Statik og bygningskonstruktion - wind.civil.aau.dk · • Slå op i profil tabel/teknisk ståbi Normalspændinger i plan bjælke

11/3/2002

1

November 3, 2002 P.H. Kirkegaard Slide 1/58

Statik og bygningskonstruktionProgram lektion 9

8.30-9.15 Tøjninger og spændinger

9.15–9.30 Pause

9.30–10.15 Spændinger i plan bjælkeDeformationer i plan bjælke

10.15–10.45 Pause

10.45–12.00 Opgaveregning

KursusholderPoul Henning Kirkegaard, institut 5, Aalborg Universitet


Introduktion

Giver en introduktion til Styrkelære med henblik på at lave simple design beregninger.

Introduktion til Mekanik og Styrkelære 1 på 5. semester, hvor matematiske modeller opstilles for spændinger og deformation i stænger og bjælker og emnet Styrkelære behandles i detaljer.


Tøjninger og spændinger

Spændinger (σ) – mål for indre last i konstruktionselement

Tøjning (ε) - mål for indre derformation i

konstruktionselement

11/3/2002

2


Spændingskomponeter

F1

∆F

σy

σx

σz

τyxτxy

τxz

τzx τzyτyz

SI enheder: Pa (Pascal) =N/mm2

σz’

σx’σy’

Forskydningsspændinger

Normalspændinger


Spændingskomponeter

En positiv værdi for σ indikerer en træk spænding. Dvs. spændingen udfører et træk på arealet, hvor den virker.

En negativ værdi for σ indikerer en tryk spænding. Dvs. spændingen udfører et tryk på arealet,hvor den virker.


Aksial last på stang

A

PdAdFF

A

z === ∫ ∫∑ σσ ;;0

P

P

Pσ =P/Α

L

L+δ

Normalspændinger

zx

y

11/3/2002

3


Normalspændinger

( )

b

2 2 2 6 2o i

3

6

A d d 6362mm 6362 10 m4F 150 10

23.6 MPaA 6362 10

−

−

π= − = = ×

×σ = = =×

Spændninger i rør


Normalspændinger

0.4m 0.4m

1.5kN

10kN/m

10mm

30mm

8kN

1.5kNR

kNR

RFx

5.6

085.1;0

=

=+−−=∑

MPaA

N

N

7.21)03.0(01.0

5.6

5.6

maxmax

max

===

=

σ


ForskydningsspændingerP

P

P

Forskydningsspændinger

V

A

Vave =τ

• Dobbelt forskydning

P P

PP/2

P/2

• Enkel forskydning

PP

PP

P P

VV

11/3/2002

4


Nødvendigt areal ved design

P P

V=PP allow

PA

τ=

design

allow

PA

σ=

design


Normaltøjninger


Normaltøjninger

11/3/2002

5


Forskydningstøjninger


Tøjningskomponeterz

x

y ∆z∆x

∆y

− xyγπ

2

− xyγπ

2

( ) xx ∆+ ε1( ) yy ∆+ ε1

( ) yy ∆+ ε1

Udeformeret Deformeret

• Normaltøjninger ændrer volumet af elementet • Forskydningstøjninger ændrer formen af elementet

∆z

− yzγπ

2


Normaltøjninger

Normaltøjning i wire CB når θ = 0.002 rad. Lsin(θ)≈Lθ

11/3/2002

6


Normaltøjninger

Normaltøjningen langs kanten AB


ForskydningstøjningerForskydningstøjningen relativ til x-y akserne


ArbejdskurverMaterialers arbejskurver (σ-ε diagram) bestemmes i en trækprøvemaskine

Prøveelement

11/3/2002

7


Elastisk Plastisk Brud

ArbejdskurverP

P

Prøveelement


Arbejdskurver

= Elasticitetsmodulpl

plEεσ

=

StålAluminum

σ

ε

εσ E=σpl

σy

Hooke’s lov:Flydespænding:

Proportionalitet-spænding:

Elastisk Plastisk


• Poisson’s fohold

Poisson’s forhold

long

lat

εεν −=

• Typisk imellem 0.25 og 0.3 ( )5.00 ≤≤ υ

Træk Tryk

Lateral retning

Longitudinal retning

Longitudinal forlængelse → lateral sammentrækning (og omvendt)

11/3/2002

8


Normalspændinger i plan bjælke

Før deformation Efter deformation

Vandret linier krummer

Plane tværsnit forbliver plane


Spændinger er proportionale til tøjninger (σ=Eε) pga. lineær elastisk materiale (Bernoulli-bjælke)

Sammenpresning (ε<0)

Forlængelse (ε>0)

Ingen tøjning (ε=0)




Spændinger på tværsnit for positivt moment M

11/3/2002

9




Normalspændinger i plan bjælkeFormel for bøjningsspændninger


Normalspændinger og tøjninger

spændninger tøjninger

neutral akse

11/3/2002

10


For rektangulært tværsnitd

b

I = bd312

mm4

InertimomentInertimoment I er en tværsnitskonstant, som angiver et tværsnits stivhed.

∫=A

dAyI 2


W=bd2

6

b

d

mm3

Modstandsmoment

Modstandsmoment W er en tværsnitskonstant, som angiver et tværsnits stivhed.

For rektangulært tværsnit


Et 250 x 50mm tværsnit i en plan bjælke er påvirket af det maksimale moment på 4kNm

Modstandsmoment W = bd2 / 6

Spændning i tværsnit σ = M / W

50

250

Tilladelig spænding σt = 8MPa

= 4 / 0.52 x 10-3

= 50 x 2502 / 6

= 0.52 x 106 mm3 = 0.52 x 10-3m3

= 7.69 MPa

σ < σt → ΟΚ!


11/3/2002

11


Det maksimale moment M for et tværsnit antages kendt. Bestem nødvendigt modstandsmoment Wn

b?

d?

• Vælg b og d således at W >= Wnødn

• Slå op i profil tabel/teknisk ståbi


Tilladelig spænding σt (findes i Norm)

Nødvendig modstandsmoment Wnødn=M/σt


Teknisk Ståbi



Bestem de maksimale normalspændinger i den simpel understøttede bjælke

11/3/2002

12







P

e

I

Pey

A

Px +=σ

+ = eller

Bjælke med aksial last P

Naviers formel:

11/3/2002

13


Forskydningsspændinger i plan bjælkeLineær elastisk bjælke med plane tværsnit

Uden sammenlimning Med sammenlimning


Forskydningsspændinger i plan bjælkeLineær elastisk bjælke med ikke plane tværsnit !!!!!

Før deformation Efter deformation


Forskydningsspændinger i plan bjælkeFordeling af forskydningsspændinger

11/3/2002

14


Forskydningsspændinger i plan bjælkeForskydningsspændinger i rektangulært tværsnit


Forskydningsspændinger i plan bjælke


Forskydningsspændinger i plan bjælkeForskydningsspændinger i I-tværsnit

11/3/2002

15



Bestem forskydningsspændinger i pkt P for den simpel understøttede bjælke



Forskydningskræfter i den simpel understøttede bjælke



Forskydningsspændinger i pkt P

11/3/2002

16



Bestem forskydningsspændingerne i I-tværsnittet for den simpel understøttede bjælke


Forskydningsspændinger i plan bjælkeForskydningskræfter i den simpel understøttede bjælke



11/3/2002

17


Design af plan bjælkeEn simpel understøttede bjælke er lavet af et materiale med en tilladelig bøjningsspænding σt = 150 MPa og en tilladelig forskydningsspændning τt = 100 MPa. Bestem det nødvendige modstandsmomentet Wnødn.


Design af plan bjælke


Design af plan bjælkeValgt tværsnit med W > Wnødn.

11/3/2002

18


Design af plan bjælkeKontrol af forskydningsspændinger τt > τmax


Design af plan bjælkeKontrol af en kombination af normalspændinger og forskydningsspændinger bør også foretages, se dagens opgave.


Design af plan bjælkeEn bjælke har en jævn fordel last på 12kN/m. Hvis bjælken skal have et højde-til-bredde forhold på 1.5, ønskes den smalest bredde bestemt, når σt = 9 MPa og τt = 0.6 MPa. Egenvægt ses der bort fra.

11/3/2002

19


Design af plan bjælke


Design af plan bjælkeKontrol af normalspændinger σt > σmax


x

w

w

wL/2 wL/2

wL/2M

V

21

43

1

32

2

2

2

2

2412

64

22

022

;0

CxCwx

xwL

EIv

Cwx

xwL

dx

dvEI

wxx

wL

dx

dvEIM

Mwx

xwL

M

++−=

+−=

−==

=−−=∑

L

Deformationer i plan bjælke

11/3/2002

20


24;0

2412

1;0)(

0;0)0(3

11

44

2

wLCLC

wLwL

EIvLxv

Cxv

−==

+−===

===Randbetingelser:

( ) ( )

EI

wLL

LL

EI

wLLxv

LLxxEI

wxxv

384

5

28482

224

43

33

max

323

−=

−+−=

=

−+−=



24;0

2412

1;0)(

0;0)0(3

11

44

2

wLCLC

wLwL

EIvLxv

Cxv

−==

+−===

===Randbetingelser:

( ) ( )

EI

wLL

LL

EI

wLLxv

LLxxEI

wxxv

384

5

28482

224

43

33

max

323

−=

−+−=

=

−+−=




P

w

M

EI

PL

2

2

max

−=θ

EI

wL

6

3

max

−=θ

EI

ML2

max =θ

EI

PLv

3

3

max

−=

EI

wLv

8

4

max

−=

EI

MLv

2

2

max =

( )xLEI

Pxv −−= 3

6

2

( )222

6424

LLxxEI

wxv +−−=

EI

Mxv

2

2

=

11/3/2002

21



P

w

M

EI

PL

16

2

max

−=θ

EI

wL

24

3

max

−=θ

EI

MLEI

ML

B

A

6

3

=

−=

θ

θ

EI

PLv

48

3

max

−=

EI

wLv

3845 4

max

−=

EI

MLv

243

2

max

−=

( )22 4348

xLEI

Pxv −−=

( )223 2224

LLxxEI

wxv +−−=

( )22 236

LLxxEIL

Mxv +−−=


Deformationer i plan bjælkeP

w For lineær elastiske konstruktionergælder superposition

w

P

( ) 2/04348

22 LxxLEI

Pxv ≤≤−−=

( )323 224

LLxxEI

wxv +−−=

( ) ( )

EI

wL

EI

PLLxv

LLxxEI

wxxL

EI

Pxv

384

5

48)

2(

224

4348

43

32322

−−==

+−−+−−=


Opgave 1

Se udleverede note

Documents

Statik og bygningskonstruktion - wind.civil.aau.dk · • Slå op i profil tabel/teknisk ståbi Normalspændinger i plan bjælke