,f ,f . , ,F F . = == == == =0 05 3 12 3 49

izvor varijacije SK f ocena varijanse F0 pfaktor A 104.95 3 34.983 20.679* 0.00005

blok. 33.7 4

e 20.3 12 1.692

T 158.95 19


Zakljuak: Tip table utie na efikasnost obavetavanja radnika.

Documents

SOPuM_P08_2013