Statistika u Ekonomiji i Menadzmentu 2012

Dr Rabija Somun-Kapetanović

STATISTIKA U EKONOMIJI I MENADŽMENTU

TRE E IZDANJE

Sarajevo, 20 2. godine

Naziv djela:STATISTIKA U EKONOMIJI I MENADŽMENTU

III izdanje

Autor:Prof. dr Rabija Somun-Kapetanovi}

Izdava~:Ekonomski fakultet u Sarajevu

Glavni i odgovorni urednik:Prof. dr Veljko Trivun

Recenzenti:Prof. dr Divna Jankovi}

Prof. dr Želimir Vu~kovi}

Lektor:Dr Aiša Softi}

Tira`:100 primjeraka

Godina izdanja: 2012.

CIP - Katalogizacija u publikacijiNacionalna i univerzitetska bibliotekaBosne i Hercegovine, Sarajevo

519.22/.24(075.8)

SOMUN-Kapetanović, RabijaStatistika u ekonomiji i menadžmentu / Rabija

Somun-Kapetanović. - 3. izd. - Sarajevo :Ekonomski fakultet, 2012. - 426 str. : graf. prikazi ; 24 cm

Bibliografija: str. 425-426.

ISBN 978-9958-25-065-1I. Kapetanović, Rabija Somun- vidi Somun-Kapetanović, RabijaCOBISS.BH-ID 19310086

5

PREDGOVOR PRVOM IZDANJU

Postoji više pristupa prezentaciji statističke metodologije. Dva ekstremna slučaja su prezentacije kompletno matematizirane i apstraktne i prezentacije potpuno deskriptivne, bez provjere i izvođenja dokaza. Pristup koji smo mi primijenili u prezentaciji nalazi se između ova dva ekstremna slučaja i ima dva osnovna cilja. To su prezentacija i aplikacija analiziranih metoda i razumi-jevanje i interpretacija dobijenih rezultata. Ova knjiga je namijenjena prvenst-veno studentima ekonomije, menadžmenta i ostalih društvenih nauka. Iako su bazni koncepti statistike univerzalni, naš pristup je baziran na analizi, prezen-taciji i aplikaciji osnovnih koncepata u domenu ekonomije i menadžmenta. Os-novne definicije, osobine i rezultati su izvedeni i dokazani u mjeri u kojoj smo to smatrali korisnim za razumijevanje i aplikaciju prezentirane problematike.

Sadržaj ovog izdanja knjige je rezultat dugogodišnjeg autorovog iskustva u nastavi iz oblasti Kvantitativne ekonomije i predmeta: Matematičke metode u ekonomiji, Međusektorska analiza, Operaciona istraživanja, Statistika, Eksperi-mentalna statistika, Statistika u ekonomiji i menadžmentu, Poslovna statistika, Kvantitativne metode i Demografija na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu, Fakultetu ekonomskih nauka i upravljanja Univeziteta Louis Pasteur u Strasbourg-u (Faculté des sciences économiques et de gestion de l’Université Louis Pasteur de Strasbourg) i Instituta za demografiju Univerziteta Marc Bloch u Strasbourg-u (Institut de démographie de l’Université Marc Bloch de Strasbourg).

Ova knjiga je koncipirana prema nastavnom programu predmeta Statistika u ekonomiji i menadžmentu koji se izučava na prvoj godini Ekonomskog fakulteta u Sarajevu. Sastavljena je iz šest poglavlja sa sljedećim naslovima: Statistika i statistička istraživanja, Analiza i sinteza podataka, Regresiona i ko-relaciona analiza, Dinamička analiza i mjerenje evolucije, Osnovi vjerovatnoće i teorijske distribucije vjerovatnoće te Teorija i metode uzoraka i statističko zaključivanje. U svakom poglavlju su definisani, analizirani i formalizirani os-novni pojmovi i kategorije koji su zatim aplicirani na konkretnim primjerima. Aplikacija analiziranih metoda je vršena na statističkim podacima objavljenim u publikacijama Federalnog zavoda za statistiku Bosne i Hercegovine, Agen-cije za statistiku Bosne i Hercegovine i Nacionalnog instituta za statistiku i ekonomske studije (INSEE) Francuske. Na kraju svakog poglavlja su prezen-tovani lista teorijskih pitanja, riješeni zadaci i zadaci sa elementima rješenja. U prilogu su date tablice teorijskih distribucija vjerovatnoće.

Posebnu zahvalnost izražavam recenzentima prof. dr Divni Janković i prof. dr Želimiru Vučkoviću čije su primjedbe i prijedlozi doprinijeli poboljšanju

6

teksta. Autor je odgovoran za eventualne greške i propuste. Zahvaljujem i mojim saradnicama posebno mr Emini Resić, koja je pažljivo pročitala tekst, pripremila tablice u prilogu, i u svim fazama izrade ovog udžbenika mi pružila veliku pomoć, kao i Adeli Delalić i Almiri Arnaut-Berilo.

Svim ostalim koji su doprinijeli da ova knjiga bude napisana i objavljena iskreno zahvaljujem.

Knjigu posvećujem mojoj majci za 99. rođendan i za njenu beskrajnu ljubav, plemenitost i dobrotu.

Nadam se da će ova knjiga zadovoljiti potrebe studenata i svih onih koji ko-riste statističke metode u svom radu. Unaprijed zahvaljujem za sve primjedbe, sugestije i konstruktivne kritike koje bi mogle poboljšati prezentovani tekst.

Sarajevo, aprila 2006.g.Prof. dr Rabija Somun-Kapetanović

**********

PREDGOVOR DRUGOM IZDANJU

Zadovoljstvo mi je prezentovati drugo izdanje knjige „Statistika u ekonomiji i menadžmentu“. U ovom izdanju su izvršene određene izmjene, dopune i ko-rekcije teksta prvog izdanja.

Zahvaljujem mojim saradnicima mr Emini Resić, Adeli Delalić i AdemiruAbdiću koji su svojim sugestijama doprinijeli poboljšanju teksta za drugoizdanje ove knjige.

Sarajevo, marta 2008. godineProf. dr Rabija Somun-Kapetanović

**********

PREDGOVOR TRE]EM IZDANJU

Sa zadovoljstvom vam predstavljam treće izdanje knjige „Statistika u eko-nomiji i menadžmentu“.

Sarajevo, januar, 2012. godineProf. dr Rabija Somun-Kapetanović

7

SADRŽAJ

POGLAVLJE 1. STATISTIKA I STATISTI�KA ISTRAŽIVANJA 15

1.1. POJAM STATISTIKE 15

1.2. NAU�NI PRISTUP STATISTI�KOM ISTRAŽIVANJU 17 1.2.1. Prikupljanje podataka 17

1.2.1.1. Metode prikupljanja podataka 17 1.2.2. Obrada podataka 19

1.3. STATISTI�KI SKUP I STATISTI�KE VARIJABLE 19 1.3.1. Statisti�ki skup i njegove karakteristike 19 1.3.2. Pojam, proces mjerenja i karakteristike statisti�ke

varijable 20 1.3.2.1. Nominalna skala 21 1.3.2.2. Ordinalna skala 21 1.3.2.3. Intervalna skala 22 1.3.2.4. Metri�ka skala 22

1.3.3. Primjer projekta istraživanja 22 1.3.4. Statisti�ki pojmovi i definicije 23 1.3.5. Prezentacija statisti�kih podataka 25

1.3.5.1. Tabelarna prezentacija 28 1.3.5.2. Grafi�ka prezentacija 31

POGLAVLJE 2. ANALIZA I SINTEZA PODATAKA 39

2.1. FREKVENCIJE I KUMULATIVNE FREKVENCIJE 39 2.1.1. Definicije 39 2.1.2. Formalizacija definicija 40

2.2. KLASIFIKACIJA STATISTI�KIH VARIJABLI 44 2.2.1. Kvalitativne varijable 44

2.2.1.1. Kvalitativna nominalna varijabla 44 2.2.1.2. Kvalitativna ordinalna varijabla 45

2.2.2. Kvantitativne varijable 45 2.2.2.1. Kvantitativna prekidna varijabla 45 2.2.2.2. Kvantitativna neprekidna varijabla 45

2.3. GRAFI�KI PRIKAZI PREKIDNE I NEPREKIDNE VARIJABLE 45

8

2.4. MJERE SREDNJE VRIJEDNOSTI ILI MJERE CENTRALNE TENDENCIJE 47

2.4.1. Aritmeti�ka sredina 48 2.4.1.1. Jednostavna aritmeti�ka sredina 48 2.4.1.2. Ponderisana aritmeti�ka sredina 49 2.4.1.3. Osobine aritmeti�ke sredine 50

2.4.2. Geometrijska sredina 53 2.4.3. Harmonijska sredina 54 2.4.4. Kvadratna i kubna sredina 55 2.4.5. Mod ili centar aktivnosti 56 2.4.6. Medijana ili centar pozicije 58

2.4.6.1. Odre�ivanje medijane u ure�enoj seriji 58 2.4.6.2. Odre�ivanje medijane za statisti�ku distribuciju frekvencija 59 2.4.6.3. Medijana i kumulativna frekvencija 60 2.4.6.4. Karakteristike medijane 62

2.4.7. Kvantili 62 2.4.7.1. Odre�ivanje kvantila u ure�enoj seriji 62 2.4.7.2. Odre�ivanje kvantila u intervalno grupisanoj seriji 63 2.4.7.3. Kvartili 63 2.4.7.4. Decili 65 2.4.6.5. Centili 65

2.5. MJERE DISPERZIJE ILI VARIJACIJE 66 2.5.1. Apsolutne mjere disperzije 67

2.5.1.1. Raspon varijacije 67 2.5.1.2. Interkvantilno apsolutno odstupanje 67 2.5.1.3. Box Plot 67 2.5.1.4. Srednje apsolutno odstupanje 69 2.5.1.5. Varijansa 71 2.5.1.6. Standardna devijacija 74

2.5.2. Relativne mjere disperzije 75 2.5.2.1. Interkvantilna relativna odstupanja 75 2.5.2.2. Koeficijent kvartilne devijacije 76 2.5.2.3. Koeficijent varijacije 76 2.5.2.4. Standardizovane varijable 76

2.5.3. �ebiševa teorema 77 2.5.4. Primjer grafi�ke sinteze parametara pozicije i disperzije 78 2.5.5. Pregled mjera srednje vrijednosti i varijacije 79

2.6. MJERE OBLIKA DISTRIBUCIJE 80 2.6.1. Momenti distribucije frekvencija 80 2.6.2. Mjere asimetrije 81 2.6.3. Parametri spljoštenosti 84

9

2.7. MJERE KONCENTRACIJE 87 2.7.1. Lorenzova kriva 87 2.7.2. Ginijev koeficijent 91

2.7.2.1. Odre�ivanje Ginijevog koeficijenta metodom trapeza 92 2.7.2.2. Odre�ivanje Ginijevog koeficijenta metodom trouglova 93

2.7.3. Medijala 95

2.8. TEORIJSKA PITANJA 96 2.9. RIJEŠENI ZADACI I ZADACI SA ELEMENTIMA RJEŠENJA 98

POGLAVLJE 3. REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA 111

3.1. MODELIZACIJA VEZA IZME�U VARIJABLI 111 3.1.1. Etape konstrukcije modela 112

3.1.1.1. Dijagram (oblak) rasipanja 112 3.2. KOVARIJANSA 113 3.3. REGRESIONA ANALIZA 116 3.3.1. Kriterij izbora regresione prave i metod najmanjih kvadrata 117 3.3.2. Pretpostavke o osobinama stohasti�nosti modela 120 3.3.3. Aplikacija analiziranih metoda 121 3.4. MJERENJE REPREZENTATIVNOSTI

REGRESIONOG MODELA 126 3.4.1. Koeficijent determinacije 126 3.4.2. Koeficijent korelacije 128 3.4.3. Standardna greška regresionog modela 129 3.4.4. Koeficijent varijacije regresionog modela 130 3.4.5. Aplikacija razli�itih oblika regresionog modela 130

3.4.5.1. Linearni model 131 3.4.5.2. Eksponencijalni model 134 3.4.5.3. Stepeni model 135 3.4.5.4. Logaritamski model 135

3.4.6. Spearmanov koeficijent korelacije ranga 140 3.5. MODEL VIŠESTRUKE REGRESIJE 140 3.5.1. Koeficijent multiple determinacije, multiple linearne korelacije,

koeficijenti parcijalne korelacije i korelaciona matrica 141 3.5.2. Analiza numeri�kog primjera 142 3.6. TEORIJSKA PITANJA 145 3.7. RIJEŠENI ZADACI 146

10

POGLAVLJE 4. DINAMI�KA ANALIZA I MJERENJE EVOLUCIJE 153

4.1. APSOLUTNA I RELATIVNA PROMJENA 153 4.2. INDEKSI 160 4.2.1. Individualni indeksi 161

4.2.1.1. Indeksi sa stalnom bazom (bazni indeksi) 162

verižni indeksi) 4.2.2. Osobine indeksa 171 4.2.3. Relacije izme�u baznih i lan�anih indeksa 181

4.2.3.1. Pretvaranje lan�anih indeksa u bazne 181 4.2.3.2. Pretvaranje baznih u lan�ane indekse 182 4.2.3.3. Pretvaranje indeksa na stalnoj bazi u indekse na

drugu stalnu bazu 182 4.2.4. Agregatni indeksi 183

4.2.4.1. Konstrukcija agregatnih indeksa Laspeyres i Paasche metodom agregiranja 185

4.2.4.2. Konstrukcija indeksa Laspeyres i Paasche pomo�u ponderisanih sredina 187

4.2.4.3. Formule za ra�unanje i osobine agregatnih indeksa 188 4.2.4.4. Fischerov indeks cijena 191 4.2.4.5. Agregatni indeks vrijednosti i njegova dekompozicija 191 4.2.4.6. Inflacija i deflator 192

4.3. VREMENSKE (HRONOLOŠKE) SERIJE 193 4.3.1. Konstitutivni elementi vremenske serije 194 4.3.2. Metod pokretnih sredina za odre�ivanje trenda 195

4.3.2.1. Odre�ivanje tendencije metodom pokretnih sredina neparnog reda 196

4.3.2.2. Odre�ivanje tendencije metodom pokretnih sredina parnog reda 198

4.3.3. Aditivni model 202 4.3.4. Multiplikativni model 202 4.3.5. Metod najmanjih kvadrata za odre�ivanje dugoro�ne

tendencije (trenda) 203 4.3.5.1. Linearni trend 204 4.3.5.2. Paraboli�ni trend 207 4.3.5.3. Eksponencijalni trend 208


4.2.1.2. Indeksi sa promjenjivom bazom ( lan�ani,164

11

POGLAVLJE 5. OSNOVI VJEROVATNO�E I TEORIJSKE DISTRIBUCIJE VJEROVATNO�E 229

5.1. Uloga i zna�aj eksperimenta u statistici 229 5.1.1. Slu�ajni eksperiment, skup mogu�ih rezultata eksperimenta

i doga�aji 230 5.1.1.1. Vrste doga�aja 232 5.1.1.2. Osobine skupova 235

5.2. DEFINISANJE VJEROVATNO�E 235 5.2.1. Eksperimentalni pristup definisanju vjerovatno�e 236 5.2.2. Teorijska definicija vjerovatno�e 237 5.2.3. Teoreme vjerovatno�e 239

5.2.3.1. Teorema aditivnosti 239 5.2.3.2. Teorema multiplikativnosti 240 5.2.3.3. Uslovna vjerovatno�a i nezavisnost slu�ajnih doga�aja 240 5.2.3.4. Bayesova teorema 241

5.2.4. Kombinatorika 244 5.2.4.1. Permutacije 244 5.2.4.2. Kombinacije 244 5.2.4.3. Varijacije 245

5.2.5. Slu�ajna ili stohasti�ka varijabla 245 5.2.5.1. Prekidna slu�ajna varijabla 246 5.2.5.2. Neprekidna slu�ajna varijabla 250

5.2.6. �ebiševa teorema 252 5.2.7. Prekidne distribucije (zakoni, rasporedi) vjerovatno�e 253

5.2.7.1. Uniformni zakon vjerovatno�e 253 5.2.7.2. Bernoullijeva distribucija vjerovatno�e 255 5.2.7.3. Binomna distribucija vjerovatno�e 257 5.2.7.4. Poissonova distribucija vjerovatno�e 261 5.2.7.5. Hipergeometrijska distribucija vjerovatno�e 266 5.2.7.6. Tabelarni pregled prekidnih distribucija 266

5.2.8. Neprekidne distribucije vjerovatno�e 267 5.2.8.1. Neprekidna uniformna distribucija 267 5.2.8.2. Normalna distribucija vjerovatno�e ili Laplace-Gaussova

distribucija 269 5.2.8.3. Aproksimacije distribucija vjerovatno�e 279 5.2.8.4. Hi-kvadrat � �2� distribucija 283 5.2.8.5. Studentova t distribucija 285 5.2.8.6. Ficher-Snedecorova (F) distribucija 288 5.2.8.7. Tabelarni pregled neprekidnih distribucija vjerovatno�e 290 5.2.8.8. Centralna grani�na teorema 290

12

5.2.8.9. Šematski prikaz prekidnih i neprekidnih distribucija vjerovatno�e 291


POGLAVLJE 6. TEORIJA I METODA UZORAKA I STATISTI�KO ZAKLJU�IVANJE 305

6.1. OSNOVE TEORIJE UZORAKA 306 6.2. VRSTE UZORKA I METODE ZA IZBOR UZORKA 311 6.2.1. Slu�ajni uzorci 311

6.2.1.1. Jednostavni slu�ajni uzorak 312 6.2.1.2. Sistematski uzorak 315 6.2.1.3. Uzorak sa nejednakom vjerovatno�om izbora jedinica 316 6.2.1.4. Stratifikovani uzorak 317 6.2.1.5. Uzorak skupina 317 6.2.1.6. Višestepeni uzorak 318 6.2.1.7. Višefazni uzorci 319 6.2.1.8. Panel uzorak 320 6.2.1.9. Namjerni uzorci 320

6.3. PROCJENE OBILJEŽJA OSNOVNOG SKUPA NA OSNOVU UZORKA 321

6.4. ODRE�IVANJE INTERVALA POVJERENJA 327 6.4.1. Intervalna procjena aritmeti�ke sredine osnovnog skupa 327

6.4.1.1. Intervalna procjena aritmeti�ke sredine osnovnog skupa �ija je varijansa poznata 327

6.4.1.2. Procjena intervala aritmeti�ke sredine osnovnog skupa �ija je varijansa nepoznata 331

6.4.1.3. Interval povjerenja za aritmeti�ku sredinu osnovnog skupa �ija distribucija nije poznata 332

6.4.2. Procjena intervala povjerenja za proporciju 334 6.4.3. Intervalna procjena standardne devijacije i varijanse

osnovnog skupa 336 6.4.3.1. Intervalna procjena standardne devijacije 336 6.4.3.2. Intervalna procjena varijanse osnovnog skupa pomo�u

hi-kvadrat distribucije na osnovu poznate varijanse malog uzorka 337

6.4.3.3. Interval povjerenja za varijansu velikog uzorka 337 6.4.4. Interval povjerenja totala osnovnog skupa 338 6.4.5. Interval povjerenja za medijanu 338

13

6.4.6. Ocjena intervala za parametre modela linearne regresije 339 6.4.7. Intervalna procjena koeficijenta korelacije 340 6.5. TESTIRANJE HIPOTEZA 342 6.5.1. Formulisanje hipoteza 342

6.5.1.1. Donošenje odluke i greške tipa I i II 344 6.5.1.2. Empirijski nivo zna�ajnosti p-vrijednost 345

6.5.2. Testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa 346 6.5.2.1. Varijansa osnovnog skupa poznata 346 6.5.2.2. Testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog

skupa u slu�aju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata i n �30 350

6.5.2.3. Testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa u slu�aju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata i n<30 351

6.5.3. Test hipoteze za proporciju 355 6.5.3.1. Dvosmjerni test hipoteze za proporciju 355 6.5.3.3. Jednosmjerni test za proporciju na donju granicu 356

6.5.4. Testiranje hipoteze o varijansi osnovnog skupa 357 6.5.4.1. Dvosmjerni test 357 6.5.4.2. Test hipoteze za varijansu na gornju granicu 358

6.5.5. Testiranje hipoteze o zna�ajnosti parametara u regresionom modelu 358 6.5.5.1. Pojedina�ni test zna�ajnosti parametra regresionog

modela 359 6.5.5.2. Testiranje zna�ajnosti svih varijabli u modelu 360 6.5.5.3. Testiranje hipoteze o razlici (jednakosti) airtmeti�kih

sredina dva osnovna skupa 360 6.5.5.4. Testiranje hipoteze o jednakosti aritmeti�kih sredina

više osnovnih skupova – Analiza varijanse 363 6.5.5.5. Testiranje hipoteze o jednakosti koeficijenta korelacije

dva osnovna skupa 365 6.6. NEPARAMETARSKI TESTOVI 366 6.7. TEORIJSKA PITANJA 366 6.7. RIJEŠENI ZADACI I ZADACI SA ELEMENTIMA RJEŠENJA 368

PRILOG 1. - STATISTI�KE TABLICE 393 PRILOG 2. - PRIJEVODI TERMINA IZ EXCELA 423

LITERATURA 425

15

POGLAVLJE 1

STATISTIKA I STATISTIČKA ISTRAŽIVANJA

1.1. POJAM STATISTIKE

Naziv statistika poti�e od novolatinskog termina ratio status i italijanskog ragione di stato što zna�i državni interes i izvedenice statista koja predstavlja osobu sposobnu za vo�enje državnih poslova. Pojam statistika možemo definisati na više na�ina, zavisno od toga da li ga definišemo u užem ili širem smislu i da li se definicija odnosi na statistiku kao nauku ili na pojam koji predstavlja skup numeri�kih podataka. Navodimo sljede�e definicije i zna�enja pojma statistika.

1. Statistika predstavlja grupu nau�nih metoda koje omogu�uju prikupljanje podataka o masovnim pojavama, njihovu prezentaciju, analizu, tuma�enje i korištenje u razne svrhe, prvenstveno u svrhu informisanja i donošenja odluka.

2. Statistika je nauka koja prou�ava varijacije masovnih pojava i njihovih elemenata u vremenu i prostoru u cilju informisanja i donošenja odluka.

3. Statistika predstavlja skup ure�enih numeri�kih podataka o raznim prirodnim ili društvenim pojavama koje prikupljaju i objavljuju statisti�ke, nau�noistraživa�ke i druge ustanove.

Statistika u ekonomiji i menadžmentu

16

Prve dvije definicije odre�uju pojam statistike kao nauke koja se bavi izu�avanjem masovnih pojava (npr. proizvodnja, prodaja, ra�anje itd.).

Masovne pojave istražujemo na osnovu informacija o obilježjima elemenata koji ih sa�injavaju. Elemente koji posjeduju niz obilježja na osnovu kojih se istražuju varijacije masovne pojave nazivamo statisti�kim jedinicama. Skup statisti�kih jedinica (elemenata ili individua) nazivamo statisti�ki skup ili populacija.

Cilj statistike je, dakle, prou�avanje varijacija obilježja elemenata statisti�kog skupa prvenstveno kvantitativnim metodama u cilju utvr�ivanja zakonitosti koje vladaju me�u raznim pojavama.

Statistiku kao nau�noistraživa�ku metodu možemo podijeliti na deskriptivnu i inferencijalnu (analiti�ku, induktivnu, matemati�ku) statistiku. U prvom dijelu ove knjige �emo analizirati metode deskriptivne statistike koje predstavljaju bazu kvantitativnih metoda koje se primjenjuju u ekonomiji. Da bismo preciznije odredili pojam deskriptivne statistike navodimo nekoliko definicija.

1. Deskriptivna statistika je nau�na metoda informisanja o masovnim pojavama koja, koriste�i kvantifikaciju i formalizaciju, omogu�ava donošenje odluka.

2. Deskriptivna statistika je metoda kvantitativne deskripcije masovnih pojava.

3. Deskriptivna statistika predstavlja skup metoda koje omogu�avaju opis, prezentaciju i rekapitulaciju podataka koji su naj�eš�e vrlo brojni.1

Metode inferencijalne statistike se zasnivaju na teoriji vjerovatno�e. Polaze�i od analize uzorka kao dijela osnovnog skupa, metodama inferencijalne statistike je mogu�e ocijeniti osobine osnovnog skupa uz odgovaraju�i nivo pouzdanosti.

1 B.Goldfarb; C.Pardoux: Introduction à la méthode statistique, Dunod, Paris, 1993.,

str.1.

Poglavlje 1. – Statistika i statisti�ka istraživanja

17

1.2. NAU�NI PRISTUP STATISTI�KOM ISTRAŽIVANJU

Nau�no istraživanje ima za cilj da analizira i objasni realnost i da omogu�i i olakša razumijevanje univerzuma. U toj funkciji nau�ni pristup u stvaranju i konstrukciji znanja se bazira vrlo �esto, ali ne samo i ekskluzivno, na korištenju podataka o masovnim pojavama. Da bi mogli biti korišteni, podaci o masovnim pojavama moraju biti obra�eni i analizirani. Etape nau�nog pristupa u istraživanju na bazi podataka su predstavljene u šemi 1.1.

Definisanje problematike istraživanja

Zaklju�ci i donošenje odluka

Definisanje ciljevaPrikupljanje podataka

Obrada i analiza podataka

Provjera podataka

Tuma�enje i interpretacija

Prve dvije etape zavise od svakog konkretnog istraživanja. Predmet naše analize �e biti tre�a etapa, koja obuhvata više faza, i �etvrta etapa statisti�kog zaklju�ivanja i donošenja odluka.

1.2.1. Prikupljanje podataka

Podatak je �injenica koja može, ali i ne mora, biti broj�ana i koja predstavlja informaciju koju možemo koristiti u našem istraživanju. Za prikupljanje podataka možemo koristiti više metoda.

1.2.1.1. Metode prikupljanja podataka

� Direktno posmatranje (evidentiranje)

Direktno posmatranje predstavlja najjednostavniji na�in prikupljanja podataka. Pod posmatranjem podrazumijevamo svaku �injenicu koja se odnosi na jednu situaciju, fenomen ili slu�aj, pod uslovom da oni ne mogu biti promijenjeni posmatranjem. Naprimjer, možemo posmatrati broj osoba prisutnih u amfiteatru, boju table, boju o�iju, itd. Veliki broj podataka


18

prikupljen na ovaj na�in sadržan je u evidencijama, registrima i drugim dokumentima (npr.: podaci o broju ro�enih, broju umrlih, o prodaji odre�enog proizvoda, temperaturi, medicinskim tretmanima, itd.)

� Anketa

Anketa se sastoji u ispitivanju odre�enog broja osoba jedne populacije. Ova metoda omogu�ava prikupljanje podataka koji se ne mogu prikupiti direktnim posmatranjem i koje je teško prikupiti na drugi na�in. Domeni primjene ove metode su naprimjer: analiza tržišta kojom želimo saznati koje proizvode više koristimo, šta jedemo, kako se obla�imo, koje knjige �itamo itd. Postoje tako�er ankete mišljenja, profesionalne ankete, sociološke ankete, itd. Prikupljanje podataka ovom metodom podrazumijeva realizaciju više etapa. Potrebno je precizno definisati potrebnu informaciju u funkciji cilja i predmeta istraživanja, sredstva kojima raspolažemo, rok za prikupljanje podataka. Pošto se anketa odnosi na osobe jedne populacije potrebno je precizno definisati populaciju. Tip ankete koji se naj�eš�e primjenjuje u praksi je anketa odre�enog broja osoba populacije. Odabrani broj osoba iz populacije se naziva uzorak. Izbor uzorka se vrši primjenom razli�itih metoda koje zavise od cilja istraživanja, ograni�enja i raspoloživih informacija o populaciji.

Na�ini realizacije ankete su tako�er brojni. Vrlo je bitno pripremiti kvalitetan, precizan i jasan upitnik. Zatim se mogu angažovati anketari koji �e direktno realizovati anketu. Postoji mogu�nost slanja upitnika putem pošte ili realizacija ankete telefonskim pozivima. Ova dva postupka realizacije ankete su manje pouzdani i impliciraju više metodoloških problema koje je potrebno riješiti prilikom obrade ankete.

� Popis

Popis je oblik prikupljanja podataka pri kojem se obuhvataju sve jedinice statisti�kog skupa u odre�enom trenutku. Popis je najobuhvatniji na�in prikupljanja podataka. Pošto zahtijeva veliki utrošak sredstava i vremena provodi se samo u odre�enim vremenskim intervalima, npr. svakih 10 godina.

� Eksperiment

Prikupljanje podataka eksperimentisanjem podrazumijeva sistematsku i kontrolisanu realizaciju eksperimenta sa namjerom da se izu�avaju razni


19

fenomeni, porede situacije ili provjere hipoteze. Potrebno je naglasiti da se postupak eksperimenta strogo kontroliše prema unaprijed razra�enom protokolu.

� Izvještaji i ostale indirektne metode prikupljanja podataka

Sljede�i postupak prikupljanja podataka obuhvata metode �ija je zajedni�ka karakteristika da ne analiziraju direktno jednu situaciju ili fenomen (dakle nema direktnog posmatranja) nego neke njihove posljedice. Kao primjer ovog postupka prikupljanja podataka možemo navesti razne izvještaje kojima se podaci prikupljaju periodi�no, istorijske dokumente, itd.

1.2.2. Obrada podataka

Obrada prikupljenih podataka podrazumijeva realizaciju tri osnovne etape koje prethode donošenju odluka:

� Eksploatacija podataka (upoznavanje podataka, evidentiranje i sre�ivanje da bi se imala globalna vizija prikupljenih podataka).

� Deskriptivna analiza slijedi poslije prve etape i cilj joj je da opiše i predstavi prikupljene podatke pomo�u tabela, grafi�kih prikaza, izra�unavanja osnovnih parametara. Bitni postupci u ove dvije etape su klasiranje, vizualizacija i sinteza prikupljenih podataka.

� Tre�a faza obuhvata ocjenu intervala povjerenja za analizirane parametre i provjeru hipoteza koje se odnose na istraživani fenomen. Analiza prikupljenih podataka bi trebala omogu�iti realizaciju tre�e faze �iji cilj je generalizacija dobijenih rezultata i donošenje odluka.

1.3. STATISTI�KI SKUP I STATISTI�KE VARIJABLE

1.3.1. Statisti�ki skup i njegove karakteristike

Statisti�ki skup �ine jedinice �ija su obilježja (osobine, karakteristike) predmet istraživanja statisti�kom metodom. Statisti�ki skup po obimu može biti kona�an ili beskona�an. Statisti�ki skup može biti realan u slu�aju kada je sastavljen od jedinica koje postoje. Hipoteti�ni skup �ine jedinice koje se definišu nekim modelom. Da bi se mogao analizirati, statisti�ki skup mora biti definisan. Definisati statisti�ki skup zna�i odrediti obilježja koja mora


20

imati svaka jedinica da bi se mogla smatrati elementom tog skupa. Statisti�ki skup se definiše pojmovno, prostorno i vremenski.

Pojmovna definicija skupa utvr�uje pripadnost skupu s obzirom na pojam jedinice (elementa). Uobi�ajeno je da se za veliki broj skupova pojmovne definicije utvrde zakonom ili aktima raznih institucija. Npr. statisti�ki skup (populaciju) studenata predstavljaju osobe koje su upisane na visokoškolske ustanove i koje imaju studentska prava i obaveze. Možemo definisati skup nezaposlenih, skup aktivnog stanovništva, skup visokoškolskih institucija, skup privatnih preduze�a, itd.

Prostorna definicija definiše prostor kojem pripadaju jedinice statisti�kog skupa.

Vremenska definicija odre�uje vrijeme u kojem se statisti�ke jedinice posmatraju i analiziraju. Osnovni skup može biti definisan u vremenskom trenutku ili vremenskom intervalu. U vremenskom trenutku se definišu npr. broj stanovnika, broj preduze�a, broj zaposlenih, osnovna sredstva. Uobi�ajeno je da se u vremenskom intervalu posmatra npr. poslovni rezultat ili proizvodnja nekog proizvoda u godini, trimestru ili mjesecu. �esto se zbog nemogu�nosti obuhvatanja svih elemenata skupa pojmovna i/ili prostorna definicija sužavaju. Npr. zbog teško�a i troškova identifikacije pod nezaposlenim se smatraju osobe prijavljene u zavodima za zapošljavanje.

Predmet statisti�kih istraživanja su obilježja (svojstva, karakteristike) jedinica posmatranog skupa. Skup podataka o posmatranom obilježju za sve jedinice predstavlja osnovni skup ili populaciju. Skup podataka o posmatranom obilježju za dio jedinica skupa predstavlja uzorak koji služi kao osnova za zaklju�ivanje o osnovnom skupu (populaciji).

1.3.2. Pojam, proces mjerenja i karakteristike statisti�ke varijable

Obilježja po kojima se razlikuju jedinice statisti�kih skupova nazivaju se varijable. Rezultati prikupljanja podataka o obilježjima jedinica statisti�kog skupa su naj�eš�e prezentovani u formi skupa vrijednosti u kojem se procesom prebrojavanja i mjerenja pridružuju jedinicama skupa brojevi ili oznake prema odre�enim pravilima. Pravila pridruživanja su definisana mjernim skalama. Mjeriti varijablu elementa statisti�kog skupa zna�i


21

konstruisati podatak koji se nalazi na mjernoj skali. Postoji više tipova mjernih skala koje se razlikuju po logi�kim i matemati�kim operacijama koje se mogu primijeniti na analiziranu varijablu.

1.3.2.1. Nominalna skala

Nominalna skala je predstavljena u obliku liste obilježja po kojima se razlikuju elementi statisti�kog skupa. Nominalna obilježja mogu biti atributivna i geografska. Skala može predstavljati dva (npr. pol muški ženski) ili više modaliteta (nacionalnost, mjesto stanovanja, zanimanje, privredne djelatnosti: industrija i rudarstvo, poljoprivreda i ribarstvo, šumarstvo, vodoprivreda, gra�evinarstvo, promet i veze, trgovina, ugostiteljstvo i turizam, zanatstvo, stambeno-komunalne djelatnosti, financijske i druge usluge). Modalitetima nominalne varijable se mogu pridružiti brojevi koji služe kao identifikatori ili kodovi. Matemati�ke operacije na ovoj skali nisu dozvoljenje. Jedina operacija koja se može primijeniti je prebrojavanje. Poredak kategorija je arbitraran. Ime skale i varijable se �esto koriste i kao sinonimi. Nomenklatura je ure�en popis modaliteta nominalne varijable, kojima se pripisuje nomenklaturni broj. Nomenklature su konvencije, koje se donose zakonski ili dogovorom državnih organa ili me�unarodnih organizacija.

1.3.2.2. Ordinalna skala

Ordinalna skala pridružuje elementima skupa obilježja koja se mogu porediti, rangirati i klasirati prema nekom logi�kom redosljedu. Ordinalne varijable se mogu prebrojavati i upore�ivati i u ovom slu�aju se mogu koristiti operatori (>, =, <), ali matemati�ke operacije nisu dozvoljene. Ordinalna varijabla naziva se i varijabla ranga. Kao primjere ovog tipa varijabli navodimo varijablu ekonomska razvijenost zemalja prema sljede�im modalitetima: razvijene zemlje, zemlje u razvoju i nerazvijene zemlje. Ako posmatramo populaciju studenata prve godine Ekonomskog fakulteta konstatujemo da su elementi ili statisti�ke jedinice te populacije studenti. Varijabla mjerena na ovoj skali može biti ocjena na ispitu ako su njeni modaliteti: odli�an, vrlodobar, dobar, dovoljan, nedovoljan. Modalitete ove skale možemo kodirati. Dozvoljena je i njihova transformacija uz uslov da se njom ne mijenja poredak modaliteta.


22

1.3.2.3. Intervalna skala

Na intervalnoj skali obilježjima elemenata populacije se pridružuju brojevi. Razlike u mjerenim obilježjima elemenata su predstavljene razlikama brojeva na intervalnoj skali. Položaj nule i mjerna jedinica su odre�eni arbitrarno. Nulu možemo postaviti na skali gdje želimo ali se mora uvijek zadovoljiti osobina ove skale da razlike me�u mjerenim obilježjima odgovaraju razlikama brojeva na intervalnoj skali. Tipi�an primjer intervalne skale su temperaturne skale npr. Celzijusova ili Farenhajtova skala. Operacije dozvoljene na ovoj skali su prebrojavanje, pore�enje i oduzimanje.

1.3.2.4. Metri�ka skala

Omjerna, metri�ka ili numeri�ka skala posjeduje «prirodnu nulu» koja ukazuje na odsustvo posmatranog obilježja. Vrijednosti pridružene elementima predstavljaju vrijednosti numeri�ke varijable. Na numeri�koj skali su dopuštene osnovne matemati�ke operacije i zbog toga ova skala ima najbolje metri�ke osobine i omogu�ava najširu i najprecizniju analizu. Razlike i omjeri izme�u mjerenih obilježja su izraženi numeri�ki i imaju precizno zna�enje. Numeri�ke varijable mogu biti prekidne (diskretne) i neprekidne (kontinuirane). Numeri�ka varijabla koja može poprimiti kona�no ili prebrojivo mnogo cjelobrojnih vrijednosti naziva se prekidnom (diskretnom), kao npr. broj �lanova porodice, broj studenata upisanih na odre�eni fakultet, itd. Numeri�ka varijabla je kontinuirana ako može poprimiti neograni�en broj vrijednosti (ili bilo koju vrijednost iz nekog intervala) npr. visina, težina, itd.

Statisti�ke varijable (promjenljive) mjerene na nominalnoj i ordinalnoj skali nazivaju se kvalitativne varijable. Varijable mjerene na intervalnoj i numeri�koj skali su kvantitativne varijable.

1.3.3. Primjer projekta istraživanja

1) Oblast istraživanja Koja populacija (statisti�ki skup) je predmet našeg istraživanja? Studenti Ekonomskog fakulteta u Sarajevu. 2) Objekat istraživanja Šta želimo posmatrati na ovoj populaciji? Mjeriti kvalitet studija. Potrebno je kompletirati upitnik i anketirati odre�en broj studenata.


23

3) Period realizacije ankete: 2 puta godišnje na kraju semestra. Na kraju ove etape statisti�ar raspolaže podacima koje treba obraditi. 4) Obrada podataka

� Kratki rok: - Prezentiranje rezultata

- Analiza rezultata - Upore�ivanje rezultata - Traženje veza

� Dugi rok: - Mjerenje evolucije

Osnovno pitanje koje se postavlja je: kako obraditi podatke da bi se dobila korisna informacija?

5) Prezentacija rezultata � Dekanu i prodekanu � Upravnom odboru � Nastavnicima i administraciji � Studentima

6) Donošenje odluka Koje odluke treba donijeti da bi se poboljšao kvalitet studija?

Obrada podataka predstavlja sadržaj naše analize. Nema recepta koji nam omogu�ava da znamo koju obradu treba primijeniti na podatke u svakom konkretnom slu�aju. Ostaje nam istraživanje, znanje, iskustvo, rad i razmišljanje o svakom konkretnom slu�aju.

1.3.4. Statisti�ki pojmovi i definicije

� Statisti�ki skup koji je predmet istraživanja se naziva populacija. � Elementi populacije se nazivaju statisti�ke jedinice. � Broj elemenata (statisti�kih jedinica) koji �ine populaciju naziva se

veli�ina populacije. � Aplikacija koja svakom elementu populacije pridružuje jednu vrijednost

naziva se statisti�ka varijabla. � Kategorije ili vrijednosti koje može imati jedna statisti�ka varijabla

nazivaju se modaliteti. � Broj elemenata statisti�kog skupa koji posjeduju posmatrani modalitet

naziva se frekvencija modaliteta.


24

Primjer 1.1.

Tabela 1.1. Nastavnici sa punim radnim vremenom na visokoškolskim usta-novama u Federaciji Bosne i Hercegovine od 2001/2002 do 2004/2005 godine

Nastavnici 2001/2002 2002/2003 2003/2004 2004/2005 Redovni profesor 332 312 325 313 Vanredni profesor 248 257 254 275 Docent 251 276 295 304 Ostali 50 47 54 55 Ukupno 881 892 928 947

Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2002, Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, str.325. Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2004, Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, str. 259. Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, str. 287.

Analizu podataka prezentovanih u tabeli 1.1. �emo izvršiti za 2004/2005 godinu.

� Posmatrana populacija su nastavnici sa punim radnim vremenom na visokoškolskim ustanovama Federacije Bosne i Hercegovine

� Statisti�ka jedinica je nastavnik. � Veli�ina populacije je 947 nastavnika. � Populacija je analizirana prema varijabli «nau�no zvanje

nastavnika». � Varijabla ima �etiri modaliteta: redovni profesor, vanredni profesor,

docent i ostali. � Prikupljeni podaci se odnose na 2004.-2005. akademsku godinu. � Frekvencija modaliteta npr. redovni profesor je 313.

U ovom slu�aju radi se o kvalitativnoj ordinalnoj varijabli i njen grafi�ki prikaz je dijagram sa stupcima.


25

1.3.5. Prezentacija statisti�kih podataka

Prikupljene statisti�ke podatke možemo prezentovati na više na�ina. Naj�eš�i oblici prezentacije podataka su:

� Tabelarni � Grafi�ki � Formalni � Deskriptivni

Raspoložive podatke možemo predstaviti u tabelarnom obliku kompletiraju�i negrupisane statisti�ke serije i ure�ene i grupisane statisti�ke serije. Analizirat �emo i na konkretnim primjerima ilustrovati negrupisanu statisti�ku seriju, statisti�ku seriju ure�enu po veli�ini ili rangiranu statisti�ku seriju, grupisanu statisti�ku distribuciju frekvencija i intervalno grupisanu distribuciju.

� Negrupisanu seriju možemo formalizirati na sljede�i na�in:

{xi; i=1,...., N} (1.1)

� Ure�enu ili rangiranu statisti�ku seriju dobivamo ako podatke rangiramo (uredimo) po rastu�em redosljedu i formaliziramo sljede�om relacijom:

{x(i); (i)=1,...., N} (1.2)


26

gdje (i) predstavlja rang opservacije. Seriju možemo urediti i po opadaju�em redosljedu. Na ure�enoj statisti�koj seriji jednostavnije je uo�iti najve�i i najmanji podatak i eventualno neuobi�ajene vrijednosti podataka.

� Na osnovu ure�ene statisti�ke serije mogu�e je kompletirati grupisanu seriju ili statisti�ku distribuciju frekvencija koju izražavamo na sljede�i na�in:

� �� ; , 1, 2,...., j jx f j J � (1.3)

gdje fj predstavlja frekvenciju modaliteta xj. Ova serija sadrži dvije kolone. U prvoj koloni su predstavljeni modaliteti, a u drugoj koloni frekvencije koje pridružujemo odgovaraju�im modalitetima. U ovom slu�aju vrlo jednostavno uo�avamo najmanji i najve�i podatak u seriji bez posmatranja cijele serije ure�enih podataka. Odre�ujemo naj�eš�i podatak (mod) i raspolažemo sa frekvencijom svakog modaliteta.

� Kada je broj podataka vrlo veliki, možemo kompletirati intervalno grupisanu distribuciju. Amplituda (širina, veli�ina) intervala je jednaka broju modaliteta koji pripadaju tom intervalu i dobija se kao razlika izme�u gornje (desne) xG i donje (lijeve) xD granice svakog intervala:

j G Da x x � (1.4)

Treba imati u vidu amplitude intervala prije interpretacije rezultata i pažljivo posmatrati podatke da bi se moglo izvršiti grupisanje u intervale, razrede ili klase. Svakom intervalu se pridružuje odgovaraju�a frekvencija.

Grupisanje podataka u intervale i broj intervala zavisi od cilja grupisanja i može se vršiti primjenom raznih metoda. Intervali se mogu kompletirati tako da se razmak izme�u najve�e i najmanje vrijednosti podijeli na kpodintervala koji se ne preklapaju. Cilj je da se u jednom intervalu grupišu relativno sli�ne vrijednosti. Pošto ne postoji egzaktan na�in za odre�ivanje broja intervala mogu se koristiti prakti�na iskustva i intuicija. U praksi se �esto primjenjuje Sturgesovo pravilo prema kojem se broj intervala k za grupisanje N podataka aproksimira sljede�im izrazom:

k = 1+ 3,3 log N (1.5)


27

Broj intervala se naj�eš�e kre�e izme�u pet i petnaest, a rijetko prelazi dvadeset pet. Svaki interval ima donju i gornju granicu. Uobi�ajeno je da izme�u gornje granice i-tog i donje granice (i+1) intervala vlada odre�en odnos. Ako je vrijednost gornje granice i-tog intervala jednaka vrijednosti donje granice (i+1) intervala radi se o pravim (preciznim) granicama intervala. Kada ovaj odnos nije zadovoljen radi se o nominalnim granicama intervala. Prave se granice naj�eš�e odre�uju tako da se donja granica umanjuje, a gornja uve�ava za polovinu razlike izme�u gornje granice i-tog i donje granice (i+1) intervala. Interval se naziva otvorenim kada prvi interval nema donje ili posljednji interval gornje granice. Na sljede�im primjerima �emo ilustrovati grupisanje podataka u intervale.

Tabela 1.2. Starosna struktura stanovništva Federacije BiH u 2000. godini Nominalne granice intervala sa jednim otvorenim intervalom

Starosna struktura u godinama Broj stanovnika 0-14 588 210 15-64 1 896 277 65 i više 316 513 Ukupno 2 801 000

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2001, Sarajevo, 2001, str. 48.

Tabela 1.2a. Starosna struktura stanovništva Federacije BiH u 2000. godini Prave granice intervala sa dva otvorena

Starosna struktura u godinama Broj stanovnika-14,5 588 210 14,5-64,5 1 896 277 64,5 i više 316 513 Ukupno 2 801 000

Prikupljene podatke možemo prezentirati na više na�ina. Naj�eš�e prezentacije koje �emo mi koristiti su tabelarna i grafi�ka prezentacija.


28

1.3.5.1. Tabelarna prezentacija

� Tabelarna prezentacija kvalitativne varijable

U sljede�oj tabeli možemo sintetizirati prezentaciju podataka o kvalitativnoj statisti�koj varijabli:

Tabela 1.3. Prezentacija kvalitativne statisti�ke varijable

Modaliteti varijable Frekvencija fj Relativna frekvencija pj

M1 f1 p1

M2 f2 p2

.............. ................ ................. MJ-1 f J-1 p J-1

MJ fJ pJ

Ukupno

1

J

jj

f N�

�� 1 ili 100%

Zbir relativnih frekvencija je uvijek jednak 1 ili 100% ukoliko ga izrazimo u procentima.

� Tabelarna prezentacija kvantitativne varijable

Kada se pojedini modaliteti pojavljuju više puta podatke možemo grupisati tako da svakom modalitetu pridružimo odgovaraju�u frekvenciju. Modalitete je zbog preglednosti potrebno rangirati po veli�ini. U tabeli 1.4. sintetiziramo prezentaciju rangiranih i grupisanih podataka o kvantitativnoj prekidnoj varijabli.

Tabela 1.4. Statisti�ka distribucija frekvencija

Vrijednosti varijable (modaliteti) xj Frekvencija fj Relativna frekvencija pj

x1 f1 p1

x2 f2 p2

...................... ......................... ...................... x J-1 f J-1 p J-1

xJ fJ pJ

Ukupno N 1 ili 100%


29

Sintetiziranu prezentaciju podataka o kvantitativnoj prekidnoj varijabli grupisanoj u intervale predstavljamo u tabeli 1.5.

Tabela 1.5. Intervalno grupisana distribucija

Vrijednosti varijable xjgrupisane u

intervale

Frekvencija fj

Amplituda (širina

intervala) aj

Centri intervala

xcj

Relativna frekvencija

pj

[x0; xn[ f1 a1 xc1 p1

[xn; xm[ f2 a2 xc2 p2

.............. ................ ................ ................ ................ [xk; x1[ fl al xc l p l

[xl; xJ] fJ aJ xcJ pJ

Ukupno N 1 ili 100%

Na sljede�em primjeru �emo ilustrovati prezentaciju podataka u obliku negrupisane serije, ure�ene rangirane serije, grupisane statisti�ke distribucije frekvencija i intervalno grupisane distribucije.

Tabela 1.6. Ocjene studenata koji su položili ispit iz predmeta Statistika 30.06.2005.g.

Ocjena (X) Negrupisana serija

Ocjena (X) Ure�ena serija

Ocjena (X) Ure�ena serija

8 6 10 9 6 10 9 6 10 7 6 10

10 7 10 7 7 10 6 7 10

10 7 10 6 7 10

10 7 9 8 7 9

10 7 9 9 8 9 7 8 9


30

Tabela 1.6. nastavak

7 8 9 10 8 8 10 8 8 10 8 8

8 8 8 10 9 8

7 9 8 6 9 8 8 9 7

10 9 7 7 9 7 9 10 7 6 10 7 9 10 7 8 10 7 8 10 7 7 10 6 8 10 6 9 10 6 7 10 6

U prvoj koloni tabele ocjene su predstavljene u obliku negrupisane (neure�ene) distribucije. U drugoj koloni ocjene su rangirane po rastu�em redosljedu i kompletirana je ure�ena rangirana serija podataka. Tre�a kolona tako�er predstavlja ure�enu rangiranu seriju podataka, ali po opadaju�em redosljedu.

Naredna faza je grupisanje podataka i predstavljanje u statisti�koj distribuciji frekvencija.

Tabela 1.7. Statisti�ka distribucija frekvencija

OCJENA xj FREKVENCIJE fj

6 4 7 8 8 7 9 6

10 9 Ukupno 34


31

Ocjene možemo grupisati u intervale i kompletirati intervalno grupisanu distribuciju. U sljede�e tri tabele prezentujemo razli�ite mogu�nosti grupisanja u intervale podataka o ocjenama studenata na ispitu.


Ocjene Frekvencije fj [6-7[ 4 [7-9[ 21 [10] 9


Ocjene Frekvencije fj [6-8[ 12 [8-9[ 13 [10] 9


Ocjene Frekvencije fj [6-8] 19

[9-10] 15

1.3.5.2. Grafi�ka prezentacija

Postoji više vrsta grafi�kih reprezentacija. Naj�eš�e korišten oblik grafi�kog predstavljanja su dijagrami koji se dijele na: stigmograme, linearne dijagrame, površinske dijagrame i stereograme. Navoditi i davati primjere za sve vrste grafi�kih prezentacija je ogroman, ali ne osobito koristan posao jer nam novi programi koji su u upotrebi omogu�uju da odaberemo prezentaciju koja najviše odgovara svakom konkretnom slu�aju. Zbog toga savjetujemo korisnicima da koriste program Excel koji pruža široku paletu od 14 tipova, odnosno 73 podtipa grafikona. Na sljede�oj slici vidimo polaznu stranu Excela za crtanje grafikona.


32

Performanse novih programa nam omogu�uju da konstruišemo sve bolje grafikone koji sve �eš�e postaju na�in da se prenese informacija. Ali potrebno je biti vrlo oprezan. Grafikoni mogu biti korišteni, pored informisanja koje je njihov osnovni cilj, i u svrhu dezinformisanja. Jedan dobro konstruisan grafikon je �esto rje�itiji nego desetine fraza.

Mi �emo u toku izlaganja sadržaja ove knjige primjenjivati razli�ite tipove grafi�kih prezentacija. Nabrajati i analizirati sve oblike grafi�ke prezentacije je nepotrebno. Osnovna funkcija jednog grafikona je da olakša prezentaciju, �itanje i interpretaciju podataka.

Potrebno je prezentovati podatke da bi se informisalo. Zbog toga, izbor tipa prezentacije zavisi od razmišljanja i strpljenja, i �esto je potrebno uraditi više pokušaja da bi se odabrala “prava” prezentacija. Ne treba miješati suštinu i formu jer je precizan i jednostavan grafikon korisniji od grafikona komplikovanog, vizuelno privla�nijeg, ali bez smisla.

Neophodno je uvijek biti precizan i kompletirati: naslov grafikona, nazive predstavljenih podataka, ozna�iti precizno razmjeru i jedinice mjere, eventualno primjer �itanja grafikona, staviti estetiku u službu funkcionalnosti i razumijevanja grafikona. Ne treba potcijeniti vrijeme potrebno za konstrukciju jednog grafikona koriste�i programe na ra�unaru.


33

Ako je prezentacija podataka2 dovoljna za donošenje odluka dio našeg posla je tim završen. Me�utim u ve�ini slu�ajeva statisti�ar je obavezan da analizira i sintetizira podatke: ako su podaci brojni i razli�iti; da bi se uporedile dvije populacije razli�itih veli�ina; da bi se olakšalo mjerenje evolucije, itd.

U sljede�im tabelama prezentiramo statisti�ke podatke i odgovaraju�e grafi�ke prikaze.

1035

6

5379

8250

6

1104

8

4161

1

5982

3

3933

5788

1

447

1606

6

8128

1033

1

5205 89

33

5908

0

807 10

247

1348 10

176

3467

2342

396

3861

4

1967 54

02

3921

Šve

dska

Mad

arsk

a

Bel

gija

Dan

ska

Nje

mac

ka

Grc

ka

Špa

nija

Fra

ncus

ka

Irsk

a

Italij

a

Lux

embu

rg

Hol

andi

ja

Aus

rija

Por

tuga

l

Fin

ska

Vel

ika

Brit

anija

Kip

ar

Ceš

ka

Est

onija

Litv

anija

Let

onija

Mal

ta

Pol

jska

Slo

veni

ja

Slo

vack

a

BiH

20 000

40 000

60 000

80 000

100 000

0

Stanovništvo 25 zemalja Evropske unije i Bosne i Hercegovine u 2002.g. Izvor: Eurostat, 2005.

Grafikon 1.2.

broj

sta

novn

ika

u 00

0

2 “Prosje�an statisti�ar je oženjen sa 1,75 žena koje �ine sve što je mogu�e da ga

udalje od ku�e 2,25 no�i u sedmici sa samo 50% uspjeha. Nagib njegovog �ela je 2%, on posjeduje 5/8 jednog ra�una u banci i ima 3,06 djece koji ga napola izlu�uju. 1,65 od njegove djece su dje�aci. Samo 0,07% od svih statisti�ara su potpuno razbu�eni za njihovim doru�kom, u toku kojeg oni popiju 1,68 šoljica kafe i prospu ostatak od 0,32 na njihov stolnjak. Subotom uve�e on angažuje 1/3 baby-sitter da �uva njegovo 3,06 djece, u slu�aju da 5/8 njegove punice koja živi sa njima u ku�i ne pristane da �uva djecu za polovinu cijene.”. W.F.Mirch (1950) citiran u T.H.Wonnacott i R.J.Wonnacott, Statistique, Economica, Paris, 1995, str. 23. Navedena deskriptivna prezentacija nema nikakvog smisla i potpuno je nerazumljiva. Ovo je primjer kako ne treba raditi.


34

Tabela 1.11. Bruto društveni proizvod u Federaciji Bosne i Hercegovine, teku�e cijene

1999 2000 2001 2002 2003 2004 Bruto doma�i proizvod, u 000 KM

6.142.147 6.722.631 7.273.874 7.942.665 8.268.120 8.897.202

Bruto doma�i proizvod po sta-novniku, u KM

2.187 2.400 2.577 2.805 2.912 3.125

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, str.90.

0

3000000

6000000

9000000

1999 2000 2001 2002 2003 2004

Bruto društveni proizvod u Federaciji BiH, teku�e cijene, u milionima KMGrafikon 1.3.


35

Primjer 1.2.

Tabela 1.12. Nezaposlene osobe prema stru�noj spremi u Federaciji BiH, stanje 31.decembra 2004. g.

Ukupno žene UKUPNO 325.738 150.447 VSS 4.989 2.823 VŠS 4.267 2.616 SSS 71.333 43.430 VKV, KV 123.552 44.388 PKV, NSS 11.795 4.621 NKV 109.802 52.569

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, str. 247.


36

Primjer 1.3.

Tabela 1.13. Upisani studenti na visokoškolskim ustanovama u Federaciji BiH

96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 01/02 02/03 03/04 04/05 Ukupno 28.072 34.477 39.273 43.839 47.242 48.866 51.771 54.425 58.834 Žene 14.392 17.757 20.176 22.635 24.721 26.331 28.264 30.166 32.337

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, str. 281.


37

39

POGLAVLJE 2

ANALIZA I SINTEZA PODATAKA

2.1. FREKVENCIJE I KUMULATIVNE FREKVENCIJE

2.1.1. Definicije

� Apsolutna frekvencija je broj (u�estalost) pojavljivanja jednog modaliteta.

� Kumulativna rastu�a apsolutna frekvencija jednog modaliteta je jednaka zbiru frekvencija modaliteta za koje varijabla ima vrijednost manju ili jednaku od tog modaliteta.

� Kumulativna opadaju�a apsolutna frekvencija jednog modaliteta je jed-naka zbiru frekvencija modaliteta za koje varijabla ima vrijednost striktno ve�u od tog modaliteta.

� Relativna frekvencija je jednaka apsolutnoj frekvenciji modaliteta podijeljenoj sa ukupnom frekvencijom. Relativna frekvencija predstavlja proporciju jedinica osnovnog skupa koji imaju posmatrani modalitet.

� Kumulativna rastu�a relativna frekvencija jednog modaliteta je jednaka pro-porciji modaliteta za koje varijabla ima vrijednost manju ili jednaku od tog modaliteta.


40

� Kumulativna opadaju�a relativna frekvencija jednog modaliteta je jednaka proporciji modaliteta za koje varijabla ima vrijednost striktno ve�u od tog modaliteta.

� Prema navedenim definicijama zbir kumulativne rastu�e relativne frekvencije jednog modaliteta i kumulativne opadaju�e relativne frekvencije istog modaliteta je jednak jedinici (ili 100% ako frekvencije izrazimo u procentima).

2.1.2. Formalizacija definicija

� Formalizaciju koju �emo koristiti za izražavanje gore navedenih definicija predstavljamo sljede�im simbolima i izra�unavamo na sljede�i na�in:

fi apsolutna frekvencija

pi relativna frekvencija-struktura Nf

p ii �

Sj apsolutna kumulativna frekvencija ��

�j

iij fS

1

Fj relativna kumulativna frekvencija ��

�j

iij pF

1 (2.1)

N broj podataka

� Kumulativnu rastu�u distribuciju frekvencija na osnovu vrijednosti prekidne varijable formiramo na sljede�i na�in:

................)()(

212

11

ffxXSfxXS

��

(2.2)

NffffxXS

fffxXS

kjk

jj

��

��

......)(................

...)(

21

21

j-ti �lan kumulativne distribucije možemo napisati u obliku:

Poglavlje 2. – Analiza i sinteza podataka

41

1( ) , 1, 2,..., .

( ) ( )

j

j ii

j j

S x f j k

S x f X x�

� �

�

� (2.3)

Osobine kumulativne rastu�e distribucije apsolutnih frekvencijama su:

min

min j max

max

0 ,

( ) 0 ( ) , x

,

( ) ( ),

j

j j

j

i j i j

x xS x S x N x x

N x x

S x S x x x

� ��

� ��

� (2.4)

j-ti �lan kumulativne rastu�e distribucije relativnih frekvencija izražavamo u sljede�em obliku:

1( ) , 1, 2,..., , ( ) ( )

j

j i j ji

F x p j k F x p X x�

� � � � (2.5)

Osobine rastu�e kumulativne distribucije sa relativnim frekvencijama su:

min

min max

max

0 ,

( ) 0 ( ) 1,

1 ,

( ) ( ),

j

j j j

j

i j i j

x xF x F x x x x

x x

F x F x x x

� ��

� ��

� (2.6)

Objašnjenje vrijednosti kumulativne distribucije frekvencija proizilazi iz na�ina njenog formiranja. S(xj) predstavlja broj modaliteta posmatranog skupa �ija je vrijednost jednaka ili manja od xj.

Analognim postupkom kompletiramo izraz za kumulativnu distribuciju relativnih frekvencija. Kumulativna distribucija relativnih frekvencija F(xj) pokazuje proporciju modaliteta posmatranog skupa �ija je vrijednost jednaka ili manja od xj.


42

Prema definiciji, zbir kumulativne rastu�e relativne frekvencije jednog modaliteta i kumulativne opadaju�e relativne frekvencije istog modaliteta je jednak jedinici (ili 100%).

Ako je data distribucija frekvencija sa intervalima S(xj) predstavlja broj modaliteta sa vrijednoš�u varijable koja je jednaka ili manja od gornje granice j-tog intervala, a F(xj) proporciju modaliteta �ija je vrijednost jednaka ili manja od gornje granice j-tog intervala.

Na sljede�em primjeru �emo kompletirati kumulativnu rastu�u relativnu frekvenciju i objasniti njeno zna�enje.

Primjer 2.1.

Tabela 2.1. Statisti�ka distribucija frekvencija završenih stanova prema broju soba u Federaciji Bosne i Hercegovine u 2004.g.

Broj soba

Frekvencija fj

Relativna frekvencija pj

Kumulativna rastu�a relativna frekvencija Fj

1 184 0,321 0,321 2 238 0,415 0,736 3 115 0,200 0,936 4 35 0,061 0,997 5 2 0,003 1

Ukupno 574 1 - Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, str.157.

U našem primjeru kumulativna frekvencija za broj soba manje ili jednako tri je jednaka 93,6%. Dakle, F(3)=93,6%, što zna�i da 93,6% završenih stanova u Federaciji Bosne i Hercegovine u 2004. g. ima 1, 2, ili 3 sobe.

Na primjeru sljede�e distribucije frekvencija �emo ilustrovati izra�unavanje kumulativnih frekvencija i njihov grafi�ki prikaz.


43

Primjer 2.2.

Tabela 2.2. Statisti�ka distribucija frekvencija ocjena na ispitu iz predmeta Statistika

Ocjena xj fj Sj+ Sj- pj Fj+ Fj - 6 4 4 30 0,118 0,118 0,882 7 8 12 22 0,235 0,353 0,647 8 7 19 15 0,206 0,559 0,441 9 6 25 9 0,176 0,735 0,264

10 9 34 0 0,265 1 0,000 Ukupno 34 1,000

U tabeli Sj+ i Sj predstavljaju rastu�e i opadaju�e apsolutne kumulativne frekvencije, a Fj+ i Fj rastu�e i opadaju�e relativne kumulativne frekvencije.

0

5

10

15

20

25

30

35

6 7 8 9 10Ocjene

Aps

olut

ne fr

ekve

ncije

Sj+ Sj-

Kumulativne rastuce i opadajuce apsolutne frekvencijeGrafikon 2.1.


44

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

6 7 8 9 10ocjene

rela

tivne

frek

venc

ije

Fj+ Fj -

Kumulativne rastuce i opadajuce relativne frekvencijeGrafikon 2.2.

2.2. KLASIFIKACIJA STATISTI�KIH VARIJABLI

Mi smo ve� u uvodnom dijelu naglasili da je osnovna dihotomija statisti�kih varijabli na kvalitativne i kvantitativne varijable. Modaliteti jedne varijable odre�uju njen tip.

2.2.1. Kvalitativne varijable

Varijabla je kvalitativna ako se njeni modaliteti ne mogu kvantitativno izraziti. Modaliteti ove varijable su deskriptivno izraženi kao atributivna ili geografska obilježja. Naprimjer pol, bra�no stanje, zaposleni prema stepenu stru�nog obrazovanja, tip stana su kvalitativne varijable. Postoje dvije grupe kvalitativnih varijabli. To su kvalitativna nominalna i kvalitativna ordinalna varijabla.

2.2.1.1. Kvalitativna nominalna varijabla

Varijabla je kvalitativna nominalna ako su njeni modaliteti dati u obliku atributivnih ili geografskih obilježja koje nije mogu�e klasirati prema nekom redosljedu (rangu) koji ima smisla. Naprimjer, varijabla «pol» �ija dva modaliteta su: žena i muškarac. Kvalitativne varijable se mogu kodirati. Numeri�ko kodiranje npr. 1 za «ženu» i 2 za «muškarca» je arbitrarno i nikakve matemati�ke operacije sa kodiranim vrijednostima nisu dozvoljene.


45

2.2.1.2. Kvalitativna ordinalna varijabla

Varijabla je kvalitativna ordinalna ako je mogu�e klasirati njene modalitete prema nekom redosljedu koji ima smisla. Naprimjer, varijabla ocjena izražena sljede�im modalitetima: odli�an, vrlodobar, dobar, dovoljan i nedovoljan.

2.2.2. Kvantitativne varijable

Varijabla je kvantitativna ako su njeni modaliteti mogu kvantificirati i ako su broj�ano izraženi. Primjeri ovog tipa varijable su: broj studenata na univerzitetu, broj soba u studentskom domu, težina studenata prve godine Ekonomskog fakulteta u Sarajevu, plata u KM, broj �lanova porodice itd. Kvantitativne varijable se dijele na prekidne (diskretne) i neprekidne (kontinuirane).

2.2.2.1. Kvantitativna prekidna varijabla

Varijabla koja može poprimiti kona�an broj izolovanih, odnosno diskretno raspore�enih vrijednosti se naziva se naziva kvantitativna (numeri�ka) prekidna varijabla. Varijabla je kvantitativna prekidna ako su njeni modaliteti prebrojivi i naj�eš�e cjelobrojni. Prebrojavamo npr. broj studenata u amfiteatru ili broj zaposlenih na fakultetu itd.

2.2.2.2. Kvantitativna neprekidna varijabla

Varijabla je kvantitativna kontinuirana ako su vrijednosti njenih modaliteta neprebrojive. Ova varijabla može uzimati bilo koju vrijednost iz intervala koji pripada skupu realnih brojeva. Varijabla je kvantitativna kontinuirana ako su vrijednosti njenih modaliteta dobijene na osnovu mjerenja. Npr.: mjerimo visinu studenata. U praksi je jednostavno odrediti da li je jedna varijabla kvalitativna nominalna ili ordinalna. Ponekad je teško odrediti da li je jedna kvantitativna varijabla prekidna ili neprekidna.

2.3. GRAFI�KI PRIKAZI PREKIDNE I NEPREKIDNE VARIJABLE

Grafi�ka prezentacija koja se naj�eš�e koristi u slu�aju prekidne varijable je dijagram sa stupcima. Najzna�ajnija grafi�ka prezentacija kontinuirane varijable je histogram. U slu�aju serije intervalno grupisanih podataka sa


46

jednakom amplitudom intervala, visina pravougaonika koji �ine histogram je proporcionalna frekvenciji svakog intervala.

Za seriju intervalno grupisanih podataka sa razli�itom amplitudom svakog intervala potrebno je izra�unati frekvencije po jedinici amplitude koje nazivamo korigovane frekvencije i u tom slu�aju površina svakog pravougaonika je proporcionalna frekvenciji intervala.

Na prva dva grafikona ilustrujemo grafi�ko predstavljanje kvantitativne prekidne varijable. Ovu varijablu predstavljamo dijagramom sa stupcima na grafikonu 2.3. i njenu kumulativnu krivu na grafikonu 2.4.

x

Kumulativna kriva prekidne varijableGrafikon 2.4.

x

1


47

Kvantitativnu neprekidnu varijablu predstavljamo histogramom i kumulativnom krivom. Histogram je predstavljen na grafikonu 2.5., a kumulativna kriva na grafikonu 2.6.

x

x

2.4. MJERE SREDNJE VRIJEDNOSTI ILI MJERE CENTRALNE TENDENCIJE

Mjere srednje vrijednosti mogu biti potpune (izra�unate, izvedene) i pozicione (položajne, nepotpune). U potpune mjere srednje vrijednosti


48

ubrajamo aritmeti�ku, geometrijsku, harmonijsku, kvadratnu i kubnu sredinu. Pozicione mjere srednje vrijednosti su: mod, medijana i kvantili.

2.4.1. Aritmeti�ka sredina

Aritmeti�ka sredina je prosje�na srednja vrijednost. Aritmeti�ka sredina jedne statisti�ke serije je jednaka zbiru opservacija podijeljenim sa veli�inom serije. Aritmeti�ka sredina izražava prosje�nu vrijednost jedne serije ili distribucije podataka i predstavlja najzna�ajniju mjeru centralne tendencije.

2.4.1.1. Jednostavna aritmeti�ka sredina

� Aritmeti�ka sredina negrupisane (neure�ene) serije {xi; i = 1,...., N} se utvr�uje koriste�i sljede�i izraz:

(2.7)

Za seriju:

� � � �6,2,6,4,6,0,4,8,10,0,2 �ix , {xi; i=1,....,11}

aritmeti�ka sredina je jednaka

36,411

626460481002 ��x

� Aritmeti�ka sredina ure�ene serije {x(i); (i)=1,..., N} gdje (i) predstavlja rang opservacije je jednaka:

(2.8)

Za seriju:

� � � �10,8,6,6,6,4,4,2,2,0,0�ix , {x(i); (i)=1,....,11}

aritmeti�ka sredina je:

1 1 ( )N

x x x xN N

� � ��1�(i)

(i) (1) 2( ) ...� x(N)

1 21

1 1 ( ...... )N

i Ni

x x x x xN N�

� � � ��


49

0 0 2 2 4 4 6 6 6 8 10 48 4,3611 11

x � � � � � � � � � ��

2.4.1.2. Ponderisana aritmeti�ka sredina

� Ponderisana aritmeti�ka sredina grupisane statisti�ke serije

� �� ; , 1, 2,....,j jx f j J� gdje fj predstavlja frekvenciju modaliteta xj

je jednaka:

� �1 1 2 2

1

...1 JJ J

j jj

f x f x f xx f x

N N�

� � � � � �� (2.9)

Za seriju � �)1;10(),1;8(),3;6(),2;4(),2;2(),2;0( , u kojoj su dati parovi u kojima prvi broj predstavlja modalitet a drugi frekvenciju, aritmeti�ka sredina je jednaka:

36,4113222

1018163422202654321

665544332211

6

1

��

��

��

��

x

ffffffxfxfxfxfxfxf

N

xfx j

jj

� Aritmeti�ka sredina statisti�ke serije sa relativnim frekvencijama je jednaka:

1

1

gdje je

i 1

Jj

j j jj

J

jj

fx p x p

N

p

�

�

� �

�

�

� (2.10)

� Aritmeti�ka sredina statisti�ke serije grupisane u intervale se utvr�uje primjenom sljede�eg izraza:

� �1 21 2

1

...1 J

j

Jc c J c

j cj

f x f x f xx f x

N N�

� � � � � �� (2.11)

gdje xc predstavlja centar intervala i izra�unava se pomo�u sljede�eg izraza:


50

2G D

cjx x

x -�

� (2.12)

Seriju � �(0 ; 2), (2; 2), (4 ; 2), (6 ; 3), (8;1), (10;1) grupisanu u intervale predstavljamo u sljede�oj tabeli.


Intervali Frekvencija Centri razreda 0-2 4 1 4-6 5 5

8-10 2 9 Ukupno 11 -

27,411

925514 ��x

Za izra�unavanje aritmeti�ke sredine je potrebno primijeniti odgovaraju�u formulu u zavisnosti od raspoloživih podataka.

Aritmeti�ku sredinu možemo nazvati i centrom gravitacije, centrom koji predstavlja prosje�nu vrijednost posmatrane serije kojoj teže, gravitiraju ostale vrijednosti u seriji. Aritmeti�ka sredina izravnava apsolutne razlike izme�u svih podataka u analiziranom skupu. Aritmeti�ku sredinu možemo ra�unati samo za kvantitativne varijable. Dakle, za statisti�ku seriju �ije su varijable mjerene na nominalnoj i ordinalnoj skali ne možemo ra�unati aritmeti�ku sredinu.

2.4.1.3. Osobine aritmeti�ke sredine

� Ako su vrijednosti svih obilježja u seriji jednake konstanti i aritmeti�ka sredina je jednaka toj konstanti c:

cxcxxx N �� ....21

1 1

1 1 1N N

ii i

x x c Nc cN N N� �

� � � � �� (2.13)


51

� Aritmeti�ka sredina je rijetko jednaka jednoj od posmatranih vrijednosti, ali promjena vrijednosti samo jednog modaliteta zna�ajno uti�e na aritmeti�ku sredinu. Zbog toga je aritmeti�ka sredina vrlo osjetljiva na ekstremne vrijednosti posmatrane varijable.

U ra�unanju aritmeti�ke sredine uzimaju se vrijednosti svih modaliteta.

� Aritmeti�ka sredina je ve�a od najmanje i manja od najve�e vrijednosti varijable3:

ii xxx maxmin �� (2.14)

� Zbir odstupanja izme�u modaliteta i njihove aritmeti�ke sredine je jednak nuli.

� �1 1

0N N

i ii i

x x x N x� �

� � �� (2.15)

Po analogiji, možemo pokazati da je zbir odstupanja svih vrijednosti obilježja od njihove aritmeti�ke sredine jednak nuli i za grupisane podatke.

� �1

0J

j jj

f x x�

�� (2.16)

Posljedica navedene osobine je sljede�a: aritmeti�ka sredina odstupanja izme�u opservacija i njihove aritmeti�ke sredine je jednaka nuli.

� �1

1 0N

ii

x xN �

�� (2.17)

Ova osobina vrijedi i u slu�aju grupisanih podataka.

� Osobina agregiranja aritmeti�ke sredine

Ako na osnovu varijable X analiziramo populaciju veli�ine N sastavljenu od potpopulacije veli�ine N1, odgovaraju�e aritmeti�ke sredine 1x i potpopulacije veli�ine N2, i njene aritmeti�ke sredine 2x . Aritmeti�ka sredina varijable X za populaciju se dobija korištenjem sljede�eg izraza:

3 Izuzetak je slu�aj kada su vrijednosti svih obilježja u seriji jednake konstanti, pa je i

aritmeti�ka sredina niza jednaka toj konstanti.


52

21

2211

21

2211

ffxfxf

NNxNxNx

��

��

� (2.18)

Ova osobina se može generalizirati na n potpopulacija. Ilustraciju ove osobine �emo pokazati na sljede�em primjeru.

Tabela 2.4. Godišnje neto plate državnih službenika u 2000. godini

Službenici Frekvencija u hiljadama fj

Prosje�na godišnja neto plata u eurima x

Kategorija A 769,6 29 549 Kategorija B 300,7 21 698 Kategorija C 469,9 17 576 Ukupno 1540,2 ?

Izvor: Tableau de l’economie francaise (TEF), 2002-2003, INSEE, strana 93.

Prosje�na godišnja neto plata svih službenika:

€NNN

xNxNxNx 4,36324321

332211 ��

� Aritmeti�ka sredina zbira statisti�kih varijabli

Ovu osobinu �emo ilustrovati na primjeru zbira dvije statisti�ke varijable. Posmatrajmo za N doma�instava podatke o njihovoj potrošnji ci i njihovoj štednji ši. Ako budžet doma�instva i ozna�imo sa bi za svako i možemo kompletirati sljede�u relaciju4:

i i ib c š B C Š� � � � �

� � šcšN

cN

šcN

bN

bN

ii

N

ii

N

iii

N

ii ��

�� 1111

1111 (2.19)

Aritmeti�ka sredina zbira dvije statisti�ke varijable je jednaka zbiru aritmeti�kih sredina te dvije varijable. Dakle, ako imamo jednu statisti�ku

4 Za ozna�avanje modaliteta ili vrijednosti varijabli koristimo mala slova, a za

ozna�avanje statisti�kih varijabli koristimo velika slova.


53

varijablu izraženu u obliku zbira dvije statisti�ke varijable, njena aritmeti�ka sredina je jednaka zbiru aritmeti�kih sredina te dvije varijable. Ako je Z=X+Y, aritmeti�ka sredina varijable Z je jednaka zbiru aritmeti�kih sredina varijabli X i Y:

yxz �� (2.20)

Ovu osobinu možemo generalizirati i zaklju�iti da je aritmeti�ka sredina zbira n statisti�kih varijabli jednaka zbiru aritmeti�kih sredina n statisti�kih varijabli.

� Aritmeti�ka sredina linearne kombinacije statisti�kih varijabli

Linearnu kombinaciju statisti�kih varijabli definišemo sljede�om relacijom:

yi = a + bxi (2.21)

gdje su a i b parametri.

Gornju relaciju možemo napisati u obliku Y = a+bX �ija je aritmeti�ka sredina jednaka:

xbay �� (2.22)

Navedenu osobinu možemo objasniti na sljede�i na�in. Ako sve opservacije pomnožimo jednim brojem tada �e i aritmeti�ka sredina biti pomnožena tim brojem. Ukoliko dodamo odre�eni broj svim opservacijama jedne serije, aritmeti�ka sredina �e biti uve�ana za taj broj. Kada pomnožimo sve ocjene iz jednog predmeta sa 2 tada �e i aritmeti�ka sredina ocjena iz tog predmeta biti pomnožena sa 2. Ako dodamo 5 poena svim ocjenama iz jednog predmeta, aritmeti�ka sredina ocjena iz tog predmeta se uve�ava za 5 poena. Na ovaj na�in definisane su osobine aditivnosti i linearnosti aritmeti�ke sredine.

Posebnu pažnju treba obratiti na izra�unavanje aritmeti�ke sredine u slu�aju intervalno grupisane distribucije sa stvarnim intervalima.

2.4.2. Geometrijska sredina

Geometrijska sredina za serije negrupisanih podataka je jednaka N- tom korijenu iz proizvoda vrijednosti varijable i izra�unava se prema sljede�oj formuli:


54

NN

ii

NN xxxxG �

�

��1

21 .... , 0ix � , 1,i N� (2.23)

Za izra�unavanje geometrijske sredine jedne serije koriste se svi podaci i potrebno je da budu pozitivni. Logaritamski oblik ove funkcije prakti�niji za primjenu dat je sljede�im izrazom:

��

�N

iix

NG

1log1log (2.24)

Konstatujemo da je logaritam geometrijske sredine varijable X jednak aritmeti�koj sredini logaritama njenih vrijednosti.

Geometrijska sredina statisti�ke distribucije frekvencije je jednaka:

1 21 2

11

.... , , 0, 1,jJ

J Jfff fN NJ j J j

jj

G x x x x N f x j J��

� � � � � � � �� (2.25)

Logaritamski oblik ponderisane geometrijske sredine je izražen sljede�om relacijom:

1 1

1log log , J J

j j jj j

G f x N fN � �

� �� (2.26)

Geometrijska sredina se naj�eš�e primjenjuje u slu�ajevima kada se pojave ponašaju po geometrijskoj progresiji, za izra�unavanje prosje�nih pokazatelja porasta i razvoja u dinami�koj analizi pojava, za izra�unavanje srednje vrijednosti vremenskih serija i kod lan�anih indeksa. Geometrijska sredina izravnava odnose, tj. proporcionalne promjene izme�u uzastopnih podataka u analiziranoj seriji.

2.4.3. Harmonijska sredina

Harmonijska sredina se definiše kao recipro�na vrijednost aritmeti�ke sredine recipro�nih vrijednosti varijable X.

Harmonijska sredina za seriju negrupisanih podataka se izra�una pomo�u sljede�eg izraza:


55

0 x,1...1...111 i

211

��

�� Ni

N

i i xxxx

N

x

NH (2.27)

Harmonijska sredina za statisti�ku distribuciju frekvencija je data izrazom:

1 11 2

1 2

1 21 1

... ... , 0... ...

J J

j jj ji J

jJ Ji Jj j

i Jj jj j

f ff f f fH xf ff ff fx x x xx x

� �

� �

� � � � � ��

� � � � �

� �

� � (2.28)

Postupak izra�unavanja ove sredine je jednostavan. Poteško�a je u uo�avanju slu�ajeva u kojima se može primijeniti. Izra�unava se u slu�aju kada su originalni podaci izraženi u vidu recipro�nih veli�ina. Recipro�ne veli�ine se kre�u u obrnutom pravcu od kretanja pojave koju izražavaju. Produktivnost rada je tipi�an primjer primjene ove sredine jer ve�a produktivnost rada zna�i ve�u proizvodnju uz manji utrošak rada. Ako su sve vrijednosti varijable pozitivne, vrijedi sljede�a relacija odnosa izmedu tri analizirane potpune mjere srednje vrijednosti:

min maxi ix H G x x � (2.29)

2.4.4. Kvadratna i kubna sredina

Kvadratna sredina se izražava u sljede�em obliku:

N

xx

N

ii�

�� 1

2

2 (2.30)

Kubna sredina je data sljede�im izrazom:

3 1

3

3 N

xx

N

ii�

�� (2.31)

Odnos izme�u pet prezentiranih sredina je sljede�i: 2 3min maxi ix H G x x x x � (2.32)


56

2.4.5. Mod ili centar aktivnosti

Mod je jedna od najstarijih pozicionih vrijednosti koja se jednostavno utvr�uje. Mod se definiše kao modalitet varijable koji se naj�eš�e pojavljuje, tj. modalitet koji ima najve�u frekvenciju. Naj�eš�i su slu�ajevi unimodalnih serija. Me�utim, potrebno je naglasiti da serija može biti bimodalna ili višemodalna ukoliko se u jednoj seriji nalazi više modaliteta koji imaju najvišu frekvenciju.

Primjer 2.3. Odre�ivanje moda

Tabela 2.5. Nastavnici sa punim radnim vremenom na visokoškolskim ustanovama u Federaciji Bosne i Hercegovine u 2001/2002 godini

Nastavnici Frekvencije u fj Redovni profesor 332 Vanredni profesor 248 Docent 251 Ostali 50 Ukupno 881 Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine, Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, 2002.

Mod je, kao što smo ve� naglasili, modalitet varijable koji ima najve�u frekvenciju. To je u našem primjeru modalitet redovni profesor. Grafi�ki je vrlo jednostavno u ovom slu�aju odrediti mod.

U slu�aju intervalno grupisanih distribucija, poslije odre�ivanja modalnog intervala koji ima najve�u frekvenciju (ili najve�u frekvenciju po jedinici


57

amplitude u slu�aju da intervali nemaju istu amplitudu), mod možemo izra�unati linearnom interpolacijom korištenjem sljede�e formule:

� � � �3212

12

ffffffaxM MoMoo �

�� (2.33)

gdje je: x

Mo lijeva granica modalnog intervala, a

Mo amplituda (širina) modalnog intervala,

f1 frekvencija prethodnog intervala,

f2 frekvencija modalnog intervala,

f3 frekvencija narednog intervala.

Tabela 2.6. Starosna struktura stanovništva Federacije BiH u 2000. godini

Starosna struktura

xj

Amplituda intervala

aj

Broj stanovnika

fj

Gusto�a intervala ili korigovana frekvencija

fj / aj 0-14 15 588 210 39 214 15-64 50 1 896 277 37 925,5 65 i više 26 316 513 12 173,6 Ukupno - 2 801 000 -

U ovom primjeru intervali nemaju jednake amplitude pa je za utvr�ivanje modalnog intervala potrebno izra�unati broj stanovnika po jedinici amplitude (dijeli se frekvencija broj stanovnika sa amplitudom intervala) ili gusto�u intervala da bi se odredila modalna klasa. U ovom slu�aju modalna klasa je klasa od 0 do 14.

U slu�aju da koristimo relativne frekvencije formula je analogna gore navedenoj, osim što umjesto apsolutne frekvencije fj koristimo relativnu frekvenciju pj.

Postoji i sljede�a formula pomo�u koje možemo utvrditi aproksimativnu vrijednost moda u unimodalnim i nesimetri�nim distribucijama:

Mo � 3Me-2 (2.34)

Prema ovom izrazu, mod je približno jednak tri medijane umanjene za dva.


58

Modalna klasa zavisi od grupisanja u intervale koje smo prethodno izvršili. Kao i uvijek prije i poslije odre�ivanja moda u svakom konkretnom slu�aju treba se upitati: Da li ovaj pokazatelj ima smisla i da li nam omogu�ava ili ne dodatnu korisnu informaciju?

2.4.6. Medijana ili centar pozicije

Medijana spada u pozicione srednje vrijednosti. Medijana je vrijednost obilježja koja u seriji ure�enoj po veli�ini (rastu�em ili opadaju�em redosljedu) zauzima centralnu poziciju (rang) i dijeli seriju na dva jednaka dijela. Njena teorijska kumulativna frekvencija je 50%. Dakle, teorijski 50% podataka ima vrijednost manju ili jednaku medijani i preostala polovina podataka vrijednosti ve�e od medijane. Medijana je poziciona srednja vrijednost i za izra�unavanje medijane nisu bitne vrijednosti svih podataka nego njihov rang u seriji.

2.4.6.1. Odre�ivanje medijane u ure�enoj seriji

Odre�ivanje medijane zavisi od broja podataka u seriji. Analizira�emo slu�ajeve odre�ivanja medijane ukoliko je broj podataka neparan i ukoliko je broj podataka paran.

� Neparan broj podataka

U ure�enoj seriji �x(i); (i)=1,..., N�, gdje (i) predstavlja rang podatka, a N neparan broj podataka, medijana se izra�unava koriste�i sljede�u formulu:

12

NMe x ��

� (2.35)

Ure�ena statisti�ka serija od 11 podataka:

Rang (i): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Podaci (xi): 42 48 53 58 60 64 68 79 88

60 xx (5)2

192

1 ��

��

��

�� NxMe


59

� Paran broj podataka

U ure�enoj seriji �x(i); (i)=1,..., N�, gdje (i) predstavlja rang podatka, a N paran broj podataka medijana se izra�unava koriste�i sljede�u formulu:

1

2 2

2

N Nx xMe

� � � ��

�

� (2.36)

U ure�enoj seriji veli�ine 10:

Rang (i): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Podaci (xi): 42 48 53 58 60 64 68 79 88 90

622

646022

2

)6()5(1

210

2101

22 ��

��

�

�

�

��

��

��

��

��

��

��

�� xx

xxxx

MeNN

2.4.6.2. Odre�ivanje medijane za statisti�ku distribuciju frekvencija

Tabela 2.7. Statisti�ka distribucija frekvencija završenih stanova prema broju soba u Federaciji Bosne i Hercegovine u 2004. g.

Broj soba xj Frekvencije fj Rang (i) 1 184 1 - 184 2 238 185 - 422 3 115 423 - 537 4 35 538 - 572 5 2 573 - 574

Ukupno 574 Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, str.157.

Medijana je jednaka aritmeti�koj sredini modaliteta koji zauzima rang 287 (574/2=287) i modaliteta koji zauzima rang 288.

� � � �1 287 2882 2 2 2 2 2 2 2

N Nx xx x

Me� � � ��

��


60

U seriji grupisanoj u intervale, medijana se ra�una na sljede�i na�in:

12 Me

Me MeMe

N SMe x a

f

� � � (2.37)

gdje je: x

Me lijeva granica medijanskog intervala, a

Me amplituda medijanskog intervala,

fMe frekvencija medijanskog intervala,

SMe-1

kumulativna frekvencija predmedijanskog intervala, N zbir svih frekvencija.

Prakti�nije je ra�unati medijanu ukoliko koristimo kumulativne relativne frekvencije:

Me

MeMeMe

Me

MeMeMe

pFax

pFMeFaxMe

1

1

50,0

)(

��

�� (2.38)

gdje je: x

Me lijeva granica medijanskog intervala, a

Me amplituda medijanskog intervala F

Me teorijska kumulativna relativna frekvencija medijane,

FMe-1

kumulativna relativna frekvencija predmedijanskog intervala, p

Me relativna frekvencija medijanskog intervala.

Medijana se grafi�ki može odrediti na osnovu kumulativnog dijagrama frekvencija. Kumulativnu krivu dobijemo spajanjem kumulativnih frekvencija koje odgovaraju svakom modalitetu ili u slu�aju intervalno grupisanih serija gornjim granicama svakog intervala.

2.4.6.3. Medijana i kumulativna frekvencija

U ure�enoj seriji (klasiranoj po rastu�em ili opadaju�em redosljedu podataka) broj podataka koji prethode medijani je jednak broju podataka


61

koji se nalaze poslije medijane. Na osnovu ove definicije mogli bismo zaklju�iti da je kumulativna frekvencija medijane uvijek jednaka 50 %. Provjeri�emo da li je to ta�no na jednom primjeru za koji smo neophodne podatke kompletirali i prezentirali u tabeli 2.8.

Tabela 2.8. Odre�ivanje kumulativne frekvencije medijane

Opservacije x(i)

Rang (i)

Frekvencije fi

Kumulativne frekvencije

Si

Relativne frekvencije

pi

Kumulativne relativne

frekvencije Fi

42 1 1 1 0,09 0,09 48 2 1 2 0,09 0,18 50 3 1 3 0,09 0,27 52 4 1 4 0,09 0,36 54 5 1 5 0,09 0,45 58 6 1 6 0,09 0,54 58 7 1 7 0,09 0,63 58 8 1 8 0,09 0,72 64 9 1 9 0,09 0,81 68 10 1 10 0,09 0,90 70 11 1 11 0,09 0,99�1,00

Ukupno - 11 0,99�1,00

� �1 11 1 62 2

58NMe x x x� ��

� � � �

Konstatujemo da 5 podataka prethodi medijani koja je jednaka 58 i 5 podataka se nalazi poslije medijane. Uo�avamo da se podatak 58 ponavlja tri puta i da je kumulativna rastu�a frekvencija ovog modaliteta jednaka 0,72 (dakle 72%), što je znatno više od 50% koliko je teorijska kumulativna frekvencija medijane. Dakle, u slu�aju kada jedna vrijednost zauzima centralni rang u seriji, ali i više ostalih rangova, odgovaraju�a kumulativna frekvencija se može znatno razlikovati od teorijski pretpostavljene.


62

2.4.6.4. Karakteristike medijane

Medijana je parametar centralne pozicije u seriji na koju ekstremne vrijednosti nemaju uticaja jer medijana ne zavisi od vrijednosti podataka nego od njihovog ranga, pozicije u seriji. Ako su npr. greškom evidentirane neke ekstremne vrijednosti one ne�e uticati na medijanu.

Posmatrajmo dvije ure�ene serije veli�ine 11:

Rang (i): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Varijabla X1: 42 48 50 52 54 58 59 63 74 78 80 Varijabla X2: 42 48 50 52 54 58 59 63 74 78 200

U oba slu�aja medijana je jednaka 58. Kako u ure�enoj seriji polovina podataka prethodi medijani i polovina podataka se nalazi poslije medijane, medijana se naziva tako�er kvantil reda 0,5 (ili reda 50%).

2.4.7. Kvantili

U ure�enoj seriji {x(i)} kvantil reda p koji ozna�avamo sa xp je jednak vrijednosti varijable za koju postoji proporcija opservacija koje su jednake ili manje od xp i komplementarna proporcija (1-p) opservacija koje su ve�e od xp:

10

)1()( i )( *

��

��

ppNxFpNxF pp (2.39)

ili u apsolutnim kumulativnim frekvencijama

10

)1()(S i )( *

��

��

ppNxpNxS pp (2.40)

2.4.7.1. Odre�ivanje kvantila u ure�enoj seriji

Ako u ure�enoj seriji postoji vrijednost xj za koju je

1 ,

tada je j j

p j

S N p Sx x

� � �

� (2.41)


63

uz pretpostavku da je S=0 ako je j=1.

Ako u ure�enoj seriji postoji vrijednost xj takva da Sj=Np tada je vrijednost kvantila reda p jednaka:

21��

� jjp

xxx (2.42)

2.4.7.2. Odre�ivanje kvantila u intervalno grupisanoj seriji

Poslije odre�ivanja kvantilne klase, kvantile odre�ujemo korištenjem sljede�e relacije:

q

qqqp f

SNpaxx 1

�� (2.43)

gdje je: xq donja granica kvantilnog intervala aq amplituda kvantilnog intervala Sq-1

kumulativna frekvencija predkvantilnog intervala fq frekvencija kvantilnog intrevala

Koriste�i kumulativne relativne frekvencije kvantile izra�unavamo koriste�i sljede�i izraz:

q

qpqqp p

FxFaxx 1)(

�� (2.44)

2.4.7.3. Kvartili

Kvartili se ozna�avaju sa Q1, Q2, Q3 i predstavljaju kvantile reda p=1/4, p=1/2 i p=3/4 ili reda 25%, 50% i 75%. Kvartili su vrijednosti varijable koji distribuciju ure�enu po veli�ini dijele na 4 jednaka dijela.

U ure�enoj seriji prvi kvartil Q1 je jednak modalitetu vrijednosti varijable od kojeg 25% elemenata skupa ima jednaku ili manju vrijednost i 75% elemenata skupa ima ve�u vrijednost posmatranog obilježja. Dakle, 25% opservacija prethode Q1 i 75% opservacija se nalaze poslije Q1. Medijana je jednaka drugom kvartilu Me=Q2.


64

� Odre�ivanje kvartila u intervalno grupisanoj distribuciji

U intervalno grupisanoj distribuciji prvi kvartil odre�ujemo koriste�i sljede�i izraz:

1

1

11

1

1 4

Q

Q

QQ f

SN

axQ

�� (2.45)

gdje je: x Q1 donja granica kvartilnog intervala a Q1 amplituda kvartilnog intervala S Q1-1 kumulativna apsolutna frekvencija pretkvartilnog intervala f Q1 apsolutna frekvencija kvartilnog intrevala N broj podataka u seriji

Prakti�nije je utvrditi prvi kvartil koriste�i kumulativne relativne frekvencije:

1

1

11

1

1

11

1

111

25,0

)(

Q

QQQ

Q

QQQ

pF

ax

pFQF

axQ

��

��

(2.46)

gdje je: x Q1 donja granica kvartilnog intervala a Q1 amplituda kvartilnog intervala FQ1 kumulativna relativna teorijska frekvencija prvog kvartila FQ1-1 kumulativna relativna frekvencija pretkvartilnog intervala p Q1 relativna frekvencija kvartilnog intrevala N broj podataka u seriji

Za odre�ivanje tre�eg kvartila u intervalno grupisanoj distribuciji koristimo sljede�e izraze zavisno od toga da li smo ra�unali apsolutne kumulativne frekvencije:

3

3

33

1

3 4

3

Q

Q

QQ f

SN

axQ

�� (2.47)


65

gdje je: x Q3 donja granica kvartilnog intervala a Q3 amplituda kvartilnog intervala S Q3-1 kumulativna apsolutna frekvencija pretkvartilnog intervala f Q3 apsolutna frekvencija kvartilnog intervala N broj podataka u seriji

ili relativne kumulativne frekvencije:

3

3

33

3

3

33

1

133

75,0

)(

Q

QQQ

Q

QQQ

pF

ax

pFQF

axQ

��

��

(2.48)

gdje je: x Q3 donja granica kvartilnog intervala a Q3 amplituda kvartilnog intervala FQ3 kumulativna relativna teorijska frekvencija tre�eg kvartila FQ3-1 kumulativna relativna frekvencija pretkvartilnog intervala p Q3 relativna frekvencija kvartilnog intrevala N broj podataka u seriji

2.4.7.4. Decili

Decili se ozna�avaju sa D1, D2, …..D9 i predstavljaju kvantile reda 10%, 20%, ..., 90%. Ima ih devet i dijele ure�enu statisti�ku seriju na 10 jednakih dijelova. U ure�enoj seriji 20% opservacija prethodi D2, a 80% opservacija se nalazi poslije D2.

2.4.6.5. Centili

Centili se ozna�avaju sa C1, C2, ..C95, … C99 predstavljaju kvantile reda 1%, 2%, .., 95%, ..., 99%. Ima ih, dakle, 99 i dijele ure�enu statisti�ku seriju na 100 jednakih dijelova. U ure�enoj seriji 1% podataka prethodi C1 i 99% podataka slijedi poslije C1. Kao i za medijanu, kumulativna frekvencija kvantila reda p % je vrlo blizu p % kada su podaci istovremeno mnogobrojni i razli�iti.


66

Primjer 2.4.

U sljede�em primjeru �emo analizirati i komentarisati medijanu i decile. Ako je statisti�ka tabela prezentovana u sljede�em obliku, normalno je pretpostaviti da su sve kumulativne frekvencije vrlo blizu teorijskih vrijednosti za svaki od analiziranih parametara.

Tabela 2.9. Distribucija neto plata u preduze�ima u Francuskoj u 2000.g.

Decili Godišnje plate u eurima

Kumulativne frekvencije u %

D1 10 780 10 D2 12 490 20 D3 13 930 30 D4 15 420 40

Medijana=D5 17 130 50 D6 19 200 60 D7 22 030 70 D8 26 470 80 D9 35 700 90

Izvor: Tableau d’économie francaise (TEF) 2002-2003, INSEE, Paris, str. 91.

Medijanska plata je 17130 €. To zna�i da je 50% godišnjih neto plata u preduze�ima u Francuskoj u 2000.g. bilo manje ili jednako 17130 €. Vrijednost sedmog decila nam daje informaciju da je 70% godišnjih neto plata u preduze�ima u Francuskoj u 2000.g. bilo manje ili jednako od 22030€, a 30% godišnjih neto plata je bilo ve�e od 22030€.

2.5. MJERE DISPERZIJE ILI VARIJACIJE

Postoje dva pristupa konstrukciji mjera disperzije: 1. Mjerenje odstupanja izme�u dva podatka u seriji ili izme�u dva

parametra centralne tendencije,2. Mjerenje odstupanja podataka od nekog reprezentativnog parametra.

Mjere disperzije možemo klasificirati na apsolutne i relativne. Apsolutne mjere disperzije su: raspon varijacije, interkvantilno apsolutno odstupanje, srednje apsolutno odstupanje, varijansa i standardna devijacija.


67

Relativne mjere disperzije su: interkvantilna relativna odstupanja, koeficijent varijacije i koeficijent kvartilne devijacije.

2.5.1. Apsolutne mjere disperzije

2.5.1.1. Raspon varijacije

Raspon varijacije predstavlja apsolutno odstupanje izme�u maksimalne i minimalne vrijednosti varijable:

RV = xmax-xmin (2.49)

Ovaj pokazatelj je jednostavan za ra�unanje i tuma�enje, ali ima ozbiljan nedostatak jer uzima u obzir samo dvije, i to ekstremne vrijednosti serije i ne daje informaciju o varijabilitetu pojava unutar serije.

2.5.1.2. Interkvantilno apsolutno odstupanje

Da bi se otklonio nedostatak raspona varijacije, konstruisani su parametri koji «eliminišu» odre�enu proporciju opservacija na po�etku i na kraju serije, dakle odre�enu proporciju najmanjih i najve�ih vrijednosti. Interdecilno odstupanje D9-D1 eliminiše 10% opservacija na po�etku serije i 10% opservacija na kraju serije. Na taj na�in dobijamo mjeru disperzije koja se odnosi na 80% centralnih opservacija.

Naj�eš�e korištena interkvantilna odstupanja su:

Interkvartilno odstupanje IQ=Q3-Q1 (2.50) Interdecilno odstupanje ID=D9-D1 (2.51) Intercentilno odstupanje IC=C99-C1 (2.52)

Interkvantilna odstupanja treba primjenjivati u zavisnosti od analiziranog problema i potrebe da se detaljnije analizira jedan dio distribucije. Naj�eš�e se primjenjuje interkvartilno odstupanje.

2.5.1.3. Box Plot

Box plot je grafi�ka prezentacija koja omogu�ava istovremeno posmatranje pozicionih mjera srednjih vrijednosti i interkvartilnog odstupanja kao mjere


68

disperzije. Ovaj grafi�ki prikaz omogu�ava vizuelno pozicioniranje 50% vrijednosti podataka unutar box-a i na taj na�in omogu�ava analizu disperzije.

Za konstukciju Box Plota treba izra�unati vrijednosti tri kvartila. Nacrtamo pravougaonik (box - kutiju) �iju osnovu predstavlja interkvartilno odstupanje. Bo�ne strane su odre�ene vrijednostima prvog i tre�eg kvartila. Pravougaonik je presje�en na dva dijela medijanom. Od desne i lijeve strane pravougaonika povu�emo linije do maksimalne i minimalne vrijednosti varijable. Box plot nam omogu�uje da sagledamo na jednostavan i ilustrativan na�in osnovne karakteristike serije.

1Q 3QMe

minx maxx

U slu�aju da serija sadrži netipi�ne i ekstremne vrijednosti krakovi postaju previše dugi što otežava interpretaciju. U tim slu�ajevima se preporu�uje ra�unanje grani�nih vrijednosti prema relaciji:

a1=Q1–1,5(Q3-Q1)

a2=Q3+1,5(Q3-Q1) (2.53)

Ove granice su udaljene od bo�nih strana pravougaonika za 1,5 njegovu dužinu. Prakti�na iskustva su pokazala da se ve�ina serija koje ne sadrže netipi�ne vrijednosti nalazi u intervalu (a1, a2). Mogu se ra�unati i granice udaljene od pravougaonika za dvije ili tri njegove dužine da bi se odredile netipi�ne ili ekstremne vrijednosti.


69

2.5.1.4. Srednje apsolutno odstupanje

Srednje apsolutno odstupanje spada u mjere disperzije koje se konstruišu kao odstupanje modaliteta od nekog reprezentativnog parametra. Da bismo konstruisali srednje apsolutno odstupanje, analizirat �emo �etiri sljede�e faze.

Faza 1: Izabrati reprezentativni pokazatelj

Za reprezentativni pokazatelj odabiremo aritmeti�ku sredinu zbog njenih karakteristika i prednosti u odnosu na ostale parametre srednje vrijednosti i zbog osobine koju možemo provjeriti koriste�i teoremu König-Huygens-a.

Odaberimo bilo koji parametar centralne tendencije koji možemo ozna�iti sa k. Aritmeti�ka sredina odstupanja opservacija od tog parametra je jednaka:

� � � �

� � � �

� � � ��

� � � � � � � �

2 2

1 1

2

1

2 2

1

2 2

1 1

1 1

1

1 2

1 12

N N

i ii i

N

iiN

i ii

N N

i ii i

x k x x x kN N

x x x kN

x x x k x x x kN

x x x k x x x kN N

� �

�

�

� �

� �

!� � " #

!� � � " #

!� � � $ %" #

� �

�

�

� �

(2.54)

Kako je drugi �lan u gornjem izrazu jednak nuli � � ��

��

ii xx 0 sljedi:

� � � � � ��

��N

ii

N

ii kxxx

Nkx

N 1

22

1

2 11 (2.55)

Prvi �lan na desnoj strani izraza ne zavisi od k i predstavlja varijansu varijable X. Slijedi da gornji izraz ima minimalnu vrijednost kada je:

� �2 0, odnosno kada je xx k k � � (2.56)

Konstatujemo da je aritmeti�ka sredina najbolji reprezentativni pokazatelj centralne tendencije jer su vrijednosti odstupanja opservacija od aritmeti�ke


70

sredine manje nego odstupanja opservacija od bilo kojeg drugog parametra centralne tendencije.

Faza 2: Mjeriti odstupanje izme�u svakog modaliteta i aritmeti�ke sredine Za svaki modalitet ra�unamo odstupanje: yi = xi - x

Faza 3: Da bismo sintetizirati u jednom broju poziciju svih izra�unatih odstupanja, ra�unamo njihovu aritmeti�ku sredinu. Ovako izra�unata aritmeti�ka sredina odstupanja modaliteta od njihove aritmeti�ke sredine je jednaka nuli zbog toga što se anuliraju pozitivna i negativna odstupanja od aritmeti�ke sredine.

Faza 4: Da bismo izbjegli anuliranje pozitivnih odstupanja od aritmeti�ke sredine sa negativnim odstupanjima od aritmeti�ke sredine, ra�unamo za svaki modalitet apsolutnu vrijednost odstupanja od aritmeti�ke sredine: zi = &x i - x &

Završna faza je utvr�ivanje prosje�nog apsolutnog odstupanja koje je jednako aritmeti�koj sredini apsolutnih odstupanja izme�u modaliteta i njihove aritmeti�ke sredine.

Formule za ra�unanje prosje�nog apsolutnog odstupanja MAD5: � za negrupisanu seriju:

�

�

�N

ii xx

NMAD

1

1

(2.57) � za ure�enu seriju:

(2.58)

� za statisti�ku distribuciju frekvencija:

��

��J

jj

J

jjj fNjegdjexxf

NMAD

11

,1 (2.59)

5 MAD je skra�enica od engleskog izraza sa srednje apsolutno odstupanje - Mean

Apsolutely Deviation.

.

(i)=1� �

N

xxN

MAD 1(i)


71

� za statisti�ku distribuciju relativnih frekvencija:

��

��J

jj

J

jjj pjegdjexxpMAD

111, (2.60)

Pri ra�unanju treba primijeniti odgovaraju�u formulu u zavisnosti od raspoloživih podataka. Srednje apsolutno odstupanje je parametar koji je jednostavno objasniti. Ve�a vrijednost srednjeg apsolutnog odstupanja ukazuje na ve�u disperziju podataka u odnosu na njihovu aritmeti�ku sredinu. Srednje apsolutno odstupanje ne može biti jednako nuli, osim u slu�aju kad su svi modaliteti jednaki, ali tada se problem sinteze podataka ne postavlja. Ovaj parametar se rijetko koristi i ima više teorijsku nego prakti�nu vrijednost.

2.5.1.5. Varijansa

Za konstrukciju varijanse primjenjujemo �etiri faze. Prve tri faze su iste kao faze koje smo analizirali za konstrukciju srednjeg apsolutnog odstupanja (MAD).

Postupak za rješavanje �etvrte faze je razli�it. Da bismo izbjegli anuliranje pozitivnih odstupanja od aritmeti�ke sredine sa negativnim odstupanjima od aritmeti�ke sredine, za svaku opservaciju ra�unamo kvadratno odstupanje od aritmeti�ke sredine (xi - x )2 i zatim ra�unamo njihovu aritmeti�ku sredinu.

Varijansa je jednaka aritmeti�koj sredini kvadrata odstupanja izme�u modaliteta i njihove aritmeti�ke sredine.

Formule za ra�unanje varijanse: � za negrupisanu seriju:

� ��

��N

iiX xx

NXVar

1

22 1)( ' (2.61)

� za ure�enu seriju:

� ��

��N

iiX xx

NXVar

1)(

2)(

2 1)( ' (2.62)


72


� ��

��J

jjjX xxf

NXVar

1

22 1)( ' (2.63)

� za statisti�ku distribuciju relativnih frekvencija:

� � 1,)(11

22 ��

J

jj

J

jjjX pjegdjexxpXVar ' (2.64)

Za izra�unavanje varijanse treba primijeniti odgovaraju�u formulu zavisno od raspoloživih podataka.

U tabeli 2.10. ilustrovat �emo faze konstrukcije i utvr�ivanje srednjeg apsolutnog odstupanja i varijanse.

Tabela 2.10. Primjer postupka konstrukcije srednjeg apsolutnog odstupanja i varijanse

Modaliteti xi

Odstupanje modaliteta od

aritmeti�ke sredine ( )i id x x�

Apsolutna odstupanja

i ib x x�

Kvadrat odstupanja modaliteta od

aritmeti�ke sredine 2( )i ik x x�

20 -20 20 400 10 -30 30 900 30 -10 10 100 40 0 0 0 60 20 20 400 80 40 40 1600

x =40 0d � 20�b 566,66k �

Na osnovu rezultata prezentovanih u tabeli 2.10. konstatujemo da je zbir odstupanja modaliteta od aritmeti�ke sredine jednak nuli. Srednje apsolutno odstupanje je jednako 20, a varijansa 566,66.

Za primjenu je prakti�nija razvijena formula varijanse. Dokaza�emo izvo�enje razvijene formule prema prema Königu za negrupisanu seriju:


73

� � � ��

��N

iii

N

iiX xxxx

Nxx

N 1

22

1

22 211'

� ��

��N

i

N

i

N

iiiX x

Nx

Nxx

N 1 1

2

1

22 121'

��

��N

iiX xN

NxN

Nxx

N 1

222 121'

��

��N

iiX xxx

N 1

2222 21'

2

1

22 1 xxN

N

iix � �

�

' (2.65)

222 xxx �'

Razvijene formule varijanse za statisti�ku distribuciju frekvencija i relativnih frekvencija su jednake6:

2

1

22 1 xxfN

J

jjjx � �

�' (2.66)

22

1

2 xxp j

J

jjx ��

�

' (2.67)

2.5.1.5.1. Osobine varijanse

Osobine varijanse možemo formalizirati na sljede�i na�in: � Ako svakoj opservaciji dodamo isti broj, varijansa se ne�e

promijeniti:

Var (X+b)=VarX (2.68)

� Ako svaki podatak u posmatranoj seriji pomnožimo sa nekim brojem a, varijansa �e biti pomnožena sa a2:

Var (aX)=a2VarX (2.69)

6 Ove dvije formule se mogu izvesti analogno dokazu za negrupisanu seriju.


74

� Dvije prethodne osobine možemo istovremeno posmatrati i izraziti sljede�om relacijom:

Var (aX+b)=a2VarX (2.70)

� Osobine agregiranja varijanse:

Ako su za dvije statisti�ke serije poznati sljede�i podaci 2 2

1 1 1 2 2 2, , i , , , N x N x' ' varijansu globalne serije utvr�ujemo koriste�i sljede�u relaciju:

� � � �21

222

211

21

222

2112

NNxxNxxN

NNNN

��

�� ''' (2.71)

Prvi �lan na desnoj strani date relacije predstavlja ponderisanu aritmeti�ku sredinu varijansi dvije serije i naziva se varijansa u serijama. Drugi �lan predstavlja varijansu aritmeti�kih sredina i naziva se varijansa izme�u serija. Ovo pravilo možemo generalizirati u slu�ajevima agregiranja (ili dekompozicije) više statisti�kih serija.

2.5.1.6. Standardna devijacija

Varijansa je parametar disperzije �ija se numeri�ka vrijednost ne može korektno objasniti, ali koja posjeduje analizirane osobine ra�unanja. Zbog toga definišemo standardnu devijaciju �ija se numeri�ka vrijednost može konkretno objasniti, ali ona nema osobine ra�unanja koje smo pokazali za varijansu. Standardna devijacija je najzna�ajnija mjera disperzije opšteprihva�ena u statisti�koj analizi i predstavlja prosje�no odstupanje vrijednosti numeri�ke varijable od njene aritmeti�ke sredine. Standardna devijacija je definisana kao pozitivni kvadratni korijen iz varijanse:

� ��

��N

iiXX xx

NXVar

1

22 1)( '' (2.72)

Manje vrijednosti standardne devijacije ukazuju na manju disperziju vrijednosti varijable od aritmeti�ke sredine i na homogeniju seriju. Standardna devijacija se izražava u istoj jedinici mjere kao i posmatrana varijabla.


75

U našem primjeru, u tabeli 2.10. varijansa iznosi 566,66. Standardna devijacija je jednaka 23,8. Ova vrijednost ima konkretno ekonomsko zna�enje i pokazuje da podaci u prosjeku odstupaju od aritmeti�ke sredine za 23,8.

Ostale formule za izra�unavanje standardne devijacije u zavisnosti od raspoloživih podataka su:

2 2 2

1

1 N

X X ii

x xN

' '�

� � � (2.73)

2

1

22 1 xxfN

J

jjjxx ��

�

'' (2.74)

22

1

2 xxp j

J

jjxx ��

�

'' (2.75)

2.5.2. Relativne mjere disperzije

2.5.2.1. Interkvantilna relativna odstupanja

Interkvantilna relativna odstupanja dobijamo tako što u odnos stavimo odgovaraju�e kvantile. Naj�eš�a interkvantilna relativna odstupanja su:

� interkvartilno odstupanje izraženo odnosom tre�eg i prvog kvartila Q3 / Q1

� interkvartilno odstupanje 1

13

QQQ

� interdecilno odstupanje izraženo odnosom devetog i prvog decila D9 / D1

� intercentilno odstupanje C99 / C1

Interkvantilna relativna odstupanja su parametri disperzije i ve�a vrijednost ovih parametara ukazuje na ve�u disperziju.

Interkvantilni relativni pokazatelji su posebno korisni za pore�enje disperzije serija koje su izražene u razli�itim jedinicama mjere, npr. plate u eurima i KM.


76

2.5.2.2. Koeficijent kvartilne devijacije

Koeficijent kvartilne devijacije je relativni pokazatelj disperzije i definišemo ga na sljede�i na�in:

10,13

13 �

� QDQD kQQQQ

k (2.76)

Vrijednost ovog koeficijenta se kre�e u intervalu od 0 do 1, ili od 0 do 100% ako ga izrazimo u procentima. Ako je vrijednost ovog koeficijenta jednaka nuli tada nema disperzije.Ve�a vrijednost ovog koeficijenta ukazuje na ve�u disperziju.

2.5.2.3. Koeficijent varijacije

Standardna devijacija je mjera varijabilnosti izražena u istoj jedinici mjere kao i varijabla X. Zbog toga je ne možemo koristiti za pore�enje varijabiliteta serija izraženih u razli�itim jedinicama mjere. Da bi se izbjegao taj nedostatak i mogle porediti razli�ite serije konstruisana je relativna mjera disperzije kao odnos standardne devijacije i aritmeti�ke sredine. Tako konstruisan pokazatelj nazivamo koeficijent varijacije. Koeficijent varijacije je dakle relativna mjera disperzije definisana odnosom izme�u standardne devijacije i aritmeti�ke sredine.

xkV

'� ; odnosno 100��x

kV' (2.77)

Koeficijent varijacije je neimenovani broj i uobi�ajeno je da ga izražavamo u procentima. Koeficijent varijacije pokazuje koliko jedinica standardne devijacije u prosjeku otpada na svaku jedinicu aritmeti�ke sredine. Izražen u procentima pokazuje koliko procentualno iznosi standardna devijacija od aritmeti�ke sredine. Koristimo ga za pore�enje disperzije u slu�ajevima kada su varijable izražene u razli�itim jedinicama mjere i kada su aritmeti�ke sredine varijabli razli�ite.

2.5.2.4. Standardizovane varijable

Standardna devijacija je parametar koji opisuje disperziju statisti�ke serije kao cjeline. Za utvr�ivanje relativnog položaja modaliteta varijable u seriji


77

primjenjuje se standardizovana vrijednost varijable koja je definisana sljede�im izrazom:

, 1, 2,...,ii

x xz i N'� � (2.78)

Standardizovana varijabla je jednaka koli�niku izme�u odstupanja vrijednosti varijable od aritmeti�ke sredine i standardne devijacije.

Standardizovana varijabla je relativan pokazatelj pogodan za pore�enje položaja podataka u razli�itim serijama. Standardizovana varijabla je linearna transformacija vrijednosti varijable X. Aritmeti�ka sredina standardizovane varijable je jednaka nuli:

� ��

�

��

��

��N

ii

N

i

iN

ii

xxNN

xx

N

zz

1

11 01'

' (2.79)

Varijansa i standardna devijacija standardizovane varijable su jednake jedinici:

� � � �

� �

22 22

1 1 1

22

1

2

1 1 1 =

1 1 1

1 1

N N Ni

z i ii i i

N

ii

z z

x xz z zN N N

x xN

''

'

' '

� � �

�

� ��

� � �

� � �

� � �

� (2.80)

2.5.3. �ebiševa teorema

�ebiševa teorema omogu�ava istovremeno tuma�enje aritmeti�ke sredine i standardne devijacije. Prema teoremi �ebiševa, u nekoj distribuciji ima najmanje (1-1/k2) modaliteta koje odstupaju od aritmeti�ke sredine za k puta standardna devijacija:

1k ,11)( 2 ��k

kxXkxP '' (2.81)

Primjenu ove teoreme ilustrujemo na sljede�em primjeru. Pretpostavimo da je poznata prosje�na mjese�na plata 460 eura, standardna devijacija 180 eura i k=2. Primjenom �ebiševe teoreme dobijamo:


78

(620;300802460 ��)�) 'kx

%7521111 22 ��

k

Prema teoremi �ebiševa, najmanje 75% plata ove distribucije se nalaze u intervalu izme�u 300 i 620 eura.

Primjena ove teoreme omogu�ava procjenu mogu�e vrijednosti neke varijable i raspona varijacije u kojem se o�ekuje odre�ena proporcija modaliteta. U pravilu, vrijednosti varijable rijetko odstupaju od aritmeti�ke sredine za više od tri standardne devijacije. Ova teorema se koristi za definisanje karakteristi�nih intervala u inferencijalnoj statistici.

2.5.4. Primjer grafi�ke sinteze parametara pozicije i disperzije

Na osnovu podataka datih u tabeli 2.11. predstavit �emo grafi�ku sintezu parametara pozicije i disperzije.

Tabela 2.11. Distribucija neto plata u preduze�ima u Francuskoj u 2000.g. grupisana prema decilima

Decili Godišnje plate u eurima xj

Kumulativne frekvencije Fj u %

D1 10 780 10 D2 12 490 20 D3 13 930 30 D4 15 420 40

Medijana=D5 17 130 50 D6 19 200 60 D7 22 030 70 D8 26 470 80 D9 35 700 90

Izvor: Tableau d’économie francaise (TEF) 2002-2003, INSEE, Paris, str. 91.

Na osnovu podataka iz tabele konstruisali smo kumulativnu krivu, grafi�ki i analiti�ki odredili kvartile i konstruisali box plot.


79

1

13, 210Q 3

24, 250QMe

17,130minx

Medijanska plata je 17130 €. To zna�i da je 50% godišnjih neto plata u preduze�ima u Francuskoj u 2000.g. bilo manje ili jednako 17130 €. Prvi kvartil Q1 je 13210 € što pokazuje da je 25% godišnjih neto plata u preduze�ima u Francuskoj u 2000.g. bilo manje ili jednako od 13210 € . Vrijednost tre�eg kvartila nam daje informaciju da je 75% godišnjih neto plata u preduze�ima u Francuskoj u 2000.g. bilo manje ili jednako od 24250 €.

2.5.5. Pregled mjera srednje vrijednosti i varijacije

U šemi 2.1. dajemo pregled mjera srednje vrijednosti i varijacije koje smo analizirali za kvantitativnu statisti�ku varijablu.


80

Kvantitativna varijabla

Mjere srednje vrijednosti

Mjere varijacije

Potpune Pozicione Apsolutne Relativne

Aritmeticka sredina

Geometrijska sredina

Harmonijska sredina

Kvadratna sredina

Kubna sredina

Medijana

Mod

Kvantili

Interkvartilno

Interdecilno

Intercentilno

Raspon varijacije

Srednje apsolutno

odstupanje

Varijansa

Standardna devijacija

Interkvantilna odstupanja

Koeficijent varijacije

Koeficijent kvartilne devijacije

Interkvantilna relativna

odstupanja

Mjere srednje vrijednosti i varijacijeŠema 2.1.

2.6. MJERE OBLIKA DISTRIBUCIJE

2.6.1. Momenti distribucije frekvencija

Za konstrukciju parametara oblika distribucije frekvencije koristimo centralne momente distribucije frekvencija koji se definišu na bazi višestepenih odstupanja vrijednosti varijable od aritmeti�ke sredine. Centralni moment r-tog reda je dat sljede�im izrazima:

� za negrupisanu seriju:

� � (1

1 , 0,1,...,N

rr i

i

x x r NN

*�

� +� (2.82)


81


� � (1

1 , 0,1,...,J r

r j jj

f x x r NN

*�

� +� (2.83)

2.6.2. Mjere asimetrije

Razlikuju se tri tipa distribucije: simetri�na, lijevo asimetri�na i desno asimetri�na. �esto nam analiza dijagrama u stupcima ili histograma omogu�ava da uo�imo da li je distribucija simetri�na ili ne. Analiza box-plota nam omogu�ava tako�er da konstatujemo simetriju ili asimetriju distribucije. Pored navedenih, konstruisani su i specifi�ni pokazatelji za mjerenje asimetrije koji mjere asimetriju u odnosu na pravac: xx � . Polazna veli�ina za mjerenje asimetrije je tre�i momenat oko aritmeti�ke sredine koji je jednak aritmeti�koj sredini odstupanja vrijednosti varijable od aritmeti�ke sredine podignutih na tre�i stepen.

Za negrupisane podatke moment tre�eg reda je jednak:

� �N

xxN

ii�

�

� 1

3

3* (2.84)

Za grupisanu distribuciju frekvencija tre�i moment oko sredine je jednak:

� �3

13

1,

J

j j Jj

jj

f x xN f

N* �

�

� ��

� (2.85)

Analiza osobina ovog parametra omogu�ava da konstatujemo da je u slu�aju simetri�ne distribucije brojnik navedenih izraza jednak nuli i tre�i momenat oko sredine jednak nuli. U slu�aju desne asimetrije moment tre�eg reda je pozitivan. Za lijevo asimetri�nu distribuciju moment tre�eg reda je negativan:

asimetrija lijeva 0asimetrija desna 0

simetrija 0

3

3

3

��

***

(2.86)


82

Moment tre�eg reda zavisi od jedinica mjere u kojima je izražena varijabla i zbog toga je njegova direktna primjena otežana. Da bi otklonio taj nedostatak. Ficher je predložio sljede�i koeficijent asimetrije:

33

3 '*, � (2.87)

Ovaj koeficijent predstavlja relativnu mjeru smjera i veli�ine asimetrije:


simetrija 0

3

3

3

��

,,,

(2.88)

Vrijednost Ficherovog koeficijenta asimetrije se naj�eš�e nalazi u intervalu [-2;+2].

Postoje i drugi koeficijenti asimetrije koji su brži za ra�unanje, a �ije osobine proizilaze iz empirijskih iskustava. To su:

� Pearsonov koeficijent:

'

Ok

MxS � (2.89)

koji je predstavljen kao standardizirano odstupanje moda od aritmeti�ke sredine. Naj�eš�a vrijednost ovog koeficijenta se nalazi u intervalu [-3;+3].

Pearsonov koeficijent je nepotpuna mjera asimetrije:


simetrija 0

��

k

k

k

SSS

(2.90)

� Koeficijent Yule i Kendall je jednak sljede�em izrazu:


simetrija 0

11- ,2

13

31

��

��

k

k

k

ke

k

YYY

YQQ

MQQY

(2.91)


83

Na grafikonu 2.10. je predstavljena simetri�na distribucija. Kod simetri�ne distribucije aritmeti�ka sredina, mod i medijana su jednaki.

0

3 3

M Me0 0; 0k

xa S*

� ��

jf

jxx

Za desno asimetri�nu distribuciju aritmeti�ka sredina je ve�a od medijane i moda. Relativna mjera asimetrije je pozitivna.

3 3

Mo< �e <0, 0; 0k

xa S* � � � �

Mo Me x jx

jf

Za lijevo asimetri�nu distribuciju aritmeti�ka sredina je manja od medijane i moda. Relativna mjera asimetrije je negativna.


84

3 3

Me < Mo0 0; 0x

a Sk*�

� � � �

jf

x MoMe jx

2.6.3. Parametri spljoštenosti

Konstrukcija parametara spljoštenosti je bazirana na �etvrtom momentu oko sredine:

� �44

1

44

1 1

1

1 ( ) ,

N

iiJ J

j j jj j

x xN

f x x N fN

*

*

�

� �

�

� �

�

� � (2.92)

�etvrti moment oko sredine je prosje�no odstupanje vrijednosti varijable od njene aritmeti�ke sredine podignuto na �etvrti stepen.

Zaobljenost se upore�uje i mjeri prema zaobljenosti modalnog vrha normalne distribucije koriste�i sljede�e koeficijente:

Pearsonov koeficijent zaobljenosti:

44

4 '*, � (2.93)

Ficherov koeficijent zaobljenosti je jednak:

344

4 �'*. (2.94)


85

Za normalnu distribuciju frekvencija vrijede sljede�e vrijednosti koeficijenata:

03 44 �� ., (2.95)

Spljoštenost ostalih distribucija mjerimo u odnosu na normalnu. Ako je 03 44 �� ., distribucija je uža, šiljastija od normalne, a ako je 03 44 �� ., distribucija je šira, spljoštenija od normalne. Ficherov

koeficijent je jednostavniji za upotrebu. Ako je distribucija šiljastija, vrijednost koeficijenta je ve�a. Manja vrijednost koeficijenta ukazuje na spljoštenost distribucije.

Na grafikonu 2.13. su prezentovana tri tipa spljoštenosti distribucije.

Mjere spljoštenosti distribucije

normalnadistribucija

Grafikon 2.13.

jf

jxx

4 4

4 4

4 4

3; 03; 03; 0

aaa

.

.

.

� ��

Excel nam pruža mogu�nost dobijanja sumarnog pregleda ocjena parametara koje smo analizirali.


86

Rezultati našeg primjera ocjena na ispitu iz Statistike dobijeni u Excelu su predstavljeni u tabeli 2.12.

Tabela 2.12. Output Excela za analizu ocjena na ispitu iz Statistike

Descriptive Statistics Mean 8,235294118

Standard Error 0,239051988 Median 8 Mode 10

Standard Deviation 1,393900643 Sample Variance 1,942959002

Kurtosis -1,291933142 Skewness -0,09156866

Range 4 Minimum 6 Maximum 10

Sum 280 Count 34

U tabeli u prilogu je dat prijevod tabele 2.12.


87

Prosje�na ocjena je 8,2, medijana je 8, a ocjena koja je bila naj�eš�a je 10. Standardna devijacija je 1,39. To zna�i da su u prosjeku ocjene odstupale oko aritmeti�ke sredine za 1,39.

2.7. MJERE KONCENTRACIJE

Mjere koncentracije analiziraju na�in raspodjele agregatnih veli�ina ili globalnih vrijednosti na modalitete statisti�kih varijabli. Mjere koncentracije se dijele na apsolutne i relativne. Najpoznatije apsolutne mjere koncentracije su koncentracijski omjer i Herfindahlov indeks. Relativne mjere koncentracije se nazivaju i mjere nejednakosti u raspodjeli agregatnih veli�ina. Me�u najpoznatije mjere koncentracije ubrajaju se Lorenzova kriva ili kriva koncentracije i Ginijev koeficijent. Mi �emo prezentovati i analizirati relativne mjere koncentracije.

2.7.1. Lorenzova kriva

Lorenzova kriva se konstruiše u pravougaonom koordinatnom sistemu na osnovu relativnih kumulativnih frekvencija i relativne kumulativne globalne vrijednosti. Globalna vrijednost predstavlja proizvod f

j xcj u kojem je f

j

frekvencija intervala �iji je centar xcj. Na apscisu se nanose kumulativne

relativne frekvencije jF a na ordinatu relativne kumulativne globalne

vrijednosti jQ . Kategorije koje koristimo u analizi mjera koncentracije formaliziramo na sljede�i na�in:

1;;;;11

1

��

��

�

N

jj

N

jjN

jjj

jjj

jj

xxjj

xxjj qp

fx

fxq

Nf

pqQpFjj

(2.96) Dvije kumulativne frekvencije Fj i Qj variraju u intervalu [0;1]. Da bismo nacrtali Lorezovu krivu prvo konstruišemo kvadrat �ije su strane jednake jedinici kao na grafikonu 2.14. Ovaj kvadrat je poznat pod imenom Ginijev kvadrat. Dijagonala kvadrata odgovara liniji jednake raspodjele. Lorenzova kriva se nalazi u trouglu �ija tjemena imaju koordinate (0,0), (1,1) i (0,1). Potpuna nejednakost u raspodjeli je odre�ena katetama trougla (0,1) i (1,1). Kada se kriva više udaljava od dijagonale koncentracija je ve�a i raspodjela je neravnomjernija i obrnuto.


88

Na grafikonu 2.15. je predstavljena Lorenzova kriva u slu�aju kada kumulativne frekvencije Fj i Qj izrazimo u procentima.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

(u %)Q

(u %)F


89

Na sljede�em primjeru �emo ilustrovati konstrukciju Lorenzove krive.

Primjer 2.5.

Tabela 2.13. Dio agregiranih prihoda u % koje je primila svaka �etvrtina od ukupnog broja doma�instava u državi X.

Godina Broj doma�instava 1/4 2/4 3/4 4/4 2000 650 000 4,5 15,5 25,5 54,5 100 2005 690 000 3,5 12,5 19,5 64,5 100

U 2000, 25% doma�instava �iji su prihodi bili najniži su primili 4,5%agregiranih prihoda, što zna�i 4,5 % od ukupne mase prihoda svih 650000 doma�instava. 50% doma�instava sa najnižim primanjima su dobijali 20% od ukupne mase primanja svih doma�instava, a 25% doma�instava �iji su prihodi bili najviši su dobijali 54,5% agregiranih prihoda.

U ovom slu�aju koncentracija prihoda je vrlo izražena zato što jedan mali procenat doma�instava (25%) prima veliki procenat mase ukupnih prihoda svih doma�instava. Pokazatelji koncentracije mjere u ovom slu�aju nejednakost u raspodjeli mase ukupnih prihoda doma�instava.

Nejednakost u raspodjeli ukupne mase prihoda doma�instava se pove�ala u 2005.g. 25% najbogatijih doma�instava je raspolagalo sa 64,5% mase ukupnih prihoda, a preostalih 75% doma�instava raspolažu sa 35,5% mase ukupnih prihoda. U ovom slu�aju koncentracija je jaka zato što jedan mali procenat doma�instava prima veliki procenat mase ukupnih prihoda svih doma�instava. Da bismo konstruisali Lorenzovu krivu za gore navedene podatke potrebno je kompletirati radnu tabelu za 2000. i za 2005. godinu:

Tabela 2.14. Radna tabela za 2000. godinu

Frekvencija pj u %

Agregatna primanja qj u %

Kumulativna frekvencija Fj u %

Kumulativni agregat Qj u %

25 4,5 25 4,5 25 15,5 50 20 25 25,5 75 45,5 25 54,5 100 100


90

Tabela 2.15. Radna tabela za 2005. godinu

Frekvencija pj u %

Agregatna primanja qj u %

Kumulativna frekvencija Fj u %

Kumulativni agregat Qj u %

25 3,5 25 3,5 25 12,5 50 16 25 19,5 75 35,5 25 64,5 100 100

Na osnovu podataka o kumulativnim frekvencijama i kumulativnom agregatu iz radnih tabela konstruisali smo Lorenzovu krivu za 2000.g. i za 2005.g.

100

100

0

(u %)Q

(u %)F

Na osnovu položaja Lorenzovih krivih u odnosu na liniju jednake raspodjele možemo konstatovati da je došlo do porasta nejednakosti u raspodjeli mase ukupnih prihoda izme�u doma�instava u 2005.g. u odnosu na 2000.g.


91

2.7.2. Ginijev koeficijent

Ginijev koeficijent je relativna mjera koncentracije i definisan je kao odnos površine izme�u Lorenzove krive i pravca jednake raspodjele i površine trougla koji se nalazi ispod dijagonale koja predstavlja pravac jednake raspodjele. Površina izme�u Lorenzove krive i pravca jednake raspodjele se naziva i površina koncentracije. Ginijev koeficijent G se izra�unava korištenjem sljede�e relacije:

Površina koncentracije 2

Površina trougla 0,5SG S� � � (2.97)

Površina trougla je jednaka 0,5. Ginijev koeficijent je jednak dva puta površina koncentracije i kre�e se u intervalu [0;1]. Kada je ova površina ve�a, nejednakost u raspodjeli je zna�ajnija. Dva grani�na slu�aja su vrijednosti koeficijenta jednake nuli i jedinici.

Kada je Ginijev koeficijent jednak nuli, koncentracija je jednaka nuli i postoji perfektna jednakost u raspodjeli mase primanja. Ako je Ginijev koeficijent jednak jedinici koncentracija je maksimalna i postoji maksimalna nejednakost u raspodjeli ukupne mase primanja. Npr. jedna osoba prima ukupnu masu, dok ostali ne primaju ništa. Dakle, ve�a vrijednost Ginijevog koeficijenta odgovara ve�oj koncentraciji i ve�oj nejednakosti u raspodjeli.

Ginijev koeficijent se može izra�unati primjenom metode trapeza koja je prakti�nija i grafi�ki se jednostavnije ilustruje i metodom trouglova.


92

2.7.2.1. Odre�ivanje Ginijevog koeficijenta metodom trapeza

100

100

0

(u %)Q

(u %)F

1jQ

1jF

( )2

a c h� �

jQ

jFh

ca

Formula za ra�unanje Ginijevog koeficijenta metodom trapeza:

1 ( )22 2

a c hG � � !� � $ %" #�

� � � �1 1122 2

j j j jQ Q F FG

!� � $ %� � $ %" #

�

� �� jjj QQpG 11 (2.98)

Ako koristimo relativne frekvencije izražene u procentima, formula za izra�unavanje Ginijevog koeficijenta je jednaka sljede�em izrazu:


93

14

11 ( )10 j j jG p Q Q� �� (2.99)

Na osnovu analiziranog primjera izra�unat �emo Ginijev koeficijent za 2000. godinu korištenjem metode trapeza.

(

1 0,25 (0 0,045) 0,25 (0,045 0,20)0,25 (0,20 0,455) 0,25 (0,455 1)

G � � � � � � ��

G 2000 =0,41

Ginijev koeficijent za 2000. godinu je jednak 0,41.

Na isti na�in ra�unamo Ginijev koeficijent za 2005. godinu:

(

1 0,25 (0 0,035) 0, 25 (0,035 0,16)0, 25 (0,16 0,355) 0, 25 (0,355 1)

G � � � � � � ��

G 2005 =0,48

Ginijev koeficijent za 2005. godinu je jednak 0,48.

Ginijev koeficijent u 2005.g. je ve�i od Ginijevog koeficijenta u 2000.g. Izra�unate vrijednosti Ginijevog koeficijenta potvr�uju da je nejednakost u raspodjeli, odnosno koncentracija mase agregatnih prihoda bila ve�a u 2005. godini. Do istog zaklju�ka smo došli analiziraju�i Lorenzovu krivu.

2.7.2.2. Odre�ivanje Ginijevog koeficijenta metodom trouglova

Za statisti�ku kvantitativnu neprekidnu varijablu �iji su podaci grupisani u J intervala površina koncentracije može biti definisana kao skup J trouglova. Na tom osnovu je definisana metoda trouglova za izra�unavanje Ginijevog koeficijenta prema sljede�oj formuli:

� ��

��

1

111

J

jjjjj QFQFG (2.100)

U konkretnim primjerima je dovoljno kompletirati radnu tabelu ra�unaju�i za svaki interval vrijednosti � �jjjj QFQF 11 �� . Zbir svih tako izra�unatih vrijednosti predstavlja Ginijev koeficijent koncentracije.


94

U tabeli 2.16. su dati podaci o izra�unatim indeksima nejednakosti u raspodjeli potrošnje stanovništva Bosne i Hercegovine i entiteta.

Tabela 2.16. Indeksi nejednakosti za BiH i entitete u 2001.g.

Indeks nejednakosti BiH RS FBiH Decilni omjeri potrošnje po stanovniku (omjer potrošnje od bogatih do siromašnih) 90/10 postotni omjer Od srednjih ka siromašnim (50/10) Bogati ka srednjim (90/50)

3,29 1,82 1,81

3,49 2,00 1,74

3,13 1,74 1,80

Kvantilni udjeli u ukupnoj nacionalnoj i entitetskoj potrošnji Najsiromašnijih 20% stanovništva Donja sredina 20% Sredina 20% Gornja sredina 20% Najbogatijih 20% stanovništva

9,5 14,2 17,9 22,7 35,8

9,2 14,3 18,3 23,1 35,1

9,9 14,2 17,7 22,5 35,8

Ostali indeksi nejednakosti Gini indeks Devijacija srednjeg loga (Theil) Indeks entropije Gini indeks: koriste�i OECD skalu

0,26 0,11 0,12 0,24

0,26 0,11 0,11 0,24

0,26 0,11 0,12 0,23

Izvor: Bosnia and Herzegovina: Poverty Assessment, Volume II: Data on Poverty, Report No.25343-BiH, Document of the World Bank, 2003. g., str. 35.

U prvom dijelu tabele su prezentirani decilni omjeri kao relativni pokazatelji potrošnje po stanovniku. Relativni interdecilni omjer D9/D1 izmedu 10% najbogatije i 10% najsiromašnije proporcije stanovništva prema potrošnji pokazuje da je potrošnja osobe koja se nalazi na po�etku desetog dijela bila za 3,29 puta ve�a od potrošnje osobe koja se nalazi u gornjem dijelu prvih 10% stanovništva. Ili, globalno, potrošnja 10% najbogatijih je bila za 3,29 puta ve�a od potrošnje 10% najsiromašnijih. Predstavljeni su i interdecilni omjeri: D5/D1 ozna�en kao omjer od srednje bogatih ka siromašnim, kao i odnos D9/D5 kao omjer bogatih prema srednje bogatim. Relativni odnosi D9/D1 i D5/D1 ukazuju na ve�u nejednakost u entitetu RS u odnosu na FBiH, dok je u slu�aju interdecilnog omjera D9/D5 nejednakost više izražena u FBiH.


95

U drugom dijelu tabele su prezentovani kvantilni udjeli u ukupnoj nacionalnoj i entitetskoj potrošnji proporcija od po 20% stanovništva rangiranih od najsiromašnijih do najbogatijih. U BiH udio 20% najsiromašnijih u ukupnoj potrošnji je 9,5% a 20% najbogatijih �ak 35,8% što ukazuje na zna�ajnu nejednakost u raspodjeli ukupne potrošnje. Proporcije po entitetima su približno istog reda vrijednosti.

Vrijednost Ginijevog indeksa je 0,26 što ukazuje na zna�ajan nivo koncentracije potrošnje, odnosno na nejednakost u raspodjeli ukupne potrošnje u BiH i entitetima. Ginijev indeks prilago�en OECD skali je još niži i iznosi 0,24.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

%

%

Lorenzova kriva za BiH

potpuna jednakost

Lorenzova kriva potrošnjeper capita u BiH za 2001. godinuGrafikon 2.18.

2.7.3. Medijala

Medijala je vrijednost varijable pridružena relativnoj kumulativnoj rastu�oj globalnoj vrijednosti od 50%.

Postupak za odre�ivanje medijale je sljede�i: � izra�unati globalne vrijednosti jj xf �


96

� izra�unati relativne globalne vrijednosti jjjjj xfxfq �� /

� izra�unati relativne kumulativne rastu�e frekvencije globalne vrijednosti Qj

� odrediti medijalnu klasu � izra�unati vrijednost medijale korištenjem sljede�eg izraza

� � (1 11

1

0,50 ( )( ) ( )

i i ii

i i

x x Q xMle x

Q x Q x

� � �

(2.101)

Odstupanje izme�u medijale i medijane je pokazatelj koncentracije:

eM l eM M/ � (2.102)

Ve�a vrijednost ovog pokazatelja predstavlja ve�u koncentraciju i ve�u nejednakost u raspodjeli.

2.8. TEORIJSKA PITANJA

1. Definišite pojam statistike. 2. Navedite etape statisti�kog istraživanja. 3. Navedite sinonime za statisti�ki skup i statisti�ku varijablu. 4. Definišite statisti�ku varijablu. 5. Definišite i analizirajte �etiri osnovna tipa mjernih skala i njihove

osobine. Definišite nominalnu mjernu skalu i njene karakteristike. 6. Definišite statisti�ku kvalitativnu varijablu i analizirajte njene tipove i

karakteristike. 7. Analizirajte vrste kvantitativnih statisti�kih varijabli i njihove osobine. 8. Uporedite i komentirajte negrupisanu statisti�ku seriju, ure�enu

statisti�ku seriju i statisti�ku distribuciju frekvencija. 9. Koje vrste frekvencija poznajete? Definišite ih i napišite formule za

njihovo izra�unavanje. 10. Definišite rastu�u kumulativnu frekvenciju. 11. Nabrojite parametre centralne tendencije. 12. Definišite medijanu i analizirajte njene osobine. 13. Definišite mod. 14. Definišite aritmeti�ku sredinu i analizirajte njene osobine. 15. Koja je proporcija elemenata date serije koji se nalaze izme�u Q1 i

medijane?


97

16. Koja je proporcija elemenata date serije koji se nalaze izme�u Q1 i Q3? 17. Koja je proporcija elemenata date serije koji se nalaze izme�u D1 i D9? 18. Koja je proporcija elemenata date serije koji se nalaze iznad C99? 19. Definišite geometrijsku sredinu. 20. Definišite harmonijsku sredinu. 21. Nabrojite parametre disperzije. 22. Definišite interkvartilno apsolutno odstupanje. 23. Navedite karakteristike prosje�nog apsolutnog odstupanja. 24. Definišite i analizirajte detaljno osobine i ekonomsko zna�enje

standardne devijacije i varijanse. 25. Objasnite �etiri etape u konstrukciji varijanse. 26. Napišite formule za varijansu i standardnu devijaciju i objasnite

njihove prednosti i nedostatke u odnosu na ostale parametre disperzije. 27. U kojim jedinicama mjere je izražena standardna devijacija i da li je

možemo koristiti za pore�enje serija izraženih u razli�itim jedinicama mjere?

28. Definišite koeficijent varijacije i njegove karakteristike. 29. Navedite teoremu koja omogu�uje istovremeno tuma�enje aritmeti�ke

sredine i standardne devijacije. 30. Koje informacije pruža Box-plot? 31. Koje tipove asimetrije poznajete i kako ih možete analizirati? 32. Analizirajte mjere zaobljenosti. 33. Definišite mjere koncentracije. 34. Objasnite konstrukciju i zna�enje Lorenzove krive. 35. Definišite Ginijev koeficijent. 36. Ako su vrijednosti Ginijevog koeficijenta 0,2 i 0,8 objasnite njihovo

zna�enje


98

2.9. RIJEŠENI ZADACI I ZADACI SA ELEMENTIMA RJEŠENJA

Zadatak 1.

Koje su vrste varijabli pomo�u kojih možemo mjeriti: · Godine jedne osobe: kvantitativna diskretna · Cijenu hljeba: kvantitativna (diskretna ili kontinuirana) ili kvalitativna

ordinalna · Temperaturu u amfiteatru: kvantitativna (intervalna skala) · Ljubaznost jedne osobe: kvalitativna ordinalna · Boju o�iju vaše djevojke: kvalitativna nominalna · Ja�inu tona: kvantitativna · Inteligenciju jedne osobe: kvalitativna ordinalna ili kvantitativna ako je

izražena preko koeficijenta inteligencije · Stru�nu spremu zaposlenih na zaposlenih na fakultetu: kvalitativna

ordinalna · Nivo razvijenosti jedne zemlje: kvalitativna ordinalna · Težinu studenata: kvantitativna kontinuirana · Visinu studentica: kvantitativna kontinuirana · Razumijevanje ovog pitanja: kvalitativna ordinalna

Zadatak 2.

Ispit iz predmeta Ekonometrija je bio sastavljen od 6 pitanja. Poslije ispravke 100 radova, nastavnik je evidentirao broj ta�nih odgovora svakog studenta u sljede�oj tabeli:

3 6 5 2 3 3 3 4 5 4 2 3 2 2 2 4 5 5 6 2 5 1 1 2 5 4 6 0 4 1 4 6 2 4 5 1 3 3 3 1 2 3 4 1 1 4 2 3 1 5 2 3 1 3 3 5 2 2 2 1 1 3 2 5 2 4 6 3 1 2 4 5 2 4 6 1 2 3 1 1 4 3 1 4 6 1 2 3 1 6 1 4 5 2 2 6 1 3 3 2

1. Definišite populaciju, elemente populacije i posmatranu varijablu. Koji je tip posmatrane varijable?

2. Koja je veli�ina populacije? Koji su modaliteti posmatrane varijable? 3. Kompletirajte statisti�ku distribuciju. 4. Predstavite grafi�ki ovu distribuciju. 5. Komentarišite uspjeh studenata na ovom ispitu. Koji je prosje�an broj

ta�nih odgovora? Odredite mod i medijanu.


99

Elementi rješenja:

1. i 2. Populacija: radovi studenata, element populacije: rad studenta, varijabla: kvantitativna diskretna ta�an broj odgovora ima 7 modaliteta, veli�ina populacije 100 radova studenata.

3. Modaliteti

xj Apsolutna frekvencija

fj


pj

Relativna rastu�a kumulativna frekvencija

Fj 0 1 0,01 0,01 1 20 0,20 0,21 2 23 0,23 0,44 3 20 0,20 0,64 4 15 0,15 0,79 5 12 0,12 0,91 6 9 0,09 1,00 - 100 1,00 -

4.

0

5

10

15

20

25

Broj tacnih odgovora

Bro

j stu

dena

ta

0 1 2 3 4 5 6

Ispitni rezultatiGrafikon 2.19.

5. Prosje�an broj ta�nih odgovora je 3. Mod je jednak 2. Medijana je jednaka 3.


100

Zadatak 3.

Me�u osobama koje su se vjen�ale u junu 2002 godine, 10 osoba je jedinac/jedinica, 16 osoba ima jednog brata ili sestru, 7 osoba ima 2 brata ili sestre, 3 osobe imaju 3 brata ili sestre, 3 osobe 4 brata ili sestre, nijedna osoba nema 5 bra�e ili sestara i jedna osoba ima 6 bra�e ili sestara. 1. Odredite posmatranu populaciju i njenu veli�inu. 2. Koja je posmatrana varijabla, njen tip i modaliteti ? 3. Kompletirajte statisti�ku distribuciju i grafi�ki je predstavite. 4. Izra�unajte mod, medijan i aritmeti�ku sredinu.

Elementi rješenja:

3.

Varijabla Apsolutna frekvencija

Kumulativna apsolutna

frekvencija


Relativna rastu�a

kumulativna frekvencija

Broj bra�e i sestara (xj)

fj Sj pj Fj

0 10 10 0,25 0,25 1 16 26 0,4 0,65 2 7 33 0,175 0,825 3 3 36 0,075 0,9 4 3 39 0,075 0,975 5 0 39 0 0,975 6 1 40 0,025 1

Ukupno 40 1


101

10

16

7

3 3

01

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6Broj brace i sestara

Aps

olut

na fr

ekve

ncija

Dijagram sa stupcima za varijablu broj brace i sestaraGrafikon 2.20.

4. Parametri centralne tendencije � Mod: 1 brat ili sestra � Medijana: 1 brat ili sestra � Aritmeti�ka sredina: 1,425

Zadatak 4.

Za svaku od sljede�ih distribucija kompletirajte intervale i izra�unajte centre svakog intervala.

Pre�nik u mm: Godine starosti: Težina u kg:

140-145 0- 5 godina manje od 70 145-150 6-10 godina 70 i manje od 75

150-155 11-15 godina 75 i manje od 80 155-160 16-20 godina 80 i manje od 85

160-165 21-25 godina 85 i manje od 90 165-170 26-30 godina 90 i manje od 100 više od 100

Komentirajte kompletirane distribucije.


102

Elementi rješenja:

Pre�nik u mm: xj

Centar xc

Godine starosti: xj

Centarxc

Težina u kg: xj

Centar xc

140-145 142,5 0-5,5 2,75 0-70 35 145-150 147,5 5,5-10,5 8 70-75 72,5 150-155 152,5 10,5-15,5 13 75-80 77,5 155-160 157,5 15,5-20,5 18 80-85 82,5 160-165 162,5 20,5-25,5 23 85-90 87,5 165-170( 167,5 25,5-30,5( 28 90-100 95

100;+0( -

U tre�oj distribuciji zadnji interval nema centra i zbog toga trebate biti vrlo oprezni u tuma�enju rezultata.

Zadatak 5.

Kompletirajte sljede�u tabelu:

Klase xj

Centrixc

pj Rastu�a kumulativna relativna frekvencija Fj

Korigovana relativna

frekvencija pj/aj 10;20 0,08 20;30 0,21 30;40 0,55 40;60 0,86 60;80(

Elementi rješenja:

Klase Amplitudaaj

Centrixc

pj Fj Korigovana relativna

frekvencija pj/aj 10;20 10 15 0,08 0,08 0,008 20;30 10 25 0,21 0,29 0,021 30;40 10 35 0,26 0,55 0,026 40;60 20 50 0,31 0,86 0,015 60;80( 20 70 0,14 1,00 0,007


103

Zadatak 6.

Na osnovu statisti�kog istraživanja jedne populacije izvršeno je grupisanje elemenata populacije u intervale �iji su centri sljede�i: 52, 60, 68, 76, 84, 92. 1. Koja je amplituda posmatranih intervala? 2. Izra�unajte gornju i donju granicu svakog intervala i kompletirajte tako

grupisanu distribuciju.

Elementi rješenja:

1. Amplituda svake klase je 8. 2. 48;56, ..........., 88;96

Zadatak 7.

50 studenata je odgovaralo na test koji se sastojao od 20 pitanja. Sljede�a serija je kompletirana na osnovu broja ta�nih odgovora:

10 8 3 12 13 9 12 9 12 11 11 11 8 5 13 14 14 6 12 16

7 11 10 10 2 15 12 10 1 14 11 7 8 10 13 9 13 9 7 13 11 19 9 4 10 8 9 6 7 14

1. Predstavite rezultate u obliku distribucije frekvencija grupisane u intervale tako da prvi i posljednji interval imaju amplitudu 5 a ostale klase amplitudu 2.

2. Izra�unajte relativne frekvencije. 3. Izra�unajte kumulativne relativne frekvencije. 4. Koja je proporcija studenata �iji je broj ta�nih odgovora bio manji od 9? 5. Koja je proporcija studenata �iji je broj ta�nih odgovora bio jednak ili

ve�i od 13? 6. Koja je proporcija studenata �iji je broj ta�nih odgovora bio izme�u 5 i

20? 7. U kojem intervalu je gusto�a najmanja, a u kojoj najve�a? 8. Konstruišite odgovaraju�u grafi�ku prezentaciju analizirane distribucije.


104

Elementi rješenja:

U tabeli odgovori 1.,2.,3.

Intervali xj

fj pj Fj Korigovana frekvencija (gusto�a) fj / aj

0;5 4 0,08 0,08 0,8 5;7 3 0,06 0,14 1,5 7;9 8 0,16 0,30 4,0 9;11 12 0,24 0,54 6,0 11;13 11 0,22 0,76 5,5 13;15 9 0,18 0,94 4,5 15;20( 3 0,06 1,00 0,6 Ukupno 50 1,00 - -

4. Proporcija studenata �iji je broj ta�nih odgovora bio manji od 9 je 30%. 5. Proporcija studenata �iji je broj ta�nih odgovora bio jednak ili ve�i od

13 je 24%. 6. Proporcija studenata �iji je broj ta�nih odgovora bio izme�u 5 i 20 je

92%. 7. Najmanja gusto�a 0,6 je u intervalu 15;20, a najve�a u intervalu 9;11

i iznosi 6,0. 8. Grafi�ka prezentacija analizirane distribucije je histogram koji je

potrebno konstruisati na osnovu podataka kolone korigovana frekvencija.

Zadatak 8.

U sljede�oj statisti�koj seriji je predstavljen broj sati koje je 13 studenata posvetilo pripremi testa iz Statistike:

5 6 2 7 11 9 3 4 9 8 7 3 7

1. Odredite aritmeti�ku sredinu. 2. Odredite medijanu i njenu kumulativnu frekvenciju. Komentarišite

dobijeni rezultat. 3. Odredite mod.


105

Elementi rješenja: 1. Aritmeti�ka sredina jednaka je 6,23.

2. Ure�ena serija po rastu�em redu podataka: 2 3 3 4 5 6 7 7 7 8 9 9 11 Broj podataka je neparan i medijana je jednaka:

7)7()2

113()2

1(�� xxxM ne

Kumulativna frekvencija je jednaka: %23,696923,0139 ��

NS

F jj

xj 2 3 4 5 6 7 8 9 11 Ukupno fj 1 2 1 1 1 3 1 2 1 13 Sj 1 3 4 5 6 9 10 12 13

3. Mod je jednak 7.

Zadatak 9.

Dati su sljede�i podaci o distribuciji zaposlenih prema godišnjoj plati u eurima: Prosje�na plata 12 090 eura Medijanska plata 11 175 eura Standardna devijacija 4 600 eura Ginijev koeficijent 0,20 Plate variraju u intervalu od 8 400 do 30 500 eura.

Kako �e se mijenjati navedeni parametri uz sljede�e pretpostavke: 1. Sve plate su pove�ane za 200 eura. 2. Za 150 eura su pove�ane samo plate manje od 9 050 eura. 3. Za 10% su smanjene plate ve�e od 22 870 eura. 4. Sve plate su pove�ane za 10%. 5. Za svaki odgovor dajte neophodna objašnjenja.

Elementi rješenja:

1. Ako su sve plate pove�ane za 200 eura, ukupni platni fond (masa plata) se pove�ava. Prosje�na plata i medijana se pove�aju za 200 eura.


106

Standardna devijacija ostaje nepromijenjena. Ginijev koeficijent se smanjuje. Plate variraju u intervalu (8600; 30700) eura.

2. Ako se za 150 eura pove�aju samo plate manje od 9 050, eura ukupna masa plata i prosje�na plata se pove�avaju. Pošto nijedna pove�ana plata nije ve�a od medijane, medijana ostaje nepromijenjena. Disperzija se smanjuje jer se pove�ane plate približavaju prosje�noj plati. Ginijev indeks se smanjuje. Plate variraju u intervalu (8 550; 30 500) eura.

3. Ako su za 10% smanjene plate ve�e od 22 870, eura masa plata i prosje�na plata se smanjuju. Medijana se ne mijenja jer je 22 870 ve�e od 11 175 eura. Disperzija se smanjuje jer se smanjene plate približavaju prosje�noj plati. Standardna devijacija se smanjuje. Nejednakost u raspodijeli mase plata se smanjuje i Ginijev koeficijent tako�er se smanjuje. Plate variraju u intervalu (8 400; 27 450) eura.

4. Ako se sve plate pove�aju za 10%, prosje�na plata, medijana, i standardna devijacija se pove�avaju za 10%. Ginijev koeficijent se ne mijenja. Raspon plata se pove�ava i plate variraju u intervalu (9 240; 33 550) eura.

Zadatak 10.

Poznata je sljede�a distribucija godišnjih plata u jednom preduze�u:

Godišnje plate xi u KM Broj zaposlenih (fj) Frekvencija (pj) u% 5000;7000 60 15,00 7000;8000 80 20,00 8000;9000 105 26,25 9000;11000 110 27,50 11000;15000 35 8,75 15000;20000( 10 2,50 Ukupno 400 100,00

1. Nacrtajte kumulativnu krivu. 2. Pomo�u kumulativne krive procijenite grafi�ki, a zatim odredite

analiti�ki vrijednosti kvartila. 3. Nacrtajte box- plot i komentarišite karakteristike distribucije. 4. Odredite prosje�nu platu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

Objasnite dobijene rezultate. 5. Kompletirajte sljede�u tabelu:


107

Godišnje plate xi u KM

Broj zapo-slenih

(fj)

Frekve-ncija (pj) u%

Kumu-lativna frekve-ncija (Fj) u %

Centar inter-vala

xcj

Masa plata

(agregat)

fj .xcj

Rela-tivni Agre-

gat

qj u%

Relativni kumula-

tivni agregat

Qj u %

5000;7000 60 15,00 15 6 000 360 000 10,0 10,0 7000;8000 80 20,00 35 7 000 600 000 16,7 26,8 8000;9000 105 26,25 61,25 8 500 892 500 24,9 51,7 9000;11000 110 27,50 88,75 10 000 1 100 000 30,7 82,4 11000;15000 35 8,75 97,5 13 000 455 000 12,7 95,1 15000;20000( 10 2,50 100 17 500 175 000 4,9 100,0 Ukupno 400 100,00 - 3 582 500 100,0

6. Konstruišite Lorenzovu krivu. 7. Izra�unajte Ginijev koeficijent. 8. Koji bi bio oblik Lorenzove krive ako bi svih 400 zaposlenih imali

jednaku platu? 9. Koji bi bio oblik Lorenzove krive ako 399 zaposlenih ne bi primali

platu, a 1 zaposleni (šef) primio 3 582 500 KM? 10. Koji je vaš zaklju�ak o disperziji i koncentraciji analizirane distribucije

plata?

Elementi rješenja:

2. F(Q1)=0,25 interval kojem pripada prvi kvartil je 7000-8000 i primjenom formule na bazi kumulativnih frekvencija dobijamo: Q1=7500; Q2=Me=8571,42�8571; Q3=10 000

4. Prosje�na plata (aritmeti�ka sredina) je jednaka približno 8956 KM; standardna devijacija 2312 KM i koeficijent varijacije 0,26%.

5. Tabela kompletirana na po�etku.

7. Ginijev koeficijent

1

14

1 ( )

11 ( )10

j j j

j j j

G f Q Q

G f Q Q

� �

� �

��


108

4

4

15(0 10,05) 20(10,05 26,8) 26,25(26,8 51,71)1127,5(51,71 82, 41) 8,75(82,41 95,11) 2,5(95,11 100)10

11 8678 0,13210

G

G

� � � � � � !� $ %� � � � � �" #

� � �

8. Lorenzova kriva bi se podudarala sa dijagonalom (linijom jednake raspodjele) i koncentracija bi bila jednaka nuli, dakle raspodjela bi bila savršeno ravnomjerna.

9. Lorenzova kriva bi se podudarala sa katetama trougla ispod dijagonale, koncentracija bi bila jednaka jedinici i postojala bi savršena nejednakost u raspodjeli.

10. Distribucija mase plata (globalne vrijednosti) je relativno ravnomjerno raspodijeljena. Disperzija plata nije previše izražena. Plate su uglavnom koncentrisane u sredini serije.

Zadatak 11.

U sljede�oj tabeli su predstavljeni podaci koji se odnose na koncentraciju prihoda doma�instava u regionu X u 2005. godini.

Broj grupe Fj u % Prihod u KM Qj u % Grupa 1 25 45 046 0,82 Grupa 2 50 267 274 6,04 Grupa 3 75 628 832 25,64

1. Koji je statisti�ki termin za podatke predstavljene u tre�oj koloni? 2. Konstruišite kumulativnu krivu uz pretpostavku da je maksimalan

prihod doma�instva 1 milion KM. Nacrtajte box-plot i komentirajte dobijene rezultate.

3. Nacrtajte Lorenzovu krivu. Komentarišite. 4. Izra�unajte Ginijev koeficijent i objasnite ga. Uporedite vaš odgovor sa

komentarom datim pod ta�kom 3.


109

Elementi rješenja:

4.

(14

4

11 ( ) 110

25(0 0,82) 25(0,82 6,04) 25(6,04 25,64) 25(25,64 100)11 4276 1 0, 4276 0,5724

10

j j jG f Q Q� � �

� � � � � � �

� � � �

�

Postoji jaka koncentracija mase prihoda doma�instava u regionu X u 2005.g.

Zadatak 12.

Data je sljede�a distribucija plata:

Iznos u nov�anim jedinicama xj Frekvencija fj

5 000-10 000 410 10 000-20 000 637 20 000-40 000 785 40 000-90 000 724 Ukupno 2556

1. Kompletirati sljede�i tabelu:

xj fj pj u % Fj u %

xc xc � fj qj u % Qj u %

5 000-10 000 410 16,04 16,04 7 500 3 075 000 3,69 3,69 10 000-20 000 637 24,92 40,96 15 000 9 555 000 11,48 15,17 20 000-40 000 785 30,71 71,67 30 000 23 550 000 28,29 43,46 40 000-90 000 724 28,33 100 65 000 47 060 000 56,54 100,00 Ukupno 2556 100 83 240 000 100,00

2. Odredite medijanu polaze�i od kumulativnih frekvencija 3. Izra�unajte Ginijev koeficijent i komentarišite dobijeni rezultat. 4. Konstruišite Lorenzovu krivu i dajte vaš komentar. 5. Izra�unajte medijalu. 6. Izra�unajte odstupanje medijala-medijana.


110

Elementi rješenja:

1. Tabela kompletirana. 2. Me=25 885,35 3. G=0,3606 4. Lorenzova kriva pokazuje veliku nejednakost u raspodjeli ukupne mase

plata. 5. Medijala: 45 783,52 6. Odstupanje medijala-medijana: 45 783,52-25 885,35=19 898,17

111

POGLAVLJE 3.

REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA

U dosadašnjim poglavljima smo analizirali i istraživali populaciju u odnosu na samo jednu varijablu. Me�utim, vrlo �esto se dešava da se statisti�ka istraživanja jedne populacije baziraju simultano na dvije ili više kvantitativnih varijabli. Pitanje koje se postavlja u ovom slu�aju je traženje i odre�ivanje eventualne veze izme�u ovih varijabli. U prvom dijelu ovog poglavlja �emo analizirati modelizaciju veza izme�u dvije ili više varijabli, a zatim metode kvantifikacije veza i njihovu primjenu. Drugi dio poglavlja obra�uje mjere reprezentativnosti i kvaliteta ocijenjenih modela.

3.1. MODELIZACIJA VEZA IZME�U VARIJABLI

Da bismo pristupili modelizaciji veza izme�u dvije ili više varijabli polazimo od sljede�ih pretpostavki:

1. Modeliziranje možemo vršiti ukoliko postoji zavisnost izme�u varijabli.

2. Mogu se modelizirati jedino kvantitativne varijable, jer je u tom slu�aju mogu�e kompletirati oblak (dijagram) rasipanja, ra�unati mjere centralne tendencije i disperzije.


112

3.1.1. Etape konstrukcije modela

Model je pojednostavljena slika realnosti i služi da bismo na pogodan na�in kvantificirali složene ekonomske fenomene. Etape konstrukcije i ocjene jednog modela su sljede�e:

� Odabrati nezavisnu i zavisnu varijablu � Grafi�ki predstaviti na dijagramu rasipanja posmatrane podatke da

bi se potvrdila ili odbacila pretpostavka o zavisnosti 2 statisti�ke varijable.

� Na osnovu dijagrama procijeniti oblik veze izme�u posmatranih varijabli i konstruisati odgovaraju�i model. Postoje razli�iti oblici veza kao npr. linearna, krivolinijska, eksponencijalna itd.

� Ocijeniti primjenom odgovaraju�ih metoda odabrani model. � Izra�unati rezidualna (neobjašnjena) odstupanja ocijenjenih od

posmatranih podataka i analizirati ih. � Procijeniti kvalitet ocijenjenog modela.

3.1.1.1. Dijagram (oblak) rasipanja

Postoje razli�iti oblici zavisnosti varijabli. Neke od njih smo predstavili na sljede�em grafikonu.

Razliciti oblici veza izmedu dvije varijable – dijagram rasipanjaGrafikon 3.1.

f

YYY

Y Y Y

XXX

XXX

ed

cba

Poglavlje 3. – Regresiona i korelaciona analiza

113

U slu�ajevima a i b veze su linearne. U slu�aju a, sa rastom nezavisne dolazi do rasta zavisne varijable. U slu�aju b, rast nezavisne varijable uzrokuje opadanje zavisne varijable. U slu�aju c ne bismo mogli utvrditi postojanje veze jer pove�anje nezavisne varijable ne mijenja zavisnu varijablu. U slu�ajevima d, e i f postoje krivolinijske veze izme�u nezavisne i zavisne varijable. Smjer njihovih promjena je isti u slu�aju d, a suprotan u slu�aju f.

Dijagram rasipanja pruža polaznu informaciji o obliku zavisnosti izme�u dvije varijable.

3.2. KOVARIJANSA

Kovarijansa mjeri uzajamnu varijabilnost dvije varijable u odnosu na njihove respektivne aritmeti�ke sredine:

� � � �1

1( , )n

i ii

Cov X Y x x y yn �

� � � . (3.1)

Kovarijansa nam omogu�ava da utvrdimo da li postoji simultana varijacija izme�u vrijednosti varijabli X i Y u odnosu na odabranu ta�ku �ije su koordinate aritmeti�ke sredine varijabli X i Y.b

Razvijena formula kovarijanse omogu�ava jednostavnije izražavanje varijanse:

� � � �1( , ) i ii

Cov X Y x x y yn

� � � � �1i i i i

ix y x y xy x y

n� � ��

1 1 1i i i i

i i ix y y x x y x y

n n n� � ��

1i i

ix y y x x y x y

n� � � � ��

1

1( , )n

i ii

Cov X Y x y x yn �

� �� (3.2)

( , )Cov X Y xy x y� �


114

Na osnovu gornje relacije možemo zaklju�iti da je kovarijansa jednaka razlici izme�u aritmeti�ke sredine proizvoda i proizvoda aritmeti�kih sredina varijabli X i Y.

Kovarijansa varijable X sa varijablom X (sa samom sobom) predstavlja generaliziranu formulu varijanse:lnih zavisnosti

� �� 2 2

1 1

1 1( , )n n

i i i Xi i

Cov X X x x x x x xn n

'� �

� � �� (3.3)

Kovarijansa je pozitivna ako oblak rasipanja ima generalno rastu�u tendenciju. Kovarijansa je negativna kada oblak rasipanja ima generalno opadaju�u tendenciju. Kovarijansa je jednaka ili približno jednaka nuli ako oblak rasipanja nije ni rastu�i ni opadaju�i ili ukoliko je pola opadaju�i, a pola rastu�i. Kada X i Y variraju u istom smjeru, kovarijansa je pozitivna. Kada X i Y variraju u suprotnom smjeru, kovarijansa je negativna. Ako nema ni rastu�e ni opadaju�e generalne tendencije, kovarijansa je jednaka nuli.

Na sljede�em primjeru �emo ilustrovati kompletiranje oblaka rasipanja i izra�unavanje kovarijanse.

Primjer 3.1.

Tabela 3.1. Prihod preduze�a izražen u hiljadama KM (Y) i proizvodnja izražena u kilogramima (X)k

xi zyi

50 20 100 25 150 25 200 35 250 30 300 35 350 40

U ovom slu�aju prihod preduze�a Y je zavisna varijabla, a proizvodnja izražena u kilogramima nezavisna varijabla. Mi �emo posmatrati prihod u funkciji ostvarene proizvodnje i konstruisati dijagram rasipanja.


115

Na osnovu dijagrama rasipanja konstatujemo da postoji linearna veza izme�u dvije posmatrane varijable. Da bismo potvrdili ovu konstataciju, izra�unat �emo vrijednost kovarijanse.

Tabela 3.2. Radna tabela za ra�unanje kovarijanse

ix iy )( xxi )( yyi ))(( yyxx ii 2)( xxi

50 20 -150 -10 1500 22500 100 25 -100 -5 500 10000 150 25 -50 -5 250 2500 200 35 0 5 0 0 250 30 50 0 0 2500 300 35 100 5 500 10000

350 40 150 10 1500 22500 1 1400 210 0 0 4250 70000

Aritmeti�ka sredina varijabli X i Y je 200�x ; 30�y . Na osnovu podataka iz tabele izra�unali smo kovarijansu:

Cov( � � � �1

1 1, ) 4250 607,147

n

i ii

X Y x x y yn �

� � � ��


116

Visoka vrijednost kovarijanse potvr�uje ve� konstatovanu �injenicu uzajamne varijabilnosti varijabli X i Y.

• Zbir i razlika statisti�kih varijabli

Koriste�i kovarijansu možemo analizirati varijansu zbira i razlike statisti�kih varijabli i izraziti ih na sljede�i na�in:.

Var(X+Y)=VarX + Var Y+ 2 Cov(X,Y) (3.4)

Var(X-Y)=VarX + Var Y- 2 Cov(X,Y) (3.5)

Ako su X i Y nezavisne, kovarijansa je jednala nuli (Cov(X, Y)=0). U tom slu�aju zbir i razlika statisti�kih varijabli se mogu izraziti sljede�im relacijama:

Var(X+Y)=VarX + Var Y (3.6)

Var(X-Y)=VarX + Var Y (3.7)

3.3. REGRESIONA ANALIZA

Kada se pomo�u statisti�kih metoda istražuje jedna pojava nezavisno od ostalih, radi se o jednodimenzionalnoj statisti�koj analizi. Statisti�kim metodama možemo analizirati i me�usobne odnose više pojava. U tom slu�aju se radi o višedimenzionalnoj analizi. Ovim metodama ne analiziramo uzroke ni posljedice pojava, ve� zavisnost pojava i njihovih promjena. Veze me�u pojavama, kao što smo ve� istakli, mogu biti funkcionalne i stohasti�ke. Statisti�ka analiza odnosa izme�u dvije ili više pojava se vrši metodama deskriptivne i inferencijalne statistike. Stepen statisti�ke povezanosti izme�u pojava se istražuje metodama korelacione analize. Za odre�ivanje analiti�kog odnosa me�u pojavama primjenjuju se regresioni modeli. Veza me�u pojavama je funkcionalna ako su vrijednostima jedne pojave u potpunosti odre�ene vrijednosti druge pojave. U tom slu�aju za svaku vrijednost nezavisne varijable možemo precizno odrediti vrijednosti zavisne varijable. Funkcionalne veze naj�eš�e susre�emo u prirodnim naukama i u manjoj mjeri u društvenim naukama. Kada jednoj vrijednosti nezavisno promjenljive X odgovara više vrijednosti zavisno promjenljive Y kažemo da je njihova veza stohasti�ka. Npr. veza izme�u potrošnje i dohotka doma�instava.

Opšti oblik regresionog modela je sljede�i:


117

eXXXfY K �� ),....,,( 21 (3.8)

gdje je Y zavisna promjenljiva, X su nezavisne promjenljive i parametar e slu�ajno odstupanje. Model (3.8.) se naziva model višestruke regresije ili višedimenzionalni regresioni model.

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu promjenljivu naziva se model jednostavne regresije ili jednodimenzionalni regresioni model. Model jednostavne regresije ima sljede�i oblik:

eXfY �� )( (3.9)

Zadatak regresione analize je istraživanje analiti�kog oblika veze izme�u pojava kojem se najviše približavaju promjene analiziranih pojava. Zadatak korelacione analize je utvr�ivanje stepena i smjera povezanosti pojava.

3.3.1. Kriterij izbora regresione prave i metod najmanjih kvadrata

Pretpostavimo da je veza zavisne varijable Y i nezavisne varijable X linearna. Y je varijabla koju treba objasniti pomo�u varijable X. Polazni model linearne regresije za skup od n vrijednosti (xi, yi) varijabli X i Y se može napisati u sljede�em obliku:

.1,2,...,i , nebxay iii �� (3.10)

Ozna�imo sa

ii bxay ��ˆ (3.11)

funkcionalni dio modela gdje su a i b parametri koje treba ocijeniti. Podaci su dati kao n posmatranih parova (xi, yi), a îy predstavlja ocijenjene vrijednosti Y na osnovu posmatranih vrijednosti xi od X. Na osnovu izraza (3.9.) i (3.10) možemo napisati relaciju

iii eyy �� ˆ (3.12)

iz koje možemo izraziti slu�ajno ili rezidualno odstupanje ei kao razliku izme�u posmatranih i ocijenjenih vrijednosti varijable Y:

iii

iii

bxayyy�

�e

ê (3.13)


118

Slu�ajno odstupanje smo predstavili na sljede�em grafikonu.

î iy a bx� �

î i ie y y�

yiy

îy

ix x

Cilj je primijeniti metod za ocjenu parametara regresionog modela koji �e minimizirati rezidualna odstupanja. Pitanje koje se postavlja je izbor kriterija koji �e obezbijediti minimizaciju slu�ajnih odstupanja. Jedan od kriterija bi mogao biti zbir rezidualnih odstupanja jednak nuli:

ˆ( ) 0i i ii i

e y y� ��

Sve prave koje prolaze kroz ta�ku gravitacije ),( yxG zadovoljavaju ovaj kriterij jer se pozitivna i negativna rezidualna odstupanja anuliraju. Zbog toga ovaj kriterij ne može poslužiti za izbor najbolje regresione prave.

Kriterij koji nam omogu�ava izbor najbolje regresione prave je minimiziranje zbira kvadrata rezidualnih odstupanja:

2minimum ii

e� (3.14)

Na ovom kriteriju je baziran metod najmanjih kvadrata. Minimiziranje zbira kvadrata rezidualnih odstupanja:

2

1

2

11

2 )()ˆ( i

n

iii

n

ii

n

ii bxayyye ��

�� (3.15)


119

je mogu�e uz potrebne uslove koji zahtijevaju da parcijalni izvodi ovog zbira po parametrima a i b budu jednaki nuli:

0)1)((2 1

1

2

��2

2�

��

�i

n

ii

n

ii

bxaya

e (3.16)

0))((2 1

1

2

��2

2�

��

�ii

n

ii

n

ii

xbxayb

e (3.17)

Iz ovih uslova slijedi sistem normalnih jedna�ina

��

��n

ii

n

ii xbnay

11 (3.18)

��

��n

ii

n

ii

n

iii xbxayx

1

2

11 (3.19)

Rješavanjem ovog sistema normalnih jedna�ina dobijamo izraze za ocjenu parametara a i b:

n

xb

n

ya

n

ii

n

ii ��

�� 11 (3.20)

xbya � (3.21)

Zamjenom ovog izraza u drugu normalnu jedna�inu 3.19. dobijamo izraz za izra�unavanje parametra b:

�� 2)( iiii xbxxbyyx

�� 2iiiii xbxxbxyyx

� �� )( 2iiiii xxxbxyyx

� ��

�ii

iii

xxxxyyx

b 2 (3.22)


120

Parametar b možemo izraziti i u sljede�em obliku:

�

�

�

�

�� n

ii

n

iii

xnx

yxnyxb

1

22

1 (3.23)

odnosno

�

�

�

�

�� n

ii

n

iii

xxn

yxyxnb

1

22

1

1

1

(3.24)

Izraz u brojniku predstavlja razvijenu formulu kovarijanse Cov(X,Y), a izraz u nazivniku razvijenu formulu varijanse varijable X. Dakle, izraz za izra�unavanje parametra b možemo napisati u sljede�em obliku:

2

),(

X

YXCovb'

� (3.25)

3.3.2. Pretpostavke o osobinama stohasti�nosti modela

Regresioni model izražen regresionom pravom:

, 1, 2,..., .i i iy a bx e i n� � � � (3.26)

je sastavljen iz dva dijela. Prvi dio modela (a+bxi) predstavlja funkcionalnu vezu pri kojoj je Y linearno zavisna od X ako su drugi faktori konstantni. Drugi, stohasti�ki dio modela (ei), predstavlja slu�ajne varijacije, kojima se uzima u obzir djelovanje promjena drugih varijabli koje nisu eksplicitno uklju�ene u model. Pod uslovom da specifikacija modela odgovara ekonomskoj relaciji u stvarnosti, i da bismo probleme mjerenja ekonomskih relacija preveli u probleme statisti�kog ocjenjivanja parametara rasporeda vjerovatno�e, neophodno je navesti pretpostavke o osobinama stohasti�nosti linearnog regresionog modela:

a. E(ei) = 0, (o�ekivana vrijednost greške je jednaka nuli)

b. 2 2E( )ie '� , (konstantna zajedni�ka varijansa)


121

c. E(ei ej)= 0, za svako i, j; i�j; (nezavisnost)

d. ei: N(0, '2), (normalnost)

e. E(eiXj) = 0, za sve i, j; (nezavisnost od Xj).

3.3.3. Aplikacija analiziranih metoda

Na osnovu radne tabele 3.2. kompletirane na osnovu tabele 3.1. primjera 3.1. izra�unavamo vrijednost parametara a i b i kompletiramo regresionu jedna�inu:

� � � �

� �

� � � �

� �1 1

2 2

1 1

1( , )( ) 1

n n

i i i ii i

n n

i ii i

x x y y x x y ynCov X Yb

Var Xx x x x

n

� �

� �

� � �

� �

� �

4250 0,06170000

b � �

30 0,061 200 17,857a y b x� � � � �

ˆ 17,857 0,061 iy x� � �

Za ocjenu parametara regresione prave možemo koristiti statisti�ke funkcije Excel-a. Rezultate dobijene primjenom ovog programa prezentujemo sljede�im tabelama i grafikonom.

Tabela 3.3. (a., b., c.) Output Excela za regresiono-korelacionu analizu na primjeru 3.1.

a. REGRESSION STATISTICS

Multiple R 0,927426 R Square 0,860119 Adjusted R Square 0,832143 Standard Error 2,897043 Observations 7


122

b. ANOVA

df SS MS F Significance F Regression 1 258,0357 258,0357 30,74468 0,00262 Residual 5 41,96429 8,392857 Total 6 300

COEFFICIENTS STANDARD ERROR T STAT

Intercept 17,85714 2,448448 7,29325 X Variable 1 0,060714 0,01095 5,544789

xy 061,0857,17ˆ �� c.

OBSERVATION PREDICTED Y RESIDUALS 1 20,89286 -0,89286 2 23,92857 1,071429 3 26,96429 -1,96429 4 30 5 5 33,03571 -3,03571 6 36,07143 -1,07143 7 39,10714 0,892857

0

10

20

30

40

50

0 100 200 300 400Proizvodnja u kg

Pri

hod

u 00

0 K

M

Dijagram rasipanja i regresiona prava Grafikon 3.4.

2

ˆ 0,0607 17,8570,8601

y xR

� ��


123

Koriste�i navedeni program dobili smo ocjene vrijednosti parametara, jedna�inu regresione prave, grafi�ki prikaz i statisti�ke parametre koji nam omogu�uju analizu kvaliteta dobijene ocjene. Vrijednost parametra a je predstavljena kao odsje�ak na ordinatnoj osi. Vrijednost parametra b pokazuje za koliko jedinica se pove�a prihod Y ako se proizvodnja X pove�a za jedan kilogram.

Primjenu navedenog programa �emo ilustrovati i na sljede�em primjeru u kojem �emo ocijeniti vezu izme�u društvenog bruto proizvoda i prosje�nog broja stanovnika. Posmatramo društveni bruto proizvod kao zavisnu i broj stanovnika kao nezavisnu ili eksplikativnu promjenljivu.

Primjer 3.2.

Tabela 3.4. Društveni bruto proizvod (DBP) u milionima KM i prosje�an broj stanovnika u 000

Godina DBP u milionima KM Prosje�an broj stanovnika u hiljadama

1996 3049 3645 1997 6367 3756 1998 7244 3654 1999 8604 3752 2000 9611 3781 2001 10480 3798


124

Dijagram rasipanja nam ukazuje na linearnu vezu izme�u ove dvije promjenljive. Primjenom metode najmanjih kvadrata odre�ujemo jedna�inu regresione prave koja se najbolje prilago�ava datim podacima. Ocijenjena regresiona prava zadovoljava uslov minimizacije kvadrata odstupanja ocijenjenih od posmatranih vrijednosti promjenljive Y.

Tabela 3.5. (a., b., c.) Output Excela za regresiono-korelacionu analizu na primjeru 3.2.

a. COEFFICIENTS STANDARD ERROR

Intercept -115045 45307,76 X Variable 1 32,86094 12,14204

xy 86,32115045ˆ ��

b. REGRESSION STATISTICS Multiple R 0,804228 R Square 0,646783 Adjusted R Square 0,558479 Standard Error 1775,397 Observations 6

c. OBSERVATION PREDICTED Y RESIDUALS

1 4733,125 -1684,13 2 8380,69 -2013,69 3 5028,874 2215,126 4 8249,247 354,7535 5 9202,214 408,7861 6 9760,85 719,15


125

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

3600 3650 3700 3750 3800 3850

Prosjecan broj stanovnika u 000

DB

P u

mili

onim

a K

M

Oblak rasipanja i linearna regresijaGrafikon 3.6.

2

ˆ 32,861 1150450,6468

y xR

� �

x

Dobijene su pouzdane ocjene parametara. Na osnovu parametra b ocijenjene regresione jedna�ine konstatujemo da ako se broj stanovnika pove�a za 1 000 društveni bruto proizod �e se pove�ati za 32,86 miliona KM.

Prava regresije metode najmanjih kvadrata prolazi kroz srednju ta�ku dijagrama �ije su koordinate aritmeti�ke sredine analiziranih varijabli X i Y. Zadovoljavanje kriterija minimizacije kvadrata odstupanja podrazumijeva i zadovoljenje prvog kriterija, a to je da zbir rezidualnih odstupanja mora biti jednak nuli.


126

ˆ ˆ0 ( ) 0i i i i ii i i i

e y y y y� 3 � 3 ��

1 1 ˆ î ii i

y y y yn n

3 � 3 �� (3.27)

Zbir rezidualnih odstupanja jednak nuli formalno zna�i da je aritmeti�ka sredina posmatranih originalnih podataka jednaka aritmeti�koj sredini ocijenjenih podataka.

3.4. MJERENJE REPREZENTATIVNOSTI REGRESIONOG MODELA

Da bismo ocijenili reprezentativnost i pouzdanost ocijenjenog modela potrebno je analizirati pokazatelje koji nam to omogu�uju. Kao pokazatelje reprezentativnosti analizirat �emo koeficijent determinacije, koeficijent korelacije, standardnu grešku i koeficijent varijacije regresionog modela.

3.4.1. Koeficijent determinacije

Da bismo konstruisali koeficijent determinacije i objasnili njegovo zna�enje prezentirat �emo grafi�ki i formalizovati dekompoziciju varijanse.

Dekompozicija varijanse promjenljive Y:

yi

x

y

xi

Dekompozicija varijanseGrafikon 3.8.

y

x

( x, y )

y i -

y

ˆ iy

ˆ i iy a bx� �


127

Na osnovu grafikona 3.8. možemo izvršiti sljede�u formalizaciju. Ukupno odstupanje je jednako zbiru objašnjenog i neobjašnjenog odstupanja:

ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i iy y y y y y � � (3.28)

Kako je yy ˆ� slijedi:

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i iy y y y y y � � (3.29)

što omogu�ava da pokažemo da je ukupna varijansa varijable Y jednaka zbiru objašnjene i neobjašnjene (rezidualne) varijanse:

� � � � � �22 21 1 1ˆ ˆ î i i i

i i iy y y y y y

n n n � � � � � (3.30)

Ovaj izraz možemo napisati u sljede�em obliku:

nyy

nyy

nyy iiii

222 )ˆ()ˆ()( ��

��

� (3.31)

u kojem izraz na lijevoj strani predstavlja ukupnu varijansu, prvi �lan zbira na desnoj strani objašnjenu a drugi neobjašnjenu varijansu. Gornji izraz možemo napisati u dekomponovanoj formi uvode�i simbole za ozna�avanje objašnjene i neobjašnjene varijanse:

22 ( )

Ukupna varijansa iy

y yn

' � � � (3.32)

22 /

ˆ( )Objašnjena varijansa : i

y xy y

n' �

� (3.33)

Rezidualna2

2ˆ

ˆ( )(neobjašnjena) varijansa: i i

yy y

n' �

� (3.34)

2 2 2ˆ / Ukupna varijansa : y y x y' ' '� � (3.35)

Koeficijent determinacije definišemo kao odnos objašnjene i ukupne varijanse:

2

22

2 2

ˆ( )ˆ( )Objašnjena varijansa

Ukupna varijansa ( ) ( )

i

i

i i

y yy ynr

y y y yn

� �

� � ��

(3.36)


128

ili pomo�u sljede�eg izraza: 2

22

2 2

ˆ( )ˆ( )Neobjašnjena varijansa1 1 1

Ukupna varijansa ( ) ( )

i i

i i

i i

y yy ynr

y y y yn

� �

� � � � �

(3.37)

Vrijednost ovog koeficijenta se kre�e izme�u nule i jedinice. On pokazuje koja je proporcija ukupne varijacije varijable Y objašnjena ocijenjenom regresionom jedna�inom i uobi�ajeno je da se izražava u procentima. Ve�a vrijednost ovog koeficijenta ukazuje da je ve�a proporcija objašnjene u ukupnoj varijaciji i da je odabrani model pouzdaniji i reprezentativniji.

Vrijednost koeficijenta determinacije u primjeru 3.1. je bila r2=0,86 što zna�i da linearni model u kojem je nezavisna (eksplikativna) varijabla proizvodnja u kilogramima objašnjava 86 % varijacije ukupnih prihoda posmatranog preduze�a.

3.4.2. Koeficijent korelacije

Koeficijent linearne korelacije mjeri ja�inu i smjer povezanosti dvije pojave za koje poznajemo empirijske vrijednosti kvantitatinih varijabli i za koje pretpostavljamo da imaju linearnu vezu. Ovaj koeficijent ne zavisi od jedinica mjere. To je, dakle, neimenovan broj.

Koeficijent linearne korelacije je definisan kao odnos kovarijanse varijabli X i Y i proizvoda standardnih devijacija varijable X i varijable Y.

2 2

( )( )( , )( ) ( )

i i

X Y i i

x x y yCov X Yrx x y y' '

� �

� � �

� � (3.38)

Vrijednost koeficijenta linearne korelacije se nalazi izme�u -1 i 1. Ve�a vrijednost koeficijenta ukazuje na postojanje ve�e linearne povezanosti izme�u promjenjljivih X i Y. Potrebno je naglasiti da manja vrijednost ovog koeficijenta ne mora uvijek zna�iti da je slaba korelacija jer se može raditi o pogrešnoj primjeni koeficijenta linearne korelacije za mjerenje ja�ine veze pojava koje nisu u linearnom odnosu.

� Za vrijednosti: -1 < r < 0 korelacija je negativna. � Za vrijednosti: 0 < r < 1 korelacija je pozitivna.


129

� Za vrijednosti –1 i 1, radi se o perfektnoj negativnoj, odnosno pozitivnoj korelaciji.

Koeficijent linearne korelacije možemo izraziti kao kvadratni korijen koeficijenta determinacije:

2

22

)()ˆ(

yyyy

rri

i

��

�� (3.39)

ili

2

2

)()ˆ(

1yyyy

ri

ii

��

� (3.40)

Koeficijent determinacije možemo izraziti koriste�i definiciju koeficijenta linearne korelacije. U tom slu�aju koeficijent determinacije izražavamo u sljede�em obliku:

YX

YXCovr 22

22 ),(

'' �� (3.41)

3.4.3. Standardna greška regresionog modela

Pored koeficijenta linearne korelacije i koeficijenta determinacije, kvalitet ocjene se može mjeriti i pomo�u standardne greške ocjene regresionog modela i koeficijenta varijacije ocijenjenog regresionog modela. Standardna greška ocijenjenog modela može se nazvati i rezidualnom standardnom greškom jer se definiše na osnovu rezidualnog zbira kvadrata odstupanja i jednaka je kvadratnom korijenu rezidualne (neobjašnjene) varijanse:

2

1ˆ

ˆ( )n

i ii

y

y y

n' �

�

� (3.42)

Standardna greška regresije mjeri kvalitet i reprezentativnost ocijenjenog regresionog modela i pokazuje prosje�no odstupanje empirijskih vrijednosti zavisne varijable Y od vrijednosti ocijenjenih regresionim modelom. Standardna greška regresije je apsolutna mjera disperzije oko regresije jer se izražava u istim jedinicama mjere kao zavisna varijabla.


130

3.4.4. Koeficijent varijacije regresionog modela

Koefecijent varijacije ocijenjenog regresionog modela je relativni pokazatelj kvaliteta ocjene i jednak je odnosu standardne greške ocijenjenog regresionog modela i aritmeti�ke sredine zavisne varijable Y:

100ˆˆ ��

yk y

yV

' (3.43)

Na osnovu vrijednosti ovog koeficijenta možemo procijeniti preciznost i kvalitet ocjene na sljede�i na�in:

� Ako je 7%<y

y' 10% ocjena je dosta dobra

� Ako je 4%<y

y' 7% ocjena je dobra

� Ako je 1%< y

y' 4% ocjena je vrlo dobra

� Ako je y

y' 1% ocjena je odli�na.

Primjenu ovih parametara za procjenu kvaliteta ocjene �emo ilustrovati na primjeru na kojem �emo ocijeniti linearni i više razli�itih tipova nelinearnih regresionih modela da bismo odabrali model koji najbolje reprezentuje posmatrane podatke.

3.4.5. Aplikacija razli�itih oblika regresionog modela

Na sljede�em primjeru �emo aplicirati etape konstrukcije regresionog modela i izvršiti ocjenu razli�itih oblika modela.


131

3.4.5.1. Linearni model

Primjer 3.3.

Tabela 3.6. Godišnja stanarina u KM u 2003. prema veli�ini stana izraženoj brojem soba u stanu

Stan (broj soba) X

Godišnja stanarinaY

Broj stanova fj

1 1 870 75 500 2 2 480 81 750 3 3 470 35 500 4 4 980 14 000 5 6 900 7 500 7 11 560 7 000

Ukupno 31 260 221 250

Statisti�ka jedinica je stan.

Podatke iz tabele možemo sintetizirati na sljede�i na�in:

Tabela 3.7. Parametri za analizirane varijable

Stan (broj soba) Godišnja stanarina Aritmeti�ka sredina 2,206 3 025,99 Standardna devijacija 1,345 1 911,11 Koeficijent varijacije 0,61 0,63

� Prva etapa je izbor varijabli X i Y. Mi želimo objasniti godišnju stanarinu kao funkciju veli�ine stana. Varijabla X �e predstavljati veli�inu stana (broj soba) i to je nezavisna ili eksplikativna varijabla. Varijabla Y je godišnja stanarina i to je zavisna ili varijabla koju trebamo objasniti.

� Druga etapa je kompletiranje dijagrama rasipanja podataka.


132

� Tre�a etapa je ocjena regresione prave. Posmatraju�i dijagram rasipanja �ini nam se, na prvi pogled, da bismo mogli ocijeniti linearnu regresionu jedna�inu: ii bxay ��ˆ

Primjenom analiziranih postupaka ocjene dobijamo vrijednost parametara a i b: 14,755�a i 86,1626�b , i kompletiramo jedna�inu ocijenjene regresione prave: ˆ 755,14 1626,86i iy x� �

Koeficijent linearne korelacije je r=0,9757 i koeficijent determinacije r2=0,9520. Zna�enje parametara a i b: parametar a predstavlja odsje�ak na ordinatnoj osi. Ovdje realno nema odsje�ka na Y osi jer ukoliko nema stanova za izdavanje, nema ni stanarine. Parametar b predstavlja nagib prave i zna�enje mu je sljede�e: ako se veli�ina stana pove�a za jednu sobu, godišnja stanarina �e u prosjeku rasti za 1626,86 KM.

� �etvrta etapa je izra�unavanje rezidualnih odstupanja. Uvrštavaju�i vrijednosti xi u gore ocijenjenu jedna�inu, izra�unat �emo ocijenjene vrijednosti zavisne varijable. Rezultate ra�unanja predstavljamo u sljede�oj tabeli.


133

Tabela 3.8. Radna tabela za primjer 3.3.

xi yi iy ii yy ˆ ( ii yy ˆ )2

1 1 870 871,71 998,29 996 582,92 2 2 480 2 498,57 -18,57 344,84 3 3 470 4 125,43 -655,43 429 588,48 4 4 980 5 752,29 -772,29 596 431,84 5 6 900 7 379,14 -479,14 229 575,14 7 11 560 10 632,86 927,14 859 588,58

Ukupno 31 260 31 260 0 3 112 111,80

Pošto je î iy y�� treba izra�unati 2ˆ( )i iy y�

� Peta etapa: procjena kvaliteta ocijenjene linearne prave - rezidualna standardna devijacija

2

ˆ1

ˆ( ) 3112111,80 720,206

ni i

yi

y y KMn

'�

� � ��

- koeficijent varijacije regresije: ˆ 720,20 0,1382 13,82%5210

y

y'

� � �

Ova dva parametra imaju visoku vrijednost i ukazuju na vrlo loš kvalitet ocjene.

Koeficijent linearne korelacije je r =0,9757 i koeficijent determinacije r2=0,9520. Vrijednost koeficijenta korelacije je blizu jedinici, a koeficijent determinacije zna�i da je 95,20 % varijabiliteta stanarine objašnjeno varijabilitetom veli�ina stana. Dakle, na osnovu vrijednosti ova dva koeficijenta mogli bismo zaklju�iti da je ocjena kvalitetna ali rezidualna standardna devijacija i koeficijent preciznosti ne potvr�uju ovaj rezultat.


134

� Šesta etapa: Analiza rezidualnih odstupanja

Tabela 3.9. Rezidualna odstupanja za primjer 3.3.

xi Rezidualna odstupanja ( ii yy ˆ )

1 998,29 2 -18,57 3 -655,43 4 -772,29 5 -479,14 7 927,14

Ukupno 0

Kada je ocjena dobra i pouzdana, rezidualna odstupanja su slu�ajna i imaju malu vrijednost kao što smo ve� naveli analiziraju�i njihove osobine. Ako bismo predstavili dijagram rasipanja rezidualnih odstupanja vidjeli bismo da on ne zadovoljava gore navedene uslove i da ima paraboli�an oblik. To zna�i da ocijenjeni linearni model ne možemo prihvatiti kao pouzdan i odbacujemo ga. Zbog toga �emo ocijeniti nekoliko nelinearnih modela.

3.4.5.2. Eksponencijalni model

Jedna�ina eksponencijalnog modela je:

ˆ ixiy a b� � (3.44)

Ocijenjeni eksponencijalni model je dat sljede�im izrazom7:

ˆ 1377,32 1,3648 ixiy � �

Ako se broj soba uve�a za jednu sobu, stanarina se prosje�no uve�a za 36,48%. Da bismo analizirali rezidualnu standardnu devijaciju i koeficijent preciznosti ocjene izra�unali smo neophodne podatke na isti na�in kao u slu�aju linearne ocjene i dobili rezidualnu standardnu devijaciju:

7 Ovaj i ostali modeli su ocijenjeni korištenjem programa RATS (Regression

Analysis for Time Series). Analizirani modeli mogu biti ocijenjeni korištenjem programa Excel ili digitrona koji imaju odgovaraju�e statisti�ke funkcije.


135

2

ˆ1

ˆ( ) 539406,11 299,83 KM6

ni i

yi

y yn

'�

� � ��

i koeficijent varijacije: ˆ 299,83 0,0575 5,75%5210

y

y'

� � �

Ova ocjena je pouzdanija nego linearna.

3.4.5.3. Stepeni model

Ocjenom jedna�ine stepenog modela:

ˆ bi iy a x� � (3.45)

dobili smo sljede�i rezultat: 0,9299ˆ 1517,195i iy x� �

Kvalitet ocjene smo i u ovom slu�aju procijenili standardnom devijacijom modela i koeficijentom varijacije:

KMn

yyn

i

iiy 67,1032

687,6398464)ˆ(

1

2

ˆ ��

� ��

'

%82,195210

67,1032ˆ ��y

y'

Ova ocjena nije pouzdana zbog visoke standardne devijacije i koeficijenta varijacije.

3.4.5.4. Logaritamski model

Jedna�inu logaritamskog modela:

ˆ lni iy a b x� � � (3.46)

smo ocijenili i dobili sljede�i izraz:

ii xy ln4219,4508497,150ˆ ��


136

Dva parametra koja smo ocijenili i za ostale modele u ovom slu�aju imaju sljede�e vrijednosti:

2

1ˆ

ˆ( )15483442,81 1606,42 KM

6

n

i ii

y

y y

n' �

� � �

�

%83,305210

42,1606ˆ ��y

y'

Ni ova ocjena nije pouzdana zbog vrlo visoke vrijednosti standardne devijacije i koeficijenta varijacije.

Rezultate dobijenih ocjena predstavljamo u tabeli 3.10.

Tabela 3.10. Ocjene za razli�ite regresione modele

Model Linearni Eksponencijalni

ii xy 86,162614,755ˆ �� x3648,132,1377y i ��

y' 720,20 KM 299,83 KM

yy'

13,82%

5,75%

Model Stepeni Logaritamski

9299,0i 195,1517y ix�� ii xy ln4219,4508497,150ˆ ��

y' 1032,67 KM 1606,42 KM

yy'

19,82% 30,83%

Na osnovu prezentovanih podataka zaklju�ujemo da je ocjena eksponencijalnog modela najpouzdanija i najkvalitetnija jer ima najmanju standardnu devijaciju i najniži koeficijent varijacije. Eksponencijalni model se u analiziranom slu�aju najbolje prilago�ava datim podacima i reprezentuje vezu izme�u visine stanarine i veli�ine stana.


137

Primjer 3.4.

Koeficijent linearne korelacije je mjera linearne korelacije izme�u varijabli. Me�utim, linearnu regresiju ne treba koristiti “automatski” uvijek kad dobijemo visok koeficijent linearne korelacije. Neophodno je, kao što smo ve� i naglasili, nacrtati dijagram rasipanja podataka koji nam može pomo�i da vizuelno uo�imo da li se radi o linearnoj vezi izme�u dvije posmatrane varijable i da poslije izvršene ocjene provjerimo njen kvalitet izra�unavanjem parametara koje smo ve� analizirali. Analizirat �emo jedan poznati primjer koji je predložio Anscombe8 i na kojem je ilustrovana primjena linearne regresije na �etiri distribucije podataka koje predstavljamo u tabeli 3.11.

Tabela 3.11. Primjer �etiri distribucije podataka

Distribucija A Distribucija B Distribucija C Distribucija D xi yi xi yi xi yi xi yi 10 8,04 10 9,14 10 7,46 8 6,58

8 6,95 8 8,14 8 6,77 8 5,76 13 7,58 13 8,74 13 12,74 8 7,71

9 8,81 9 8,77 9 7,11 8 8,84 11 8,33 11 9,26 11 7,81 8 8,47 14 9,96 14 8,1 14 8,84 8 7,04

6 7,24 6 6,13 6 6,08 8 5,52 4 4,26 4 3,1 4 5,39 19 12,5

12 10,84 12 9,13 12 8,15 8 5,56 7 4,82 7 7,26 7 6,42 8 7,91 5 5,68 5 4,74 5 5,73 8 6,89

Za svaku od �etiri navedene distribucije varijabli X i Y izra�unali smo sljede�e statisti�ke pokazatelje.

2 211; 9; 7,5; 10; 3,75; ( , ) 5x yn x y Cov X Y' '� � � � � � Koeficijent korelacije r =0,816.

8 Anscombe, F.J.: Graph in Statistical Analysis, The American Statistican 27,

str. 17-21, prema Droesbeke, J.J.: Eléments de Statistiques, Ellipses, Paris, 1977. g., str. 398-399.


138

Šest izra�unatih pokazatelja su jednaki za sve �etiri distribucije. Ako bismo posmatrali samo ove parametre i koeficijent linearne korelacije te ocijenili linearnu regresiju za sva �etiri slu�aja, napravili bismo grešku. Zbog toga uvijek treba prije ocjene analizirati dijagram rasipanja (analiza a priori) i poslije izvršene ocjene analizirati rezidualna odstupanja (analiza a posteriori). Pošto ponekad ni na osnovu dijagrama rasipanja ne možemo precizno odrediti oblik veze, potrebno je izvršiti ocjene više razli�itih modela i izabrati najpouzdaniju ocjenu na osnovu analiziranih kriterija.

Na sljede�im grafikonima predstavljamo dijagrame rasipanja i linearnu pravu koju smo dobili ocijenjuju�i linearnu regresiju metodom najmanjih kvadrata.

xy 5,03ˆ ��

Koeficijent determinacije je jednak r2=0,667.

x

y


139

y

x

y

x

x

y


140

Konstatujemo i naglašavamo da je samo u slu�aju A mogu�e prihvatiti i ocijeniti regresionu pravu. Za ostale slu�ajeve regresiona prava ne prezentuje adekvatno oblak rasipanja. Analiza a posteriori rezidualnih odstupanja u slu�ajevima B, C i D pokazuje da se u ova tri slu�aja ne može prihvatiti ocjena regresione prave i da je potrebno tražiti i ocijeniti neki drugi model.

3.4.6. Spearmanov koeficijent korelacije ranga

Za utvr�ivanje stepena povezanosti izme�u pojava za koje su podaci dati u obliku modaliteta rang varijable koristi se Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Ovaj koeficijent korelacije se ozna�ava simbolom rs i odre�uje korištenjem sljede�eg izraza:

��

�n

iis d

nnr

1

22 )1(61 (3.47)

di = r(xi) – r(yi), i=1, 2,...,n. (3.48)

di predstavlja razlike rangova za odgovaraju�e parove vrijednosti varijabli ranga. Kao i za koeficijent linearne korelacije, vrijednost koeficijenta korelacije ranga se uvijek kre�e izme�u –1 i +1. Zavisnost je potpuna ako je 4rs4 = 1.

3.5. MODEL VIŠESTRUKE REGRESIJE

Model višestruke ili multiple regresije možemo napisati u sljede�em obliku:

eXXXfY K �� ),....,,( 21 (3.49)

Zavisna varijabla Y je izražena kao funkcija K nezavisnih varijabli i slu�ajnog odstupanja e. Ukoliko je funkcionalni dio modela definisan linearnom funkcijom možemo definisati standardni model višestruke linearne regresije sljede�im izrazom:

eXbXbXbaY KK �� ...2211 (3.50)

odnosno za n vrijednosti:

niexbxbxbay iiKKiii ,...,2,1,...2211 �� . (3.51)


141

Koeficijenti u regresionom modelu imaju sljede�e zna�enje: parametar a je slobodni, konstantni �lan koji predstavlja o�ekivanu vrijednost zavisne varijable Y kada je vrijednost svih K nezavisnih varijabli (X1, X2,...,XK) jednaka nuli. Vrijednost ovog parametra nema uvijek logi�ko objašnjenje.

Parametar bi (i=1,2,....,K) ili regresioni koeficijent pokazuje prosje�nu promjenu zavisne varijable Y uslovljenu jedini�nim pove�anjem nezavisne varijable Xi, uz uslov da ostale nezavisne varijable ostanu nepromijenjene. Pozitivna vrijednost parametra bi ukazuje na proporcionalan odnos varijabli Y i Xi. To zna�i da rast nezavisne varijable Xi uslovljava rast zavisne varijable Y. Negativna vrijednost koeficijenta bi zna�i obrnuto proporcionalan odnos zavisne varijable Y i nezavisne varijable Xi. U ovom slu�aju smjer promjene nezavisne i zavisne varijable je suprotan, odnosno rast Xi uzrokuje opadanje zavisne varijable Y, a opadanje Xi uzrokuje rast zavisne varijable Y.

3.5.1. Koeficijent multiple determinacije, multiple linearne korelacije, koeficijenti parcijalne korelacije i korelaciona matrica

Koeficijent multiple determinacije je definisan sljede�im izrazom:

10 ,)()ˆ( 2

2

22

,..,2,1; ,..,2,1;

��

KYR

yyyyR

i

iKY (3.52)

Koeficijent multiple linearne korelacije mjeri ja�inu varijabiliteta izme�u zavisne varijable i zbirnog varijabiliteta K nezavisnih varijabli. Odre�uje se kao kvadratni korijen koeficijenta multiple determinacije:

10 ,)()ˆ(

,..,2,1;2

2

,..,2,1; �� KY

i

iKY R

yyyyR (3.53)

ili pomo�u izraza:

yy

iiKY n

yyyyR�''

)ˆ)((,..,2,1;

�� (3.54)

Koeficijentu se ne pridružuje predznak jer odnosi izme�u zavisne i nezavisnih varijabli mogu biti raznosmjerni. Koeficijent parcijalne korelacije pokazuje ja�inu i smjer veze zavisne varijable Y i j-te nezavisne


142

varijable uz nepromijenjen uticaj preostalih (K-1) varijabli koje ozna�avamo sa c. Vrijednost ovog koeficijenta se kre�e u sljede�im granicama: 11 ,; cjyr .

Koeficijenti parcijalne korelacije prvog reda za K=2 definišu se pomo�u koeficijenata jednostavne linearne korelacije na sljede�i na�in:

;1 ;2 1,2 ;2 ;1 1,2;1,2 ;2,12 2 2 2

;1 1,2 ;2 1,2

;(1 )(1 ) (1 )(1 )

y y y yy y

y y

r r r r r rr r

r r r r

� �

(3.55)

Pored koeficijenata multiple i parcijalne korelacije, u višedimnzionalnoj regresionoj analizi se primjenjuju i koeficijenti jednostavne linearne korelacije. Ovi koeficijenti se predstavljaju u obliku korelacione matrice:

1

1 1

2 21 2

1

1 ....1 ....

..............................

.... 1

y yK

y K

y K

Ky K

r rr r

R r r r

r r

!$ %$ %$ %�$ %$ %$ %$ %" #

(3.56)

U prvom redu matrice R se nalaze koeficijenti jednostavne linearne korelacije izme�u zavisne i svake nezavisne varijable. U prvoj koloni su koeficijenti jednostavne linearne korelacije izme�u svake nezavisne i zavisne varijable. Za koeficijente jednostavne linearne korelacije vrijedi osobina simetri�nosti. To zna�i da se vrijednost koeficijenta jednostavne linearne korelacije ne mijenja ako se zamijeni mjesto varijabli:

, 1,2,...., . , , 1,2,...., .yj jy jk kjr r j K r r j k K� � � �

Iz navedenog zaklju�ujemo da je korelaciona matrica simetri�na. Na glavnoj dijagonali se nalaze jedinice, jer je koeficijent jednostavne linearne korelacije jedne varijable sa tom varijablom jednak jedinici.

3.5.2. Analiza numeri�kog primjera

Na sljede�em primjeru �emo ilustrovati ocjenu višestrukog regresionog modela i zna�enje ocijenjenih parametara.


143

Primjer 3.5.

Tabela 3.12. Prihod preduze�a izražen u hiljadama KM (Y), proizvodnja izražena u kilogramima (X1) i troškovi proizvodnje po kg (X2) izraženi u KM.

Y X1 X2

20 50 280 25 100 260 25 150 260 35 200 248 30 250 196 35 300 178 40 350 160

Ocijeni�emo regresioni model 2211 XbXbaY ��

primjenom Excela. Izlazne tabele Excela nam daju sljede�e rezultate.

Tabela 3.13. (a.,b.,c.) Output Excela za multiplu regresiono-korelacionu analizu na primjeru 3.5.

a.

SUMMARY OUTPUT REGRESSION STATISTICS

Multiple R 0,9528 R Square 0,9078 Adjusted R Square 0,8617 Standard Error 2,6292 Observations 7

b.

ANOVA df SS MS F Significance F Regression 2 272,3485 136,1742 19,6986 0,0085 Residual 4 27,6515 6,9129 Total 6 300


144

c.

COEFFICIENTS STANDARD ERROR T- STAT P-VALUE Intercept -20,7251 26,9055 -0,7703 0,4841

X1 0,1130 0,0377 3,0000 0,0399 X2 0,1245 0,0865 1,4389 0,2236

Ocijenjeni regresioni model je:

21 1245,01130,07251,20 XXY ��

Zavisna varijabla Y predstavlja prihod preduze�a izražen u hiljadama KM, varijabla X1 je proizvodnja izražena u kilogramima i varijabla X2 troškovi proizvodnje po kg izraženi u KM.

Zna�enje dobijenih rezultata je sljede�e: konstantni �lan a = -20,7251. Uko-liko ne bi bilo proizvodnje, niti troškova proizvodnje, o�ekivani prihod bi bio negativan. Prihod se ne bi ostvarivao, a morale bi se pla�ati ve�preuzete obaveze vezane za pokretanje proizvodnje. Zna�enje parametra uz varijablu X1 �ija je vrijednost 0,1130 je sljede�e: ukoliko se proizvodnja pove�a za jedan kg, prihod �e se pove�ati za 113 KM uz pretpostavku da troškovi po jedinici proizvoda ostaju nepromijenjeni. Koeficijent uz varijablu X2 je jednak 0,1245. Ukoliko bi se troškovi proizvodnje po jedinici proizvoda pove�ali za 1 KM, prihod bi se pove�ao za 124,5 KM, uz pretpostavku da nivo proizvodnje ostaje nepromijenjen.

Koeficijent multiple korelacije R koji predstavlja povezanost izmedu zavisne i dvije nezavisne varijable je jednak R = 0,95. To zna�i da postoji jaka povezanost izme�u ukupnog prihoda Y i dvije posmatrane nezavisne varijable koje su proizvodanja izražena u kg i troškovi po jedinici proizvodnje. Koeficijent multiple determinacije R2 predstavlja dio varijacije zavisne varijable objašnjen ocijenjenim linearnim regresionim modelom. Njegova vrijednost je R2 = 0,91 što zna�i da je 91% varijacije prihoda ob-jašnjeno proizvodnjom izraženom u kg i troškovima po jedinici proizvoda.

Statisti�ka zna�ajnost regresijskog modela je odre�ena empirijskim F omjerom i odgovaraju�om p vrijednosti u tabeli ANOVA. U našem slu�aju p = 0,0085 < 0,01 pa zaklju�ujemo da barem jedna od nezavisnih varijabli statisti�ki zna�ajno uti�e na vrijednost zavisne varijable uz nivo rizika od 1%. U izlaznoj tabeli Excela prezentovane su i statisti�ke zna�ajnosti


145

regresionih koeficijanata koje se odre�uju pomo�u t-statistike i pripadaju�ih p vrijednosti. Za varijablu X1 vrijednost p= 0,0399, a za X2 p=0,2236. Konstatujemo da u ocijenjenom regresionom modelu varijabla proizvodnja u kg statisti�ki zna�ajno uti�e na zavisnu varijablu Y zbog toga što je odgovaraju�a vrijednost p manja od 0,05. Za drugu varijablu p vrijednost je ve�a od 0,05 i to zna�i da uticaj troškova po jedinici proizvodnje u ovom modelu nije statisti�ki zna�ajan.


1. Na kojem kriteriju je bazirana metoda najmanjih kvadrata? 2. Napišite formule za ocjenu parametara a i b regresione prave. 3. Objasnite zna�enje parametara a i b regresione prave. 4. Definišite i objasnite kovarijansu. 5. Da li je kovarijansa pokazatelj nezavisnosti posmatranih pojava? 6. Koji koeficijenti služe za mjerenje ja�ine i smjera povezanosti

ekonomskih pojava? 7. Definišite i objasnite zna�enje koeficijenta determinacije. 8. U kojem intervalu se mogu kretati vrijednosti koeficijenta

determinacije? 9. Definišite i objasnite koeficijent linearne korelacije? 10. Koje vrijednosti može imati koeficijent linearne korelacije? 11. Definišite varijansu zbira i razlike dvije nezavisne statisti�ke varijable. 12. Definišite varijansu zbira i razlike dvije statisti�ke varijable. 13. Napišite izraz za dekompoziciju ukupne varijanse. 14. Definišite rezidualnu (neobjašnjenu) varijansu. 15. Definišite objašnjenu varijansu.


146

3.7. RIJEŠENI ZADACI

Zadatak 1.

U sljede�oj tabeli su dati podaci o troškovima promocije i prihodu od prodaje proizvoda Z:

Godine Troškovi promocije (u 000 eura)

Prihod od prodaje (u 000 eura)

1999 50 280 2000 20 220 2001 10 180 2002 30 220 2003 80 320 2004 100 330 2005 120 350

Prvi dio: 1. Odredite zavisnu i nezavisu varijablu? 2. Predstavite dijagram rasipanja. Koji tip funkcije se najbolje prilago�ava

datom dijagramu? 3. Koji je, po vašem mišljenju, znak kovarijanse izme�u dvije posmatrane

varijable? 4. Izra�unajte jedna�inu regresione prave. 5. Predstavite grafi�ki ovu pravu na dijagramu rasipanja. Komentarišite. 6. Izra�unajte koeficijent linearne korelacije i koeficijent determinacije i

objasnite njihova zna�enja. 7. Marketing servis predvi�a za 2006 godinu budžet za promociju u iznosu

od 125000 €. Procijenite prihod od prodaje za 2006 godinu. Komentarišite.


147

Drugi dio:

Godine Posmatrana prodaja

iy

Prodaja procijenjena

modelom

iy

� �2îi yy � �2ˆ yyi

1999 280 258,50 462,14 167,08 2000 220 213,26 45,40 3383,35 2001 180 198,18 330,58 5365,09 2002 220 228,34 69,59 1856,43 2003 320 303,74 264,28 1044,24 2004 330 333,90 15,24 3903,15 2005 350 364,06 197,80 8581,35

Ukupno 1900 1900 1385,03 24300,69

1. Provjerite rezultat prve linije gornje tabele za 1999. godinu. 2. Uporedite aritmeti�ku sredinu posmatranih prodaja i aritmeti�ku sredinu

procijenjenih prodaja. 3. Izra�unati neobjašnjenu varijansu i varijansu objašnjenu regresijonom

pravom. 4. Provjerite numeri�ki jednakost: Ukupna varijansa = Objašnjena varijansa + Neobjašnjena (rezidualna)

varijansa. 5. Provjerite vrijednosti dobijene za koeficijent determinacije u prvom

dijelu.

Elementi rješenja:

Prvi dio: 1. U ovom primjeru promjenljiva Y, prihod od prodaje proizvoda Z, je

zavisna promijenljiva. Posmatramo je kao funkciju nezavisne promjenljive troškovi promocije X.


148

2.

0

100

200

300

400

Troškovi reklame

Prih

od

Dijagram rasipanja i regresiona pravaGrafikon 3.14

0 20 40 60 80 100 120 140

2

ˆ 1,508 183,109461

y xR

� ��

3. Kovarijansa je pozitivna. 4. xy 51,11,183ˆ �� 5. Model linearne regresije se najbolje prilago�ava datim podacima. 6. Koeficijent linearne korelacije r je jednak 0,97. To zna�i da postoji

visok stepen linearne korelacije izme�u dvije posmatrane varijable. Vrijednost koeficijenta determinacije je jednaka 0,946 i to zna�i da je 94,6% varijacije prihoda objašnjeno troškovima promocije.

972,0),( ��YX

YXCovr''

22

2 2

( , ) 0,946x y

Cov X Yr' '

� �

7. Y ocjenjeno za 2006. godinu:

xy 51,11,183ˆ ��

85,37112551,11,183ˆ ��y

Ako bi budžet za promociju u 2006. godini iznosio 125 000 eura, prihod od prodaje u ovoj godini bi bio 371850 eura.


149

Drugi dio:

1. Y procjenjeno za 1999

6,2585051,11,183ˆ ��y 2. Aritmeti�ka sredina posmatranih prodaja i aritmeti�ka sredina

procijenjenih prodaja su jednake 271,43. 3. Neobjašnjena varijansa:

86.1977

03.1385)ˆ( 22

/ ��

�n

yy iixy'

Objašnjena varijansa:

52.34717

69.24300)ˆ( 22

/ ��

�n

yyixy'

4. Ukupna varijansa:

38.366952.347186.197)ˆ()ˆ()( 222

��

��

��n

yyn

yyn

yy iii

5. 946.038.366952.3471

varijansaukupna varijansaobjašnjena2 ��r

946.00539.0138.3669

86.1971 varijansaukupna

varijansananeobjašnje12 ��r

Zadatak 2.

U sljede�oj tabeli posmatramo kretanje varijabli X i Y. Y je zavisna varijabla.

Godine X Y 1999 0 2 2000 3 5 2001 5 3 2002 8 6

Ukupno 16 16


150

Poznate su sljede�e vrijednosti: aritmeti�ka sredina varijable X jednaka je 4, varijansa od X jednaka je 8,5, aritmeti�ka sredina varijable Y jednaka je 4, varijansa od Y jednaka je 2,5 i Cov(X, Y)=4.

1. Odrediti jedna�inu regresione prave. 2. Izra�unati koeficijent determinacije i objasniti ga.

Elementi rješenja:

2

( , ) 4 0,478,5

4 0,47 4 2,12ˆ 2,12 0,47

X

Cov X Yb

a y bxy x

'� � �

� � � ��

22

2 2

( , ) 4 0,1888,5 2,5X Y

Cov X Yr' '

� � ��

Zadatak 3.

Za varijable X i Y poznato je 15 parova vrijednosti (xi, yi). Y je zavisna varijabla. Poznati su sljede�i parametri ove dvije distribucije:

24, 3.75Xx '� �

24, 3Yy '� �

i koeficijent pravca regresione prave: b = - 0.8

1. Odredite jedna�inu regresione prave. 2. Izra�unajte koeficijent linearne korelacije. 3. Odredite varijansu objašnjenu regresionom pravom.

Elementi rješenja:

4 0,8 4 7,2

ˆ 7,2 0,8( , )

X Y

a y bxy x

Cov X Yr' '

� � � � ��

�


151

2

2

( , )

( , ) 0,8 3,75 3( , ) 3 0,89

3,35

X

X

X Y

Cov X Yb

Cov X Y bCov X Yr

''

' '

� �

� � � � � � � �

2

2

Objašnjena varijansaUkupna varijansa

Objašnjena varijansa Ukupna varijansa 0,79 3 2,37

r

r

� �

� � � � �

153

POGLAVLJE 4.

DINAMIČKA ANALIZA I MJERENJE EVOLUCIJE

Za istraživanje i analizu promjena pojava u vremenu primjenjuju se metode dinami�ke analize. Dinami�ka analiza omogu�ava pra�enje promjena pojava u vremenu i predvi�anje tendencije razvoja pojava.

4.1. APSOLUTNA I RELATIVNA PROMJENA

Apsolutna promjena pojave V izme�u datuma t i datuma 0 je jednaka:

ot VVV �5 (4.1)

Apsolutna promjena je izražena u jedinicama mjere analizirane varijable. Apsolutna promjena može biti negativna.

Relativna promjena veli�ine pojave V izme�u perioda t i 0 je jednaka:

0

0

VVV

VV t �5 (4.2)


154

Relativna promjena se naziva stopa promjene. Ukoliko je stopa promjene pozitivna naziva se stopa rasta. Stopu promjene možemo izraziti i sljede�om formulom:

100

0 ��5VV

VVV

VV tt (4.3)

Izra�unavanje i objašnjenje apsolutne i relativne promjene �emo ilustrovati na primjeru 4.1.

Primjer 4.1.

Tabela 4.1. Broj studenata i nastavnog osoblja na fakultetima u Federaciji BiH

1997/98 1998/99 1999/00 2000/01 2001/02 Kod za školsku godinu (1) (2) (3) (4) (5) Redovni studenti 22 697 26 649 28 912 31 861 32 614 Vanredni studenti 6 451 9 315 11 483 11 360 12 192 Nastavnici 1 250 1 294 1 442 860 777 Saradnici 1 080 1 185 1 248 913 898 Broj fakulteta 40 48 47 48 48

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije BiH, 2002, Sarajevo, str.309.

U koloni posmatramo strukturu studenata, nastavnog osoblja i broja fakulteta. U 2001/02 godini je bilo 32 614 redovnih i 12 192 vanredna studenta. Broj nastavnika je bio 777, a saradnika 898. Broj fakulteta je bio 48. Za svaku od posmatranih godina možemo analizirati datu strukturu. Analiza redova u datoj tabeli omogu�ava istraživanje evolucije analiziranih pokazatelja i struktura u vremenu.

Na grafikonima 4.1. i 4.2. je prezentirana struktura posmatranih pokazatelja i njihova evolucija u vremenu.

Poglavlje 4. – Dinami�ka analiza i mjerenje evolucije

155

1997/98 1998/99 1999/00 2000/01 2001/020

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

redovni studenti

vanredni studenti

nastavnici

saradnici

Struktura studenata i nastavnog osobljaGrafikon 4.1.

U posmatranom periodu broj studenata, redovnih i vanrednih, je u stalnom porastu. Broj nastavnika i saradnika pokazuje tendenciju opadanja od 1999/00 godine. Koriste�i prezentiranu i analiziranu definiciju i izraz za apsolutnu promjenu izra�unali smo i prezentirali u narednoj tabeli apsolutne stope promjene broja studenata i nastavnog osoblja na fakultetima u Federaciji Bosne i Hercegovine.


156

Tabela 4.2. Apsolutne promjene broja studenata i nastavnog osoblja na fakultetima u Federaciji Bosne i Hercegovine

5V2-1 5V3-2 5V4-3 5V5-4 5V5-1 Redovni studenti 3 952 2 263 2 949 753 9 917 Vanredni studenti 2 864 2 168 -123 832 5 741 Nastavnici 44 146 -582 -83 -473 Saradnici 105 63 -335 -15 -182

Najve�a apsolutna promjena broja redovnih studenata je bila izme�u 1997/98 i 1998/99 akademske godine. Broj redovnih studenata se u periodu izme�u ove dvije akademske godine pove�ao za 3952. Najmanja apsolutna promjena je bila izme�u 2000/01 i 2001/02 akademske godine. Broj studenata se pove�ao za samo 753. Apsolutna promjena broja redovnih studenata izme�u 2001/02 i 1998/99 je bila 9 917 studenata. Ovu apsolutnu promjenu smo izra�unali na osnovu definicije apsolutne promjene.

Apsolutnu promjenu u ovom periodu možemo izra�unati i sabiranjem uzastopnih apsolutnih promjena u posmatranim godinama:

5V5-1= 5V2-1+5V3-2+5V4-3+5V5-4 .

Npr. za redovne studente: 9917=3952+2263+2949+753.

Na isti na�in bismo mogli utvrditi apsolutne promjene i za ostale posmatrane kategorije.

Apsolutne promjene broja vanrednih studenata su bile pozitivne, osim u periodu izme�u 1999/00 i 2000/01 godine.

Apsolutne promjene broja nastavnika i saradnika su bile pozitivne u prve dvije akademske godine, a u naredne dvije godine su bile negativne što ukazuje na to da se broj nastavnika i saradnika smanjio u tim godinama. Broj nastavnika se smanjio za 473 u 2001/02 u odnosu na 1997/98 godinu.

U posmatranom periodu, za tri od pet akademskih godina utvrdili smo negativnu apsolutnu promjenu saradnika.


157

Tabela 4.3. Relativna promjena broja studenata i nastavnog osoblja na fakultetima u Federaciji Bosne i Hercegovine

1

12

VVV

3 2

2

V VV

3

34

VVV

4

45

VVV

1

15

VVV

Redovni studenti 17,41 8,49 10,20 2,36 43,69 Vanredni studenti 44,39 23,27 -1,07 7,32 88,99 Nastavnici 3,52 11,28 -40,36 -9,65 -37,84 Saradnici 9,72 5,32 -26,84 -1,64 -16,85

Relativne promjene redovnih studenata su u svim posmatranim godinama bile pozitivne. U periodu izme�u 1997/98 i 2001/02 godine stopa promjene je dostigla nivo 43,69%.

Relativne promjene, odnosno stope promjene se ne mogu sabirati. Stope promjene ne posjeduju osobine ra�unanja. Stopa promjene u periodu izme�u 1998/99 i 2001/02 godine nije jednaka zbiru stopa promjene za pojedine godine posmatranog perioda:

4

45

3

34

2

23

1

12

1

15

VV

VV

VV

VV

VV 5�5�5�5�5

Ovu osobinu stope promjene provjeravamo na primjeru redovnih studenata:

43,69�17,41+8,49+10,20+2,36=38,48

Najve�u stopu rasta konstatujemo kod vanrednih studenata izme�u prve i posljednje posmatrane akademske godine. Stopa rasta je bila 88,99 %. Negativne stope promjene konstatujemo u dva perioda kod nastavnika i saradnika. U 2001/02 u odnosu na 1997/98 godinu broj nastavnika se smanjio za 37,84 %, a broj saradnika za 16,85 %. Da bi analiza bila kompletna, potrebno je istovremeno posmatrati i relativne i apsolutne promjene.

U narednom primjeru �emo grafi�ki ilustrovati, izra�unati i analizirati apsolutne i relativne promjene broja nezaposlenih u Federaciji Bosne i Hercegovine prema stru�noj spremi.


158

Tabela 4.4. Broj nezaposlenih osoba u Federaciji BiH prema stru�noj spremi

1998 1999 2000 2001 VSS 2 851 2 635 2 853 3 043 VSS 2 358 2 485 2 827 3 236 SSS 48 383 49 870 51 684 54 877 VKV, KV 84 273 87 852 90 330 95 359 PKV, NSS 10 786 14 997 15 226 15 965 NKV 107 836 103 954 98 853 96 524 Ukupno 256 487 261 793 261 773 269 004

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije BiH, 2002, Sarajevo, 2002, str.270.


159

Tabela 4.5. Apsolutne promjene broja nezaposlenih osoba u Federaciji BiH prema stru�noj spremi

1999/98 2000/99 2001/00 2001/98 VSS -216 218 190 192 VŠS 127 342 409 878 SSS 1 487 1814 3 193 6494 VKV, KV 3 579 2 478 5 029 11 086 PKV, NSS 4 211 229 739 5 170 NKV -3 882 -5101 -2 329 -11312 Ukupno 5 306 -20 7 236 12 517

Tabela 4.6. Relativna promjena broja nezaposlenih osoba u Federaciji BiH prema stru�noj spremi u %

1999/98 2000/99 2001/00 2001/98 VSS -7,58 8,27 6,66 6,73 VŠS 5,38 13,76 14,47 37,23 SSS 3,07 3,64 6,18 13,42 VKV, KV 4,25 2,82 5,57 13,15 PKV, NSS 39,04 1,53 4,85 47,93 NKV -3,60 -4,91 -2,36 -10,49 Ukupno 2,07 -0,008 2,76 4,88


160

Na osnovu izra�unatih i prezentiranih parametara i njihovih grafi�kih prikaza možemo dati kompletnu analizu evolucije nezaposlenih osoba prema stru�noj spremi. Grafi�ki prikazi koje smo kompletirali su ilustrativniji od desetine re�enica jer nam omogu�avaju vizuelno posmatranje promjena i u strukturi i u evoluciji nezaposlenih u posmatranom periodu.

Zapažamo da je došlo do porasta broja nezaposlenih više i srednje stru�ne spreme, kao i svih kategorija kvalifikovanih radnika. Jedino smanjenje broja nezaposlenih bilježe nekvalifikovani radnici. Ove konstatacije potvr�uju i izra�unate relativne promjene.

4.2. INDEKSI

Statisti�ka analiza razlikuje apsolutne i relativne promjene. Termin relativne promjene se razvio na više nivoa u slu�ajevima kada se porede razli�ite veli�ine u prostoru i vremenu. Za opis i pore�enje evolucije pojava i varijabli �iji je red veli�ina razli�it naj�eš�e se koriste indeksi.

Indeks je broj koji objašnjava relativnu promjenu jednostavne ili kompleksne veli�ine izme�u dva perioda, od kojih se jedan odabire kao bazni period. Kako je indeks odnos izme�u dvije veli�ine iste prirode, on ne posjeduje jedinicu mjere. Indeks je, dakle, neimenovan broj.


161

Najpoznatija dihotomija ideksa je na individualne (elementarne, proste) i agregatne (sinteti�ke) indekse.

� Individualni indeksi se primjenjuju u slu�aju kada želimo analizirati homogene veli�ine. Individualni indeksi se konstruišu tako da fiksiramo bazni period i izra�unavamo promjenu posmatrane veli�ine izme�u posmatranog perioda, koji �emo ozna�iti sa t, i baznog perioda, koji ozna�avamo sa 0. Individualni indeks je bazni elemenat statisti�ke analize hronoloških serija.

� Agregatni indeksi se baziraju na istim principima, ali se primjenjuju za analizu heterogenih veli�ina. Neki od njih služe kao referentni indeksi. Najpoznatiji su indeksi vrijednosti, indeksi cijena, indeksi fizi�kog obima proizvodnje, indeksi troškova života, berzni indeksi (Dow Jones, CAC 40), itd. Njihova konstrukcija je tehni�ki i metodološki vrlo komplikovana što ponekad otežava njihovo tuma�enje.

Prakti�na korisnost indeksa dolazi posebno do izražaja ako se analiza vrši za duži period. Fiksira se bazna godina za koju je indeks jednak 1 (ili 100), zatim se ra�unaju indeksi za svaku godinu. Ukoliko su indeksi ve�i od 100, posmatrana pojava je relativno rasla u odnosu na bazni ili prethodni period. Kada su indeksi manji od 100, analizirana pojava je opadala u odnosu na bazni ili prethodni period.

Indeksi nam pružaju direktno sinteti�ki pogled na evoluciju u odnosu na bazni ili prethodni period i omogu�avaju pra�enje promjena analiziranih veli�ina izme�u svih posmatranih perioda.

4.2.1. Individualni indeksi

Individualni indeks se primjenjuje za analizu promjena u vremenu posmatrane veli�ine, kao i za pore�enje evolucije više razli�itih veli�ina. Indeksi se mogu izraziti u odnosu na bazu 1 ili 100. Za izra�unavanja se, iz prakti�nih razloga, koriste indeksi u bazi 1. Kona�ni rezultati se prezentiraju u formi indeksa �ija je baza 100 ili u obliku stope promjene u procentima. Indeks nema jedinice mjere. Indeks je, kao što smo ve� naveli, neimenovan broj koji ima veliku prakti�nu upotrebu.

Individualni indeksi se mogu izra�unavati na osnovu stalne i promjenljive baze.


162

4.2.1.1. Indeksi sa stalnom bazom (bazni indeksi)

Bazne indekse ili indekse sa stalnom bazom izra�unavamo kao koli�nik izme�u veli�ine analizirane pojave u posmatranom i odabranom baznom periodu. Da bismo izra�unali indeks sa stalnom bazom potrebno je prvo odabrati baznu godinu za koju indeks ima vrijednost 1 (ili 100). Ako sa Vt ozna�imo veli�inu analizirane pojave u periodu t i sa V0 ozna�imo veli�inu analizirane pojave u baznom periodu, individualni indeks izme�u ta dva perioda �emo izra�unati na sljede�i na�in:

00/ V

Vi tt � (4.4)

Individualni indeks veli�ine V za period t u odnosu na bazni period 0 ako je baza 100 u periodu 0 je dat sljede�im izrazom:

1001000

0/0/ ��VV

iI ttt

9 (4.5)

Bazni indeksi se definišu kao indeksi razvoja. Ovi indeksi su pokazatelj razvoja pojava u posmatranom periodu u odnosu na bazni period. Bazni indeksi se koriste i za pore�enja razvoja više pojava. Indeksi sa stalnom bazom se koriste za analizu i pore�enja na isti na�in kao i originalni podaci o vrijednostima posmatranih pojava.

Razlika izme�u dva bazna indeksa je pokazatelj indeksnih poena.

Na bazi podataka iz tabele 4.4., izra�unali smo bazne indekse nezaposlenih osoba prema stru�noj spremi. Za bazu smo odabrali 1998. godinu. Izra�unate indekse prezentujemo u tabeli 4.7.

9 Sa malim i ozna�avamo proste indekse ako su izraženi u bazi 1. Množenjem ovih

indeksa sa 100 dobijamo indekse izražene u bazi 100 i ozna�avamo ih sa velikim slovom I.


163

Tabela 4.7. Bazni indeksi 0/tI

I1998 I99/98 I00/98 I01/98 VSS 100 92,42 100,07 106,73 VŠS 100 105,39 119,89 137,23 SSS 100 103,7 106,82 113,42 VKV, KV 100 104,25 107,19 113,15 PKV, NSS 100 139,04 141,16 148,02 NKV 100 96,40 91,67 89,51 Ukupno 100 102,07 102,06 104,88

Indeks nezaposlenosti za visoku stru�nu spremu u 1999.g. baza 100 u 1998.g. je jednak 92,42. To zna�i da je nezaposlenost VSS u tom periodu opala za 7,58 %. Indeks nezaposlenosti VSS u 2001. baza 100 u 1998.g. je 106,73. Stopa rasta nezaposlenosti VSS u ovom periodu je bila 6,73%. Indeks ukupnog broja nezaposlenih u periodu 1998.-2001. godine je bio 104,88. U ovom periodu ukupan broj nezaposlenih je porastao za 4,88%. Po analogiji sa datim objašnjenjima mogli bismo analizirati i ostale podatke iz tabele 4.7. za sve kategorije nezaposlenih u posmatranim periodima.

Na dva grafikona koji slijede smo predstavili bazi�ne indekse nezaposlenih osoba visoke stru�ne spreme (VSS).


164

1998

Indeksi sa promjenljivom bazom predstavljaju odnose veli�ine pojave u posmatranom i prethodnom periodu. Da bismo konstruisali indekse sa promjenljivom bazom ili lan�ane indekse kao bazni period odabiremo svaki put prethodni period. Indekse sa promjenljivom bazom izra�unavamo tako da za bazu uzimamo svaki put podatke iz prethodnog perioda. Lan�ani indeks veli�ine V u periodu t u odnosu na period (t-1) ako je baza 1 u periodu (t-1) je jednak:

11/

�

t

ttt V

Vi (4.6)

Lan�ani indeks veli�ine V za period t u odnosu na period (t-1) ako je baza 100 u periodu (t-1) je jednak:

1001001

1/1/ ��

t

ttttt V

ViI (4.7)

Ovi indeksi se nazivaju i koeficijenti dinamike, jer pokazuju dinamiku i tempo promjene posmatrane pojave u odnosu na prethodni period.

Koriste�i podatke iz tabele 4.4. izra�unali smo lan�ane indekse nezaposlenih osoba prema stru�noj spremi. Izra�unate indekse prezentujemo u tabeli 4.8.

4.2.1.2. Indeksi sa promjenljivom bazom (lan�ani, verižni indeksi)


165

Tabela 4.8. Lan�ani indeksi I t/t-1

I99/98 I00/99 I01/00 VSS 92,42 108,27 106,66 VŠS 105,39 113,76 114,47 SSS 103,7 103,64 106,18 VKV, KV 104,25 102,82 105,57 PKV, NSS 139,04 101,53 104,85 NKV 96,40 95,09 97,64 Ukupno 102,07 99,99 102,76

Ukupan broj nezaposlenih se pove�ao u 1999. u odnosu na 1998. godinu za 2,07%. Izme�u 1999. i 2000.g. broj nezaposlenih je ostao skoro nepromijenjen. U periodu 2000.-2001. godina ukupan broj nezaposlenih se pove�ao za 2,76%.

Na sljede�em grafikonu su predstavljeni lan�ani indeksi nezaposlenih visoke stru�ne spreme (VSS).

Koriste�i podatke o broju diplomiranih studenata na ekonomskim fakulte-tima i Fakultetu za poslovni menadžment u F BiH izra�unali smo bazne i lan�ane indeksa koje zajedno sa podacima predstavljamo u sljede�oj tabeli.


166

Tabela 4.9. Broj diplomiranih studenata na E.F., bazni i lan�ani indeksi

Godine 1998 1999 2000 2001 2002 Ukupan broj studenata 581 484 532 665 462 Žene 345 273 310 373 275 Procenat žena po godinama 59,38% 56,40% 58,27% 56,09% 59,52% Bazni indeksi (1998) - Ukupno 100 83,30 91,57 114,46 79,52 Lan�ani indeksi -Ukupno 83,30 109,92 125,00 69,47 Bazni indeksi (1998) - Žene 100 79,13 89,86 108,12 79,71 Lan�ani indeksi - Žene 79,13 113,55 120,32 73,73

Izvor: Statisti�ki godišnjak Bosne i Hercegovine 2005., Federalni zavod za statistiku, Sarajevo, str. 295.

Na sljede�im grafikonima smo prezentirali bazne i lan�ane indekse za ukupan broj studenata, kao i bazne i lan�ane indekse za žene.


167


168

Primjer 4.2.

Na osnovu podataka datih u tabeli 4.10.a. izra�unati i grafi�ki predstaviti bazne indekse (baza 1997. godina), lan�ane indekse i prosje�nu godišnju stopu promjene društvenog proizvoda Bosne i Hercegovine u periodu 1997-2001.

Tabela 4.10.a. Društveni bruto proizvod BiH u milionima KM

1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

DBP 6367 7244 8604 9611 10480

Izvor: Statisti�ki bilten broj 1., Agencija za statistiku BiH, 2003., str. 20.

Bazni indeksi su predstavljeni u sljede�oj tabeli i grafikonima.

Naprimjer: 13,13510063678604

97/99 ��I . Stopa rasta DBP izme�u 1997. i

1999. je bila 35,13%.


169

Tabela 4.10.b. Bazni indeksi za društveni bruto proizvod BiH u milionima KM

I 97 I 98/97 I 99/97 I 00/97 I 01/97

100 113,77 135,13 155,95 164,60

100,00113,77

135,13150,95

164,60

1997 1998 1999 2000 20010

20406080

100120140160180

Bazni indeksi DBP BiH baza 100 u 1997. godiniGrafikon 4.14.

Na osnovu podataka iz tabele 4.10.a. izra�unali smo seriju lan�anih indeksa društvenog proizvoda Bosne i Hercegovine baza 100 u periodu (t-1).


170

77,11810072448604

98/99 ��I

Tabela 4.10.c. Lan�ani indeksi za društveni bruto proizvod BiH u milionima KM

I 97/96 I 98/97 I 99/98 I 00/99 I 01/00

- 113,77 118,77 111,70 109,04

(t-1)

Primjer 4.3.

U narednoj tabeli i grafikonu predstavljamo podatke o indeksima cijena na malo i indeksima troškova života u Federaciji BiH.

Tabela 4.11. Indeksi cijena na malo u Federaciji BiH

19991998

20001999

20012000

20022001

20032002

2004 2003

Indeksi cijena na malo 99,1 101,2 101,7 99,8 100,2 99,7 Indeksi troškova života 99,3 101,4 102,1 101,0 100,6 100,0

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije Bosne i Hercegovine 2005, str. 260. i 262.


171

4.2.2. Osobine indeksa

� Indeks ostaje nepromijenjen ako se posmatrana veli�ina ne mijenja. Ova osobina se naziva osobina identiteta. Ako je V

t=V

0,

odgovaraju�i indeksi ostaju nepromijenjeni tj.

it/0

= i0/0

=1 (4.8)

� Osobina tranzitivnosti je izražena sljede�om relacijom:

00

'

'0/''/0/ V

VVV

VV

iii tt

t

ttttt �� (4.9)

Ovu osobinu zadovoljavaju indeksi �iji je proizvod jednak odnosu veli�ine pojave u posmatranom i baznom periodu.

Ova osobina se može generalizirati na seriju sukscesivnih indeksa. Naprimjer, vrijednost indeksa u periodu t = 4 u odnosu na bazni period 0 (i

4/0) je jednaka proizvodu uzastopnih indeksa u prethodnim periodima:

0

4

0

1

1

2

2

3

3

40/11/22/33/40/4 V

VVV

VV

VV

VViiiii ��


172

Koriste�i izraz:

0/'

0/'/

t

ttt i

ii � (4.10)

možemo porediti posmatranu veli�inu u periodima t i t’. � Osobina recipro�nosti se može definisati u odnosu na vrijeme. Ova

osobina kaže da je recipro�an indeks neutralan u odnosu na vrijeme. To zna�i da se promjena baznog datuma predstavlja inverznom formulom:

11/00/

/00/ �� tt

tt ii

ii (4.11)

Za t =1 gornja formula ima sljede�i oblik:

111/00/1

1/00/1 �� ii

ii (4.12)

Inverzijom baznog i teku�eg perioda ostvaruje se recipro�nost indeksa. Recipro�nost indeksa ne zna�i da su procenti rasta i opadanja identi�ni. Posmatrajmo indeks �ija je vrijednost jednaka 1 u baznom i 1,5 u periodu 1:

67,05,1

11

5,115,1

0/11/0

0

10/1

��

��

ii

VVi

Rast izme�u datuma 0 i 1 je 50%. Opadanje izme�u 1 i 0 je 33%.

� Osobina cirkularnosti. Kada su zadovoljene osobine tranzitivnosti i recipro�nosti definisana je i osobina cirkularnosti:

1

odnosno ,1

0

0

'

'

/00//00/''/

��

��

t

t

t

t

t

t

tttttt

VV

VV

VV

VV

iiiii (4.13)

ili


173

1

odnosno ,1

2

2

2

0

0

1

1

2

2/00/22/00/11/2

��

��

VV

VV

VV

VV

iiiii (4.14)

Na osnovu tranzitivnosti, proizvod prva dva �lana je jednak i2/0. Na osnovu recipro�nosti i2/0 × i0/2=1.

Primjer 4. 4.

Primjena osobina indeksa na primjeru iz tabele 4.7. za visoku stru�nu spremu (VSS) i ukupan broj nezaposlenih:

I 99/98 I 00/99 I 01/00 I 01/98

VSS 92,42 108,27 106,66 106,73 Ukupno 102,07 99,99 102,76 104,88

Da bismo izra�unali indeks nezaposlenih VSS u periodu od 1998. do 2001. godine na osnovu lan�anih indeksa za prethodne tri godine primijeni�emo osobinu tranzitivnosti indeksa:

98

01

98

99

99

00

00

0198/9999/0000/0198/01 V

VVV

VV

VV

iiii ��

0673,19242,00827,10666,198/01 ��i

73,10610098/0198/01 �� iI

Primjenom osobine tranzitivnosti smo izra�unali i indeks ukupnog broja nezaposlenih u istom periodu i rezultat upisali u gornju tabelu.

� Primjena indeksa u izra�unavanju stope promjene

Stopu promjene smo definisali sljede�im izrazom:

100

0 ��5VV

VVV

VV tt


174

Pošto je indeks na bazi 1 jednak 0

0/ VVi t

t � izraz za stopu promjene možemo

napisati na sljede�i na�in:

11 0/00

0 ��

�5t

tt iVV

VVV

VV (4.15)

Stopa promjene koju možemo ozna�iti sa s je jednaka razlici izme�u indeksa u bazi 1 i jedinice:

10/ �5� tiVVs (4.16)

Indeks u bazi 1 je jednak zbiru stope promjene i jedinice. Pošto stope promjene ne posjeduju osobine ra�unanja, u izra�unavanju stopa potrebno je koristiti indekse u bazi 1, a kona�ni rezultat se može izraziti ili u bazi 100, ili kao stopa promjene u procentima.

Na osnovu izra�unatih relativnih promjena broja nezaposlenih osoba visoke stru�ne spreme (u %) u Federaciji BiH prezentovanih u tabeli 4.6. izra�unat �emo stopu promjene broja nezaposlenih u periodu 1998/2001. Dakle, na osnovu sljede�ih podataka

1999/98 2000/99 2001/00 2001/98

VSS -7,58 8,27 6,66

�emo izra�unati traženu stopu. Kako stope promjene nemaju nikakvu osobinu ra�unanja potrebno je primijeniti indekse na bazi 1.

Na osnovu podataka iz gornje tabele, ra�unamo proste indekse za tri posmatrana perioda. Prvo stope promjene izrazimo u obliku decimalnih brojeva, a zatim primijenimo vezu prema kojoj je indeks u bazi 1 jednak stopi promjene uve�anoj za jedinicu. Ovim postupkom smo dobili sljede�e rezultate:

9242,010758,098/99 ��i

0827,110827,099/00 ��i

0666,110666,000/01 ��i


175

Primjenom osobine tranzitivnosti ra�unamo indeks za traženi period:

01/98 99/98 00/99 01/ 00

0,9242 1,0827 1,0666 1,06727 1,0673i i i i� � �

� � � � �

Da bismo izra�unali stopu promjene, broja nezaposelnih u periodu 1998-2001, koristiti �emo vezu izme�u indeksa i stope promjene. U ovom primjeru stopa promjene je jednaka indeksu u bazi jedan umanjenom za jedinicu: 1,0673-1=0,0673. Ako rezultat želimo izraziti u procentima pomnoži�emo ga sa 100. U periodu izme�u 1998. i 2001.g., broj nezaposelnih sa visokom stru�nom spremom se pove�ao za 6,73%.

Stope promjene se ne mogu sabirati. Zbir stopa promjene u uzastopnim periodima ne daje stopu promjene u periodu koji sadrži te uzastopne periode. Npr. stope promjene od –7,58 zatim 8,27 i 6,66 ne uve�avaju nezaposlenost za 7,35% = (–7,58 + 8,27 + 6,66) nego kao što smo izra�unali za 6,73%.

� Prosje�na godišnja stopa promjene

Pretpostavimo da veli�ina V raste po godišnjoj stopi r. Ozna�imo njenu vrijednost u periodu 1, dakle, u polaznoj godini, sa V1. Godinu poslije vrijednost veli�ine V �e biti jednaka:

V2 =V1 + V1 · r = V1 (1+r) (4.17)

Ako se rast nastavi po istoj stopi, u periodu 3 �emo imati:

V3 =V2 + V2 ·r = V2 (1+r) = V1 (1+r)2 (4.18)

Poslije t godina veli�ina �e biti jednaka:

Vt = V1 (1+r)t-1 (4.19)

1

1

1

1

11 /11

(1 )

(1 )

1 1

t t

tt

t tt t

VrV

VrV

Vr iV

� �

� �

� �

(4.20)


176

Izraz 1

1

ttVV

se naziva prosje�an indeks promjene i predstavlja geometrijsku

sredinu lan�anih indeksa. Prosje�na godišnja stopa promjene je jednaka prosje�nom godišnjem indeksu promjene umanjenom za jedinicu. Ukoliko stopu promjene želimo izraziti u procentima, izraz za stopu promjene �emo pomnožiti sa 100:

� �11 /11

1 100 1 100t tt tVr iV

� �

� � � �� (4.21)

Prosje�na godišnja stopa promjene je jednaka geometrijskoj sredini lan�anih indeksa umanjenoj za jedinicu.

Ova formula može biti korištena direktno ukoliko poznajemo prosje�ni godišnji indeks ili vrijednosti posmatrane varijable u posmatranim periodima10.

Izraz za prosje�nu godišnju stopu možemo napisati i u razvijenom obliku:

� ��

-1 21 1

1 -1 -2 1

1/ -1 1/ 2 2 /1

1/1

1 100 1 100

1 100

1 100

t t tt t

t t

tt t t t

tt

V V V VrV V V V

i i i

i

� � � ��

� � ��

� �

(4.22)

Izraz 1

1

(1 ) t tVrV

� � možemo korištenjem logaritama izraziti u sljede�em

obliku:

1

1

( 1) log (1 ) log

log loglog (1 )1

t

t

Vt rV

V Vrt

� � �

� �

10 Ovu vrijednost može biti izra�unata direktno korištenjem digitrona ili primjenom

logaritama.


177

1

1

log log(1 ) log1

log loglog 11

t

t

V Vr antit

V Vr antit

� ��

(4.23)

i izra�unati korištenjem logaritama.

Period t za koji bi se dostigao planirani nivo veli�ine V se izra�unava na sljede�i na�in:

1

1

1

1

1

1

��

�

t t

t t

VV

r

VV

r

� �1loglog1

1)1log( VVt

r t

��

� �1

)1log(loglog 1 ��

�

rVV

t t (4.24)

Primjer 4.5.

Da bismo na osnovu podataka iz tabele 4.10. izra�unali prosje�nu godišnju stopu promjene društvenog proizvoda BiH u periodu 1997.-2001. potrebno je prvo izra�unati indekse na bazi 1, a zatim izra�unati prosje�an godišnji indeks u periodu 1997.-2001. i na osnovu tog podatka, izra�unati prosje�nu godišnju stopu promjene.

Godišnji indeks u periodu 1997.-2001. je jednak:

97/9898/9999/0000/0197/01 iiiii ��

646,11377,11877,11170,10904,197/01 ��i

Prosje�ni godišnji indeks dobijamo na sljede�i na�in:

1327,16460,16460,1 4/14 ��i


178

Prosje�ni godišnji indeks je 1,1327. Prosje�na godišnja stopa rasta je bila 13,27%.

Dakle, prosje�na godišnja stopa promjene je jednaka geometrijskoj sredini lan�anih indeksa (baza 1) umanjenoj za jedinicu za posmatrani period:

1327,011327,116460,111377,11877,11170,10904,1

1144

497/9898/9999/0000/01

497/0197/01

��

�� iiiiir

Prosje�na godišnja stopa rasta društvenog proizvoda u periodu 1997.-2001. godina je bila 13,27%.

Utvr�ivanje prosje�ne godišnje stope promjene r možemo formalizirati i na sljede�i na�in:

401/ 00 00 / 99 99 / 98 98 / 97

01 00 99 984

00 99 98 97

01 44 01/ 9797

4

1

1

1 1

1,646 1 1,1327 1 0,1327

r i i i i

V V V VV V V V

Vi

V

� � � �

� � � �

� �

� � �

Primjer 4.6.

Odrediti prosje�nu godišnju stopu promjene ako agregatni pokazatelj V raste 10% prve godine, 20% druge, 25% tre�e i 40% �etvrte godine.

� � � �1 41 11 1t

tV V r V r� � � �

� � � � � � � �1 1 0,1 1 0,2 1 0,25 1 0,40tV V� � � � � � � �

� � � � � � � � � � 31,240,125,12,11,11 4 �� r

4/14 31,231,2)1( �� r

23,023,1)1(

��

rr


179

ili

� � 0909,04

31,2log1log �� r

%2323,0

23,1)1(0909,0log)1(

��

��

rr

rantir

Prosje�na godišnja stopa rasta je bila 23%.

Primjer 4.7.

Veli�ina V se uve�ala u prvoj godini 20%, a u drugoj godini se smanjila za 20%.

a) Koliko se veli�ina V promijenila u toku dvije godine? b) Kolika je prosje�na godišnja stopa promjene? c) Ako se veli�ina V uve�ala za 20% prve godine, koliko treba da se

promijeni u drugoj godini da bi dostigla nivo iz prve godine?

a) � �2 1 1 0, 2V V� � �

� � � � � �3 2 11 0,2 1 0,2 1 0,2V V V !� � � � � � " #

� � � �3 1 11, 2 0,8 0,96V V V� � � � �

Veli�ina V je opala za 4% u toku dvije godine.

b) � �23 1 1V V r� �

� � 96,01 2 �� r

9798,01 �� r

r = -0,0202

r = -2,02%

Prosje�na godišnja stopa promjene je jednaka -2,2%.


180

Ili 2 /1 1/ 0 1 0,8 1,2 1 0,96 1 0,9798 1 0,0202

2,02%r i ir� � � � � � � �

c) � �3 2 1V V r� �

2 1 1, 20V V� �

Slijedi:

� � � � � �3 111,20 1 1,20 1 1 120

V V r r r� � � � � � � � � � �

1666,0

120,11

�

�

r

r

Poslije pove�anja od 20% V se mora smanjiti za 16,66% da bi dostigao svoj nivo iz baznog perioda.

Primjer 4.8.

U periodu 1993.-2002. stopa poreza je rasla u apsolutnom iznosu 1% svake godine, a u 2003. i 2004. godini je rasla za 0,5% godišnje. U 2005.g. je opala za 1%.

U 2002. stopa poreza je bila 44%. a) Izra�unati prosje�nu godišnju stopu poreza izme�u 1993. i 2005.

b) U kojoj godini bi ova stopa bila ve�a od 50%? Rješenje: a) U 1993: 0,44 0,09 0,35 � U 2004: 45,001,044,0 �� U 2005: 44,001,045,0 �

12120, 44 1 1,2571 1 1,0193 10,35

r � � � � %93,1�r

b) U 2005.g. r = 44%. Ova stopa �e biti ve�a od 50%, t godina poslije 2005.g. ako se uve�ava po prosje�noj stopi od 1,93% godišnje.


181

� � 10, 44 1,0193 0,50t� �

� � 1 0,501,0193 1,13640,44

t � �

log1,13641 6,68 7,78 8 godinalog1,0193

t t � � � � �

Stopa bi bila ve�a od 50% u 2013. godini.

Primjer 4.9.

Veli�ina V je rasla po istoj stopi u toku 3 godine. U 2002. je bila 2000 €, a u 2005. 2662 €. Koja je bila prosje�na godišnja stopa rasta?

31

1

26621 12000

ttVrV

� �

%1010,011,11331,13

��

rr

ili

� �3

2000log2662log1log �� r

� �� 04139,0log1

04139,01logantir

r ��

��

� � %1010,010,11 �� rr

4.2.3. Relacije izme�u baznih i lan�anih indeksa

4.2.3.1. Pretvaranje lan�anih indeksa u bazne indekse

Lan�ani indeksi se pretvaraju u bazne postupkom postepenog množenja indeksa prema sljede�em izrazu:

��

��

� .,..,3,2,1,100

)1/(0/)1(0/ ntiI

btI

tttt (4.25)


182

Lan�ani indeksi mogu se pretvarati u indekse na stalnoj bazi vezanoj za bilo koji period primjenom sljede�e relacije:

��

�

��

�

�

��

�

�

�

�

�

btiIiI

bt

I

ttt

tt

tt

,

bt,

,100

)1/(0/)1(

/)1(

0/)1(0/ (4.26)

U prethodnom izrazu b je bazni period i za t = b indeks je jednak 100.Bazne indekse za prethodne periode dobijamo dijele�i bazni indeks naredne sa lan�anim indeksom te iste godine.

Bazni indeksi za naredne periode dobiju se postupnim množenjem baznog indeksa iz prethodnog i lan�anog indeksa iz posmatranog perioda.

4.2.3.2. Pretvaranje baznih u lan�ane indekse

Pošto su indeksi na stalnoj bazi upravo proporcionalni orginalnim podacima, u postupku pretvaranja baznih u lan�ane indekse postupa se kao da se radi sa izvornim podacima. Indeksi na stalnoj bazi pretvaraju se u lan�ane tako da se indeks iz teku�eg perioda dijeli sa prethodnim indeksom i rezultat pomnoži sa 100.

/ 0/( 1)

( 1) / 0

100, 2,3,.., .tt t

t

II t n

I

� � � (4.27)

Pri pretvaranju baznih u lan�ane indekse nije bitno koji period �emo izabrati za bazno razdoblje.

4.2.3.3. Pretvaranje indeksa na stalnoj bazi u indekse na drugu stalnu bazu

Indeksi na stalnoj bazi prera�unavaju se na drugu bazu tako da se svaki indeks podijeli indeksom novog baznog razdoblja i dobijeni odnos pomnoži sa 100.

100*0/

0/*0/ ��

b

tt I

II (4.28)


183

Dva naj�eš�a razloga promjene baze indeksa su potreba pore�enja razli�itih varijabli (DBP, nezaposlenost, itd.) �iji objavljeni indeksi su rijetko izraženi na osnovu iste baze i periodi�no uskla�ivanje baza kada je potrebno reaktualizirati bazu ako se serija previše udaljava od orginalne vrijednosti.

U ovom slu�aju koristi se osobina tranzitivnosti 0/1

0/1/0/11/0/ i

iiiii tttt �� .

Novi indeks je jednak koli�niku izme�u polaznog baznog indeksa i indeksa nove bazne godine izraženog u staroj bazi 0.

Primjer 4.10.

Lan�ani indeksi industrijske proizvodnje Federacije BiH su predstavljeni u sljede�oj tabeli:

Tabela 4.12. Lan�ani indeksi industrijske proizvodnje Federacije BiH

I96/95 I97/96 I98/97 I99/98 I00/99 I01/00 187,6 135,7 123,8 110,6 108,8 112,2

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije BiH, 2002, str.113.

Na ovom primjeru �emo ilustrovati pretvaranje lan�anih u bazne indekse uz pretpostavku da je baza 100 u 1998. godini.

Tabela 4.12.a. Pretvaranje lan�anih u bazne indekse

1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Postupak 59,5/1,876 80,8/1,357 100/1,238 100 110,6 110,6�1,088 120,3�1,122� Indeksi 31,7 59,5 80,8 100 110,6 120,3 134,97�135

4.2.4. Agregatni indeksi

Najzna�ajniji agregatni indeksi su: indeks vrijednosti, indeks cijena, indeks fizi�kog obima proizvodnje, indeksi troškova života, itd.

Konstrukciju agregatnih indeksa �emo ilustrovati na primjeru potrošnje dva proizvoda.


184

Tabela 4.13. Cijena proizvoda A i B

Proizvod A Proizvod B Cijena KM/kom Cijena KM/kom

2004. 4 10 2005. 6 11

Na osnovu datih podataka možemo izra�unati samo individualne indekse cijena svakog proizvoda gdje je 2004. bazna godina.

15010046 ��ApI

1101001011 ��BpI

Konstatujemo da se cijena proizvoda A pove�ala za 50%, a cijena proizvoda B za 10% u posmatranom periodu.

Ako gornju tabelu kompletiramo sa podacima o kupljenim koli�inama svakog proizvoda:

Tabela 4.14. Cijena i kupljena koli�ina proizvoda A i B

Proizvod A Proizvod B Cijena KM/kom Komad Cijena KM/kom Komad

2004. 4 10 10 8 2005. 6 12 11 10

Možemo izra�unati za svaku godinu budžet utrošen za kupovinu tih proizvoda:

Budžet u 2004.:

KMKMKMkomkomKMkomkomKM 12080408/1010/4 ��

Budžet u 2005.:

KMKMKMkomkomKMkomkomKM 1821107210/1112/6 ��


185

i izra�unati sljede�i indeks vrijednosti:

0505 / 04

04

182 100 151,67120W

WI

W� � � �

na osnovu kojeg konstatujemo da se budžet potroša�a utrošen na kupovinu dva posmatrana proizvoda pove�ao za 51,67% u 2005. u odnosu na 2004. godinu.

4.2.4.1. Konstrukcija agregatnih indeksa Laspeyres i Paasche metodom agregiranja

Da bismo objasnili konstrukciju agregatnih indeksa cijena metodom agregiranja formalizaciju �emo predstaviti na sljede�i na�in:

Tabela 4.15. Konstrukcija agregatnih indeksa cijena

Proizvod A (j)=1 Proizvod B (j)=2

Cijena KM/kompi

(1) Komad

qi(1)

Cijena KM/kompi

(2) Litar qi

(2)

Vrijednost potroša�ke korpe (W)

(i=0) 2004. 4 10 10 8 120 (i=1) 2005. 6 12 11 10 182

U gornjoj tabeli smo uveli sljede�e simbole: p je cijena, q je koli�ina, i je indeks datuma, a j indeks proizvoda, bazna godina je 2004. (i=0) i posmatrana godina 2005. (i=1).

Potrošnja u 2004.: (i=0)

� 00qp = 12081010420

20

10

10

2

1

)(0

)(0 ��

�qpqpqp

j

jj

Potrošnja u 2005.: (i=1)

182101112621

21

11

11

2

1

)(1

)(111 ��

�qpqpqpqp

j

jj

Indeks vrijednosti �emo ozna�iti sa IW i izra�unati na sljede�i na�in:


186

1 11/ 0

0 0

182100 100 151,67120W

p qI

p q� � � � ��

Indeks vrijednosti mjeri evoluciju cijena i kupljenih koli�ina. Budžet utrošen za kupovinu ova dva proizvoda se pove�ao za 51,67%.

Da bismo izra�unali indeks cijena možemo fiksirati strukturu potrošnje u baznom ili u posmatranom periodu.

� Struktura potrošnje (koli�ina) fiksirana u baznom periodu

Ako strukturu potrošnje fiksiramo u 2004. godini (bazni datum) dobijamo Laspeyres (Lasperov) indeks cijena:

1 1 2 21 0 1 0 1 0

1/ 0 1 1 2 20 0 0 0 0 0

100 100

6 10 11 8 148100 100 123,33120 120

p

p q p q p qL

p q p q p q�

� � � � ��

� � ��

��

148 KM je fiktivna vrijednost koju bi imala potroša�ka korpa u 2005. ako bi potrošnja ostala ista kao u 2004. Laspeyres indeks cijena u 2005. baza 100 u 2004. je jednak 123,33. Na osnovu ovog indeksa konstatujemo pove�anje cijena od 23,33% u posmatranom periodu.

� Struktura potrošnje (koli�ina) fiksirana u posmatranom periodu

Ako strukturu potrošnje fiksiramo u posmatranom periodu, tj. u 2005. godini, dobijamo Paasche (Pašev) indeks cijena:

1 1 2 21 1 1 1 1 1

1/ 0 1 1 2 20 1 0 1 0 1

100 100

6 12 11 10 182100 100 122,974 12 10 10 148

p

p q p q p qP

p q p q p q�

� � � � ��

� � ��

��

148 KM je fiktivna vrijednost koju bi imala potroša�ka korpa ako bi u 2004.g. potrošnja bila jednaka potrošnji u 2005.g. Paasche indeks cijena potrošnje u 2005.g. baza 100 u 2004.g. je jednak 122,97. Na osnovu ovog indeksa konstatujemo pove�anje cijena od 22,97%.


187

Indeks izra�unat na bazi ponderacija iz posmatranog perioda je naj�eš�e manji od indeksa utvr�enog na osnovu ponderacija iz baznog perioda.

4.2.4.2. Konstrukcija indeksa Laspeyres i Paasche pomo�u ponderisanih sredina

Laspeyres i Paasche indeks možemo formalizirati koriste�i ponderisane sredine.

� Laspeyres indeks možemo izraziti u obliku aritmeti�ke sredine na sljede�i na�in:

)(0/1

)(

)(00/1

jp

j

jp IL �� ,

gdje )(0

j, predstavlja realni budžetski koeficijent (ponder) proizvoda (j) utvr�en u baznom periodu 0. Dobijamo ga kao odnos realne potrošnje za svaki proizvod u baznom periodu i realne vrijednosti potroša�ke korpe u baznom periodu.

Za proizvod A (j=1):

33,0120

10420

20

10

10

10

10)1(

0 ��

��

qpqpqp,

Za proizvod B (j=2):

67,012080

20

20

10

10

20

20)2(

0 ��

��

qpqpqp,

167,033,0)2(0

)1(0 ��,,

20/1

20

10/1

10

)(0/1

)(

)(00/1 pp

jp

j

jp IIIL �� ,,,

Bp

Ap II �� 67,033,0

2,12311067,015033,0 ��

Dobili smo isti rezultat kao sa agregatnim oblikom Laspeyres indeksa cijena.


188

� Paasche indeks u obliku aritmeti�ke sredine

)(04/05

)(

)(0104/05

jp

j

jp IP �� 6

)(01

j6 je fiktivni budžetski koeficijent proizvoda (j) ra�unat na osnovu cijena iz baznog perioda i koli�ina iz posmatranog perioda. Dobijamo ga kao odnos fiktivne potrošnje svakog proizvoda i fiktivne vrijednosti potroša�ke korpe.

Za proizvod A (j=1):

32,014848

21

20

11

10

11

101

1,0 ��

�� qpqp

qpqp6

68,0148100

21

20

11

10

21

202

1,0 ��

�� qpqp

qpqp6

8,12211068,015032,0221,0

111,004/05

�� pqppqpp IIP 66

Dobili smo naravno isti rezultat kao sa agregatnim oblikom Paasche indeksa cijena.

Na osnovu izra�unatih indeksa možemo posmatrati evoluciju strukture potrošnje. Realne proporcije u 2004.g. su sljede�e: 33% budžeta je utrošeno za proizvod A (indeks cijena: 150) i 67% budžeta je utrošeno za proizvod B (indeks cijena: 110).

Realne proporcije u 2005.g. su: 40% budžeta je utrošeno za proizvod A i 60% budžeta je utrošeno za proizvod B.

4.2.4.3. Formule za ra�unanje i osobine agregatnih indeksa

� Formule za agregatne indekse dobijene metodom agregiranja su sljede�e:

- Agregatni indeksi cijena

1. Laspeyres:

��

00

010/1

100qpqp

Lp (4.29)

koli�ina je fiksirana u baznom periodu.


189

2. Paasche:

��

10

110/1

100qpqp

Pp (4.30)

koli�ina je fiksirana u posmatranom periodu.

- Agregatni indeksi koli�ina

1. Laspeyres:

��

00

100/1

100qpqp

Lq (4.31)

cijene su fiksirane u baznom periodu.

2. Paasche:

��

01

110/1

100qpqp

Pq (4.32)

cijene su fiksirane u posmatranom periodu.

� Formule dobijene na osnovu ponderisanih sredina

- Agregatni indeks cijena

1. Laspeyres: )(0/1

)(

)(00/1

jp

j

jp IL �� , (4.33)

Laspeyres indeks cijena je jednak aritmeti�koj sredini individualnih indeksa cijena proizvoda koji sa�injavaju potroša�ku korpu ponderisanim sa realnim budžetskim koeficijentima na osnovu baznog perioda.

2. Paasche:

)(0/1)(

)(1

0/1 11

jpj

jp

I

P�

��,

(4.34)


190

Paasche indeks cijena je jednak harmonijskoj sredini individualnih indeksa cijena proizvoda koji sa�injavaju potroša�ku korpu ponderisanim sa realnim budžetskim koeficijentima na osnovu posmatranog perioda.

� Agregatni indeksi koli�ina

Agregatne indekse koli�ina definišemo sljede�im izrazima:

1. Laspeyres: )(

0/1)(

)(00/1

jq

j

jq IL �� , (4.35)

2. Paasche:

)(0/1)(

)(1

0/1 11

jqj

jq

I

P�

��,

(4.36)

� Osobine agregatnih indeksa

Laspeyres indeksi koji se izra�unavaju kao ponderisana aritmeti�ka sredina imaju osobinu agregiranja. Teorijski ni indeksi Laspeyres, ni indeksi Paasche nemaju osobinu tranzitivnosti. U praksi se, zbog �injenice da je ova osobina numeri�ki skoro zadovoljena, pretpostavlja da i ovi indeksi zadovoljavaju osobinu tranzitivnosti da bi se pojednostavila njihova primjena.

Primjer 4.11.

Indeks troškova života 2000./1999. u Federaciji BiH je jednak:

014,1 00/99 �tži

Indeks troškova života 2001./2000. u Federaciji BiH je jednak:

021,101/00 �tži

Konstatujemo da je: 035,1021,1014,101/99 ��tži Dakle, stopa inflacije u periodu od dvije godine je jednaka 3,5%

U statisti�koj praksi se za odre�ivanje indeksa cijena koristi naj�eš�e Laspeyres indeks. Federalni zavod za statistiku BiH i Agencija za statistiku BiH koriste Laspeyres indeks za utvr�ivanje cijena.


191

4.2.4.4. Fischerov indeks cijena

Fischerov indeks cijena je jednak geometrijskoj sredini Laspeyres i Paasche indeksa cijena:

0/10/10/1 ppp PLF �� (4.37)

Ako uvrstimo Laspeyres i Paasche indeks cijena iz našeg primjera, dobijamo Ficherov indeks cijena.

15,12397,12233,12302/03

��pF

Na osnovu ovog indeksa konstatujemo pove�anje cijena od 23,15%

4.2.4.5. Agregatni indeks vrijednosti i njegova dekompozicija

Agregatni indeks vrijednosti je definisan sljede�im izrazom:

1 / 0

1 1

0 0

100W

p qI

p q� ��

(4.38)

Agregatni indeks vrijednosti možemo dekomponovati na sljede�i na�in:

1 / 0

1 1 1 1 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0W

p q p q p q p qXip q X p q p q p q

� � � � ��

1 / 0Wi � pp.lq(4.39)

1 / 0

1 1 1 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0W

p q p q p q p qYip q Y p q p q p q

� � � � ��

1 / 0Wi � pq .lp (4.40)

Primjena na našem primjeru:

233,1120148

1201010124

00

100/1

��

qpqp

lq


192

230,15059

811106182

01

110/1

��

��

qpqp

pq

1, 233 1,230 1,52W p qi l p� � � � �

Pove�anje od 52 % vrijednosti potroša�ke korpe je rezultat zajedni�kog efekta pove�anja cijena za 23,3% i pove�anja kupljene koli�ine za 23%.

1,23 1,233 1,52W p qi p l� � � � �

Pove�anje od 52% vrijednosti potroša�ke korpe je rezultat zajedni�kog efekta pove�anja cijena za 23% i pove�anja kupljene koli�ine za 23,3%.

4.2.4.6. Inflacija i deflator

Inflacija je ekonomska neravnoteža koja se manifestuje konstantnim pove�anjem cijena. Porast cijena, koji je simptom inflacije, se mjeri pomo�u indeksa troškova života koji ra�unaju i objavljuju zvani�ne statisti�ke institucije.

Indeks troškova života za 2001./2000. u Federaciji BiH je bio jednak 021,101/00 �tži .

To zna�i da je stopa rasta troškova života u periodu 2000.-2001. bila 2,1%.

Deflator je statisti�ki indikator pomo�u kojeg eliminišemo uticaj inflacije koja vješta�ki pove�ava vrijednost proizvoda i usluga. Deflator nam omogu�ava da veli�ine izražene u teku�im cijenama izrazimo u stalnim cijenama. Na sljede�em primjeru �emo ilustrovati primjenu deflatora.

Tabela 4.16. Prosje�ne godišnje neto plate u Federaciji BiH

1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Prosje�ne godišnje neto plate u KM 266,33 329,12 374,54 412,72 443,26

Indeksi troškova života 106,8 99,3 101,4 102,1

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije BiH 2001, str. 267., Statisti�ki godišnjak Federacije BiH 2002, str. 271.


193

Izra�unati �emo nominalni i realni indeks plata za period 1997.-1998. godina. � U analizi plata kao deflator koristimo indeks troškova života. Prvo

�emo izra�unati nominalni indeks plata za 98./97.

In plata 98/97=329,12/266,33=123,6.

Prema ovom indeksu, plate su se u periodu 97.-98. pove�ale za 23,6%.

� Da bismo izra�unali realni indeks plata, nominalne indekse plata smo deflacionirali indeksom troškova života. Realni indeks plata 98./97. je jednak:

Ir plata 98/97= In / Itž =123,6/106,8=115,7.

Prema ovom indeksu plata, za isti period, konstatujemo da su se plate pove�ale za 15,7%.

Kao deflator se može koristiti i indeks cijena na malo koji ra�unaju i objavljuju zvani�ne statisti�ke institucije.

U opštem slu�aju da bismo pokazatelje izražene u teku�im izrazili u stalnim cijenama koristimo odgovaraju�i deflator. Da bismo dobili stalne cijene, teku�e cijene je potrebno podijeliti sa deflatorom isc=itc /deflator.

U slu�aju plata u našem primjeru koristili smo kao deflator indeks troškova života isc=itc/itž.

Da bismo izrazili realne indekse plata bilo je potrebno podijeliti nominalne indekse plata sa indeksima troškova života ir=in/itž.

4.3. VREMENSKE (HRONOLOŠKE) SERIJE

Polaznu osnovu za analizu pojava u vremenu �ini vremenska serija. Vremenska serija je skup hronološki utvr�enih vrijednosti neke pojave.Zadaci analize vremenskih serija su:

� Opis razvoja pojave u vremenu � Objašnjenje varijacije pojave u vremenu � Predvi�anje razvoja pojave.


194

4.3.1. Konstitutivni elementi vremenske serije

Konstitutivni elementi vremenske serije su: dugoro�na tendencija ili trend, cikli�ne varijacije, sezonske promjene i slu�ajne ili rezidualne promjene.

� Tendencija ili trend

Trend izražava dugoro�nu evoluciju ili osnovni tok kretanja pojave i izražava se funkcijama vremena. Trend predstavlja dugoro�nu generalnu tendenciju rasta ili opadanja pojave koja se istražuje.

U ekonomiji dugoro�na tendencija ima trajanje duže od 10 godina. Ova dugoro�na tendencija poti�e iz fenomena �iji se efekti manifestuju poslije dugo vremena (ra�anje/struktura populacije prema godinama starosti, tehni�ke promjene/efikasnost osnovnih sredstava itd.). Primjer dugoro�ne tendencije rasta pokazuje cijene troškova života.

� Cikli�ne varijacije

Cikli�ne varijacije mogu biti razli�itog intenziteta i trajanja. Njihova periodi�nost je od 2 do 10 godina. Uzrok ovih varijacija su uglavnom fluktuacije u tokovima (potrošnja, investicije itd.). Cikli�nu komponentu koja predstavlja dugoro�ne varijacije oko trenda je �esto teško identifikovati tako da se može smatrati kao dio trenda.

� Sezonske varijacije

Sezonske varijacije pokazuju sezonski ili periodi�ni uticaj na analiziranu pojavu. Sezonske promjene karakterišu oscilacije regularnog trajanja i intenziteta oko trenda. Periodi�nost pojavljivanja sezonskih varijacija je manja ili jednaka godini. Sezonske varijacije se mogu lahko uo�iti ukoliko kretanje pojave predstavimo grafi�ki.Tipi�ni primjeri ovog tipa varijacija su: potrošnja elektri�ne energije, proizvodnja poljoprivrednih proizvoda, broj no�enja u turizmu, dolazak novih osoba na tržište rada itd.

� Slu�ajne ili rezidualne promjene

Slu�ajne promjene ne možemo objasniti sa tri prethodno analizirane grupe promjena. Slu�ajne promjene su nepredvidljive i neregularne. Primjer: ratovi, štrajkovi, poplave, požari i druge netipi�ne promjene.


195

Trend komponenta, cikli�ne i sezonske promjene se nazivaju sistematskim, deterministi�kim komponentama jer predstavljaju kovarijacije pojave koje se mogu izraziti funkcijom vremena. Slu�ajna komponenta je nesiste-matska. Ona ukazuje na postojanje neregularnih promjena.

Vremenska serija ne mora uvijek sadržavati sve navedene komponente. Osnovni zadatak u analizi vremenskih serija je identificiranje, izolovanje i eliminisanje uticaja cikli�nih, sezonskih i slu�ajnih promjena da bi se mogla odrediti dugoro�na tendencija posmatrane pojave.

Za odre�ivanje dugoro�nih tendencija (trenda) promjene pojava predstavljenih vremenskim serijama naj�eš�e koristimo empirijski metod pokretnih sredina i analiti�ki metod najmanjih kvadrata.

4.3.2. Metod pokretnih sredina za odre�ivanje trenda

Pokretne sredine reda p (p<T) serije �xt, t =1,….,T� se definišu kao sukscesivne sredine ra�unate za p sukcesivnih datuma. Pošto se vrijednosti svaki put pomjeraju za rang udesno na vremenskoj osi nazivaju se pokretnim sredinama.

Pokretne sredine se izra�unavaju prema sljede�oj formuli u slu�aju kada je red pokretne sredine p neparan broj p = 2m+1:

��

��

m

mkktp x

ptPS 1)( (4.41)

ili u razvijenom obliku:

1 1... ...( ) t m t t t t m

pX X X X X

PS tp

� �� (4.42)

Broj izra�unatih pokretnih sredina je manji od broja originalnih podataka u seriji. Kada je red pokretnih sredina p neparan broj može se izra�unati (T-p+1) pokretnih sredina. Pokretne sredine neparnog reda su jednostavne i simetri�ne.

Kada je red pokretnih sredina p paran broj, p=2m, pokretne sredine se ra�unaju korištenjem sljede�e relacije:


196

%#!

$" ��

��

��

1

1 221)(

m

mk

mtkt

mttp

xx

xp

ytPS (4.43)

Pokretna sredina parnog reda je ponderisana sredina vrijednosti serije za datume (t-1) i (t+1) sa koeficijentima ponderacije jednakim 1/2p za dvije ekstremne vrijednosti xt-m i xt+m i jednakim 1/p za (p-2) intermedijarne vrijednosti xt-m+1 do xt+m-1 da bismo odredili datum t. Ova pokretna sredina sadrži (p+1) elemenata za njeno izra�unavanje. Može se izra�unati (T-p) pokretnih sredina parnog reda.

Metod pokretnih sredina i njegovu primjenu �emo ilustrovati na sljede�im primjerima.

4.3.2.1. Odre�ivanje tendencije metodom pokretnih sredina neparnog reda

Odre�ivanje tendencije metodom pokretnih sredina neparnog reda �emo ilustrovati na sljede�em primjeru:

Tabela 4.17. Bruto podaci i izra�unate pokretne sredine tre�eg reda

N° Datum Bruto podaci PS3 1 2005-1 80 2 2005-2 100 100,00 3 2005-3 120 101,33 4 2005-4 84 103,00 5 2005-5 105 108,33 6 2005-6 136 110,33 7 2005-7 90 112,00 8 2005-8 110 119,33 9 2005-9 158 120,00

10 2005-10 92 121,67 11 2005-11 115 115,67 12 2005-12 140

Na osnovu podataka prezentiranih u tabeli 4.17. predstavili smo na sljede�em dijagramu promjenu posmatrane pojave u vremenu. Dijagram nam pomaže da uo�imo da li su prisutne sezonske promjene i koji je red njihove periodi�nosti.


197

0N

Na osnovu grafi�kog prikaza možemo konstatovati da su prisutne sezonske varijacije i da je red njihove periodi�nosti 3.

Na osnovu podataka datih u tabeli 4.17. ra�unamo pokretne sredine tre�eg reda.

3)2(3 321 xxx

tPS��

�� 1003

12010080 ��

3)3(3 432 xxx

tPS��

�� 3,1013

84120100 ��

3)4(3 543 xxx

tPS��

�� 1033

10584120 ��

3)5(3 654 xxx

tPS��

�� 33,1083

13610584 ��

Ostale izra�unate vrijednosti pokretnih sredina tre�eg reda predstavili smo u tabeli 4.17. Dobijene podatke o pokretnim sredinama �emo prikazati na grafikonu 4.19. na kojem su ve� predstavljeni bruto podaci. Metoda pokretnih sredina nam je omogu�ila da odredimo dugoro�nu tendenciju ove pojave, koju nije bilo mogu�e uo�iti na osnovu bruto podataka. Metodom pokretnih sredina eliminisali smo sezonski karakter pojava i možemo konstatovati da je ova pojava imala rastu�i karakter.

Pokretne sredine ra�unate u ovom slu�aju su bile neparnog reda pa se problem datuma nije postavljao. Npr. vrijednost na ordinati pokretne sredine reda 3 PS3 (t=2) je ra�unata na osnovu bruto podataka u datumima


198

1, 2 i 3 i prirodno je da joj dodijelimo datum medijane t=2. Nismo mogli izra�unati pokretnu sredinu za prvi i posljednji mjesec zato što nismo imali za prvi prethodni, a za 12. podatak koji slijedi.

Na osnovu grafi�ke prezentacije krive, koju smo dobili spajaju�i izra�unate pokretne sredine tre�eg reda, možemo konstatovati da je ove pojava u posmatranom periodu imala dugoro�nu tendenciju rasta. Izra�unavanjem pokretnih sredina mi smo eliminisali uticaj sezonskih varijacija na posmatranu pojavu.

4.3.2.2. Odre�ivanje tendencije metodom pokretnih sredina parnog reda

Primjenu metoda pokretnih sredina �etvrtog reda �emo ilustrovati na primjeru pojave �iji su bruto podaci predstavljeni u tabeli 4.18.

Tabela 4.18. Metoda pokretnih sredina �etvrtog reda

R.broj Datum Bruto podaci PS4 1 2000-T1 2350 2 T2 2495 3 T3 2159 2772,4 4 T4 4263 2688,5 5 2001-T1 1995 2657,8 6 T2 2179 2689,0 7 T3 2229 2743,3


199

Tabela 4.18. nastavak

8 T4 4443 2823,3 9 2002-T1 2249 2885,6

10 T2 2565 2931,1 11 T3 2342 2974,0 12 T4 4694 2993,8 13 2003-T1 2341 2986,5 14 T2 2631 2972,0 15 T3 2218 2947,3 16 T4 4702 2900,0 17 2004-T1 2135 2918,0 18 T2 2459 2963,5 19 T3 2534 2976,4 20 T4 4750 2989,6 21 2005-T1 2190 3015,4 22 T2 2510 3038,9 23 T3 2689 24 T4 4783

Bruto podatke smo predstavili na sljede�em grafikonu.

Na osnovu dijagrama možemo konstatovati prisustvo sezonskih varijacija �ija je periodi�nost ili sezonalitet �etvrtog reda.


200

Za izra�unavanje pokretne sredine parnog reda, npr. reda �etiri, logi�ki bi trebalo toj sredini pridružiti datum medijane. Naprimjer, u slu�aju da

ra�unamo sredinu sa �etiri sljede�e vrijednosti 4

?)(4 4321 xxxxtPS

��

logi�ki bi joj trebalo pridružiti datum medijane 2,5. Me�utim, ovaj datum ne postoji u datoj seriji.

Sljede�oj sredini ra�unatoj na osnovu 4 vrijednosti

4?)(4 5432 xxxx

tPS��

�� bi trebalo logi�ki pridružiti datum medijane

koji je ovdje 3,5. Ali ni ovaj datum ne postoji u datoj seriji.

Da bi se riješio problem datuma potrebno je izra�unati aritmeti�ku sredinu na osnovu dvije ve� izra�unate sredine i njoj dodijeliti datum 3 (datum medijane od 2,5 i 3,5).

%#!

$" ��

��

��442

1)3(4 54324321 xxxxxxxxtPS

54321 81)(

82

81)3(4 xxxxxtPS ��

Za izra�unavanje pokretne sredine reda 4 se koristi pet vrijednosti koje imaju razli�ite pondere. Svaka od 3 centralne vrijednosti ima ponder dva puta ve�i od pondera za dvije ekstremne vrijednosti. U svim slu�ajevima zbir pondera je jednak 1. Pokretne sredine parnog reda su simetri�ne ponderisane sredine.

Izra�unavanje pokretnih sredina parnog reda na osnovu bruto podataka iz tabele 4.18.

Za prva tri perioda vršimo na sljede�i na�in:

54321 81)(

82


4,2772199581)426321592495(

822350

81)3(4 ��tPS

65432 81)(

82



201

5,2688217981)199542632159(

822495

81)4(4 ��tPS

3 4 5 6 71 2 14( 5) ( )8 8 8

PS t x x x x x� � � � � �

1 2 14( 5) 2159 (4263 1995 2179) 2229 2657,88 8 8

PS t � � � � � � �

Izra�unate vrijednosti za pokretne sredine �etvrtog reda za ostale datume su predstavljene u tabeli 4.18.

Kompletiranjem grafikona bruto podataka sa grafi�kim prikazom koji smo dobili na osnovu podataka o izra�unatim pokretnim sredinama �etvrtog reda konstatujemo trend blagog porasta pojave u posmatranom periodu. Ovaj zaklju�ak nismo mogli donijeti na osnovu bruto podataka. Serija izra�unatih pokretnih sredina ne sadrži sezonske varijacije.

Za jednostavnije razumijevanje pokretnih sredina parnog reda napisat �emo u razvijenom obliku izraze za izra�unavanje pokretne sredine šestog reda za period t = 4 i 12 reda za period t = 7.

%#!

$" ��

��

��662

1)4(6 765432654321 xxxxxxxxxxxxtPS

7654321 121)(

122

121)4(6 xxxxxxxtPS ��


202

Pokretnu sredinu reda 6 ne možemo izra�unati za tri prva i tri posljednja podatka u seriji.

Pokretnu sredinu reda 12, ra�unamo na sljede�i na�in za period t=7:

1312321 241).....(

242

241)7(12 xxxxxtPS ��7

a za ostale periode po analogiji primjenjuju�i opštu formulu. Ne možemo ra�unati pokretnu sredinu PS12 za 6 prvih i 6 posljednjih datuma.

Primjenom metode pokretnih sredina mogu�e je korigovati bruto podatke eliminišu�i sezonske varijacije. Na taj na�in dobijamo podatke korigovane na osnovu sezonskih varijacija koji nam omogu�uju da procijenimo tendenciju kretanja posmatrane pojave.

4.3.3. Aditivni model

Ozna�imo sa X bruto podatke u vremenskoj seriji, sa T trend, S periodi�ne varijacije, C cikli�ne varijacije i E slu�ajne varijacije.

Ukoliko je periodi�nost konstanta u odnosu na trend, odabire se aditivni model koji možemo napisati u sljede�em obliku:

X=T+C+S+E (4.44)

U ovom modelu komponente djeluju nezavisno i zbog toga se uticaji pojedinih komponenti vremenske serije sabiraju.

Primjer i podaci predstavljeni u tabeli 4.17. odgovaraju aditivnom modelu. Grafi�ki prikaz ovog primjera u kojem smo analizirali dugoro�nu tendenciju primjenom pokretnih sredina tre�eg reda je predstavljen na grafikonu 4.19. Grafi�ki prikaz tog slu�aja je primjer aditivnog modela.

4.3.4. Multiplikativni model

Multiplikativni model se predstavlja u sljede�em obliku:

ECSTX �� (4.45)

U ovom modelu uticaji se množe. Ovaj model se primjenjuje ukoliko su varijacije vremenske serije proporcionalne trendu, odnosno rastu ili opadaju sa trendom.


203

4.3.5. Metod najmanjih kvadrata za odre�ivanje dugoro�ne tendencije (trenda)

Pokazali smo da se vremenska serija može raš�laniti na nekoliko sastavnih komponenti koje karakterišu razli�ite promjene. Pošto promjene mogu imati razli�it karakter i tendencija pojave može imati razli�ite oblike.

Da bismo donijeli odluku o obliku trenda, pojavu možemo prikazati pomo�u dijagrama rasipanja podataka vremenske serije.

Odre�ivanje modela koji �e izražavati razvojnu tendenciju kretanja date pojave podrazumijeva pronalaženje matemati�ke funkcije koja se najbolje prilago�ava vrijednostima vremenske serije koju analiziramo.

Zavisno od tendencija kretanja pojave odre�uje se oblik trenda �ija se reprezentativnost mjeri pomo�u standardne greške trenda.

Naj�eš�i oblici matemati�kih funkcija koji se koriste su linearni, krivolinijski, eksponencijalni itd.

Oblike trenda koje možemo odabrati u Excelu prikazujemo na sljede�oj slici:


204

4.3.5.1. Linearni trend

Ako se analizirana pojava mijenja za približno isti apsolutni iznos u vremenskim jedinicama opšti oblik funkcije kojim možemo predstaviti to kretanje ima sljede�i oblik:

Y=a+bX (4.46)

gdje X predstavlja nezavisno promjenljivu vrijeme, Y je zavisno promje-nljiva koja predstavlja vrijednost trenda, a i b su parametri koje treba ocijeniti.

Parametar a predstavlja konstantni �lan, dakle vrijednost trenda za razdoblje koje prethodi prvom. Parametar b pokazuje za koliko se promijeni vrijednost trenda y ako se varijabla vrijeme x pove�a za jedinicu.

Jedna�inu î iy a bx� � ocjenjujemo metodom najmanjih kvadrata koju smo detaljno analizirali u poglavlju Regresiona analiza. Primjenom metode najmanjih kvadrata kompletiramo sistem normalnih jedna�ina:

��

��

��

��

��

��

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xbxayx

xbnay

1

2

11

11 (4.47)

Njihovim rješavanjem dobijamo izraze za ocjenu parametara a i b:

xbya �

�

�

� �

� ��

�

�

� �

� ��

��

� n

ii

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

ii

n

iiii

xnx

yxnyx

xxn

yxyxn b

1

22

1

1 1

22

1 11

)( (4.48)

Postupak ocjene parametara možemo pojednostaviti centriranjem varijable X11. Varijabla se centrira tako da se izrazi odstupanjima od aritmeti�ke

11 Mi �emo objasniti pojednostavljeni postupak, ali preporu�ujemo korištenje Excela,

SPSS, RATS (Regression Analysis for Time Series) ili drugih statisti�kih programa za ocjenu navedenih parametara.


205

sredine. Pošto je zbir tih odstupanja jednak nuli izrazi za ra�unanje parametara se pojednostavljuju. Varijabla se transformira na sljede�i na�in:

, cijelog broja2

2( ), cijeli broj2

i

i

i

nx xx

nx x

� ��

(4.49)

�� 2

*

i

ii

xyx

b (4.50)

��

��

��

��

�

�

��

21

broj cijeli 2

,2b

broja cijelog 2

,

*

*

nbya

n

nbb

(4.51)

Pošto X predstavlja vremenske jedinice možemo ih zamijeniti rednim brojevima tako da njihov zbir bude jednak nuli. Središnja vremenska jedinica kod serije sa neparnim podacima se ozna�i sa nulom (0). Prethodne vremenske jedinice se ozna�e sa negativnim, a naredne sa pozitivnim rednim brojevima.

Kod serija sa parnim brojem podataka dvije središnje vremenske jedinice se ozna�e sa –0,5 i +0,5. Prethodne vremenske jedinice se ozna�e za jedinicu manjim, a naredne za jedinicu ve�im brojem. Tako postižemo da je zbir rednih brojeva koji predstavljaju vremenske jedinice jednak nuli i njihova aritmeti�ka sredina je jednaka nuli.

Pojednostavljene formule za ocjenu parametara su jednake sljede�im izrazima:

��

��

��

21

2

nbya

xyx

bi

ii

(4.52)

Za utvr�ivanje reprezentativnosti trenda koristimo standardnu devijaciju trenda koja je jednaka sljede�em izrazu:


206

� �n

yy iiy

� �

2

ˆ

ˆ' (4.53)

Standardna greška trenda pokazuje prosje�no odstupanje empirijskih vrijednosti serije od procijenjenih trend vrijednosti.

Možemo definisati i relativnu grešku trenda koja je izražena koeficijentom varijacije trenda i koristi se za pore�enje serija izraženih u razli�itim jedinicama mjere:

100ˆˆ

��y

k yV y

' (4.54)

Primjer 4.12.

Na osnovu serije podataka iz tabele 4.16. za koju smo konstatovali prisustvo sezonskih varijacija tre�eg reda, u Excelu smo ocijenili sljede�i linearni trend.

mjeseci

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

vrije

dnos

t y

Linearni trendGrafikon 4.22.

2

ˆ 3,2797 89,5150,2395

y xR

� ��

Primjer 4.13.

Na primjeru podataka iz tabele 4.17., u kojoj smo konstatovali sezonske varijacije �etvrtog reda, u Excelu smo dobili sljede�i grafi�ki prikaz linearnog trenda.


207

trimestri

vrije

dnos

t y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Linearni trendGrafikon 4.23.

2

ˆ 31,787 2515,40,0489

y xR

� ��

Vrijednost koeficijenta determinacije je vrlo niska i ova ocjena linearnog trenda nije prihvatljiva.

4.3.5.2. Paraboli�ni trend

Ako kretanje pojave u posmatranom periodu pokazuje tendenciju krivolinijskog rasporeda koristimo paraboli�ni trend. Jedna�ina paraboli�nog trenda je data sljede�im izrazom:

2î i iy a bx cx� � � i=1,2,…..,n (4.55)

Parametre a, b i c ocjenjujemo metodom najmanjih kvadrata na osnovu kojeg dobijamo sistem normalnih jedna�ina:

iiiii

iiiii

iii

yxxcxbxa

yxxcxbxa

yxcxbna

��

��

��

��

��

2432

32

2

(4.56)

na osnovu kojeg izra�unavamo vrijednost parametara a, b i c.

Ako koristimo transformisane vrijednosti varijable X dobijamo: 2

2i i

i i i

na c x y

b x x y

� �

�

� ��


208

2 4 2i i i ia x c x x y� �� (4.57)

224

22

2

2

)(��

��

�

�

�

�

ii

iiii

i

ii

i

xxnxyyxn

c

x

yxb

xncya

(4.58)

4.3.5.3. Eksponencijalni trend

Eksponencijalni trend primjenjujemo u slu�aju kada kretanje pojave u sukcesivnim vremenskim intervalima pokazuje istu relativnu promjenu odnosno kada se osnovna tendencija manifestuje kao eksponencijalna kovarijansa sa vremenom.

Jedna�ina eksponencijalnog trenda je data sljede�im izrazom: ix

i aby �ˆ (4.59)

Model lineariziramo logaritamskom transformacijom: bxay ii logloglog �� (4.60)

Sistem normalnih jedna�ina ima sljede�i oblik:

iiii

ii

yxxbxa

yxban

logloglog

logloglog2 ��

�� (4.61)

na osnovu kojeg odre�ujemo parametre a i b.

Ako centriramo varijablu X, odnosno odredimo periode tako da 1xi bude jednako nula, kao što smo ilustrovali na primjeru linearnog trenda, možemo ra�unati parametre a i b korištenjem sljede�ih pojednostavljenih izraza:

��

�

�

�

2

loglog

loglog

i

ii

i

xyx

b

ny

a (4.62)


209


1. U kojim slu�ajevima govorimo o mjerenju evolucije neke veli�ine? 2. Definišite apsolutnu promjenu. 3. Definišite relativnu promjenu. 4. Da li apsolutna promjena može biti negativna? 5. Koji su sinonimi za relativnu promjenu? Da li relativna promjena

posjeduje osobine ra�unanja? 6. Definišite stopu promjene. 7. Pomo�u kojih parametara možete mjeriti evoluciju neke veli�ine? 8. Koju podjelu indeksa poznajete? 9. Definišite indeks na bazi 1 i indeks na bazi 100 i komentarišite vezu

izme�u ova dva indeksa. 10. Nabrojite osobine individualnih indeksa. 11. Definišite i ilustrujte na jednom primjeru osobinu tranzitivnosti. 12. Definišite i ilustrujte na jednom primjeru osobinu recipro�nosti. 13. Definišite indekse sa stalnom bazom. 14. Definišite lan�ane indekse. 15. Koje indekse možemo nazvati indeksima razvoja? 16. Da li indekse možemo grafi�ki predstavljati? 17. U kojim jedinicama mjere su izraženi indeksi? 18. Koja je veza izme�u stope promjene i indeksa? 19. Napišite vezu izme�u indeksa na bazi 1 i stope promjene. 20. Napišite vezu izme�u indeksa na bazi 100 i stope promjene. 21. Kako izra�unavamo prosje�ni godišnji indeks? 22. Kako izra�unavamo prosje�nu godišnju stopu rasta? 23. Koje su prednosti indeksa u odnosu na stopu promjene? 24. Koju sredinu koristimo za izra�unavanje prosje�ne godišnje stope

promjene? 25. Koji izraz i koju osobinu koristimo za promjenu baznog datuma ? 26. Koje metode koristimo za konstrukciju agregatnih indeksa? 27. Koje agregatne indekse poznajete? 28. Definišite indeks koji se konstruiše agregiranjem na osnovu baznog

perioda.


210

29. U odnosu na koji period vršite agregiranje da biste konstruisali Paasche indeks cijena?

30. Napišite formule za izra�unavanje Laspeyres i Paasche indeksa cijena i koli�ina.

31. Definišite Fischerov indeks. 32. Definišite indeks vrijednosti. 33. Kompletirajte i objasnite dekompoziciju indeksa vrijednosti. 34. Definišite realni budžetski koeficijent. 35. Definišite fiktivni budžetski koeficijent. 36. Definišite i napišite formule za sinteti�ke indekse cijena i koli�ina

konstruisane na osnovu ponderisanih sredina. 37. Definišite pokretnu sredinu neparnog reda. 38. Definišite pokretnu sredinu parnog reda. 39. Koje su osnovne komponente vremenske serije? 40. Zašto i kada primjenjujemo metod pokretnih sredina? 41. Pomo�u kojih metoda možemo odrediti tendenciju ili trend?


Zadatak 1

Evolucija poslovnih rezultata firme Nestle, prema aktivnostima u 2000./2001. godini:

2000. 2001. �okolada ? 328 Pi�e 340 347 Mlije�ni proizvodi 613 677 Gotova jela 893 1045 Sladoled ? 145 Ostali proizvodi 1479 1715 Ukupno 3762 4257

Kompletirajte tabelu na osnovu sljede�ih podataka i odgovorite na pitanja:


211

1. U 2000. godini apsolutno odstupanje izme�u poslovnog rezultat Mlije�nih proizvoda i Sladoleda je bilo 474 miliona eura. Koji je poslovni rezultat aktivnosti Sladoled u 2000. godini?

2. Poslovni rezultat aktivnosti �okolada je manji za 12,4% od poslovnog rezultata Pi�e u 2000. godini. Koji je poslovni rezultat aktivnosti �okolada za ovu godinu? Zaokružite na cijeli broj dobiveni rezultat.

3. a) Izra�unajte proporciju aktivnosti Pi�e u 2000. i 2001. godini. b) Izra�unajte stopu varijacije aktivnosti Pi�e izme�u 2000. i 2001.

godine. c) Komentarišite rezultate a) i b). 4. Izra�unajte relativno odstupanje izme�u Aktivnosti Gotova jela i

Mlije�ni proizvodi u 2000. godini. Isto pitanje za 2001. godinu. Analiziraju�i tabelu uo�avate da su se poslovni rezultati Gotova jela i

Mlije�ni proizvodi uve�ali izme�u 2000. i 2001. Da li bez dodatnih ra�unanja možete objasniti evoluciju poslovnih rezultata na osnovu relativnih odstupanja koje ste izra�unali?

Elementi rješenja:

1. AO u 2000.: (PRMP-PRS)=474 miliona eura� (613- PRS)=474� PRS =139 miliona eura.

2. PR �2000=87.6% od PRPi�e 2000� PR �2000=0.876•340=297.84 miliona eura.

Zaokružujemo rezultat na 298 miliona eura.

3. a) Proporcija Pi�e 2000= PRPi�e 2000 /PR Ukupno 2000=340/3762=0.0904

�9.04%

Proporcija Pi�e 2001= PRPi�e 2001 /PR Ukupno 2001==347/4257=0.0815�8.15%

b) Stopa promjene:

2001 20002001

2000 2000

347 340 0.0206 2.06%340

PR PRPR

PR � � � �


212

c. U 2001. godini, iako je poslovni rezultat (PR) aktivnosti Pi�e uve�an za 2.06% u odnosu na 2000. g., njegova proporcija u ukupnom PR se smanjila sa 9.04% u 2000. na 8,15% u 2001. Ove dvije informacije su komplementarne.

4. Relativno odstupanje izme�u Gotova jela i Mlije�ni proizvodi u 2000:

GJ2000 MP20002000

MP2000

893 613 0.4568 45.68%613

PR PRRO

PR � � � �

Relativno odstupanje izme�u Gotova jela i Mlije�ni proizvodi u 2001.:

GJ2001 MP20012001

MP2001

1045 677 0.5436 54.36%677

PR PRRO

PR � � � �

Relativno odstupanje PR izme�u aktivnosti Gotova jela i aktivnosti Mlije�ni proizvodi je ve�e u 2001. nego u 2000. U 2000. PR aktivnosti Gotova jela je bio za 45.68% ve�i od PR aktivnosti Mlije�ni proizvodi.U 2001. PR aktivnosti Gotova jela je za 54.36% ve�i od PR aktivnosti Mlije�ni proizvodi.

Možemo konstatovati da je PR aktivnosti Gotova jela više uve�an od PR aktivnosti Mlije�ni proizvodi u 2001.

Zadatak 2

Diplomirani studenti u Federaciji BiH:

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Ukupno 2046 2700 2461 2364 2820 3442 Redovni studenti 1492 1793 1584 1614 1923 2240 Vanredni studenti 554 907 877 750 897 1202 Ekonomski fakultet 205 258 581 484 532 665 Redovni studenti 130 173 301 295 365 466 Vanredni studenti 75 85 280 189 167 199

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije BiH, 2002., Sarajevo, strane 326 i 329.

1. Analizirati datu tabelu (populacija, elementi populacije, period, kolona –analiza strukture, vrsta - analiza evolucije posmatranih struktura analizirane populacije).


213

2. Odrediti proporciju studenata Ekonomskog fakulteta u Sarajevu u ukupnom broju studenata.

3. Izrazite u procentima strukturu ukupnog broja studenata (redovni i vanredni).

4. Izrazite u procentima strukturu studenata Ekonomskog fakulteta u Sarajevu.

5. Odredite apsolutne promjene broja ukupnih studenata i broja studenata Ekonomskog fakulteta u Sarajevu i komentarišite dobijene rezultate.

6. Odredite relativne promjene broja ukupnih studenata i broja studenata Ekonomskog fakulteta i komentarišite dobijene rezultate.

7. Uporedite rezultate dobijene u pitanjima e) i f). 8. Izra�unajte bazne indekse baza 100 u 1996. godini za ukupan broj

studenata i za studente Ekonomskog fakulteta i objasnite dobijene rezultate.

9. Predstavite grafi�ki izra�unate bazne indekse. 10. Izra�unajte lan�ane indekse za ukupan broj studenata i za studente

Ekonomskog fakulteta i komentarišite dobijene rezultate. 11. Izra�unajte stope promjene broja ukupnih i broja studenata

Ekonomskog fakulteta. 12. Izra�unajte prosje�nu godišnju stopu promjene broja ukupnih studenata

i broja studenata Ekonomskog fakulteta: 1) polaze�i od izra�unatih lan�anih indeksa i 2) korištenjem podataka iz polazne tabele.

13. Koriste�i podatke iz polazne tabele izra�unajte prosje�ne godišnje stope rasta ukupnog broja redovnih i vanrednih studenata kao i prosje�ne godišnje stope rasta redovnih i vanrednih studenata Ekonomskog fakulteta.

14. Komentarišite dobijene rezultate.

Elementi rješenja:

2. Proporcija studenata ekonomskih fakulteta

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Ekonomski fakultet 205 258 581 484 532 665 Ukupno 2046 2700 2461 2364 2820 3442 Ekonomski fak. % 10,0% 9,6% 23,6% 20,5% 18,9% 19,3%


214

3. Struktura ukupnog broja diplomiranih studenata

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Redovni studenti 72,9% 66,4% 64,4% 68,3% 68,2% 65,1% Vanredni studenti 27,1% 33,6% 35,6% 31,7% 31,8% 34,9% Ukupno 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

4. Struktura diplomiranih studenata Ekonomskog fakulteta:

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Redovni studenti 63,4% 67,1% 51,8% 61,0% 68,6% 70,1% Vanredni studenti 36,6% 32,9% 48,2% 39,0% 31,4% 29,9% Ukupno Ekon.f. 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

5. Apsolutne promjene:

1997-96 1998-97 1999-98 2000-99 2001-00 Ukupno 654 -239 -97 456 622 Ekonomski fakultet 53 323 -97 48 133

6. Relativne promjene

(97-96)/96 (98-97)/97 (99-98)/98 (00-99)/99 (01-00)/00 Ukupno 31,96 -8,85 -3,94 19,29 22,06 Ekonomski fak. 25,85 125,19 -16,70 9,92 25,00

Rješenje za pitanja 8, 9 i 10.

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Ukupno 2046 2700 2461 2364 2820 3442 Baza 96 100 132,0 120,3 115,5 137,8 168,2 Lan�ani 132,0 91,1 96,1 119,3 122,1


215

1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Ekonomski fakultet 205 258 581 484 532 665 Baza 96 100 125,9 283,4 236,1 259,5 324,4 Lan�ani 125,9 225,2 83,3 109,9 125,0


216

Zadatak 3

Dati su sljede�i podaci:

Godine 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. Stopa rasta t/t-1 (u %) minimalnih plata 2.6 4.5 8.7 1.3 2.2 Indeks kupovne mo�i baza 100 u periodu (t-1)

100.6 103.3 107.9 100.8 100.5

1. Koja je relativna promjena kupovne mo�i u periodu 1995.-2000. g.? 2. Izra�unajte prosje�nu godišnju stopu promjene kupovne mo�i

izme�u1995. i 2000. 3. Izra�unajte prosje�nu godišnju stopu rasta minimalnih plata u periodu

1995.-2000.

Elementi rješenja:

1. Relativna promjena kupovne mo�i izme�u 1995. i 2000. je bila 13.6%.

i00/95 = i00/99 i99/98 i98/97 i97/96 i96/95=1.006 1.033 1.079 1.008 1.005=1.1359.

2. Prosje�na godišnja stopa promjene kupovne mo�i izme�u 1995. i 2000. g. je 2.6%.

iprosje�ni godišnji 00/95= 026.10258.11359.15 ��

Veza indeksa i stope: Stopa = indeks –1=1,026-1=0,026 100=2,6%.

3. Prosje�na godišnja stopa rasta minimalnih plata u periodu 1995.-2000. god.:

i00/95 = i00/99 i99/98 i98/97 i97/96 i96/95=1.026 1.045 1.087 1.013 1.022=1.20657.

iprosje�ni godišnji 00/95= 038.1)20657.1(20657.1 515 ��

Prosje�na godišnja stopa rasta r = 3,8%.


217

Zadatak 4

U sljede�oj tabeli su prezentovani podaci o stopi promjene troškova (u %) namijenjenih za istraživanje i razvoj u Francuskoj:

1995/1990 1997/1995 1999/1997

Stopa promjene u % 15,31 1,60 5,15

Izvor: INSEE, TEF 2001-2002, strana 177.

1. Izra�unajte stopu varijacije u periodu 1999./1995. 2. Izra�unajte stopu varijacije u periodu 1999./1990. 3. Komentarišite dobijene rezultate.

Elementi rješenja:

1. Potrebno je koristiti indekse na bazi 1 i pravilo tranzitivnosti:

i99/95=i99/97•i97/95=1.0515•1.016=1.068324

Stopa rasta u periodu 1999./1995. je bila 6,83%

2. i99/90=i99/97•i97/95• i95/90=1.0515•1.016•1,1531=1.23188

Stopa rasta u periodu 1999./1990. je bila 23,19%

Zadatak 5

Tabela: Evolucija zna�aja sektora državnih preduze�a u Francuskoj:

1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999.

Broj preduze�a 2 716 2 636 2 506 2 510 1 785 1 540

Izvor: INSEE, TEF2001-2002, strana 143.

1. Izra�unajte indekse baza 100 u 1994. i odredite stope promjene. 2. Izra�unajte i objasnite lan�ane indekse. 3. Izra�unajte prosje�nu godišnju stopu promjene broja državnih

preduze�a u periodu 1999./1994.


218

Elementi rješenja:

1. Indeksi I94/94 I95/94 I96/94 I97/94 I98/94 I99/94

100 97,1 92,3 92,4 65,7 56,7 Stopa promjene (%) - -2,9 -7,7 -7,6 -34,3 -43,3

Broj državnih preduze�a se konstantno smanjuje. Osnovni razlog je privatizacija i zakon o privatizaciji iz jula 1993. od kada broj državnih preduze�a ne prestaje opadati.

2. Lan�ani indeksi

I95/94 I96/95 I97/96 I98/97 I99/98 Lan�ani indeksi baza 100 u (t-1) 97,1 95,1 100,2 71,1 86,3 Stopa promjene (%) -2,9 -4,9 0,2 -28,9 -13,7 Lan�ani indeks baza 1 u (t-1) 0.971 0.951 1.02 0.711 0.863

3. Prosje�na godišnja stopa promjene u periodu 1999./1994. je –10,73. Možemo je ra�unati na dva na�ina:

Na osnovu polaznih podataka o broju preduze�a:

� � %73.101073.018927.01567.0

12716154011

51

515

1

94

995

94

9994/99

��

��

��

��

��

VV

VVr

Ili koriste�i lan�ane indekse:

i99/94 = i99/98 i98/97 i97/96 i96/95 i95/94 = 0.5779.

iprosje�ni godišnji 99/94 = 0.57791/5=0.896.

Prosje�na godišnja stopa promjene:

r 99/94 = i99/94–1=0.896-1= -0.104 -10.4%

Razlika izme�u stopa je rezultat zaokruživanja.


219

Zadatak 6

Posmatrajmo jednu veli�inu �ija je stopa rasta u toku tri uzastopne godine bila: 0,9% u prvoj, 0,9% u drugoj i 4% u tre�oj godini.

Prosje�na godišnja stopa rasta za tri godine je jednaka:

1. � � � � ( 312 04,0009,0 8

2. � �04,0009,0231 �8

3. � � ( 104,1009,1 312 8

4. aritmeti�ka sredina.

Elementi rješenja:

Ta�an odgovor je 3.

Zadatak 7

Poznati su individualni indeksi cijena jednog proizvoda:

ip99/94=1,41

ip2001/94=1,62

Možete li odrediti evoluciju cijene ovog proizvoda izme�u 1999. i 2001.?

Elementi rješenja:

Individualni indeksi su tranzitivni:

ip2001/94= ip2001/99 ip99/94, odakle

ip2001/99= ip2001/94/ ip99/94=1,62/1,41=1,15

Izme�u 1999. i 2001. cijena se uve�ala za 15%.


220

Zadatak 8

Preduze�e je uve�alo svoj poslovni rezultat na osnovu proizvoda P za 5% izme�u juna 2002. i juna 2001. Indeks cijena ovog proizvoda (juni 2002/juni 2001) je jednak 108. Da li su se u toku ovog perioda prodate koli�ine ovog proizvoda uve�ale ili smanjile i za koliko?

Elementi rješenja:

Poslovni rezultat je jednak (p q)

IPR 100 = Ip Iq

Iq = (IPR 100)/Ip�97,2

Prodane koli�ine su se smanjile za 2,8%.

Zadatak 9 1. Prodaja jednog proizvoda se uve�ala za 15% izme�u 2000. i 2001.

godine i 10% izme�u 2001. i 2002. godine. Koja je bila stopa pove�anja prodaje izme�u 2000. i 2002. godine?

2. Prodaje proizvoda su smanjene za 5% izme�u 2000. i 2001. i zatim još 5% izme�u 2001. i 2002. Koja je stopa opadanja prodaje izme�u 2000. i 2002. godine?

Elementi rješenja:

Tranzitivnost:

i2002/2000=i2002/2001�i2001/2000=1,10�1,15=1,265 Pove�anje 26,5%

i2002/2000=i2002/2001�i2001/2000=0,95�0,95=0,9025 Smanjenje 9,75%.

Zadatak 10

Lan�ani indeksi industrijske proizvodnje Federacije BiH su dati u sljede�oj tabeli:

96/95 97/96 98/97 99/98 2000/99 2001/2000

Indeksi 187,6 135,7 123,8 110,6 108,8 112,2

Izvor: Statisti�ki godišnjak Federacije BiH,2002, str.113-115


221

1. Izra�unajte bazne indekse uz pretpostavku da je baza 100 u 2000. godini.

2. Izra�unajte bazne indekse uz pretpostavku da je baza 100 u 1998. godini 3. Uporedite i komentarišite rezultate 1. i 2.

Elementi rješenja:

1. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Indeksi 26,3 49,4 67,1 83,1 91,9 100 112,2

2. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Postupak 59,5/1,876 80,8/1,357 100/1,238 100 110,6 108,8 1,106 112,2�1,203 Indeksi 31,7 59,5 80,8 100 110,6 120,3 134,97�135

Zadatak 11

U sljede�oj tabeli su date cijene, koli�ine i individualni indeksi vrijednosti za dva proizvoda A i B za dva razli�ita perioda: bazni period 0 i posmatrani period 1.

Tabela 1.

1. Odrediti individualne indekse cijena za A i B u baznom i posmatranom periodu.

2. Odrediti koli�inu proizvoda B u baznom i proizvoda A u posmatranom periodu.

3. Odrediti budžetske koeficijente za A i B u baznom periodu. 4. Izra�unati Laspeyresov indeks cijena u periodu 1 ako je baza 100 u

baznom periodu 0 (koristite formulu na osnovu ponderisane aritmeti�ke sredine) i Paasche-ov indeks koli�ina (koristite agregiranu formulu)

Period 0 Period 1 Proizvod Cijena Koli�ina Cijena Koli�ina

Indeks vrijednosti baza 100=period 0

A 10 29 12 111.72 B 14 16 17 121.42


222

5. Izra�unati indeks globalne vrijednosti. Raš�lanite ga i dajte kvantitativno objašnjenje stope rasta globalne potrošnje.

Elementi rješenja:

1. Ip1/0(A)= 20.1i 12010

12100100 (A)p1/0)(

0

)(1 �� A

A

pp

Ip1/0(B)= 143.1i 28.11414

16100100 (B)p1/0)(

0

)(1 �� B

B

pp 3

Izme�u perioda 0 i perioda 1 cijena proizvoda A se uve�ala za 20% i B za 14.3%.

2. Proizvod A:

( ) ( ) ( )1/ 0 1/ 0 1/ 0100A A A

W p qI i i� � �

( )

( ) 1/ 01/ 0 ( )

1/ 0

111.72 93.11.2

AA W

q Ap

II

i� � �

�� 100 )(0

)(1)(

0/1 A

AA

q qqI 27999.26

1001.9329

100

)(0

)(0/1)(

1 ��

�AA

qA qIq

Proizvod B:

( )

( ) 1/ 01/ 0 ( )

1/ 0

121.42 106.251.1428

BB W

q Bp

II

i� � �

�� 100 )(0

)(1)(

0/1 B

BB

q qqI 16

25.10617100100

)(0/1

)(1)(

0 �� Bq

BB

Iqq

3. Budžetski koeficijent u periodu 0: � �

��

j

jj

jjj

qpqp

)(0

)(0

)(0

)(0

0,

Ukupna vrijednost potroša�ke korpe u periodu 0:


223

51416142910)(0

)(0

)(0

)(0

)(0

)(0 ��

�

BBAAB

Aj

jj qpqpqp

5642.0514

2910)(

0)(

0

)(0

)(0)(

0 ��

��

j

jj

AAA

qpqp,

4358.0514

1614)(

0)(

0

)(0

)(0)(

0 ��

��

j

jj

BBB

qpqp,

Konstatujemo da je: )(0

A, + )(0

B, =1

4. )(0/1

)(0

)(0/1

)(0

)(0/1

)(00/1

Bp

BAp

Ajp

j

jp IIIL �� ,,,

0/1pL =0.5642 120+0.4358 114.3=117.51 dakle pove�anje cijena od 17.5%.

67.989867.01001616291217162712100100 )(

0)(

1

)(1

)(1

0/1 ��

�

��

j

jjj

jj

qqp

qpP , dakle smanjenje

koli�ine za 1.33%.

5. Indeks vrijednosti je jednak

( ) ( )1 1

1/ 0 ( ) ( )0 0

12 27 16 17100 100 115.95 11610 29 14 16

j j

jW j j

j

p qI

p q

��

��

Dakle, pove�anje vrijednosti za 16%.

Dekompozicija indeksa vrijednosti:

1/ 0wi =lp pq=1.175 0.9867=1.159~1.16

Pove�anje vrijednosti globalne potrošnje (potroša�ke korpe) od 16% je rezultat pove�anja cijena od 17.5% i smanjenja koli�ina od 1.33%.


224

Zadatak 12

Data je sljede�a tabela:

2000. 2001. Proizvodi Cijene Koli�ine Cijene Koli�ine

A 9,00 27 9,25 37 B 4,90 31 5,20 40 C 3,65 40 5,00 28 D 8,10 15 7,70 30

1. Izra�unati Laspeyresov i Paascheov indeks cijena i koli�ina u 2001. u odnosu na 2000. za grupu od �etiri posmatrana proizvoda.

2. Izra�unati indeks vrijednosti, raš�laniti ga i objasniti. 3. Izra�unati Fisherov indeks cijena i koli�ina.

Elementi rješenja:

j PJ,00QJ,00 PJ,00QJ,01 PJ,01QJ01 PJ,01QJ,00 1 243,00 333,00 342,25 249,75 2 151,90 196,00 208,00 161,20 3 146,00 102,20 140,00 200,00 4 121,50 243,00 231,00 115,50

Ukupno 662,40 874,20 921,25 726,45

11010040,66245,7261004

10000

4

10001

00/01 ��

�

�

�

j

jj

j

jj

p

qp

qpL

13210040,66220,8741004

10000

4

10100

00/01 ��

�

�

�

j

jj

j

jj

q

qp

qpL

10510020,87425,9211004

10100

4

10101

00/01 ��

�

�

�

j

jj

j

jj

p

qp

qpP


225

12710045,72625,9211004

10001

4

10101

00/01 ��

�

�

�

j

jj

j

jj

q

qp

qpP

01/ 00

01 01

00 00

921,25 100 139,08662,40

j j

w j j

p qI

p q�

� � � ��

01/ 00wI = pp lq=1,05 1,32=1,386

01/ 00wI = pq lp=1,27 1,10=1,397

47,10710511000/0100/0100/01 �� ppp PLF

48,12912713200/0100/0100/01 �� qqp PLF

Zadatak 13

Na osnovu sljede�ih podataka izra�unajte pokretne sredine reda 2, 3, 4 i 5 koje nedostaju u donjoj tabeli. Rezultate zaokružite na jednu decimalu.

t Y PS2 PS3 PS4 PS5 1 110 2 116 115,8 115,7 3 121 121,3 121,3 120,1 ? 4 127 127,3 127,3 124,6 124,7 5 134 133,8 ? 130,7 130,8 6 140 140,3 140,3 ? 137,3 7 147 ? 147,3 144,2 144,3 8 155 155,0 155,0 150,4 149,8 9 163 160,3 159,3 153,5 ?

10 160 157,0 ? 154,3 153,3 11 145 150,0 151,7 154,1 153,8 12 150 148,8 148,3 ? 151,3 13 150 ? 146,7 148,0 149,2 14 140 145,0 146,7 148,5 149,2 15 150 150,0 150,0 16 160


226

Elementi rješenja:

PS 2(t=7)=147,3; PS 2(t=13)=147,5; PS 3(t=5)=133,7; PS 3(t=10)=156;

PS 4(t=6)=137,2; PS 4(t=12)=151,3; PS 5(t=3)=121,6; PS 5(t=9)=151,7.

Zadatak 14

U sljede�oj tabeli dati su podaci o poslovnom rezultatima po trimestrima u hotelima A kategorije u poznatom turisti�kom ljetovalištu. Poslovni rezultati su izraženi u 000 eura. Date su i pokretne sredine �etvrtog reda (PS4).

Datum PR u 000 PS4 2000-T1 54500 - 2000-T2 55400 - 2000-T3 55600 55175,0 2000-T4 55050 55250,0 2001-T1 54800 55325,0 2001-T2 55700 55412,5 2001-T3 55900 55525,0 2001-T4 55450 55646,3 2002-T1 55300 55767,5 2002-T2 56170 55888,8 2002-T3 56400 55985,0 2002-T4 55920 56048,8 2003-T1 55600 56075,0 2003-T2 56380 56035,0 2003-T3 56400 55951,3 2003-T4 55600 55860,0 2004-T1 55250 55787,5 2004-T2 56000 55768,8 2004-T3 56200 55793,8 2004-T4 55650 55847,5 2005-T1 55400 55913,8 2005-T2 56280 55977,5 2005-T3 56450 - 2005-T4 55910 -


227

1. Predstavite grafi�ki seriju poslovnih rezultata. Komentarišite dati grafi�ki prikaz i odredite periodi�nost sezonske komponente.

2. Koji su nepovoljni trimestri sa stanovišta poslovnih rezultata i zašto? 3. Izra�unajte stopu varijacije izme�u T2/T1 za 2001. na osnovu

originalnih i desezoniranih podataka i komentarišite dobijene rezultate. 4. Izra�unajte stopu varijacije izme�u T4 2004. i T4 2000. na osnovu

originalnih podataka i na osnovu podataka PS4. Uporedite i komentarišite dobijene rezultate.

5. Provjerite primjenom odgovaraju�ih formula rezultate ra�una za PS4 za T3 2003. i za T4 2004. godine.

6. Predstavite na grafikonu pod 1) seriju izra�unatih PS4. Da li vam se procjena tendencije ovom metodom �ini zadovoljavaju�a?

Elementi rješenja:

1.

2. T1 i T4 .

3. Na osnovu polaznih podataka: iT2/T1 2001=55700/54800=1,0164. Stopa je 1,64%

Na osnovu korigovanih podataka: iT2/T1 2001=55412,5/55325=1,0016. Stopa 0,16%

4. Na osnovu polaznih podataka: iT42004/T4 2000=1,01899. Stopa je 1,9%.

Na osnovu korigovanih podataka: iT42004/T4 2000 =1,0108. Stopa je 1,08%.


228

5. 13 14 15 16 14 15 16 1714( 15)2 4 4

y y y y y y y yPS t

!� � � � � �� $ %

" #

� �13 14 15 16 171 2 14( 15)8 8 8

PS t y y y y y� � � � � �

� �1 24( 15) 55600 56380 56400 556008 81 55250 55951.25 55951.38

PS t � � � � � �

� � �

18 19 20 21 19 20 21 2214( 20)2 4 4

y y y y y y y yPS t

!� � � � � �� $ %

" #=….= 55847,5

229

POGLAVLJE 5.

OSNOVI VJEROVATNOĆE I TEORIJSKE DISTRIBUCIJE

VJEROVATNOĆE

5.1. Uloga i zna�aj eksperimenta u statistici

Posmatranje cjelokupne pojave ili samo njenog dijela i eksperimenti su bitan faktor u nau�nim istraživanjima. Posmatranja i eksperimente izvode stru�njaci i nau�nici razli�itih struka i za tu svrhu upotrebljavaju odgovaraju�u aparaturu. Statisti�ka priroda tih ispitivanja je �esto kompleksna i to dovodi do sve ve�e potrebe za statisti�arima, kako pri planiranju istraživanja tako i pri obradi i analizi rezultata.

Statisti�ka teorija, koja je u osnovi deduktivna, doprinosi racionalizaciji i kvalitetu induktivnog procesa posmatranja. Posmatranje se naj�eš�e sastoji u ispitivanju dijela jedinica osnovnog skupa koji se naziva uzorak da bi se donio sud o osnovnom skupu ili populaciji, bilo da su oni kona�ni ili beskona�ni.

Da li �e neko posmatranje imati deduktivne atribute zavisi od toga da li se ispituje cjelokupna populacija ili samo jedan njen dio. Ako se posmatranje izvodi na osnovu samo jednog dijela populacije onda je ono induktivno. U


230

tom slu�aju se na osnovu osobina iz uzorka primjenom odgovaraju�ih metoda, koje se baziraju na teoriji vjerovatno�e, donose zaklju�ci o osobinama osnovnog skupa uz odabrani nivo pouzdanosti.

Statisti�ka inferencija omogu�uje izvo�enje dvije vrste zaklju�aka o osnovnom skupu na osnovu uzorka.

� Prvi su ocjene nepoznate vrijednosti ili intervala povjerenja za posmatrana obilježja osnovnog skupa uz odgovaraju�i nivo pouzdanosti, odnosno uz odgovaraju�u grešku ili rizik procjene. Ocjenama se kvantificira, odnosno ocjenjuje vrijednost nepoznatog parametra ili �eš�e interval u kojem se nepoznati parametar osnovnog skupa nalazi uz odabranu grešku ocjene.

� Drugi pristup se primjenjuje u slu�ajevima kada na osnovu prethodnih eksperimenata ili iskustava mogu pretpostaviti vrijednosti obilježja osnovnog skupa. Da bi se provjerila ta pretpostavka, poredi se pretpostavljena vrijednost obilježja osnovnog skupa sa vrijednoš�u obilježja koja je izra�unata na osnovu uzorka odabranog iz tog osnovnog skupa.

Oba analizirana pristupa se baziraju na istim teorijskim pretpostavkama. Uz odgovaraju�i nivo pouzdanosti, testiraju se pretpostavljene vrijednosti i prihvataju ili odbacuju kao mogu�a obilježja osnovnog skupa. Osnovno pitanje inferencijalne kao i deskriptivne statistike je: «Kako analizirati podatke da bismo dobili korisnu informaciju?»

Da bismo dobili informaciju o populaciji, inferencijalna statistika ima, u odnosu na deskriptivnu statistiku, jednu dodatnu etapu �iji je cilj da odredi, odnosno inferira, polaze�i od posmatranih obilježja (karakteristika) na uzorku, vjerovatnu vrijednost tih obilježja za ukupnu istraživanu populaciju ili osnovni skup.

5.1.1. Slu�ajni eksperiment, skup mogu�ih rezultata eksperimenta i doga�aji

Slu�ajni ili statisti�ki eksperiment je potpuno odre�eni postupak ili proces prikupljanja podataka koji se može modelirati u okviru teorije vjerovatno�e ako:

� može biti ponavljan u istim uslovima veliki broj puta, � rezultat eksperimenta nije unaprijed poznat,

Poglavlje 5. – Osnovi vjerovatno�e i teorijske distribucije vjerovatno�e

231

� se može definisati skup mogu�ih rezultata (ishoda) tog eksperimenta.

Skup mogu�ih rezultata esperimenta ozna�avamo velikim gr�kim slovom omega . Modelizacija skupa mogu�ih rezultata eksperimenta � se sastoji u slu�ajnom izvla�enju samo jednog elementa iz skupa . Svaki rezultat eksperimenta se naziva elementarnim doga�ajem i ozna�ava malim gr�kim slovom omega �. Skup elementarnih doga�aja može biti kona�an ili beskona�an. Skup mogu�ih rezultata jednog eksperimenta izražavamo sljede�om relacijom:

� �n999 ,...,, 21�: (5.1)

Skup mogu�ih rezultata bacanja homogene kocke je � �6,5,4,3,2,1�: . Svaki od šest mogu�ih rezultata eksperimenta predstavlja jedan elementarni doga�aj. U slu�aju bacanja kocke postoji šest elementarnih doga�aja. Ukoliko bismo željeli modelizirati doga�aj «dobiti neparan broj» on bi predstavljao podskup skupa . Modelizaciju skupa mogu�ih rezultata bacanja homogene kocke i doga�aja «dobiti neparan broj» predstavljamo na sljede�im grafikonima.

19

6959

4939

29

1959

39

6949

29

: :

Doga�aje ozna�avamo velikim slovima abecede. Doga�aj A definišemo kao podskup skupa , tj. :;A . Doga�aj koji je sastavljen od dva ili više elementarnih doga�aja koji imaju zajedni�ku osobinu je složeni doga�aj. U ovom slu�aju doga�aj «dobiti neparan broj» bi bio sastavljen od tri elementarna doga�aja � � {1,3,5}.,, 321 �� 999A


232

5.1.1.1. Vrste doga�aja

Doga�aj može, kao što smo ve� definisali, biti elementaran i složen. Svaki rezultat eksperimenta se naziva elementarni doga�aj. Doga�aj sastavljen od više elementarnih doga�aja koji imaju zajedni�ku karakteristiku je složeni doga�aj. Pored navedenih, analizira�emo i druge vrste doga�aja.

� Siguran doga�aj

Siguran doga�aj je doga�aj koji je realizovan prilikom svakog ponavljanja eksperimenta. Model sigurnog doga�aja treba ispuniti dva uslova. Siguran doga�aj treba predstavljati dio skupa mogu�ih rezultata i biti realizovan u svakom ponavljanju eksperimenta.

� Nemogu� doga�aj

Nemogu� doga�aj je doga�aj koji se nikada ne realizuje bez obzira na broj ponavljanja eksperimenta. Model nemogu�eg doga�aja treba ispuniti dva uslova. Nemogu� doga�aj treba predstavljati dio skupa mogu�ih rezultata. Ovaj doga�aj se nikada ne realizuje bez obzira na broj ponavljanja eksperimenta. Model nemogu�eg doga�aja je prazan skup.

� Unija i presjek doga�aja

Uniju doga�aja definišemo na sljede�i na�in: doga�aj (A ili B) je realizovan ako je realizovan doga�aj A ili doga�aj B, ili ako su realizovana oba doga�aja. Ukoliko su ispunjeni uslovi ove definicije, doga�aj C izražavamo kao uniju doga�aja A i B i formaliziramo sljede�im izrazom:

BAC <� (5.2)

Presjek doga�aja A i B je ozna�ava sa BA= . Doga�aj (A i B) je realizovan ako su A i B istovremeno realizovani. Doga�aj C �e biti realizovan ako se istovremeno realizuju i doga�aj A i doga�aj B. Formalizaciju presjeka doga�aja izražavamo na sljede�i na�in:

BAC =� (5.3)


233

3 4 5 7 8{ , , , , } A B 9 9 9 9 9< � 1 11{ , } A B 9 9= �

109

89

79

69

5949

3929 19

11919

29

39

49

59

69

7989

: :

n9

� Komplementarni doga�aji

A i B su dva suprotna ili komplementarna doga�aja ako realizacija eksprimenta rezultira ili u realizaciji samo doga�aja A ili u realizaciji samo doga�aja B. U slu�aju komplementarnih doga�aja koristimo notaciju �=B i sljede�i uslovi trebaju biti zadovoljeni:

:�< BA i �= BA Ø.

odnosno

Ø�=:�< AAiAA (5.4)

� Nekompatibilni doga�aji

Dva doga�aja su nekompatibilna ako se ne mogu istovremeno, odnosno simultano realizovati. A i B su nekompatibilni ako je njihov presjek prazan skup: �= BA Ø. Na grafikonu 5.3. su predstavljeni komplementarni i nekompatibilni doga�aji.


234

komplementarni doga�aji i ,

A AA A A A< � : = � >

nekompatibilni doga�aji iA BA B= � >

119

109

99

8979

69

59

49

3929

19 3919

5929

7949

8969

: :

� Kompletan sistem doga�aja

Skup doga�aja nAAA ,..., 21 predstavlja kompletan ili potpun sistem doga�aja ako svaka realizacija eksperimenta dovodi do realizacije jednog doga�aja iA . Modelizacija kompletnog sistema doga�aja je:

:�<< nAAA ...21 (5.5)

uz uslov da je za svako i i j, ji � zadovoljena slijede�a relacija: �= ji A A Ø

A1 A2 A3 A4

Kompletan sistem doga�ajaGrafikon 5.4.

1 2 3 4

i jA A

A A A A

= � >

< < < � :

119109

99

39

1959

2979

49

89

69

:


235

5.1.1.2. Osobine skupova

Za operacije sa skupovima se primjenjuju De Morganovi zakoni. Prema De Morganovim zakonima, doga�aj suprotan presjeku doga�aja A i B je jednak uniji suprotnih doga�aja od A i B što se notira izrazom:

BABA <�= (5.6)

Komplementaran doga�aj unije A i B je jednak presjeku komplementarnih doga�aja A i B:

BABA =�< (5.7)

Za operacije sa skupovima vrijede i osobine distributivnosti presjeka prema uniji i distributivnosti unije prema presjeku:

� � � � � �� CABACBA

CABACBA<=<�=<=<=�<=

(5.8)

Ako je doga�aj A dio skupa mogu�ih rezultata tada vrijede uslovi:

ØØ �=�:= AAA

ØA A A<: � : < � (5.9)

Pojmove siguran doga�aj, nemogu� doga�aj i nekompatibilan doga�aj smo modelizirali i formalizirali bez korištenja termina vjerovatno�a.

U slijede�em dijelu �emo analizu proširiti definisanjem pojma vjerovato�a i modela slu�ajnog eksperimenta i slu�ajnog doga�aja.

5.2. DEFINISANJE VJEROVATNO�E

Razlikuju se dva osnovna tipa vjerovatno�e: vjerovatno�a a priori i vjerovatno�a a posteriori. Vjerovatno�a a priori je unaprijed poznata vjerovatno�a. Vjerovatno�a nekog doga�aja može biti poznata unaprijed ako znamo broj povoljnih i broj mogu�ih ishoda ili rezultata slu�ajnog eksperimenta. Ako znamo da se u posudi nalaze dvije kuglice razli�ite boje (crvena i bijela), u tom slu�aju vjerovatno�a izvla�enja svake od tih kuglica je poznata i iznosi 50%.


236

U najve�em broju slu�ajeva nisu unaprijed poznati elementi za izra�unavanje vjerovatno�e i potrebno je eksperimentisanjem, ili na neki drugi na�in, izra�unati vjerovatno�u naknadno, poslije realizacije eksperimenta ili a posteriori.

U definisanju vjerovatno�e prezentova�emo dva pristupa eksperimentalni i teorijski.

5.2.1. Eksperimentalni pristup definisanju vjerovatno�e

Eksperimentalni pristup definiše vjerovatno�u na bazi frekvencija. Ovako definisana vjerovatno�a se naziva još i empirijska, statisti�ka ili vjerovatno�a a posteriori. Ovaj pristup se koristi u konkretnim slu�ajevima da bi se odredila numeri�ka vrijednost vjerovato�e jednog doga�aja. Prema ovoj definiciji, vjerovatno�a je definisana kao grani�na vrijednost relativne frekvencije i odre�uje se poslije izvršenog eksperimenta na osnovu prikupljenih empirijskih podataka.Ako sa n ozna�imo broj ponavljanja slu�ajnog eksperimenta, a sa n(A) broj realizacija doga�aja A u n ponavljanja, tada odnos n(A)/n predstavlja relativnu frekvenciju doga�aja A.

Vjerovatno�a doga�aja A se utvr�uje kao grani�na vrijednost relativne frekvencije kada broj ponavljanja slu�ajnog eksperimenta teži beskona�nosti:

nAnAp

n

)(lim)(0?

� (5.10)

Ukoliko slu�ajni eksperiment bacanje nov�i�a ponavljamo veliki broj puta vjerovatno�a dobijanja lica �e dosti�i «granicu» kada broj bacanja nov�i�a n teži beskona�nosti:

( ) limn

broj bacanja kada se pojavi licevjerovatno�a licebroj bacanja?0

�

)(lim)( licenjapojavljivaafrekvencijrelativnalice�avjerovatnon 0?

�

Ustvari, vjerovatno je da relativna frekvencija pojavljivanja “lice” teži prema nekoj granici i ta granica se naziva vjerovatno�a.


237

5.2.2. Teorijska definicija vjerovatno�e

Teorijski pristup definisanju vjerovatno�e predstavlja aksiomatsku definiciju vjerovatno�e ili vjerovatno�u a priori.

Pretpostavimo da su: � slu�ajni eksperiment, : skup svih mogu�ih rezultata tog eksperimenta � �n999 ,...,, 21�: , koji može biti kona�an ili

beskona�an i P � � � �i jØ, , A ,9: � : skup svih doga�aja koji se mogu realizovati kao rezultat slu�ajnog eksperimenta. Sastavni dio ovog skupa su pored elementarnih doga�aja 9i i doga�aja Aj, uvijek i nemogu� doga�aj Ø i siguran doga�aj : . U slu�aju eksperimenta bacanje kocke �ije su strane ozna�ene od 1 do 6 skup mogu�ih rezultata je � �6,5,4,3,2,1�: . U tom slu�aju skup svih doga�aja (elementarnih i složenih) koji se mogu realizovati kao rezultat eksperimenta bacanje kocke je:

P � �i( ) Ø, , ,jA9: � : �

� � � � � � � � � � � � � �� Ø , 1 ,., 2,6 ,.., 1,3,5 ,.., 2,4,5,6 ,.., 1,3,4,5,6, ,.., 1,2,3,4,5,6�

Vjerovatno�a se naziva aplikacija p koja svakom doga�aju iz skupa P � �:

pridružuje jednu vrijednost iz intervala (1,0 , odnosno p: P � � (0,1: ? , i zadovoljava dva sljede�a aksioma:

1. Zbir vjerovatno�a svih elementarnih doga�aja je jednak 1:

� � � � � �1 2 ... 1np p p9 9 9� � � (5.11)

gdje je: 1p(0 � i9 .

2. Vjerovatno�a bilo kojeg doga�aja A je jednaka zbiru vjerovatno�a elementarnih doga�aja koji �ine doga�aj A: � � � ��

+

�A

ii

pAp9

9 .

Da bi se odredila vjerovatno�a skupa mogu�ih rezultata eksperimenta potrebno je svakom elementarnom doga�aju i9 pridružiti vjerovatno�u

� �ip 9 . Primjena ove definicije vjerovatno�e se zasniva na pretpostavci da je za sve elementarne doga�aje poznata vjerovatno�a koja može uzimati vrijednosti iz intervala (1,0 . Vjerovatno�a doga�aja A se izra�unava matemati�kim putem prije realizacije eksperimenta, dakle a priori. Definisanom doga�aju A pridružujemo realan broj koji


238

obilježavamo sa p(A) i nazivamo vjerovatno�om doga�aja A ako zadovoljava sljede�e uslove:

� � 10 Ap ; p()=1 (5.12)

Posljedice aksiomatske definicije su sljede�e: � Vjerovatno�a skupa svih mogu�ih rezultata slu�ajnog eksperimenta

je jednaka jedinici p()=1. Prema aksiomu 1: � � � � � � 1...21 �� nppp 999 , dakle � � 1�:p .

� Zbir vjerovatno�e doga�aja A i vjerovatno�e njemu komplementarnog doga�aja A je jednak jedinici

� � � � 1�� ApAp (5.13) Iz izraza (5.13) slijedi da je vjerovatno�a doga�aja A jednaka razlici

izme�u jedinice i vjerovatno�e komplementarnog doga�aja A :

� � � �ApAp �1

� Vjerovatno�a nemogu�eg doga�aja koji predstavljamo kao prazan skup je jednaka nuli:

� � 0Ø �p (5.14)

� Za svaki doga�aj vjerovatno�a se kre�e izme�u nule i jedinice:

� � 10 , @ ApA (5.15)

Primjer 5.1.

Ako je � eksperiment izvla�enje loptica �iji je skup mogu�ih rezultata � �žuta zelena, crvena, plava,�: i vjerovatno�a izvla�enja svake od loptica:

p (plava) = 0,3, p (crvena) = 0,4 p (zelena) = 0,2 p (žuta) = 0,1

provjeriti aksiom 1 teorijske definicije i utvrditi vjerovatno�u doga�aja A koji se sastoji od elementarnih doga�aja izvu�i plavu ili zelenu kuglicu.

Aksiom 1 je provjeren jer je zbir vjerovatno�a jednak jedinici.


239

� � 11,02,04,03,0 ��:p

Prema aksiomu 2, vjerovatno�a doga�aja A = {plava, zelena} je jednaka:

p(A)= p(plava)+ p(zelena)=0,3+0,2=0,5

Vjerovatno�a doga�aja A je jednaka p(A)=0,5.

5.2.3. Teoreme vjerovatno�e

Prezentira�emo nekoliko teorema vjerovatno�e koje se naj�eš�e koriste i �ije je poznavanje neophodno za analizu i istraživanje.

5.2.3.1. Teorema aditivnosti

Primjenom teoreme aditivnosti definišemo vjerovatno�u nekompatibilnih i kompatibilnih doga�aja.

� Vjerovatno�a nekompatibilnih doga�aja

Vjerovatno�u da �e se dogoditi ili doga�aj A ili doga�aj B, odnosno vjerovatno�u unije nekompatibilnih doga�aja, primjenom teoreme aditivnosti izražavamo sljede�om relacijom:

Ako je � � � � � �BpApBApBA ��<�= je tadaØ (5.16)

� Vjerovatno�a kompatibilnih doga�aja

Ako je Ø, A B= � tada vjerovatno�u unije kompatibilnih doga�aja A i B izražavamo sljede�om relacijom:

� � � � � � � �BApBpApBAp =��< (5.17)

U oba slu�aja važi uslov da je vjerovatno�a realizacije skupa elementarnih doga�aja, dakle sigurnog doga�aja, jednaka jedinici, a vjerovatno�a nemogu�eg doga�aja jednaka nuli: � � 1�:p , � � 0Ø �p .


240

5.2.3.2.Teorema multiplikativnosti

Za nezavisne doga�aje A i B teorema multiplikativnosti izražava vjerovatno�u presjeka doga�aja A i B, kao proizvod vjerovatno�e doga�aja A i vjerovatno�e doga�aja B, sljede�om relacijom:

� � � � � �BpApBAp ��= (5.18)

5.2.3.3. Uslovna vjerovatno�a i nezavisnost slu�ajnih doga�aja

5.2.3.3.1. Uslovna vjerovatno�a

Uslovna vjerovatno�a doga�aja B se definiše kao vjerovatno�a realizacije doga�aja B, znaju�i da je doga�aj A ve� realizovan i da je vjerovatno�a njegove realizacije razli�ita od nule.

Vjerovatno�a doga�aja B, uz uslov da se doga�aj A ve� realizovao, se ozna�ava � �BpA ili p(B/A) i utvr�uje korištenjem sljede�eg izraza:

� � � �� Ap

BApABp =�/ (5.19)

Na analogan na�in se definiše i uslovna vjerovatno�a doga�aja A: p(A/B)

( )( / )( )

p A Bp A Bp B

=� (5.20)

5.2.3.3.2. Vjerovatno�a presjeka doga�aja A i B

Vjerovatno�a presjeka doga�aja A i B, � �BAp = se definiše polaze�i od uslovne vjerovatno�e:

� � � �� Ap

BApABp =�/ (5.21)

� � � � � �ApABpBAp ��= / (5.22)

� � � �� Bp

BApBAp =�/ (5.23)

� � � � � �BpBApBAp ��= / (5.24)


241

Vjerovatno�a presjeka doga�aja je jednaka proizvodu vjerovatno�e jednog od ta dva doga�aja i uslovne vjerovatno�e drugog doga�aja, pod uslovom da se prvi doga�aj realizovao:

� � � � � � � � � �BpBApApABpBAp ��= // (5.25)

5.2.3.3.3. Nezavisnost slu�ajnih doga�aja

Nezavisnost doga�aja se može definisati na dva na�ina. � Doga�aj A je nezavisan od doga�aja B ako vjerovatno�a realizacije

doga�aja A ne zavisi od vjerovatno�e realizacije doga�aja B:

� � � �ApBAp �/ (5.26) Vjerovatno�a realizacije doga�aja B ne uti�e na vjerovatno�u

realizacije doga�aja A. � Druga definicija slijedi iz teoreme multiplikativnosti i prema ovoj

definiciji dva doga�aja A i B su nezavisni u odnosu na vjerovatno�u p ako je zadovoljen sljede�i izraz:

� � � � � �BpApBAp ��= (5.27)

Dvije analizirane definicije su ekvivalentne. Druga ima prakti�nu prednost jer je simetri�na u odnosu na doga�aje A i B.

5.2.3.4. Bayesova teorema

Bayesova teorema daje odgovor na pitanje: «Ako se realizovao neki doga�aj koji može biti rezultat (posljedica) dva ili više uzroka, kolika je vjerovatno�a da se on realizovao upravo kao posljedica jednog konkretnog uzroka?» U ovom slu�aju se ispituje vjerovatno�a uzroka zbog toga što se traži uzrok dešavanja doga�aja.

Za svaki doga�aj B �ija je vjerovatno�a pozitivna i za kompletan sistem doga�aja iA , 1,i n� �ija je vjerovatno�a pozitivna dobijamo za svako i:

� � � � � ��

�

�

�� n

kkk

iii

ApABp

ApABpBAp

1/

// (5.28)


242

Dokaz:

� � � ��

� � � �� Bp

ApABpBp

BApBAp iiii

��=� //

� ��n

kk

n

kk ABABBB

11 ��

=��

��

�=�:=�

Doga�aji kAB = su nekompatibilni jer su kA nekompatibilni. Zaklju�ujemo da je:

� � � ��

=�n

kkABpBp

1

� � � � � � � �kABpABpABpBp =��=�=� ....21

� � � � � � � � � �

� � � � � � � �1 1 2 2

1

/ / ...

... / /n

n n k kk

p B p B A p A p B A p A

p B A p A p B A p A�

� � � � �

� � � ��

� � � � � �k

n

kk ApABpBp ��

�1

/ (5.29)

Primjenu Bayesove teoreme �emo ilustrovati na sljede�em primjeru.

Primjer 5.2.

Tri fabrike A, B i C snabdijevaju respektivno sa 30%, 20% i 40% kerami�kih plo�ica gra�evinsko preduze�e. U njihovim isporukama ima respektivno 6%, 5% i 3% neupotrebljivih plo�ica. Jedna plo�ica slu�ajno izabrana u stoku je neupotrebljiva. Koja je vjerovatno�a da ova plo�ica dolazi iz fabrike C?

Da bismo izra�unali traženu vjerovatno�u definisa�emo doga�aje i formalizirati poznate informacije. Doga�aj A: plo�ica poti�e iz fabrike A, doga�aj B: plo�ica poti�e iz fabrike B, doga�aj C: plo�ica poti�e iz fabrike C i doga�aj D: plo�ica je neispravna. Poznate vjerovatno�e su:

� � 30,0�Ap � � 20,0�Bp � � 40,0�Cp

� � 06,0/ �ADp � � 05,0/ �BDp � � 03,0/ �CDp


243

Traženu vjerovatno�u da slu�ajno izabrana neispravna plo�ica dolazi iz fabrike C ozna�avamo sa � �DCp / i izražavamo sljede�om relacijom:

� � � ��

� � � �� Dp

CpCDppDp

DCpDCp ��=� //

Da bi se izra�unala vjerovatno�a � �Dp potrebno je definisati kompletan sistem doga�aja (KSD) «mogu�ih izvora» neispravne plo�ice.

� �:�<<

�CBA

CBAKSD ,,

Doga�aji A,B i C su nekompatibilni:

ØØ;Ø; �=�=�= CBCABA

Odre�ujemo skup doga�aja D:

� �CBADDDD

<<=�:=�

� � � � � �CDBDADD =<=<=�

Ova tri doga�aja su me�usobno nekompatibilna. To �emo pokazati za dva od njih:

� � � �

� �� ØØ

�=�==�

===�===�===

DBAD

BADDBDADBDAD

Vjerovatno�a doga�aja D je jednaka: � � � � � � � �� CpCDpBpBDpApADpDp

CDpBDpADpDp��

=�=�=�///

odakle slijedi:

� � � � � ��

� � � � � �� DpCDpBpBDpApADp

CpCDpDCp

DpCpCDpDCp

��

��

/////

//


244

Kada zamijenimo numeri�ke podatke u gornju relaciju dobijamo traženu vjerovatno�u � � %30/ �DCp . Zaklju�ujemo da je vjerovatno�a da slu�ajno izabrana neispravna plo�ica poti�e iz fabrike C jednaka 30%.

Vjerovatno�e da slu�ajno izabrana neispravna plo�ica poti�e iz fabrike A i iz fabrike B su 45% i 25% respektivno: %25)/( i % 45)/( �� DBpDAp .

5.2.4. Kombinatorika

Kombinatorika podrazumijeva skup mogu�ih rasporeda i grupacija odre�enog broja elemenata. Pošto definicije vjerovatno�e podrazumijevaju poznavanje broja mogu�ih i broja povoljnih ishoda realizacije slu�ajnog eksperimenta, za njihovo utvr�ivanje koristimo metode kombinatorike.

5.2.4.1. Permutacije

Izvršiti permutaciju n elemenata nekog skupa zna�i rasporediti elemente na sve mogu�e na�ine. Zavisno od toga da li se neki elementi ponavljaju ili ne, razlikujemo:

� Permutacije bez ponavljanja:

P = n! (5.30) � Permutacije sa ponavljanjem:

� �!!...!

!

21..., 21

knnn nnn

nnP k �

� (5.31)

gdje je 1

k

ii

n n�

��

5.2.4.2. Kombinacije

Kombinacija predstavlja svaki podskup od k elemenata skupa od n elemenata i može biti bez ponavljanja i sa ponavljanjem.

� Kombinacije bez ponavljanja:

� �!!!

knkn

knCk

��

�� (5.32) n


245

� Kombinacije sa ponavljanjem:

� �� 1!

!1

11

��

��

�� nkkn

kkn

C kk n (5.33)

5.2.4.3. Varijacije

Varijacije predstavljaju permutacije podskupova od k elemenata uzetih istovremeno iz skupa od n elemenata.

� Varijacije bez ponavljanja:

)!(! kn

nV k � (5.34)

� Varijacije sa ponavljanjem: kn� (5.35)

5.2.5. Slu�ajna ili stohasti�ka varijabla

Ako je � stohasti�ki eksperiment i skup svih mogu�ih rezultata (ishoda) tog eksperimenta tada se svaka aplikacija (X) koja svakom elementarnom doga�aju i9 od pridružuje jednu vrijednost naziva slu�ajna (stohasti�ka, aleatorna) varijabla.

Vrijednosti koje može uzeti ova stohasti�ka varijabla nazivaju se realizacijama eksperimenta � �.ix Skup svih tih vrijednosti naziva se skup realizacija eksperimenta i ozna�ava se sa � �.:X Slu�ajne varijable se mogu podijeliti na osnovu toga da li uzimaju samo izolovane vrijednosti u nekom intervalu ili sve mogu�e vrijednosti iz tog intervala. Prema ovom kriteriju, slu�ajne varijable se dijele na prekidne i neprekidne. Slu�ajna varijabla je prekidna ili diskretna ukoliko može uzeti prebrojivo mnogo vrijednosti, odnosno kona�an broj izolovanih vrijednosti koje se mogu prebrojati skupom cijelih nenegativnih brojeva. Slu�ajna varijabla je neprekidna ili kontinuirana ako može uzeti bilo koju vrijednost iz posmatranog intervala. Vrijednosti ove varijable su rezultat mjerenja. Varijable �ije vrijednosti se dobijaju mjerenjem su po svojoj prirodi kontinuirane.

n

V k n


246

5.2.5.1. Prekidna slu�ajna varijabla

Ako slu�ajna varijabla X uzima diskretne vrijednosti ni xxxx ,...,,...,, 21 iz skupa mogu�ih rezultata sa vjerovatno�ama � � � � � � � �,,...,,...,, 21 ni xpxpxpxp skup �iji su elementi ure�eni parovi

� �� nixpx ii ,...,2,1,, � (5.36)

predstavlja distribuciju (zakon, raspored) vjerovatno�e slu�ajne varijable X. Svaka distribucija vjerovatno�e prekidne slu�ajne varijable zadovoljava sljede�e uslove:

� �

� � 1

,...,2,1i ,0

1

�

�A

��

n

ii

i

xp

nxp (5.37)

Zakon vjerovatno�e prekidne slu�ajne varijable se može napisati i u sljede�im oblicima:

� � ��

��

�

ni

ni

ppppxxxx

XD . . . . . . . .

:21

21 (5.38)

ili

� � nipx

XDi

i ,....,1,

: ��

��

� (5.39)

Distribucija prekidne varijable X je definisana skupom realizacija X() i vjerovatno�om svake realizacije. Grafi�ki prikaz slu�ajne prekidne varijable se predstavlja dijagramom sa stupcima.

� Kumulativne vjerovatno�e i funkcija distribucije prekidne slu�ajne varijable X

Kumulativna distribucija vjerovatno�e slu�ajne prekidne varijable je jednaka:

� � ( � ��

� �ixx

iii xpxXPxF (5.40)

i pomo�u nje se odre�uje funkcija distribucije (zakona, rasporeda) prekidne slu�ajne varijable X. Funkcija distribucije (zakona, rasporeda) prekidne slu�ajne varijable je definisana kao vjerovatno�a za koju X uzima


247

vrijednosti manje ili jednake od nekog realnog broja x. Ovu funkciju formalizujemo na sljede�i na�in:

� � � � 11

, , 1, 1j

i j ji

F x P X x p x x x j n��

� � � � �

� ��B

��C

D

��

��

�

A

��

�

� ��

�

n

j

ijji

xx

njxxxp

xx

xF

je ako ,1

1,1, je ako ,

je ako 0

11

1

(5.41)

� � � �0, 1F F0 � 0 � . � � � � 0�0 �0 xPF se odnosi na vjerovatno�u nemogu�eg doga�aja, a � � � � 1��0 �0� xPF je vjerovatno�a sigurnog doga�aja koja je uvijek jednaka jedinici.

Vjerovatno�u da �e se prekidna slu�ajna varijabla na�i u intervalu (a,b) utvr�ujemo sljede�im izrazom:

� � � � � � ��

�� bxa

ii

paFbFbXaP (5.42)

5.2.5.1.1. O�ekivana vrijednost i varijansa

Svaku prekidnu slu�ajnu varijablu karakterišu njeni parametri. To su o�ekivana vrijednost i varijansa prekidne slu�ajne varijable.

O�ekivana vrijednost (aritmeti�ka sredina ili matemati�ka nada) prekidne slu�ajne varijable X je jednaka:

� � ��i

iinn xpxpxpxpXE ...2211 (5.43)

� Osobine o�ekivane vrijednosti su aditivnost i linearnost. Ove osobine izražavamo sljede�im relacijama:

� �� XEaaXE

bXEbXE��

�� )( (5.44)

odnosno

� � � � bXEabaXE �� (5.45)


248

� � � � � �YEXEYXE �� (5.46)

� O�ekivana vrijednost odstupanja varijable X od njene o�ekivane vrijednosti je jednaka nuli:

� � ( 0� XExE , odnosno � �� i

ii XExp 0 (5.47)

� Varijansa prekidne slu�ajne varijable po definiciji je jednaka:

� � (22 XEXE �' (5.48)

Iz izraza (5.48) izvodimo izraz za varijansu razvijena oblika.

� � � � (� �

� � � � � � � � (22

22

2

2

XEXEXEXE

XEXXEXE

��

�

� � � � ( � � ( � � � �XEXEXEXEXE �� 2222 2

( � � (222 XEXEx �' (5.49)

U mnogim slu�ajevima varijansu je jednostavnije izra�unati korištenjem razvijenog oblika, odnosno izraza (5.49).

Primjer 5.3.

Za distribuciju vjerovatno�e prekidne slu�ajne varijable X date sljede�im izrazom:

� � ��

��

�2,00,2 0,1 0,3 2,0

54 3 2 1:XD

utvrditi funkciju distribucije (kumulativnu distribuciju) i grafi�ki predstaviti distribuciju prekidne slu�ajne varijable X i funkciju distribucije prekidne slu�ajne varijable X.

Za posmatranu distribuciju kompletiramo i kumulativnu distribuciju:

� � � �1

0, ako je 1

ako je 1 5 0 0,2 0,5 0,6 0,8 1,0

1, ako je 5

j

ii

x

F x p x

x�

�� D� �� C� �� A� B

�


249

Distribucija (zakon, raspored) prekidne slu�ajne varijable i njoj odgovarajuju�a funkcija distribucije su predstavljeni na sljede�im grafikonima.

( )p x

x

x

( )F x


250

5.2.5.2. Neprekidna slu�ajna varijabla

Slu�ajna varijabla je neprekidna ili kontinuirana ako može uzeti bilo koju vrijednost iz posmatranog intervala. Vrijednosti ove varijable su rezultat mjerenja. Varijable �ije vrijednosti se dobijaju mjerenjem po svojoj prirodi su kontinuirane. Da bi se odredila distribucija (zakon, raspored) vjerovatno�e neprekidne slu�ajne varijable potrebno je definisati:

1. Skup svih realizacija � �:X slu�ajne neprekidne varijable. Slu�ajna varijabla je neprekidna ako može uzeti bilo koju vrijednost iz posmatranog skupa realizacija � �:X .

2. Funkciju gustine vjerovatno�e � �xf koja treba biti nenegativna za svako x: � � xxf , 0 @A . Prema definiciji ukupna površina ispod krive gustine vjerovatno�e je jednaka jedinici.

� � 1�E0

0

dxxf (5.50)

3. Funkcija distribucije vjerovatno�e je definisana sljede�im izrazom:

� � � �dxxfaxFa

E0

�� (5.51)

� � ( (aXpaXpaF �0� � i jednaka je površini ispod krive u intervalu (a;0 .

Ukupna površina ispod krive f(x) je jednaka jedinici pošto se radi o vjerovatno�i sigurnog doga�aja:

( 1��0��0 Xp

Za slu�ajnu neprekidnu varijablu sve vjerovatno�e u ta�ci su jednake nuli:

� � ,0 aaxP @��

Posljedice ove osobine su sljede�e:

( ( ( (bXaPbXaPbXaPbXaP ��

Na sljede�im grafikonima smo prezentovali nekoliko slu�ajeva izra�unavanja vjerovatno�e. Ukupna površina ispod krive gusto�e vjerovatno�e je jednaka 1.


251

Na grafikonu 5.7. traženu vjerovatno�u izra�unavamo na sljede�i na�in:

( ( ( )()( aFbFaxpbxpbxap � �

Vjerovatnoca u intervalu: Grafikon 5.7. (p a x b

x

( )f x

ba

Vjerovatno�a predstavljena na grafikonu 5.8. je jednaka:

( ( )(bFbxpbxp � � �0

Vjerovatno�a u intervalu: Grafikon 5.8. (p x b0

( )f x

xb


252

Vjerovatno�a na grafikonu 5.9. je jednaka ( ( )(11( bFbxpbxp � �A

(p x bA

b

( )f x

x

5.2.5.2.1. O�ekivana vrijednost i varijansa slu�ajne neprekidne varijable

O�ekivana vrijednost i varijansa slu�ajne neprekidne varijable su definisane sljede�im izrazima:

� � � � dxxxfXE �� E�0

0* (5.52)

� � � � � �XEdxxfx �� E�0

0**' ,

22 (5.53)

5.2.6. �ebiševa teorema

Za prekidnu i kontiniranu slu�ajnu varijablu X �ija je o�ekivana vrijednost μ, standardna devijacija � i k realan striktno pozitivan broj, vrijedi sljede�a relacija:

( 2

11k

kXkp A�� '*'* (5.54)

koja izražava vjerovatno�u da �e se slu�ajna varijabla X udaljavati od svoje aritmeti�ke sredine za k puta standardna devijacija. Vjerovatno�a da �e se


253

slu�ajna varijabla X nalaziti u intervalu ('* k) �e biti najmanje

%11 2 ��

��

k .

5.2.7. Prekidne distribucije (zakoni, rasporedi) vjerovatno�e

Od prekidnih distribucija vjerovatno�e mi �emo analizirati: uniformnu, Bernoullijevu, binomnu, Poissonovu i hipergeometrijsku distribuciju vjerovatno�e.

5.2.7.1. Uniformni zakon vjerovatno�e

Da bismo definisali uniformni zakon vjerovatno�e treba da budu ispunjeni sljede�i uslovi:

� Populacija sastavljena od jedinica ozna�enih brojevima od 1 do n od kojih svaka ima jednaku vjerovatno�u da bude izabrana.

� Realizacijom slu�ajnog eksperimenta slu�ajno se odabire jedna jedinica iz posmatrane populacije. X je slu�ajna varijabla jednaka broju jedinice koja je izabrana.

� Skup realizacija i vjerovatno�a svake realizacije su formalizirani sljede�im izrazima. Skup realizacija je � � � �nX ,...,2,1�: .

Vjerovatno�a svake realizacije � �n

xXp i 1�� i zbir vjerovatno�a:

� � 1�� ixp .

Slu�ajna varijabla je raspore�ena prema prekidnoj unifomnoj distribuciji ako sve realizacije x varijable X imaju jednaku vjerovatno�u u intervalu [1, n].

(~ 1, X U n

� �� n

pnxpx xx1jegdje ,,...,1,, �� (5.55)

O�ekivana vrijednost i varijansa prekidne uniformne distribucije su datesljede�im izrazima:

� �12

1;2

1 22 �� nnXE ' (5.56)


254

Primjer 5.4.

� � ��

��

�1/5 1/5 1/5 1/5 5/1

5 4 3 2 1:XD

(5,1~ UX

Izra�unati o�ekivanu vrijednost i varijansu prekidne uniformne distribucije i grafi�ki predstaviti prekidnu uniformnu distribuciju i funkciju prekidne uniformne distribucije.

O�ekivana vrijednost i varijansa prekidne uniformne distribucije su

� �

1224

121

32

1

22 ��

��

n

nXE

'

Funkcija kumulativne prekidne uniformne distribucije je

� �1;80,0;60,0;40,0;20,0;0)( �xF

Na sljede�im grafikonima su predstavljene prekidna uniformna distribucija i kumulativna funkcija vjerovatno�e prekidne uniformne distribucije.

( )p x

x


255

( )f x

x

5.2.7.2. Bernoullijeva distribucija vjerovatno�e

Posmatrajmo slu�ajni eksperiment koji može imati samo dva rezultata (ishoda) koji se mogu ozna�iti kao «uspjeh» i «neuspjeh». To je alternativna situacija �iji ishodi su komplementarni i zbir njihovih vjerovatno�a je jednak jedinici. X je slu�ajna prekidna varijabla indikator doga�aja. X uzima vrijednost 1 ako je ishod «uspjeh» i vjerovatno�a ishoda «uspjeh» je jednaka p. X uzima vrijednost 0 ako je ishod neuspjeh i odgovaraju�a vjerovatno�a je jednaka (1- )q p� .

Distribucija (zakon, raspored) vjerovatno�e slu�ajne varijable X je jednak:

0 1( ) :

1- D X

p p� ��

(5.57)

U prvom redu su vrijednosti xi, a u drugom odgovaraju�e vjerovatno�e. Kumulativna distribucija je jednaka:

)1()0( pxF ��

1)1()1( �� ppxF (5.58)

Ukoliko su zadovoljeni gore navedeni uslovi, slu�ajna varijabla X slijedi Bernoullijev zakon vjerovatno�e koji zavisi od parametra p, koji predstavlja vjerovatno�u realizacije ishoda «uspjeh».

~ Bernoulli ( )X p


256

� O�ekivana vrijednost i varijansa Bernoullijevog zakona vjerovatno�e

O�ekivana vrijednost Bernoullijevog zakona vjerovatno�e je jednaka p:

� � � � ppppxXEi

ii ��

1102

1

(5.59)

Varijansa ovog zakona vjerovatno�e je jednaka: � � qpppx �� 12' (5.60)

Varijansa se dobija na sljede�i na�in:

� � � � (� � �

�

��

�2

1

22

222

1)1(0i

ii

x

ppppxxE

xExE'

� � (� �pppp

pxE

x ��

122

22

'

Bernoullijeva distribucija vjerovatno�e i kumulativna distribucija vjerovatno�e su predstavljene na grafikonu 5.12.

x( )F xx


257

Bernoullijev zakon vjerovatno�e je poseban slu�aj gdje je zakon vjerovatno�e od X jednak zakonu vjerovatno�e od 2X .

2 0 1 0 1: i :

1- 1- X X

p p p p� � � ��

(5.61)

5.2.7.3. Binomna distribucija vjerovatno�e

Ako ponavljamo n puta uzastopno (sukcesivno) slu�ajni eksperiment koji ima dva mogu�a ishoda (uspjeh i neuspjeh) pod uslovom da vjerovatno�a postaje nepromijenjena i da su ishodi eksperimenta nezavisni (izvla�enje se vrši sa ponavljanjem) dobijamo n Bernoullijevih varijabli. Tako dobijene Bernoullijeve varijable su me�usobno nezavisne i raspore�ene prema istoj distribuciji vjerovatno�e koja je funkcija vjerovatno�e p.

X je prekidna slu�ajna varijabla jednaka broju ishoda koje smo ozna�ili kao uspjeh, a koje smo dobili ponavljanjem n identi�nih i nezavisnih slu�ajnih eksperimenata. Slu�ajna prekidna varijabla X slijedi binomnu distribuciju vjerovatno�e i zavisi od parametara n i p što ozna�avamo kao:

X ~ � �pnB , (5.62)

Skup realizacija slu�ajne varijable X je:

� � � �nX ,...,3,2,1,0�:

Vjerovatno�e realizacija predstavljaju �lanove razvijenog binoma:

� � � �

� � � � nxppxn

xp

nkppkn

kXp

xnx

knk

,...,1,0 ,1

,...,0,1

��

��

��

��

(5.63)

� � � ��

� �

1

1

! , 0,...,! !

n kk kn

n xx xn

k n

p X k C p p

p x C p p

n nC k nk k n k

� � �

� �

� ��


258

Kumulativna distribucija vjerovatno�e je jednaka:

� ��B

��C

D

��

��

�

A

��

�

� ��

�

n

j

kjj

knkkn

xx

njxxxqpC

x

xF

je ako ,1

1,1, je ako,

0 je ako ,0

01 (5.64)

Osobine binomnog zakona možemo rezimirati na sljede�i na�in. Poznat je broj realizovanih eksperimenta (n). Svaki eksperiment je slu�ajan i nezavisan. U svakom eksperimentu su mogu�a dva ishoda: uspjeh ili neuspjeh. U svakom eksperimentu vjerovatno�a uspjeha i neuspjeha su konstantne.

� O�ekivana vrijednost i varijansa binomne distribucije vjerovatno�e

Prekidna slu�ajna varijabla X koja se ponaša prema binomnoj distribuciji vjerovatno�e sa parametrima n i p je jednaka zbiru n slu�ajnih varijabli iX koje su nezavisne:

��

�n

iiXX

1

Ako sve nezavisne prekidne slu�ajne varijable Xi slijede Bernoullijevu distribuciju � �pBernoulliX i ~ , o�ekivana vrijednost prekidne slu�ajne varijable X je jednaka

( )E X n p� � (5.65)

Ovu vrijednost dobijamo na sljede�i na�in:

� � � ��

��

��

n

ii

n

ii XEXEXE

11

Za svako i o�ekivana vrijednost je jednaka p: � � pXE i � . Slijedi

� � � ��

��n

ii pnpppXEXE

1

...

( )E X n p� �


259

Varijansa prekidne slu�ajne varijable X koja slijedi binomni zakon vjerovatno�e se definiše na sljede�i na�in:

��

��

�

n

iix X

1

22 '' (5.66)

Pošto su n slu�ajnih varijabli iX nezavisne promjenom osobine aditivnosti varijanse dobijamo:

� ��

�n

iix X

1

22 ''

Za svako Xi varijansa je jednaka � � � � qpppX i �� 12' . Slijedi:

� � � � � � � �pnpppppppx �� 11...112'

� � qpnpnpx �� 12'

O�ekivana vrijednost i varijansa prekidne slu�ajne varijable X koja slijedi binomni zakon vjerovatno�e sa parametrima n i p, X ~ B(n,p), su

� � � �pnppnXE x �� 1 2' (5.67)

U opštem slu�aju binomna distribucija je asimetri�na. Ako je p=q=0,5 binomna distribucija je simetri�na. Ako je p<0,5 tada je distribucija pozitvno asimetri�na, odnosno za p>0,5 negativno asimetri�na.

Izrazi za koeficijente asimetrije i spljoštenosti su:

Koeficijent asimetrije je jednak

npqpq �3, (5.68)

Koeficijent spljoštenosti je

npqpq6134

��, (5.69)

Koeficijent varijacije je jednak sljede�em izrazu:


260

� � 100100100 ��

��

��

pnq

pnqpn

xEkv

' (5.70)

Binomnu distribuciju vjerovatno�e za n=6 i p=0,5 i funkciju vjerovatno�e predstavljamo na sljede�im grafikonima:

F (x )p

x x

Grafi�ki prikaz binomne distribucije za n=10 i p=0,10 je predstavljen na grafikonu 5.14.

p(xi)

xi


261

Binomne distribucije za n=10 i p=0,5 je simetri�na i predstavljena na grafikonu 5.15.

( )ip x

ix

Binomna distribucija je tabelirana. Binomna distribucija vjerovatno�e je specijalan slu�aj prekidnih distribucija vjerovatno�e koja ima vrlo široku primjenu.

5.2.7.4. Poissonova distribucija vjerovatno�e

Kada slu�ajna prekidna varijabla X može uzimati kao vrijednosti nulu i sve pozitivne cijele brojeve X()=(0,1,2,…, + ) kojima odgovaraju vjerovatno�e date sljede�im izrazom:

� � pnex

exXpx

�� FFF ,718,2,!

(5.71)

tada je varijabla X raspore�ena prema Poissonovom rasporedu koja je funkcija parametra 0�� npF , koji predstavlja prosje�an broj javljanja doga�aja u vremenskoj ili prostornoj jedinici.

X ~ � �FP (5.72)

O�ekivana vrijednost i varijansa slu�ajne prekidne varijable koja se ponaša po ovoj distribuciji su jednake:

� � F'F* �� 2, xXE (5.73)


262

Osobinu da je F'* �� 2x ima samo Poissonov raspored, pa možemo re�i

da je svaki raspored u kome je izražena ta osobina Poissonov raspored.

Koeficijent varijacije je:

� � 101100100 ��FF

F'xE

kv (5.74)

Parametri simetri�nosti i spljoštenosti su:

F,

F, 13 ,1

43 �� (5.75)

Funkcija distribucije vjerovatno�e je jednaka:

� ��

��

��

��

��

brojprirodan cijeli za ,1 je ako ,!

0 je ako 0,

0jjxj

ke

x xF j

k

kFF (5.76)

Poissonova distribucija je grani�ni slu�aj binomne distribucije. Ako je vjerovatno�a p vrlo mala i broj ponavljanja slu�ajnog eksperimenta n veliki tj.: p<0,1; n>50 binomna distrubicja se može aproksimirati Poissonovom distribucijom. Poissonova distribucija se naziva i distribucija malih vjerovatno�a ili distribucija rijetkih fenomena. Ova distribucija se naj�eš�e primjenjuje u slu�ajevima kada je broj javljanja doga�aja nezavisan od vremenske ili prostorne jedinice, kada je vjerovatno�a javljanja doga�aja proporcionalna dužini vremena ili prostora i kada je vjerovatno�a istovremenog javljanja dva ili više doga�aja u maloj vremenskoj jedinici zanemarljiva. Ovaj model rasporeda ima veliku prakti�nu primjenu, posebno u teoriji redova �ekanja.

Rekurzivna formula za jednostavnije izra�unavanje vjerovatno�e je data sljede�im izrazom:

� � ( 1)p X x p X xxF� � � (5.77)

Pomo�u ove formule se postepeno izra�unavaju ostale vjerovatno�e ako se zna da je vjerovatno�a p(0) jednaka:

� � F�� eXp 0


263

Ova distribucija je tabelirana. Poissonovu distribuciju vjerovatno�e smo predstavili na grafikonima 5.16. i 5.17. za razne vrijednosti parametara n i p, odnosno za razne vrijednosti parametra �.

p(xi)

xi

p(xi)

xi

Binomna distribucija se može aproksimirati Poissonovom ako su ispunjeni odre�eni uslovi. Na sljede�im grafikonima su za odabrane vrijednosti n i p predstavljene aproksimacije binomne Poissonovom distribucijom. Uslovi za aproksimaciju binomne distribucije Poissonovom su 10,030 A pin .


264

p(xi)

xi

p(xi)

xi


265

p(xi)

xi

p(xi)

xi

Na osnovu prezentiranih grafikona možemo konstatovati da je aproksimacija bolja ukoliko n raste, a vjerovatno�a p opada.


266

5.2.7.5. Hipergeometrijska distribucija vjerovatno�e

Hipergeometrijska distribucija vjerovatno�e H(N,n,p) je distribucija zbira n slu�ajnih Bernouillijevih zavisnih varijabli. Radi se dakle o izvla�enju bez ponavljanja. Broj povoljnih ishoda me�u n slu�ajnih sukcesivnih Bernouillijevih eksperimenata se kre�e izme�u max (0,n,N2) i min (n,N1). Ova slu�ajna varijabla ima istu o�ekivanu vrijednost kao binomna varijabla, ali je varijansa manja za odnos (N-n)/(N-1) koji se naziva faktor egzostivnosti. Ozna�imo sa: N=N1+N2 broj elemenata skupa, N1 broj povoljnih ishoda ili broj elemenata skupa koji posjeduje traženo obilježje, N2=N-N1 broj nepovoljnih ishoda ili broj elemenata skupa koji ne posjeduju traženo obilježje i k broj povoljnih ishoda ili broj elemenata u uzorku koji posjeduju dato obilježje. Uz uslov da je NNkNn 1 , , skup mogu�ih realizacija i vjerovatno�a svake od realizacija su dati sljede�im izrazima:

� � � � � �� 12 ,min,...,,0max NnNnX �:

� � nN

knN

kN

CCC

nN

knN

kN

kXp�

�

��

��

�

��

��

�

��

��

�

�� 21

21

(5.78)

O�ekivana vrijednost i varijansa su:

� �1

; 2121

��

NnN

NN

NNn

NNnXE ' (5.79)

Ova distribucija se primjenjuje u rješavanju problema izbora uzoraka. Uzorak se može odabrati sa ponavljanjem i bez ponavljanja elemenata. Nezavisnost elemenata obezbje�uju uzorci sa ponavljanjem.

U slu�ajevima kada je populacija vrlo velika, ili kada je odnos (n/N<1/10), ova distribucija se može aproksimirati pomo�u binomne distribucije.

5.2.7.6. Tabelarni pregled prekidnih distribucija

U narednoj tabeli je prezentiran pregled analiziranih prekidnih distribucija i njima odgovaraju�ih o�ekivanih vrijednosti i varijansi.


267

Tabela 5.1. Prekidne distribucije vjerovatno�e

Prekidne distribucije

Distribucije vjerovatno�e

O�ekivana vrijednost

Varijansa

Uniformna (~U 1, X n � ��

npnxpx xx

1 je gdje ,,...,1,, �� 12

nE X ��

1212

2 � n'

Bernoullijeva X~Bernoulli (p)

��

��

�p p-11 0

:)(XD

pXE �)(

� � qpppx �� 12'

Binomna X ~ B(n,p)

� � � � xnxxn ppCxp �� 1

pnXE ��)(

� �pnpx � 1 2'

Poissonova X ~ � �FP

� � , 2,718,!

x

p X x e e n px

F F F� � � � � �

� �E X * F� �

F' �2x

Hipergeo- metrijska H(N,n,p) � � n

N

knN

kN

CCC

nN

knN

kN

kXp�

�

��

��

�

��

��

�

��

��

�

�� 21

21

� � 1NE X nN

� �

1212

��

NnN

NN

NNn'

5.2.8. Neprekidne distribucije vjerovatno�e

5.2.8.1. Neprekidna uniformna distribucija

Varijabla X ima neprekidnu uniformnu distribuciju u intervalu (ba; ako je:

1. � � (baX ;�: 2. Funkcija gusto�e vjerovatno�e f(x) definisana kao:

� � ( � � ( � ��

��

�+

�G�

abxfbaxako

xfbaxakoxf 1 ;

0 ; (5.80)

3. Funkcija distribucije vjerovatno�e

� � ( ( )x

F x P X x f x dx0

� � �E


268

� ��

��

�

A

�

bx

bxazaabax

ax

xF

za 1,

za,0

(5.81)

Ako slu�ajna prekidna varijabla slijedi uniformnu distribuciju ( ; ~ baUX tada su o�ekivana vrijednost i varijansa definisane sljede�im

izrazima:

� � � �12

i 2

22 abbaXE �� ' (5.82)

Neprekidni uniformni zakon vjerovatno�e i njemu odgovaraju�u funkciju zakona vjerovatno�e predstavljamo na sljede�im grafikonima:

a b x

1b-a

f (x)

a b x

1

F(x)


269

5.2.8.2. Normalna distribucija vjerovatno�e ili Laplace-Gaussova distribucija

Varijabla X ima Laplace-Gaussov zakon vjerovatno�e koji zavisi od parametra 2 i * ' � �2,~ '*NX ako su zadovoljeni sljede�i uslovi:

1. � � RX �: (skup realnih brojeva) tj. � ��00+ ;X 2. Funkcija gustine vjerovatno�e f (x) je definisana za svako x:

� � � �21

21 , gdje je 3,14... i2

x

f x e E x*

' H *' H

� � � �� (5.83)

3. Funkcija distribucije vjerovatno�e je jednaka:

� �21

212

xx

F x e dx*

'

' H

� � � ��

0

� E (5.84)

Na grafikonu 5.24. je predstavljena kriva normalne distribucije � �2,'*N .

3-* ' -2* ' -* ' * +* ' +2* ' 3+* '

( )if x

ix

2( ; )N * '

Normalna distribucija za n=10, aritmeti�ku sredinu �=5, i varijansu �2 =2,5 je prikazana na sljede�em grafikonu:


270

f(xi)

xi

210 5 2 5, , ,n * '� � �

Na grafikonu 5.26. su predstavljene dvije normalne distribucije sa razli�itim aritmeti�kim sredinama i jednakom varijansom: � �4,5 2

1 �� '*N i � �4,8 2

2 �� '*N . Kriva normalne distribucije N2 sa ve�om aritmeti�kom sredinom je pomjerena udesno u odnosu na krivu normalne distribucije N1.

Pore�enje normalnih distribucija sa razli�itim aritmeti�kim sredinama i jednakim varijansama Grafikon 5.26.

N1 N2f(xi)

xi

� �4,5 21 �� '*N

� �4,8 22 �� '*N

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Na grafikonu 5.27. su predstavljene dvije normalne distribucije sa jednakim aritmeti�kim sredinama i razli�itim varijansama: � �4,5 2

1 �� '*N i � �8,5 2

2 �� '*N . Kriva normalne distribucije N1, �ija je varijansa


271

manja, šiljastija je u odnosu na krivu N2 koja je spljoštenija jer je njena varijansa ve�a. Ukoliko su varijansa i standardna devijacija ve�e, kriva normalne distribucije je spljoštenija (šira) jer u tom slu�aju podaci više odstupaju od aritmeti�ke sredine.

Pore�enje normalnih distribucija sa jednakim aritmeti�kim sredinama i razli�itim varijansama

Grafikon 5.27.

N1 N2

xi

� �8,5 22 �� '*N

� �4,5 21 �� '*N

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

f (xi)

5.2.8.2.1. Standardizovana normalna distribucija

Normalna distribucija se može svesti na standardizovanu normalnu distribuciju koja ima vrlo široku primjenu. Normalna distribucija se standardizuje ako se X linearno transformira '* ZX �� , tako da dobijemo standarizovanu varijablu Z sa parametrima .1 i 0 �� '*

Pretpostavimo da X~N � � ; 2'* i da je slu�ajna standardizovana varijabla Z jednaka:

'*� XZ

'*

'� XZ 1 (5.85)

Z ima normalnu distribuciju �ije parametre treba odrediti.

� � � �1 1 0E Z E X E X* * * *' ' ' ' ' '

� �� (5.86)


272

Primjenjuju�i osobinu nelinearnosti varijanse dobijamo

� � � �2

2 2 22 2

1 1 1Z X X* '' ' '' ' ' '

� �� (5.87)

Ako je � �'

*'* � XZNX i ;~ 2 , Z slijedi standardizovanu normalnu

distribuciju �ija je aritmeti�ka sredina jednaka nuli, a varijansa i standardna devijacija jedinici: Z~N(0,1)

-3 -2 2 3

N (0;1)

-1 10

f(zi)

zi

Standardizovani oblik modela normalne distribucije je:

� � � �2

21 , 12

z

f z e f z dzH

�0

0

� �E (5.88)

Funkcija distribucije vjerovatno�e standardizovanog normalnog rasporeda je data sljede�im izrazom:

� � � �2

212

z z z

F z f z dz e dzH

0 0

� �E E (5.89)

Aritmeti�ka sredina standardizovane distribucije je jednaka nuli. Varijansa i standardna devijacija su jednake jedinici. Ova distribucija je simetri�na u odnosu na nulu (tj. aritmeti�ku sredinu �ija je vrijednost u ovom slu�aju


273

jednaka nuli). Ova distribucija je tabelirana i odgovaraju�e tablice se nalaze u prilogu.

Na sljede�im grafikonima je ilustrovano odre�ivanje površine ispod normalne krive, odnosno odgovaraju�e gustine vjerovatno�e. Vjerovatno�a na grafikonu 5.29. je jednaka �� )25,1()25,1( Fzp 0,89435.

F (1,25)

-1,25 1,250 3-3 z

(1 25z ,p

Gustina vjerovatno�e koja je predstavljena na grafikonu 5.30. se odre�uje na sljede�i na�in:

( 1, 25) ( 1,25) ( 1,25) 1 ( 1,25)( 1,25) 1 (1,25)

F p z p z p zF F

� � A � �

10565,089435,01)25,1( ��F

F (-1,25)

-1,25 1,250 3-3 z

(1 25z ,p


274

5.2.8.2.2. Osobine normalne distribucije

Najzna�ajnije osobine normalne distribucije su sljede�e: � Normalna distribucija je u potpunsti definisana o�ekivanom

vrijednoš�u, odnosno aritmeti�kom sredinom i varijansom � �2,~ '*NX .

� Kriva normalne distribucije ima zvonasti oblik, unimodalna je i simetri�na je u odnosu na o�ekivanu vrijednost (aritmeti�ku sredinu).

� Aritmeti�ka sredina, medijana i mod su jednaki. � Relativna mjera asimetrije �3 je jednaka nuli. � Vrijednost relativne mjere spljoštenosti �4 je jednaka tri.

Spljoštenost normalne distribucije zavisi od veli�ine standardne devijacije. Normalna distribucija je spljoštenija ukoliko standardna devijacija ima ve�u vrijednost.

� Ukupna površina ispod krive je jednaka jedinici. Pošto je kriva normalne distribucije simetri�na, 50% površine se nalazi lijevo i 50% površine desno od aritmeti�ke sredine. Površina ispod normalne krive je jednaka gustini vjerovatno�e. Vjerovatno�a da neprekidna varijabla X uzme vrijednost ve�u (ili manju) od aritmeti�ke sredine jednaka je 50%.

� Normalna distribucija posjeduje osobine linearnosti i aditivnosti. � Linearnost normalne distribucije

Ako je slu�ajna neprekidna varijabla X raspore�ena prema normalnoj distribuciji, tada je i varijabla Y =aX+b raspore�ena prema normalnoj distribuciji.

� Aditivnost normalne distribucije

Ako X~N i Y~N, i ako su X i Y nezavisne varijable, tada varijabla S=X+Y ima normalnu distribuciju sa parametrima E(S) i varijansu od S koji se izra�unavaju koriste�i analizirane osobine ova dva parametra.

� � � �222

211 , ~,, ~ '*'* NYNX

� � � � (� � � � (2

12121

21

2121

; ~)(; ~)(

''**''**

��

��

NYXSNYXS

(5.90)


275

Primjer 5.5.

X ~ N(12;3) i Y=4X+6

Treba odrediti o�ekivanu vrijednost i varijansu slu�ajne varijable Y: Y ~ N(E(Y);�y

2).

E(Y)=E(4X+6)=4E(X)+6= 546124 �� .

Koriste�i nelinearnost varijanse dobijamo �y2= 48.

� �)48;54( ~

483161664 222

NYX XY �� '''

5.2.8.2.3. Karakteristi�ni intervali normalne distribucije

Pretpostavimo da X~N );( 2'* i odredimo vjerovatno�u da se slu�ajna varijabla nalazi u intervalu ('*'* kXkp � .

3* ' � 3* '� �k* '� �k* ' � * x

(p k X k* ' * ' � � �

Koristi�emo standardizovanu varijablu '

*� XZ . Slu�ajna varijabla Z se

ponaša po standardizovanom normalnom rasporedu � �1;0 ~ NZ , pa slijedi:

%#!

$" �

'*'*

'*

'*'* kXkp

( kZkp (5.91)


276

Odredimo vjerovatno�u da �e se slu�ajna varijabla Z nalaziti u intervalu (-k;k).

0 3-3

2 1( )F k

(p k Z k

k zk

Vjerovatno�a da �e se slu�ajna varijabla Z nalaziti u intervalu (-k;k) je jednaka:

( � � � � � � � � ( 1 kFkFkFkFkZkp ��

( � � 12 � kFkZkp

( � � 12 �� kFkXkp '*'* (5.92)

Za razli�ite vrijednosti od k dobijamo sljede�e intervale: � � � 8413,01 1 �� Fk

( 6826,0�� '*'* Xp

� � � 9772,02 2 �� Fk

( 9544,022 �� '*'* Xp

� � � 99865,03 3 �� Fk

( 9973,033 �� '*'* Xp

Ukoliko zaokružimo dobijene vrijednosti možemo napisati tri karakteristi�na intervala standardizovane normalne distribucije. Vjerovatno�a da slu�ajna varijabla X odstupa od aritmeti�ke sredine za


277

jednu standardnu devijaciju je 68,3%, za dvije standardne devijacije je 95,4% i za tri 99,7%.

( %3,68�� '*'* Xp

( %4,9522 �� '*'* Xp

( %7,9933 �� '*'* Xp

Definisani intervali su predstavljeni na grafikonu 5.33.

f (xi)

xi3-* ' -2* ' -* ' * +* ' +2* ' 3+* '

Za slu�ajnu varijablu raspore�enu po standardizovanoj normalnoj distribuciji vrijedi sljede�a relacija ~ (0;1)X N . Aritmeti�ka sredina ovog rasporeda je jednaka nuli, a varijansa i standardna devijacija jedinici. U tom slu�aju karakteristi�ni intervali su:

( %3,6811 � Xp

( %4,9522 � Xp

( %7,9933 � Xp

Prikaz karakteristi�nih intervala za standardizovanu normalnu distribuciju je predstavljen na grafikonu 5.34.


278

-3 -2 2 3

68,3%

95,4%

f (zi)

Karakteristicni intervali standardizovane normalne distribucije

-1 1 zi

99,7%

0

Grafikon 5.34.

5.2.8.2.4. Vjerovatno�e normalne distribucije

Za jednostavnije izra�unavanje vjerovatno�e korištenjem tablica standar-dizovane normalne distribucije navodimo nekoliko naj�eš�ih odnosa za svako i < j:

� � � � � � � � � �� jjj

ijjjji

zFzZpzZpzFzFzZpzZpzZzp

� �A

� �

11 (5.93)

� � � � � � � �� 121

11

��

� �A

� �A�

jijjjjj

jjj

jjjj

zFzFzFzZpzZpzZzpzFzZpzZp

zFzZpzZpzZp

Normalna distribucija vjerovatno�e predstavlja najzna�ajniju distribuciju vjerovatno�e zbog toga što:

� veliki broj pojava ima približno normalan raspored; � normalnim rasporedom se mogu aproksimirati prekidni rasporedi uz

odgovaraju�e uslove; � iz normalnog rasporeda se izvode drugi neprekidni rasporedi; � normalni raspored predstavlja osnovu za parametarsko zaklju�ivanje.


279

5.2.8.3. Aproksimacije distribucija vjerovatno�e

Aproksimaciju binomne distribucije Poissonovom distribucijom smo analizirali u dijelu 5.2.7.4. Binomna i Poissonova distribucija vjerovatno�e se mogu, uz odre�ene uslove, aproksimirati normalnom distribucijom vjerovatno�e.

� Aproksimacija binomne distribucije normalnom distribucijom vjerovatno�e

Uslovi za aproksimaciju binomne distribucije normalnom distribucijom su sljede�i: 10)1(,10,20 AAA pnnpn . U prva dva slu�aja (grafikoni 5.35. i 5.36.) uslovi aproksimacije nisu zadovoljeni i aproksimacija, kao što se uo�ava na grafikonima, nije zadovoljavaju�a.

f(xi)p(xi)

xi


280

f(xi)p(xi)

xi

U druga dva slu�aja predstavljena na grafikonima 5.37. i 5.38. uslovi aproksimacije su zadovoljeni i aproksimacija je prihvatljiva.

f(xi)p(xi)

xi


281

f(xi)p(xi)

xi

� Aproksimacija Poissonove distribucije normalnom distribucijom vjerovatno�e

Uslov za aproksimaciju Poissonove distribucije normalnom distribucijom vjerovatno�e je 15A�� pnF . Na grafikonu 5.39. uslov za aproksimaciju nije zadovoljen, a na grafikonima 5.40. i 5.41. uslov za aproksimaciju je zadovoljen.

f(xi)p(xi)

xi

5npF � �


282

f(xi)p(xi)

xi

15npF � �

f(xi)p(xi)

xi

25npF � �

Uslovi za aproksimaciju12 distribucija vjerovatno�e su predstavljeni u sljede�oj šemi:

12 J.J. Droesbeke: Elements de statistiques, Ellipses Paris et Editions de l'Universite

libre de Bruxelles, Bruxelles, 1977, str. 262.


283

( , , )H N n p ( , )B n p ( )P F

15F A( , )N * '

10

30

%nNn

� �� A�

2010

1 10( )

nnpn p

A�� A�� A�

300 10,

npA�

� �10%n

N

5.2.8.4. Hi-kvadrat � �2� distribucija

Posmatramo n slu�ajnih varijabli: nXXX ,...,, 21 koje su nezavisne i svaka ima normalnu standardizovanu distribuciju. Ako je varijabla X jednaka zbiru kvadrata varijabli iX :

��

��n

inXXXX

1

222

21 ... (5.94)

kažemo da varijabla X ima hi-kvadrat distribuciju sa n stepeni slobode: 2 stepeni slobode ~ nX � (5.95)

Ova distribucija se primjenjuje kada analiziramo zna�ajnost razlika stvarnih i teorijskih frekvencija, vrijednosti varijabli itd. Definiše se kao zbir kvadrata razlika izme�u stvarnih i o�ekivanih vrijednosti prema o�ekivanim vrijednostima:

� ��

�

n

i i

ii

eem

1

22� (5.96)


284

�0� 20 � , gdje je mi stvarna, a ei o�ekivana frekvencija. Hi-kvadrat distribucija može uzeti vrijednosti od 0 do beskona�no, dakle ne može biti negativna jer je jednaka zbiru kvadrata i zavisi o broju stepeni slobode (degrees of freedom - df). Broj stepeni slobode se definiše kao broj nezavisnih vrijednosti podataka umanjen za broj ograni�enja koja se name�u tim vrijednostima. Vrijednosti distribucije su tabelirane. U pretkoloni su brojevi stepeni slobode od 1 do 30. U zaglavlju su vjerovatno�e. U tabeli su date kriti�ne vrijednosti hi-kvadrat testa za datu vjerovatno�u i broj stepeni slobode. To pokriva skoro sve slu�ajeve u praksi, jer su slu�ajevi sa brojem stepeni slobode ve�im od 30rijetki.

Ova distribucija je asimetri�na i sa porastom broja stepeni slobode približava se normalnoj distribuciji.

Hi-kvadrat distribucija je data sljede�im izrazom:

� � � � 222

2

2

2

2

22

1 �

��

��

��I

� en

fn

n

� � � � � � 1 ,00

222 �� E�0

�� dff (5.97)

Hi-kvadrat distribucija je predstavljena na sljede�em grafikonu.

2( )f �

2, /2n a� 2

,1 /2n a� 2�

2�


285

Gama funkcija koja se koristi u definisanju hi-kvadrat distribucije data je sljede�im izrazom:

� � E�0

��I0

1 0,JJ J dxex x (5.98)

Izrazi za o�ekivanu vrijednost, koja je jednaka broju stepeni slobode, i varijansu ove distribucije su:

K'K* 2,)( 2 ��XE (5.99)

Koeficijent varijacije je:

1002 ��n

kv (5.100)

Koeficijenti asimetrije i spljoštenosti su:

n24

3 �, i n

1234 ��, (5.101)


� � � � � �

�

+

��

��I

� E

02

22

0

22

2

2

2

22

22

1

R

den

Fjx n

n

�

��

(5.102)

5.2.8.5. Studentova t distribucija

Pretpostavimo da je Z slu�ajna varijabla koja ima normalnu standardizovanu distribuciju i X slu�ajna varijabla koja ima hi-kvadrat distribuciju sa n stepeni slobode. Ako su Z i X nezavisne varijable, tada varijabla T

nX

ZT � (5.103)

slijedi Studentovu distribuciju sa n stepeni slobode.


286

Za slu�ajnu promjenljivu T kažemo da ima Studentovu distribuciju vjerovatno�e ako je njena funkcija vjerovatno�e za t jednaka:

� �

� � � � � �tftfitf

nt

n

n

ntf

n

��

��

��

��

��

��I

��

�� I

��

�

0

1

2

21

1 21

2

H (5.104)

Studentova distribucija je razvu�ena na obje strane normalne distribucije i to utoliko više što je broj stepeni slobode n manji. Ova distribucija je simetri�na u odnosu na ordinatnu osu i promjenljiva t uzima vrijednosti od 0�0 do . Kada � � 0,/ ?0�? tft i apscisa postaje asimptota ove funkcije. Studentova distribucija je unimodalna.

O�ekivana vrijednost i varijansa ove distribucije su:

� � 2,2

,0 2 �

�� nn

ntE '* (5.105)

Relativne mjere asimetrije i spljoštenosti su:

463,0 43

��n

,, (5.106)


� � E0

�

��

��

��

��

��I�

��

�� I

�t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

H (5.107

odnosno

� � � � � �E0

� �0�jt

jjn dttfttPtS (5.108)

Osobine funkcije distribucije � �jn tS koje se �esto koriste u prakti�nim izra�unavanjima su:


287

� � � � � �jnjj tSttpttp � �� 11

� � � � � �jnjnj tStSttp �� 1

� � � � � �injnji tStStttp � �

� � � � 12 � � jnjj tStttp

� � � � (jnj tSttp �� 12 (5.109)

Studentova distribucija se primjenjuje u slu�aju malih uzoraka. Uzorak se smatra malim ukoliko ima manje od 30 elemenata (n<30). Oblik Studentove distribucije zavisi od veli�ine n. U izrazu za funkciju vjerovatno�e veli�ina n predstavlja broj stepeni slobode (degres of freedom). Broj stepeni slobode nekog pokazatelja predstavlja broj nezavisnih ponavljanja umanjen za broj parametara koji su potrebni da bi se izra�unao dati pokazatelj. Na grafikonu 5.43. je predstavljena Studentova t distribucija.

0

( )f t

nt nt t

Na grafikonu 5.44. prezentirane su Studentova t distribucija i standardizovana normalna distribucija. Kao što smo ve� konstatovali, Studentova t distribucija je spljoštenija od normalne distribucije.


288

( )( )

i

i

f tf

( )( )

i

i

t

5.2.8.6. Ficher-Snedecorova (F) distribucija

Ukoliko je X slu�ajna varijabla koja ima hi-kvadrat distribuciju � �2� sa m stepeni slobode i Y slu�ajna varijabla koja ima hi-kvadrat distribuciju � �2� sa n stepeni slobode i ako su ove dvije varijable nezavisne, tada varijabla F

nYmXF

//� (5.110)

slijedi Ficher-Snedecorovu distribuciju sa ��

��

�nm

stepeni slobode. Distribucija

vjerovatno�e nije simetri�na u odnosu na m i n.

Slu�ajna varijabla uzima vrijednost iz intervala (0; 0 ) i distribucija ima sljede�i oblik:

� �� 2

12

,

12

2nm

m

nm

x

xn

sm

nm

xf �

��

��

��II

��

�� I

� (5.111)

m i n su broj stepeni slobode (df).

O�ekivana vrijednost i varijansa ove distribucije su:

z

z


289

2 za 2

�

� nn

m*

� �� 4 za ,

4222

22 �

�� n

nnmnm' (5.112)

Ako uvedemo smjenu FnmX � dobijamo Ficher-Snedecorovu distribuciju

sa L1 i L2 stepeni slobode. Distribucija vjerovatno�e je tada jednaka:

� � 2)(

12

12

21

22

21

21121

),()(

LLLLL

LLLLLL �

�� FF

BFf (5.113)


� �dF

F

FB

FPF

��

�� E0�

�

0

21

121

2)(

12

12

21

22

21

),()( LL

LLL

LLLLLL . (5.114)

Ficherova (F) distribucija se koristi u slu�ajevima kada želimo analizirati varijabilnost dva osnovna skupa na osnovu uzorka. Pomo�u F distribucije se provjerava hipoteza o jednakosti dvije varijanse uzoraka preko njihovog odnosa na bazi broja stepeni slobode za svaku od njih. Kada su posmatrani osnovni skupovi normalno distribuirani tada je koli�nik dvije nezavisne ocjene varijanse dat u obliku:

22

21

''�F (5.115)

Vrijednosti distribucije su tabelirane. U zaglavlju su navedeni stepeni slobode (df) za procjenu varijanse koja se nalazi u brojniku odnosa F, a u pretkoloni brojevi stepeni slobode za procjenu varijanse koja se nalazi u nazivniku odnosa F.

Ova distribucija zavisi od dva parametra: stepena slobode prve varijable (prvog skupa) i stepena slobode druge varijable (drugog skupa).


290

5.2.8.7. Tabelarni pregled neprekidnih distribucija vjerovatno�e

U tabeli broj 5.2. su prezentirane neprekidne distribucije vjerovatno�e i njima odgovaraju�e o�ekivane vrijednosti i varijanse.

Tabela 5.2. Neprekidne distribucije vjerovatno�e

Neprekidne distribucije

Distribucija vjerovatno�e O�ekivana vrijednost

Varijansa

Uniformna

( ; ~ baUX � � ( � �

( � �

; 01 ;

ako x a b f xf x

ako x a b f xb a

� G ��

+ ��

� �2

a bE X �� 12

2

2 ab �'

Normalna � �2,~ '*NX � �

2

21

21 �

��

��

� '*

H'

x

exf

( )E X *�

2'

Standardi-zovana

normalna Z~N(0,1)

� � 2

2

21 z

ezf

�H

( ) 0E X *� �

12 �'

Hi kvadrat

2df ~ nX �

� � � � 222

2

2

22

22

1 �

��

��

��I

� en

fn

n

( )E X n*� �

n22 �'

Studentova

� �

� � � � � �tftfitf

nt

n

n

ntf

n

��

��

��

��

��

��I

��

�� I

��

�

0

1

2

21

1 21

2

H

� � 0,E t *� �

2,2

2 �

� nn

n'

Ficher-

Snedecorova � �� 2

12

,

12

2nm

m

nm

x

xn

sm

nm

xf �

��

��

��II

��

�� I

�

2 za

2

�

�

nn

m*

� �

� � � � 4 za ,4222

22 �

�� n

nnmnm'

5.2.8.8. Centralna grani�na teorema

Normalna distribucija je fundamentalna distribucija vjerovatno�e i ova distribucija se koristi u velikom broju slu�ajeva koji su vezani za primjenu centralne grani�ne teoreme. Posmatrajmo seriju od n slu�ajnih varijabli (prekidnih ili neprekidnih) nXXX ,...,, 21 .


291

Ako su ove slu�ajne varijable iX me�usobno nezavisne i ako sve imaju istu

distribuciju (bilo koju, ali istu), tada njihov zbir ��

n

iiX

1

(kada n postaje vrlo

velik) teži prema normalnoj distribuciji.

Ova teorema ima vrlo široko podru�je primjene, posebno u oblasti teorije uzoraka.

5.2.8.9. Šematski prikaz prekidnih i neprekidnih distribucija vjerovatno�e

U sljede�em šematskom prikazu su predstavljene prekidne i neprekidne distribucije vjerovatno�e koje smo analizirali u ovom poglavlju.

Neprekidne distribucije vjerovatno�e

Neprekidna uniformna distribucija

Normalna distribucija vjerovatno�e

Hi-kvadratdistribucija

Studentovadistribucija

Ficher-Snedecerova distribucija

Prekidne distribucije vjerovatno�e

Uniformni zakonvjerovatno�e

Bernoullijeva distribucija vjerovatno�e

Binomna distribucija vjerovatno�e

Poissonova distribucija vjerovatno�e

Hipergeometrijska distribucija vjerovatno�e


292


1. Definišite eksperiment, skup mogu�ih rezultata eksperimenta i elementarni doga�aj.

2. Definišite vjeovatno�u koriste�i eksperimentalni i teorijski pristup. 3. Analizirajte uslovnu vjerovatno�u. 4. Definišite i analizirajte Bayesovu teoremu. 5. Definišite i analizirajte slu�ajnu varijablu. 6. Koje tipove slu�ajne varijable poznajete? 7. Analizirajte prekidnu slu�ajnu varijablu i distribuciju vjerovatno�e ove

varijable. 8. Definišite �ebiševu teoremu. 9. Koje korisne informacije nam pruža primjena �ebiševe teoreme? 10. Nabrojite prekidne distribucije (rasporede) vjerovatno�e. 11. Analizirajte binomnu distribuciju vjerovatno�e i njene osobine. 12. Analizirajte Poissonovu distribuciju vjerovatno�e i njene osobine. 13. Definišite i analizirajte osobine neprekidne slu�ajne varijable. 14. Nabrojite neprekidne distribucije vjerovatno�e. Koja od njih se

naj�eš�e koristi? 15. Analizirajte normalnu distribuciju vjerovatno�e. 16. Koje su osobine normalne distribucije vjerovatrno�e? 17. Analizirajte standardizovanu normalnu distribuciju. 18. Koja je razlika izme�u normalne i standardizovane normalne

distribucije? 19. Nabrojite nekoliko slu�ajeva prakti�ne primjene normalnog rasporeda

vjerovatno�e u odre�ivanju intervala povjerenja i testiranju hipoteza. 20. Koji se rasporedi i uz koje uslove mogu aproksimirati normalnim

rasporedom vjerovatno�e? 21. Koja je osnovna razlika izme�u binomnog i normalnog rasporeda

vjerovatno�e? Od kojih parametara zavise jedan i drugi raspored i koji su izrazi za njihove aritmeti�ke sredine i varijanse?

22. Predstavite šemu i uslove za aproksimacije. 23. Definišite i analizirajte hi-kvadrat distribuciju. 24. Definišite i analizirajte Studentovu distribuciju. 25. Definišite i analizirajte Ficher-Snedecorovu distribuciju.


293

26. Definišite stepene slobode. 27. Definišite i analizirajte, uz grafi�ku prezentaciju, normalnu distribuciju

vjerovatno�e. Koja je njena prednost u odnosu na ostale distribucije i koje su oblasti u kojima se primjenjuje?


Zadatak 1.

X~B(10;0,4) odrediti:

a) Vjerovatno�u da je X ve�e ili jednako 4 b) Vjerovatno�u da je X manje ili jednako 4 c) Vjerovatno�u da je X jednako 9 d) Vjerovatno�u da je X ve�e od 10 e) Vjerovatno�u da se X nalazi izme�u 4 i 10.

Elementi rješenja:

X~B(10;0,4)

a) � � � � � � 6177,03823,0131414 �� A xpxpxp

b) � � � � 6331,044 �� Fxp

c) � � � � � � � � � � 0006,09983,09999,089899 �� FFxpxpxp

d) � � � � � � 01110110110 �� Fxpxp

e) � � � � � � 3668,06331,09999,049104 �� xpxpxp

Zadatak 2.

Za X~P(0,5) i X~P(4) odrediti:

a) � �0�xp ; b) � �3�xp ; c) � �10�xp ; d) � �5Axp ; e) � �2�xp ; f) � �3�xp


294

Elementi rješenja: � X~P(0,5)

a) � � 60653,00 ��xp

b) � � 07582,03 ��xp

c) � � 010 ��xp

d) � � � � � � 0002,09998,0141515 �� A xpxpxp

e) � � � � 9098,012 � �� xpxp

f) � � � � � � 01438,098562,0131313 �� Fxpxp

� X~P(4) a) � � 0183,00 ��xp

b) � � 014653,02 ��xp

c) � � 020 ��xp

d) � � � � � � 3712,06288,0141515 �� A xpxpxp

e) � � � � 0916,012 � �� xpxp

f) � � � � � � 5665,04335,0131313 �� Fxpxp

Zadatak 3.

Ako su godine grupe osoba distribuirane po normalnom rasporedu N(41;8) odrediti teorijski procenat osoba iz grupe koje imaju:

a) manje od 53 godine b) izme�u 25 i 49 godina c) najmanje 35 godina

Elementi rješenja:

X~N(41,64), E(X)= = 41; � = 8

a) Z~N(0,1)

� � � � � � 9332,05,15,153 ��

�� Fzpxzpxp

'*

93,32% osoba imaju manje od 53 godine.


295

b)

� � � � � � � � � � � � � �� ( � �

� � � � ( � � � �

0,8185 1-0,97720,8413

1212119772,018413,0 218413,0218413,0

212125494925

��

��

��

FFFFFF

FFzpzpxpxpxp

81,85% osoba imaju više od 25, a manje od 49 godina.

c)

� � � ��

� � (� � 7734,075,0

75,011 75,01

35135

��

� �A

FF

zpxpxp

77,34% osoba imaju 35 ili više godina.

Zadatak 4.

Mašina puni automatski kutije še�era tako da je težina še�era u kutiji slu�ajna varijabla koja slijedi normalnu distribuciju sa parametrima i � izraženim u kg. Želi se regulisati mašina tako da težina še�era u kutiji prelazi 990 grama sa najmanje 95% vjerovatno�e.

a) Ako je �=0,02 kg, koja mora biti minimalna prosje�na težina ? b) Ako je prosje�na težina =1 kg, koje može biti maksimalno

odstupanje u težini (�) uz vjerovatno�u od najmanje 95%?

Elementi rješenja:

a) � � � �'*,~;95,099,0 Nxxp A�

0,99 0,95xp * *' ' � �� A� ��

� � , ~N 0,1xz z*'�


296

0,99 0,95p z *'� �� A� ��

0,991 0,95p z *'� � � A� ��

0,99 0,050,02

p z *� ��

k� je negativan

kg029,1

6449,102,0

99,0

A�

�

*

*

Potrebno je da prosje�na težina kutije bude 029,1A* kg da bi sa standardnom greškom od kg 02,0�' (20 gr) mogli imati kutije od najmanje 0,99 kg (990 gr) težine uz vjerovatno�u %.95A

b) ? 1 �� '* kg

� � 95,099,0 A�xp

95,001,01

95,0199,0

A��

��

A��

��

'

'

zp

zp

05,001,0 ��

��

'zp

6449,101,0 '

00608,0 '

Potrebno je da standardna greška � bude ± 6,08 gr da bi jedna kutija težila najmanje 0,99 kg uz vjerovatno�u .95,0Ap


297

Zadatak 5.

Statisti�kom anketom je obuhva�eno 5.000 voza�a po�etnika. Utvr�eno je da su 5 od njih uzrokovali tešku saobra�ajnu nesre�u u prvoj godini vožnje, a 100 od njih su uzrokovali lakšu saobra�ajnu nesre�u u prvoj godini vožnje.

Odrediti vjerovatno�u: p1 - uzrokovati tešku saobra�ajnu nesre�u i vjerovatno�u p2 - uzrokovati lakšu saobra�ajnu nesre�u u prvoj godini vožnje. Izaberemo slu�ajno 50 voza�a po�etnika i sa X ozna�imo broj voza�a koji su izazvali tešku saobra�ajnu nesre�u. Pomo�u kojih distribucija vjerovatno�e možemo analizirati X. Izra�unati vjerovatno�u da je X=0 i X=2.

Elementi rješenja:

a) 001,05000

51 ��

nnp A

02,05000100

2 ��nnp B

b) Odre�ivanje distribucije vjerovatno�e X

Ako je Xi slu�ajna varijabla

Xi = {1 ako je prouzrokovana teška saobra�ajna nesre�a

{0 ako nije prouzrokovana teška saobra�ajna nesre�a

i=1,..., 50.

Vjerovatno�a � � i za 001,01 @��iXp

Slu�ajne varijable iX nisu nezavisne (izvla�enje bez ponavljanja)

��

�50

1iiXX

X ima hipergeometrijsku distribuciju vjerovatno�e XMH (5000; 50; 0,001) i odgovaraju�a vjerovatno�a je jednaka.


298

� � 505000

504995521

CCC

CCC

kXpkk

nN

knN

kN

��

��

Ovu formulu zbog složenosti ne koristimo u ra�unanju vjerovatno�e. Koristi�emo aproksimaciju binomnim rasporedom jer je uslov za aproksimaciju zadovoljen:

101

1001

500050 ��

Nn

To zna�i da možemo pretpostaviti da su iX nezavisne �X~B(50; 0,001)

� �

� � 001168,0999,0001,0!48!2

!50250

2

95,0999,00

482482222

50505000

��

��

��

��

qpqpCxp

qqpCxp

nn

n

Binomnu distribuciju možemo aproksimirati Poissonovom distribucijom ako je zadovoljen uslov da je n > 50, p <0,1 (distribucija rijetkih doga�aja) n = 50 p=0,001 <<0,1 �

� � � � � �05,0 ~ dakle , ~ PXPXpnPX �F , gdje je 05.0�� pnF .

� �!k

ekXpkFF

��

� � 95,0!0

1,00 05,0005,0

��

eeXp

� � 0012,0!2

1,02205,0

��exp

Napomena:

Ne može se izvršiti aproksimacija normalnom distribucijom jer svi uslovi aproksimacije u ovom slu�aju nisu zadovoljeni (npr.: n�p>10 nije zadovoljen u našem slu�aju jer je n�p=50 0,001=0,05<10).


299

Zadatak 6.

U jednoj bolnici, vjerovatno�a da se rodi dje�ak je 32 . X predstavlja broj

ro�enih dje�aka u uzorku od 1800 beba. a) Na�ite srednju vrijednost od X. b) Na�ite standardnu devijaciju od X.

Elementi rješenja:

Znamo da je X ~ B(1800, 32 ).

a)

( )2( ) 18003

( ) 1200

E X n p

E X

E X

� �

� �

�

b)

( ) (1 )

2( ) 1200 13

1( ) 12003

( ) 400 20

X n p p

X

X

X

'

'

'

'

� � �

� ��

� �

� �

Zadatak 7.

Vjerovatno�a da �e padati kiša tokom ljeta u Sarajevu je 0,2. U Sarajevu, vjerovatno�a da �e dnevna temperatura biti ve�a od 30°C tokom ljeta je 0,3 kada pada kiša, a 0,6 kada ne pada kiša. Znaju�i da je dnevna temperatura ve�a od 30°C tokom jednog ljetnog dana, prona�ite vjerovatno�u da je tog dana padala kiša.

Elementi rješenja:

(temperatura 30 ) 0,2 0,3 0,8 0,6(temperatura 30 ) 0,54

p Cp C

A N � � � �A N �


300

0,2 0,3(pada kiša / temperatura 30 )0,54

p C �A N �

91

54,006,0)30/( ��NA Catemperaturkišapadap

Zadatak 8.

Emir i Amir se spremaju za ispit iz statistike tako što se uzajamno ispituju. Emir odgovara na Amirova pitanja. Vjerovatno�a da �e Emir ta�no odgovoriti na pitanje je 0,4. Amir mu postavlja 6 pitanja.

a) Na�ite vjerovatno�u da �e Emir ta�no odgovoriti na 4 pitanja. b) Na�ite vjerovatno�u da �e Emir prvi ta�an odgovor dati kada mu

Amir postavi tre�e pitanje.

Elementi rješenja:

a) X ~ B(6, 0,4)

4 26( 4) 0,4 0,6

4( 4) 15 0,0256 0,36

p x

p x

� ��

� ��

14,0)4( ��xp

b) Ako je Emir prvi ta�an odgovor dao na Amirovo tre�e pitanje, to zna�i da je neta�no odgovorio na prvo i drugo pitanje, i tražena vjerovatno�a je:

144,04,06,06,0 ��p

Zadatak 9.

Težine tek ro�enih beba su normalno distrubuirane sa srednjom težinom od 3,5 kg i standardnom devijacijom od 0,2. Na�ite vjerovatno�u da �e težina jedne slu�ajno odabrane bebe biti izme�u 3,1 kg i 3,8 kg.

Elementi rješenja:

Tražimo 3,1 < x < 3,8.


301

Znaju�i da je 2,05,3 �� '* i koristi�emo standardizovanu slu�ajnu

varijablu '

*� xz .

5,12,0

5,38,3

22,0

5,31,3

��

��

'*

'*

X

X

9104,00228,09332,0

)9772,01(9332,0))2(1()5,1(

)2()5,1()2()5,1(

)5,12()8,31,3(

��

��

��

zPzPzPzPzPzP

zPxP

Vjerovatno�a da �e težina jedne slu�ajno odabrane bebe biti izme�u 3,1 kg i 3,8 kg je 91,04%.

Zadatak 10.

Demonstrator predmeta Statistika koristi svakog jutra autobus da bi došao na fakultet. Vrijeme koje on �eka svakog jutra autobus je normalno distribuirano sa aritmeti�kom sredinom jednakom 10 minuta i standardnom devijacijom jednakom 2 minute.

1. Koje je vjerovatno�a da �e demonstrator jednog odre�enog jutra �ekati autobus više od 8 minuta?

2. U toku odre�ene sedmice (od ponedjeljka do petka) koje je vjerovatno�a da: a) ukupno vrijeme �ekanja ne�e biti više od 45 minuta? b) �eka manje od 8 minuta najmanje tri dana u sedmici? c) njegovo prosje�no dnevno vrijeme �ekanja je ve�e od 9 minuta?


302

Elementi rješenja:

1. )4;10(~

);(~ 2

NXNX '*

)1,0(~,;)8( Nzxzxp'

*�A

841,0)1()1(

2108)8(

� �A

��

�� A�A

pzpzp

xpxp'

*

2. a)

)20,50(~

),(~

5

1

25

1

NX

NX

ii

ii

�

�

�

�

'*

45 50( 45) ( ) ( 1,12) 1 ( 1,12)20

1 0,8686 0,1314

p x p z p z p z � � � �

� �

�

b)

159,0841,01)8(841,0)8(

��

xpxp

Y je promjenljiva koja predstavlja broj dana u kojima demonstrator �eka autobus manje od 8 minuta.

~ ( , ) , ~ (5;0,159)( 3) ( 3) ( 4) ( 5)

Y B n p Y Bp y p y p y p yA � � � � � �

3 25( 3) 0,159 0,841 0,02843

3p y � ��

� �


303

4 15( 4) 0,159 0,841 0,00269

4p y � ��

� �

5 05( 5) 0,159 0,841 0,000101

5p y � ��

� �

( 3) 0,02843 0,00569 0,000101 0,0312p y A � � � �

ili

0312,09687,01213 �� A )p(y)p(y

c)

)54;10(~,);(~

)4;10(~,);(~2

2

NXn

NX

NXNX'*

'*

8686,0)12,1(

)12,1(

52109)9(

��

��

�

�

��

�

��

zp

zpzpxp

ili

.8686,01314,01)45(1)45()9(

��

�� XpXpxp

305

POGLAVLJE 6.

TEORIJA I METODA UZORAKA I STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE

Teorija i metoda uzoraka je oblast statistike koja se bavi prakti�nim metodama za izbor uzoraka i analizu dijela populacije u cilju donošenja zaklju�aka o cijeloj populaciji. Postupak donošenja zaklju�aka o osnovnom skupu na osnovu podataka iz uzorka se naziva statisti�ko zaklju�ivanje. Ovaj postupak se sastoji iz statisti�kog ocjenjivanja i testiranja hipoteza. Proces primjene metode uzoraka i statisti�kog zaklju�ivanja se može podjeliti u tri etape. Prva je izbor slu�ajnog (objektivnog, reprezentativnog) uzorka uz uslov da su vjerovatno�e izbora jedinica u uzorak poznate i pozitivne. Druga etapa je prikupljane podataka o jedinicama uzorka. Tre�a etapa podrazumijeva donošenje zaklju�aka o populaciji na temelju rezultata uzorka.

U prvom dijelu poglavlja Teorija i metodi uzoraka i statisti�ko zaklju�ivanje �emo analizirati i prezentirati osnove metode uzoraka, vrste uzoraka kao i zna�aj primjene metode uzoraka u ekonomskim istraživanjima.

U drugom dijelu �emo analizirati procjenu karakteristika osnovnog skupa na osnovu uzoraka i testiranje hipoteza.


306

6.1. OSNOVE TEORIJE UZORAKA

Za analizu masovnih pojava koje su predmet statisti�kih istraživanja mi smo obra�ivali statisti�ke metode kojima se analizira statisti�ki skup ili populacija. Za primjenu metoda potrebno je prikupiti podatke o osnovnom skupu. Kako statisti�ki skupovi imaju vrlo veliki broj elemenata, potpuno prikupljanje podataka je veoma složen, dugotrajan i skup posao. Zbog toga se taj postupak pojednostavljuje ispitivanjem osnovnog skupa metodom uzorka. Pod uzorkom se podrazumijeva dio skupa na osnovu kojeg istražujemo i analiziramo osobine osnovnog skupa.

Primjena metode uzorka se bazira na teoriji vjerovatno�e i omogu�uje da se uz odgovaraju�i rizik utvrde granice povjerenja i preciznost ocjene parametara osnovnog skupa na osnovu ocijenjenih parametara iz uzorka. Razlozi za primjenu metode uzorka su:

� smanjenje troškova realizacije statisti�kog istraživanja jer obuhvata manji broj jedinica,

� smanjenje greške pri prikupljanju podataka jer istraživanje u ovom slu�aju provodi manji broj stru�nih lica,

� manji utrošak vremena i efikasnije dobijanje rezultata, � racionalnost (kontrola kvalitete �esto uništava testirani proizvod), � pouzdanost dobijenih rezultata (kada je populacija suviše velika,

rezultati dobijeni na osnovu uzorka mogu biti pouzdaniji od rezultata dobijenih na osnovu egzostivne analize).

Da bismo dobili informaciju o ukupnoj populaciji, inferencijalna statistika ima jednu dodatnu etapu �iji je cilj da odredi (inferira), polaze�i od posmatranih karakteristika na uzorku, vjerovatnu vrijednost tih karakteristika za ukupnu populaciju.

Statisti�ka teorija, koja je u osnovi deduktivna, doprinosi tako�er racionalizaciji i kvalitetu induktivnog procesa posmatranja i zaklju�ivanja.

Induktivno posmatranje se sastoji u ispitivanju uzorka elemenata populacije kako bi se dobile informacije o cijeloj populaciji koja može biti kona�na i beskona�na.

Kada se ispituje cijela populacija, posmatranje i zaklju�ivanje je deduktivno. Analiza, istraživanje i zaklju�ivanje na osnovu uzorka je induktivno.

Poglavlje 6. – Teorija i metoda uzoraka i statisti�ko zaklju�ivanje

307

Statisti�ke metode omogu�avaju donošenje induktivnih zaklju�aka. Generalizacija procjena sadrži odre�eni stepen nepouzdanosti, nepreciznosti, neizvjesnosti, rizika. Rizik je mogu�e statisti�kim metodama postaviti u odgovaraju�e okvire, procijeniti, kontrolisati i utvrditi stepen neizvjesnosti procjene.

Statisti�ka inferencija ima veliku prakti�nu primjenu i sa tog stanovišta je zna�ajan faktor unapre�enja nau�nih istraživanja u razli�itim nau�nim domenima. Primjenom statisti�kih metoda mogu�e je donositi zaklju�ke o osnovnom skupu na osnovu samo jednog njegovog dijela, ali je zbog teorijskih problema vezanih za induktivno zaklju�ivanje potrebno primijeniti odgovaraju�u proceduru kako bi se zaklju�ci postavili u odre�ene okvire.

Statisti�ka inferencija omogu�uje primjenu dvije vrste metoda za izvo�enje zaklju�aka na osnovu podataka dobijenih iz uzorka ili eksperimentisanjem i to ocjene intervala povjerenja i testiranje hipoteza. Ocjenama se odre�uju nepoznati parametri uz odgovaraju�u grešku ocjene, a testovima se provjeravaju postavljene hipoteze.

Da bi zaklju�ci o osnovnom skupu na osnovu uzorka bili što ta�niji, uzorak mora biti reprezentativan. Uzorak �e biti reprezentativan ako posjeduje karakteristike osnovnog skupa i ako njegova struktura odgovara strukturi osnovnog skupa. Da bi uzorak predstavljao umanjenu sliku osnovnog skupa, izbor elemenata se mora izvršiti na odgovaraju�i na�in. To se postiže pravilnim izborom elemenata osnovnog skupa koji �e predstavljati uzorak.

Cilj metode uzoraka je: � Da se na osnovu karakteristika uzorka do�e do procjene

karakteristika osnovnog skupa � Da se statisti�kim metodama odredi pouzdanost i preciznost te

procjene.

Prvi zadatak ove metode je da na osnovu uzorka izabranog iz osnovnog skupa procijeni karakteristike osnovnog skupa. Drugi zadatak je da se na osnovu podataka dobivenih uzorkom donese odluka o prihvatanju ili odbacivanju odre�ene hipoteze koja se odnosi na osnovni skup. Navedeni postupci �ine metodu koja se naziva metoda uzorka ili reprezentativna metoda.

Izbor elemenata osnovnog skupa u uzorak može biti:


308

� bez ponavljanja (kada se odabrani elementi ne vra�aju ponovo u osnovni skup) i

� sa ponavljanjem (elementi se poslije izbora vra�aju u osnovni skup i tako sudjeluju u izboru sljede�eg elemenata u uzorak).

Izbor uzorka može biti namjeran i slu�ajan. Kada su elementi izabrani slu�ajno, tada se na rezultate tog uzorka može primijeniti teorija vjerovatno�e. U tom slu�aju može se odrediti greška koja je nastala u procjeni karakteristika osnovnog skupa ili u postupku testiranja hipoteze. Slu�ajni izbor se može izvršiti na više na�ina koje �emo detaljnije analizirati.

Greške u statisti�kim istraživanjima mogu biti sistematske i slu�ajne. Ukupna greška procjene sadrži sistematsku i slu�ajnu grešku. Slu�ajna greška nastaje zbog slu�ajnog izbora elemenata u uzorak i uti�e na preciznost ocjene. Slu�ajna greška predstavlja razliku izme�u stvarne i ocijenjene vrijednosti parametra osnovnog skupa. Slu�ajna greška se smanjuje i preciznost ocjene se pove�ava sa porastom veli�ine uzorka. Sistematske greške nastaju zbog više razloga i teško ih je kontrolisati. Naj�eš�i razlozi zbog kojih nastaju sistematske greške su: loše odabrana baza i okvir za izbor uzorka, nepravilna realizacija slu�ajnog izbora elemenata u uzorak, nepreciznosti upitnika, greške anketara, tehni�ke greške prilikom obrade podataka, itd. Veli�ina uzorka ne uti�e na promjenu sistematske greške. Uzorak sa sistematskom greškom je pristrasan uzorak, a uzorak sa slu�ajnom greškom je nepristrasan. Da bi se smanjila pristrasnost ocjene (sistematska greška) neophodno je primijeniti objektivnu proceduru u izboru jedinica osnovnog skupa u uzorak. Ukoliko je pristrasnost manja od 1/10 standardne devijacije smatra se da njen uticaj na dobijene ocjene nije zna�ajan.

Da bi se metoda uzorka efikasno realizovala neophodno je precizno i jasno definisati:

� cilj istraživanja � populaciju � jedinice populacije � plan uzorka � bazu uzorka � veli�inu uzorka � nivo preciznosti.


309

� Definisati cilj istraživanja

Prva etapa je što preciznije definisanje ciljeva istraživanja, podataka koje je potrebno prikupiti, kao i metode za prikupljanje podataka. Podaci se mogu prikupiti popisom, anketom, izvještajima. Ako odaberemo anketu pomo�u uzoraka, u njenoj primjeni je potrebno realizovati sljede�e korake. Mora se odrediti terminologija i potrebne definicije koje se odnose na podatke kako bi se osigurala konzistentnost ankete.

� Definisati populaciju koja je predmet istraživanja

Populacija koja je predmet istraživanja je cijela populacija za koju su nam potrebne informacije. Ukoliko nije mogu�e prikupiti podatke o svim jedinicama populacije, potrebno je odabrati odre�eni broj jedinica populacije koji �ine uzorak i na osnovu uzorka analizirati obilježja istraživane populacije. Naprimjer, ako želimo analizirati studentsku populaciju BiH evidentno je da ovu populaciju �ine svi studenti u BiH.

� Definisati jedinice populacije

Potrebno je jasno opisati i definisati jedinice populacije i njihove karakteristike koje ih precizno identificiraju. Populacija koja je predmet istraživanja se može definisati pomo�u sljede�ih karakteristika:

- Priroda podataka koji su potrebni: o osobama, o ustanovama, o regionima itd.

- Geografsko podru�je: potrebno je odrediti geografske granice za posmatranu populaciju, kao i nivo geografske preciznosti koji je neophodan (opština, grad, region, država, itd.).

- Period posmatranja je period odre�en anketom. - Ostale karakteristike, kao npr. sociodemografske karakteristike (npr.

razli�ite starosne grupe, itd.)

� Definisati plan izbora uzorka

Cilj plana uzorka je odabiranje reprezentativnog uzorka. Uzorak je reprezentativan ako njegova struktura odgovara strukturi osnovnog skupa, odnosno ako predstavlja umanjenu sliku osnovnog skupa. U planu je potrebno precizirati na�in izbora elemenata u uzorak. Pri definisanju plana izbora uzorka treba nastojati izabrati slu�ajni uzorak koji daje preciznije


310

ocjene parametara u odnosu na uzorke koji nisu slu�ajno odabrani. Mogu se i kombinovati razli�iti tipovi izbora elemenata u uzorak koji �e biti analizirani u daljim izlaganjima.

� Formulisati i odrediti bazu uzorka ili okvir za izbor

Najjednostavniji okvir izbora je popis elemenata osnovnog skupa. Dakle, baza uzorka ili okvir za izbor je lista na kojoj se mogu identifikovati sve jedinice populacije koje mogu biti izabrane u uzorak.

� Odrediti veli�inu uzorka

Veli�ina uzorka zavisi od više faktora kao što su priroda istraživanja, veli�ina populacije, vrsta analize podataka, preciznost istraživanja, osobine koje se istražuju, raspoloživi resursi itd. Stepen preciznosti potreban za procjene koje vršimo na osnovu ankete uti�e na veli�inu uzorka. Generalno, realna veli�ina uzorka jedne ankete se nalazi izme�u stepeni preciznosti koji je potrebno posti�i, budžeta kojim anketa raspolože i svih ostalih ograni�enja. Me�u navedenim faktorima koji uti�u na odre�ivanje veli�ine uzorka naglašavamo zna�aj sljede�ih:

- Varijabilnost karakteristika koje se posmatraju. Ukoliko studenti imaju isti iznos stipendije, dovoljan je podatak o jednoj stipendiji da bismo procijenili prosje�nu stipendiju. Ako su stipendije vrlo razli�ite potreban je ve�i uzorak da bismo dobili pouzdanu procjenu prosje�ne stipendije.

- Veli�ina populacije: što je ve�a populacija postoji potreba da se odabere ve�i uzorak. Me�utim, kada se dostigne odre�eni nivo dalje uve�anje populacije nema uticaja na veli�inu uzorka. Veli�ina uzorka neophodna da bi se postigao odre�en stepen preciznosti bi�e, naprimjer skoro jednaka za jednu populaciju od milion kao i za dva puta ve�u populaciju.

� Nivo preciznosti

Naj�eš�e se ocjene parametara osnovnog skupa na osnovu ocjena dobivenih iz uzorka vrše uz rizik od 5% ili 1%, odnosno uz nivo pouzdanosti 95% ili 99%. Postoji uvijek odgovaraju�i nivo rizika, greške ili nepreciznosti koji se vezuje za procjene dobijene na osnovu uzorka. Ako npr. želimo procijeniti prosje�nu ocjenu 100 studenata i odaberemo uzorak od 15 studenata,


311

procjena �e zavisiti od toga kojih smo 15 studenata odabrali. Ako odaberemo 15 studenata sa najvišom ili 15 sa najnižom ocjenom, rezultat ne može sa sigurnoš�u predstavljati prosje�nu ocjenu svih studenata. Varijacija u prosje�noj ocjeni izme�u razli�itih uzoraka proizvodi grešku uzorka. Statisti�ari mogu procijeniti grešku uzorka za svako posebno istraživanje i nastojati da je što više smanje.

Kada se priprema anketa potrebno je odrediti prihvatljivi nivo nesigurnosti-nepouzdanosti procjena koji se dobijaju na osnovu ankete.

6.2. VRSTE UZORKA I METODE ZA IZBOR UZORKA

Postoji više metoda za izbor uzoraka. Najzana�ajnija je podjela na slu�ajno i namjerno odabrane uzorke. Razlika izme�u ove dvije metode je u tome da se za slu�ajno izabrane uzorke za svaku jedinicu može unaprijed odrediti mogu�nost da bude odabrana i ova mogu�nost se može kvantifikovati, odnosno izraziti vjerovatno�om izbora svake jedinice u uzorak. U slu�aju namjernih uzoraka to nije mogu�e uraditi jer se zbog namjernog izbora jedinica u uzorak ne može primijeniti teorija vjerovatno�e.

Slu�ajan izbor se naziva i objektivan na�in izbora jer se bazira na proceduri koja podrazumijeva da svaka jedinica osnovnog skupa ima jednaku mogu�nost da bude izabrana za ispitivanje, odnosno unaprijed se može odrediti vjerovatno�a izbora svakog elementa u uzorak. Ako je poznata vjerovatno�a izbora u uzorak razli�ita od nule uzorak je slu�ajan.

Namjeran izbor jedinica u uzorak je subjektivan jer se izbor jedinica vrši prema li�noj odluci i uvjerenju. Primjena ovog na�ina izbora podrazumijeva izbor tipi�nih ili reprezentativnih jedinica osnovnog skupa prema mišljenju organizatora realizacije ankete. Pošto se jedinice odabiru namjerno za njih nije mogu�e utvrditi vjerovatno�u izbora.

6.2.1. Slu�ajni uzorci

Slu�ajne uzorke karakteriše osobina da se jedinice populacije odabiru slu�ajno u uzorak. U ovom slu�aju je mogu�e utvrditi vjerovatno�u izbora svake jedinice u uzorak. Izbor uzoraka se bazira na principu vjerovatno�e i ova vrsta uzoraka je relativno skuplja. Zahvaljuju�i ovom tipu uzoraka mogu�e je vršiti pouzdane procjene kao i procjene greške uzorka i


312

procjenjivati karakteristike populacije. Postoji više razli�itih metoda koje se mogu korisiti za izbor uzorka na osnovu vjerovatno�e. Metoda koja se odabire zavisi od odre�enog broja faktora kao što su baza posmatranja kojom se raspolaže, na�in na koji je populacija raspore�ena, troškovi anketiranja, jedinice populacije i na�in na koji �e korisnici analizirati podatke. Ako se odabere uzorak na osnovu vjerovatno�e cilj treba da bude da se što je mogu�e više smanji greška procjene za analizirane osobine osnovnog skupa. Naj�eš�e metode koje se koriste za izbor uzoraka na osnovu vjerovatno�e su:

� Jednostavni slu�ajni uzorak � Sistematski uzorak � Uzorak sa vjerovatno�om proporcionalnom veli�ini � Stratifikovani uzorak � Uzorak skupina � Višestepeni (višeetapni) uzorak � Višefazni uzorak � Panel uzorak

6.2.1.1. Jednostavni slu�ajni uzorak

Kada odabiremo jednostavni slu�ajni uzorak svaki elemenat populacije ima jednaku vjerovatno�u da bude odabran u uzorak. Svaka kombinacija elemanata populacije ima tako�er jednaku vjerovatno�u da predstavlja uzorak. Ove dvije osobine definišu jednostavni slu�ajni uzorak. Potrebno je kompletirati listu svih jedinica koji �ine posmatranu populaciju da bi se odabrao jednostavni slu�ajni uzorak.

Jednostavni slu�ajni uzorak se može odabrati sa i bez ponavljanja. Uzorak sa ponavljanjem zna�i da svaka jedinica populacije može biti izabrana u uzorak više puta. Ovim na�inom izbora je obezbje�ena me�usobna nezavisnost uzastopnih izbora elemenata u uzorak. U primjeni su više koristi prosti slu�ajni uzorak bez ponavljanja. On je efikasniji zato što svaka nova jedinica nosi novu informaciju i daje preciznije rezultate. Osnovni skupovi koji se analiziraju su vrlo veliki pa se promjene nastale vra�anjem jednog elementa u osnovni skup s obzirom na vjerovatno�u mogu zanemariti.


313

Jednostavni slu�ajni uzorak je najjednostavniji za primjenu i naj�eš�e se koristi. Postoje tipske formule za odre�ivanje veli�ine uzorka i za procjene i ove formule su jednostavne za primjenu.

Izvla�enje lota je primjer jednostavnog slu�ajnog uzorka. Treba slu�ajno izabrati uzorak od šest brojeva polaze�i od osnovnog skupa od 49 brojeva. Svaki broj ima jednaku vjerovatno�u da bude izabran.

Izbor jednostavnog slu�ajnog uzorka može se vršiti korištenjem tablice slu�ajnih brojeva. Ako je osnovni skup beskona�an iz njega možemo odabrati beskona�an broj razli�itih uzoraka veli�ine n. Prost slu�ajan uzorak iz beskona�nog osnovnog skupa je uzorak u kome su sve opservacije me�usobno nezavisne. Zato je ovaj tip uzorka ekvivalentan sa prostim slu�ajnim uzorkom sa ponavljanjem odabranim iz kona�nog osnovnog skupa. U oba slu�aja izbori elemenata u uzorak su me�usobno nezavisni.

� Kada se izvla�enje vrši iz kona�nog osnovnog skupa sa ponavljanjem, ili iz beskona�nog osnovnog skupa, vjerovatno�a da svaki elemenat skupa od N elemenata bude izabran je jednaka

N1 (6.1)

� Ako se za uzorak odabere n elemenata, vjerovatno�a izbora za cijeli uzorak je jednaka

Nn

Nn �� 1 (6.2)

Vjerovatno�a da se izabere jedan elemenat:

� U prvom izvla�enju je N1 .

� U drugom izvla�enju 1

1N

uz uslov da nije bio izabran u prvom

NN 1 .

Vjerovatno�a izbora tog elementa u drugom izvla�enju je složena

vjerovatno�a NNN

N 11

11 ��

��

��

�� .


314

Vjerovatno�a da �e taj elemenat biti izabran u tre�em izvla�enju je

jednaka proizvodu izme�u 1

1N

i vjerovatno�a da nije bio izabran

u prvom i drugom izvla�enju:

NN

N N

N N

1 121

21 ��

��

��

��

��

��

Na isti na�in �e se dobiti vjerovatno�a 1/N i za ostala izvla�enja. Vjerovatno�a za izbor �itavog uzorka od n elemenata je:

Nn

Nn �� 1 .

Jednostavni slu�ajni uzorak veli�ine n elemenata dobijamo iz skupa od Nelemenata ako se izbor obavlja tako da svaki uzorak veli�ine n koji se može slu�ajno izabrati iz osnovnog skupa ima istu vjerovatno�u da bude izabran.

Iz kona�nog osnovnog skupa veli�ine N ako se izbor vrši bez ponavljanja može se odabrati:

� �!

! !NN nn N n

� ��

(6.3)

kao broj uzoraka koji je jednak broju mogu�ih kombinacija od n razli�itih elemenata iz ukupno N elemenata.

Vjerovatno�a za svaku kombinaciju ili uzorak od n elemenata da bude

izabrana je jednaka

��

��nN1 . Izraz

Nn

Nn �� 1 predstavlja proporciju

elemenata osnovnog skupa koji su izabrani u uzorak i ta se proporcija naziva i stopa, kvota ili frakcija izbora i ozna�ava sa f=n/N. Recipro�na vrijednost stope izbora

1/f=N/n=k (6.4)

se naziva interval ili korak izbora.

C n N


315

Broj mogu�ih uzoraka veli�ine 10 izabranih iz osnovnog skupa N=30 je

142506. � � 142506120

3029282726!530!5

!30 ��

�k . Vjerovatno�a da

jedan odre�eni uzorak bude izabran je jednaka 1/142506.

Iz osnovnog skupa od N=8 elemenata možemo odabrati 28 uzoraka od n=2

elementa: � � 282187

!28!2!8 �

��

�k . Za svaki od 28 uzoraka vjerovatno�a

da bude izabran je 1/28.

Osnovni nedostatak ovog tipa uzorka je nereprezentativnost. Postoje na�ini da se i ovaj problem riješi odabirom ili primjenom stratifikovanog uzorka koji �emo tako�er analizirati.

6.2.1.2. Sistematski uzorak

Sistematski uzorak je slu�ajan uzorak u kojem izbor elemenata u uzorak vršimo po nekom sistematskom redu odabiru�i slu�ajno po�etak. Jenostavnim sistematskim izborom se po redu broje elementi osnovnog skupa i za uzorak se odabere npr. svaki drugi, peti, k-ti elemenat. Redni broj od kojeg po�inje brojanje se odre�uje slu�ajnim izborom iz tablice slu�ajnih brojeva. Npr. ako na osnovu skupa od N=60 elemenata želimo odabrati sistematski uzorak od n=20 elemenata tada �emo izabrati svaki k-ti elemenat k=N/n gdje je k interval ili korak izbora (k=60/20=3).

U sistematskom izboru postoji jedno odstupanje ili interval izme�u svake jedinice izabrane u uzorak. Da bi se odabrao sistematski uzorak potrebno je slijediti sljede�e etape:

� Ozna�iti od 1 do N jedinice uklju�ene u bazu (gdje je N veli�ina posmatrane populacije)

� Odrediti interval uzorka k kao dijele�i broj jedinica uklju�enih u populaciju sa veli�inom uzorka koja se želi dobiti k=N/n. Ako želimo odabrati uzorak od 100 jedinica iz populacije od 400 jedinica interval uzorka �e biti 4. Zna�i da je potrebno odabrati jednu jedinicu od �etiri da bi se dobio uzorak veli�ine 100.

� Odabrati slu�ajno jedan broj izme�u 1 i k. Ovaj broj se naziva slu�ajno odabran po�etak i bit �e prvi broj uklju�en u uzorak. Izabire se jedan broj od 1 do 4 na osnovu tabele slu�ajnih brojeva.


316

Ako se odabere 3, tre�a jedinica baze podataka �e biti prva jedinica uzorka.

� Odabire se svaka k-ta jedinica poslije ovog prvog broja. Uzorak naprimjer može biti sljede�i: 3, 7, 11, 15, 19....395, 399.

U ovom primjeru možemo konstatovati da svaka jedinica ima jednu šansu na �etiri da bude izabrana u uzorak, dakle postoje ukupno �etiri uzorka. Njena vjerovatno�a da bude izabrana je ista kao da se odabire jednostavni slu�ajni uzorak od 100 jedinica. Osnovna razlika je što u slu�aju jednostavnog slu�ajnog uzorka svaka kombinacija od 100 jedinica ima jednu šansu da predstavlja uzorak, a u slu�aju sistematskog uzorka postoje samo �etiri mogu�a uzorka. To nam potvr�uje preciznost sistematskog uzorka u odnosu na jednostavni slu�ajni uzorak.

Red prema kojem su jedinice populacije uklju�ene u posmatranje odredit �e mogu�e uzorke u ovom slu�aju. Ako su jedinice populacije raspore�ene slu�ajno u bazi posmatranja, sistematski uzorak daje rezultate sli�ne kao jednostavni slu�ajni uzorak. Ova metoda se može korisiti u industriji da bi se selekcionisale jedinice za kontrolu u jednom proizvodnom procesu. Naprimjer, za kontrolu kvaliteta može se odabrati svaki 20-ti proizvod na liniji montaže. Može se odabrati jedan slu�ajni po�etak izme�u brojeva jedan i dvadeset. Tim se odre�uje prvi proizvod za kontrolu i svaki 20-ti koji slijedi �e biti podložan kontroli. Za istraživanje tržišta pomo�u ankete uzorka može se odabrati naprimjer svaka 10-ta osoba koja u�e u prodavnicu poslije slu�ajno odabrane prve osobe. Prednost sistematskog uzorka je jednostavnost izbora uzorka. Broj mogu�ih uzoraka je manji i do njih se jednostavnije dolazi, posebno kod velikog uzorka. Potrebno je odabrati slu�ajni po�etak i ostatak uzorka slijedi automatski tako da je uzorak raspore�en u jednakim proporcijama u populaciji. Najve�i nedostatak ovog tipa uzorka je nereprezentativnost u slu�ajevima kada postoji odre�eni na�in prema kojem je populacija upisana u listu i ako se taj na�in poklapa sa intervalom uzorka.

6.2.1.3. Uzorak sa nejednakom vjerovatno�om izbora jedinica

Za uzorak odabran na osnovu teorije vjerovatno�e je potrebno da svaka jedinica posmatrane populacije ima odre�enu vjerovatno�u da bude odabrana u uzorak, ali ta vjerovatno�a ne mora biti jednaka za sve jedinice. Ako u bazi posmatranja raspolažemo sa informacijom o veli�ini svake jedinice (kao naprimjer broj zaposlenih u svim preduze�ima koja se


317

posmatraju) i ako veli�ina ovih jedinica varira, ova informacija se može koristiti da bi se pove�ala efikasnost izbora uzorka. Takav tip uzorka se naziva i uzorak sa vjerovatno�om proporcionalnom veli�ini posmatranih jedinica populacije. U slu�aju ove metode ve�a jedinica ima više šansi da bude odabrana u uzorak. Potrebno je da mjerenje veli�ina bude ta�no da bi ova metoda pove�ala efikasnost. Ova metoda je vrlo kompleksna.

6.2.1.4. Stratifikovani uzorak

Kada je osnovni skup heterogen potrebno ga je podijeliti na karkteristi�ne, jasno razgrani�ene homogene podskupove koji se nazivaju stratumima. Tako svaki stratum postaje jedan nezavisan podskup. Karakteristike jedinica unutar stratuma treba da budu što sli�nije. Zatim se za svaki stratum odre�uje veli�ina uzorka i iz svakog stratuma bira po jedan slu�ajni uzorak. Na taj na�in se formira stratifikovani uzorak koji je sastavljen od prostih slu�ajnih nezavisnih uzoraka od kojih je svaki izabran iz jednog stratuma. Metoda izbora jedinica iz svakog stratuma može da bude razli�ita. Ako se koristi jednostavni slu�ajni uzorak za izbor uzoraka iz svih stratuma takav uzorak se naziva jednostavni slu�ajni stratifikovani uzorak. Sve jedinice stratuma imaju jednaku vjerovatno�u da budu izabrane u uzorak. Pošto stratumi nisu jednake veli�ine, sve jedinice skupa imaju razli�ite, ali poznate vjerovatno�e izbora. Najvažnije je odabrati kriterij za stratifikaciju prema kome formiramo relativno homogene i razgrani�ene stratume kojima obezbje�ujemo reprezentativnost i donošenje preciznijih zaklju�aka o osnovnom skupu. Prednosti ovog tipa uzorka su efikasnost i preciznost procjene karakteristika osnovnog skupa.

6.2.1.5. Uzorak skupina (klaster uzorak)

U slu�ajevima kada ne raspolažemo listom svih jedinica, odnosno odgovaraju�om bazom uzorka, ili kada je osnovni skup velik i sastavljen od jedinica koje su npr. prostorno vrlo udaljene, tada troškovi ankete mogu biti vrlo veliki. Da bi se smanjili troškovi mogu�e je primijeniti metodu uzorka skupina.

Populacija se dijeli na skupine. Selekcioniše se slu�ajno odre�eni broj skupina koje predstavljaju populaciju, a zatim se u uzorak uklju�uju sve jedinice koje se nalaze u selekcionisanim skupinama. Potrebno je da skupine po strukturi budu što sli�nije strukturi osnovnog skupa. One


318

predstavljaju cjeline unutar osnovnog skupa i razlikuju se po veli�ini. Zatim se izvrši popis svih elemenata u odabranim skupinama i takav uzorak nazivamo prostim uzorkom skupina. U uzorak se ne odabiru jedinice koje se ne nalaze u selekcionisanim skupinama. Pretpostavlja se da su one reprezentovane jedinicama iz selekcionisanih skupina.

Razlika izme�u ovog tipa uzorka i stratifikovanog uzorka je �injenica da se u slu�aju stratifikovanog uzorka izbor jedinica u uzorak vrši iz svake grupe – stratuma. Selekcionisane skupine se koriste da bi prezentirale populaciju. �injenica da se vrlo �esto ne raspolaže sa listama svih jedinica populacije (lista je neophodna za jednostavni slu�ajni uzorak, sistematski uzorak ili uzorak sa vjerovatno�om proporcionalnom veli�ini) i da je jednostavnije kompletirati listu skupina, predstavlja jedan od razloga za primjenu uzorka skupina.

Nedostatak ove metode je manja efikasnost nego u slu�aju jednostavnog slu�ajnog uzorka. Korisnije je odabrati veliki broj manjih skupina nego mali broj velikih skupina zbog toga što se jedinice koje su bliže jedne drugima sli�nije i tako odabran uzorak nije dovoljno reprezentativan za cijelu populaciju. Uzorci skupina ne omogu�avaju da se kontroliše kona�na veli�ina uzorka i to je jedna od nedostataka ove metode. Naprimjer, sve škole nemaju isti broj u�enika �etvrtih razreda i ako se želi anketirati svaki u�enik odabran u uzorak, uzorak može biti ve�i ili manji nego što se o�ekuje.

6.2.1.6. Višestepeni uzorak

Ovaj tip uzorka je sli�an uzorku skupina. U slu�aju uzorka skupina potrebno je uklju�iti sve jedinice selekcionisanih skupina. Uzorak može da bude sastavljen od grupa ili skupina koje se sastoje od manjeg broja elementarnih jedinica.

Kod višestepenog uzorka izbor se odvija u više etapa. Ovaj tip uzorka se naziva i višeetapni. U prvoj etapi se iz osnovnog skupa odabire uzorak (skupina), a zatim se iz tako odabranih uzoraka vrši dalji izbor jedinica. Višestepeni uzorak zahtijeva najmanje dva nivoa. Na prvom nivou se odaberu velike grupe ili skupine i one sadrže ve�i broj jedinica nego što je potrebno za finalni uzorak.

Da bi se dobio finalni uzorak na drugom nivou se odabiru jedinice populacije iz selekcionisanih skupina primjenom jedne od prethodno


319

analiziranih metoda. Ako se koristi više od dva nivoa, proces selekcije jedinica populacije iz skupina se nastavlja do kompletiranja finalnog uzorka. Ovaj tip uzorka ima veli�inu ve�u nego jednostavni slu�ajni uzorak. Nema potrebe za listom cijele populacije, ali traži više informacija nego uzorak skupina. (Naprimjer, prva faza bi bio izbor opština, a druga doma�instva u odabranim opštinama).

Na sljede�em primjeru �emo uporediti uzorak skupina i višestepeni uzorak. Želimo analizirati sportske aktivnosti u�enika 4-tih razreda srednjih škola u BiH.

Odabere se uzorak od npr. 50 škola. Ove škole predstavljaju uzorak skupina. Zatim se ispituje svaki u�enik 4-tog razreda ovih škola. Me�utim, može se odabrati 50 škola, kompletirati lista svih u�enika 4-tih razreda tih škola i odabrati uzorak u�enika iz svakog razreda koji �e se ispitivati. U ovom slu�aju radi se o dvostepenom planu uzorka. Može se pri izboru postupiti i na sljede�i na�in: prvo selekcionisati škole, odabrati slu�ajnim uzorkom na osnovu liste 4-tih razreda uzorak razreda iz svake škole, a zatim na osnovu liste u�enika odabranih razreda odabrati slu�ajan uzorak u�enika koji �e biti ispitani.

Elementarne jedinice su skoncentrisane što smanjuje troškove ankete, ali je preciznost manja nego kod prostog slu�ajnog i stratifikovanog uzorka.

6.2.1.7. Višefazni uzorci

U prvoj fazi se odabire veliki uzorak i prikupljaju podaci o karakteristikama jedinica uzorka. Zatim se u drugoj fazi iz postoje�eg odabire poduzorak za �ije se jedinice vrši detaljnije prikupljanje podataka. Naj�eš�e se koristi dvofazni uzorak, ali je, naravno, mogu�a upotreba uzorka u tri ili više faza.

Višefazni uzorak se dosta razlikuje od višestepenog uzorka. Iako se i u ovom slu�aju odabiru dva ili više uzoraka, baza za njihov izbor je uvijek ista i jedinice su iste u svakoj fazi.

Plan uzorka i procjene na osnovu uzorka postaju kompleksniji ako se koristi više faza u odabiru uzorka. Ovaj tip uzorka je koristan kada u bazi uzorka nedostaju dodatne informacije koje omogu�avaju primjenu stratifikovanog uzorka i u slu�ajevima kada se ne raspolaže sa dovoljno sredstava da bi se sakupili podaci na osnovu cijelog uzorka.


320

6.2.1.8. Panel uzorak

Panel uzorak se naj�eš�e koristi da bi se istražile promjene karakteristika populacije u vremenu. Zadatak je da se kontinuirano prate neke pojave. �esta upotreba panel uzorka je u istraživanju tržišta, pra�enju troškova života, itd. Izabrani potroša�i odgovaraju na povremene ankete. Me�utim, promjena ispitivanih jedinica kao i promjena pojave su zna�ajni nedostaci ovog tipa uzorka. Primjena panel uzorka je ograni�ena na prethodna istraživanja u primjeni ankete.

6.2.1.9. Namjerni uzorci

Namjerno izabrani uzorci su uzorci odabrani na osnovu subjektivnih kriterija ili uzorci koji se ne baziraju na teoriji vjerovatno�e. U ovom izboru se pretpostavlja da je distribucija karakteristika unutar populacije jednaka.

U ovom slu�aju, pošto se jedinice odabiru proizvoljno, ne postoji nikakva mogu�nost da se procijeni vjerovatno�a uklju�ivanja jedne jedinice u uzorak. Ne postoji ni mogu�nost utvr�ivanja pouzdanosti ovog plana uzorka i preciznosti dobijenih ocjena, dakle ne može se odrediti greška procjene karakteristika osnovnog skupa. Bez obzira na navedene nedostatke, plan uzorka koji se ne bazira na vjerovatno�i može biti koristan ako se žele dobiti deskriptivni komentari o pojavi koja se istražuije. Njihova primjena zahtijeva mali utrošak vremena i sredstava, pa su ekonomi�ni i prakti�ni. Ovaj tip uzorka se može kombinovati sa uzorkom na bazi vjerovatno�e. Vrlo �esto se koriste i kombinuju namjerni i slu�ajni uzorci. Npr. namjerni uzorci se koriste da bi se testirali upitnici ili u nekim preliminarnim fazama konstrukcije ankete, a zatim slu�ajni za realizaciju anketa.

Upotreba namjernog uzorka je opravdana u nekim okolnostima. Prednost ovog tipa uzorka je što se u uzorak mogu odabrati jedinice do kojih je lakše do�i ili za koje se pretpostavlja da mogu pružiti informacije o istraživanoj pojavi. Ovaj tip uzorka je pogodan za pilot istraživanja da bi se o osnovnom skupu dobile bitne polazne informacije.

6.2.1.9.1. Kvota uzorak

Me�u namjernim uzorcima je naj�eš�i kvota uzorak. U tom planu izbora uzorka se, u skladu sa specifi�nim kriterijem i ciljem istraživanja, odabiru potpopulacije iz koji se mora anektirati odre�eni broj jedinica. Svaki


321

anketar dobije uputu o broju ili proporciji jedinica iz svakog podskupa, odnosno grupe koje treba anketirati.

Kvota uzorak zavisi od odluke i sklonosti anketara. Kvota uzorak se mnogo primjenjuje u ispitivanju javnog mišljenja. Može dati zadovoljavaju�e rezultate ako se anketari pridržavaju datih uputa. Ovaj tip uzorka nije skup, jednostavno se realizuje i ima poželjnu osobinu da respektuje proporcije u populaciji. U ovom slu�aju, kao i u slu�aju ostalih namjernih uzoraka, pretpostavlja se da su odabrane jedinice sli�ne onima koje nisu odabrane da bi se mogle donijeti sudovi o karakteristikama populacije.

6.2.1.9.2. Prigodan uzorak

Prigodan izbor uzorka se obavlja prema prigodi, a ne slu�ajno, niti prema naho�enju. Uzorak dobiven iz raspoloživih listi (telefonski imenik ili registar pretplatnika) prigodno je izabran, a nije slu�ajan iako je slu�ajno izabran iz spomenute liste. Ova vrsta uzorka se primjenjuje vrlo �esto u ispitivanju javnog mišljenja. Korisna primjena ovog tipa uzorka je u pilot ispitivanju, pri testiranju upitnika i za dobivanje potrebnih informacija za izbor definitivnog plana istraživanja.

6.2.1.9.3. Dobrovoljan uzorak

Dobrovoljan uzorak je uzorak koji se dobije ukoliko osobe same ponude svoje usluge za ispitivanje. Klasi�an primjer ovog tipa uzorka je testiranje novih lijekova. Iz grupe dobrovoljaca se odabire uzorak osoba na kojima �e se vršiti testiranje.

Vrlo �esto se kombinuju razli�iti planovi izbora uzoraka da bi se postigao cilj - preciznost, pouzdanost i efikasnost procjene karakteristika osnovnog skupa na osnovu rezultata dobijenih u uzorku.

6.3. PROCJENE OBILJEŽJA OSNOVNOG SKUPA NA OSNOVU UZORKA

Promjenom metoda inferencijalne statistike zaklju�ci o parametrima osnovnog skupa se donose procjenom na osnovu podataka iz uzoraka. Postupak kojim se na osnovu podataka iz uzorka vrši procjena parametara osnovnog skupa se naziva metoda procjene. Kada se iz osnovnog skupa


322

(kona�nog ili beskona�nog) izabere uzorak, parametri osnovnog skupa se procjenjuju na osnovu vrijednosti izra�unatih iz uzorka. Formula, funkcija ili izraz koji se koristi za procjenu se naziva procjenitelj ili estimator. Procjenitelj je, dakle, funkcija vrijednosti iz uzorka. To je slu�ajna varijabla koja varira za razli�ite uzorke. Sve procjene dobivene na osnovu slu�ajnih uzoraka veli�ine n iz istog osnovnog skupa koje su izra�unate metodom procjena �ine distribuciju vjerovatno�e procjenitelja. Distribucija vjerovatno�e procjenitelja je teorijska distribucija za koju se mogu izra�unati o�ekivana vrijednost, standardna devijacija i koeficijent varijacije. Procjenitelj je predstavljen formulom koja omogu�uje da se iz podataka uzorka dobije numeri�ka vrijednost za osnovni skup koja se naziva procjena. Procjene mogu biti izražene jednim brojem ili intervalom procjene. Procjenom jednim brojem se dolazi do vrijednosti parametra osnovnog skupa. Pomo�u intervalne procjene se utvr�uju granice ili raspon vrijednosti u kojima se, uz odre�eni nivo pouzdanosti, nalazi nepoznati parametar osnovnog skupa. Predmet naše analize �e biti intervalne procjene. Drugi pristup procjeni karakteritika osnovnog skupa je ispitivanje pretpostavki o parametrima testiranjem hipoteza.

Postupak procjene �emo objasniti i generalizirati na sljede�em primjeru. Iz osnovnog skupa od N elemenata se izabire � �1N razli�itih uzoraka veli�ine

n. Za svaki od tih uzoraka se izra�una parametar O pomo�u kojeg �e se procijeniti taj parametar za osnovni skup. Ova parametar je razli�it od iste karakteristike posmatranog skupa i razli�it za svaki od uzoraka. Varijacija ovog parametra za razli�ite uzorke se naziva varijacija izbora uzorka i formira distribuciju parametra procjenitelja.

Ako su uzorci izabrani slu�ajno i vrijednosti ovog parametra su slu�ajne što zna�i da se radi o slu�ajnoj varijabli O . Vrijednosti ove varijable su slu�ajno raspore�ene prema nekoj distribuciji vjerovatno�e. Ako se može odrediti distribucija vjerovatno�e ove varijable tada se može odrediti i vjerovatno�a da �e O imati vrijednost manju ili jednaku od nekog realnog broja, ako se radi o prekidnoj varijabli, ili vjerovatno�a da �e se O nalaziti u intervalu realnih brojeva, ako se radi o kontinuiranoj varijabli.

Za ovu distribuciju možemo odrediti o�ekivanu vrijednost (aritmeti�ku sredinu) i varijansu, odnosno standardnu devijaciju.


323

Procjena parametra osnovnog skupa O se vrši na osnovu izra�unate vrijednosti O iz uzorka. Da bi se dobila intervalna procjena potrebno je izra�unati donju i gornju granica intervala u kojem se, sa odre�enom vjerovatno�om, nalazi parametar osnovnog skupa O . Intervalnu procjenu izražavamo na sljede�i na�in:

O - greška procjene < O <O +greška procjene (6.5)

Ocjena parametra osnovnog skupa pomo�u parametra iz uzorka �e biti nepristrasna ako je o�ekivana vrijednost (aritmeti�ka sredina) parametra iz uzorka O jednaka vrijednosti parametra iz osnovnog skupa:

OO �)ˆ(E (6.6)

Ukoliko ovaj uslov nije zadovoljen, ocjena je pristrasna. Statisti�ka pristrastnost je, dakle, razlika izmedu o�ekivane vrijednosti procjenitelja O i prave vrijednosti osobine osnovnog skupa.

Poželjne osobine ocjene su, pored nepristrasnosti, efikasnost i konzistentnost. Ocjena je efikasna ukoliko ima manji varijabilitet za istu veli�inu uzorka. Ocjena parametara osnovnog skupa na osnovu uzorka je konzistentna ukoliko sa pove�anjem uzorka teži stvarnoj vrijednosti parametra osnovnog skupa.

U narednom dijelu �emo analizirati osobine procjenitelja aritmeti�ke sredine u slu�ajevima uzorka sa ponavljanjem i uzorka bez ponavljanja.

� Slu�ajan uzorak sa ponavljanjem

Ako iz osnovnog skupa N izvu�emo k uzoraka veli�ine n i za svaki od tih uzoraka izra�unamo aritmeti�ku sredinu dobi�emo onoliko artimeti�kih sredina koliko imamo uzoraka. S obzirom da su uzorci izabrani slu�ajno, aritmeti�ka sredina uzorka je slu�ajna varijabla za koju možemo izra�unati aritmeti�ku sredinu.

Za svaki uzorak možemo odrediti aritmeti�ku sredinu:

��

�n

iii x

nx

1

1 (6.7)


324

Aritmeti�ka sredina aritmeti�kih sredina uzoraka je jednaka:

��

�k

iix

kx

1

1 (6.8)

O�ekivanu vrijednost (aritmeti�ku sredinu) aritmeti�kih sredina uzoraka možemo posmatrati kao o�ekivanu vrijednost aritmeti�ke sredine uzorka uz pretpostavku da su aritmeti�ke sredine uzoraka ix nezavisne

� � � � � ��

��

��

n

i

n

ii

n

iii n

nnxE

nx

nExExE

1 11

1111 *** (6.9)

�ime dokazujemo da je aritmeti�ka sredina aritmeti�kih sredina uzoraka jednaka aritmeti�koj sredini osnovnog skupa. To zna�i da je procjena aritmeti�ke sredine osnovnog skupa na osnovu aritmeti�ke sredine uzorka nepristrasna procjena i parametar procjene ili procjenitelj je nepristrasan.

Jedinice uzorka posmatramo kao nezavisne slu�ajne promjenljive �ije su o�ekivane vrijednosti jednake me�usobno i jednake o�ekivanoj vrijednosti osnovnog skupa koji je normalno raspore�en sa parametrima N(,�2)

E(x1)=E(x2)=...E(xn)= (6.10)

Iz izraza (6.9.) i (6.10.) slijedi da je aritmeti�ka sredina aritmeti�kih sredina uzorka jednaka aritmeti�koj sredini osnovnog skupa.

Pošto su varijable Xi nezavisne možemo odrediti i varijansu aritmeti�ke sredine uzoraka sa ponavljanjem:

� � ��

��

��

n

i

n

iii n

nnn

xn

x1

22

22

21

222 111 '''''' (6.11)

Ovaj parametar služi za mjerenje disperzije aritmeti�kih sredina uzoraka oko aritmeti�ke sredine osnovnog skupa što omogu�uje mjerenje greške uzoraka. Ako je ovaj parametar manji, greška ocjene je manja i ocjena preciznija.

Drugi korijen iz varijanse distribucije sredina uzoraka daje standardnu devijaciju distribucije sredina uzoraka koja se zove „standard error“ ili standardna greška ocjene aritmeti�ke sredine osnovnog skupa. Pošto standardna devijacija predstavlja mjeru odstupanja artimeti�ke sredine


325

uzorka od aritmeti�ke sredine osnovnog skupa ona pokazuje i koju grešku u prosjeku �inimo ovom ocjenom i zbog toga se naziva i standardna geška ocjene.

� Slu�ajni uzorak bez ponavljanja

U slu�aju uzorka bez ponavljanja uzastopna izvla�enja nisu nezavisna pa slu�ajne promjenljive uzorka nisu nezavisne. Pokazuje se da je u ovom slu�aju varijansa aritmeti�ke sredine uzorka jednaka:

� �nn

nNxix

222

1''' �

�� (6.12)

Varijansu aritmeti�kih sredina uzoraka od n elemenata možemo odrediti ako poznajemo varijansu i veli�inu osnovnog skupa. Standardnu devijaciju aritmeti�ke sredine uzoraka nazivamo standardnom greškom i ra�unamo pomo�u sljede�eg izraza:

nNnN

x'' �

�

1 (6.13)

U ovom izrazu faktor

1

NnN (6.14)

predstavlja faktor korekcije za kona�ne osnovne skupove.

Ako je n =1 tada je varijansa uzorka jednaka varijansi osnovnog skupa 22 '' �x .

Za N=n uzorak se izjedna�ava sa osnovnim skupom pa je varijansa jednaka nuli 02 �x' .

Ako je osnovni skup veliki tada je faktor korekcije približno jednak jedinici, a varijansa aritmeti�kih sredina uzoraka približno jednaka varijansi osnovnog skupa podijeljenoj sa n:

ni

NnN

x

22 1

1'' ��

(6.15)


326

Dakle, dobijamo isti rezultat kao i u primjeni nezavisnih uzoraka.

Standardna devijacija je jednaka nx

'' � .

Ako varijansa osnovnog skupa nije poznata, njenu procjenu ne možemo vršiti na osnovu varijanse uzorka zbog toga što je varijabilitet u uzorcima manji od varijabiliteta u osnovnom skupu. U tom slu�aju procjena varijanse bi bila pristrasna ako bismo koristili izraz:

� ��

�n

iii xx

n 1

22 1' (6.16)

Zbog toga se za dobijanje nepristrasne ocjene varijanse koristi izraz:

� ��

�n

ii xx

n 1

22

11' (6.17)

koji možemo napisati i u sljede�em obliku:

� � � ��

�

��

�n

i

n

iii xx

nnn

nnxx

n 1 1

222 111

1'

22

1ˆ in

n '' �

� (6.18)

koji se naziva korigovana varijansa. Ovaj izraz predstavlja nepristrasnu ocjenu varijanse osnovnog skupa u kojoj je �lan n/(n-1) faktor korekcije pristrasnosti ocjene, a 2

i' predstavlja varijansu uzorka. Za velike uzorke (n�30) faktor korekcije se približava jedinici pa se u prakti�nim izra�unavanjima može i zanemariti.

U ovom slu�aju standardnu devijaciju osnovnog skupa treba zamijeniti izrazom za korigovanu standardnu devijaciju. Tada �e se standardna greška procjene aritmeti�ke sredine osnovnog skupa mo�i izra�unati iz podataka o uzorku koriste�i sljede�u relaciju:

1ˆ

��

NnN

nx'' �

11

�

��

NnN

nn

ni

x

''


327

11 �

�

NnN

ni

x'' (6.19)

Ukoliko je frakcija izbora manja od 0,03 tj 100

3�Nn , ili prema nekim

autorima od 0.05, faktor korekcije za kona�ne osnovne skupove je jednak jedinici pa gornju relaciju pišemo u sljede�em obliku:

11ˆ

��

nnn

n

ni

ix'''' (6.20)

Varijansa se smanjuje ukoliko se pove�a veli�ina uzorka. Ocjena je konzistentna ako teži stvarnoj vrijednosti parametra kada se uzorak pove�ava.

6.4. ODRE�IVANJE INTERVALA POVJERENJA

Mi �emo analizirati i prezentirati odre�ivanje intervala povjerenja, odnosno intervalne procjene za: aritmeti�ku sredinu, proporciju, varijansu i standardnu devijaciju, parametre modela linearne regresije, totala osnovnog skupa, medijane i koeficijenta korelacije.

6.4.1. Intervalna procjena aritmeti�ke sredine osnovnog skupa

6.4.1.1. Intervalna procjena aritmeti�ke sredine osnovnog skupa �ija je varijansa poznata

Pretpostavimo da je osnovni skup normalno raspore�en. Tada varijabla X osnovnog skupa i varijable X1, X2, ..., Xn uzorka imaju normalnu distribuciju: X ~ N(,�2). Tada aritmeti�ka sredina uzorka ima normalnu distribuciju sa aritmeti�kom sredinom i varijansom 2( / ) :n'

2

~ ,x Nn

'*� ��

(6.21)


328

Ilustraciju analiziranog slu�aja smo predstavili na grafikonu 6.1.

( )f x

n'

x*

Ako standardiziramo slu�ajnu varijablu aritmeti�ka sredina uzorka x dobijamo:

)1,0(~ /

Nn

xZ'

*� (6.22)

Ako Z ~ N(0,1) i 2/1 ,z je kvantil reda (1-,/2) od Z, tada možemo napisati izraz za vjerovatno�u da �e se Z nalaziti u intervalu 2/1 ,) z :

� � ,,, � 12/12/1 zZzp (6.23)

U praksi se naj�eš�e koristi greška, odnosno rizik ocjene koji ozna�avamo sa � od 5% ili 1%. U tim slu�ajevima nivo pouzdanosti ( ,1 ) je 95% i 99% respektivno, a odgovaraju�a vrijednost koeficijenta pouzdanosti 2/1 ,z je jednaka 1,96 i 2,58 respektivno. Za sve ostale nivoe greške koeficijenti

2/1 ,z su tabelirani i nalaze se u tablici standardizovane normalne distribucije. Tablice ove distribucije se nalaze u prilogu knjige.


329

( )f z

(0;1)z N�

1 a

/ 2a / 2a

1 / 2az 1 / 2az z3 30

(1 )a

Ako u izrazu 6.23. zamijenimo Z sa /

xZn*

'� dobijamo:

,'

*,, ��

��

�� 1

/ 2/12/1 zn

xzp

,'*',, ��

��

�� 12/12/1 n

zxn

zp

,'*',, ��

��

�� 12/12/1 n

zxn

zxp

,'*',, ��

�� 12/12/1 n

zxn

zxp (6.24)

Kada odaberemo kontrolisanu grešku ili rizik ocjene ,, tada �e interval povjerenja (1-,) za aritmeti�ku sredinu osnovnog skupa biti :

nzx '

, �) 2/1 , odnosno


330

1 / 2 1 / 2x z x zn n, ,

' '* � � � (6.25)

Grafi�ka ilustracija ovog intervala povjerenja je prezentirana na grafikonu 6.3.

1- / 2- ·( / )ax z n' 1- / 2 ·( / )ax z n'�

za 1 / 21 ( / )aa x z n* ' ) �

( )f x

1 a

*

Širina intervala povjerenja se smanjuje ako se , pove�ava, odnosno ako se (1-,) smanjuje ili ako se n pove�ava.

Ako je potrebno izra�unati veli�inu uzorka n, uz uslov da polovina širine intervala povjerenja bude manja ili jednaka od neke vrijednosti, treba postupiti na sljede�i na�in:

dn

z �'

, 2/1

ndz � ', 2/1

dz

n', �

A 2/1

22/1 �

��

�� A

dzn ', (6.26)


331

6.4.1.2. Procjena intervala aritmeti�ke sredine osnovnog skupa �ija je varijansa nepoznata

Za standardizovanu varijablu Z= )1,0(~/

Nn

x'

* , nepristrasna ocjena od

n/' je jednaka

11ˆ

��

nnn

n

nni

i'''' (6.27)

Zamjenjuju�i izraz (6.27) u izraz za standardizovanu varijablu Z dobijamo

promjenljivu 1/

n

x

i'* koja ima Studentovu distribuciju t sa (n-1) stepeni

slobode:

1~1/

n

i

tn

x'

* (6.28)

Interval povjerenja za aritmeti�ku sredinu osnovnog skupa * za nivo pouzdanosti (1-,) je jednak:

,'

*,, ��

��

�

1

1/ 2/1;12/1;1 ni

n tn

xt (6.29)

gdje je 2/1;1 ,nt kvantil reda (1-,/2) od 1nt .

Interval povjerenja za aritmeti�ku sredinu osnovnog skupa je jednak:

12/1;1 �) n

tx in

', (6.30)

Na grafikonu 6.4. smo predstavili interval povjerenja za aritmeti�ku sredinu osnovnog skupa �ija varijansa nije poznata.


332

1;1 / 2n at 1;1 / 2n at

( )f t

1 a

/ 2a / 2a

t0

6.4.1.3. Interval povjerenja za aritmeti�ku sredinu osnovnog skupa �ija distribucija nije poznata

Interval povjerenja za aritmeti�ku sredinu osnovnog skupa �ija distribucija nije poznata �emo analizirati za uzorke sa ponavljanjem i za uzorke bez ponavljanja.

6.4.1.3.1. Uzorak sa ponavljanjem i poznatom varijansom osnovnog skupa

Kada je varijansa osnovnog skupa poznata dobijamo isti interval povjerenja kao u slu�aju kada arimeti�ka sredina ima normalnu distribuciju. Ovaj rezultat je “asimptoti�an” jer primjenjujemo centralnu grani�nu teoremu kada 0?n . Interval povjerenja (I.P) za aritmeti�ku sredinu osnovnog skupa je jednak:

� �n

zxPI '*, , �) 2/1:za1.. (6.31)


333

6.4.1.3.2. Uzorak sa ponavljanjem i nepoznatom varijansom osnovnog skupa

Interval povjerenja ocjene aritmeti�ke sredine osnovnog skupa za uzorak sa ponavljanjem i nepoznatom varijansom osnovnog skupa je jednak:

� �1

: za 1.. 2/1;1 �) n

txPI in

'*, , (6.32)

Ako je n �30 možemo izvršiti aproksimaciju pomo�u normalne distribucije i dobiti sljede�i interval povjerenja:

� �1

: za 1.. 2/1 �) n

zxPI i'*, , (6.33)

6.4.1.3.3. Uzorak bez ponavljanja ako je n dovoljno velik (n�30) i poznata varijansa osnovnog skupa

U ovom slu�aju aritmeti�ka sredina uzorka slijedi normalnu distribuciju sa parametrima

��

��

�

1n,N~

NnNx '* (6.34)

Interval povjerenja za nivo povjerenja (1-,) je jednak:

� �1

:1.. 2/1 �) N

nNn

zxPI ', , (6.35)

6.4.1.3.4. Uzorak bez ponavljanja ako je n dovoljno velik (n�30) i varijansa osnovnog skupa nije poznata

Interval povjerenja u ovom slu�aju jednak je:

� �11

: za 1.. 2/1

�) N

nNn

zxPI i'*, , (6.36)

U narednoj šemi smo prezentirali procjenu intervala arimeti�ke sredine osnovnog skupa za razli�ite slu�ajeve koje smo prethodno analizirali.


334

Procjena intervala povjerenja aritmeti�ke sredine osnovnog

skupa

osnovni skup ima normalnu distribuciju osnovni skup s

nepoznatom distribucijom

uzorci sa ponavljanjem

poznata varijansa osnovnog skupa

nepoznata varijansa osnovnog skupa

uzorci bez ponavljanja

poznata varijansa nepoznata varijansa

ako je aproksimiramo

poznata varijansa nepoznata varijansa

Procjena intervala povjerenja aritmeti�ke sredine osnovnog skupaŠema 6.1.

*

30n �

30n �

*

12

) �x z

n,'

1;12 1

in

x tn,'

) �

12

x zn,

'

) � 1;12 1

in

x tn,'

) �

12 1

ix zn,'

) �

12 1

N nx zNn,

'

) � � 1

2 11i N nx z

Nn,'

) � �

6.4.2. Procjena intervala povjerenja za proporciju

Da bismo procijenili interval povjerenja za proporciju osnovnog skupa pored simbola ozna�enih na sljede�em grafikonu primijeni�emo sljede�e termine i simbole:

� n veli�ina uzorka � pA proporcija doga�aja A u osnovnom skupu, � nA veli�ina uzorka koji sadrži doga�aj A

� proporcija doga�aja A u uzorku:n

np AA �ˆ


335

A(NA) A(N-NA)

nA n-nA

Osnovni skup

Uzorak

1-pA

pA

Osnovni skup je podijeljen na dva dijela. Pretpostavimo da se radi o jednostavnom slu�ajnom uzorku u kojem su izvla�enja elemenata u uzorak nezavisna, a vjerovatno�a pA je uniformna i konstantna. Analizira�emo

osobine nnn A

A i . An je raspore�en prema binomnoj distribuciji

vjerovatno�e, a o�ekivana vrijednost i varijansa su date sljede�im izrazima:

� �� AAnAA

AA

pnpnpnEpnn

A�� 1 ,

,B~2'

(6.37)

Iz dvije prethodne relacije izražavamo o�ekivanu vrijednost i varijansu za (nA /n):

� �n

ppnnp

nnE AAA

AA ��

��

��

��

�� 1 , 2' (6.38)

U slu�ajevima kada je veli�ina uzorka dovoljno velika koristimo aproksimaciju ove distribucije normalnom standardizovanom distribucijom. Slu�ajna standardizovana varijabla je data sljede�im izrazom:

� � )1,0(1

ˆN

npp

pp

AA

AA M


336

)1,0(ˆ

Npp

Ap

AA M'

(6.39)

Kako je Ap nepoznato, za ocjenu standardne greške koristimo sljede�i izraz:

� �n

pp AAp A

ˆ1ˆˆ

�' (6.40)

Interval povjerenja odre�ujemo na sljede�i na�in:

,' ,, ��

��

��

� 1

ˆ2/1

ˆ2/1 zppzp

Ap

AA

…………..

� � -1ˆˆ ˆ2/1ˆ2/ ,'' ,, �� AA pAApaA zppzpp

ApAA zppPI ˆ2/1ˆ: za .. ',) (6.41)

6.4.3. Intervalna procjena standardne devijacije i varijanse osnovnog skupa

6.4.3.1. Intervalna procjena standardne devijacije

Ako je osnovni skup normalno distribuiran i veli�ina uzorka dovoljno velika distribucija standardnih devijacija uzoraka se približava normalnoj distribuciji. U tom slu�aju standardna greška procjene standardne devijacije osnovnog skupa pomo�u uzorka je jednaka:

n2ˆ

ˆ''' � (6.42)

Interval povjerenja za standardnu devijaciju je:

� � ,''''' ',', �� 1ˆˆ ˆ2/1ˆ2/1 zzp

� � � �', ''', ˆ2/1ˆ: za 1.. ) zPI (6.43)


337

6.4.3.2. Intervalna procjena varijanse osnovnog skupa pomo�u hi-kvadrat distribucije na osnovu poznate varijanse malog uzorka

Ako definišemo pokazatelj: 2

22 ˆ

''� n� (6.44)

gdje je 2' varijansa osnovnog skupa procijenjena pomo�u varijanse uzorka i 2' varijansa osnovnog skupa tada �e interval povjerenja za varijansu osnovnog skupa biti jednak:

,�''� ,, ��

��

� 1

ˆ 22/1;12

22

2/;1 nnnp

2 22

2 21;1 / 2 1, / 2

ˆ ˆ1

n n

n np, ,

' '' ,� �

� � � � ��

(6.45)

Na sljede�em grafikonu smo prikazali interval povjerenja za varijansu.

distribucija za interval povjerenja varijanse osnovnog skupa na bazi poznate varijanse malog uzorkaGrafikon 6.6.

0 2�

2�

1 a

2( )f �

2a/2� 2

1 a/2�

2/a 2/a

6.4.3.3. Interval povjerenja za varijansu velikog uzorka

Ako je je uzorak veliki (n�30) izraz 22� teži � �1;32 nN i interval povjerenja za varijansu osnovnog skupa je jednak sljede�em izrazu:


338

� � ,� �� 132232 2 znznp

� � � � ,'''

,''

��

��

�

�

��

��

��

132

ˆ2

32

ˆ2

132ˆ

232

2

22

2

2

2

2

zn

n

zn

np

znnznp

(6.46)

6.4.4. Interval povjerenja totala osnovnog skupa

Total je zbir vrijednosti numeri�kog obilježja elemenata �� xT . Total je jednak proizvodu aritmeti�ke sredine i broja elemenata. Kada se total procjenjuje pomo�u uzorka, aritmeti�ku sredinu uzorka treba pomnožiti sa brojem elemenata u osnovnom skupu N: xNT �ˆ . Standardna greška procjene totala osnovnog skupa je jednaka N puta standardna greška procjene aritmeti�ke sredine: xT N'' �ˆ .

xx

TT

zNxNTzNxNzTTzT

''''�

� ˆˆˆˆ

(6.47)

Interval povjerenja za total osnovnog skupa T uz vjerovatno�u (1-�) je jednak:

xNzxN ', �) 2/1 (6.48)

Veli�ina uzorka za procjenu totala osnovnog skupa se izra�unava po formuli:

2

%#!

$" �

dzNn '

(6.49)

6.4.5. Interval povjerenja za medijanu

Distribucija medijane uzoraka asimptotski se približava normalnoj distribuciji sa porastom veli�ine uzorka.Varijansa ocjene medijane je jednaka:


339

570726,12

222ˆ ��

��

nneM

'H''

25331.12ˆ �� xeM n

�'H'' (6.50)

Poslije odgovaraju�ih transformacija dobija se interval povjerenja za ocjenu medijane osnovnog skupa:

eM

MeeMz

zzzp

ˆ

2/12/1

ˆ1)(

'

,,,

�

�

.....

1)ˆ

( 2/1ˆ

2/1 ,' ,, � zMeeMzp

eM

,'',, ��

1)ˆˆ( ˆˆ2/1 2/1 eMeM zeMMezeMp (6.51)

Interval povjerenja za medijanu je dat sljede�im izrazom:

eMeeMe zMMezM ˆˆˆˆ '' � (6.52)

6.4.6. Ocjena intervala za parametre modela linearne regresije

Model jednostavne linearne regresije za osnovni skup je:

niebxay iii ,...,,2,1 , �� (6.53)

Vrijednosti zavisne varijable u ponovljenim realizacijama imaju razli�ite vrijednosti za fiksne vrijednosti nezavisne varijable zbog prisustva slu�ajnih varijabli. Zbog toga se mogu tretirati kao uzorak vrijednosti iz osnovnog skupa. Za ocjenu parametara polazni oblik modela je:

ˆî i iy a bx e� � � (6.54)

Da bi se dobila intervalna procjena parametara potrebno je poznavati distribuciju ocjena uzoraka. Ako se pretpostavi da su slu�ajne veli�ine normalno distribuirane sa aritmeti�kom sredinom jednakom nula za svako i,


340

sa konstantnom varijansom i da nisu korelirane me�usobno, distribucija uzoraka ocjena ima oblik Studentove distribucije sa (n-2) stepeni slobode. Standardna greška ocjene parametra b je data sljede�im izrazom:

,ˆ

2ˆ

��

n

ii

b

x

'' (6.55)

2

)ˆ(ˆ

2

�

�n

yyn

iii

'

Odgovaraju�i interval povjerenja je

,'' �� 1)ˆˆ( ˆ2/1;1ˆ2/1;1 bnbn tbbtbp (6.56)

ili jednostavnije

bbtbbtb ˆˆ

ˆˆ '' � (6.57)

6.4.7. Intervalna procjena koeficijenta korelacije

Iz osnovnog skupa se može odabrati u uzorak n parova vrijednosti dvije varijable (X,Y) i izra�unati koeficijent korelacije uzorka pomo�u kojeg procjenjujemo koeficijent korelacije osnovnog skupa.

Ako je koeficijent korelacije osnovnog skupa jednak nuli (r = 0) distribucija koeficijenata korelacije uzoraka �e imati oblik normalne distribucije sa o�ekivanom vrijednosti koeficijenta korelacije i standardnom greškom koeficijenta korelacije koja je data sljede�im izrazima za veliki i mali uzorak respektivno:

11

�nr' (6.58)

21 2

�

nr

r' (6.59)


341

Distribucija koeficijenata korelacije uzoraka je više asimetri�na što se koeficijent korelacije osnovnog skupa više udaljava od nule i približava jedinici. Navedene formule se koriste za testiranje hipoteze da je koeficijent linearne korelacije jednak nuli r = 0.

Za procjenu intervala povjerenja se primjenjuje postupak koji je predložio R.A.Fisher. Koeficijent korelacije se transformiše tako da se dobije koeficijent �ija distribucija koeficijenata korelacije uzoraka ima oblik normalne distribucije. Tako transformisan koeficijent �emo ozna�iti sa Z. Funkcija Z od r je data sljede�im izrazom:

rrZ

��

11ln

21

O�ekivana vrijednost i varijansa od Z su:

JJ

��

11ln

21)(ZE (6.60)

312

�

nZ' (6.61)

Za ocjenu koeficijenta korelacije osnovnog skupa se koristi koeficijent korelacije uzorka dat sljede�im izrazom:

��

�

��

�

��

n

ii

n

ii

n

iii

YX

YX

yyn

xxn

yyxxnCov

r

1

2

1

2

1,

)(1)(1

))((1

'' (6.62)

Ocjena se vrši na sljede�i na�in: � izra�una se koeficijent korelacije r iz podataka o uzorku � iz odgovaraju�e tablice (tablica u prilogu) se prona�e vrijednost Z

koja odgovara koeficijentu korelacije i to je vrijednost Z uzorka (Zu) � izra�una se standardna greška procjene Z � izra�unava se interval povjerenja uz odgovaraju�i nivo pouzdanosti:

,'' ,, � 1)( 2/12/1 zuzu zZZzZp (6.63)


342

� u tablici se prona�e vrijednost r koja odgovara za broj dobiven za granice intervala i to su granice intervala povjerenja koeficijenta korelacije osnovnog skupa uz odre�eni nivo pouzdanosti.

Pored navedenih, mogu se procijenjivati intervali povjerenja za kvartile osnovnog skupa, mjere asimetrije osnovnog skupa, mjere zaobljenosti osnovnog skupa, itd.

6.5. TESTIRANJE HIPOTEZA

Informacije iz uzorka koristimo da bismo ispitali pretpostavke o obilježjima i parametrima osnovnog skupa. Pretpostavimo na osnovu prethodnih istraživanja i saznanja da neko obilježje osnovnog skupa ima odre�enu vrijednost. Na osnovu uzorka odabranog iz tog skupa izra�unamo to obilježje. Izra�unato obilježje poredimo sa pretpostavljenom vrijednoš�u i donosimo odluku o odbacivanju ili prihvatanju hipoteti�ke vrijednosti uz odgovaraju�u grešku procjene.

Statisti�ka hipoteza je precizno formulisana tvrdnja ili pretpostavka o obilježjima osnovnog skupa. Nau�ni metod kojim provjeravamo prihvatljivost prethodno definisane tvrdnje ili pretpostavke se naziva testiranje statisti�ke hipoteze.

U postupku testiranja hipoteza mogu se definisati sljede�e etape: 1. Formulisanje nulte i alternativne hipoteze 2. Izbor kriterija za testiranje i distribucije vjerovatno�e 3. Izbor nivoa zna�ajnosti testa 4. Formulisanje pravila za odbacivanje ili prihvatanje nulte hipoteze 5. Izbor uzorka, izra�unavanje vrijednosti procjenitelja i koeficijenta

testa 6. Donošenje odluke o odbacivanju ili prihvatanju nulte hipoteze

6.5.1. Formulisanje hipoteza

Nulta i alternativna hipoteza su dvije me�usobno isklju�ive tvrdnje o obilježjima osnovnog skupa koje su izražene vrijednostima parametara osnovnog skupa.


343

Nulta hipoteza je tvrdnja o vrijednosti parametra osnovnog skupa koja se testiranjem nastoji osporiti. Ovom hipotezom se tvrdi da je parametar osnovnog skupa jednak nekoj pretpostavljenoj vrijednosti.

Svakoj nultoj hipotezi se pridružuje alternativna ili istraživa�ka hipoteza. Pretpostavka, koja se smatra ta�nom i koju tokom testiranja treba potvrditi, se izražava alternativnom hipotezom.

Testira se samo nulta hipoteza polaze�i od pretpostavke da je istinita i nastoji se odbaciti.

Pretpostavimo da je hipoteti�ka vrijednost neke karakteristike osnovnog skupa 0OO � . Za testiranje hipoteza mogu se koristiti dvosmjerni i jednosmjerni testovi. �eš�e se koriste dvosmjerni testovi kojima se želi utvrditi da li postoji statisti�ki zna�ajna razlika izme�u pretpostavljene i stvarne karakteristike osnovnog skupa bez obzira na smjer razlike. Oblast odbacivanja nulte hipoteze se nalazi simetri�no na oba kraja distribucije. Kod jednosmjernih testova oblast odbacivanja se nalazi na jednom kraju distribucije. Analizira�emo definisanje i postavku nulte hipoteze za slu�ajeve dvosmjernog i jednosmjernog testa na donju i gornju granicu.

� Dvosmjerni test

Hipoteza koju treba testirati je nulta hipoteza da je parametar osnovnog skupa jednak pretpostavljenoj vrijednosti:

00 : OO �H (6.64)

Alternativna hipoteza je da je parametar osnovnog skupa razli�it od pretpostavljene vrijednosti:

01 : OO �H (6.65)

� Jednosmjerni test na gornju granicu

Za jednosmjerni test na gornju granicu nulta i alternativna hipoteza su formulisane na sljede�i na�in:

0100 :: OOOO �� HH (6.66)


344

� Jednosmjerni test na donju granicu

U ovom slu�aju nulta i alternativna hipoteza su definisane sljede�im izrazima:

0100 :: OOOO ��A HH (6.67)

6.5.1.1. Donošenje odluke i greške tipa I i II

Prilikom donošenja odluke o odbacivanju ili prihvatanju nulte hipoteze mogu da nastanu greške tipa I i II. Razli�ite odluke i tipovi grešaka su predstavljeni u sljede�oj tabeli:

Tabela 6.1. Tipovi grešaka

Odluke Nulta hipoteza je prihva�ena

Nulta hipoteza je odba�ena

Nulta hipoteza je istinita

Odluka je ispravna (1- �)

Napravljena je greška tipa I �

Nulta hipoteza nije istinita

Napravljena je greška tipa II

Odluka je ispravna (1- )

Na grafikonu 6.6. smo predstavili slu�aj odre�ivanja intervala povjerenja, testiranje hipoteza i greške prve i druge vrste.

/ 2a / 2a6


345

Vjerovatno�a greške prve vrste (ili tipa I) se ozna�ava sa , , a vjerovatno�a greške druge vrste (ili greška tipa II) sa 6 . Uobi�ajeno je da se odabire kontrola greške prve vrste , i da se definiše pravilo odbacivanja hipoteze koje �e rezultirati da greška druge vrste 6 bude što je mogu�e manja. Vrijednost greške 6 je odre�ena sljede�im faktorima: stvarnom vrijednoš�u testiranog parametra, nivoom zna�ajnosti testa ,, veli�inom uzorka i oblikom testa. �esto se koristi i izraz ja�ina testa (1- 6) koji izražava vjerovatno�u odbacivanja neta�ne nulte hipoteze. Ovaj izraz predstavlja komplementarnu vrijednost greške 6. Zbir ove dvije komplementarne vjerovatno�e je jednak jedinici:

p(Ho odbaci/Ho neta�na)+ p(Ho prihvati/Ho neta�na)=1 (6.68)

6.5.1.2. Empirijski nivo zna�ajnosti p-vrijednost

U statisti�kim programima se sve više umjesto teorijskog nivoa zna�ajnosti, koji je sastavni dio svakog testa, izra�unava p-vrijednost. Ova vrijednost predstavlja empirijski nivo zna�ajnosti koji se izra�unava na osnovu podataka iz uzorka pomo�u empirijskih z ili t vrijednosti. p-vrijednost predstavlja najmanji nivo zna�ajnosti uz koji se nulta hipoteza može odbaciti na osnovu podataka iz uzorka. Ova vrijednost se naziva i realizovani nivo zna�ajnosti. Postupak donošenja odluke na osnovu p-vrijednosti se zasniva na pore�enju ove vrijednosti sa teorijskim nivoom zna�ajnosti. Ako je p-vrijednost manja od �, odbacuje se nulta hipoteza. Ako je p-vrijednost ve�a od �, prihvata se nulta hipoteza. Manja p-vrijednost zna�i manju empirijski utvr�enu vjerovatno�u odbacivanja istinite nulte hipoteze.

U postupku testiranja hipoteza o aritmeti�koj sredini baza za izra�unavanje p-vrijednosti je empirijska z ili t vrijednost u zavisnosti od toga da li se radi o velikom ili malom uzorku. Ukoliko je nulta hipoteza istinita Z varijabla se ponaša po standardizovanoj normalnoj distribuciji i u tom slu�aju p-vrijednost predstavlja vjerovatno�u da varijabla Z uzme vrijednost ve�u od vrijednosti izra�unate na osnovu datog uzorka. Postupak izra�unavanja empirijskog nivoa zna�ajnosti je sljede�i:

Za 0100 :: OOOO �� HH p-vrijednost = 2 ( )p Z z�

Za 0100 :: OOOO �� HH p-vrijednost= p(Z>z)

Za 0100 :: OOOO ��A HH p-vrijednost= ( )p Z z�


346

6.5.2. Testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa

Ako pretpostavimo da je aritmeti�ka sredina osnovnog skupa jednaka nekoj vrijednosti 0* tada hipotezu možemo formulisati u obliku dvosmjernog testa na sljede�i na�in:

0100 :: **** �P� HH (6.69)

Ako � �2,~ '*NX ili ako X ima bilo koju distribuciju ukoliko je n � 30

vrijedi sljede�a relacija: Z= )1,0(~/

Nn

x'

* i za analizu koristimo z test.

Analizira�emo nekoliko karakteristi�nih slu�ajeva u zavisnosti od toga da li su poznate varijansa i oblik distribucije i da li je uzorak veliki ili mali.

6.5.2.1. Varijansa osnovnog skupa poznata

U slu�aju kada je varijansa osnovnog skupa poznata analizira�emo dvosmjerni test i jednostrane testove na gornju i donju granicu.

6.5.2.1.1. Dvosmjerni test za aritmeti�ku sredinu

Ako pretpostavimo da je nulta hipoteza 00 : ** �H istinita tada

(0,1)./

xZ Nn*

'� �

Vrijednost izra�unatog z poredimo sa teorijskim z iz tablica i uz odgovaraju�i nivo pouzdanosti donosimo odluku o odbacivanju ili prihvatanju nulte hipoteze.

U praksi se naj�eš�e koristi greška, odnosno rizik ocjene koji ozna�avamo sa � od 5% ili 1%. U tim slu�ajevima nivo pouzdanosti ( ,1 ) je 95% i 99% respektivno, a odgovaraju�a teorijska vrijednost koeficijenta pouzdanosti 2/1 ,z je jednaka 1,96 i 2,58 respektivno. Za sve ostale nivoe greške koeficijenti 2/1 ,z su tabelirani i nalaze se u tablici standardizovane normalne distribucije. Na sljede�em grafikonu je data ilustracija dvosmjernog testa za aritmeti�ku sredinu.


347

-3 301 / 2az 1 / 2az

( )f z

z/ 2a / 2a

1 a

Ako je nulta hipoteza istinita za:

1/ 2/1

02/1 ,

'*

,, �%#!

$" z

nxzp

; 1);(/ 2/12/1

0 ,'

*,, �%#

!$" +

zzn

xp

( 2/1izra�2/12/1izra� ; ,,, �+ zzzzz (6.70)

prihvatamo je. Dakle, nultu hipotezu prihvatamo ako aritmeti�ka sredina pripada sljede�em intervalu:

%#!

$" �)+ n

zx '* , 2/10 (6.71)

Nultu hipotezu H0 odbacujemo ako je ispunjen jedan od sljede�ih uslova:

� � (

2/1;2/1izra�

2/1;2/10

,,

,, ,'

*

G

�%#!

$" G

zzz

zzn

xp

(6.72)

%#!

$" ��G n

zn

zx '*'* ,, 2/102/10 ;


348

%#!

$" �)G n

zx '* , 2/10 (6.73)

Ostale ekvivalentne forme pomo�u kojih izražavamo odluku o odbacivanju nulte hipoteze su:

2/12/10 ili

/ ,,'

* ��

zzz

nx

(6.74)

nzx '* , �� 2/10 (6.75)

Oblast prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze su prikazane na grafikonu 6.9.

0 1 / 2 ( / )az n* ' � 0 1 / 2 ( / )az n* '� �

( )f x

x0*

6.5.2.1.2. Jednosmjerni test aritmeti�ke sredine na gornju granicu u slu�aju poznate varijanse osnovnog skupa

Jednosmjerni test aritmeti�ke sredine na gornju granicu se definiše sljede�im izrazom:

0100 :: **** �� HH (6.76)


349

Ne odbacujemo, odnosno prihvatamo nultu hipotezu ako je ispunjen sljede�i uslov:

,'*

10

/z

nx

, 1zzizra� (6.77)

Odbacujemo nultu hipotezu ako je:

,'*

�

10

/z

nx

,� 1zzizra� (6.78)

Oblast prihvatanja i oblast odbacivanja nulte hipoteze su prikazane na grafikonu 6.10.

1 aZ

( )f z

z0

1 a

a

6.5.2.1.3. Jednosmjerni test za aritmeti�ku sredinu na donju granicu ako je poznata varijansa

0100 :: **** ��A HH (6.79)

Nulta hipoteza se ne odbacuje ako je:


350

'*

A 0

/

nx

ili jednostavnije

Azizra� (6.80)


,'*

�1

0

/ z

nx

,� 1zzizra� (6.81)

Na grafikonu 6.11. su predstavljene oblast prihvatanja i oblast odbacivanja nulte hipoteze.

( )f t

1 a

1-z az

a

0

6.5.2.2. Testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa u slu�aju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata i n �30 – dvosmjerni test

Za bilo koji osnovni skup �iji uzorak ima veli�inu n �30 prihvatamo nultu hipotezu ako je:

, 1z

, 1z


351

01 / 2 1 / 2ili

/ 1i

x z z zn , ,*

'

(6.82)

U izrazu (6.80) i' je standardna devijacija uzorka.

Nulta hipoteza se odbacuje ukoliko je zadovoljen sljede�i uslov:

01 / 2 1 / 2ili

/ 1i

x z z zn , ,*

'

� �

(6.83)

gdje je i' standardna devijacija uzorka.

6.5.2.3. Testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa u slu�aju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata i n<30

Za testiranje u ovom slu�aju se koristi Studentov t test.

6.5.2.3.1. Dvosmjerni test aritmeti�ke sredine

Hipoteze su definisane sljede�im izrazom:

0100 :: **** �� HH

Za osnovni skup koji ima normalnu distribuciju, nepoznatu varijansu i veli�inu uzorka manju od 30 (n < 30) ne odbacujemo nultu hipotezu ako je:

2/1;12/1;10 ili

1/ ,,'*

nn

i

tttn

x (6.84)

Za osnovni skup koji ima normalnu distribuciju odbacujemo nultu hipotezu ako je:

2/12/10 ili

1/ ,,'*

��

tttn

x

i

(6.85)

Oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze su predstavljene na grafikonu 6.12.


352

1 / 2, n-1at 1 / 2, n-1at

( )f t

t0

6.5.2.3.2. Jednosmjerni test aritmeti�ke sredine na gornju granicu

Hipoteze su definisane izrazom:

0100 :: **** �� HH (6.86)

Nulta hipoteza se ne odbacuje ako je ispunjen sljede�i uslov:

01;1/ 1 n

i

x tn ,*

'

, 1;1nizra� tt (6.87)

Nulta hipoteza se odbacuje ako je:

01;1/ 1 n

i

x tn ,*

'

�

,� 1;1nizra� tt (6.88)

Na grafikonu 6.13. su date oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze ovog jednosmjernog testa.


353

1;1n at

( )f t

ta

0

6.5.2.3.3. Jednosmjerni test aritmeti�ke sredine na donju granicu

0100 :: **** ��A HH (6.89)

Nulta hipoteza se ne odbacuje ako je

01;1/ 1 n

i

x tn ,*

'

A �

,A 1;1nt izra� t (6.90)


01;1 / 1 n

i

x tn ,*

'

� �

1;1 ,� nt izra� t (6.91)

Oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze jednosmjernog testa na donju granicu su predstavljene na sljede�em grafikonu.


354

1;1n at

( )f t

ta

0

U šemi 6.2. dajemo pregled razli�itih slu�ajeva testiranja hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa i kriterije za odbacivanje nulte hipoteze.

Testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa i kriteriji za odbacivanje nulte

hipoteze

osnovni skup ima normalnu distribuciju ili

bilo koju distribuciju ukoliko je

osnovni skup ima normalnu distribuciju i

poznata varijansa osnovnog skupa



0 0:H * *�

0 0:H * *

0 0:H * *A

1 0:H * *�

1 0:H * *�

1 0:H * *�

Testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini μ osnovnog skupai kriteriji za odbacivanje nulte hipotezeŠema 6.2.

30n � 30n �

*

0 0.

1

izrix

x xZ

n

* *''

� �

0.izr

x

x xZ

n

* *''

� � 0 0.

1

izrix

x xt

n

* *''

� �

. 12

izrz z ,� . 1

2izrz z ,

�

. 1izrz z ,� . 1izrz z ,�

. 1izrz z ,� . 1izrz z ,�

. 1; 12

izr nt t ,

�

. 1; 1izr nt t , �

. 1; 1izr nt t , �


355

6.5.3. Test hipoteze za proporciju

Da bismo analizirali test hipoteze za proporciju podsjeti�emo se simbola i oznaka koje smo koristili za ocjenu intervala povjerenja, a koje su predstavljene na sljede�em grafikonu.

A(NA) A(N-NA)

nA n-nA

Osnovni skup

Uzorak

1-pA

pA

6.5.3.1. Dvosmjerni test hipoteze za proporciju

Dvosmjerni test za proporciju se definiše sljede�im izrazom:

0100 :: ppHppH AA �P� (6.92)

Pokazali smo da ako je veli�ina uzorka n velika (n�30) slijedi:

� � � �1,0~1

ˆN

npp

pp

AA

AA

(6.93)

Zamjenjuju�i uslove hipoteze ako je istinita dobijamo:

� � � �1,0~1

ˆ

00

0 N

npp

ppA

(6.94)

Ako uvedemo smjenu:


356

00002 1, pq

nqp

p ��'

tada možemo izraziti z kao:

p

A ppz'

0ˆ � (6.95)

Ne odbacujemo nultu hipotezu ako je ispunjen sljede�i uslov:

2/10

2/1

ˆ,, '

zppz

p

A

2/12/1 ,, zzz (6.96)

6.5.3.2. Jednosmjerni test za proporciju na gornju granicu

0100 :: ppHppH AA �P (6.97)

Prihvatamo nultu hipotezu ako je

,'

� 10ˆ

zppzp

Aizra� (6.98)

a odbacujemo ako ovaj uslov nije zadovoljen, odnosno ukoliko je ,� 1zzizra� .

6.5.3.3. Jednosmjerni test za proporciju na donju granicu

0100 :: ppHppH AA �PA (6.99)

Prihvatamo nultu hipotezu ako je

,' A

� 10ˆ

zppzp

Aizra� (6.100)

a odbacujemo ukoliko je ,� 1zzizra� .


357

6.5.4. Testiranje hipoteze o varijansi osnovnog skupa

6.5.4.1. Dvosmjerni test

Dvosmjerni test hipoteze o varijansi osnovnog skupa formulišemo sljede�om relacijom:

20

21

20

20 :: '''' �P� HH (6.101)

Za testiranje se koristi hi-kvadrat test 20

22 ˆ

''� n�

Prihvatamo nultu hipotezu ako je: 2

2/1;122

2/;1 ,, �� nn (6.102)

Ne prihvatamo nultu hipotezu ako je:

(22/1;1

22/;1

2 ; ,, �� G nn (6.103)

Ilustracija oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze o varijansi osnovnog skupa je prezentirana na sljede�em grafikonu.

1 a

2( )f �

/ 2a/ 2a

2-1, / 2n a� 2

-1,1- / 2n a� 2�


358

6.5.4.2. Test hipoteze za varijansu na gornju granicu

Test na gornju granicu je formulisan sljede�im izrazom: 20

21

20

20 :: '''' �P HH (6.104)

Prihvatamo nultu hipotezu ako je:

2;1;12

0

22 ˆ

,�''� � n

n (6.105)

Ukoliko gornji uslov nije zadovoljen, odbacujemo nultu hipotezu.

6.5.4.3. Test hipoteze za varijansu na donju granicu

Test na donju granicu je formulisan sljede�im izrazom: 2 2 2 2

0 0 1 0: :H H' ' ' 'A P � (6.106)


2;;12

0

22 ˆ

,�''� A� n

n (6.107)

U suprotnom slu�aju nultu hipotezu odbacujemo.

6.5.5. Testiranje hipoteze o zna�ajnosti parametara u regresionom modelu

Ako se po�e od pretpostavke da, za date vrijednosti nezavisnih varijabli, vrijednosti zavisne varijable predstavljaju uzorak, ocjene parametara mogu poslužiti za testiranje hipoteze o zna�ajnosti parametara u modelu regresije. Postoji više testova o parametrima u regresionom modelu. Testovi mogu biti pojedina�ni i skupni. Test je pojedina�an ako se testira zna�ajnost jednog parametra u regresionom modelu. Skupnim testom se ispituje zna�ajnost svih varijabli u modelu.


359

6.5.5.1. Pojedina�ni test zna�ajnosti parametra regresionog modela

Za primjenu pojedina�nog testa o zna�ajnosti parametra odabrane varijable Xj hipoteze za dvosmjerni test se definišu na sljede�i na�in:

0:0:

1

0

�

�

j

j

bHbH

(6.108)

Testiranje se vrši pomo�u t-distribucije. Podru�je prihvatanja nulte hipoteze je:

ˆ/ 20j

j bb t, ' !+ ) �$ %" # (6.109)

gdje 2/,t predstavlja vrijednost t distribucije koji zavisi o odabranom nivou pouzdanosti i broju stepeni slobode (n-K-1). K je broj parametara koje treba ocijeniti, a

jb' je standardna greška parametra:

� �1

ˆ2 2

1

ˆˆ ˆ,

2j

n

i ii

b n

ii

y y

nx nx

'' ' �

�

� �

�

� (6.110)

' predstavlja ocjenu standardne devijacije regresije. Ako se vrijednost regresijskog parametra jb na�e u navedenom intervalu prihvata se nulta hipoteza kao istinita. U suprotnom slu�aju nulta hipoteza se odbacuje.

Test se može realizovati i upore�ivanjem empirijskog t-odnosa i teorijske vrijednosti za t. Empirijski t-odnos je dat sljede�om relacijom:

jb

jbt

ˆ

ˆ

'� (6.111)

Nulta hipoteza se prihva�a ako je empirijski t-odnos manji po apsolutnoj vrijednosti od teorijske vrijednosti t-distribucije. U suprotnom slu�aju hipoteza se odbacuje.


360

6.5.5.2. Testiranje zna�ajnosti svih varijabli u modelu

Model višestruke linearne regresije �iji je funkcionalni dio modela definisan linearnom funkcijom smo definisali u sljede�em obliku:

1 1 2 2 ... K KY a b X b X b X e� � � � � � (6.112)

Za istovremeno testiranje zna�ajnosti svih parametara hipoteze definišemo na sljede�i na�in:

.,...,2,1,0:0...:

1

210

KjbHbbbH

j

K

��

(6.113)

Ako su ispunjene odre�ene pretpostavke o osobinama varijabli, u modelu za testiranje se primjenjuje empirijski F odnos izme�u objašnjene i neobjašnjene varijanse i njima odgovaraju�ih stepeni slobode:

� �

� � %#!

$"

��

KKn

yy

yyF

i

n

ii 1

ˆ

ˆ

21

2

(6.114)

Odluka se donosi upore�ivanjem empirijskog (izra�unatog) F-odnosa i teorijske F-distribucije. Ako je empirijski F-odnos manji od teorijskog nulta hipoteza se ne odbacuje. Dakle, ukoliko je e tF F nulta hipoteza 0H se prihvata. Ukoliko je te FF � nulta hipoteza se odbacuje.

Teorijska F-distribucija je odre�ena nivoom zna�ajnosti i brojem stepeni slobode brojnika i nazivnika. Broj stepeni slobode je (K, n-K-1).

6.5.5.3. Testiranje hipoteze o razlici (jednakosti) aritmeti�kihsredina dva osnovna skupa

Potrebno je testirati hipotezu o razlici aritmeti�kih sredina dva osnovna skupa ukoliko su poznati sljede�i podaci. Za osnovni skup 1:

� Aritmeti�ka sredina 1*

� Varijansa 2 1'

� Veliki uzorak od n1 elemenata sa aritmeti�kom sredinom uzorka 1x i varijansom uzorka 2

1' .


361

Za osnovni skup 2: � Aritmeti�ka sredina 2*

� Varijansa 22'

� Veliki uzorak od 2n elemenata sa aritmeti�kom sredinom uzorka

2x i varijansom uzorka 22' .

Da bi se izvršilo testiranje potrebno je izra�unati razlike izme�u aritmeti�kih sredina uzoraka izabranih iz prvog i drugog osnovnog skupa. Distribucija tih razlika �e imati približno oblik normalne distribucije sa aritmeti�kom sredinom jednakoj razlici aritmeti�ke sredine prvog i drugog osnovnog skupa ( 21 ** ) i sa standardnom greškom:

2

22

1

21

21 nnxx''' �� (6.115)

Ova saznanja možemo primijeniti na testiranje nulte hipoteze da je aritmeti�ka sredina jednog osnovnog skupa jednaka aritmeti�koj sredini drugog osnovnog skupa odnosno da je razlika izme�u njih jednaka nuli:

211210

211210

:0:::

********��

��HH

HH (6.116)

Pošto odstupanje izme�u aritmeti�kih sredina može biti i posljedica razli�tih varijansi osnovnih skupova u testu se pretpostavlja da su varijanse osnovnih skupova me�usobno jednake:

222

21 ''' �� (6.117)

Uz ovu pretpostavku, standardna greška razlike aritmeti�kih sredina se može izraziti sljede�om relacijom:

1 21 2

1 1x x n n

' ' � � (6.118)

Ukoliko je varijansa osnovnog skupa poznata, interval prihvatanja nulte hipoteze je:

210 xxz �) ' (6.119)


362

odnosno, z izra�unato je jednako:

22

21

11nn

xxzizra�

�

�'

(6.120)

Uslovi za prihvatanje i odbacivanje nulte hipoteze su sljede�i:

10; HzzHzz tizra�tizra� �G�+

Kada standardna devijacija osnovnog skupa nije poznata, procjenjujemo je na osnovu podataka iz oba uzorka 2

221 ˆˆ '' � :

2 21 1 2 2

1 2

ˆ ˆˆ2

n nn n' '' ��

(6.121)

Ako u izraz (6.115) uvrstimo za standardnu devijaciju osnovnog skupa procjenu (6.118) dobivamo standardnu grešku:

1 2

2 21 1 2 2 2 2

1 2 1 2

ˆ ˆˆ2x x

n n n nn n n n' ''

� �� (6.122)

Za veliki uzorak može se koristiti jednostavniji izraz:

2

22

1

21 ˆˆˆ

21 nnxx''' �� (6.123)

Interval prihvatanja nulte hipoteze za veliki uzorak je jednak:

21ˆ0 xxz ) ' (6.124)

Interval prihvatanja nulte hipoteze za mali uzorak je jednak:

21ˆ0 xxt ) ' (6.125)

Ako se razlika aritmeti�kih sredina dva uzorka nalazi izvan podru�ja prihvatanja nulte hipoteze to zna�i da su aritmeti�ke sredine dva osnovna skupa razli�ite.


363

Nulta hipoteza se prihvata ako se razlika sredina dva uzorka nalazi u podru�ju prihvatanja nulte hipoteze.

6.5.5.4. Testiranje hipoteze o jednakosti aritmeti�kih sredina više osnovnih skupova – Analiza varijanse

Hipoteza da su aritmeti�ke sredine više osnovnih skupova me�usobno jednake testira se metodom poznatom pod nazivom analiza varijanse.

Tabela 6.2. Podaci za analizu varijanse

Element Uzorak Total 1 2 j k

1 11x 12x 1 jx lkx 1 jx�

2 21x 22x jx2 kx2 � jx2

. . . . . . i xi1 xi2 xij xik � ijx . . . . . . n xn1 xn2 xnj xnk � njx Sredine

1�x 2�x jx� kx� ��x

Zna�enja simbola u datoj tabeli su sljede�a: xij je vrijednost obilježja svakog elementa izabranog u uzorak, i ozna�ava kojem elementu u uzorku pripada vrijednost, j ozna�ava uzorak kome pripada element.

Ukupan zbir kvadrata odstupanja je:

� � � � � ��

��k

j

n

ijij

k

jj

k

j

n

iij xxxxnxx

1 1

2.

2

1.

2

1 1 (6.126)

Ukupan zbir kvadrata odstupanja je jednak zbiru kvadrata odstupanja izme�u uzoraka i zbiru kvadrata odstupanja u uzorku. Analizu varijanse predstavljamo u tabeli 6.3.


364

Tabela 6.3. Analiza varijanse

Izvor varijacija Broj stepeni slobode Uzorci

razli�ite veli�ine

Uzorci jednake veli�ine

Zbir

kvadrata

Varijansa

Izme�u uzoraka k-1 k-1 � �2

1.�

�

k

jj xxn 2

2'

Unutar uzorka (rezidual) n-k k(n-1) � ��

� �

k

j

n

ijij xx

1 1

2.

21'

Ukupno n-1 kn-1 � �2

1 1��

k

j

n

iij xx

Pretpostavljamo da su aritmeti�ke sredine osnovnih skupova me�usobno jednake:

***** �� kH ....: 3210 (6.127)

Pretpostavlja se da su i varijanse jednake:

'''' �� 222

21 .... k (6.128)

Suština primjene metode analize varijanse u testiranju hipoteze je �injenica da se pomo�u zbira kvadrata odstupanja na desnoj strani jedna�ine analize varijanse može procijeniti varijansa osnovnog skupa. Kada svaki zbir kvadrata odstupanja podijelimo sa odgovarju�im brojem stepeni slobode dobijamo procjenu varijanse osnovnog skupa.

Odluku o tome da li je razlika izme�u dvije procjene varijanse slu�ajna ili zna�ajna donosimo na osnovu odnosa te dvije procjene primjenom F testa

21

22

ˆˆ''

�F (6.129)

Odnos F se izra�unava tako da se za brojnik uzima ve�a procjena varijanse. Ako je F izra�unato manje od F tabelarnog za odgovaraju�i broj stepeni slobode i nivo pouzdanosti, to zna�i da su razlike izme�u ove dvije procjene slu�ajne i da se nulta hipoteza može prihvatiti.


365

6.5.5.5. Testiranje hipoteze o jednakosti koeficijenta korelacije dva osnovna skupa

Hipoteze formulišemo sljede�im izrazom:

0:0:

211

210

��

rrHrrH

(6.130)

Iz svakog osnovnog skupa izabiremo po jedan uzorak i za svaki izra�unavamo koeficijent korelacije 21 ˆˆ rir . Oba koeficijenta

transformišemo u Fisherove koeficijente 21ˆ,ˆ ZZ .

Standardna greška razlike izme�u dva Fisherova koeficijenta iznosi:

31

31

21ˆˆ

21 �

� nnZZ' (6.131)

Oblast prihvatanja nulte hipoteze je:

11ˆˆ2/10 ZZz ) ', (6.132)

Pored analiziranih, mogu se realizirati i testiranja hipoteza za sljede�e parametre:

� Testiranje hipoteze o jednakosti proporcija dva ili više osnovnih skupova

� Testiranje hipoteze da distribucija osnovnog skupa ima odre�eni oblik

� Testiranje hipoteze o nezavisnosti dva obilježja elemenata osnovnog skupa

� Testiranje hipoteze da je koeficijent korelacije osnovnog skupa jednak nuli

� Testiranje hipoteze da je koeficijent detrminacije osnovnog skupa jednak nuli, itd.


366

6.6. NEPARAMETARSKI TESTOVI

Parametarski statisti�ki testovi koje smo analizirali su bazirani na odre�enim pretpostavkama vezanim za parametre ili distribucije osnovnog skupa iz kojih je posmatrani uzorak odabran.

Neparametarski statisti�ki testovi su bazirani na modelima koji ne uklju�uju nikakve preduslove u vezi parametara osnovnog skupa iz kojeg je uzorak odabran.

Neparametarski testovi ne zahtijevaju precizna mjerenja kao parametarski testovi i zbog toga se oni mogu primijeniti na podatke date u ordinalnoj skali, a neki i na podatke iz nominale skale.

Najpoznatiji neparametarski testovi su: � Binomni test � Hi-kvadrat test � Test podobnosti modela � Kolmogorov – Smirnov test.

Neparametarski testovi �e biti istraživani i analizirani u budu�im izdanjima ove knjige.


1. Objasnite i analizirajte osnovne pojmove teorije uzoraka. 2. Koji su osnovni razlozi za primjenu teorije i metoda uzoraka u

statistici? 3. Koji je osnovni cilj metode uzoraka? 4. Koje vrste uzoraka poznajete? 5. Definišite i analizirajte prosti slu�ajni uzorak. 6. Koje vrste slu�ajnih uzoraka poznajete? 7. Koje su prednosti slu�ajnog uzorka u odnosu na ostale vrste uzoraka? 8. Koje tipove namjernog uzorka poznajete? 9. Za koje parametre poznajete postupak analize intervalnih procjena? 10. Koje slu�ajeve intervalne procjene aritmeti�ke poznajete?


367

11. Analizirajte intervalnu procjenu aritmeti�ke sredine u slu�aju kada je varijansa osnovnog skupa poznata.

12. Analizirajte intervalnu procjenu aritmeti�ke sredine u slu�aju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata.

13. Analizirajte interval povjerenja za aritmeti�ku sredinu osnovnog skupa �ija distribucija nije poznata.

14. Analizirajte intervalnu procjenu standardne devijacije i varijanse osnovnog skupa.

15. Analizirajte procjenu intervala povjerenja za proporciju. 16. Analizirajte metodološki pristup testiranju hipoteza. 17. Definišite greške tipa I i II koje mogu nastati prilikom donošenja

odluke o prihvatanju ili odbacivanju nulte hipoteze. 18. Nabrojite razli�ite slu�ajeve testiranja hipoteze o aritmeti�koj sredini

osnovnog skupa i analizirajte detaljno, po vašem izboru, jedan od nabrojanih slu�ajeva.

19. Analizirajte testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa kada je varijansa poznata (dvosmjerni test).

20. Analizirajte testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa kada varijansa nije poznata (dvosmjerni test).

21. Analizirajte testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa kada je varijansa poznata (jednosmjerni test na gornju granicu).

22. Analizirajte testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa kada varijansa nije poznata (jednosmjerni test na donju granicu).

23. Analizirajte testiranje hipoteze za proporciju (dvosmjerni i jednosmjerni testovi).

24. Analizirajte postupak testiranja hipoteze o zna�ajnosti parametara u regresionom modelu.

25. Objasnite i analizirajte testiranje hipoteze o aritmeti�koj sredini osnovnog skupa kada varijansa osnovnog skupa nije poznata (dvosmjerni test). Postavite hipotezu, objasnite postupak njene primjene i kriterij za prihvatanje ili odbacivanje nulte hipoteze. Predstavite oblast prihvatanja hipoteze koju ste testirali na grafikonu.

26. Objasnite, po vašem izboru, jedan slu�aj testiranja hipoteze koji se odnosi na aritmeti�ku sredinu. Postavite hipotezu, objasnite postupak njene primjene i kriterij za prihvatanje ili odbacivanje nulte hipoteze. Predstavite oblast prihvatanja hipoteze koju ste testirali na grafikonu.


368

27. Objasnite i analizirajte dvosmjerni test hipoteze za proporciju. Postavite hipotezu, objasnite postupak njene primjene i kriterij za prihvatanje ili odbacivanje nulte hipoteze.

28. Koja je razlika izme�u intervalnih procjena parametara i testiranja hipoteza?


Zadatak 1.

Iz osnovnog skupa �ija je aritmeti�ka sredina nepoznata i standardna devijacija jednaka 4 odabran je slu�ajni uzorak veli�ine n = 64 i izra�unata njegova aritmeti�ka sredina .48�x

Za vrijednost 01,0 i 05,0 �� ,, testirajte sljede�e hipoteze:

a) 0 1: 50 : 50H H* *� � �

b) 50:50: 10 ��A ** HH

c) 50:50: 10 �� ** HH

Elementi rješenja:

a) Poznata je standardna devijacija i varijansa osnovnog skupa. Nije poznata distribucija, ali kako je 3064 ��n konstatujemo da:

��

��

�n

x2

0 ,N~ '*

N(0,1)~/

0

nxZ'

*�

� �

01 / 2 1 / 2 0

01 / 2 1 / 2 0

1 prihvatamo

; odbacujemo

xp z z H

nx

p z z Hn

, ,

, ,

* ,'

* ,'

� � � ��

!G � �$ %" #


369

� �

01 / 2 1 / 2 0

1 0,05/ 2 1 0,05/ 2

0,975 0,975

1 prihvatamo /48 50 1 0,054 / 64

4 0,95

1,96 4 1,96

xp z z Hn

p z z

p z z

, ,* ,

'

� � � ��

�

Ne prihvatamo nultu hipotezu.

Za 00,01 prihvatamo ako jeH, �

� �

01 / 2 1 / 2

1 0,01/ 2 1 0,01/ 2

0,995 0,995

1/48 50 1 0,014 / 64

4 0,999

2,5758 4 2,5758

xp z zn

p z z

p z z

, ,* ,

'

� � � � ��

Ne prihvatamo nultu hipotezu.

Ili jednostavnije, nultu hipotezu ne prihvatamo ako je:

01 / 2/

x zn ,

*'

�

96,105,0 975,02/1 �� zz ,,

1 / 2 0,9950,01 2,5758 2,58z z,, � � � � �

96,1464/45048

/0 ��n

x'

*

0 48 50 4 2,58/ 4 / 64

xn

*'

� � �


370

Odbacuje se nulta hipoteza što zna�i da je aritmeti�ka sredina uzorka uz nivoe pouzdanosti 95% i 99% udaljena od pretpostavljene vrijednosti aritmeti�ke sredine koja je jednaka 50.

b) Test na donju granicu

01/

x zn ,

*'

�

1

0,954

4 1,96 prihvatamo nultu hipotezu.

z zz

,� �

�

Zadatak 2.

Proizvo�a� sokova želi provjeriti da li je prosje�an sadržaj soka u flašama manji od sadržaja ozna�enog na flašama koji je 75 cl.

Slu�ajno je odabrano 10 flaša i mjerenje njihovog sadržaja je dalo sljede�e vrijednosti: 73,2 72,6 74,5 75,0 73,7 74,1 75,1 74,8 74,0 75,0

Ako pretpostavimo da je dobijena distribucija normalna, može li proizvo�a� zaklju�iti da je prosje�an sadržaj flaša manji od 75 cl uz vjerovatno�u greške ocjene ,=0,05?

(Za vježbu odgovorite na isto pitanje uz vjerovatno�u greške ocjene ,=0,01?)

Elementi rješenja:

Test na gornju granicu.

8,0 ,10 ,2,7475:75:

::

1

10

0100

��

��

'**

****

nclxclHclH

HH



371

095,0;9

95,0;9

1;10

prihvatamo 833,13833,1

32667,0

752,74

1/

Ht

t

tt

tn

x

izra�

izra�

ni

��

��

�

�

,'

*

Prihvatamo nultu hipotezu da je sadržaj soka u flašama manji od 75 cl.

Ili ako zadatak postavimo druga�ije: Test na donju granicu je:

8,0 ,10 ,2,7475:75:

::

1

10

0100

��A

��A

'**

****

nclxclHclH

HH

01;1

9;0,95 0

9;0,95 0

/ 1 prihvatamo

74,2 75 30,26671,833 3 odbacujemo

ni

izra�

izra�

x tn

t t H

t

t H

,*

'

�

�

� �

� � � �

Odbacujemo nultu hipotezu da je sadržaj u flaši ve�i od 75 cl.

Zadatak 3.

Uzorak od 145 osoba je odabran slu�ajno iz populacije stranih turista koji provode odmor u Bosni i Hercegovini. Prosje�na sedmi�na potrošnja po osobi posmatranog uzorka je 830 KM i standardna devijacija 240 KM.

a) Testirajte uz nivo rizika 5% hipotezu prema kojoj je prosje�na sedmi�na potrošnja jednog turiste razli�ita od 800 KM.

b) Koji je minimalan nivo rizika uz koji možemo odbaciti hipotezu u testu realizovanom u a).

1,833


372

Elementi rješenja:

a) 05,0,240,830,145 �� ,' ixn

)1,0(~1/

30145

800:800:

0

100

Nn

xn

HH

i

��

�P��

'*

***

01 / 2 0prihvatamo

/ 1i

xz H

n ,*

'

� �

5,112/240800830 ��z

1 / 2 1 0,05 / 2 0,975

0,975 0

0,05 1,96

1,5 1,96 prihvatamo

z z z

z z H,, � � � � �

� � � �

b) Da bi se odbacila nulta hipoteza uz minimalan rizik:

01 / 2 0

1 / 2

ne prihvatamo / 1

1,5 tablica1 / 2 0,93

/ 2 0,93 10,14

i

xz H

nz

,

,

*'

,,

,

A �

�

A

Zadatak 4.

Pretpostavimo da je stopa smrtnosti, ra�unata na osnovu slu�ajno odabranog uzorka, od 100 osoba koji boluju od iste bolesti 13%. Testirajte sljede�e hipoteze:

a) 0 0 1 0: 0,20 : 0,20, 0,05A AH p p H p p ,A � P � � �

b) 0 1: 0,10 0,10, 0,01AH p H , P � �


373

Elementi rješenja:

a) 0 0 1 0: 0,20 : 0,20A AH p p H p pA � P � �

Prihvatamo 0H ako je

� �0 0

10 0

1 0,95 1

ˆ ˆ

1

0,13 0,20 1,750,20 0,80

1001,6449 1,75 1,6449

A A

p

p p p pz zp p

n

z

z z z z

,

, ,

'

� � �

� � �

� � � � � �

Dakle, odbacujemo postavljenu nultu hipotezu.

Ili jednostavnije prihvatamo nultu hipotezu ako je:

� �0

1

0 0

0,95 0

ˆ

1

1,75 1,6449 odbacujemo

Ap pz z

p pn

z z H

,

� � �

� � � �

b) 0 0 1: 0,10 0,10, 0,01H p H ,� P � �

Prihvatamo 0H ako je

� �

75,1

10080,020,020,013,0

ˆ1

ˆ1

0

0

0

��

�

��

�

z

zpp

npp

ppzp

AA,'


374

099,0

99,01

prihvatamo3263,213263,2

Hzzzz

��,

Zadatak 5.

U posudi se nalaze bijele i crvene loptice. Želimo testirati hipotezu da ima jednak broj bijelih i crvenih kuglica. Odabrali smo slu�ajni uzorak od 144 kuglice.

a) Testirajte hipotezu uz nivo rizika 0,05 i 0,01. b) Koji �e biti vaš odgovor ako u uzorku dobijete 128 bijelih kuglica?

Elementi rješenja:

1144, 2bn p� � , što bi zna�ilp da prihvatamo hipotezu da je u kutiji jednak

broj bijelih i crvenih kuglica.

� �

0 1

0

01

0 0

: 1/ 2 : 1/ 2Prihvatamo ako je

ˆz

1

b b

b

H p H pH

p pz

p pn

,

� P �

� ��

a) 144

5,05,05,0ˆ 2/1�� ,zpb

042,05,0ˆ 2/1 �� ,zpb

96,105,0 975,02/1 �� zz ,,

042,096,15,0ˆ ��bp

08,05,0ˆ �bp

5758,201,0 995,02/1 �� zz ,,

042,05758,25,0ˆ ��bp

11,05,0ˆ �bp


375

b)

0

0

odbacujemo11,039,011,05,0ˆ01,0

odbacujemo08,039,08,05,0ˆ05,0

39,05,089,05,0ˆ

89,0144128ˆ

Hp

Hp

pnn

p

b

b

b

bb

��

��

��

��

,

,

Zadatak 6.

Aparat za kafu je konstruisan tako da puni �aše �iji je prosje�an sadržaj kafe 15 cl. Kontrola aparata je pokazala da sadržaj kafe varira od �aše do �aše i da može biti posmatran kao sohasti�ka varijabla koja ima normalnu distribuciju vjerovatno�e �ija je standardna devijacija 1,5 cl bez obzira na prosje�an sadržaj kafe u �aši. Odabran je slu�ajni uzorak od 100 �aša i mjerenje sadržaja je pokazalo da je prosje�an sadržaj kafe u �aši 14,2 cl.

a) Da li biste uz rizik od 5% mogli tvrditi da je prosje�an sadržaj kafe u �aši 15 cl?

b) Izra�unajte grešku druge vrste ukoliko je prosje�an sadržaj jednak 14,2 cl i ako je prosje�an sadržaj jednak 14,6. Uporedite dobijene rezultate i komentarišite ih.

Elementi rješenja:

a) 05,0,2,14,100

15:15:5,1

10

��P�

�

,**

'

clxnHH

cl

2/1/ ,'*

�� zn

xz


376

2/1

975,02/1 96,1

3,510/5,1152,14

/

,

,

'*

�

��

��

zz

zzn

xz

Dakle, odbacujemo nultu hipotezu kao neistinitu uz rizik 5%. U kojem intervalu bi se trebao kretati prosje�an sadržaj da bi nulta hipoteza bila prihva�ena uz dati rizik?

Prosje�an sadržaj bi se trebao kretati u sljede�em intervalu:

%#!

$" �)+ n

zx '* , 2/10

( (15 1,96 0,15

14,71; 15,29

x

x

+ ) �

+

b) Ako je nulta hipoteza odba�ena tada je prosje�ni sadržaj jednak nekoj vrijednosti razli�itoj od pretpostavljene 15. Ako je ta vrijednost 14,2 cl, možemo napisati:

� �00 ako prihvatiti HHp�6

� ��

( � �0

14,2;0,15

prihvatiti 14,2;0,15

14,7 15,29 14,2;0,15

14,71 14,2 15,29 14,20,15 0,15

x N

p H x N

p x x N

p z

6

6

6

!� " #� � �

!� � �$ %" #

�

�

�

gdje � �14,2 0,10,15

xz N� �

( � � � �3,373 7,293 7,293 3,3731 0,9996 0,0004p z F F6

6� � � � � �


377

� ��

� � ( � �

� �

( � � � �

0 0

0

prihvatiti

14,6;0,15

prihvatiti 14,6;0,15

14,71 15,29 14,6;0,15

14,71 14,6 15,29 14,60,15 0,1514,6gdje 0,1

0,150,71 4,63 4,63 0,71

1 0,7611 0,238

p H ako H

x N

p H x N

p x x N

p z

xz N

p z F F

6

6

6

6

66

�

� !" #� � � !#

!� � �$ %" #�

� � � � � �

�

�

�

�

9

Greška drugog tipa je manja ukoliko je prava vrijednost prosje�nog sadržaja više udaljena od pretpostavljene vrijednosti.

Zadatak 7.

Na testu iz Statistike 50 studenata je dalo sljede�i broj ta�nih odgovora:

Broj ta�nih odgovara

xj 10 11 12 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 40

Broj studenata fj 1 1 1 3 4 6 10 7 7 3 2 2 1 1 1

a) Konstruišite box-plot ove distribucije i komentarišite ga. b) Grupišete ovu distribuciju u sedam klasa i predstavite njen histogram.

(Savjet: za donju granicu prve klase uzmite vrijednost 9,5 i koristite širinu klase jednaku 3 za 5 prvih klasa i jednaku 9 za dvije posljednje).

c) Izra�unajte aritmeti�ku sredinu i standardnu devijaciju tako grupisane distribucije.

d) Pretpostavimo da grupisana distribucija predstavlja slu�ajni uzorak veli�ine n=50. 1) Utvrdite interval povjerenja za prosje�an broj ta�nih odgovora

studentske populacije uz nivo povjerenja 0,95. 2) Ako je p proporcija studenata populacije koji su imali najmanje 20

ta�nih odgovora, testirajte uz grešku 0,05 sljede�u hipotezu:


378

4,0:4,0: 10 �PA pHpH

Elementi rješenja:

a) 20;18;17 321 �� QMQQ e

Distribucija ima desnu asimetriju.

c) 18,74; 4,25x '� �

d) 1) Interval povjerenja za aritmeti�ku sredinu u slu�aju kada varijansa osnovnog skupa nije poznata i kada je uzorak ve�i od 30.

� �

� �

� �

� � ( (

1 / 2 1 / 2

1 / 2

0,95

. . 1 :

1/ 1

. . 1 :1

4,25. . 1 : 18,74 1,967

. . 1 : 18,74 1,19

. . : 17,55;19,93

i

i

I P za

xp z zn

I P x zn

I P

I P

I P

, ,

,

, *

* ,'

', *

, *

, **

� � � � � � �� ! � �$ %" # ! ) �$ %" #

)

d) 2) Uzorak ima 17 studenata koji su imali najmanje 20 ta�nih odgovora.

4,0:4,0:

34,05017ˆ17,50

100 �PA

��

pHpHn

npnn AAA


� �0

10 0

ˆ1

Ap pz zp p

n

,� �


379

� �0

0 0

1 0,95

ˆ 0,34 0, 4 0,870, 4 0,61

501,6449

0,87 1,6449

Ap pzp p

nz z,

� � � �

� � �

�

Nulta hipoteza se prihvata. Dakle, polaze�i od uzorka možemo tvrditi sa pouzdanoš�u od 95% da je proporcija studenata �iji je broj ta�nih odgovora najmanje 20 u ukupnoj populaciji ve�a ili jednaka 0,4 (40%).

Zadatak 8.

Transportno preduze�e nabavlja auto gume marke A ili marke B. Odluku o nabavci guma donosi nakon testiranja nulte hipoteze da je prosje�no trajanje guma A i guma B izraženo u pre�enim kilometrima jednako:

0:0:

211

210

��

****

HH

Testiranje se vrši uz rizik od 5%.

Preduze�e je na svojim automobilima pratilo trajanje 50 guma marke A i 40 guma marke B. Prosje�no trajanje 50 guma marke A iznosilo je 24.430 km, a prosje�no trajanje 40 guma marke B 25.860 KM.

Elementi rješenja:

Razlika artimeti�kih sredina ova dva uzorka je 24-430-25.860 = - 1.430 km.

Procjena varijanse prvog osnovnog skupa pomo�u uzorka je 6.250.000, a drugog osnovnog skupa 9.000.000.

Standardna greška razlike sredina je:

2

22

1

21 ˆˆˆ

21 nnxx''' ��

6,59140109

50000.250.6ˆ

6

21��xx'


380

Granice intervala prihvatanja nulte hipoteze su:

159.106,59196,10

ˆ021

)�)

) xxz'

Zaklju�ak: odbacujemo nultu, prihvatamo altenrativnu hipotezu. Aritmeti�ka sredina za gume B je ve�a, to jeste prosje�no trajanje je duže i preduze�e se odlu�uje za nabavku guma B.

Zadatak 9.

Studenti su na vježbama iz statistike podijeljeni u tri grupe i u svakoj grupi smo primjenili drugu nastavnu metodu vježbi. Da bismo utvrdili da li postoji razlika u efikasnosti tri primijenjene metode iz svake grupe smo odabrali uzorak od 10 studenata. Svi su dobili iste zadatke i mogli su dobiti maksimalno 100 bodova. Postignute rezultate u rješavanju zadataka smo predstavili u slijede�oj tabeli:

Student Uzorak 1 Uzorak 2 Uzorak 3 1 57 73 60 2 41 64 71 3 79 85 64 4 62 51 53 5 70 69 41 6 45 76 62 7 64 89 75 8 82 63 57 9 48 74 43

10 62 66 64

Ocijenite da li postoje razlike u efikasnosti tri primijenjene metode na rezultate testa.

Elementi rješenja:

Postavljamo nultu hipotezu da su prosje�ne ocjene studenata koji su u�ili po razli�itim metodama jednake: 3210 : *** ��H . Kriterij za donošenje odluke zavisi od odnosa F testa. Ako je Fizra�unato >F tabli�no nulta hipoteza se odbacuje.


381

Pomo�u Excela dobijamo sljede�u izlaznu tabelu:

Anova: Single Factor

SUMMARY Groups Count Sum Average Variance

Column 1 10 610 61 188,6667 Column 2 10 730 73 131,1111 Column 3 10 590 59 120 Source of Variation SS df MS F P-value F crit

Between Groups 1146,667 2 573,3333 3,91107 0,032238 3,35413

Within Groups 3958 27 146,5926

Total 5104,667 29

Pore�enjm F izra�unatog (F=3,91) i F tabli�nog (F=3,35) konstatujemo da nultu hipotezu treba odbaciti jer je tabli�na vrijednost manja od izra�unate. Nultu hipotezu odbacujemo na nivou pouzdanosti 97% (p-vrijednost je 0,03) što zna�i da se prosje�no postignuti rezultati primjenom tri razli�ite metode me�usobno razlikuju i da tri metode vježbanja nisu jednako efikasne. Postoji rizik da smo samo u 3 % slu�ajeva pogrešno zaklju�ili donošenjem ove odluke.

Zadatak 10.

Ocjenom modela bxay ��ˆ na osnovu 7 podataka dobili smo vrijednost parametra b=1,51 i standardne greške ocjene parametra b ˆ 0,16

b' � .

Testirajte hipotezu o zna�ajnosti ovog parametra u regresionom modelu.

Elementi rješenja:

0:,0: 10 �� bHbH

Testiranje nulte hipoteze �emo izvršiti uz grešku 0,05. Tabli�na vrijednost t za dvosmjerni test i broj stepeni slobode n-K-1=7-2=5 iznosi

571.2025.0;5 �t .


382

Podru�je prihvatanja nulte hipoteze je:

� �� 0 2,571 0,16

0 0,41

t

t

+ ) �

+ )

Pošto je ocijenjena vrijednost parametra b=1,51>0,41 nulta hipoteza se odbacuje. To zna�i da ne možemo prihvatiti pretpostavku da je parameter b jednak 0.

Do istog rezultata dolazimo i pomo�u empirijskog t-odnosa. Vrijednost te

veli�ine je 16,051,1ˆ

��'bti =9,44, dok je teorijski t znatno manji 2,571. Pošto

je empirijski odnos ve�i od teorijskog, nulta hipoteza se ne prihvata.

Zadatak 11.

Za ocijenjeni regresioni model 21 1245,01130,07251,20 XXY ��

testirajte zna�ajnost parametara uz varijable u modelu koriste�i se sljede�om izlaznim tabelama Excela.

SUMMARY OUTPUT

REGRESSION STATISTICS Multiple R 0,9528 R Square 0,9078 Adjusted R Square 0,8617 Standard Error 2,6292 Observations 7

ANOVA

df SS MS F Significance F Regression 2 272,3485 136,1742 19,6986 0,0085 Residual 4 27,6515 6,9129 Total 6 300


383

Coefficients Standard Error t- Stat P-value Intercept -20,7251 26,9055 -0,7703 0,4841 X1 0,1130 0,0377 3,0000 0,0399 X2 0,1245 0,0865 1,4389 0,2236

Statisti�ka zna�ajnost regresijskog modela je odre�ena empirijskim F omjerom i odgovaraju�om p vrijednosti u tabeli ANOVA. U našem slu�aju p = 0,0085 < 0,01 pa zaklju�ujemo da barem jedna od nezavisnih varijabli statisti�ki zna�ajno uti�e na vrijednost zavisne varijable uz nivo rizika od 1%. U izlaznoj tabeli Excela prezentirane su i statisti�ke zna�ajnosti regresionih koeficijanata koje se odre�uju pomo�u t-statistike i pripadaju�ih p vrijednosti. Za varijablu X1 vrijednost p= 0,0399 a za X2 p=0,2236. Konstatujemo da u ocijenjenom regresionom modelu varijabla proizvodnja u kg statisti�ki zna�ajno uti�e na zavisnu varijablu Y zbog toga što je odgovaraju�a vrijednost p manja od 0,05. Za drugu varijablu p vrijednost je ve�a od 0,05 i to zna�i da uticaj troškova po jedinici proizvodnje u ovom modelu nije statisti�ki zna�ajan.

Zadatak 12.

Air Bosna želi zabraniti pušenje na kratkim letovima, ali ne želi da izgubi putnike. Zbog toga su odlu�ili da uvedu probni period od 6 mjeseci bez pušenja. Slu�ajan uzorak od 200 letova je izabran tokom 6 mjeseci prije probnog perioda bez pušenja i tokom 6 mjeseci probnog perioda i registrovan je broj putnika na tim letovima.

Podaci o broju putnika (n) su dati u sljede�oj tabeli:

Broj putnika (n)

71n75 76n80 81n85 86n90 91n95 96n100

Broj letova Prije probe (X1)

0 15 47 52 64 22

Broj letova tokom probe (X2)

2 20 50 74 43 11

Pretpostavlja se da je broj putnika po letu normalno distribuiran.


384

1. Izra�unati interval povjerenja 95% za prosje�no smanjanje broja putnika u probnom periodu.

2. Da li je uvo�enje zabrane pušenja dovelo da smanjenja prosje�nog broja putnika po letu? Koristiti rizik od 5%.

Elementi rješenja:

Izra�unavamo standardnu grešku razlike aritmeti�kih sredina

304,0ˆ100

1398

774,28200774,31200ˆ

112ˆˆˆ

21

21

212121

222

211

�

��

��

��

��

��

��

xx

xx

xx nnnnnn

'

'

'''

1. 95% interval povjerenja razlike dvije aritmeti�ke sredine

304,096,1)225,87775,88(

112ˆˆ

)(2121

222

211

21

�)�

��

��

��

��

��

��)nnnn

nnzxx ''

95% interval povjerenja za prosje�no smanjenje putnika je (0,95; 2,14). Dakle, možemo konstatovati da �e u 95% letova prosje�no smanjenje biti izme�u jednog i dva putnika.

2.

0 :0:

211

210

��

****

HH

2/1

2/1

2121

96,1

098,5304,0

055,1ˆ

)()(

21

,

,

'**

��

��

zzz

xxz

izr

xxizr


385

Odbacujemo nultu hipotezu i konstatujemo da postoji statisti�ki zna�ajna razlika u prosje�nom broju putnika u dva posmatrana perioda.

Zadatak 13.

Standardna devijacija vijeka trajanja jednog tipa aparata je 5000 h. Vijek trajanja aparata ima normalan raspored. U uzorku od 15 aparata, prosje�an vijek trajanja je 89000 h. Sa greškom 5%, odrediti prosje�an vijek trajanja aparata analiziranog tipa.

Elementi rješenja:

158900050000,05?

nx',*

��

Poznata standardna devijacija u populaciji

( ) 1 0,975 1,962t tF z z,� � � � �

5000 129115

89000 1,96 1291 89000 1,96 129186469,64 91530,36 h ( 0,05)

x

t x t x

nx z x z

''

' * '*

* ,

� � �

� � � � � � �

� �

Zadatak 14.

U jednom gradu u državnim službama zaposleno je 2 500 radnika. Formiran je slu�ajni uzorak od 34 radnika, kako bi se procijenila starosna struktura zaposlenih u državnim službama. U tom uzorku prosje�na starost zaposlenih iznosi 39,24 godine sa standardnom devijacijom 11,5 godina. Ocijeniti prosje�nu starost zaposlenih u državnim službama sa pouzdanoš�u 99%.


386

Elementi rješenja:

25003439,2411,50,01?

i

Nnx',*

��

Kako je rije� o velikom uzorku (nepoznata varijansa osnovnog skupa)

koristimo normalni raspored i za grešku procjene ˆ1

ix n

'' �

.

0,01( ) 1 1 0,995 2,582 2t tF z z,� � � � �

ˆ ˆt x t xx z x z' * ' � � �

ˆ 11,5ˆ 21 33x n

'' � � �

(39,24 2,58 2 39,24 2,58 2 34,08 44,4 godina, ( 1%)* * , � � � � + �

Zadatak 15.

Od 100 kupaca u prodavnici u toku jednog dana anketirano je 20 kupaca. Oni su u prosjeku potrošili 58 KM, sa standardnom devijacijom 7,6 KM. Sa pouzdanoš�u 95% ocijeniti prosje�nu potrošnju kupaca u toj prodavnici.

Elementi rješenja:

10020587,60,05?

i

Nnx',*

��


387

U slu�aju malog uzorka i nepoznate varijanse osnovnog skupa koristimo

Studentov raspored i za grešku procjene ˆ1

ix n

'' �

.

19 ( ) 1 0,975 2,12t tF t t,� � � �

ˆ ˆt x t xx t x t' * ' � � �

7,6ˆ 1,741 19

iX n

'' � � �

(58 2,1 1,74 58 2,1 1,74 54,346 61,654 KM, ( =5%)* * , � � � � +

Zadatak 16.

U uzorku od 280 studenata jednog univerziteta, 115 su studenti ekonomskog fakulteta. Sa greškom prve vrste 1% ocijeniti u�eš�e studenata ekonomskih fakulteta na ovom univerzitetu.

Elementi rješenja:

280115280 115 1650,01?

a

b

A

nnn

p,

��

Odre�ujemo proporciju studenata ekonomskih fakulteta u analiziranom uzorku:

115ˆ ˆ ˆ0,41, 1 0,59280

aA A A

np q pn

� � � � �

Na osnovu podataka iz uzorka ocjenjujemo proporciju studenata ekonomskih fakulteta na nivou univerziteta:

� � 1 1 0,005 0,995 2,582t tF z z,� � � � �


388

ˆ ˆˆ Â AA t p A A t pp z p p z' ' � � �

ˆˆ ˆ 0, 41 0,59 0,0294

280A

A Ap

p qn

' � ��

0,41 2,58 0,0294 0,41 2,58 0,02940,3341 0,4858 ( 1%)

A

A

pp ,

� � � ��

Zadatak 17.

U jednom preduze�u je zaposleno 1500 radnika. Na uzorku od 40 radnika, je utvr�eno da je 10 radnika stiglo na posao sa zakašnjenjem dužim od 15 minuta. Potrebno je utvrditi sa pouzdanoš�u 95% udio i broj radnika koji kasne na posao više od 15 minuta.

Elementi rješenja:

150401040 10 300,05?

a

b

A

Nnnn

p,

��

Izra�unavamo proporciju radnika koji kasne na posao duže od 15 minuta u analiziranom uzorku:

10ˆ ˆ ˆ0,25, 1 0,540

aA A A

np q pn

� � � � �

Zatim ocjenjujemo proporciju radnika koji kasne na posao duže od 15 minuta u preduze�u:

� � 1 1 0,025 0,975 1,962t tF z z,� � � � �

ˆ ˆˆ Â AA t p A A t pp z p p z' ' � � �


389

ˆˆ ˆ 0, 25 0,75 0,0685

40A

A Ap

p qn

' � ��

0,25 1,96 0,0685 0,25 1,96 0,06850,11574 0,38426 ( 5%)

A

A

pp ,

� � � ��

Na osnovu predhodnog zaklju�ujemo da �e se broj koji kasne na posao više od 15 minuta kretati u intervalu:

1500 0,11574 1500 0,38426174 576 (sa zaokruživanjem na cijele brojeve)

A

A

N pN p

� � � �

PRILOZI

1. STATISTIČKE TABLICE

2. PRIJEVODI TERMINA IZ EXCELA

393

BINOMNA DISTRIBUCIJA VJEROVATNO�E

� � � � knkkn ppCkXp �� 1

n=5 p 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 k 0 773781 733904 695688 659082 624032 590490 327680 168070 077760 031250 1 203627 234225 261818 286557 308587 328050 409600 360150 259200 156250 2 021434 029901 039413 049836 061039 072900 204800 308700 345600 312500 3 001128 001909 002967 004334 006037 008100 051200 132300 230400 312500 4 000030 000061 000112 000188 000299 000450 006400 028350 076800 156250 5 000000 000001 000002 000003 000006 000010 000320 002430 010240 031250 n=10 p 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 k 0 598737 538615 483982 434388 389416 348678 107374 028248 006047 000977 1 315125 343797 364288 377729 385137 387420 268435 121061 040311 009766 2 074635 098750 123388 147807 171407 193710 301990 233474 120932 043945 3 010475 016809 024766 034274 045206 057396 201327 266828 214991 117188 4 000965 001878 003262 005216 007824 011160 088080 200121 250823 205078 5 000061 000144 000295 000544 000929 001488 026424 102919 200658 246094 6 000003 000008 000018 000039 000077 000138 005505 036757 111477 205078 7 000000 000000 000001 000002 000004 000009 000786 009002 042467 117188 8 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000074 001447 010617 043945 9 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000004 000138 001573 009766 10 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000006 000105 000977 n=15 p 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 k 0 463291 395292 336701 286297 243008 205891 035184 004748 000470 000031 1 365756 378471 380146 373431 360507 343152 131941 030520 004702 000458 2 134752 169104 200292 227306 249582 266896 230897 091560 021942 003204 3 030733 046773 065328 085652 106964 128505 250139 170040 063388 013885 4 004853 008957 014752 022344 031736 042835 187604 218623 126776 041656 5 000562 001258 002443 004274 006905 010471 103182 206130 185938 091644 6 000049 000134 000306 000619 001138 001939 042993 147236 206598 152740 7 000003 000011 000030 000069 000145 000277 013819 081130 177084 196381 8 000000 000001 000002 000006 000014 000031 003455 034770 118056 196381 9 000000 000000 000000 000000 000001 000003 000672 011590 061214 152740 10 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000101 002980 024486 091644 11 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000011 000581 007420 041656 12 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000083 001649 013885 13 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000008 000254 003204 14 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000024 000458 15 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000031


394



n=20 p 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

k 0 358486 290106 234239 188693 151645 121577 011529 000798 000037 000001 1 377354 370348 352618 328162 299957 270170 057646 006839 000487 000019 2 188677 224573 252141 271091 281828 285180 136909 027846 003087 000181 3 059582 086007 113870 141439 167238 190120 205364 071604 012350 001087 4 013328 023332 036426 052271 070295 089779 218199 130421 034991 004621 5 002245 004766 008774 014545 022247 031921 174560 178863 074647 014786 6 000295 000760 001651 003162 005501 008867 109100 191639 124412 036964 7 000031 000097 000249 000550 001088 001970 054550 164262 165882 073929 8 000003 000010 000030 000078 000175 000356 022161 114397 179706 120134 9 000000 000001 000003 000009 000023 000053 007387 065370 159738 160179 10 000000 000000 000000 000001 000003 000006 002031 030817 117142 176197 11 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000462 012007 070995 160179 12 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000087 003859 035497 120134 13 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000013 001018 014563 073929 14 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000002 000218 004854 036964 15 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000037 001294 014786 16 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000005 000270 004621 17 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000042 001087 18 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000005 000181 19 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000019 20 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001

Prilog 1. – Statisti�ke tablice

395



n=30 p 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

k 0 214639 156256 113367 081966 059053 042391 001238 000023 000000 000000 1 338903 299213 255991 213825 175212 141304 009285 000290 000004 000000 2 258637 276931 279388 269605 251266 227656 033656 001801 000043 000000 3 127050 164980 196273 218810 231938 236088 078532 007203 000266 000004 4 045136 071082 099719 128432 154837 177066 132522 020838 001197 000026 5 012353 023593 039030 058074 079631 102305 172279 046440 004149 000133 6 002709 006275 012241 021041 032815 047363 179457 082928 011524 000553 7 000489 001373 003159 006273 011127 018043 153821 121854 026341 001896 8 000074 000252 000684 001568 003164 005764 110559 150141 050487 005451 9 000010 000039 000126 000333 000765 001565 067564 157291 082275 013325 10 000001 000005 000020 000061 000159 000365 035471 141562 115185 027982 11 000000 000001 000003 000010 000029 000074 016123 110308 139619 050876 12 000000 000000 000000 000001 000004 000013 006382 074852 147375 080553 13 000000 000000 000000 000000 000001 000002 002209 044418 136039 111535 14 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000671 023115 110127 135435 15 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000179 010567 078312 144464 16 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000042 004246 048945 135435 17 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000009 001498 026872 111535 18 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000002 000464 012938 080553 19 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000126 005448 050876 20 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000030 001997 027982 21 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000006 000634 013325 22 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000173 005451 23 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000040 001896 24 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000008 000553 25 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000133 26 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000026 27 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000004 28 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 29 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 30 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000


396

POISSONOVA DISTRIBUCIJA VJEROVATNO�E

� � pnex

exXpx

�� FFF ,718,2,!

� 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 k 0 904837 818731 740818 670320 606531 548812 496585 449329 406570 367879 1 090484 163746 222245 268128 303265 329287 347610 359463 365913 367879 2 004524 016375 033337 053626 075816 098786 121663 143785 164661 183940 3 000151 001092 003334 007150 012636 019757 028388 038343 049398 061313 4 000004 000055 000250 000715 001580 002964 004968 007669 011115 015328 5 000000 000002 000015 000057 000158 000356 000696 001227 002001 003066 6 000000 000001 000004 000013 000036 000081 000164 000300 000511 7 000000 000000 000001 000003 000008 000019 000039 000073 8 000000 000000 000001 000002 000004 000009 9 000000 000000 000000 000001 10 000000 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


397

POISSONOVA DISTRIBUCIJA VJEROVATNO�E

� � pnex

exXpx

�� FFF ,718,2,!

� 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k 0 135335 049787 018316 006738 002479 000912 000335 000123 000045 1 270671 149361 073263 033690 014873 006383 002684 001111 000454 2 270671 224042 146525 084224 044618 022341 010735 004998 002270 3 180447 224042 195367 140374 089235 052129 028626 014994 007567 4 090224 168031 195367 175467 133853 091226 057252 033737 018917 5 036089 100819 156293 175467 160623 127717 091604 060727 037833 6 012030 050409 104196 146223 160623 149003 122138 091090 063055 7 003437 021604 059540 104445 137677 149003 139587 117116 090079 8 000859 008102 029770 065278 103258 130377 139587 131756 112599 9 000191 002701 013231 036266 068838 101405 124077 131756 125110 10 000038 000810 005292 018133 041303 070983 099262 118580 125110 11 000007 000221 001925 008242 022529 045171 072190 097020 113736 12 000001 000055 000642 003434 011264 026350 048127 072765 094780 13 000000 000013 000197 001321 005199 014188 029616 050376 072908 14 000003 000056 000472 002228 007094 016924 032384 052077 15 000001 000015 000157 000891 003311 009026 019431 034718 16 000000 000004 000049 000334 001448 004513 010930 021699 17 000001 000014 000118 000596 002124 005786 012764 18 000000 000004 000039 000232 000944 002893 007091 19 000001 000012 000085 000397 001370 003732 20 000000 000004 000030 000159 000617 001866 21 000001 000010 000061 000264 000889 22 000000 000003 000022 000108 000404 23 000001 000008 000042 000176 24 000000 000003 000016 000073 25 000001 000006 000029 26 000000 000002 000011 27 000001 000004 28 000000 000001 29 000001 30 000000


398

STANDARDIZOVANA NORMALNA DISTRIBUCIJA VJEROVATNO�E - funkcija gustine vjerovatno�e f(z)

E�0

0

�� 1)(,

21)( 2

2

dzzfezfz

H

z druga decimala 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 398942 398922 398862 398763 398623 398444 398225 397966 397668 397330 0,1 396953 396536 396080 395585 395052 394479 393868 393219 392531 391806 0,2 391043 390242 389404 388529 387617 386668 385683 384663 383606 382515

cijeli broj i prva decimala

0,3 381388 380226 379031 377801 376537 375240 373911 372548 371154 369728 0,4 368270 366782 365263 363714 362135 360527 358890 357225 355533 353812 0,5 352065 350292 348493 346668 344818 342944 341046 339124 337180 335213 0,6 333225 331215 329184 327133 325062 322972 320864 318737 316593 314432 0,7 312254 310060 307851 305627 303389 301137 298872 296595 294305 292004 0,8 289692 287369 285036 282694 280344 277985 275618 273244 270864 268477 0,9 266085 263688 261286 258881 256471 254059 251644 249228 246809 244390 1,0 241971 239551 237132 234714 232297 229882 227470 225060 222653 220251 1,1 217852 215458 213069 210686 208308 205936 203571 201214 198863 196520 1,2 194186 191860 189543 187235 184937 182649 180371 178104 175847 173602 1,3 171369 169147 166937 164740 162555 160383 158225 156080 153948 151831 1,4 149727 147639 145564 143505 141460 139431 137417 135418 133435 131468 1,5 129518 127583 125665 123763 121878 120009 118157 116323 114505 112704 1,6 110921 109155 107406 105675 103961 102265 100586 098925 097282 095657 1,7 094049 092459 090887 089333 087796 086277 084776 083293 081828 080380 1,8 078950 077538 076143 074766 073407 072065 070740 069433 068144 066871 1,9 065616 064378 063157 061952 060765 059595 058441 057304 056183 055079 2,0 053991 052919 051864 050824 049800 048792 047800 046823 045861 044915 2,1 043984 043067 042166 041280 040408 039550 038707 037878 037063 036262 2,2 035475 034701 033941 033194 032460 031740 031032 030337 029655 028985 2,3 028327 027682 027048 026426 025817 025218 024631 024056 023491 022937 2,4 022395 021862 021341 020829 020328 019837 019356 018885 018423 017971 2,5 017528 017095 016670 016254 015848 015449 015060 014678 014305 013940 2,6 013583 013234 012892 012558 012232 011912 011600 011295 010997 010706 2,7 010421 010143 009871 009606 009347 009094 008846 008605 008370 008140 2,8 007915 007697 007483 007274 007071 006873 006679 006491 006307 006127 2,9 005953 005782 005616 005454 005296 005143 004993 004847 004705 004567 3,0 004432 004301 004173 004049 003928 003810 003695 003584 003475 003370 3,1 003267 003167 003070 002975 002884 002794 002707 002623 002541 002461 3,2 002384 002309 002236 002165 002096 002029 001964 001901 001840 001780 3,3 001723 001667 001612 001560 001508 001459 001411 001364 001319 001275 3,4 001232 001191 001151 001112 001075 001038 001003 000969 000936 000904 3,5 000873 000843 000814 000785 000758 000732 000706 000681 000657 000634 3,6 000612 000590 000569 000549 000529 000510 000492 000474 000457 000441 3,7 000425 000409 000394 000380 000366 000353 000340 000327 000315 000303 3,8 000292 000281 000271 000260 000251 000241 000232 000223 000215 000207 3,9 000199 000191 000184 000177 000170 000163 000157 000151 000145 000139 4,0 000134 000129 000124 000119 000114 000109 000105 000101 000097 000093

STANDARDIZOVANA NORMALNA DISTRIBUCIJA VJEROVATNO�E - funkcija distribucije vjerovatno�e F(z)

dzezFz z

E0

� 2

2

21)(H

z druga decimala 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 500000 503989 507978 511966 515953 519939 523922 527903 531881 535856 0,1 539828 543795 547758 551717 555670 559618 563559 567495 571424 575345 0,2 579260 583166 587064 590954 594835 598706 602568 606420 610261 614092 0,3 617911 621720 625516 629300 633072 636831 640576 644309 648027 651732 0,4 655422 659097 662757 666402 670031 673645 677242 680822 684386 687933 0,5 691462 694974 698468 701944 705401 708840 712260 715661 719043 722405 0,6 725747 729069 732371 735653 738914 742154 745373 748571 751748 754903 0,7 758036 761148 764238 767305 770350 773373 776373 779350 782305 785236 0,8 788145 791030 793892 796731 799546 802337 805105 807850 810570 813267

cijeli broj

i prva deci-mala

0,9 815940 818589 821214 823814 826391 828944 831472 833977 836457 838913 1,0 841345 843752 846136 848495 850830 853141 855428 857690 859929 862143 1,1 864334 866500 868643 870762 872857 874928 876976 879000 881000 882977 1,2 884930 886861 888768 890651 892512 894350 896165 897958 899727 901475 1,3 903200 904902 906582 908241 909877 911492 913085 914657 916207 917736 1,4 919243 920730 922196 923641 925066 926471 927855 929219 930563 931888 1,5 933193 934478 935745 936992 938220 939429 940620 941792 942947 944083 1,6 945201 946301 947384 948449 949497 950529 951543 952540 953521 954486 1,7 955435 956367 957284 958185 959070 959941 960796 961636 962462 963273 1,8 964070 964852 965620 966375 967116 967843 968557 969258 969946 970621 1,9 971283 971933 972571 973197 973810 974412 975002 975581 976148 976705 2,0 977250 977784 978308 978822 979325 979818 980301 980774 981237 981691 2,1 982136 982571 982997 983414 983823 984222 984614 984997 985371 985738 2,2 986097 986447 986791 987126 987455 987776 988089 988396 988696 988989 2,3 989276 989556 989830 990097 990358 990613 990863 991106 991344 991576 2,4 991802 992024 992240 992451 992656 992857 993053 993244 993431 993613 2,5 993790 993963 994132 994297 994457 994614 994766 994915 995060 995201 2,6 995339 995473 995604 995731 995855 995975 996093 996207 996319 996427 2,7 996533 996636 996736 996833 996928 997020 997110 997197 997282 997365 2,8 997445 997523 997599 997673 997744 997814 997882 997948 998012 998074 2,9 998134 998193 998250 998305 998359 998411 998462 998511 998559 998605 3,0 998650 998694 998736 998777 998817 998856 998893 998930 998965 998999 3,1 999032 999065 999096 999126 999155 999184 999211 999238 999264 999289 3,2 999313 999336 999359 999381 999402 999423 999443 999462 999481 999499 3,3 999517 999534 999550 999566 999581 999596 999610 999624 999638 999651 3,4 999663 999675 999687 999698 999709 999720 999730 999740 999749 999758 3,5 999767 999776 999784 999792 999800 999807 999815 999822 999828 999835 3,6 999841 999847 999853 999858 999864 999869 999874 999879 999883 999888 3,7 999892 999896 999900 999904 999908 999912 999915 999918 999922 999925 3,8 999928 999931 999933 999936 999938 999941 999943 999946 999948 999950 3,9 999952 999954 999956 999958 999959 999961 999963 999964 999966 999967 4,0 999968 999970 999971 999972 999973 999974 999975 999976 999977 999978


399


400

KRITI^NE VRIJEDNOSTI STUDENTOVE t DISTRIBUCIJE

��

��t

dttftf )()(

df t 0,1

t 0,05

t 0,025

t 0,01

t 0,005

1 3,0777 6,3138 12,7062 31,8205 63,6567

2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248

3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409

4 1,5332 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041

5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321

6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074

7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995

8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554

9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498

10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693

11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058

12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545

13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123

14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768

15 1,3406 1,7531 2,1314 2,6025 2,9467

16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208

17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982

18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784

19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609

20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453

21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314

22 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188

23 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073

24 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969

25 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874

26 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787

27 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707

28 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633

29 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564

30 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500

STUDENTOVA t DISTRIBUCIJA VJEROVATNO�E - funkcija distribucije vjerovatno�e S(t)

� � E0

�

��

��

��

��

��I�

��

�� I

�t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

H

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 0,0 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,1 0,53173 0,53527 0,53667 0,53742 0,53788 0,53820 0,53843 0,53860 0,53873 0,53884 0,2 0,56283 0,57001 0,57286 0,57438 0,57532 0,57596 0,57642 0,57676 0,57704 0,57726 0,3 0,59277 0,60376 0,60812 0,61044 0,61188 0,61285 0,61355 0,61409 0,61450 0,61484 0,4 0,62112 0,63608 0,64203 0,64520 0,64716 0,64850 0,64946 0,65019 0,65076 0,65122 0,5 0,64758 0,66667 0,67428 0,67834 0,68085 0,68256 0,68380 0,68473 0,68546 0,68605 0,6 0,67202 0,69528 0,70460 0,70958 0,71267 0,71477 0,71629 0,71744 0,71835 0,71907 0,7 0,69440 0,72180 0,73284 0,73875 0,74243 0,74493 0,74674 0,74811 0,74919 0,75006 0,8 0,71478 0,74618 0,75890 0,76574 0,76999 0,77289 0,77500 0,77659 0,77784 0,77885 0,9 0,73326 0,76845 0,78277 0,79050 0,79531 0,79860 0,80099 0,80280 0,80422 0,80536 1,0 0,75000 0,78868 0,80450 0,81305 0,81839 0,82204 0,82469 0,82670 0,82828 0,82955 1,1 0,76515 0,80698 0,82416 0,83346 0,83927 0,84325 0,84614 0,84834 0,85006 0,85145 1,2 0,77886 0,82350 0,84187 0,85182 0,85805 0,86232 0,86541 0,86777 0,86961 0,87110 1,3 0,79129 0,83838 0,85777 0,86827 0,87485 0,87935 0,88262 0,88510 0,88705 0,88862 1,4 0,80257 0,85176 0,87200 0,88295 0,88980 0,89448 0,89788 0,90046 0,90249 0,90412 1,5 0,81283 0,86380 0,88471 0,89600 0,90305 0,90786 0,91135 0,91400 0,91607 0,91775 1,6 0,82219 0,87463 0,89605 0,90758 0,91475 0,91964 0,92318 0,92587 0,92797 0,92966 1,7 0,83075 0,88438 0,90615 0,91782 0,92506 0,92998 0,93354 0,93622 0,93833 0,94002 1,8 0,83859 0,89317 0,91516 0,92688 0,93412 0,93902 0,94256 0,94522 0,94730 0,94897 1,9 0,84579 0,90109 0,92318 0,93488 0,94207 0,94692 0,95040 0,95302 0,95506 0,95669 2,0 0,85242 0,90825 0,93034 0,94194 0,94903 0,95379 0,95719 0,95974 0,96172 0,96331 2,1 0,85854 0,91473 0,93672 0,94817 0,95512 0,95976 0,96306 0,96553 0,96744 0,96896 2,2 0,86420 0,92060 0,94241 0,95367 0,96045 0,96495 0,96813 0,97050 0,97233 0,97378 2,3 0,86945 0,92593 0,94751 0,95853 0,96511 0,96945 0,97250 0,97476 0,97650 0,97787 2,4 0,87433 0,93077 0,95206 0,96282 0,96919 0,97335 0,97627 0,97841 0,98005 0,98134 2,5 0,87888 0,93519 0,95615 0,96662 0,97275 0,97674 0,97950 0,98153 0,98307 0,98428 2,6 0,88312 0,93923 0,95981 0,96998 0,97588 0,97967 0,98229 0,98419 0,98563 0,98675 2,7 0,88709 0,94292 0,96311 0,97295 0,97861 0,98221 0,98468 0,98646 0,98780 0,98884 2,8 0,89081 0,94630 0,96607 0,97559 0,98100 0,98442 0,98674 0,98840 0,98964 0,99060 2,9 0,89430 0,94941 0,96875 0,97794 0,98310 0,98633 0,98851 0,99005 0,99120 0,99208 3,0 0,89758 0,95227 0,97117 0,98003 0,98495 0,98800 0,99003 0,99146 0,99252 0,99333


401



� � E0

�

��

��

��

��

��I�

��

�� I

�t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

H

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 3,1 0,90067 0,95490 0,97335 0,98189 0,98657 0,98944 0,99134 0,99267 0,99364 0,99437 3,2 0,90359 0,95733 0,97533 0,98355 0,98800 0,99070 0,99247 0,99369 0,99458 0,99525 3,3 0,90634 0,95958 0,97713 0,98503 0,98926 0,99180 0,99344 0,99457 0,99539 0,99599 3,4 0,90895 0,96166 0,97877 0,98636 0,99037 0,99275 0,99428 0,99532 0,99606 0,99661 3,5 0,91141 0,96359 0,98026 0,98755 0,99136 0,99359 0,99500 0,99596 0,99664 0,99714 3,6 0,91375 0,96538 0,98162 0,98862 0,99223 0,99432 0,99563 0,99651 0,99713 0,99758 3,7 0,91598 0,96705 0,98286 0,98958 0,99300 0,99496 0,99617 0,99698 0,99754 0,99795 3,8 0,91809 0,96860 0,98400 0,99045 0,99369 0,99552 0,99664 0,99738 0,99789 0,99826 3,9 0,92010 0,97005 0,98504 0,99123 0,99430 0,99601 0,99705 0,99773 0,99819 0,99852 4,0 0,92202 0,97140 0,98600 0,99193 0,99484 0,99644 0,99741 0,99803 0,99844 0,99874 4,1 0,92385 0,97267 0,98687 0,99257 0,99532 0,99682 0,99771 0,99828 0,99866 0,99893 4,2 0,92560 0,97386 0,98768 0,99315 0,99576 0,99716 0,99798 0,99850 0,99885 0,99909 4,3 0,92727 0,97497 0,98843 0,99368 0,99614 0,99745 0,99822 0,99869 0,99900 0,99922 4,4 0,92887 0,97602 0,98912 0,99415 0,99649 0,99772 0,99842 0,99886 0,99914 0,99933 4,5 0,93040 0,97700 0,98975 0,99459 0,99680 0,99795 0,99860 0,99900 0,99926 0,99943 4,6 0,93186 0,97792 0,99034 0,99498 0,99708 0,99815 0,99876 0,99912 0,99935 0,99951 4,7 0,93327 0,97879 0,99089 0,99535 0,99733 0,99834 0,99890 0,99923 0,99944 0,99958 4,8 0,93462 0,97962 0,99140 0,99568 0,99756 0,99850 0,99902 0,99932 0,99951 0,99964 4,9 0,93592 0,98039 0,99187 0,99598 0,99776 0,99864 0,99912 0,99940 0,99958 0,99969 5,0 0,93717 0,98113 0,99230 0,99625 0,99795 0,99877 0,99922 0,99947 0,99963 0,99973 5,1 0,93837 0,98182 0,99271 0,99651 0,99811 0,99889 0,99930 0,99954 0,99968 0,99977 5,2 0,93952 0,98248 0,99309 0,99674 0,99827 0,99899 0,99937 0,99959 0,99972 0,99980 5,3 0,94064 0,98310 0,99344 0,99696 0,99840 0,99909 0,99944 0,99964 0,99975 0,99983 5,4 0,94171 0,98369 0,99378 0,99715 0,99853 0,99917 0,99950 0,99968 0,99978 0,99985 5,5 0,94275 0,98425 0,99409 0,99734 0,99864 0,99924 0,99955 0,99971 0,99981 0,99987 5,6 0,94375 0,98478 0,99437 0,99750 0,99875 0,99931 0,99959 0,99974 0,99983 0,99989 5,7 0,94472 0,98529 0,99465 0,99766 0,99884 0,99937 0,99963 0,99977 0,99985 0,99990 5,8 0,94565 0,98577 0,99490 0,99780 0,99893 0,99942 0,99967 0,99980 0,99987 0,99991 5,9 0,94656 0,98623 0,99514 0,99794 0,99900 0,99947 0,99970 0,99982 0,99989 0,99992 6,0 0,94743 0,98666 0,99536 0,99806 0,99908 0,99952 0,99973 0,99984 0,99990 0,99993

402


� � E0

�

��

��

��

��

��I�

��

�� I

�t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

H

n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 0,0 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,1 0,53893 0,53900 0,53906 0,53912 0,53917 0,53921 0,53924 0,53928 0,53930 0,53933 0,2 0,57743 0,57759 0,57771 0,57782 0,57792 0,57800 0,57807 0,57814 0,57820 0,57825 0,3 0,61511 0,61534 0,61554 0,61571 0,61585 0,61598 0,61609 0,61619 0,61628 0,61636 0,4 0,65159 0,65191 0,65217 0,65240 0,65260 0,65278 0,65293 0,65307 0,65319 0,65330 0,5 0,68654 0,68694 0,68728 0,68758 0,68783 0,68806 0,68826 0,68843 0,68859 0,68873 0,6 0,71967 0,72017 0,72059 0,72095 0,72127 0,72155 0,72179 0,72201 0,72220 0,72238 0,7 0,75077 0,75136 0,75187 0,75230 0,75268 0,75301 0,75330 0,75356 0,75379 0,75400 0,8 0,77968 0,78037 0,78096 0,78146 0,78190 0,78229 0,78263 0,78293 0,78320 0,78344 0,9 0,80630 0,80709 0,80776 0,80833 0,80883 0,80927 0,80965 0,81000 0,81031 0,81059 1,0 0,83060 0,83148 0,83222 0,83286 0,83341 0,83390 0,83433 0,83472 0,83506 0,83537 1,1 0,85259 0,85355 0,85436 0,85506 0,85566 0,85620 0,85667 0,85709 0,85746 0,85780 1,2 0,87233 0,87335 0,87422 0,87497 0,87563 0,87620 0,87670 0,87715 0,87756 0,87792 1,3 0,88991 0,89099 0,89191 0,89270 0,89339 0,89399 0,89452 0,89500 0,89542 0,89581 1,4 0,90546 0,90658 0,90754 0,90836 0,90907 0,90970 0,91025 0,91074 0,91118 0,91158 1,5 0,91912 0,92027 0,92125 0,92209 0,92282 0,92346 0,92402 0,92452 0,92498 0,92538 1,6 0,93105 0,93221 0,93320 0,93404 0,93478 0,93542 0,93599 0,93650 0,93695 0,93736 1,7 0,94140 0,94256 0,94354 0,94439 0,94512 0,94576 0,94632 0,94683 0,94728 0,94768 1,8 0,95034 0,95148 0,95245 0,95328 0,95400 0,95463 0,95518 0,95568 0,95612 0,95652 1,9 0,95802 0,95914 0,96008 0,96089 0,96158 0,96220 0,96273 0,96321 0,96364 0,96403 2,0 0,96460 0,96567 0,96658 0,96736 0,96803 0,96861 0,96913 0,96959 0,97000 0,97037 2,1 0,97020 0,97123 0,97209 0,97283 0,97347 0,97403 0,97452 0,97495 0,97534 0,97569 2,2 0,97496 0,97593 0,97675 0,97745 0,97805 0,97858 0,97904 0,97945 0,97981 0,98014 2,3 0,97898 0,97990 0,98067 0,98132 0,98189 0,98238 0,98281 0,98319 0,98352 0,98383 2,4 0,98238 0,98324 0,98396 0,98457 0,98509 0,98554 0,98594 0,98629 0,98660 0,98688 2,5 0,98525 0,98604 0,98671 0,98727 0,98775 0,98816 0,98853 0,98885 0,98913 0,98938 2,6 0,98765 0,98839 0,98900 0,98951 0,98995 0,99033 0,99066 0,99095 0,99121 0,99144 2,7 0,98967 0,99035 0,99090 0,99137 0,99177 0,99211 0,99241 0,99267 0,99291 0,99311 2,8 0,99136 0,99198 0,99249 0,99291 0,99327 0,99358 0,99385 0,99408 0,99429 0,99447 2,9 0,99278 0,99334 0,99380 0,99418 0,99450 0,99478 0,99502 0,99523 0,99541 0,99557 3,0 0,99396 0,99447 0,99488 0,99522 0,99551 0,99576 0,99597 0,99616 0,99632 0,99646


403



� � E0

�

��

��

��

��

��I�

��

�� I

�t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

H

n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 3,1 0,99495 0,99541 0,99578 0,99608 0,99634 0,99656 0,99675 0,99691 0,99705 0,99718 3,2 0,99577 0,99618 0,99652 0,99679 0,99702 0,99721 0,99738 0,99752 0,99764 0,99775 3,3 0,99646 0,99683 0,99713 0,99737 0,99757 0,99774 0,99788 0,99801 0,99812 0,99821 3,4 0,99704 0,99737 0,99763 0,99784 0,99802 0,99817 0,99830 0,99840 0,99850 0,99858 3,5 0,99751 0,99781 0,99804 0,99823 0,99839 0,99852 0,99863 0,99872 0,99880 0,99887 3,6 0,99792 0,99818 0,99838 0,99855 0,99869 0,99880 0,99890 0,99898 0,99905 0,99911 3,7 0,99825 0,99848 0,99866 0,99881 0,99893 0,99903 0,99911 0,99918 0,99924 0,99929 3,8 0,99853 0,99874 0,99890 0,99902 0,99913 0,99921 0,99928 0,99934 0,99940 0,99944 3,9 0,99876 0,99894 0,99909 0,99920 0,99929 0,99936 0,99942 0,99948 0,99952 0,99956 4,0 0,99896 0,99912 0,99924 0,99934 0,99942 0,99948 0,99954 0,99958 0,99962 0,99965 4,1 0,99912 0,99926 0,99937 0,99946 0,99953 0,99958 0,99963 0,99966 0,99970 0,99972 4,2 0,99926 0,99938 0,99948 0,99955 0,99961 0,99966 0,99970 0,99973 0,99976 0,99978 4,3 0,99937 0,99948 0,99957 0,99963 0,99968 0,99972 0,99976 0,99978 0,99981 0,99983 4,4 0,99947 0,99957 0,99964 0,99970 0,99974 0,99978 0,99980 0,99983 0,99985 0,99986 4,5 0,99955 0,99964 0,99970 0,99975 0,99979 0,99982 0,99984 0,99986 0,99988 0,99989 4,6 0,99962 0,99969 0,99975 0,99979 0,99983 0,99985 0,99987 0,99989 0,99990 0,99991 4,7 0,99967 0,99974 0,99979 0,99983 0,99986 0,99988 0,99990 0,99991 0,99992 0,99993 4,8 0,99972 0,99978 0,99983 0,99986 0,99988 0,99990 0,99992 0,99993 0,99994 0,99995 4,9 0,99976 0,99982 0,99985 0,99988 0,99990 0,99992 0,99993 0,99994 0,99995 0,99996 5,0 0,99980 0,99985 0,99988 0,99990 0,99992 0,99993 0,99995 0,99995 0,99996 0,99997 5,1 0,99983 0,99987 0,99990 0,99992 0,99993 0,99995 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 5,2 0,99985 0,99989 0,99991 0,99993 0,99995 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 0,99998 5,3 0,99987 0,99991 0,99993 0,99994 0,99996 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 5,4 0,99989 0,99992 0,99994 0,99995 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99999 5,5 0,99991 0,99993 0,99995 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 5,6 0,99992 0,99994 0,99996 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 5,7 0,99993 0,99995 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 5,8 0,99994 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 5,9 0,99995 0,99996 0,99997 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 6,0 0,99996 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 1,00000

404


� � E0

�

��

��

��

��

��I�

��

�� I

�t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

H

n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 t 0,0 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,1 0,53935 0,53937 0,53939 0,53941 0,53943 0,53944 0,53946 0,53947 0,53948 0,53950 0,2 0,57830 0,57834 0,57838 0,57842 0,57845 0,57848 0,57851 0,57854 0,57856 0,57858 0,3 0,61644 0,61650 0,61656 0,61662 0,61667 0,61672 0,61676 0,61680 0,61684 0,61688 0,4 0,65340 0,65349 0,65358 0,65365 0,65372 0,65379 0,65385 0,65390 0,65396 0,65400 0,5 0,68886 0,68898 0,68909 0,68919 0,68928 0,68936 0,68944 0,68951 0,68958 0,68964 0,6 0,72254 0,72268 0,72281 0,72294 0,72305 0,72315 0,72325 0,72333 0,72342 0,72349 0,7 0,75420 0,75437 0,75453 0,75467 0,75480 0,75493 0,75504 0,75515 0,75525 0,75534 0,8 0,78367 0,78387 0,78405 0,78422 0,78438 0,78452 0,78465 0,78478 0,78489 0,78500 0,9 0,81084 0,81107 0,81128 0,81147 0,81165 0,81181 0,81196 0,81210 0,81223 0,81236 1,0 0,83565 0,83591 0,83614 0,83636 0,83655 0,83674 0,83691 0,83706 0,83721 0,83735 1,1 0,85811 0,85839 0,85864 0,85888 0,85909 0,85929 0,85948 0,85965 0,85981 0,85996 1,2 0,87825 0,87855 0,87882 0,87907 0,87931 0,87952 0,87972 0,87990 0,88007 0,88023 1,3 0,89616 0,89647 0,89676 0,89703 0,89727 0,89750 0,89770 0,89790 0,89808 0,89825 1,4 0,91194 0,91227 0,91257 0,91285 0,91310 0,91333 0,91355 0,91375 0,91394 0,91411 1,5 0,92575 0,92609 0,92639 0,92667 0,92693 0,92717 0,92739 0,92760 0,92779 0,92797 1,6 0,93773 0,93807 0,93838 0,93866 0,93892 0,93916 0,93938 0,93959 0,93978 0,93996 1,7 0,94805 0,94839 0,94869 0,94897 0,94923 0,94947 0,94969 0,94989 0,95008 0,95026 1,8 0,95688 0,95720 0,95750 0,95778 0,95803 0,95826 0,95848 0,95868 0,95886 0,95904 1,9 0,96437 0,96469 0,96498 0,96524 0,96549 0,96571 0,96592 0,96611 0,96629 0,96646 2,0 0,97070 0,97100 0,97128 0,97153 0,97176 0,97198 0,97217 0,97236 0,97253 0,97269 2,1 0,97601 0,97629 0,97655 0,97679 0,97701 0,97721 0,97740 0,97757 0,97773 0,97788 2,2 0,98043 0,98070 0,98094 0,98116 0,98137 0,98155 0,98173 0,98189 0,98204 0,98218 2,3 0,98410 0,98435 0,98457 0,98478 0,98496 0,98514 0,98530 0,98544 0,98558 0,98571 2,4 0,98713 0,98735 0,98756 0,98775 0,98792 0,98807 0,98822 0,98836 0,98848 0,98860 2,5 0,98961 0,98982 0,99000 0,99017 0,99033 0,99047 0,99060 0,99072 0,99084 0,99094 2,6 0,99164 0,99183 0,99200 0,99215 0,99229 0,99242 0,99253 0,99264 0,99274 0,99284 2,7 0,99330 0,99346 0,99361 0,99375 0,99387 0,99398 0,99409 0,99419 0,99427 0,99436 2,8 0,99464 0,99478 0,99491 0,99504 0,99515 0,99525 0,99534 0,99542 0,99550 0,99557 2,9 0,99572 0,99585 0,99596 0,99607 0,99617 0,99625 0,99633 0,99641 0,99648 0,99654 3,0 0,99659 0,99670 0,99680 0,99690 0,99698 0,99706 0,99713 0,99719 0,99725 0,99731


405



� � E0

�

��

��

��

��

��I�

��

�� I

�t

n

dtnt

nn

n

tS2

12

1

2

21

H

n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 t 3,1 0,99729 0,99739 0,99748 0,99756 0,99763 0,99769 0,99775 0,99781 0,99786 0,99791 3,2 0,99785 0,99793 0,99801 0,99808 0,99814 0,99820 0,99825 0,99830 0,99834 0,99838 3,3 0,99830 0,99837 0,99843 0,99849 0,99855 0,99860 0,99864 0,99868 0,99872 0,99875 3,4 0,99865 0,99871 0,99877 0,99882 0,99887 0,99891 0,99894 0,99898 0,99901 0,99904 3,5 0,99893 0,99899 0,99904 0,99908 0,99912 0,99915 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 3,6 0,99916 0,99920 0,99924 0,99928 0,99931 0,99934 0,99937 0,99939 0,99941 0,99943 3,7 0,99934 0,99937 0,99941 0,99944 0,99947 0,99949 0,99951 0,99953 0,99955 0,99957 3,8 0,99948 0,99951 0,99954 0,99956 0,99959 0,99961 0,99963 0,99964 0,99966 0,99967 3,9 0,99959 0,99962 0,99964 0,99966 0,99968 0,99970 0,99971 0,99973 0,99974 0,99975 4,0 0,99968 0,99970 0,99972 0,99974 0,99975 0,99977 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 4,1 0,99974 0,99976 0,99978 0,99980 0,99981 0,99982 0,99983 0,99984 0,99985 0,99986 4,2 0,99980 0,99981 0,99983 0,99984 0,99985 0,99986 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 4,3 0,99984 0,99986 0,99987 0,99988 0,99989 0,99989 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 4,4 0,99988 0,99989 0,99990 0,99990 0,99991 0,99992 0,99992 0,99993 0,99993 0,99994 4,5 0,99990 0,99991 0,99992 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 4,6 0,99992 0,99993 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 4,7 0,99994 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 4,8 0,99995 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 4,9 0,99996 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 5,0 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 5,1 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 5,2 0,99998 0,99998 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 5,3 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 5,4 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 5,5 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 5,6 0,99999 0,99999 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 5,7 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 5,8 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 5,9 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 6,0 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000

406

FISHER - SNEDECOROVA F DISTRIBUCIJA VJEROVATNO�E

� �dF

F

FB

FPF

��

��

� E0�

�

0

21

121

2)(

12

12

21

22

21

),()( LL

LLL

LLLLLL

P(F)=0,1 n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n2 1 39,8635 49,5000 53,5932 55,8330 57,2401 58,2044 58,9060 59,4390 59,8576 60,1950 2 8,5263 9,0000 9,1618 9,2434 9,2926 9,3255 9,3491 9,3668 9,3805 9,3916 3 5,5383 5,4624 5,3908 5,3426 5,3092 5,2847 5,2662 5,2517 5,2400 5,2304 4 4,5448 4,3246 4,1909 4,1072 4,0506 4,0097 3,9790 3,9549 3,9357 3,9199 5 4,0604 3,7797 3,6195 3,5202 3,4530 3,4045 3,3679 3,3393 3,3163 3,2974 6 3,7759 3,4633 3,2888 3,1808 3,1075 3,0546 3,0145 2,9830 2,9577 2,9369 7 3,5894 3,2574 3,0741 2,9605 2,8833 2,8274 2,7849 2,7516 2,7247 2,7025 8 3,4579 3,1131 2,9238 2,8064 2,7264 2,6683 2,6241 2,5893 2,5612 2,5380 9 3,3603 3,0065 2,8129 2,6927 2,6106 2,5509 2,5053 2,4694 2,4403 2,4163 10 3,2850 2,9245 2,7277 2,6053 2,5216 2,4606 2,4140 2,3772 2,3473 2,3226 12 3,1765 2,8068 2,6055 2,4801 2,3940 2,3310 2,2828 2,2446 2,2135 2,1878 15 3,0732 2,6952 2,4898 2,3614 2,2730 2,2081 2,1582 2,1185 2,0862 2,0593 20 2,9747 2,5893 2,3801 2,2489 2,1582 2,0913 2,0397 1,9985 1,9649 1,9367 24 2,9271 2,5383 2,3274 2,1949 2,1030 2,0351 1,9826 1,9407 1,9063 1,8775 30 2,8807 2,4887 2,2761 2,1422 2,0492 1,9803 1,9269 1,8841 1,8490 1,8195 40 2,8354 2,4404 2,2261 2,0909 1,9968 1,9269 1,8725 1,8289 1,7929 1,7627 60 2,7911 2,3933 2,1774 2,0410 1,9457 1,8747 1,8194 1,7748 1,7380 1,7070 120 2,7478 2,3473 2,1300 1,9923 1,8959 1,8238 1,7675 1,7220 1,6842 1,6524 0� 2,7055 2,3026 2,0838 1,9449 1,8473 1,7741 1,7167 1,6702 1,6315 1,5987

n1 12 15 20 24 30 40 60 120 0

n2 1 60,7052 61,2203 61,7403 62,0020 62,2650 62,5291 62,7943 63,0606 63,3282 2 9,4081 9,4247 9,4413 9,4496 9,4579 9,4662 9,4746 9,4829 9,4912 3 5,2156 5,2003 5,1845 5,1764 5,1681 5,1597 5,1512 5,1425 5,1337 4 3,8955 3,8704 3,8443 3,8310 3,8174 3,8036 3,7896 3,7753 3,7607 5 3,2682 3,2380 3,2067 3,1905 3,1741 3,1573 3,1402 3,1228 3,1050 6 2,9047 2,8712 2,8363 2,8183 2,8000 2,7812 2,7620 2,7423 2,7222 7 2,6681 2,6322 2,5947 2,5753 2,5555 2,5351 2,5142 2,4928 2,4708 8 2,5020 2,4642 2,4246 2,4041 2,3830 2,3614 2,3391 2,3162 2,2926 9 2,3789 2,3396 2,2983 2,2768 2,2547 2,2320 2,2085 2,1843 2,1592 10 2,2841 2,2435 2,2007 2,1784 2,1554 2,1317 2,1072 2,0818 2,0554 12 2,1474 2,1049 2,0597 2,0360 2,0115 1,9861 1,9597 1,9323 1,9036 15 2,0171 1,9722 1,9243 1,8990 1,8728 1,8454 1,8168 1,7867 1,7551 20 1,8924 1,8449 1,7938 1,7667 1,7382 1,7083 1,6768 1,6433 1,6074 24 1,8319 1,7831 1,7302 1,7019 1,6721 1,6407 1,6073 1,5715 1,5327 30 1,7727 1,7223 1,6673 1,6377 1,6065 1,5732 1,5376 1,4989 1,4564 40 1,7146 1,6624 1,6052 1,5741 1,5411 1,5056 1,4672 1,4248 1,3769 60 1,6574 1,6034 1,5435 1,5107 1,4755 1,4373 1,3952 1,3476 1,2915 120 1,6012 1,5450 1,4821 1,4472 1,4094 1,3676 1,3203 1,2646 1,1926 0 1,5458 1,4871 1,4206 1,3832 1,3419 1,2951 1,2400 1,1686 1,0000


407



� �dF

F

FB

FPF

��

��

� E0�

�

0

21

121

2)(

12

12

21

22

21

),()( LL

LLL

LLLLLL

P(F)=0,05 n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n2 1 161,4476 199,5000 215,7073 224,5832 230,1619 233,9860 236,7684 238,8827 240,5433 241,8817 2 18,5128 19,0000 19,1643 19,2468 19,2964 19,3295 19,3532 19,3710 19,3848 19,3959 3 10,1280 9,5521 9,2766 9,1172 9,0135 8,9406 8,8867 8,8452 8,8123 8,7855 4 7,7086 6,9443 6,5914 6,3882 6,2561 6,1631 6,0942 6,0410 5,9988 5,9644 5 6,6079 5,7861 5,4095 5,1922 5,0503 4,9503 4,8759 4,8183 4,7725 4,7351 6 5,9874 5,1433 4,7571 4,5337 4,3874 4,2839 4,2067 4,1468 4,0990 4,0600 7 5,5914 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,8660 3,7870 3,7257 3,6767 3,6365 8 5,3177 4,4590 4,0662 3,8379 3,6875 3,5806 3,5005 3,4381 3,3881 3,3472 9 5,1174 4,2565 3,8625 3,6331 3,4817 3,3738 3,2927 3,2296 3,1789 3,1373 10 4,9646 4,1028 3,7083 3,4780 3,3258 3,2172 3,1355 3,0717 3,0204 2,9782 12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,9961 2,9134 2,8486 2,7964 2,7534 15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,7905 2,7066 2,6408 2,5876 2,5437 20 4,3512 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,5990 2,5140 2,4471 2,3928 2,3479 24 4,2597 3,4028 3,0088 2,7763 2,6207 2,5082 2,4226 2,3551 2,3002 2,2547 30 4,1709 3,3158 2,9223 2,6896 2,5336 2,4205 2,3343 2,2662 2,2107 2,1646 40 4,0847 3,2317 2,8387 2,6060 2,4495 2,3359 2,2490 2,1802 2,1240 2,0772 60 4,0012 3,1504 2,7581 2,5252 2,3683 2,2541 2,1665 2,0970 2,0401 1,9926 120 3,9201 3,0718 2,6802 2,4472 2,2899 2,1750 2,0868 2,0164 1,9588 1,9105 0� 3,8415 2,9957 2,6049 2,3719 2,2141 2,0986 2,0096 1,9384 1,8799 1,8307

n1 12 15 20 24 30 40 60 120 0�

n2 1 243,9060 245,9499 248,0131 249,0518 250,0951 251,1432 252,1957 253,2529 254,3148 2 19,4125 19,4291 19,4458 19,4541 19,4624 19,4707 19,4791 19,4874 19,4957 3 8,7446 8,7029 8,6602 8,6385 8,6166 8,5944 8,5720 8,5494 8,5264 4 5,9117 5,8578 5,8025 5,7744 5,7459 5,7170 5,6877 5,6581 5,6281 5 4,6777 4,6188 4,5581 4,5272 4,4957 4,4638 4,4314 4,3985 4,3650 6 3,9999 3,9381 3,8742 3,8415 3,8082 3,7743 3,7398 3,7047 3,6689 7 3,5747 3,5107 3,4445 3,4105 3,3758 3,3404 3,3043 3,2674 3,2297 8 3,2839 3,2184 3,1503 3,1152 3,0794 3,0428 3,0053 2,9669 2,9276 9 3,0729 3,0061 2,9365 2,9005 2,8637 2,8259 2,7872 2,7475 2,7067 10 2,9130 2,8450 2,7740 2,7372 2,6996 2,6609 2,6211 2,5801 2,5379 12 2,6866 2,6169 2,5436 2,5055 2,4663 2,4259 2,3842 2,3410 2,2962 15 2,4753 2,4034 2,3275 2,2878 2,2468 2,2043 2,1601 2,1141 2,0658 20 2,2776 2,2033 2,1242 2,0825 2,0391 1,9938 1,9464 1,8963 1,8432 24 2,1834 2,1077 2,0267 1,9838 1,9390 1,8920 1,8424 1,7896 1,7330 30 2,0921 2,0148 1,9317 1,8874 1,8409 1,7918 1,7396 1,6835 1,6223 40 2,0035 1,9245 1,8389 1,7929 1,7444 1,6928 1,6373 1,5766 1,5089 60 1,9174 1,8364 1,7480 1,7001 1,6491 1,5943 1,5343 1,4673 1,3893 120 1,8337 1,7505 1,6587 1,6084 1,5543 1,4952 1,4290 1,3519 1,2539 0� 1,7522 1,6664 1,5705 1,5173 1,4591 1,3940 1,3180 1,2214 1,0000

408


� �dF

F

FB

FPF

��

��

� E0�

�

0

21

121

2)(

12

12

21

22

21

),()( LL

LLL

LLLLLL

P(F)=0,01 n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n2 1 4052,1807 4999,5000 5403,3520 5624,5833 5763,6496 5858,9861 5928,3557 5981,0703 6022,4732 6055,8467 2 98,5025 99,0000 99,1662 99,2494 99,2993 99,3326 99,3564 99,3742 99,3881 99,3992 3 34,1162 30,8165 29,4567 28,7099 28,2371 27,9107 27,6717 27,4892 27,3452 27,2287 4 21,1977 18,0000 16,6944 15,9770 15,5219 15,2069 14,9758 14,7989 14,6591 14,5459 5 16,2582 13,2739 12,0600 11,3919 10,9670 10,6723 10,4555 10,2893 10,1578 10,0510 6 13,7450 10,9248 9,7795 9,1483 8,7459 8,4661 8,2600 8,1017 7,9761 7,8741 7 12,2464 9,5466 8,4513 7,8466 7,4604 7,1914 6,9928 6,8400 6,7188 6,6201 8 11,2586 8,6491 7,5910 7,0061 6,6318 6,3707 6,1776 6,0289 5,9106 5,8143 9 10,5614 8,0215 6,9919 6,4221 6,0569 5,8018 5,6129 5,4671 5,3511 5,2565 10 10,0443 7,5594 6,5523 5,9943 5,6363 5,3858 5,2001 5,0567 4,9424 4,8491 12 9,3302 6,9266 5,9525 5,4120 5,0643 4,8206 4,6395 4,4994 4,3875 4,2961 15 8,6831 6,3589 5,4170 4,8932 4,5556 4,3183 4,1415 4,0045 3,8948 3,8049 20 8,0960 5,8489 4,9382 4,4307 4,1027 3,8714 3,6987 3,5644 3,4567 3,3682 24 7,8229 5,6136 4,7181 4,2184 3,8951 3,6667 3,4959 3,3629 3,2560 3,1681 30 7,5625 5,3903 4,5097 4,0179 3,6990 3,4735 3,3045 3,1726 3,0665 2,9791 40 7,3141 5,1785 4,3126 3,8283 3,5138 3,2910 3,1238 2,9930 2,8876 2,8005 60 7,0771 4,9774 4,1259 3,6490 3,3389 3,1187 2,9530 2,8233 2,7185 2,6318 120 6,8509 4,7865 3,9491 3,4795 3,1735 2,9559 2,7918 2,6629 2,5586 2,4721 0� 6,6349 4,6052 3,7816 3,3192 3,0173 2,8020 2,6393 2,5113 2,4073 2,3209

n1 12 15 20 24 30 40 60 120 0

n2 1 6106,3207 6157,2846 6208,7302 6234,6309 6260,6486 6286,7821 6313,0301 6339,3913 6365,8685 2 99,4159 99,4325 99,4492 99,4575 99,4658 99,4742 99,4825 99,4908 99,4992 3 27,0518 26,8722 26,6898 26,5975 26,5045 26,4108 26,3164 26,2211 26,1251 4 14,3736 14,1982 14,0196 13,9291 13,8377 13,7454 13,6522 13,5581 13,4631 5 9,8883 9,7222 9,5526 9,4665 9,3793 9,2912 9,2020 9,1118 9,0204 6 7,7183 7,5590 7,3958 7,3127 7,2285 7,1432 7,0567 6,9690 6,8800 7 6,4691 6,3143 6,1554 6,0743 5,9920 5,9084 5,8236 5,7373 5,6495 8 5,6667 5,5151 5,3591 5,2793 5,1981 5,1156 5,0316 4,9461 4,8588 9 5,1114 4,9621 4,8080 4,7290 4,6486 4,5666 4,4831 4,3978 4,3105 10 4,7059 4,5581 4,4054 4,3269 4,2469 4,1653 4,0819 3,9965 3,9090 12 4,1553 4,0096 3,8584 3,7805 3,7008 3,6192 3,5355 3,4494 3,3608 15 3,6662 3,5222 3,3719 3,2940 3,2141 3,1319 3,0471 2,9595 2,8684 20 3,2311 3,0880 2,9377 2,8594 2,7785 2,6947 2,6077 2,5168 2,4212 24 3,0316 2,8887 2,7380 2,6591 2,5773 2,4923 2,4035 2,3100 2,2107 30 2,8431 2,7002 2,5487 2,4689 2,3860 2,2992 2,2079 2,1108 2,0062 40 2,6648 2,5216 2,3689 2,2880 2,2034 2,1142 2,0194 1,9172 1,8047 60 2,4961 2,3523 2,1978 2,1154 2,0285 1,9360 1,8363 1,7263 1,6006 120 2,3363 2,1915 2,0346 1,9500 1,8600 1,7628 1,6557 1,5330 1,3805 0� 2,1847 2,0385 1,8783 1,7908 1,6964 1,5923 1,4730 1,3246 1,0000


409


HI-KVADRAT DISTRIBUCIJA VJEROVATNO�E - funkcija distribucije vjerovatno�e F (hi kvadrat)

� � � � � �22

0

22

2

2

2

22

22

1 ��

den

Fjx n

n

��

��I

� E

hi n 1 2 3 4 5 6 7 8 kvadrat 0,001 0,025227 0,000500 0,000008 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,01 0,079656 0,004988 0,000265 0,000012 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,05 0,176937 0,024690 0,002929 0,000307 0,000029 0,000003 0,000000 0,000000 0,1 0,248170 0,048771 0,008163 0,001209 0,000162 0,000020 0,000002 0,000000 0,2 0,345279 0,095163 0,022411 0,004679 0,000886 0,000155 0,000025 0,000004 0,3 0,416118 0,139292 0,039972 0,010186 0,002357 0,000503 0,000100 0,000019 0,4 0,472911 0,181269 0,059758 0,017523 0,004670 0,001148 0,000263 0,000057 0,5 0,520500 0,221199 0,081109 0,026499 0,007877 0,002161 0,000554 0,000133 0,6 0,561422 0,259182 0,103568 0,036936 0,011997 0,003599 0,001008 0,000266 0,7 0,597216 0,295312 0,126796 0,048671 0,017031 0,005509 0,001664 0,000473 0,8 0,628907 0,329680 0,150533 0,061552 0,022967 0,007926 0,002556 0,000776 0,9 0,657218 0,362372 0,174572 0,075439 0,029778 0,010879 0,003715 0,001195 1 0,682689 0,393469 0,198748 0,090204 0,037434 0,014388 0,005171 0,001752 2 0,842701 0,632121 0,427593 0,264241 0,150855 0,080301 0,040160 0,018988 3 0,916735 0,776870 0,608375 0,442175 0,300014 0,191153 0,114998 0,065642 4 0,954500 0,864665 0,738536 0,593994 0,450584 0,323324 0,220223 0,142877 5 0,974653 0,917915 0,828203 0,712703 0,584120 0,456187 0,340037 0,242424 6 0,985694 0,950213 0,888390 0,800852 0,693781 0,576810 0,460251 0,352768 7 0,991849 0,969803 0,928102 0,864112 0,779360 0,679153 0,571120 0,463367 8 0,995322 0,981684 0,953988 0,908422 0,843764 0,761897 0,667406 0,566530 9 0,997300 0,988891 0,970709 0,938901 0,890936 0,826422 0,747344 0,657704 10 0,998435 0,993262 0,981434 0,959572 0,924765 0,875348 0,811427 0,734974 11 0,999089 0,995913 0,988274 0,973436 0,948620 0,911624 0,861381 0,798301 12 0,999468 0,997521 0,992617 0,982649 0,965212 0,938031 0,899441 0,848796 13 0,999689 0,998497 0,995363 0,988724 0,976621 0,956964 0,927892 0,888150 14 0,999817 0,999088 0,997095 0,992705 0,984391 0,970364 0,948819 0,918235 15 0,999892 0,999447 0,998183 0,995299 0,989638 0,979743 0,964001 0,940855 16 0,999937 0,999665 0,998866 0,996981 0,993156 0,986246 0,974884 0,957620 17 0,999963 0,999797 0,999293 0,998067 0,995500 0,990717 0,982604 0,969891 18 0,999978 0,999877 0,999560 0,998766 0,997054 0,993768 0,988030 0,978774 19 0,999987 0,999925 0,999727 0,999214 0,998078 0,995836 0,991813 0,985140 20 0,999992 0,999955 0,999830 0,999501 0,998750 0,997231 0,994430 0,989664

410


� � � � � �22

0

22

2

2

2

22

22

1 ��

den

Fjx n

n

��

��I

� E

hi n 1 2 3 4 5 6 7 8 kvadrat 21 0,999995 0,999972 0,999895 0,999683 0,999190 0,998165 0,996230 0,992853 22 0,999997 0,999983 0,999935 0,999800 0,999476 0,998789 0,997460 0,995084 23 0,999998 0,999990 0,999960 0,999873 0,999662 0,999204 0,998295 0,996636 24 0,999999 0,999994 0,999975 0,999920 0,999783 0,999478 0,998861 0,997708 25 0,999999 0,999996 0,999985 0,999950 0,999861 0,999659 0,999241 0,998445 26 1,000000 0,999998 0,999990 0,999968 0,999911 0,999777 0,999496 0,998950 27 1,000000 0,999999 0,999994 0,999980 0,999943 0,999855 0,999667 0,999293 28 1,000000 0,999999 0,999996 0,999988 0,999964 0,999906 0,999780 0,999526 29 1,000000 0,999999 0,999998 0,999992 0,999977 0,999939 0,999855 0,999683 30 1,000000 1,000000 0,999999 0,999995 0,999985 0,999961 0,999905 0,999789 31 1,000000 1,000000 0,999999 0,999997 0,999991 0,999975 0,999938 0,999859 32 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 0,999994 0,999984 0,999959 0,999907 33 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999996 0,999990 0,999974 0,999938 34 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 0,999993 0,999983 0,999959 35 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999998 0,999996 0,999989 0,999973 36 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999997 0,999993 0,999982 37 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 0,999995 0,999988 38 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999997 0,999992 39 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 0,999995 40 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999997 41 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 42 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999999 43 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 44 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 45 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 46 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 47 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 48 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 49 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 50 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000


411



� � � � � �22

0

22

2

2

2

22

22

1 ��

den

Fjx n

n

��

��I

� E

hi n 9 10 11 12 13 14 15 kvadrat 0,001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,01 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,05 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,2 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,3 0,000003 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,4 0,000012 0,000002 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,5 0,000030 0,000007 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,6 0,000066 0,000016 0,000004 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,7 0,000128 0,000033 0,000008 0,000002 0,000000 0,000000 0,000000 0,8 0,000223 0,000061 0,000016 0,000004 0,000001 0,000000 0,000000 0,9 0,000365 0,000106 0,000029 0,000008 0,000002 0,000001 0,000000 1 0,000562 0,000172 0,000050 0,000014 0,000004 0,000001 0,000000 2 0,008532 0,003660 0,001504 0,000594 0,000226 0,000083 0,000030 3 0,035705 0,018576 0,009274 0,004456 0,002066 0,000926 0,000402 4 0,088587 0,052653 0,030083 0,016564 0,008809 0,004534 0,002263 5 0,165692 0,108822 0,068833 0,042021 0,024807 0,014187 0,007874 6 0,260082 0,184737 0,126636 0,083918 0,053847 0,033509 0,020252 7 0,362881 0,274555 0,200916 0,142386 0,097848 0,065288 0,042350 8 0,465854 0,371163 0,286696 0,214870 0,156400 0,110674 0,076217 9 0,562726 0,467896 0,378108 0,297070 0,227056 0,168949 0,122483 10 0,649515 0,559507 0,469613 0,384039 0,306066 0,237817 0,180260 11 0,724291 0,642482 0,556737 0,471081 0,389182 0,313964 0,247406 12 0,786691 0,714943 0,636357 0,554320 0,472356 0,393697 0,320971 13 0,837394 0,776328 0,706675 0,630959 0,552188 0,473476 0,397702 14 0,877675 0,827008 0,767007 0,699292 0,626156 0,550289 0,474471 15 0,909064 0,867938 0,817503 0,758564 0,692647 0,621845 0,548583 16 0,933118 0,900368 0,858869 0,808764 0,750870 0,686626 0,617948 17 0,951284 0,925636 0,892124 0,850403 0,800696 0,743822 0,681136 18 0,964826 0,945036 0,918419 0,884309 0,842481 0,793219 0,737334 19 0,974807 0,959737 0,938906 0,911472 0,876896 0,835051 0,786266 20 0,982088 0,970747 0,954659 0,932914 0,904790 0,869859 0,828067

412


� � � � � �22

0

22

2

2

2

22

22

1 ��

den

Fjx n

n

��

��I

� E

hi n 9 10 11 12 13 14 15 kvadrat 21 0,987350 0,978906 0,966629 0,949620 0,927071 0,898367 0,863171 22 0,991121 0,984895 0,975627 0,962480 0,944638 0,921386 0,892196 23 0,993804 0,989253 0,982325 0,972274 0,958324 0,939730 0,915860 24 0,995699 0,992400 0,987267 0,979659 0,968870 0,954178 0,934907 25 0,997029 0,994654 0,990883 0,985177 0,976916 0,965433 0,950057 26 0,997957 0,996260 0,993510 0,989266 0,982999 0,974113 0,961977 27 0,998601 0,997396 0,995405 0,992273 0,987559 0,980746 0,971264 28 0,999046 0,998195 0,996763 0,994468 0,990950 0,985772 0,978431 29 0,999352 0,998754 0,997730 0,996060 0,993454 0,989550 0,983915 30 0,999561 0,999143 0,998415 0,997208 0,995290 0,992368 0,988079 31 0,999704 0,999413 0,998898 0,998030 0,996628 0,994456 0,991215 32 0,999801 0,999600 0,999237 0,998616 0,997598 0,995994 0,993562 33 0,999866 0,999728 0,999474 0,999032 0,998296 0,997119 0,995306 34 0,999911 0,999815 0,999638 0,999325 0,998796 0,997938 0,996595 35 0,999940 0,999875 0,999752 0,999532 0,999153 0,998530 0,997541 36 0,999960 0,999916 0,999831 0,999676 0,999407 0,998957 0,998232 37 0,999974 0,999943 0,999885 0,999777 0,999586 0,999262 0,998734 38 0,999983 0,999962 0,999922 0,999846 0,999712 0,999480 0,999098 39 0,999988 0,999975 0,999947 0,999895 0,999800 0,999635 0,999359 40 0,999992 0,999983 0,999964 0,999928 0,999862 0,999745 0,999547 41 0,999995 0,999989 0,999976 0,999951 0,999905 0,999822 0,999680 42 0,999997 0,999993 0,999984 0,999967 0,999935 0,999876 0,999775 43 0,999998 0,999995 0,999989 0,999977 0,999955 0,999914 0,999843 44 0,999999 0,999997 0,999993 0,999985 0,999969 0,999941 0,999890 45 0,999999 0,999998 0,999995 0,999990 0,999979 0,999959 0,999923 46 0,999999 0,999999 0,999997 0,999993 0,999986 0,999972 0,999947 47 1,000000 0,999999 0,999998 0,999995 0,999990 0,999981 0,999963 48 1,000000 0,999999 0,999999 0,999997 0,999993 0,999987 0,999975 49 1,000000 1,000000 0,999999 0,999998 0,999996 0,999991 0,999982 50 1,000000 1,000000 0,999999 0,999999 0,999997 0,999994 0,999988


413



� � � � � �22

0

22

2

2

2

22

22

1 ��

den

Fjx n

n

��

��I

� E

hi n 16 17 18 19 20 21 22 23 kvadrat 0,001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,01 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,05 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,3 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,4 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,5 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,6 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,7 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,8 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,9 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 2 0,000010 0,000003 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 3 0,000170 0,000070 0,000028 0,000011 0,000004 0,000002 0,000001 0,000000 4 0,001097 0,000517 0,000237 0,000106 0,000046 0,000020 0,000008 0,000003 5 0,004247 0,002229 0,001140 0,000569 0,000277 0,000132 0,000062 0,000028 6 0,011905 0,006814 0,003803 0,002072 0,001102 0,000574 0,000292 0,000146 7 0,026739 0,016451 0,009874 0,005787 0,003315 0,001858 0,001019 0,000548 8 0,051134 0,033453 0,021363 0,013329 0,008132 0,004856 0,002840 0,001628 9 0,086586 0,059738 0,040257 0,026521 0,017093 0,010786 0,006669 0,004043 10 0,133372 0,096390 0,068094 0,047054 0,031828 0,021088 0,013695 0,008723 11 0,190515 0,143436 0,105643 0,076162 0,053777 0,037213 0,025251 0,016812 12 0,256020 0,199863 0,152763 0,114375 0,083924 0,060382 0,042621 0,029529 13 0,327242 0,263814 0,208427 0,161429 0,122616 0,091376 0,066839 0,048010 14 0,401286 0,332898 0,270909 0,216309 0,169504 0,130401 0,098521 0,073129 15 0,475361 0,404518 0,338033 0,277403 0,223592 0,177048 0,137762 0,105366 16 0,547039 0,476165 0,407453 0,342722 0,283376 0,230349 0,184114 0,144731 17 0,614403 0,545634 0,476895 0,410132 0,347026 0,288894 0,236638 0,190748 18 0,676103 0,611159 0,544347 0,477562 0,412592 0,350996 0,294012 0,242511 19 0,731337 0,671468 0,608177 0,543164 0,478174 0,414860 0,354672 0,298775 20 0,779779 0,725771 0,667180 0,605422 0,542070 0,478739 0,416960 0,358088

414


� � � � � �22

0

22

2

2

2

22

22

1 ��

den

Fjx n

n

��

��I

� E

hi n 16 17 18 19 20 21 22 23 kvadrat 21 0,821489 0,773710 0,720587 0,663199 0,602867 0,541056 0,479262 0,418912 22 0,856808 0,815281 0,768015 0,715744 0,659489 0,600490 0,540111 0,479748 23 0,886265 0,850749 0,809410 0,762658 0,711205 0,656022 0,598270 0,539229 24 0,910496 0,880565 0,844972 0,803848 0,757608 0,706941 0,652771 0,596192 25 0,930175 0,905290 0,875084 0,839458 0,798569 0,752836 0,702925 0,649715 26 0,945972 0,925539 0,900242 0,869811 0,834188 0,793551 0,748318 0,699134 27 0,958517 0,941932 0,921005 0,895347 0,864736 0,829147 0,788774 0,744032 28 0,968380 0,955062 0,937945 0,916571 0,890601 0,859849 0,824319 0,784218 29 0,976064 0,965474 0,951621 0,934015 0,912241 0,885998 0,855139 0,819690 30 0,981998 0,973655 0,962554 0,948202 0,930146 0,908012 0,881536 0,850598 31 0,986544 0,980028 0,971213 0,959627 0,944810 0,926342 0,903884 0,877207 32 0,990000 0,984952 0,978013 0,968745 0,956702 0,941450 0,922604 0,899857 33 0,992610 0,988728 0,983310 0,975960 0,966259 0,953783 0,938126 0,918933 34 0,994567 0,991604 0,987404 0,981622 0,973875 0,963761 0,950876 0,934842 35 0,996026 0,993779 0,990548 0,986033 0,979896 0,971765 0,961255 0,947984 36 0,997107 0,995413 0,992944 0,989444 0,984619 0,978135 0,969634 0,958747 37 0,997903 0,996635 0,994759 0,992065 0,988298 0,983166 0,976344 0,967487 38 0,998487 0,997542 0,996127 0,994065 0,991144 0,987111 0,981678 0,974528 39 0,998912 0,998213 0,997150 0,995583 0,993333 0,990185 0,985888 0,980159 40 0,999221 0,998706 0,997913 0,996728 0,995005 0,992563 0,989188 0,984631 41 0,999445 0,999067 0,998478 0,997587 0,996275 0,994393 0,991759 0,988158 42 0,999605 0,999329 0,998894 0,998228 0,997234 0,995792 0,993749 0,990922 43 0,999721 0,999520 0,999200 0,998704 0,997956 0,996857 0,995281 0,993074 44 0,999803 0,999657 0,999423 0,999056 0,998495 0,997662 0,996453 0,994741 45 0,999861 0,999756 0,999586 0,999315 0,998897 0,998268 0,997346 0,996025 46 0,999903 0,999827 0,999703 0,999504 0,999194 0,998722 0,998022 0,997009 47 0,999932 0,999878 0,999788 0,999643 0,999413 0,999061 0,998532 0,997758 48 0,999953 0,999914 0,999849 0,999743 0,999575 0,999312 0,998915 0,998327 49 0,999967 0,999940 0,999893 0,999816 0,999693 0,999498 0,999201 0,998756 50 0,999977 0,999958 0,999925 0,999869 0,999779 0,999635 0,999414 0,999079


415



� � � � � �22

0

22

2

2

2

22

22

1 ��

den

Fjx n

n

��

��I

� E

hi n 24 25 26 27 28 29 30 kvadrat 0,001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,01 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,05 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,3 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,4 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,5 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,6 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,7 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,8 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,9 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 3 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 4 0,000001 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 5 0,000013 0,000006 0,000002 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 6 0,000071 0,000034 0,000016 0,000007 0,000003 0,000002 0,000001 7 0,000289 0,000150 0,000076 0,000038 0,000019 0,000009 0,000004 8 0,000915 0,000505 0,000274 0,000146 0,000076 0,000039 0,000020 9 0,002404 0,001404 0,000805 0,000454 0,000252 0,000137 0,000074 10 0,005453 0,003347 0,002019 0,001197 0,000698 0,000401 0,000226 11 0,010988 0,007054 0,004451 0,002761 0,001685 0,001012 0,000599 12 0,020092 0,013432 0,008827 0,005706 0,003628 0,002271 0,001400 13 0,033880 0,023499 0,016027 0,010753 0,007100 0,004616 0,002956 14 0,053350 0,038268 0,027000 0,018745 0,012811 0,008623 0,005717 15 0,079241 0,058617 0,042666 0,030568 0,021565 0,014985 0,010260 16 0,111924 0,085171 0,063797 0,047053 0,034181 0,024464 0,017257 17 0,151338 0,118206 0,090917 0,068878 0,051411 0,037819 0,027425 18 0,196992 0,157609 0,124227 0,096480 0,073851 0,055728 0,041466 19 0,248010 0,202879 0,163570 0,129999 0,101864 0,078712 0,059992 20 0,303224 0,253175 0,208443 0,169244 0,135536 0,107073 0,083458

416


� � � � � �22

0

22

2

2

2

22

22

1 ��

den

Fjx n

n

��

��I

� E

hi n 24 25 26 27 28 29 30 kvadrat 21 0,361275 0,307390 0,258036 0,213712 0,174651 0,140851 0,112112 22 0,420733 0,364256 0,311303 0,262623 0,218709 0,179811 0,145956 23 0,480202 0,422437 0,367053 0,314988 0,266960 0,223457 0,184740 24 0,538403 0,480626 0,424035 0,369684 0,318464 0,271068 0,227975 25 0,594239 0,537626 0,481025 0,425538 0,372165 0,321752 0,274968 26 0,646835 0,592401 0,536895 0,481399 0,426955 0,374509 0,324868 27 0,695547 0,644115 0,590667 0,536205 0,481753 0,428295 0,376729 28 0,739960 0,692147 0,641542 0,589026 0,535552 0,482087 0,429563 29 0,779869 0,736084 0,688918 0,639101 0,587472 0,534934 0,482403 30 0,815248 0,775711 0,732389 0,685846 0,636782 0,585996 0,534346 31 0,846217 0,810981 0,771731 0,728861 0,682919 0,634576 0,584593 32 0,873007 0,841988 0,806878 0,767916 0,725489 0,680127 0,632473 33 0,895927 0,868932 0,837902 0,802930 0,764256 0,722261 0,677458 34 0,915331 0,892092 0,864976 0,833953 0,799127 0,760740 0,719167 35 0,931599 0,911797 0,888351 0,861134 0,830133 0,795460 0,757360 36 0,945113 0,928400 0,908331 0,884701 0,857402 0,826436 0,791923 37 0,956240 0,942263 0,925246 0,904933 0,881139 0,853776 0,822856 38 0,965327 0,953739 0,939439 0,922138 0,901601 0,877664 0,850250 39 0,972691 0,963160 0,951245 0,936641 0,919077 0,898336 0,874271 40 0,978613 0,970836 0,960988 0,948763 0,933872 0,916063 0,895136 41 0,983343 0,977043 0,968966 0,958814 0,946294 0,931134 0,913096 42 0,987095 0,982027 0,975451 0,967085 0,956641 0,943841 0,928426 43 0,990053 0,986003 0,980686 0,973841 0,965195 0,954471 0,941404 44 0,992370 0,989155 0,984884 0,979322 0,972215 0,963298 0,952307 45 0,994175 0,991638 0,988229 0,983739 0,977938 0,970576 0,961398 46 0,995573 0,993582 0,990878 0,987277 0,982572 0,976535 0,968926 47 0,996650 0,995097 0,992964 0,990093 0,986301 0,981383 0,975116 48 0,997476 0,996270 0,994598 0,992322 0,989284 0,985302 0,980175 49 0,998106 0,997175 0,995870 0,994076 0,991656 0,988452 0,984282 50 0,998584 0,997869 0,996856 0,995449 0,993533 0,990968 0,987598


417


TABLICA ZA PRERA�UNAVANJE VRIJEDNOSTI r U Z

.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

.0000 .0100 .0200 .0300 .0400 .0500 .0599 .0699 .0798 .0898

.0997 .1096 .1194 .1293 .1391 .1489 .1586 .1684 .1781 .1877

.1974 .2070 .2165 .2260 .2355 .2449 .2543 .2636 .2729 .2821

.2913 .3004 .3095 .3185 .3275 .3364 .3452 .3540 .3627 .3714

.3800 .3885 .3969 .4053 .4136 .4219 .4301 .4382 .4462 .4542

.4621 .4699 .4777 .4854 .4930 .5005 .5080 .5154 .5227 .5299

.5370 .5441 .5511 .5580 .5649 .5717 .5784 .5850 .5915 .5980

.6044 .6107 .6169 .6231 .6291 .6351 .6411 .6469 .6527 .6584

.6640 .6696 .6751 .6805 .6858 .6911 .6963 .7014 .7064 .7114

.7163 .7211 .7259 .7306 .7352 .7398 .7443 .7487 .7531 .7574

.7616 .7658 .7699 .7739 .7779 .7818 .7857 .7895 .7932 .7969

.8005 .8041 .8076 .8110 .8144 .8178 .8210 .8243 .8275 .8306

.8337 .8367 .8397 .8426 .8455 .8483 .8511 .8538 .8565 .8591

.8617 .8643 .8668 .8692 .8717 .8741 .8764 .8787 .8810 .8832

.8854 .8875 .8896 .8917 .8937 .8957 .8977 .8996 .9015 .9033

.9051 .9069 .9087 .9104 .9121 .9138 .9154 .9170 .9186 .9201

.9217 .9232 .9246 .9261 .9275 .9289 .9302 .9316 .9329 .9341

.9354 .9366 .9379 .9391 .9402 .9414 .9425 .9436 .9447 .9458 .94681 .94783 .94884 .94983 .95080 .95175 .95268 .95359 .95449 .95537 .95624 .95709 .95792 .95873 .95953 .96032 .96109 .96185 .96259 .96331

.96403 .96473 .96541 .96609 .96675 .96739 .96803 .96865 .96926 .96986 .97045 .97103 .97159 .97215 .97269 .97323 .97375 .97426 .97477 .97526 .97574 .97622 .97668 .97714 .97759 .97803 .97846 .97888 .97929 .97970 .98010 .98049 .98087 .98124 .98161 .98197 .98233 .98267 .98301 .98335 .98367 .98399 .98431 .98462 .98492 .98522 .98551 .98579 .98607 .98635

.98661 .98688 .98714 .98739 .98764 .98788 .98812 .98835 .98858 .98881 .98903 .98924 .98945 .98966 .98987 .99007 .99026 .99045 .99064 .99083 .99101 .99118 .99136 .99153 .99170 .99186 .99202 .99218 .99233 .99248 .99263 .99278 .99292 .99306 .99320 .99333 .99346 .99359 .99372 .99384 .99396 .99408 .99420 .99431 .99443 .99454 .99464 .99475 .99485 .99495

418

KRITI�NE VRIJEDNOSTI KOEFICIJENTA KORELACIJE RANGA

N ,=.05 ,=.025 ,=.01 ,=.005 5 .900 - - - 6 .829 .886 .943 - 7 .714 .786 .893 - 8 .643 .738 .833 .881 9 .600 .683 .783 .833 10 .564 .648 .745 .794 11 .523 .623 .736 .818 12 .497 .591 .703 .780 13 .475 .566 .673 .745 14 .457 .545 .646 .716 15 .441 .525 .623 .689 16 .425 .507 .601 .666 17 .412 .490 .582 .645 18 .399 .476 .564 .625 19 .388 .462 .549 .608 20 .377 .450 .534 .591 21 .368 .438 .521 .576 22 .359 .428 .508 .562 23 .351 .418 .496 .549 24 .343 .409 .485 .537 25 .336 .400 .475 .526 26 .329 .392 .465 .515 27 .323 .385 .456 .505 28 .317 .377 .448 .496 29 .311 .370 .440 .487 30 .305 .364 .432 .478


419


TABLICA SLU�AJNIH BROJEVA

3001 8355 9205 6697 4595 9697 0706 8227 1136 8246 9473 6108 9117 5830 4537 4751 8580 5743 5007 6444 6963 0432 0076 9115 9259 5016 4198 0376 7787 2046 8342 5043 6786 3299 1119 4115 9673 6024 5855 0568 4062 0666 2925 3774 5794 3128 5756 3060 9747 5394 2402 3246 5764 0422 1550 7126 0805 7872 7955 7368 9473 3504 2094 5064 0753 6549 5884 1195 5972 1095 8516 3538 6007 4280 6181 5260 3026 4061 1580 2277 3186 5133 5773 0729 5116 2619 6113 0051 5066 5739 0525 2038 0637 4275 1088 5600 0995 3406 1411 2834 3341 4952 1288 2877 4712 9840 6131 1133 1786 9245 6895 9376 5241 3465 7251 7685 0514 9725 2578 1334 3557 7165 7784 8468 3795 0164 2499 3570 4828 7572 4297 4772 7275 0366 5448 4720 7674 3787 9281 9160 6373 0834 1885 5376 0705 5847 1725 8179 0832 8071 7700 0502 0711 1424 0122 2189 7183 2806 7421 3844 5743 8741 1328 2931 4484 4482 4122 1049 1816 8188 8926 4106 3650 4881 2049 6042 4718 7217 5771 3152 4569 6656 9084 7463 8533 9657 2237 7650 3798 6540 9173 2989 0417 9953 0048 7493 8738 6316 0702 9271 6618 7541 3900 9669 0403 1117 7203 1635 9933 4803 9697 9530 9910 7212 5063 8878 3280 6504 6292 8769 0330 6386 6535 0213 2662 6846 0466 1707 5310 0519 9070 9012 3515 4925 3091 6442 7293 5808 5851 1078 3275 5586 4856 8061 3190 5099 6930 7409 1297 9780 9343 8878 4763 7570 7150 1132 2250 5467 7467 2385 1924 5834 7124 1885 5642 9466 7689 5680 7619 8310 0746 1305 4116 2400 4162 0417 2941 8326 2647 3491 1824 3057 3701 9689 5820 2852 3468 6868 2476 1156 1575 2668 8053 0601 7581 1608 7541 2638 4400 6649 3862 4565 3971 8026 4639 8889 8516 8660 5781 3907 7421 9702 4687 8215 9527 7311 6509 8244 7749 0417 7069 2988 3412 5481 7639 6567 6955 3739 8231 8727 2775 1224 3894 1921 6871 1520 7049 7150 8738 4703 3296 2225 9400 6555 2264 4956 9054 7422 4283 8790 6025 7931 6902 1536 8015 8926 1975 5056 2718 9546 9739 8374 1891 6476 4701 9780 2303 8626 4991 1300 8466 4135 7597 8609 7431 8103 7666 1093 0476 7149 9984 4358 4438 1478 3129 6433 9058 5363 9911 1529 6450 2886 4699 6275 0042 0676 0230 0420 9552 4638 7129 7702 7359 7449 1429 1000 2352 7894 7997 7663 5947 5394 5316 2310 9293 5102 8909 9867 6287 0010 2363 4935 7258 5973 9900 2282 8791 7126 9799 9784 6006 0051 0381 8410 3488 7160 3956 8114 6494 9800 8645 9767 6445 1830 0828 0852 4869 3396 6083 6329 8407 2131 8437 8300 2525 8294 9195 4573 5434 3682 7711 7166 1280 1465 1395 8429 3271 3126 6183 3966 1694 3673 6621 6548 4627 0846 2294 7174 2324 5970 4498 0656 7114 1336 4280 5321 2785 6329 2946 2553

420

TABLICA SLU�AJNIH BROJEVA

9593 4691 3021 2941 0517 2597 5539 6264 6029 0811 9405 6737 9593 4283 9588 0308 9328 2623 1427 4498 0611 8322 6759 1493 9326 4990 8384 1533 4569 0469 0365 9614 7147 5243 9323 1713 5540 1456 1150 8638 7645 3735 1408 1408 0491 4285 2318 7591 9804 0463 8537 4646 3700 7511 0400 3586 1437 5555 6768 2269 0031 6216 8644 1732 7983 6856 4449 1560 8861 9046 5105 4175 8308 9196 3723 9097 1303 9512 2733 4946 0054 1282 1792 6102 5241 2882 3939 0721 5664 6563 4265 5997 7600 0749 0866 3302 7012 7611 5782 8309 2254 3732 3499 7731 4478 5292 0331 8461 4890 6318 7926 7549 7530 0776 3331 2675 0421 5790 0149 4414 7018 9554 2406 4296 7991 0598 4748 1054 9347 3533 3016 8349 5560 2782 0353 5230 4748 4060 3034 7728 0399 3924 1953 3874 6041 0253 1652 6293 7078 9084 9632 3227 3356 9944 0304 3224 7683 4319 8252 7964 3836 3932 3724 1156 9434 1164 1526 7176 1219 8915 8054 2795 3061 0583 5893 9339 2379 3759 4495 0456 3804 6166 8961 9608 0323 9147 8374 1843 3732 4796 4674 0876 2555 6286 9480 1778 9613 4932 6650 9291 6983 5798 7914 6952 4223 0333 3316 8150 9659 0530 3623 2057 6091 4994 5158 5259 1902 8044 8054 2418 6704 5016 2696 7332 9727 1227 0811 3065 1151 0625 5960 7194 2176 8928 5177 8863 4669 0763 3989 2633 7567 4035 0372 9202 0482 8199 1189 0536 3116 3620 0752 2820 7537 0218 6297 3138 2669 9156 6286 3609 5885 5911 1769 6374 2290 3808 5374 6513 6952 0006 4661 7016 5555 7742 6502 9437 9880 6044 5684 0763 2566 3305 5189 2872 2489 2744 4502 3585 0632 0895 1376 0397 4173 7981 5332 5433 8995 7950 0142 7955 5066 1465 3740 6924 9174 2121 7008 9692 7509 0113 1835 2661 0667 9296 3504 9059 3036 8204 0257 9035 7900 5300 5317 5057 0162 9678 6663 0127 9511 6747 5712 2016 2165 2254 1856 5623 0391 8625 9976 6790 2955 9350 5122 6033 9429 1586 6933 6451 7342 2414 7226 3379 9962 5595 1212 4274 4085 1642 9955 5736 0486 8859 3170 2588 2855 0557 4495 4491 1890 9738 5354 3066 4225 7105 1333 4284 2346 0886 1507 6830 1799 6956 5533 4558 2802 4679 8832 6145 1253 5423 3757 1727 0774 0512 1048 3701 7755 2239 7625 4030 0077 9554 1427 6201 8818 2842 3469 5126 6728 9413 9154 1949 0912 3163 0047 9824 1921 1281 2139 4285 2915 8461 0963 1893 9317 2205 5654 4004 8644 3471 7418 6588 0682 8626 0508 7371 8215 7874 6496 8820 3195 9252 3971 2797 1852 7120 9628 2785 5901 0441 3585 2145 2823 0976 2612 7399 4840 4528 8926 2870 2101 9550 7176 8235 0672 4057 6162 4508 2103 0382 9373 3755 6695 3569 9841 2122 1886 3033 5217 3717 8871 5282 7493 0426 1814 9650 7320 2793 2695 6989 0057 9468 1408 5899 0881 5580 2046 7164 4491 8969 4426 4094 8906 8895 5620 6568 2601 5847 8299 0403


421

PRILOG 2

PRIJEVODI TERMINA IZ EXCELA

Descriptive Statistics Deskriptivna statistika Mean Aritmeti�ka sredina Standard Error Standardna greška Median Medijana Mode Mod Standard Deviation Standardna devijacija Sample Variance Varijansa Kurtosis Zaobljenost Skewness Asimetri�nost Range Raspon podataka Minimum Minimum Maximum Maksimum Sum Zbir podataka Count Broj podataka

REGRESSION STATISTICS

REGRESIONA STATISTIKA

Multiple R Koeficijent multiple korelacije

R Square Koeficijent determinacije Adjusted R Square Korigovani koeficijent

determinacije Standard Error Standardna greška Observations Broj podataka

Prilog 2. Prijevodi termina iz Excela

423


ANOVA

df SS MS F Significance F Regression Residual Total

ANALIZA VARIJANSE

Broj stepeni slobode df

Zbir kvadrata

odstupanja Varijansa F test

Nivo zna�ajnosti F

testa Regresija Rezidual Ukupno

COEFFICIENTS STANDARD ERROR T STAT

Intercept X Variable 1

OCJENA

KOEFICIJENATASTANDARDNA

GREŠKA T TEST Slobodni �lan Parametar uz varijabluX

OBSERVATION PREDICTED Y RESIDUALS

Podaci Ocijeneno Y Reziduali ili

slu�ajna odstupanja

424

LITERATURA

Anderson D.R., Sweeney D.J., Willams T.A. : Statistiques pour l’économie et la gestion, De Boeck Université, Paris-Bruxelles, 2001.g.

Berenson M.L., Levine D.M., Krehbiel T.C.: Basic business statistics, Pearson Education International, New Yersey, 2004.g.

Bosnia and Herzegovina: Poverty Assessment, Volume II: Data on Poverty, Report No.25343-BiH, Document of the World Bank, 2003.g.

Chauvat G., Reau J.P.: Statistiques descriptives, Armand Colin/HER, Paris, 2001.g.

Comte M.; Gaden J.: Statistiques et probabilité, Presses Universitaires de France, Paris, 2000. g.

Daci� R. : Osnovi statistike, Štamparija Fojnica, Fojnica, 2001.g. Droes-

beke J.J.: Eléments de Statistiques, Editions de l’Universié de Bruxelles, Bruxelles; Ellipses, Paris, 1997. g.

Giard V.: Statistique Descriptive pour les Gestionnaires, Economica, 1995. g.

Goldfarb B., Pardoux C.: Introduction à la méthodes statistique, Dunod, Paris, 1993. g.

Grais, B.: Statistique descriptive, Dunod, Paris, 1986. g.

Lu�i� B. : Statistika, Ekonomski fakultet, Sarajevo, 1996. g.

Py B.: Statistique descriptive: nouvelle méthode pour bien comprendre et réussir, Economica, Paris 1990. g.

Roger P.: Statistique pour la gestion, EMS, Paris, 2000. g.

Schlacther, D.: De l’analise à la prévision, Ellipses, Paris, 1986. Somun-

Kapetanovi� R.: Deskriptivna statistika, Ekonomski fakultet, Sarajevo, 2003.g.

Šoši� I.: Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2004.g.

Šoši� I., Serdar V. : Uvod u statistiku, Školska knjiga, Zagreb, 2002. g.

425

Statisti�ki bilten br.1. 2003.g., Agencija za Statistiku Bosne i Hercegovine, Sarajevo, 2003.g.

Statisti�ki godišnjak/ljetopis Federacije Bosne i Hercegovine, 1999-2005. Federalni zavod za Statistiku, Sarajevo.

Tableaux de l’économie française, 1995/1996 - 2003/2004. g., INSEE ; Paris.

Tenenhaus M.:Methodes statistiques en gestion, Dunod, Paris, 1994.g.

Tribout B.: Support de cours de Statistique, premiere partie, Université Robert Schuman, Strasbourg, 1998. g.

Tribout B.: Support de cours de Statistique, Chapitres I,II,III,IV, Université Robert Schuman, Strasbourg, 1998. g.

Žiži� M., Lovri� M., Pavli�i� D.: Metodi statisti�ke analize, Ekonomski fakultet, Beograd, 2001.g.

Wonnacott T.H., Wonnacott R.J.: Statistique, Economica, Paris, 1995. g.

426

Documents

Statistika u Ekonomiji i Menadzmentu 2012