SOROZATOKSOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; SZÁMTANI SOROZATOK; MÉRTANI SOROZATOK.

SOROZAT FOGALMA:

Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok

halmaza, értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza.

Jelölések: A számsorozat tagjait általánosan 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛-nel jelöljük. Az 𝑎𝑛-et a sorozat általános tagjának

nevezzük.

Továbbiakban számsorozat helyett röviden sorozatot írunk.

SOROZATOK MEGADÁSA:

1. Felsorolással: 1, 3, 5, …

2. Képlettel: megadjuk a sorozat általános tagját, 𝑎𝑛-et olyan képlettel, amelyben n helyére behelyettesítve a

pozitív egész számokat, rendre megkapjuk a sorozat tagjait.

Pl: 𝑎𝑛 =𝑛

𝑛+1sorozat tagjai:

1

2, 2

3, 3

4, …

Rekurzív képlettel: megadjuk a sorozat első vagy első néhány tagját, és megmondjuk, hogy az n-edik tag hogyan függ a megelőző tagtól vagy tagoktól.

Pl: 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 1, 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑛 ≥ 3 sorozat tagjai: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (FIBONACCI-SOROZAT)

3. Utasítással: egyértelműen körülírjuk a sorozat tagjainak képzési szabályát.

Pl: prímszámok sorozata: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

SOROZATOK ÁBRÁZOLÁSA:

a) Koordinátarendszerben:

Az 1, 2, …, n, … abszcisszájú helyeken olyan pontokat ábrázolunk, amelyek ordinátái rendre a sorozat tagjai;

a sorozat grafikonja nem folytonos vonal, hanem elkülönült, úgynevezett diszkrét pontokból áll.

b) Számegyenesen:

A sorozat elemének értékéhez helyezünk egy pontot;

ha a pontok mellett feltüntetjük a tagok sorszámát, akkor szemléletesen követhetjük a tagok változását.

SZÁMTANI SOROZATOK:

Definíció: Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyeknél (a második tagtól kezdve )

bármelyik tag és az őt megelőző tag különbsége állandó. Ezt az állandó különbséget differenciának nevezzük és d-

vel jelöljük.

Számtani sorozat legegyszerűbb megadása: első tag és differencia.

Számtani sorozat általános tagja: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑑, amiből 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑.

Számtani sorozat első n tagjának az összege: 𝑆𝑛 =2𝑎1+ 𝑛−1 𝑑 𝑛

2

Jelentősége: egyszerű kamat számítás, lineáris növekedés leírása

KIDOLGOZOTT PÉLDÁK – SZÁMTANI SOROZAT:

KIDOLGOZOTT PÉLDÁK – SZÁMTANI SOROZAT:

KIDOLGOZOTT PÉLDÁK – SZÁMTANI SOROZAT:

KIDOLGOZOTT PÉLDÁK – SZÁMTANI SOROZAT:

MÉRTANI SOROZATOK:

Definíció: Mértani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyeknél (a második tagtól kezdve)

bármelyik tag és az őt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt az állandó hányadost quociensnek nevezzük és q-val

jelöljük.

Mértani sorozat legegyszerűbb megadása: első tag és quociens.

Mértani sorozat általános tagja: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1𝑞, amiből 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1

Mértani sorozat első n tagjának az összege: 𝑆𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1

𝑞−1

Jelentősége: kamatos kamat számítás, exponenciális növekedés leírása (exponens = kitevő)

KIDOLGOZOTT PÉLDÁK – MÉRTANI SOROZAT:

KIDOLGOZOTT PÉLDÁK – MÉRTANI SOROZAT: