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Spazi di de Sitter e anti-de Sitter in PDF file dove v e la velocit a e mla massa. L’energia totale di una particella libera e, a di erenza del caso classico, composta da due termini,

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  • UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PERUGIA

    FACOLTA’ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

    CORSO DI LAUREA DI I LIVELLO IN FISICA

    Tesi di laurea in fisica

    Spazi di de Sitter e anti-de Sitter in cosmologia

    Relatore: Laureando: Prof. Gianluca Grignani Nico Gubernari

    ANNO ACCADEMICO 2013/2014

  • A mio padre e mia madre

  • Prefazione

    La cosmologia è quella parte della scienza che studia l’universo nel suo in- sieme, cercando di spigarne origine ed evoluzione. Da sempre è considerata tra gli argomenti più affascinanti della fisica, tanto da riuscire a suscitare grande interesse anche tra i non addetti ai lavori. Infatti ha origini an- tichissime e le prime speculazioni a riguardo risalgono ai filosofi presocratici (VI secolo A.C.), i quali iniziarono a interrogarsi su quali fossero i moti e la posizione rispetto alla terra dei corpi celesti che osservavano in cielo. Ovvia- mente non si può parlare ancora si scienza e la cosmologia come la conosciamo oggi è entrata a far parte della fisica solo grazie alla teoria della relatività generale formulata da Albert Einsten.

    Detto ciò si capisce che per affrontale tale disciplina sono necessarie conoscenze fisiche e matematiche piuttosto avanzate. In questo breve la- voro cercherò di esporre in forma sintetica e chiara i concetti fondamentali della Relatività, prima di quella speciale e poi di quella generale, e della cos- mologia per poi trattare quello che è l’argomento centrale di questa tesi: gli spazi di de Sitter e anti-de Sitter.

    iv

  • Contents

    1 La teoria della Relatività 1 1.1 La relatività ristretta o speciale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 I limiti della relatività speciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 La relatività generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Le equazioni del campo di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 La fisica negli spazi curvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2 La cosmologia 15 2.1 La cosmologia relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 La metrica di Friedmann-Robrtson-Walker . . . . . . . . . . . 18 2.3 Le equazioni di Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Il legame tra termodinamica e cosmologia . . . . . . . . . . . 25 2.5 La distanza in cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3 Spazio di de Sitter e di anti-de Sitter 31 3.1 La costante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Una prima soluzione: l’universo statico di Einstein . . . . . . . 32 3.3 Lo spazio di de Sitter in cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4 Lo spazio di de Sitter dal punto di vista matematico . . . . . . 35 3.5 Lo spazio di anti-de Sitter in cosmologia . . . . . . . . . . . . 40 3.6 Lo spazio di anti-de Sitter dal punto di vista matematico . . . 40

    4 Conclusioni 42

    Appendice A 43

    Appendice B 45

    Bibliografia 46

    Ringraziamenti 47

    v

  • 1 La teoria della Relatività

    Le equazioni di Maxwell, pubblicate dall’omonimo fisico nel 1865, sono di certo da annoverare nella storia delle scienze come uno tra i lavori più im- portanti mai presentati. Effettivamente è grazie ad esse (unite alla legge del moto di Newton e alla forza di Lorentz) che possiamo descrivere come inter- agiscono il campo magnetico ed elettrico tra di loro e con particelle cariche. Inoltre la loro comprensione dette una svolta essenziale alla comunità sci- entifica di allora; aiutando a superare la meccanica classica attraverso la formulazione di due nuove teorie: la meccanica quantistica e la meccanica relativistica.

    Della prima non mi occuperò in quanto esula dagli scopi di questa tesi1, mentre della seconda mi limeterò a esporne i concetti e le formule fondamen- tali rimandando alla bibliografia per approfondimenti e dimostrazioni.

    1.1 La relatività ristretta o speciale

    Il contributo di Maxwell, come già anticipato, diede un impulso fondamen- tale per la nascita della relatività ristretta (RS). La comunità scientifica in- fatti non tardò a rendersi conto che principio di relatività galileiano2, fon- damentale in meccanica classica, non era più valido se applicato alle leggi dell’elettromagnetismo. Sempre sul finire del XVIII secolo vennero fatti alcuni esperimenti (tra tutti quello di Michelson e Molrey del 1887) che sembravano dimostrare l’inesistenza dell’etere (teoria che circolava in quegli anni secondo la quale esisteva un sistema di riferimento priviligegiato) e l’indipendenza della velocità della luce dal moto della sorgente.

    Al fine di trovare una spigazione a tutti questi fenomeni vennero fatte varie ipotesi dagli studiosi dell’epoca ma l’unico che riusc̀ı a risolvere il ”puz- zle” in maniera soddisfacente fu Albert Einstein. Nel 1905 pubblicò un articolo dal titolo ”Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento” nel quale Einstein espone per la prima volta la RS. Essa si basa in sostanza su due postulati:

    1Mi limito soltanto a ricordare che la meccanica quantistica si occupa per lo più del comportamento della materia e della radiazione in ambito microscopico. Venne sviluppata agli inizi degli anni venti e trenta del novecento grazie al contributo essenziale di scienziati come Schrödinger, Heisemberg e Planck

    2Esistono vari enunciati equivalenti di tale principio, uno dei più diffusi è il seguentele leggi fisiche sono invarianti in forma rispretto alle trasformazioni di Galilei

    1

  • 1. Le leggi della fisca sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento in- erziali. Non esiste un sistema inerziale privilegiato (Principio di rela- tività ristretta)

    2. La velocità della luce nello spazio vuoto ha lo stesso valore c in tutti i sitemi inerziali, indipendentemente dallo stato di moto della sorgente (Principio della costanza della velocità della luce).

    Viene cos̀ı a costruirsi una nuova teoria che sostituisce la meccanica clas- sica, nella quale le traformazioni di Galileo vengono rimpiazzate da quelle di Lorentz, che rendono covarianti le equazioni di Maxwell. Per esempio se consideriamo un sistema di riferimento cartesiano K e un’altro sistema K ′

    con velocità relativa rispetto a K diretta lungo il verso positivo dell’asse x e supponendo che in t = t′ = 03 le due origini e gli assi coincidano; le trasfor- mazioni di Lorentz assumono la forma4:

    x′ = x− vt√ 1− v2

    c2

    ,

    y′ = y,

    z′ = z,

    t′ = t− vx

    c2√ 1− v2

    c2

    .

    E’ bene notare che la velocità della luce c compare esplicitamente nelle trasformazioni e che esse sono valide solo per v < c; si dice difatti che c in RS assume il ruolo di velocità limite. Altra cosa importante che emerge è che il tempo non è più un parametro come in meccanica classica, bens̀ı diventa una coordinata a tutti gli effetti al pari di quelle spaziali, per questo si introduce un nuovo spazio quadrimensionale, con tre coordinate atte a determinare la posizione e una temporale, detto spazio-tempo di Minkowski che va a sostituire il vecchio concetto di spazio tridimensionale Euclideo.

    3Le notazione sono abbastanza ovvie, con x, y, z indicheremo le coordinate spaziali di K mentre con t il tempo misurato in tale sistema di riferimento, analogamente in K ′ avremo che x′, y′, z′ saranno le coordinate spaziali e t′ il tempo

    4Per una derivazione delle trasormani di Lorentz vedi [1]

    2

  • Inoltre il fatto che questa teoria utilizzi un nuovo gruppo di simmetria e il fatto che il principio di relatività debba essere soddisfatto implica che, non solo la cinematica viene modificata, come appena visto, ma anche l’equazioni della dinamica newtoniana dovranno essere cambiate affinché diventino co- varianti.

    Senza entrare in troppi dettagli per evitare di appesantire la trattazione, verranno enunciate senza dimostrazioni alcune leggi fondamentali e le definizioni di alcune quantità molto importanti nella dinamica relativistica [vedi Bibl. 2].

    Iniziamo col definire il fattore di Lorentz comunemente indicato con la lettera greca γ:

    γ = 1

    1− v2 c2

    ,

    mentre il momento relativistico ~p di una particella e la sua energia cinetica T sono definiti rispettivamente come:

    ~p = mγ~v,

    T = mc2(γ − 1),

    dove v è la velocità e m la massa. L’energia totale di una particella libera è, a differenza del caso classico, composta da due termini, l’energia cinetica e l’energia di riposo:

    E = T + E0

    doveE0 = mc 2, formula emblematica della relatività, che stabilisce l’equivalenza

    tra massa ed energia, in altre parole un corpo che possiede una certa massa inerziale, anche se a riposo e non soggetto a forze, possiede allora anche una certa energia. La massa dal punto di vista relativistico non è altro che una forma alternativa in cui si manifesta l’energia, per di più i principi classici di conservazione della massa e dell’energia smetteranno di esseri validi se presi singlormente e andranno a fondersi nel più generico principio di conservazione della massa-energia: in generale infatti sarà conservata solo l’energia totale.

    Finalmente possiamo introdurre la legge del moto relativistica o legge di Minowski:

    ~F = d

    dt (mγ~v),

    3

  • che come tutte le leggi del moto è da considerarsi come uno dei principi sui quali si fonda una teoria e la cui validità si può verificare solo sperimen- talmente.

    Per concludere il paragrafo daremo un’importante relazione c