CAPITOLUL II

64

Probleme rezolvate 1. Aplicaţia < , >: ℳmn(ℝ) × ℳmn(ℝ) → ℝ, definită prin <A, B> = tr(At .B), ∀A, B ∈ ℳmn(ℝ) este un produs scalar pe ℳmn(ℝ), numit produsul scalar uzual (canonic). Soluţie. Verificăm proprietăţile din definiţia produsului scalar. ∀A, B, C ∈ ℳmn(ℝ), ∀α ∈ ℝ au loc: (PS1) <A, B> = tr(At .B) = tr(At .B)t = tr(Bt .A) = <B, A>; (PS2) <A, B + C> = tr[At .(B + C)] = tr(At .B + At .C) =

= tr(At .B) + tr(At .C) = <A, B> + <A, C>; (PS3) <αA, B> = tr[(αA)t .B] = tr(αAt .B) = αtr(At .B) = α<A, B>;

(PS4) <A, A> = tr(At .A) = ∑∑= =

≥m

1i

n

1j

2ij 0)a( , ∀A = [aij] n,1j,m,1i == .

<A, A> = 0 ⇔ aij = 0, ∀i = m,1 , ∀j = n,1 ⇔ A = Omn. Observaţie. Identificând ℝn cu ℳ1n(ℝ), adică vectorul x = (x1, x2, ... , xn)∈ℝn cu matricea linie X= [x1 x2 ... xn]∈ℳ1n(ℝ), obţinem

Xt .Y = [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn2n1n

n22212

n12111

n21

n

2

1

yx...yxyx............yx...yxyxyx...yxyx

y...yy

x...xx

.

Deci <x , y> = tr(Xt .Y) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn, ∀x , y ∈ ℝn , ceea ce reprezintă produsul scalar canonic pe ℝn. 2. Aplicaţia < , >: ℂn × ℂn → ℂ, definită prin

<x , y> = ∑=

n

1iiiyx , ∀x = (x1, x2, ... , xn), y = (y1, y2, ... , yn) ∈ ℂn

este un produs scalar pe ℂn, numit produsul scalar canonic.

SPAŢII EUCLIDIENE

65

Soluţie. Pentru ∀x , y, z ∈ ℂn, ∀α ∈ ℂ avem:

(PS1) <y, x> = ∑∑==

=n

1iii

n

1iii xyxy = ∑

=

n

1iiiyx = <x , y>;

(PS2) <x , y + z> = =+=+ ∑∑==

n

1iiii

n

1iiii )zy(x)zy(x

∑=

n

1iiiyx + ∑

=

n

1iiizx = <x , y > + <x , z>;

(PS3) <x , y> = ∑=α

n

1iii y)x( = α∑

=

n

1iiiyx = α<x , y>;

(PS4) <x , x > = 0xxxn

1i

2i

n

1iii ≥= ∑∑

==;

<x , x > = 0 ⇔ ∑=

n

1i

2ix = 0 ⇔ |xi| = 0, ∀i = n,1 ⇔

⇔ xi = 0, ∀i = n,1 ⇔ x = 0 . Observaţie. În cazul particular al spaţiului ℝn se regăseşte produsul scalar canonic. 3. Aplicaţia < , >: C[a, b] × C[a, b] → ℝ, definită prin

<f, g> = ∫b

adx)x(g)x(f , pentru ∀f, g ∈ C[a, b] este un produs scalar

pe C[a, b], numit produsul scalar canonic. Soluţie. Pentru ∀f, g, h ∈ C[a, b], ∀α ∈ ℝ avem:

(PS1) <f, g> = ∫b

adx)x(g)x(f = ∫

b

adx)x(f)x(g = <g, f>;

(PS2) <f,g+h>= ( )∫ +b

adx)x(h)x(g)x(f = ∫

b

adx)x(g)x(f + ∫

b

adx)x(h)x(f =

= <f, g> + <f, h>;

CAPITOLUL II

66

(PS3) <αf, g> = ∫b

adx)x(g)x(fα = α∫

b

adx)x(g)x(f = α<f, g>;

(PS4) <f, f> = 0dx)x(fb

a

2 ≥∫ ;

<f, f> = 0 ⇔ ∫b

a

2 dx)x(f = 0 ⇔ f = 0.

4. Pe spaţiul C[1, e] = {f | f : [1, e] → ℝ, f continuă} se defineşte aplicaţia < , >: C[1, e] × C[1, e] → ℝ, prin

<f, g> = ∫e

1dxxln)x(g)x(f , pentru ∀f, g ∈ C[1, e].

a) Să se arate că (C[1, e], < , >) este spaţiu euclidian; b) Să se calculeze f pentru f(x) = bax + ; caz particular f(x) = 2x + ; c) Să se afle o funcţie g(x) = ax + b ortogonală pe f(x) = x + 1. Soluţie. a) Se verifică uşor condiţiile din definiţia produsului scalar, (PS1) - (PS4).

b) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=><= ∫∫

e

1

'2e

1

2 dxbx2

xaxlndxxln)bax(f,ff

= 4

b4)1e(a 2 ++ ⇒ f = b4)1e(a21 2 ++ .

Caz particular. a = 1, b = 2⇒ f = 2

9e2 + .

c) <f,g>= ( ) =+++=++ ∫∫e

1

2e

1dxbx)ba(axxlndxxln)bax)(1x(

= ∫++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

e

1

23'23

36b45a13e)ba(9ae8dxbx

2x)ba(

3xaxln .

SPAŢII EUCLIDIENE

67

Din condiţia <f, g> = 0 rezultă că b = 45e9

13e9e8a 2

23

+++

− .

Deci g(x) = a ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

++−

45e913e9e8x 2

23, a ∈ ℝ.

5. În spaţiul euclidian ℝ3 dotat cu produsul scalar canonic să se ortonormeze baza B = { 1u , 2u , 3u }, unde 1u = (2, 1, -3),

2u = (3, 2, -5), 3u = (1, -1, 1). Soluţie. Pasul 1. 1v = 1u = (2, 1, -3). Pasul 2. < 2u , 1v > = 23; 2

1v = 14;

2v = 2u 21

12

vv,u ><

− 1v = 141 (-4, 5, -1).

Pasul 3. < 3u , 1v > = -2; < 3u , 2v > = 1410

− ; 22v =

143 .

3v = 3u 21

13

vv,u ><

− 1v 22

23

vv,u ><

− 2v = 31 (1, 1, 1).

Baza ortogonală este B'= {(2, 1, -3), 141 (-4, 5, -1),

31 (1, 1, 1)}.

Baza ortonormată este B" = {141 (2, 1, -3),

421 (-4, 5, -1),

31 (1, 1, 1)}.

6. În spaţiul euclidian ℝ4 dotat cu produsul scalar canonic să se ortonormeze baza B = { 1u , 2u , 3u , 4u }, unde 1u = (1, 2, -1, -2),

2u = (2, 3, 0, -1), 3u = (1,2, 1, 4), 4u = (1, 3, -1, 0). Soluţie. Pasul 1. 1v = 1u = (1, 2, -1, -2). Pasul 2. < 2u , 1v > = 10; 2

1v = 10.

CAPITOLUL II

68

2v = 2u 21

12

vv,u ><

− 1v = (1, 1, 1, 1).

Pasul 3. < 3u , 1v > = -4; < 3u , 2v > = 8; 22v = 4.

3v = 3u 21

13

vv,u ><

− 1v 22

23

vv,u ><

− 2v = 51 (-3, 4, -7, 6).

Pasul 4.

4v = 4u 21

14

vv,u ><

− 1v 22

24

vv,u ><

− 2v 23

34

v

v,u ><− 3v =

= (1, 3, -1, 0) - 108 (1, 2, -1, -2) -

43 (1, 1, 1, 1) -

5225

16

51 (-3, 4, -7, 6) =

=441 (-5, 3, 3, -1).

Baza ortogonală este

B' = {(1, 2, -1, -2), (1, 1, 1, 1), 51 (-3, 4, -7, 6),

441 (-5, 3, 3, -1)}.

Baza ortonormată este

B" = {101 (1, 2, -1, -2),

41 (1, 1, 1, 1),

1101 (-3, 4, -7, 6),

1121 (-5, 3, 3, -1)}.

7. Pe mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali definite pe intervalul [-1, 1], notată P[-1, 1], se defineşte produsul scalar canonic < , >: P[-1, 1] × P[-1, 1] → ℝ prin

<p, q> = ∫−

1

1dx)x(q)x(p .

SPAŢII EUCLIDIENE

69

Se consideră baza canonică din P[-1, 1], B = {p0, p1,..., pn, ...}, unde pk = xk, k = 0, 1, 2, ..., n, ... . Polinoamele obţinute plecând de la B prin procedeul de ortogonalizare se numesc polinoame Legendre.

Să se calculeze primele cinci polinoame Legendre. Soluţie. Pasul 0. q0 = p0 = x0 = 1.

Pasul 1. <p1, q0> = ∫−

⋅1

1dx1x = 0; ∫

−=

1

1

20 dx1q = 2.

q1 = p1 20

01

q

q,p ><− q0 = p1 = x

Pasul 2. <p2, q0> = ∫−

⋅1

1

2 dx1x = 32 ; <p2, q1> = ∫

−⋅

1

1

2 xdxx = 0;

∫−

=1

1

221 dxxq =

32 .

q2 = p2 20

02

qq,p ><

− q0 21

12

qq,p ><

− q1 = x2 232

− 1 = x2 31

− .

Pasul 3. <p3, q0> = ∫−

⋅1

1

3 dx1x = 0; <p3, q1> = ∫−

⋅1

1

3 xdxx = 52 ;

<p3, q2> = ∫−

⋅1

1

23 dxxx = 0; ∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

1

1

222

2 dx31xq =

458 .

q3 = p3 20

03

qq,p ><

− q0 21

13

qq,p ><

− q1 22

23

qq,p ><

− q2 = x3

53

− x.

Pasul 4. <p4, q0> = ∫−

⋅1

1

4 dx1x = 52 ; <p4, q1> = ∫

−⋅

1

1

4 xdxx = 0;

<p4, q2> = ∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1

1

24 dx31xx =

10516 ; <p4, q3> = ∫

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1

1

34 dxx53xx = 0;

CAPITOLUL II

70

∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

1

1

232

3 dxx53xq =

1758 .

q4 = p4 20

04

qq,p ><

− q0 21

14

qq,p ><

− q1 22

24

qq,p ><

− q2 _

23

34

q

q,p ><− q3 = x4

76

− x2 + 353 .

Pasul 5. <p5, q0> = ∫−

⋅1

1

5 dx1x = 0; <p5, q1> = ∫−

⋅1

1

5 xdxx = 72 ;

<p5, q2> = ∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1

1

25 dx31xx = 0; <p5, q3> = ∫

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1

1

35 dxx53xx =

31516 ; <p5, q4> = ∫

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

1

1

245 dx353x

76xx = 0;

q5 = p5 20

05

q

q,p ><− q0 2

1

15

q

q,p ><− q1 2

2

25

q

q,p ><− q2 _

23

35

qq,p ><

− q3 24

45

qq,p ><

− q4 = x5

910

− x3 + 215 x.

Prin inducţie matematică se poate arăta că

qn(x) = n2n

n)1x(

dxd

)!n2(!n

− .

8. Să se determine toate matricele ortogonale de ordinul doi.

Soluţie. Fie A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba

∈ ℳ2(ℝ).

Din relaţia A.At = I2 rezultă că a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0.

Primele două egalităţi ne permit să considerăm a = cos θ, c = cos α, θ, α ∈ ℝ. Utilizând ultima relaţie rezultă că

SPAŢII EUCLIDIENE

71

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθ±θ

cossinsincos

m, θ ∈ ℝ.

9. În spaţiul euclidian ℝ4 dotat cu produsul scalar canonic se

consideră sistemul de vectori U = { 1u , 2u , 3u }, unde 1u = (1, 2, 1, 2), 2u = (1, -2, -1, 2), 3u = (0, 1, 2, 1).

Să se determine proiecţia ortogonală 1v a vectorului v = (2, 1, 1, 1) pe subspaţiul liniar S = [U] şi să se verifice că

i1 uvvv −≤− , ∀i = 1, 2, 3. Soluţie. Înfăşurătoarea liniară a lui U este S = {x ∈ ℝ4 | x = α 1u + β 2u + γ 3u , α, β, γ ∈ ℝ} = {x ∈ ℝ4 | x = (α + β, 2α - 2β + γ, α - β + 2γ, 2α + 2β + γ), α, β, γ ∈ ℝ}. Suplimentul ortogonal al lui S este S⊥ = { y = (y1, y2, y3, y4) | < y , 1u > = < y, 2u > = < y, 3u > = 0}. Din egalităţile de mai sus se obţine sistemul liniar omogen

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−−=+++

0yy2y0y2yy2y0y2yy2y

432

4321

4321

,

cu soluţia y1 = -2λ, y2 = 31λ, y3 = -

32λ, y4 = λ, λ ∈ ℝ.

Prin urmare S⊥ = { y ∈ℝ4 | y = (-6λ, λ, -2λ, 3λ), λ ∈ ℝ}.

Determinăm 1v = (α + β, 2α - 2β + γ, α - β + 2γ, 2α + 2β + γ) ∈ S şi 2v = (-6λ, λ, -2λ, 3λ) ∈ S⊥ astfel încât v = 1v + 2v . Obţinem sistemul liniar neomogen

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=λ+γ+β+α=λ−γ+β−α=λ+γ+β−α=λ−β+α

132212212226

,

CAPITOLUL II

72

cu soluţia unică α = 107 , β =

101 , γ = 0, λ=

51

− .

Proiecţia ortogonală a vectorului v pe subspaţiul liniar S este

vectorul 1v = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

58,

53,

56,

54 .

Avem: v - 1v = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

53,

52,

51,

56 ⇒ 2vv 1 =− ;

v - 1u = (1, -1, 0, 1) ⇒ 3uv 1 =− . Se verifică inegalitatea 11 uvvv −≤− , şi anume 32 < .

Analog se verifică inegalitatea pentru i = 2, 3. 10. În spaţiul euclidian ℝ5 dotat cu produsul scalar canonic se

consideră sistemul de vectori U = { 1u , 2u }, unde 1u = (1, 1, 0, 0, 0), 2u = (1, 0, -1, 0, 1).

a) Să se determine S = [U] şi S⊥. b) Să se determine proiecţiile ortogonale ale vectorului w = (1, 1, 1, 1, 1) pe S, respectiv pe S⊥. Soluţie. a) Înfăşurătoarea liniară a lui U este S = {x ∈ ℝ5 | x = α 1u + β 2u , α, β ∈ ℝ} = = {x ∈ ℝ5 | x = (α + β, α, - β, 0, β), α, β ∈ ℝ}.

Suplimentul ortogonal al lui S este subspaţiul liniar S⊥ al spaţiului ℝ5 definit prin

S⊥ = { y ∈ ℝ5 | < y , x> = 0, ∀x ∈ S} = = { y = (y1, y2, y3, y4, y5) | < y , 1u > = < y, 2u > = 0}. Din egalităţile < y, 1u > = 0, < y, 2u > = 0 obţinem sistemul

⎩⎨⎧

=+−=+

0yyy0yy

531

21

SPAŢII EUCLIDIENE

73

cu soluţia y1 = λ - γ, y2 = -λ + γ, y3 = λ, y4 = μ, y5 = γ, λ, γ, μ ∈ ℝ. Rezultă că suplimentul ortogonal al lui S este

S⊥ = { y ∈ ℝ5 | y = (λ - γ, -λ + γ, λ, μ, γ), λ, γ, μ ∈ ℝ}.

b) Determinăm vectorii u = (α + β, α, - β, 0, β) ∈ S şi v = (λ - γ, -λ + γ, λ, μ, γ) ∈ S⊥ astfel încât w = u + v . Avem

(1, 1, 1, 1, 1) = (α + β, α, - β, 0, β) + (λ - γ, -λ + γ, λ, μ, γ), egalitate din care rezultă sistemul liniar neomogen

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+==+−=+−=−++

1γβ1μ1λβ1γλα1γλβα

,

cu soluţia unică α = 1, β = 0, λ = 1, μ = 1, γ = 1. Obţinem: prS w = u = (1, 1, 0, 0, 0).

pr ⊥S w = v = (0, 0, 1, 1, 1).