Stabilnost A

6. STABILNOST LINEARNIH SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

[7, 15, 30, 31, 66, 68, 69, 71, 77, 80]

Prilikom analize i sinteze sistema automatskog upravljanja moraju se zahtijevati i obezbijediti odreeni uslovi rada, od kojih su najbitniji:

Stabilan rad sistema; Dobro ponaanje odziva-stanja sistema u novom stacionarnom stanju, koji nastupa

dovoljno dugo vremena nakon poetnog trenutka dejstva ulaznog signala ili poremeaja;

Kvalitetan i tehnologijom zadovoljavajui prelazni reim rada sistema; i Brz, po mogunosti to bri, odziv.

Ovim redosljedom se vri zadovoljenje uslova rada sistema, odnosno, sistem prije svega mora biti stabilan. To znai da sistem poslije dejstva namjerne-organizovane pobude ili nenamjerne-sluajne smetnje sistem mora prei u novo stacionarno stanje. Zato nema smisla govoriti o ponaanju sistema u novom stacionarnom stanju ako posmatrani sistem nije stabilan (kod nestabilnih sistema stacionarni reim po prirodi je razliit od eljenog). Takoe se ne moe govoriti o kvalitetu prelaznog reima ako nisu ispunjeni uslovi za rad sistema u stacionarnom reimu rada. Ako sistem ne prelazi u novo stacionarno stanje tada je nemogue govoriti o brzini odziva.

Navedeni zahtjevi se mogu objasniti na sistemu automatskog upravljanja za koji su poznati dijagrami pobude-dejstva i odziva-stanja sistema. Neka je sistem podvrgnut dejstvu odskone funkcije, )t(hr)t(u 0= , slika 6.1a, ili dejstvu nagibne funkcije (rampe)

)t(thv)t(u 0= , slika 6.1b, pri emu je )t(h jedinina odskona funkcija, t tekue vrijeme, 0r amplituda odskone funkcije i 0v nagib rampe. U oba sluaja sistem nakon nekog

vremena prelazi u novo stacionarno stanje, u kome sistem prati pobudu-dejstvo, to znai da je stabilan. Sa dijagrama se vidi da je novo stacionarno stanje razliito od eljenog, odnosno, javlja se greka u stacionarnom stanju koja se zove statika greka. Ova greka mora biti to manja, po mogunosti se treba eliminisati tj. da bude nulta, ili da bar bude unutar dozvoljenih tehnoloki definisanih granica.

Sa dijagrama na slikama 6.1a i 6.1b se vidi da se razlika izmeu eljenog stanja u(t) i stvarnog stanja x(t) mijenja u toku vremena t, te da se ove razlike smanjuju sa porastom vremena. Ova razlika se zove greka u odstupanju ili regulaciona greka, obiljeava sa e(t), a odreena je tehnologijom procesa. Regulaciona greka e(t) je oekivana pojava u toku prelaznog reima jer svi realni fizikalni sistemi imaju svoju inerciju, a mogu u sebi imati i nagomilanu energiju do trenutka dejstva pobude. Posebno se mora voditi rauna o moguoj i dozvoljenoj vrijednosti prvog preskoka, koji je obino i najvei preskok u odzivu-stanju sistema. Takoe se vidi da je sa prelaskom u novo stacionarno stanje sistem automatskog

6. Stabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja

182

upravljanja odreagovao, to karakterie brzinu odziva sistema. Brzinu reagovanja sistema karakterie vrijeme smirivanja st i ono je odreeno tehnologijom tehnolokog procesa.

a)

b)

Slika 6.1. Dijagrami odziva sistema automatskog upravljanja na odskonu (a) i nagibnu funkciju (b)

6.1. Pojam stabilnosti sistema automatskog upravljanja

Prije svega, je neophodno predpostaviti da se ima stacionaran kauzalan kontinualan linearan sistem sa skoncentrisanim parametrima, za koga se mogu uvesti sljedee definicije.

Definicija 6.1. Pod stabilnim sistemom se podrazumijeva sistem kod koga nakon poetne perturbacije dolazi do asimptotskog smirivanja procesa.

Navedenu definiciju je mogue matematiki interpretirati na sljedei nain. Ako je dinamika sistema automatskog upravljanja opisana linearnom diferencijalnom jednainom sa konstantnim koeficijentima (3.1), tada se njeno rjeenje moe predstaviti u obliku:

u(t)x(t)

PRELAZNIREIM

u(t)

x(t)u(t)= r h(t)0

t

STACIONARNOSTANJE

e( )

tSTACIONARNIREIM

u(t)x(t)

x(t)u(t)

=

v th(t)

e( ) = vvKo

o

Linearni sistemi automatskog upravljanja

183

)t(x)t(x)t(x)t(x)t(x stprph +=+= (6.1)

Prva komponenta odziva sistema u (6.1) je )t(x)t(x prh = i predstavlja slobodno kretanje sistema ili prelaznu komponentu rjeenja ili rjeenje homegene diferencijalne jednaine. Ono je posljedica poetnih uslova ili nagomilane energije u sistemu prije poetka analize i prije poetka dejstva na sistem (poetni trenutak dejstva na sistem je t=0 na slici 6.1). Druga komponenta odziva sistema je )t(x)t(x stp = i predstavlja prinudno kretanje sistema. Ono se naziva partikularni integral i posljedica je dejstva pobudnog-ulaznog signala na sistem. Zato se definicija stabilnosti moe iskazati i na sljedei nain.

Definicija 6.2. Za sistem se kae da je stabilan ako vrijedi da je:

0(t)x lim prt

=

(6.2)

ili: [ ] 0(t)xx(t)lim st

t=

(6.2`)

Definicija 6.3. Ako ne vrijede definicije 6.1 i 6.2 za sistem se kae da je nestabilan ili ogranieno stabilan i tada je:

0)t(xlim prt

(6.3)

Zato je za analizu stabilnosti sistema dovoljno analizirati i rijeiti linearnu homogenu diferencijalnu jednainu sa konstantnim koeficijentima:

0xadtdx

a.....dt

xda

dtxd

a n1n1n

1n

1n

n

0 =++++

(6.4)

ije rjeenje zavisi od poetnih uslova 00 x)t(x = ; 00 x)t(x && = ; ; )1n(00)1n( x)t(x = i treba da isezne u toku vremena. Na ovaj sistem nema spoljanje pobude, njegovo kretanje je slobodno i uzrokovano samo nenultim poetnim uslovima. Opti oblik rjeenja )t(x zavisi od karaktera korijena karakteristine jednaine:

0aa....aa)(Q n1n1n1n0n =++++= (6.5)

Komponente odziva se odreuju na osnovu korijena jednaine 0)(Qn = , kojih u optem sluaju ima n . Neka se ti korijeni oznae kao n21 ,...,, . Oni mogu biti realni ili konjugovano kompleksni parovi. Opte rjeenje homogene diferencijalne jednaine (6.4) se moe predstaviti u obliku sume rjeenja koje generiu pojedini korjeni, pri emu je mogue:

a) Da su korjeni karakteristine jednaine meusobno razliiti, tj. ji za ji , n,...,2,1j,i = . Tada se rjeenje homogene diferencijalne jednaine (6.4) moe predstaviti u

obliku:


184

ti

n

1i

ieC)t(x =

= (6.6)

pri emu se konstante integracije iC odreuju iz poetnih uslova za 0tt = , pri emu je najee 0t0 = .

b) Da meu rjeenjima karakteristine jednaine (6.5) ima viestrukih korjena. Neka su korijeni p21 ,...,, ( np ) sa viestrukostima p21 m,...,m,m , pri emu je ispunjen uslov da je nm...mm p21 =+++ . Sada rjeenje jednaine (6.4) ima oblik:

t1m

p

1i

ii

e)t(P)t(x

=

= (6.7)

gdje su )t(P 1mi polinomi )1m( i -og stepena po t , iji se koeficijenti odreuju iz poetnih uslova. Uslov da doe do asimptotskog smirivanja prelaznog procesa sistema e biti ispunjen ako je 0)t(xlim pr

t=

, pri emu je )t(x pr rjeenje homogene diferencijalne

jednaine (6.4). Nametanjem uslova stabilnosti sistema, ili zahtjeva da odziv-stanje sistema pree u novo stacionarno stanje poslije dejstva spoljanje pobude, iz (6.6) i (6.7) se moe zakljuiti da ne smije postojati ni jedno rjeenje karakteristine jednaine i , i=1,2,,n, sa pozitivnim realnim dijelom, tj. mora biti ispunjen uslov da je:

{ } 0Re i , tada e se u (6.6) ili (6.7) pojaviti lanovi sa eksponencijalno rastuim funkcijama, pa analizirani sistem nee imati novo stacionarno stanje, odnosno radi se o nestabilnom sistemu. Tako se na osnovu rasporeda korjena karakteristine jednaine (6.5) u kompleksnoj ravni { }s moe donijeti zakljuak o stabilnosti sistema: ako svi korjeni karakteristine jednaine (6.5), i , i=1,2,,n, lee u lijevoj poluravni kompleksne ravni { }s tada je sistem sa ispitivanom karakteristinom jednainom stabilan; ako jedan ili vie korjena ispitivane karakteristine jednaine lei u desnoj poluravni kompleksne ravni { }s sistem je nestabilan; dok u sluaju da jedan ili vie korjena ispitivane karakteristine jednaine lei na imaginarnoj osi u kompleksnoj ravni { }s sistem se nalazi na granici stabilnosti. Oito je da imaginarna osa

j u kompleksnoj ravni { }s predstavlja granicu izmeu stabilne i nestabilne oblasti rasporeda korjena karakteristine jednaine (6.5). U tabeli 6.1 su dati rasporedi korjena karakteristine jednaine u { }s ravni i impulsni odzivi za nekoliko osnovnih sistema. Tako su stabilni sistemi iji je raspored korjena karakteristine jednaine dat na prvom i etvrtom dijagramu tabele 6.1, nestabilni su oni iji je raspored korjena karakteristine jednaine dat


185

na treem i estom dijagramu tabele 6.1, dok su sistemi na granici stabilnosti ako njihov raspored korjena odgovara drugom i petom dijagramu tabele 6.1.

Tabela 6.1. Raspored korjena i impulsni odzivi karakteristinih sistema

2 1

j

j

j

j

j

j

j

j

j2

jj

1

j

21

jj2

1

x(t)

t

e t1

e t2

x(t)

t

e sin t t 1e sin t t 2

x(t)

t

sin t1 sin t2

x(t)

te sin t t

t

x(t)e = 101

x(t)e

t


186

U optem sluaju se ima prenosna funkcija sistema oblika )s(Q/)s(P)s(G nm= , gdje su )s(Pm i )s(Qn polinomi. )s(Qn nije nita drugo nego karakteristini polinom polazne

diferencijalne jednaine (6.4), koja opisuje dinamiku sistema koji se moe predstaviti blok strukturom kao na slici 6.2.

Slika 6.2. Blok struktura sistema bez pobude

Za sisteme niskog reda nije teko rijeiti karakteristinu jednainu (6.5). Meutim, problemi nastaju prilikom odreivanja nula karakteristinog polinoma kada je veliki red sistema.

U sluaju kada se ima kaskadna veza blokova niskog reda, prenosna funkcija se dobija u faktoriziranom obliku, pa nije teko odrediti nule imenioca prenosne funkcije. Problemi se uglavnom javljaju u sistemima automatskog upravljanja kod kojih je primjenjena negativna povratna sprega, slika 6.3.

Slika 6.3. Sistem upravljanja sa negativnom povratnom spregom

Prenosna funkcija sistema zatvorenog negativnom povratnom spregom, kao na slici 6.3, je:

)s(H)s(G1)s(G)s(W

+= (6.9)

ili:

)s(G1)s(G)s(W

+= (6.9`)

u sluaju jedinine negativne povratne sprege. Karakteristine jednaine sistema vie nisu u faktoriziranom obliku, ak i u sluaju da su komponente )s(G i )s(H elementarni blokovi, jer se za sistem (6.9) dobija da je to 01)s(H)s(G =+ a za sistem (6.9`)

01)s(G =+ . Postupak rjeavanja dobijenih karakteristinih jednaina je 1)s(H)s(G = ili 1)s(G = , a poto su )s(G i )s(H kompleksne funkcije, to se uobiajeno i desne strane piu u obliku kompleksnog broja 1+j0. Tako je dobijena karakteristina taka

)0j,1( , koja je precizno odreena i locirana u ravni kompleksne funkcije. Kritina taka u

_

_

_

u (t) 0 x(t)G(s)

u (t) U (s)

G(s)

H(s)

x(t)X(s)

+

_


187

teoriji upravljanja i ispitivanju stabilnosti sistema automatskog upravljanja ima veoma bitnu ulogu. Ako se u (6.9`) prenosna funkcija direktne grane napie u obliku razlomljene racionalne funkcije )s(Q/)s(P)s(G nm= , tada se dobija

)s(P)s(Q)s(P

)s(Q)s(P

1

)s(Q)s(P

)s(Wmn

m

n

m

n

m

+=

+

= (6.10)

Vidi se da je nazivnik prenosne funkcije sistema zatvorenog jedininom negativnom povratnom spregom )s(P)s(Q)s(R mnn += , to je karakteristini polinom zatvorenog sistema. Ovaj polinom je n tog reda, jer je nm , koji moe biti veoma visok i to nam redovno donosi problem prilikom ispitivanja stabilnosti.

Napomena: )s(H)s(G se nekada naziva povratni prenos, a )s(W spregnuti prenos.

Neka je polinom u nazivniku n tog reda i neka ima standardni oblik inin

0in sa)s(Q

=

= , te

neka isti nije u faktoriziranom obliku. Postavlja se pitanje da li je mogue bez odreivanja nula polinoma )s(Qn ispitati stabilnost sistema, to bi se takoe odredilo na osnovu strukture korjena ovoga polinoma. Ovi postupci se nazivaju kriterijima stabilnosti, a mogu se podijeliti na algebarske kriterije (Routhov i Hurwitzov) i kriterije stabilnosti koji su zasnovani na preslikavanjima u kompleksnoj ravni (kriteriji stabilnosti po Mihajlovu i po Nyquistu).

6.2. Algebarski kriteriji stabilnosti

Traenje potrebnih i dovoljnih uslova stabilnosti namee algebarski prilaz analizi stabilnosti linearnih sistema. Za ovakvu analizu dovoljno je odrediti korjene karakteristine jednaine ili bar ispitati da li se oni nalaze u lijevoj (stabilnoj) poluravni kompleksne ravni { }s .

Potrebni uslovi. Da bi karakteristina jednaina (6.5) imala sve korjene sa negativnim realnim dijelovima, odnosno da bi sistem bio stabilan, potrebni uslovi se svode na ispunjenje uslova da svi koeficijenti karakteristinog polinoma )s(Qn budu istog znaka. Ako ovaj uslov nije ispunjen sistem je sigurno nestabilan. Meutim, ovo nisu i dovoljni uslovi osim sistema ija je karakteristina jednaina prvog i drugog reda.


188

6.2.1. Routhov kriterij stabilnosti

Zasniva se na sljedeoj emi koeficijenta:

ns 011 aa = 212 aa = 413 aa = 614 aa =

1ns 121 aa = 322 aa = 523 aa = 724 aa =

2ns 1

302131

a

aaaaa

=

1

504132

a

aaaaa

=

1

706133

a

aaaaa

=

3ns 31

32133141

a

aaaaa

=

31

33153142

a

aaaaa

=

31

343173143

a

aaaaa

=

.

. ...........................................................................

.

ins )1k(),1i(i)1k(),2i(ik aaa ++ = ; 1),1i(

1),2i(i

a

a

= (6.11)

M

0s

Prve dvije vrste ove eme se popunjavaju koeficijentima iz karakteristine jednaine sistema (6.5). Ako karakteristinoj jednaini nedostaju neki lanovi izmeu najstarijeg lana n0 sa i slobodnog lana na tada se, pri formiranju prve dvije vrste, na mjesta ovih lanova upisuju nule. Na konaan rezultat nee uticati ako se svi lanovi bilo koje vrste pomnoe ili podijele istom pozitivnom konstantom. Prva kolona dobijene eme (6.11) se naziva Routhova kolona. Iz algebre je poznato da vrijedi teorema.

Teorema 6.1. Broj korijena karakteristine jednaine (6.5) koji imaju pozitivne realne dijelove jednak je broju promjena znaka u Routhovoj koloni.

Na osnovu teoreme 6.1 se definie Routhov kriterij stabilnosti.

Teorema 6.2. Da bi sistem, ija je karakteristina jednaina data relacijom (6.5), bio stabilan

a) potrebno je da svi koeficijenti karakteristinog polinoma ia , n,...,2,1,0i = , budu istoga znaka, i

b) dovoljno da svi koeficijenti Routhove kolone, koja je formirana na bazi karakteristine jednaine sistema, budu istog znaka.


189

Primjer 6.1. Ispitati stabilnost sistema ija je karakteristina jednaina:

05s4s3ss2s 2345 =+++++ (6.12)

Routhova ema koeficijenta je:

5s 1 1 4 0 4s 2 3 5 0 3s -1 3 0 2s 9 5 0 1s 32 0 0s 5

U prvoj koloni se imaju dvije promjene znaka, sa 2 na -1 i sa -1 na 9. To znai da jednaina (6.12) ima dva korijena sa pozitivnim realnim dijelovima. Moe se zakljuiti da je sistem koji ima karakteristinu jednainu (6.12) nestabilan.

Problemi se javljaju pri analizi stabilnosti sistema kod kojih se u prvoj koloni dobije koeficijent koji je jednak nuli. Za prevazilaenje ovog problema je razvijeno vie metoda. Prema prvoj metodi, taj elemenat se zamjenjuje proizvoljnim pozitivnim brojem i nastavi formiranje eme koeficijenta. U proraunu elemenata sljedeih vrsta se koristi uvedeni pozitivni broj , a na kraju se pree na granini proces da 0 . Sada se ponovo analizira Routhova kolona i na osnovu znaka elemenata u ovoj koloni donosi zakljuak o stabilnosti sistema. Drugi metod je zasnovan na uvoenju nove kompleksne promjenljive s/1= , ali ova metoda ne daje rjeenje ako se ima simetrini polinom ( ini aa = , i=0,1,2,,n). Trea metoda se zasniva na uvoenju stabilnog serijski vezanog bloka, ( )as/k + , gdje je + Ra , jer ovaj blok ne naruava stabilnost ispitivanog sistema. Sada se ispituje stabilnost ovako dobijenog sistema, za koji karakteristina jednaina ima oblik )s(Q)as( n+ .

Ako je koeficijent u prvoj koloni uz 1s ravan nuli tada karakteristina jednaina sistema ima nekoliko imaginarnih korjena, pa se sistem nalazi na granici oscilatorne stabilnosti (pojavljuju se stacionarne oscilacije konstante amplitude i konstantne uestanosti). Ako je

0an = tada karakteristina jednaina ima jedan nulti korjen i sistem se nalazi na granici aperiodske stabilnosti. Ako se pojavi red u kome su svi koeficijenti jednaki nuli tada se drugi red Routhove eme popunjava koeficijentima koji se dobiju prvim izvodom karakteristinog polinoma sistema ds/)s(dQn .

Primjer 6.2. Primjenom Routhova kriterija stabilnosti ispitati stabilnost sistema ija je karakteristina jednaina:

poslije mnoenja sa 2

poslije mnoenja sa 9


190

010s3s 24 = (6.13)

Iz same karakteristine jednaine se vidi da nisu zadovoljeni potrebni uslovi da svi ia , 4,3,2,1,0i = , budu istog znaka. To dalje znai da sistem sa ovom karakteristinom

jednainom nije stabilan. Poto bi postupak bio isti i da su svi ia istog znaka, to se moe primjer uraditi do kraja. Dovoljni uslovi za stabilnost sistema, sa datom karakteristinom jednainom, su da svi elementi Routhove kolone imaju pozitivan znak i da su razliiti od nule. Sada se formira Routhova ema koeficijenata:

4s 1 -3 -10 3s 0 0 0 2s

Vidi se da su svi elementi druge vrste ravni nuli (isto bi bilo da su 0ai > ). Zato se sada trai izvod karakteristinog polinoma:

( ) s6s410s3sdsd 324

=

i formira nova ema elemenata:

4s 1 -3 -10 3s 4 -6 0 2s -3/2 -10 0 1s -98/3 0 0s -10

Routhova kolona ima elemente 1, 4, -3/2, -98/3, -10 u kojoj ima jedna promjena znaka, pa jedan pol karakteristinog polinoma lei u desnoj polovini kompleksne ravni { }s . To znai da je sistem sa datom karakteristinom jednainom nestabilan.

Prilikom sinteze je esto potrebno da se neki parametar u karakteristinoj jednaini mora mijenjati u cilju postizanja optimalnih uslova rada. Najee se radi o pojaanju sistema K , ije se granice dozvoljenih vrijednosti dobiju iz dovoljnog uslova, tj. da su svi elementi Routhove kolone istoga znaka.


191

6.2.2. Hurwitzov kriterij stabilnosti

Neka karakteristina jednaina ispitivanog sistema glasi:

0asa...sasa n1n1n

1n

0 =++++

(6.14)

Na osnovu (6.14) se formira i izraunava Hurwitzova determinanta od matrice koja ima n vrsta i n kolona:

M

K

K

K

K

K

531

6420

7531

86420

97531

n

aaa00aaaa0aaaa0aaaaa

aaaaa

= (6.15)

Teorema 6.3. Da bi svi korjeni karakteristine jednaine (6.14) imali negativne realne dijelove, tj. da lee u lijevoj poluravni kompleksne ravni { }s :

a) potrebno je da svi koeficijenti ia , n,...,2,1,0i = , budu pozitivni, i

b) dovoljno da determinanta n i svi njeni glavni minori: 11 a= ; 20

312

aa

aa= ; ,

1n budu vei od nule, tj. 01 > ; 02 > ;; 01n > .

Potrebni uslov moe biti zamijenjen uslovom da su svi koeficijenti istog znaka, dok dovoljni uslov moe biti zamijenjen uslovom da su 0n > ; 02n > ; 04n > ; itd.

Sistem e biti granino stabilan ako je 0n = , a svi predhodni minori vei od nule. To se moe desiti u sluaju da je 0an = i 01n > ili 0a 1nn == . U sluaju kada je 0an = , karakteristina jednaina ima korijen 0s = koji lei u koordinatnom poetku kompleksne ravni { }s i za sistem se kae da se nalazi na aperodiskoj granici stabilnosti. U drugom sluaju je 0a 1nn == , kada karakteristina jednaina ima par konjugovanih korjena na imaginarnoj osi kompleksne ravni { }s i za sistem se kae da se nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti.

Ovaj kriterij ima vie nedostataka i u praksi je zgodnije koristiti Routhov kriterij stabilnosti.

Primjer 6.3. Ispitati stabilnost sistema za koji je poznat karakteristini polinom 32

21

303 asasasa)s(Q +++= , pri emu su 0ai > , 3,2,1,0i = .


192

Sada se formira Hurwitzova determinanta i njeni glavni minori:

31

20

31

3

aa00aa0aa

= ; 302120

312 aaaa

aa

aa== ; 0a11 >= ; 233 a =

Poto su potrebni uslovi za stabilnost sistema zadovoljeni, tada ako je 02 > ispunjeni su i dovoljni uslovi. Dakle, sistem sa karakteristinim polinom treeg reda je stabilan ako su svi njegovi koeficijenti istog znaka i ako je 3021 aaaa > .

Primjer 6.4. Neka je sistem automatskog upravljanja predstavljen blok strukturom na slici 6.4, na kojoj je jedinina negativna povratna sprega nacrtana isprekidano. Naime, sa stanovita ispitivanja stabilnosti sistema svejedno je da li se transmiter nalazi u direktnoj grani kao na slici ili grani povratne sprege, jer je karakteristini polinom zatvorenog sistema identian u oba sluaja.

Slika 6.4. Karakteristini primjer u praksi

Ako se usvoji da je T0mp KKKKK = , 1m TT = , 20 TT = i 3T TT = , tada je prenosna funkcija direktne grane:

( ) ( )( )( )1sT1sT1sTK

sG321 +++

= (6.16)

Dalje je karakteristini polinom zatvorenog sistema:

( )( )( ) +=++++= 33213213 sTTT1sT1sT1sTK)s(Q ( ) ( ) ( )1KsTTTsTTTTTT 3212323121 ++++++++ (6.17)

Iz (6.17) se, poreenjem sa karakteristinim polinomom treeg reda opteg oblika za koji su ispitivani uslovi stabilnosti u primjeru 6.3, dobija:

3210 TTTa = , 3231211 TTTTTTa ++= , 3212 TTTa ++= , K1a3 += (6.18)

Kp+

_

KmT s+1m

K0T s+10

KTT s+1T

REGULATORSERVOMOTOR OBJEKAT TRANSMITER

OBJEKAT UPRAVLJANJA U IREM SMISLU

x(t)u(t)


193

Poto se radi o vremenskim konstantama i faktoru pojaanja, to su svi 0ai > , 3,2,1,0i = , tj. zadovoljeni su potrebni uslovi Hurwitzovog kriterija stabilnosti. Da bi ispitivani sistem bio stabilan, prema Hurwitzovom kriteriju stabilnosti, moraju biti ispunjeni i dovoljni uslovi, koji su u primjeru 6.3 svedeni na uslov:

( )( ) ( )( )321321323121 TTTK1TTTTTTTTT +>++++ (6.19)

Sada se posmatra specijalan sluaj kada se vremenske konstante razlikuju za red veliine:

TTT 3T == , TTT 1m == , TTT2

20 == (6.20)

Ovi uslovi moraju biti zadovoljeni da bi se proces odvijao unutar potrebnih tehnolokih granica i da bi upravljanje bilo kvalitetno, tj. objekat upravljanja u uem smislu mora imati sporiju dinamiku od dinamike izvrnog organa za red veliine, a izvrni organ mora imati sporiju dinamiku za red veliine od dinamike transmitera. To znai da se u strukturi upravljanja mora obezbijediti da najsporiju dinamiku ima objekat upravljanja u uem smislu, a najbru dinamiku mora imati transmiter. Uzimanjem u obzir uslova (6.20) dovoljni uslovi stabilnosti se svode na:

( )( ) ( ) 333232 TK1T1 +>++++ (6.21)

ili

( ) ( ) 222 K11 +>++

odakle slijedi uslov:

( ) 1/11K 2 ++< (6.22)

Ova zavisnost se moe predstaviti grafiki u koordinatnom sistemu K , slika 6.5.

Slika 6.5. Grafiki prikaz oblasti stabilnosti i nestabilnosti za primjer 6.4.


194

Sa slike 6.5 se vidi da se i sama oblast stabilnosti dijeli na dvije podoblasti. Prva podoblast je loa oblast stabilnosti u kojoj je 1 , kada objekat upravljanja ima najsporiju a transmiter najbru dinamiku, to se u praksi mora zadovoljiti. Inae, u praksi je poeljno zadovoljiti uslov da bude 3> .

6.3. Kriteriji stabilnosti zasnovani na preslikavanjima u kompleksnoj ravni

Potreban i dovoljan uslov za stabilnost nekog sistema se svodi na uslov zadovoljenja da je { } 0Re i


195

Definicija 6.4. Ako je uniformna funkcija )s(F diferencijabilna u svakoj taki oblasti P , osim moda u konano mnogo taaka, tada se kae da je to analitika funkcija u toj oblasti. Ove izuzete take se zovu singularne take funkcije )s(F .

Definicija 6.5. Ako anlitika funkcija )s(F ima izvod u svakoj taki oblasti P , tada se kae da je funkcija u toj oblasti regularno analitika, regularna ili holomorfna.

Neka se sada posmatra analitika funkcija )s(F kompleksnog argumenta js += . Interesantno je da sve prenosne funkcije linearnih sistema sa skoncentrisanim parametrima pripadaju klasi analitikih funkcija. Neka se zatim posmatraju dvije ravni i to ravan kompleksne promjenjive { }s i ravan kompleksne funkcije { })s(F , slika 6.8a i 6.8b.

a) b) Slika 6.8. Ravan kompleksne promjenljive (a) i ravan kompleksne funkcije (b)

Moe se uoiti neka zatvorena kriva (kontura) C u { }s ravni na kojoj funkcija )s(F nema niti nula niti polova, tj. za svaku taku konture C funkcija )s(F ne postaje niti nula niti beskonana. Neka se uzme neka taka na konturi C , npr. taka a , za koju je

111 jss +== . Ako se ova vrijednost kompleksne promjenjive uvrsti u funkciju )s(F i izrauna njen realni i imaginarni dio, tada se dobija vektor )s(FImj)s(FRe)s(F 111 += , iji realni i imaginirani dio u { })s(F ravni odreuje poloaj take a . Taka a odgovara taki a u ravni argumenta { }s . Ako se sada kompleksnom argumentu s zadaju razne vrijednosti sa konture C , pomjerajui se od take a u smjeru kretanja kazaljke na satu sve dok se ne obie itava kontura C , vrh vektora )s(F u { })s(F ravni e se takoe kretati u smjeru kazaljke na satu i opisae konturu C , iji izgled zavisi od oblika funkcije )s(F .

Teorema 6.4. Osnovna Cauchyjeva teorema. Neka je funkcija kompleksne promjenjive )s(F za sve vrijednosti od s , unutar i na rubovima podruija P u { }s ravni omeenog

j

1

sa

C

j1

F(s)

a'

C

F(s

)1

R F(s)e

jI F(s) m

,


196

konturom C , regularna (analitika i jednoznana), odnosno da ima izvode u svim takama toga podruja. U tom sluaju vrijedi da je:

=C

0ds)s(F (6.23)

tj. da je zatvoreni linijski integral funkcije )s(F du konture C jednak nuli.

Ova teorema vai za jednostruko povezanu oblast, slika 6.9a, i viestruko povezanu oblast, slika 6.9b na kojoj je prikazana dvostruko povezana oblast.

a) b)

Slika 6.9. Jednostruko povezana oblast (a) i dvostruko povezana oblast (b)

Lema 6.1. Neka je )ss/(1)s(F 0= koja je regularna svuda osim u taki 0ss = , u kojoj ima pol prvog reda. Ako kontura C obuhvata taku 0ss = , tada je:

j2ss

dsC 0

pi=

(6.24)

Singularna taka 0ss = se izoluje krunom konturom iji se centar nalazi u samoj singularnoj taki, dok je poluprenik krune konture veoma mali 00 . Iz take a, koja se nalazi na konturi C, se napravi prorez do take b, koja se nalazi na krunoj konturi. Tako se dobija nova kontura kojom je izolirana singularna taka 0ss = , koja se moe oznaiti sa

+C , a koja se sastoji od: konture C , dui ab , krune konture i dui ba , slika 6.10. Ako se uzme da je smjer obilaska konture +C isti kao i smjer obilaska konture C, tada je smjer obilaska krune konture suprotan. Data funkcija )s(F je regularna na konturi +C i oblasti koju ona omeava, pa je zato:

0ss

ds

C 0=

+

(6.25)

sj

P

C

sj

C

C0


197

Dalje je:

( ) ( )0

ss

dsss

dsss

dsss

dsss

ds

ab ,sC ba 000CC 0C 0 00

=

+

+

+

=

++

(6.26)

Slika 6.10. Primjer kada kontura C obuhvata pol prvog reda

Poto su drugi i etvrti integral medusobno isti ali sa suprotnim predznacima, to se iz (6.26) dobija:

( ) ( )( ) ==

=

=

=

=

++

pi

pipi

2

0,sC

j0

j00

0CC 0j2dj

2,0dejds

ess

ss

dsss

ds

00

(6.27)

to je i trebalo dokazati.

Lema 6.2. Neka je ( )k0ss/1)s(F = , n,...,3,2k = . Tada je )s(F regularna svuda osim u 0ss = , gdje ima pol k tog reda. Pri tome je ( ) 0ss

dsC

k0

=

, ak i ako kontura C obuhvata

taku 0ss = .

Ova lema e biti dokazana u okviru Cauchyjeve teoreme o rezidiumima.

Neka sada, prema predpostavci, ima k polova unutar konture C , slika 6.11. U okolini svakog singulariteta ks funkcija )s(F se moe razviti u Laurentov red:

( )=

=

n

nkk,n ssC)s(F (6.28)

s

j

x

a

b

s0

C

0


198

Slika 6.11. Kontura C obuhvata k polova

Dio Laurentovog reda s negativnim potencijama se naziva glavnim djelom funkcije )s(F . Ako glavni dio funkcije u Laurentovom razvoju ima konaan broj lanova n , to je red pola koji mu odreuje viestrukost. Pol reda 1n = se naziva jednostrukim polom.

Teorema 6.5. Cauchyjeva teorema o rezidiumima. Neka je funkcija )s(F analitika svuda u podruju ogranienom konturom C osim u singularnoj taki 0s . Da bi se izraunao linijski integral te funkcije po konturi C , slika 6.12a, najprije se treba ograniiti pol 0ss = konturom 0C , a onda napraviti prorez ab . Unutar ovoga podruja i na konturama C i 0C funkcija )s(F je analitika. Prema osnovnoj Cauchyjevoj teoremi se moe izraunati linijski integral funkcije )s(F u tom podruju, i to tako da se pusti poluprenik kruga r da tei nuli, 0r .

Za ovako omeenu oblast vai:

=C C0

ds)s(Fds)s(F (6.29)

ako je smjer obilaska konture 0C suprotan smjeru obilaska konture C . To znai da je dovoljno odrediti izraz sa desne strane u relaciji (6.29). Razvojem funkcije )s(F u Laurentov red u okolini pola 0s se dobija:

( ) ( )[ ] ++++=0 0C C

202010 dsssassaads)s(F L

( ) dsssb

ss

b

0C2

0

2

0

1

+

+

+ L (6.30)

j

C

s

s3

s1

s

sk


199

a) b)

Slika 6.12. Odabiranje konture C za jednostruko (a) i viestruko povezanu oblast za izraunavanje linijskog integrala

Kada se pusti da 0r prvi e integral na desnoj strani teiti nuli, a za izraunavanje drugog integrala je neophodno prei na polarne koordinate, j0 ress = . Tako se dobija da su sabirci drugog integrala:

( ) ( ) === 0C2

0

2

01nj1nnjnn

jnn

0

n

er

djbder

jrebdsss

b pi pi

( ) 0e1nj

r

jb 2

0

1nj1n

n=

=

pi

, k,...,3,2n = , (6.31)

osim integrala:

===

0C

2

011

2

0jj

10

1 b2jdjbdre

jrebdsss

b pipi

pi (6.32)

Relacijom (6.31) je dokazana lema 6.2, a relacija (6.32) je dokazana lemom 6.1.

Vidi se da je od cijelog integriranog reda (6.30) preostao samo koeficijent koji se nalazi uz lan ( ) 10ss . Ovaj koeficijent se naziva rezidijum (ostatak) i oznaava sa [ ])s(FsRe , a na osnovu relacija (6.29), (6.31) i (6.32) slijedi da se izraunava kao:

[ ] =

===

0 0C Css

1 )s(FsReds)s(Fj21ds)s(Fj2

1bpipi

(6.33)

X

j

s

CP

r b a

C0

s

j

s

C

Ps

X X

Xs

sC2

C0

C1


200

Teorema 6.5 se moe pooptiti na 1b , 2b ,, kb rezidijuma kod jednostrukih polova 1s , 2s ,, ks , slika 6.11, tako da vrijedi:

+++=C C C C1 2 k

ds)s(Fds)s(Fds)s(Fds)s(F L (6.34)

odnosno:

[ ])s(FsRej2ds)s(FC

k

1i ss i

==

= pi (6.35)

Teorema 6.6. Cauchyjeva teorema o logaritamskim rezidijumima. Do sada je uopteno govoreno o funkciji )s(F . U SAU se primjenjuje teorija funkcija kompleksne promjenljive i kao funkcija )s(F se moe smatrati funkcija )s(G1 + . Ovo je nazivnik prenosne funkcije sistema u zatvorenom, odnosno karakteristini polinom sistema koji u direktnoj grani ima prenosnu funkciju )s(G i zatvoren je jedininom negativnom povratnom spregom. Podruje integracije se proiruje na cijelu desnu poluravan kompleksne ravni { }s , slika 6.7, te utvruje zavisnost broja polova i broja nula, ukljuujui i njihovu viestrukost, funkcije )s(F koji se nalaze u desnoj-nestabilnoj poluravni kompleksne ravni { }s , sa stabilnou sistema.

Neka funkcija )s(F ima nulu reda k u singularnoj taki 0ss = u desnoj poluravni kompleksne ravni { }s , koja je prikazana na slici 6.7. Tada se funkcija )s(F moe predstaviti kao:

( ) )s(Hss)s(F k0= (6.36)

gdje je )s(H neka analitika funkcija koja ne sadri niti nule niti polove u razmatranoj oblasti. U (6.36) k je bilo koji cijeli broj, pri emu je nk . Deriviranjem (6.36) se dobija:

)s(H)ss()s(H)ss(k)s(F k01k0 += (6.37)

Dijeljenjem relacije (6.37) relacijom (6.36) se dobija:

)s(H)s(H

ss

k)s(F)s(F

0

+

=

(6.38)

Na (6.38) se moe primijeniti Cauchyjeva teorema o rezidijumima 6.5, to daje:

kds)s(H)s(H

j21ds

ss

kj2

1ds)s(F)s(F

j21

CC 0C=

+

=

pipipi

(6.39)


201

Prema (6.32) prvi integral s desne strane je jednak rezidijumu k , a drugi integral s desne strane jednak je nuli jer je )s(H/)s(H analitika funkcija. Integral s lijeve strane se naziva logoritamski rezidium funkcije )s(F i on ima pol prvoga reda s rezidiumom k , to je red nule funkcije )s(F u desnoj-nestabilnoj poluravni kompleksne ravni { }s .

Ovo razmatranje se moe pooptiti i na polove fukcije )s(F koji se nalaze u desnoj poluravni kompleksne ravni { }s , pri emu e eksponent od ( )0ss u jednaini (6.36) biti negativan, pa e (6.38) poprimiti oblik:

)s(H)s(H

ss

k)s(F)s(F

0

+

=

(6.40)

gdje je 0ss = pol reda k koji se nalazi u desnoj poluravni kompleksne ravni { }s . Tako se, u sluaju da je k pozitivan cijeli broj ima nula funkcije )s(F reda k u 0ss = koja se nalazi u desnoj poluravni kompleksne ravni { }s , a logoritamski rezidium za tu nulu je k . Za negativnu vrijednost k pol od )s(F je 0ss = koji se nalazi u desnoj poluravni kompleksne ravni { }s i ima red k , a logoritamski rezidium za taj pol je k . Ovo se moe pooptiti na sloenu funkciju )s(F koja ima oblik:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) )s(Hpspsps

nsnsns)s(Fv21

u21

bv

b2

b1

au

a2

a1

=

L

L (6.41)

gdje su jn , u,...,2,1j = i maaa u =+++ L21 , nule, a ip , v,...,2,1i = i nbbb v =+++ L21 , polovi, a eksponenti u21 a,...,a,a i v21 b,...,b,b viestrukosti tih nula i

polova. I nule i polovi se nalaze u desnoj poluravni kompleksne ravni { }s . Deriviranjem )s(F iz relacije (6.41) i traenjem odnosa )s(F/)s(F se dobija:

+

++

+

++

+

=

v

v

2

2

1

1

u

u

2

2

1

1

psb

psb

psb

ns

a

ns

a

ns

a

)s(F)s(F

LL

)s(H)s(H

+ (6.42)

Uzimajui u obzir i ukupan broj nula N i ukupan broj polova P , pri emu se mora uzeti u obzir viestrukost svake nule i svakog pola, dobije se logoritamski rezidijum:

PNds)s(F)s(F

j21

C=

pi

(6.43)


202

Iz (6.43) se izvodi princip argumenata koji je osnova za ispitivanje stabilnosti sistema automatskog upravljanja kriterijima koji su zasnovani na preslikavanjima u kompleksnoj ravni.

6.3.1. Princip argumenata

U optem sluaju C je jednostavna zatvorena pravilna kontura, koja se sastoji od konanog broja glatkih krivih u kompleksnoj ravni { }s , slika 6.13a. Neka je )s(F jednoznana analitika funkcija kompleksnog argumenta s , svuda osim u konanom broju singularnih taaka. Neka dalje niti nule niti polovi funkcije )s(F ne lee na datoj konturi C . Funkcijom )s(F je definisano odreeno preslikavanje zatvorene konture C u kompleksnoj ravni { }s u zatvorenu konturu C u kompleksnoj ravni { })s(F , slika 6.13b.

Pri tome kontura C ne mora nuno biti jednostavna zatvorena kontura. Jedna ua klasa funkcija koja zadovoljava navedene uslove koji su nametnuti na funkciju )s(F , je klasa razlomljenih racionalnih funkcija, za koje je lahko provjeriti da e prilikom preslikavanja konture C u konturu C biti ouvan smjer kretanja po konturi. Obilaenjem konture C jednanput u smjeru kazaljke na satu, obilazi se i kontura C jedanput u istom smjeru, pri emu se ima neki prirataj argumenta kompleksnog vektora )s(F . Ako vrh vektora )s(F klie po konturi C u smjeru obilaenja, tada e u svojoj ravni napraviti Z punih obrtaja. Pri tome Z moe biti i negativno i pozitivno.

a) b)

Slika 6.13. Preslikavanje konture C iz {s} ravni (a) u konturu C` u {F(s)} ravni (b) kompleksnom funkcijom F(s)

R F(s)e

C

F(s)jI F(s)m

F(s)

,

j

C

s


203

Kompleksni broj )s(F se moe prikazati u polarnim koordinatama, tj. jeR)s(F = , pri emu je )s(FR = a )s(Farg= . Logaritmiranjem se dobija:

jRln)s(Fln += (6.44)

Derivacija ovog logoritma upravo daje razlomak )s(F/)s(F , tj.:

[ ] [ ]dsdj

dsRlnd

)s(F)s(F

ds)s(Flnd

+=

= (6.45)

Logoritamski rezidijum ovog izraza je:

[ ] [ ]+== C CC

Rlndj21ds)s(F

)s(Fj2

1dsds

)s(Flndj2

1pipipi

Zj2Z2j

j2jdj2

jC

===+ pi

pi

pi

pi

(6.46)

Prvi integral na desnoj strani relacije (6.46) jednak nuli jer je podintegralna funkcija jednoznana, pa se nakon obilaenja konture C vraa u istu taku. Drugi integral na desnoj strani (6.46) jednak je , to predstavlja promjenu argumenta funkcije )s(F kada s obie cijelu konturu C u kompleksnoj ravni { }s . Ako se sa Z oznai broj obilazaka konture C , koja je slika konture C , oko ishodita, tada se moe pisati da je:

pi

2

Z = (6.47)

To je istovremeno i broj kruenja vektora funcije )s(F oko ishodita u ravni { })s(F dok se izvri jedno obilaenje konture C u kompleksnoj ravni { }s . Kontura C je odabrana na slici 6.7 i obuhvata cijelu desnu-nestabilnu poluravan kompleksne ravni { }s , kompleksna funkcija je )s(G1)s(F += , pa je i ravan kompleksne funkcije zapravo { })s(G1+ ravan, pa je Z broj kruenja vektora funcije )s(F oko ishodita u svojoj ravni dok se izvri jedno obilaenje oko desne-nestabilne poluravni kompleksne ravni { }s .

Izdjednaavanjem relacija (6.46) i (6.43) se dobija:

PNZ = (6.48)

Ova relacija daje vezu izmeu broja kruenja vektora funcije )s(F oko ishodita u ravni { })s(F pri jednom obilaenje konture C u kompleksnoj ravni { }s i ukupnog broja nula N i polova P koje obuhvata kontura C, a koja obuhvata cijelu desnu-nestabilnu poluravan kompleksne ravni { }s , pri emu se moraju uzeti u obzir i veestrukosti tih nula i tih polova.


204

Na ovoj relaciji baziraju svi kriteriji za ispitivanje stabilnosti sistema automatskog upravljanja koji se zasnivaju na preslikavanjima u kompleksnoj ravni.

Primjer 6.5. Kao primjer se moe analizirati aperiodski blok prvog reda. Njegova prenosna funkcije je ( )1sT/K)s(G i += . Za ovaj sistem se zna da je stabilan, jer ima jedan korijen karakteristinog polinoma 0T/1s i1


205

6.3.2. Kriterij stabilnosti po Mihajlovu

Ovaj kriterij polazi od karakteristine jednaine sistema:

0asasasa)s(Q n1n1n1n0n =++++= L (6.50)

a kontura C se odabire kao na slici 6.15, a koja se sastoji od imaginarne ose i polukruga beskonanog poluprenika.

Slika 6.15. Odabiranje konture C za kriterij stabilnosti po Mihajlovu

Ova kontura obuhvata itavu lijevu poluravan kompleksne ravni { }s kompleksne promjenljive s . Zato, ako je posmatrani sistem stabilan, svi korjeni karakteristine jednaine, to su ujedno i sve nule polinoma )s(Qn , e biti unutar konture C . Prema osnovnoj Cauchyjevoj teoremi, za stabilne sisteme, pri jednom obilasku konture C u pozitivnom smjeru, tj. suprotno od kretanja kazaljke na satu, prirataj argumenta vektora

)s(Qn e biti:

pipi n2)PN(2)s(Qarg nC == (6.51)

jer je nN = a 0P = , pri emu je n stepen karakteristine jednaine. Poto je ukupni prirataj argumenta du neke konture ravan sumi prirataja argumenta po pojedinim dijelovima te konture, to se moe pisati da je:

)s(Qarg)s(Qarg)s(Qarg)s(Qarg nlnlnlnC 321 ++= (6.52)

R

s

j

13

2

l

l

l


206

Du polukruga 3l konture C je jRes = , gdje R , a 2/32/ pipi . Na ovome polukrugu mogu se zanemariti svi lanovi osim najstarijeg, tj. na polukrugu 3l karakteristini polinom )s(Qn se priblino ponaa kao:

( )+++== n

1nj1n1

jnn0lsnls aeRaeRa)s(Q)s(F 33 L

jnn0 eRa , 1R >> (6.53)

Kada s pree polukrug 3l u oznaenom smjeru ugao se promijeni za pi , pa je prema relaciji (6.53):

pi n)s(Qarg nl3 = (6.54)

Na osnovu (6.52) i (6.54) se moe pisati da je:

)s(Qarg)s(Qargn)s(Qarg nlnlnC 21 pi ++= (6.55)

to na osnovu relacija (6.51) i (6.55) prozilazi da za stabilni sistem mora biti:

pi n)s(Qarg)s(Qarg nlnl 21 =+ (6.56)

Budui da 1l i 2l predstavljaju dijelove imaginarne ose du koje je js = , , uslov (6.56) se moe izraziti u obliku:

pi

n)j(Qarg)j(Qarg n0

n0

=+


207

Za praktinu primjenu ovog kriterijuma potrebno je u izraz za )s(Qn uvrstiti js = . Tako se dobija:

( ) )(j)j(Qn += (6.60)

gdje su:

( ) L++==

66n

44n

22nnn aaaa)j(QRe

( ) )aaaa()j(QIm 67n45n23n1nn L++== (6.61)

pri emu i realna komponenta )( i imaginarna komponenta )( imaju konaan broj lanova, dok je ukupan broj lanova u obadvije komponente )1n( + ako su u (6.50) svi

0ai , i=0,1,2,,n.

Iz (6.61) se vidi da se za 0= dobija na)0( = i 0)0( = , to znai da vrh vektora )j(Qn polazi iz take ( )0j,an koja se nalazi na pozitivnom dijelu realne ose kompleksne

ravni { })j(Qn . Mijenjajui vrijednosti za od 0 do neke dovoljno velike vrijednosti, dobija se hodograf vektora Mihajlova koji polazi iz take ( )0j,an i kree se u pozitivnom smjeru. Za stabilan sistem, prema uslovu (6.59), hodograf mora proi najprije kroz prvi, zatim obavezno kroz drugi, potom kroz trei kvadrant, itd., i po tome redosljedu zavriti u n -tom kvadrantu kompleksne ravni { })j(Qn , gdje je n stepen karakteristine jednaine sistema. Drugim rjeima, hodograt mora naizmjenino presjecati najprije pozitivnu imaginarnu osu, zatim negativnu realnu osu, pa negativnu imaginarnu osu, pa pozitivnu realnu osu, i nastaviti presijecanja osa tim redosljedom u kompleksnoj ravni { })j(Qn , pri emu e presjecanje osa izvriti ukupno )1n( puta.

Na slici 6.16a su dati kvalitativni izgledi hodografa za stabilne sisteme 1., 2., 3., 4. i 5., reda. Slika 6.16b daje kvalitativni izgled hodografa za dva sistema od kojih je jedan nestabilan, a drugi na granici stabilnosti.

6.3.3. Nyquistov kriterij stabilnosti

Neka je )s(U/)s(X)s(Q/)s(P)s(G nm == prenosna funkcija sistema u otvorenom, slika 6.17a. Neka je ispitano ili unaprijed poznato da je ispitivani sistem u otvorenom, koji je opisan prenosnom funkcijom )s(G : stabilan, tj. da se svi korjeni karakteristine jednaine 0)s(Qn = nalaze u lijevoj-stabilnoj poluravni kompleksne ravni { }s ili nestabilan, tj. da karakteristina jednain ima korjena koji se nalaze u desnoj-nestabilnoj poluravni kompleksne ravni { }s . U praksi se dati sistem )s(G zatvara jedininom negativnom povratnom spregom, slika 6.17b, to se kod sistema upravljanja radi u cilju


208

poreenja ulaza ili zadane vrijednosti sa izlazom ili stanjem objekta upravljanja, na osnovu ega se utvruje da li je postignut cilj upravljanja i da li se upravljana veliina ili stanje objekta nalazi unutar tehnologijom dozvoljenih granica. Prenosna funkcija zatvorenog sistema je:

))s(G1/()s(G)s(W += (6.62)

a) b)

Slika 6.16. Izgledi hodografa Mihajlova za stabilne (a) i sisteme koji su nestabilni ili se nalaze na granici stabilnosti (b)

a) b)

Slika 6.17. Sistem u otvorenom (a) i zatvoren jedininom negativnom povratnom spregom

Iz (6.62) se vidi da je karakteristina jednaina sistema u zatvorenom:

0)s(G1)s(H =+= (6.63)

odnosno:

)s(Q)s(Q)s(P)s(H

n

nm += (6.64)

_

G(s)X(s)U(s)

W(s)+U(s) X(s)G(s)

Documents

Stabilnost A