STAT0_normal 1

連續隨機變數 連續變數：時間、分數、重量、…… 討論連續隨機變數的機率時，所討論的機率是某一段

區間或某一塊區域的機率，如： P(a<X<a) 而不是某一點的機率，因為 P(X=a) = 0 依據什麼來求機率值？ 資料的分布以直方圖表示

STAT0_normal 2

Frequency Table for trout length

組界midpoin

tFrequen

cy

Relative Frequen

cy

Cumulative

frequency r.c.f.

below 17.55

16.95 3 0.050 3 0.050

17.55 - 18.75

18.15 8 0.133 11 0.183

18.75 - 19.95

19.35 23 0.383 34 0.567

19.95 - 21.15

20.55 17 0.283 51 0.850

21.15 - 22.35

21.75 6 0.100 57 0.950

22.35 - 23.55

22.95 3 0.050 60 1.000

STAT0_normal 3

9.1 連續分配

曲線的高度代表相對發生機會 (density)

連續曲線下方介於 a 與 b 之間的面積，即是其可能值出現在 a 與 b 之間的機率。

曲線下全面積 = 1

直方圖 → 連續曲線 → 機率密度函數 (probability density function)

P (a<X<b)

→

STAT0_normal 4

9.2 常態分布 常態曲線的數學方程式為

xexfx

- ,)(2

21 )(

21

• 常態分布 pdf 的圖形是一個鐘型曲線，中心點為 μ ，左右對稱

STAT0_normal 5

常態分布由兩個參數決定 μ ：平均數， σ ：標準差，記作 N(μ, σ2 )

不論參數如何變，形狀都是鐘形，中心點是 μ ， σ 是寬度的代表值

μ 不同σ 相同

μ 相同σ 不同

μ 不同σ 不同

STAT0_normal 6

常態分布之機率密度函數

μ= 0 ， σ= 1 時，稱為標準常態分布，此變數通常記作 Z

如何求機率值？

N(μ, σ2 ) 之 pdf

STAT0_normal 7

標準常態分布表

附表 I ：標準常態分配曲線下方， z ＝ 0 與其他 z 值之間的面積 ( 機率值 )

P(0<Z<z)

STAT0_normal 8

P(0<Z<0.53) = ?

小數第二位標準常態機率值表， P(0<Z<z) (z-table)

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.00.000

0 0.004

0 0.008

0 0.012

0 0.016

0 0.019

9 0.023

9 0.027

9 0.031

9 0.035

9

0.10.039

8 0.043

8 0.047

8 0.051

7 0.055

7 0.059

6 0.063

6 0.067

5 0.071

4 0.075

3

0.20.079

3 0.083

2 0.087

1 0.091

0 0.094

8 0.098

7 0.102

6 0.106

4 0.110

3 0.114

1

0.30.117

9 0.121

7 0.125

5 0.129

3 0.133

1 0.136

8 0.140

6 0.144

3 0.148

0 0.151

7

0.40.155

4 0.159

1 0.162

8 0.166

4 0.170

0 0.173

6 0.177

2 0.180

8 0.184

4 0.187

9

0.50.191

5 0.195

0 0.198

5 0.201

9 0.205

4 0.208

8 0.212

3 0.215

7 0.219

0 0.222

4

0.60.225

7 0.229

1 0.232

4 0.235

7 0.238

9 0.242

2 0.245

4 0.248

6 0.251

7 0.254

9

0.70.258

0 0.261

1 0.264

2 0.267

3 0.270

4 0.273

4 0.276

4 0.279

4 0.282

3 0.285

2

0.80.288

1 0.291

0 0.293

9 0.296

7 0.299

5 0.302

3 0.305

1 0.307

8 0.310

6 0.313

3

STAT0_normal 9

求標準常態的機率

P(0<Z<0.53) = 0 到 0.53 間的面積利用對稱性求：• P(-0.25<Z<0)• P(-0.25<Z<0.53)• P(Z>0.53)• P(|Z|<0.53)• P(|Z|>0.53)

STAT0_normal 10

介於 -1.20 與 0 之間的面積 ＝ 介於 1.20 與 0 之間的面積查附表 I ，面積 ＝ 0.3849 。

例 9.3 求介於 -1.2 與 0 之間的面積

STAT0_normal 11

範例 9.4 ：請找出下列標準常態分配的機率(a) P(Z< 0.94) ； (b) P(Z > -0.65) ； (c) P(Z >1.76) ； (d) P(Z< -0.85) ；

(e) P( -0.87<Z<1.28) ； (e) P( -0.34 <Z< 0.62) 。

STAT0_normal 12

常態分布特性

P(|Z|<1) = ？P(|Z|<2) = ？P(|Z|<3) = ？

STAT0_normal 13

常態變數與 Z 的關係

若 X ~ N (μ, σ2 ), 則 (X-μ) / σ = Z X-μ ：資料減 µ ，則中心點為 0 (X-μ) / σ ：資料除以 σ ，則單位長度為 1

ZX X

Z

STAT0_normal 14

變數標準化 標準化：

X

Z

STAT0_normal 15

求任一常態變數的機率

若 X 遵循一常態分布， μ= 5 ， σ = 2 ，求：• P(5<X<8)• P(7<X)• P(X>3)• P(3<X<9)• P(|X-5|<3)• P(|X-5|>1)

STAT0_normal 16

將 x ＝ 12 與 x ＝ 15 轉換成標準單位，得到 P(12<X<15) = P(0.4 < Z < 1) = 0.3413 － 0.1554 ＝ 0.1859 ( 查附表 I ，得到 0.1554 與 0.3413)

STAT0_normal 17

由機率求得對應的資料 (percentile)

(a) P(Z>a) = 0.2, 問 a= ？(b) 求 Z 之 80 percentile(c) P(Z <b) = 0.7 ，問 b= ？(d) P(|Z|<c) = 0.95 ，問 c= ？(e) P(|Z|>d) =0.10 ，問 d= ？

範例 9.6 ：定義 zα 為其右側面積為 α 之 z 值，求

(a) z.01 ， (b) z.05

STAT0_normal 18

(a) z 0.01 表示附表 I 的數值為 0.5 － 0.01 ＝ 0.49 ，

0.4901 對應的 z 值為 2.33 ，所以 z0.01 ＝ 2.33 。   z0.05 表示附表 I 當中的數值為 0.4500 ，

最接近的數值，有 0.4495 與 0.4505 ， 對應的 z 值分別為 1.64 與 1.65 ，所以 z0.05 ＝ 1.645 。

STAT0_normal 19

求機率對應的 x 值

若 X 遵循一常態分布， μ= 5 ， σ = 2 ，• P(X>x)=0.05 ， x=?• P(x<X)=0.75, x=?• P(X<x) = 0.2, x=?• P(|X-5|<x)=0.9, x=?• P(|X-5|>x)=0.95, x=?

STAT0_normal 20

9.4 常態分配的應用

STAT0_normal 21

(a) x = 5 ， z ＝ 1.10 ，其對應值（機率）為 0.3643 ， 超過 5 的機率 = 0.5000 － 0.3643 ＝ 0.1357 ，或大

約 0.14 。  

(b) x = 3 與 4 ， z ＝ 2.29 與 z ＝ 0.59 ，對應機率為 0.

4890 與 0.2224 ， 介於 3 與 4 的機率為 0.4890 － 0.2224 ＝ 0.2666 ，

或大約 0.27 。

STAT0_normal 22

σ= 0.04 、 x ＝ 6.00 ，面積 = 2%

最接近的數值是 0.4798

對應的 z 值為 2.05

解方程式，得 μ= 6.00 + 2.05(0.04) = 6.082