Statistika - PMF Niš

8/17/2019 Statistika - PMF Niš

http://slidepdf.com/reader/full/statistika-pmf-nis 1/349

STATISTIKA

Miroslav M. Risti

Katedra za MatematikuPrirodno-matematiqki fakultet

Univerzitet u Nixu

2008/2009



Literatura

Miroslav M. Risti, Biǉana Q. Popovi, Miodrag S.orevi, Statistika za studente geografije,Prirodno-matematiqki fakultet, Nix, 2006.



Naqin polagaǌa ispita

Deo ispita Poena Naqin polagaǌaI kolokvijum 20 PismenoII kolokvijum 20 PismenoDomai zadaci 10Ukupno 50Uslov 15

Zavrxni deo 50 PismenoAktivnost na qasu Maksimalno 10



Osnovni elementi teorije verovatnoe

Eksperimenti

Mogu biti:

deterministiqki (u svakom ponavǉaǌu eksperimenta priistim uslovima dobija se uvek isti rezultat)

sluqajni (ne moemo da predvidimo rezultat)

Primer

Uslov eksperimenta: Zagrevaǌe vode preko 100 pri

normalnom atmosferskom pritiskuRezultat eksperimenta: Agregatno staǌe vode (uvek gasovito)Uslov eksperimenta: Bacaǌe kocke numerisane brojevima od 1do 6Rezultat eksperimenta: Broj koji se pojavio na gorǌoj strani

kocke (moe 1, 2, 3, 4, 5 ili 6)



Ishodi

Ishod

Rezultat eksperimenta naziva se i ishodom.

Napomena

Prilikom izvoeǌa eksperimenta potrebno je preciziratixta se registruje kao rezultat eksperimenta.

Primer

Eksperiment: Bacaǌe jednog novqiaXta se registruje: Gorǌa strana novqia

Ishodi:



Primer

Eksperiment: Bacaǌe dva novqiaXta se registruje: Strane u prvom i drugom bacaǌuIshodi:

PP

PG

GP

GG



PrimerEksperiment: Novqi se baca dva putaXta se registruje: Broj palih grbovaIshodi: 0, 1, 2

Primer

Eksperiment: Baca se kocka

Xta se registruje: Broj koji je pao na gorǌoj strani

Ishodi:



Primer

Eksperiment: Novqi se baca sve dok ne padne grbXta se registruje: Broj bacaǌaIshodi: 1, 2, 3, . . .

... ...

... . . .



Primer

Eksperiment: Na odreenom mestu i u odreeno vreme meri sevlanost vazduha u %Ishodi: Bilo koji broj iz intervala [0, 100]

Elementaran ishod

Elementaran ishod je osnovni pojam teorije verovatnoe ioznaqava se sa ω.

Skup svih moguih ishodaSkup svih moguih ishoda jednog eksperimenta oznaqava se saΩ.



Primer

Eksperiment: Bacaǌe jednog novqia i registrovaǌe gorǌestrane novqiaSkup moguih ishoda: Ω = P, G

PrimerEksperiment: Bacaǌe dva novqia i registrovaǌe gorǌihstrana novqiaSkup moguih ishoda: Ω = PP, PG, GP, GG

Primer

Eksperiment: Novqi se baca dva puta i registruje se brojpalih grbovaSkup moguih ishoda: Ω = 0, 1, 2



Primer

Eksperiment: Baca se kocka numerisana brojevima od 1 do 6 iregistruje se broj koji je pao na gorǌoj strani kockeSkup moguih ishoda: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

PrimerEksperiment: Novqi se baca sve dok ne padne grb iregistruje se broj bacaǌaSkup moguih ishoda: Ω = 1, 2, 3, . . .

Primer

Eksperiment: Na odreenom mestu i u odreeno vreme meri sevlanost vazduha u %Skup moguih ishoda: Ω = v |0 ≤ v ≤ 100



Skup moguih ishoda

Skup moguih ishoda moe biti:

konaqan

Ω = P, G,Ω = PP, PG, GP, GG,Ω = 0, 1, 2,Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

beskonaqno prebrojiv

Ω = 1, 2, 3, . . . neprebrojiv

Ω = v |0 ≤ v ≤ 100



Sluqajni dogaaji

Sluqajni dogaaj

Bilo koji podskup skupa Ω zove se sluqajni dogaaj.

Oznaqavaǌe

Sluqajne dogaaje oznaqavamo velikim slovima abecede A, B ,C , itd.

Realizacija dogaajaSluqajni dogaaj A se realizuje ako i samo ako se realizujeneki od elementarnih ishoda koji pripada dogaaju A.



Specijalni dogaaji

Siguran dogaaj

Skup moguih ishoda Ω je takoe dogaaj. On sadri sveelementarne ishode, te se uvek realizuje. Zove se sigurandogaaj.

Nemogu dogaaj

Prazan skup ∅ je takoe dogaaj. On ne sadri elementarneishode, te se nikada ne realizuje. Zove se nemogu dogaaj.



PrimerBaca se homogena numerisana kocka i registruje se broj kojise pojavio na gorǌoj strani kocke. Odrediti skup moguihishoda i dogaaje: a) A-”pada broj 6”, b) B -”pada broj ne veiod 3”, v) C -”pada neparan broj”, g) D -”padaju istovremeno

brojevi 2 i 3”, d) E -”pada broj razliqit od 2”.

Rexeǌe:Skup moguih ishoda je Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.A = 6

B = 1, 2, 3C = 1, 3, 5D = ∅E = 1, 3, 4, 5, 6



Primer

Baca se homogena numerisana kocka i registruje se broj kojise pojavio na gorǌoj strani kocke. Odrediti skup moguihishoda i dogaaje: a) A-”pada broj 3”, b) B -”pada broj maǌiod 3”, v) C -”ne pada nijedan broj”, g) D -”pada paran broj”, d)E -”padaju dva broja”, ) F -”pada jedan od brojeva 2 ili 3”, e)

G -”pada broj vei od 1”.Rexeǌe:Skup moguih ishoda je Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.A = 3

B = 1, 2C = ∅D = 2, 4, 6E = ∅F = 2, 3

G = 2, 3, 4, 5, 6



Primer

Novqi se baca qetiri puta i registruje se gorǌa strananovqia u svakom bacaǌu. Odrediti skup moguih ishoda idogaaje: a) A-”pismo pada vixe puta nego grb”, b) B -”pismopada taqno dva puta”, v) C -”pismo pada vixe od dva puta”, g)D -”rezultati svih bacaǌa su isti”, d) E -”sva qetiri puta

pada grb”.Rexeǌe:Skup moguih ishoda je Ω = PPPP, PPPG, PPGP, PGPP,GPPP, PPGG, PGPG, PGGP, GPPG, GPGP, GGPP, PGGG,

GPGG, GGPG, GGGP, GGGGA = PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPPB = PPGG, PGPG, PGGP, GPPG, GPGP, GGPPC = PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPP = A

D = PPPP,GGGG

E = GGGG



Primer

Bacaju se dve numerisane kocke i registruju se brojevi nagorǌim stranama kocki. Odrediti skup moguih ishoda idogaaje: a) A-”na obema kockama pada broj qetiri”, b) B -”na

obema kockama pada isti broj”, v) C -”padaju brojevi 2 i 3”, g)D -”padaju brojevi qiji je zbir 10”, d) E -”padaju brojevi qiji je zbir 8 ili 10”.

Rexeǌe:

Ishod moemo predstaviti kao ureeni par (x , y ), gde je x broj na prvoj, a y broj na drugoj kocki.



Ω = (x , y )|1 ≤ x , y ≤ 6

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)



A = (4, 4)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)



B = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)



C = (2, 3), (3, 2)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)



D = (4, 6), (5, 5), (6, 4)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)



E = (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (4, 6), (5, 5), (6, 4)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)



Dogaaji

Implikacija dogaaja

Dogaaj A implicira dogaaj B i pixemo A ⊂ B , ako kad god se realizuje A realizuje se i B .

Ω

B

A



Dogaaji

Suprotan dogaaj

Suprotan dogaaj dogaaju A, u oznaci Ac , je dogaaj koji serealizuje onda i samo onda kada se dogaaj A ne realizuje.

Ω

A

Ac



Dogaaji

Presek dogaaja

Presek dva dogaaja A i B , u oznaci A ∩ B , je dogaaj koji serealizuje ako i samo ako se istovremeno realizuju obadogaaja A i B .

Oznaka

Presek dva dogaaja A ∩ B moe se zapisati i kao proizvod dva dogaaja AB .

A B



Dogaaji

Unija dogaaja

Unija dva dogaaja A i B , u oznaci A ∪ B , je dogaaj koji serealizuje ako i samo ako se realizuje bar jedan od dogaaja A

ili B .

A B



Dogaaji

Disjunktni dogaaji

Dogaaji A i B su disjunktni ili uzajamno iskǉuqivi ako jeA ∩ B = ∅.

Zbir dogaaja

Ako su dogaaji A i B disjunktni, tada se umesto termina

unija dogaaja koristi termin zbir dogaaja i pixe A + B .



Dogaaji

Razlika dogaaja

Razlika dogaaja A i B , u oznaci A\B , je dogaaj koji serealizuje ako i samo ako se realizuje dogaaj A i ne realizujedogaaj B .

A B



Primer

Neka se eksperiment sastoji u istovremenom bacaǌu kocke inovqia. Registruju se broj koji se pojavio na gorǌoj stranikocke i gorǌa strana novqia. Odrediti sledee dogaaje:

A-”pojavǉuje se paran broj”, B -”pojavǉuje se pismo”,C -”pojavǉuje se broj deǉiv sa 4”, A ∪ B , A ∩ B , Ac , A\B . Da lidogaaj C implicira dogaaj A?

Rexeǌe:

Ishod moemo predstaviti kao ureeni par (x , y ), gde je x broj na kocki, a y je pojavǉivaǌe jedne strane novqia.



Ω = (x , y )|1 ≤ x ≤ 6, y ∈ P,G

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)



A = (2, P), (2, G), (4, P), (4, G), (6, P), (6, G)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)



B = (1, P), (2, P), (3, P), (4, P), (5, P), (6, P)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)



C = (4, P), (4, G)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)



A ∪ B = (1, P), (2, P), (3, P), (4, P), (5, P), (6, P), (2, G), (4, G), (6, G)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)



A ∩ B = (2, P), (4, P), (6, P)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)



Ac = (1, P), (1, G), (3, P), (3, G), (5, P), (5, G)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)



A\B = (2, G), (4, G), (6, G)

1 2 3 4 5 6

P

G

(1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)

(1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)



Primer

Neka dogaaj A znaqi da je bar jedan od tri proizvedenaartikla neispravan, a neka dogaaj B znaqi da su najmaǌe dva

artikla neispravna. Odrediti dogaaje Ac

, B c

, AB , AB c

, Ac

B ,A ∪ B .

Rexeǌe:Oznaqimo sa I pojavu ispravnog artikla, a sa D pojavu

neispravnog artikla.



IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω



A

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω



A B

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω



AAc

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω



B B c

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω



AB = B

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω



AB c

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω



Ac B

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

ΩAc B = ∅



A ∪ B = A

IDD

DID

DDI

IID

IDI

DII

III DDD

Ω



Primer

Neka su A, B i C tri dogaaja. Napisati pomou osnovnihoperacija izraze za dogaaje: 1. ostvari se samo A, 2. ostvare

se A i B , 3. ostvare se sva tri dogaaja, 4. ostvari se bar jedan od tih dogaaja, 5. ostvare se bar dva dogaaja, 6.ostvari se samo jedan od tih dogaaja, 7. ostvare se taqno dvadogaaja, 8. ne ostvari se ni jedan od tih dogaaja, 9.ostvari se vixe od dva dogaaja.



Ω

A

B

C



”Ostvari se samo A” = AB

c

C

c

Ω

A

B

C



”Ostvare se A i B ”= AB

Ω

A

B

C



”Ostvare se sva tri dogaaja”= ABC

Ω

A

B

C



”Ostvari se bar jedan dogaaj”= A

∪B

∪C

Ω

A

B

C



”Ostvare se bar dva dogaaja”= AB

∪AC

∪BC

Ω

A

B

C



”Ostvari se samo jedan dogaaj”= AB c C c + Ac BC c + Ac B c C

Ω

A

B

C



”Ostvare se taqno dva dogaaja”= ABC c + AB c C + Ac BC

Ω

A

B

C



”Ne ostvari se ni jedan dogaaj”= Ac B c C c

Ω

A

B

C

Potpun sistem dogaaja




Definicija

Za meusobno disjunktne dogaaje A1, A2, . . . , An kaemo daqine potpun sistem dogaaja ako je ǌihov zbir sigurandogaaj Ω, tj. A1 + A2 + · · · + An = Ω.

Ω

A1 A2 A3

A4 A5





Primer

Neka je skup moguih ishoda Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ispitati da li sledei dogaaji qine potpun sistemdogaaja:

1 A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, A3 = 7, 8, 9

2 A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, 6, 9, A3 = 4, 7, 8

3 A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, 6, 9, A3 = 7, 8



A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, A3 = 7, 8, 9

Ω

1 2 3

4 5 6

7 8 9



A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, 6, 9, A3 = 4, 7, 8

Ω

1 2 3

4 5 6

7 8 9



A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5, 6, 9, A3 = 7, 8

Ω

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Zadaci



Zadaci

Zadatak 1

Strelac ima 4 metka i gaa u ciǉ sve dok ne pogodi dva puta

uzastopno ili dok ne izgubi xansu da ispuni taj uslov.Belei se rezultat svakog gaaǌa. Odrediti skup moguihishoda Ω i dogaaje:

A-”ciǉ je pogoen bar dva puta”

B -”ostao je neiskorixen bar jedan metak”

C -”bilo je vixe promaxaja nego pogodaka”

Zadaci



Zadaci

Zadatak 2Neka je Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A = 1, 2, 3, 4, B = 2, 4, 6, 8 iC = 3, 4, 5, 6. Odrediti dogaaje Ac , AC , (AC )c , A ∪ B , B \C .

Zadaci



Zadaci

Zadatak 3

Neka je Ω = a , b , c , d , e , f , g . Ispitati da li sledei dogaaji

qine potpun sistem dogaaja:1 A1 = a , c , e , A2 = b , A3 = d , g

2 B 1 = a , e , g , B 2 = c , d , B 3 = b , e , f

3 C 1 = a , b , e , g , C 2 = c , C 3 = d , f

4 D 1 = a , b , c , d , e , f , g

Verovatnoa



r

Ispravan novqi bacamo 100 puta i registrujemo da li jepao grb (dogaaj A).

Neka je n (A) broj eksperimenata u kojima se realizovaodogaaj A.

Izraqunavamo koliqnike n (A)n

za n = 1, 2, 3, . . . , 100.

Taqke

n ,n (A)

n

, n = 1, 2, . . . , 100, spajamo izlomǉenom

linijom.

0.5

1001

Verovatnoa



r

Homogenu kocku bacamo 100 puta i registrujemo da li jepao broj 1 (dogaaj A1), broj 2 (dogaaj A2), . . . , broj 6(dogaaj A6).

Neka je n (Ai ) broj eksperimenata u kojima se realizovaodogaaj Ai , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Izraqunavamo koliqnike n (Ai )n

za n = 1, 2, 3, . . . , 100,i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Taqke

n , n (Ai )n

, n = 1, 2, . . . , 100, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, spajamo

izlomǉenom linijom.

1/6



1/6

1001

1/6

1001

1/6

1001

1/6

1001

1/6

1001

1/6

1001

Verovatnoa



r

Pravilnost

Pri uveaǌu broja n , koliqnik n (A)n

se sve vixe grupixe okoodreenog broja.

Verovatnoa dogaaja

Broj oko koga se grupixe koliqnik n (A)n

kada se n neograniqenouveava zove se verovatnoa dogaaja A i oznaqava se sa P (A).

Klasiqna definicija

Neka eksperiment ima n elementarnih ishoda i neka je m

ishoda povoǉno za dogaaj A. Verovatnoa dogaaja A je broj

P (A) = m

n .

Verovatnoa



Primer

Baca se kocka i registruje se broj na gorǌoj strani. Naiverovatnou da taj broj bude:

1 broj 22 broj koji nije vei od 4

3 neparan broj

4 broj 3 ili broj 4

5 broj razliqit od 46 broj koji nije maǌi od 3

Verovatnoa



Rexeǌe

Skup moguih ishoda je Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, te je n = 6.

1 A-”pada broj 2”= 2, m = 1⇒ P (A) = 1

6

2 A-”pada broj ne vei od 4”= 1, 2, 3, 4, m = 4⇒ P (A) = 46

3 A-”pada neparan broj”= 1, 3, 5, m = 3⇒ P (A) = 3

6

4 A-”pada broj 3 ili broj 4”= 3, 4, m = 2⇒ P (A) = 2

6

5 A-”pada broj razliqit od 4”= 1, 2, 3, 5, 6,m = 5⇒ P (A) = 5

6

6 A-”pada broj ne maǌi od 3”= 3, 4, 5, 6, m = 4⇒ P (A) = 4

6

Primer



r r

Kutija sadri pet artikala. Poznato je da su meu ǌima dva

defektna. Artikli se izvlaqe jedan za drugim i registruje seda li je izvuqeni artikal defektan ili nije. Naiverovatnou da je trei izvuqeni artikal posledǌi defektankoji je izvuqen.

Rexeǌe: Obeleimo sa ”D” defektan i sa ”I” ispravanartikal. Tada su mogui ishodi

Izvlaqeǌe IzvlaqeǌeI II III IV V I II III IV V

D D I I I I D I D ID I D I I I D I I DD I I D I I I D D ID I I I D I I D I DI D D I I I I I D D



RexeǌeUkupno je 10 elementarnih ishoda, te je n = 10.

Posmatramo dogaaj A-”trei izvuqeni artikal je posledǌidefektan koji je izvuqen”.

Povoǉni ishodi dogaaja A su DIDII i IDDII, te jem = 2.

Verovatnoa dogaaja A je

P (A) = 2

10 =

1

5.

Verovatnoa



Savremena definicija

Verovatnoa P je funkcija koja preslikava skup svih ishodaΩ u skup realnih brojeva R sa sledeim osobinama:

1 Za svaki dogaaj A iz Ω vai P (A) ≥ 0 (Nenegativnostverovatnoe)

2 P (Ω) = 1 (Normiranost verovatnoe)

3 Za meusobno disjunktne dogaaje A1, A2, . . . , vai

P (A1 + A2 + . . . ) = P (A1) + P (A2) + . . . (σ-aditivnostverovatnoe)

Osobine verovatnoe



Verovatnoa nemogueg dogaaja

Verovatnoa nemogueg dogaaja je 0, tj. P (∅) = 0.

Verovatnoa suprotnog dogaaja

Verovatnoa suprotnog dogaaja Ac je P (Ac ) = 1− P (A).

Monotonost verovatnoe

Ako dogaaj A implicira dogaaj B , tj. A ⊂ B , tada jeP (

A) ≤

P (

B ).

Verovatnoa dogaaja

Za svaki dogaaj A vai 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Osobine verovatnoe



Verovatnoa unije dva dogaaja

Za dva dogaaja A i B vai

P (A ∪ B ) = P (A) + P (B )− P (AB ).

Verovatnoa unije dva disjunktna dogaaja

Za dva disjunktna dogaaja A i B vai

P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ).



Primer

Neka se eksperiment sastoji u bacaǌu kocke. Neka je A

dogaaj da se dobije broj deǉiv sa 2, a B dogaaj da se dobijebroj deǉiv sa 3. Nai verovatnou da se pri bacaǌu kockedobije broj deǉiv sa 2 ili sa 3.

Rexeǌe:Dati su dogaaji A-”dobija se broj deǉiv sa 2” i B -”dobijase broj deǉiv sa 3”.Dogaaj ”Dobija se broj deǉiv sa 2 ili sa 3” je dogaaj A∪B .

Verovatnoa dogaaja A

∪B

je

P (A ∪ B ) = P (A) + P (B )− P (AB ).



Rexeǌe

Elementarni ishodi su 1, 2, 3, 4, 5, 6, te je n = 6.Dogaaj A qine elementarni ishodi 2, 4, 6, te je P (A) = 3

6.

Dogaaj B qine elementarni ishodi 3, 6, te je P (B ) = 2

6.

Presek dogaaja A i B je dogaaj ”dobija se broj deǉiv i sa 2i sa 3”. On sadri ishod 6, te je P (AB ) = 1

6.

Verovatnoa traenog dogaaja je

P (A ∪ B ) = 3

6

+ 2

6

− 1

6

= 2

3

.

Primer



Primer

Bacamo tri novqia i registrujemo gorǌe strane novqia u

svakom bacaǌu. Neka je A dogaaj da se pojave najvixe dvapisma, a B dogaaj da se pojave najmaǌe dva grba. IzraqunatiP (A ∪ B ).

Rexeǌe: Skup moguih ishoda je

Ω = PPP, PPG, PGP, GPP, PGG, GPG, GGP, GGG

te je n = 8.Potrebno je odrediti verovatnoe dogaaja A, B i AB .

Suprotan dogaaj dogaaju A je dogaaj ”pojavǉuju se vixe od dva pisma”, tj. ”pojavǉuju se tri pisma”.Kako je Ac = PPP, to je P (Ac ) = 1

8.

Verovatnoa dogaaja A je P (A) = 1− P (Ac ) = 7

8.



RexeǌeKako je B -”pojavǉuju se najmaǌe dva grba”= PGG, GPG, GGP, GGG, to je P (B ) = 4

8.

Odredimo presek dogaaja A i B .Dogaaj B je i dogaaj da padne najvixe jedno pismo, te jepresek AB dogaaj da padne najvixe jedno pismo.Imamo da je AB = PGG, GPG, GGP, GGG, te je P (AB ) = 4

8.

Traena verovatnoa je

P (A ∪ B ) = 7

8 + 4

8 − 4

8 = 7

8.

Zadaci



Zadatak 1

Bacaju se dva novqia i registruju se gorǌe strane novqia

u svakom bacaǌu. Kolika je verovatnoa da se pojave dve jednake strane ili najvixe jedan grb?

Zadatak 2

Iz sveǌa od 52 karte za igru izvlaqimo jednu kartu. Kolika

je verovatnoa da emo izvui kartu boje pik ili damu?

Zadaci



Zadatak 3

Bacamo istovremeno novqi i kocku i registrujemo broj nagorǌoj strani kocke i gorǌu stranu novqia. Kolika je

verovatnoa da na novqiu dobijemo pismo ili na kocki broj3?

Zadatak 4

Bacaju se dve kocke i registruju se brojevi na gorǌim

stranama kocki. Kolika je verovatnoa da dve baqene kockenee pokazati brojeve qiji je zbir deǉiv sa 2 ili sa 3?

Uslovne verovatnoe



Uslovna verovatnoa

Uslovna verovatnoa dogaaja B , pod uslovom da se ostvariodogaaj A je

P (B |A) = P (AB )

P (A) ,

uz pretpostavku da je P (A) > 0.

Primer





stranama. Ako su kocke pokazale zbir 10, odreditiverovatnou da na jednoj od ǌih bude broj 6.

Rexeǌe:Posmatramo dogaaje A-”pojavǉuje se zbir 10” i B -”pojavǉujese broj 6”.Skup moguih ishoda Ω = (x , y )|1 ≤ x , y ≤ 6 ima ukupno 36elemenata.Potrebno je izraqunati uslovnu verovatnou P (B |A).A = (4,6), (5, 5), (6,4), te je P (A) = 3

36.

AB = (4,6), (6,4), te je P (AB ) = 2

36 .Uslovna verovatnoa je

P (B |A) =2

36

3

36

= 2

3 .

Primer



Novqi se baca tri puta i registruju se gorǌe strane

novqia u svakom bacaǌu. a) Ako prva dva puta padne pismo,kolika je verovatnoa da e i trei put pasti pismo? b) Akou prvom bacaǌu padne pismo, kolika je verovatnoa da udruga dva bacaǌa bude najmaǌe jedan grb?

Rexeǌe:Ω = PPP,PPG,PGP,GPP,PGG,GPG,GGP,GGG.a) A-”prva dva puta pada pismo”=PPP,PPGB -”trei put pada pismo”AB -”prva dva puta pada pismo i trei put pada

pismo”=PPP

P (B |A) = P (AB )

P (A) =

1

8

2

8

= 1

2



Rexeǌe

b) C -”prvi put pada pismo”=PPP,PPG,PGP,PGG

D -”u druga dva bacaǌa pada najmaǌe jedan grb”

CD -”prvi put pada pismo i u druga dva bacaǌa pada najmaǌe jedan grb”=PPG,PGP,PGG

P (D |C ) = P (CD )

P (C ) =

3

8

4

8

= 3

4

Nezavisnost dogaaja



Nezavisnost dva dogaaja

Dogaaji A i B su nezavisni ako je P (AB ) = P (A)P (B ).Dogaaji A i B su zavisni ako je P (AB ) = P (A)P (B ).

Nezavisnost tri dogaaja

Dogaaji A, B i C su nezavisni u potpunosti ako je

P (AB ) = P (A)P (B )

P (AC ) = P (A)P (C )P (BC ) = P (B )P (C )

P (ABC ) = P (A)P (B )P (C )



PrimerBacaju se tri novqia i registruju se gorǌe strane. Neka sudogaaji

A− ”pala su tri grba ili tri pisma”

B − ”pala su bar dva pisma”

C − ”pala su najvixe dva grba”

a) Koji su od dogaaja A i B , A i C , B i C nezavisni, a kojizavisni?b) Da li su dogaaji A, B i C nezavisni u potpunosti?

R



Rexeǌe

a) A =PPP,GGG P (A) = 28

B =PPG,PGP,GPP,PPP P (B ) = 4

8

C =PPP,PPG,PGP,GPP,PGG,GPG,GGP P (C ) = 7

8

AB =PPP P (AB ) = 1

8

AC =PPP P (AC ) = 1

8

BC =PPG,PGP,GPP,PPP P (BC ) = 4

8

P (AB ) = 1

8, P (A)P (B ) = 1

8, nezavisni

P (AC ) = 1

8, P (A)P (C ) = 7

32, zavisni

P (BC ) =

1

2

,

P (B )P (C ) =

7

16

,

zavisnib) ABC =PPP, P (ABC ) = 1

8, P (A)P (B )P (C ) = 7

64, zavisni u

potpunosti

Zadaci



Zadatak 1

Iz xpila od 52 karte izvlaqimo dve karte jednu za drugom.Kolika je verovatnoa da, ako je prva izvuqena karta kraǉ,

bude i druga izvuqena karta takoe kraǉ?

Zadatak 2

Iz skupa 1,2, . . . , 19, 20 sluqajno je izabran broj. Odreditiverovatnou da je izabran paran broj, ako se zna da jeizabran broj deǉiv sa tri.

Zadaci



Zadatak 3

Bacaju se dve kocke i registruju se brojevi na gorǌimstranama. Neka A oznaqava pojavu neparnog broja na prvojkocki, B pojavu parnog broja na drugoj kocki i C pojavu brojaveeg od tri na prvoj kocki. Ispitati nezavisnost dogaaja uparovima i u potpunosti.

Sluqajna promenǉiva



Registrovaǌe ishoda eksperimenta

Kod nekih eksperimenata sluqajan ishod ω se registruje kaobroj.

Kao brojevi se mogu registrovati:visina stanovnika

teina stanovnika

vodostaj

broj sunqanih dana u toku godinetemperatura vazduha

liqni dohodak




Nenumeriqki (atributivni) ishodi

Kao nenumeriqki ishodi se mogu registrovati:

pol stanovnika

boja kosezanimaǌe

braqno staǌe

Kodiraǌe

Postupak pridruivaǌa broja svakom nenumeriqkom ishoduzove se kodiraǌe.


Funkcija X koja svakom elementarnom ishodu ω iz Ω dodeǉuje



Funkcija X koja svakom elementarnom ishodu ω iz Ω dodeǉuje

realan broj X (ω) zove se sluqajna promenǉiva.

Oznaqavaǌe

Sluqajne promenǉive se oznaqavaju velikim slovima X , Y , Z ,itd.

Realizacije sluqajne promenǉive

Vrednosti x 1, x 2, . . . koje uzima sluqajna promenǉiva X zovuse realizacije sluqajne promenǉive.

Skup realizacija sluqajne promenǉive

Skup svih vrednosti x 1, x 2, . . . sluqajne promenǉive X zovese skup realizacija sluqajne promenǉive X i oznaqava se saX (Ω).




Primer

Novqi se baca tri puta. Odrediti skup realizacija sluqajnepromenǉive X koja predstavǉa broj grbova u tri bacaǌa.

Rexeǌe:

Skup moguih ishoda jeΩ = PPP,PPG,PGP,GPP,PGG,GPG,GGP,GGG.Realizacije su:X (PPP) = 0,X (PPG) = 1, X (PGP) = 1, X (GPP) = 1,X (PGG) = 2, X (GPG) = 2, X (GGP) = 2,X (GGG) = 3.Skup realizacija sluqajne promenǉive X je X (Ω) = 0, 1, 2, 3.

Primer

Istovremeno se bacaju dve homogene numerisane kocke.



r c ju d u r c

Odrediti skup realizacija sluqajne promenǉive Y kojapredstavǉa zbir brojeva koji se pojavǉuju na obe kocke.

Rexeǌe:Skup moguih ishoda je Ω = (i , j )|1 ≤ i , j ≤ 6.Realizacije su:

Y (1, 1) = 2 Y (1, 2) = 3 Y (1, 3) = 4 Y (1, 4) = 5 Y (1, 5) = 6 Y (1, 6) = 7

Y (2, 1) = 3 Y (2, 2) = 4 Y (2, 3) = 5 Y (2, 4) = 6 Y (2, 5) = 7 Y (2, 6) = 8

Y (3, 1) = 4 Y (3, 2) = 5 Y (3, 3) = 6 Y (3, 4) = 7 Y (3, 5) = 8 Y (3, 6) = 9

Y (4, 1) = 5 Y (4, 2) = 6 Y (4, 3) = 7 Y (4, 4) = 8 Y (4, 5) = 9 Y (4, 6) = 10

Y (5,

1) =

6 Y (

5,

2) =

7 Y (

5,

3) =

8 Y (

5,

4) =

9 Y (

5,

5) =

10 Y (

5,

6) =

11

Y (6, 1) = 7 Y (6, 2) = 8 Y (6, 3) = 9 Y (6, 4) = 10 Y (6, 5) = 11 Y (6, 6) = 12

Skup realizacija sluqajne promenǉive Y jeY (Ω) = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Primer

Lopta se baca u kox dok se ne postignu 2 pogotka ili ne



Lopta se baca u kox dok se ne postignu 2 pogotka ili ne

izvedu 4 bacaǌa. Neka je X broj bacaǌa, a Y broj promaxaja.Odrediti skup moguih ishoda Ω i realizacije sluqajnihpromenǉivih X i Y .Rexeǌe:Neka je 0 – promaxaj i 1 – pogodak.

Skup moguih ishoda jeΩ = 11, 011, 101, 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 1000, 1001.Preslikavaǌa su

ω 11 011 101 0000 0001 0010 0011 0100 0101 1000 1001X (ω) 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4

Y (ω) 0 1 1 4 3 3 2 3 2 3 2

Skup realizacija sluqajne promenǉive X je X (Ω) = 2, 3, 4.Skup realizacija sluqajne promenǉive Y jeY (Ω) = 0, 1, 2, 3, 4.

Realizacija



Sluqajnepromenǉive

Diskretne

konaqno

Realizacijaprebro-

jivobeskonaqno

Apsolutnoneprekidne

Diskretne sluqajne promenǉive



Sa konaqno mnogo realizacija

Za neku sluqajnu promenǉivu X kaemo da je diskretnasluqajna promenǉiva sa konaqno mnogo realizacija ako uzima

vrednosti iz nekog konaqnog skupa x 1, x 2, . . . , x n .

Sa prebrojivo beskonaqno mnogo realizacija

Za neku sluqajnu promenǉivu X kaemo da je diskretnasluqajna promenǉiva sa prebrojivo beskonaqno mnogo

realizacija ako uzima vrednosti iz nekog prebrojivog skupax 1, x 2, . . . .

Sluqajna promenǉiva X je odreena ako su poznateverovatnoe p i = P X = x i za svako x i .



Zakon raspodele

Vrednosti x i i ǌihove verovatnoe p i qine zakon raspodelediskretne sluqajne promenǉive X .

Konaqno mnogo vrednostiZakon raspodele diskretne sluqajne promenǉive sa konaqnomnogo vrednosti zapisuje se u obliku

x 1 x 2 . . . x n

p 1 p 2 . . . p n

1 Sve verovatnoe p i moraju biti pozitivne.

2 Zbir svih verovatnoa p i mora biti 1.



Prebrojivo beskonaqno mnogo vrednostiZakon raspodele diskretne sluqajne promenǉive saprebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti zapisuje se u obliku

x 1 x 2 . . .

p 1 p 2 . . .

Napomena

1 Sve verovatnoe p i moraju biti pozitivne.

2 Zbir svih verovatnoa p i mora biti 1.

Primer

Jedan novqi se baca tri puta, pri qemu se registruje koliko



d c r u , r u r ruj

puta je pao grb. Pretpostavǉajui da grb i pismo imaju isteverovatnoe pojavǉivaǌa (svaki ishod se pojavǉuje saverovatnoom 1/2), odrediti raspodelu sluqajne promenǉiveX koja predstavǉa broj dobijenih grbova u tri nezavisnabacaǌa jednog novqia.

Rexeǌe:Skup realizacija sluqajne promenǉive X je X (Ω) = 0, 1, 2, 3.Odredimo verovatnoe P X = 0, P X = 1, P X = 2 iP X = 3.

P X = 0 = P PPP = 1/8P X = 1 = P PPG,PGP,GPP = 3/8

P X = 2 = P PGG,GPG,GGP = 3/8

P X = 3 = P GGG = 1/8



Primer



Primer

Novqi se baca sve dok ne padne grb. Odrediti raspodelusluqajne promenǉive Y koja predstavǉa broj bacaǌa.

Rexeǌe:Sluqajna promenǉiva Y uzima vrednosti 1, 2, 3 itd.

Verovatnoe su redomP Y = 1 = P G = 1/2

P Y = 2 = P PG = 1/4

P Y = 3 = P PPG = 1/8

..

.

...

...

P Y = n = P P ...P G = 1/2n

Rexeǌe

Zakon raspodele sluqajne promenǉive Y je



1 2 . . . n . . .1/2 1/4 . . . 1/2n . . .

Grafiqki prikaz zakona raspodele

y 1 2 . . . . . . n

P (Y = y )

1/2n

1/4

1/2

Funkcija raspodele verovatnoa



Funkcija raspodele verovatnoa

Realna funkcija F definisana kao

F (x ) = P X ≤ x , x ∈ R,

zove se funkcija raspodele verovatnoa sluqajne promenǉiveX .

Osobina 1

Funkcija raspodele verovatnoa je neopadajua funkcija, tj.ako je x < y , tada je F (x ) ≤ F (y ).

Osobina 2



Funkcija raspodele verovatnoa uzima vrednosti izmeu 0 i1, pri qemu je

F (−∞) = limx →−∞

F (x ) = 0

F (∞) = lim

x →∞

F (x ) = 1

Osobina 3

Funkcija raspodele verovatnoa je neprekidna sa desnestrane, tj.

limε↓0

F (x + ε) = F (x )

Ako je zakon raspodele sluqajne promenǉive X oblika



Ako je zakon raspodele sluqajne promenǉive X oblika

x 1 x 2 . . . x n p 1 p 2 . . . p n

,

tada je funkcija raspodele verovatnoa zadata sa

F (x ) =

0, x < x 1,p 1, x 1 ≤ x < x 2,p 1 + p 2, x 2 ≤ x < x 3,

..

.

...1, x ≥ x n .

Primer

Odrediti funkciju raspodele verovatnoa sluqajne



promenǉive X zakona raspodele −1 0 1 2 3

0, 2 0, 2 0, 1 0, 4 0, 1

.

Rexeǌe:Funkcija raspodela verovatnoa sluqajne promenǉive X je

F (x ) =

0, x < −1,0, 2, −1 ≤ x < 0,

0, 4, 0 ≤ x < 1,0, 5, 1 ≤ x < 2,0, 9, 2 ≤ x < 3,1, x ≥ 3.



Apsolutno neprekidne sluqajne promenǉive



Apsolutno neprekidne sluqajne promenǉiveSluqajna promenǉiva X je apsolutno neprekidna ako je skupǌenih vrednosti neki interval, podskup skupa realnihbrojeva ili ceo skup realnih brojeva, i ako postojinenegativna funkcija f (x ), x ∈ R, takva da je

F (x ) =

x −∞

f (t )dt , x ∈ R.

Gustina raspodele

Funkcija f (x ) zove se gustina raspodele sluqajne promenǉiveX .



Povrxina xrafirane oblasti je 1



a b

Verovatnoa da sluqajna promenǉiva X uzima vrednost izintervala (a ,b ]

Zadaci

Zadatak 1



d

Automobil se kree u pravcu gde e naii na tri semafora.Svaki od ǌih dopuxta daǉe kretaǌe sa verovatnoom 2/3, azabraǌuje kretaǌe sa verovatnoom 1/3. Nai zakonraspodele prolaska automobila pored semafora do prvog

zaustavǉaǌa. Grafiqki prikazati zakon raspodeleverovatnoa. Odrediti i grafiqki predstaviti funkcijuraspodele verovatnoa.

Zadatak 2

Novqi se baca 4 puta. Sluqajna promenǉiva X se definixekao broj pojavǉivaǌa grba. Nai i grafiqki prikazati zakonraspodele sluqajne promenǉive X . Odrediti i grafiqkipredstaviti funkciju raspodele verovatnoa.

Zadaci



Zadatak 3

Kocka se baca tri puta. Sluqajnu promenǉivu Y definixemokao broj pojavǉivaǌa xestice. Nai i grafiqki prikazatizakon raspodele sluqajne promenǉive Y . Odrediti i

grafiqki predstaviti funkciju raspodele verovatnoa.

Zadatak 4

Strelac sa 4 metka gaa u ciǉ dok ne pogodi. Sluqajnapromenǉiva Z je broj utroxenih metaka. Nai i grafiqkiprikazati zakon raspodele sluqajne promenǉive Z . Odreditii grafiqki predstaviti funkciju raspodele verovatnoa.

Vixedimenzionalne sluqajne

promenǉive



Istovremeno se moe posmatrati i vixe sluqajnihpromenǉivih.

Primer

Temperatura vazduha i nadmorska visina.

Vazduxni pritisak, relativna vlanost vazduha itemperatura vazduha.

Dvodimenzionalna sluqajna promenǉiva

Funkcija Z = (X , Y ) koja skup svih moguih ishoda preslikavau R2 zove se dvodimenzionalna sluqajna promenǉiva.

Napomena



Dvodimenzionalna sluqajna promenǉiva se moe posmatratikao par jednodimenzionalnih sluqajnih promenǉivih.

Dvodimenzionalna sluqajna promenǉiva moe biti:

diskretna

apsolutno neprekidna.

Diskretna dvodimenzionalna sluqajna promenǉiva

Diskretna dvodimenzionalna sluqajna promenǉiva uzima

vrednosti iz konaqnog ili beskonaqno prebrojivog diskretnogskupa (x i , y i ).

Apsolutno neprekidna dvodimenzionalna sluqajna



promenǉivaApsolutno neprekidna dvodimenzionalna sluqajna promenǉivauzima vrednosti iz (a , b ] × (c , d ].

n -dimenzionalna sluqajna promenǉiva

Funkcija Z koja skup svih moguih ishoda preslikava u Rn

zove se n -dimenzionalna sluqajna promenǉiva.

Zakon raspodele diskretne dvodimenzionalne sluqajne

promenǉive odreen je verovatnoama p ij = P X = x i , Y = y j ,i , j = 1, 2, . . . .

Zakon raspodele diskretne dvodimenzionalne sluqajnepromenǉive se najqexe predstavǉa u obliku tabele.



j u uPretpostavimo da sluqajna promenǉiva X uzima vrednosti izskupa x 1, x 2, . . . , x m , a sluqajna promenǉiva Y uzimavrednosti iz skupa y 1, y 2, . . . , y n .Tada je zakon raspodele diskretne dvodimenzionalne sluqajne

promenǉive (X , Y ) oblika

X \Y y 1 y 2 . . . y n

x 1 p 11 p 12 . . . p 1n

x 2 p 21 p 22 . . . p 2n

... ... ... . . . ...

x m p m 1 p m 2 . . . p mn

Tabela kontingencije



Formirana tabela zove se tabela kontingencije.

Napomena

Zbir svih verovatnoa p ij , i = 1, 2, . . . , m , j = 1, 2, . . . , n , morabiti 1.

Primer

Novqi se baca tri puta. Posmatraju se sluqajne promenǉiveX -broj grbova u tri bacaǌa i Y -broj grbova u posledǌa dva

bacaǌa. Odrediti zakon raspodele dvodimenzionalnesluqajne promenǉive (X , Y )

Rexeǌe

Skup svih moguih ishoda Ω ima 8 elemenata



Ω = PPP,PPG,PGP,GPP,PGG,GPG,GGP,GGG.

Dvodimenzionalna sluqajna promenǉiva (X , Y ) prevodi skup Ωu R2 na sledei naqin:

(X , Y )(PPP) = (0, 0), (X , Y )(PGG) = (2, 2),(X , Y )(PPG) = (1, 1), (X , Y )(GPG) = (2, 1),(X , Y )(PGP) = (1, 1), (X , Y )(GGP) = (2, 1),(X , Y )(GPP) = (1, 0), (X , Y )(GGG) = (3, 2).

Skup realizacija za (X , Y ) je skup parova (0, 0), (1, 0), (1, 1),(2, 1), (2, 2), (3, 2).

Rexeǌe

Verovatnoe su redom



P (X , Y ) = (0, 0) = P PPP = 1

8,

P (X , Y ) = (1, 0) = P GPP = 1

8,

P (X , Y ) = (1, 1) = P PPG,PGP = 1

4,

P (X , Y ) = (2, 1) = P GPG,GGP = 1

4,

P (X , Y ) = (2, 2) = P PGG =

1

8 ,

P (X , Y ) = (3, 2) = P GGG = 1

8,

R



Rexeǌe

Zakon raspodele dvodimenzionalne sluqajne promenǉive(X , Y ) je

X \Y 0 1 2

0 1/8 0 01 1/8 1/4 0

2 0 1/4 1/8

3 0 0 1/8

Iz zajedniqke raspodele diskretnih sluqajnih promenǉivih X

i Y mogu se odrediti pojedinaqni zakoni raspodela

j j X



jednodimenzionalnih diskretnih sluqajnih promenǉivih X iY .Zakon raspodele sluqajne promenǉive X je oblika

x 1 x 2 . . . x m

p 1• p 2• . . . p m •

,

gde je p i • = p i 1 + p i 2 + · · ·+ p in , i = 1, 2, . . . , m , verovatnoa da esluqajna promenǉiva X uzeti vrednost x i .Zakon raspodele sluqajne promenǉive Y je oblika

y 1 y 2 . . . y n

p •1 p •2 . . . p •n

,

gde je p • j = p 1 j + p 2 j + · · ·+ p mj , j = 1, 2, . . . , n , verovatnoa da esluqajna promenǉiva Y uzeti vrednost y i .

Marginalne raspodele

R j X Y b



Raspodele sluqajnih promenǉivih X i Y , posebno, u odnosu nazajedniqku raspodelu sluqajnih promenǉivih X i Y zovu semarginalne raspodele.

Marginalne verovatnoe

Verovatnoe p i • i p • j se zovu marginalne verovatnoe.

Napomena

Marginalne verovatnoe se jednostavno dobijaju sabiraǌem

odgovarajuih verovatnoa u pojedinim vrstama, odnosnokolonama tabele kontingencije.

Primer

Odrediti marginalne raspodele sluqajnih promenǉivih X iY iz prethodnog primera.



Rexeǌe

Sluqajna promenǉiva X uzima vrednosti iz skupa0, 1, 2, 3 sa verovatnoama

p 1• = P X = 0 = 1

8+ 0 + 0 =

1

8, p 2• = P X = 1 =

1

8+

1

4+ 0 =

3

8,

p 3• = P X = 2 = 0 + 1

4+

1

8=

3

8, p 4• = P X = 3 = 0 + 0 +

1

8=

1

8.

Marginalna raspodela sluqajne promenǉive X je

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

.

Rexeǌe

Skup realizacija sluqajne promenǉive Y je 0, 1, 2, a



verovatnoe su

p •1 = P Y = 0 = 1

8 +

1

8 + 0 + 0 =

1

4 ,

p •2 = P Y = 1 =

0+

1

4 +

1

4 +0

=

1

2 ,

p •3 = P Y = 2 = 0 + 0 + 1

8 +

1

8 =

1

4 .

Marginalna raspodela sluqajne promenǉive Y je

0 1 2

1/4 1/2 1/4

.

Funkcija raspodele diskretne dvodimenzionalne sluqajne

promenǉive



promenǉiveFunkcija raspodele diskretne dvodimenzionalne sluqajnepromenǉive je

F (x , y ) = P X ≤ x , Y ≤ y .

Osobine

Ovako definisana funkcija raspodele ima sledee osobine:

monotono je neopadajua funkcija po svakom argumentu,

neprekidna s desna po svakom argumentu,

F (−∞, y ) = F (x ,−∞) = 0, F (∞,∞) = 1.

Funkcija raspodele apsolutno neprekidne

dvodimenzionalne sluqajne promenǉive

F j



Funkcija raspodele apsolutno neprekidne dvodimenzionalnesluqajne promenǉive je

F (x , y ) =

x −∞

y −∞

f (s , t ) dt ds .

Marginalne gustine

Marginalne gustine su redom f X (x ) =∞

−∞

f (x , y ) dy za sluqajnu

promenǉivu X , i f Y (y ) =∞ −∞

f (x , y ) dx za sluqajnu promenǉivu Y .

Nezavisnost sluqajnih promenǉivih

Sluqajne promenǉive X i Y su nezavisne ako i samo ako su

dogaaji X ≤ x i Y ≤ y nezavisni za svaki par (x y) iz R2



dogaaji X ≤ x i Y ≤ y nezavisni za svaki par (x , y ) iz R2.

Ako su sluqajne promenǉive X i Y diskretne, tada senezavisnost sluqajnih promenǉivih moe iskaziti

jednakoxu

P X = x i , Y = y j = P X = x i · P Y = y j , ∀i , j .

Ako su sluqajne promenǉive X i Y apsolutno neprekidne,

tada se nezavisnost sluqajnih promenǉivih moe iskaziti jednakoxu

f (x , y ) = f X (x ) · f Y (y ).

Primer

Novqi se baca dva puta. Neka je X broj pisama u ta dvabacaǌa, a Y broj pisama u prvom bacaǌu. Odrediti zakon

raspodele dvodimenzionalne sluqajne promenǉive (X Y ) i



raspodele dvodimenzionalne sluqajne promenǉive (X , Y ) iispitati nezavisnost sluqajnih promenǉivih X i Y .

Rexeǌe

Preslikavaǌa su

ω PP PG GP GGX (ω) 2 1 1 0Y (ω) 1 1 0 0

Zakon raspodele sluqajne promenǉive (X , Y ) je

X \Y 0 1 p i •0 1/4 0 1/4

1 1/4 1/4 1/2

2 0 1/4 1/4

p • j 1/2 1/2 1

Rexeǌe

S X Y



Sluqajne promenǉive X i Y nisu nezavisne, jer jeP X = 0, Y = 1 = 0, P X = 0 · P Y = 1 = 1/8.

Zadatak 1.

Dve karte se sluqajno izvlaqe iz xpila od 52 karte. Neka X predstavǉa broj dobijenih asova, a Y broj dobijenih dama. a)Nai raspodelu dvodimenzionalne sluqajne promenǉive(X , Y ). b) Nai marginalne raspodele za X i Y . v) Ispitatinezavisnost sluqajnih promenǉivih X i Y .

Zadatak 2.

Dva strelca, nezavisno jedan od drugog, gaaju istu metu,svaki po jedan hitac, pri qemu je verovatnoa da prvi pogodi

metu 0 5 a da drugi pogodi 0 4 Neka sluqajna promenǉiva X



metu 0.5, a da drugi pogodi 0.4. Neka sluqajna promenǉiva X predstavǉa broj pogodaka prvog strelca, a sluqajnapromenǉiva Y broj pogodaka drugog strelca. a) Nairaspodelu dvodimenzionalne sluqajne promenǉive (X , Y ). b)Nai marginalne raspodele za X i Y .

Zadatak 3.

Zakon raspodele dvodimenzionalne sluqajne promenǉive(X , Y ) je

X \Y 0 1 20 0.10 0.20 0.201 0.04 0.08 0.082 0.06 0.12 0.12

Ispitati nezavisnost sluqajnih promenǉivih X i Y .

Diskretne raspodele

Raspodele diskretnih sluqajnih promenǉivih nazivaju se



Raspodele diskretnih sluqajnih promenǉivih nazivaju sediskretnim raspodelama.

Bernulijeva xema

Eksperiment ponavǉamo n puta pod istim uslovima.

Ponavǉaǌa eksperimenta su meusobno nezavisna.

U svakom ponavǉaǌu eksperimenta moe se ilirealizovati ili ne realizovati dogaaj A.

Verovatnoa realizacije dogaaja A u svakom ponavǉaǌueksperimenta je ista i iznosi p .

Binomna raspodela

Sluqajna promenǉiva S n

predstavǉa broj realizacijadogaaja A u n ponavǉaǌa eksperimenta



dogaaja A u n ponavǉaǌa eksperimenta.

Sluqajna promenǉiva S n je diskretnog tipa, jer uzimavrednosti iz skupa 0, 1, 2, . . . , n .

Verovatnoa da e se dogaaj A realizovati taqno k puta

u n ponavǉaǌa eksperimenta iznosi

P S n = k =

n

k

p k (1 − p )n −k , 0 ≤ p ≤ 1 ,

gde je n

k

=

n !

k !(n − k )! , n ! = n (n − 1) . . . 3 · 2 · 1.

Za sluqajnu promenǉivu S kaemo da ima binomnu raspodelu



Za sluqajnu promenǉivu S n kaemo da ima binomnu raspodelusa parametrima n i p i pixemo S n : B (n , p ).

Ako stavimo da je p k = P S n = k , tada sluqajna promenǉiva

S n ima zakon raspodele oblika 0 1 . . . n − 1 n

p 0 p 1 . . . p n −1 p n

.

Primer

Verovatnoa da padne kixa u toku dana u mestu NN iznosi0,3. Pod pretpostavkom da su vremenske prilike u razliqitimdanima nezavisne odrediti verovatnoe da u tri uzastopna



danima nezavisne, odrediti verovatnoe da u tri uzastopnadana bude: a) taqno dva kixna dana, b) ne vixe od jednogkixnog dana, v) najmaǌe dva kixna dana, g) jedan ili dvakixna dana.

Rexeǌe

Posmatraju se tri uzastopna dana, tako da je n = 3.

Oznaqimo sa S 3 sluqajnu promenǉivu koja predstavǉabroj kixnih dana u tri uzastopna dana.

Verovatnoa da dan bude kixan je ista za sva tri dana iiznosi p = 0, 3.

Sluqajna promenǉiva S 3 ima binomnu raspodelu B (3; 0, 3).

Rexeǌe

Verovatnoe su redom



r u r d

p 0 = P S 3 = 0 =

3

0

(0, 3)0(0, 7)3 = 0, 343,

p 1 = P S 3 = 1 =3

1

(0, 3)1

(0, 7)2

= 0, 441,

p 2 = P S 3 = 2 =

3

2

(0, 3)2(0, 7)1 = 0, 189,

p 3

= P S 3

= 3

=3

3

(0

,3

)

3

(0

,7

)

0

= 0

,027

.

Rexeǌe

Sluqajna promenǉiva S 3 ima zakon raspodele

0 1 2 3



0, 343 0, 441 0, 189 0, 027

.

a) Neka je A dogaaj ”u tri dana bila su taqno dva danakixna”. Tada je P (A) = P S 3 = 2 = 0, 189.

b) Neka je B dogaaj ”u tri dana nije bilo vixe od jednogkixnog dana”. Tada je

P (B ) =P S 3 ≤ 1=P S 3 = 0+P S 3 = 1= 0, 343 + 0, 441 = 0, 784.

v) Neka je C dogaaj ”u tri dana bila su najmaǌe dva kixnadana”. Tada je

P (C ) =P S 3 ≥ 2=P S 3 = 2+P S 3 = 3= 0, 189 + 0, 027 = 0, 216.

Rexeǌe



g) Neka je D dogaaj ”u tri dana bio je jedan ili bila su dvakixna dana”.

P (D ) = P S 3 = 1 + P S 3 =

2 =

0,

441+

0,

189 =

0,

63.

Napomena

Sloena izraqunavaǌa ako je n veliko i p malo.

Puasonova raspodela

Teorema



r

Ako u Bernulijevoj xemi sa n ponavǉaǌa eksperimenta qiji jeishod dogaaj A ili dogaaj Ac , verovatnoa dogaaja Azavisi od broja ponavǉaǌa eksperimenta, tj. ako je P (A) = p n

i ako np n konvergira ka λ > 0, kad n → ∞, tada je verovatnoarealizacije dogaaja S n = j jednaka

P S n = j = λ j

j ! · e −λ , j = 0, 1, 2, . . . ,

kada n → ∞, gde je e ≈ 2, 718 osnova prirodnog logaritma.



Primer

U jednoj velikoj seriji artikala je 2% defektnih. Iz serijese na sluqajan naqin uzima 100 artikala. Odrediti

verovatnoe da meu izvuqenim artiklima bude: a) taqno 2efe a b) aj a e a efe a ) aj e 5 efe )



defektna, b) najmaǌe dva defektna, v) najvixe 5 defektnih, g)maǌe od 6, a ne maǌe od 2 defektna.

Rexeǌe

Imamo da je n = 100.Neka sluqajna promenǉiva S 100 predstavǉa broj defektnihartikala. Kako je n = 100, p = 0, 02 i np = 2 < 10, to se umestobinomne raspodele koristi Puasonova raspodela.Tako S 100 ima P (2) raspodelu i ǌen zakon raspodeleverovatnoa je odreen verovatnoama

P S 100 = j = e −2 · 2 j

j ! , j = 0, 1, 2, . . .

Rexeǌe) PS 2 e−2 22

0 2707



a) P S 100 = 2 = e −2 · 2

2! = 0.2707.

b) P S 100 ≥ 2 = 1 −1

i =0

P S 100 = i = 0.5940.

v) P S 100 ≤ 5 =5

i =0

P S 100 = i = 0.9834.

g) P 2 ≤ S 100 < 6 =5

i =2

P S 100 = i = 0.5774.

Uniformna diskretna raspodela

Neka sluqajna promenǉiva X uzima vrednosti iz skupa x1 x2



Neka sluqajna promenǉiva X uzima vrednosti iz skupa x 1, x 2,. . . , x n . Kaemo da sluqajna promenǉiva X ima uniformnudiskretnu raspodelu na skupu x 1, x 2, . . . , x n , ako se svevrednosti x 1, x 2, . . . , x n , realizuju sa jednakim verovatnoama.

Zakon raspodele sluqajne promenǉive X koja ima uniformnudiskretnu raspodelu moe se zapisati u obliku

x 1 x 2 . . . x n 1/n 1/n . . . 1/n

.

Primer

Sluqajna promenǉiva X ima uniformnu diskretnu raspodeluna skupu 1, 2, 3, 4, 5, 6. Odrediti verovatnoe dogaaja: a)

1 < X ≤ 4, b) 2 ≤ X < 3 i v) X > 1.



Rexeǌe

Sluqajna promenǉiva X ima uniformnu diskretnu raspodelu

na skupu 1

,2

,3

,4

,5

,6

, xto znaqi da je ǌen zakon raspodeleoblika 1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

.

Verovatnoe su redom jednake:

a) P 1 < X ≤ 4 = P X ∈ 2, 3, 4 = 36 = 1

2 .

b) P 2 ≤ X < 3 = P X = 2 = 1

6 .

v) P X > 1 = 1 − P X = 1 = 1 − 1

6 = 5

6 .

Apsolutno neprekidne raspodele

Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenǉivih

nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.



a b

Verovatnoa da sluqajna promenǉiva X uzima vrednost izintervala (a ,b ]

Uniformna raspodela

Za sluqajnu promenǉivu X kaemo da ima uniformnu

raspodelu na intervalu [a ,b ], a < b , i pixemo X : U (a ,b ), akoima gustinu raspodele oblika



ima gustinu raspodele oblika

f (x ) =

1

b −a , x ∈ [a ,b ],

0, x

∈[a ,b ].

a b x

f (x )1

b −a

Gustina raspodele za X : U (a , b )

Funkcija raspodele

Funkcija raspodele sluqajne promenǉive X sa uniformnomraspodelom na intervalu [a ,b ] je

0 , x < a



F (x ) =

,1

b −a · x − a

b −a , a ≤ x < b

1 , x ≥ b .

1

a b x

F (x )

Funkcija raspodele za X : U (a ,b )

Pomou funkcije raspodele F (x ) moe se izraqunativerovatnoa proizvoǉnog dogaaja c < X < d kao



P c < X ≤ d = F (d ) − F (c ).

PrimerSluqajna promenǉiva X ima uniformnu raspodelu naintervalu [2; 4]. Odrediti funkciju raspodele sluqajnepromenǉive X , a zatim izraqunati verovatnoe dogaaja: a)

X

≤3

, b)

1 < X

≤2, 5

, v)

2,5 < X

≤3,5

.

Rexeǌe

Sluqajna promenǉiva X ima uniformnu raspodelu naintervalu [2; 4], xto znaqi da je a = 2 i b = 4, tako da je

funkcija raspodele



F (x ) =

0, x < 2,1

2 · x − 1, 2 ≤ x < 4,

1, x ≥ 4.

1

2 4 x

F (x )

Funkcija raspodele za X : U (2,4)

Rexeǌe

a)



1

32 4 x

F (x )

P

X

≤3

= F (3) =

1

2

.

Rexeǌe

b)



1

2, 51 2 4 x

F (x )

P

1 < X ≤

2, 5

= F (2,5)

−F (1) = F (2,5) = 0,25 .

Rexeǌe

v)



2, 5 3, 52 4 x

F (x )

P

2,5 < X ≤

3,5

= F (3,5)

−F (2,5) = 0, 5.

Normalna (Gausova) raspodela

Za sluqajnu promenǉivu X kaemo da ima normalnu raspodelu

sa parametrima m ∈ R i σ2

> 0 i pixemo X : N (m , σ2

), ako jeǌena gustina raspodele oblika



f (x ) = 1√

2πσ2· e −

(x −m )2

2σ2 , x ∈ R .

f (x )

x m

Osobine gustine raspodele

Gustina raspodele je pozitivna funkcija, tj. za svakox ∈ R vai f (x ) > 0.



Gustina raspodele je simetriqna u odnosu na pravux = m , tj. za svako x ∈ R vai f (m + x ) = f (m − x ).

Gustina raspodele dostie maksimum u x = m i on iznosif (m ) = 1/√ 2πσ2.

Gustina raspodele konvergira ka 0 kada x tei ka ∞ ili−∞, tj. vai

limx →−∞ f (x ) = limx →∞ f (x ) = 0.

F (x )



x

Grafik funkcije raspodele za X : N (m , σ2

)

Osobine funkcije raspodele

Funkcija raspodele je pozitivna i rastua funkcija.

Funkcija raspodele konvergira ka 0 kada x tei ka −∞ ikonvergira ka 1 kada x tei ka ∞, tj. vailimx →−∞ F (x ) = 0 i limx →∞ F (x ) = 1.

Normalnu raspodelu imaju visina ǉudi, koliqina padavina utoku godine, pritisak i tako daǉe.



Mnoge diskretne raspodele se mogu svesti na normalnuraspodelu, ako je broj moguih vrednosti veliki, a one su

bliske jedna drugoj.

Promena vrednosti parametara m i σ2 utiqe na grafikgustine raspodele.

Promena vrednosti parametra m



x m = −2 m = 0 m = 2

Promena vrednosti parametra σ2



x σ2 = 1/4 σ2 = 1 σ2 = 4

Standardna normalna raspodela

Ukoliko sluqajna promenǉiva koja ima normalnu raspodelu

ima parametre m = 0 i σ2

= 1, tada kaemo da ima standardnunormalnu raspodelu. Ovu sluqajnu promenǉivu najqexe

X ∗ X ∗ N (0 1)



oznaqavamo sa X ∗ i pixemo X ∗ : N (0,1).

f (x )

x 0

F (x )

x 0

Verovatnoe P a ≤ X ∗ ≤ b izraqunavaju se pomou funkcije

Φ(t ) = P 0 ≤ X ∗ ≤ t .



f (x )

x 0 t

Vrednosti funkcije Φ(t )

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0754

0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141

0 3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517



0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517

0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

0.6 .2258 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549

0.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2996 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621

1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830

1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015

1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177

1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .43191.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441

1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545

1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633

1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706

1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767

Primer

Pretpostavǉajui da sluqajna promenǉiva X ima standardnu normalnu raspodelu,

odrediti verovatnoe sledeih dogaaja: a) 1, 21 ≤ X ≤ 2, 52, b)

−1, 24 ≤ X < 2, 58, v) −0, 52 < X ≤ 0, 52, g) −2, 12 ≤ X ≤ −1, 17, d) X ≥ 3, 01,

) X < −1, 36, e) X < 2, 59, ) X ≥ −3, 56.



Rexeǌe

a)

1, 21 2, 52

P 1, 21 ≤ X ≤ 2, 52 = Φ(2, 52) − Φ(1, 21) = 0, 4941 − 0, 3869 = 0, 1072.

Rexeǌe

b)



−1, 24 2, 58

P −1, 24 ≤ X < 2, 58 = Φ(2, 58) + Φ (1, 24) = 0, 4951 + 0, 3925 = 0, 8876.

Rexeǌe

v)



−0, 52 0, 52

P −0, 52 < X ≤ 0, 52 = Φ(0, 52) + Φ (0, 52) = 2 · 0, 1985 = 0, 397.

Rexeǌe

g)



−2, 12 −1, 17

P −2, 12 ≤ X ≤ −1, 17 = Φ(2, 12) − Φ(1, 17) = 0, 483 − 0, 379 = 0, 104.

Rexeǌe

d)



3, 01

P X ≥ 3, 01 = 0, 5 − Φ(3, 01) = 0, 5 − 0, 4987 = 0, 0013.

Rexeǌe

)



−1, 36

P X < −1, 36 = 0, 5 − Φ(1, 36) = 0, 5 − 0, 4131 = 0, 0869.

Rexeǌe

e)



2, 59

P X < 2, 59 = 0, 5 + Φ(2, 59) = 0, 5 + 0, 4952 = 0, 9952.

Rexeǌe

)



−3, 56

P X ≥ −3, 56 = Φ(3, 56) + 0, 5 = 0, 4998 + 0, 5 = 0, 9998.

Standardizacija

Postupak prelaska sa normalne raspodele N (m , σ2) nastandardnu normalnu raspodelu

N (0,1) zove se

standardizacija.



Veza izmeu sluqajnih promenǉivih X i X ∗ koje imaju redom N (m , σ2) i N (0, 1) raspodele zadata je formulom

X ∗ = X −m √

σ2.

Tada vai

P a ≤ X ≤ b = P

a −m √

σ2≤ X ∗ ≤ b −m √

σ2

.

Primer

Vodostaj (izraen u cm ) jedne reke ima normalnu raspodelu N (150,100). Odrediti verovatnou da e sluqajno izabranog

dana vodostaj: a) biti maǌi od 140 cm , b) biti vei od 170cm , v) biti izmeu 135 i 160 cm , g) biti vei od 120 cm , d)biti maǌi od 165 cm .



d

Rexeǌe

Neka je X sluqajna promenǉiva koja predstavǉa vodostaj rekesluqajno izabranog dana.Sluqajna promenǉiva X ima normalnu N (150,100) raspodelu,tako da je potrebno izvrxiti standardizaciju.Kako je m = 150 i σ2 = 100, odnosno σ =

√ 100 = 10, to je

formula standardizacije

X ∗ = X − 150

10 .

Rexeǌe

a)

P X < 140 = P X − 150

10<

140 − 150

10 = P X ∗ < −1

= 0, 5 − Φ(1) = 0, 1587.

b)



b)

P X > 170 = P X − 150

10>

170 − 150

10 = P X ∗ > 2

= 0, 5 − Φ(2) = 0, 0228.

v)

P 135 ≤ X ≤ 160 = P 135 − 150

10≤ X − 150

10≤

160 − 150

10 = P −1, 5 ≤ X ∗ ≤ 1

= Φ(1, 5) + Φ (1) = 0, 7745.

Rexeǌe

g)

PX > 120 = P

X − 150

10>

120 − 150

10

= PX ∗ > −3



P X > 120 P

10

>10

P X > 3

= Φ(3) + 0,5 = 0,9987.

d)

P X < 165 = P

X − 150

10 <

165 − 150

10

= P X ∗ < 1,5

= 0,5 + Φ(1,5) = 0,9332.

χ2 raspodela

Neka su sluqajne promenǉive X 1, X 2, . . . , X n nezavisne i nekaN (0 1) Z



svaka ima standardnu normalnu N (0,1) raspodelu. Zasluqajnu promenǉivu Y definisanu formulom

Y = X 21 + X 22 + · · · + X 2n

kaemo da ima χ2 raspodelu sa n stepeni slobode i pixemoY : χ2

n .

f (x )

n = 1

n = 2



x

n 2

n = 3

n = 5

Grafik gustine raspodele χ2n raspodele

F (x )

n = 1

n = 2



x

n = 3

n = 5

Grafik funkcije raspodele χ2n raspodele

Verovatnoe P a ≤ χ2n ≤ b izraqunavaju se pomou funkcije

h n (x ) = P X ≤ x .

f (x )



x x

n \ p 0.005 0.010 0.025 0.050 0.95 0.975 0.990 0.995

1 .0000 .0002 .0010 .0039 3.84 5.02 6.63 7.88

2 .0100 .0201 .0506 .103 5.99 7.38 9.21 10.6

3 .0717 .115 .216 .352 7.81 9.35 11.3 12.8

4 .207 .297 .484 .711 9.49 11.1 13.3 14.95 .412 .554 .831 1.15 11.1 12.8 15.1 16.7

6 .676 .872 1.24 1.64 12.6 14.4 16.8 18.5

7 .989 1.24 1.69 2.17 14.1 16.0 18.5 20.3



8 1.34 1.65 2.18 2.73 15.5 17.5 20.1 22.0

9 1.73 2.09 2.70 3.33 16.9 19.0 21.7 23.6

10 2.16 2.56 3.25 3.94 18.3 20.5 23.2 25.2

11 2.60 3.05 3.82 4.57 19.7 21.9 24.7 26.812 3.07 3.57 4.40 5.23 21.0 23.3 26.2 28.3

13 3.57 4.11 5.01 5.89 22.4 24.7 27.7 29.8

14 4.07 4.66 5.63 6.57 23.7 26.1 29.1 31.3

15 4.60 5.23 6.26 7.26 25.0 27.5 30.6 32.8

16 5.14 5.81 6.91 7.96 26.3 28.8 32.0 34.3

17 5.70 6.41 7.56 8.67 27.6 30.2 33.4 35.7

18 6.26 7.01 8.23 9.39 28.9 37.5 34.8 37.2

19 6.84 7.63 8.91 10.1 30.1 32.9 36.2 38.6

20 7.43 8.26 9.59 10.9 31.4 34.2 37.6 40.0

Primer

Neka sluqajna promenǉiva X ima χ25

raspodelu. Odreditisledee verovatnoe: a) P X < 0,412, b) P X ≥ 0, 831, v)

P 0,554 < X ≤ 1,15.

Rexeǌe



a)

f (x )

x 0,412

P X < 0, 412 = h 5(0, 412) = 0,005.

Rexeǌe

b)

f (x )



x 0,831

P X ≥ 0, 831 = 1 − h 5(0, 831) = 0,975.

Rexeǌe

v)

f (x )



x 0,554 1, 15

P 0,554< X ≤1, 15=h 5(1,15)− h 5(0,554) = 0,05 − 0,01 = 0,04.

Studentova raspodela

Neka su sluqajne promenǉive X : N (0,1) i Y :χ2n nezavisne. Za

sluqajnu promenǉivu T definisanu formulom



sluqajnu promenǉivu T definisanu formulom

T = X √ Y √ n

kaemo da ima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode ipixemo T : t n .

f (x )

n = 1

n = 5



x

n = 10

n = 30

Grafik gustine raspodele t n raspodele

F (x )

n = 1

n = 5



x

n = 10

n = 30

Grafik funkcije raspodele t n raspodele

Verovatnoe P a ≤ t n ≤ b izraqunavaju se pomou funkcije

t n (x ) = P 0 ≤ X ≤ x .

f (x )



x 0

n \ p 0.100 0.200 0.300 0.400 0.450 0.475 0.490 0.495

1 .325 .727 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657

2 .289 .617 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925

3 .277 .584 .978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841

4 .271 .569 .941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604

5 .267 .559 .920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 .265 .553 .906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707

7 .263 .549 .896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 262 546 889 1 397 1 860 2 306 2 896 3 355



8 .262 .546 .889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 .261 .543 .883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 .260 .542 .879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 .260 .540 .876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 .259 .539 .873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055

13 .259 .538 .870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012

14 .258 .537 .868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977

15 .258 .536 .866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 .258 .535 .865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921

17 .257 .534 .863 1.133 1.740 2.110 2.567 2.898

18 .257 .534 .862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878

19 .257 .533 .861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861

20 .257 .533 .860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

Primer

Neka sluqajna promenǉiva X ima Studentovu t 5 raspodelu. Odrediti verovatnoe:

a) P 0, 267 ≤ X ≤ 1, 476, b) P −0, 267 ≤ X ≤ 1, 476 i v) P −1, 476 ≤ X ≤ −0, 267.

Rexeǌea)



f (x )

0,267 1,476

P 0,267 ≤ X ≤ 1,476 = t 5(1, 476) − t 5(0, 267) = 0,3.

Rexeǌe

b)

f (x )



−0, 267 1, 476

P −0,267 ≤ X ≤ 1,476 = t 5(0,267) + t 5(1,476) = 0,5.

Rexeǌe

v)

f (x )



−0, 267−1,476

P −1,476 ≤ X ≤ −0,267 = t 5(1,476)− t 5(0,267) = 0,3.

Numeriqke karakteristike sluqajnih promenǉivih

Raspodela neke sluqajne promenǉive daje potpunu informaciju o toj sluqajnojpromenǉivoj. U veini sluqajeva dovoǉno je poznavati neke numeriqke

karakteristike sluqajne promenǉive koje opisuju pojedina svojstva ǌene raspodele.

Matematiqko oqekivaǌe diskretne sluqajne promenǉive sa konaqno mnogovrednosti



Neka je X diskretna sluqajna promenǉiva sa konaqno mnogo

vrednosti i zakonom raspodele x 1 x 2 . . . x n p 1 p 2 . . . p n

.

Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive X , u oznaci

E (X ), je brojE (X ) = x 1p 1 + x 2p 2 + · · ·+ x n p n =

n i =1

x i p i .

Primer

Odrediti matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive X zakona raspodele

0 1 2 3

0, 343 0,441 0,189 0, 027

.



RexeǌeMatematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive X je

E (X ) = 0 · 0,343 + 1 · 0, 441 + 2 · 0, 189 + 3 · 0,027 = 0,9.

Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive binomneraspodele B (n , p ) jednako je np .

Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive uniformnediskretne raspodele zakona raspodele

x 1 x 2 . . . x n 1/n 1/n . . . 1/n

jednako je 1 (x + x + + x )



jednako je 1

n (x 1 + x 2 + · · · + x n ).

Primer

Sluqajna promenǉiva X je broj koji se pojavǉuje prilikombacaǌa kocke. Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive X je

E (X ) = 1 · 1

6 + 2 · 1

6 + 3 · 1

6 + 4 · 1

6 + 5 · 1

6 + 6 · 1

6 = 3,5.

Matematiqko oqekivaǌe diskretne sluqajne promenǉive

sa prebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti

Neka diskretna sluqajna promenǉiva X ima prebrojivobeskonaqno mnogo vrednosti i neka je ǌen zakon raspodeleoblika

x 1 x 2 . . . x n . . .p 1 p 2 . . . p n . . .

.

Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive X je zbir



Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive X je zbir

E (X ) =∞i =1

x i p i ,

ukoliko zbir∞i =1

|x i |p i postoji.

Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive Puasonoveraspodele P (λ) jednako je λ.

Matematiqko oqekivaǌe apsolutno neprekidne sluqajne

promenǉive

Neka je X apsolutno neprekidna sluqajna promenǉiva gustineraspodele f (x ). Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉiveX je broj

∞



E (X ) =

−∞

xf (x )dx ,

ukoliko integral∞

−∞|x |f (x )dx postoji.

Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive normalneraspodele N (m , σ2) jednako je m .

Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive χ2

n raspodele jednako je n .

Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive Studentove



Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive Studentoveraspodele t n jednako je 0.

Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive uniformneraspodele U (a , b ) jednako je a +b

2 .

Osobine matematiqkog oqekivaǌa

oqekivaǌe konstante c je konstanta c , tj. E (c ) = c ,

E (aX + b ) = aE (X ) + b , gde su a i b konstante, a X jesluqajna promenǉiva



sluqajna promenǉiva,

E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) za bilo koje dve sluqajnepromenǉive X i Y ,

E (XY ) = E (X ) · E (Y ), ukoliko su sluqajne promenǉive X iY nezavisne.

Moment reda k sluqajne promenǉive

Moment reda k sluqajne promenǉive X , u oznaci E (X k ), je

matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive X k , ukoliko onopostoji.

Moment reda k sluqajne promenǉive sa konaqno mnogo



Moment reda k sluqajne promenǉive sa konaqno mnogo

vrednosti

Moment reda k diskretne sluqajne promenǉive X sa konaqnomnogo vrednosti jednako je

E (X k ) =n

i =1

x k i p i .

Moment reda k diskretne sluqajne promenǉive sa

prebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti

Moment reda k diskretne sluqajne promenǉive X sa

prebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti, ukoliko postoji, jednako je

E (X k ) =∞

x k i p i .



i =1

Moment reda k apsolutno neprekidne sluqajne promenǉive

Moment reda k apsolutno neprekidne sluqajne promenǉive X ,ukoliko postoji, jednako je

E (X k ) =

∞ −∞

x k f (x )dx .

Matematiqko oqekivaǌe je moment reda 1.

Primer

Sluqajna promenǉiva X ima zakon raspodele



−1 1 2

1/4 1/3 5/12.

Odrediti momente drugog i treeg reda sluqajne promenǉiveX .

Rexeǌe

Moment drugog reda sluqajne promenǉive X je

E (X 2) = (−1)2 · 1

4 + 1

2 · 1

3 + 2

2 · 5

12 =

9

4 .



4 3 12 4

Moment treeg reda sluqajne promenǉive X je

E (X 3) = (−1)3 · 1

4 + 1

3 · 1

3 + 2

3 · 5

12 =

41

12 .

Disperzija sluqajne promenǉive

Disperzija sluqajne promenǉive X , u oznaci D (X ), je broj

D (X ) = E [X −

E (X )]2 ,

ukoliko oqekivaǌe E (X ) postoji.

Disperzija diskretne sluqajne promenǉive sa konaqno



Disperzija diskretne sluqajne promenǉive sa konaqno

mnogo vrednostiDisperzija diskretne sluqajne promenǉive X sa konaqnomnogo vrednosti jednaka je

D (X ) =n

i =1

(x i −

m )2p i ,

gde je m matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive X .

Disperzija diskretne sluqajne promenǉive sa prebrojivo

beskonaqno mnogo vrednosti

Disperzija diskretne sluqajne promenǉive X sa prebrojivo

beskonaqno mnogo vrednosti jednaka je

D (X ) =∞i 1

(x i −m )2p i ,



i =1

ukoliko moment drugog reda postoji.

Disperzija sluqajne promenǉive binomne raspodele B (n ,p ) jednaka je np (1 − p ).

Disperzija sluqajne promenǉive Puasonove raspodele P (λ) jednaka je λ.

Disperzija apsolutno neprekidne sluqajne promenǉive

Disperzija apsolutno neprekidne sluqajne promenǉive X jednaka je

D(X ) =

∞ (x −m)2f (x)dx .



D (X )

−∞

(x m ) f (x )dx .

Disperzija sluqajne promenǉive normalne raspodele N (m , σ2) jednaka je σ2.

Disperzija sluqajne promenǉive χ2

n raspodele jednaka je 2n .

Disperzija sluqajne promenǉive Studentove raspodele t n jednaka je n

n 2 za n > 2.



j d j n −2>

Disperzija sluqajne promenǉive uniformne raspodele U (a , b ) jednaka je (b −a )2

12 .

Disperzija sluqajne promenǉive X moe se zapisati u obliku

D (X ) = E (X 2

) − [E (X )]2

.

Osobine disperzije

D(X ) ≥ 0 za svaku sluqajnu promenǉivu X



D (X ) ≥ 0 za svaku sluqajnu promenǉivu X ,

D (X ) = 0 ako i samo ako je X konstanta,D (aX + b ) = a 2D (X ), gde su a i b konstante, a X sluqajnapromenǉiva,

D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ) ukoliko su X i Y nezavisnesluqajne promenǉive.

Standardna devijacija

Standardna devijacija sluqajne promenǉive X jednaka je

σX = D (X ).

Primer



r r

Sluqajna promenǉiva X ima zakon raspodele 1 2 3

1/4 1/4 1/2

.

Odrediti ǌenu disperziju.

Rexeǌe

Oqekivaǌe sluqajne promenǉive X jednako je

E (X ) = 1 · 1

4 + 2 · 1

4 + 3 · 1

2 =

9

4 .



Disperzija sluqajne promenǉive X jednaka je

D (X ) =

1 − 9

4

2

· 1

4 +

2 − 9

4

2

· 1

4 +

3 − 9

4

2

· 1

2 =

11

16 .

Centralni moment reda k

Centralni moment reda k sluqajne promenǉive X je oqekivaǌesluqajne promenǉive (X − E (X ))k i pixemo µk = E (X − E (X ))k

ukoliko postoji.

Disperzija je centralni moment drugog reda.

Centralni moment reda k diskretne sluqajne promenǉive




sa konaqno mnogo vrednostiCentralni moment reda k diskretne sluqajne promenǉive X sakonaqno mnogo vrednosti je

µk =

n

i =1

(x i −m )k

p i ,

gde je sa m oznaqeno oqekivaǌe sluqajne promenǉive X .


sa prebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti

Centralni moment reda k diskretne sluqajne promenǉive X saprebrojivo beskonaqno mnogo vrednosti je

µk =∞i =1

(x i − m )k p i ,

ukoliko momenti reda k postoje



ukoliko momenti reda k postoje.

Centralni moment reda k apsolutno neprekidne sluqajne

promenǉive

Centralni moment reda k apsolutno neprekidne sluqajnepromenǉive je

µk =

∞ −∞

(x − m )k f (x )dx ,

ukoliko momenti reda k postoje.

Primer

Odrediti centralne momente drugog i treeg reda sluqajnepromenǉive X zakona raspodele

0 1 2

1/4 1/2 1/4

.

Rexeǌe: Matematiqko oqekivaǌe sluqajne promenǉive X

jednako je1 1 1



m = 0 · 1

4

+ 1 · 1

2

+ 2 · 1

4

= 1.

Centralni momenti drugog i treeg reda sluqajnepromenǉive X su

µ2 = E (X − 1)2 = (0 − 1)2 · 1

4+ (1 − 1)2 ·

1

2+ (2 − 1)2 ·

1

4=

1

2.

µ3 = E (X − 1)3 = (0 − 1)3 · 1

4+ (1 − 1)3 ·

1

2+ (2 − 1)3 ·

1

4= 0.

Mod sluqajne promenǉive diskretnog tipa

Mod diskretne sluqajne promenǉive je ona vrednost sluqajne

promenǉive koja ima veu verovatnou javǉaǌa od susednihvrednosti.

Primer



Mod sluqajne promenǉive X zakona raspodele 0 1 2

1/4 1/2 1/4

je M o = 1.

Mod sluqajne promenǉive apsolutno neprekidnog tipa

Mod sluqajne promenǉive X apsolutno neprekidnog tipa jeona vrednost za koju gustina raspodele f (x ) ima lokalnimaksimum.

f (x )



x m

Gustina raspodele f (x ) dostie maksimum u m , te je mod M o = m .

Sluqajna promenǉiva normalne raspodele N (m , σ2) ima mod

M o = m .

Sluqajna promenǉiva χ2n raspodele ima mod M o = n − 2, za

n ≥ 2.



Sluqajna promenǉiva Studentove raspodele t n ima mod 0.

Sluqajna promenǉiva uniformne raspodele U (a ,b ) nema jednoznaqno odreen mod.

Sluqajna promenǉiva moe da ima:

jedan mod (unimodalna sluqajna promenǉiva)

dva moda (bimodalna sluqajna promenǉiva)



tri moda (trimodalna sluqajna promenǉiva)

vixe modova (multimodalna sluqajna promenǉiva).

Medijana apsolutno neprekidne sluqajne promenǉive

Medijana apsolutno neprekidne sluqajne promenǉive X se oznaqava sa M e (X ) ipredstavǉa rexeǌe jednaqine

P X ≤ M e (X ) = 1/2.

Kod apsolutno neprekidne sluqajne promenǉive, medijana je uvek jedinstvena i

odgovara ordinati koja deli krivu gustine raspodele sluqajne promenǉive X na



r r j r u u r u j r

takva dva dela da je povrxina pod svakim delom krive taqno 1/

2.

f (x )

x m

Sluqajna promenǉiva normalne raspodele N (m , σ2) imamedijanu M e = m .

Sluqajna promenǉiva Studentove raspodele t n ima medijanuM e = 0.

Sluqajna promenǉiva uniformne raspodele U (a ,b ) imaM a+b



medijanu M e = a +b

2 .

Medijana diskretne sluqajne promenǉive

Medijana diskretne sluqajne promenǉive je rexeǌe sistemanejednaqina

P X < M e (X ) ≤ 1

2 ≤ P X ≤ M e (X ).

Koeficijent varijacije

Pod uslovom da matematiqko oqekivaǌe i disperzija postoje ida je E (X ) = 0, koeficijent varijacije se definixe kao broj

C v =

D (X )

E(X ) .



E (X )

Koeficijent varijacije se koristi za uporeivaǌe rasturaǌavrednosti sluqajnih promenǉivih sa razliqitim raspodelamaoko matematiqkog oqekivaǌa.

Primer

Neka su oqekivane godixǌe padavine E (X ) = 85 cm , sastandardnim odstupaǌem D (X ) = 17 cm , a oqekivane

padavine u junu E (Y ) = 12 mm , sa standardnim odstupaǌem D (Y ) = 18 mm . Ispitati da li padavine vixe variraju u

junu nego preko cele godine.

R



Rexeǌe

Koeficijent varijacije sluqajne promenǉive X jeC v =

17

85 · 100% = 20%.

Koeficijent varijacije sluqajne promenǉive Y jeC v =

18

12 · 100% = 150%.

Kako je 150 > 20, to moemo zakǉuqiti da padavine vixevariraju u junu nego preko cele godine.

Koeficijent asimetrije

Koeficijent asimetrije se definixe kao broj

C s = E (X − E (X ))3

D (X )3/2 ,

gde su E (X ), D (X ) i E (X − E (X ))3 matematiqko oqekivaǌe,



disperzija i centralni moment treeg reda sluqajnepromenǉive X .

Koeficijent asimetrije se koristi za grubo proceǌivaǌeoblika raspodele neke sluqajne promenǉive X u pogledu

simetriqnosti u odnosu na pravu x = E (X ).



Koeficijent spǉoxtenosti

Koeficijent spǉoxtenosti se definixe kao broj

C k = E (X − E (X ))4

D (X )2 ,

ukoliko sluqajna promenǉiva X ima moment qetvrtog reda.



Koeficijent spǉoxtenosti se koristi za mereǌespǉoxtenosti gustine raspodele u odnosu na x osu.

Kod normalne raspodele je koeficijent spǉoxtenosti jednak

3.

Koeficijent ekscesa

Koeficijent ekscesa se definixe kao broj

C E = C k − 3.



Koeficijent korelacije

Koeficijent korelacije sluqajnih promenǉivih X i Y sedefinixe kao broj

ρX ,Y = E (X − E (X ))(Y − E (Y ))

D (X ) ·

D (Y )

.

Gorǌa formula moe se zapisati u obliku



Gorǌa formula moe se zapisati u obliku

ρX ,Y = E (X · Y )− E (X ) · E (Y )

D (X ) · D (Y )

.

Koeficijent korelacije meri stepen linearne zavisnosti dvesluqajne promenǉive X i Y , odnosno daje informaciju o tomekoliko je taqna linearna veza Y = aX + b .

Osobine koeficijenta korelacije

−1 ≤ ρX ,Y ≤ 1.

ρX ,Y = ±1 ako i samo ako su sluqajne promenǉive X i Y povezane linearnom vezom Y = aX + b . Pri tome, ako jeρX ,Y = 1, tada je a > 0, odnosno, ako je ρX ,Y = −1, tada jea < 0.

Ako su X i Y nezavisne sluqajne promenǉive tada je



Ako su X i Y nezavisne sluqajne promenǉive, tada jekoeficijent korelacije ρX ,Y = 0. Obrnuto u opxtemsluqaju ne vai.

Ako je Z = aX + b i W = cY + d , tada je ρZ ,W = ρX ,Y ako sukoeficijenti a i c istog znaka, odnosno ρZ ,W = −ρX ,Y ako

su koeficijenti a i c suprotnih znakova.

Primer

Dvodimenzionalna sluqajna promenǉiva (X ,Y )zadata je zakonom raspodele

X \Y 1 2 3

1 0,1 0,1 0,2 .



−1 0,05 0,15 0,4

Odrediti koeficijent korelacije izmeu sluqajnihpromenǉivih X i Y .

Rexeǌe

Sluqajna promenǉiva X ima zakon raspodele −1 1

0,4 0,6

,



te su ǌeno oqekivaǌe i disperzija jednaki

E (X ) = −1 · 0,4 + 1 · 0, 6 = 0,2,

D (X ) = (−1)2 · 0,4 + 12 · 0, 6 − (0,2)2 = 0,96.

Rexeǌe

Sluqajna promenǉiva Y ima zakon raspodele 1 2 3

0,15 0,25 0,6

,



a oqekivaǌe i disperzija ove sluqajne promenǉive su

E (Y ) = 1 · 0,15 + 2 · 0,25 + 3 · 0,6 = 2,45,

D (Y ) = 12 · 0, 15 + 2

2 · 0,25 + 32 · 0,6 − (2, 45)2 = 0,5475.

Rexeǌe

E (XY ) se izraqunava po formuli

E (XY ) = i , j

x i y j P

X = x

i ,Y = y

j ,

te je jednako

E (XY ) = 1 1 0,1 + ( 1) 2 0,1 + ( 1) 3 0, 2 + 1 1 0,05+



( )

− · ·, + (

−)

· ·, + (

−)

· ·, +

· ·, +

+ 1 · 2 · 0,15 + 1 · 3 · 0,4 = 0, 65.

Konaqno, koeficijent korelacije izmeu sluqajnihpromenǉivih X i Y jednak je

ρX ,Y = 0,65 − 0,2 · 2,45√

0,96 · √ 0,5475

= 0,221.

Osnovni statistiqki pojmovi

Statistika

Statistika je nauka koja se bavi prouqavaǌem skupova savelikim brojem elemenata, koji su jednorodni u odnosu na jedno ili vixe svojstava.

Populacija



Populacija je skup elemenata qija zajedniqka svojstvaprouqavamo statistiqkim metodama.

Obeleje

Posmatrano zajedniqko svojstvo elemenata populacije zove seobeleje.

Primer

Populacija: stanovnici Srbije.

Obeleja: pol, struqna sprema, braqni status, starost . . .

Primer

Populacija: reke crnomorskog sliva.

Obeleja: vodostaj, duina reke, temperatura vode,proticaj, elektroprovodǉivost . . .



Primer

Populacija: turistiqki objekti u Srbiji.

Obeleja: vrsta turistiqkog objekta, broj turista koji

su posetili turistiqki objekat u odreenom vremenskomperiodu, kapacitet turistiqkog objekta, kvalitet prueneusluge . . .

Obeleja mogu biti:

jednodimenzionalna (posmatra se samo jedno svojstvo)

vixedimenzionalna (posmatraju se dva ili vixe svojstavaistovremeno)

Obeleja mogu biti:



kvantitativna (ǌihove vrednosti se registruju kaobrojevi)

kvalitativna (ǌihove vrednosti se registruju kaonenumeriqki podaci)

Primer

Kvantitativna obeleja su:

vodostaj reke,

starost stanovnika,temperatura vode,

broj turista

Primer



Kvalitativna obeleja su:

pol stanovnika,

braqno staǌe,

xkolska sprema,

vrsta turistiqkog objekta,

vrsta ugǉa

Obeleja mogu biti:

diskretna (uzimaju konaqno mnogo ili prebrojivobeskonaqno mnogo vrednosti)

apsolutno neprekidna (uzimaju neprebrojivo beskonaqnomnogo vrednosti)

Primer



Obeleja diskretnog tipa su:pol ispitanika,

vrsta ugǉa,

struqna sprema,

broj sunqanih dana u toku posmatrane godine

Primer

Obeleja apsolutno neprekidnog tipa su:

temperatura vode,

vodostaj,koliqina padavina,

visina snenog pokrivaqa

Osnovni zadatak statistike



Za datu populaciju nai raspodelu posmatranog obeleja naǌenim elementima.

Napomena

Ne posmatraju se svi elementi populacije, ve se na sluqajannaqin izdvaja jedan deo populacije koji se daǉe prouqava i naosnovu ǌega se donosi zakǉuqak za celu populaciju.

Uzorak

Uzorak je izdvojeni deo populacije koji se daǉe prouqava.

Obim uzorka

Izdvojeni uzorak uvek ima konaqan broj elemenata i taj brojelemenata se zove obim uzorka.



Reprezentativan uzorak

Ukoliko je uzorak takav da se na osnovu ǌega moe donetizakǉuqak za celu populaciju, onda je on reprezentativan.

Strategije izbora uzoraka

Uzorak se moe na vixe naqina izdvojiti iz populacije.

Naqin izdvajaǌa uzorka iz populacije se zove strategijaizbora uzorka.

Najqexe primeǌivane strategije su:



sluqajni,periodiqni,stratifikovani,grupni,vixeetapni.

Sluqajni uzorak

Sluqajni uzorak se formira pomou tablice sluqajnih

brojeva.

51772 74640 42331 29044 4662124033 23491 83587 06568 2196045939 60173 52078 25424 1164530586 02133 75797 45406 31041



03585 79353 81938 82322 9679964937 03355 98683 20790 6530415630 64759 51135 98527 6258609448 56301 57683 30277 9462321631 91157 77331 60710 5229091097 17480 29414 06829 87843

Deo tablice sluqajnih brojeva.

Tablica sluqajnih brojeva moe da se koristi samo akose zna broj elemenata populacije, odnosno ako je

populacija konaqna.Svakom elementu populacije se dodeǉuje taqno jedanprirodan broj.

Sluqajni uzorak se moe ostvariti na dva naqina:

1



Izvuqe se jedan element iz populacije, belei se vrednostposmatranog obeleja na ǌemu, a zatim se vraa nazad uskup (sluqajni uzorak sa vraaǌem).

2 Izvuqe se jedan element iz populacije, belei se vrednostobeleja na ǌemu, ali se sada ovaj element ne vraa uosnovni skup (sluqajni uzorak bez vraaǌa).

Primer

Broj domainstava (u hiǉ.) 1971. godine za opxtine sa ueteritorije Srbije (50 opxtina) bio je: 5, 33, 9, 13, 13, 31, 15,

42, 16, 23, 5, 8, 2, 29, 5, 3, 10, 9, 5, 5, 5, 4, 8, 3, 5, 4, 4, 5, 17,56, 8, 19, 9, 7, 29, 19, 8, 2, 13, 5, 6, 33, 44, 32, 45, 41, 7, 14, 12,5. Koristei brojeve iz tablice sluqajnih brojeva, poqevxiod prvog reda s leva na desno, formirati sluqajni uzorak



obima 6.Rexeǌe

Populacija ima ukupno 50 elemenata.

Qitamo po dve cifre, ali pri qitaǌu ne uzimamo u obzir

brojeve 00, 51, 52, . . .

, 99.

51 77 27 46 40 42 33 12 904446621

2403323491835870656821960

4593960173520782542411645

3058602133757974540631041

0358579353819388232296799

6493703355986832079065304

1563064759511359852762586

0944856301576833027794623



2163191157773316071052290

9109717480294140682987843

Iz populacije uzimamo elemente sa rednim brojevima 27, 46,

40, 42, 33 i 12 i od elemenata formiramo uzorak.Dobijeni sluqajni uzorak obima 6 je 4, 41, 5, 33, 9, 8.

Periodiqni uzorak

Periodiqni uzorak takoe zahteva ureenost elemenatapopulacije.

Iz populacije se biraju elementi na istom razmaku, npr.svaki peti, deseti itd.

Prednosti periodiqnog uzorka:1 Jednostavno se formira i za ǌegovo formiraǌe nije

b b b



potrebna tablica sluqajnih brojeva.2 On je ravnomerno rasporeen po populaciji.

Napomena

Periodiqni uzorak nee biti reprezentativan ukoliko je

ureeǌe elemenata populacije u vezi sa posmatranimobelejem.

Primer

Posmatra se grupa studenata tree godine i belei se koliko

godina imaju. Dobijene godine starosti su: 22, 21, 20, 23, 22,24, 25, 21, 22, 23, 21, 22, 21, 23, 22, 22, 21, 25, 21, 26, 23, 21,22, 21, 21. Formirati periodiqni uzorak obima 6 uzimajuisvaki qetvrti element poqevxi od prvog elementa populacije.

R



RexeǌePoqiǌemo od prvog elementa i uzimamo svaki qetvrti element22 , 21, 20, 23, 22 , 24, 25, 21, 22 , 23, 21, 22, 21 , 23, 22, 22,

21 , 25, 21, 26, 23 , 21, 22, 21, 21.Dobijeni uzorak obima 6 je 22, 22, 22, 21, 21, 23.

Stratifikovani uzorak

Populacija se deli na disjunktne delove tako da deo

populacije unutar svakog sloja bude homogen po nekomsvojstvu.

Na primer, stanovnici se mogu podeliti prema tome da liive u gradu ili u selu, putevi prema znaqaju, ǉudiprema polu, rudnici ugǉa prema vrsti ugǉa itd.



Ovako nastali delovi populacije zovu se stratumi ilislojevi.

Iz svakog stratuma se na sluqajan naqin bira unapred predvieni broj elemenata i tako se formira

stratifikovani uzorak.

U zavisnosti od toga koliko se elemenata bira iz svakogstratuma, razlikuju se dva tipa stratifikovanog uzorka:

1 ravnomerni (iz svakog stratuma bira se isti brojelemenata)

2

proporcionalni (iz svakog stratuma uzima se brojelemenata stratuma koji je proporcionalan veliqinistratuma).

Primer

M j



Meu stanovnicima jednog grada se vrxi anketa o tome koliko su zadovoǉniuslovima ivota. Graani su podeǉeni u tri grupe prema duini ivota u gradu, ina osnovu ispitivaǌa se zna da 15% graana ivi u gradu do 5 godina, 25% ivivixe od 5, a maǌe od 10 godina, dok 60% ivi 10 ili vixe godina u gradu. Trebaformirati uzorak obima 300.Ravnomerni stratifikovani uzorak: iz svakog stratuma se uzima po 100 elemenata.

Proporcionalni stratifikovani uzorak: iz prvog stratuma se uzima 300 · 0

,15 = 45

elemenata, iz drugog 300 · 0, 25 = 75, a iz treeg stratuma 300 · 0, 6 = 180 elemenata.

Grupni uzorak

Grupni uzorak zahteva mogunost podele populacije nadisjunktne delove, ali ne zahteva da delovi budu

homogeni po bilo kom svojstvu.Disjunktni delovi populacije se zovu grupe.

Ne uzimaju se sve grupe, ve se bira samo odreeni brojgrupa i to na sluqajan naqin, pa se iz izabranih grupa

j



uzimaju svi elementi.Prednost grupnog uzorka u odnosu na stratifikovaniuzorak je ta xto se grupni uzorak dobija jednostavnije ibre.

Prednost stratifikovanog uzorka u odnosu na grupnuzorak je ta xto stratifikovani uzorak daje boǉu sliku opopulaciji.



Vixeetapni uzorak

Vixeetapni uzorak se kreira u vixe etapa.

Populacija se deli na stratume, ovi na poddelove i takoredom zavisno od situacije.

Na primer, grad se deli na opxtine, opxtine na mesnezajednice, mesne zajednice na ulice, ulice na kue itd.

Primer vixeetapnog uzorka je sledei dvoetapni uzorak.

U j b b j



1 U prvoj etapi dvoetapnog uzorka bira se odreeni brojgrupa,

2 u drugoj etapi iz odabranih grupa bira se samo odreenibroj elemenata na sluqajan naqin.

Vixeetapni uzorak se koristi u situacijama kadastratumi imaju veliki broj elemenata.

Izbor taqaka sa tla u uzorak

Kod analize slivova, putne mree, nekih geoloxkihistraivaǌa i sliqno, potreban je izbor taqaka sa tla,tj. sa nekog dela povrxine Zemǉe.

Zbog toga je potrebno izvrxiti izbor uzorka izdvodimenzionalnog prostora.

Izbor taqaka moe biti



Izbor taqaka moe bitisluqajan,periodiqni,stratifikovani,grupni.

Postupak

Posmatrana oblast sa tla se prekrije minimalnimpravougaonikom, a zatim se vrxi izbor taqaka unutar togpravougaonika.

Napomena

Ukoliko posmatrana oblast nije pravougaona tada treba

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Ukoliko posmatrana oblast nije pravougaona, tada trebavoditi raquna da se u uzorak uzimaju samo one sluqajnoizabrane taqke pravougaonika koje pripadaju posmatranojoblasti.

Sluqajni izbor taqaka (I naqin)

Sluqajni izbor taqaka moe da se simulira tablicomsluqajnih brojeva. To se postie na taj naqin xto se paroviizabranih sluqajnih brojeva koriste kao koordinate taqakasa tla.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Sluqajni izbor taqaka (II naqin)

Najpre se vrxi sluqajan izbor taqaka na stranicama kvadrataili pravougaonika. Zatim se od svake dve sluqajno izabranetaqke sa razliqitih ivica formiraju linije unutar kvadrata.

Na kraju se od preseqnih taqaka linija formira uzorak.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Periodiqni izbor taqaka

Periodiqni izbor taqaka se uspexno primeǌuje za izbortaqaka po kvadratnoj mrei.

I naqin

Taqke se mogu birati naqvorovima mree.

II naqin

Koordinate jedne taqke se

odreuju preko tablice

sluqajnih brojeva, a ostale sej

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



sluqajnih brojeva, a ostale seuzimaju na istom razmaku.

Stratifikovani izbor taqaka

Posmatrana oblast se deli na maǌe celine homogene po nekomsvojstvu (vrsta zemǉixta, nadmorska visina i sliqno) izkojih se na sluqajan naqin bira odreeni broj taqaka u

uzorak.

Napomena

Stratifikovani izbor taqaka podrazumeva izbor odreenogbroja taqaka iz svakog stratuma, te omoguava ravnomernuraspodelu uzorka po posmatranom delu tla

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



raspodelu uzorka po posmatranom delu tla.

Grupni izbor taqaka

Posmatrana oblast se deli na maǌe celine, najqexepravilnog oblika, recimo kvadrata ili pravougaonika istihdimenzija koji imaju ulogu grupa. Uzorak se formira takoxto se na sluqajan naqin izabere odreen broj grupa, a zatim

se iz svake grupe uzimaju svi elementi, tj. ceo deo tlab b

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



se iz svake grupe uzimaju svi elementi, tj. ceo deo tlaobuhvaen izabranom grupom.

Statistiqko prouqavaǌe

Statistiqko prouqavaǌe populacije qine tri etape:

1 Prikupǉaǌe podataka.

2 Sreivaǌe i grafiqko prikazivaǌe podataka.

3 Statistiqka obrada podataka.

Prikupǉaǌe podataka:

1 Definisaǌe populacije koja se prouqava.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Definisaǌe populacije koja se prouqava.2 Definisaǌe obeleja koja se posmatraju.

3 Izbor strategije izbora uzorka.

4 Izbor procedure prikupǉaǌa podataka (popuǌavaǌe

obrazaca, mereǌa itd.).5 Prikupǉaǌe podataka.

Statistiqka obrada podataka:

1 Sreeni podaci se obrauju statistiqkim metodama.

2 Donose se zakǉuqci za celu populaciju.

Sluqajni uzorak

Neka se posmatra obeleje X i vrxi n posmatraǌa qiji surezultati sluqajne promenǉive X 1, X 2, . . . , X n . Ureenan -torka (X 1, X 2, . . . , X n ) se zove sluqajni uzorak obima n za

obeleje X .

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



j

Realizovani uzorak

Posle obavǉenog eksperimenta ili posmatraǌa na

raspolagaǌu je niz konkretnih podataka (x 1,

x 2, . . . ,

x n ) koji sezove realizovani uzorak.

Statistika

Statistika je funkcija uzorka (X 1, X 2, . . . , X n ) qiji analitiqkiizraz ne zavisi od nepoznatih parametara raspodele obelejapopulacije iz koje je uzet.

Primer

Neka obeleje X ima normalnu raspodelu sa parametrima m iσ2 i neka je iz populacije uzet uzorak (X 1, X 2, . . . , X n ). Neka je

1 n Xi m

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Z n =n

i =1

X i − m

σ .

Ukoliko su parametri m i σ2 poznati, tada funkcija Z n

predstavǉa jednu statistiku. Ukoliko je bar jedan parametarnepoznat, tada ova funkcija nije statistika.

Parametri obeleja

Parametri obeleja su numeriqke karakteristike obeleja.

Parametri raspodele obeleja mogu biti poznati ili

nepoznati.Ukoliko su parametri raspodele nepoznati, tada se oniproceǌuju na osnovu realizovanog uzorka.

Taqkasta ocena nepoznatog parametra

Ako je procena nepoznatog parametra konkretan broj tada za

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Ako je procena nepoznatog parametra konkretan broj, tada zatakvu procenu kaemo da je taqkasta ocena nepoznatogparametra.

Intervalna ocena nepoznatog parametraUkoliko je procena interval, tada takvu procenu nazivamointervalnom ocenom nepoznatog parametra.

Taqkaste ocene

Uzoraqka sredina

Neka je (X 1, X 2, . . . , X n ) uzorak obima n iz populacije sa

obelejem X . Statistika X n definisana kao

X n = 1

n (X 1 + X 2 + · · · + X n ) =

1

n

n

i =1

X i

naziva se uzoraqkom sredinom ili sredinom uzorka.

R

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Realizovana uzoraqka sredina

Realizovana uzoraqka sredina oznaqava se sa x n i definixese kao broj

x n =

1

n (x 1 + x 2 + · · · + x n ),

gde je (x 1, x 2, . . . , x n ) realizovani uzorak.

Primer

Broj zemǉotresa u Srbiji u periodu 1991-1999. godine bio je:

26, 10, 11, 6, 5, 10, 26, 103, 81. Koliki je bio oqekivanigodixǌi broj zemǉotresa u Srbiji u periodu 1991-1999.godine?

Rexeǌe

Oqekivani godixǌi broj zemǉotresa u Srbiji u periodu1991 1999 godine bio je

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



1991-1999. godine bio je

x 9 = 26 + 10 + 11 + 6 + 5 + 10 + 26 + 103 + 81

9 = 30,89.

Tabelarno sreen uzorak

Ukoliko je uzorak oblika

Realizovane vrednosti obeleja X x 1 x 2 · · · x k

Apsolutne uqestanosti f i f 1 f 2 · · · f k n

tada se realizovana uzoraqka sredina izraqunava po formuli

1 1k

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



x n = 1

n (f 1x 1 + f 2x 2 + · · · + f k x k ) =

1

n

i =1

f i x i .

Intervalno sreen uzorak

Ukoliko je uzorak oblika

Intervali [x 1; x 2) [x 2; x 3) · · · [x k −1; x k ]

Apsolutne uqestanosti f i f 1 f 2 · · · f k n

tada se realizovana uzoraqka sredina izraqunava po formuli

1 1k

http://goback/

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



x n = 1

n (f 1x

1 + f 2x

2 + · · · + f k x

k ) = 1

n

i =1

f i x

i ,

gde je x i sredina uzorka [x i , x i +1), i = 1,2, . . . ,k − 1.

Uzoraqki mod

Uzoraqki mod ili mod uzorka je ona vrednost u uzorku kojaima najveu apsolutnu (relativnu) uqestanost pojavǉivaǌa u

svojoj okolini.

Primer

Dat je broj kixnih dana u mesecu julu u mestu A u toku 20godina: 5, 6, 8, 10, 9, 8, 4, 7, 7, 3, 6, 4, 8, 7, 6, 6, 5, 3, 6, 6.

Odrediti uzoraqki mod.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Rexeǌe

Vrednost 6 se najvixe puta javǉa, taqnije 6 puta, tako da jeuzoraqki mod broja kixnih dana vrednost 6 i drugih modovanema.

Modalni interval

Modalni interval je interval koji ima veu apsolutnuuqestanost od oba svoja suseda.

Intervalno sreen uzorak 1 Najpre se odreuje modalni interval [a µ, b µ).

2 Mod uzorka se raquna po formuli

M o = a µ + h µ · N 2

N 1 + N 2 ,

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



gde je a µ doǌa granica modalnog intervala [a µ, b µ), h µ jeduina modalnog intervala i raquna se po formulih µ = b µ − a µ, N 1 je apsolutna uqestanost intervala ispred modalnog, a N 2 je apsolutna uqestanost intervala izamodalnog.

Napomena

Vixe intervala mogu biti modalni i tada uzorak ima vixemodova.

Primer

Godixǌe korixeǌe xuma (u hiǉ. m 3) u Srbiji i Crnoj Goriu periodu od 1959-1997. godine predstavǉeno je sledeomtabelom:

Iskorixenost xuma [2500; 3000) [3000; 3500) [3500; 4000)Broj godina 2 7 6

http://goback/

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Broj godina 2 7 6

Iskorixenost xuma [4000; 4500) [4500; 5000) [5000; 5500)

Broj godina 15 5 4

Odrediti mod datog uzorka.

Rexeǌe

1 Uzorak ima dva modalna intervala [3000;3500) i[4000; 4500), te je posmatrano obeleje bimodalno.

2 Vrednost moda na osnovu intervala [3000;3500):

m o = 3000 + 500 · 6

2 + 6 = 3375.

3 V [4000 4500)

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



3 Vrednost moda na osnovu intervala [4000;4500):

m o = 4000 + 500 · 5

6 + 5 = 4227, 27.

Uzoraqka medijanaUzoraqka medijana ili medijana uzorka je taqka M e koja deliuzorak na dva dela, takva da se u svakom od delova nalazi jednak broj elemenata uzorka.

Odreivaǌe uzoraqke medijane

1 Najpre se od elemenata uzorka formira varijacioni nizx (1), x (2), . . . , x (n ), tj. niz vrednosti koje su poreane uneopadajuem redosledu.

2 Ako je obim uzorka n neparan broj, uzoraqka medijana jej j

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



jednaka elementu varijacionog niza x ((n +1)/2).

3 Ako je obim uzorka n paran broj, tada je uzoraqkamedijana jednaka

M e =x ( n

2) + x ( n

2+1)

2 .

Primer

Broj diplomiranih studenata po kalendarskoj godini ucentralnoj Srbiji u periodu 1980-1997. godine bio je: 10304,

9881, 9984, 9860, 9213, 9019, 8894, 7971, 8004, 8008, 7003,7825, 7845, 7097, 7433, 8005, 8658 i 7663. Kolika je medijana?

Rexeǌe

Uzorak je obima 18, tako da je medijana aritmetiqka sredina

devetog i desetog elementa varijacionog niza 7003, 7097,7433 7663 7825 7845 7971 8004 8005 8008 8658 8894

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



7433, 7663, 7825, 7845, 7971, 8004, 8005, 8008, 8658, 8894,9019, 9213, 9860, 9881, 9984, 10304, taqnije

m e = 8005 + 8008

2

= 8006,5.

Medijanski interval

Medijanski interval je prvi interval qija je zbirnauqestanost vea ili jednaka n /2.

Intervalno sreen uzorak 1 Najpre se odreuje medijanski interval [a M , b M ).

2 Medijana se raquna po formuli

M e = a M + h M ·

n

2 −

M

N M ,

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



gde je a M doǌa granica medijanskog intervala [a M , b M ), h M

je duina medijanskog intervala i raquna se kaoh M = b M − a M , N M je apsolutna uqestanost medijanskogintervala, a

M je zbirna uqestanost intervala ispred

medijanskog intervala.

Primer

Raspodela opxtina u SFR Jugoslaviji prema broju osnovnih

xkola, staǌe 1974/75 xkolske godine data je sledeomtabelom:

Broj xkola [0;5) [5;10) [10;15) [15; 20) [20;25)

Broj opxtina 13 47 75 85 63

Broj xkola [25;30) [30;40) [40; 50) [50;70)Broj opxtina 57 74 41 53

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Broj opxtina 57 74 41 53

Odrediti medijanu broja xkola.

Rexeǌe

Tabela sa apsolutnim i zbirnim apsolutnim uqestanostima jesledea

Broj xkola [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20) [20; 25)

Broj opxtina 13 47 75 85 63Zbirne uqestanosti 13 60 135 220 283

Broj xkola [25; 30) [30; 40) [40; 50) [50;70)

Broj opxtina 57 74 41 53Zbirne uqestanosti 340 414 455 508

Medijanski interval je interval [20;25), jer je ǌegova zbirna

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



uqestanost (283) prva zbirna uqestanost vea od 508/2 = 254.Tada je uzoraqka medijana jednaka

m e = 20 + 5 · 254

−220

63 = 22,7.

Uzoraqka disperzija

Neka je (X 1, X 2, . . . , X n ) uzorak obima n ≥ 30 iz populacije sa

obelejem X . Statistika S 2

n definisana kao

S 2

n = 1

n

n i =1

X i − X n 2

naziva se uzoraqkom disperzijom posmatranog uzorka.

Realizovana uzoraqka disperzija

A

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Ako se posmatra realizovani uzorak, onda se moedefinisati realizovana uzoraqka disperzija kao

s 2n = 1

n

n

i =1

(x i − x n )2 .

Napomena

Za izraqunavaǌe S

2

n i s

2

n mogu se mogu se koristiti formule

S 2

n = 1

n

n i =1

X 2

i −

X n

2

is2 =

1n

X2

i −

X n

2

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



s n =n

i =1

X i

X n

.

Popravǉena uzoraqka disperzija

Ako je uzorak obima n < 30, tada se umesto uzoraqkedisperzije izraqunava popravǉena uzoraqka disperzija S 2n kao

S 2n =

1

n − 1

n i =1

X i − X n

2.

Napomena

Za izraqunavaǌe popravǉene uzoraqke disperzije moe sekoristiti formula

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



koristiti formula

S 2n =

1

n −1

n

i =1

X 2

i − n

n −1

X n

2.

PrimerMinimalne meseqne temperature na Dunavu kod Zemuna 1998.godine su bile: 3, 2, 6, 7, 13, 19, 19,5, 20,5, 15, 11, 4 i 1.Odrediti uzoraqku sredinu i disperziju.

RexeǌeNeka je obeleje X minimalna meseqna temperatura naDunavu kod Zemuna.Uzoraqka sredina jednaka je

x 12 = 3 + 2 + 6 + 7 + · · · + 4 + 1

12 = 10,08.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



12

Kako je 12 < 30, to je potrebno izraqunati popravǉenuuzoraqku disperziju i ona je jednaka

s 212 =

32 + 22 + 62 + 72 + · · · + 12

11 −

12

11(10,08)2 = 52, 02.

Ako je uzorak tabelarno sreen, tada se realizovana uzoraqkadisperzija izraqunava po formuli

s 2

n = 1

n

k i =1

f i (x i − x n )2 ,

odnosno, po formuli

s2

n = 1

k fi x

2

i − (x n)2 ,

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



s n n

i =1

f i x i (x n ) ,

gde je f i apsolutna uqestanost realizovane vrednosti x i .

Ako je uzorak obima maǌeg od 30, tada se popravǉenauzoraqka disperzija izraqunava kao

s 2n = 1

n − 1

k

i =1

f i (x i − x n )2 ,

odnosno, kao

s 2n = 1n − 1

k i=1

f i x 2i − n n − 1

(x n )2 .

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



i =1

Ako je uzorak i intervalno sreen, tada se za realizovane

vrednosti uzorka uzimaju sredine tih intervala.

Uzoraqka standardna devijacija

Uzoraqka standardna devijacija oznaqava se sa S n i definixeformulom S n =

S 2

n .

Popravǉena uzoraqka standardna devijacija

Popravǉena uzoraqka standardna devijacija oznaqava se sa S n

i definixe formulom Sn =

S2

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



i definixe formulom S n =

S n .

Uzoraqki koeficijent korelacije

Za uzorak ((X 1, Y 1), (X 2, Y 2), . . . , (X n , Y n )) obima n ≥ 30,uzoraqki koeficijent korelacije jednak je

R X ,Y =

1n

n i =1

X i − X n Y i − Y n S X S Y

,

gde su X n i Y n uzoraqke sredine obeleja X i Y , a S X i S Y su

uzoraqke standardne devijacije obeleja X i Y .

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Napomena

Ako je uzorak mali (n < 30), tada se umesto uzoraqkih

standardnih devijacija S

X i S

Y koriste popravǉene uzoraqkestandardne devijacije S X i S Y .

NapomenaZa izraqunavaǌe uzoraqkog koeficijenta korelacije moe sekoristiti formula

R X ,Y =

1

n

n

i =1

X i Y i − X n Y n

S X S Y

.

Uzoraqki koeficijent korelacije se koristi za utvrivaǌelinearne povezanosti dva obeleja.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Osobine uzoraqkog koeficijenta korelacije

Uzoraqki koeficijent korelacije uzima vrednosti izintervala [−1,1].

Uzoraqki koeficijent korelacije jednak je 1 ako izmeuobeleja X i Y postoji linearna veza Y = aX + b pri qemu je a > 0.

Uzoraqki koeficijent korelacije jednak je −1 ako izmeuobeleja X i Y postoji linearna veza Y = aX + b pri qemu

je a < 0.Vrednost uzoraqkog koeficijenta korelacije se ne meǌa

http://goback/

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



ako se izvrxi transformacija uzorka, tj. ako jeZ i = aX i + b i W i = cY i + d , tada je R Z ,W = R X ,Y , ukoliko sua i c istog znaka, i R Z ,W = −R X ,Y , ukoliko su a i c

suprotnog znaka.

Tumaqeǌe vrednosti uzoraqkog koeficijenta korelacije

Ako je |r X ,Y | < 0,25, tada smatramo da izmeu obeleja X iY ne postoji linearna zavisnost.

Ako je 0, 25 ≤ |r X ,Y | < 0,5, onda izmeu obeleja X i Y

postoji sasvim neznatna linearna povezanost.

Ako je 0, 5 ≤ |r X ,Y | < 0,7, tada postoji znaqajna linearnapovezanost izmeu obeleja X i Y .

Ako je 0, 7 ≤ |r X ,Y | < 0,9, onda postoji visoko znaqajnapovezanost izmeu obeleja X i Y .

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



u j

Ako je 0, 9 ≤ |r X ,Y | < 1, onda je povezanost izmeu obelejaX i Y praktiqno linearnog oblika.

Intervalno oceǌivaǌe parametara

Potreba za intervalnim oceǌivaǌem

elimo da znamo u kojim se granicama kree prava vrednostparametra.

Postupak:

Posmatra se obeleje X qija raspodela zavisi od nepoznatog

parametra θ. Potrebno je za dati uzorak (X 1,X 2, . . . ,X n ) obiman nai dve statistike ϕ1(X 1,X 2, . . . ,X n ) i ϕ2(X 1,X 2, . . . ,X n )

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



takve da je

P

ϕ1(X 1,X 2, . . . ,X n )

≤θ

≤ϕ2(X 1,X 2, . . . ,X n )

= 1

−α.

Sluqajni interval

Interval [ϕ1, ϕ2] zove se sluqajni interval parametra θ nivoapovereǌa 100(1− α)% ili skraeno, interval povereǌa.

Dvostrani interval povereǌa

Ako su obe granice intervala povereǌa sluqajne promenǉive,tada je req o dvostranom intervalu povereǌa.

Jednostrani interval povereǌaAko je samo jedna granica intervala povereǌa sluqajnapromenǉiva tada je req o jednostranom intervalu povereǌa

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



promenǉiva, tada je req o jednostranom intervalu povereǌa.

Vrednosti nivoa povereǌa

Najqexe se uzima visok nivo povereǌa: 90%, 95%, 99%.

Napomena

Znaqeǌe izraza

P ϕ1(X 1,X 2, . . . ,X n ) ≤ θ ≤ ϕ2(X 1,X 2, . . . ,X n ) = 1− α.

Od vixe intervala koji se iz vixe uzoraka istog obima n dobijaju, ǌih 100(1−α)% zahvata pravu vrednost parametra θ.

Intervalne ocene parametara normalne raspodele

Neka obeleje X ima normalnu raspodelu N (m σ2) i neka je

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Neka obeleje X ima normalnu raspodelu N (m , σ ) i neka je(X 1,X 2, . . . ,X n ) uzorak obima n .

Interval povereǌa za m kada je σ2 poznato

Interval povereǌa za parametar m je oblika

I m = X n − σ

√ n ·z 1−α

2

; X n + σ

√ n ·z 1−α

2 ,pri qemu je X n uzoraqka sredina, a z 1−α

2

je broj koji se qita

iz tablice normalne raspodele i zadovoǉava uslov

Φz 1−α2 = 1−α

2

.

Neke karakteristiqne vrednosti za z 1

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Neke karakteristiqne vrednosti za z 1−α

2

1− α 0,9 0,95 0,99

z 1−α

2 1,64 1,96 2,57

PrimerPosmatrano obeleje X , proseqne godixǌe padavine u Africi, ima

normalnu raspodelu sa disperzijom σ2 = 324 i nepoznatim parametrom m .

Iz datog uzorka obima 50 realizovana uzoraqka sredina iznosi x 50 = 85.

Odrediti interval povereǌa za parametar m za nivo povereǌa 0,95.

Rexeǌe

Uzorak je obima n = 50.

Nivo povereǌa je 1− α = 0, 95.

Standardna devijacija je σ

=

√ 324

= 18

.Realizovana uzoraqka sredina je x 50 = 85.

Za dati nivo povereǌa je z 1 α = 1 96

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Za dati nivo povereǌa je z 1−α2

= 1, 96.

Traeni interval povereǌa za parametar m je

I m =85

−18√ 50

·1, 96 ; 85 +

18√ 50

·1,96

= [80, 01 ; 89, 99].

Interval povereǌa za m kada je σ2 nepoznato, n < 30

Interval povereǌa za m je oblika

I m = X n − S n

√ n ·t n −1

;

1−α

2

; X n + S n

√ n ·t n −1

;

1−α

2 ,gde je S n popravǉena uzoraqka standardna devijacija, at n −1; 1−α

2

je vrednost koja se qita iz tablice Studentoveraspodele.

Neke karakteristiqne vrednosti za t n −1; 1−α

2

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



;2

1− α = 0,9

n 5 10 15 20

t n −1; 1−α

2

2,132 1,833 1,761 1,729

Interval povereǌa za m kada je σ2 nepoznato, n ≥ 30

Interval povereǌa za m je oblika

I m = X n − S n √

n − 1· t n −1; 1−α

2; X n +

S n √

n − 1· t n −1; 1−α

2 ,

gde je S n uzoraqka standardna devijacija.

PrimerU sluqajnom uzorku od 10 gradova procenti stanovnika

4 4

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



starijih od 65 godina su: 15,4; 19,7; 24,6; 18,9; 15,2; 19; 21,3;17,9; 15,5 i 16. Odrediti 95% interval povereǌa oqekivanogprocenta stanovnika starijih od 65 godina.

Rexeǌe

Neka je X procenat stanovnika starijih od 65 godina.

Ne postoji nikakva pretpostavka o disperziji, xto znaqi

da je ona nepoznata.Uzorak je mali (10 < 30).

Uzoraqka sredina je x 10 = 18,35.

Popravǉena uzoraqka disperzija je

s 210

= 9, 2.

Interval povereǌa za m u sluqaju nepoznate disperzije je √ 9,2

√ 9,2

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



I m =

18, 35−

√9,2√ 9

· 2, 262 ; 18,35 +

√9,2√ 9

· 2,262

= [16,06 ; 20, 64].

Interval povereǌa za σ2

kada je m poznatoInterval povereǌa za σ2 je oblika

I σ2 = n

i =1

(X i −m )2

χ2

n ;1−α

2

;

n

i =1

(X i −m )2

χ2

n ;α2

,

pri qemu su χ2

n ;α2

i χ2

n ;1−α

2

vrednosti koje se qitaju iz tablice

χ2

raspodele.

Neke karakteristiqne vrednosti za χ2α kada je 1− α = 0 9

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Neke karakteristiqne vrednosti za χn ;α

2

kada je 1 α = 0,9

n 5 10 15 20

χ2

n ;α2 1,15 3,94 7,26 10,9

χ2

n ;1−α

2

11,1 18,3 25 31,4.

Interval povereǌa za σ2

kada je m nepoznatoInterval povereǌa za parametar σ2 je oblika

I σ2 =

nS 2

n

χ2

n −1;1−α

2

; nS

2

n

χ2

n −1;α

2 .Jednostrani intervali povereǌa

Jednostrani doǌi interval povereǌa je oblika

I σ2 =

nS

2

n

χ2

n −1;α

; ∞

.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Jednostrani gorǌi interval povereǌa je

I σ2 =0 ;

nS 2

n

χ2

n −1;1−α

.

PrimerPosmatramo obeleje X , procenat qistog metala u rudi koji ima normalnu

raspodelu. Iz uzorka obima 30 dobijena je uzoraqka disperzija s 2

30 = 7, 27. Za nivo

povereǌa 0,9 odrediti dvostrani i jednostrani doǌi interval povereǌa za

parametar σ2.

Rexeǌe

Ne postoji nikakva pretpostavka o parametru m , xto znaqi da je on nepoznat.

Dvostrani interval povereǌa za parametar σ2 je

I σ2 =

30 · 7,27

45, 7; 30 · 7

,27

16

= [4, 77 ; 13, 63].

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Jednostrani doǌi interval povereǌa je

I σ2 =

30 · 7, 2742, 6 ;

∞ = [

5,12

; ∞

).

Testiraǌe statistiqkih hipoteza

Testiraǌe statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog

zakǉuqivaǌa koji se primeǌuje u situacijama:kada se unapred pretpostavǉa postojaǌe odreene vezemeu izuqavanim pojavama,

kada se pretpostavǉa da posmatrano obeleje ima

odreenu raspodelu.

Statistiqka hipoteza

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Statistiqka hipoteza je svaka pretpostavka koja se odnosi naraspodelu obeleja.

Statistiqka hipoteza moe biti taqna ili pogrexna.

Odluka o prihvataǌu ili odbacivaǌu statistiqke hipoteze

donosi se na osnovu uzorka.

Statistiqki test

Statistiqki test je postupak verifikovaǌa statistiqkehipoteze na osnovu uzorka.

Test statistika

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Statistiqki test koristi neku statistiku koja se zove teststatistika.

Istovremeno se posmatraju dve hipoteze koje su jedna drugojsuprostavǉene.

Nulta hipoteza

Hipoteza koja se lakxe verifikuje se uzima za polaznu ili”nultu” hipotezu. Oznaqava se sa H 0.

Alternativna hipoteza

Druga hipoteza se zove alternativna hipoteza. Oznaqava se saH 1 ili H a .

http://goback/

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Hipoteza moe biti:

prosta (u potpunosti odreuje raspodelu obeleja)

sloena.

Kritiqna oblastSkup C takav da se hipoteza H 0 odbacuje ako realizovaniuzorak (x 1, x 2, . . . , x n ) pripada skupu C zove se kritiqna oblast.

Mogue je naqiniti dve grexke:grexku prve vrste,

grexku druge vrste.

Grexka prve vrste

Grexka prve vrste nastaje u situacijama kada je hipoteza H 0odbaqena, a bila je faktiqki taqna.

http://goback/

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Grexka druge vrste

Grexka druge vrste qini se kada se nulta hipoteza prihvati,a zapravo nije taqna.

Verovatnoa da se naqini grexka prve vrste

Verovatnoa da se uqini grexka prve vrste oznaqava se sa α:

α = P H 0(X 1, X 2, . . . , X n ) ∈ C .

Verovatnoa da se naqini grexka druge vrste

Verovatnoa da se naqini grexka druge vrste oznaqava se saβ :

β = P H 1

(X 1, X 2, . . . , X n )

∈ C

.

Prag znaqajnosti

Verovatnoa α se zove i prag znaqajnosti testa

http://goback/

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Verovatnoa α se zove i prag znaqajnosti testa.

Za prag znaqajnosti se najqexe uzimaju vrednosti 0

,1

; 0

,01

i 0,05.

Statistiqki testovi mogu biti:

parametarski,

neparametarski.

Parametarski testovi

Kod parametarskih testova raspodela test statistike zavisiod raspodele posmatranog obeleja.

Neparametarski testovi

Kod neparametarskih testova raspodela test statistike ne

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Kod neparametarskih testova raspodela test statistike nezavisi od raspodele posmatranog obeleja.

Testiraǌe hipoteze o parametru m kada je σ2 poznato

Obeleje X ima normalnu N (m , σ2) raspodelu.

Postavǉa se pitaǌe da li se vrednost parametra m

promenila.

Testiramo nultu hipotezu H 0(m = m 0), gde je m 0 konkretanbroj, protiv jedne od alternativnih H 1(m = m 0),H 1(m > m 0) ili H 1(m < m 0).

Posmatra se test statistika Z 0 = X n −m 0σ

· √ n , gde je X n

sredina posmatranog uzorka.

A j H Z

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika Z 0 imastandardnu normalnu raspodelu.

Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza iprikazane su u tabeli:

H 0 H 1 C

m = m 0 m = m 0 |z 0| ≥ z 0,5−α

2

m = m 0 m > m 0 z 0 ≥ z 0,5−αm = m 0 m < m 0 z 0 ≤ −z 0,5−α

Broj z α je rexeǌe jednaqine Φ(z α) = α i odreuje se iztablice normalne raspodele.

Ako realizovana vrednost z 0 upada u kritiqnu oblast C ,tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamoalternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednosti

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



parametra m .

U suprotnom, prihvatamo nultu hipotezu H 0, odnosno

moemo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlodo promene vrednosti parametra m .

Testiraǌe hipoteze o parametru m kada je σ2

nepoznato


Postavǉa se pitaǌe da li se vrednost parametra m

promenila.

Testiramo nultu hipotezu H 0(m = m 0), gde je m 0 konkretanbroj, protiv jedne od alternativnih H 1(m = m 0),H 1(m > m 0) ili H 1(m < m 0).

Posmatra se test statistika t n −1 = X n −m 0S n

· √ n − 1, gde je

X n sredina uzorka, a S n standardna devijacija uzorka.Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika t n −1 imaStudentovu raspodelu sa n − 1 stepeni slobode

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Studentovu raspodelu sa n 1 stepeni slobode.

Ako je uzorak mali, tada se koristi test statistika

t n −1 = X n −m 0S n · √ n , gde je S n popravǉena uzoraqka

disperzija.


H 0 H 1 C

m = m 0 m

= m 0

|t n −1

| ≥ t n −1;0,5−α

2

m = m 0 m > m 0 t n −1 ≥ t n −1;0,5−α

m = m 0 m < m 0 t n −1 ≤ −t n −1;0,5−α

Broj t n −1;α se odreuje iz tablice Studentove raspodele.

Ako realizovana vrednost t n −1 upada u kritiqnu oblast

C , tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamoalternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednostiparametra m .

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



r r


moemo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlodo promene vrednosti parametra m .

Testiraǌe hipoteze o parametru σ2 kada je m nepoznato


Postavǉa se pitaǌe da li se vrednost parametra σ2

promenila.

Testiramo nultu hipotezu H 0(σ2 = σ20), gde je σ2

0 konkretanbroj, protiv jedne od alternativnih H 0(σ2 = σ2

0),

H 0(σ2 > σ20

) ili H 0(σ2 < σ20

).

Posmatra se test statistika χ20

= nS 2

n

σ2

0

, gde je S 2

n disperzija

uzorka.

Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika χ20

ima χ2

raspodelu sa n − 1 stepeni slobode

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



raspodelu sa n − 1 stepeni slobode.

Ako je uzorak mali, tada se koristi test statistika

χ20 = (n −1)S

2

n σ2

0

, gde je S 2n popravǉena uzoraqka disperzija.

Testiraǌe hipoteze o parametru σ2 kada je m poznato


Postavǉa se pitaǌe da li se vrednost parametra σ2

promenila.

Testiramo nultu hipotezu H 0(σ2 = σ20

), gde je σ20

konkretanbroj, protiv jedne od alternativnih H 0(σ2 = σ2

0),

H 0(σ2 > σ2

0) ili H 0(σ2 < σ2

0).

Posmatra se test statistika χ2

0 =

n

i =1

(X i −m )2

σ2

0

.

Ako je hipoteza H taqna test statistika χ2 ima χ2

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Ako je hipoteza H 0 taqna, test statistika χ20

ima χ2

raspodelu sa n stepeni slobode.


H 0 H 1 C

σ2 = σ20

σ2 = σ20

χ20 ≤ χ2

n ;α2

χ20 ≥ χ2

n ;1−α

2

σ

2 = σ20 σ2 > σ20 χ20 ≥ χ2n ;1−α

σ2 = σ20

σ2 < σ20

χ20 ≤ χ2

n ;α

Broj χ2n ;α se odreuje iz tablice χ2 raspodele.

Ako realizovana vrednost χ2

0 upada u kritiqnu oblast C ,

tada odbacujemo nultu hipotezu H 0 i prihvatamoalternativnu H 1 da je doxlo do promene vrednostiparametra σ2.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



r r


moemo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlodo promene vrednosti parametra σ2.

Pirsonov χ2-test

Pirsonov χ2 test je neparametarski test koji se koristi zaispitivaǌe:

saglasnosti uzorka sa pretpostavǉenom raspodelom,

nezavisnosti dva obeleja.

Ispitivaǌe saglasnosti uzorka sa pretpostavǉenom

raspodelom

U zavisnosti od toga da li je obeleje diskretno iliapsolutno neprekidno, crta se trakasti dijagram ilihistogram relativnih uqestanosti.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Testira se nulta hipoteza da posmatrano obeleje X imaodreenu raspodelu protiv alternativne hipoteze da nematu raspodelu.

Ako izabrana raspodela ima nepoznate parametre, tada seoni oceǌuju na osnovu uzorka.

Realna prava se deli na k disjunktnih intervala S 1, S 2,

. . . , S k qija je unija taqno R .Vodi se raquna da svaki interval u sebi sadri najmaǌe5 elemenata realizovanog uzorka. Ako postoje intervalikoji sadre maǌe od 5 elemenata realizovanog uzorka,tada se oni pridruuju susednim intervalima.

Izraqunavaju se teorijske verovatnoe

p 0i = P H 0X ∈ S i , i = 1, 2, . . . , k

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



0

uz pretpostavku da je nulta hipoteza H 0 taqna.

Izraqunavaju se oqekivane apsolutne uqestanosti f i uzorka obima n , u svakom intervalu S i

f i = n · p 0i .

Izraqunava se realizovana vrednost test statistike

χ2

0 =k

i =1

(f i − f i )2

f i ,

pri qemu je f i ostvarena apsolutna uqestanost u intervaluS

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



S i .

Test statistika χ2

0 ima χ2

raspodelu sa k

−1

stepenislobode.

Ako raspodela ima l nepoznatih parametara koje smoocenili na osnovu uzorka, tada test statistika ima χ2

raspodelu sa k − l − 1 stepeni slobode.

Odreuje se kritiqna oblast C veliqine α

χ2

0 ≥ χ2

k −1;1−α ,

pri qemu se vrednost χ2

k −1;1−α qita iz tablice χ2

raspodele.

U sluqaju l nepoznatih parametara raspodele, kritiqnaoblast je χ2

0 ≥ χ2

k −l −1;1−α.

Donosi se zakǉuqak o prihvataǌu ili odbacivaǌu nulte

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Donosi se zakǉuqak o prihvataǌu ili odbacivaǌu nultehipoteze na osnovu realizovane vrednosti test statistike

χ2

0 i dobijene kritiqne oblasti.

Ispitivaǌe nezavisnosti dva obeleja

Nulta hipoteza je H 0(X i Y su nezavisna obeleja), aalternativna je H 1(X i Y nisu nezavisna obeleja).

Uzorak obima n je zadat tabelom kontingencije

X \Y J 1 J 2 . . . J s I 1 f 11 f 12 . . . f 1s f 1•I 2 f 21 f 22 . . . f 2s f 2•...

... ...

. . . ...

...

I r f r 1 f r 2 . . . f rs f r • f •1 f •2 . . . f •s n

gde su I 1, . . . , I r , J 1, . . . , J s konkretni brojevi ilif j b j j (I J )

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



intervali, f ij je broj pojavǉivaǌa para (I i , J j ) urealizovanom uzorku, f i • = f i 1 + f i 2 +

· · ·+ f is i

f • j = f 1 j + f 2 j + · · · + f rj .

Test statistika je oblika

χ2

0 =r

i =1

s j =1

(f ij − f ij )2

f ij ,

gde je f ij oqekivani broj parova (I i , J j ) i izraqunava se poformuli

f ij = f i • · f

• j

n .

Statistika χ2

0 ima χ2 raspodelu sa (r − 1)(s − 1) stepeni

slobode.2 2

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Kritiqna oblast je χ2

0 ≥ χ2

(r −1)(s −1);1−α.

Na kraju donosimo zakǉuqak o odbacivaǌu iliprihvataǌu nulte hipoteze.

Regresija

U velikom broju eksperimenata uoqava se veza izmeu dve ilivixe promenǉivih.

PrimerMoe se uoqiti veza izmeu stepena erozije i koliqinepadavina.

Primer

Moe se uoqiti veza izmeu xirine reke i maksimalnoggodixǌeg proticaja.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Primer

Moe se uoqiti veza izmeu broja roene dece po eni, nivoaobrazovaǌa i vrste zaposleǌa.

Ako posmatramo obeleja X 1, X 2, . . . , X p i Y , tada traimofunkciju ϕ(x 1, x 2, . . . , x p ) za koju e biti

Y ≈ ϕ(X 1,X 2, . . . ,X p ).

Funkcija ϕ se bira tako da sredǌekvadratno odstupaǌe uoznaci

E (Y − ϕ(X 1,X 2, . . . ,X p ))2

bude najmaǌe.

Regresija

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Funkcija ϕ se zove regresija Y po X 1, X 2, . . . , X p .

Najjednostavnija regresija je jednostruka regresija, kadase posmatraju dve promenǉive Y i X .

Trai se funkcija ϕ takva da je Y ≈ ϕ(X ).

Iz populacije se izdvaja realizovani uzorak((x 1, y 1), (x 2, y 2), . . . , (x n , y n )) i predstavǉa se u Dekartovojravni.

Na osnovu dobijenog dijagrama, koji se zove dijagram

rasturaǌa, bira se familija funkcija sa kojom e seraditi.

Na kraju se odreuju vrednosti parametara regresije.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Jednostruka linearna regresijaAko je zavisnost ϕ izmeu promenǉivih Y i X linearna, tj.oblika Y = aX + b , tada kaemo da je ϕ jednostruka linearnaregresija.

Jednostruka linearna regresija moe biti:

prve vrste,

druge vrste.

Jednostruka linearna regresija prve vrsteObeleje Y zavisi od sluqajne promenǉive X .

J j

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Jednostruka linearna regresija druge vrste

Obeleje Y zavisi od nesluqajne (kontrolisane) promenǉivex .

Jednostruka linearna regresija prve vrste

Zavisnost je oblika Y = aX + b .

a i b su nepoznati parametri koji se odreuju iz uslovada je sredǌe-kvadratno odstupaǌe E (Y − aX − b )2 najmaǌe.

Ocene parametara su:

a =

X i Y i −

1n

X i

Y i X 2i −

1n (

X i )2

,

b = Y n − aX n .

Procena vrednosti

Y Y ˆX b Y

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Vrednost Y i dobijena kao Y i = aX i + b je procena vrednosti Y i

na osnovu vrednosti X i .

Grexka oceǌivaǌaGrexka oceǌivaǌa se definixe kao

S 2Y −Y

= 1

n

n

i =1

Y i − Y i

2.

Grexka oceǌivaǌa sadri informaciju o tome kolikoizabrana funkcija dobro aproksimira zavisnost obeleja Y po X .

Grexka oceǌivaǌa (mali uzorak)

Ako je uzorak mali, tada se grexka oceǌivaǌa definixe kao

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



S 2

Y −Y =

1

n − 1

n

i =1

Y i − Y i

2.

Primer

Na osnovu mereǌa pretprolenog minimalnogsredǌemeseqnog nivoa podzemnih voda (X ), i sredǌeggodixǌeg nivoa (Y ) u godinama 1952-1958. dobijeno je

X 19,51 19,02 19,04 15,80 17,52 15,96 16,31

Y 17,57 17,66 18,74 14,48 15,44 13,92 15,22

Odrediti pravu linearne regresije Y po X i na osnovu ǌeprognozirati Y za izmerenu vrednost x = 16, 99 u 1959.godini. Izraqunati grexku oceǌivaǌa.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Dijagram rasturaǌa je

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Koeficijenti prave linearne regresije su:

a = 2005,18−

17 · 123, 16 · 113, 03

2182,25− 17 · (123, 16)2

= 1,076,

b = 113, 037

− 1, 076 · 123,167

= −2, 784.

Traena prava linearne regresije Y = 1, 076 · X − 2,784.

Proceǌujemo da je 1959. godine sredǌi godixǌi nivo bioy (16,99) = 1, 076 · 16,99− 2,784 = 15,50.

Grexka oceǌivaǌa je s 2Y −Y

= 2,37956 = 0,3966 i kako je ona

b j Y j

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



mala u odnosu na vrednosti obeleja Y , to zakǉuqujemo da

smo dobro aproksimirali zavisnost obeleja Y po X .

Grafik prave linearne regresije je

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Moe se posmatrati i linearna regresija X po Y .

Ona je oblika X = cY + d , gde su c i d nepoznati

parametri koji se odreuju iz uslova da sredǌekvadratnoodstupaǌe E (X − cY − d )2 bude najmaǌe.

Ocene parametara c i d su:

c =X i Y i −

1n X i Y i

Y 2i − 1n (

Y i )2 ,

d = X n − cY n .

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Grexka oceǌivaǌa

Grexka oceǌivaǌa se definixe kao

S 2X −X = 1n

n i =1

X i − X i

2.

Grexka oceǌivaǌa (mali uzorak)

Ako je uzorak mali, tada se grexka oceǌivaǌa definixe kao

S 2X −X

= 1

n − 1

n i=1

X i − X i

2.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



i 1

Jednostruka linearna regresija druge vrste

Zavisnost je oblika Y = ax + b + ε, gde je ε sluqajnapromenǉiva, koja se najqexe identifikuje kao grexka

mereǌa. Pretpostavǉa se da je E (ε) = 0 i D (ε) = σ2

.a i b su nepoznati parametri koji se odreuju iz uslovada je sredǌe-kvadratno odstupaǌe E (Y − ax − b )2 najmaǌe.

Ocene parametara su:

a =

x i Y i − 1

n

x i

Y i x 2i −

1n (

x i )2

,

b = Y n − ax n .

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Nelinearni modeli zavisnosti

Nelinearni modeli zavisnosti

Nelinearni modeli zavisnosti su modeli koji se jednostavnim

transformacijama mogu da svedu na linearne modele.

Posmatraemo:

model linearan po parametrima,

stepeni model,

eksponencijalni model.

N b

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Nelinearni modeli mogu biti prve i druge vrste.

Model linearan po parametrima

Model linearan po parametrima prve vrste je oblika

Y = ag (X ) + b ,

gde je g unapred poznata funkcija od sluqajne promenǉiveX , a a i b su nepoznati parametri.

Model se smenom Z = g (X ) svodi na linearan model prvevrste Y = aZ + b .

Nepoznati parametri a i b se oceǌuju na osnovu uzorka((Z 1,Y 1), (Z 2,Y 2), . . . , (Z n ,Y n )) koji je dobijentransformacijom Z i = g (X i ), i = 1,2, . . . ,n , poqetnog uzorka((X Y ) (X Y ) (X Y ))

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



((X 1,Y 1), (X 2,Y 2), . . . , (X n ,Y n )).

Ocene parametara a i b regresionog modela Y = aZ + b su:

a =Z i Y i −

1n Z i ·Y i

Z 2i − 1n (

Z i )2 ,

b = Y n − a · Z n .

U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblika

Y = ag (X ) + b .

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Primer

Odrediti regresionu krivu Y = a logX + b

veze izmeu xirinereke Y i maksimalnog godixǌeg proticaja X (u m 3/sec ), naosnovu uzorka od 10 reka:

maks. proticaj 5,7 17 22 31 50 61 85 120 12 19

xirina reke 63 260 92 230 720 890 2500 1150 93 210

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-




http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Realizovane vrednosti ocena a i b su redom:

a = 25857, 48−

110 · 33,781 · 6208

122,108− 1

10

· (33,781)2 = 611, 360,

b = 6208

10 − 611,360 ·

33,781

10 = −1407,754.

Regresiona prava izmeu obeleja Y i Z je oblikaY = 611,360 · Z − 1407,754.

Regresiona kriva kojom se opisuje veza izmeu xirinereke i maksimalnog godixǌeg proticaja jeY = 611 360 logX 1407 754

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Y = 611,360 · logX − 1407,754.

Grafik regresione krive je

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Stepeni model

Stepeni model prve vrste je oblika

Y = bX a ,

gde su a i b su nepoznati parametri.

Model se smenama Z = lnX , W = lnY i c = lnb svodi nalinearan model prve vrste W = aZ + c .

Nepoznati parametri a i c se oceǌuju na osnovu uzorka((Z 1,W 1), (Z 2,W 2), . . . , (Z n ,W n )) koji je dobijentransformacijama Z i = lnX i i W i = lnY i , i = 1,2, . . . , n ,poqetnog uzorka ((X 1,Y 1), (X 2,Y 2), . . . , (X n ,Y n )).

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Ocene parametara a i c regresionog modela W = aZ + c su:

a =

Z i W i −

1n

Z i W i

Z 2i − 1n (

Z i )2 ,

c = W n − aZ n .

Parametar b oceǌujemo kao b = e c

.U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblikaY = bX a .

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Primer

Na obali zaliva se ispituje vlanost muǉa (u gramima vodena 100 grama suve materije). Iz jedne buxotine je dobijeno

dubina (x ) 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5

vlanost (y ) 84 50 32 28 24 23 20

Odrediti regresionu krivu Y = bx a + ε.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-




http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Realizovane vrednosti ocena nepoznatih parametara su

a = 37,614−

17 ·

11,363 · 24,450

21,259− 17

(11,363)2 = −0,738,

c = 24,4507

+ 0, 738 ·11, 363

7 = 4,691,

b = e 4,691 = 108,962.

Regresiona prava izmeu obeleja W i Z je oblikaW = −0.738 · Z + 4.691.

Regresiona kriva kojom se opisuje veza izmeu dubine ivlanosti muǉa je Y = 108 962 · x−0,738 + ε

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



vlanosti muǉa je Y = 108,962 · x , + ε.


http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Eksponencijalni model

Eksponencijalni model prve vrste je oblika

Y = be aX ,

gde su a i b nepoznati parametri.

Model se smenama W = lnY i c = lnb svodi na linearanmodel prve vrste W = aX + c .

Nepoznati parametri a i c se oceǌuju na osnovu uzorka((X 1,W 1), (X 2,W 2), . . . , (X n ,W n )) koji je dobijentransformacijom W i = lnY i , i = 1,2, . . . , n , poqetnog uzorka((X 1,Y 1), (X 2,Y 2), . . . , (X n ,Y n )).

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Ocene parametara a i c regresionog modela W = aX + c su:

a =

X i W i −

1n

X i

W i

X 2i − 1n (

X i )2 ,

c = W n − aX n .

Parametar b oceǌujemo kao b = e c

.U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblikaY = be aX .

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Primer

Na obali zaliva se ispituje vlanost muǉa (u gramima vodena 100 grama suve materije). Iz jedne buxotine je dobijeno

dubina (x ) 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5

vlanost (y ) 84 50 32 28 24 23 20

Odrediti regresionu krivu Y = be ax + ε.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-




http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Realizovane vrednosti ocena nepoznatih parametara su

a = 137,48−

17 ·

42 · 24,45

315− 17

(42)2 = −0,146,

c = 24,457

+ 0,146 ·427

= 4,369,

b = e 4,369 = 78,965,

Regresiona prava izmeu obeleja W i X je oblikaW = −0,146x + 4,369 + ε.

Regresiona kriva kojom se opisuje veza izmeu dubine ivlanosti muǉa je Y = 78,965 · e −0,146x + ε.

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



u j ,


http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

Documents

Statistika - PMF Niš