STABILNOST SISTEMA

• Najvaznija osobina sistema automatskogupravljanja je stabilnost. Generalni zahtev kojise postavlja pred projektanta jeste daprojektovani i realizovani sistem automatskogupravljanja bude stabilan. To je osnovnipreduslov prakticne primene.

• Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog u drugo ravnotežne stanje usled dejstva poremećaja ili promene ulazne veličine zavisi od dinamičkih karakteristika samog sistema a takođe i od oblika poremećaja

• Za normalno funkcionisanje sistema veoma je bitno da on bude neosetljiv na slučajne poremećaje i smetnje koji u toku rada na njega deluju, tj. da bude stabilan.

• Sistem je stabilan ukoliko se posle prestanka poremećajnog dejstva i završetka prelaznog procesa ponovo vrati u prvobitno i zauzme novo ravnotežne stanje.

• Ukoliko se sistem ne vrati u ravnotežno stanje iz kojeg je izveden, nego se od njega neprekidno udaljava mono­tono ili oscilatorno sa stalno rastućim amplitudama, onda je to nestabilan sistem

Ta tri stanja mogu se pregledno prikazati na primeiu pomeranja kuglice po površinama različitog profila usled kratkotrajnog spoljnjeg dejstva

na njih slika

Položaj kuglice 1 na površini 2: a— stabilan, b — nestabilan, c — neutralan

Od čega zavisi stabilnost (ili nestabilnost) sistema najbolje se može objasniti pomoću opšte diferencijalne jednačine linearnog sistema

auto­matskog upravljanja koja ima oblik:

Prelazni proces y(t) zavisi od vrednosti koeficijenata A i B, od počet­nih vrednosti promenljive y i njenih n—1 izvoda, i od oblika funkcije x(i) i njenih m—1 izvoda

Opšte rešenje jednačine dobija se u vidu zbira homogenog Yh(t) partikulamog yp (t) rešenja, što se može napisati:

Homogeno rešenje predstavlja slobodno kretanje sistema koje je određeno početnim uslovima i osobinama samog sistema, dok partikularno rešenje predstavlja prinudno kretanje koje je određeno poremečajnim dejstvom i karakteristikama sistema

Za stabilan rad sistema potrebno je da se prelazni proces (u toku kojeg sistem prelazi iz jednog zadatog ravnotežnog stanja u drugo) sa vremenom prigušuje

, tj. da homogeno rešenje sa vremenom teži ka nuli što se

analitički može izraziti uslovom

Rešenje diferencijalne jednačine dobija se polazeći od pretpostavke da će u rešenju sigurno biti član oblika

Diferenciranjem izraza n puta i unošenjem odgovarajućih izvoda u jednačinu., posle skraćenja člana Ce'1 dobija se karakteristična

jeđvačirta oblika:

Kada je poznato svih n korenova karakteristične jednačine onda se njeno rešenje može napisati:

gde su C1,.. - C„ — integracione konstante koje se određuju iz početnih uslova i parametara sistema.

Koreni karakteristične jednačine mogu biti realni ili kompleksni, i u opštem slučaju mogu se napisati u obliku

Iz definicije stabilnosti sistema proizilazi zaključak da će sistem čija karakteristična jednačina ima oblik biti stabilan samo u tom slučaju ako svi realni koreni i svi realni dolovi kompleksnih korenova karakteristične jednačine imaju negativne vrednosti.

Impulsni odziv sistema u zavisnosti od prirode resenja

karakteristicne jednacine.

• Na slici su prikazani vremenski dijagrami impulsnog odziva sistemaautomatskog upravljanja za pojedine slucajeve korenakarakteristicne jednacine.

• Impulsni odziv (slika a) odgovara negativnim realnim korenima, dokje na slici b impulsni odziv sistema sa parom konjugovanokompleksnih korena i negativnim realnim delom.

• Impulsni odziv na slici c odgovara sistemu koji osim negativnihrealnih korena ima i jedan koren jednak nuli

• na slici d je prikazan impulsni odziv sa parom cisto imaginarnihkorena.

• U oba slucaja (c i d) sistem je na granici stabilnosti.• Na slici e je prelazni proces u sistemu sa realnim pozitivnim

korenima, • na slici f je slobodan prelazni proces u sistemu sa parom

konjugovano kompleksnih korena sa pozitivnim realnim delom.• U ova dva slucaja sistem je nestabilan.

• Prema tome, ispitivanje stabilnosti linearnih SAU svodi se na matematicki utvrdjivanje znaka realnog dela korena karakteristicne jednacine, a geometrijski na odredjivanje polozaja korena karakteristicne jednacine u kompleksnoj ravni u odnosu na imaginarnu osu.

Stabilnost sistema na osnovu korena karakteristične jednačine

• Na osnovu prethodno navedenog zaključuje se da će sistembiti stabilan ako poseduje sve polove u levoj poluravnikompleksne s-ravni.

• Ako poseduje bar jedan pol u koordinatnom početku i/ili parpolova na imaginarnoj osi, dok se svi ostali polovi nalaze ulevoj poluravno kompleksne s-ravni sistem je graničnostabilan.

• Ako sistem poseduje bar jedan pol (ili par konjugovanokompleksnih polova) u desnoj poluravni kompleksne s-ravni,bez obzira na broj polova u levoj poluravni, koordinatnompočetku ili imaginarnoj osi, sistem je nestabilan.

• Ispitati stabilnost i odrediti odskočni odzivsistema čija je funkcija prenosa

• Pošto je pol sistema sa negativnim realnim delom, sistem je stabilan. Odskočni odziv je ,

odnosno u MATLAB-u step (1, [1 1])

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

• Posto je pol sistema sa pozitivnim realnimdelom, sistem je nestabilan. Odskočniodziv je

odnosno u MATLAB-u

step (1, [1 -1])

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

6 Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

• Za isitivanje stabilnosti potrebno je odrediti polove sistema:

•>> Q=[1 4 5];•>> roots(Q)

•ans =

• -2.0000 + 1.0000i• -2.0000 - 1.0000i

Posto su polovi sistema sa negativnim realnimdelom, sistem je stabilan. Odskocni odzivje:

odnosno u MATLAB-u

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

>> step (1,[1 4 5])>> grid on

• Posto su polovi sistema sa pozitivnim realnimdelom, sistem je nestabilan. Odskocni odziv je:

>> Q=[1 -2 10];>> roots(Q)

ans =

1.0000 + 3.0000i1.0000 - 3.0000i

>> syms s t;>> G=1/(s^3-2*s^2+10*s);>> k=ilaplace(G)

k =

1/10 - (exp(t)*(cos(3*t) - sin(3*t)/3))/10

0 5 10 15-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

5 Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

>> step(1,[1 -2 10]); grid on

>> Q=[1 0 4];roots(Q)

ans =

0 + 2.0000i0 - 2.0000i

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Step Response

Time (sec)Am

plitu

de

Posto su polovi sistema sa realnimdelom koji je jednak 0, sistem je graničnostabilan. Odskočni odziv je:

step(1,[1 0 4]);grid on

KRITERIJUMI STABILNOSTI

Za istrazivanje stabilnosti vazno je da li se vrednosti korena karakteristicne jednacine tacke nalaze na levoj ili desnoj strani poluprave s-ravni.

Za analizu stabilnosti sistema automatskog upravljanja kriterijumi mogu biti:

• algebarski (numericki) • graficki (grafoanaliticki)Algebarski kriterijumi primjenljivi su i za kvalificiranje stabilnosti

opstih linearnih sistema, ne samo sistema automatskog upravljanja.

ALGEBARSKI KRITERIJUM STABILNOSTI

Algebarski kriterijum stabilnosti polaze od karakteristicne jednacineanaliziranog sistema upravljanja

• Hurwitz-ov kriterijum stabilnostiOvaj kriterijum polazi od karakteristicne jednacine sistema

zatvorenog regulacionog kruga:

• Potreban i dovoljan uslov da svi korenikarakteristicne jednacine imaju negativnerealne delove, odnosno da je sistem apsolutnostabilan, jeste da svi koeficijentikarakteristicne jednacine budu veci od nule ida sve Hurwitzove determinante budu vece odnule.

• Prednosti ovog kriterijuma su te da nije potrebno poznavati resenje diferencijalne jednacine da bi se ustanovila apsolutna stabilnost, vec samo koeficijente karakteristicne jednacine.

• Nedostaci koje ovaj kriterijum ima su da mora biti poznata diferencijalna jednacina, ne moze da se odredi uticaj pojedinih elemenata na stabilnost sistema, odredjuje se samo apsolutna stabilnost, nema informacija o relativnoj stabilnosti.

• Hurwitzov kriterijum stabilnosti ekvivalentan je Routhovom kriterijumu stabilnosti.

GRAFO-ANALITIČKI KRITERIJUMI STABILNOSTI

Nyquistov kriterijum stabilnosti

To je grafoanalitički kriterijum pomoću kojeg se zaključuje na apsolutnui relativnu stabilnost zatvorenih regulacijskih sistema na temeljuamplitudno-fazne frekvencijske karakteristike prenosne funkcijeotvorenog regulacijskog kruga. Zasniva se na analizi frekventnogodziva.

BODEOV KRITERIJUM STABILNOSTI• Najkvistov kriterijum pored dobrih strana ima i

nedostatke.• Jedna njegova mana ogleda se u teškoćama oko

konstrukcije Najkvistove krive za za složenije sisteme.• Drugi, vrlo važan nedestatak Najkvistovog kriterijuma

je da se teško može odrediti uticaj promene pojedinih parametara na stabilnost sistema

• Da bi otklonio pomenute nedostatke Najkvistovog kriterijuma i uprostio postupak projektovanja stabilnih sistema, Bode (N.W. Bode SAD) je interpretirao Najkvistov kriterijum u logaritamskom obliku

BODEOV KRITERIJUM STABILNOSTI

Najkvistova kriva (levo), Bodeov dijagram za jedan stabilan SAU (desno)

• Pravilo za utvrđivanje stabilnosti sistema poBodeovom kriteriju:Sistem sa zatvorenom povratnom vezomopisan prenosnom funkcijom biće stabilanako amplitudni Bodeov dijagram prenosnefunkcije otvorene petlje Wo(s) sečefrekvencijsku osu pre nego fazni Bodeovdijagram seče pravac –180o

• Najkvistova kriva (levo), Bodeov dijagram za jedan nestabilan SAU (desno)

• Pravilo za utvrđivanje stabilnosti sistema poBodeovom kriteriju:Sistem sa zatvorenom povratnom vezomopisan prenosnom funkcijom biće nestabilanako amplitudni Bodeov dijagram prenosnefunkcije otvorene petlje Wo(s) sečefrekvencijsku osu kasnije nego fazni Bodeovdijagram seče pravac –180o

UTVRĐIVANJE STABILNOSTI SISTEMA PO BODEOVOM KRITERIJUMU

• Stabilnost sistema sa zatvorenom povratnomvezom, opisanog prenosnom funkcijom , određuje se na temelju amplitudne i fazneBodeove karakteristike nacrtane za prenosnufunkciju otvorene petlje, Wo(s).

• Određivanje AP i FP na temeljuBodeovih dijagrama:

• Frekvencija kritične amplitude, 1: frekvencija pri kojoj amplitudni Bodeovdijagram prenosne funkcije otvorene petljeseče frekvencijsku osu.

• Frekvencija kritične faze, : frekvencija prikojoj fazni Bodeov dijagram prenosne funkcijeotvorene petlje seče pravac od -180o.

1: <

• Amplitudno osiguranje, AP(dB):• Može se odrediti na osnovu Bodeovog amplitudnog

dijagrama prenosne funkcije otvorene petlje. AP seodređuje kao udaljenost od amplitudnog dijagrama dofrekvencijske ose, pri frekvenciji kritične faze.

•• •Fazno osiguranje, FP(o):• Može se odrediti na osnovu Bodeovog faznog

dijagrama prenosne funkcije otvorene petlje. FP seodređuje kao udaljenost od pravca –180o do faznogdijagrama, pri frekvenciji kritične amplitude.

i ispitati stabilnost sistema

• Konstruisati Bodeove dijagrame amplitude ifaze sistema čija je funkcija povratnog prenosa

sys1=zpk(-2,[0 -0.5 -4],10);bode(sys1)hold ongrid on

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

>> margin(sys1)

-100

-50

0

50

100M

agni

tude

(dB)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 30.3 deg (at 2.6 rad/sec)

Frequency (rad/sec)