UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PERUGIA

FACOLTA’ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE ENATURALI

CORSO DI LAUREA DI I LIVELLO IN FISICA

Tesi di laurea in fisica

Spazi di de Sitter e anti-deSitter in cosmologia

Relatore: Laureando:Prof. Gianluca Grignani Nico Gubernari

ANNO ACCADEMICO 2013/2014

A mio padre e mia madre

Prefazione

La cosmologia e quella parte della scienza che studia l’universo nel suo in-sieme, cercando di spigarne origine ed evoluzione. Da sempre e consideratatra gli argomenti piu affascinanti della fisica, tanto da riuscire a suscitaregrande interesse anche tra i non addetti ai lavori. Infatti ha origini an-tichissime e le prime speculazioni a riguardo risalgono ai filosofi presocratici(VI secolo A.C.), i quali iniziarono a interrogarsi su quali fossero i moti e laposizione rispetto alla terra dei corpi celesti che osservavano in cielo. Ovvia-mente non si puo parlare ancora si scienza e la cosmologia come la conosciamooggi e entrata a far parte della fisica solo grazie alla teoria della relativitagenerale formulata da Albert Einsten.

Detto cio si capisce che per affrontale tale disciplina sono necessarieconoscenze fisiche e matematiche piuttosto avanzate. In questo breve la-voro cerchero di esporre in forma sintetica e chiara i concetti fondamentalidella Relativita, prima di quella speciale e poi di quella generale, e della cos-mologia per poi trattare quello che e l’argomento centrale di questa tesi: glispazi di de Sitter e anti-de Sitter.

iv

Contents

1 La teoria della Relativita 11.1 La relativita ristretta o speciale . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 I limiti della relativita speciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 La relativita generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Le equazioni del campo di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 La fisica negli spazi curvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 La cosmologia 152.1 La cosmologia relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 La metrica di Friedmann-Robrtson-Walker . . . . . . . . . . . 182.3 Le equazioni di Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Il legame tra termodinamica e cosmologia . . . . . . . . . . . 252.5 La distanza in cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Spazio di de Sitter e di anti-de Sitter 313.1 La costante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Una prima soluzione: l’universo statico di Einstein . . . . . . . 323.3 Lo spazio di de Sitter in cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Lo spazio di de Sitter dal punto di vista matematico . . . . . . 353.5 Lo spazio di anti-de Sitter in cosmologia . . . . . . . . . . . . 403.6 Lo spazio di anti-de Sitter dal punto di vista matematico . . . 40

4 Conclusioni 42

Appendice A 43

Appendice B 45

Bibliografia 46

Ringraziamenti 47

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1 La teoria della Relativita

Le equazioni di Maxwell, pubblicate dall’omonimo fisico nel 1865, sono dicerto da annoverare nella storia delle scienze come uno tra i lavori piu im-portanti mai presentati. Effettivamente e grazie ad esse (unite alla legge delmoto di Newton e alla forza di Lorentz) che possiamo descrivere come inter-agiscono il campo magnetico ed elettrico tra di loro e con particelle cariche.Inoltre la loro comprensione dette una svolta essenziale alla comunita sci-entifica di allora; aiutando a superare la meccanica classica attraverso laformulazione di due nuove teorie: la meccanica quantistica e la meccanicarelativistica.

Della prima non mi occupero in quanto esula dagli scopi di questa tesi1,mentre della seconda mi limetero a esporne i concetti e le formule fondamen-tali rimandando alla bibliografia per approfondimenti e dimostrazioni.

1.1 La relativita ristretta o speciale

Il contributo di Maxwell, come gia anticipato, diede un impulso fondamen-tale per la nascita della relativita ristretta (RS). La comunita scientifica in-fatti non tardo a rendersi conto che principio di relativita galileiano2, fon-damentale in meccanica classica, non era piu valido se applicato alle leggidell’elettromagnetismo. Sempre sul finire del XVIII secolo vennero fattialcuni esperimenti (tra tutti quello di Michelson e Molrey del 1887) chesembravano dimostrare l’inesistenza dell’etere (teoria che circolava in queglianni secondo la quale esisteva un sistema di riferimento priviligegiato) el’indipendenza della velocita della luce dal moto della sorgente.

Al fine di trovare una spigazione a tutti questi fenomeni vennero fattevarie ipotesi dagli studiosi dell’epoca ma l’unico che riuscı a risolvere il ”puz-zle” in maniera soddisfacente fu Albert Einstein. Nel 1905 pubblico unarticolo dal titolo ”Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento” nel qualeEinstein espone per la prima volta la RS. Essa si basa in sostanza su duepostulati:

1Mi limito soltanto a ricordare che la meccanica quantistica si occupa per lo piu delcomportamento della materia e della radiazione in ambito microscopico. Venne sviluppataagli inizi degli anni venti e trenta del novecento grazie al contributo essenziale di scienziaticome Schrodinger, Heisemberg e Planck

2Esistono vari enunciati equivalenti di tale principio, uno dei piu diffusi e il seguenteleleggi fisiche sono invarianti in forma rispretto alle trasformazioni di Galilei

1

1. Le leggi della fisca sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento in-erziali. Non esiste un sistema inerziale privilegiato (Principio di rela-tivita ristretta)

2. La velocita della luce nello spazio vuoto ha lo stesso valore c in tutti isitemi inerziali, indipendentemente dallo stato di moto della sorgente(Principio della costanza della velocita della luce).

Viene cosı a costruirsi una nuova teoria che sostituisce la meccanica clas-sica, nella quale le traformazioni di Galileo vengono rimpiazzate da quelledi Lorentz, che rendono covarianti le equazioni di Maxwell. Per esempio seconsideriamo un sistema di riferimento cartesiano K e un’altro sistema K ′

con velocita relativa rispetto a K diretta lungo il verso positivo dell’asse x esupponendo che in t = t′ = 03 le due origini e gli assi coincidano; le trasfor-mazioni di Lorentz assumono la forma4:

x′ =x− vt√1− v2

c2

,

y′ = y,

z′ = z,

t′ =t− vx

c2√1− v2

c2

.

E’ bene notare che la velocita della luce c compare esplicitamente nelletrasformazioni e che esse sono valide solo per v < c; si dice difatti che cin RS assume il ruolo di velocita limite. Altra cosa importante che emergee che il tempo non e piu un parametro come in meccanica classica, bensıdiventa una coordinata a tutti gli effetti al pari di quelle spaziali, per questosi introduce un nuovo spazio quadrimensionale, con tre coordinate atte adeterminare la posizione e una temporale, detto spazio-tempo di Minkowskiche va a sostituire il vecchio concetto di spazio tridimensionale Euclideo.

3Le notazione sono abbastanza ovvie, con x, y, z indicheremo le coordinate spaziali di Kmentre con t il tempo misurato in tale sistema di riferimento, analogamente in K ′ avremoche x′, y′, z′ saranno le coordinate spaziali e t′ il tempo

4Per una derivazione delle trasormani di Lorentz vedi [1]

2

Inoltre il fatto che questa teoria utilizzi un nuovo gruppo di simmetria eil fatto che il principio di relativita debba essere soddisfatto implica che, nonsolo la cinematica viene modificata, come appena visto, ma anche l’equazionidella dinamica newtoniana dovranno essere cambiate affinche diventino co-varianti.

Senza entrare in troppi dettagli per evitare di appesantire la trattazione,verranno enunciate senza dimostrazioni alcune leggi fondamentali e le definizionidi alcune quantita molto importanti nella dinamica relativistica [vedi Bibl.2].

Iniziamo col definire il fattore di Lorentz comunemente indicato con lalettera greca γ:

γ =1

1− v2

c2

,

mentre il momento relativistico ~p di una particella e la sua energia cineticaT sono definiti rispettivamente come:

~p = mγ~v,

T = mc2(γ − 1),

dove v e la velocita e m la massa. L’energia totale di una particella liberae, a differenza del caso classico, composta da due termini, l’energia cineticae l’energia di riposo:

E = T + E0

doveE0 = mc2, formula emblematica della relativita, che stabilisce l’equivalenzatra massa ed energia, in altre parole un corpo che possiede una certa massainerziale, anche se a riposo e non soggetto a forze, possiede allora anche unacerta energia. La massa dal punto di vista relativistico non e altro che unaforma alternativa in cui si manifesta l’energia, per di piu i principi classici diconservazione della massa e dell’energia smetteranno di esseri validi se presisinglormente e andranno a fondersi nel piu generico principio di conservazionedella massa-energia: in generale infatti sara conservata solo l’energia totale.

Finalmente possiamo introdurre la legge del moto relativistica o legge diMinowski:

~F =d

dt(mγ~v),

3

che come tutte le leggi del moto e da considerarsi come uno dei principisui quali si fonda una teoria e la cui validita si puo verificare solo sperimen-talmente.

Per concludere il paragrafo daremo un’importante relazione che lega mo-mento e energia di una particella libera, detta relazione di mass shell

E2

c2− p2 = m2c2.

1.2 I limiti della relativita speciale

Mentre le leggi dell’elettromagnetismo rimangono valide in RS, come eraovvio aspettarsi visto che l’intera teoria prende spunto proprio da esse, le leggidella meccanica classica, come abbiamo appena brevemente visto, necessitanodelle modifiche. Nulla pero e stato detto ancora riguardo dell’interazionegravitazionale.

Nella meccanica newtoniana e descritta dalle due formule che riporto quidi seguito:

d2~x

dt2= −~∇Φ, (1)

∆Φ = 4πGρ, (2)

dove la prima ci dice quale e l’accelerazione a cui e sottomessa una par-ticella in un potenziale gravitazionale Φ; mentre la seconda, detta equazionedi Poisson, indica come tale potenziale sia relazionato alla densita di materiaρ. G e la costante di gravitazione universale.

Eistein stesso, nel 1907, si rese conto che ne la (1) ne la (2) erano asso-lutamente compatibili con la RS. Oltre a non essere invarianti sotto trasfor-mazioni di Lorentz, la (2) implica che la forza gravitazionale si propaghi convelocita infinita, in palese contraddizione col fatto che in RS la velocita dellaluce e una velocita limite e velocita superiori implicherebbero la violazionedella causalita [vedi Bibl. 2].

Furono vari i tentativi di superare queste incongruenze ma dopo dieciancora una volta Einstein dette prova del suo genio, pubblicando la versionedefinitiva della sua nuova teoria: la relativita generale (RG).

4

1.3 La relativita generale5

Se il passo dall’elettrostatica alla teoria di Maxwell e stato grande, quellodalla gravita newtoniana alla relativita generalre lo e stato ancor di piu. Inun solo colpo Einstein riuscı a formulare una teoria della gravitazione chefosse compatibile con la RS, che spiegasse perche massa inerzale e gravi-tazionale risultino identiche sperimentalmente6 e che non privelegi i sistemidi riferimento inerziali ma al contrario consideri tutti gli osservatori comeequivalenti.

La RG si basa principalmente tutto l’impianto teorico sui seguenti pos-tulati:

1. Le leggi della fisca devono avere la stessa forma in tutti i sistemi diriferimento e pertanto devono trasformare in maniera covariante percambiamenti di coordinate generalizzati. Non esiste un sistema di rifer-imento privilegiato (Principio di relativita generale)

2. La velocita della luce nello spazio vuoto ha lo stesso valore c per tuttigli osservatori, indipendentemente dallo stato di moto della sorgente(Principio della costanza della velocita della luce).

3. Osservatori in caduta libera in un campo gravitazionale sono localmenteequivalenti a osservatori inerziali. Non esiste nessun esperimento localeche possa distinguere queste due situazioni (Principio di equivalenza).

Mentre i primi due postulati non sono altro che una generalizzazione atutti i sistemi di riferimento, non solo quelli inerziali, di quelli gia visti in RS;il terzo merita invece un’analisi molto piu accurata.

Osserviamo per esempio la Figura 1, quello che intuı Einstein e che un os-servatore in caduta libera non sente il proprio peso e quindi potrebbe pensare

5Da questo paragrafo in poi si utilizzera la cosiddetta notazione di Einstein. Senzafare un elenco di regole e di definizioni di quadrivettori, tensori etc... rimando il lettorenon pratico con tale strumento essenziale per lo studio della RG direttamente a Bibl. [2].Invece per le convenzioni utilizzate in questa tesi rimando all’Appendice A. Inoltre perlo studio dell’argomento si danno per scontate conscenze di geometria differenziale tra lequali i concetti di varieta differenziabile, curvatura di una varieta, spazi duali, metricaetc... [vedi Bibl. 3]. Inoltre verra utilizzata sempre e solo la connessione di Levi-Civita.

6La precisione raggiunta al momento sperimentalmente e di una parte su 1012 anchese sono gia in progetto esperimenti tramite i satelliti artificiali STEP, MICROSCOPEe Galileo Galilei che dovrebbero abbassare l’incertezza a una parte su 1018. Ricordoche in meccanica classica a tale uguaglianza non viene data nessuna spiegazione ed e daconsiderarsi come accidentale.

5

di essere in una regione dello spazio dove non c’e un campo gravitazionale.Effettivamente, una palla, lanciata da un osservatore in caduta libera, cadraalla stessa velocita dell’osservatore stesso in modo che quest’ultimo vedra lapalla fluttuare come se si trovasse nello spazio interstellare.

Questa equivalenza non vale solo per esperimenti meccanici, ma per qual-siasi tipo di esperimento fisico di modo che un osservatore non potra maiessere in grado di distiguere queste due situazioni con un esperimento locale.

Figure 1: Un osservatore in caduta libera e localmente equivalente a un os-servatore in assenza gravitazionale. Non esiste un esperimento fisico (locale)che possa distingure questi due casi.

L’aggettivo locale e di fondamentale importanza, infatti avremo a che farein generale con campi gravitazionali non costanti che causeranno delle forzedi marea7, le quali a loro volta permetteranno all’osservatore di fare unadistinzione delle due situazioni viste in precedenza. Quindi tale equivalenzae valida solo in piccole regioni dello spazio dove possiamo considerare conbuona approssimazione il campo gravitazionale costante.

D’altro canto, un osservatore in un ascensore che e accelerato nello spaziointerstellare con una accelerazione costante a vedra gli stessi effetti che ve-drebbe un osservatore in un campo gravitazionale costante (vedi Figura 2).

7La forza di marea e un effetto secondario della forza di gravita. Quando un oggettomolto grande subisce l’influenza gravitazionale di un altro, la forza gravitazionale puovariare considerevolmente da una parte all’altra dell’oggetto. Questo tende a distorcernela forma, senza cambiarne il volume.

6

Figure 2: Un osservatore in un ascensore accelerato con accelerazionecostante e equivalente a un osservatore a riposo in un campo gravitazionalecostante. Non esiste un esperimento fisico (locale) che possa distingure questidue casi.

Immaginando di ripetere anche in questo caso il nostro esperimento con lapalla osserveremo la stessa identica cosa in entrambe le stiuazioni (ammessoche l’accelerazione di gravita sia ~g = −~a), ovvero una palla che cade di motouniformemente accelerato. Detto in altri termini:

Un osservatore in movimento uniformemente accelerato e localmenteequivalente a un osservatore in un campo gravitazionale qualsiasi. E’

impossibile determinare la differenza tra queste due situazioni sulla base diesperimenti fisici eseguiti localmente.

Quello che ci sta dicendo il principio di equivalenza e che un campo grav-itazionale puo essere visto come un artefatto del sistema di riferimento datoche appare e scompare a seconda dell’osservatore che stiamo considerando(cosa che non accade mai per un campo elettromagnetico).

Nel linguaggio matematico, un cambio di sitema di riferimento corrispondea un cambio di coordinate. Prendendo la legge del moto di una particella incaduta libera8 si ha:

x = −g.

Tuttavia prendendo il punto di vista di un osservatore in caduta liberaattraverso il cambio di coordinate:

8Per svolgere le seguenti considerazioni verranno usate le equazioni della meccani clas-sica e non di quella relativistica al fine di semplificare leggermente la trattazione. Tuttaviain entrambi i casi si ottengono gli stessi risultati. Sottolineo ancora una volta che le con-siderazioni hanno solo carattere locale.

7

y = x+1

2gt2,

di modo che la nuova legge del moto risulti:

y = 0.

Si vede dunque che nelle nuove coordinate y troviamo la legge del moto diuna particella libera, anche se c’e da notare il fatto che non stiamo utilizzandocoordinate cartesiane, bensı curvilinee. Abbiamo cosı eliminato localmenteun campo gravitazionale attraverso un cambio di coordinate. Nella meccanicaclassica, le forze che dipendono dal sistema di riferimento e scompaiono conun cambio di coordinate, si chiamo forze apparenti o inerziali, come lo sonola forza centrifuga o la forza di Coriolis.

In sintesi si ha che una qualsiasi forza gravitazionale puo essere sempreinterpretata in una piccola regione di spazio non come una forza fisica macome una forza dovuta al sistema di rifermento e, quindi, come una forzaapparente. In generale pero gli effetti di un campo gravitazionale quasiasinon potranno essere eliminati globabalmente.

La teoria della RG trova la sua espressione nel linguaggio matematico at-traveso i concetti di varieta e curvatura, nozioni fondamentali della geometriadifferenziale. Lo spazio piano di Minkowski della RS viene generalizzato allospazio curvo della RG; quest’ultimo in ogni punto puo essere considerato, inprima approssimazione, piano anche se globalmente non lo e.

Sotto questo punto di vista la gravita non e altro che una manifestazionedella curvatura dello spazio-tempo, utilizzando una frase di S.Benvenuti sipuo affermare che ”la gravita e geometria”.

Molti studiosi dell’epoca credettero erroneamente che la RG smontassecompletamente la RS. In realta la RS e incorporata dalla RG come un ap-prossimazione a piccola scala; dove in pratica e valido il principio di equiv-alenza. Questo principio ci permette di considerare tutti gli osservatori comeequivalenti potendo interpretare eventuali forze inerziali come forze gravi-tazionali e viceversa.

1.4 Le equazioni del campo di Einstein

Se e stato detto che lo spazio della RG9 e uno spazio curvo, nulla e statodetto riguardo quale sia l’origine di tale curvatura. Nella teoria di Newton il

9Da ora in avanti si utilizzera il sitema di misura detto ”delle unita naturali” ne qualesi pone c = 1.

8

campo e generato dalla massa gravitazionale mentre in RG le cose risultanopiu complesse. Infatti la massa sara ancora una volta fonte di curvatura manon sara l’unica.

La cosa piu semplice e trattare il nostro sistema come un fluido, ovverocome un continuo caratterizzato a sua volta da funzioni continue nello spazio-tempo. La funzione che descrive il contenuto di energia e momento del fluidoe, appunto, il tensore energia-momento che e definito nel modo seguente:

Tαβ =flusso della componente pα del quadrimomento attraverso unasuperficie con la coordinata xβ costante.

Avremo dunque 16 componenti (essendo T un tesore di rango 2 in unospazio quadridimnsionale) delle quali solo 10 sono indipendenti dato che T esimmetrico.

Ognuna di queste ha un cisgnificato fisico ben definito. Cosideriamo T 00

secondo la definizione questa e il flusso dell’energia attraverso una superficiecon t = costante. In altre parole e semplicemente la densita di energia10 adun dato istante:

T 00 = densita di energia,

con ragionamenti analoghi si conclude che:

T 0i = flusso di energia che attraversa una superficie con xi = costante,

T i0 = densita della componente i del momento,

mentre le componenti T ij rappresentano il tensore degli sforzi tridimen-sionale [vedi Bibl.5].

Se ci troviamo in presenza di un campo elettromagnetico avremo deicontributi aggiuntivi dati da:

T µν(em) = −F µρF νρ +

1

4ηµνFρλF

ρλ

dove F µν e il tensore del campo elettromagnetico [vedi Bibl 2] mentreηµν e il tensore metrico nello spazio di Minkowski (vedi Appendice A). Peresempio, nel caso in cui si abbia un fluido perfetto con pressione P e densitaρ, il tensore T µν avra la forma:

10Ricordare l’equivalenza tra massa ed energia, quindi la densita di materia e solo unaparte di questa componente.

9

T µνperf.fl = (ρ+ P )uµuν − Pηµν (3)

dove uν e la quadrivelocita. Nel caso di un osservatore comovente laquadrivelocita assume la forma:

uµ ≡

1000

e di conseguenza il tensore energia momento assume una forma molto piu

semplice:

T µνperf.fl =

ρ 0 0 00 P 0 00 0 P 00 0 0 P

. (4)

Finalmente e giunto il momento di introdurre l’equazione del campo diEinstein:

Gµν = −8πGTµν (5)

dove G e la costante di gravitazione universale, gµν e il tensore metrico eGµν e definito come:

Gµν = Rµν −1

2gµνR (6)

dove Rµν e il tensore di Ricci e R lo scalare di Ricci. Di questa formulanon si puo dare una dimostrazione in quanto e da prendere come uno deiprincipi della teoria stessa. Tuttavia ne si puo dare una sorta di deduzionelogica.

Il principio di relativita generale ci dice che l’equazione del campo deveessere valida in un qualsiasi sitema di riferimento e, quindi deve avere formatensoriale; assumendo poi che la fornte del campo sia T avremo una leggedella forma:

Aµν = −κTµν

dove Aµν e un tensore generico che descrive la curvatura dello spazio e κuna costante. Per determinare la forma esatta di Aµν useremo considerazionidi carattere fisico/matematico:

10

1. essendo Tµν simmetrico deve esserlo anche Aµν .

2. Aµν deve essere un oggetto puramente geomentrico e dunque deve esserefunzione della metrica gµν e delle sue derivate.

3. Affinche non si ottenga un’equazione differenziale di ordine superioreal secondo in gµν , il tensore Aµν deve essere lineare rispetto al tensoredi Riemann e alle sue contazioni(ad esempio permini del tipo RρλRν

λ

o RνµρλRαµρλ non sono ammesse).

In base a questi vincoli una possibile forma per Aµν e la seguente11:

Aµν = Rµν + αgµνR + gµνΛ(xβ)

dove α e una costante e Λ(xβ) una funzione scalare. Dalla legge di con-servazione di energia momento:

∇µTµν = 0

si ha che deve essere soddisfatta anche l’uguaglianza:

∇µAµν = 0

la quale implica che α = −1/2 e Λ(xβ) sia una funzione costante. Λ edetta costante cosmologica e avremo occasione in seguito di parlarne.

Infine imponendo che in totale assenza di energia e materia, ovvero cherisulti T µν = 0, si debba avere uno spazio piano impone che:

Aµν = 0 (7)

la quale implica finalmente che Λ = 0. Abbiamo cosı riottenuto la (6).Per fissare anche la costante κ e necessario fare il limite newtoniano delle equazioni di Einstein [vedi Bibl. 4].

La (5) rappresenta un sistema di 10 equazioni differenziali non lineari eaccoppiate del secondo ordine. Tuttavia non sono tutte indipendenti, infattila condizione ∇µA

µν = 0 impone 4 vincoli in modo che solo 6 equazioni delle10 sono realmente indipendenti. Cio implica che attraverso la (5) si possonodeterminare solo 6 componenti della metrica gµν e corrisondono a gradi diliberta fisici. Le altre 4 non sono determinabili con le equazioni di Einstein esono 4 gradi di liberta che rappresentano l’arbitrarieta della scelta del sistemadi coordinate.

11Nel 1915 Einstein propose l’equzione Rµν = −κTµν ma come vedremo il tensore Rµν

non soddisfa l’equazione di conservazione ∇µRµν = 0.

11

Ad ogni modo si intuisce che trovare una soluzione delle (5) non e cosabanale, tanto che Eistein stesso credette in prima istanza che fosse impossibilerisolverle in maniera esatta. Ad oggi pero si conoscono circa un centinaio disoluzioni esatte e molte altre approssimate attraverso metodi numerici.

Inoltre va detto che la (5) non e l’unica forma possibile delle equazioni diEinstein (anche se forse rimane la piu semplice), infatti negli ultimi anni sonostate proposte delle versioni alternative che danno soluzioni non troppo di-verse da quelle gia note. Siccome la precisione sperimentale raggiunta attual-mente non e sufficiente, a volte succede che non si puo dire quale forma delleequazioni di Einstein sia quella che meglio descrive il campo in questione.Va detto pero che le (5) sono universalmente accettate anche per l’eleganza ela simmetria che le concorrenti non presentato e lo saranno finche non verradata un prova sperimentale che dimostri il contrario.

Ricordo poi la RG non e una teoria quantistica e quindi secondo la mag-gior parte degli studiosi le equazioni di Einstein non sono ”l’ultima parola”riguardo a una teoria che descriva il campo gravitazionale.

1.5 La fisica negli spazi curvi

Prima di affrontare la cosmologia e opportuno dare una generalizzaizionedelle formule fisiche della RS12 affinche rimangano valide in RG.

Il principio di relativita generale enunciato precedentemente ci dice chele leggi della fisica devono essere rappresentate da equazioni covarianti percambi di coordiate generalizzati in modo da mantere la stessa forma in tuttii sistemi di riferimento. Come e noto le leggi in RS sono covarianti solo pertrasformazioni di Lorentz.

Effettuare questa procedura di ”conversione” e meno complicato di quelloche potrebbe sembrare se si introduce il principio di minimo accoppiamento:

In uno spazio curvo, i campi non-gravitazionali si ”accoppiano” solamentealla metrica, non al tensore Riemann o alla sue contrazioni (principio di

minimo accoppiamento).

Da un punto di vista pratico la procedura consiste nell’eseguire le seguentioperazioni:

1. sostituire nei prodotti scalari la metrica di Minkowski con la metricadi Riemann:

12Vedi paragrafo 1.1 e Bibl [2] e [4]

12

ηµν → gµν ,

2. sostituire ovunque le derivate parziali con le derivate covarianti:

∂µ → ∇µ,

3. usare opportune potenze di√−g per saturare a zero i pesi delle densita

tensoriali. In paricolare, nell’integrale di azione, si ottiene:

d4x→√−gd4x.

Prendendo per esempio le equazioni di Maxwell non omogenee scritte informa non covariante, ovvero come:

∂µFµν = 4πJν (8)

dove F µν e il tensore del campo elettromagnetico e Jν la quadricorrente;si avrebbero in teoria diversi modi di generalizzare la formula in RG qualiper esempio:

∇µFµν = 4πJν

∇µFµν +∇Rρ

νF µρ = 4πJν

∇µFµν +Rµρλ

ν∇λFµρ = 4πJν +RµνJν

. . .

che non sono fisicamente equivalenti, anche se nello spazio piano di Mikowskisi riducono tutte alla (8). Determinare la differenza tra queste attravesoesperimenti e molto difficile visto che in campi gravitazionali come quelloterrestre le correzioni alla (8) sono pressoche impercettibili.

Applicando pero il principio di minimo accoppiamento otteniamo che solola prima delle opzioni elencate e valida, mentre tutte le altre sono da scartare.L’accoppiamento e detto ”minimo” nel senso che nel senso che dipende solodalla metrica e dalle sue derivate prime (la connessione), quindi scompare

13

localmente nel caso in cui Γ → 0 e g → η, in accordo col principio diequivalenza.

Strettamente parlando il principio di minimo accoppiamento piu che unprincipio fisico e un principio di semplificazione, una sorta di rasoio di Occam.

Finalmente possiamo generalizzare la legge di Minkowski scritta in formacovariante:

d2(mxµ)

dτ 2= fµ (9)

dove fµ e la quadriforza e τ e il tempo proprio della particella, il qualeparametrizza la curva xµ(τ) (nel caso di una particella dotata di massa). InRG la (9) diventa:

∇dτ

(dmxµ

dτ) ≡ m(xµ + Γµνρx

ν xρ) = fµ

dove i puntini su xµ indicano le derivate prime e seconde rispetto a τ . Nelcaso in cui si abbia fµ = 0 si riottiene l’equazione di una geodetica. Si vedecosı che una particella libera in uno spazio curvo segue geodetiche temporali.

Concludo il paragrafo ricordando che la relativita deve ”contenere” leleggi della meccanica classica nel caso in cui si abbia a che fare con velocita eenergie che si avvicinano a quelle che sperimentiamo tutti i giorni e nel caso dicampi gravitazionali deboli come quello terrestre. Cio che intendo dire e che lenuove teorie fisiche, oltre a dover ampliare la nostra conoscenza dell’universoe riuscire a spiegare fatti che risultano inspiegabili per le teorie precedenti,devono dare gli stessi risultati (entro un certo limite di approssimazione) neicasi in cui le ”vecchie” teorie funzionano.

14

2 La cosmologia

La cosmologia ha come oggetto di studio l’universo nel suo insieme. In parti-colare sara oggetto di studio l’evoluzione del cosmo cercando di dare rispostaad alcuni quesiti come: l’universo e sempre esistito? L’universo si sta espan-dendo o contraendo? Quale sara la fine dell’universo?

Rispondere a queste domande e impresa ardua, anche perche i dati anostra disposizione sono spesso insufficienti. Tuttavia sappiamo che oggettimacroscopici come galassie e ammassi di galassie sono elettricamente neu-tri e i campi magnetici da essi generati sono trascurabili, almeno in primaapprossimazione. Da cio si evince che l’unica forza che governa l’evoluzionedell’universo e la gravita, ed e qui che entra in gioco la relativita generale.

Esiste anche un modello cosmologico newtoniano, oramai obsoleto, cheipotizza un universo formato da un numero finito di galassie attratte re-ciprocamente dalla legge di gravitazione universale. Fa uso anche di un nu-mero cosiderevole di postulati al fine di dare una spiegazione soddisfacente aifenomeni osservati nell’universo conosciuto. Ciononostante e di scarso inter-esse fisico ed e da cosiderarsi superato. Il lettore interessato puo consultareBibl. [7].

2.1 La cosmologia relativistica

Ovviamente e impensabile ottenere una soluzione esatta delle equazioni diEinsten che descriva tutto l’universo con tutte le stelle, le galassie, le ondegravitazionali etc... . Per fortuna pero non e quello che ci interessa vera-mente. Cio che si intende fare e dare una descrizione dinamica dell’universoa grande scala dove addirittura gli ammassi di galassie vengono consideraticome perturbazioni insignificanti.

Diventa quindi di fondamentale a riguardo il principio cosmologico, il cuienunciato dice:

In qualsiasi istante di tempo, l’universo e omogeneo e isotropo a scalaabbastanza grande (principio cosmologico).

Una delle prime implicazioni e che esite una fogliazione13 di superficispaziali che ricopre l’intero spazio-tempo, ogni foglia (ovvero un ipersuperfi-cie o sezione spaziale tridimensionale) e sia omogenea che isotropa e rappre-

13Vedi Bibl. [3]

15

senta l’universo a un tempo t costante. Omogeneo significa che tutti i puntidell’ipersuperficie sono equivalenti, isotropo che non esiste nessuna direzioneprivilegiata. Ipersuperfici con queste caratteristiche vengono dette massima-mente simmetriche, matematicamente equivale a dire che sono varieta concurvatura costante e di conseguenza il tensore di Riemann, per le sezionispaziali, assume la forma:

Rijkl = K(gilgjk − gikgjl) (10)

dove K e una costante e la ”tilde” sta a indicare che stiamo parladodella metrica e del tensore di Riemann relativo alle sezioni spaziali e nonall’intero spazio-tempo. K dipende direttamente dalla geometria dello spazio,in particolare vale la relazione:

K =R

n(n− 1)

dove il tensore di Ricci R e costante, in questo caso, in tutto lo spazio en e il numero di dimensioni dello spazio che stiamo considerando.

Se il principio cosmologico non fosse verita, la cosmologia molto piu dif-ficile da trattare. Secondo le osservazioni14 esso e valido a scale di circa 109

anni luce.Per sviluppare un modello soddisfacente, pero, e necessaria almeno un’altra

assunzione di base. Weyl nel 1923, basandosi sul fatto che la velocita relativatra galassie vicine e piccola, introdusse un nuovo postulato che prende il suonome:

La materia a scala cosmologica si comporta come un fluido perfetto, le cuiparti si muovono lungo geodetiche temporali che non si intersecano mai,

eccezion fatta per un punto nel passato a distanza finita o infinita e,eventualmente, uno nel futuro (postulato di Weyl).

Anche questa affermazione si accorda con i dati sperimentali, infatti lefluttuazioni delle velocita della galassie sono al massimo dell’ordine di unmillesimo della velocita della luce e pertanto disprezzabili su scala cosmolog-ica.

Per di piu il postulato di Weyl suppone implicitamente che esistanouna classe di osservatori privilegiati, quelli in riposo rispetto al fluido per-fetto e il cui movimento per tanto e unicamente determinato dall’evoluzione

14La principale prova dell’omogeneita dell’universo e stata data nel 1965 con la scopertadella radiazione cosmica di fondo ad opera di di Penzias e Wilson. Nonostante cio esistonodei modelli che considerano l’universo come non-omogeneo [vedi Bibl. 7].

16

dell’universo. Questi osservatori vengono detti osservatori comoventi e il lorotempo proprio e detto tempo cosmologico. Ogni sezione spaziale e formatada osservatori aventi tutti lo stesso tempo cosmologico t.

Figure 3: Sezioni spaziali ortogonali ale geodetiche. Nella figura e stata sop-pressa per chiare ragioni una dimensione spaziale. Figura presa da [7].

Altra conseguenza del postulato di Weyl e che le geodetiche tempo-rali degli osservatori comoventi siano ortogonali alle sezioni spaziali. Intro-ducendo il sistema di coordinate (t, x1, x2, x3) ≡ (t, x) ≡ (t, xi) dove t come alsolito e il tempo cosmologico mentre le xi sono un sistema di coordinate dellesezioni spaziali tale che le stesse xi rimangano costanti lungo le geodetiche,si ha che la metrica piu generale assume la forma:

ds2 = dt2 − hij(t, x)dxidxj.

Il fatto che le ipersuperfici spaziali siano omogenee e isotrope in ognimomento ci dice che tutti punti di quest’ultime devono evolvere allo stessomodo. Detto il altri termini, se abbiamo una figura geometrica in un qual-siasi istante e in una qualsiasi parte dello spazio, dopo un certo tempo ∆tritroveremo una figura simile alla prima. Questo significa che la funzione hijpuo essere riscritta come:

hij(t, x) = S2(t)gij(x),

17

dove gij(x) e la metrica delle sezioni spaziali che deve soddisfare la (10)mentre S2(t) e una funzione arbitraria del tempo detta fattore di scala, ilquale, detto in maniera intuitiva, da una misura dell’espazione dell’universo.

Quindi dai due postulati da cui siamo partiti (piu ovviamente quelli dellaRG) siamo arrivati a scrivere una metrica nella forma:

ds2 = dt2 − S2(t)gij(t, x)dxidxj. (11)

Il problema centrale della cosmologia e determinare le due funzioni incog-nite S2(t) e gij(x). Mentre la prima, essendo un problema dinamico, si de-termina con le equazioni di Einstein, la seconda e una problema puramentegeometrico e si ottiene risolvendo la (10). Inizieremo col trovare gij(x).

2.2 La metrica di Friedmann-Robrtson-Walker

Essendo lo spazio15 isotropo per ipotesi, segue che e sfericamente simmetricoin ogni punto. In analogia con la soluzione di Schwarschild16, anch’essasfericamente simmetrica, un valido Ansatz 17 per gij(x) e il seguente:

ds2 = e2B(r)dr2 + r2dΩ2, (12)

dove r e la coordinata, dΩ2 ≡ dθ2 + sin θdφ2 e la metrica della sfera S2 eB(r) e una funzione incognita.

Figure 4: Le coordinate sferiche.

Invece di sostituire l’Ansatz nelle (10), usiamo la stessa (10) per calcolareil tensore di Ricci:

15d’ora in avanti usero il termine ”spazio” per indicare le sezioni spaziali definite nelparagrafo precedente e il termine spazio-tempo, come di consueto, per indicare lo spazioquadridimenzionale della RG.

16vedi Bibl. [8] e Appendice B17Termine che viene dal tedesco e significa proposta, ipotesi.

18

Rik ≡ gjlRijkl = Kgjl(gilgjk − gikgjl),

e ricordando che gjlgjl = 3 in 3 dimensioni, otteniamo:

Rik = −2Kgik. (13)

Adesso calcoliamo i simboli di Christoffel della metrica (12) con la for-mula18:

Γρµν =1

2gρλ(∂µgλν + ∂ν gµλ − ∂λgµν).

I simboli di Christoffel non banali sono:

Γrrr = B′, Γθrθ = Γφrφ =1

r,

Γrθθ = −re−2B, Γθφφ = − sin θ cos θ,

Γrφφ = −r sin2 θe−2B, Γφθφ = cot θ,

con i quali possiamo calcolare le componenti del tensore di Ricci16, quellenon nulle sono:

Rrr = −2B′

r, Rθθ = −1 + e−2B − rB′e−2b, Rφφ = sin2 θRθθ, (14)

dove con B′ si e indicata la derivata di B rispetto a r. Dal confronto tra(13) con (14) si ottiene un sistema di due equazioni: B′

r= Ke2B

−e−2B(1− rB′) = 2Kr2

la cui soluzione e:

e2B =1

1−Kr2(15)

pertanto la metrica (12) delle sezioni spaziali tridimensionali con cur-vatura costante diventa:

ds2 =1

1−Kr2dr2 + r2dΩ2 (16)

18Per una dimostrazione di questa formula ed eventuali approfondimenti vedere Bibl [8].

19

dove la costante K puo avere un valore arbitrario positivo, negativo onullo, corrispondendo rispettivamente a una varieta tridimensionalencon cur-vatura costante positiva, nrgativa o zero.

Per interspretare questa metrica e per futura comodita e convenientecambiare la scala della coorfinata radiale r:

r =r′√K

e definendo k = K/|K| la metrica (16) assume la forma:

ds2 = |K|−1[1

1− kr′2dr′2 + r′2dΩ2] per K 6= 0 (17)

ds2 = dr′2 + r′2dΩ2 per K = 0. (18)

Riepilogando abbiamo tre casi distinti per la genoetria dello spazio inquestione:

1. k=1 corrisponde a una curvatura positiva della varieta ed e dettochiuso,

2. k=-1 corrisponde a una curvatura negativa della varieta ed e dettoaperto,

3. k=0 corrisponde a una curvatura nulla della varieta ed e detto piatto.

Il significato fisico di questi casi sara piu chiaro una volta introdotte dellenuove coordinate.

•Caso k=1

Notiamo prima di tutto che il termine in dr′2 diventa singolare nel puntor = 1. Introduciamo dunque la nuova coordinata χ, defifinita come:

r′ = sinχ

da cui si ricava:

dχ =dr√

1− r′2

in modo che la (17) diventa:

ds2 = |K|−1[dχ2 + sin2 χ2dΩ2]. (19)

20

Questa e la metrica tridimensionale S3 con raggio 1/√K. La maniera

piu facile di vederlo e ”immergere” la (19) in uno spazio piano a quattrodimensioni R4 attraverso il cambio di coordinate:

X1 =1√K

sinχ sin θ cosφ, X2 =1√K

sinχ cos θ (20)

X3 =1√K

sinχ sin θ sinφ, X4 =1√K

cosχ. (21)

L’operazione e resa possibile dal fatto che sostituendo (20) e (21) in (19)si ha:

ds2 = |K|−1[dχ2 + sin2 χ2dΩ2]. = (dX1)2 + (dX2)2 + (dX3)2 + (dX4)2

dove chiaramente il primo apice delle X individua la cordinata mentre ilsecondo e la potenza.

Detto cio elevando al quadrato le (20)(21) e sommando si vede subito chee soddisfatta la relazione:

(X1)2 + (X2)2 + (X3)2 + (X4)2 = K−1

la quale mostra chiaramente che lo spazio in questione puo essere vistocome la sfera tridimensionale S3 immersa nello spazio euclideo quadridimen-sionale R4.

Adesso si capisce anche del perche tale spazio e detto chiuso; ogni geode-tica ritorna al punto di partenza dopo aver percorso una distanza finita.

Figure 5: Le sfera S2 immersa in R3.

21

•Caso k=0

Si tratta del caso piu semplice, infatti dalla (18) si rinosce la metrica di R3

in coordinate sferiche, per passare alle coordinate cartesiane vanno utilizzatele note formule:

x = 1√K

sin θ cosφ

y = 1√K

sin θ sinφ

z = 1√K

cos θ

Figure 6: Lo spazio Euclideo R3.

•Caso k=-1

In anologia con quanto fatto nel primo caso si introduce un nuova coor-dinata χ al fine di comprendere in modo migliore la geometria dello spazio,questa viene definita come:

r′ = sinhχ

da cui si ricava:

dχ =dr√

1 + r′2

in modo che la (17) diventa:

ds2 = |K|−1[dχ2 + sinh2 χ2dΩ2], (22)

22

che desrive la metrica di un iperboloide tridimensionale R3. Ancora unavolta si effettua un cambio di coordinate:

X1 =1√|K|

sinhχ sin θ cosφ, X2 =1√|K|

sinhχ cos θ (23)

X3 =1√|K|

sinhχ sin θ sinφ, X4 =1√|K|

coshχ. (24)

le quali implicano che sia soddisfatta la relazione:

(X1)2 − (X2)2 − (X3)2 − (X4)2 = |K|−1. (25)

A differenza di prima, pero, non possiamo immergere la nostra varieta inR4 ma nello spazio di Minkowski R1,3. Infatti ricordando che la metrica diquest’ultimo:

ds2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2,

si vede cosı che la (25) rappresenta una superficie con distanza temporalecostate 1/

√K dal sistema di coordinate scelto.Negli ultimi due casi con-

siderati la topologia e aperta e il volume delle ipersuperfici e infinito.

Figure 7: Lo spazio R1,2 con immerso un iperbolide bidimensionale.

Va precisato che immergere questi spazi fisici in spazi di dimensione su-periore non ha nessun signicato fisico. Lo spazio in cui viviamo tutti i giorninon e immerso in qualcosa di piu grande dal momento che ”e da considerarsila totalita di tutto cio che esiste ed e esistito in qualsiasi epoca”19.

19Cit Ray DInverno Bibl [6]

23

Finalmente sostituendo le metriche (17) e (18) nell’Ansatz cosmoligico(11) otteniamo la metrica di Friesmann-Robertson-Walker (FRW):

ds2 = dt2 − a(t)|K|−1[1

1− kr′2dr′2 + r′2dΩ2] (26)

dove e stato ridefinito il fattore di scala come:

a(t) = |K|−1/2S(t) per K 6= 0

a(t) = |K|−1/2S(t) per = 0.

Possiamo immaginarci quindi un universo formato da ipersuperfici spazialicon curvatura costante in cui il fattore di scala a(t) rappresenta le dimensionidelle stesse.

Il punto cruciale sta nel comprendere che un universo che si espande noncorrispone all’immagine di uno spazio fisso e assoluto in cui le galassie si dis-tanziano le une dalle altre perche dotate di una certa velocita relativa, bensıa uno spazio-tempo che va espandendosi (o eventualmente contraendosi) nelquale le galassie si allontanano proprio perche lo spazio tra di esse si ”gonfia”.

2.3 Le equazioni di Friedmann

Una volta determinata la metrica gij non resta che calcolare il fattore di scalaa(t). Per fare cio utilizzeremo le equazioni di Eistein e l’Ansatz cosmologicoche riporto qui di seguito:

Gµν = −κTµν , (27)

ds2 = dt2 − a2(t)gij(t, x)dxidxj. (28)

Con dei semplici calcoli si ottiene che i simboli di Christoffel non nullisono:

Γtij = aagij, Γitj =a

aδij, Γkij = Γkij, (29)

dove con a e stata indicata la derivata rispetto al tempo cosmologico e conΓkij sono stati indicati i simboli di Christoffel calcolati nel paragrafo prece-dente. Con calcoli routinari si calcolano anche i tensori di Ricci e Einstein elo scalare di Ricci:

Rtt = 3a

a, Rij = −[2k + aa+ 2a]gij, R = 6[a−2k +

a

a+ (

a

a)2],

24

Gtt = −3[a−2k + (a

a)2], Gij = [k + 2aa+ a2]gij. (30)

Per poter utilizzare la (27) abbiamo bisogno di conoscere il tensore energia-momento. Grazie al postulato di Weyl sappiamo che possiamo considerarela materia dell’universo come un fluido perfetto, per di piu ricordando sti-amo usando le coordinate comoventi20 il tensore T µν assume la forma (4) cheriscriviamo come:

Ttt = ρ, Tij = a2gijP. (31)

Inserendo (30) e (31) in (27) si ottengono in conclusione le equazioni diFriedmann:

(a

a)2 =

1

3κρ− k

a2, (32)

a

a+

1

2(a

a)2 = −1

2κP − k

2a2. (33)

In alcuni testi la nomenclatura e diversa e si da il nome alla (32) diequazione di Friedmann mentre ci si riferisce all’altra come seconda equazionedi Friedmann.

In ogni caso la (32) e la (33) unite alla metrica (26) definiscono l’universodi Friedmann-Robertson-Walker. La (33) se combinata alla (32) puo esseresemplificata:

a

a= −1

6κ(ρ+ 3P ), (34)

nota comunemente col nome di equazione di accelerazione.

2.4 Il legame tra termodinamica e cosmologia

La (32) e la (33) se messe insieme formano un sistema di due equazionidifferenziali in cui compaiono, pero, tre incognite:P , ρ, e a(t). Abbiamobisogno quindi di un’altra equazione indipende dalle altre che ci permetta dirisolvere completamente il sistema.

Per trovarla partiamo dalla legge di conservazione dell’energia, prendendoin considerazione solo la componente temporale:

0 = ∇µTµ

0 = ∂µTµ

0 + ΓµµλTλ

0 − Γλµ0Tµλ

20Cosı vengono chiamate le coordinate nelle quali e scritta la (FRW), che corrispondo aquelle di un osservatore comovente al fluido perfetto che caratterizza l’universo.

25

dalla quale sostituiendo (29) si ottiene:

ρ+ 3a

a(ρ+ P ) = 0 (35)

quest’ultima se la moltiplichiamo per a3 si riscrive come:

d

dt[a3ρ] = −P d

dt[a3].

Se interpretiamo a(t)3 come il volume di un pezzo di una sezione spazialein un istante t ritroviamo la prima legge della termodinamica, vale a dire

dE = −PdV.

Ritornando sulla (35), per procedere abbiamo bisogno di una legge cheleghi ρ a P , ovvero di una equazione di stato. Quasi tutti i fluidi di interessein ambito cosmologico ubbidiscono alle semplice legge:

Pi = ω(i)ρi (36)

dove ω(i) (l’indice indica il tipo di fluido, non una sommatoria), a causadell’omogeneita de dell’isotropia, e costante nello spazio, ma anche nel tempoe dunque e da ritenersi come una caratteristica intrinseca del fluido. Con ρie stata indicata la densita del fluido i, in generale si ha:

ρtot ≡ ρ =∑

ρi.

Sostituendo (36) nella legge di conservazione (35) si ha:

ρi + 3a

aρi(1 + ω(i)) = 0 (37)

la cui risoluzione e pressoche immediata:

ρi(t) = ρ0a−3(ω(i)+1)(t) (38)

dove ρ0 e una costante determinabile con le condizioni iniziali e rappre-senta la densita ad un certo istante t = t0 con la quale si normalizza il fattoredi scala come a(t0) ≡ 1.

Passiamo in rassegna adesso ai principali tipi di fluidi cosmologigi deiquali ne verranno presentate le caratteristiche principali.

Nel caso della materia fredda, vale a dire un insieme di particelle nonrelativistiche che non collidono tra loro, la pressione e essezialmente zero e siha:

26

ωM = 0

la quale inserita nella (38) da:

ρ(t)M = ρ0a−3(t).

L’interpretazione fisica di quest’ultima e abbastanza semplice, ci dice in-pratica che la materia si diluisce con l’espansione dell’universo. Le galsassiesi comportano con buona approssimazione come questo tipo di fluido.

Per quanto riguarda invece la densita di energia di radiazione si ha:

ωR =1

3

e quindi

ρ(t)R = ρ0a−4(t).

Il fatto che si diluisca piu velocemente della materia e dovuto al com-portamento dei fotoni, che oltre a diluirsi a causa dell’espansione perdonoenergia anche per effetto del redshift.

Infine anche il vuoto puo essere considerato come un fluido pefetto condensita di energia costante (il vuoto chiaramente non puo diluirsi!) la cuiequazione di stato e:

PΛ = −ρΛ (39)

dalla quale segue immegiatamente:

ωΛ = −1

ρ(t)Λ = ρ0.

Se il termine ρΛ e diverso da zero con il passare del tempo tendera adiventare il termine dominante (finche l’universo non incominci a contrarsi),perche a differenza degli altri e costante e non decresce. Un universo delgenere si dice dominato dal vuoto, esempi ne sono lo spazio di de Sitter e lospazio di anti-de Sitter che analizzero in seguito.

Considerazioni interessanti si possono fare combinando l’equazione distato (36) con l’equazione di accelerazione (34) dalle quali si ottiene:

27

Figure 8: Lo geometria dell’universo e determinata dal valore di Ω.

a

a= −1

6κρ(1 + 3ω), (40)

la quale ci dice che l’universo e in espansione accelerata se ω < −1/321,quindi un universo composto unicamente da materia fredda e/o densita dienergia di radiazione e in decelerazione.

Un’ultima osservazione deriva dall’equazione di Friedmann (32). De-finendo la densita crtitica:

ρc =3

κ(a

a)2 (41)

e il parametro di densita:

Ω =ρ

ρc(42)

la (32) diventa:

21Ammesso che ρ sia positiva, come quasi sempre accade ad eccezione di un universocon costante cosmologica positiva.

28

Ω− 1 =k

a2. (43)

Il segno di k e determinato da Ω, sintetizzando in una tebella:

ρ < ρc ↔ Ω < 1 ↔ k = −1 ↔ apertoρ = ρc ↔ Ω = 1 ↔ k = 0 ↔ piattoρ > ρc ↔ Ω > 1 ↔ k = 1 ↔ chiuso.

Tutto cio rimarca un fatto che gia conoscevamo, la forma delle sezionispaziali e determinata dalla densita di energia, in piu pero abbiamo trovatodelle relazioni qualititative che legano i parametri precedentemente introdotti.

In base a osservazioni abbastanza recenti si e ottenuto un valore di Ωvicino ad uno. Per quanto ne che sappiamo oggi, le sezioni spaziali del nostrouniverso sono, con buona approssimazione, piatte.

2.5 La distanza in cosmologia

Ci sono vari modi non equivalenti per definire la distanza tra due puntiin cosmologia. Ne presentero soltanto uno in quanto il piu intuitivo e ilpiu semplice da definire, la distanza geometrica. Questa definizione usa ilfatto che la metrica FRW ha una coordinata temporale preferita, il tempo diun osservatore comovente con l’universo, in modo che possiamo calcolare ladistanza tra due oggetti a t costante. Intuitivamente equivale alla distanzadi un elastico esteso tra i due oggetti. Senza perdita di generalita si puoprendere uno dei due punti come origine del sistema di coordinate affiche ladistanza sia puramente radiale. In altre parole avremo che:

dt = dΩ = 0

nella metrica (26).La distanza geometrica e definita come:

D(t) =

∫ds =

∫ r

0

a(t)dr′√1− kr′

= a(t)

∫ χ

0

= a(t)χ.

dove per k = 0, χ = r metre se k 6= 0, χ e definito dai cambi di coordinatedel paragrafo 2.2.

29

La distanza geometrica tra due punti dipende da a(t), dunque variaall’espandersi o al contrarsi dell’universo.

Quando in seguito faro uso del termine distanza mi riferiro indirettamentesempre alla distanza geometrica.

30

3 Spazio di de Sitter e di anti-de Sitter

Una volta trovata la metrica FRW e le equazioni di Friedmann associatecon la relativa equazione di stato, non ci resta che risolvere quest’ultimeper trovare dei possibili modelli di universo; vale a delle dire soluzioni cos-mologiche. La nostra attenzione si concetrera essenzialmente su due dellesoluzioni piu semplici, lo spazio di de Sitter e di anti-de Sitter.

Prima pero abbiamo bisogno per l’ultima volta di ampliare il nostro”bagaglio” teorico richiamando la costante cosmologica Λ gia introdotta asuo tempo nel paragrafo 1.4.

3.1 La costante cosmologica

Riprendendo i ragionamenti fatti nel paragrafo 1.4, eravamo arrivati a for-mulare la seguente forma per le equazioni di Einstein:

Rµν +−1

2gµνR + κgµνΛ = −κTµν , (44)

prima di imporre l’ulteriore condizione di uguagliare a zero la divergenzadel primo membro, che fisicamente corrisponde alla richiesta che lo spazio-tempo sia piano in assenza di materia. Evitando di imporre tale condizionela (44) e una forma valida delle equazioni di Einstein.

La costante Λ rappresenta la densita di energia del vuoto introdotta nella(39) e quindi si ha22:

ρΛ = Λ.

Come gia detto Λ e costante sia nello spazio che nel tempo, questo sotto-linea implicitamente un’altra caratteristica del campo gravitazionale. Infattiil potenziale elettromagnetico e il potenziale gravitazionale classico sono sem-pre definiti a meno di una costante addittiva, che dipende da dove fissiamoil livello zero del potenziale. Cio che conta in definitiva, in questi ultimi duecasi, e la differenza di potenziale e non il valore del potenziale in se per se.Contrariamente in RG il valore dell’energia nei punti in questione conta enon solo la loro differenza. Da cio nasce la possibilita di definire un energiadel vuoto, che altrimenti sarebbe solo una costante priva di significato.

Il problema dell’energia del vuoto, strettamente collegato a quello dellaceleberrima energia oscura, e di grande attualita ma appare difficile che sitrovi una soluzione all’interno della RG. Serve infatti una nuova teoria grav-itazionale che tenga in considerazione degli effetti quantistici della materia.

22In molti testi la costante cosmologica e relazionata in maniera leggermente diversaall’energia del vuoto: ρΛ = Λ/κ

31

3.2 Una prima soluzione: l’universo statico di Einstein

Nel 1917 Einstein fu il primo ad applicare le sue equazione all’universo interopresentando un modello cosmologico. Spinto piu da convinzioni filosofiche diun universo statico e immutabile che da evidenze sperimentali cerco di for-mulare un modello nel quale lo spazio non andasse incontro ne a contrazionine a espansioni.

Il problema era che le equazioni di Friedmann, come visto nel capitoloprecedente, implicano che un universo dominato dalla radiazione o dalla ma-teria fredda sia necessariamente in accelerazione o decelerazione. Per questoEinstein stesso modifico le proprie equazioni (5) introducendo la costantecosmologica e riscrivendole nella forma (44).

Figure 9: L’universo statico di Einstein. Le sezioni spaziali, qui rappresentatecome cerchi che appartengo a piani perpendicolari all’asse del cilindro, donoin realta sfere S3. Le linee rappresentano raggi di luce che fanno ”il giro”dell’universo in un tempo finito.

Fisicamente una costante cosmologica positiva comporta una pressionenegativa, ovvero una forza repulsiva che tende ad allontanare tutti i corpi(l’esattocontrario vale per una costante cosmologica negativa). Einstein penso di con-trobilanciare la forza gravitazionale attraverso l’uso di questa costante23.

La condizioni matematiche per un universo statico sono:

23Storicamente Einstein prese in considerazione un universo formato solamente da ma-teria fredda e da una densita di energia nel vuoto positiva. Tuttavia e possibile svolgereragionamenti analoghi a quelli che faremo anche con l’introduzione della densita di energiadi radiazione.

32

a(t) = a(t) = 0,

che inserite in (40) danno:

0 =1

6κ∑i

(1 + 3ωi)ρi,

dalla quale si ottiene:

ρM = 2ρΛ. (45)

La (45) e la condizione affinche l’universo sia statico.Per trovare a(t) risolviamo l’equazione di Friedmann (32) che in questo

caso assume la forma:

0 =1

2κρM − a−2k,

e dal fatto che ρM e positivo si ha necessariamente che k = 1. Quindi lametrica dell’universo di Einstein e:

ds2 = dt2 − 2

κρM[dχ2 + sin2 χ2dΩ2].

L’interpretazione risulta immediata, siamo di fronte a un universo chiusole cui dimensioni e le distanze che dividono gli oggetti rimango immutate.Inoltre il fatto che sia chiuso implica che abbia un volume finito ma allo stessotempo illimitato, vale a dire che procedendo su delle geodetiche prima o poici ritroveremo nel punto dal quale siamo partiti (pensare ad esempio ad unasfera bidimensionale).

Ad ogni modo il modello di Einstein e stato superato ormai da annisia perche incosistente matematicamente24 che fisicamente, dato che Hubblescoprı per primo che l’universo e in espansione.

3.3 Lo spazio di de Sitter in cosmologia

Sempre nel 1917, il matematico olandese Willem de Sitter (1872-1934), trovoun’altra soluzione cosmologica. L’universo o spazio di de Sitter si caratterizzaper il fatto di essere vuoto, quindi con

24Eddington mosto nel 1930 che il modello e instabile, vale a dire che ogni piccolaperturbazione potrebbe portare l’universo o al collasso o all’espansione indefinita.

33

ρM = ρR = 0.

Eppure e presente dell’energia: l’enrgia del vuoto, scelta positiva in questocaso (ρΛ > 0). Con l’aggiunta poi della condizione k = 0 (giustificher-emo nel prossimo paragrafo questa scelta) si puo integrare immediatamentel’equazione di accelerazione (40):

a

a=

1

3κρΛ,

da cui segue:

a(t) = et/R0 ,

dove e stato definito R0 =√

3/(κρΛ) detto raggio di de Sitter e da unamisura della curvatura dello spazio.

In definitiva la metrica di de Sitter e:

ds2 = dt2 − e2t/R0δijdxidxj, (46)

che rappresenta un universo vuoto in espansione esponenziale con sezionispaziali piatte.

Due osservatori che in un certo istante sono arbitrariamente vicini si al-lontaneranno sempre di e con velocita sempre maggiore fino ad arrivare adun momento nel quale neanche la luce sara abbastanza veloce per arrivareall’altro osservatore (quello che si suol chiamare un orizzonte cosmico).

Nonostante cio col passare del tempo nulla cambia visto che non e presentemateria che possa diluirsi e in ogni momento lo spazio di de Sitter e identicoagli istanti precedenti e futuri se non fosse per il cambiamento di scala dovutoalla crescita di a(t).

In analogia con l’universo statico di Einstein l’universo di de Sitter nonha principio, ovvero non c’e un istante in cui si e generato e quindi esiste daun tempo infinito, e continuera ad esistere eternamente.

Ovviamente l’universo di de Sitter non e preso in cosiderazione come unmodello cosmologico realista visto che e completamente privo di materia.Tuttavia rimane un modello importante per il fatto che ci perfette di farealcune riflessioni di carattere fisico. Prima di tutto un universo con scarsadensita di materia tale che si abbia ρM << ρΛ si comportera in maniera similea quello di de Sitter. Inoltre secondo dati sperimentali abbastanza recentiil nostro universo e in una fase di espansione accelerata25 e come mostra il

25Nel 1998 Perlmutter, Schmidt e Riess dimostrarono questo sorprendente risultato, peril quale ricevettero il premio Nobel nel 2011.

34

modello di de Sitter cio potrebbe essere dovuto alla presenza di una costantecosmologica positiva. Infine esso fu un importante punto di partenza permodelli piu realisti come quello di Friedmann e Lemaıtre.

3.4 Lo spazio di de Sitter dal punto di vista matem-atico

Con ragionamenti analoghi a quelli fatti nel paragrafo 2.2 e possibile immerg-ere lo spazio di de Sitter in uno di dimensione superiore in modo da poterloriguardare come una varieta al fine di studiarne le caratteristiche.

Lavoreremo in uno spazio di Minkowsi a 5 dimensioni R1,4 la cui metricae:

hµν =

1 0 0 0 00 −1 0 0 00 0 −1 0 00 0 0 −1 00 0 0 0 −1

da cui26:

ds2 = hµνdXµdXν ≡ dX2

0 − dX21 − dX2

2 − dX23 − dX2

4 . (47)

In R1,4 lo spazio di de Sitter si puo scrivere come:

X20 −X2

1 −X22 −X2

3 −X24 = −R2

0, (48)

dove R0 =√

3/(κρΛ) come nel paragrafo precedente.Per riottenere la metrica (46) e sufficiente applicare il cambio di coordi-

nate:

X0 = R20 sinh(t/R2

0) + f 2 et/R2

0

2R20

,

X1 = R20 cosh(t/R2

0)− f 2 et/R2

0

2R20

,

X2 = et/R20x1,

X3 = et/R20x2,

X4 = et/R20x3,

35

Figure 10: L’iperboloide rappresenta lo spazio di de Sipper immerso nellospazio di Minkowski. Le sezioni spaziali piane dello spazio di de Sitter sonoinvece rappresentate dai punti di intersezione tra il piano e l’iperboloide.

36

dove f 2 = x21 + x2

2 + x23. In queste nuove coordinate le sezioni spaziali

sono piatte.Nel paragrafo precedente abbiamo posto k = 0 senza fornire ulteriori

giustificazioni. Ci potremmo chiedere quindi cosa sarebbe se ponessimo k =±1. Un calcolo abbastanza rapido mostra che le soluzioni sono:

ds2 = dt2 −R20 cosh2 (R−1

0 t)[dχ2 + sin2 χdΩ2] per k = 1,

ds2 = dt2 −R20 sinh2 (R−1

0 t)[dχ2 + sinh2 χdΩ2] per k = −1. (49)

Come si verifica con facilita anche le (49) 27 soddisfano la condizione (48).In realta le (49) sono soltanto un maniera diversa di descrivere lo spazio dide Sitter rispetto alle (46), quello che cambia e solo il sistema di coordinatescelto, in particolare la parametrizzazione delle coordinate temporali t, t e t.Ad ogni modo possibile descrivere lo spazio di de Sitter in diverse forme consezioni spaziali piane o curve, ma il contenuto chiaramente con cambia.

Per passare da (47) a (49.a) si applica il cambio di coordinate:

X0 = R20 sinh(t/R2

0),

Xi = R20 cosh(t/R2

0)zi,

dove le coordinate zi descrivono la metrica della sfera S3 (vedi (19)).Invece per passare da (47) a (49.b) si applica il cambio di coordinate:

X0 = R20 sinh(t/R2

0) coshχ,

X1 = R20 cosh(t/R2

0),

Xi = R20 sinh(t/R2

0) sinhχzi,

dove questa volta i assume i valori 2,3,4 e le zi descrivono la sfera S3 conil vincolo

∑zi = 1.

26solo in questo paragrafo e nel 2.6 gli indici latini assumeranno valori 1,2,3,4 mentrequelli greci 0,1,2,3,4.

27E’ bene notare esplicitamente che anche le (49) sono metriche di FRW.

37

Figure 11: L’iperboloide rappresenta lo spazio di de Sipper immerso nellospazio di Minkowski. Le sezioni spaziali dello spazio di de Sitter sono invecerappresentate dai punti di intersezione tra il piano e l’iperboloide.

38

Figure 12: L’iperboloide rappresenta lo spazio di de Sipper immerso nellospazio di Minkowski. Le sezioni spaziali dello spazio di de Sitter sono invecerappresentate dai punti di intersezione tra il piano e l’iperboloide.

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3.5 Lo spazio di anti-de Sitter in cosmologia

Il modello cosmologico di anti-de Sitter parte dagli stessi presupposti di quellodi de Sitter, ovvero un universo vuoto:

ρM = ρR = 0,

ma questa volta la costante cosmologica e scelta negativa, ρΛ. Dall’equazionedi Friedmann (32) si vede subito che l’unica scelta possibile per k e porrek = −1. Un calcolo molto simile al quello fatto precedentemente mostra chela metrica dello spazio di anti-de Sitter e:

ds2 = t2 −R20 sin (R−1

0 t)[dχ2 + sinh2 χdΩ2] (50)

con le solite notazioni.Il nome ”anti-de Sitter” non e casuale, infatti esso rappresenta in un

certo senso il contrario del modello di de Sitter, un universo in perennedecelerazione contrazione.

Dalla (50) si deduce che due particelle che in un certo istante t′ divergono,verranno prima frenate dalla costante cosmologica, e poi collasseranno su lorostesse come indica il fattore di scala sinusoidale.

Tuttavia lo spazio di anti-de Sitter non collassa e come i casi appenaanalizzati ha una durata infinita nel tempo.

Questo modello e di scarso interesse in cosmologia perche consideratopoco realista; non solo per il fatto che non contenga materia, ma soprattuttoper la sua evoluzione nel tempo.

3.6 Lo spazio di anti-de Sitter dal punto di vista matem-atico

Anche lo spazio di anti-de Sitter e riscrivibile come una varieta immersa inuno spazio piu grande. A differenza di prima, pero, invece di aggiungereuna dimensione spaziale allo spazio di Minkowski R1,3 ne verra aggiunta unatemporale ottenedo R2,3 la chui metrica e:

lµν =

1 0 0 0 00 −1 0 0 00 0 −1 0 00 0 0 −1 00 0 0 0 1

da cui:

40

ds2 = lµνdXµdXν ≡ dX2

0 − dX21 − dX2

2 − dX23 + dX2

4 . (51)

In R2,3 lo spazio di anti-de Sitter si puo scrivere come:

X20 −X2

1 −X22 −X2

3 +X24 = +R2

0, (52)

Anche in questo caso esiste un cambio di coordinate per passare dallametrica (51) alla (50) e ancora una volta esistono foliazioni dello spazio dianti-de Sitter con geometria piano o con curvatura positiva28. La vera dif-ferenza col caso precedente e che in quest’ultime due foliazioni la metrica none di tipo FRW.

Per concludere faro un’analogia tra gli spazi di de Sitter e alcuni spazia curvatura costante per chiarire il ruolo privilegiato che giocano i priminell’ambito della geometria.

28Non riportero di seguito le formule dei cambi di coordinate per le quali rimando allabibliografia [8] e [9].

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4 Conclusioni

Per concludere vorrei riassumere i principali concetti che sono stati sviluppatinella tesi. Siamo partiti introducendo la teoria della relativita, prima quellaristretta poi quella generale, al fine di introdurre i principi della cosmologiamoderna; la quale, altrimenti, sarebbe impossibile da trattare. Una voltastudiata la geometria dell’universo nel suo complesso attraveso la metrica diFRW, ne e stata analizzanta la dinamica con le equazioni di Friedmann.

Al giorno d’oggi esistono diversi modelli cosmologici, alcuni dei qualimolto complessi che addirittura non cosiderano lo spazio omogeneo pren-dendo in cosiderazione le fluttuazioni che lo carattterizzano. Molti di questisembrano descrivere molto bene il nostro universo; tuttavia in questo lavorosono state prese in considerazione le soluzioni cosmologiche piu semplici, chenonostante la loro banalita hanno comunque delle caratteristiche interessantie sono utili per fini didattici.

L’universo di Einstein per esempio e storicamente importante perche,oltre ad essere il primo modello in assoluto, e grazie a questo che le equazionidel campo gravitazionale sono state modificate, infatti Einstein per renderestatico l’universo introdusse la costante cosmologica.

D’altra parte il modello di de Sitter mostra come sia possibile avere ununiverso in espansione accelerata (come il nostro) aprendo la strada a pos-sibili spiegazioni sull’origine dell’energia oscura, che secondo i recenti studirappresenta il 74% del contenuto energetico dell’universo.

Inoltre se esistesse veramente una densita di energia del vuoto positiva,andrebbe modificata anche la relativita ristretta perche la geometria dellospazio, persino in assenza di materia, sarebbe quella di de Sitter e non quelladi Minkowski. Questa possibilita fu presa in considerazione prima 1954 daLuigi Fantappie, per poi venir ripresa nel 1968 da Henri Bacry e Jean-MarcLevy-Leblond i quali sostituirono all’ordinario gruppo di simmetria Lorentzil gruppo di simmetria di de Sitter.

Infine abbiamo analizzato lo spazio di anti-de Sitter. Non e stata dedicatamolta attenzione a quest’ultimo in quanto e un modello cosmologico ritenutopoco attendibile, visto che una costante cosmologica negativa implica ununiverso in decelerazione, in contrasto con le osservazioni. Di fatto lo spaziodi anti-de Sitter e molto piu importante in altri campi della fisica come lacorrispondenza AdS/CFT (Anti de Sitter/Teoria di campo conforme).

La relativita generale e la sua applicazione in cosmologia hanno permessodi fare grandissimi passi in avanti nella comprensione del nostro universo.I buoni risultati ottenuti devono servire a spingere ancora piu in avanti laricerca e a dare lo stimolo per formulare nuove teorie che, oltre ad inglobare leprecedenti, ci diano delle basi teoriche piu amplie per lo studio della natura.

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Appendice A

Convenzioni

Nella maggior parte della tesi, come indicato nel testo stesso, si utilizza laconvenzione sulla somma di Einstein; indici ripetuti (uno covariante e l’altrocontravariante) si sommano come ad esempio:

xµyµ ≡N−1∑µ=0

,

dove N e la dimensione dello spazio in questione.Inoltre si supporra quasi sempre di lavorare in unita naturali dove c = 1.

A.1 relativita speciale

Un punto o evento nello spazio di Minkowski e caratterizzato da quattrocoordinate, ovvero il vettore:

xµ ≡

x0

x1

x2

x4

≡

txyz

Con gli indici latini i, j, k si indicano le componenti spaziali di xµ.La metrica dello spazio di Minkowski quadridimensionale (R1,3) e:

ηµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

Una trasformazione di Lorentz e una trasformazione nello spazio di Minkowsi

che lascia invariata la metrica

ηµν = ΛρµΛλ

νηρλ

Un vettore contravariante e un oggetto a quattro componenti che trasformacome:

V µ = ΛρµV′ρ

in anologia un vettore covariante e definito da:

Vµ = (Λ−1)µρV′ρ

43

A.2 geometria differenziale

La derivata covariante di un vettore contravariante V ν e di uno covarianteVν e date rispettivamente da:

∇µVν = ∂µV

ν + ΓνµρVρ ∇µVν = ∂µVν + ΓρµνVρ

dove i simboli di Christoffel sono dati nell’ambito della connessione diLevi-Civita (la unica utilizzata nel lavoro) da:

Γρµν =1

2gρλ(∂µgλν + ∂ν gµλ − ∂λgµν).

Il tensore di Riemann Rµνρλ e definito come:

Rµνρλ = ∂µΓλνρ − ∂νΓλµρ + ΓλµσΓσνρ − ΓλνσΓσµρ.

44

Appendice B

La soluzione Schwarzschild

In questa appendice descrivero soltanto le caratteristiche fondamentali,senza darne le dimostrazioni per le quali rimando alla bibliografia, della primasoluzione esatta che e stata trovata alle equazioni di Einstein, la soluzioneSchwarzschild.

La soluzione Schwarzschild descrive il campo generato da un corpo massic-cio con simmetria sferica. Esistono due soluzioni Schwarzschild: una interna,che descrive il campo all’interno del corpo, e l’altra esterna, che descrive ilcampo a distanze maggiori del raggio del corpo. Ci occuperemo soltanto diquest’ultima. In questo caso e conveniente usare le equazioni di Einstein inuna forma alternativa, dette senza traccia:

Rµν = −κ(Tµν −1

2gµνT ), (53)

completamente equivaletenti alle ”classiche” equazioni di Einstein:

Rµν −1

2gµνR = −κTµν .

La soluzione di Schwarzschild e una soluzione del vuoto, quindi con Tµν =0, da cui per la (53) si ha:

Rµν = 0.

E’ opportuno notare esplicitamente che nonostante il trnsore di Ricci siaidenticamente nullo non e detto che lo sia pure quello di Riemann.

La soluzione Schwarzschild e la soluzione non banale piu semplice cheesista per il gran numero di simmetrie che presenta: e statica ed ha simmetriasferica.

Sotto queste condizioni un valido Ansatz per la metrica e:

ds2 = eA(r)dt2 − e2B(r)dr2 − r2(dθ2 + sin2θdφ2),

che insetito nelle equazioni di Einstein fornisce la soluzione di Schwarzschild:

ds2 = (1− 2M

r)dt2 − 1− 2M

r)−1dr2 − r2(dθ2 + sin2θdφ2),

domve M e una costante di integrazione che ha il significato fisico dimassa del corpo.

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Bibliografia

[1] R.Resnick, ”Introduzione alla relativita ristretta”,Casa Editrice Am-brosiana (1979)

[2] V.Barone, ”Relativita”,Bollati Boringhieri (2004)

[3] B.Schutz, ”Geometrical methods of mathematical physics”, Cambridgeuniversity press (1980)

[4] B.Schutz, ”A first course in general relativity”,Cambridge universitypress (2009)

[5] H.Goldstein, ”Meccanica Classica”,Zanichelli (2005)

[6] M.Gasperini, ”Relativita generale e teoria della gravitazione”, Springe-Verlag Italia (2010)

[7] R.D’Inverno, ”Introducing Einstein Relativity”, Oxford UniversityPress (1992)

[8] S.Carroll, ”Spacetime and Geometry”, Addison-Wesley, (2004)

[9] U.Moschella,”The de Sitter and anti-de Sitter Sightseeing Tour”, Sem-inaire Poincare, (2005)

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Ringraziamenti

Vorrei ringraziare tutti coloro che, direttamente o indirettamente, hanno resopossibile la stesura di questo lavoro.

Il professor Gianluca Grignani il quale, oltre ad essere il relatore, e ilprofessore che per primo mi ha insegnato i fondamenti della teoria dellarelativita, la mia grande passione che mi ha spinto ad intraprendere gli studiin fisica.

Un rigraziamento va anche a tutti i professori che ho avuto il piaceredi incontrare nella mia carriera universitaria, che mi hanno fornito le basiper affrontare l’argomento. Vorrei ricordare anche la mia professoressa dimatematica e fisica M. Boggi, che mi ha accompagnato nei miei studi al liceoe che purtroppo e scomparsa prematuramente.

Il pensiero va poi alla mia famiglia: i miei genitori, Gianni e Pina, a cuidevo tutto quello che ho e a cui fin troppo spesso manco dell’occasione, masoprattutto della capacita, di far capire quanto grande e il bene provo neiloro confronti. Poi ci sono i nonni e le nonne, gli zii e le zie e i miei cugini, siail piu grande che gli altri due piu piccoli; tutti hanno contrubuito in qualchemodo a farmi essere quello sono oggi.

Infine gli amici, soprattutto quelli dell’infanzia che conosco da una vita,che sono per me come una seconda famiglia e riescono a darmi quella serenitanecessaria affinche io possa conseguire dei risultati nei miei studi.

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