1

Statistics: اإلحصاء علم

طرق جمع البيانات و تبويبها و تلخيصها بشكل يمكن االستفادة دراسة هو العلم الذي يهتم ب

منها في وصف البيانات وتحليلها للوصول الى قرارت سليمة في ظل ظروف عدم التاكد .

وظائف علم االحصاء :

:اوال: وصف البيانات

البيانات وتبويبها وتلخيصها من اهم وظائف علم االحصاء ، اذ اليمكن تعتبر طريقة جمع

شكل جدولي او بياني من ناحية ىاالستفادة من البيانات الخام اال اذا تم جمع البيانات وعرضها عل

.، وحساب بعض المؤشرات االحصائية البسيطة التي تدلنا على طبيعة البيانات من ناحية اخرى

:االستداللي االحصاءثانيا :

يستند االستدالل االحصائي على فكرة اختيار جزء من المجتمع يسمى عينة بطريقة علمية

مناسبة . لغرض استخدام بيانات هذه العينة في التوصل الى نتائج يمكن تعميمها على مجتمع

ـ ــباالستداللي االحصاءالدراسة . يهتم

ؤشرات المجتمع ) معالم المجتمع ( المحسوبة من ويتم فيه حساب م: Estimateالتقدير -1

حتمال معين .ابيانات العينة في تقدير المدى الذي يقع داخله ) معلمة من معالم المجتمع ( ب

وفيه يستخدم بيانات العينة للوصول الى قرار Tests Hypothesesاختبار الفروض : -2

.علمي سليم بخصوص الفرضيات المحددة حول معالم المجتمع

: ثالثا : التنبؤ

والتي تدلنا على سلوك الظاهرة في الماضي في وفيه يتم استخدام نتائج االستدالل االحصائي ،

معرفة ما يمكن ان يحدث لها في الحاضر والمستقبل . وهناك العديد من االساليب االحصائية

المعروفة التي تستخدم في التنبؤ.

انواع البيانات:

غير رقمية او بيانات رقمية مرتبة في شكل مستويات او : وهي بيانات صفيةالبيانات الو -1

في شكل فئات رقمية . تقاس البيانات الوصفية بمعيارين :

وهي بيانات غير رقمية تتكون من بيانات وصفية مقاسة بمعيار اسمي : -أ

مجموعات متنافية ، كل مجموعة لها خصائص تميزها عن المجموعة االخرى

، ومن االمثلة على ذلك :عة ال يمكن المفاضلة بينها ذه المجموان هكما

الحالة االجتماعية : متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار اسمي ) متزوج ـ

اعزب ـ ارمل ـ مطلق (.

: متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار اسمي ) برحي ـ اصناف التمور

شكر ـ ....( .

يار اسمي ) ذكر ـ انثى ( .الجنس : متغير وصفي تقاس بياناته بمع

2

الجنسية : متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار اسمي )عراقي ـ مصري ـ

. )........

: وتتكون من مستويات او فئات يمكن انات وصفية مقاسة بمعيار ترتيبيبي -ب

ترتيبها تصاعديا او تنازليا ومن االمثلة على ذلك :

عيار ترتيبي )ضعيف ـ تقدير الطالب : متغير وصفي تقاس بياناته بم

مقبول ـ متوسط ـ جيد ـ جيد جدا ـ امتياز ( .

امي ـ المستوى التعليمي : متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار ترتيبي (

(.وية ـ جامعية ـ اعلى من الجامعيةيقرأ ويكتب ـ ابتدائية ـ متوسطة ـ ثان

لقيمة الفعلية للظاهرة ، وتنقسم هي بيانات يعبر عنها بارقام عددية تمثل ا البيانات الكمية : -2

الى قسمين هما :

لصفر اي ان للصفر :وهي بيانات رقمية تقاس بمقدار بعدها عن ا بيانات فترة -أ

الظاهرة مثل : داللة على وجود

درجة الحرارة : متغير كمي تقاس بياناته بمعيار بعدي ، حيث ان

ولكنه يدل على ليس معناه انعدام الظاهرة ، ي(مئوال 0درجة الحرارة )

وجود الظاهرة .

ر كمي تقاس بياناته بمعيار بعدي ، درجة الطالب في االمتحان : متغي

( اليعني انعدام مستوى الطالب .0حيث حصول الطالب على الدرجة )

( على عدم وجود الظاهرة ومن 0: وهي متغيرات كمية ، تدل قيمة ) بيانات نسبية -ب

ذلك : االمثلة على

بالطن / هكتار .ض الزراعية: الراانتاجية

. المساحة المستزرعة باالعالف بالدونم

. كمية االلبان التي تنتجها البقرة في اليوم الواحد

ع معين من االسمدة .عدد مرات استخدام المزرعة لنو

: اسلوب جمع البيانات

ميع يستخدم هذا األسلوب إذا كان الغرض من البحث هوحصر ج: اسلوب الحصر الشامل -1

بال المجتمع ، وفي هذه الحالة يتم جمع بيانات عن كل مفردة من مفردات المجتمع مفردات

في العراق استثناء، كحصر جميع المزارع التي تنتج التمور، أو حصر البنوك الزراعية

مثل التعداد السكاني او

بيانات وعدم التحيز ودقة النتائج : الحصر الشامل لل مميزاته

اج الى الوقت والمجهود ، التكلفة العالية .: يحتعيوبه

: يعتمد هذا االسلوب على معاينة جزء من المجتمع محل الدراسة ، يتم اسلوب المعاينة -2

علمية سليمة ، ودراسته ثم تعميم النتائج على المجتمع . طريقةاختياره ب

: مميزاته

تقليل الوقت والجهد . -أ

3

تقليل الكلفة . -ب

كثر تفصيال ، خاصة اذا جمعت البيانات من خالل استمارة الحصول على بيانات ا -ت

االستبيان .

كما ان اسلوب المعاينة يفضل في بعض الحاالت التي يصعب فيها اجراء حصر -ث

شامل .

عيوبه :

ب الحصر الشامل ، من نتائج اسلو دقة تعتمد هذا االسلوب اقل ان النتائج التي

العينة المختارة ال تمثل المجتمع تمثيال حقيقيا .ا كانت وخاصة اذ

Population المجتمع :

دة ، ومجتمع الدراسة هو مجموعة من المفردات التي تشترك في صفات وخصائص محد

مزارع انتاج الدواجن ، او مجتمع طالب الصف الثالث المتوسط . ، مثل مجتمع

Sample: العينة

ويتوقف بطرق مختلفة بغرض دراسة هذا المجتمع . رهاهو جزء من المجتمع يتم اختي

نجاح استخدام

اسلوب المعاينة على عدة عوامل هي :

كيفية تحديد حجم العينة . -1

طريقة اختيار مفردات العينة -2

نوع العينية المختارة . -3

type of sampleانواع العينات :

الية : هي العينات التي يتم اختيار مفرداتها وفقا لقواعد االحتماالت بمعنى ان العينات االحتم -1

يتم اختيار مفرداتها من المجتمع بطريقة عشوائية بهدف تجنب التحيز الناتج عن اختيار

المفردات ومن اهم انواع العينات االحتمالية :

. Simple Random Sampleالعينة العشوائية البسيطة -أ

. Stratified Random Sampleلعشوائية الطبقية العينة ا -ب

. Systematic Random Sampleالعينة العشوائية المنتظمة -ت

. Cluster Sampleل العينات العنقودية او المتعددة المراح -ث

مثل اختيار ار مفرداتها بطريقة غير عشوائية العينات غير االحتمالية : هي التي يتم اختي -2

العينات غير االحتمالية :نوع معين من التمور . واهم هذه ج المزارع التي تنت

. Judgmental Sampleالعينة العمدية -أ

. Quota Sampleالعينة الحصصية -ب

4

Statistical Notation: الرموز االحصائية

عادالت الرياضية الالتينية وذلك لكونها نظرا الستخدام كافة المراجع العلمية العالمية الرموز والم

جهة رموزا عالمية متفق عليها من جهة ولعدم وجود اتفاق تام بالوقت الحاضر على تعريبها من

وذلك لسهولة االستفادة من المراجع االجنبية والعلمية اخرى لذا سوف نستخدم تلك الرموز

االخرى .

رقم iويمثل الرمز iZاو iYاو i Xله بالرمز ولكل قيمة Zاو Yاو Xز يرمز للمتغير الرم

المفردة للمتغير .

فان 5، 3، 4، 6فلو كانت اطوال اربعة اشجار نخيل هي :

= 6 , 4 ,3 ,5 iX

X القيمة االولى للمتغير 1X 6 =اي ان

=4 2X القيمة الثانية للمتغير X

=33X لثة للمتغيراالقيمة الث X

=54X القيمة الرابعة للمتغير X

ويرمز لمجموع قيم المتغير بالرمز

n

i

ix1

هما حدا nو iوع .. والرقمان ويعني مجم Sigmaوهو حرف اغريقي يسمى الرمز

المجموع وعليه

مزرفال

n

i

ix1

من المشاهدة االولى وحتى المشاهدة االخيرة Xيقرا مجموع قيم

n

n

i

i xxxxx

..........321

1

543اما الرمز

5

3

xxxxi

i

الثالثة والرابعة والخامسة . Xفيقرا مجموع قيم

* nالى 1( فيعني اخذ جميع القيم من nو iذكر حدي المجموع ) مفي حالة عد*

اما الرمز

n

i

ix1

من المشاهدة االولى وحتى االخيرة Xفيعني مجموع مربعات قيم 2

n

i

ni xxxx1

22

2

2

1

2 .............

2والرمز

1

)(

n

i

ix 2يعني مربع مجموع المشاهدات

321

2

1

).........()( n

n

i

i xxxxx

ضرب مجموعين لقيم متغيرين بالرمز ويرمز لحاصل ii yx وهذا يعني

nnii yyyxxxyx ................ 2121

5

4,5,3,2,6ixكاالتي Xمثال /// اذا كانت قيم المتغير

6,8,7,3,1كاالتي yوقيم المتغير i

y

اوجد

n

i

ix1

و 4

2

iy و

n

i

ix1

)2و 2 iy)

و ii yx و ii yx

الحــــل

1-

2045326

..........321

1

n

n

i

i xxxxx

2-

18873

432

4

2

yyyyi

3-

9045326

.............

22322

1

22

2

2

1

2

n

i

ni xxxx

4-

625

)25(

)68731(

)()(

2

2

2

54321

2

yyyyyyi

5-

500)25)(20(

)68731)(45326(

................ 2121

nnii yyyxxxyx

6-

97

)64()85()73()32()16(

5544332211

yxyxyxyxyxyx ii

----------

هما كالتالي : Yو Xتمرين //// اذا علمت بان قيم المتغيرين

X=5,3,6,2

Y=4,7,9,5

) -1جد ما يلي : 5ix 2- )2( iy 3- )( ii yx

6

4- )2)(1( ii yx

عرض البيانات طرق

عرض البيانات جدوليا : -1

: عرض البيانات جدوليا لمتغير وصفي -أ

اذا كنا بصدد دراسة ظاهرة ما تحتوي على متغير وصفي واحد فانه يمكن عرض

في شكل جدول تكراري بسيط ، وهو جدول يتكون من عمودين احدهما هبيانات

يه عدد المفردات ) مجموعات ( المتغير والثاني يوضع ف تتوضع فيه مستويا

)التكرارات( لكل مستوى مجموعة .

: والمثال التالي يوضح لنا كيفية تبويب البيانات الوصفية

:شركة 25يما يلي بيانات عينة من // فمثال

الناهض الخليج اشور البتراء الخليج

االتحاد البتراء الناهض اشور البتراء

الخليج اشور اشور الناهض اشور

لناهضا البتراء الناهض الناهض االتحاد

البتراء االتحاد االتحاد البتراء االتحاد

المطلوب :

ما هو نوع المتغير ؟ وما هو المعيار المستخدم في قياس البيانات ؟ -1

اعرض البيانات في جدول توزيع تكراري. -2

كون التوزيع التكراري النسبي. -3

.كون التوزيع التكراري المئوي -4

الحل :

لعرض البيانات في جدول توزيع تكراري ، نتبع االتي : -1

تكوين جدول لتفريغ البيانات : وهو جدول يحتوي على عالمات احصائية كل

عالمة تبين تكرار المجموعة التي ينتمي اليها النوع . كما مبين ادناه:

7

عدد ) التكرارات (

Frequency

العالمات

االحصائية

Tally

نوع ال

Classes

الخليج 3

البتراء 6

اشور 5

الناهض 6

االتحاد 5

25 Sum.

تكوين الجدول التكراري.

وهو نفس الجدول السابق ، باستثناء العمود الثاني وياخذ الصورة التالية :

التكرار المئويالتوزيع التكراري

النسبي

عدد

) التكرارات (

frequency

نوع

)الفئات(

Classes

12 12.025

3

3 الخليج

24 24.025

6

6 البتراء

20 2.025

5

5 اشور

24 24.025

6

6 الناهض

20 2.025

5

5 االتحاد

100 1.00 25 Sum.

كما يلي : ان) في الجدول اعاله ( يحسبتكرار المئوي و الالتوزيع التكراري النسبي -2

111التكرار المئوي = التكرار النسبي

. للشركاتوالعمود الثالث في الجدول اعاله يعرض التكرار النسبي

8

: يعرض البيانات جدوليا لمتغير كم -ب

ا عرض بيانات ول تكراري ، يمكن ايضالسابق المتبع في تكوين جد األسلوببنفس

ول توزيع تكراري بسيط ويتكون هذا الجدول من عمودين ، االول دالمتغير الكمي في شكل ج

لمتغير ، والثاني يشمل التكرارات ( تصاعدية للقراءات التي ياخذها اClassesيحتوي على فئات )

.لمناسبة لهاتها للفئة اردات التي تنتمي قرأدد المفاو ع

. ن كيف يمكن عرض البيانات الكمية بيانياوالمثال التالي يبي

طالب في االختبار النهائي لمقررمادة االحصاء التطبيقي: 00فيما يلي بيانات درجات مثال //

65 56 51 55 51 66 56 51 56 65

55 51 56 55 51 51 55 51 51 51

56 56 51 65 56 56 56 65 56 56

56 56 56 55 56 66 56 55 56 56

66 57 51 61 61 57 55 57 56 66

56 67 56 61 66 55 66 55 66 55

56 56 66 57 56 66 56 65 57 56

: المطلوب

وزيع التكراري لدرجات الطالب .الت جدول كون -1

التوزيع التكراري النسبي . جدول كون -2

؟ 00الى اقل من 00ما هي نسبة الطالب الحاصلين على درجة ما بين -3

درجة ؟ 00ما هي نسبة الطالب الحاصلين على درجة اقل من -4

او اكثر ؟ 00ما هي نسبة الطالب الحاصلين على درجة -5

الحــــــل//

نات في شكل جدول اي االمتحان متغير كمي مستمر ، ولكي يتم تبويب البيدرجة الطالب ف -1

تكراري . يتم اتباع االتي :

حساب المدىRange (R)

Range = maximum – minimum

R = 94 – 55 = 39

تحديد عدد الفئات

: راي الباحث ، الهدف من البحث ، حجم وفقا العتبارات منهاتتحدد عدد الفئات

15الى 5ت يجب ان يتراوح بين البيانات ، ويرى كثير من الباحثين ان افضل عدد للفئا

9

: عدة قوانين هي منهايستخدم الستخراج عدد الفئات

1- Classes = 1 + 3.3 log n

عدد المفردات nحيث ان

2- Classes = 2.5 4 n

3- Classes = n

ففي المثال السابق يكون

=7.088 = 8 1- Classes= 1+3.3 log 70

2- Classes= 2.5 823.7704

3- Classes= 8366.870

حساب طول الفئةLength Class(L)

5875.48

39

C

R

Classes

RangeL

: تحديد الفئات

ومن ثم نجد العلى،ابقيمة تسمى الحد االدنى، وتنتهيبقيمة تسمى الحد تبدأالفئات

ان:

55الحد االدنى للفئة االولى هو اقل قراءة )درجة( اي ان الحد االدنى للفئة االولى =

60= 5+ 55الحد االعلى للفئة االولى = الحد االدنى + طول الفئة =

60الى اقل من 55( وتقرا من to les than 60 55الفئة االولى هي )اذن

60الحد االدنى للفئة الثانية = الحد االعلى للفئة االولى =

65=5+60الحد االعلى للفئة الثانية = الحد االدنى للفئة الثانية + طول الفئة =

65الى اقل من 60( وتقرا من to les than 65 60ثانية هي ) اذا الفئة ال

الجدول :كما في وبنفس الطريقة يمكن تحديد حدود الفئات االخرى -

10

التكرارات

Frequency

التاشيرات

Tally

الفئات

classes

الفئات

classes

الفئات

Classes

10 55 - 55- 60 55 to les than 60

12 60 - 60 – 65 60 to les than 65

13 65 - 65 – 70 65 to les than 70

16 70 - 70 – 75 70 to les than 75

10 75 - 75 - 80 75 to les than 80

4 80 - 80 – 85 80 to les than 85

3 85 - 85 – 90 85 to les than 90

2 90 - 95 90 - 95 90 to les than 95

70 Sum

. تكوين الجدول التكراري

التكرار النسبي

Relative

frequency

التكرارات

Frequency

الفئات

classes

0.143 10 55- 60

0.171 12 60 – 65

0.186 13 65 – 70

0.229 16 70 – 75

0.143 10 75 - 80

0.057 4 80 – 85

0.043 3 85 – 90

0.028 2 90 - 95

1.00 70 Sum

التكرار النسبي : -2 f

f = التكرار النسبي

والعمود الثالث في الجدول السابق يبين التكرار النسبي

و مجموع التكرارين ه 00الى اقل من 00نسبة الطالب الحاصلين على درجات ما بين -3

ويساوي نسبة الطالب الحاصلين 0.302= 0.143 + 0.220النسبيين للفئتين الرابعة والخامسة :

. % 30.2اي حوالي 00و 00على درجات ما بين

األولىهو مجموع التكرارات النسبية للفئات 00نسبة الطالب الحاصلين على درجات اقل من -4

: والثانية والثالثة

%50اي حوالي = 0.5 = 0.186 + 0.171 + 0.143

11

نسبي للفئات السادسة اكثر ، هو مجموع التكرارات الو 00نسبة الطالب الحاصلين على درجة -5

من الطالب الذين %12.0اي حوالي 0.120والثامنة وبالتالي تكون النسبة هي = والسابعة

فاكثر . 00حصلو على درجة

ت الكمية :العرض البياني للبيانا

Histogram: المدرج التكراري -1

وهو ة،ــــالمتصل هو تمثيل البياني للجدول التكراري البسيط الخاص بالبيانات الكمية

عبارة عن اعمدة بيانية متالصقة ، حيث تمثل التكرارات على المحور الراسي ، بينما تمثل

ويتم تمثيل كل فئة بعمود ، ارتفاعه هو فقي ،قيم المتغير ) حدود الفئات ( على المحور اال

تكرار الفئة وطول قاعدته هو طول الفئة .

مثال//

اختيرت من احد 100، حجمها سبائك الذهبعينة من ألوزانفيما يلي التوزيع التكراري

المصارف

Sum 700-720 680- 660- 640- 620- 600- الوزن

السبائكعدد 10 15 20 25 20 10 100

طلوب :الم

ماهو طول الفئة ؟ -1

ارسم المدرج التكراري -2

؟ نسبي ، ثم وضح ذلكارسم المدرج التكراري ال -3

الحـــــل

( Lطول الفئة ) -1

L= 620 – 600 = 20

= 640 – 620 = 20

= 720 – 700 = 20

20اذا طول الفئة =

رسم المدرج التكراري . -2

لرسم المدرج التكراري يتم اتباع الخطوات التالية :

رسم محوران متعامدان ، الراسي ويمثل التكرارات ، االفقي ىيمثل االوزان

.)الفئات(

لفئة ، وطول قاعدته هو طول الفئة .كل فئة تمثل بعمود ارتفاعه هو تكرار ا

. كل عمود يبدا من حيث انتهى به عمود الفئة السابقة

الحد االدنى للفئة –طول الفئة = الحد االعلى للفئة

12

رسم المدرج التكراري النسبي : لرسم المدرج التكراري النسبي يتم اجراء االتي : -3

. حساب التكرارات النسبية

الوزن

600-

620-

640-

660-

680-

700-

720

Sum

السبائكعدد

10

15

20

25

20

10

100

التكرار

النسبي

0.10

0.15

0.20

0.25

0.20

0.10

1.00

باتباع نفس الخطوات السابقة عند رسم المدرج التكراري ، يتم رسم المدرج التكراري

قة على المحور الراسي ، كما النسبي ، باحالل التكرارات النسبية محل التكرارات المطل

مبين في الشكل التالي :

التكرارات

الوزن

الوزن

الوزن تالتكرارا

13

ومن الشكل اعاله يالحظ االتي :

جرام وهي اكبر نسبة . 600، 660بين اوزنهح يتراو السبائكمن %25ان

. ان الشكل ملتوي الى اليسار ، مما يدل على ان توزيع سالب االلتواء

درج التكراري ممالحظات على ال

( .nان المساحة اسفل المدرج التكراري تساوي مجموع التكرارات ) -أ

اما المساحة اسفل المدرج التكراري النسبي فهي تعتبر مجموع التكرارات النسبية وهي -ب

تساوي الواحد الصحيح .

ناظرها اكبر ارتفاع ، ففي الشكلين السابقين التي ييمكن تقدير القيم الشائعة ، وهي القيم -ت

( ويطلق عليه المنوال . 660 – 600ن الشائع يقع في الفئة )نجد ان الوز

يمكن معرفة شكل توزيع البيانات ، كما هو مبين في االشكال الثالثة التالية : -ث

frequency Polygonالمضلع التكراري : -6

لى المحور ايضا للجدول التكراري البسيط ، حيث تمثل التكرارات عهو ثمثيل بياني

الراسي و مراكز الفئات على المحور االفقي، ثم التوصيل بين االحداثيات بخطوط منكسرة وبعد

ذلك يتم توصيل طرفي المضلع بالمحور االفقي .

هي القيمة التي تقع ي منتصف الفئة ، وحسب بتطبيق المعادلة التالية :مركز الفئة :

هو التقدير المناسب لقيمة كل ة لتكرار كل فئة ، يعتبر مركز الفئة ونظرا لعدم معرفة القيم الفعلي

مفردة من مفردات الفئة .

( السابق لرسم المضلع السبائكان استخدم بيانات الجدول التكراري في المثال ) اوزمثال :

التكراري .

14

الحـــل:

لرسم المدرج التكراري نتبع الخطوات التالية :

( 3-2بتطبيق المعادلة )حساب مراكز الفئات

الوزن

classes

) التكرارات ( السبائك عدد

frequency

مركز الفئة

iX

600-

10

(600+620)/2= 610

620-

15

(620+640)/2=630

640-

20

650

660-

25

670

680-

20

690

700-720

10

710

Sum

100

هي : نقط االحداثيات

مركز الفئة

590

610

630

650

670

690

710

730

التكرار

0

10

15

20

25

20

10

0

. التمثيل البياني لنقط االحداثيات وتوصيلها بخطوط مستقيمة

:المنحنى التكراري -6

اتعدد التكرار

الوزن

15

تكراري يمكن رسم المنحنى التكراري ، ولكن مضلع الع نفس الخطوات السابقة في رسم الباتبا

عدد من النقاط ، وفي المثال السابق سرة في شكل منحنى بحيث يمر باكثريتم تمهيد الخطوط المنك

:كما في الشكل التالي يمكن رسم المنحنى التكراري

ة اسفل هذاالمنحني تعبر عن المنحني التكراري اعاله موجب االلتواء،كما ان المساح

مجموع التكرارات النسبية ، اي انها تساوي الوحد الصحيح ، وهناك اشكال مختلفة للمنحنى

التكراري النسبي ، تدل على اشكال توزيع البيانات ومن اهمها ما يلي :

تجمعة مالتوزيعات التكرارية ال

الى معرفة عدد المشاهدات التي تقل او تزيدعن قيمة في كثير من االحيان يحتاج الباحث

معينة ، ومن ثم يلجا الباحث الى تكوين جداول تجمعية صاعدة او نازلة ، وفيما يلي بيان كيفية

كل نوع من هذين النوعين : تكوين

. والنازل التوزيع التكراري المتجمع الصاعد

موع التكرارات ) عدد القيم ( التي جيتم حساب ملتكوين الجدول التكراري المتجمع الصاعد ،

تقل عن كل حد من حدود الفئات .

عدد التكرارات

الوزن

16

الشركة لتي تنتجها اإلنتاج احسب كمية شركة 40/// الجدول التكراري االتي يبين توزيع مثال

: كغمفي اليوم الواحد

االنتاجكمية

18-

22-

26-

30-

34-38

Sum

الشركاتعدد

4

9

15

8

4

40

:المطلوب

كون جدول التوزيع التكراري المتجمع الصاعد -1

كون جدول التوزيع التكراري النازل . -2

. كغم 30التي يقل انتاجها من الحليب عن الشركاتما هو عدد -3

الحـــــل//

التكرار المتجمع التكرار التجمع النازل

الصاعد

الشركاتعدد

frequency

ج كمية االنتا

باللتر

classes

- 18 4 22اقل من 4 10اكثر من 40

-22 9 26اقل من 13 22اكثر من 36

-26 15 30اقل من 20 26اكثر من 20

-30 8 34اقل من 36 30اكثر من 12

38-34 4 30اقل من 40 34اكثر من 4

40 Sum

باني للبيانات الوصفيةيالعرض ال

الخاصة بمتغير وصفي في شكل دائرة بيانية او اعمدة بيانية ،يمكن ياناتبيمكن عرض ال

من خالله وصف ومقارنة مجموعات او مستويات هذا المتغير .

الدائرة البيانية

( درجة حسب 360، يتم توزيع الـــ ) لعرض البيانات الخاصة بمتغير وصفي في شكل دائرة

اصة بالمجموعة بتطبيق المعادلة ير ، حيث تحدد مقدار الزاوية الخالتكرار النسبي لمجموعات المتغ

:الية الت

ةالتكرار النسبي للمجموع × 651مقدار الزاوية =

:عائلة حسب المنطقة التي تنتمي اليها 500مثال// الجدول التكراري التالي يمثل توزيع

17

العسكري حي الحسين الغربي الشرقي المنطقة

sum

دد العوائل ع

150

130

50

170

500

مثل البيانات اعاله في شكل دائرة بيانية .

الحــل //

حساب التكرار النسبي . -1

تحديد مقدار الزاوية لكل منطقة بتطبيق المعادلة : -2

التكرار النسبي للمنطقة . × 360مقدار الزاوية المخصصة لكل منطقة =

المنطقة

عدد

االسر

تكرار ال

النسبي

مقدار الزاوية

الشرقي

150

0.30

360 × 0.30 = 108o

الغربي

130

0.26

360 × 0.26 = 93.6o

حي الحسين

50

0.10

360 × 0.10 = 36o

العسكري

170

0.34

360 × 0.30 = 122.4o

Sum

500

1.00

360o

ة وتقسيمها الى اربعة اجزاء لكل منطقة جزء يتناسب مع مقدار ئرة يتم رسم دائرارسم الد -3

الزاوية المخصصة له في الدائرة .كما مبين في الشكل .

وهي كبر % 34لعسكري حولي يالحظ ان نسبة االسر التي تنتمي لمنطقة ا من الشكل اعاله

وهي اقل نسبة في العينة . %10لي نسبة بينما تكون نسبة االسر في منطقة حي الحسين حو

18

مقاييس النزعة المركزية

Central Tendency

تسمى مقاييس النزعة المركزية بمقاييس الموضع او المتوسطات وهي القيم التي تتركز

القيم حولها ومن هذه المقاييس الوسط الحسابي ، المنوال ، الوسيط ، الوسط الهندسي ، الوسط

، والوسط التربيعي ...الخ . التوافقي

Arithmetic Meanاوال : الوسط الحسابي

ويمكن حسابه من اهم مقاييس النزعة المركزية ، واكثرها استخداما في النواحي التطبيقية

للبيانات المبوبة وغير المبوبة وكما يلي :

الوسط الحسابي للبيانات غير المبوبة :: اوال

ي بشكل عام على انه مجموع القيم مقسوما على عددها . فاذا كان سط الحسابويعرف ال

nxxx من القيم ويرمزلها بالرمز nلدينا ....,,........., فان الوسط الحسابي لهذه القيم ، 21

يحسب بالمعادلة التالية : xونرمز له بالرمز

(.50، ) الدرجة من في مادة االحصاء طالب 0مثال /// فيما يلي درجات

40 ،36 ،40 ،35 ،30 ،42 ،32 ،34

المطلوب ايجاد الوسط الحسابي لدرجة الطالب في االمتحان .

/الحــل

( كما يلي :1-3بقة )االيجاد الوسط الحسابي للدرجات نطبق المعادلة الس

378

4036403537423234

.......21

X

n

xxxX n

درجة . 30اي ان الوسط الحسابي لدرجة الطالب في امتحان االحصاء يساوي

الوسط الحسابي للبيانات المبوبة : ثانيا :

ا من جدول التوزيع التكراري ، حيث ان هذه من المعلوم ان القيم االصلية ال يمكن معرفته

في شكل فئات ، ولذا يتم التعبير عن كل قيمة من القيم التي تقع داخل حدود القيم موضوعة

19

الفئة بمركز هذه الفئة ومن ثم يؤخذ في االعتبار ان مركز الفئة وهو القيمة التقديرية لكل

مفردة تقع في هذه الفئة .

kxxxxلفئات وكانتهي عدد ا kفاذا كانت ,....,,, هي مراكز الفئات ، 321

nffffو ,....,,, هي التكرارات ، فان الوسط الحسابي يحسب بالمعادلة التالية :321

ايجاد الوسط اوزانهم. المطلوبتلميذ حسب 40مثال // الجدول التالي يعرض توزيع

الحسابي .

فئات الوزن

32-34

34-36

36-38

38-40

40-42

42-44

عدد التالميذ

4

7

13

10

5

1

الحــل//

( يتم اتباع الخطوات التالية :2-3الحساب الوسط الحسابي باستخدام المعادلة رقم )

وع التكرارات ايجاد مجم -1 f

xحساب مراكز الفئات -2

وحساب المجموع )xfضرب مركز الفئة في التكرار المناظر له ) -3 xf

( 2-3حساب الوسط الحسابي بتطبيق المعادلة رقم ) -4

الفئات (C )

التكرارات

f

مراكز الفئات

x

x f

32-34

4

(32+34)/2=33

4×33=132

34-36

7

= 35

7×35=225

20

36-38

13

=37

13×37=481

38-40

10

=39

10×39=390

40-42

5

=41

5×41=205

42-44

1

=43

1×43=43

Sum

40

1476

الحسابي لوزن التلميذ هو :اذا الوسط

675.3640

1476

i

ii

f

fxX

كيلو غرام . 30.4اي ان المتوسط الحسابي لوزن التلميذ هو

سط الحسابي وخصائص ال

يتصف الوسط الحسابي بعدد من الخصائص ومن هذه الخصائص ما يلي

هي xالوسط الحسابي للمقدار الثابث يساوي الثابت نفسه ، اي انه اذا كانت قيم -1

a,a,a,……a :فان الوسط الحسابي هو

فان k.g 65طالب ، ووجدنا ان كل طالب وزنه 5لك ، لو اخترنا مجموعة من ومثال على ذ

65متوسط وزن الطالب في هذه المجموعة هو :

ويعبر عن هذه الخاصية صفرا،يم عن وسطها الحسابي يساوي مجموع انحرافات الق -2

دلة :بالمعا

عدلة ) بعد مكل قيمة من القيم ، فان الوسط الحسابي للقيم ال اذا اضيف مقدار ثابت الى -3

االضافة ( يساوي الوسط الحسابي للقيم االصلية ) قبل االضافة( مضافا اليه هذا المقدار

الثابت .

21

معدلة ) القيم ( في كل قيمة من القيم ، فان الوسط الحسابي للقيم ال aاذا ضرب مقدار ثابت ) -4

يساوي الوسط الحسابي للقيم االصلية ) القيم بعد التعديل ( مضروبا الناتجة بعد الضرب(

في المقدار الثابت .

مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي اقل ما يمكن اي ان : -5

ثالثا: الوسط الحسابي المرجح

او ترجيحات ، اوزان،ن قيم المتغير اهمية نسبية تسمى حيان يكون لكل قيمة مفي بعض اال

وعدم اخذ هذه االوزان في االعتبار عند حساب الوسط الحسابي ، تكون القيمة المعبرة عن الوسط

نا خمسة طالب ، وسجلنا درجات هؤالء الطالب في مادة ذالحسابي غير دقيقة ، فمثال لو اخ

ب في االسبوع.االحصاء ، وعدد ساعات المذاكرة لكل طال

ة الدرج x

23

40

36

28

46

173

عدد ساعات المذاكرة

w

1

3

3

2

4

.

سط الحسابي غير المرجح للدرجة الحاصل عليها الطالب هي :نجد ان الو

6.345

173X

يتم تطبيق Wالمرجحة بعدد ساعات المذاكرة Xواذا اردنا ان نحسب الوسط الحسابي للدرجات

المعادلة التالية :

769.3713

491

42331

)446()228()336()340()123(

w

w

وهذا الوسط المرجح اكثر دقة من الوسط الحسابي غير المرجح .

22

ط الحسابي بالمزايا التالية : يتميز الوس مزايا وعيوب الوسط الحسابي :

انه سهل الحساب . -1

ياخذ في االعتبار كل القيم . -2

انه اكثر المقاييس استخداما وفهما . -3

ومن عيوبه

انه يتاثر القيم الشاذة والمطرفة . -1

يصعب حسابه في حالة البيانات الصفية . -2

يصعب حسابه في الجداول التكرارية المفتوحة . -3

Medianالوسيط

رف الوسيط بانه القيمة عييس النزعة المركزية ، والذي ياخذ في االعتبار رتب القيم ، وياد مقهو اح

من القيم %50( ، اي ان 2n(ويزيد عنها النصف االخر )2nالتي يقل عنها نصف عدد القيم )

اقل منه . % 50اعلى منه و

المبوبة اوال: للبيانات غير

لبيان كيف يمكن حساب الوسيط للبيانات غير المبوبة نتبع الخطوات التالية :

. ترتيب القيم تصاعديا

= تحديد رتبة الوسيط وهي : رتبة الوسيط

2

1n

اذا كانn عدد فردي فان الوسيط هو:

اذا كانn عدد زوجي فان الوسيط هو:

وحدة تجريبية متشابهة ، وتم زراعتها بمحصول 10تم تقسيم قطعة ارض زراعية الى مثال //

وحدات تجريبية ، والنوع 0وجرب على aهما : النوع القمح ، وتم استخدام نوعين من التسميد

b وحدات تجريبية ، وبعد انتهاء الموسم الزراعي ، تم تسجيل انتاجية الوحدة 10وجرب على

على النحو التالي : ن / هكتار ، وكانتبالط

aالنوع 1.5 2.3 3 2 3.25 2.75 1.2

bالنوع 3 2.5 4 1.5 2.5 2 3.75 3.5 1.8 4.5

23

من السماد المستخدم ، ثم قارن بينهما . مطلوب حساب وسيط االنتاج لكل نوعلوا

الحـــل :

( .aاوال : حساب وسيط االنتاج للنوع االول )

: ترتيب القيم تصاعديا

عدد القيم فرديn=7

: اذا رتبة الوسيط هي 42)17(2)1( n

اي ان وسيط االنتاج للنوع 4ويكون الوسيط هو القيمة رقم ،a : هوMed=2.3 / طن

هكتار

( : bثانيا: حساب وسيط االنتاج للنوع الثاني )

: ترتيب القيم تصاعديا

عدد القيم زوجيn=10 اذا.

: رتبة الوسيط هي 5.52)110(2)1( n

(5,6الوسيط = الوسط الحسابي للقيمتين الواقعتين في المنتصف )رقم

طن / هكتار

75.22

35.2

Med

. bاقل من وسيط انتاجية النوع aبمقارنة النوعين اعاله نجد ان وسيط انتاجية النوع

:الوسيط للبيانات المبوبةثانيا

ات التالية .الوسيط من بيانات مبوبة في جدول توزيع تكراري ، يتم اتباع الخطولحساب

.تكوين الجدول التكراري المتجمع الصاعد

: تحديد رتبة الوسيط

22

fn

24

: تحديد فئة الوسيط كما في الشكل التالي

( Aالحد االدنى لفئة الوسيط ) 1fتكرار متجمع صاعد سابق

Med الوسيط ط يرتبة الوس

الحد االعلى لفئة الوسيط 2fتكرار متجمع صاعد الحق

. ويحسب الوسيط ، بتطبيق المعادلة

حيث ان :

L ية :: طول فئة الوسيط وتحسب بالمعادلة التال

الحد االدنى –طول الفئة = الحد االعلى

-لديك الجدول االتي : مثال //

فئات

1.5

1.5 -

4.5

4.5 -

7.5

10.5

13.5-16.5

التكرار

4

4

12

19

10

5

بيانيا -2حسابيا -1والمطلوب : حساب الوسيط :

الحــل

سيط حسابياحساب الواوال :

: 25رتبة الوسيط2

50

22

fn

تكوين الجدول التكراري الصاعد

25

تحديد فئة الوسيط : وهي الفئة التي تشتمل قيمة الوسيط ، وهي قيمة اقل منها )نصف عدد

صاعدين الذين يقع ارين المتجمعين الر( من القيم ويمكن معرفتها بتحديد التك 2nالقيم

( تقع بين التكرارين 25بينهما رتبة الوسيط ، وفي الجداول اعاله نجد ان رتبة الوسيط )

هو المناظر للتكرار المتجمع ويكون الحد االدنى لفئة الوسيط ( ، 35، 16المتجمعين )

والحد االعلى لفئة الوسيط هو المناظر للتكرار التجمع الصاعد 5.6الصاعد السابق

((. 0.5-10.5اي ان فئة الوسيط هي )). 11.6ق الالح

( على هذا المثال نجد ان :11-3وبتبيق المعادلة)

35.75.10,35,16,5.7 21 LffA

اذا الوسيط قيمته هي :

921.8421.15.719

275.73

19

95.7

31635

16255.72

12

1

Med

Lff

fn

AMed

حساب الوسيط بيانياثانيا :

عد بيانيا تمثيل جدول التوزيع التكراري المتجمع الصا

الوسيط كما مبين في الشكلMed=8.6

مزايا وعيوب الوسيط

مزاياه

اليتاثر بالقيم الشاذة او المتطرفة . .1

كما انه سهل في الحساب . .2

مجموع قيم االنحرافات المطلقة عن الوسيط اقل من مجموع االنحرافات المطلقة .3

اخرى. عن اي قيم

26

عيوبه

ند حسابه كل القيم في االعتبار ، فهو يعتمد على قيمة او قيمتين فقط .انه ال ياخذ ع .1

يصعب حسابه في حالة البيانات الوصفية المقاسة بمعيار اسمي . .2

Modالمنوال

ت ويكثر استخدامه في حالة البيانا تكرارا،يعرف المنوال بانه القيمة االكثر شيوعا او

( الشائع،ويمكن حسابه للبيانات المبوبة وغير المبوبة كما يلي:وىالوصفية لمعرفة النمط )المست

بانات غير المبوبة.ياوال : حساب المنوال في حالة ال

ةلمنوال في حالة البيانات المبوبثانيا:حساب ا

حيث ان:

A(: الحد االدنى لفئة المنوال ) الفئة المناظرة الكبر تكرار

1d تكرار الفئة السابقة لفئة المنوال –: الفرق االول = تكرار فئة المنوال

2d تكرار الفئة الالحقة لفئة المنوال –: الفرق الثاني = تكرار فئة المنوال

L طول فئة المنوال = الفئة المناظرة الكبر تكرار :

صاد اإلدارة واالقتمثال /// اختيرت عينات عشوائية من طالب بعض اقسام كلية

ينت النتائج كالتالهؤالء الطالب في مقرر االحصاء وكارجات دوتم رصد

27

ةالمحاسب 80

77

75

77

77

77

65

70

58

67 88 المالية والمصرفية

68

60

75

93

65

77

85

95

90

80 قسم االقتصاد

65

69

80

65

88

76

65

86

80

االدارة 50 30 06 50 30 06 06 30 20 50

حساب منوال الدرجات لكل قسم من االقسام: ///المطوب

//هذه البيانات غير مبوبة ، لذا فان المنوال =القيمة االكثر تكرارا .لحـــــلا

والجدول التالي يبين منوال الدرجة لكل قسم من االقسام :

القسم القيمة االكثر تكرارا القيمة المنوالية

4تكررت 00الدرجة درجة 00المنوال =

مرات

المحاسبة

المالية س لها تكرارجميع القيم لي ال يوجد منوال

والمصرفية

يوجد منواالن هما:

65المنوال االول =

00المنوال الثاني =

3تكررت 65الدرجة

مرات

3تكررت 00الدرجة

مرات

االقتصاد

يوجد ثالثة منواالت

هي :

60المنوال االول =

03المنوال الثاني =

05المنوال الثالث =

3تكررت 60الدرجة

مرات

3تكررت 03 ادرجة

مرات

3تكررت 05الدرجة

مرات

االدارة

اسرة حسب االنفاق االستهالكي الشهري لها بااللف دينار . 30فيما يلي توزيع مثال //

الفئات

فئات االنفاق

2-

2 -

5-

5 -

8-

8 -

11-

11 -

14-17

14 - 17

التكرار

عدد االسر

4

4

7

7

10

10

5

5

4

4

منوال االنفاق الشهري لالسرة .المطلوب حساب

/// الحــــل

( كما في االتي :13-3لحساب المنوال لهذه البيانات يتم استخدام المعادلة رقم )

تحديد الفئة المنوالية

الفئة المنوالية هي الفئة المناظرة الكبر تكرار :

28

حساب الفروقd حيث ان

5510

3710

2

1

d

d

( تحديد الحد االدنى للفئة المنواليةA=8 وكذلك طول الفئة )(L=3)

125.9125.18353

38

21

1

Mod

Ldd

dAMod

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

م مقاييس النزعة المركزية في تحديد شكل توزيع البيانات .استخدا

يمكن استخدام الوسط الحسابي والوسيط والمنوال في وصف المنحنى التكراري ، والذي يعبر عن

شكل توزيع البيانات ، كما يلي:

: الوسط الحسابي = الوسيط =المنواليكون المنحني متماثل اذا كان

ملتوي جهة اليمين ( اذا كان :ى موجب االلتواء يكون المنحن (

الوسط الحسابي < الوسيط < المنوال

:يكون المنحنى سالب االلتواء ) ملتوي الى جهة اليسار ( اذا كان

لحسابي >الوسيط > المنوالالوسط ا

29

من المياه المعباءة للشرب ، ذات عبوات 10قام مدير مراقبة االنتاج بسحب عينة من مثال //

لتر ، والمنتجة بواسطة احدى شركات تعبئة المياه لفحص كمية االمالح الذائبة ، وكانت 5الحجم

كالتالي :

121 123 121 123 110 124 123 110 123

115

حساب الوسط الحسابي ، والوسيط ، والمنوال ، ثم حدد شكل االلتواء لهذه البيانات : والمطلوب :

حساب الوسط الحسابي :الحـــــل //

1.12110

1211

n

xX

: حساب الوسيط

)1(2)5.52110لوسيط : رتبة ا n

ترتيب القيم تصاعديا :

(.5,6، وهو عدد زوجي . الوسيط = الوسط الحسابي للقيمتين رقم ) 10عدد القيم =

1222

224

2

123121

Med

: حساب المنوال

تكررت اكثر من غيرها 123منوال يساوي القيمة االكثر تكرارا القيمة المنوال : ال

اذا

123Mod

وبمقارنة الوسط والوسيط والمنوال نجد ان :

اذا توزيع بيانات كمية االمالح سالبة االلتواء > الوسيط > المنوال الوسط

30

حسب االجر شركة الخضراء في موظف 100ض توزيع رمثال // الجدول التكراري التالي يع

االسبوعي بالدينار .

االجر االسبوعي

50 -

70 -

90 -

110 -

130 -

150 -

170 - 190

عدد العمال

8

15

28

20

15

8

6

المطلوب :

منوال حساب الوسط والوسيط وال

الشركةبيان شكل توزيع االجور في هذه .

الحـــل //

:حساب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

اوال: الوسط الحسابي:

Classes

xمراكز الفئات fالتكرارات

f x

50 – 70

8

60

480

70 – 90

15

80

1200

90 – 110

28

100

2800

110 - 130

20

120

2400

130 - 150

15

140

2100

150 – 170

8

160

1280

170 - 190

6

180

1080

Sum

100

11340

4.113100

11340

f

fxX

Medثانيا : الوسيط

)5021002(رتبة الوسيط n

جمع الصاعد تكوين التوزيع التكراري المت

31

50رتبة الوسيط =

2090110,90,51,23,50من الجدول اعاله نجد ان :2

21 LAffn

اذا الوسيط قيمته هي

:

3.109286.1990

202151

235090

2

12

1

Med

Med

Lff

fn

AMed

Modثالثا : المنوال :

. الفئة المنوالية ، هي الفئة المناظرة الكبر تكرار

= ( . 00 - 110وهو يناظر الفئة التقريبية ) 20اكبر تكرار

: 131528,82028حساب الفروق 12 dd

: الحد االدنى لفئة المنوالA=90 = 20طول الفئة

اذا المنوال هو :

4.102

20813

1390

21

1

Mod

Mod

Ldd

dAMod

.بيان شكل التوزيع

ائج السابقة نجد ان : تمن الن

4.102Modالمنوال 3.109Medالوسيط : 4.113Xالوسط الحسابي :

اقل من التكرار التجمع الصاعد

00اقل من 0

90اقل من 23

110اقل من 51

130اقل من 01

150اقل من 06

100اقل من 04

100اقل من 100

32

ط < المنوال اي ان : الوسط الحسابي < الوسي

لي :ااذا توزيع البيانات لالجور االسبوعية موجب االلتواء .كما في الشكل الت

Geometric Mean: الوسط الهندسي

لمجموعة من القيم هو الجذر النوني لحاصل ضرب هذه القيم . يمتاز الوسط G.Mالوسط الهندسي

يم الشاذة في البيانات النه معلوم رياضيا بان الوسط الهندسي عن الوسط الحسابي بانه اقل تاثرا بالق

الهندسي لمجموعة من القيم اقل من وسطها الحسابي ، وعادة يحسب الوسط الهندسي باستخدام

القانون التالي :

nnxxxxMG .......... 321

)(كالتالي: و الحل تستخدم اللوغاريتماتولسهولة 1

. iLogxn

MLogG

. 3،5،6،6،0،10،12الهندسي للبيانات التالية الوسط مثال // احسب

باستخدام القانون

43.6.

808.0.

)12log1076653(7

1.

)(1

.

MG

MLogG

LogLogLogLogLogLogMLogG

Logxn

MLogG i

ط الهندسي في حالة البيانات المبوبةالوس

n f

n

ff nxxxMG ........ 21

21

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

Harmonic meanالوسط التوافقي

( يستخدم الوسط التوافقي عندما يكون Hهو مقلوب الوسط الحسابي لمقلوبات القيم .يرمز له )

مقلوب المتغير له داللة كان يعين نسبة بين متغيرين مرتبطين مثل السرعة بالنسبة للزمن . اي ان

33

يكتب رياضيا كالتالي : الوسط التوافقي يمكن ان

ixn

H11

1

او

ixnH

111

3,5,6,6,0,10,12مثال // احسب الوسط التوافقي للبيانات التالية:

حـــل//ال

89.52940

5011

)12

1

10

1

7

1

6

1

6

1

5

1

3

1(

7

11

HH

H

ن الوسط التوافقي > الوسط الهندسي > الوسط الحسابي ) لنفس مما سبق يمكن القول ا

البيانات(

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـــــــ

Quadratic Meanالوسط التربيعي :

هو الجذر التربيعي للوسط الحسابي لمربعات القيم ويستخدم غالبا في الفيزياء وااللكترونيات

انات غير المبوبة هو ياي ان الوسط التربيعي للب n

xQ

i

2

2، 5، 6، 3، -4مثال //لللبيانات التالية جد الوسط التربيعي

: الحل

من القانون السابق

2426.45

90

5

2563)4( 22222

2

QQ

Q

n

xQ

i

لتالي : اما الوسط التربيعي للبيانات المبوبة فهو كا

i

ii

f

xfQ

2

34

:االتياوجد الوسط التربيعي للبيانات المبينة في الجدول مثال//

2

ii xf 2

ix مركز الفئة

Xi

Frequency

(fi)

Classes

900 225 15 4 10-20

3750 625 25 6 20-30

8757 1225 35 7 30-40

6075 2025 45 3 40-50

19300 20 Sum

3196520

93001̀

2

QQQ

f

xfQ

i

ii

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مقاييس التشتت

Dispersion Measurements

Rangالمدى اوال :

تشتت ويحسب المدى في حالة البيانات غير المبوبة بتطبيق المعادلة التالية سط مقاييس البهو ا

اما المدى في حالة البيانات المبوبة له اكثر من صيغة ، ومنها المعادلة التالية

مزايا وعيوب المدى :

من مزاياه

انه بسيط الحساب .1

، المناخ ، خاصة درجات الحرارة والرطوبة يكثر استخدامه عند االعالن عن حالة الطقس .2

الضغط الجوي .

.يستخدم في مراقبة الجودة .3

ومن عيوبه :

35

انه يعتمد على قيمتين فقط ، وال ياخذ بنظر االعتبار جميع القيم . .1

يتاثر بالقيم الشاذة . .2

Mean Deviationاالنحراف المتوسط

النحرافات المطلقة للقيم عن وسطها الحسابي ، هو احد مقاييس التشتت ، ويعبر عنه بمتوسط ا

:) للبيانات غير المبوبة (ويحسب بتطبيق المعادلة التالية

يلي : ت لتحلية المياه بالمليون لتر كمامثال // اذا كانت الطاقة التصديرية لخمس محطا

اوجد قيمة االنحراف المتوسط للطاقة التصديرية . 4، 5، 2، 10، 0

لحساب قيمة االنحراف المتوسط نتبع الخطوات التالية: ــل//الحـ

: 6.5ايجاد الوسط الحسابي5

28

n

xX

: تكوين جدول بالشكل التالي

يةالطاقةالتصد

x

االنحرافات

االنحرافات المطلقة

4

4 - 5.6 = -1.6

1.6

5

5 - 5.6 = -0.6

0.6

2

2 - 5.6 = -3.6

3.6

10

10 - 5.6 = 4.4

4.4

7

7 - 5.6 = 1.4

1.4

Sum

0

11.6

االنحراف المتوسط قيمته هي

32.25

6.11.

n

xxDM

لة التالية :في حالة البيانات المبوبة يحسب االنحراف المتوسط من المعاداما

36

اسرة حسب االنفاق اليومي بااللف دينار 40مثال // يبين الجدول التكراري التالي توزيع

االنفاق 5-2 0-5 11-0 14-11 10-14

عدد 1 0 13 10 0

االسر

المطلوب ايجاد االنحراف المتوسط .

// لحساب االنحراف المتوسط يتبع االتي : الحل

(5-4مكونات المعادلة ) تكوين جدول لحساب

ifxx xx الوسط الحسابي ii fx

مركز

الفئة

x

عدد

االسر

f

حدود

االنفاق

classes

7.2 7.2

7.1040

428

x

f

xfx

i

ii

3.5 3.5 1 2 – 5

33.6 4.2 52 6.5 8 5 – 8

15.6 1.2 123.5 9.5 13 8 – 11

18 1.8 125 12.5 10 11 – 14

38.4 4.8 124 15.5 8 14 – 17

112.8 428 40 Sum

28.2 : اذا االنحراف المتوسط هو40

8.112

f

fxxMD

i

: مزايا وعيوب االنحراف المتوسط

من مزاياه انه ياخذ جميع القيم في االعتبار ولكن يعاب عليه :

اذة.يتاثر بالقيم الش

. يصعب التعامل معه رياضيا

varianceالتباين

سط هو احد مقاييس التشتت . واكثرها استخداما في النواحي التطبيقية ، ويعبر عن متو

القيم عن متوسطها الحسابي .انحرافات مربعات

اوال : التباين للمجتمع

لتباين في في المجتمع والذي اذا توفرت لدينا قرات من كل مفردات المجتمع ، فان ا

:)سيكما( يحسب باستخدام المعادلة التالية 2يرمز له بالمز

37

nxهو الوسط الحسابي للمجتمع اي ان حيث ان

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

عامل ، وكانت عدد سنوات الخبرة لهؤالء 15مثال // مصنع لتعبئة المواد الغذائية ، يعمل به

العمال كما يلي :

10 12 11 6 14 13 10 0 6 0 12 14 0

13 5

(6-4لحساب تباين سنوات الخبرة في المجتمع يتم استخدام المعادلة السابقة )الحـــــــل :

الوسط الحسابي للمجتمع

1015

1012..................135

n

x

افات عن المتوسط الحسابي .كما في الجدول حساب مربعات االنحر:

x

(x

(x )2

5

5-10 = -5

25

13

3

9

7

-3

9

14

4

16

12

2

4

9

-1

1

6

-4

16

8

-2

4

10

0

0

13

3

9

14

4

16

6

-4

16

11

1

1

12

2

4

10

0

0

50

0

130

الجدول اعاله .... بما ان من 130)( 2x اذا تباين الخبرة في المصنع هو

38

67.815

130)( 2

2

n

x

ثانيا: التباين في العينة

في كثير منن الحناالت يكنون تبناين المجتمنع غينر معلنوم ، وعنند ئنذ ينتم سنحب عيننة منن هنذا

ات عيننة عشنوائية حجمهنا لتباين المجتمع . فاذا كانت قنراء المجتمع ، ويحسب التباين للعينة كتقدير

n تباين العينة يرمز له بالرمز ( 2 فان التباين لهذه العينة يمكن استخراجه من المعادلة التاليةS :)

للبيانات غير المبوبة

هو الوسط الحسابي لقراءات العينة ، اي ان xحيث ان n

xx

وتباين العينة المبين في المعادلة

( هو التقدير غير المتحيز لتباين المجتمع .4-0)

عمال ، وسجل عدد سنوات 5حجمها مثال// في المثال السابق ، تم سحب عينة من عمال المصنع

0 13 10 5 0الخبرة ، وكانت كالتالي :

اين سنوات الخبرة في العينة .احسب تب

( ويتبع االتي :0-4الحل /// لحساب التباين في العينة يتم تطبيق المعادلة )

: الوسط الحسابي في العينة

95

45

5

9510138

X

n

xX

: حساب مربعات االنحرافات عن الوسط الحسابي

Xسنوات الخبرة

8

13

10

5

9

45

)( xx

-1

4

1

-4

0

0

2)( xx

1

16

1

16

0

34

اي ان 34)( 2xx

39

: اذا تباين سنوات الخبرة في العينة قيمته هي

5.815

34

1

)( 2

2

n

xxS

وهو في نفس الوقت تقدير غير متحيز 0.5في هذه الحالة يمكن القول بان تباين العينة

لتباين المجتمع

كما يمكن صياغة المعادلة السابقة الخاصة بتباين العينة الى صيغة ابسط وهي

:1

)( 2

2

2

n

n

xx

S

وللمثال اعاله

5.815

5

)45(439

1

)(

2

2

2

2

2

2

SSn

n

xx

S

يمكن اتباع الخطوات التالية الستخراج التباين :مما ورد اعاله

xنستخرج قيمة الوسط الحسابي -1

)(نستخرج انحراف كل مشاهدة عن متوسطها الحسابي -2 xx .

)(2 تربيع قيمة كل انحراف عن المتوسط الحسابي -3 xx

)(2 المشاهدات عن متوسطها الحسابي جمع مربعات االنحرافات لقيم -4 xx

الستخراج التباين . 1nيقسم الناتج على -5

مراكز الفئات x: حيث اما التباين بالنسبة للبيانات المبوبة

1

)(

1

)(

2

2

2

2

2

f

f

xffx

S

f

fxxS

للبيانات المبوبة التالية جد التباين :مثال :

2fx fx X

مراكز

الفئات

frequency Classes

225 15 15 1 14-16

578 34 10 2 16-18

1083 48 10 3 18-20

40

1323 63 21 3 20-22

3703 161 23 7 22-24

2500 100 25 4 24-26

2187 81 20 3 26-28

2523 58 20 2 28-30

13281 560 25 Sum

708.30

125

25

)560(13281

1

)(

2

2

2

2

2

2

S

S

f

n

xffx

S

Standard deviation االنحراف المعياري

مجموع مربعات عند استخدام التباين كمقياس من مقاييس التشتت ، نجد انه يعتمد على

، ومن ثم ال يتمشى هذا المقياس مع وحدات قياس المتغير محل الدراسة ، ففي المثال االنحرافات

، فليس من المنطق عند تفسير هذه النتيجة ان 0.5السابق ، نجد ان تباين سنوات الخبرة في العينة

سنة تربيع ( الن وحدات قياس المتغير هو عدد السنوات من 0.5نقول ) تباين سنوات الخبرة هو

للتباين لكي يناسب جل ذلك لجا االحصائيين الى مقياس منطقي ياخذ في االعتبار الجذر التربيعي ا

هو االنحراف المعياري . وحدات قياس المتغير ، وهذا المقياس

اذا االنحراف المعياري ، هو الجذر التربيعي الموجب للتباين اي ان :

لمبوبة نستخدم المعادلة :بالنسبة للبيانات غير ا

1

)( 2

2

n

n

xx

S

للبيانات التالية جد االنحراف المعياري : // مثال

10 21 15 10 24 20 13 10

: لـــالح

. عمل جدول الستخراج مفردات المعادلة اعاله

41

. استخراج االنحراف المعياري

141.6

18

8

)148(3002

1

)(

2

2

2

S

S

n

n

xx

S

خصائص االنحراف المعياري :

من خصائص االنحراف المعياري ما يلي :

ان لدينا القرات التالية :اوال : االنحراف المعياري للمقدار الثابت صفرا ، اي انه اذا ك

X =a,a,a,…….,a حيث انa : مقدار ثابت فانS=0 حيث ان ،S تعبر عن

االنحراف المعياري

xلقيم

ثانيا : اذا اضيف مقدار ثابت الى كل قيمة من قيم المفردات ، فان االنحراف المعياري

للقيم الجديدة

االنحراف المعياري للقيم االصلية ) القيم بعد االضافة ( الضافة ( تساوي ) القيم بعد ا

فاذا كانت القيم

nxxxxxاالصلية هي ,,.........,, 321 وتم اضافة مقدار ثابتa الى كل قيمة من قيمx

، فان

axaxaxaxyاالنحراف المعياري للقيم الجديدة : n ,.......,:)( هي : 21

21 SS .

ثالثا : اذا ضرب كل قيمة من قيم المفردات في مقدار ثابت ، فان االنحراف المعياري

للقيم الجديدة ، يساوي االنحراف المعياري لللقيم االصلية مضرويا في الثابت .

رابعا : اذا كان لدينا التوليفة الخطيةbaxy لمعياري للمتغير ، فان االنحراف اy

xyهو ايضا : aSS .

مزايا وعيوب االنحراف المعياري

من مزايا االنحراف المعياري

2X X

100 10

169 13

841 29

576 24

361 19

225 15

441 21

289 17

3002 Sum 148

42

انه اكثر مقاييس التشتت استخداما . .1

يسهل التعامل معه رياضيا . .2

ياخذ كل القيم في االعتبار . .3

من عيوبه ، انه يتاثر بالقيم الشاذة

لقياسي (:الخطا المعياري ) ا

هو النسبية بين االنحراف المعياري ) القياسي ( والجذر التربيعي لعدد المفردات . ويمكن

استخراجه من القانون التالي :

الخطأ القياسيn

SS y

ن الخطا المعياري ) القياسي( للبيانات اعاله هو :أللمثال السابق ف

171.28

141.6

SS

n

SS y